aprendiendo cálculo diferencial con wolfram mathematica

APRENDIENDO CÁLCULO DIFERENCIAL CON

Wolfram Mathematica®

Lic Adriana Favieri

Profesora del Taller de Informática para Cálculo I

Universidad Nacional de la Matanza

Lic Roxana Scorzo



Lic Betina Williner



Mathematica y Wolfram Mathematica son marcas registrada de WRI.

El logo es marca registrada de WRI.

El diseño del programa Mathematica, su interfaz, comandos y gráficos son marcas

registrada de WRI.

http://www.wolfram.com/

2 Untitled-1

Agradecimientos

A nuestros esposos Eduardo, Claudio y Eduardo,

e hijos por alentarnos y asistirnos en la tarea.

A la jefa de cátedra de Cálculo I y Análisis Matemático I,

Ing Isabel Weinberg por respaldar nuestro trabajo.

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4 Untitled-1

PRÓLOGO

Pretendemos que este cuadernillo sea una herramienta didáctica de ayuda para el aprendizaje de las asignat-

uras Cálculo I y Análisis Matemático I. En el mismo recorreremos los diferentes temas utilizando un programa

específico, en este caso el Mathematica®

.

Desde hace varios años es reconocido por todos los miembros de la comunidad educativa, los cambios en la

forma de trabajo y los logros en el aprendizaje obtenido cuando se incorporan a la clase herramientas infor-

máticas como la mencionada. El Mathematica®

, como herramienta de trabajo, permite hacer cálculos

rápidamente y gráficos precisos, favoreciendo el análisis, la inferencia y la justificación de los temas estudia-

dos. También puede ser utilizado como un medio para controlar resultados de ejercicios y resolver situaciones

problemáticas en forma activa.

La incorporación de este tipo de programas permite dinamizar algunas situaciones de enseñanza aprendizaje,

lo que puede evidenciarse con mayor intensidad en la visualización de gráficos y en la rapidez de resolución

de cálculos. Estas ventajas incrementan la motivación de los alumnos al enfrentar el estudio del cálculo

diferencial e integral

Para que estas ventajas puedan usarse en las actividades de clase, es necesario contar con un material que

ayude al alumno en su encuentro con este software y su posterior dominio del mismo. Un cuadernillo que no

sólo ilustre sobre los comandos del mismo, y la forma en que se escriben y usen; sino también un material

que tenga una orientación es-pecífica, en este caso, el estudio de los temas de las asignaturas detalladas

anteriormente.

En el desarrollo comenzamos con los primeros pasos en el uso del programa, cálculos exactos y aproxima-

dos, variables y funciones. Continuamos con gráficos, resolución de ecuaciones e inecuaciones, comandos

de manipulació n algebraica, para terminar con el cálculo de límites y derivadas y el uso de paquetes gráficos.

Cada capítulo concluye con ejercicios para practicar los comandos explicados.

Dividimos el trabajo en dos secciones:

- Primera: versiones 4.0, 5.0, 5.1 y 5.2

- Segunda: versiones 6.0, 7.0 y 7.3

Estamos convencidas que la potencialidad de este programa, la capacidad de representación gráfica y el

volumen de cálculos que puede realizar, son una gran ayuda para el estudio del Cálculo. Si bien en un

comienzo puede costar su uso, la recompensa merece todo el esfuerzo dedicado.

Las autoras

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CONTENIDOS

PARTE 1 - VERSIONES 4.0 5.0 5.1 y 5.2

CAPÍTULO 1 : INTRODUCCIÓN AL PROGRAMA

1.1 COMIENZO DE USO DEL PROGRAMA --------------------------

1.2 LOS NOTEBOOKS (Cuadernos) -------------------------------

1.3 CELDAS QUE UTILIZA EL PROGRAMA ---------------------------

1.4 PALETTES ----------------------------------------------

1.5 AYUDA DEL PROGRAMA (HELP) -------------------------------

1.6 COMIENZO DE UNA SESIÓN DE TRABAJO ------------------------

1.7 IMPORTANCIA DE LA SINTAXIS --------------------------------

1.8 INGRESO DE DATOS Y OBTENCIÓN DE RESULTADOS ---------------

1.9 MATHEMATICA COMO CALCULADORA --------------------------

1.10 PRECISIONES EN EL CÁLCULO -----------------------------

1.11 VARIABLES --------------------------------------------

1.12 EJERCICIOS -------------------------------------------

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CAPÍTULO 2: FUNCIONES BÁSICAS

2.1 SINTAXIS PARA FUNCIONES ---------------------------------

2.2 DEFINICIÓN DE FUNCIONES --------------------------------

2.3 DEFINICIÓN DE FUNCIONES POR RAMAS ------------------------

2.4 EJERCICIOS --------------------------------------------

25

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29

CAPÍTULO 3: GRÁFICOS BIDIMENSIONALES

3.1 COMANDOS BÁSICOS DE GRÁFICO ----------------------------

3.1.1 COMANDO : Plot ---------------------------------------

3.1.2 COMANDO : PlotStyle y opciones de gráfico -------------------

3.1.3 COMANDO : ParametricPlot -------------------------------

3.1.4 COMANDO : ListPlot ------------------------------------

3.1.5 COMANDO : Show --------------------------------------

3.2 PAQUETE PARTICULAR : Miscellaneous - RealOnly ---------------

3.3 EJERCICIOS -------------------------------------------

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CAPÍTULO 4: ECUACIONES-SISTEMAS DE ECUACIONES-INECUACIONES

4.1 ECUACIONES ------------------------------------------

4.1.1 COMANDO : Solve -------------------------------------

4.1.2 COMANDO : Reduce -----------------------------------

4.1.3 COMANDO : NSolve ------------------------------------

4.2 SISTEMAS DE ECUACIONES ---------------------------------

4.3 INECUACIONES ------------------------------------------

4.4 EJERCICIOS --------------------------------------------

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CAPÍTULO 5: ÁLGEBRA BÁSICA CON MATHEMATICA

5.1 OPCIONES DEL COMANDO : Expand ---------------------------

5.1.1 COMANDO : Expand ------------------------------------

5.1.2 COMANDO : TrigExpand ---------------------------------

5.1.3 COMANDO : PowerExpand -------------------------------

5.2 OPCIONES DEL COMANDO : Factor ----------------------------

5.2.1 COMANDO : Factor -------------------------------------

5.2.2 COMANDO : TrigFactor ----------------------------------

5.3 VERIFICACIÓN DE LA PARIDAD DE UNA FUNCIÓN -----------------

5.3.1 COMANDO : TrueQ -------------------------------------

5.4 COMANDO : Simplify --------------------------------------

5.5 EJERCICIOS -------------------------------------------

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CAPÍTULO 6: LÍMITES. CÁLCULO DIFERENCIAL

6.1 CÁLCULO DE LÍMITES -------------------------------------

6.1.1 COMANDO : Limit -------------------------------------

6.2 CÁLCULO DE DERIVADAS ----------------------------------

6.2.1 Tres formas para derivar ---------------------------------

6.3 EJERCICIOS -------------------------------------------

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CAPÍTULO 7: PAQUETES GRÁFICOS

7.1 GENERALIDADES PAQUETES -------------------------------

7.2 PAQUETE GRÁFICO : ANIMACIÓN -----------------------------

7.2.1 COMANDO : Animate -----------------------------------

7.3 GRÁFICOS DE CURVAS EN FORMA IMPLÍCITA --------------------

7.3.1 COMANDO : ImplicitPlot ---------------------------------

7.4 GRÁFICOS CON REFERENCIAS ------------------------------

7.4.1 COMANDO : PlotLegend --------------------------------

7.5 GRÁFICOS SOMBREADOS ----------------------------------

7.5.1 COMANDO : FilledPlot -----------------------------------

7.6 GRÁFICOS DE EXPRESIONES CON INECUACIONES ---------------

7.6.1 COMANDO : InequalityPlot -------------------------------

7.7 EJERCICIOS ------------------------------------------

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73

73

75

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PARTE 2 - VERSIONES 6.0 Y 7.0 73

CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN AL PROGRAMA

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1.1 COMIENZO DE USO DEL PROGRAMA --------------------------

1.2 LOS NOTEBOOKS (Cuadernos) -------------------------------

1.3 CELDAS QUE UTILIZA EL PROGRAMA ---------------------------

1.4 PALETTES ----------------------------------------------

1.5 AYUDA DEL PROGRAMA (HELP) -------------------------------

1.6 COMIENZO DE UNA SESIÓN DE TRABAJO ------------------------

1.7 IMPORTANCIA DE LA SINTAXIS --------------------------------

1.8 INGRESO DE DATOS Y OBTENCIÓN DE RESULTADOS ---------------

1.9 MATHEMATICA COMO CALCULADORA --------------------------

1.10 PRECISIONES EN EL CÁLCULO -----------------------------

1.11 VARIABLES --------------------------------------------

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CAPÍTULO 2: FUNCIONES BÁSICAS

2.1 SINTAXIS PARA FUNCIONES ---------------------------------

2.2 DEFINICIÓN DE FUNCIONES --------------------------------

2.3 DEFINICIÓN DE FUNCIONES POR RAMAS ------------------------

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CAPÍTULO 3: GRÁFICOS BIDIMENSIONALES

3.1 COMANDOS BÁSICOS DE GRÁFICO ----------------------------

3.1.1 COMANDO : Plot ---------------------------------------

3.1.2 COMANDO : PlotStyle y opciones de gráfico -------------------

3.1.3 COMANDO : ParametricPlot -------------------------------

3.1.4 COMANDO : ListPlot ------------------------------------

3.1.5 COMANDO : Show --------------------------------------

3.2 PAQUETE PARTICULAR : Miscellaneous - RealOnly ---------------

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CAPÍTULO 4: ECUACIONES - SISTEMAS DE ECUACIONES-INECUACIONES

4.1 ECUACIONES ------------------------------------------

4.1.1 COMANDO : Solve -------------------------------------

4.1.2 COMANDO : Reduce -----------------------------------

4.1.3 COMANDO : NSolve ------------------------------------

4.2 SISTEMAS DE ECUACIONES ---------------------------------

4.3 INECUACIONES ------------------------------------------

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CAPÍTULO 5: ÁLGEBRA BÁSICA CON MATHEMATICA

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5.1 OPCIONES DEL COMANDO : Expand ---------------------------

5.1.1 COMANDO : Expand ------------------------------------

5.1.2 COMANDO : TrigExpand ---------------------------------

5.1.3 COMANDO : PowerExpand -------------------------------

5.2 OPCIONES DEL COMANDO : Factor ----------------------------

5.2.1 COMANDO : Factor -------------------------------------

5.2.2 COMANDO : TrigFactor ----------------------------------

5.3 VERIFICACIÓN DE LA PARIDAD DE UNA FUNCIÓN -----------------

5.3.1 COMANDO : TrueQ -------------------------------------

5.4 COMANDO : Simplify --------------------------------------

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CAPÍTULO 6: LÍMITES. CÁLCULO DIFERENCIAL

6.1 CÁLCULO DE LÍMITES -------------------------------------

6.1.1 COMANDO : Limit -------------------------------------

6.2 CÁLCULO DE DERIVADAS ----------------------------------

6.2.1 Tres formas para derivar ---------------------------------

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CAPÍTULO 7: PAQUETES GRÁFICOS

7.1 GENERALIDADES PAQUETES -------------------------------

7.1.1 COMANDO : Animate ----------------------------------

7.2 GRÁFICOS DE CURVAS EN FORMA IMPLÍCITA -------------------

7.2.1 COMANDO : ContourPlot --------------------------------

7.3 GRÁFICOS CON REFERENCIAS ------------------------------

7.3.1 COMANDO : PlotLegend --------------------------------

7.4 GRÁFICOS SOMBREADOS ----------------------------------

7.4.1 COMANDO : Filling -------------------------------------

7.5 GRÁFICOS DE EXPRESIONES CON INECUACIONES ----------------

7.5.1 COMANDO : RegionPlot --------------------------------

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PARTE 1

VERSIONES 4.0 5.0 5.1 y 5.2

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CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN AL PROGRAMA

1.1 COMIENZO DE USO DEL PROGRAMA

Al abrir el programa podemos ver una ventana como la siguiente :

1.2 LOS NOTEBOOKS ( Cuadernos )

A este tipo de archivo se lo denomina Notebooks y es la "ventana" donde realizaremos nuestro trabajo.

Al comenzar una seción de Mathematica automáticamente se abre un Notebook vacío, es decir listo para

usar. Representan el área de trabajo.

1.3 CELDAS QUE UTILIZA EL PROGRAMA

Mathematica trabaja con las llamadas celdas (Cells) que podemos visualizar en la pantalla con un corchete a

la derecha de las mismas.

Las celdas más usadas son:

Untitled-1 13

Mathematica trabaja con las llamadas celdas (Cells) que podemos visualizar en la pantalla con un corchete a

la derecha de las mismas.

Las celdas más usadas son:

à Celdas de entrada ( In[ ] )

à Celdas de salida (Out[ ] )

à Celdas de texto (Text )

à Celdas de entrada ( In[ ] )

El programa, por default, abre con una celda tipo input.

En ella escribiremos las instrucciones que queremos que el sofware ejecute.

àCeldas de salida (Out[ ] )

Son las celdas en las que pueden verse los resultados de las celdas de entrada.

à Celdas de texto (Text )

En ellas podemos escribir en forma similar a un procesador de texto.

Para ello debemos convertirla a texto de la siguiente manera:

ir a: Format-Style-Text.

Es importante que cuando escribamos un texto realicemos la conversión de la celda, de lo contrario el pro-

grama la toma como una celda de entrada y tratará de evaluar las palabras, produciendo mensajes de error.

Edición de texto

Al igual que un procesador de texto, podemos cambiar la fuente (Format-Font).

14 Untitled-1

Al hacer click se despliega un menú con todas las letras disponibles:

También podemos subrayar, cursiva o negrita (Format-Face)

Untitled-1 15

Y cambiar el tamaño (Format-Size)

Explorando la opción Format podemos ver otras opciones de edición de texto.

16 Untitled-1

1.4 PALETTES

Para escribir expresiones algebraicas, símbolos matemáticos, cálculos o recordar la sentencia de algunos

comandos, utilizamos los PALETTES. Existen diferentes tipos de PALETTES. El procedimiento para desplegar-

los es el siguiente:

en la barra del menú principal hacemos click en File --Palletes

Las palettas que más usaremos son:

Nro 2 AlgebraicManipulation

para realizar operaciones algebraicas

Nro 3 BasicCalculations

para ingresar distintos comandos y funciones

Untitled-1 17

En cada una de las opciones se despliegan submenúes muy útiles:

18 Untitled-1

Nro 4 BasicInput

Para ingresar operaciones y se trabaja en forma similar a un editor de ecuaciones

Nro 5 BasicTypesetting

para ingresar otros tipos de caracteres, símbolos y/o plantillas.

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1.5 AYUDA DEL PROGRAMA (HELP)

En la barra del menú principal está el menú de ayuda: Help. Consideramos que es un completo manual de

ayuda al que podremos recurrir y encontrar ejemplos desarrollados que nos serán de mucha utilidad. Para

poder hacer uso del mismo clikeamos la siguiente secuencia :

Help--About Mathemática-Help, o Help--HelpBrowser o Help--Master Index (índice).

1.6 COMIENZO DE UNA SESIÓN DE TRABAJO

Al ejecutar el programa, nos abre un notebook vacío. Si deseamos abrir un archivo en el que ya estuvimos

trabajando, vamos a la barra del menú principal File y marcarmos Open. También podemos generar un

nuevo archivo con: File--New. Cuando iniciamos un nuevo documento es conveniente hacer click en Format

y marcar Show ToolBar. De esta manera queda incorporada una barra de herramientas a través de la cual

podemos vi-sualizar el tipo de celda en el que estamos trabajando, como así también opciones de mucha

utilidad.

1.7 IMPORTANCIA DE LA SINTAXIS

Otra cuestión a tener en cuenta es que cuando escribamos los comandos tenemos que tener cuidado con:

Mayúsculas y minúsculas: todas las funciones, opciones, comandos incorporados al programa comienzan

con mayúscula. Para el Mathematica no es lo mismo mayúscula que minúscula (conviene nombrar los objetos

que nosotros definamos con minúscula)

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Mayúsculas y minúsculas: todas las funciones, opciones, comandos incorporados al programa comienzan

con mayúscula. Para el Mathematica no es lo mismo mayúscula que minúscula (conviene nombrar los objetos

que nosotros definamos con minúscula)

Los espacios: un espacio entre dos variables se interpreta como multiplicació n. Por esto hay que tener

cuidado de no agregar un espacio entre caracteres si no vamos a realizar un producto.

Paréntesis, corchetes y llaves: el programa no los interpreta de la misma manera. Los corchetes son

exclusivos de las funciones y los comandos (no los podemos utilizar para agrupar); los paréntesis nos sirven

para agrupar y las llaves para definir listas de elementos.

1.8 INGRESO DE DATOS Y OBTENCIÓN DE RESULTADOS

Para ingresar los datos escribimos en la celda, que como dijimos anteriormente, está en formato IN.

Para accionarlo presionamos:

INTRO (teclado numérico, de la derecha)

o

SHIFT+ENTER (teclado completo)

Así obtenemos el resultado que aparece en una segunda celda, que es la celda .Ouput.

1.9 MATHEMATICA COMO CALCULADORA

Para comenzar realizaremos ejemplos sencillos utilizando el programa como una calculadora (aunque mucho

más potente).

Ejemplo 1:

Si queremos hacer una cuenta, la ingresamos:

54 + 78*23.569 - 9.67ê3

1889.16

Presionar INTRO o SHIFT+ENTER para obtener el resultado en la celda Ouput.

Ejemplo 2:

Notemos la diferencia entre estas dos sentencias de entrada y el resultado que produce en cada una:

345 ê 9

115

3

345. ê 9

38.3333

En un caso simplifica la fracción, y en el otro el resultado lo expresa como número decimal.

1.10 PRECISIONES EN EL CÁLCULO

Untitled-1 21


Mathematica siempre devuelve el resultado en forma exacta. Si queremos obtener una aproximación del

mismo podemos indicárselo de dos maneras:

N[Cálculo ] o bien, Cálculo // N .

En cualquiera de los dos casos nos entregará el resultado del cálculo con cinco dígitos de aproximación. Si

necesitamos trabajar cierta cantidad de dígitos la sintaxis es

N [Cálculo, Cantidad de dígitos]

Ejemplo 1

Valor exacto

Recordamos nuevamente que siempre el primer renglón corresponde a la entrada (Input ) y el segundo la

salida (Output),

2

2

Valor aproximado con 5 dígitos

2 êê N

1.41421

Valor aproximado con 30 dígitos

NB 2 , 30F1.41421356237309504880168872421

Ejemplo 2

N[ã,20]

2.7182818284590452354

e

e

En el primer caso nos brinda el número e con 20 cifras decimales y en el segundo, al no indicar cantidad de

decimales, lo da en forma exacta. Otra posibilidad es hacer referencia a la última celda de salida usando %

(%%, para la penúltima, etc)

Ejemplo 3

Pi

π

% êê N

3.14159

N@%%, 32D3.1415926535897932384626433832795

1.11 VARIABLES

22 Untitled-1

1.11 VARIABLES

Mathematica trabaja con variables en las que podemos almacenar valores. Por ejemplo: si queremos asig-

narle a una variable, que llamaremos "a", el valor 4, hacemos: a=4 y luego "SHIFT + ENTER. En este caso

el programa nos da como celda de salida ese valor (en este caso 4). Si no queremos que devuelva una celda

de salida, ponemos un punto y coma después de la asignación: a=4.

Hasta tanto no cambiemos el valor asignado, siempre "a" tomará valor 4 en todos los cálculos posteriores. Por

ejemplo al ingresar Log[a], estaremos calculando logaritmo natural de 4.

Para limpiar el contenido de "a" hacemos : Clear[a] y luego "SHIFT + ENTER.

Ejemplo 1

a=100;

a

10

Log[a]

Log@100DPodemos calcular este valor en forma aproximada como explicamos anteriormente:

Log[a]//N

4.60517

Log[a,10]

1

2

Esto significa: loga10=log10010=1/2

Log[10,a]

2

Esto significa: log10a=log10100=2

1.12 EJERCICIOS

Ejercicio 1: ordenar de menor a mayor los siguientes números: 164 611 949

95 800 320, ‰

-1,

69 281

40 320

Ejercicio 2: ¿qué número es mayor p‰ o ‰

p?

Ejercicio 3: realizar los siguientes cálculos:

a) a^(1/3)*a^(1/4) (el símbolo ^ representa potencia)

b) Asignar a a el valor 6 y volver a realizar el cálculo anterior.

c) Obtener el resultado anterior con 12 decimales.

Ejercicio 4: limpiar la variable "a" del ejercicio 3. Asignarle a "a" el valor 2 , a la variable b 10 y a la

variable c, 5 Realizar las siguientes operaciones:

a) a+b+c f)log c

b) a*b g)log (a

b)

c) a*b/c h)log 4(a

4 a)

d) a *c *b2 i)ln Ha + bL2

e) ln a j) log3Ha2:

2

9)

Los resultados que son números irracionales obtenerlos también con 5 cifras decimales significativas

Untitled-1 23

Ejercicio 1: ordenar de menor a mayor los siguientes números: 164 611 949

95 800 320, ‰

-1,

69 281

40 320

Ejercicio 2: ¿qué número es mayor p‰ o ‰

p?

Ejercicio 3: realizar los siguientes cálculos:

a) a^(1/3)*a^(1/4) (el símbolo ^ representa potencia)

b) Asignar a a el valor 6 y volver a realizar el cálculo anterior.

c) Obtener el resultado anterior con 12 decimales.

Ejercicio 4: limpiar la variable "a" del ejercicio 3. Asignarle a "a" el valor 2 , a la variable b 10 y a la

variable c, 5 Realizar las siguientes operaciones:

a) a+b+c f)log c

b) a*b g)log (a

b)

c) a*b/c h)log 4(a

4 a)

d) a *c *b2 i)ln Ha + bL2

e) ln a j) log3Ha2:

2

9)

Los resultados que son números irracionales obtenerlos también con 5 cifras decimales significativas

24 Untitled-1

CAPÍTULO 2

FUNCIONES BÁSICAS

2.1 SINTAXIS PARA FUNCIONES

Existen en Mathematica ciertas funciones cuya sintaxis ya está establecida por el

programa y la debemos respetar, entre ellas tenemos:

Log@xD ö Función logaritmo natural de x

Log@b, xD ö Función logaritmo en base "b" de x

Exp@xD o ‰x

ö Función exponencial en base "e"

Sin@xD ö Función seno de x

Cos@xD ö Función coseno de x

Abs@xD ö Función valor absoluto de x

Tan@xD ö Función tangente de x

Floor@xD ö Función parte entera de x

Sign@xD ö Función signo de x

Sinh@xD ö Función seno hiperbólico

ArcSin@xD ö Función arco seno de x

Nota importante : estas funciones siempre se designan con letras mayúsculas y la va-riable entre corchetes.

Podemos recordar la sintáxis y conocer otras funciones a través de la paleta :

BasicCalculations/Trigonometric and Exponential Functions.

2.2 DEFINICIÓN DE FUNCIONES

Si queremos crear nuestra propia función, la forma de definirla es la siguiente:

f [ variable_]:=

En donde f es el nombre que le asignamos, en forma arbitraria. Para que el Mathematica la reconozca como

tal, accionamos SHIF+ ENTER o INTRO. Esta entrada no produce salida, pero el programa reconoce nuestra

función. Si luego queremos calcular la imagen de algún número o de una expresión hacemos:

f [Nº] y luego SHIF+ ENTER o f[expresión] y luego SHIFT+ENTER

Nota importante: observemos que al definir la función, la variable está seguida de un guión bajo (esto hace

que el programa entienda que puede llevar cualquier nombre o valor), cuando queremos calcular la imagen

de dicha función en un valor o expresión parti-cular, no ponemos el guión bajo.

Ejemplo 1:

f@x_D := x3

− 3 x

f@1D−2

f@aD−3 a + a

3

Untitled-1 25

f@x + hD−3 Hh + xL + Hh + xL3

Ejemplo 2: (podemos usar también funciones ya establecidas como las mencionadas anteriormente)

b@x_D := ãx

b[1]

ã

Recordemos que si queremos obtener un valor aproximado, trabajamos con //N. Lo podemos realizar de dos

formas:

b@1D êê N

2.71828

O calculando la imagen b[1] y en la celda siguiente:%//N.

b@1Dã

% êê N

2.71828

b[0]

1

b@h − 2Dã

−2+h

Ejemplo 3:

h@t_D :=ArcTan@tD

t

h@−1Dπ

4

h@xDArcTan@xD

x

hB 2 FArcTanB 2 F

2

% êê N

0.675511

26 Untitled-1

Ejemplo 4

g@x_D := Sin@xDgB π

4F

1

2

Ejemplo 5

m[x_]:= Floor[x]

m[-6.78]

-7

m[8.3]

8

2.3 DEFINICIÓN DE FUNCIONES POR RAMAS

Las funciones definidas por ramas (también llamadas funciones por partes o por trozos) se pueden introducir

de dos maneras

PRIMERA FORMA

Utilización de /;

Supongamos que queremos definir una función f(x) que tiene dos ramas: una para a§x§b y la otra x>b

La sintaxis básica para la definición anterior es :

f[x_]:= "Expresión algebraica de la función"/; a£x£b

f[x_]:="Expresión algebraica de la función"/; x>b

Ejemplo 1

Supongamos que deseamos definir la función :

g(x)= : x

-x + 4

x > 6

-2 < x § 6

Como primera medida recordemos que es conveniente borrar el contenido de las variables por si fueron

utilizadas con anterioridad. Para ello hacemos:

Clear [g]

Estamos borrando lo almacenado en "g". Luego para definirla planteamos:

g@x_D := x ê; x > 6

g@x_D := −x + 4 ê; −2 < x ≤ 6

Calculemos algunas imágenes

g[6]

-2

Untitled-1 27

g[5.7]

−1.7

g[Log[12]]

4 − Log@12D% êê N

1.51509

g@aDg@aDObservemos que esta última expresión no la puede realizar, ya que no sabe en qué rama se encuentra "a".

SEGUNDA FORMA

Utilización del COMANDO " If "

If[condición, expresión algebraica de la función si la condición es verdadera, expresión algebraica de la

función si la condición es falsa]

Ejemplo 2

Si queremos definir una función u(x), de modo tal que :

u(x) = : x

x2

x < 1

x ¥ 1

Clear@uDu@x_D := IfAx < 1, x, x

2Eu@−1 ê 3D−1

3

[email protected]

También podemos utilizar el comando If en situaciones más complejas, cuando existen más de dos ramas en

la función. En estos casos debemos "anidarlo".

Ejemplo 3

Definir, utilizando la sentencia If, la función :

v(x) = :2

x - 3

ln x

x < 0

0 § x < 1

x ¥ 1

Clear@vDv@x_D := If@x < 0, 2, If@x < 1, −3 + x, Log @xDDDCalculemos algunas imágenes en distintas ramas :

28 Untitled-1

v@0Dv@1Dv@ãDv@−3D-3

0

1

2

2.4 EJERCICIOS

Ejercicio 1: definir las siguientes funciones en Mathematica. Calcular las imágenes pedidas. Observar las

salidas que brinda el programa y extraer conclusiones

a) f(x)=x

3-2 x+3

x4

-x f(1/2), f(1), f(h), f(3.6)

b) g(x)=ln»x+4» g(-1), g(-15.6), g(-4), g(‰-4)

c) m(x)=sen(2x) m(p/8), m(p), m(3)

d) Sea u(x), de modo tal que :

u(x) = : arctgHxLx ê Hx + 1L

x < 1

x ¥ 1

u(-1), u(0), u(1), u(a) (no tener almacenado valor en a)

e) p(x)=e

x

x p(-1), p(0), p(145) (con 20 cifras decimales)

Ejercicio 2: define las siguientes funciones: f(x)=ln(x), g(x) =ex (siempre tener la precaución de limpiar las

variables o funciones utilizadas con anterioridad). Realizar los siguientes cálculos:

a) La composición de las dos funciones: f(g(x)) y g(f(x))

b) HgHxL L2

c) g(x)*g(y)

d)f(x)+f(y)

Ejercicio 3

Hallar el dominio de las siguientes funciones, cuando sea posible calcular las imágenes de -2 , 3 ,1

3, 0 (

para resolver este ejercicio deberán leer el contenido del capítulo 4)

a)f(x)= x

2-3 x+6

x3

-2 x+4 b) g(x)=

x-1

x3

-1

c) h(x)= x+6

lnIx2-5M

d) p(x)= ln»x2-x

3+6» e) j(t)=

t3

-2 t

t2

-3 f) q(t)= I t

3- t + 2 t

2M-1

g) d(t)= t-6

3

t3

-2 t

h) z(t)= ‰t+1

-1

t i) f(t)=

1

t2

+J3+ 6 N.t+3 6

j) g(t)= 3-x

x. x3

-54

Ejercicio 4

Teniendo en cuenta las funciones del ejercicio anterior y además: m(x)=1

x r(t)=‰

t, calcular el dominio de las

siguientes funciones y hallar las imágenes cuando sea posible de los puntos indicados en el ejercicio 3 ( para

resolver este ejercicio deberán leer el contenido del capítulo 4).

a) f(x)+m(x)= b) g(x).m(x) = c) pHxLmHxL d) g[m(x)]

e) m ë f= f) f ë m= g) q ë r = h) j ë r = h) @dHtLD-1= i) g(t) +

1

x3

-54=

Untitled-1 29

d) Sea u(x), de modo tal que :


x < 1

x ¥ 1

u(-1), u(0), u(1), u(a) (no tener almacenado valor en a)

e) p(x)=e

x

x p(-1), p(0), p(145) (con 20 cifras decimales)

Ejercicio 2: define las siguientes funciones: f(x)=ln(x), g(x) =ex (siempre tener la precaución de limpiar las

variables o funciones utilizadas con anterioridad). Realizar los siguientes cálculos:

a) La composición de las dos funciones: f(g(x)) y g(f(x))

b) HgHxL L2

c) g(x)*g(y)

d)f(x)+f(y)

Ejercicio 3

Hallar el dominio de las siguientes funciones, cuando sea posible calcular las imágenes de -2 , 3 ,1

3, 0 (

para resolver este ejercicio deberán leer el contenido del capítulo 4)

a)f(x)= x

2-3 x+6

x3

-2 x+4 b) g(x)=

x-1

x3

-1

c) h(x)= x+6

lnIx2-5M

d) p(x)= ln»x2-x

3+6» e) j(t)=

t3

-2 t

t2

-3 f) q(t)= I t

3- t + 2 t

2M-1

g) d(t)= t-6

3

t3

-2 t

h) z(t)= ‰t+1

-1

t i) f(t)=

1

t2

+J3+ 6 N.t+3 6

j) g(t)= 3-x

x. x3

-54

Ejercicio 4

Teniendo en cuenta las funciones del ejercicio anterior y además: m(x)=1

x r(t)=‰

t, calcular el dominio de las

siguientes funciones y hallar las imágenes cuando sea posible de los puntos indicados en el ejercicio 3 ( para

resolver este ejercicio deberán leer el contenido del capítulo 4).

a) f(x)+m(x)= b) g(x).m(x) = c) pHxLmHxL d) g[m(x)]

e) m ë f= f) f ë m= g) q ë r = h) j ë r = h) @dHtLD-1= i) g(t) +

1

x3

-54=

30 Untitled-1

CAPÍTULO 3

GRÁFICOS BIDIMENSIONALES

3.1 COMANDOS BÁSICOS DE GRÁFICO

3.1.1 COMANDO : Plot

Este comando permite dibujar gráficas de funciones de una sola variable, su estructura es:Plot[f,{x,x1,x2}] .

Si deseamos varias funciones en un mismo par de ejes : Plot[{f1,f2,..fn},{x,x1,x2}].

En donde "f "es la función a graficar que puede haberse defino con anterioridad o bien dentro de esta estruc-

tura, "x" es la variable y x1,x2 son los extremos del intervalo de la variable donde se graficará.

También esta estructura está en los palettes, procediendo así:

File--Palettes--Basic Calculation--Graphics :

Se despliega: Plot[É,{É,É,É}] Plot[{É,É},{É,É,É}]

Haciendo click en los distintos cuadraditos se completa el comando.

Ejemplo 1 : graficar la función f HxL =

x3

- 2 x + 1 en el intervalo H-3, 5L. Lo podemos realizar de dos formas :

Sin definir la función y representarla Definir primero la función y representarla por f HxL :

f@x_D := x3 − 2 x + 1

PlotAx3 − 2 x + 1, 8x, −3, 5<E Plot@f@xD, 8x, −3, 5<D

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-2

2

4

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-2

2

4

3.1.2 COMANDO : PlotStyle y opciones de gráfico

Al comando Plot lo podemos completar con diversas opciones y con el comando PlotStyle que nos da distin-

tas posibilidades de elección como color, grosor,etc. Comencemos con las opciones:

†AspectRatioÆAutomatic : realiza el gráfico con la misma escala en ambos ejes.

†TicksÆ{{x1,x2,x3...},{y1, y2,....}}coloca etiquetas sobre los ejes.

†AxesLabelÆ{"Nombre sobre el eje x","Nombre sobre el eje y"} coloca nombres a los ejes

†AxesOrigin: corresponde al punto en donde queremos que considere la intersección de los ejes. El valor por

defecto es Automatic.

†GridLines: permite la incorporación de una cuadrícula según las marcas en los ejes consideradas.Automatic

incluye una línea para cada marca de tick.El valor por defecto es None.

†PlotRange: incluye el rango de coordenadas en el que queremos observar el gráfico. Automatic significa

que Mathematica®

mostrará el gráfico donde lo considera más interesante. Si sólo expresamos un intervalo,

será considerado sobre el eje y, de lo contrario (si queremos indicar el rango

en los dos ejes), debemos indicar dos intervalos.

Cuando nos referimos al carácter deseado hablamos de color, grosor de la línea, formas del trazo, etc. Por

ejemplo:

æPlotStyle ô{RGBColor[a,b,c]} Da color a los gráficos.Para usar esta opción deberán ir al menú

principal , oprimir Input, y luego Color Selector .

æPlotStyle ô{Thickness[m]} Da grosor a la curva, el mismo depende del valor asignado a "m".

El formato para estas opciones básicas y el PlotStyle es el siguiente (se pueden poner juntas)

Plot[f,{x,x1,x2},Opción ôValor]

Plot[f,{x,x1,x2}] , PlotStyleô{Carácter deseado} ]

Todas estas opciones pueden combinarse como veremos en los ejemplos siguientes:

Untitled-1 31

Al comando Plot lo podemos completar con diversas opciones y con el comando PlotStyle que nos da distin-

tas posibilidades de elección como color, grosor,etc. Comencemos con las opciones:

†AspectRatioÆAutomatic : realiza el gráfico con la misma escala en ambos ejes.

†TicksÆ{{x1,x2,x3...},{y1, y2,....}}coloca etiquetas sobre los ejes.

†AxesLabelÆ{"Nombre sobre el eje x","Nombre sobre el eje y"} coloca nombres a los ejes

†AxesOrigin: corresponde al punto en donde queremos que considere la intersección de los ejes. El valor por

defecto es Automatic.

†GridLines: permite la incorporación de una cuadrícula según las marcas en los ejes consideradas.Automatic

incluye una línea para cada marca de tick.El valor por defecto es None.

†PlotRange: incluye el rango de coordenadas en el que queremos observar el gráfico. Automatic significa

que Mathematica®

mostrará el gráfico donde lo considera más interesante. Si sólo expresamos un intervalo,

será considerado sobre el eje y, de lo contrario (si queremos indicar el rango

en los dos ejes), debemos indicar dos intervalos.

Cuando nos referimos al carácter deseado hablamos de color, grosor de la línea, formas del trazo, etc. Por

ejemplo:

æPlotStyle ô{RGBColor[a,b,c]} Da color a los gráficos.Para usar esta opción deberán ir al menú

principal , oprimir Input, y luego Color Selector .

æPlotStyle ô{Thickness[m]} Da grosor a la curva, el mismo depende del valor asignado a "m".

El formato para estas opciones básicas y el PlotStyle es el siguiente (se pueden poner juntas)

Plot[f,{x,x1,x2},Opción ôValor]

Plot[f,{x,x1,x2}] , PlotStyleô{Carácter deseado} ]

Todas estas opciones pueden combinarse como veremos en los ejemplos siguientes:

Ejemplo 1 :

m[x_]:= Floor[x]

Plot@m@xD, 8x, −4, 4<D

üOBSERVACIÓN IMPORTANTE: los trazos verticales que aparecen no corresponden a la gráfica de esta

función. Esto sucede cuando la función tiene discontinuidades de salto finito. Ahora veremos algunas modifica -

ciones de esta gráfica e indicaremos qué cambios observamos en ella.

Ejemplo 2

Plot@m@xD, 8x, −4, 4<, AspectRatio −> AutomaticD

32 Untitled-1

Igualamos las escalas en los dos ejes

Ejemplo 3

Ahora cambiamos el grosor del gráfico

Plot[m[x],{x,-4,4},AspectRatio→Automatic,

PlotStyle→Thickness[0.03]]

Ejemplo 4

Agregamos cambio de color

Plot[m[x],{x,-4,4},AspectRatio→Automatic,

PlotStyle→{RGBColor[0, 1, 0],Thickness[0.03]}]

Ejemplo 5

Vamos a trabajar con la función valor absoluto y con algunas transformaciones y desplazamientos que pode-

mos realizarle. Además graficaremos varias funciones en un mismo par de ejes con el comando Plot como lo

hemos explicado anteriormente.

Clear[a]

a[x_]:=Abs[(x-4)]

Untitled-1 33

Plot[{a[x], a[x] + 4, a[x]*4, (-(1/4))*a[x], -8*a[x]},

{x, -3, 10}, PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1],

RGBColor[0, 0.501961, 0], RGBColor[1, 0, 0],

RGBColor[1, 0, 1], RGBColor[0.25098, 0.501961,

0.501961]}]

Observemos que graficamos cinco funciones y en PlotStyle indicamos cinco colores, uno por cada

función en el orden que las presentamos.

Ejemplo 6:

En este ejemplo graficamos una función y su asíntota horizontal con diferentes colores, indicamos el

intervalo sobre el eje y que queremos observar el comportamiento de nuestra función, dónde deseamos

la intersección de los ejes y ponemos etiquetas en los mismos. En este caso la función no fue definida

previamente.

PlotB:ã−

1

1+x , 1>, 8x, −3, 3<, PlotRange → 80, 3<, AxesOrigin → 80, 0<,

Ticks → ::−1, −1

2, 1, 2, 3, −2, −3>, : 1

ã, 1,

1

ã2>>, AxesLabel → 8"x", "y"<,

PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 1D, [email protected], 1, 0D<F

� Graphics �

Ejemplo 7:

En este ejemplo hacemos un gráfico con cuadrícula.

34 Untitled-1

Plot@Sin@xD, 8x, −Pi, Pi<, GridLines → Automatic, PlotStyle → RGBColor@1, 0, 0DD

� Graphics �

Observemos que la cuadrícula fue realizada en las marcas que Mathematica consideró en los ejes.

Si queremos que la realice en determinadas marcas lo debemos indicar:

Plot@Sin@xD, 8x, −Pi, Pi<,

GridLines → 88−Pi, −Pi ê 2, 0, Pi ê 2, Pi<, 8−1, −0.5, 0, 0.5, 1<<,

PlotStyle → RGBColor@1, 0, 0DD

� Graphics �

Si a su vez queremos que esta cuadrícula coincida con las marcas de los ejes, lo tenemos que agregar:

Untitled-1 35

Plot@Sin@xD, 8x, −Pi, Pi<,Ticks → 88−Pi, −Pi ê 2, 0, Pi ê 2, Pi<, 8−1, −0.5, 0, 0.5, 1<<,GridLines → 88−Pi, −Pi ê 2, 0, Pi ê 2, Pi<, 8−1, −0.5, 0, 0.5, 1<<,PlotStyle → RGBColor@1, 0, 0DD

� Graphics �

3.1.3 COMANDO : ParametricPlot

El comando Plot permite graficar curvas expresadas en forma explícita y sólo haciendo referencia al segundo

miembro de la expresión (por ejemplo: y = f(x))

Veremos un nuevo comando que permite hacer gráficos de funciones o curvas expresadas en forma

paramétrica. El comando se encuentra siguiendo la misma secuencia que para el Plot:

File-Palettes-BasicCalculations-Graphics

ParametricPlot[{É,É},{É,É,É}]

Ejemplo 1

Sea la curva definida por : : xHtL = cosHtL - cosH80 tL. senHtLyHtL = 2 senHtL - senH80 tL

La gráfica es:

36 Untitled-1

ParametricPlot@8Cos@ tD − Cos@80 tD Sin@tD, 2 Sin@tD − Sin@80 tD<, 8t, 0, 2 π<D

� Graphics �

Ejemplo 2

Podemos combinarlo con PlotStyle:

Sea la curva definida por : : xHtL = 3 cosHtLyHtL = 5 senHtL

La gráfica es:

ParametricPlot@83 Cos@tD, 5 Sin@tD<, 8t, −2 π, 2 π<,PlotStyle → RGBColor@1, 0, 0.501961DD

Ejemplo 3

Otra opción para ingresar el comando es la que mostramos en este ejemplo

x@t_D := 4 t − 3

y@t_D := t2

− 3

Untitled-1 37

ParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, −2 π, 2 π<D

-20 -10 10 20

10

20

30

3.1.4 COMANDO : ListPlot

Este comando permite hacer gráficas de puntos, donde podemos elegir tamaño y color de

los mismos. Alguna de las opciones para este comando son:

ListPlot[{a,b,c,...n}]

Dibuja en la posición 1 al valor de "a", en la posición 2 el valor de "b" y así sucesivamente.

ListPlot[ { {x1;y1< , 9x2; y2< , ... ... .. 9xn; yn< < EDibuja los pares ordenados indicados

Veamos ejemplos agregando un PlotStyle para cambiar el tamaño de los puntos y el color.

Ejemplo 1

ListPlot[{-6,2,4,10},PlotStyle→{PointSize[0.02]}]

� Graphics �

38 Untitled-1

Ejemplo 2

ListPlot[{{-3,4},{5,8}},PlotStyle→{PointSize[0.03],

RGBColor[1,0, 0.501961]}]

� Graphics �

ListPlot[ { {x1;y1< , 9x2; y2< , ... ... .. 9xn; yn< < , PlotJoined Ø TrueE Permite unir la lista de puntos mediante trazos rectos y en el orden que es dada, ejemplo:

Ejemplo 3

ListPlot[{{-3,4},{5,8},{3,-6},{-3,4}},PlotJoined→True,

PlotStyle→{PointSize[0.02],RGBColor[1, 0, 0.501961]}]

� Graphics �

Ejemplo 4

Untitled-1 39

ListPlot[{{-5,4},{-5,-4}},PlotJoined→True]

� Graphics �

3.1.5 COMANDO : Show

Este comando permite combinar diferentes gráficos, con distintos dominios de definición, cosa que no es

posible hacer con el comando Plot (en éste debemos dar un sólo intervalo para graficar todas las funciones

solicitadas) Para usarlo es necesario asignarle un nombre a cada instrucción de gráfico que realicemos,

debiéndose ejecutar cada una de ellas para luego usar el comando Show.

Ejemplo 1

Vamos a combinar dos gráficos que hicimos previamente con el comando Plot

graf1 = PlotAx3 − 2 x, 8x, −3, 3<,PlotStyle → RGBColor@0, 0.501961, 1DE

� Graphics �

40 Untitled-1

graf2 = PlotALogAx3 − 2 xE, 8x, 3 ê 2, 3<E

� Graphics �

Show[graf1,graf2]

� Graphics �

Ejemplo 2

Combinamos ahora dos gráficos que hicimos con el comando ParametricPlot

graf3 = ParametricPlot@8t − 3, 3 t + 8<,8t, −10, 10<, PlotStyle → [email protected], 0.501961, 1DD

graf4 =

ParametricPlot@8t + 2 Sin@2 tD, t + 2 Cos@5 tD<, 8t, −2 π, 2 π<D

Untitled-1 41

Show[graf3,graf4]

Ejemplo 3

También permite pegar gráficos generados por distintos comandos:

graf5 = ListPlot@880, −14<, 84, 20<<, PlotStyle → [email protected], RGBColor@0, 0, 1D<D

Show[graf1,graf4,graf5]

3.2 PAQUETE PARTICULAR

"Miscellaneous-RealOnly"

42 Untitled-1



Recomendamos que el lector lea las consideraciones generales en el capítulo de paquetes gráficos para

comprender mejor este punto.

Para poder hacer algunas gráficas de funciones irracionales, es necesario "cargar" un paquete.

De esta manera Mathematica nos muestra el comportamiento de la función en su dominio

(sino la considera siempre con dominio en reales no negativos).

Para ello oprimimos la siguiente secuencia :

Help- about Mathematica- Help- Add-ons&Links - Standard Packages-Miscellaneous-RealOnly .

Buscamos el paquete, lo copiamos desde la celda y luego le damos entrada con

SHIFT+ENTER.

Damos un ejemplo, primero realizaremos el gráfico sin haber cargado el paquete y luego habiéndolo cargado:

Ejemplo1:

PlotAx1ê3, 8x, −2, 2<E

� Graphics �

Needs["Miscellaneous`RealOnly`"]


� Graphics �

Ejemplo 2

PlotB x − 43

, 8x, −10, 14<F

Untitled-1 43

� Graphics �

3.3 EJERCICIOS

Ejercicio 1: definir la función f(x)=ln(x) Graficar en un mismo par de ejes y con distintos colores las siguientes

funciones:f(x), f(x+1); f(x-1);f(-x);-f(x). Observar los movimientos en el plano que se produjeron en dicha

función.

Ejercicio 2: dada g(x)=‰x, graficar en un mismo par de ejes g(x), »g(x)», g(»x»). Extraer conclusiones con

respecto al dominio, imagen y gráfico.

Ejercicio 3: elegir un intervalo donde podamos observar claramente el comportamiento de la función

sen(50x). Graficar usando las opciones estudiadas.

Ejercicio 4: estudiar el comportamiento de la familia de funciones m(x) = x3+a*x para diferentes valores del

parámetro a (Sugerencia: graficar la función para diferentes valores de a (positivos, negativos, nulo), con

distintos colores y grosores. Extraer conclusiones con respecto al gráficos y raíces)

Ejercicio 5: graficar la siguiente curva dada en forma paramétrica: x(t) = cos(pt), y(t)=sen(pt), con 1§ t § 2.

Describir el movimiento del punto (x,y) a medida que t varía en dicho intervalo.

Ejercicio 6: determinar gráficamente (usar comando Show) si los puntos P(3,3), Q(1,3) y R(2,-1), pertenecen

a la circunferencia de ecuación: x(t)= 2+cost; y(t) = 3+sent

Ejercicio 7: graficar la función definida por partes


x < 1

x ¥ 1

Ejercicio 8: Representar con el comando Plot[ ] juntas en una misma gráfica las funciones seno y coseno en

el intervalo [-2p,2p]. Utilizar las opciones apropiadas para que una de las funciones se represente en azul y

otra en rojo y que una tenga un grosor mayor que la otra. Utilizar la opción "PlotLegend" para rotular cada

gráfica con su nombre, y que ésta leyenda aparezca en el punto (0.5,0.5) y tenga un tamaño de 0.8 por 0.5.

Utilizar "AxesLabel" para etiquetar los ejes con "x" e "y". Colocar etiquetas y cuadrícula apropiada para poder

observar los valores principales que toman las dos funciones.

Ejercicio 9: las curvas con ecuaciones x(t) = a sen(nt), y(t) = b cost se llaman figuras de Lissajous. Investigar

cómo se modifican estas curvas al variar a, b y n(entero positivo)

Ejercicio 10

Determinar gráficamente si los siguientes sistemas tienen o no solución. Clasificarlos. Luego de leer el capí-

tulo 4 resolverlos en forma analítica.

a) : 2 y - 3 = x + 4

1

2x - y = 8

b) : 2 y = x2

+ 4

1

2x - y = 1

c) : y - 6 = x3

- 4

3

2x + y = 1

d) : y = x2

- 4 x

3

2x

2+ y = 1

Ejercicio 11: representar con el comando Plot[ ] juntas en una misma gráfica las funciones sen(2x) ,2.sen(x) y

sen(x) en el intervalo [-2p,2p]. Utilizar las opciones apropiadas para que cada una de ellas se represente en

verde , azul y rojo respectivamente y que además tengan diferente grosor. Utiliza la opción "PlotLabel" para

rotular la gráfica . Utilizar "AxesLabel" para etiquetar los ejes con "X" e "Y". Colocar cuadrícula apropiada

para poder observar los valores principales que toman las tres funciones. Explicar los cambios de una función

respecto de la otra

Ejercicio 12: representar con el comando Plot[ ] juntas en una misma gráfica las funciones cos(x), cos(x-p) y

cos(x)-p en el intervalo [-4p,4p]. Utilizar las opciones apropiadas para que cada una de ellas se represente en

verde,azul y rojo respectivamente. Utiliza la opción "PlotLabel" para rotular la gráfica . Utilizar "AxesLabel"

para etiquetar los ejes con "X" e "Y". Colocar etiquetas y cuadrícula apropiada para poder observar los valores

principales que toman las tres funciones.

Explicar los cambios de una función respecto de la otra

Ejercicio 13:

Explicar las transformaciones de los siguientes pares de funciones.

Graficar cada par usando el comando Show.

a) g(x)= ‰x h(x)=‰

-3 x-4 e) g(x)=ln(x) t(x)= ln»x+4»

b) g(x)= ‰x p(x)= -5‰

x+2 f) g(x)=sen(x) p(x)= sen(4x-p)

c) g(x)=ln(x) f(x)= »ln(x-2)» g) g(x)=cos (x) h(x)= -3cos(x)

d) g(x)=ln(x) f(x)= 4+ln(x)

44 Untitled-1

Ejercicio 1: definir la función f(x)=ln(x) Graficar en un mismo par de ejes y con distintos colores las siguientes

funciones:f(x), f(x+1); f(x-1);f(-x);-f(x). Observar los movimientos en el plano que se produjeron en dicha

función.

Ejercicio 2: dada g(x)=‰x, graficar en un mismo par de ejes g(x), »g(x)», g(»x»). Extraer conclusiones con

respecto al dominio, imagen y gráfico.

Ejercicio 3: elegir un intervalo donde podamos observar claramente el comportamiento de la función

sen(50x). Graficar usando las opciones estudiadas.

Ejercicio 4: estudiar el comportamiento de la familia de funciones m(x) = x3+a*x para diferentes valores del

parámetro a (Sugerencia: graficar la función para diferentes valores de a (positivos, negativos, nulo), con

distintos colores y grosores. Extraer conclusiones con respecto al gráficos y raíces)

Ejercicio 5: graficar la siguiente curva dada en forma paramétrica: x(t) = cos(pt), y(t)=sen(pt), con 1§ t § 2.

Describir el movimiento del punto (x,y) a medida que t varía en dicho intervalo.

Ejercicio 6: determinar gráficamente (usar comando Show) si los puntos P(3,3), Q(1,3) y R(2,-1), pertenecen

a la circunferencia de ecuación: x(t)= 2+cost; y(t) = 3+sent

Ejercicio 7: graficar la función definida por partes


x < 1

x ¥ 1

Ejercicio 8: Representar con el comando Plot[ ] juntas en una misma gráfica las funciones seno y coseno en

el intervalo [-2p,2p]. Utilizar las opciones apropiadas para que una de las funciones se represente en azul y

otra en rojo y que una tenga un grosor mayor que la otra. Utilizar la opción "PlotLegend" para rotular cada

gráfica con su nombre, y que ésta leyenda aparezca en el punto (0.5,0.5) y tenga un tamaño de 0.8 por 0.5.

Utilizar "AxesLabel" para etiquetar los ejes con "x" e "y". Colocar etiquetas y cuadrícula apropiada para poder

observar los valores principales que toman las dos funciones.

Ejercicio 9: las curvas con ecuaciones x(t) = a sen(nt), y(t) = b cost se llaman figuras de Lissajous. Investigar

cómo se modifican estas curvas al variar a, b y n(entero positivo)

Ejercicio 10

Determinar gráficamente si los siguientes sistemas tienen o no solución. Clasificarlos. Luego de leer el capí-

tulo 4 resolverlos en forma analítica.

a) : 2 y - 3 = x + 4

1

2x - y = 8

b) : 2 y = x2

+ 4

1

2x - y = 1

c) : y - 6 = x3

- 4

3

2x + y = 1

d) : y = x2

- 4 x

3

2x

2+ y = 1

Ejercicio 11: representar con el comando Plot[ ] juntas en una misma gráfica las funciones sen(2x) ,2.sen(x) y

sen(x) en el intervalo [-2p,2p]. Utilizar las opciones apropiadas para que cada una de ellas se represente en

verde , azul y rojo respectivamente y que además tengan diferente grosor. Utiliza la opción "PlotLabel" para

rotular la gráfica . Utilizar "AxesLabel" para etiquetar los ejes con "X" e "Y". Colocar cuadrícula apropiada

para poder observar los valores principales que toman las tres funciones. Explicar los cambios de una función

respecto de la otra

Ejercicio 12: representar con el comando Plot[ ] juntas en una misma gráfica las funciones cos(x), cos(x-p) y

cos(x)-p en el intervalo [-4p,4p]. Utilizar las opciones apropiadas para que cada una de ellas se represente en

verde,azul y rojo respectivamente. Utiliza la opción "PlotLabel" para rotular la gráfica . Utilizar "AxesLabel"

para etiquetar los ejes con "X" e "Y". Colocar etiquetas y cuadrícula apropiada para poder observar los valores

principales que toman las tres funciones.

Explicar los cambios de una función respecto de la otra

Ejercicio 13:

Explicar las transformaciones de los siguientes pares de funciones.

Graficar cada par usando el comando Show.

a) g(x)= ‰x h(x)=‰

-3 x-4 e) g(x)=ln(x) t(x)= ln»x+4»

b) g(x)= ‰x p(x)= -5‰

x+2 f) g(x)=sen(x) p(x)= sen(4x-p)

c) g(x)=ln(x) f(x)= »ln(x-2)» g) g(x)=cos (x) h(x)= -3cos(x)

d) g(x)=ln(x) f(x)= 4+ln(x)

Untitled-1 45

CAPÍTULO 4

ECUACIONES-SISTEMAS DE ECUACIONES-INECUACIONES

Uno de los principales problemas que se nos presentan en el estudio del Cálculo, es determinar el

dominio de funciones. En muchos casos necesitamos resolver ecuaciones e inecuaciones. En este

capítulo veremos algunos comandos que nos permiten realizar dicha acción.

4.1 ECUACIONES

4.1.1 COMANDO : Solve

Ecuaciones polinómicas

El comando que nos permite resolver ecuaciones tiene la siguiente estructura:

Solve[Ecuación, variable]

como observamos necesitamos identificar a la incógnita a despejar. También lo podemos ingresar a través de

los Palettes en la opción :

Basic Calculation - Algebra- Solving Equation. Hacemos click y obtenemos:

Solve[ÉäÉ, É],

que es la estructura anterior. Observemos con atención que se usa doble igualdad para escribir la ecuación.

Este comando resuelve ecuaciones polinómicas. Para otro tipo de ecuaciones existen otras formas de resolu-

ción. Sin embargo, en ciertos casos, el Solve resuelve ecuaciones no polinómicas pero Mathematica nos hace

ciertas advertencias como veremos a conti-nuación.

Ejemplo 1

SolveA−4 x + 4 x3

� 0, xE88x → −1<, 8x → 0<, 8x → 1<<Ejemplo 2

SolveAx2 − 3 x + 5 � 0, xE::x →

1

2

J3 − ä 11 N>, :x →1

2

J3 + ä 11 N>>Ejemplo 3

SolveAx + x7

− 3 � 0, xE99x → RootA−3 + ð1 + ð1

7&, 1E=, 9x → RootA−3 + ð1 + ð1

7&, 2E=,

9x → RootA−3 + ð1 + ð17&, 3E=, 9x → RootA−3 + ð1 + ð1

7&, 4E=,

9x → RootA−3 + ð1 + ð17&, 5E=, 9x → RootA−3 + ð1 + ð1

7&, 6E=, 9x → RootA−3 + ð1 + ð1

7&, 7E==

46 Untitled-1

Observemos que no se definen los resultados, pero Mathematica no hace advertencia alguna, en este caso

conviene usar el comando NSolve que explicaremos luego.

Ejemplo 4

SolveA−4 x + 4 x4

� 0, xE98x → 0<, 8x → 1<, 9x → −H−1L1ê3=, 9x → H−1L2ê3==Observamos que las últimas dos soluciones quedan expresadas sin resolverse (esto es debido a que

son números complejos). Esta situación nos da pie para considerar el comando NSolve que explicare-

mos más adelante (y retomaremos el ejemplo)

Ejemplo5: Mathematica expresa la solución en función de otras constantes que no necesariamente son

números (suponemos "b" distinta de cero)

SolveAb x3 − x � 0, xE:8x → 0<, :x → −

1

b

>, :x →1

b

>>

Ecuaciones no polinómicas

El comando Solve no es el adecuado para resolver ecuaciones que no son polinómicas, sin embargo analizare-

mos qué sucede si lo aplicamos en la resolución de alguna de ellas:

Ejemplo 6

Solve@Sin@xD − Cos@xD � 0, xDSolve::ifun: Inverse functions are being used by Solve

, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. More…

::x → −3 π

4

>, :x →π

4

>>Ejemplo 7

SolveB ãx + 4

3+ 3 ã

x� 6, xF

Solve::ifun: Inverse functions are being used by Solve


::x → LogB75

F>>Ejemplo 8

SolveBSin@xDTan@xD � 2 , xF

Solve::ifun: Inverse functions are being used by Solve


88x → −ArcCos@2D<, 8x → ArcCos@2D<<En los ejemplos 6, 7 y 8, vemos que el programa resuelve las ecuaciones pero nos hace una advertencia

informando que trabaja con funciones inversas y que pueden faltar soluciones. En el mismo mensaje nos

recomienda el uso del comando Reduce que explicaremos en breve. También podemos considerar la posibili-

dad de valernos de otras herramientas, como pueden ser los gráficos, para controlar la respuesta brindada

por el programa.

Untitled-1 47

En los ejemplos 6, 7 y 8, vemos que el programa resuelve las ecuaciones pero nos hace una advertencia

informando que trabaja con funciones inversas y que pueden faltar soluciones. En el mismo mensaje nos

recomienda el uso del comando Reduce que explicaremos en breve. También podemos considerar la posibili-

dad de valernos de otras herramientas, como pueden ser los gráficos, para controlar la respuesta brindada

por el programa.

En los ejemplos 9 y 10, a diferencia de los anteriores, el programa no da solución a la ecuación planteada:

Ejemplo 9

Solve@ Cos@xD − x � 1, xDSolve::tdep: The equations appear to involve the variables to be solved for in an essentially

non-algebraic way. More…

Solve[-x + Cos[x] == 1, x]

Ejemplo 10

Solve@ Tan@xD − x � 0, xDSolve::tdep: The equations appear to involve the variables to be solved for in an essentially


Solve[-x + Tan[x] == 0, x]

4.1.2 COMANDO : Reduce

La diferencia básica entre este comando y el Solve es que Reduce reconoce todas las posibles soluciones de

una ecuación.

Estos comandos no dan respuesta a todas las ecuaciones existiendo otros que utilizan soluciones numéricas,

por ejemplo NSolve

La estructura de Reduce es :

Reduce[Ecuación, variable]

Ejemplo 1

Resolveremos los ejemplos anteriores haciendo uso de Reduce, el lector podrá advertir la diferencia

Reduce@Sin@xD − Cos@xD � 0, xDC@1D ∈ Integers && Jx � −2 ArcTanB1 + 2 F + 2 π C@1D »» x � −2 ArcTanB1 − 2 F + 2 π C@1DN

ReduceB ãx + 4

3+ 3 ã

x� 6, xF

C@1D ∈ Integers && x � H2 äL π C@1D + LogB75

F

ReduceBSin@xDTan@xD � 2 , xF

C@1D ∈ Integers && Hx � −ArcCos@2D + 2 π C@1D »» x � ArcCos@2D + 2 π C@1DLEn estos tres casos el programa devuelve todas las posibles soluciones,en cambio veremos que los dos

siguientes siguen sin respuesta.

48 Untitled-1

Reduce@ Cos@xD − x � 1, xDReduce::nsmet: This system cannot be solved with the methods available to Reduce. More…

Reduce[-x + Cos[x] == 1, x]

Reduce@ Tan@xD − x � 0, xDReduce::nsmet: This system cannot be solved with the methods available to Reduce. More…

Reduce[-x + Tan[x] == 0, x]

4.1.3 COMANDO : NSolve

El NSolve da respuesta numérica a ciertas ecuaciones (en general polinómicas).

Para obtener soluciones de cualquier tipo de ecuación se necesitan métodos iterativos que no desarrollare-

mos en este cuadernillo.

Los dos formatos posibles del comando son:

NSolve[Ecuación, variable]

NSolve[Ecuación, variable,cantidad de dígitos para la solución]

Ejemplo 1

NSolveA−4 x + 4 x4

� 0, xENonreal::warning: Nonreal number encountered.

88x → Nonreal<, 8x → Nonreal<, 8x → 0.<, 8x → 1.<<Ejemplo 2

NSolveA−4 x + 4 x4

� 0, x, 3E98x → −0.500 − 0.866 ä<, 8x → −0.500 + 0.866 ä<, 9x → 0. × 10

−4=, 8x → 1.000<=Ejemplo 3

NSolveAx + x7

− 3 � 0, xENonreal::warning: Nonreal number encountered.

88x → Nonreal<, 8x → Nonreal<, 8x → Nonreal<, 8x → Nonreal<,8x → Nonreal<, 8x → Nonreal<, 8x → 1.0963308589205916<<

Ejemplo 4

NSolveAx + x7

− 3 � 0, x, 4E88x → −1.0929 − 0.5524 ä<, 8x → −1.0929 + 0.5524 ä<, 8x → −0.2066 − 1.1737 ä<,

8x → −0.2066 + 1.1737 ä<, 8x → 0.7514 − 0.8486 ä<, 8x → 0.7514 + 0.8486 ä<, 8x → 1.096<<Ejemplo 5

Untitled-1 49

NSolve@ Cos@xD − x � 1, xDSolve::tdep: The equations appear to involve the variables to be solved for in an essentially


NSolve[-x + Cos[x] == 1, x]

En este caso sigue sin respuesta la ecuación planteada,debemos utilizar otras formas de resolución que como

dijimos anteriormente no desarrollaremos en este texto.

4.2 SISTEMAS DE ECUACIONES

Sistemas de 2x2

Si deseamos resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, también utilizamos el comando

Solve con la siguiente estructura:

Solve[{Ecuación1, Ecuación 2},{variable1,variable2}]

Figura también en los palettes, en Basic Calculation - Algebra- Solving Equation, de donde obtenemos:

Solve[{ÉäÉ,ÉäÉ},{É,É}]

Ejemplo 1: Sistema compatible determinado (gráficamente, en este caso, representa en el plano dos rectas

que se cortan. Mathematica nos brinda el punto de intersección)

Solve[{x+4�y,-2 x-y�4},{x,y}]

::x → −8

3

, y →4

3

>>

Podemos visualizar lo obtenido en forma gráfica:

Plot@8x + 4, −2 x − 4<, 8x, −3, 0<, PlotRange → 88−3, 0<, 8−1 ê 3, 2<<,Ticks → 88−3, −8 ê 3, −7 ê 3, −2, −5 ê 3, −4 ê 3, −1, −2 ê 3, −1 ê 3, 0<,

8−1 ê 3, 0, 1 ê 3, 2 ê 3, 1, 4 ê 3, 5 ê 3, 2<<,PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 1D, RGBColor@1, 0, 0D<D

Ejemplo 2 Sistema incompatible (en este caso las ecuaciones representan dos rectas paralelas)

50 Untitled-1

Solve@8−5 x + 5 y � 4, y − x � 3<, 8x, y<D8<Gráficamente

Plot@8x + 4 ê 5, x + 3<, 8x, −3, 2<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 1D, RGBColor@1, 0, 0D<D

Ejemplo 3 Sistema compatible indeterminado (en esta caso las ecuaciones representan la misma recta)

Solve@8−2 x + 2 y � 6, y − x � 3<, 8x, y<DSolve::svars: Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…

88x → −3 + y<<Gráficamente

Plot@8x + 3, x + 3<, 8x, −3, 2<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 1D, RGBColor@1, 0, 0D<D

Ejemplo 4 Sistema no lineal (en este ejemplo buscamos la intersección entre una circunferencia y

una recta. Mathematica nos da resultados que son números complejos, por lo tanto concluímos que no

tienen intersección en el plano real)

SolveA9x2 + y2

� 4, y − x � 3=, 8x, y<E::x → −

3

2

−ä

2

, y →3

2

−ä

2

>, :x → −3

2

+ä

2

, y →3

2

+ä

2

>>

Ejemplo 5 Sistema no lineal

Untitled-1 51

SolveA9y � x2

+ 1, y − x3

� 1=, 8x, y<E88y → 1, x → 0<, 8y → 1, x → 0<, 8y → 2, x → 1<<Gráficamente

PlotA9x2 + 1, x3

+ 1=, 8x, −1.5, 2<, PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 1D, RGBColor@1, 0, 0D<E

Ejemplo 6: sistema no lineal, intersección entre dos parábolas:

SolveA9y � x2

− 4, 2 x2

+ 2 x + y � 1=, 8x, y<E:8y → −3, x → 1<, :y → −

11

9

, x → −5

3

>>Gráficamente

PlotA9x2 − 4, 1 − 2 x − 2 x2=, 8x, −4, 2<,

PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 1D, RGBColor@1, 0, 0D<E

� Graphics �

4.3 INECUACIONES

Paquete <<Algebra`InequalitySolve`.

Cuando tenemos que resolver inecuaciones, es necesario "cargar" un "paquete" (Packages) (situación

similar a la del paquete Real Only presentado en el capítulo 3 de gráficos) Como en la sección anterior,

debemos ir a

Help- about Mathematica- Help- Add-ons&Links - Standard Packages donde encontramos la informació n

de los diferentes paquetes preestablecidos. El que es necesario para resolver inecuaciones se denomina

<<Algebra`InequalitySolve`. Como indicamos anteriormente para cargar cualquier paquete es conveniente

copiarlo directamente desde el Help. Luego lo activamos como cualquier celda con "SHIFT + ENTER".

El comando para resolver inecuaciones es: InequalitySolve[Inecuación, variable]

Veamos los ejemplos:

52 Untitled-1

Cuando tenemos que resolver inecuaciones, es necesario "cargar" un "paquete" (Packages) (situación

similar a la del paquete Real Only presentado en el capítulo 3 de gráficos) Como en la sección anterior,

debemos ir a

Help- about Mathematica- Help- Add-ons&Links - Standard Packages donde encontramos la informació n

de los diferentes paquetes preestablecidos. El que es necesario para resolver inecuaciones se denomina

<<Algebra`InequalitySolve`. Como indicamos anteriormente para cargar cualquier paquete es conveniente

copiarlo directamente desde el Help. Luego lo activamos como cualquier celda con "SHIFT + ENTER".

El comando para resolver inecuaciones es: InequalitySolve[Inecuación, variable]

Veamos los ejemplos:

Ejemplo 1

<<Algebra`InequalitySolve`

InequalitySolve[(x-4) 5≥0,x]

x ≥ 4

Untitled-1 53

Ejemplo 2

InequalitySolveB x − 3

x2 − 5

< 0, xFx < − 5 »» 5 < x < 3

Ejemplo 3


Log@xD ≥ 0, xFInequalitySolve::npi: A nonpolynomial equation or inequality encountered. The

solution set may be incorrect.

0 < x < 1 »» x ≥ 3

El símbolo que corresponde a una disyunción lógica ("fi" ) es: || ( se lee "o" ), en los dos últimos casos está

representando la unión de dos intervalos. En la última inecuación se nos presenta una advertencia del pro-

grama (esto es debido a que la desigualdad no es polinómica). Como lo explicado para ecuaciones,en estas

situaciones conviene controlar las respuestas obtenidas, por ejemplo con gráficos.

También podemos pedir a Mathematica que encuentre la solución de un sistema de dos o más inecuaciones.

El símbolo que se utiliza en este caso es un doble &, que representa una conjunción lógica .

Ejemplo 4


x2 − 5

< 0 && x − 2 ≥ 0, xF5 < x < 3

Ejemplo 5

InequalitySolveBAbs@x − 3D >3

2&& x − 6 ≥ 0, xF

x ≥ 6

Ejemplo 6


x2 − 5

< 0 »» x − 2 ≥ 0, xFx < − 5 »» x ≥ 2

54 Untitled-1

4.4 EJERCICIOS

Ejercicio 1: dadas las siguientes funciones, calcular, usando el comando adecuado, el dominio de cada una.

a) f(x)=x

3-2 x+3

x3

-3 x+x2

b) g(x)=ln(x+4

x2

-1) h(x)=ln(x+4)-ln(x

2- 1) (recordar propiedad de los logaritmos y determinar si las dos

funciones son iguales o no)

c) m(x)=2 x+1

-1+x+2 x2

-3 x3

+x4

3

d) s(x)=ln»70+66x+29x2-39x

3-34x

4+3x

5+x

6»

e) t(x)= x2

+ 2 + x - 3 -2 x2

- 4

Ejercicio 2:hallar el valor de a para que las parábolas y = x2 , y = 2 x

2+ax+1 tengan intersección en un punto,

dos puntos o ningún punto. Graficar las distintas situaciones utilizando diferentes colores para cada una de las

funciones cuadráticas.

Ejercicio 3: realizar una representación gráfica de la solución del sistema de ecuaciones lineales

: x + 3 y = -1

x - y = 1 En dicha representación deben aparecer las dos rectas representadas por las ecuaciones y su

punto de intersección en rojo con tamaño apropiado.

Ejercicio 4: calcular la intersección entre las circunferencias: x2+y

2=1; Hx - 2L2

+Hy - 2L2=4. Expresar las

ecuaciones de dichas circunferencias en coordenadas paramétricas. Graficar ambas circunferencias y los

puntos de intersección en el mismo par de ejes, con dife-rentes colores (usar comando Show)

Ejercicio 5: hallar la a en función de b para que la ecuación ln(x+ a + x2

)=b tenga solución x = 1.

Ejercicio 6: ¿cuál de los comandos presentados es el más conveniente para resolver la ecuación x6+x+1=0?

Ejercicio 7: usando el comando Solve y los gráficos de las funciones intervinientes, hallar todas las solu-

ciones de senx*cosx=0

Ejercicio 8

El dominio de estas funciones fue calculado en el capítulo 2, determina ahora los intervalos de positividad y

negatividad de las mismas.Verifica graficamente la solución obtenida.

a)f(x)= x

2-3 x+6

x3

-2 x+4 b) g(x)=

x-1

x3

-1

c) h(x)= x+6

lnIx2-5M

p(x)= ln»x2-x

3+6» j(t)= t

3-2 t

t2

-3

Untitled-1 55

CAPÍTULO 5

ÁLGEBRA BÁSICA CON MATHEMATICA

Existen algunos comandos que nos permiten trabajar algebraicamente ciertas expresiones. En este

capítulo nos dedicaremos a los mismos.

5.1 OPCIONES DEL COMANDO : Expand

5.1.1 COMANDO : Expand

Este comando permite expresar una expresión algebraica entera (polinómica) como suma de monomios. Es

decir, aplica propiedad distributiva de la multiplicació n respecto a sumas y restas, agrupando términos seme-

jantes. Si la expresión algebraica es racional expresa el numerador como suma de monomios y distribuye el

denominador sin expandir. En las paletas lo encontramos de la siguiente manera:

File- Palettes- BasicCalculations-Algebra-PolynomialManipulation

Veamos ejemplos:

Ejemplo 1

ExpandAHx + 2 yL3E 3 2 2 3x + 6 x y + 12 x y + 8 y

Ejemplo 2

ExpandBx Hx + 2 yL − x2 Hx − 3L +

2

3x yF

4 x2

− x3

+8 x y

3

Ejemplo 3

ExpandAIx2 + y3

− 3M2+ Hx − yL3

− Hx − 2L5E 2 3 4 5 2 2 3 2 3 641 - 80 x + 74 x - 39 x + 11 x - x - 3 x y + 3 x y - 7 y + 2 x y + y

Ejemplo 4

ExpandB Hx + 2 yL3 + Ix + y2MHx + yL2

F 3 2 2 2 3 x x 6 x y y 12 x y 8 y-------- + -------- + -------- + -------- + -------- + --------------- ------- ------- ------- ------- ------- 2 2 2 2 2 2(x + y) (x + y) (x + y) (x + y) (x + y) (x + y)

Si se desea expandir también el denominador se usa ExpandAll. Veamos el ejemplo anterior con esta opción:

Ejemplo 5

56 Untitled-1

ExpandAllB Hx + 2 yL3 + Ix + y2MHx + yL2

F 3 2 2 2 3 x x 6 x y y 12 x y 8 y--------------- + --------------- + --------------- + --------------- + --------------- + ----------------------------- -------------- -------------- -------------- -------------- -------------- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x + 2 x y + y x + 2 x y + y x + 2 x y + y x + 2 x y + y x + 2 x y + y x + 2 x y + y

5.1.2 COMANDO : TrigExpand

Este comando permite expresar una expresión trigonométrica o hiperbólica en otra con argumentos más

sencillos. Lo encontramos en:

File- Palettes- BasicCalculations-Trigonometric and Exponential Functions

Ejemplo 1

TrigExpand@Cos@2 xDD 2 2Cos[x] - Sin[x]

Ejemplo 2

TrigExpand@Sin@2 xDD2 Cos[x] Sin[x]

Ejemplo 3

TrigExpand@Tan@2 xDD 2 Cos[x] Sin[x]--------------------------------- 2 2Cos[x] - Sin[x]

Ejemplo 4

TrigExpandB HCos@xD + Sin@xDL2

Cos@xD Sin@xD F2 + Csc[x] Sec[x]

Ejemplo 5

TrigExpand@Cosh@2 xDD 2 2Cosh[x] + Sinh[x]

Ejemplo 6

TrigExpand@Sinh@2 xDD2 Cosh[x] Sinh[x]

Ejemplo 7

Untitled-1 57

TrigExpand@Tanh@2 xDD 2 Cosh[x] Sinh[x]------------------------------------- 2 2Cosh[x] + Sinh[x]

Ejemplo 8

TrigExpandB HCosh@xD + Sinh@xDL2

Cosh@xD Sinh@xD F2 + Coth[x] + Tanh[x]

5.1.3 COMANDO : PowerExpand

A este comando lo debemos utilizar con ciertas precauciones. Aplica propiedades de los logaritmos y radi-

cales teniendo en cuenta que se trata de variables positivas

Lo encontramos en: File- Palettes- BasicCalculations-Álgebra-ComplexNumbers

Ejemplo 1

PowerExpandBLogB x − 4

Hx + 2L Hx − 3L2FF

Log@−4 + xD − 2 Log@−3 + xD − Log@2 + xDEjemplo 2

PowerExpandB x y4

y Fx y

5ê2

Ejemplo 3

PowerExpandB y4

x2 F

2x y

Observemos que las últimas expresiones son verdaderas si x e y son positivas

5.2 OPCIONES DEL COMANDO : Factor

5.2.1 COMANDO : Factor

Este comando nos permite factorear un polinomio dado (teniendo en cuenta raíces reales) o expresar como

producto una expresión algebraica entera.

Si las raíces son irracionales no siempre factorea. Lo encontramos en:

File- Palettes- BasicCalculations-Algebra-PolynomialManipulation

58 Untitled-1

Ejemplo 1

FactorAx3 + y3E

2 2(x + y) (x - x y + y )

Ejemplo 2

FactorAx3 − x + 3 x2

− 3E(-1 + x) (1 + x) (3 + x)

Ejemplo 3

FactorB−2 3 + 2 x − 3 x + x2F

−JJ 3 − xN H2 + xLNEjemplo 4

FactorA2 + 8 x + x2E

22 + 8 x + x

Ejemplo 5

FactorA−12 + x2E

2-12 + x

5.2.2 COMANDO : TrigFactor

Este comando permite expresar como producto expresiones con funciones trigonométricas. Lo encontramos

en:

File- Palettes- BasicCalculations-Trigonometric and Exponential Functions

Ejemplo 1

TrigFactor@Cos@ uD − Cos@tDD t u t u-2 Sinh[- - -] Sinh[- + -] 2 2 2 2

Ejemplo 2

TrigFactor@Sin@ uD − Sin@tDD t u t u-2 Cos[- + -] Sin[- - -] 2 2 2 2

Ejemplo 3

Untitled-1 59

TrigFactor@Cos@ uD + Cos@tDD t u t u2 Cos[- - -] Cos[- + -] 2 2 2 2

5-3 VERIFICACIÓN DE LA PARIDAD DE UNA FUNCIÓN

5.3.1 COMANDO : TrueQ

Para estudiar la paridad de una función contamos con el siguiente comando:

TrueQ [f[x]==f[-x]], el cual analiza si la igualdad planteada es verdadera o falsa.

Si es verdadera querrá decir que la función es par.

Si es falsa podemos estudiar si es impar colocando: TrueQ[f[x]==-f[-x]].

Si la respuesta es verdadera, la función es impar.

Si nuevamente es falsa, la función no tiene paridad definida.

Ejemplo 1

t@x_D := ex2

TrueQ@t@xD � t@−xDDTrue

Ejemplo 2

d@x_D := x3

+ 3 x

TrueQ@d@xD � d@−xDDFalse

TrueQ@d@xD � −d@−xDDTrue

5.3 COMANDO: Simplify

Simplifica una expresión teniendo en cuenta las reglas estándar.

Ejemplo 1

SimplifyBx2 + 2 x + 1

x3 + 1

F1 + x

1 − x + x2

Ejemplo 2

60 Untitled-1

SimplifyB 1

4 H−1 + xL −1

4 H1 + xL −1

2 I1 + x2M F1

−1 + x4

5.5 EJERCICIOS

Ejercicio 1: realizar las siguientes operaciones entre las funciones polinómicas dadas:

f(x) = H2 x - 1L2, g(x)=H-x + 3L3

, h(x)=H-4 x + 2L4. Utilizar el comando Expand para expresarlas como

suma de monomios

a) 2f(x)+g(x) b) g(x)-f(x)+h(x) c) h(x)*f(x)

Ejercicio 2: verificar, usando el comando TrigExpand, las siguientes identidades trigonométricas e hiperbóli-

cas:

a) sen(x+y)-sen(x-y)=2 cosx seny

b) Hsenx + cosxL 2 -sen(2x)=1

c) HChxL2-HShxL2

=1

Ejercicio 3: sean las funciones: f(x) = ln(Hx-1L2

x+1) y g(x) = 2ln(x-1)-ln(x+1). Aplicar el comando PowerExpand a

f(x) y observar el resultado. ¿Se verifica la igualdad entre f(x) y g(x)? Justificar.

Ejercicio 4: factorizar los siguientes polinomios y a partir del resultado establecer sus raíces:

a) P(x) = 16 + 20 x - 2 x2

- 6 x3 b) Q(x) = -32 + 72 x - 32 x

2+ 18 x

3- 54 x

5

c) R(x) =20 - 12 x - 3 x2

+ 22 x3

- 12 x4

- 3 x5

+ 2 x6

Ejercicio 5: estudiar la paridad de las siguientes funciones:

a) f(x) = 20 x - 7 x3 b) g(x) = -32 - 3 x

2 c) h(x) =

x3

-3 x5

x+1 d)

t(x) = ln(x+1

x-1N

e) m(x) = sen(2x)+sen(x)

Untitled-1 61

62 Untitled-1

CAPÍTULO 6

LÍMITES. CÁLCULO DIFERENCIAL

6.1 CÁLCULO DE LÍMITES

6.1.1 COMANDO : Limit

La estructura del comando es:

Limit[expresión algebraica,variableôvalor a donde tiende]

Este comando calcula el límite por derecha. Si queremos calcular los límites laterales procedemos de la

siguiente manera:

Limit[expresión algebraica,variableôvalor a donde tiende,Direction ô± 1]

Nota importante: +1 significa "por izquierda"

-1 significa "por derecha"

Es decir : limxÆa+ f HxL = Limit@f@xD, x Æ a, Direction Æ -1D

limxÆa- f HxL = Limit@f@xD, x Æ a, Direction Æ +1D

También este comando se halla en los palettes .....Secuencia :

Palettes--Basic Calculations--Calculus: Limit[É,ÉÆÉ]

Como en casos anteriores, haciendo click en los cuadraditos, completamos el comando. En caso de direc-

cionar el límite, deberemos agregarlo.

Ejemplo 1

Limit@ã−x, x → 3, Direction → +1D

1

ã3

Limit@ã−x, x → 3, Direction → −1D

1

ã3

En este caso podemos decir que existe el límite ya que coinciden los límites laterales y su valor es 1

ã3

Ejemplo 2

LimitBã

1

x , x → 0, Direction → +1F0

Untitled-1 63

LimitBã

1

x , x → 0, Direction → −1F∞

En este caso podemos decir que no existe el límite ya que los límites laterales son distintos.

Ejemplo 3

En el caso de límites de variable infinita, procedemos de la siguiente manera:

Limit@3x, x → +∞D∞

Limit@3x, x → −∞D0

Ejemplo 4

LimitB 2 x + 3 − 3

4 − 13 + x

, x → 3F

−8

3

Este es uno de los casos estudiados de indeterminació n, el cual Mathematica calcula sin inconvientes.

Ejemplo 5

Podemos trabajar también con constantes genéricas como en el ejemplo siguiente :

LimitBSin@x − bDx − b

, x → bF1

Ejemplo 6: límite de una función definida por partes (para poder calcularlo debemos definirla con el comando

If).En la versión 4.1 se calculan los límites pero nosotros debemos decirle al programa que rama tomar,

mientras que en versiones más avanzadas esto no sucede, él mismo identifica en que rama calcular.

u@x_D := IfAx < 1, 2 x, x2E

Limit@u@xD, x → −1D−2

Limit@u@xD, x → 4D16

Limit@u@xD, x → 1, Direction → −1D1

64 Untitled-1

Limit@u@xD, x → 1, Direction → +1D2

6.2 CÁLCULO DE DERIVADAS

6.2.1 Tres formas para derivar

Primera forma

Existen tres formas de derivar una función. Explicaremos ahora la más simple, que es la forma habitual de

escritura que usamos en clase. Para ello es necesario primero definir la función y luego utilizamos el

apóstrofe para que Mathematica nos brinde la derivada

Ejemplo 1

f[x_]:=Log[x]

f'[x]

1-x

Evaluamos la derivada en distintos puntos:

Ejemplo 2

f'[6]

1-6

Ejemplo 3

f'[ã]

1

ã

Para calcular las derivadas sucesivas procedemos así:

Ejemplo 4

f''[x]

−1

x2

Ejemplo 5

f'''[x]

2

x3

Untitled-1 65

Ejemplo 6

f''[6]

−1

36

Ejemplo 7

g@x_D :=x2 − 2 x

x3 + 1

g'@xD−

3 x2 I−2 x + x2MI1 + x3M2

+−2 + 2 x

1 + x3

Simplify@%D−2 + 2 x + 4 x3 − x4

I1 + x3M2

Ejemplo 8: derivada de una función definida por partes (para poder calcularlo debemos definirla con el

comando If). Esto si es posible en la versión 4.1 y otras

h@x_D := If@x > 2, Cos@xD ∗ Log@xD, 1 ê xDh'@xDIfBx > 2, −Log@xD Sin@xD +

Cos@xDx

, −1

x2F

En estos casos debemos tener cuidado ya que no calcula las derivadas laterales en el punto de cambio de la

definición (para nosotros x=2)

Segunda forma

Existe una segunda manera de calcular derivadas usando el operador :

∂É É que encontramos en los palettes con la secuencia :

Palettes -- Basic Calculations--Calculus : ∑Ñ Ñ.

En el subíndice colocamos la variable de derivación y en el cuadradito la expresión algebraica a derivar .La

ventaja de esta forma de derivar es que no es necesario definir la función.

Ejemplo 9

∂x 2 x3

21ê3

3 x2ê3

Ejemplo 10

66 Untitled-1

∂t

Sin@tDt3 − 3 t

Cos@tD−3 t + t3

−

I−3 + 3 t2M Sin@tDI−3 t + t3M2

Si queremos simplificar la expresión anterior se puede usar el símbolo de % para hacer referencia a la última

salida obtenida.

Simplify@%Dt I−3 + t2M Cos@tD − 3 I−1 + t2M Sin@tD

t2 I−3 + t2M2

Si queremos evaluarla en un punto la sintaxis es : ∂É É /."variable"Ævalor

Ejemplo 11

∂x 2 x3 ê. x → 2

1

3 × 21ê3

Ejemplo 12

∂t

Sin@tDt3 − 3 t

ê. t → 4

Cos@4D52

−45 Sin@4D

2704

Tercera forma

Para derivar Mathematica utiliza el comando : "D". Cuando necesitemos calcular la de-rivada de una función

debemos especificar la función y también con respecto a qué

variable derivamos. Así, si deseamos derivar f(x) la expresión será :D[f[x],x]

Para producir la derivada n - ésima de una función dada, podemos utilizar el operador D con la siguiente

instrucción adicional:D[f[x],{x,n}]

Ejemplo 13

Definimos una nueva función, esta vez por ramas

v@x_D := If@x < 0, 2, If@x < 1, −3 + x, Log @xDDDD[v[x],x]

IfBx < 0, 0, IfBx < 1, 1,1

x

FFEjemplo 14: Recordar la función f(x) que definimos anteriormente:

D[f[x],x]

1-x

Untitled-1 67

Calculemos la derivada cuarta de f(x) :

D[f[x],{x,4}]

−6

x4

Y finalmente, para evaluarla en un punto, procedemos como en la segunda forma ya explicada.

D[f[x],{x,4}]/.x→2

−3

8

6.3 EJERCICIOS

Ejercicio 1: calcular los siguientes límites indeterminados:

a) limxØ1

x3

-1

x -1

b) limxØ¶K 2 x-3

5-2 xNx-4

c) limxØ1[1

x-1-

2

x2

-1]

d) limxØ+¶

x3

-4 x+0.5 x2

x -3 x2

+1 e) limxØ0

senH2 xL-x cosx

tgH3 xL+2 x cosx f) limxØ+¶arctgIx4

-x2)

g) limxØ0[1

x-

1

x] h) limxØ+¶ H x

2+ 3 x + 1 -x)

Ejercicio 2: calcular las asíntotas de las siguientes funciones:

a) f(x) = x

2-1

x2

-3 x+2 b) h HxL =

3

2J x

x-1N

2

3 c) d(x)= x+x

7-3

-3 x+4 x6

d) z(x)= x2

x2−1

e) p(x)= °x †3-x

2+2

x °x °-x2

+x+1

Graficar en un mismo par de ejes la función y sus asíntotas con diferentes colores. Si existe discontinuidad

evitable marcarla con un punto.Calcular si es que existe intersección entre la asíntota y el gráfico.

Ejercicio 3: calcular las asíntotas a la función f(x) = e

x

x. Graficar en un mismo par de ejes la función y sus

asíntotas con diferentes colores.

Ejercicio 4: estudiar las discontinuidades de la función definida por partes:

v(x) = :2 ê Hx + 1L

lnHx + 3L3 x ê Hx - 1L

x < 0

0 § x < 1

x ¥ 1

Calcular sus asíntotas y graficar.

Ejercicio 5 : Definir las funciones f HxL = ln HxL, g HxL = x2

- 1

aM A partir de ellas definir la función : u HxL = f HxL + g HxL, para la que se pide lo siguiente :

gráfico usando una escala de 1.2 en los ejes y que se vea entre

-.1 < x < 10 - 10 < y < 50 , determinacón del dominio e imagen,

analisis de la paridad Hsi correspondeL, análisis de la continuidad ,

clasificando las discontinuidades si es que hay alguna. determinació n

de las asíntotas verticales, horizontales y ê uoblicuas. Justificar todos los análisis realizados

bM Repetir el procedimiento con la función :

t HxL = f H g HxLL, considerando que debe usarse el comando Show en el gráfico.

cL Realizar el mismo anális para la función :

=

68 Untitled-1

r HxL =

x

f HxL si x > 0

g HxL si x § 0

haciendo que el gráfico se vea entre - 10 < x < 10 - 5 < y < 10

Ejercicio 6: calcular las derivadas de las siguientes funciones:

a) y = x

3

-1

x b) f HxL = senI2 x - 3Lx-4

c) gHxL =1

x-1* arcsen(2x

3- 5M d) h(x) = x

3

-2

3tg(x)*2

x

Ejercicio 7: calcular, aplicando la definición, la derivada de f(x) = 1

x2. Hallar la recta tangente a la función en

el punto (-1,1). Graficar la función y la recta utilizando distintos colores. Demostrar, usando Mathematica, que

la recta tangente a cualquier punto de la curva posee dos puntos de intersección con el gráfico de la misma.

(Sugerencia: plantear una tangente genérica y utilizar el comando Solve para hallar la intersección pedida)

Ejercicio 8: realizar un estudio completo de las siguientes funciones:

a) f(x)=x4ê5Hx - 4L2

b) g(x)= x

3-3 x+2

x2

-x+4 c) h HxL = x

2+

54

x

d) p HxL = x ‰-x

2

eL j HxL = 6 x2

- x33

En cada caso determinar: dominio, imagen, intervalos

de positividad y negatividad, paridad, asíntotas, puntos críticos, máximos y mínimos, intervalos de crecimiento

y de decrecimiento, puntos de inflexión, intervalos de concavidad positiva y negativa, gráfico.

Ejercicio 9: encontrar la aproximación lineal para la función y = x en a = 1.

Usarla para hallar aproximaciones de los números: 0.99 , 1.01 y 1.05

¿estas estimaciones son en exceso o en defecto?

Ejercicio 10: calcular la recta tangente a la elipse: x

2

9+

y2

36 = 1 en el punto (-1,4 2 ),

graficar la curva, la recta y el punto en diferentes colores.

(Sugerencia: escribir la ecuación como curva paramétrica y luego realizar el ejercicio)

Untitled-1 69

70 Untitled-1

CAPÍTULO 7

PAQUETES GRÁFICOS

7.1 GENERALIDADES ACERCA DE LOS PAQUETES

DEL MATHEMATICA

A medida que las versiones del programa fueron avanzando, también lo han hecho la cantidad de paquetes.

Aquí daremos a conocer algunos paquetes gráficos. El lector puede profundizar su estudio a través de la

ayuda que proporciona el programa. Es necesario tener en cuenta algunas advertencias al momento de

"cargar cualquier paquete", puntua-lizamos algunas de ellas:

El paquete siempre debe cargarse antes de ejecutar el comando correspondiente.

Siempre debe "copiarse" del help, ya que los carácteres con los que está programado así lo requieren. Si se

copia de un documento anterior no funcionará .

Observar el corchete que señala la celda a la que pertenece el paquete,al momento de ejecutarla el mismo se

"rellena de color" por unos instantes.

Si a la hora de ejecutar la celda con el comando, éste no responde se puede proceder de dos formas distin-

tas:

a) Tipear Remove[ "nombre del paquete que no funcionó"] y

ejecutar.Luego volver a cargar el paquete.Ejemplo :Remove[InequalitySolve]

b) Cerrar el programa y volver a comenzar.

Cada vez que se abre un archivo, se deberán ejecutar nuevamente los paquetes activados anteriormente.

La forma de acceder a ellos es a través de la siguiente secuencia:

Help- About Mathematica-Help-Add-ons & Links-Standard Packages

En nuestro caso, ya que veremos paquetes graficos, la secuencia anterior la completamos con Graphics.

7.2 PAQUETE GRÁFICO: ANIMACIÓN

7.2.1 COMANDO : Animate

El paquete <<Graphics`Animation` genera un secuencia de gráficos simulando una animación, si movemos

la pantalla en forma rápida.

La secuencia es: HELP-ABOUT MATHEMATICA-HELP-Add-ons&Links-STANDARD PACKAGES-GRAPH-

ICS-ANIMATION

El comando que se utiliza para generar este efecto es : Animate, cuya sintaxis es:

Animate[Comando gráfico,{n,n min,n max,incremento}]

Ejemplo 1

Con el comando Plot

<<Graphics`Animation`

Animate@Plot@2 Sin@2 xD, 8x, 0, n π<D, 8n, 1, 2, 1 ê 2<D

Untitled-1 71

Ejemplo 2

Con el comando ParemetricPlot

Animate@ParametricPlot@8t Cos@3 tD, t Sin@tD<, 8t, −π, n π<D, 8n, 1 ê 2, 2, 1 ê 2<D

72 Untitled-1

7.3 GRÁFICOS DE CURVAS EN FORMA IMPLÍCITA

7.3.1 COMANDO : ImplicitPlot

Cuando la curva viene dada en forma implícita no puede graficarse con ninguna de las opciones vistas

anteriormente.

Es necesario recurrir al paquete: << Graphics`ImplicitPlot` .

La estructura del comando es:

ImplicitPlot ["expresión algebraica de la curva en forma implícita",

{variable, rango de la variable }].

Veamos ejemplos.

Ejemplo 1

Gráfica de una hipérbola

<< Graphics`ImplicitPlot`

ImplicitPlotBx2

4−

Hy − 4L2

9� 1, 8x, −4, 4<F

� Graphics �

Con este comando también se puede utilizar el PlotStyle, como así también las diferentes opciones expli-

cadas anteriormente.

Ejemplo 2

La gráfica anterior con cambio de color

Untitled-1 73

Ejemplo 2


ImplicitPlotBx2

4−

Hy − 4L2

9� 1, 8x, −6, 6<, PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0.501961D<F

� Graphics �

Ejemplo 3

La gráfica anterior con cambio de grosor

graf1 = ImplicitPlotBx2

4−

Hy − 4L2

9� 1, 8x, −6, 6<, PlotStyle → [email protected]<F

� Graphics �

Podemos, también, a través del Show combinar comandos gráficos.

Ejemplo 4

Graficaremos las asíntotas de la hipérbola anterior.

74 Untitled-1

graf2 = PlotB:32x + 4, −

3

2x + 4>, 8x, −8, 8<,

PlotStyle → [email protected]<D, RGBColor@0, 0.501961, 1D<,[email protected]<D, RGBColor@0, 0.501961, 1D<<F

� Graphics �

Show[graf1,graf2]

� Graphics �

Ejemplo 5

Gráfica de una cónica no reconocida en forma inmediata

ImplicitPlotAx2 − 3 x + 6 − Hy − 1L2� 2, 8x, −6, 10<E

� Graphics �

Untitled-1 75

También el comando ImplicitPlot permite graficar conjuntamente varias curvas

Ejemplo 6

Gráfica de dos curvas juntas la primera en color y la segunda punteada.

ImplicitPlotA9x2 + Hy − 1L2� 2, x

2+ y

2� x + y + 6=, 8x, −10, 24<,

PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0.501961D, [email protected]<D<E

� Graphics �

Ejemplo 7

Gráfica de dos curvas juntas con características para cada una de ellas.

ImplicitPlotB: Hx + 5L2

6+ Hy − 1L2

� 2, x2

+ y2

� 2 x − y + 1>,8x, −10, 24<, PlotStyle → 88RGBColor@0, 0.501961, 1D, [email protected]<,

[email protected], 0.501961, 0.501961D, [email protected]<D<<F

� Graphics �

7.4 GRÁFICOS CON REFERENCIAS

7.4.1 COMANDO : PlotLegend

Muchas veces es necesario escribir leyendas en un gráfico. Mathematica permite escribir etiquetas de dos

formas diferentes, explicaremos sólo una asociada con el comando Plot ,donde el programa incorpora una

etiqueta para cada una de las curvas indicadas en el Plot.Para ello necesitamos cargar el paquete :

<< Graphics`Legend`

Si sólo hacemos referencia a la incorporación de la leyenda, tipeamos :

PlotLegend Æ {"Referencia 1 ", "Referencia 2"}.

En este caso, como observaremos en el ejemplo 2-1, el programa inserta la leyenda en el ángulo izquierdo y

con un tamaño que es determinado por el programa.

76 Untitled-1

Ejemplo 1

Plot[{Sin[x], Abs[x-2]},{x, -2 Pi, 2 Pi},

PlotStyle →{RGBColor[0, 0, 1], Dashing[{.01}]},

PlotLegend → {"Sen(x)", "»x-2»"}]

� Graphics �

Si deseamos cambiar la posición de la leyenda y su tamaño se expresa así:

LegendPosition Ø{ , } LegendSizeØ{ , }

Ejemplo 2

Ejemplo con dos funciones


PlotStyle →{RGBColor[0, 0, 1], Dashing[{.01}]},

LegendPosition→{1.1,0.2},

LegendSize→{1.6,0.8},


� Graphics �

Untitled-1 77

Ejemplo 3

Ejemplo con tres funciones

Plot[{Sin[x]+2,2 Sin[x],Log[x+4]},{x, -2 π, 2 π},

PlotStyle →{RGBColor[0, 0, 1], Dashing[{.02}],Thickness[0.02]},



PlotLegend → {"Sen(x)+2", "2Sen x","ln(x+4)"}]

� Graphics �

Si deseamos cambiar el estilo del fondo de la leyenda incorporamos:

LegendBackgroundÆColor

78 Untitled-1

Ejemplo 4

Ejemplo con funciones hiperbólicas.

Plot@8Cosh@xD, Tanh@xD<, 8x, − π, π<,PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0.501961D, [email protected]<D<,LegendPosition → 81.1, 0.2<,LegendSize → 81.6, 0.8<,LegendBackground → [email protected],PlotLegend → 8"coshHxL", "tghHxL"<D

� Graphics �

Existen otras posibilidades de modificació n a las etiquetas pero nos limitamos a las explicadas.

7.5 GRÁFICOS SOMBREADOS

7.5.1 COMANDO : FilledPlot

El paquete correspondiente es:

<< Graphics`FilledPlot`

La estructura del comando puede tener diversas formas,explicaremos dos variantes:

FilledPlot ["expresión algebraica de la función", {variable, rango de la variable }]

En este caso grafica la función y sombrea el espacio comprendido entre la misma y el eje horizontal

FilledPlot [{"expresión algebraica de la función1", "expresión algebraica de la función2"},{variable,

rango de la variable }]

En este caso sombrea la región que queda determinada entre las funciones.

Untitled-1 79

Ejemplo 1

FilledPlot@Log@x + 6D, 8x, −6, 6<D

� Graphics �

Ejemplo 2

En este caso definiremos primero la función g(x)=x+5 x2−4

x2−1, cuyo dominio es R-{1;-1}, con una asíntota vertical

en x=1 y asíntota horizontal y=5.Presenta a su vez una discontinuidad esencial de salto infinito en x=1 y una

discontinuidad evitable en x=-1.Sin embargo esto no es impedimento para que el programa arroje la gráfica

sombreada.

g@x_D :=x + 5 x2 − 4

x2 − 1

FilledPlot@g@xD, 8x, −13, 13<D

� Graphics �

Ejemplo 3

Ahora veremos entre dos curvas.

80 Untitled-1

FilledPlotA9−x2

+ 6 x + 3, Abs@x − 4D=, 8x, −5, 8<E

� Graphics �

FilledPlotA9Sin@xD, −6 x2

+ 2=, 8x, −6, 6<E

� Graphics �

7.6 GRÁFICOS DE EXPRESIONES CON INECUACIONES

7.6.1 COMANDO : InequalityPlot

El paquete correspondiente es: <<Graphics`InequalityGraphics`

La estructura del comando:

InequalityPlot ["Inecuación", {x,xmín, x máx },{y,y mín, y máx }]

En este caso grafica la relación expresada por la inecuación dada

InequalityPlot ["Inecuación1"fl"Inecuación2", {x,xmín, x máx },{y,y mín, y máx }]

En este caso grafica la relación que resulta de la intersección entre los conjuntos solución de ambas inecua-

ciones ( pueden ser incluso más de dos)

InequalityPlot ["Inecuación1"fi"Inecuación2", {x,xmín, x máx },{y,y mín, y máx }]

En este caso grafica la relación que resulta de la unión entre los conjuntos solución de ambas inecuaciones (

pueden ser incluso más de dos)

Ejemplo 1

Gráfico con una sola inecuación.

Untitled-1 81

InequalityPlotBx2

3+ y

2< 6, 8x, −6, 6<, 8y, −4, 4<F

Ejemplo 2

Gráfico donde se pide una intersección entre dos inecuaciones

InequalityPlotAy < x Ï y > x2, 8x, −6, 12<, 8y, −10, 4<E

-Graphics-

Ejemplo 3

Gráfico donde se pide una unión entre dos inecuaciones

InequalityPlotAy < x Í y > x2, 8x, −6, 12<, 8y, −10, 4<E

-Graphics-

Ejemplo 4

Otra forma de expresar la intersección entre las inecuaciones.

82 Untitled-1

InequalityPlot@Abs@x − 4D < 6 && Abs@y + 3D > 2, 8x, −6, 12<, 8y, −10, 4<D

7.7 EJERCICIOS

Ejercicio 1:.graficar las siguientes curvas dadas en forma implícita:

a) y2=x

3(2-x) (piriforme)

b) x2ê3

+ y2ê3

= 4 HastroideL

c) x

2

16-

y2

9= 1 (hipérbola)

Ejercicio 2: graficar las siguientes relaciones en R2. Dar el dominio e imagen de cada una:

a) A = {(x,y) œ√2/ »x+3»§4 Ô y - 2 > 5<

b) B = {(x,y) œ√2/ »x+3»§4 Ó y - 2 > 5<

c) C = {(x,y) œ√2/ x

2 + y

2§ 4 Ô y < 1<

Ejercicio 3: graficar el área encerrada por las siguientes curvas

a) :arctgx

x = 4

y = 0

b) :y = x

2

y = x - 2

y = x + 2

c) :y = 5

y = ‰-x

y = ‰x

Untitled-1 83

PARTE 2

VERSIONES 6.0 Y 7.0

84 Untitled-1

Untitled-1 85

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN AL PROGRAMA

1.1 COMIENZO DE USO DEL PROGRAMA

Al abrir el programa podemos ver una ventana como la siguiente :

Versión 6.0 Versión 7.0

1.2 LOS NOTEBOOKS ( Cuadernos )

Igual que en versiones anteriores

1.3 CELDAS QUE UTILIZA EL PROGRAMA


1.4 PALETTES

Para escribir expresiones algebraicas, símbolos matemáticos, cálculos o recordar la sentencia de algunos

comandos, utilizamos los PALETTES.

En esta versiones se encuentran en la barra del menú principal con el nombre Palletes. Aquí encontramos

las siguientes:

Versión 6.0

86 Untitled-1

AlgebraicManipulation BasicInput

Versión 7.0

Basic Math Assistant Classroom Assistant Writing Assistant

1.5 AYUDA DEL PROGRAMA

En la barra del menú principal está el menú de ayuda: Help. Dentro del mismo clickeamos Document Center

y obtenemos:

Versión 6.0 Versión 7.0

Untitled-1 87

1.6 COMIENZO DE UNA SESIÓN DE TRABAJO


1.7 IMPORTANCIA DE LA SINTAXIS


1.8 INGRESO DE DATOS Y OBTENCIÓN DE RESULTADOS


1.9 MATHEMATICA COMO CALCULADORA




1.11 VARIABLES


88 Untitled-1

Untitled-1 89

CAPÍTULO 2

FUNCIONES BÁSICAS

2.1 SINTAXIS PARA FUNCIONES


2.2 DEFINICIÓN DE FUNCIONES


2.3 DEFINICIÓN DE FUNCIONES POR RAMAS


90 Untitled-1

Untitled-1 91

CAPÍTULO 3

GRÁFICOS BIDIMENSIONALES

3.1 COMANDOS BÁSICOS DE GRÁFICO

3.1.1 COMANDO : Plot


3.1.2 COMANDO : PlotStyle y opciones de gráfico

Aqui se muestran las diferencias con respecto a la versión anterior.

Ejemplo 1 :

m[x_]:= Floor[x]

Plot@m@xD, 8x, −4, 4<D

-4 -2 2 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

üOBSERVACIÓN IMPORTANTE: en estas versiones ya no se visualizan los trazos verticales.

Ejemplo 2

92 Untitled-1

Plot@m@xD, 8x, −4, 4<, AspectRatio −> AutomaticD

-4 -2 2 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

Igualamos las escalas en los dos ejes

Ejemplo 3

Ahora cambiamos el grosor del gráfico

Plot[m[x],{x,-4,4},AspectRatio→Automatic,PlotStyle→Thickness[0.03]]

-4 -2 2 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

Ejemplo 4

Agregamos cambio de color

Untitled-1 93

Plot[m[x],{x,-4,4},AspectRatio→Automatic,PlotStyle→{Green,Thickness[0.03]}]

-4 -2 2 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

Ejemplo 5

Vamos a trabajar con la función valor absoluto y con las transformaciones y desplazamientos que podemos

realizarle. Además graficaremos varias funciones en un mismo par de ejes con el comando Plot como lo

hemos explicado anteriormente.

Clear[a]

a[x_]:=Abs[(x-4)]

Plot[{a[x], a[x] + 4, a[x]*4, (-(1/4))*a[x], -8*a[x]},

{x, -3, 10}, PlotStyle -> {Red, Green, Blue, Orange, Brown}]

-2 2 4 6 8 10

-30

-20

-10

10

20

Observemos que graficamos cinco funciones y en PlotStyle indicamos cinco colores, uno por cada función en

el orden que las presentamos.

Ejemplo 6:

En este ejemplo graficamos una función y su asíntota horizontal con diferentes colores, indicamos el intervalo

sobre el eje y que queremos observar el comportamiento de nuestra función, dónde deseamos la intersección

de los ejes y ponemos etiquetas en los mismos. En este caso la función no fue definida previamente.

94 Untitled-1

Ejemplo 6:

En este ejemplo graficamos una función y su asíntota horizontal con diferentes colores, indicamos el intervalo

sobre el eje y que queremos observar el comportamiento de nuestra función, dónde deseamos la intersección

de los ejes y ponemos etiquetas en los mismos. En este caso la función no fue definida previamente.

PlotB:ã−

1

1+x , 1>, 8x, −3, 3<, PlotRange → 88−2, 3<, 8−.5, 2<<,AxesOrigin → 80, 0<, Ticks → ::−1, −

1

2, 1, 2, 3, −2, −3>, :1

ã, 1,

1

ã2>>,

AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotStyle → 8Blue, Green<F

-1 -1

21 2 3-2

x

1

‰

1

y

Ejemplo 7:

En este ejemplo hacemos un gráfico con cuadrícula.

Plot@Sin@xD, 8x, −Pi, Pi<, GridLines → Automatic, PlotStyle → RedD

-3 -2 -1 1 2 3

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Observemos que la cuadrícula fue realizada en las marcas que Mathematica consideró en los ejes. Si quere-

mos que la realice en determinadas marcas lo debemos indicar:

Plot@Sin@xD, 8x, −Pi, Pi<,

GridLines → 88−Pi, −Pi ê 2, 0, Pi ê 2, Pi<, 8−1, −0.5, 0, 0.5, 1<<, PlotStyle → RedD

-3 -2 -1 1 2 3

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Si a su vez queremos que esta cuadrícula coincida con las marcas de los ejes:

Untitled-1 95

Plot@Sin@xD, 8x, −Pi, Pi<, Ticks → 88−Pi, −Pi ê 2, 0, Pi ê 2, Pi<, 8−1, −0.5, 0, 0.5, 1<<,

GridLines → 88−Pi, −Pi ê 2, 0, Pi ê 2, Pi<, 8−1, −0.5, 0, 0.5, 1<<, PlotStyle → RedD

-p -p

2

p

2

p

-1

-0.5

0.5

1

3.1.3 COMANDO : ParametricPlot

El comando Plot permite graficar curvas expresadas en forma explícita y sólo haciendo referencia al segundo

miembro de la expresión

(por ejemplo: y = f(x))

Veremos un nuevo comando que permite hacer gráficos de funciones o curvas expresadas en forma

paramétrica.

El comando se encuentra siguiendo la misma secuencia que para el Plot:

File-Palettes-BasicCalculations-Graphics

ParametricPlot[{É,É},{É,É,É}]

Ejemplo 1

Sea la curva definida por : : xHtL = cosHtL - cosH80 tL. senHtLyHtL = 2 senHtL - senH80 tL

La gráfica es:

ParametricPlot@8Cos@ tD − Cos@80 tD Sin@tD, 2 Sin@tD − Sin@80 tD<, 8t, 0, 2 π<D

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-3

-2

-1

1

2

3

96 Untitled-1

Ejemplo 2

Podemos combinarlo con PlotStyle:

Sea la curva definida por : : xHtL = 3 cosHtLyHtL = 5 senHtL

La gráfica es:

ParametricPlot@83 Cos@tD, 5 Sin@tD<, 8t, −2 π, 2 π<,PlotStyle → PinkD

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-2

2

4

Ejemplo 3

Otra opción para ingresar el comando es la que mostramos en este ejemplo

x@t_D := 4 t − 3

y@t_D := t2

− 3

ParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, −2 π, 2 π<D

-20 -10 10 20

10

20

30

3.1.4 COMANDO : ListPlot


Untitled-1 97


3.1.5 COMANDO : Show




En esta versión no es necesario cargar este paquete, los gráficos se presentan correctamente al accionar el

comando Plot.

Ejemplo1:


-2 -1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

98 Untitled-1

CAPÍTULO 4

ECUACIONES-SISTEMAS DE ECUACIONES-INECUACIONES

Uno de los principales problemas que se nos presentan en el estudio del Cálculo, es determinar el dominio de

funciones. En muchos casos necesitamos resolver ecuaciones e inecuaciones. En este capítulo veremos

algunos comandos que nos permiten realizar dicha acción.

4.1 ECUACIONES

4.1.1 COMANDO : Solve


4.1.2 COMANDO : Reduce


4.1.3 COMANDO : NSolve


4.2 SISTEMAS DE ECUACIONES


4.3 INECUACIONES

En estas versiones no es necesario cargar ningún paquete. Todas las inecuaciones se resuelven con el

comando Reduce.

Ejemplo 1

Reduce[(x-4) 5≥0,x]

x ≥ 4

Ejemplo 2

Untitled-1 99

ReduceB x − 3

x2 − 5

< 0, xFx < − 5 »» 5 < x < 3

Ejemplo 3

ReduceB x − 3

Log@xD ≥ 0, xF0 < x < 1 »» x � 3 »» x > 3

El símbolo que corresponde a una disyunción lógica ("fi" ) es: || ( se lee "o" ), en los dos últimos casos está

representando la unión de dos intervalos. En la última inecuación se nos presenta una advertencia del pro-

grama (esto es debido a que la desigualdad no es polinómica). Como lo explicado para ecuaciones, en estas

situaciones conviene controlar las respuestas obtenidas, por ejemplo con gráficos.

También podemos pedir a Mathematica que encuentre la solución de un sistema de dos o más inecuaciones.

El símbolo que se utiliza en este caso es un doble &, que representa una conjunción lógica .

Ejemplo 4

ReduceB x − 3

x2 − 5

< 0 && x − 2 ≥ 0, xF5 < x < 3

Ejemplo 5

ReduceBAbs@x − 3D >3

2&& x − 6 ≥ 0, xF

x ≥ 6

Ejemplo 6

ReduceB x − 3

x2 − 5

< 0 »» x − 2 ≥ 0, xFx < − 5 »» x ≥ 2

100 Untitled-1

CAPÍTULO 5

ÁLGEBRA BÁSICA CON MATHEMATICA

Existen algunos comandos que nos permiten trabajar algebraicamente ciertas expresiones. En este capítulo

nos dedicaremos a los mismos.

5.1 OPCIONES DEL COMANDO : Expand

5.1.1 COMANDO : Expand


5.1.2 COMANDO : TrigExpand


5.1.3 COMANDO : PowerExpand


5.2 OPCIONES DEL COMANDO : Factor

5.2.1 COMANDO : Factor


5.2.2 COMANDO : TrigFactor


Untitled-1 101

5-3 VERIFICACIÓN DE LA PARIDAD DE UNA FUNCIÓN

5.3.1 COMANDO : TrueQ


5.4 COMANDO : Simplify


102 Untitled-1

CAPÍTULO 6

LÍMITES. CÁLCULO DIFERENCIAL

6.1 CÁLCULO DE LÍMITES

6.1.1 COMANDO : Limit


6.2 CÁLCULO DE DERIVADAS

6.2.1 Tres formas para derivar


Untitled-1 103

104 Untitled-1

CAPÍTULO 7

PAQUETES GRÁFICOS

7.1 GENERALIDADES ACERCA DE LOS PAQUETES

DEL MATHEMATICA

En estas versiones se ha incorporado una interactividad mayor que en las anteriores. Así el comando corre-

spondiente a la animación en más sencillo de usar ya que no hay que cargar ningún paquete y el resultado

que nos devuelve el programa es mucho más atractivo y dinámico.

7.1.1 COMANDO : Animate

Ejemplo 1

Con el comando Plot

Animate@Plot@Sin@2 xD, 8x, 0, n π<D, 8n, 1, 3, 1 ê 2<D

Ejemplo 2

Con el comando ParemetricPlot

Untitled-1 105

Animate@ParametricPlot@8t Cos@3 tD, t Sin@tD<, 8t, −π, n π<D, 8n, 1 ê 2, 2, 1 ê 2<D

7.2 GRÁFICOS DE CURVAS EN FORMA IMPLÍCITA

7.2.1 COMANDO : ContourPlot

El paquete`ImplicitPlot` no se usa más en estas versiones. Debe usarse el comando

ContourPlot ["expresión algebraica de la curva en forma implícita",

{variable x , rango de la variable }, {variable y , rango de la variable }].

Veamos ejemplos.

Ejemplo 1

Gráfica de una hipérbola

ContourPlotBx2

4−

Hy − 4L2

9� 1, 8x, −4, 4<, 8y, −3, 10<F

-4 -2 0 2 4

-2

0

2

4

6

8

10

Ejemplo 2


106 Untitled-1

ContourPlotBx2

4−

Hy − 4L2

9� 1, 8x, −4, 4<, 8y, −3, 10<, ContourStyle → RedF

-4 -2 0 2 4

-2

0

2

4

6

8

10

Ejemplo 3

La gráfica anterior con cambio de grosor

ContourPlotBx2

4−

Hy − 4L2

9� 1, 8x, −4, 4<, 8y, −3, 10<, ContourStyle → [email protected]

-4 -2 0 2 4

-2

0

2

4

6

8

10

Ejemplo 4

La gráfica anterior con cambio punteada

ContourPlotBx2

4−

Hy − 4L2

9� 1, 8x, −4, 4<, 8y, −3, 10<, ContourStyle → DashedF

Untitled-1 107

-4 -2 0 2 4

-2

0

2

4

6

8

10

7.3 GRÁFICOS CON REFERENCIAS

7.3.1 COMANDO : PlotLegend

Muchas veces es necesario escribir leyendas en un gráfico. Mathematica permite escribir etiquetas de dos

formas diferentes, explicaremos sólo una asociada con el comando Plot, donde el programa incorpora una

etiqueta para cada una de las curvas indicadas en el Plot. Para ello necesitamos cargar el paquete :

Needs["PlotLegends`"]

Si sólo hacemos referencia a la incorporación de la leyenda, tipeamos:

PlotLegend Æ {"Referencia 1 ", "Referencia 2"}.

En este caso, como observaremos en el ejemplo 2-1, el programa inserta la leyenda en el ángulo izquierdo y

con un tamaño que es determinado por el programa.

Ejemplo 1

Needs@"PlotLegends`"D

108 Untitled-1

Plot[{Sin[x], Abs[x-2]},{x, -2 Pi, 2 Pi}, PlotStyle →{Red, Dashed},


-6 -4 -2 2 4 6

2

4

6

8

»x-2»

SenHxL

Ejemplo 2

Ejemplo con dos funciones


PlotStyle →{Red, Dashed},




-6 -4 -2 2 4 6

2

4

6

8

»x-2»

SenHxL

Ejemplo 3

Ejemplo con tres funciones

Untitled-1 109

Plot[{Sin[x]+2,2 Sin[x],Log[x+4]},{x, -2 π, 2 π},

PlotStyle →{Red, Dashed,Thickness[0.02]},

LegendPosition→{1.5,0.2},LegendSize→{1.6,0.8},

PlotLegend → {"Sen(x)+2", "2 Sen x","ln (x+4)"}]

-6 -4 -2 2 4 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

ln Hx+4L2 Sen x

SenHxL+2

Ejemplo 4

Ejemplo con funciones hiperbólicas.

Plot@8Cosh@xD, Tanh@xD<, 8x, − π, π<,PlotStyle → 8Red, Dashed<,LegendPosition → 81.1, 0.2<,LegendSize → 81.6, 0.8<,LegendBackground → [email protected],PlotLegend → 8"coshHxL", "tghHxL"<,PlotRange → 88−3, 3<, 8−2, 6<<D

-3 -2 -1 1 2 3

-2

2

4

6

tghHxL

coshHxL

110 Untitled-1

7.4 GRÁFICOS SOMBREADOS

7.4.1 COMANDO : Filling

En estas versiones no es necesario cargar el paquete << Graphics`FilledPlot`

Se usa el comando Filling junto con el comando Plot.

Ejemplo 1

Plot@Log@x + 6D, 8x, −6, 6<, Filling → AxisD

-6 -4 -2 2 4 6

-1

1

2

Ejemplo 2

En este caso definiremos primero la función g(x)=x+5 x2−4

x2−1, cuyo dominio es R-{1;-1}, con una asíntota vertical

en x=1 y asíntota horizontal y=5.Presenta a su vez una discontinuidad esencial de salto infinito en x=1 y una

discontinuidad evitable en x=-1.Sin embargo esto no es impedimento para que el programa arroje la gráfica

sombreada.

g@x_D :=x + 5 x2 − 4

x2 − 1

Plot@g@xD, 8x, −13, 13<, Filling → AxisD

-10 -5 5 10

5.0

5.5

Ejemplo 3

Ahora veremos entre dos curvas.

Untitled-1 111

PlotA9−x2

+ 6 x + 3, Abs@x − 4D=, 8x, −5, 8<, Filling → AxisE

-4 -2 2 4 6 8

-20

-10

10

PlotA9Sin@xD, −6 x2

+ 2=, 8x, −6, 6<, Filling → Axis,

PlotRange → 88−6, 6<, 8−10, 10<<, AspectRatio → 1.2E

-6 -4 -2 2 4 6

-10

-5

5

10

112 Untitled-1

7.5 GRÁFICOS DE EXPRESIONES CON INECUACIONES

7.5.1 COMANDO : RegionPlot

Es estas versiones no es necesario cargar el paquete <<Graphics`InequalityGraphics`

Ahora se usa el comando RegionPlot

RegionPlot ["Inecuación", {x,xmín, x máx },{y,y mín, y máx }]

Ejemplo 1

Gráfico con una sola inecuación.

RegionPlotBx2

3+ y

2< 6, 8x, −6, 6<, 8y, −4, 4<, AspectRatio → AutomaticF

-6 -4 -2 0 2 4 6

-4

-2

0

2

4

Ejemplo 2

Gráfico donde se pide una intersección entre dos inecuaciones

Untitled-1 113

RegionPlotAy < x + 2 && y > x2, 8x, −6, 6<, 8y, −4, 4<, AspectRatio → AutomaticE

-6 -4 -2 0 2 4 6

-4

-2

0

2

4

Ejemplo 3

Gráfico donde se pide una unión entre dos inecuaciones

RegionPlotAy < x Í y > x2, 8x, −6, 12<, 8y, −10, 4<, AspectRatio → AutomaticE

-5 0 5 10

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

114 Untitled-1

aprendiendo cálculo diferencial con wolfram mathematica

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