analisis de fourier con mathematica

Analisis de Fourier con

Mathemática

Alejandro Hayes

2009

Análisis de Fourier con Mathemática 2008

Mathemática Página 1 de 20 Alejandro Hayes

Índice 1. Introducción y algunas funciones de interes..............................................................................3 1.1.Función Escalón Unitario....................................................................................................3 Función Impulso Unitario.........................................................................................................3 2. Series de Fourier.....................................................................................................................4 2.1.Funciones Ortogonales y Ortonormales................................................................... ...........4 2.2.Base Ortonormal...............................................................................................................4 2.3.Serie Trigonometrica de Fourier……………………………………………….........................................5 2.4.Serie Exponencial de Fourier..............................................................................................7 2.4.1.Espectros Discretos de la Serie Trigonometrica de Fourier……............................................7 3. Transformada de Fourier........................................................................................................16 4.Aplicacion a la resolucion de problemas de valores en la frontra….…..…….……………...………...….....17 5.Referencias………………..……………………………………………………………………………………………….……….19



Análisis de Fourier con Mathemática

1. Introducción y algunas funciones de interés. El análisis de Fourier constituye una herramienta fundamental tanto para el análisis de señales como para el estudio de los problemas de contorno y por eso este curso se propone dar una noción del uso del programa Mathemática para la resolución de problemas relacionados al análisis de Fourier. El presente curso supone por parte del lector un manejo de las funciones básicas del programa Mathemática por lo que solo se hará hincapié en las funciones q hacen al manejo de la series y transformadas de Fourier. 1.1. Función escalón unitario La función escalón unitario se define como:

⎩⎨⎧

<>

=0t00t1

)t(u 1.1

t

u

Figura 1

La figura 1 muestra una representación de esta función. Una ventaja importante es el poder escribir funciones partidas en una única expresión lo que permite aplicar los comandos de Mathemática con mayor facilidad. Mostraremos ejemplos al final de esta sección. 1.2. Función Impulso unitario La función impuso unitario o Delta de Dirac se define como:

⎩⎨⎧

≠=

=0t00t1

)t(δ 1.2



Figura 2

Mathematica cuenta con dos comandos para definir estas funciones. La Tabla 1 lista estas funciones. UnitStep[t] Nos da la función escalón unitario con el

argumento correspondiente. DiracDelta[t] Nos da la función impulso unitario con el

argumento correspondiente.

Tabla 1 2. Series de Fourier. 2.1. Funciones ortogonales y ortonormales

f y g son ortogonales ⇔ < f , g > = 0 ⇔ ∫b

a

xf(x).g(x)d = 0

f y g son ortonormales ⇔ < f , g > = 0 ∧ f = 1 ∧ g = 1 2.2. Base ortonormal Sea B una base de un espacio vectorial. Se dice que B es ortonormal ⇔ ∀ f , g ∈ B: f y g son

ortonormales.

Definición:

B = { ϕn (x) :n 1≥ } es base ortonormal de F ⇔ ∫b

a

ϕi (x) ϕj (x) dx = ijδ

Si tenemos una base ortonormal, toda función de F se puede escribir: f(x) = ∑∞

=1n nn )x(k ϕ

a esta expresión se la conoce como Serie de Fourier.

t

δ



2.3. Serie Trigonométrica de Fourier. Un caso particular de Serie de Fourier, es considerar una base ortonormal de funciones trigonométricas:

B = { π2

1 , πnxcos ,

πnxsen n 1≥ }

Ejercicio 2.1.1: Verificar con Mathemática que la base B es ortonormal f[t_]=1/Sqrt[2 Pi]

1è!!!! !!!2 π g[t_,n_]=Sin[n t]/Sqrt[ Pi]

Sin@n tDè!!!!π

h[t_,m_]=Cos[m t]/Sqrt[ Pi]

Cos@m tDè!!!!π

ProdInt1=Integrate[f[t] f[t],{t,0,2 Pi}] 1 ProdInt2=Integrate[f[t] g[t,n],{t,0,2 Pi}]

è!!!!2 Sin@nπD2

nπ ProdInt3=Integrate[f[t] h[t,m],{t,0,2 Pi}]

Sin@2 mπDè!!!!2 mπ

ProdInt4=Integrate[g[t,n] g[t,m],{t,0,2 Pi}]//Simplify

n Cos@2 nπD Sin@2 mπD − m Cos@2 mπD Sin@2 nπDHm2− n2L π

ProdInt5=Integrate[h[t,n] h[t,m],{t,0,2 Pi}]//Simplify

m Cos@2 nπD Sin@2 mπD − n Cos@2 mπD Sin@2 nπDHm2− n2L π

ProdInt6=Integrate[h[t,n] h[t,n],{t,0,2 Pi}]//Simplify



1+

Sin@4 nπD4 nπ

ProdInt7=Integrate[g[t,n] g[t,n],{t,0,2 Pi}]//Simplify

1−

Sin@4 nπD4 nπ

Observemos que al trabajar en forma simbólica Mathemática asume que n es un parámetro pero no sabe si es un número entero o no por lo que no tiene manera de terminar las cuentas. La serie Trigonométrica de Fourier puede escribirse de dos formas diferentes como lo muestran las expresiones 2.1.1 y 2.1.2 , a la expresión 2.1.2 se la llama habitualmente forma de laboratorio.

∑∞

=

++=1n

nn0 nxsenbnxcosa

2a)x(S 2.1.1

∑∞

=

++=1n

nn0 )nx(cosc

2a)x(S ϕ 2.1.2

Descuidando algunos detalles sobre la teoría matemática de las series de Fourier si la serie converge a una función periódica f de periodo π2 podemos escribir:

∑∞

=

++=1n

nn0 nxsenbnxcosa

2a)x(f 2.1.3

∑∞

=

++=1n

nn0 )nx(cosc

2a)x(f ϕ 2.1.4

Donde:

∫=ππ 2

0 dx)x(f21

2a 2.1.5

∫=π

π2

n dxnxcos)x(f1a 2.1.6

∫=π

π2

n dxnxsen)x(f1b 2.1.7

2

n2

nn bac += 2.1.8



n

nn a

barctg=ϕ 2.1.9

En general si la función es periódica de periodo T las expresiones pasan a ser

∑∞

=

++=1n

nn0 nx

T2senbnx

T2cosa

2a)x(f ππ 2.1.10

∑∞

=

++=1n

nn0 )nx

T2(cosc

2a)x(f ϕπ 2.1.11

Donde:

∫=T

0 dx)x(fT1

2a 2.1.12

∫=T

n dxnxT2cos)x(f

T2a π 2.1.13

∫=T

n dxnxT2sen)x(f

T2b π 2.1.14

2.4. Serie Exponencial de Fourier. La llamada forma exponencial de la serie de Fourier resulta muy práctica toda vez q se desee graficar los espectros de frecuencia y entre otras tantas aplicaciones. La forma exponencial de la serie de Fourier para una función periódica de periodo T esta dada por:

∑+∞

∞−

−=

nxT2

n ec)x(fπ

2.2.1

Donde.

∫−

=T

ntT2

n dte)t(fT1c

π

2.2.2



2.4.1. Espectros Discretos de la Serie Trigonométrica de Fourier Se llaman así a las representaciones de los an y bn en función de n o de n

T2π si se trata de la serie

trigonométrica y de nc o nc y nϕ en el caso de las formas de laboratorio y exponencial respectivamente. En este último caso a dichos espectros se los llama espectro de amplitud y fase.

2 4 6 8 10n

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Cn

2 4 6 8 10n

5

10

15

20

25

30

35

40ϕn

Figura 1

Pese a que matemática cuenta con estas funciones en muchos casos se hace conveniente calcular los coeficientes por integración ya q de esa forma el cálculo es mucho mas personalizado. Veamos algunos ejemplos. Ejercicio 2.1.2:

Desarrollar en serie trigonométrica de Fourier las siguientes funciones y graficar las funciones

originales y hasta 10 términos de la serie asociada. Graficar además los espectros.

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=≤≤−≤≤

=)2t(f)t(f

2t111t01

)t(f b) ⎪⎩

⎪⎨⎧

+=≤≤

=)1t(f)t(f

1t0t)t(f2

a)

f[t_]=UnitStep[t]-2 UnitStep[t-1]+UnitStep[t-2]; P1=Plot[f[t],{t,0,2.2},PlotStyle→RGBColor[1,0,0],AxesLabel→{t,f}];



0.5 1 1.5 2t

-1

-0.5

0.5

1

f

ao2

=12 ‡

0

2f@tD t

0

a@n_D =

22 ‡

0

2f@tD CosA 2 π

2n tE t êê Simplify

2 Sin@n πD − Sin@2 n πDn π

b@n_D =

22 ‡

0

2f@tD SinA 2 π

2n tE t êê Simplify

−

4 Cos@n πD SinA n π2E2

n π

S5@t_D = ‚

k=1

5

b@kD Sin@π k tD

4 Sin@π tDπ

+4 Sin@3 π tD

3 π+

4 Sin@5 π tD5 π

P2=Plot[S5[t],{t,0,2.2}]; Show[P1,P2];

0.5 1 1.5 2t

-1

-0.5

0.5

1

f



S10@t_D = ‚k=1

10

b@kD Sin@π k tD

4 Sin@π tDπ

+4 Sin@3 π tD

3 π+

4 Sin@5 π tD5 π

+4 Sin@7 π tD

7 π+

4 Sin@9 π tD9 π

P3=Plot[S10[t],{t,0,2.2}]; Show[P1,P3];

0.5 1 1.5 2t

-1

-0.5

0.5

1

f

S50@t_D = ‚k=1

50

b@kD Sin@π k tD

4 Sin@π tDπ

+4 Sin@3 π tD

3 π+

4 Sin@5 π tD5 π

+4 Sin@7 π tD

7 π+

4 Sin@9 π tD9 π

+4 Sin@11 π tD

11 π+

4 Sin@13 π tD13 π

+4 Sin@15 π tD

15 π+

4 Sin@17 π tD17 π

+

4 Sin@19 π tD19 π

+4 Sin@21 π tD

21 π+

4 Sin@23 π tD23 π

+4 Sin@25 π tD

25 π+

4 Sin@27 π tD27 π

+4 Sin@29 π tD

29 π+

4 Sin@31 π tD31 π

+4 Sin@33 π tD

33 π+

4 Sin@35 π tD35 π

+4 Sin@37 π tD

37 π+

4 Sin@39 π tD39 π

+4 Sin@41 π tD

41 π+

4 Sin@43 π tD43 π

+4 Sin@45 π tD

45 π+

4 Sin@47 π tD47 π

+4 Sin@49 π tD

49 π P4=Plot[S50[t],{t,0,2.2}];

Show[P1,P4];

0.5 1 1.5 2t

-1

-0.5

0.5

1

f

Lista=Table[{n,b[n]},{n,1,10}]

991, 4

π=,82,0<,93, 4

3π=,84,0<,95, 4

5π=,86,0<,97, 4

7π=,88,0<,99, 4

9π=,810,0<=



ListPlot[Lista,PlotStyle→PointSize[0.02],PlotRange→{{0,11},{0,1.5}},AxesLabel→{n,bn}];

2 4 6 8 10n

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

bn

b)

f[t_]=t^2; P1=Plot[f[t],{t,0,1},PlotStyle→RGBColor[1,0,0],AxesLabel→{t,f}];

0.2 0.4 0.6 0.8 1t

0.2

0.4

0.6

0.8

1f

ao2

=11 ‡

0

1f@tD t

13

a@n_D =

21 ‡

0

1f@tD Cos@2 π n tD t êê Simplify

2 n π Cos@2 n πD + H−1 + 2 n2 π2L Sin@2 n πD2 n3 π3

b@n_D =

21 ‡

0

1f@tD Sin@2 π n tD t êê Simplify



−1 + H1 − 2 n2 π2L Cos@2 n πD + 2 n π Sin@2 n πD2 n3 π3

S5@t_D =

13

+ ‚k=1

5

Ha@kD Cos@2 π k tD + b@kD Sin@2 π k tDL êê Simplify

13600 π2H1200 π2+3600 Cos@2πtD+900 Cos@4πtD+400 Cos@6πtD+225 Cos@8πtD+

144 Cos@10πtD−3600 πSin@2πtD−1800 πSin@4πtD−1200 πSin@6πtD−900πSin@8πtD−720πSin@10πtDL P2=Plot[S5[t],{t,0,1}];

Show[P1,P2];

0.2 0.4 0.6 0.8 1t

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f

S10@t_D =13

+ ‚k=1

10


13+

Cos@2 π tDπ2 +

Cos@4 π tD4 π2 +

Cos@6 π tD9 π2 +

Cos@8 π tD16 π2 +

Cos@10 π tD25 π2 +

Cos@12 π tD36 π2 +

Cos@14 π tD49 π2 +

Cos@16 π tD64 π2 +

Cos@18 π tD81 π2 +

Cos@20 π tD100 π2 −

Sin@2 π tDπ

−Sin@4 π tD

2 π−

Sin@6 π tD3 π

−

Sin@8 π tD4 π

−Sin@10 π tD

5 π−

Sin@12 π tD6 π

−Sin@14 π tD

7 π−

Sin@16 π tD8 π

−Sin@18 π tD

9 π−

Sin@20 π tD10 π

P3=Plot[S10[t],{t,0,1}]; Show[P1,P3];



0.2 0.4 0.6 0.8 1t

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f

S50@t_D =

13

+ ‚k=1

50


13+

Cos@2 π tDπ2 +

Cos@4 π tD4 π2 +

Cos@6 π tD9 π2 +

Cos@8 π tD16 π2 +

Cos@10 π tD25 π2 +

Cos@12 π tD36 π2 +

Cos@14 π tD49 π2 +

Cos@16 π tD64 π2 +

Cos@18 π tD81 π2 +

Cos@20 π tD100 π2 +

Cos@22 π tD121 π2 +

Cos@24 π tD144 π2 +

Cos@26 π tD169 π2 +

Cos@28 π tD196 π2 +

Cos@30 π tD225 π2 +

Cos@32 π tD256 π2 +

Cos@34 π tD289 π2 +

Cos@36 π tD324 π2 +

Cos@38 π tD361 π2 +

Cos@40 π tD400 π2 +

Cos@42 π tD441 π2 +

Cos@44 π tD484 π2 +

Cos@46 π tD529 π2 +

Cos@48 π tD576 π2 +

Cos@50 π tD625 π2 +

Cos@52 π tD676 π2 +

Cos@54 π tD729 π2 +

Cos@56 π tD784 π2 +

Cos@58 π tD841 π2 +

Cos@60 π tD900 π2 +

Cos@62 π tD961 π2 +

Cos@64 π tD1024 π2 +

Cos@66 π tD1089 π2 +

Cos@68 π tD1156 π2 +

Cos@70 π tD1225 π2 +

Cos@72 π tD1296 π2 +

Cos@74 π tD1369 π2 +

Cos@76 π tD1444 π2 +

Cos@78 π tD1521 π2 +

Cos@80 π tD1600 π2 +

Cos@82 π tD1681 π2 +

Cos@84 π tD1764 π2 +

Cos@86 π tD1849 π2 +

Cos@88 π tD1936 π2 +

Cos@90 π tD2025 π2 +

Cos@92 π tD2116 π2 +

Cos@94 π tD2209 π2 +

Cos@96 π tD2304 π2 +

Cos@98 π tD2401 π2 +

Cos@100 π tD2500 π2 −

Sin@2 π tDπ

−Sin@4 π tD

2 π−

Sin@6 π tD3 π

−Sin@8 π tD

4 π−

Sin@10 π tD5 π

−

Sin@12 π tD6 π

−Sin@14 π tD

7 π−

Sin@16 π tD8 π

−Sin@18 π tD

9 π−

Sin@20 π tD10 π

−Sin@22 π tD

11 π−

Sin@24 π tD12 π

−Sin@26 π tD

13 π−

Sin@28 π tD14 π

−

Sin@30 π tD15 π

−Sin@32 π tD

16 π−

Sin@34 π tD17 π

−Sin@36 π tD

18 π−

Sin@38 π tD19 π

−Sin@40 π tD

20 π−

Sin@42 π tD21 π

−Sin@44 π tD

22 π−

Sin@46 π tD23 π

−

Sin@48 π tD24 π

−Sin@50 π tD

25 π−

Sin@52 π tD26 π

−Sin@54 π tD

27 π−

Sin@56 π tD28 π

−Sin@58 π tD

29 π−

Sin@60 π tD30 π

−Sin@62 π tD

31 π−

Sin@64 π tD32 π

−

Sin@66 π tD33 π

−Sin@68 π tD

34 π−

Sin@70 π tD35 π

−Sin@72 π tD

36 π−

Sin@74 π tD37 π

−Sin@76 π tD

38 π−

Sin@78 π tD39 π

−Sin@80 π tD

40 π−

Sin@82 π tD41 π

−

Sin@84 π tD42 π

−Sin@86 π tD

43 π−

Sin@88 π tD44 π

−Sin@90 π tD

45 π−

Sin@92 π tD46 π

−Sin@94 π tD

47 π−

Sin@96 π tD48 π

−Sin@98 π tD

49 π−

Sin@100 π tD50 π

P4=Plot[S50[t],{t,0,1}];

Show[P1,P4];

0.2 0.4 0.6 0.8 1t

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f

Lista1=Table[{n,a[n]},{n,1,10}] 991,

1π2=, 92,

14π2=, 93,

19π2=,94,

116π2=,95,

125π2 =,96,

136π2 =,97,

149π2=, 98,

164π2=, 99,

181π2=,910,

1100 π2 ==



Lista2=Table[{n,b[n]},{n,1,10}]

991,−1

π=,92,− 1

2π=,93,− 1

3π=,94,− 1

4π=,95,− 1

5π=,96,− 1

6π=,97,− 1

7π=,98,− 1

8π=,99,− 1

9π=,910,−

110π

==

ListPlot[Lista1,PlotStyle→PointSize[0.02],PlotRange→{{0,11},{0,0.2}},AxesLabel→{n,an}];

2 4 6 8 10n

0.05

0.1

0.15

0.2an

ListPlot[Lista2,PlotStyle→PointSize[0.02],PlotRange→{{0,11},{-0.1,0}},AxesLabel→{n,bn}];

2 4 6 8 10n

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

bn

Ejercicio 2.1.3:

Desarrollar en serie exponencial de Fourier para la función b) del ejercicio 2.1.2. Graficar además los

espectros de amplitud y fase.

f[t_]=t^2; P1=Plot[f[t],{t,0,1},PlotStyle→RGBColor[1,0,0],AxesLabel→{t,f}];



0.2 0.4 0.6 0.8 1t

0.2

0.4

0.6

0.8

1f

c@n_D = ‡

0

1f@tD Exp@−2 Pi I n tD t êê Simplify

−2 n π H− + 2 n π + 2 n π + 2 n2 π2L4 n3 π3

Coeff[n_]=ComplexExpand[c[n]] Cos@2 nπD

2 n2π2 −Sin@2 nπD

4 n3 π3 +Sin@2 nπD

2 nπ+

ikjj− Cos@2 nπD

4 n3π3 +Cos@2 nπD

2 nπ+

Cos@2 nπD2

4 n3π3 −Sin@2 nπD

2 n2 π2 +Sin@2 nπD2

4 n3π3y{zz

CoeffSimp@n_D =1

2 n2 π2+ I

12 n π

12 n2 π2 +

2 n π

A@n_D = SqrtAJ 1

2 n2 π2N^2 + J 1

2 n πN^2E êê Simplify

$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1n4 + π2

n2

2 π2 M[n_]= ArcTan[n Pi] ArcTan[n π] Lista1=Table[{n,A[n]},{n,1,10}]

991,è!!!!!!!!!!!!!!

1 + π2

2 π2 =, 92,

$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%116

+ π24

2 π2 =, 93,

$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%181

+ π29

2 π2 =, 94,

$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1256

+ π216

2 π2 =, 95,

$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1625

+ π225

2 π2 =,

96,

$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%11296

+ π236

2 π2 =, 97,

$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%12401

+ π249

2 π2 =, 98,

$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%14096

+ π264

2 π2 =, 99,

$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%16561

+ π281

2 π2 =, 910,

$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%110000

+ π2100

2 π2 ==

Lista2=Table[{n,M[n]},{n,1,10}]



{{1,ArcTan[π]},{2,ArcTan[2 π]},{3,ArcTan[3 π]},{4,ArcTan[4 π]},{5,ArcTan[5 π]},{6,ArcTan[6 π]},{7,ArcTan[7 π]},{8,ArcTan[8 π]},{9,ArcTan[9 π]},{10,ArcTan[10 π]}} ListPlot[Lista1,PlotStyle→PointSize[0.02],PlotRange→{{0,11},{0,0.2}},AxesLabel→{n,Modulo}];

2 4 6 8 10n

0.05

0.1

0.15

0.2Modulo

ListPlot[Lista2,PlotStyle→PointSize[0.02],PlotRange→{{0,11},{0,1.8}},AxesLabel→{n,Fase}];

2 4 6 8 10n

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

Fase

3. Transformadas de Fourier. Recordando un poco la definición de las transformadas de Fourier recordamos las formulas 3.1 y 3.2

∫+∞

∞−

−= dte)t(f)(F tjωω 3.1

∫+∞

∞−

= ωωπ

ω de)(F21)t(f tj 3.2

Ejemplo 3.1: Hallar la Transformada de Fourier del siguiente pulso rectangular:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤=

at0

at1)t(f



f[t_]=UnitStep[t+2]-UnitStep[t-2]; F[w_]=Integrate[f[t] Exp[-I w t],{t,-Infinity,+Infinity}]//Together 4 Cos@wD Sin@wD

w Plot[f[t],{t,-5,5},AxesLabel→{t,f},PlotRange→{{-4,4},{0,2}}];

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4t

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2f

Plot[F[w],{w,-4 Pi,4 Pi},AxesLabel→{w,F},PlotRange→All];

-10 -5 5 10w

1

2

3

4

F

4. Aplicación a la resolución de problemas de valores en la frontera. Una de las aplicaciones que le da gran utilidad tanto a las series como a las transformadas de Fourier es la resolución de problemas de contorno que involucran ecuaciones en derivadas parciales. Veremos algunos ejemplos en esta sección. Ejemplo 5.1

Resolver el siguiente problema de contorno: 0y

)y,x(ux

)y,x(u2

2

2

2=

∂∂

+∂

∂ con 0)y,1(u)y,0(u ==

10)0,x(u = , 0)1,x(u = .



Mathematica no cuenta con ninguna función especifica para la resolución de problemas de contorno por lo q lo utilizaremos para auxiliarnos en la resolución del problema. Para resolver el problema usamos el método de separación de variables es decir escribimos a la solución de la forma:

)y(Y)x(X)y,x(u =

Reemplazando en la ecuación obtenemos la siguiente ecuación:

0)y(Y)y(''Y

)x(X)x(''X

=+

Luego obtenemos el siguiente par de ecuaciones:

0)x(Xa)x(''X 2 =+

0)y(Ya)y(''Y 2 =−

ec1=X''[x]+a^2 X[x] 0; DSolve[{ec1,X[0] 0},X[x],x] {{X[x]→C[2] Sin[a x]}} Reduce[Sin[a] 0,a] C[1]∈Integers&&(a 2 π C[1]||a π+2 π C[1]) X[x_]= k 1Sin[π n x]; ec2=Y''[y]-a^2 Y[y] 0; DSolve[{ec2,Y[1] 0},Y[y],y]//Expand

88Y@yD → − −2 a−a y H− 2 a + 2 a yL C@2D<< Y[y_]=Exp[- n π] Sinh[ n π(y-1)]; un[x_,y_]=Exp[- n π]Sin[π n x] Sinh[2 n π (y-1)]; v[x_]=un[x,0]

−−n π Sin@n π xD Sinh @2 n πD

c[n_]=Integrate[10 Sin[n π x],{x,0,1}]

−

10 H−1 + Cos@n πDLn π

u10@x_, y_D = ‚n=1

10

−10 HH−1L^n − 1L

n π Sin@n π xD Sinh@2 n π Hy − 1LD



20 Sin@π xD Sinh @2 π H−1 + yLDπ

+20 Sin@3 π xD Sinh @6 π H−1 + yLD

3 π+

4 Sin@5 π xD Sinh @10 π H−1 + yLDπ

+20 Sin@7 π xD Sinh @14 π H−1 + yLD

7 π+

20 Sin@9 π xD Sinh @18 π H−1 + yLD9 π

Plot3D[u10[x,y],{x,0,0.5},{y,0,0.1},PlotRange→All,ViewPoint->{2.003, -1.911, 1.945},AxesLabel→{x,y,u}];

0

0.2

0.4

x

0

0.025

0.05

0.075

0.1

y

-1× 1024

0

1× 1024

u

0

0.2

0.4

x

-1

0

ContourPlot[u10[x,y],{x,0,5},{y,0,0.1}];

0 1 2 3 4 50

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

5. Referencias [1] Spiegel Murray, “Análisis de Fourier”, Mc. Graw Hill , 1995 [2] O’ Neil “Matemáticas Avanzadas para Ingeniería” Quinta Edición. Thompson 2004. [3] James “Matemáticas Avanzadas para Ingenieria” Segunda Edición Pearsons 2002 [4] Castillo Enrique “Mathematica” Tercera edicion Paraninfo 1995

analisis de fourier con mathematica

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