Laboratorio de Matemáticas II

Ingeniería Electrónica Industrial

LABORATORIO 2 - CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE

VARIAS VARIABLES. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE

En esta sesión vamos a aprender a realizar cálculos relacionados con cálculo diferencial eintegral de funciones de varias variables. Los ejercicios que se citan en los ejemplos yejercicios son los correspondientes a las hojas de problemas de la asignatura,corespondientes al tema 1 (para la parte de cálculo diferencial) y el tema 2 (para la de cálculointegral). Los ejercicios que se indican son orientativos.

PARTE 1: DERIVADAS PARCIALES. VECTOR GRADIENTE. MATRIZ JACOBIANA. DERIVADAS DIRECCIONALES

Para calcular derivadas parciales tenemos el comando D[ ]. Si he definido una función f de variasvariables puedo poner D[f,x] si quiero calcular la derivada parcial de f respecto de la variable x.también puedo ir a la paleta Basic commands donde ya está preparado para calcular la derivadaparcial. También podemos poner el símbolo de derivación poniendo <Esc>dt<Esc>.

Si escribo D[f,{x,n}] Mathematica calculará la derivada enésima respecto de la variable x. Siqueremos calcular una derivada cualquiera de orden mayor que uno usaremos la sintaxis D[f,x,y,...]o de forma más compacta escribiremos algo como D[f, {x, n}, {y,m}, ….]. Si queremos obtener elvector gradiente escribiremos D[f,{{x1,...,xn}}]. La misma sintaxis nos servirá para calcular la matrizJacobiana en el caso de que f sea una función vectorial.

EJEMPLO

PROBLEMA 3 (E).

Calcula también las derivadas pedidas en los puntos (1,0) y (2,3).

f[x_,y_]:=x^y

D[f[x,y],x]

x−1+ y y

D[f[x,y],y]

x y log [ x ]

También podíamos haberlas calculado directamente de la siguiente forma, usando la paleta

∂x xy

∂y xy

  x−1+ y y

  x y log [ x ]

O introduciendo directamente la función, de la siguiente manera:

D[xy,x]

D[xy,y]

  x−1+ y y

  x y log [ x ]

Para calcular el valor en un punto se usa el operador /.

Por ejemplo, si queremos calcular las parciales anteriores en los puntos (1,0) y (2,3), podemosescribir:

D[x^y, x] /. {x ­> 1, y ­> 0}

D[x^y, x] /. {x ­> 2, y ­> 3}

 0

 12

D[x^y, y] /. {x ­> 1, y ­> 0}

D[x^y, y] /. {x ­> 2, y ­> 3}

 0

 8 Log[2]

EJERCICIOS: Resuelve, con ayuda de Mathematica, los siguientes ejercicios y realiza los

cálculos adicionales que se indican.

PROBLEMA 4 (C).

Calcula también las derivadas pedidas en el punto (π /2,0 ) .

PROBLEMA 4 (B).

Calcula también las derivadas pedidas en el punto (1,1). Calcula la derivada parcial ∂6

∂x2∂ y 4

EJEMPLO:

PROBLEMA 5 (E).

Calcula también la matriz Jacobiana en el punto (1,0).

La matriz Jacobiana se puede calcular de varias maneras. Puedo definir la función y calcularla conuna sintaxis parecida al gradiente:

f[x_,y_]:={x y Exp[x y], x Sin[y],­3 x y}

MatrixForm[D[f[x,y],{{x,y}}]]

 

(exy y+exy x y2 exy y+exy x2 ysin [ y ] x cos [ y ]−3 y −3x )

o puedo poner directamente la función:

MatrixForm[D[{x y Exp[x y],x Sin[y],­3 x y},{{x,y}}]]

  (exy y+exy x y2 exy y+exy x2 ysin [ y ] x cos [ y ]−3 y −3x )

Si se quiere calcular en un punto, se asignan los valores de la siguiente manera:

MatrixForm[D[{x y Exp[x y],x Sin[y],­3 x y},{{x,y}}]]/.{x->1,y->0}

  (0 10 10 −3)   

EJERCICIOS

PROBLEMA 5 (F).

Calcula también la matriz Jacobiana en el punto (1,1,0).

EJEMPLO:

PROBLEMA 10 (A).

Para calcular una derivada direccional de una función f en un punto p en la dirección de un vector v usaremos la formula

Dv f ( p )=∇ f ( p ) .v

‖v‖

Esto se puede hacer de varias maneras: por ejemplo

f[x_,y_]:=x^2 y^3 ­ 4 y;

v={2,5};

nv = Norm[v];

gr = Dot[D[f[x,y],{{x,y}}], v]/nv;

gr/.{x ­> 2, y ­> ­1}

  32

√29 

Se puede escribir todo en un comando

D[x^2 y^3 ­ 4 y, {{x, y}}].{2, 5}/Norm[{2, 5}] /. {x ­> 2, y ­>­1}

  32

√29 

Notar el el producto escalar se puede calcular con el comando Dot o con el punto. Porotro lado, para normalizar vectores existe la función Normalize, de forma que podríamoshaber escrito también

D[x^2 y^3 ­ 4 y, {{x, y}}].Normalize[{2, 5}]/. {x ­> 2, y ­> ­1}

  32

√29 

EJERCICIO

PROBLEMA 10 (B).

Calcula también el vector gradiente en el punto (1,1).

EJERCICIOS PROPUESTOS

Problema 3 (h).

Problema 4 (d).

Problema 5 (b).

Problema 5 (c).

Problema 10 (c).

Problema 10 (e)

GRÁFICAS DE SUPERFICIES Y CURVAS DE NIVEL

EJEMPLOS

PROBLEMA

Dibujar la gráfica y curvas de nivel de la superficie z=x2+y2

Plot3D[x^2+y^2, {x,­5,5},{y,­5,5}]

ContourPlot[x^2+y^2, {x,­5,5},{y,­5,5}]

PROBLEMA

Dibujar la gráfica y curvas de nivel de la superficie z=x2-y2

PROBLEMA 6 (D).

PROBLEMA 6 (E).

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

EJEMPLOS

PROBLEMA 13 (B).

Clear[x,y,z,w]

x[t_,s_]:=t s

y[t_,s_]:=Exp[t s]

z[t_,s_]:=t2

w[x[t,s],y[t,s],z[t,s]]:=x[t,s]   y[t,s]+y[t,s]   z[t,s]+x[t,s]z[t,s]

D[w[x[t,s],y[t,s],z[t,s]],t]

 est s + 2 est t + est s2 t + 3 s t2+ est s t2

D[w[x[t,s],y[t,s],z[t,s]],t]/.{t->1,s->0}

 2

Mathematica calcula directamente la derivada de la función compuesta directamente, no podemospedirle que use la regla de la cadena.

PROBLEMA 16.

Podemos calcular la composición de dos funciones usando el comando Apply

Clear[f,u,v,w,x,y,z]

f[u_,v_,w_]:={Exp[u­w],Cos[u+v]}

g[x_, y_] := {Exp[x], Cos[y ­ x], Exp[­y]}

h[x_, y_] := Apply[f, g[x, y]] 

Se deja como ejercicio calcular la matriz Jacobiana de la función h

EJERCICIOS

Problema 13 (d).

Problema 11 (f).

PARTE 2: INTEGRACIÓN MÚLTIPLE

Las integrales, tanto definidas como indefinidas se calculan en Mathematica mediante el comando Integrate. También podemos usar la paleta de Basic Commands donde hay diferentes botones relacionado con el cálculo de integrales. La ayuda la podemos encontrar enHelp → Documentacion Center → Mathematics and algorithms → Calculus → Integrate.

Para esta parte utilizaremos los problemas de la hoja de problemas correspondientes al tema 2.

Integración en una variable.

Para calcular una integral indefinida en una variable usaremos la sintaxis

Integrate[función, variable]

Por ejemplo:

Integrate[2x/Sqrt[x+1],x]

 43

(−2+x ) √1+x

Para calcular una integral definida usaremos la misma función Integrate, pero deberemos indicar los extremos de integración. Por ejemplo:

Integrate[2x/Sqrt[x+1],{x,0,1}]

 43

(−2+x ) √1+x

N[Integrate[2x/Sqrt[x+1],{x,0,1}]]

  0.781049

INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTÁNGULOS.

Se calculan también mediante Integrate. Veamos algunos ejemplos:

PROBLEMA 3 (C).

Integrate[2x y

x2+1,{x,0,1},{y,1,3}]

 Log[16]

N[%]2.77259

PROBLEMA 7.

Dibujemos primero la función para hacernos una idea más clara del problema

Plot3D[ x√ x2+ y ,{x,0,1},{y,0,1}] 

Integrate[ x√ x2+ y ,{x,0,1},{y,0,1}]

415

(−1+2√2 )

EJERCICIOS

Problema 3 (e). Problema 5Problema 6Problema 8

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES NO RECTANGULARES.

Veamos cómo calcular estas integrales a través de un ejemplo:

PROBLEMA 14 (C).

Integrate[x3 y2,{x,0,2},{y,­x,x}]

 256/21

PROBLEMA 17(E)

Integral directa

Integrate[ ex2

,{y,0,1},{x,3y,3}]

16

(−1+e9 )

Invirtiendo el orden de integración:

Integrate[ ex2

,{x,0,3},{y,0,x/3}]

16

(−1+e9 )

PROBLEMA 15 (A)

Calcula también el área de la región limitada por las curvas y=x 2 e x=y2

Calculemos los puntos donde las dos gráficas se cruzan.

Cortes=Solve[ {x2−√x=0} ]

 {{x → 0},{x → 1}}

Plot[{x^2, Sqrt[x]}, {x, 0, 1}, PlotStyle ­> {Red, Blue}]

 

La integral pedida vale:

Integrate[x2+y2,{x,0,1},{y,x2, √x }]

 6/35

Para calcular el área del recinto:

Integrate[1,{x,0,1},{y,x2, √x }]

 1/3

EJERCICIOS

Problema 13 (c)

Problema 11

Problema 15 (c)Calcula también el área de la región limitada por las curvas y=0, x=0 y x+2y=2

Problema 15 (d)

Problema 17 (d)

INTEGRALES TRIPLES SOBRE CAJAS RECTANGULARES

EJEMPLOS

PROBLEMA 24 (E).

Integrate[y z Cos[x y] ,{y,1,2},{x,0,Pi},{z,1,4}]

−15π

EJERCICIOS

Problema 24 (c).