TRABAJO COLABORATIVO 3

KAREN MENDOZA

JAIRO OMAR PEDRAZA UREÑA

JHON ALEXANDER SUAREZ

ING. JULIAN GIRALDO

TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO

CUCUTA

JUNIO DE 2016

INTRODUCCION

En el presente trabajo colaborativo se busca comprender y asimilar los principios que explican conceptualización y algunos ejemplos de alguna de los Teoremas y Técnicas de Demostración explorando las definiciones y teoremas relacionadas con la demostración Donde se fundamentan aplicación de reglas de deducción: fundadas ya sea en axiomas o en teoremas anteriormente demostrados o en reglas básicas de deducción del sistema en cuestión, y dando a conocer la conceptualización y ejemplos de algunas leyes de la inferencia lógica La conceptualización y ejemplos concretos de alguna de las Leyes de Inferencia Lógica Para la comprensión y desarrollo de este trabajo se requiere investigar e identificar las teorías y definiciones de esta.

OBJETIVOS

Conocer todo lo relacionado con los teoremas y técnicas de demostración y contraejemplo.

Definir demostraciones Directas e Indirectas las cuales se da a conocer el razonamiento que prueba la validez de un nuevo conocimiento; es el enlace entre los conocimientos recién adquiridos y los conocimientos anteriores. Los procedimientos de demostración permiten establecer la conexión lógica entre las proposiciones fundamentales de la teoría.

Evaluar teoremas Del Álgebra de Boole unidos a un sistema de elementos y operaciones binarios.

Observar los razonamientos lógicos, inferencia lógica y Argumentos lógicos por medio de la tabla de verdad

Primer Aporte Individual:

Socializar en el Foro de Interacción y Producción la conceptualización y algunos ejemplos de alguna de los Teoremas y Técnicas de Demostración (sólo selecciona una e informa en el foro cual escogió, para que no sea escogido por otro integrante), las operaciones son:

Demostraciones Directas e Indirectas. Demostración por Contraposición. Demostración por Contradicción (Reducción al Absurdo). Demostración por Contraejemplo. Demostración por el Principio de Inducción Matemática.

Segundo Aporte Individual:

Socializar en el Foro de Interacción y Producción la conceptualización y ejemplos concretos de alguna de las Leyes de Inferencia Lógica (sólo selecciona una e informa en el foro cual escogió, para que no sea escogido por otro integrante), las operaciones son:

Modus Ponendo Ponens y Modus tollendo Tollens. Silogismo Hipotético y Silogismo Disyuntivo. Dilema Constructivo y Absorción. Simplificación y Ley de la conjunción. Ley de Adición y Tollendo Ponens.

Tercer Aporte Individual:

Seleccionar uno de los siguientes enunciados y a través de las dos formas básicas de uso de las Tablas de Verdad y del uso de las Leyes de Inferencia demostrar la validez o no validez del argumento dado (sólo selecciona uno e informa en el foro cual escogió, para que no sea escogido por otro integrante), los enunciados son:

1. Si Bibiana aprueba el periodo académico entonces Johanna y Santiago sus hermanos se enojan con ella. Y si no aprueba el periodo académico, pierde los beneficios de la beca obtenida en la Universidad. Pero, Bibiana aprueba el periodo académico o no lo aprueba. Por lo tanto, Johanna y Santiago sus hermanos se enojan con ella o pierde los beneficios de la beca obtenida en la Universidad.

2. En la Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD, se posee una metodología educativa que realmente forma profesionales competentes, a través del “Aprendizaje Autónomo”, para lo cual se debe ser muy Disciplinado con los hábitos de estudio adquiridos para cumplir con las actividades académicas. Milena se ha esforzado por mantener un sólido hábito de estudio, pero hay momentos en que sus deberes son tantos, que no logra cumplir a cabalidad con las actividades

del periodo académico y se le presenta la siguiente situación: “Si el Director de Curso de Pensamiento Lógico y Matemático activa la etiqueta del Examen Nacional, entonces desarrollaré las demostraciones con las Leyes de Inferencia. Si el Director de Curso no activa la etiqueta del Examen Nacional, haré el trabajo final de Química General. Y si aprovecho y hago el trabajo final de Química General, me pondré al día con las notas pendientes. Por lo tanto, si no desarrollo las demostraciones con las Leyes de Inferencia, me pondré al día con las notas pendientes de Química General”.

3. Todos nos sentimos afligidos por la situación ocurrida en Ecuador el día 16 de Abril, por el Terremoto que ha generado una tragedia para los habitantes de dicha Nación, analicemos lo siguiente: “Si hay una situación de calamidad pública, el índice de sobrevivientes disminuye. Si llegan tardíamente las ayudas internacionales, las esperanzas de la recuperación social serán menores. Si el índice de disminuye y las esperanzas de la recuperación social son menores, entonces la sociedad irá recuperándose lentamente. La calamidad pública es un hecho y las ayudas internacionales llegan de manera tardía. Luego, la sociedad irá recuperándose lentamente”.

4. Mañana se cierra la Fase Individual del Trabajo Colaborativo Tres del curso Herramientas Digitales para la Gestión del Conocimiento, Mariana desarrolló el ejercicio de las Redes Sociales en su afán subió el aporte al aula virtual y no lo encuentra para hacer unas modificaciones. Mariana se hace reflexiona para poder recordar donde quedó su aporte: “Si el aporte está en el Foro de Interacción y Producción lo habría visto al ingresar al Entorno de Aprendizaje Colaborativo. Leí la guía de actividades en el Correo Interno o en el Entorno de Información Inicial. Si leí la guía de actividades en el Correo Interno entonces está en el E-Portafolio. No vi el aporte al ingresar al Entorno de Aprendizaje Colaborativo. Si subí el archivo en el grupo de skype entonces el aporte está en el E-Portafolio. Si leí la guía de actividades en el Entorno de Información Inicial entonces el aporte está en el Foro de Interacción y Producción. Por lo tanto, el aporte está en el E-Portafolio”.

5. Los estudiantes que conformaron el CIPAS de Álgebra Trigonometría y Geometría Analítica se han reunido y deben buscar bibliografía del tema de secciones cónicas, de lo cual conversan lo siguiente: “Vamos a consultar la tarea en el edificio de la biblioteca de la UNAD si está caluroso el día. Si no vamos a consultar la tarea en el edificio de la biblioteca de la UNAD, entonces vamos a hacer la consulta por el portal Virtual E-Biblioteca. Si vamos a hacer la consulta por el portal virtual E-Biblioteca, entonces vamos a descargar el libro en PDF. Por lo tanto vamos a descargar el libro en PDF.

DESARROLLO

DEMOSTRACIONES DIRECTAS E INDIRECTAS.

La demostración

La demostración es un razonamiento que prueba la validez de un nuevo conocimiento; es el enlace entre los conocimientos recién adquiridos y los conocimientos anteriores. Los procedimientos de demostración permiten establecer la conexión lógica entre las proposiciones fundamentales de la teoría, sus consecuencias sucesivas, hasta deducir la conclusión o tesis que así se demuestra.

Los principales tipos de demostración son:

La demostración directa

La demostración directa de una proposición t (teorema) es un conjunto de proposiciones o premisas que son postulados o proposiciones de validez aceptada y de las cuales se infiere t como consecuencia inmediata.

Ejemplo 1.

Dadas las premisas: 1. p →~q

2. r → q

Concluir: t. p → ~r

Demostración: Puesto que r → q es equivalente a ~q →~r, se tiene la premisa:

3. ~q → ~r, ahora, de las premisas 1 y 3 se puede concluir t, es decir, como

p →~q y ~q → ~r, entonces, p → ~r

La forma más natural de demostración de un teorema o proposición que es una proposición condicional es la demostración directa. Analizando la tabla de verdad para P-->Q, vemos que si queremos demostrar el teorema o proposición P-->Q; es suficiente demostrar que Q es verdadera siempre que P lo sea (pues P-->Q es verdadera cuando P es falsa).P Q P-->QV V VV F FF V VF F V

La demostración indirecta

Se realiza una demostración indirecta cuando se establece la validez de una tesis t probando que las consecuencias de su contraria son falsas.

Ejemplo 1.

Construir la demostración indirecta de:

Si x2 es par, entonces x es par, (con x entero)

Suponga que existe al menos un entero x tal que x2 es par y x es impar.

Por el ejemplo 2 analizado en la demostración directa, se sabe que si x es impar, entonces x2 es impar, luego es imposible que x sea impar y que x2 sea par.

Esta es la contradicción buscada.

DEMOSTRACIÓN POR CONTRAPOSICIÓN.

DEMOSTRACIÓN POR CONTRAPOSICIÓN

Demostración por Contraposición. Tiene la ventaja de que te vas a dirigir hacia una contradicción concreta. En la demostración por contraposición, al igual que la demostración por reducción al absurdo, supones que tanto A como noB son verdaderas. En el método por contraposición, sin embargo, no partes de A y noB, sino que empiezas a trabajar solamente con no B y tu objetivo es llegar a quéA es falsa, con lo que ya has llegado a una contradicción.

Hemos dicho que la demostración por contraposición es un cierto tipo de demostración por reducción al absurdo. Cada uno de estos dos métodos tiene sus ventajas y sus inconvenientes. La desventaja del método de demostración por contraposición frente al de reducción al absurdo consiste en que en aquél partes de una sola proposición, noB, en lugar de dos. La ventaja es que sabes exactamente a donde quieres llegar, a noA, con lo que puedes aplicar el método de demostración indirecta a la proposición no A. La opción de trabajar con demostración indirecta no es aplicable en el método por reducción al absurdo pues no sabes qué contradicción estás buscando. Si comparas el método de demostración directa-indirecta (A implica B) con el de contraposición (noB implica noA) observarás que tienen la misma estructura y, por tanto, no hay, en principio, razones aparentes para preferir uno a otro. Hay, sin embargo, algunos casos en los que el método de contraposición o el de por reducción al absurdo deberían elegirse o, al menos, considerarse seriamente. Son aquellos en los que en la proposición B aparece la palabra no, pues, en estos casos, es bastante normal que la proposición noB contenga alguna información útil.

Si queremos demostrar que: Si se verifica A, entonces se verifica B: A → B, Esto equivale a demostrar que: Si no B, entonces no A. Útil para cuando demostrar esta 2º afirmación resulta más sencillo.

Ejemplos:

1. Sea n un número entero. Demostrar que si n3 es par, entonces n es par

- A: n3 es par B: n es par

- Supondremos que n es impar y veamos que entonces n3 no puede ser par

2. Tratamos de demostrar que, de acuerdo con las reglas del ajedrez, cada peón se mueve a lo sumo 6 veces. Consideramos un peón cualquiera. Supongamos que se mueve 7 veces o más. Tratamos de llegar a deducir que no hemos cumplido las reglas del ajedrez. Tras el primer movimiento el peón se encuentra al menos en la fila tercera. Tras el segundo movimiento se encuentra al menos en la cuarta... Tras el séptimo movimiento se encuentra al menos en la novena,...fuera del tablero.

3. Sea x un entero. Probar que si x2 es par entonces x es par.

Comentario: El esquema lógico de esta prueba es x2 es par → x es par

En su lugar probaremos x no es par → x2 no es par

Prueba: Si x no es par entonces x es impar, por tanto podemos escribirlo como x = 2t + 1 para algún entero t. Cuadramos y obtenemos

x2 = (2t + 1)2 = 4t2 + 4t + 1 = 2(2t + 2) + 1 = 2s + 1, ciertamente no es par.

DEMOSTRACIÓN POR CONTRADICCIÓN (REDUCCIÓN AL ABSURDO).

Demostración por Reducción al Absurdo o Contradicción:

El método de demostración por reducción al absurdo se fundamenta en la condición de no contradicción para una teoría, básicamente la estrategia consiste en suponer explícitamente la negación de la proposición a demostrar, a partir de esta hipótesis se trata de generar una contradicción, esto es: que la teoría con ese supuesto es inconsistente y, en consecuencia, tal hipótesis es falsa, o lo que es equivalente, que su negación es verdadera, quedando validada la proposición inicial.

Reductio ad absurdum

Expresión latina por Reducción al absurdo, es un método de demostración lógico. Es usado para demostrar la validez de proposiciones categóricas; se parte por

suponer como hipotética la negación o falsedad de la tesis de la proposición a demostrar, y mediante una concatenación de inferencias lógicas válidas se pretende derivar una contradicción lógica, un absurdo; de derivarse una contradicción, se concluye que la hipótesis de partida (la negación de la original) ha de ser falsa, y la original es verdadera y la proposición o argumento es válido. A este método también se le conoce como prueba por contradicción o prueba ad absurdum. Parte de la base es el cumplimiento del principio de exclusión de intermedios: una proposición que no puede ser falsa necesariamente es verdadera. La demostración por reducción al absurdo es un tipo de argumento lógico muy empleado en demostraciones matemáticas. Consiste en demostrar que una proposición matemática es verdadera probando que si no lo fuera conduciría a una contradicción.

Ejemplo:

Supóngase que se desea demostrar una proposición

P El procedimiento consiste en demostrar que asumiendo como cierta la falsedad de P (o sea P negada) conduce a una contradicción lógica. Esta P debería no ser falsa. Por lo tanto habría de ser verdadera. Demuestre que si m y n son enteros tales que n + n2+n3 = m + m2, entonces n es par

Solución: Supongamos que n es impar. A partir de esto debemos conseguir una contradicción. Como n es impar, entonces n2 y n3 son ambos impares, de donde n + n2 + n3 es impar (ya que es la suma de tres impares). Entonces, como m + m2 =n + n2+n3, se tiene que m + m2 es impar. Sin embargo m + m2 es siempre par (ya que m + m2 = m (m + 1) y necesariamente alguno de los números m ó m+1 es par). Hemos llegado a una contradicción. De allí se tiene que n es par, que es lo que queríamos demostrar.

Términos y Predicados:

Todos los hombres son mortales. Sócrates es hombre. Luego, Sócrates es mortal. Esta estructura deductiva, tratada con la hipótesis que sirve de base al cálculo proposicional, tendría la siguiente representación matemática:

P

Q

_____________

R

Por tanto, ninguna de las proposiciones p, q, r, puede describirse mediante partes de las mismas dotadas de significado propio, unidas por conectivas, que sean comunes en algunas de ellas y, la relación entre premisas y conclusión que hace la deducción correcta, no puede detectarse con este nivel de representación. Esto se debe a que la relación entre las proposiciones está en la propia estructura interna de éstas, en efecto: se afirman en ellas las mismas propiedades o relaciones para distintas personas o conjuntos de personas.

Las propiedades son “Ser Hombre”, “Ser mortal”, las personas objeto de atribución de estas propiedades son colectivos, en la primera proposición, e individuos concretos, Sócrates, en las otras, por ello, para tratar matemáticamente este tipo de estructuras deductivas es preciso crear una teoría que no tome como base la simbolización matemática de la proposición total sino la de sus componentes, es decir:

• Qué se afirma.

 • De quién o quiénes se afirma

El primer elemento se define como el predicado y el segundo,

Como los sujetos o términos. Así en la frase:

• Juan es negro.

 “Es negro” es el predicado y “Juan” el sujeto o término de la proposición.

Puede haber proposiciones con varios términos, por ejemplo:

• Juanita está en clase entre Pedro y Manuela.

En este caso el predicado es “-está en clase entre - y-” y los términos son Juanita, Pedro y Manuela. Los predicados que se refieren a un único término se denominan predicados absolutos o monádicos. Los que se refieren a varios sujetos se denominan predicados de relación o poliádicos (según el número de términos pueden ser diádicos, tríadicos, etc.).

Simbolización:

Una vez definidos los componentes de la proposición se plantea su representación matemática en base a términos y predicados. Para la simbolización de términos se supone como base de referencia un dominio genérico, no vacío. Los términos se representan por variables o constantes cuyos valores posibles forman parte del dominio anterior.

x, y, z, t... letras de variables, representan cualquier elemento del dominio.

a, b, c, d... letras de constantes, representan elementos concretos del dominio.

Para la simbolización de predicados se utiliza la notación funcional: f, g, h...

Así, la proposición “Juan es negro”, que en la lógica proposicional se simboliza con p, en la lógica de predicados queda:

f (a) o bien n (j) donde n: ser negro; j: Juan.

De la misma manera:

x es negro n(x) Juanita está en clase entre Pedro y Manuela f (a, b, c,) x está en clase entre y y, z, f(x, y, z) donde los sujetos x, y, z están

indeterminados.

 Demostración por Contraejemplo.

CONTRAEJEMPLO

En lógica, especialmente en sus aplicaciones a matemáticas y filosofía, un contraejemplo es una excepción a una regla general propuesta, es decir, un caso específico de la falsedad de una cuantificación universal (un "para todo").

Por ejemplo, consideremos la proposición "todos los escritores son inteligentes". Como esta proposición dice que una cierta propiedad (inteligencia) es válida para todos los escritores, incluso un solo escritor tonto probará su falsedad. En este caso, un escritor tonto es un contraejemplo a "todos los escritores son inteligentes".

El número 2 es el único contraejemplo de la proposición "todos los números primos son impares". Algunas proposiciones pueden ser negadas con un número mayor, incluso infinito de contraejemplos ("todos los números impares son primos" tiene infinitos contraejemplos: todos los múltiplos impares de 3, 5, 7, etc).

METODO POR CONTRAEJEMPLO

Este método se aplica de manera muy particular para demostrar la falsedad de proposiciones cuya hipótesis está construida mediante un "cuantificador universal". Esto es, se aplica para demostrar la falsedad de una proposición que tenga una conclusión referida para "todos los elementos de un cierto conjunto".

Qué entender por un contraejemplo 

Para demostrar la falsedad de proposiciones de este tipo, basta exhibir un

elemento que satisfaga la hipótesis de la proposición, pero que no satisfaga su

conclusión. A dicho elemento se le conoce con el nombre de contraejemplo.

Este método es muy útil cuando uno se encuentra ante una proposición con

cuantificador universal, de la cual no se sabe si es verdadera o falsa. La primera

idea es buscar un contraejemplo. Si no se encuentra en una primera instancia, se

intentará demostrar su veracidad aplicando los otros métodos o una combinación

de ellos.

Ejemplo:

Proporcione un contraejemplo para mostrar que el enunciado

Sipq= x, entonces p=xq

No es verdadero para todos los números reales p, q, y x.

 Digamos que p = 1, q = 0 y x = 0.

Entonces(1)(0)=0 pero1≠00 , ya que la división entre 0 no está definida.

DEMOSTRACIÓN POR EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA.

Esta dependencia de los números naturales significa: se sabe que una determinada afirmación es verdadera para algunos casos particulares y surge la pregunta. ¿Dicha afirmación sigue siendo verdadera para los infinitos números naturales restante? Existen muchas afirmaciones que solo son validas para un numero finito de casos y en consecuencia son falsas para un numero infinitos de situaciones. Sin embargo, podemos encontrar proposiciones (afirmaciones) que son verdaderas solo a partir de un cierto número natural n0, de ser así, la técnica que se desarrollaremos se llama Inducción Incompleta. Para demostrar que una proposición p(n), ∀n ∈ M ⊆ N, es verdadera es necesario comprobar la validez de ella para todos los elementos del conjunto M. En el caso en que M= N, diremos que es una Inducción Completa. Si se requiere demostrar la falsedad de una cierta proposición p(n), ∀n ∈ M ⊆ N, es suficiente indicar un elemento particular m ∈ M de manera que p (m) sea falsa. (Construcción de un contra ejemplo). Ejemplo 1. ∀n ∈ N, n 2 − 3n − 1 < 0 Es fácil probar que esta desigualdad es verdadera para n = 1, 2, 3. Sin embargo, para n = 4 no se cumple ya que 4 2 − 3 · 4 − 1 = 3 > 0. Nótese que este ejemplo sencillo muestra que una proposición puede ser verdadera para

los primeros números naturales, sin embargo, es falsa, para números naturales más grandes.

Principio de inducción Matemática Una proposición p(n) es verdadera para todos los valores de la variable n si se cumplen las siguientes condiciones: Paso 1.- La proposición p(n) es verdadera para n = 1, o bien, p(1) es verdadera. Paso 2.- Hipótesis de Inducción. Se supone que p(k) es verdadera , donde k es un numero natural cualesquiera. Paso 3.- Tesis de Inducción. Se demuestra que p(k + 1) es verdadera, o bien, p(k) verdadera ⇒  p(k + 1) verdadera. La técnica de Inducción Matemática consiste en los tres pasos anteriores. Si se necesita demostrar la validez de una proposición p(n) para todos los valores naturales n, entonces es suficiente que se cumplan: Paso 1, Paso 2 y Paso 3. Comentario: Intuitivamente la idea anterior se conoce con el nombre de “Efecto Domino”. Si imaginamos una fila infinita de fichas de domino: dispuestas verticalmente y suficientemente próximas una cualquiera de la siguiente, entonces si el volteamiento de la primera ficha provoca el volteamiento de la segunda ficha, por el Principio de Inducción Matemática la fila completa es volteada. Existen dos variantes útiles sobre el Principio de Inducción Matemática que deben ser considerados. En la primera variante, la proposición por demostrar involucra los naturales no menores a un natural fijo n0, en este caso el Principio de Inducción quedaría como sigue: Si p(n) es verdadera para n0 y si p (m + 1) es verdadera para todo natural m ≥ n0 para la cual p (m) es verdadera, entonces p(n) es verdadera para todo natural n ≥ n0.La segunda variante se aplica de preferencia en el caso cuando p (m + 1) no puede ser fácilmente deducible de p (m), pero su validez depende de p (k) para cualquier k < m. Si p (1) es verdadera y si p (m + 1) es verdadera para todo m ≥ 1 para la cual todas las proposiciones p (1), p(2), p(3), ..., p(m) son verdaderas , entonces p(n) es verdadera para n ≥ 1. Para ilustrar el uso de estas variantes, consideremos los siguientes ejemplos. Ejemplo 4. Determine para que valores de n ∈ N es verdadera la desigualdad 2 n > n 2 + 4n + 5 Al examinar los valores de n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 nos damos cuenta que la desigualdad es incorrecta, pero si es verdadera para n = 7, por lo que podemos intentar demostrar por el método de Inducción Incompleta que para todos los valores de n ≥ 7, la desigualdad es verdadera. Paso 1.- Si n = 7, obtenemos 2 7 = 128 > 7 2 + 4 · 7 + 5 = 82 o sea, cuando n = 7 la desigualdad es correcta. Paso 2.- (Hipótesis Inductiva) Se supone que la desigualdad es verdadera para un cierto valor de n = k, o sea, 2 k > k 2 + 4k + 5. Paso 3.- Finalmente a partir de la hipótesis inductiva, se desea probar la Tesis dada por 2 (k+1) > (k + 1)2 + 4(k + 1) + 5. Al multiplicar la desigualdad dada en la hipótesis inductiva por 2, obtenemos 2 (k+1) > 2k 2 + 8k + 10 Transformando el segundo miembro de esta desigualdad obtenemos 2 (k+1) > (k + 1)2 + 4(k + 1) + 5 + k 2 + 2k Teniendo en cuenta que k 2 + 2k > 0 para todo k ≥ 7, podemos deducir que 2 (k+1) > (k + 1)2 + 4(k + 1) + 5, obteniendo lo que se requería demostrar ( Tesis).

SEGUNDO APORTE INDIVIDUAL:

MODUS PONENDO PONENS Y MODUS TOLLENDO TOLLENS.

Modus ponendo ponens: El modus ponendo ponens (en latín, modo que afirmando afirma), también llamado modus ponens y generalmente abreviado MPP o MP, es una regla de inferencia que tiene la siguiente forma:Si A, entonces BAPor lo tanto, BEjemplo:Si son las 6 AM, entonces ya amaneció.Son las 6 AM.Por lo tanto, Ya amaneció

La expresión latina  "Modus Ponendo Ponens"  se traduce literalmente como "modo que poniendo pone", aunque sería más claro entenderlo como "confirmando confirma". Funciona a partir de una implicación: cuando se confirma el antecedente (causa lógica), entonces se puede confirmar el consecuente (consecuencia lógica).

El ejemplo más estúpido que se le puede ocurrir a alguien para explicar esta regla es "Si llueve, entonces me mojo. Está lloviendo. Por ende, me estoy mojando". Pero veamos ejemplos quizás más interesantes:

"Si estuvieras borracho, estarías cariñoso. Estás borracho. Por eso estás cariñoso"

El Modus Ponendo Ponens es la regla fundamental de las demostraciones lógicas, es decir, la operación lógica fundamental del método de deducción natural. 

"Si fueras inteligente, no repetirías los mismos errores"

Modus tollendo tollens: El modus tollendo tollens (en latín, modo que negando niega), también llamado modus tollens y generalmente abreviado MTT o MT, es una regla de inferencia que tiene la siguiente forma:Si A entonces BNo BPor lo tanto, no AEJEMPLO:Si son las 6 AM, entonces amaneció.

No son las 6 AM.Por lo tanto, no amaneció.

En lógica, el modus tollendo tollens (en latín, modo que negando niega), también llamado modus tollens y generalmente abreviado MTT o MT, es una regla de inferencia que tiene la siguiente forma:

Si A, entonces BNo BPor lo tanto, no APor ejemplo, un razonamiento que sigue la forma del modus tollens podría ser:

Si está soleado, entonces es de día.No es de día.Por lo tanto, no está soleado.

Otra manera más abstracta de presentar el modus tollens es:

P) S-S-PEl modus tollens es central al modelo falsacionista de la ciencia propuesto por Karl Popper. Según Popper, la ciencia nunca puede confirmar definitivamente una hipótesis, pero sí puede refutarla definitivamente deduciendo una consecuencia observable de la misma y mostrando que dicha consecuencia no se cumple. Este procedimiento de refutación sigue la forma de un modus tollens:

La hipótesis H implica la consecuencia observable O.La consecuencia observable O no es el caso.Por lo tanto, la hipótesis H tampoco es el caso.La validez de este razonamiento contrasta con la invalidez de los intentos de confirmación de una hipótesis:

La hipótesis H implica la consecuencia observable O.La consecuencia observable O es el caso.Por lo tanto, la hipótesis H también es el caso.

Este razonamiento es un caso de afirmación del consecuente, y por lo tanto no es un razonamiento válido. En consecuencia, mientras las refutaciones tienen la

forma de un argumento deductivamente válido, las confirmaciones tienen la forma de un argumento deductivamente inválido.

SILOGISMO HIPOTÉTICO Y SILOGISMO DISYUNTIVO.

SILOGISMO HIPOTETICO: esta ley habla de la reacción a un posible suceso y es

un argumento que se expresa simbólicamente así:

( p → q ) ˄ (q → r ) → ( p → r )

p → q Se lee: si p entonces q

q → r Se lee: si q entonces r

\ p → r Se lee: de donde

Si p entonces r

Premisa 1. Si el agua se hiela, entonces sus moléculas forman cristales.

Premisa 2. Si las moléculas forman cristales, entonces el agua aumenta de

volumen.

Conclusión. Si el agua se hiela, entonces el agua aumenta de volumen.

Simbólicamente:

p: El agua se hiela

q: Sus moléculas forman cristales

r: El agua aumenta de volumen

El silogismo hipotético se caracteriza por estar formado por juicios hipotéticos. En

lógica se denomina silogismo hipotético a aquel tipo de silogismo o más bien regla

de inferencia que en su expresión plantea un caso hipotético, por lo cual puede

tener términos válidos o no. En la lógica proposicional un silogismo hipotético

puede expresar una regla de inferencia, mientras que en la historia de la lógica los

silogismos hipotéticos han sido una antelación de la teoría de las consecuencias.

Ejemplos

- Si tú estudias lógica, conocerás formas de deducir argumentos válidos. Si

conoces formas de deducir argumentos válidos, entonces puedes aprender a

plantear argumentos válidos. -Por lo tanto, si estudias lógica, entonces puedes

aprender a plantear argumentos válidos.

- Si te colocas el despertador a las seis de la mañana, te despertara a las seis de

la mañana. Si despiertas a las seis de la mañana, entonces puedes llegar

temprano al trabajo. -Por lo tanto, si colocas el despertador a las seis de la

mañana, entonces puedes llegar temprano al trabajo.

- Si llueve durante la noche, al día siguiente hará frio. Si al día siguiente hace frio,

entonces necesitarías usa ropa abrigadora. -Por lo tanto, si llueve durante la

noche, entonces puede que necesites ropa abrigadora mañana.

- Si el perro ladra durante la noche, un desconocido puede estar merodeando

cerca. Si un desconocido esta merodeando cerca, entonces es mejor colocar la

cerradura. -Por lo tanto, si el perro ladra durante la noche, entonces es mejor

colocar la cerradura.

SILOGISMO DISYUNTIVO: Si una disyunción es verdadera y una de sus

proposiciones simples es falsa, entonces necesariamente la otra proposición será

verdadera.

su expresión simbólica es: ( p ˅ q ) ˄ ¬p → q o ( p ˅q ) ˄ ¬q → p

p → q

~ p

\q

Premisa 1: O la energía interna de un átomo puede cambiar con continuidad o

cambia sólo a saltos.

Premisa 2: La energía interna de un átomo no puede cambiar con continuidad

Conclusión: La energía interna de un átomo cambia sólo a saltos.

Simbólicamente:

p: La energía de un átomo puede cambiar con continuidad

q: La energía de un átomo sólo cambia a saltos

Premisa 1: p v q

Premisa 2: ~ p

Conclusión: p

El silogismo disyuntivo es similar al hipotético mixto, pues su premisa mayor es

disyuntiva mientras que la menor y la conclusión son categóricas. Admite también

dos modos: modus ponendo tollens (afirmativo negativo) y modus tollendo ponens

(negativo afirmativo)

Ejemplo:

- O veinte es un número par, o es un número impar. Veinte es un número par.

Entonces, veinte no es un número impar.

- O es de día o es de noche; es de día; luego no es de noche.

- O es de día o es de noche; es de noche; luego no es de día.

- O es de día o es de noche; no es de día; luego es de noche.

- O es de día o es de noche; no es de noche; luego es de día.

Ejemplo 1 (modo ponendo-tollens)

Premisa Mayor: O nació niño o nació niña

Premisa Menor: Nació niña

Conclusión: Entonces, no nació niño

Ejemplo 2 (modo tollendo-ponens)

Premisa Mayor: O es de día o es de noche

Premisa Menor: No es de noche

Conclusión: Entonces, es de Día

Ejemplo 3 (modo ponendo-tollens)

Premisa Mayor: O ganaron Los Medias Blancas o ganaron Los Medias Rojas

Premisa Menor: Ganaron Los Medias Blancas

Conclusión: Entonces, no ganaron Los Medias Rojas

Ejemplo 4 (modo tollendo-ponens)

Premisa Mayor: O tomo agua o tengo sed

Premisa Menor: Tomo agua

Conclusión: Entonces, no tengo sed

DILEMA CONSTRUCTIVO Y ABSORCIÓN.

Dilema constructivo

Dilema constructivo: es el nombre de una regla de inferencia de válida de lógica proposicional. Es una inferencia que dice: si P implica Q y R implica S y, o bien Q es falsa o S es falsa, entonces P o R debe ser falsa. En suma, si dos condicionales son verdaderos, pero uno de sus consecuentes es falso, entonces uno de sus antecedentes tiene que ser falso. El dilema constructivo es la versión disyuntiva del modus tollens. La versión disyuntiva de modus ponens, mientras que el dilema destructivo es la versión disyuntiva del modus tollens. La regla puede afirmar:

Donde la regla es que dondequiera que aparezcan las instancias de

En una línea de alguna demostración, se puede colocar "QVS" en una línea posterior.

Ejemplo:

Si ganó un millón de pesos, lo voy a donar a un orfanato.Si mi amigo gana un millón de euros, lo va a donar a un hogar de ancianos.O voy a ganar un millón de pesos, o mi amigo ganará un millón de euros.Por lo tanto, o un orfanato ganará un millón de pesos, o un asilo ganará un millón de euros.

El dilema se llama así debido a la transferencia de operandos disyuntivos

DILEMA CONSTRUCTIVO:

Si estudio aprendo y si duermo Descanso.Estudié o dormí.Luego Aprendí o descansé.

(p → q) ˄ (r →s)p ˅ rq ˅ s

Ley de la absorción

Se define como absorción por que da la apariencia de que Q es absorbido por P, para reconocer una preposición de absorción es sencilla, solo debemos fijarnos en los conectivos lógicos, el segundo conector debe ser opuesto al primero ej:….y… (…o…)

Como decíamos anteriormente la P es dominante ante las demás proposiciones por la función de los (…) por tal motivo las preposiciones son iguales a P

Si probamos la ley de absorción del siguiente ejemplo obtendremos los siguientes:

Otro concepto de la ley de absorción es la transitividad, en el cual se conmutan los conectores lógicos y no cambia el resultado:

En general, en cualquier relación de equivalencia (representada con el signo "=") se tiene lo siguiente:

a = a (reflexividad) a = b entonces b = a (simetría), a = b y b = c entonces a = c (transitividad)

De esta manera

a = b = c

Significa

a = b, b = c y por transitividad: a = c

En efecto, lo anterior lo puedes escribir como dos igualdades:

p y (p o q) <=> p, p o (p y q) <=> p

Y por transitividad: p y (p o q) <=> p o (p y q)

Demostrar la absorción es muy fácil si sabes las leyes de distribución:

p y (p o q) <=> (p o F) y (p o q)

<=> p o (F y q)

<=> p o F

<=> p

p o (p y q) <=> (p y V) o (p y q)

<=> p y (V o q)

<=> p y V

<=> p

("V" y "F" representan "Verdadero" y "Falso" respectivamente)

Se le llama "absorción" porque da la apariencia de que q es absorbido por p.

SIMPLIFICACIÓN Y LEY DE LA CONJUNCIÓN.

La simplificación de una preposición, o dicho de otra manera, la simplificación de una expresión lógica consiste en reducir la expresión lógica a una forma más simple mediante el uso de los axiomas y/o leyes lógicas.La simplificación consiste en ir desarrollando la expresión paso a paso mediante la sustitución en cada paso de una expresión lógica equivalente a la anterior, hasta llegar a una expresión lógica irreducible.A través de la simplificación también podemos demostrar una equivalencia lógica sin usar tablas de verdad.

REGLA DE SIMPLIFICACION (S)

Regla  que se aplica a proposiciones unidas con "˄”. Como ambas premisas son ciertas por tanto la conclusión también lo será es por ello que esta regla nos permite pasar de una conjunción a cada una de las proposiciones.

P & Q             P & Q                 (P   →  M) &    ¬  Q                      (P   → M) &    ¬  Q_______             _______                __________________                  ________________________.: P                 .:  Q                     .:  (P   →  M)                              .:   ¬  Q

EJ: Una sociedad es una colección de individuos que buscan una forma de vida y la cultura es su forma de vida.

S: Una sociedad es una colección de individuos que buscan una forma de vidaC: la cultura es su forma de vida.

S & C                          S & C     ______                      ______S                                   C

 En la primera concluimos que Una sociedad es una colección de individuos que buscan una forma de vida, y en la segunda que en una sociedad  la cultura es su forma de vida.

CONJUNCION LOGICA

En razonamiento formal, una conjunción lógica  entre dos proposiciones es un conector lógico cuyo valor de la verdad resulta en cierto sólo si ambas proposiciones son ciertas, y en falso de cualquier otra forma. Existen diferentes contextos donde se utiliza la conjunción lógica.

En lenguajes formales, la palabra "y" se utiliza en español para simbolizar una conjunción lógica. La noción equivalente en la teoría de conjuntos es la intersección ( ∩). En álgebra Booleana, la conjunción como operador binario entre dos variables se representa con el símbolo de punto medio (·).

DEFINICIÓN

Dado un conjunto universal U formado por los elementos falso: F y verdadero: V:

Y una operación binaria interna  ˄ conjunción , que representaremos :

Por la que definimos una aplicación que a cada par ordenado (a,b) de U por U se le asigna un c de U.

Para todo par ordenado (a, b) en U por U, se cumple que existe un único c en U, tal que c es el resultado de la conjunción lógica a y b.

USOS:

Lenguaje formal

Si declaraciones en un lenguaje formal representan proposiciones en lógica proposicional con contenido de verdad o falsedad, entonces una conjunción lógica es cierta solo si ambas declaraciones son ciertas.

Álgebra Booleana

Dado un conjunto B = {0, 1}, se define · como una función tal que:

0 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1

Propiedades

La conjunción lógica presenta las siguientes propiedades:

1. La ley asociativa:

2. Existencia del elemento neutro:

3. La ley conmutativa:

4. Ley distributiva de la conjunción respecto a la disyunción:

5. Existe elemento complementario:

6. Conjunción versus disyunción:

LEY DE ADICIÓN Y TOLLENDO PONENS

MODUS TOLLENDO PONENS (TP)

Esta regla se aplica para las proposiciones disyuntivas, en la cual un miembro de dicha proposición se niega para lograr la afirmación del otro.

P  V Q            P V Q            (1) ¬ (P  &   M) V   T  & Q¬ P                  ¬Q                 (2) ¬ (T  & Q)----------           ---------            _______________________ : Q                 : P               : (3)   ¬ (P  &   M)        TP 1.2

 EJ: O hace frio y llueve o el festival se celebrara al aire libre. Ni hace frio ni llueve.

F: hace frioE: llueveA: el festival se celebrara al aire libre

(F & E) V A¬  (F & E)____________: A

Esto quiere decir que el festival se celebrara al aire libre

LEY DE ADICION (LA)

Esta ley expresa el hecho que si tiene una proposición que es cierta , entonces la disyunción de aquella proposición  y otra cualquiera ha de ser también cierta.

    P                      Q   --------              --------.: P V Q           .:  P V Q

EJ: este libro es azul

Q: este libro es azul

Q                                            Q                                            QR                                            N                                            B

________                            ______________                       _______________.:Q  V  R                               .: Q   V  N                                 .:   Q  V  B

s viejoTERCER APORTE INDIVIDUAL

1. Si Bibiana aprueba el periodo académico entonces Johanna y Santiago sus hermanos se enojan con ella. Y si no aprueba el periodo académico, pierde los beneficios de la beca obtenida por la universidad. Pero, Bibiana aprueba el periodo académico o no lo aprueba. Por lo tanto Johanna y Santiago sus hermanos se enojan con ella o pierde los beneficios de la beca obtenida por la universidad.

Solución:

La estructura del enunciado corresponde a una tautología

P: Bibiana aprueba el periodo académico

Q: los hermanos se enojan

R: pierde los beneficios de la beca

Identificación de las proposiciones simples:

Premisa 1: p→q

Premisa 2: ∿ p→r

Conclusión: (p v ∿ p) → (q v r)

p q r ∿ p  p→q∿ p→r [(p→q) ˄

(∿p→r)] → p v ∿ p q v r (p v ∿ p) → (q v r) [(p→q) ˄ (∿p→r)] → (p v ∿ p)

v v v f v v v v v v Vv v f f v v v v v v Vv f v f f v f v v v Vv f f f f v f v f f Vf v v v v v v v v v Vf v f v v f f v v v Vf f v V v v v v v v Vf f f V v f f v f f V

2. En la Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD, se posee una metodología educativa que realmente forma profesionales competentes, a través del “Aprendizaje Autónomo”, para lo cual se debe ser muy disciplinado con los hábitos de estudio adquiridos para cumplir con las actividades académicas. Milena se ha esforzado por mantener un sólido hábito de estudio, pero hay momentos en que sus deberes son tantos, que no logra cumplir a cabalidad con las actividades del periodo académico y se le presenta la siguiente situación: “Si el Director de Curso de Pensamiento Lógico y Matemático activa la etiqueta del Examen Nacional, entonces desarrollaré las demostraciones con las Leyes de Inferencia. Si el Director de Curso no activa la etiqueta del Examen Nacional, haré el trabajo final de Química General. Y si aprovecho y hago el trabajo final de Química General, me pondré al día con las notas pendientes. Por lo tanto, si no desarrollo las demostraciones con las Leyes de Inferencia, me pondré al día con las notas pendientes de Química General”. Rta: la estructura del enunciado corresponde a un razonamiento deductivo.Identificación de las proposiciones simples:

D: Si el director de curso de pensamiento lógico y matemático activa la etiqueta del examen nacional.

E: desarrollare las demostraciones con las leyes de inferencia.

Q: trabajo final de química general

N: me pondré al día con las notas pendientes

Premisa 1: si el director del curso de pensamiento lógico y matemático activa la etiqueta del examen nacional, entonces desarrollare las demostraciones con las leyes de inferencia.

Premisa 2: si el director del curso no activa la etiqueta del examen nacional, haré el trabajo final de química general.

Premisa 3: si aprovecho y hago el trabajo final de química general, me pondré al día con las notas pendientes.

Conclusión:

Si no desarrollo las demostraciones con las leyes de inferencia, me pondré al día con las notas pendientes de química general.

Por lo tanto

Premisa 1: D→E

Premisa 2: ~D→Q

Premisa 3: Q→N

Conclusión: ~E→ N

Entonces tendremos la siguiente ecuación:

[(D→E) & (~D→Q) & (Q→N)] → (~E→N)]

D E Q N [(D→E) & (~D→Q) & (Q→N)] → (~E→N)V V V V VV V V F VV V F V VV V F F VV F V V VV F V F VV F F V VV F F F VF V V V VF V V F VF V F V VF V F F VF F V V VF F V F VF F F V VF F F F V

La tabla anterior permite evidenciar que es una tautología, por lo cual el razonamiento es válido.

3. Todos nos sentimos afligidos por la situación ocurrida en Ecuador el día 16 de Abril, por el Terremoto que ha generado una tragedia para los habitantes de dicha Nación, analicemos lo siguiente: “Si hay una situación de calamidad pública, el índice de sobrevivientes disminuye. Si llegan tardíamente las ayudas internacionales, las esperanzas de la recuperación social serán menores. Si el índice de disminuye y las esperanzas de la recuperación social son menores, entonces la sociedad irá recuperándose lentamente. La calamidad pública es un hecho y las ayudas internacionales llegan de manera tardía. Luego, la sociedad irá recuperándose lentamente”.

Declaración de las Proposiciones Simples

P: hay una situación de calamidad pública

Q: el índice de sobrevivientes disminuye

R: llegan tardíamente las ayudas internacionales

S: las esperanzas de la recuperación social serán menores

T: el índice de "_" disminuye

U: las esperanzas de la recuperación social son menores

V: la sociedad irá recuperándose lentamente

Declaración de las Premisas

Premisa 1: Sí hay una situación de calamidad pública, entonces, el índice de

sobrevivientes disminuye

Premisa 2: Si llegan tardíamente las ayudas internacionales, entonces, las

esperanzas de la recuperación social serán menores.

Premisa 3: Si el índice de "_" disminuye y las esperanzas de la recuperación social

son menores, entonces la sociedad irá recuperándose lentamente.

Conclusión: La calamidad pública es un hecho y las ayudas internacionales llegan

de manera tardía. Luego, la sociedad irá recuperándose lentamente

Declaración de las Premisas en Lenguaje Formal

Premisa 1: P → Q

Premisa 2: R → S

Premisa 3: (T ^ U) → V

Conclusión: V

Expresión Formal

[{(P → Q) ^ (R → S) ^ (T ^ U)} → V]

4. Mañana se cierra la Fase Individual del Trabajo Colaborativo Tres del curso

Herramientas Digitales para la Gestión del Conocimiento, Mariana desarrolló el

ejercicio de las Redes Sociales en su afán subió el aporte al aula virtual y no lo

encuentra para hacer unas modificaciones. Mariana se hace reflexiona para

poder recordar donde quedó su aporte: “Si el aporte está en el Foro de

Interacción y Producción lo habría visto al ingresar al Entorno de Aprendizaje

Colaborativo. Leí la guía de actividades en el Correo Interno o en el Entorno de

Información Inicial. Si leí la guía de actividades en el Correo Interno entonces

está en el E-Portafolio. No vi el aporte al ingresar al Entorno de Aprendizaje

Colaborativo. Si subí el archivo en el grupo de Skype entonces el aporte está

en el E-Portafolio. Si leí la guía de actividades en el Entorno de Información

Inicial entonces el aporte está en el Foro de Interacción y Producción. Por lo

tanto, el aporte está en el E-Portafolio”.

Rta:

La estructura del enunciado corresponde a un razonamiento deductivo.

Identificación de las proposiciones simples:

A: el aporte está en el foro de interacción y producción

S: el entorno de aprendizaje colaborativo

D: guía de actividades del correo interno

F: el entorno de información inicial

G: E-portafolio

H: Grupos de Skype

En este orden encontramos las premisas:

Premisa 1: si el aporte está en el foro de interacción y producción lo habría visto al

ingresar al entorno de aprendizaje colaborativo.

Premisa 2: leí las guías de actividades en el correo interno o en el entorno de

información inicial.

Premisa 3: si leí la guía de actividades en el correo interno entonces está en el E-

portafolio. No vi el aporte al ingresar al entorno de aprendizaje colaborativo.

Premisa 4: si subí el archivo en el grupo de Skype entonces el aporte está en el E-

portafolio. Si leí la guía de actividades en el entorno de información inicial

entonces el aporte está en el foro de interacción y producción.

Conclusión: por lo tanto el aporte esta en el E-portafolio

Por lo tanto:

Premisa 1:A→S

Premisa 2: DV F

Premisa 3: D→ (G&~S)

Premisa 4:(H→G) & (F→A)

Conclusión: G Entonces tendremos la siguiente ecuación:

[(A→S) & (DVF) & (D→ (G&~S)) & (H→G) & (F→A)] → G]

A S D G H[(A→S) & (DVF) & (D→ (G&~S)) & (H→G) & (F→A)]

→ G]V V V V V VV V V V F VV V V F V VV V V F F VV V F V V VV V F F V VV V F F F VV F V V V VV F V V F VV F V F V VV F V F F VV F F V V VV F F V F VV F F F V VV F F F F VF V V V V VF V V V F VF V V F V VF V V F F VF V F V V VF V F V F VF V F F F VF F V V V VF F V V F VF F V F V VF F V F F VF F F V V VF F F V F VF F F F V VF F F F F V

La tabla anterior permite evidenciar que es una tautología, por lo cual el razonamiento es válido.

5. Los estudiantes que conformaron el CIPAS de Álgebra Trigonometría y

Geometría Analítica se han reunido y deben buscar bibliografía del tema de

secciones cónicas, de lo cual conversan lo siguiente: “Vamos a consultar la tarea

en el edificio de la biblioteca de la UNAD si está caluroso el día. Si no vamos a

consultar la tarea en el edificio de la biblioteca de la UNAD, entonces vamos a

hacer la consulta por el portal virtual E-Biblioteca. Si vamos a hacer la consulta por

el portal virtual E-Biblioteca, entonces vamos a descargar el libro en PDF. Por lo

tanto vamos a descargar el libro en PDF.

P= Vamos a consultar la tarea en el edificio de la unad.

Q= Esta caluroso el día

R= Vamos a hacer la consulta por el portal virtual E-Biblioteca

S= Descargar el libro pdf.

{[(P↔Q) ˄ (∿P→R)]˄ (R→S)}→S

P Q R S P∿ P↔ Q P→R∿ R→S (P↔ Q) (∿ P→R)∿ {[(P↔ Q) ( P→R) (R→S)]˄ ∿ ˄ {[(P↔ Q) ( P→R) (R→S)]→S˄ ∿ ˄V V V V F V V V V V VV V V F F V V F V F VV V F V F V V V V V VV V F F F V V V V V FV F V V F F V V F F VV F V F F F V F F F VV F F V F F V V F F VV F F F F F V V F F VF V V V V F V V F F VF V V F V F V F F F VF V F V V F F V F F VF V F F V F F V F F VF F V V V V V V V V VF F V F V V V F V F VF F F V V V F V F F VF F F F V V F V F F V

TRUTH TABLE

FASE GRUPAL

1. APORTE AL E-PORTAFOLIO

DEFINICIÓN Y EJEMPLOS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

Un álgebra de Boole es aquella que utiliza variables que sólo pueden tomar 2 valores llamadas variables booleanas. A los dos valores diferentes de una variable booleana se les codifica con los bits “0” y “1”. Estos valores no representan dígitos numéricos, sino que representan dos estados distintos de un dispositivo. Los operadores binarios (·) y (+) y (’) definidos de la siguiente forma

1. PROPIEDAD CONMUTATIVA:

A + B = B + A

A· B = B · A

2. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:

A· (B+C) = A·B + A·C

A + B·C = (A+B) ·(A+C)

3. ELEMENTOS NEUTROS DIFERENTES

A + 0 = A

A · 1 = A

4. SIEMPRE EXISTE EL COMPLEMENTO DE A, DENOMINADO A’ A + A’ = 1 A · A’ = 0

2. SEGUNDO MOMENTO FASE GRUPAL

Ana revisa las notas que lleva hasta el momento en el curso de Pensamiento Lógico y Matemático, y se da cuenta que debe realizar muy bien las tareas faltantes para alcanzar a ganar el curso, observa que está a punto de abrirse el foro del trabajo Colaborativo Tres y entonces se hace la siguiente autorreflexión: “Si soy disciplinada en mis estudios entonces entrego mis aportes significativos a tiempo o resuelvo mis inquietudes del tema con mi tutor. Si me dedico a rumbear, pasear, entonces no entrego mis aportes significativos a tiempo. Si en las noches veo video-tutoriales del tema entonces no necesito resolver mis inquietudes del tema con mi tutor. Soy disciplinada en mis estudios y en las noches veo video-tutoriales del tema. Por lo tanto entrego mis aportes significativos a tiempo”. SOLUCION:

Premisa 1:

Si soy disciplinada en mis estudios entonces entrego mis aportes significativos a tiempo o resuelvo mis inquietudes del tema con mi tutor.

Premisa 2:Si me dedico a rumbear, pasear, entonces no entrego mis aportes significativos a tiempo

Premisa 3:

Si en las noches veo video-tutoriales del tema entonces no necesito resolvermis inquietudes del tema con mi tutor

Premisa 4:

 Soy disciplinada en mis estudios y en las noches veo video-tutoriales del tema

Conclusión:

Por lo tanto entrego mis aportes significativos a tiempoLa estructura del enunciado corresponde a un razonamiento deductivo. Identificación de las proposiciones simples:

S: Si soy disciplinada en mis estudios

T: entrego mis aportes significativos a tiempo

I: resuelvo mis inquietudes del tema con mi tutor

R: Si me dedico a rumbear, pasear

A: Si en las noches veo video-tutoriales del tema

Premisa 1:S→T+IPremisa 2:R→~TPremisa 3: A→~IPremisa 4: S&A

Conclusión: T

[(S→T+I) & (R→~T) + (A→~I) & (S&A)] →T]

El desarrollo de la tabla de la verdad es el siguiente:

S I R A [(S→T+I) & (R→~T) + (A→~I) & (S&A)] →T]V V V V VV V V F VV V F V VV V F F VV F V V VV F V F VV F F V VV F F F VF V V V VF V V F VF V F V VF V F F VF F V V VF F V F VF F F V VF F F F V

CONCLUSION

Este trabajo se basa en la importancia que relaciona los Teoremas y Técnicas de Demostración, dando a conocer el silogismo hipotético a aquel tipo de silogismo o más bien regla de inferencia que en su expresión plantea un caso hipotético, por lo cual puede tener términos válidos o no. En la lógica proposicional un silogismo hipotético puede expresar una regla de inferencia, Donde se desarrolla el silogismo disyuntivo, Y el método de demostración por reducción al absurdo se fundamenta en la condición de no contradicción para una teoría, básicamente la estrategia consiste en suponer explícitamente la negación de la proposición a demostrar, a partir de esta hipótesis se trata de generar una contradicción, esto es: que la teoría con ese supuesto es inconsistente y, en consecuencia, tal hipótesis es falsa, o lo que es equivalente, que su negación es verdadera, quedando validada la proposición inicial.

BIBLIOGRAFIA

Rafael  López.   (2012).  Algebra  de  Boole.  2012,  de  López  ahumada Sitio web: www.uhu.es/rafael.lopezahumada/descargas/tema3_fund_0405.pdf

Ángela Rendón. (2011). Lógica Matemática Tautología.  2011, de Word express Sitio   web:   https://angelarendon.wordpress.com/.../3-1-4-tautologias-contradiccion-y-contingenc