CÁLCULO INTEGRAL

Trabajo Colaborativo Fase 2

TUTOR:

DIEGO FERNANDO SENDOYA LOSADA

Ingeniero Electrónico

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

INTRODUCCIÓN

En este trabajo colaborativo encontraremos las referencias estudiadas en la fase dos del

curso cálculo integral, abarcando temas tales como técnicas y métodos de integración, a los

cuales trataremos de dar explicación por medio de la solución de los problemas planteados

con respecto a los temas antes mencionados.

OBJETIVO GENERAL

Comprender e interiorizar en cada uno de los ejercicios de la segunda fase del curso cálculo

Integral, para poderlos aplicar en diferentes escenarios del saber, utilizando las teorías y

definiciones que se soportan en el curso académico. Además de trabajar en grupo

colaborativo para socializar y compartir conocimientos.

EJERCICIOS

La integral definida de f entre a y b es

∫abf ( x )dx=Lím

n→∞∑i=1

n

f ( ci )∇ x=F (b )−F (a )para cualquier función f

definida en [a, b] para la que ese límite exista y sea el mismo para toda elección de los puntos de evaluación, c1, c2,…, cn. En tal caso, se dirá que f es integrable en [a, b].

Existen casos en el que el Teorema Fundamental del Cálculo NO se cumple para resolver integrales, tal es el caso de integrales que tienen integrando discontinuo en el intervalo propuesto.Sea f(x) una función continua en el intervalo semiabierto [a, b), entonces:

Si el límite existe y es finito, decimos que la integral impropia es convergente, donde el límite es el valor de la integral. Si el límite no existe, decimos que la integral impropia es divergente.

Evaluar las siguientes integrales impropias:

1. ∫0

1

ln (x )dx=−1

Para evaluar esta integral, se calcula como una integral definida entre x=t y x=1cuando t=0+¿ ¿

∫0

1

ln (x )dx= limt=0+¿∫

1

1

ln ( x )dx ¿

¿

Resolviendo por partes u=lnx y dv=x de donde du=dxx

y v=xtenemos:

limt=0+¿∫

t

1

ln ( x )dx= limt =0+¿( x ln (x ) −x¿)|1t ¿¿

¿¿

¿

¿ limt=0+¿ 1 ln ( x )−¿ t ln (t )−1−t ¿ ¿

¿

¿ limt=0+¿−t ln ( t )−1+t= lim

t=0+¿−tln (t )−1¿¿ ¿

¿

Aplicando la regla de L`Hospital, tenemos:

∫a

b

f ( x )dx=Limt→b−

∫a

t

f (x )dx

limt=0+¿−t ln ( t )= lim

t=0+¿ ln ( t )1t

¿

¿¿¿

¿ limt=0+¿ 1 /t

−1t 2

¿

¿

¿ limt=0+¿−t=0¿

¿

Por tanto

∫0

1

ln (x )dx=¿ limt=0+¿−t ln (t )−1¿

¿

¿−0−1=−1

Y la integral converge a -1

2. ∫2

∞1

(x−1) ²dx=1

Realizamos integración por sustitución

u=( x−1 ): du=1dx ,dx=1du

∫ 1

u21du

¿∫u−2du

u−2+1

−2+1

Sustituimos u=( x−1 )

(x−1)−2+1

−2+1

−1x−1

+c

Calculamos los límites

limx

2+¿− 1x−1

=−1¿

limx∞( −1x−1 )=0

=0-(-1)

=1

3. ∫−∞

∞

e−5 xdx

Por sustitución

u=−5x

dudx

=−5

du=5dx

Reemplazamos

∫ eu(−15 )du

∫−eu

5du

−15 ∫eudu

Integrando

−15eu+c

Reemplazando

−15e−5x+c

¿− e−5 x

5+c

Calculamos límites

limx

−∞(−e−5x

5 )=−∞

limx∞(−e−5x

5 )=−∞= 0

0−(−∞ )=∞

4. ∫2

54+x

√ x2−4dx

Regla de la suma

∫ 4

√ x2−4dx +∫ x

√ x2−4dx

∫ 4

√ x2−4dx

Hallamos la constante

4∫ 1

√ x2−4dx

Sustituimos

x=2 sec (u ) :dx= 2cos (u)

tan (u )du

4∫ 1

√(2 sec (u ))2−4

2cos (u)

tan (u )du

4∫2

cos (u)tan (u)

√4 sec2(u)−4du

4 ∙2∫tan (u)cos (u)

√4 sec 2(u)−4du

Luego

4 sec2 (u )−4=4 ¿

Dado que

4 ∙2∫tan (u)cos (u)√4 ¿¿¿

¿

4 ∙2∫tan (u)cos (u)

2√2 sec2(u)−1du

Hallamos la constante

4 ∙2 ∙12∫

tan (u)cos (u)

√2 sec2(u)−1du

Utilizamos la identidad: sec2 ( x )=1+ tan2(x)

4 ∙2 ∙12∫

tan (u)cos (u)

√−1+1+tan 2(u)du

4 ∙2 ∙12∫

tan (u)cos (u)

√ tan2(u)du

4 ∙2 ∙12∫

tan (u)cos (u)tan (u)

du

v=tan (u2 ): du= 21+v2 dv ,cos (u )=1−v2

1+v2 , tan (u )= 2 v1−v2

4 ∙2 ∙12∫

2 v

1−v2

1−v2

1+v2

2 v

1−v2

2

1+v2dv

4 ∙2 ∙12∫

−2

v2−1dv

Hallamos la constante

4 ∙2 ∙12(−2∫ 1

v2−1dv )

Reemplazamos

v2−1=(−1)(−v2+1)4 ∙2 ∙12¿

4 ∙2 ∙12¿

∫ 1

−v2+1dv¿¿=arctanh ( v )

4 ∙2 ∙12¿

Sustituimos

v=tan (u2 ) ,u=arcsec ( x2 )

4 ∙2 ∙12¿

Simplificamos

8arctanh ( tan( arcsec ( x2 )

2 ))Parte 2:

∫ x

√ x2−4dx

Sustituimos

u=x2−4 : du=2 xdx ,dx= 12dx

dx

∫ x

√u1dxdu

∫ 12√u

du

Hallamos la constante

12∫

1

√udu

12∫ u

−0,5du

12u−0,5+1

−0,5+1

Reemplazamos

u=x2−4

12x2−4−0,5+1

−0,5+1

Simplificamos

√ x2−4

Solución:

8arctanh ( tan( arcsec ( x2 )

2 ))+√x2−4+C

Calculamos los límites

limx

2+¿(8 arctanh( tan( arcsec ( x2 )

2 ))+√x2−4)=0¿

limx

5−¿ (8arctanh( tan( arcsec ( x2 )

2 ))+√ x2−4)=√21+8arctanh(√ 37 )¿

Luego: √21+8arctanh(√ 37 )−0

Simplificamos y obtenemos:

√21+8arctanh(√ 37 )

Para resolver diferentes tipos de integrales es indispensable tener en cuenta las propiedades básicas de las integrales (integrales inmediatas) y las diferentes técnicas o métodos de integración como integración por sustitución e integración por cambio de variable.

Evaluar las siguientes integrales:

5. ∫ sec2 (u )u

udu

∫ sec2 (u )du

Se aplica la regla de la integración:

∫ sec2 (u )du=tanu

Entonces tenemos:

¿2 tanuY sustituimos

u=√x

¿2 tan (√ x )+c

6. ∫1

41

(1+√x )dx

Calculamos la integral indefinida:

∫ 1(1+√ x )

dx

Integración por sustitución:

u=√x : du=1

2√ xdx du=

12udx, dx=2udu

¿∫ 11+u

2udu

¿∫2−¿ 2u+1

du¿

Aplicamos la regla de la suma

¿∫2du−¿∫ 2u+1

du¿

∫2du=2u

∫ 2u+1

du=2nl(u+1)

¿2u−2nl(u+1)

Sustituimos la ecuación u=√x

¿2√x−2 ln (√x+1 )

Agregamos una constante a la solución:

¿2√x−2 ln (√x+1 )+c

Calculamos los límites:

limx→1+¿(2√x−2 ln (¿ √x+1 ))=2−ln (4 ) ¿¿

¿

limx→4−¿(2√x−2 ln (¿√x+1 ))=4− ln ( 9) ¿¿

¿

¿4−ln (9 )−( 2−ln (4 ) )

Simplificamos

¿2+ln ( 4 )−ln (9)

7. ∫0

π2

sen2 ( x )cos ( x )dx

Calculamos la integral indefinida:

∫ sen2 ( x )cos ( x )dx

Aplicamos integración por sustitución:

u=sen ( x ) :du=cos ( x )dx ,dx= 1cos (x )

du

¿∫u2 cos ( x ) 1cos ( x )

du

¿∫u2du

Aplicamos la regla de la potencia:

¿ u2+1

2+1

Sustituimos

¿sen2+1(x)

2+1

Simplificamos

¿sen3(x)

3

Agregamos una constante a la solución

¿sen3(x)

3+c

Calculamos los límites:

limx→0+¿( sen

3 (x)3 )=0¿

¿

limx→ π

2

( sen3(x )3 )=1

3

¿ 13−0

Simplificamos

¿ 13

8. ∫ xe(x2−1 )dx

Aplicamos la integración por sustitución:

u=x2−1: du=2 xdx ,dx= 12 xdu

¿∫ xeu 12xdu

¿∫ eu

2du

Sacamos la constante:

¿ 12eu

Sustituimos

¿ 12e( x

2−1)

Simplificamos

¿ ex2−1

2

Agregamos una constante

¿ ex2−1

2+c

Existen varios métodos para resolver integrales como integración por racionalización, integración por sustitución trigonométrica, integración por partes, integración por fracciones parciales.Resolver las siguientes integrales enunciando claramente la técnica o propiedad utilizada:

9. ∫ 1

(x2+4 x+13)dx

Aplicamos la integral por sustitución

u=( x+2 ) :du=1dx ,dx=1du

¿∫ 1

u2+91du

¿∫ 1

u2+9du

Aplicamos la integral por sustitución

u=3v : du=3 dv

¿∫ 1

(3v )2+93dv

¿∫ 1

3v2+3dv

Entonces:

¿∫ 13(v¿¿2+1)dv

¿

Tomamos la constante de salida:

¿ 13∫

1

v2+1dv

Utilizamos la integral común ∫ 1

v2+1dv=arctan (v)

¿ 13

arctan (v )

Sustituimos

v=13u ,u=(x+2)

=13

arctan ( 13(x+2))

Simplificamos

¿arctan( x+2

3 )3

Agregamos la constante

¿arctan( x+2

3 )3

+c

10. ∫ 1

4−x2dx

Aplicamos la integral por sustitución

x=2u :dx=2du

¿∫ 1

4−(2u)22du

¿∫ 1

2−2u2du

Aplicamos la propiedad algebráica

2−2u2=2(1−2u2

2 )¿∫ 1

2(1−2u2

2 )du

Tomamos la constante de salida:

¿ 12∫

1

1−2u2

2

du

¿ 12∫

1

1−u2du

Usamos la integral común

∫ 1

1−u2du=arctanh (u )

¿ 12arctanh (u )

Sustituimos

u=12x

¿ 12arctanh ( 1

2x)

Simplificamos

¿arctanh( x2 )

2

Agregamos la constante a la solución

¿arctanh( x2 )

2+c

11. ∫ x √x+1dx

Aplicamos la integración por sustitución

u=x+1 :du=1dx ,dx=1du

¿∫ x √u1du

¿∫ x √uduu=x+1→x=u−1

¿∫(u−1)√udu

Expandimos (u−1)√u¿∫ (u32−√u)du

Aplicamos la regla de la suma

¿∫u32 du−∫ √udu

∫u32du=

2u52

5

∫√udu=¿2u

32

3¿

¿2u

52

5−

2u32

3

Sustituimos en la ecuación

u=x+1

¿2(x+1)

52

5−

2(x+1)32

3

Agregamos una constante a la solución

¿2(x+1)

52

5−

2 ( x+1 )32

3+c

12. ∫ 2 x

(x2−3 x−10 )dx

Tomamos la constante de salida

¿2∫ x

(x2−3 x−10 )dx

¿2∫ x

(x−32 )

2

−494

dx

Aplicamos la integración y sustitución

u=(x−32 ) :du=1dx ,dx=1du

¿2∫ x

u2−494

1du

¿2∫ x

u2−494

du

u=(x−32 )→x=u+ 3

2

¿2∫u−3

2

u2−494

du

Aplicamos la regla de la suma

¿2(∫ u

u2−494

du+∫32

u2−494

du)∫ u

u2−494

du=ln(u2−49

4 )2

∫32

u2−494

du=3arctanh( 2u

7 )7

¿2( ln(u2−494 )

2−

3arctanh (2u7 )

7 )Sustituimos u=(x−3

2 )

¿2(( ln(x−32 )

2

−494 )

2−

3arctanh( 2(x−32 )

7)

7)

Agregamos una constante a la solución

¿2(( ln(x−32 )

2

−494 )

2−

3arctanh( 2(x−32 )

7)

7)+c

CONCLUSIONES

Identificamos los principios del cálculo integral para asimilar las técnicas de

integración.

Se aplicaron los diferentes métodos de integración.

Se comprendió el concepto de integral definida e indefinida.

Interpretamos diferentes teorías, definiciones y teoremas del cálculo integral para

poder comprender en diversos escenarios, la mejor manera de utilizarlos.

A través de la anterior actividad se lograron adquirir nuevas habilidades, destrezas y

conocimiento que fortalecen el proceso de aprendizaje.

BIBLIOGRAFÍA

Bonnet, J. (2003). Cálculo Infinitesimal: Esquemas teóricos para estudiantes de ingeniería y ciencias experimentales. Recuperado de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral- 100411_version_AVA/Calculo_Infinitesimal.pdf

González, M. (24 de mayo de 2012). Aprende Integrales - Tema 1. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=v6JgjHMvNVc

Ríos, J. (14 de abril de 2010). Integral por el Método de Sustitución. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=zCldXOtAKQo

González, M. (25 de mayo de 2012). Aprende Integrales - Tema 2. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=UOOswzhDmEk

Ríos, J. (2012). Videos en Texto Unidad 2. Recuperado de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral- 100411_version_AVA/Videos_en_texto_Unidad_2.pdf

Ríos, J. (19 de enero de 2012). Integral resuelta por los métodos de sustitución y partes. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=ukaQzboMjaA

González, M. (25 de mayo de 2012). Aprende Integrales - Tema 7. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=J3-ykUup1Wo

Ríos, J. (2012). Videos en Texto Unidad 2. Recuperado de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral- 100411_version_AVA/Videos_en_texto_Unidad_2.pdf

Ríos, J. (30 de agosto de 2009). Integración por fracciones parciales. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=sIJtWkE-t3w

Ríos, J. (2012). Videos en Texto Unidad 2. Recuperado de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral- 100411_version_AVA/Videos_en_texto_Unidad_2.pdf