2 calculo diferencial curso calculo rapido

CAPITULO 11

CALCULO DIFERENCIAL

Seccin l.

97LIMITES

Antes de entrar de lleno al estudio del Clculo Diferencial, debemosdetenemos un poco para aprender algo acerca de los LIMITES. La ideade Lmite, puede ser completamente nueva para el lector, pero es la partemedular del clculo y se debe tener mucho cuidado en entender muy bienesta seccin antes de seguir adelante.

Una vez que usted sepa realmente qu se entiende por Lmite, estaren condiciones de entender fcilmente las ideas del clculo diferencial.

Los lmites son tan importantes en el clculo, que los discutiremos des-de dos puntos de vista diferentes. Primero desde un punto de vista intui-tivo e inexacto. Luego, cuando ya nos hayamos familiarizado con la idea,daremos la definicin matemtica precisa de lmite.

Pase a 98.

63

64 Clculo Diferencial

98

Aqu tenemos una pequea aplicacin matemtica que nos puede serde utilidad.

Sea x una variable que toma valores dentro de un intervalo con laspropiedades siguientes:

1) El centro del intervalo es un cierto nmero a.

2) La diferencia x y a debe ser menor que otro nmero B.

3) x no puede tomar el valor de a (pronto veremos por que se ex-cluye este punto).

Los tres postulados anteriores pueden resumirse como sigue:

Ix - al > O

Ix-al

99

Lmites 65

25 ------------

Para comenzar nuestra disru-sin sobre lmites, veamos unejemplo. Trabajaremos con laeruacin y = f( x) = x2 que semuestra en la grfica de la dere-cha. P representa un punto de larurva cuyas coordenadas son:x = 3, y= 9.

Observemos el comportamien-to de y para valores de x toma-dos en un intervalo en la vecin-dad de x = 3. Por razones quepronto veremos, es importanteexcluir del intervalo el punto departirular inters P y para no ol-vidado lo encerramos dentro deun crrulo.

eje y

20

15

10

5

O

A

2 3

Fig. 45

4

A'

y=l

5 eje"

Empezaremos por considerar los valores de y correspondientes a valoresde x dentro de un intervalo en la vecindad de x = 3 Y variando entrex = 1 Y x = 5.

Con la notacin del prrafo anterior, esto se puede escribir O < I x-3 I < 2. El intervalo para la x se indica en la figura por la lnea A, elintervalo correspondiente para y est indicado por la lnea A' incluyendolos puntos comprendidos entre y = 1 Y Y = 25, con excepcin de y = 9.

Un intervalo ms pequeo para la x lo muestra la lnea B enO < I x - 3 I < 1, Yel intervalo que corresponde a y es 4 < Y < 16,excluyendo y = 9.

El intervalo para x mostrado por la lnea e est dado por O < I x-3 I < 0.5. Escriba el intervalo correspondiente para la y en el espacioen blanco de abajo, considerando que y =..9 est excluido.

Para encontrar la respuestacorrecta, pase al prrafo 100.


100

El intervalo para y correspondiente a O< I x - 3 I < 0.5 es

6.25 < y < 12.25

Fig. 46

y

Se puede comprobar fcilmente, substituyendo los valores de 2.5 y 3.5para la x en y = Xl- Y encontrando los valores de y en los dos extremos.

Hasta aqu, hemos considerado tresintervalos, cada vez ms pequeos pa-ra x, en la vecindad de x = 3, Y losintervalos correspondientes de y. Con-. tinuaremos este proceso. La figura re- 9.5presenta la grfica de la ecuaciny = x2 para valores de x compren-didos entre 7.9 Y 3.1. (Esta figura 9.0es una amplificacin de la del prrafoanterior.) Se muestran tres intervarlospequeos para la x en la vecindad dex = 3 con los correspondientes inter- 8.5valos para la y. La tabla de abajo con-tiene los valores de y que correspondena las fronteras de x en los extremos 8.0del intervalo. (El ltimo rengln es 2.9para un intervalo demasiado pequeopara ponerse en la figura.)

Intervalo intervalo corres-dex pon diente de y

1-5 1-252-4 4-16

2.5-3.5 6.25-12.252.9-3.1 8.41-9.61

2.95-3.05 8.70-9.302.99-3.01 8.94-9.062.999-3.001 8.994-9.006

Pase a 101.

Lmites 67

101

Esperamos que sea evidente de la discusin anterior, que a medidaque se disminuye el intervalo de x en la vecindad de x =3, los valores dey = x2 se acercan ms y ms a y = 9. De hecho, parece que podemos ha-cer que los valores de y sean tan cercanos como se quiera a y = 9, limi-tando nicamente los valores de x en un intervalo lo suficientemente pe-queo en la vecindad de x = 3. Ya que esto es cierto, podemos decir queel lmite de x2, cuando x se aproxima a 3, es igual a 9 y lo escribimos as:

lim x2 = 9.x ->3

Poniendo lo anterior en trminos generales:

Si una funcin f(x) est definida para valores de x cercanos a uncierto valor fijo a, y si la x est restringida a tomar valores dentro de in-tervalos cada vez ms pequeos en la vecindad de a, los valores de f (x)se acercan ms y ms a un cierto nmero fijo L, el nmero L se llamael lmite de f(x), cuando x se aproxima al nmero a.

El enunciado que dice: "el lmite de f(x) cuando x se aproxima alnmero a, es L y se abevia comnmente:

lim f(x)=L.x ->a

En el ejemplo discutido, f(x) = x2; a = 3, Y L = 9.

La idea importante en la definicin es que los intervalos usados estnen la vecindad del punto de inters a, pero dicho punto no est incluidoen el intervalo. De hecho, f (a), el valor de la funcin en el punto a,puede ser completamente diferente de lim f(x), como pronto veremos.

x->a

Pase a 102.


102Usted se preguntar porqu hemos hecho una discusin tan complicada

de un problema aparentemente simple. Por qu molestarse con ellim x2 = 9 cuando es obvio que x2 = 9 para x = 3?"'-+3

La razn es que a menudo el valor de una funcin para un valor par-ticular x = a no est definido, mientras que el lmite cuando x tiende a a

sen ()est perfectamente definido. Por ejemplo, para ()= O la funcin --

()

tiene el valor ~, que es una indeterminacin. Cuando lleguemos al prrafoO

110,veremos que

l. sen ()lffi--=l.() -+ o ()

Consideremos otra ilustracin.

(x)=x2-1x - 1

Para x = 1,f( 1)= 1- 1= ~, no est definido. Sin embargo pode-1-1 O

mos dividir entre x - 1 teniendo en menta que x no es igual a 1, obte-niendo

(x) = x2

- 1 = (x + 1) (x - 1) = x + 1.x-1 x-1

Por lo tanto, aunque f(l) no est definida,

lim (x) = 1im (x + 1) = 2.x-+l x-+l

La demostracin rigurosa de los dos ltimos pasos est dada en elapndice A2, con las reglas para manejar los lmites. No es necesario leerel apndice en este momento, a menos que lo desee.

Tambin se pueden obtener los resultados de arriba, estudiando la gr-fica de la funcin en la vecindad de x = 1 como se hizo en el prrafo 99.

Pase a 103.

103

Lmites 69

Para comprobar si lo entendi, encuentre los lmites de las siguientesfunciones, un poco ms complicadas, en forma anloga al prrafo ante-rior: (Posiblemente tenga que hacerlos en su cuaderno. En los dos debetrabajar con lgebra).

(a) lim (l + x)2 - 1 = [I Ixl - 1 I 2Jx -+0 x

(b) im 1 - (l + x)3 = [I Ixl 3 I - 3Jx -+0 x

Si acert, pase a 105.Si no, pase a 104

104Estas son las soluciones a los problemas del 103:

(a) im _(_1_+_x_)_2_-_1= lim (_I_+_2_x_+_x_2_)_-_1x-+o x x-+o X

=lim 2x+x2_lim (2+x)= lim 2+ lim x=2

x-+o x x-+o x-+o x-+o

lim 1 - (l + x) (l + x) (l + x)(b)1-(l+x)3

lim-----x -+0 x x -+0 x

1 - (1 + 3x + 3x 2 + X 3)= lim ----------

x -+0 Xlim (- 3 + 3x + X 2)x -+0

= im (-3)+ lim 3x+ im x2=-3x-+o x-+o x-+o

Si necesita la demostracin de los pasos usados, vea el apndice A2.Pase a 105.


105Hasta aqu, hemos discutido los lmites de una manera informal e

intuitiva, usando expresiones tales como, "confinado a un intervalo cadavez ms pequeo" y "acercndose ms y ms". Esas expresiones nos danel significado intuitivo de un lmite, pero no son trminos matemticosprecisos. Ya nos preparamos para la definicin precisa de lmite.

Como es una costumbre muy generalizada, emplearemos en la definicin de lmite, las letras griegas 8 (delta) y E (psilon). Continuemos.

Definicin de un lmite

Sea f(x) definida para toda x en un intervalo en la vecindad dex = a, pero no necesariamente en x = a. Si hay un nmero L tal que acada nmero positivo E corresponda un nmero positivo 8 de tal modoque se cumpla

I/(x) - L I < ( considerando que 0< Ix - al < O

decimos que L es el el lmite de f(x) cuando x tiende a a, y se escribe

lim /(x) = L.x -+a

Pase a 106.

Respuestas: (103) 2, - 3.

Lmites 71

106

La definicin formal de un lmite en el prrafo 105, sienta las basespara iniciar una discusin sobre la existencia del lmite y si este es L. Con-sidrese que afirmamos que lim f(x) = L, Y alguien no est de acuerdo.

Z-.4

Como primer paso, decimos que escoja un nmero positivo e, tan peque-o como se quiera, digamos 0.001 si se quiere ponemos en apuros1000-1000. Nuestro trabajo consiste en encontrar algn otro nmero, S, talque para toda x en el intervalo O < I x - a I < S, la diferencia entref(x) y L sea menor que E. Si podemos hacer esto, ya ganamos la discusin;el lmite existe y es L. Estos pasos estn ilustrados para una funcin enparticular, en las figuras de abajo.

f(x)

L -------- }2.

xa

(a)Fig.47

f(x)

L -------- }2.

xa

(b)

Nuestro oponente nos ha retado aencontrar una S compatible con es-ta E.

Esta es la S escogida. Por supues-to que para todos los valores dex en el intervalo mostrado, f(x)satisface: ,I f(x) -L I < E

Posiblemente nuestro oponente pueda encontrar una e tal que nos-otros nunca podamos encontrar una S que llene los requisitos pedidos.En este caso, l gana y f(x) no tiene por lmite L. (En ei prrafo 114 vere-mos un ejemplo de una funcin que no tiene lmite.)

Nuestra definicin formal del lmite, obviamente es ms precisa quela expresin del prrafo 101 que dice "si x est restriagido a intervaloscada vez ms pequeos en la vecindad de a, los valores de f(x) se acercanms y ms a L."

Pase a 107.


107

En los ejemplos estudiados hasta aqu, la funcin ha sido expresadapor una sola ecuacin. Sin embargo, esto no sucede siempre. Este ejem-plo nos muestra 10 anterior.

f(x) = 1 para x*-2f(x) = 3 para x = 2

(El smbolo *- significa diferente de.)

((x)

~f-"",;-,-,-,-,%-1 O 2 3 4 5 6

Fig. 47 bis.

Un diagrama muy sugestivo de esta funcin peculiar est en la figura.Usted debe ser capaz de comprender que lim f(x) = 1 mientras que

" .2

f(2) = 3.Si quiere una explicacin ms amplia de esto, pase a 108.

Si no, pase a 109.

108

Para cualquier valor de x excepto para x = 2, el valor de f(x) = 1.Por tanto f(x) - 1 = Opara toda x, excepto x = 2. Como O es menor

que cualquier nmero positivo E que usted pueda encontrar, se sigue de ladefinicin de lmite, que lim f(x) = 1, aunque f(2) = 3.

" .2

Pase a 109.

Lmites 73

109

Esta es otra funcin que tiene un lmite bien definido, pero que nopuede valorarse en el punto lmite: Consideremos f(x)=(l + x) 1/". Elvalor de f (x) en x = O es muy confuso. Sin embargo, es posible hallarel lim (1 + xP/".

" ...0

Veremos despus cmo se encuentra este lmite numricamente. Su valores 2.718 ..... Esta cantidad ser importante en nuestro estudio de loga-ritmos y se le da un smbolo especial, e. Como 71', e es irracional: es decir,es un nmero inconmensurable.

El procedimiento para encontrar el valor de e est en apndice A6,que puede leer, si gusta.

Pase a 110

sen 8-8-


110

El procedimiento a seguir para encontrar el lmite, vara con cada pro-blema, En el apndice A2 estn varios teoremas para encontrar los lmitesde funciones sencillas, que debe leer si le interesa. El resultado visto an-teriormente,

l. sen 8lm--= 1

8-+0 8

est demostrado en el apndice A3. (El lmite es 1 solamente si 8 estdado en radianes.)

Fig.48

Se puede ver el porqu de este resultado, graficando la funcin sen 88

como se muestra en la figura. Podemos hacer esto fcilmente, con la ayudade tablas trigonomtricas excepto para 8 = O. De la fig. se observa que

. sen 81Im--= 1.8-+0 8

Pase a 111

Lmites 75

111

Hasta ahora, en nuestra discusin sobre lmites, hemos despreciado elvalor de f(x) en el punto de inters, a. De hecho, fea) no se necesita queest definida para que el lmite exista. Sin embargo, a veces fea) est defi-nida. Si esto sucede y si adems

lim ((x) = ((a)x ->a

se dice entonces que la funcin es continua en a. Resumiendo, llene losespacios en blanco de abajo:

Una funcin f es continua en x = a si

(1) fea) es _

(2) lim f(x) = _fI:-+a

Compruebe sus respuestas enel prrafo 112


112

Estas son las respuestas correctas: Una funcin es continua en x = a si

(1) fea) est definida.(2) lim f(x) = fea).

"'-+a

Cuando se traza la grfica de una funcin continua, el lpiz no se separadel papel en la regin de inters (punto lmite). Determine cules de lasfunciones siguientes son continuas en el punto indicado.

(1) {(x)

En x = 3, f(x) es [continua I discontinuaJ(2)

{1,X2:0

{(x)=O, x < O

En x = 1, f(x) es [continua I discontinuaJ

(3) {(x) = I x lEn x = O, f(x) es [continua I discontinuaJ

( 4) La funcin f (x) vista en el prrafo 107En x = 2, f(x) es [continua I discontinuaJ

Si contest bien todas, pase a 114.Si cometi algn error quiere

una explicacin, pase a 113.

113

Lmites 77

(1)

(2)

Estas son las explicaciones a los problemas del prrafo 112.

x2 + 3 12 .. '.En x = 3, f(x) = --- = -. Esto es una mdetermmaClon y9 - x2 O

por lo tanto la funcin no es continua en x = 3.Aqu est la grfica de la funcin dada.

{(x)

2

-3 -2 -1 o

Fig.49

x

Esta funcin satisface las dos condiciones de continuidad en x = 1,siendo continua ahi. (Es discontinua en x = O.)

x(3) esta es la grfica de f(x) = I x lEsta funcin es continua en x = O yaque satisface las condiciones requeri-das.

Fig. 50

(4) En la funcin del prrafo 107, f(x) tiene el valor de 3 en x = 2,mientras que lim f(x) = 1. Ya que el valor de la funcin y el

x-+2

lmite son diferentes en ese punto, se sigue que la funcin esdiscontinua ah.

Pase a 114.

Respuestas: (112) Discontinua, continua, continua, discontinua.


114

Antes de terminar con los l-mites, quiz usted quiera ver unade esas funciones que en algnpunto no tienen lmite. Una detales funciones es la del proble-ma (2) del prrafo 113. Su gr-fica es la de la figura. Puede ver-se que la funcin no tiene lmiteen x = o, usando el procedi-miento para encontrar el lmite.

((;;e)

2

Fig. 51

Como una ilustracin, supongamos que lim j(x) = 1. Nuestro opo-.&~o

nente escoje un valor para , digamos 1/4. Si I x - O I < 8, donde 8es cualquier nmero positivo.

I j(x) - 1 1{

1

1 1 - 1 I = O si x > O

1 - 1 1 = 1 si .\' < O

Por lo tanto, para toda.\' negativa en el intervalo, I j(x) - 1 I = 1,que es mayor que = 1/4. As, 1 no es el lmite. Usted debe comprenderque 110 hay un nmero L que satisfaga las condiciones, ya que j(x) cambia a 1 cuando x pasa de valores negativos a positivos.

Pase (l 115.

coU

Lmites 79

115Aqu tenemos otro ejemplo de una funcin que no tiene lmite en un

punto dado. En la grfica se observa que cot () no tiene un lmite cuando()~ o. En lugar de acercarse cada vez ms a algn nmero L, el valor dela funcin crece indefinidamente cuando ()~ o, en la direccin indicadapor A, y crece indefinidamente en sentido negativo, cuando ()~o en ladireccin indicada por B.

3

2

-2\-3\

Fig.52

Con esto terminamos nuestro estudio sobre lmites de una funcin.Si quiere practicar ms con los lmites, vea los problemas de repaso enla pgina 286, del 21 al 28.

Estamos listos para pasar a la seccin siguiente.Pase a 116.

80

Seccin 2.

116

VELOCIDAD

Hemos estado trabajando en forma abstracta, as que antes de entraral clculo diferencial, hablaremos de algo prctico: movimiento, porejemplo. Est comprobado que Leibniz y Newton inventaron el clculodebido a que estaban interesados en problemas de movimiento, as queno estar mal empezar esto.

Pase a 117.

117

Para empezar aqu tenemos este problema que ya debe ser capaz dehacer. En este problema, como en todos los dems de este captulo, elmovimiento ser rectilneo.

Un tren se aleja de nosotros a una velocidad de v kph. (km. por hora).Para t = O, est a la distancia So del punto de partida, (El subndice enSo es para evitar confusin. So es una distancia en particular y es cons-tante; S es una variable.) Escriba la ecuacin de la distancia S a que seencuentra el tren de nosotros, en trminos del tiempo, t. (Tome comounidad de tiempo, una hora.)

S = _Pase a 118 para verla respuesta conecta.

118

Si escribi S = So + vt, es correcta su respuesta. Pase al prrafo119.

Si su respuesta no fue equivalente a la de arriba, debe tratar de enten-der que esa, es la respuesta correcta. Vea que en ella, S = So cuando t = Ocomo se pide. La ecuacin es la de una lnea recta y sera bueno repasarla seccin 3 del captulo 1 Cjue trata de funciones lineales, antes de seguiradelante. Cuando la haya ~ntendido, pase a 119.

Velocidad 81

119

Esta es la grfica de las posicio-nes a diferentes tiempos, de un trenque se mueve en lnea recta. Por su-puesto, esto representa una ecuacinlineal. Escriba la ecuacin de la po-sicin del tren (en kilmetros) entrminos del tiempo (en horas).

s = _De la ecuacin anterior, encuentrela velocidad del tren.

400

8

v = _

120

Fig. 53

Pase a 120, para ver larespuesta correcta.

121

Estas son las respuestas a las preguntas del prrafo anterior.

5= - 60t + 300v= -60 kpm.

La velocidad es negativa, ya que S disminuye cuando aumenta eltiempo. Si quiere aclarar la idea" revise los prrafos 33 y 34.

Pase 121.

sEsta es otra grfica de posicin

de un tren que viaja en lnea recta.

La propiedad de la lnea que repre-senta la velocidad del tren es la_________ de la lnea.

Fig.54

Para ver la respuestacarrecta pase a 122.


122La propiedad de la lnea que representa la velocidad del tren, es

la pendiente de la lnea.

Si escribi lo anterior, pase a 123 directamente.

Si escribi otra cosa, o lo dej en blanco, entonces ya olvid lo querepasamos en la seccin 3 del captulo I. Debe repasar otra vez esaseccin (especialmente prrafos 33 y 34) Y pensar este problema antesde seguir adelante. Al menos, entienda que la pendiente representarealmente la velocidad.

Pase a 123

123Estas son las grficas de po-

sicin contra tiempo, de 6 obje-tos distintos que se mueven en lalnea recta. Cul grfica corres-ponde al objeto que:

s

tiene la mayor velocidad hacia delante?

se mueve hacia atrs ms rpidamente?

est en reposo?

[a I b I cid I e I LJ

[alblcldlelLJ

[a I b I cid I e I LJ

Si acert todas, pase a 125Si tuvo algn error, pase a 124.

Velocidad 83

124

La velocidad de un objeto est dada por la pendiente de la grficadistancia-tiempo. No confunda la pendiente de una lnea, con su colo-cacin.

s

1(a) Todas estas lneas tienen la mis-

ma pendiente ..

Fig. 56

(b) Estas lneas tienen diferentependiente.

La pendiente positiva indica que la distancia aumenta con el tiempoy corresponde a una velocidad positiva. Tambin, una pendiente negativasignifica que la distancia disminuye con el tiempo y' que la velocidad esnegativa. Si necesita revisar el concepto de pendiente, vea los prrafos25-27 antes de continuar.

Usted ya puede contestar esto:

Cul de las lneas de la figura de la derecha de arriba, tiene pen-diente negativa? [a I b 1 e I dJ

la pendiente positiva ms grande?

Respuestas: (123) d, b, e

[a lb I el dJPase a 125.


125

Hasta aqu, hemos considerado que las velocidades son constantesen el tiempo. Pero qu pasa si la velocidad cambia?

eje t

Fig. 57

eje sEsta es la grfica de las po-siciones de un automvil queviaja con velocidad variable. Pa-ra describir este movimiento, in-troduciremos la velocidad mediav (lease "v con barra"), que esla razn de la distancia recorridaal tiempo empleado en recorrerIa. Por ejemplo, entre los tiempos tI y t2el automvil recorri la distancia 52 - 51>as (52 - 51) / (t2 - tI) fue su

durante ese tiempo.

Pase a 126

126

La respuesta correcta al prrafo anterior es

(52 - 5 1)/(t2 - t1)fu su velocidad media durante ese tiempo.

(La palabra "velocidad" sola, no es la respuesta correcta.)

Pase a 127.

127

Definiendo la velocidad media, v, algebraicamente,

S2 - SIv=----

podemos interpretar v grfica-mente. Si trazamos una lnea rec-ta entre los puntos (t 11 51) Y(t2' 52), entonces la velocidadmedia es sencillamennte la pen-diente de esa lnea.

ejes

82

ti t2

Fig. 58

eje t

Pase a 128.

Respuestas: (124) d, a

Velocidad 85

128

la mayor hacia adelante? D 12 I 3]

Durante cul de los intervalos, fuela velocidad media

ms cercana a O?

la mayor hacia atrs?

129

D 1213]

D [21 3]

s2 3

~~I I II II II I

1Fig. 59

Si acert, pase a 130.Si no, pase a 129.

Ya que se equivoc en el ltimo problema, lo analizaremos detalla-damente.

En la figura se han trazado lneasrectas a travs de los puntos A, B, C. SLa lnea (1) tiene una pendiente muypequea y corresponde a una veloci-dad cercana a cero. La lnea (Il) tienependiente positiva y la lnea (IlI)tiene pendiente negativa, que corres-ponden a velocidades medias positivay negativa respectivamente. Fig. 60

Pasea 130.

130

Ampliaremos el concepto de velocidad, en forma importante: en lu-gar de preguntar "Cul es la velocidad media entre los tiempos ti y t2?"preguntaremos: ,,'Cul es la velocilad en el tiempo ti?" La velocidad enun instante determinado se llama velocidad INST ANT ANEA. Esto esun trmino nuevo para usted, y daremos su definicin exacta, tan prontoveamos algo ms acerca de ello.

Pase a 131.


131Podemos interpretar grficamente la velocidad instantnea. La velo-

cidad media es la pendiente de una lnea recta que une los dos puntossobre la curva (t1, 51) y (t2, 52)' Para encontrar la velocidad instan-tnea, necesitamos que t2 est muy cercano de t1. A medida que hacemosque el punto B sobre la curva se acerque al punto A (considerando inter-valos de tiempo cada vez ms pequeos a partir de t 1), la pendiente dela lnea que une A y B, se aproxima a la pendiente de la lnea l. En estecaso, la lnea 1 tiene la misma pendiente que la curva en el punto A. Estalnea es una tangente a la curva

Fig.61

Pase a 132

132Aqu, la idea de un lmite se vuelve importante. Si trazamos una lnea

recta a travs de dos puntos A y B sobre la curva y acercamos cada vezms el punto B al punto A, la pendiente de la lnea se aproxima a unvalor nico, que puede identificarse como la pendiente de la curva enA. Lo que debemos hacer es considerar el lmite de la pendiente de lalnea que une A y B, cuando B --7 A.

Pase a 133.

Respuestas: (128) 1, 2, 3

Velocidad 87

133Daremos un significado preciso a la idea intuitiva de la velocidad

instantnea como la pendiente de una curva en un punto dado. Empeza-remos considerando la velocidad media.

eje t11

S1

v = (52 - 51)/(12 - t1) = la pendiente de la lnea que une 1 y 2.eje s

S2

Fig.62

Cuando t 2 ~ t lJ la velocidad media se aproxima a la velocidad ms-tantnea, v ~ v cuando t2 ~ tlJ o

52-51V = lim ----

12 ->/1 t2 - t1Pase a 134.

134Dada la importancia de las ideas anteriores, haremos un resumen.Si un punto se mueve de 51 a 52 durante el tiempo t 1 a t2, entonces

_______ ,v.

Si consideramos el lmite de la velocidad media, cuando el tiempotiende a cero, esto se llama la _ , v.

Trataremos ahora de presentar estas ideas en forma ms clara.Si puede, escriba la definicin rigurosa de v en el espacio en blanco.

v=

Pase al prrafo 135por la respuesta.

Fig.63

-f---------- eje t


135

Las respuestas correctas del prrafo 134 son las siguientes:

Si un punto se mueve de S 1 a S 2 durante el tiempo tia t 2, entonces(S2-S1)/(t2-tl) es la velocidad media, iJ.

1, 52-51v= 1m ---t2 -+t1 t2 - ti

Si escribi lo anterior, muy bien! Pase a 136.

Si escribi alguna otra cosa, regrese al prrafo 133 y repase hasta aquotra vez,

Despus pase a 136,

136

Para hacer ms breve la nota- ejescin, pondremos /2 = ti +!lt YS2 = SI + !lS. Esto es, el punto semueve una distancia !lS en un tiem-po !l/. (!lS es un smbolo que selee "delta S"; no significa !l X S.)Aunque la notacin es nueva, vale lapena usada ya que nos ahorra mu-cha escritura. Como S2 = SI + !lS,entonces D.5 = 52 - S1> por defini-cin. En forma anloga !lt = t2- ti' En general, !lx = X2 - Xldonde X es cualquier variable yXl Y X2 son dos valores dados de x.Por tanto, SI y = f(x), !ly = Y2-- YI = f(X2) - f(XI) = f(XI + D.x)- f(Xl)

Con esta notacin, nuestra definicin de velocidad instantnea es

v=

Pase a 137 pat'a vet' larespuesta correcta

Velocidad 89

137

Si escribi

v6.5

1im6.t->o 1ft'

quiere decir que s le est entendiendo, pase a 138

Si se equivoc, necesita repasar ms. Estudie los prrafos del 134al 136 y despus pase a 138.

138

Aqu aplicaremos la idea de velocidad instantnea, analizando unejemplo, paso a paso. Despus, encontraremos caminos ms cortos parahacer esto.

Supongamos que la expresin siguiente nos da la posicin en fun-cin del tiempo.

s = t (t) = kt2 (k es una constante)Estos son los pasos a seguir, para encontrar v:

I(t + 6.t) = k [t + 6.t]2 = k [t2 + 2t6.t + (6.t)2]6.s = IU + 6.t) - IU) = k [t2 + 2t6.t + (6.t)2] - kt2

= k [2t6.t + (6.t)2]

M = k [2t6.t + (6.t)2] = 2kt + k6.t6.t 6.t

v = 1im 6.s = 1im [2kt + k6.t] = 2kt.6.t->o 6.t 6.t->o

En el siguiente prrafo, tenemos un problema ms fcil, para quelo resuelva.

Pase a 139.


139Consideremos que nos dan S = f(t) = vot + So.El problema consiste en encontrar la velocidad instantnea, a partir

de nuestra definicin.

En el tiempo f::,.t el punto se mueve la distancia f::,.S.

~S = -------------~S

v = liro - =~1~0 ~t

Llene los espacios enblanco y pase a 140.

140

Si escribi

~S = vo~t

y

l. ~Sv = 1m --- vo,~1~0 ~t

estuvo muy bien, pase a 142.

Si se equivoc, estudie detalladamente la explicacin en 141.

141

Este es el procedimiento correcto. Ya que 5= f(/) = vot + So,

~S = t(t + ~/) - t(t)

= Vo [t + ~t1 + So - [Vol + So]= Vo~1

lim ~S =~1~0 ~t

liro vo~t =~t~O ~t

liro Vo = Vo~1~0

En este caso, la velocidad media y la velocidad instantnea son Igua-les, ya que la velocidad es una constante, vo.

Pase a 142.

Velocidad 91

142Este problema es para que lo resuelva. Supongamos que la posicin

de un objeto est dada por.

s = f(t) = kt2 + lt + So,

donde k, l YSo son constantes. Encuentre v.

v = lim !'!S =!'!t-+o !'!t

Para comprobar surespuesta pase a 143.

143La respuesta es

v = 2kt + l.

Si as lo hizo, pase a la seccin siguiente, en el prrafo 146.

Si no,

Pase a 144.


144Esta es la solucin al problema del prrafo 142.

f(t) = kt2 + [t + So

f(t + I'1.t) = k[t + I'1.t]2 + l[t + 1'1.t1 + So

= k [t2 + 2tl'1.t + (l'1.t)2] + [[t + I'1.t] + So

I'1.S = f(t + I'1.t) -/(t) = k [2tl'1.t + (l'1.t)2] + [l'1.t

v = lim I'1.S lim {k [2tl'1.t - (l'1.t)2] + [l'1.t 1I'1.t->o I'1.t I'1.t->o I'1.t

= lim I k [2t - I'1.tl + [1 = 2kt + [1'1. t ->0

Trate de hacer este problema:Si S =At3, donde A es una constante, encuentre v.

Respuesta: _Para comprobar su

respuesta pase a 145.

145Esta es la respuesta: v = 3At2. Pase a 146, a menos que quiera ver

como se hace el problema.

S = At3

I'1.S = A [t + I'1.t]3 - At3

= A [t3 + 3t21'1.t + 3t(l'1.t)2 + (l'1.t)3] - At3

= 3At21'1.t + 3At(l'1.t)2 + A (l'1.t) 3

v= lim I'1.S =I'1.t->o I'1.t

Pase a la siguienteseccin. Pt-rafo 146.

Derivadas 93

Seccin 3. DERIVADAS

146

En esta seccin daremos una interpretacin ms general a los resul-tados obtenidos con la velocidad. Esto nos conducir a la idea de unaderivada, que es realmente la mdula del clculo diferencial.

Pase a 147.

147Llene los espacios en blanco.Cuando escribimos S= f(t), estamos diciendo que la pos1ClOn de-

pende del tiempo. La posicin es la variable dependiente y el tiempo

es la variable _

La velocidad es la rapidez del cambio de pos1ClOn con respecto altiempo. Por lo tanto, decimos que la velocidad es (de la definicin formal) :

v=

Pase al prrafo 148 para verlas respuestas correctas.

148

l. /),,51m -

/),,1->0 /)"tv=

En el prrafo anterior, debi haber escrito:.... el tiempo es la variable independientey

Pase a 149.

149

Consideramos cualquier funcin continua definida por, digamos y =f(x). En este caso, y es la variable dependiente y x es la variable indepen-diente. Si preguntamos "Cul es la rapidez de variacin de y cuando xcambia?", podemos responder a lo anterior, tomando el lmite siguiente:

d d .. , d l /)"YrapI ez e vaflaClon e y con respecto a x = A 1m ~ux->O uX

Pase a 150.


150

geomtrica a lim Y , donde",....o x

eje y

ejexx+/ix

//

/1// I

/" I// I

IIIII

Fig.64

Usted puede darle una interpretaciny = f(x). Para hacerlo llene los espa-cios en blanco. Geomtricamente, lim

,,-+o

~ puede encontrarse trazando una l- y + liyxnea recta a travs de los puntos (x, y) y(__ , __ ) como se indica en lafigura. La pendiente de esa recta, est

dada por Y y lim Y es la deX t..,-+o x

_______ la curva en (x, y).Pase a 151

151Las inserciones correctas del prrafo 15O son:

(x + D.x, y + D.y),y

lim - es la pendiente de la curva en (x, y).,,-+o X

(Si quiere ver la razn de ello, repase el prrafo 131 antes de seguiradelante. )

Pase a 152

152

Otra forma de escribir y esX

Y2 - Y f(X2) - f(x)---, oc------ .X2-X X2-X

Si no reconoce la notacin empleada aqu, repase el prrafo 136.

Pase a 153

Derivadas 95

153Repasemos una vez ms.Si queremos saber cmo vara y cuando x cambia, lo encontraremos

tomando el lmite siguiente:

Llene el espacio en blanco

y pase a 154.

154La respuesta correcta del prrafo 153 es:

lim !:iy, lim y 2 - Y I!:ix..o!:ix X2 "'XI X2 - XI

Si acert, pase a 155.Si se equivoc, regrese a 149.

155t:.y

Debido a que lim es muy til, le daremos nombre y smbolot:.,,...o t:.x

especial.

lim t:.y se llama la derivada" de y con respecto a x, y se escribe cont:." ..o t:.x

dyel smbolo especial

dx

dy

dxlim !:iy

!:ix ..o !:ix

De nuevo: dy es la de _dx

con respecto a ---oPase a 156 para ver la

respuesta correcta.


156

El enunciado correcto es:

dy es la derivada de y con respecto a x.dx

Aunque dy, parece una fraccin, est definido aqu como un smbolodx

completo que representa lim ~. El smbolo se lee como "de y de x"tL.o flx

o "de y en de x". Algunas veces, dy se escribe como y', pero nosotrosdx

dysiempre usaremos

dx

Podemos aplicar esta definicin a la velocidad discutida anteriormente.Ya que la velocidad es la rapidez de cambio de posicin con respecto altiempo, la velocidad es la derivada de la posicin con respecto al tiempo.

Pase a 157.

157Pongamos la definicin de derivada, usando diferentes variables.

Supongamos que z es una variable independiente y que q depende de z.Entonces, la derivada de q con respecto a z es

dqdz

(D la definicin formal)

Pase a 158 para ver larespuesta correcta.

158

Su respuesta debi ser

dq =dz

1" /1q1m -/1% ...0 /1z

Si acert, pase a 159Si no, regrese a 155 y

trate de nuevo.

Derivadas 97

159

Por conveniencia de notacin, algunas veces dy se escribe !!...- (y).dx dx

En este ejemplo, vemos algunas de las diferentes formas de escribirdy .-. SI Y = xli + 3,dx

dy = d(x3 + 3) =.:!.... (x3 + 3).dx dx dx

Anlogamente

d(()2 seo () _.:!.... (()2 seo ().d() d()

((J es sencillamente otra variable. Un ngulo es tan buena variable,como la distancia).

Pase a la Seccin 4,prrafo 160.


Seccin 4.

160

GRAFICAS DE FUNCIONES Y DE SUS DERIVADAS.

Hemos aprendido la definicin formal de una derivada. Grficamente,la derivada de una funcin f (x) para un cierto valor de x es equivalente ala pendiente de una lnea recta tangente a la grfica de la funcin en esepunto. Nuestro principal objetivo en lo que resta del captulo, es encontrarlos mtodos para obtener las derivadas de las diferentes funciones. Paraello, es muy til tener una idea intuitiva del comportamiento de las deri-vadas; esta idea la podemos obtener observando la grfica de la funcin.Si la grfica tiene pendiente positiva pronunciada, la derivada es positivay numricamente grande. Si tiene ligera pendiente negativa, la derivadaes negativa y numricamente pequea. En esta seccin, pondremos enprctica estas ideas cualitativas y en las secciones siguientes aprenderemoscomo se obtienen las derivadas en forma precisa.

Pase a 161.

161

Esta es la grfica de lafuncin sencilla y = x. Aba-

dyjo, hemos trazado - .

dxYa que la pendiente de y

.. dyes constante y pOSItiva, - es

dxuna constante positiva. (Dehecho, como ya sabemos,d- (x) = 1.)dx

y

3

2

++;r~-t+-22 3

%

2

1

-3 -2 -1 O t f ~+H-1 I I I%

Fig. 65

Pase a 162 y resuelva un problema un poco ms difcil.

162

Grficas de Funciones y de sus Derivadas 99

Esta es la grfica de y = Ixl. (Si ya se le olvid la definicin dexl, vea el prrafo 20.) En el sistema de coordenadas de abajo, trace dy.

dx

y

2

1

-3 -2 -1 O 1 2 3W-l-2

x

x

Fig.66

Pase a 163 para verla respuesta correcta.


163

Aqu estn las grficas de y = Ixl yd~. Si las traz correctamente,dx

pase a 164. Si se equivoc o quiere una explicacin ms amplia, sIga eneste prrafo.

y

3

~-~-++-+-22 3 x

2

-3 -2 -1 O-++-+-1-++-+-22 3 x

Fig.67

Como puede verse de la grfica, y = Ixl = x para x > O. As, parady

x > el problema es el mismo que el del prrafo 161, y - = 1. Sindx

embargo, para x < O, la pendiente de Ixl es negativa y numricamenteigual a - 1. En x = 0, Ixl = x = y la pendiente es indefinida,ya que si nos acercamos a cero por el lado positivo del eje x tiene el valorde + 1 Y si nos acercamos a cero por el lado negativo de dicho eje, suvalor es - l.

Por lo tanto, ~ Ixl es discontinua en x = O. (La funcin x es conti-dx

nua en este punto, pero el "Salto" en su pendiente en x = 0, provoca unadiscontinuidad en la derivada.)

Pase a 164.

164


Esta es la grfica de una funcin y = f(x). Trace la grfica de suderivada en el sistema coordenado de abajo. (La grfica no necesita ser

muy exacta, slo indicar la forma general de dy.)

dxy

2

1

-3 -2 -1 O 1 2 3

-1

-2

x

Pase al prrafo 165, paraver la respuesta correcta.


165

A ' , 1 f ., d . d S' '1 'fi d dyqm estan a unclOn y su enva a. 1 trazo a gra ca e - pare-dx

parecida a esta, pase a 166. Si no, siga en este prrafo.y

2 3

2

,/ \. 1/ \'

~ .",....-

-3 -2 -1 0\ 1 .-.2~__ 3

1 \ /\ ./

-2

x

x

Fig.69

Para ver por qu se traz as la grfica, encontremos dy/dx para algu-nos valores de x. En el punto e, la grfica tiene pendiente o, por tantody/dx es O. En B, y crece rpidamente y dy/dx es positiva. En D, y decrecerpidamente y dy/dx es negativa. En A y E, la pendiente es pequea ydy/dx se acerca a O. Estos valores de dy/dx son suficientes para sugerirel comportamiento general.

Pase a 166.

166


Observemos grficamente el comportamiento de ~ para otra funcin.dx

Aqu la grfica de x y y es un semicrculo. En los ejes coordenados de

abajo, trace la grfica aproximada de ~ para el intervalo que se muestra.dx

y

-1 ox

1

-1 O 1

-1

Fig. 70

x



167

Estas son las grficas de y y

dy S" l' .,-- . I qUiere una exp lCaClondxms detallada, siga leyendo. Sino, pase a 168.

El comportamiento de la pen-diente en los valores extremosde x no es sencillo, as que co-menzaremos en x = O. Si traza-mos una lnea tangente a la cur-va en x = O, sta ser paralelaal eje de las equis, as que lacurva tiene pendiente O, Por tan-

dyto, -- = O en x = O. Para

dxx > O, una lnea tangente a lacurva, tiene pendiente negativa ydy-- < O. Cuando x se aproximadxa 1 la tangente se hace cada vez

, . d dy 1mas pronuncia a, y -- se vue -dx

ve, cada vez, ms negativa. De he-dy

cho, cuando x~ 1, -- ~ - 00 dx

De la discusin anterior, es

f' '1 dyaCl encontrar -- para x < o.dx

-1

y

o

Fig.71

x

Pase a 168.


168Si ya entendi todos los ejemplos de esta seccin, pase a la siguiente.

Si quiere practicar un poco ms, trate de hacer las grficas de las derivadasde las funciones que se indican. Las respuestas correctas estn en el p-rrafo 169 sin ninguna explicacin.

y

1

-2 -1 o 1 2I -1 I II I I

I

(o)

y

1 .....//

-2 -1 o , 2N. .Y -1 II I I

I I I

1

-2 -1 o 1 2I -1 I I

I II I

(e)

y

1,....

-2 -1 O 1 2I -1 I I..L """ I II

2

1

-2 -1 O 1 2I I -1 I II I II I I I

(b)

y

1

-2 -1 O 1 2I -1 I II

I I I I

(d)

Fig. 72

Para ver las respuestas correctas pase a 169.


169

Estas son las soluciones a los problemas del prrafo 168.y y

1 ".i/

-f -1 O 1 2I 1..1 MI I I I

1

2 o 1 2~ ~ 11 1 I II I

1/ ....V 1 I'\.

/ l'-". 1"--_-2 1 O 1 2-1

I

(a)y

(b)

y

1i""'-/

Il'" "-2 . -1 O 1 2N. .A' -1 I I

I I I II I I

'-'-- 2, 1/1\ 1 I1/

1"\ /-2 -1 .O .1 2

i -1 II I

I

,,; 1~ 1"./ ....

-" -1 O 1 "., I -1 ~II

(e) F1g. 73 (d)

Se puede convencer, que las curvas de dy tienen la forma general quedx

se les di, comparando ~ con la pendiente de una tangente a la grfica dedx

y = f(x) para cualquier valor particular de x.Pase a la sigttiente

seccin, prrafo 170.

Seccin 5

170

DIFERENCIACION

Diferenciacin 107

Hasta aqu, hemos avanzado bastante en este captulo. De hecho, sehan visto todas las ideas realmente importantes en el clculo diferencial-lmites, pendientes de curvas y derivadas- y cuenta, en principio, conlos elementos suficientes para resolver una gran variedad de problemas.Sin embargo, el procedimiento para aplicar la definicin fundamental dederivada a cada problema, tal como la hemos visto, resultara muy tardado.Adems, tambin se perdera mucho tiempo ya que hay muchas reglasy artificios para diferenciar funciones aparentemente complicadas en unoscuantos pasos. Usted aprender en las secciones siguientes las reglasms importantes y tambin a diferenciar algunas funciones. que son tancomunes, que conviene saber sus cler1vadas de memoria. Entre ellas estnalgunas funciones trigonomtricas, logartmicas y exponenciales. Las si-guientes secciones incluyen temas especiales as como tambin la aplicacindel clculo diferencial a ciertos problemas. Al terminar este captulo,sabr aplicar el clculo diferencial para resolver diversos tipos de proble-mas. iBien, sigamos adelante!

Pase a 171.


171

Puede encontrar la derivada de la siguiente funcin?y = a (a es una constante)

!!!.....= [1 Ixl a I O I ninguna de stas1dx


172

Para encontrar!!!..... recordemos la definicin dy =dx dx

Si Y = a,

l1y = f(x + I1x) - f(x) = a - a = O.I1x I1x I1x

lim l1yI1x ...o I1x

(Recuerde que el significado de f( x + ~x) es el valor de f enx + ~x.)

lim l1y = lim O = O.I1x ...o I1x I1x ...0

Y dy 1 'fi d " d . d'a que - = O, a gra ca e y, en termmos e x, tiene pen rente cero.dx

(El ejemplo 4 del prrafo 32 muestra esto grficamente.)Pase a 173

Diferenciacin 109

173Usted acaba de ver que la derivada de una constante es cero. Trate

ahora de hallar la derivada de esta funcin:

y = ax, (a es una constante)dy- = [1 Ixl a I O I ax I ninguna de estas)dx


174Este es el procedimiento correcto:

f(x) = ax,

f (x + ax) = a[x + ax) = ax + aaxsi ay = f(x + ax) - f(x) = [ax + aax) - ax = aax.

ay aaxl l'entonces 1m - = 1m - = a,

ax -+0 ax ax -+0 ax

Encuentre la derivada de la funcin y = x.

!!.-.- = [1 I O I a I '- 1 I x)dx

Si acert, pase a 175.Si no, fjese que este problemaes exactamente tm caso espe-cial del problema del prrafo173. Trate de nuevo y despuspase a 175.

Respuesta: (171) O


175Vamos ahora a encontrar la derivada de una funcin cuadrtica. Con-

sideremosy = f(x) = X2

dyCul es el valor de -- ?

dx

Ya debe saber como se resuelve, a partir de la definicin de derivada.Escoja la respuesta correcta;

dy- = [1 Ixl O I x2 I 2xJdx

Si acert, pase a 177Si no} pase a 176.

176

Recordemos la definicin de derivada

dy = lim I(x + ~x) - f(x).dx ~x ...o ~x

en este caso, f(x + ~x) = [x + ~xF = x2 + 2x~x + (~x)2f(x + ~x) .- f(x) [x2 + 2x~x + (~x)2] - x2

As, lim -------- lim ----------~x ...o ~x ~x ...o ~x

lim~x ...o

dyentonces - = 2x.

dx

Respuestas: (173) a; (174) 1

lim (2x + ~x) = 2x,~x ...o

Pase a 177.

y2Js

Diferenciacin 111

177

dHemos encontrado que b (x2) = 2x. Como ilustracin se ha tra-

zado una grfica de y = x2 en la figura. Ya que la pendiente de la curvaen un punto es simplemente la derivada en ese punto, cada una de lasrectas tangentes a la curva tiene una pendiente igual al valor de la drivadaen el punto de tangencia.

Fig. 74

La lnea (a) es la tangente a la curva en el origen y tiene una pen-diente de 2 X (O) = O. La lnea (b) pasa por el punto x = 1/2 Y tienede pendiente 2 X (1/2) = 1. La lnea (e) pasa por un punto x = - 1Y su pendiente es 2 X (-1) = - 2.

Pase a 178.

178

En este problema se consideran los resultados obtenidos hasta aquen esta seccin (con una cosa nueva para usted).

Si Y = 3x'2 + 7x + 2dy

Encuentre -dx

dyRespuesta:

dx

Para ver la respuesta correctapase al prrafo 179.


179

dySi Y = 3x2 + 7x + 2, entonces - = 6x + 7.

dx

Si escribi lo anterior, muy bien. Pase a 180. Si no, siga leyendo esteprrafo.

Despus de que haya terminado este captulo, sabr algunos mtodoscortos para encontrar esta derivada. Sin embargo, aqu usaremos la defi-

.. , b" dynIClOn aSiCa: -

dxlim~x_ f(x + ~x) - f(x)~x

Ya que f(x) = 3x2 + 7x + 2, tenemosI(x + ~x) = 3 [x2 + 2x~x + (~x)2) + 7 [x + ~x) + 2

I(x + ~x) - f(x) = 6x~x + 3~x2 + 7~x

dy _-por tantodx

lim [6x~x + 3~x2 + 7~x ) = lim [6x + 3~x + 7)~x ...o ~x ~x ...o

= 6x + 7.

Pase a 180.

180Hemos encontrado la derivada de x y x2, nuestro proxlmo paso es

encontrar la derivada de xn, donde n es cualquier nmero. Daremos la re-gIa aqu, pero si quiere saber la demostracin puede ver el apndice A4.

La regla es

dxn n-l-- = nxdx

Este importante resultado es vlido para todos los valores de 11: positi-vo, negativo, entero, fraccicaario, irracional, etc. Fjese que el resultado

danterior, ----; (i2) = 2x, es un caso particular en el cual n = 2.

Pase a 181.

181

Diferenciacin 113

Aqu tenemos algunas aplicaciones.

dyEncuentre - para cada una de las funciones siguientes.

dx

y = x3 dy = Ox31 3x2 I 2x3 I x2Jdx

y = x-7 dy = [~7x-6! 7x-7 I -7x-8 1-6x-7Jdx

1 dy= [-2x 12/x 1-2/x3Jy=- dxx2

Si contest todo bien, pase a183.Si tuvo algn error, pase a 182y fjese como se hacen los pro-blemas.


182

Estos problemas no tienen ninguna dificultad. Se resuelven aplicandodirectamente la regla del prrafo 180. Aqu tenemos la solucin detallada.

dEmplearemos la regla general: - x" = nx" - 1.

dxy = x3; en este caso n = 3, as que

d(x3)-- = 3x( 3 - 1) = 3x2

dx

y = x - 7; aqu n = - 7, Y por tantod(x-7)---= _7X(-7-1) =-7x-8

dx

y = l/x'2 =x-2; aqu n =- 2, por tanto

d(l/x'2)---= _ 2X(-2-1) =_ 2x-3 =_ 2/x3

dx

Resuelva estos problemas:

1Y =-,

x

-1y= -

3-3X ,

dy

dx

dy

dx

1 1 1[l + - I - - I - - I 2Jx X x2

[x-4 I -3x-4 I -1 x-2 I + x-2J.4

Si acert, pase a 183.Si no, regrese a 180 )' repase

hasta aqu.

Respuestas: (181), 3x2, _7x-8, _2/x3

Diferenciacin 115

183

Aqu tenemos otra aplicacin.

y, dySi Y = x encuentredx

La respuesta es: [x- y, 12.. x- y, 12.. x I ninguna de stas]2 - 2

Si acert, pase a la seccin 6,

prrafo 185.Si no, pase a 184.

184dxn

La regla - = nxn -1 es vlida para cualquier valor de n.dx

1En este caso, n =2" '

Resuelva este problema:

~(x2/3)= [x-1/3 ~x-2/31~x-l/3Ix5/3J.dx 3 3

Pase a la seccin 6,prrafo 185.

Respuestas: (182) - l/Xl, .r4


Seccin 6 REGLASDE DIFERENCIACION

185En esta seccin aprenderemos varias reglas para la diferenciacin, sin

tener que aplicar la definicin de derivada cada vez. Algunas de estasreglas se demuestran aqu y otras estn demostradas en el apndice A.

En esta seccin, u(x) y v(x) sern dos variables que dependen de x.

Pase a 186.

186Como primera regla; encontraremos la derivada de la suma de u y v,

en trminos de sus derivadas. La demostracin se har aqu.

Sea y = u (x) + v (x)

Entonces dy = lim [u (x + ~x) + v (x + ~x) - u (x) _ v (x)] 1dx ~x ...o ~x

lim [u (x + ~x) - u (x)] ~+~x ...o ~x

lim [v(x + ~x) - v(x)] ~~x ...o ~x

du dv=-+-.

dx dx

Por tantod du dv-[u+v] =-+-.dx dx dx

Si quiere una demostracin ngurosa del empleo de los lmites, veael apndice A2.

Pase a 187.

1 2Respuestas: (183) "2X-l/2; (184) "3 X-l/3

Reglas de Diferenciacin 117

187

Apliquemos la regla deducida en el prrafo anterior, para encontrarla derivada de la funcin siguiente (tambin deber usar algunos de losresultados obtenidos en la seccin 5):

dy

dx


188

La respuesta correcta al problema del prrafo anterior esd_ [x4 + Bx3] = 4x3 + 24x2dx

Si respondi lo anterior, pase a 189.

Si no, siga leyendo y localice su error.

Nuestro problema es hallar la derivada de la suma de dos funciones.Para emplear la notacin del prrafo 186, junto con la regla dada ah,consideremos que u =.0, v = 8x3.

d d d dEntonces - [u + v] = _ [x4 + Bx3] = _ [x4] + _[Bx3).dx dx dx dx

Esto ya lo puede hacer usted, aplicando lo que se vio en la seccinanterior:

d [ 4] 3- x = 4x dx

Pase a 189.


189

Ya que sabemos como se obtiene la derivada de una suma, nos tocaaprender ahora como se halla la derivada de un producto, por ejemplo

d du dvu(x) v(x). Debemos poner - (uv) en trminos de - y -.

dx dx dx

La regla la daremos aqu. Vea el apndice A6 si quiere saber la demos-tracin. A veces, se le llama la regla del producto:

d dv du-[uv] = U -+ v-dx dx dx

Pase a 190.

190

En este ejemplo aplicamos la regla del producto. Supongamosdy

y = (x5 + 7) (x3 + 17x). El problema es encontrar -;;;. Si hacemostt = x5 + 7, v = x3 + 17x, entonces y = uv.

dy d dv du- = - [uv] = u - + v -.dx dx dx dx

du 4Ya que -= 5x

dxy dv = 3x2 + 17, el resultado es

dx

dy = [xs + 7] [3x2 + 17] + [x3 + 17x] [5x4].dx

Empleando la regla del producto, encontramos otra forma de obtenerel resultado que ya habamos obtenido anteriormente:

d- (x2) = 2x. Si hacemos u = x y v = x, entonces la regla nos dicedx

d dx dxque - x2 = X - + x - = 2x.

dx dx dxPase a 191.


191

Usando la regla del producto, encuentre la derivada de

d- [(3x + 7) (4x2 + 6x)].dx

Respuesta:

Pase a 192 para verla solucin.

192

La respuesta al problema anterior es:

(3x + 7) (8x + 6) + (4x2 + 6x) (3).

Si eso fue lo que obtuvo, pase a 194. Si no, siga leyendo aqu.

El problema es diferenciar el producto de (3x + 7) Y (4x2 + 6x).Sea u = 3x + 7 Y v = (4x2 + 6x). Entonces, se ve fcilmente que

du dv-= 3, -8x + 6. Por tantodx dx

..:.!.... [uv] = u dv + v du = (3x + 7) (8x + 6) + (4x2 + 6x) (3).dx dx dx

Resuelva este problema.

dCul es el valor de - [(2x + 3) (x5)]?

dx

Respuesta:


193

El mtodo usado para obtener el resultado es el que se vio en el prra-to 192. Se puede usar la regla del prrafo 180 para diferenciar xn y en

dcontrar - x5 = 5x4

dxPase a 194.


194En este prrafo vamos a aprender la regla para encontrar la derivada

de una "funcin de funcin". Supongamos que w es una variable quedepende de It y que 1t depende de x. Entonces w tambin depende de x yla regla siguiente, que se demuestra en el apndice A7, es muy til.

dw dw du- ----dx du dx

Esta regla se llama la regla de la cadena, ya que junta. las derivadasde las variables relacionadas. Es una de las reglas que se usan con msfrecuencia en el clculo diferencial.

Aqu tenemos un ejemplo. Supongamos que queremos hallar la deri-vada de w = (x + x2) 2. Esta es una funcin algo complicada. Se vuelve

dwms simple si hacemos It = X + x2, quedando w = u2 Y- = 2u. En-

du

tonces dw = dw du = 2u dudx du dx dx

duSi ahora substituimos el valor de It = X +x2, y - = 1 + 2x, se

dx

dwobtiene - = 2(x + x2) (1 + 2x)

dx

(Se puede comprobar que la regla de la cadena da el resultado correc-to, elevando al cuadrado el segundo trmino como se indica en la expre-

dwsin para - y luego diferenciando. Encontrar que el resultado es

. dxequivalente al encontrado arriba). En el prrafo siguiente, veremos unosproblemas que no se pueden escribir en forma sencilla y donde el usode la regla de la cadena es esencial.

Pase a 195.

195


Estos ejemplos se resuelven empleando la regla de la cadena.

d(1) Encuentre - y'T+t2

dt

Hagamos w = yT+'t'2, y ft = 1 + t2, de modo que w = \f1Z

dw dw du 1Entonces - = - - = -- (2t)

dt du dt 2.u

1 12..,rr+Ti 2t = t..,rr+Ti

En este ejemplo, hemos usado t como variable, ya que no importa quenombre les demos a las variables.

Este problema se simplifica si hacemos p

Con esto, la regla de la cadena queda

3 1 -3q+-yv=p.q

dv = dv dp = _3p-4 dp = _3p-4 [3q2 _ -.;.]dq dp dq dq q

[3 1]- 4 [2 1 ]= -3 q + q 3q - ~ .

El siguiente ejemplo no est explicado, pues ya debe usted poderhacerlo por inspeccin.

Pase a 196.


196

Resuelva el problema que sigue:

Cul de las expresiones siguientes da correctamented

- (2x + 7x2)-2?dx

(a) -2 (2 + 14x)-3

(b) -2(2 + 14x)-2(2x+7x2)

(e) (2x + 7x2)- 3 (2 + 14x)

(d) -2 (2x + 7x2)-3 (2 + 14x)

La respuesta correcta es

Si acert, pase a 199Si no, pase a 197.

197

Esta es la solucin al problemadu

Por tanto - = (2 + 14x).dx

Entonces

del prrafo 196. Sea w = rr2, yti = (2x + 7x2).

dw dw du d ( _ 2) du-=--=- u -dx du dx du dx

= -2u-3 du = -2 (2x + 7x2)-3 (2 + 14x).dx

Resuelva este problema:dw .

Encuentre -, SI W = 12q4 + 7q, Y q = S2 + 4.ds

dw

ds



198

El problema del prrafo 197 se puede resolver usando la regla dela cadena:

dw = dw dq Hemos dicho que w = 12q4 + 7q and q = 52 + 4, as qued5 dq d5dw 3 dq- =48q + 7, and -= 25.dq d5

Substituyendo, tenemos

dw = [48q3 + 7] [25] = [48(52 + 4)3 + 7] [25].d5

Si este fue el resultado que obtuvo, pase a 199. Si se equivoc, deberepasar los ltimos prrafos y asegurarse de que entienda las aplicacionesde la regla de la cadena. No se confunda por el nombre de las variables.Despus, pase a 199.

199

La siguiente regla til de diferenciacin, la podr obtener aplicandola regla de la cadena.

d 1 dvEl problema es encontrar - (-) en trminos de v y -, donde v

dx v dxd 1

depende de x. Cul de las respuestas de abajo, d correctamente - (- ) ?dx v

[_ ~ dv 11/ dv

v2 dx dx

Respuesta: (196) d

I dx I dv l d']- - - nmguna e estasdv dxSi acert, pase a 201

Si no, pase a 200.


200

Para encontrar.!!:-. [!-] aplicamos la regla de la cadena en la forma siguiente.dx v

1Supongamos que w = - = v - 1V

dw dw dv dw d _ 1 1- = - - ,pero - = -- v - - - asdx dv dx dv dv - V 2 '

Pase a 201.

201

Ahora, combinando el resultado obtenido en el ltimo prrafo y loque hemos aprendido antes, encuentre una expresin para la derivada delcociente de dos funciones. Esta es una relacin sumamente importante.Trate de obtenerla solo.

E d [u] ,. d du dvncuentre - - en termInOS e u, v, -, -.dx v dx dx

Para comprobar surespuesta, pase a 202.

1 dvRespuesta. (199)- - -

v2 dx


202Debe haber obtenido la regla siguiente (posiblemente expresada en

otra forma)

Si escribi lo anterior o un enunciado equivalente, pase a 203. Si no,estudie la deduccin de abajo.

1Si ponemos p =- 1 entonces la derivada es la del producto de dos

vvariables.

d [u] d dp du- - = - [upl = u - + p-.dx v dx dx dx

Si dp = dp dv = _ -.!.. dv , como en el prrafo 200, entoncesdx dv dx v2 dx

203

d [u] u dv 1 du- - - -- -+---dx v - V 2 dx v dx -

du dvv--u-dx dx

v2

Pase a 203.

Resuelva el problema que sigue:

~[~)=dx x2



204

La solucin del problema del prrafo 203, es

~[1+x]=_2_~.dx x2 x3 x2

Si acert pase a 206.Si, no, pase a 205 y observedetenidamente cmo se hace.

2052 du dvHagamos u = 1 + x, v = x . : Entonces - = 1, - = 2x

dx dx

~ (!!.J = x2 - (l + x) (2x) = ~ _ 2 (l + x)dx V x4 x2 x3

Pase a 206.


206

Antes de continuar, hagamos un resumen de las reglas que hemosvisto hasta este momento. Llene los espacios en blanco. a y n son constantesu y v son variables que dependen de x, w depende de u que a su vezdepende de x.

d-adx

d-ax=dx

d 2-x =dx

d n-x =dx

d- [uv]dx

d-w(u)dx

Pase a 207.


207Estas son las respuestas correctas, que debe haber obtenido sin difi-

cultad. El prrafo en el que se encuentra cada regla, se indica en el pa-rntesis.

d-a= Odx

d- ax = adx

d 2-x = 2xdx

d du dv-[u +v] = - +-dx dx dx

d dv du-[uv] = u -+ v-dx dx dx

d dw du-w(u)= --dx du dx

(172)

(174)

(176)

(180)

(186)

(189)

(202)

(194)

Si quiere practicar un poco ms con problemas parecidos a los delas secciones 5 y 6, vea los problemas de repaso, del 34 al 38.

Pase a la seccinsiguiente, prrafo 208.

Seccin 7.

208

Diferenciacin de Funciones Trigonomtricas 129

DIFERENCIACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Las funciones trigonomtricas tienen tanta aplicacin, que es muy utild

saber sus derivadas. Por ejemplo, si quisiramos saber cul es - sen O.dO

Por definicin,

d-senO =dO

sen (O + AO) - sen OAO

No es muy sencillo saber el valor de esta expresin, as que tomemosotro camino para ello y tratemos de encontrar el resultado g~omtricamenteobservando la grfica de sen O.

Esta es la grfica de sen O contra (). () es el ngulo medido en radia-nes, como referencia, se han puesto los valores de algunos ngulos engrados.

sen O

a1 sen O1

o

-1

Fig. 75

9 (rad)

7 9 (rad)

dTrace un esquema de - sen () en el sistema de coordenadas indi-

dOcado y pase a 209 para ver el trazo correcto.


209

dEstas son las grficas de sen O y disen O. Fjese que donde la pen-

diente de sen O es mayor, en O y 27T, ~ sen O tiene su mximo valor ydO

7T 37T ddonde la pendiente de sen O es O, en O =- y -, - sen O es O.

2 2 dOsen ti

dd9 sen ti

ti (rad)

o

-1

Fig.76

7 ti (rad)

(Si su esquema no se parece al que se muestra aqu, debe revisarla seccin 4, prrafos del 160 al 169. Este problema es muy similar alproblema (c) en el prrafo 168).

dAhora, a partir de las grficas, puede dar la respuesta correcta para -

dOsen O. Si o no?

d-sen O =dO

Pase a 210 para ver si surespuesta es correcta.


210Esta es la regla:

d- sen (J = cos (Jd(J

Si eso fue su respuesta imuy bien! Si no, debe estudiar las grficas delprrafo 209 y comparar la segunda con la grfica de cos () que se muestraabajo (as como tambin en el prrafo 65).

dLa demostracin formal de que - sen (J = cos () est dada en el

dOapndice A5.

Es importante recordar que esta relacin slo es vlida cuando elngulo est medido en radianes y es por ello que los radian es son tan importantes como unidad de medida.

dTratemos ahora de encontrar el valor de - cos O a partir de la gr.

dOfica de cos O.

dTrace un esquema de - cos O en el sistema coordenada de abajo y

dOtrate de escribir la regla como ecuacin.

d-cosO =dO

cos /1

1 ...../"" .J

" I ~ IO f' 11" / "~ 211"..... .... L/-1 I~ cos/l

1

I I IO ,.. 11" ~ 211"2"

1

Fig.77 Pase a 211.


211d d

Estas son las grficas de cos (J y - cos (J. La regla resultante es que-d(J d(J

cos (J = - sen (J. Como se observa en la grfica. Esta regla est demostradaen el apndice A5.

cos e

o

-1

e

~ cose

1

" ....../ ..../

...I ~

01' 11" / 71" J1[ 271"2 2"' ..... V-1

e

Fig.78

Haciendo un resumen:

d- sen () = cos ()d()

d- cos () = - sen ()d()

dUsando estos resultados, encuentre -; tan (J

. , sen (J l' lId l 'f )(sugesbon: ponga tan (J = -- y ap que a reg a e parra o 202.cos (J

d~tan(J= _

Pase a 212.


212Usando la sugestin del prrafo 211, tenemos

.!!.... tan e = ~[sen e]de del~ose

cos e .!!- sen e - sen e -.!!.... cos ede de

cos2 e= cos2 e + sen2 e = __ 1_= sec2 e.

cos2 e cos2 eEncuentre la respuesta correcta:d- sec e = [sec e tan e I - sec e tan e I sec eJ.de

Si acert, pase a 214.Si no, paje a 213.

213Ya se le olvid lo que aprendi en la ltima seccin o no recuerda

las definiciones de las funciones trigonomtricas? Vea que de acuerdo conel prrafo 200:

d d lId cos e-sec e= ---= -------de de cos e cos2 e de

1 tan e- + --- sen e =- cos2 e cos e= sec e tan e.

(Cualquiera de las tres respuestas es aceptable.)

Pase a 214.

214Escoja la respuesta correcta:

d- (sen e)2 = [sene I 2 cos e I cos e2 I 2 seo ecos eJde



215

El problema se puede resolver en la forma siguiente:

Sea u (O) = sen e.

duEntonces - = cos e, yded 2 d 2 d 2 du-(sene) =-u =-(u)-de de du de

du= 2u - = 2 sen ecos e.de

En dnde se equivoc? Fjese cul fue su error y asegrese de que yaentendi como se hace. Despus

Pase a 216.

216

dCul respuesta nos da correctamente - cos ((}3) ?

d(}

Si acert, pase a 220.Si no, pase a217.

217

Ya se le olvid cmo se usa la regla de la cadena para diferenciaruna funcin de funcin? Se puede pensar que cos ((}3) es una funcinde funcin. Escribmoslo en esta forma:

w = cos ti, U = (}3. Entonces

dw dw du----de du de

as

dw 3- = - sen u = - sen (O ),du

du

de

Pase a 218.

Respuestas: (212) sec () tan (); (214) 2 sen () cos ()


218

Si '" (la letra griega omega) es una constante cul es la respuesta

dcorrecta para - sen ",t?

dt

[ cos ",t I '" cos ",t I sen ",t I ninguna de stas ]Si acert, pase a 220.

Si no, pase a 219.

219Para resolver el problema anterior, hagamos:

dw dw du dw = sen u, u = ",t. - = -;;- = cos u X dt (",t) = '"cos ",t.

Pase a 220.

220

Antes de pasar a la seccin siguiente, repasemos una vez ms las re-glas importantes que hemos visto en esta seccin:

dsen e = cos ede

d- cos e = - sen ede

Tambin tenemos otras dos funciones que son tan comunes que debe-mos saber sus derivadas de memoria: las logartmicas y las exponencialesy aprender algo acerca de ellas.

Pase a la seccinsiguiente, prrafo 221.

Respuestas: (216) -3 82 sen (83)


Seccin 8. DIFERENCIACION DE LOGARITMOS y EXPONENCIALES

221Vamos a encontrar la derivada de un logartmo. Si tiene dudas acerca

de sus conocimientos de logaritmos, debe repasar la seccin 5 del captulo1 (pgina 52) antes de pasar al prrafo siguiente.

Pase a 222

222Se ha familiarizado con los logaritmos de base 10. Nosotros podemos

manejar logaritmos de cualquier base (como en el prrafo 95). Por ejem-plo, podemos usar el nmero 2 7r como base. Sin embargo, por razonesque pronto veremos es conveniente usar como base el nmero e cuyo va-lor -es

e = 2.71828 .....

(Como 7r que vale 3.14159 .... , e es tambin un nmero irracional cuyovalor se puede calcular con tanta exactitud como se desee. En el apndiceA8 est la forma de hacerse.)

Pase a 223.

Respuesta: (218) ro cos rol

Diferenciacin de Logaritmos y Exponenciales 137

223Ya que usaremos mucho los logaritmos de base e en esta seccin, dedi-

quemos unos cuantos prrafos a familiarizamos con ellos.Para empezar, encontraremos una regla para hallar logex a partir de

log 10 x. La regla que demostraremos abajo, eslog I o xlogex =---= 2.303 loglo x.log I o e

Esto indica que el proceso de pasar de logaritmos de base 10 a losde base e es simplemente multiplicar por una constante.

Esta es la demostracin de la regla:Por definicin de logaritmo

x = eloKe x.

Tomando logaritmos de base 10 en ambos miembros de la ecuacin

loglo x = loglo (elOKe X)

El segundo miembro de la ecuaClon se puede simplificar, aplicandolog (xn) = n log x, donde n es cualquier nmero. As, obtenemos

loglo x = loge x X loglo e.

1 log I o Xoge X =log I o e

pero

1

log I o e1 1

-----=---= 2.303 ...loglo 2.718 0.4343

por tantologe x = 2.303 loglo x.

Pase a 224.


224Veamos si ya entendi. Resuelva este problema.

De las tablas, se puede verificar que

log 10 37 = 1.57.Cul de las respuestas es la ms cercana a log. 37?

[1.57/ e I 3.61 I 15.7 I 0.68JSi acert, pase a 226.

Si no, pase a 225.

225El mtodo visto en el prrafo 223 nos da el resultado directamente.

1loge 37 = ---logl o 37 = 2.303 loglo 37

log I o e

= 2.303 x 1.57

= 3.61.

(Puede escoger la respuesta correcta sin necesidad de hacer operacio-nes, ya que las dems respuestas son completamente distintas.

Pase a 226.

226A los logaritmos de base e se les llama logaritmos naturales. Son tan

importantes que se les ha dado un smbolo especial, In x.

( In x = loge x )

Pase a 227.


227Esta tabla nos d algunos valores de In x.

x In x

1 0.0002 0.69e 1.003 1.1010 2.30

x In x

30 3.40100 4.61300 5.701000 6.913000 8.01

Usando la tabla y las reglas de manipulacin de los logaritmos, podrencontrar la respuesta correcta para las preguntas siguientes:

In 6 = [2.2 I 3.1 I 6/e I 1.79JIn (y'1O) = [1.15 I 2.35 I 2.25 I 1.10JIn (3003) = [126 I 185 I 17.10 I 3.41J

Si acert a todas, pase a 229Si no, pase a 228.

228Antes de que vea las respuestas correctas, asegrese de que realmente

sabe como manejar los logaritmos, las reglas estn dadas en el prrafo91. Ya que las reglas son vlidas para logaritmos de cualquier base, sonaplicables a In x.

In 6 = In (2 x 3) = In 2 + In 3 = 0.69 + 1.10 = 1.79

In (y'1O) = In (101/2) =-.!.ln 10 =-.!..-x2.30 = 1.152 2

In (3003) = 3 In 300 = 3 x 5.70 = 17.10

Pase a 229.

Respuesta: (224) 3.61


229Esta es la grfica de In x en trminos de x.Ln(x)

3

2

O

-1

-2

I I I I I I I I

Pendiente ;';0-I -",. =Pendiente = Y, .....

Pen- 'j~ ..--diente = V, \ ...~ ""I IJ J ..,

Pendiente ~=2 V,~2 3 4 5 6 7 8 9 10

1111l'

x

Fig.79

dPuede saber cul es el comportamiento general de - In x observando

dxla grfica. Para valores pequeos de x, el valor de la derivada es grandey para valores grandes de x el valor de la derivada se acerca a cero. En lafigura se han trazado las tangentes a varios puntos y sus pendientes estndadas en la tabla.

x Pendiente

1/2 22 1/25 1/5la l/la

dQuiz ya pueda dar la frmula para - In x. Llene el espacio en blanco.

dxd-In x=dx

Para aprender la expresincorrecta, pase a 230.

Respuestas: (227) 1.79, 1.15, 17.10


230Esta es la frmula para obtener la derivada de un logaritmo natural:

1 dlnx~~ldx xSi no obtuvo este resultado, compruebe que est de acuerdo con los

valores numricos de la tabla del prrafo 229.

La razn por la cual e es tan til como base de logaritmos, es quepermite obtener una expresin sencilla como la de arriba. Esta relacinest demostrada en el apndice A9. Es muy importante y se debe aprenderde memoria.

Pase a 231.

231Resuelva este problema: Cul de las respuestas da exactamente

d-[ln(x2))?dx

2 1 2 2[2 In x 1-1 - I - I-In xJ

x x2 x2 XSi acert, pase a 234.

Si no, pase a 232.

232La solucin de este problema es directa. Podemos usar la regla de

la cadena. Sin embargo, lo resolveremos de otra forma.2 d 2) d 2Yaqueln(x)=21nx, -ln(x =-2Inx=-.

dx dx xUsted ya puede hacer este problema _

~ (ln x)2 = [2 In x I 2 In x I ~I ninguna de stas]dx x In x


233 d 2 d 2 In x- (In x) = 2 In x - In x = --dx dx x

Pase a 234.


234Aunque ya sabemos como diferenciar logaritmos de base e, no hemos

obtenido la regla para diferenciar logaritmos de base 10. Sin embargo,esto es muy sencillo. Del prrafo 223 tenemos

log I o X = in x log 10 e.pero e es una constante, por tanto

~loglo x = [~in xJ loglo e =.!. loglo e = 0.4343dx dx x x

Pase a 235.

235Apliquemos lo anterior. Escriba las respuestas correctas:

d in r(a)

dr

(b) d in 5zdz

Para ver las respuestascorrectas pase a 236.

236Las respuestas correctas son -

(a) 1 (b) 1r z

Si esas fueron sus respuestas, lo est haciendo muy bien, as que pasea 238. Si se equivoc

Pase a 237.

2Respuestas: (231)x

(232) 2 in xx


737dlnr 1

(a) Debe haber visto inmediatamente que --- = - ya que no imdr r

porta que variable usemos, la regla es la misma.d

(b) La forma ms simple de encontrar - In 5z es recordando quedz

In 5z= ln 5+ In z. Por tantod d d 1 1-In 5z = -In 5 + -In z = 0+ - =-.dz dz dz z z

Pase a 238.

738Otra funcin que queremos diferenciar es

y = az (a es una constante)Podemos hacerlo con la ayuda de lo que hemos aprendido acerca de

logaritmos. Tomando el logaritmo natural en ambos miembros de laecuacin:

lo y=ln (ae) =xlna

diferenciando los dos miembros con respecto a x, se tiened dx-(Iny)=-lnadx dx

1 dy- -= In ay dx

dy- = y In a = aX In adx .

Pase a 239.


239El prrafo anterior nos dio un resultado importante

d(aX) = aX In a

dx

Un caso particular de la expresin anterior se tiene cuando a = e. Yaque In e = 1, como resultado de la definicin de Iogaritmo natural,

~

~Conociendo este resultado, puede resolver los siguientes problemas?

decx(a)

dx

de-x(b)

dx


240Debi haber escrito

decx(a) -- = cecx

dxy(b) de-

x= _ e-x.

dx

Si contest correctamente, pase a 241. Si no, siga leyendo aqu.El resultado de (a) se obtiene haciendo u = ex y siguiendo el proce-

dimiento normal para una funcin de funcin (por ejemplo, empleandola regla de la cadena, prrafo 194 pgina 120). As

El resultado para (b) es un caso especial de (a) con e = - 1.Pase a 241.

241

242

Diferenciacin de Log;ritmos y Exponenciales 145

S _ 1 .' 1 dz;>1 Z - -1---' ,cuanto va e d- .n (x) x

Encierre dentro de un crculo la respuesta correcta.

[_1 _ I -x I -1 1 Inx ]x In (x) , (In x)2 x (In x)2 x2


1Podemos encontrar la derivada de --- usando la regla de la cadena.

In (x)Sea u = In (x). Entonces

d 1 d [1] du - 1 du 1 1dx In (x) = dx ~ = ---;;;- dx = - -;? x

1x (In x)2 Pase a 243.


243Hemos visto algunas frmulas en esta secClon. Si quiere repasarIas

rpidamente antes de seguir adelante, aqu est una lista de ellas. Las msimportantes estn dentro de un cuadro. .

e = 2.71828 ....

In x = loge x

In x = 2.303 10gIO x

d 0.4343- (lOgIO x)dx x

Pase a 244.

244Ya sabemos como diferenciar las funciones ms comunes. El resto del

captulo est dedicado a temas especiales relacionados con la aplicacinde las derivadas. Si quiere practicar un poco ms la diferenciacin antes deseguir adelante, vea los problemas del 34 al 58 en la pgina 287 cuandoest listo,

Pase a la seccin:9, prrafo 245

-1Respuestas (241)

x (In X)2

Seccin 9.

245

Derivadas de Orden Superior 147

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Supongamos que y depende de x y que hemos obtenido la derivada dy.dx

Si diferenciamos dy con respecto a x, el resultado es la segunda derivadadx

d2yde y con respecto a x y se escribe -

dx2Puede hacer este problema?

d2ySi Y= 2x8. Entonces - = [6x2 j12x I O I x2 I x).

dx2Si acert, pase a 248.

Si no, pase a 246.

246Esta es la forma de resolver el problema del prrafo 245.

y = 2x3

dy

dx

d2y d dy d 2- = - (-) = - (6x ) = 12xdx2 dx dx dx

Trate de hacer este otro.

1y=x+-

x

d2y 1 1 2- = [-- 1-1 +- 1ninguno de stos)dx2 x2 x x3


a =


247Esta es la solucin al problema de 246.

1y = x +

x

dy = 11

dx x2

d2y _ -2 2O - 1 (-) =-dx2 - x3 x3

Pase a 248.

248Un ejemplo de una segunda derivada que ya conoce es la aceleracin.La velocidad es la rapidez de cambio de posicin con respecto al

tiempo.dS

vdt

La acelet'acin a, es la rapidez de cambio de la velocidad con respectoal tiempo. Por tanto

dvdt

Se sigue que

d dS d2Sa = - (-)

dt dt dt2

Pase a 249.

2Respuestas: (245) 12x; (246)

XS

249

250

Derivadas de Orden Superior 149

La posicin de una partcula est dada por

s= Asen oot. A Y 00 (omega) son constantes.

Encuentre la eceleracin.

Respuesta: [O I Aoo cos oot I (Aoo cos oot)2 I - Aoo2 sen oot).Si acert, pase a 251.

Si no, pase a 250.

d2S d2Aceleracin = - = - (A sen wt)

dt2 dt2

dS d= - Asen wt = A w cos wt (vea el prrafo 218)dt dt

d2S d (dS) ddt2 = - - = dt Aoo cos 001 = - Aoo2 sen oot

Pase a 251.


251Como usted ve, realmente no hay nada nuevo en la segunda derivada.

d"fDe hecho, podemos definir derivadas de rualquier orden. - es la

dx"ensima derivada de f con respecto a x. Intente resolver este problema.

Sea y = x4 Entoncesd4y- = [x 16 I 4x4 I O I 64 I 4 x 3 x 2 x lJdx4

Pase a 252.

252

d2 d- 4 x 3 x2 = - 4x 3x2 Xdx2 dx

=4x3x2xl

Podemos generalizar este resultado:

ti" xn n x (n - 1) x (n - 2) x .....dxn

n!

(n! se llama factorial de n y es igual a n X (n - 1) X (n - 2) .... 1.)Si quiere ver mas aplicaciones de la segunda derivada, haga los problemasdel 59 al 63 de la pgina 288.

Pase a la seccin 10,prrafo 253.

Respuestas: (249) -Aw2 sen wt

Seccin 10

253MAXIMOS y MINIMOS

Mximos y Mnimos 151

Ahora que ya sabemos diferenciar funciones sencillas, apliquemosnuestros conocimientos.

Supngase que queremos saber los valores de x y y para los cuales

y = f(x)tiene un valor mximo mnimo. Al terminar esta seccin, sabremos re-solver este problema.

Pase a 254.

254

Esta es la grfica de una funcin. En cul de los puntos indicadosy tiene un mnimo?

yD

x

e

Fig. 80

[A I B I CID I A Y B I e y DJSi acert, pase a 256.

Si no, pase a 255.

Respuestas: (251) 4 X 3 X 2 X 1


255El valor mnimo de y est nicamente en el punto C, ya que y tiene

su valor ms pequeo en dicho punto, al menos para el intervalo de x y ymostrado en la figura.

yD

x

e

Fig.81

En los puntos A y E, Y tiene un valor 0, pero esto no tiene que vernada para que y tenga un valor mnimo ah.

En el punto D hay un valor mximo de y.

Pase a 256.

Respuesta: (254) C

Mximos y Mnimos 153

256

Hemos visto que al punto e le corresponde un valor mnimo de y almenos para el intervalo mostrado en la figura y al punto D le correspondeun valor mximo en el mismo intervalo.

yD

e

dy;;

x

---+----------------x

Fig.82

Existe una relacin interesante entre los puntos de valores maxlmos.y mnimos de y y el valor de la derivada en esos puntos. Para ver esto,trace una grfica de la derivada de la funcin indicada en la figura, en elsistema coordenado adjunto.

Para comprobar que traz bien su grfica,

Pase a 257.


257Su grfica debe parecerse a la que se muestra aqu. Fjese que en los

puntos e y D, la derivada es cero y entre e y D es positiva. En los demspuntos es negativa.

Si no traz algo semejante, revise la seccin 4 de este captulo antesde seguir adelante.

yD

x

x

Fig.83

Este ejemplo debe ser suficiente para que se convenza de que:Si f(x) tiene /In valor mximo o mnimo para /In cierto valor de x, enton-

dices la derivada - en ese punto es igual a cero.

dxUna de las formas de saber si en un punto existe un mximo un

mnimo, consiste en trazar puntos en la vecindad de este (aunque hayun mtodo ms simple que pronto veremos).

Pase a 258.

Mximos y Mnimos i55

258

Veamos con este problema, si ya entendi:

Encuentre para que valor de x, la funcin siguiente tiene un mnimo.f(x) = x2 + 6x

[- 6 I - 3 I O I + 3 Ininguno de stos]


259Debi haber resuelto el problema en esta forma:

S ,., , . d . f d f(x)e tiene un maXlmo o un mtnlmO cuan o x satis ace ----;;- = o.

f(x)=x2+6x d f(x) = 2x + 6dx

En esta forma, la ecuacin que nos da el valor de x para que se tengaun mximo un mnimo es

2x + 6 = O, x = - 3.Aqu tenemos otro problema:Para cul de los valores de x, la funcin fex) tiene un mximo

un mnimo?

2f (x) = 8x + -x

[1/4 I - 1/4 I - 4 I 2 Y - 4 I 1/2 Y - 1/2J



260

El problema del prrafo 259 se puede resolver as:

Para el punto que tenga un mximo mnimo, se debe cumplir,d-(x) =0.dx

2Ya que (x) = 8x + -,x

d 2- (x) = 8 --.dx x2

Los puntos que buscamos, satisfacen la ecuacin

2 2 2 18 - -= 0, o x =- = -.x2 8 4

1 1En esta forma, en x = + - y x = - -, (x) tiene un mnimo un

2 2mximo. En la figura, se indica una grfica de la funcin en la que se ve

1h ' . 1h ' .que en x = - 2 ay un maXlmo y en x = + 2 ay un mlO1mo.f(x)

20161284

x-2 -1 2

"'"7]Fig.84

Casualmente, como se ve en la figura, el mnimo est arriba del mximo. Esto podra parecer p.aradjico, pero nosotros estamos hablandode mximos o mnimos locales es decir, el valor mximo mnimo enuna regin pequea.

Pase a 261.

Respuesta: (258) -3; (259) 1/2 Y- 1/2

Mximos y Mnimos 157

261Habamos mencionado antes que hay un mtodo ms simple para

b . f( ) . ,." . d d f(x)sa er SI x tiene un maxlmo o un mlU1mo cuan o --- = o.dx

Descubrimos el mtodo trazando unas cuantas grficas.En la figura 85 estn las grficas de dos funciones. La de la izquierda,

f(x), tiene un mximo y la de la derecha, g(x) un mnimo en la reginindicada en la figura. En los sistemas coordenados de abajo, trace una gr-fica de las derivadas de las dos funciones.

f g

-+--------x

-+-------- x

elf(G

-+--------x

x

Fig.85

Vamos a repetir el proceso. Haga un esquema de la segunda derivadade cada una de las funciones (o sea el esquema de las derivadas de lasfunciones que acaba de trazar).

-+-------x -+--------x

Fig. 86

Posiblemente de esos esquemas pueda usted decir cuando una funcintiene un mximo o un mnimo si su derivada es O. Pueda o no,

Pase a 262.


262

Los esquemas deben parecerse a stos

g

-Fig.87

dfEstudiando estos esquemas, se observa que cuando - = 0,

dx

d2ff(x) tiene un mximo SI - < y

dx~

d2ff(x) tiene un mnimo SI -d ? > Ox-

(Si cPf = 0, estas reglas no son vlidas y este caso lo veremos msdx2

adelante.)

Si no est plenamente convencido, repase la seCClOn4 y trace losesquemas de las segundas derivadas de cualquiera de las funciones de losprrafos 164, 166 168 problemas (c) o (d). Con esto se convencerde que las reglas son razonables. Cuando est listo,

Pase a 263.

Mximos y Mnimos 159

263

Este es el ltimo problema abtes de pasar a otro tema. Seae,x2 Encuentre el valor de x para el cual f (x) tiene un mximo

un mnimo y diga cul es.

Respuesta: _

Para comprobar su respuesta, pase a 264.

264

Resolvamos el problema:

f(x)= e,x2 Usando la regla de la cadena, tenemos

di 2-= - 2x e-x.dx

.Existe un mximo un mnimo en x dado por

- 2x e-x2 = O,,o x = O.

Empleando la regla del producto, (prrafo 189), obtenemos:

d21_= _ 2 e-x2 + 4x2 e-x2 =(-2 + 4x2) e-x2.dx2

~f d~En x = O, - = (-2 + 4 X O) X 1 = -2. Ya 9ue - es negativa

dx2 dx2

donde dt = O, en x = O, f(x) tiene un mximo en x = O.dx

NOTA. Al encontrar el valor de la derivada, digamos df/dx, para algn valor de x, x = a primero se debe diferenciar f( x) y despus substituirx = a. Si lo hace invirtiendo el proceso y primero substituye y despustrata de diferenciar fea) el resultado ser simplemente O, ya que fea)es una constante. El mismo cuidado se debe tener tratndose .de derivadasde orden superior.

Pase a la seccin siguiente, prrafo 265.


Seccin 11.

265

DIFERENCIALES

Hasta aqu, hemos representado a la derivada por el smbolo dy. Aun-dx

~yque ste es un solo smbolo que se usa para lim -, el mtodo de

~x~o ~xescritura sugiere que la derivada puede considerarse como la razn de doscantidades, dx y dy. Este es el caso que nos ocupa. Las nuevas cantidadesde que hablaremos se llaman diferenciales y las definiremos en el prrafosiguiente.

Pase a 266.

266

-+------- ejer

ejey

~d'dx

Supngase que x es una variable inde-pendiente y que y = f(x). Entonces, ladiferencial dx de x est definida comocualquier incremento, X2 - Xl, donde Xles el punto que nos interesa. La diferencialdx puede ser positiva o negativa, grandeo pequea, como se quiera. Vemos que dxcomo x, puede considerarse como variableindependiente. La diferencial dy se definepor la regla,

dy = [dY] dx,dx

[dy ] donde -; es la derivada de y con respecto a x.

Fig. 88

Pase a 267.

267

Aunque el significado de la derivada, dy, es lim !!..., se observa

dx ~x~O ~xdel prrafo anterior que se puede interpretar ahora como la razn de lasdiferenciales dy y dx, donde dx es un incremento de x y dy est definido

por la regla dy = [::] dx.Pase a 268

Diferenciales 161

268

Es muy importante no confundir dy eje ycon t.y. Como habamos dicho en elprrafo 136, t.y se emplea para re-presentar Y2- Y1 = f(x2) - f(xI),donde X2 y Xl son dos valores dadosde x. Los dos valores dx y t.x (Xl,y)(= X2 - Xl) son intervalos arbitra-rios. dx se llama una diferencial de X eje Xy t.x se le conoce como un incrementode x, pero sus significados aqu son Fig. 89muy similares. De la figura se nota que dy y t.y son cantidades distintas.

Hemos asentado que dx = DX. Entonces, la diferencial dy es [:~ ] dx,mientras que el incremento t.y est dado por Y2 - Yl' Est claro queen este caso dy no es igual a t.y.

Pase a 269.

269

Aunque dy y t.y son diferentes, sepuede ver de la figura que para dx su-ficientemente pequeo (con dx = t.x),dy se acerca a t.y. Esto lo podemos es-cribir simblicamente como

eje y

dy /} ~y

lim dydx=/'Io,.x ...O /'Io,.y

1dx

Fig. 90

ejex

Por tanto, si intentamos tomar el lmite cuando dx ~ O, dy puedesubstituirse por t.y. Adems" aunque no tomemos el lmite, dy es casiigual a t.y, para dx suficientemente pequeo. Por ello, usaremos muy a me-nudo dy yt.y indistintamente, cuando se sobreentienda que se va a tomarel lmite o que el resultado puede ser una aproximacin.

Pase a 270.


270

Podemos volver a escribir en la forma diferencial, varias expresionespara las derivadas dadas anteriormente. As, si y = xn,

d(xn)dy = (dxn) = -- dx = nxn-1 dx.

dx

Encuentre las siguientes:

d(sen x) = [- sen x dx I - sen x I - cos x dx I cos x dxJd(l/x) = [dxlx2 I -dxlx2 I -dxlxJ

= [x eXdx I dx I eX dx I dxlexJSi se equivoc en alguna} pase a 271.

Si no} pase a 272.

271

Estas son las soluciones a los problemas del prrafo anterior. Los n-meros entre parntesis, corresponden al prrafo en el que se discuti cadafrmula.

d (sen x)

dO/x)

[d sen x]

= dx dx = cos x dx

= [.!!... (.!.)] dx = - dxl x 2dx x

(prrafo 211)

(prrafo 180)

(prrafo 239)

Pase a 272

272

Esta es una aplicacin de las diferenciales. Lafigura muestra la superficie de un disco al quese le ha agregado un aro delgado. Supngaseque queremos saber el rea aproximada del aro.

[dA] d 2dA = - dr = - (TTr ) dr = 2TTr dr.dr dr

273

Diferenciales 163

/' {dr

GI \I r I\ /\. /'-- /-_./Fig.91

Pase a 273.

~A = 2TTr ~r.

El ejemplo anterior tambin se puede resolver exactamente tomando ladiferencia de las dos reas:

~A = TT(r + ~r)2 - TTr2 = 2m ~r + TT~r2

Si .r es pequeo comparado con 1', podemos despreciar el ltimo trminoy nos queda

Si hacemos t::,.r = dI' Y consideramos que ambos son pequeos, entonces,como sabemos de acuerdo con el prrafo 269,

dA = ~A = 2TTr dr.Este es un argumento ms intuitivo para obtener el resultado. Ya que

el aro es delgado, su rea dA, es aproximadamente su longitud, 271"r, mul-tiplicada por su ancho dr. Por tanto,

dA = 2TTr dr.

Pase a 274.

dxRespuestas: (270) cos x dx, - -, e" dx

x2


274

Para manejar las diferenciales hay que recordar algunas de las reglasimportantes para la diferenciacin. Por ejemplo, la regla de la cadena

dw dw dudx du dx

es casi una identidad si tratamos a dw, d" y dx como diferenciales. Real-mente, no es obvio que esto se pueda hacer, ya que w y ti dependen deuna tercera cantidad, x. La demostracin del empleo de las diferencialesen la obtencin de la regla de la cadena est dada en la pndice A 10.

Pase a 275.

275

Esta es otra relacin que es muy fcil de recordar con las diferenciales,aunque la demostracin real requiera una explicacin posterior:

dx = l/[dy]dy dx

Esta regla nos invierte el concepto de variable independiente y depen-diente, aunque slo es vlida bajo ciertas condiciones. Si quiere una expli-cacin ms amplia, vea el apndice A11.

Si 110, pase a la seccin 12 prrafo 276.

Seccin 12.

276

REPASO Y PROBLEMASRepaso y Problemas 165

Terminaremos este captulo repasando algunas de las ideas que se pre-sentaron al principio y aplicando el clculo diferencial a la solucin dealgunos problemas de velocidad.

Pase a 277.

277

Esperemos que recuerde que la rapidez de cambio de posicin de unmvil con respecto al tiempo es la velocidad.

En otras palabras, si la posicin y el tiempo estn ligados mediantela funcin 5, para encontrar la velocidad, 5(t)con respecto a .

Pase a 278.

278

Debi haber escrito:

En otras palabras, si la posicin y el tiempo estn ligados mediante lafuncin 5, para encontrar la velocidad diferenciamos 5(t) con respecto al. ,tIempo (o t).

Pase a 279.

279Puede resolver este problema?

La posicin de una partcula sobre una lnea recta est dada por:5 = Asen wt. A y '" (omega) son constantes.

Encuentre la velocidad de la partcula.v= _

Para ver la respuesta, pase al prrafo 280.


280

Su respuesta debi ser

v = Aw cos wt.Si respondi eso, pase al prrafo 283. Si no, siga leyendo aqu.El problema es encontrar la velocidad, que es la rapidez de cambio

de posicin con respecto al tiempo.La posicin est dada por S = Asen wt.

dS dv = - = - eA sen Jt) = A J cos Jt

dt dt

(Si no entiende este desarrollo, vea el prrafo 218.)Puede resolver este problema?

S = Asen wt + B cos 2 wt. Encuentre v.v = _

Pase a 281

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