Universidad Autónoma del Estado de

Morelos

Facultad de Ciencias

Químicas e Ingeniería

Aplicación de integrales para

calcular el trabajo que

realiza un pistón

Presenta: Carlos Fuentes Miranda

Introducción

Al aprender la teoría de la integral, encontramos que la idea básica es que se puede calcular el área de una región de forma irregular subdividiéndola en rectángulos.

Se implementará ésta misma filosofía para calcular la cantidad de trabajo necesario para llevar a cabo diversas acciones, utilizando integrales definidas.

Trabajo

Uno de los principios básicos de la física es que el trabajo es igual al producto de la Fuerza por la distancia:

·W F dJoule = Newton · metro

Cuando la fuerza es constante

F = constanteFuerza

distancia

·A B h

El problema se vuelve más interesante si la fuerza está variando de un punto a otro, es decir, no es constante.

W = F· d

d

F

Cuando la fuerza no es constante

Fuerza Desplazamiento

1 1

9 3

49 7

64 8

121 11

225 15

256 16

( )F x

xF

x

Cuando la fuerza no es constante

*Interpolación de una función: dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar una función que pase por todos los puntos.

Utilizando técnicas de ajuste de curvas, y de interpolación* polinómica, trigonométrica, etc. se puede obtener una función.

0

1

-1

1 2 3 4 5

( ) sinf x x

( )f x

Cuando la fuerza no es constante

A partir de los datos y la gráfica se puede definir una función.

Fuerza Desplazamiento

1 1

9 3

49 7

64 8

121 11

225 15

256 16

2( )F x x

( )F x x

Ejemplo 1

Un objeto se empuja en el plano desde

x = 0 hasta x =10, pero debido al viento, la fuerza que debe aplicarse en el punto x es:

2( ) 3 10F x x x

Solución Al mover el objeto desde la posición inicial x hasta la posición final x + Δx, la

distancia recorrida es Δx y la fuerza aplicada es de Por lo tanto el trabajo realizado en ese pequeño recorrido es:

2( ) 3 10F x x x

2( ) (3 10)·w x x x x El trabajo total se obtiene mediante la suma. En este caso, la integral representa ésta suma:

10 22 3

0

(3 10) 10 10502

xW x x dx x x J

W F d

Gráfica 1

·W F dFuerza = F(x)

Distancia = x

Δx10

w2w1

w3

w4

w5

1 2 3 4 5TW W W W W W

5n

Gráfica 1Fuerza = F(x)

·W F d

Distancia = xΔx

10

1 2 ...T nW W W W

n

Ejemplo 2

Un hombre lleva un costal de 100 lb. de arena por una escalera de 20 pies, a razón de 5 pies por minuto. El costal tiene un agujero por el que se fuga continuamente la arena a razón de 4 lb. por minuto ¿Cuánto trabajo realiza el hombre en llevar el costal por la escalera?

Análisis de los datosPeso inicial del costal =100 lb

Largo de la escalera = 20 ft

Pies subidos por minuto = 5 ft

Cantidad de arena perdida por minuto = 4 lb

Trabajo total = ?

• Al hombre le tomará 4 minutos subir la escalera.• Para el tiempo t, el saco tendrá 100 - 4t lb de

arena dentro• Del tiempo t al tiempo t + Δt, el hombre se

mueve 5·Δt pies hacia arriba de la escalera• Y entonces desarrolla un trabajo equivalente a:

POR LO TANTO:

( ) (100 4 )5w t t t

W = F d

Solución

El trabajo total es entonces la integral:

4 4

0 0

(100 4 )5 500 20W t dt t dt

W = 1840 ft·lb

2500 10 1840t t ft lb

Aplicación: Pistones

¿Qué es un pistón? Es un elemento del motor de combustión interna conformado por un émbolo que va ajustado al interior de las paredes de un cilindro.

Su función es la de dirigir la fuerza generada por la combustión de la mezcla a la biela (que luego la deriva al cigüeñal).

Biela

Cigüeñal

Biela

Aplicación: Pistones

¿Cómo funciona? El fluido que se encuentra en el interior del cilindro modifica sensiblemente su volumen y presión como consecuencia de los movimientos alternativos del pistón cosa que finalmente se transforma en movimiento.

Ese movimiento alternativo inicial se transforma en movimiento rotativo a través de la articulación entre la biela y el cigüeñal.

BielaCigüeñal

Biela

d

a

b

F

En un motor de auto, la explosión de la mezcla aire-gasolina ejerce una fuerza sobre el pistón que disminuye a medida que éste se expande, permitiendo que el gas se expanda.

En la aproximación de F(x)=k/x, donde x es la posición del pistón y k el coeficiente de rigidez* del mismo, encontrar el trabajo realizado en el pistón cuando se desplaza de x=a a x=b y demuestre que el resultado solo depende de la relación b/a.

Aplicación: Pistones

*Se calcula como la razón entre una fuerza aplicada y el desplazamiento *Se calcula como la razón entre una fuerza aplicada y el desplazamiento obtenido por su aplicación : K=F/dobtenido por su aplicación : K=F/d

W F d

Aplicación: PistonesSolución: ·W F d

( )k

F xx

( )

kw x x

x

b

a

kdxx

1b

a

k dxx

lnk x ln lnk b k a

u x

du dx

(ln ln )k b a lnb

ka

También es conocido como la relación de compresión del motor

W

lnb

W ka

Conclusiones

• Cuando se aplica una fuerza que NO es constante a un objeto para producirle un desplazamiento, la cantidad de trabajo total puede encontrarse utilizando una integral definida.

• Ésta integral será de una función que represente la fuerza (que estará en función de la distancia) por la distancia “x” recorrida que es dx.

Bibliografía

• Crowell, Benjamin. Calculo. Primera edición. Fullerton, California: Editorial Light and matter, 2005. 134 páginas.

• Krantz, Steven G. Cálculo desmitificado. Estados Unidos: Editorial Mc Graw Hill, 2003, 342 páginas.