Republica Bolivariana de Venezuela

Universidad Fermín Toro

Decanato de Ingeniería

Cabudare - Lara

Alumno:

Eliezer Pacheco 24537005

Definición de análisis numérico

El cálculo numérico es la parte de las matemáticas que se encarga de estudiar y diseñar algoritmos para que a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

Usualmente, estos procedimientos numéricos pueden resolver problemas matemáticos demasiado complejos gracias la aparición de los ordenadores que los resuelven con operaciones básicas y simples pero con números binarios, estos problemas matemáticos pueden ser desde ecuaciones diferenciales y algebraicas, interpolación y extrapolación, hasta integrales definidas.

Estos algoritmos normalmente son hechos a base de algoritmos ya creados y que se usan para resolver problemas que se nos presentan en el dia a dia empleando álgebra y geometría. Por ejemplo, puede utilizarse las ecuaciones diferenciales ordinarias para explicar el movimiento de cuerpos celestes, álgebra linear para la psicología cuantitativa, entre otros como lo son los campos de ciencias naturales, ciencias sociales, ingeniería, medicina y en los negocios.

Métodos Numéricos e importancia

Los métodos numéricos son técnicas a través de las cuales es posible crear problemas de tal forma que sean resueltos con operaciones aritméticas. Aunque hay muchos tipos de métodos, todos tienen una característica en común, llevan a cabo un buen número de cálculos aritméticos y emiten soluciones aproximadas.

La importancia de los métodos numéricos no está en buscar u obtener la solución exacta de un problema, sino la aproximada pero con la precisión requerida, con un error lo suficientemente pequeño y próximo a cero, de ahí la utilidad de los métodos numéricos. También el tiempo empleado en obtener la solución y en esto ha jugado un papel importante en el enorme desarrollo de la tecnología computarizada, ya que la enorme velocidad actual de los medios computarizados de cómputo ha reducido considerablemente el tiempo de obtención de la solución, lo que ha motivado la popularidad, el enorme uso y aceptación que hoy tienen los métodos numéricos. Sumémosle a ello que las computadoras son capaces de dar solución con la precisión requerida.

Números de Máquina Decimales

Numero de maquina es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base 2. El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares. Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las computadoras digitales usan componentes de apagado/prendido, o para una conexión eléctrica abierta/cerrada.

Una máquina generalmente no almacena una cantidad matemática x sino una aproximación binaria a x llamada representación de punto flotante, denotada por fl(x).

Errores Absolutos y Relativos

Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisión. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos para que cumplan los requisitos de un problema en particular. Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas.

Errores absolutos: Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

Errores relativos: Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. No tiene unidades.

Cota de Errores Absolutos y Relativos

Una cota es un valor que delimita una cantidad aproximada, por lo tanto la cota de error es el error máximo que se puede cometer al realizar una medida o tomar una aproximación. Las cotas de error indican la precisión de la medida.

Se llama cota de error absoluto , de un numero aproximado, a un numero tal que

La cota de error relativo

Fuentes básicas de errores

Hay dos causas primordiales de errores en los cálculos numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo.

El error de redondeo: Se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC.

Cortamos el número a partir de cierta cifra, pero sumamos uno a la última cifra que aparezca, en el caso de que la primera que omitamos sea mayor o igual que 5. Por ejemplo, redondeando el número π = 3,141592::: a las centésimas tenemos π = 3,14, a las milésimas π =

3,142 y a las diezmilésimas π = 3; 1416. En general es preferible el redondeo al truncamiento, ya que cometemos un error menor.

El error de truncamiento: En el sub-campo matemático del análisis numérico, truncamiento es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del separador decimal, descartando los menos significativos.

Por ejemplo dados los números reales:3,14159265358979...32,4381912886,3444444444444

Para truncar estos números a 4 dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos a la derecha de la coma decimal.El resultado es:

3,141532,43816,3444

Nótese que en algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que el redondeo, pero el truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia abajo los dígitos, meramente los corta en el dígito especificado. El error de truncamiento puede ser hasta el doble del error máximo que se puede tener usando redondeo.

Cálculos estables e inestables

La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico. Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto. El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse con base en los errores relativos, es decir investigar la inestabilidad o mal condicionamiento , lo cual significa que un cambio relativamente pequeño en la entrada, digamos del 0,01%, produce un cambio relativamente grande en la salida, digamos del 1% o más. Una fórmula puede ser inestable sin importar con qué precisión se realicen los cálculos.

Condicionamiento

Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir un número de condición: "Un número condicionado puede definirse como la razón de los errores relativos". Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema mal condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada caso se establece un número de condición, es decir para la evaluación de una función se asocia un número condicionado, para la solución de sistemas de ecuaciones lineales se establece otro tipo de número de condición;

el número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre aumenta.