Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 1/113 I. Gua Pedaggica del Mdulo Anlisis integral de funciones

Gua Pedaggica y de Evaluacin del Mdulo: Anlisis integralde funciones Contenido Pg. I.Gua pedaggica 1.Descripcin3 2.Datos de identificacin de la norma4 3.Generalidades pedaggicas5 4.Enfoque del mdulo14 5. Orientaciones didcticas y estrategias de aprendizaje por unidad 16 6. Prcticas/ejercicios/problemas/actividades 25 II. Gua de evaluacin 100 7. Descripcin 101 8. Matriz de ponderacin 105 9. Matriz de valoracin o rbrica 106 Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 3/113 1.Descripcin LaGuaPedaggicaesundocumentoqueintegraelementostcnico-metodolgicosplanteadosdeacuerdoconlosprincipiosylineamientosdel Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad del Conalep para orientar la prctica educativa del Prestador de Servicios Profesionales (PSP) en el desarrollo de competencias previstas en los programas de estudio. Lafinalidadquetieneestaguaesfacilitarelaprendizajedelosalumnos,encauzarsusaccionesyreflexionesyproporcionarsituacionesenlasque desarrollar las competencias. El PSP debe asumir conscientemente un rol que facilite el proceso de aprendizaje, proponiendo y cuidando un encuadre quefavorezcaunambienteseguroenelquelosalumnospuedanaprender,tomarriesgos,equivocarseextrayendodesuserroreslecciones significativas, apoyarse mutuamente,establecer relaciones positivas y de confianza, crear relaciones significativas con adultos a quienes respetan no por su estatus como tal, sino como personas cuyo ejemplo, cercana y apoyo emocional es valioso. Es necesario destacar que el desarrollo de la competencia se concreta en el aula, ya queformar con un enfoque en competencias significa crear experienciasdeaprendizajeparaquelosalumnosadquieranlacapacidaddemovilizar,deformaintegral,recursosqueseconsideran indispensablesparasaberresolverproblemasendiversassituacionesocontextos,einvolucranlasdimensionescognitiva,afectivay psicomotora;porello,losprogramasdeestudio,describenlascompetenciasadesarrollar,entendindolascomolacombinacinintegradade conocimientos,habilidades,actitudesyvaloresquepermitenellogrodeundesempeoeficiente,autnomo,flexibleyresponsabledelindividuoen situacionesespecficasyenuncontextodado.Enconsecuencia,lacompetenciaimplicalacomprensinytransferenciadelosconocimientosa situaciones de la vida real; ello exige relacionar, integrar, interpretar, inventar, aplicar y transferir los saberes a la resolucin de problemas. Esto significa queelcontenido,losmediosdeenseanza,lasestrategiasdeaprendizaje,lasformasdeorganizacindelaclaseylaevaluacinse estructuran en funcin de la competencia a formar; es decir, el nfasis en la proyeccin curricular est en lo que los alumnos tienen que aprender, en las formas en cmo lo hacen y en su aplicacin a situaciones de la vida cotidiana y profesional. Considerando que el alumno est en el centro del proceso formativo, se busca acercarle elementos de apoyo que le muestren qucompetencias va a desarrollar,cmohacerloylaformaenqueseleevaluar.Esdecir,mediantelaguapedaggicaelalumnopodrautogestionarsuaprendizajea travs del uso de estrategias flexibles y apropiadas que se transfieran y adopten a nuevas situaciones y contextos e ir dando seguimiento a sus avances atravsdeunaautoevaluacinconstante,comobaseparamejorarenellogroydesarrollodelascompetenciasindispensablesparauncrecimiento acadmico y personal. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 4/113 2.Datos de Identificacin de la Norma Ttulo: Unidad (es) de competencia laboral: 1. Cdigo:Nivel de competencia: Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 5/113 3. Generalidades Pedaggicas Con el propsito de difundir los criterios a considerar en la instrumentacin de la presente gua entre los docentes y personal acadmico de planteles yColegiosEstatales,sedescribenalgunasconsideracionesrespectoaldesarrolloeintencindelascompetenciasexpresadasenlosmdulos correspondientes a la formacin bsica, propedutica y profesional.Losprincipiosasociadosalaconcepcinconstructivistadelaprendizajemantienenunaestrecharelacinconlosdelaeducacinbasadaen competencias,lacualsehaconcebidoenelColegiocomoelenfoqueidneoparaorientarlaformacinocupacionaldelosfuturosprofesionales tcnicosy profesionales tcnicos bachiller.Este enfoque constituye una de lasopciones ms viables para lograr la vinculacin entre la educacin y el sector productivo de bienes y servicios. En los programas de estudio se proponen una serie de contenidos que se considera conveniente abordar para obtener losResultados de Aprendizaje establecidos; sin embargo, se busca que este planteamiento le d al prestador de servicios profesionales la posibilidad dedesarrollarlos con mayor libertad y creatividad. En este sentido, se debe considerar que el papel que juegan el alumno y el prestador de servicios profesionales en el marco del Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad tenga, entre otras, las siguientes caractersticas: E El l a al lu um mn no o: :E El l p pr re es st ta ad do or r d de e s se er rv vi ic ci io os s p pr ro of fe es si io on na al le es s: : Mejora su capacidad para resolver problemas. Aprende a trabajar en grupo y comunica sus ideas. Aprende a buscar informacin y a procesarla.Construye su conocimiento. Adopta una posicin crtica y autnoma. Realiza los procesos de autoevaluacin y coevaluacin. Organiza su formacin continua a lo largo de su trayectoria profesional Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje significativo Planifica los procesos de enseanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias, y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y sociales amplios Lleva a la prctica procesos de enseanza y de aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional Evala los procesos de enseanza y de aprendizaje con un enfoque formativo Construye ambientes para el aprendizaje autnomo y colaborativo Contribuye a la generacin de un ambiente que facilite el desarrollo sano e integral de los estudiantes Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la gestin institucional Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 6/113 En esta etapa se requiere una mejor y mayor organizacin acadmica que apoye en forma relativa la actividad del alumno, que en este caso es mucho mayor que la del PSP; lo que no quiere decir que su labor sea menos importante.El PSP en lugar de transmitir vertical y unidireccionalmente los conocimientos, es un mediador del aprendizaje, ya que:-Planea y disea experiencias y actividades necesarias para la adquisicin de las competencias previstas. Asimismo, define los ambientes de aprendizaje, espacios y recursos adecuados para su logro. -ProporcionaoportunidadesdeaprendizajealosestudiantesapoyndoseenmetodologasyestrategiasdidcticaspertinentesalosResultadosde Aprendizaje.-Ayuda tambin al alumno a asumir un rol ms comprometido con su propio proceso, invitndole a tomar decisiones.-Facilita el aprender a pensar, fomentando un nivel ms profundo de conocimiento.-Ayuda en la creacin y desarrollo de grupos colaborativos entre los alumnos.-Gua permanentemente a los alumnos.-Motiva al alumno a poner en prctica sus ideas, animndole en sus exploraciones y proyectos. ConsiderandolaimportanciadequeelPSPplaneeydespliegueconlibertadsuexperienciaycreatividadparaeldesarrollodelascompetencias consideradas en los programas de estudio y especificadas en los Resultados de Aprendizaje, en las competencias de las Unidades de Aprendizaje, as como en la competencia del mdulo;podr proponery utilizar todas las estrategias didcticas que considere necesariaspara ellogro de estos fines educativos, con la recomendacin de que fomente, preferentemente, las estrategias y tcnicas didcticas que se describen en este apartado.Al respecto, entenderemos como estrategias didcticas los planesy actividades orientados a un desempeo exi toso de los resultados de aprendizaje, queincluyenestrategiasdeenseanza,estrategiasdeaprendizaje,mtodosytcnicasdidcticas,ascomo,accionesparalelasoalternativasqueel PSPy los alumnos realizarn para obtenery verificarel logro de la competencia; bajo este tenor,la autoevaluacin debe ser considerada tambin como una estrategia por excelencia para educar al alumno en la responsabilidad y para que aprenda a valorar, criticar yreflexionar sobre el proceso de enseanza y su aprendizaje individual. Es ascomo la seleccin de estasestrategiasdebe orientarse hacia un enfoque constructivista del conocimientoyestardirigidas aquelos alumnos observenyestudiensuentorno,conelfindegenerarnuevosconocimientosencontextosrealesyeldesarrollodelascapacidadesreflexivasy crticas de los alumnos. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 7/113 Desdeestaperspectiva,acontinuacinsedescribenbrevementelostiposdeaprendizajequeguiarneldiseodelasestrategiasylastcnicasque debern emplearse para el desarrollo de las mismas: T TI IP PO OS S A AP PR RE EN ND DI IZ ZA AJ JE ES S. . SignificativoSefundamentaenunaconcepcinconstructivistadelaprendizaje,lacualsenutredediversasconcepcionesasociadasalcognoscitivismo,comola teora psicogentica de Jean Piaget, el enfoque sociocultural de Vygotsky y la teora del aprendizaje significativo de Ausubel. Dicha concepcin sostiene que el ser humano tiene la disposicin de aprender verdaderamente slo aquello a lo que le encuentra sentido en virtud de que est vinculado con su entorno ocon sus conocimientos previos. Con respecto al comportamiento del alumno, se espera que sean capaces de desarrollar aprendizajes significativos, en una amplia gama de situacionesy circunstancias, lo cual equivale aaprender a aprender, ya que de ello depende la construccin del conocimiento.Colaborativo.El aprendizaje colaborativo puede definirse como el conjunto de mtodos de instruccin o entrenamiento para uso en grupos, as como de estrategias para propiciar el desarrollo de habilidades mixtas (aprendizaje y desarrollo personal y social).En el aprendizaje colaborativo cada miembro del grupo es responsable de su propio aprendizaje, as como del de los restantes miembros del grupo (Johnson, 1993.) Ms que una tcnica, el aprendizaje colaborativo es considerado una filosofa de interaccin y una forma personal de trabajo, que implica el manejo de aspectos tales como elrespeto a las contribuciones y capacidades individuales de los miembros del grupo (Maldonado Prez, 2007). Lo que lo distingue de otro tipo de situaciones grupales, es el desarrollo de la interdependencia positiva entre los alumnos, es decir, de una toma de conciencia de que slo es posible lograr las metas individuales de aprendizaje si los dems compaeros del grupo tambin logran las suyas. Elaprendizajecolaborativosurgeatravsdetransaccionesentrelosalumnos,oentreeldocenteylosalumnos,enunprocesoenelcualcambiala responsabilidad del aprendizaje, del docentecomo experto, al alumno, y asume que el docente es tambin un sujeto que aprende.Lo ms importante en la formacin de grupos de trabajo colaborativo es vigilar que los elementos bsicos estn claramente estructurados en cada sesin de trabajo. Slo deestamanerasepuedelograrqueseproduzca,tantoelesfuerzocolaborativoenelgrupo,comounaestrecharelacinentrelacolaboracinylos resultados (Johnson & F. Johnson, 1997). Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 8/113 Los elementos bsicos que deben estar presentes en los grupos de trabajo colaborativo para que ste sea efectivo son:-la interdependencia positiva.-la responsabilidad individual.-la interaccin promotora.-el uso apropiado de destrezas sociales.-el procesamiento del grupo. Asimismo, el trabajo colaborativo se caracteriza principalmente por lo siguiente: -Sedesarrollamedianteaccionesdecooperacin,responsabilidad,respetoycomunicacin,enformasistemtica,entrelosintegrantesdelgrupoy subgrupos.-Va ms all que slo el simple trabajo en equipo por parte de los alumnos. Bsicamente se puede orientar a que los alumnosintercambien informacin y trabajen entareas hasta que todos sus miembros las han entendido y terminado, aprendiendo a travs de la colaboracin. -Se distingue por el desarrollo de una interdependencia positiva entre los alumnos, en donde se tome conciencia de que slo es posible lograr las metas individuales de aprendizaje si los dems compaeros del grupo tambin logran las suyas. -Aunque en esencia esta estrategia promueve la actividad en pequeos grupos de trabajo, se debe cuidar en el planteamiento delas actividades que cada integrante obtenga una evidencia personal para poder integrarla a su portafolio de evidencias. Aprendizaje Basado en Problemas.Consiste en la presentacin de situaciones reales o simuladas que requieren la aplicacin del conocimiento, en las cuales el alumno debe analizar la situacin y elegir o construir una o varias alternativas para su solucin (Daz Barriga Arceo, 2003). Es importante aplicar esta estrategia ya que las competenciasseadquierenenelprocesodesolucindeproblemasyenestesentido,elalumnoaprendeasolucionarloscuandoseenfrentaa problemas de su vida cotidiana, a problemas vinculados con sus vivencias dentro del Colegio o con la profesin. Asimismo, el alumno se apropia de los conocimientos,habilidadesynormasdecomportamientoquelepermitenlaaplicacincreativaanuevassituacionessociales,profesionalesode aprendizaje, por lo que: -Sepuedetrabajarenformaindividualodegrupospequeosdealumnosqueserenenaanalizaryaresolverunproblemaseleccionadoodiseado especialmente para el logro de ciertos resultados de aprendizaje.-Sedebepresentarprimeroelproblema,seidentificanlasnecesidadesdeaprendizaje,sebuscalainformacinnecesariayfinalmenteseregresaal problema con una solucin o se identifican problemas nuevos y se repite el ciclo. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 9/113 -Los problemas deben estar diseados para motivar la bsqueda independiente de la informacin a travs de todos los medios disponibles para el alumno y adems generar discusin o controversia en el grupo. -El mismo diseo del problema debe estimular que los alumnos utilicen los aprendizajes previamente adquiridos. -El diseo del problema debe comprometer el inters de los alumnos para examinar de manera profunda los conceptos y objetivos que se quieren aprender.-Elproblemadebeestarenrelacinconlosobjetivosdelprogramadeestudioyconproblemasosituacionesdelavidadiariaparaquelosalumnos encuentren mayor sentido en el trabajo que realizan. -Losproblemasdebenllevaralosalumnosatomardecisionesohacerjuiciosbasadosenhechos,informacinlgicayfundament ada,yobligarlosa justificar sus decisiones y razonamientos. -Se debe centrar en el alumno y no en el PSP. T T C CN NI IC CA AS S Mtodo de proyectos. Es una tcnica didctica que incluye actividades que pueden requerir que los alumnosinvestiguen, construyan y analicen informacin que coincida conlosobjetivosespecficosdeunatareadeterminadaenlaqueseorganizanactividadesdesdeunaperspectivaexperiencial,dondeelalumno aprende a travs de la prctica personal, activa y directa con el propsito de aclarar, reforzar y construir aprendizajes (Intel Educacin). Para definir proyectos efectivos se debe considerar principalmente que: -Los alumnos son el centro del proceso de aprendizaje.-Los proyectos se enfocan en resultados de aprendizaje acordes con los programas de estudio. -Las preguntas orientadoras conducen la ejecucin de los proyectos.-Los proyectos involucran mltiples tipos de evaluaciones continuas. -El proyecto tiene conexiones con el mundo real. -Los alumnos demuestran conocimiento a travs de un producto o desempeo. -La tecnologa apoya y mejora el aprendizaje de los alumnos.-Las destrezas de pensamiento son integrales al proyecto.Para el presente mdulo se hacen las siguientes recomendaciones: Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 10/113 -Integrar varios mdulos mediante el mtodo de proyectos, lo cual es ideal para desarrollar un trabajo colaborativo. -En el planteamiento del proyecto, cuidar los siguientes aspectos: Establecer el alcance y la complejidad. Determinar las metas. Definir la duracin. Determinar los recursos y apoyos. Establecer preguntas gua. Las preguntas gua conducen a los alumnos hacia el logro de los objetivos del proyecto. La cantidad de preguntas gua es proporcional a la complejidad del proyecto. Calendarizar y organizarlas actividades y productos preeliminares y definitivos necesarias para dar cumplimiento al proyecto. -Lasactividadesdebenayudararesponsabilizaralosalumnosdesupropioaprendizajeyaaplicarcompetenciasadquiridasenelsalndeclaseen proyectos reales, cuyo planteamiento se basa en un problema real e involucra distintas reas. -Elproyectodebeimplicarquelosalumnosparticipenenunprocesodeinvestigacin,enelqueutilicendiferentesestrategiasdeestudio;puedan participar en el proceso de planificacin del propio aprendizaje y les ayude a ser flexibles, reconocer al "otro" y comprender su propio entorno personal y cultural. As entonces se debe favorecer el desarrollo de estrategias de indagacin, interpretacin y presentacin del proceso seguido. -Deacuerdoaalgunostericos,medianteelmtododeproyectoslosalumnosbuscansolucionesaproblemasnoconvencionales,cuandollevanala prcticaelhacerydepurarpreguntas,debatirideas,hacerpredicciones,disearplanesy/oexperimentos,recolectaryanalizardatos,establecer conclusiones,comunicarsusideasydescubrimientosaotros,hacernuevaspreguntas,crearartefactosopropuestasmuyconcretasdeordensocial, cientfico, ambiental, etc. -En la gran mayora de los casos los proyectos se llevan a cabofuera del saln de clase y, dependiendo de la orientacin del proyecto, en muchos de los casos pueden interactuar con sus comunidades o permitirle un contacto directo con las fuentes de informacin necesarias para el planteamiento de su trabajo. Estas experiencias en las que se ven involucrados hacen que aprendan a manejar y usar los recursos de los que disponen como el tiempo y los materiales. -Como medio de evaluacin se recomienda que todos los proyectos tengan una o ms presentaciones del avance para evaluar resultados relacionados con elproyecto. -Para conocer acerca del progreso de un proyecto se puede: Pedir reportes del progreso. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 11/113 Presentaciones de avance, Monitorear el trabajo individual o en grupos. Solicitar una bitcora en relacin con cada proyecto. Calendarizar sesiones semanales de reflexin sobre avances en funcin de la revisin del plan de proyecto. Estudio de casos. El estudio de casos es una tcnica de enseanza en la que los alumnos aprenden sobre la base de experiencias y situaciones de la vida real, y se permiten as, construir su propio aprendizaje en un contexto que los aproxima a su entorno. Esta tcnica se basa en la participacin activa y en procesos colaborativos y democrticos de discusin de la situacin reflejada en el caso, por lo que: -Se deben representar situaciones problemticas diversas de la vida para que se estudien y analicen.-Se pretende que losalumnos generen soluciones validas para los posibles problemas de carcter complejo que se presenten en la realidad futura.-Se deben proponer datos concretos para reflexionar, analizar y discutir en grupo y encontrar posibles alternativas para la solucin del problema planteado. Guiar al alumno en la generacin de alternativas de solucin, le permite desarrollar la habilidad creativa, la capacidad de innovacin y representa un recurso para conectar la teora a la prctica real. -Debe permitir reflexionar y contrastar las propias conclusiones con las de otros, aceptarlas y expresar sugerencias. El estudio de casos es pertinente usarlo cuando se pretende: -Analizar un problema. -Determinar un mtodo de anlisis. -Adquirir agilidad en determinar alternativas o cursos de accin. -Tomar decisiones. Algunos tericos plantean las siguientes fases para el estudio de un caso: -Fase preliminar: Presentacin del caso a los participantes -Fase de eclosin: "Explosin" de opiniones, impresiones, juicios, posibles alternativas, etc., por parte de los participantes. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 12/113 -Fasedeanlisis:Enestafaseesprecisollegarhastala determinacindeaquelloshechosquesonsignificativos.Seconcluyeestafasecuando seha conseguido una sntesis aceptada por todos los miembros del grupo. -Fase de conceptualizacin: Es la formulacin de conceptos o de principios concretos de accin, aplicables en el caso actualy que permiten ser utilizados o transferidos en una situacin parecida. Interrogacin. Consisteen llevaralos alumnos a ladiscusinyal anlisis de situacioneso informacin,conbaseenpreguntas planteadasy formuladas por el PSP o por los mismos alumnos, con el fin de explorar las capacidades del pensamiento al activar sus procesos cognitivos; se recomienda integrar esta tcnica de manera sistemtica y continua a las anteriormente descritas y al abordar cualquier tema del programa de estudio. Participativo-vivenciales. Sonunconjuntodeelementosdidcticos,sobretodolosqueexigenungradoconsiderabledeinvolucramientoyparticipacindetodoslos miembros del grupo y que slo tienen como lmite el grado de imaginacin y creatividad del facilitador. Losejerciciosvivencialessonunaalternativaparallevaracaboelprocesoenseanza-aprendizaje,nosloporquefacilitanlatransmisinde conocimientos,sinoporqueademspermitenidentificaryfomentaraspectosdeliderazgo,motivacin,interaccinycomunicacindelgrupo, etc., los cuales son de vital importancia para la organizacin, desarrollo y control de un grupo de aprendizaje. Los ejercicios vivenciales resultan ser una situacin planeada y estructurada de tal manera que representan una experiencia muy atractiva, divertida y hasta emocionante. El juego significa apartarse, salirse de lo rutinario y montono, para asumir un papel o personaje a travs del cual el individuo pueda manifestar lo que verdaderamente es o quisiera ser sin temor a la crtica, al rechazo o al ridculo. El desarrollo de estas experiencias se encuentra determinado por los conocimientos, habilidades y actitudes que el grupo requiera revisar o analizary por sus propias vivencias y necesidades personales. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 13/113 4.Enfoque del Mdulo Anlisis integral de funcioneses un mdulo cuya organizacin curricularse encuentradividida endosunidades programticas que se enfocana la adquisicindecompetenciasnecesariasparallevaracaboladeterminacindelreabajounacurvayvolmenesdeslidosderevolucin.Enla primera unidad se determinan magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin y calcula el rea en un intervalo cerrado en lagrfica de una funcin determinando el tamao de una regin bidimensional. En la segunda unidad determina el tamao de una regin acotada que se encuentra entregrficas de funciones, a partir de las ecuaciones que la representany calcula el volumen de slidos de revolucin aplicando diferentes mtodos que permitan determinar el tamao de la regin tridimensional. Con la finalidad de lograr la adquisicin de las competencias de este mdulo, los tipos de aprendizaje a travs de los cuales se abordar su contenido son tanto de carcter cognitivo, ya que es imprescindible para la formacin del alumno el conocimiento e interpretacin de los conceptos asociados con elclculointegral,ejemplocuandoseabordancontenidosrelacionadosconlasantiderivadas,laintegralindefinida,clculodereasyvolmenes;y actitudinalcuandosefomentaydesarrollaenelalumnounconjuntodecriteriosticosenfocadosalaadquisicindehabilidadesyactitudesde honestidad e integridad profesional necesarias para desempearse en su mbito laboral. Desdeunapticaamplia,estemdulopretendepromoverlacomprensinreflexivaeinterpretacin,msqueelmeroconocimientooaplicacin memorstica de frmulas , denominaciones y procedimientos del clculo integral, lo cual llevar, a su vez al estudiante, a la adquisicin de habilidades y destrezasnecesariasparalaresolucindeproblemasenlosdiferentescamposdeaplicacin.Porotraparte,sepretendetambindesarrollar instrumentos que logren el aprendizaje de manejar las integrales definidas e indefinidasy clculo de reas y volmenes de slidos de revolucin, para lainterpretacindemodelosmatemticosenelcampodelaingeniera,economa,bilogayproblemascotidianos,basndoseenrelacionesde confianzaeintegridadprofesionalquedebernfomentarseporelPSPatravsdeldesarrollodediversasestrategiasdidcticascomolasquese presentan en esta gua. El enfoque del mdulo de Anlisis integral de funciones torna necesaria, para el desarrollo de lo que se menciona en el prrafo anterior, la sugerencia de que el PSP considere como punto de partida lo que el alumno ya conoce o ha experimentado sobre la materia, considerando que el clculo integral difcilmente dejan fuera a alguien en esta sociedad moderna y globalizada a la que pertenecemos, y recurra a dichos conocimientos previos, a fin de que Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 14/113 motiven a su alumno a adquirir nuevas nociones y experiencias que integre de forma significativa a las estructuras que ya posee, ya sea a travs de lo quelmismodescubraoinfiera,oatravsdelanlisisyreconstruccindelosplanteamientosdocentes.Enloqueserefierealaprendizajede procedimientos,esteimplicalaconsecucindelpropsitodelmduloatravsdeaccionessecuenciadasquellevengradualmentealalumnoal desarrollo de sus actividades, primeramente acadmicas y posteriormente profesionales, de manera segura, consciente y responsable. Esimportantesubrayarasimismoque,ademsdelosaprendizajescognitivoyprocedimentaltambinconocidoscomosabersaberysaberhacer respectivamente,elPSPdeberfortalecerelaprendizajeactitudinaleldenominadosaberser.Paraelloselesugiereestarpermanentemente conscientedeldesarrolloexplcitodecompetenciastransversalescomosonlas cvicasyticas,atravsdelaenseanzadevaloresyactitudesque fomenten el ejercicio honesto de la profesin; cientficas que desarrollen una actitud de bsqueda de nuevas soluciones a viejos y nuevos problemas a partir de la observacin sistemtica y objetiva del entorno; matemticas a travs del constante empleo del pensamiento lgico; tecnolgicas que lo lleven al desempeo eficiente, autnomo y flexible de las herramientas informticas existentes para el desarrollo del Anlisis derivativo de funciones. Resultanecesarioresaltar,yaparaconcluirlaexplicacinsobreelenfoqueseestdandoaestemdulodeAnlisisintegraldefunciones,la importancia que tiene el fomento de la atencin personalizada por parte del PSP hacia cada uno de susalumnos con miras a optimizarsus procesos individuales de aprendizaje, y a potencializar sus capacidades crticas y creativas al ritmo y posibilidades de cada persona; tanto como el desarrollo de aquellasmodalidadesgrupalescooperativasocolaborativasbasadasenlacreacinderelacionesdesinergiaycohesingrupalquesefundan,asu vez, en elintercambio de informacinyenellogro de procesos de relacin interpersonaly de comunicacinque aporten mejoras a los interlocutores que intervienen en ellos. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 15/113 5.Orientaciones didcticas y estrategias de aprendizaje por unidad Unidad IDeterminacin del rea bajo una curva Orientaciones Didcticas Brindar una formacin de calidad y con equidaden donde se promueva laparticipacin plena de los sujetos en el mundo del trabajo, el estudio y la convivencia acompaando sus procesos de reconocimiento y adquisicin de saberes y habilidades, procurando remover inequidades que se originan en visiones estereotipadas sobre el papel que juegan las distintas personas segn su sexo, origen, situacin social, conocimientos, etc. EstaprimeraunidadcorrespondientealaDeterminacindelreabajounacurva,estorientadaacalcularantiderivadaseintegralesindefinidasas mismodemaneraqueseutilicenfrmulasoreglasparaladeterminacindeintegralesindefinidasparafuncionesalgebraicas,trigonomtricasy trascendentes.De manera que en elclculode integrales podemos aplicartcnicas como: el cambio de variable o sustitucin, integracin porpartes, fracciones parciales y mtodos trigonomtricos.las integrales definidas de funciones sustentadiversas aplicaciones del clculo, utilizndose de manera especfica para hallar el rea bajo una curva, que es la idea central de esta unidad. Ello se realiza con el fin de que el alumno est en posibilidades de Interpretargeomtricamentelaintegraldefinidadeunafuncin,aplicandomtodosyfrmulasparasuobtencin.Eldesarrollodeestaunidad proporcionar al alumno elementos bsicos que le permitan tener continuidad de cursos anteriores como Anlisis diferencial de funciones y desarrollar a fondo en temas avanzados, actividades en cursos subsecuentes y, por eso se propone que el PSP lleve a cabo lo siguiente: -Precisar los contenidos y propsitos de esta unidad renovando la motivacin con que cuenta el alumno para realizarlos en conjunto con los de todo el mdulo -Analizacon sus alumnos, las implicaciones y alcances del programa del mdulo, a travs de las tcnicas de dinmica grupal de encuadre, con elfindeprecisaraquellasformasdetrabajar,responsabilidadesycompromisosdelosintegrantesdelgrupoquedirijanall ogrotantodel propsito del mdulo, como de los objetivos generales de la carrera. -Organizar sistemticamente la informacin que se ha de manejary procesar para su aprendizaje. Efectuando explcitamente la vinculacin de esta unidad tanto con la que la precede en cursos anteriores, como con la que la sigue a fin de que el alumno valore su importancia acadmica y curricular. -Promover la elaboracin de ejercicios relacionados con el manejo de integrales indefinidas y definidas aplicando teoremas, frmulasy mtodos de integracin, el clculodereasy la solucin de modelos matemticos en problemas diversos de diferentes campos de la ciencia,con el desarrollogeneraldeloscontenidosdelaunidad,tantodeformaindividualcomoengrupo,favoreciendosuanlisis,co-evaluaciny retroalimentacin grupal en ambos casos. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 16/113 -Subrayalaimportanciaquetienelapresenciadelalumnoencadaclase,suparticipacinparaelenriquecimientodelaprendizajedetodoel grupo y la asignacin de tareas y actividades intra y extramuros, con el fin de incentivar en l su cumplimiento voluntario y oportuno. Fortalece la reflexin y el razonamiento como elementos precedentes a la aplicacin de cualquier frmula del clculo de integrales indefinidas e definidas de funciones algebraicas, trigonomtricas y trascendentales. -Promueveunadinmicagrupalcolaborativaycooperativaatravsdelarealizacindelastcnicasdidcticasydeaprendizaje correspondientes, durante el transcurso de cada sesin para favorecer un clima que fomente el intercambio constructivo de ideas -Facilita el proceso de homogeneizacin de las capacidades lgico-matemticas del grupo con la finalidad de que sus alumnos logren identificar las propiedades generales en el clculo de integrales indefinidas y definidas, adems de la interpretacin geomtrica de las integrales definidas de funciones parael desarrollo de esta unidad. -Efecta el cierre de ciclos de aprendizaje no solamente al concluir cada tema o subtema, sino de cada sesin de clase, con la finalidad de lograr un proceso lgico de enseanza-aprendizaje, en el que el alumno pueda apreciar tanto sus logros cotidianos yla importancia de su esfuerzo y constancia, como la importancia de la afirmacin de sus capacidades para dar paso a la adquisicin de nuevas competencias. -El segundo resultado de aprendizaje est directamente relacionado con el anterior,ya que en este sedeterminan las integrales definidas y se Interpreta geomtricamente como el rea bajo una curva, aplicando las reglas yfrmulaspara su obtencin, porlo que resulta indispensable fortalecer en el alumno los mtodos y tcnicas para el clculo de integrales de funciones algebraicas, trigonomtricas y trascendentales. -Esteresultadodeaprendizaje,seencuentraestrechamentevinculadoconelanterior,yparalograrlosesugierequeelPSPrecuperelos conceptos construidos conjuntamente con sus alumnos en lo que se refiere al clculo de integrales de funciones, de forma tal que plantee a sus alumnos problemas relacionados conlasintegrales indefinidasy definidas de funciones, recurriendo aejercicios que se integranenesta gua pedaggica y de evaluacin. Estrategias de AprendizajeRecursos Acadmicos - Analizaren equipo el concepto de diferencial en diferentes situaciones, a partir de informacin obtenida por internet o bibliografa. - Representargrficamente la diferencial de una funcin, a partir de la definicin - Realizar una investigacin bibliogrfica o en internet acerca de las reglas de diferenciacin. - Resolver ejercicios de diferenciacin utilizando las reglas. - Resolver problemas de diferencial de una funcin aplicando las reglas. - Aplicar las diferenciales para encontrar aproximaciones en el error en problemas geomtricos. - RealizarunainvestigacinbibliogrficaoenInternetacercadelconceptodeantiderivadade una funcin. - Obtenerlafamiliadeantiderivadasdeunafuncinapartirdelaregladeantiderivacinpara potencias. -Purcell,EdwinJ.,Varberg,Dale,Rigdon,StevenE. Clculodiferencialeintegral.Mxico,Editorial Pearson Educacin, 2007 -http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Integral.html - http://www.ciens.ula.ve/~miguelr/ -http://personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_2/IntegralC2.pdf -http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_04800.html - http://www.xtec.cat/~jlagares/integral.esp/integral Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 17/113 - Resolver ejercicios de antiderivadas de una funcin a partir de la regla de potencias. - Obtener antiderivadas especficas a partir de valores a la frontera dados. - Aplicarantiderivadasensituacionescontextuales,determinandodistancias,velocidades, aceleraciones y costos de produccin. - Realizarunainvestigacinbibliogrficaacercadeladefinicindeintegralindefinida, exponiendo la definicin ante el grupo. - Resolverejerciciosdeintegralesindefinidasparafuncionespolinomoiales,aplicandolos teoremas y la regla de las potencias. - Resolver problemas de integrales indefinidas a partir de la funcin y valores a la frontera dados en situaciones contextuales. - Resolver ejercicios de integrales indefinidas para funciones algebraicas, aplicando el mtodo de cambio de variable o de sustitucin. - Resolverproblemasdeintegralesindefinidasparafuncionesalgebraicas,aplicandoelmtodo de cambio de variable o de sustitucin. - Resolver ejercicios de integrales para funciones trigonomtricas aplicando el mtodo de cambio devariable,utilizandolatabladeintegralesparalasfunciones:senx,cosx,sec2x,secxtanx, cscxcotx, csc2x, secx, cscx y tanx. - Resolverproblemasdeintegralesparafuncionestrigonomtricasaplicandoelmtodode cambiodevariable,utilizandolatabladeintegralesparalasfunciones:senx,cosx,sec2x, secxtanx, cscxcotx, csc2x, secx, cscx y tanx. - Realizar una investigacin bibliogrfica o en internet acerca de lagrficay propiedades de las funciones exponenciales y logartmicas. - Resolverejerciciosdeintegracindefuncionesexponencialesylogartmicas,aplicandoel mtodo de cambio de variable y tablas integrales para su solucin. - Resolverproblemasdeintegracindefuncionesexponencialesylogartmicas,aplicandoel mtodo de cambio de variable y tablas integrales para su solucin. - Resolverejerciciosdeintegracindefuncionestrigonomtricasinversas,aplicandoelmtodo de cambio de variable y tablas integrales para su solucin. - Resolver problemas de integracin de funciones trigonomtricas inversas, aplicando el mtodo de cambio de variable y tablas integrales para su solucin. - Calcular integrales de funciones aplicando el mtodo de integracin por partes. - Resolver problemas de integracin de funciones utilizando la frmulade integracin por partes. - Calcular integrales por el mtodo de integracin de potencias de funciones trigonomtricas y la aplicacin de identidades, para los integrandos: sennx, cosnx, senmxcosnx, tanmxsecnx..htm -http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integral_indefinida/html/node11.html -http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Metodos.htm -http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0244-01/ed99-0244-01.html -http://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/integracion/ -http://notascalculointegral.blogspot.com/ Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 18/113 - Resolverproblemasdeintegralesporelmtododeintegracindepotenciasdefunciones trigonomtricasylaaplicacindeidentidades,paralosintegrandos:sennx,cosnx,senmxcosnx, tanmxsecnx.- Resolverejerciciosdeintegralesdefuncionesalgebraicasquecontienenensuintegrando radicalesdelaforma:

aplicandoelmtododesustitucin trigonomtrica. - Resolverproblemasdeintegralesdefuncionesalgebraicasquecontienenensuintegrando radicalesdelaforma:

aplicandoelmtododesustitucin trigonomtrica. - Calcularintegrales de funciones algebraicas, aplicando el mtodo de fracciones parciales, que contengan factores lineales distintos, lineales repetidos, cuadrticos distintos y repetidos - Resolver problemas der integrales de funciones algebraicas, aplicando el mtodo de fracciones parciales,quecontenganfactoreslinealesdistintos,linealesrepetidos,cuadrticosdistintosy repetidos - Resolverejerciciosdeintegralesdefuncionesalgebraicasquecontienenexpresiones cuadrticas - Resolverproblemasdeintegralesdefuncionesalgebraicasquecontienenexpresiones cuadrticas. - Resolverejerciciosdeintegralesdefuncionesalgebraicasytrigonomtricas,aplicando sustituciones diversas. - Resolverproblemasdeintegralesdefuncionesalgebraicasytrigonomtricas,aplicando sustituciones diversas. - Realizar una investigacin bibliogrficaacerca de la definicin de integral definida y el teorema fundamental del clculo, exponiendo las definiciones ante el grupo.- Investigary elaborarun listado en equipoy presentarlo ante sus compaeros de los teoremas para la integral definida. - Utilizar el teorema fundamental del clculo para evaluar integrales definidas. - Determinar y dibujar el rea de una regin a partir de la funcin dada. - Calcularelvalorpromediodefuncionesalgebraicas,trigonomtricasytrascendentalesen intervalos dados. - Resolverejerciciosdeintegralesdefinidasdefuncionesalgebraicas,trigonomtricasy trascendentales, aplicando el mtodo de cambio de variable. - Resolverproblemasdeintegralesdefinidasdefuncionesalgebraicas,trigonomtricasy trascendentales, aplicando el mtodo de cambio de variable. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 19/113 - ResolverejerciciosdeaproximacindereasaplicandolaregladeSimpsonylaregladel trapecio. - ResolverproblemasdeaproximacindereasaplicandolaregladeSimpsonylaregladel trapecio. - Realizarlaactividaddeevaluacin1.1.1delproyectodesolucindeunmodelo matemtico del problema de un cuerpo en movimiento. - Realizarlaactividaddeevaluacin1.1.2paralasolucionaintegralesindefinidas aplicando el mtodo apropiado para cada una de ellas - Realizarlaactividaddeevaluacin1.2.1Sobreelclculodelreabajounacurvade funciones algebraicas, trigonomtricas y trascendentales. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 20/113 Unidad IIDeterminacin de volmenes de slidos Orientaciones Didcticas La unidad correspondiente a la Determinacin de volmenes de slidos est orientada al clculo de el tamao de regiones acotadas que se encuentran entregrficasdefuncionesapartirdelasecuacionesquelasrepresentanyelclculodevolmenesdeslidosderevolucinaplicandodi ferentes mtodosquepermitadeterminarlamedidadelaregintridimensional.Seidentificanloselementosbsicosenclculoreasderegionesacotadasy volmenes por slidos de revolucin. Ello se realiza con el fin de que el alumno est en posibilidades dedeterminar e Interpretar modelos matemticos, medianteelclculodereasyvolmenesgeneradosporrevolucin.Eldesarrollodeestaunidadproporcionaralalumnoelementosbsicosquele permitirn desarrollar las actividadesprevistas en las unidades subsecuentes, por eso se propone que el PSP lleve a cabo lo siguiente: -Analizacon sus alumnos, las implicaciones y alcances del programa del mdulo, a travs de las tcnicas de dinmica grupal de encuadre, con elfindeprecisaraquellasformasdetrabajar,responsabilidadesycompromisosdelosintegrantesdelgrupoquedirijanallogrotantodel propsito del mdulo, como de los objetivos generales de la carrera. -Caracterizalainformacincomoregionesdefigurasplanas,longituddearco,slidosderevolucineintegralesmltiples,identificandola importanciadesusaportacionesparaladeterminacindereasentrecurvasyvolmenesdeslidos,aplicadoaproblemasdetrabajoy energa, dentro de una sociedad globalizada y cada vez ms competitiva. -Promueveunadinmicagrupalcolaborativaycooperativaatravsdelarealizacindelastcnicasdidcticasydeaprendizaj e correspondientes, durante el transcurso de cada sesin para favorecer un clima que fomente el intercambio constructivo de ideas. -Facilita el proceso de homogeneizacin de las capacidades lgico-matemticas del grupo con la finalidad de que sus alumnos logren identificar los mtodos y tcnicas para el clculo de reas y volmenes de regiones determinadas a partir de funciones. -Fomentaelempleodelpensamientolgicoyespacialpararepresentarmodelosyconstruccionesquepermitanidentificarycomprenderlas reas y volmenes en problemas, a partir de una muestra en la vida cotidiana de la comunidad. -Subrayalaimportanciaquetienelapresenciadelalumnoencadaclase,suparticipacinparaelenriquecimientodelaprendizajedetodoel grupo y la asignacin de tareas y actividades intra y extramuros, con el fin de incentivar en l su cumplimiento voluntario y oportuno. Fortalece la reflexin y el razonamiento como elementos precedentes a la aplicacin de cualquier frmula o teorema para el clculo de reas entre curvas y volmenes generados por revolucin. -Efecta el cierre de ciclos de aprendizaje no solamente al concluir cada tema o subtema, sino de cada sesin de clase, con la finalidad de lograr un proceso lgico de enseanza-aprendizaje, en el que el alumno pueda apreciar tanto sus logros cotidianos y la importancia de su esfuerzo y constancia, como la importancia de la afirmacin de sus capacidades para dar paso a la adquisicin de nuevas competencias. -Se recomienda abordar elresultado de aprendizaje a travs de la revisin del concepto de rea bajo una curva dentro de un entorno especfico, para ello se sugiere que el PSP desarrolle conjuntamente con el alumno actividades constantes que le permitan resolver problemas y fomentar en l el empleo del pensamiento lgico ms que la adquisicin memorstica de frmulasde derivacin aplicables. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 21/113 -Paralograrelsegundoresultadodeaprendizajerelacionadoconladeterminacindevolmenesdeslidos,sesugierealPSPretomary fortalecerlascompetenciastransversalesmencionadasparaelcasodelresultadodeaprendizajeanterior,enelsentidodefacilitarquesus alumnosempleenelpensamientolgicoparadeterminarlascaractersticasquetipificanaunafuncinycomprenderlaimportancia,conla finalidaddeexplotarlodemaneramseficazaplicndoloenfuncindelosrequerimientospropiosydelusuariopotencialdesusservicios profesionales. -Esteresultadodeaprendizaje,seencuentraestrechamentevinculadoconelanterior,yparalograrlosesugierequeelPSPrecuperelos conceptos construidos conjuntamente con sus alumnos en lo que se refiere al clculo de reas bajo una curva y entre curvas de funciones. -Un importante auxiliar para el logro de aprendizajes significativos en este sentido, es transferir el mero concepto construido a sus aplicaciones prcticas en el entorno, presente en la comunidad del alumno, es decir, fomentar la observacin del comportamiento de la grfica de una funcin y la forma como se puede determinar su rea y a partir de este concepto, la determinacin de volmenes de revolucinen problemas de la vida cotidiana. -SesugierealPSPenrelacinconellogrodeestesegundoresultadodeaprendizaje,queprocedamediantelasecuenciapresentacin demostracin-problematizacin,deformatalqueplanteeasusalumnosproblemasrelacionadosconlosdiferentescamposdeaplicacin,la fsica, la economa, la biologa etc. y plantear herramientas para su determinacin y manejo recurriendo a ejercicios y prcticas como los que se integran en esta gua pedaggica y de evaluacin. Estrategias de AprendizajeRecursos Acadmicos - Determinar el rea de la regin comprendida entre la grfica de dos funciones sobre el eje de las x, aplicando la frmulapara su solucin. - Dibujar el rea comprendida entre la grfica de dos funciones, a partir de sus ecuaciones. - Determinar el rea de la regin comprendida entre la grfica de tres funciones sobre el eje de las y, aplicando la frmulapara su solucin. - Dibujar el rea comprendida entre la grfica de tres funciones, a partir de sus ecuaciones. - Resolver problemas en el que determine el rea comprendida entre grficas de funciones. - dibujarlasgrficas quedeterminan el rea dela regin, usando calculadorao programas de cmputo como Mathematica - Hallarlalongituddearcodelagrficadeunafuncindada,apartirdesufrmulade solucin. - Representargrficamentelalongituddearcodeunafuncinenunsistemadeejes coordenados. - Resolver problemas en el que determine la longitud de arco dela grfica de una funcin. - Calcularelvolumendelslidogeneradoalgirarlareginbajolagrficadeunafuncin entre lmites, alrededor del eje x, usando la frmula de solucin: []

. - Calcular el volumen del slido resultante de la regin acotada por el eje y la funcin dada, -Purcell, Edwin J., Varberg, Dale, Rigdon, Steven E.Clculo diferencialeintegral.Mxico,EditorialPearsonEducacin, 2007 -http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Derivadas/FTRazon.pdf -http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htm -http://dcb.fi-c.unam.mx/CoordinacionesAcademicas/Matematicas/CalculoDiferencial/tema-3.pdf -http://carmesimatematic.webcindario.com/optimacion.htm#_top -http://docentes.uacj.mx/sterraza/matematicas_en_movimiento/FrameTOC_CalcDif.html - http://canek.uam.mx/Calculo1/SCalculo1.htm -http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soldifer/soldiferHTML/diferencial.htm -http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso- Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 22/113 al gira alrededor del eje y, usando la frmula de solucin. - Calcular el volumen del slido resultante, acotada por las grficas de funciones, alrededor del eje x, aplicando el mtodo de las arandelas {[]

[]

}

. - Calcular el volumen del slido resultante, acotada por las grficas de funciones, alrededor del eje y, aplicando el mtodo de las arandelas {[]

[]

}

- Resolver problemas de clculo de volmenes de slidos de revolucin a partir de la funcin o funciones dadas. - Resolverejercicios de clculodevolmenes de slidosmediante el mtodo de cascaras cilndricas y rebanadas. - Resolver problemas de clculo de volmenes de slidosmediante el mtodo de cascaras cilndricas y rebanadas. - Realizar una investigacin bibliogrfica o en internet y escribir en un cuadro la definicin de trabajo, la ley de Hooke y sus aplicaciones, exponiendo ante el grupo. - Calcular el trabajo realizado al estirar un resorte aplicando integrales definidas. - Determinarel trabajo realizado al bombearel aguapara que salga porlapartede arriba de un tanque aplicando clculo de volmenes. - Resolverproblemasdeclculodevolmenesenlaaplicacindeltrabajoylaleyde Hooke. - Resolverejerciciosdeevaluacindeintegralesdoblesparaladeterminacindereasy volmenes. - Resolverproblemasdeevaluacindeintegralesdoblesparaladeterminacindereasy volmenes. - Realizar una investigacin bibliogrfica o en internet la definicin de masa, centro de masa y momento de inercia, exponiendo ante el grupo. - Calcular el centro de masa de cuerpos aplicando integrales dobles. - Calcular el momento de inercia de un cuerpo aplicando integrales dobles. - Resolverproblemasdeclculodemomentosycentrodemasadecuerpos,aplicando integrales dobles - Realizar la actividad de evaluacin 2.1.1 para calcular el valorde la regin acotada por la grfica de 3 funciones diferentes.- Realizarlaactividaddeevaluacin2.1.2dondeformuleunproyectopardetermineel volumendeuncuerpogeomtricoaplicandoelmtodoapropiado,calculandoeltrabajo realizado para bombear un lquido fuera del depsito. elsie/derivadafuncion/html/node11.html -http://www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.html -http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/aplicaciones_derivada/max_min_2.htm Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 23/113 6.Prcticas/Ejercicios /Problemas/Actividades LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIN. Ejercicio 1. Determina la diferencial dy de la funcin

CONSIDERACIONES: -Deriva la funcin aplicando las frmulascorrespondientes para cada trmino -Aplica la frmula

dx APROXIMACIONES. Ejercicio 2. Sea

+ 5x+2. Encuentra a) dy; b) el valor de dy para x=2 yCONSIDERACIONES: -Calcula la diferencial de rea dy=ydx -Sustituye el valor de y -Sustituye el valor de x=2y dy=Ejercicio 3. Utiliza diferenciales para aproximar el aumento de la superficie del rea de un globo esfrico, cuando su radio aumenta de 3.5 a 3.503 cm. CONSIDERACIONES: -Aplica la frmulade la superficie de la esfera -Calcula la diferencial de rea dA=Adr -Sustituya el valor de r y la diferencial del radio dr=3.503-3.5 Nombre del Alumno:Grupo: Unidad de Aprendizaje 1:Determinacin del rea bajo una curva. Resultado de Aprendizaje:1.1 Determina magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin Ejercicio nm. 1Resolver ejercicios de diferencial de una funcin, aproximaciones y estimacin de errores Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 24/113 ESTIMACIN DE ERRORES Ejercicio 4. En la lnea de produccin de una fbricase mide el radio de una pieza esfrica de acero que debe de medir0.5 pulgadas, con un posible error de medicin de0.01 pulgada. Encuentra el volumen de la piezay una estimacin del error en el volumen. CONSIDERACIONES: -Aplica la frmulapara el volumen de una esfera

-Calcula la diferencial de volumen -Sustituya el valor de de r = 0.5 pulgadas y dr = 0.01 pulgadas para determinar el error de volumen. -Calcula el volumen utilizando su frmulay el valor del radio. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 25/113 Nombre del Alumno:Grupo: Unidad de Aprendizaje 1:Determinacin del rea bajo una curva. Resultado de Aprendizaje:1.1 Determina magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin. Problema nm. 1Resolver problemas de diferencial de una funcin, aproximaciones y estimacin de errores LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIN. Problema 1.Resuelva los siguientes problemas utilizando diferenciales para su solucin. Encuentra el diferencial dy. Para la funcin en cada caso. a)3 2 42 + = x x yb) ) 9 () 3 (2+=xxyc)x x y 4 94+ =d)2 42+ + = x x ye) 34 36xx y + =f) 2) 1 (1=xy Problema 2. Resuelve los siguientes problemas usando diferenciales: a)Semidielladodeuncuadradoyseencontrqueesde5cm.,conunposibleerrordemedicinde0.01cm.Usadiferencialespara encontrar una aproximacin en el error del rea del cuadrado.b)Usa diferenciales para aproximar el aumento en el volumen de un cubo si sus lados aumentan de 7 cm. a 7.2 cm.c)Un cliente de unfabricante de latas cilndricas que miden 10 cm. de largo y 4 cm. de radio est pidiendo aumentar el radioen 0.5 cm. Usando diferenciales encuentra una aproximacin para el aumento del volumen de la lata d)Undomoesfricotieneunradiode110metrosconunerrordemedicinde2cm.,usandodiferencialesencuentraelerrorenelrea superficial del domo. (Para este problema necesitas el rea superficial de la semi-esfera).

g)( )33 + = x y h) j) ( )426 9 + = x y k) 2 62 + = xxxyl) 3 / 2) 2 (+ = x y Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 26/113 e)Se construy una alberca de 25 metros de largo por 10 metrosde ancho y 1.6 metros de profundidad, si en la construccin se cometi un error y la alberca mide 10.5 metros de ancho. Usando diferenciales encuentra el aumento en el volumen de la alberca. Cuntos litros adicionales de agua sern necesarios para llenarla? f)Utiliza diferenciales para estimar la cantidad de pintura que se requiere utilizar para pintar un cuarto cuadrado que mide 3metros de cada lado.Se desea aplicar una capa de pintura con un espesor de 0.02 cm. en las paredes, piso y techo. Cuntos litros de pintura se requieren? g)Una pieza esfrica debe de medir 4 cm. de radio con un error mximo de 0.1 mm. Aproxima el error aproximado en el volumen.h)Un tanque cilndrico de 5 m. de altura y 3 m. de dimetro, est lleno de agua hasta una profundidad de 4.5 m. Por accidente cae una piedra que tiene un volumen de 0.8 m3. Se derramar el agua del tanque? i)Un fabricante produce latas cilndricas de aluminio de 5 cm. de altura y 2 cm. de radio.Si al fabricar un pedido se comete un errory las latas tienen 5.05 cm. de altura. Calcula el error en el volumen de la lata. Problema 3 En cada uno de las siguientes figuras dibuja los diferenciales que se te piden: y a)dx, dy y dA c)dx y dV x x b)dr d)dh, dr y dVy Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 27/113 Nombre del Alumno:Grupo: Unidad de Aprendizaje 1:Determinacin del rea bajo una curva. Resultado de Aprendizaje:1.1 Determina magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin. Ejercicio nm. 2Resolver ejercicios de integrales indefinidas a partir de la funcin y valores a la frontera dados en situaciones contextuales. ANTIDERIVADAS Ejercicio 1: Encuentra la antiderivada ms general para la funcin: f(x)= 3

CONSIDERACIONES: -Expresa la funcin como f(x)= 3x2/3 -Toma como a=3 y n=2/3-Aplica la regla de antiderivacion para las potencias

Ejercicio2: Encuentra la antiderivada ms general para la funcin:

CONSIDERACIONES: -Aplica la regla de antiderivacion para las potencias para cada termino

-La suma de las constantes es igual a una sola constante. Ejercicio 3. Resuelva la ecuacin diferencial

con el valor de fronteraCONSIDERACIONES: -Aplica la regla de antiderivacion para las potencias

para determinar f(x) -Sustituyalos valores a la frontera dados para x=0 y f(x)=2 y despeja el valor de la constante C. -Sustituya el valor de C en la funcin f(x), determinando la solucin f de la ecuacin diferencial. LA INTEGRAL INDEFINIDA Ejercicio 4. Calcula la integral indefinida

CONSIDERACIONES: Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 28/113 -Separa integrales aplicando el teorema: [] -Aplica el teorema para cada termino -Aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas

para cada termino Ejercicio 5. Calcula la integral indefinida

CONSIDERACIONES: -Desarrolla el binomio-Separa integrales aplicando el teorema: [] -Aplica el teorema para cada termino -Aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas

para cada termino Ejercicio 6.Un punto se mueve en lnea recta de tal manera que. Encuentrasuponiendo que las condiciones inciales son . CONSIDERACIONES: -Partiendo de

, entonces sustituimos la funcin aceleracin, obteniendo la ecuacin diferencial -Integras la ecuacin anterior para determinar la funcin velocidad general -Aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas

para cada termino -Sustituya los valores a la frontera para x=0 y v(t)=8 y despejamos la constante C -Sustituimos el valor de C en la funcin velocidad. -Partiendo de

, entonces sustituimos la funcin velocidad, obteniendo la ecuacin diferencial -Integra la ecuacin anterior para determinar la funcin de posicin general. -Aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas

para cada termino -Sustituya los valores a la frontera para x=0 y s(t)=15 y despejamos la constante C -Sustituimos el valor de C en la funcin de posicin s(t).Determinndose la posicin de la partcula en cualquier instante de tiempo. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 29/113 Ejercicio 6. Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 144 pies sobre el suelo con una velocidad de 96 pies/seg.Despreciando el efecto de la friccin del aire, encuentre: a)La altura de la piedra t segundos despus. b)El tiempo en alcanzar la altura mxima la piedra. c)La altura mxima. d)El tiempo de choque con el suelo. e)La velocidad con la que choca con el suelo CONSIDERACIONES: -Las condiciones iniciales son: posicin en el tiempo cero ( ) pies s 144 0 = , velocidad inicial en el tiempo cero( )segpiesv 96 0 = y la aceleracin de la gravedad en sentido contrario al movimiento de la piedra g= ( )2/ 32 s pies t a =-Partiendo de

, entonces sustituimos la funcin aceleracin, obteniendo la ecuacin diferencial -Integramos la ecuacin anterior aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas

para cada termino para determinar la funcin velocidad general -Sustituye los valores a la frontera para x=0 y v(t)=96 y despejamos la constante C -Sustituimos el valor de C en la funcin velocidad. -Partiendo de

, entonces sustituimos la funcin velocidad, obteniendo la ecuacin diferencial -Integra la ecuacin anterior para determinar la funcin de posicin general. -Sustituya los valores a la frontera para x=0 y s(t)=144 y despejamos la constante C -Sustituimos el valor de C en la funcin de posicin s (t).Determinndose la posicin de la partcula en cualquier instante de tiempo, en este caso la posicin representa la altura de la piedra en cualquier instante. -La altura mxima se alcanza cuando la piedra se detiene y comienza a descender, es decir, cuando la velocidad es cero: v(t)=0 -Iguala a cero la funcin velocidad y despejar el tiempo para determinar el momento en que alcanza su altura mxima -Sustituir el tiempo en la funcin posicin, para determinar la altura mxima. -Cuando la piedra toca el suelo s(t)=0.Iguala a cero la funcin posicin y resolver la ecuacin de segundo grado resultante, determinando el tiempo de choque. -Sustituir el tiempo de choque en la funcin velocidad, para determinar su velocidad de choque. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 30/113 Ejercicio6.Unaempresasabequeelcostomarginalasociadoalaproduccindexunidadesdeciertoarticuloestadadopor30-0.02x(pesos). Suponiendo que el costo por producir una unidad es de 35$, encuentre la funcin de costo y el costo por producir 100 unidades. CONSIDERACIONES. -PartiendoqueelcostomarginalesladerivadadelafuncincostoC:

,entoncessustituimoslafuncincostomarginal, obteniendo la ecuacin diferencial. -Integra la ecuacin anterior para determinar la funcin costo C. -Sustituya los valores a la frontera para x=1 y C(x)=35 y despejamos la constante K -Sustituimos el valor de K en la funcin costo y calculamos el costo para producir 100 unidades. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 31/113 Nombre del Alumno:Grupo: Unidad de Aprendizaje 1:Determinacin del rea bajo una curva. Resultado de Aprendizaje:1.1 Determina magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin. Problema nm. 2Resolver problemas de integrales indefinidas a partir de la funcin y valores a la frontera dados en situaciones contextuales. ANTIDERIVADASProblema 1.Encuentra la antiderivada ms general de las siguientes funciones: 1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.- ( ) Problema 2. Encuentra la antiderivada especfica utilizando la condicin a la frontera dadas: a) 34 ) (= x x f , considera que F(0)=2b) 2 6 ) (2 + = xxxx g , considera que G (4)=1 c)3 72 ) ( x x h = , considera que H (1)=0 d) ( )2 / 5 22 6 ) ( x x x x g + = , considera que G(0)=1 8.-

9.- (

) (

) 10.-

11.-

12.- (

)

13.-

14.-15.-

16.-

17.-

18.-

Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 32/113 e)2232) (x xxx f =, considera que F (0)=1 Problema 3. Se lanza una piedra desde el suelo hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies/s. (a) Cundo alcanza su mxima altura? (b) Cul es la mxima altura? (c) Cundo toca el suelo? (d) Cules la velocidad cuando llega al suelo? Problema 4.Hallar la ecuacin de la curva que pasa por el punto (3,2) y que tiene pendiente 5x2x+1 en cada punto (x, y). Problema5.Selanzaunapiedradesdeelbordedeunedificio,a120piesdealtura,convelocidadinicialde96mpies/s.(a)Cundoalcanzarsu altura mxima? (b) Cul ser su altura mxima? (c) Cundo tocar el suelo? (d) Con qu velocidad llegar al suelo? Problema 6. Un objeto se desplaza sobre el eje x con aceleracin a=3t-2 pies/s2 .en el instante t=0, est en el origen y se mueve con una velocidad de 5 pies/s en direccin negativa. (a)Halla una frmula para su velocidad v. (b) Halla la frmula para su posicin x. (c) Cundo y dnde cambia de direccin? (d) En que instante se mueve hacia la derecha? Problema 7. Un cohete lanzado hacia arriba desde el suelo 8 segundos ms tarde. (a) Cul fue la velocidad inicial? (b) Cul fue la mxima altura? Problema8.Enunavarecta,unconductorfrenacuandoelautovaa55millasporhora.Losfrenosproducenunadesaceleracinconstantede11 pies/s2. (a) Cunto se desplazar el auto despus de haber presionado los frenos? Problema 9. Halla la ecuacin de la curva que pasa por el punto (3, 7) y que tiene pendiente 4x2-3 en (x, y). Problema 10. Una empresa ha encontrado que el costo marginal ( C' ) de fabricar x nmero de artculos est dada por2 5 . 1 ) ( + = ' x x C , encuentra la funcin de costo (C(x)), considera que el costo fijo es de $10,000, C (0)=10,000. Problema11.Lapoblacindeciertaespeciedeanimalesestcreciendoaunarazndecambiode2 4 ) (2 = t t t r animales/ao.Encuentrala ecuacin para la poblacin y considera que la poblacin inicial es de 100 animales. Cul ser la poblacin dentro de 10 aos? Problema 12. El rea de un lago est disminuyendo con una razn de cambio dada por2 ) (2 = t t rmetros cuadrados/ao. Encuentra la ecuacin para el rea del lago, considera que el rea inicial del lago es de 1000 m2. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 33/113 Nombre del Alumno:Grupo: Unidad de Aprendizaje 1:Determinacin del rea bajo una curva. Resultado de Aprendizaje:1.1 Determina magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin. Ejercicio nm. 3Resolver ejercicios de integracin de funciones algebraicas, aplicando el mtodo de cambio de variableINTEGRACIN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS. Ejercicio 1. Calcula la integral( )}+ dx x 1 2x273aplicando el mtodo de cambio de variable. CONSIDERACIONES: -Elija como u la cantidad que esta elevada a la potencia. 1 23+ = x u-Calcula la diferencial de u. (du). -Verifica si la integral esta completa, si no realiza alguna operacin aritmtica. -Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original. -Aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas

. -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u Ejercicio 2. Calcula la integral( )}+ dx x 1 2x273aplicando el mtodo de cambio de variable. CONSIDERACIONES: -Elija como u la cantidad que esta elevada a la potencia.-Calcula la diferencial de u. (du). -Verifica si la integral esta completa, si no realiza alguna operacin aritmtica. -Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original. -Aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas

. -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u Ejercicio 3. Calcula la integral }dx1 5x3aplicando el mtodo de cambio de variable. CONSIDERACIONES: -cambia la raz como una potencia Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 34/113 -Elija como u la cantidad que esta elevada a la potencia.-Calcula la diferencial de u. (du). -Verifica si la integral esta completa, si no realiza alguna operacin aritmtica. -Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original. -Aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas

. -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. OTROS CAMBIOS DE VARIABLE Ejercicio 4. Calcula la integraldx4 xx+}aplicando el mtodo de cambio de variable. CONSIDERACIONES: -Elige como u el radical4 x u + =-Despeja x.-Calcula la diferencial de x. (dx) -Sustituya x, dx y el radical, de tal forma que la integral quede en funcin de la variable u. -Realiza operaciones algebraicas para que la integral se simplifique -Separa integrales aplicando el teorema: [] -Aplica el teorema para cada termino -Aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas

.para cada termin. -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. Ejercicio 5. Calcula la integraldx 1 x x +}aplicando el mtodo de cambio de variable. CONSIDERACIONES: -Elige como u el radical1 x u + =-Despeja x.-Calcula la diferencial de x. (dx) -Sustituya x, dx y el radical, de tal forma que la integral quede en funcin de la variable u. -Realiza operaciones algebraicas para que la integral se simplifique -Separa integrales aplicando el teorema: [] -Aplica el teorema para cada termino Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 35/113 -Aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas

.para cada termin. -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 36/113 Nombre del Alumno:Grupo: Unidad de Aprendizaje 1:Determinacin del rea bajo una curva. Resultado de Aprendizaje:1.1Determina magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin. Problema nm. 3Resolver problemas de integracin de funciones algebraicas, aplicando el mtodo de cambio de variable INTEGRACIN DE FUNCIONES ALGEBRAICA 1.-

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dx 13.-

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Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 37/113 Nombre del Alumno:Grupo: Unidad de Aprendizaje 1:Determinacin del rea bajo una curva. Resultado de Aprendizaje:1.1Determina magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin. Ejercicio nm. 4Resolverejerciciosdeintegracindefuncionestrigonomtricasytrascendentales,aplicandoelmtodode cambio de variableCAMBIO DE VARIABLE PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Ejercicio 1. Calcula la integral }dx x x2cos aplicando el mtodo de cambio de variable. CONSIDERACIONES: -Elija como u el argumento del coseno 2u x =-Calcula la diferencial de u. (du) -Verifica si la integral esta completa, si no realiza alguna operacin aritmtica. -Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original. -Aplica la frmula}+ = C u sendu ucos-Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. Ejercicio 2. Calcula la integral( )( )dx xcosx x sen2 2 5}aplicando el mtodo de cambio de variable. CONSIDERACIONES: -Elige como 2senx u =-Calcula la diferencial de u. (du) -Verifica si la integral esta completa, si no realiza alguna operacin aritmtica. -Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original. -Aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas

.-Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. Ejercicio 3. Calcula la integral( )}+ dx x x x tan sec sec aplicando el mtodo de cambio de variable. CONSIDERACIONES: -Realiza operaciones algebraicas para que la integral se simplifique. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 38/113 -Separa integrales aplicando el teorema: [] -Elija un valor de u y calcula la diferencial de u. (du) -Verifica si la integral esta completa, si no realiza alguna operacin aritmtica. -Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original. -Aplica las frmulasde integracin }+ = C cotu udu sec2 yC secu du utanu sec + = } -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. CAMBIO DE VARIABLE PARA FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES. Ejercicio 4. Calcula la integral }dx5 3xx2aplicando el mtodo de cambio de variable. CONSIDERACIONES: -Elija un valor de u como la cantidad que se encuentra en el denominador. -Verifica si la integral esta completa, si no realiza alguna operacin aritmtica. -Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original. -Aplica las frmulasde integracin }+ = C u Ln duu1 -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. Ejercicio 5. Calcula la integraldxxe2x3}aplicando el mtodo de cambio de variable. CONSIDERACIONES: -Elija un valor de u como la potencia de e. -Verifica si la integral esta completa, si no realiza alguna operacin aritmtica. -Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original. -Aplica las frmulasde integracin }+ = C e du eu u -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. CAMBIO DE VARIABLE PARA FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES GENERALES. Ejercicio 6. Calcula la integraldx 52 x3x }aplicando el mtodo de cambio de variable. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 39/113 CONSIDERACIONES: -Elija un valor de a=5 y u=

.Determina la du. -Verifica si la integral esta completa, si no realiza alguna operacin aritmtica. -Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original. -Aplica la frmulade integracinC aLna1dx ax x+ |.|

\|=} -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. Ejercicio 7. Calcula la integraldxLog x110}aplicando el mtodo de cambio de variable. CONSIDERACIONES: -Cambia el log. de base a, por logaritmos naturales aplicando la frmulaLnaLnxx Loga= . -Realiza la operacin algebraica -Elija u=ln|| y determina la du. -Verifica si la integral esta completa, si no realiza alguna operacin aritmtica. -Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original. -Aplica la frmulade integracin }+ = C u Ln duu1 -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. CAMBIO DE VARIABLE PARA LAS FUNCIONES (tanu, cotu, secu y cscu) Ejercicio 8. Calcula la integral }dx2xtan aplicando el mtodo de cambio de variable. CONSIDERACIONES: -Elija u=

y determina la du. -Verifica si la integral esta completa, si no realiza alguna operacin aritmtica. -Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original. -Aplica la frmulade integracinC cosu Ln tanudu + =}C secu Ln + = Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 40/113 -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. Ejercicio 9. Calcula la integraldx e sec e2x 2x} aplicando el mtodo de cambio de variable. CONSIDERACIONES: -Elija u=

y determina la du. -Verifica si la integral esta completa, si no realiza alguna operacin aritmtica. -Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original. -Aplica la frmulade integracinC tanu secu Ln secudu + + =} -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. Ejercicio 10. Calcula la integral( )}dx 1 - cscx2aplicando el mtodo de cambio de variable. CONSIDERACIONES: -Desarrolla el binomio -Separa integrales aplicando el teorema: [] -Elija un valor de u y calcula la diferencial de u. (du) -Verifica si la integral esta completa, si no realiza alguna operacin aritmtica. -Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original. -Aplica las frmulasde integracin para la

csecu y f(x)=1 -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 41/113 Nombre del Alumno:Grupo: Unidad de Aprendizaje 1:Determinacin del rea bajo una curva. Resultado de Aprendizaje:1.1Determina magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin. Problema nm. 4Resolver problemas de integracin de funciones trigonomtricas y trascendentales, aplicando el mtodo de cambio de variable CAMBIO DE VARIABLE PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Problemas 1.Encuentra las integrales aplicando el mtodo de cambio de variable. 1. 2.

3.4.

5. 6.

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Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 42/113 CAMBIO DE VARIABLE PARA FUNCIONESLOGARITMICAS Y EXPONENCIALES Problemas2.Encuentra las integrales aplicando el mtodo de cambio de variable. 1.

2.

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(

) 16.

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() Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 43/113 Nombre del Alumno:Grupo: Unidad de Aprendizaje 1:Determinacin del rea bajo una curva. Resultado de Aprendizaje:1.1Determina magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin. Ejercicionm. 5Resolver ejercicios de integracin de funciones trigonomtricas inversas, aplicando el mtodo de cambio de variableINTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS Ejercicio 1. Calcula la integraldxe 1e4x2x}aplicando el mtodo de cambio de variable. CONSIDERACIONES: -Elija el valor de a=1, u=

y determina la du. -Verifica si la integral esta completa, si no realiza alguna operacin aritmtica. -Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original. -Aplica la frmulade integracinCausen duu a112 2+ =} -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. Ejercicio 2. Calcula la integraldxx 5x62}+aplicando el mtodo de cambio de variable. CONSIDERACIONES: -Elija el valor de a=, u=

y determina la du. -Verifica si la integral esta completa, si no realiza alguna operacin aritmtica. -Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original. -Aplica la frmulade integracinCautana1duu a112 2+ =+} -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 44/113 Ejercicio 3. Calcula la integraldx9 x x14}aplicando el mtodo de cambio de variable. CONSIDERACIONES: -Elige el valor de a=3, u=

y determina la du. -Verifica si la integral esta completa, si no realiza alguna operacin algebraica en la integral. -Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original. -Aplica la frmulade integracinCauseca1dua u u112 2+ =} -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 45/113 Nombre del Alumno:Grupo: Unidad de Aprendizaje 1:Determinacin del rea bajo una curva. Resultado de Aprendizaje:1.1 Determina magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin. Problema nm. 5Resolver problemas de integracin de funciones trigonomtricas inversas, aplicando el mtodo de cambio de variableINTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS Problemas. Calcula las integrales de funciones trigonomtricas inversas aplicando el mtodo de cambio de variable. 1.

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Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 46/113 Nombre del Alumno:Grupo: Unidad de Aprendizaje 1:Determinacin del rea bajo una curva. Resultado de Aprendizaje:1.1Determina magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin. Ejercicionm. 6Resolver ejercicios de integracin de funciones, aplicando el mtodo de integracin por partes.INTEGRACION POR PARTES Ejercicio 1. Calcula la integraldx e x2x} aplicando el mtodo de integracin por partes. CONSIDERACIONES: -Aplicalafrmula } } = vdu v u udv ,eligiendounvalordeuydeterminaladuyeligeunvalordevycalculaladv.Detalmaneraquela segunda integral quede ms sencilla que la original. -Sustituya los valores de u, du, v y dv en la frmula, verifica que la segunda integral quedo ms sencilla. -Aplica el mtodo de cambio de variable para la solucin de la segunda integral. -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. Ejercicio 2. Calcula la integral } cosxdx exaplicando el mtodo de integracin por partes. CONSIDERACIONES: -Aplicalafrmula } } = vdu v u udv ,eligiendounvalordeuydeterminaladuyeligeunvalordevycalculaladv.Detalmaneraquela segunda integral quede ms sencilla que la original. -Sustituya los valores de u, du, v y dv en la frmula, verifica que la segunda integral quedo ms sencilla. -Aplica el mtodo de integracin por partes de nueva cuenta en la segunda integral. -Realiza operaciones algebraicas para la solucin de la integral. Ejercicio 3. Calcula la integral } d sec3aplicando el mtodo de integracin por partes. CONSIDERACIONES: -Escribael integrando como: -Aplicalafrmula } } = vdu v u udv ,eligiendounvalordeuydeterminaladuyeligeunvalordevycalculaladv.Detalmaneraquela segunda integral quede ms sencilla que la original. -Sustituya los valores de u, du, v y dv en la frmula , verifica que la segunda integral quedo ms sencilla. -Aplica una identidad trigonomtrica para la

. -Separa integrales aplicando el teorema: [] Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 47/113 -Aplica el mtodo de cambio de variable para la solucin de la segunda integral. -Realiza operaciones algebraicas para la solucin de la integral. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 48/113 Nombre del Alumno:Grupo: Unidad de Aprendizaje 1:Determinacin del rea bajo una curva. Resultado de Aprendizaje:1.1Determina magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin. Problema nm. 6Resolver problemas de integracin de funciones, aplicando el mtodo de integracin por partes. INTEGRACION POR PARTES Problemas. Resuelva los problemas aplicando el mtodo de integracin por partes. 1.

2.3.

4.

5.6. 7.8.

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Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 49/113 Nombre del Alumno:Grupo: Unidad de Aprendizaje 1:Determinacin del rea bajo una curva. Resultado de Aprendizaje:1.1Determina magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin. Ejercicio nm. 7Resolver ejercicios de integracin de potencias de funciones trigonomtricas, aplicando identidades. INTEGRACION DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. Ejercicio 1. Calcula la integral }xdx Sen5 CONSIDERACIONES: -Comon es entero positivo impar escribimos la integral como } }= dx SenxxSen dx xSen1 n n -Aplica la identidadxCos 1 xSen2 2 =-Desarrolla el binomio y realiza las operaciones -Separa integrales aplicando el teorema: [] -Aplica el mtodo de cambio de variable para la solucin de las integrales. -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. Ejercicio 2. Calcula la integral }xdx Sen4 CONSIDERACIONES: -Comon es entero positivo par aplicamos la integral( ) dx x Sen dx x Sennn} }=2 2 - aplicamos la identidad: 2Cos2x- 1xSen2=-Desarrolla el binomio y realiza las operaciones -Separa integrales aplicando el teorema: [] -Aplica la identidad 2Cos2x1xcos2+= para una de las integrales -Aplica el mtodo de cambio de variable para la solucin de las integrales. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 50/113 -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. Ejercicio 3. Calcula la integral } dxxCos x Sen3 4 CONSIDERACIONES: -Aplica la frmula Cosxdx x Cos x Sen dxxCos x Sen1 - n m n m = } }, con n=3 y m=4, con n entero positivo impar -Sustituya la identidad

-Realiza las operaciones -Separa integrales aplicando el teorema: [] -Aplica el mtodo de cambio de variable para la solucin de las integrales. -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. -Nota: si m es impar se aplica un mtodo semejante y si m y n son ambos pares se aplican las identidades del seno o cosenode la mitad de un ngulo. Ejercicio 4. Calcula la integral

CONSIDERACIONES: -Como n es par aplica la frmula

, con m=2 yn=4,-Sustituye la identidad

-Realiza las operaciones. -Separa integrales aplicando el teorema: [ ] -Aplica el mtodo de cambio de variable para la solucin de las integrales, tomando como u=tanx y calcula du. -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. Ejercicio 5. Calcula la integral

CONSIDERACIONES: -Como m es impar aplica la frmula

, con m=3 yn=5,-Sustituya la identidad

-Realiza las operaciones. -Separa integrales aplicando el teorema: [ ] -Aplica el mtodo de cambio de variable para la solucin de las integrales, tomando como u=secx y calcula du. -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. -Nota: si n es impar y m es par aplica otro mtodo, como el de integracin por partes. Las integrales de la forma

puede hallarse de manera anloga a este ejercicio. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 51/113 Nombre del Alumno:Grupo: Unidad de Aprendizaje 1:Determinacin del rea bajo una curva. Resultado de Aprendizaje:1.1Determina magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin. Problema nm. 7Resolver problemas de integracin de potencias de funciones trigonomtricas, aplicando identidades. INTEGRACION DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. Problemas. 1.

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Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 52/113 Nombre del Alumno:Grupo: Unidad de Aprendizaje 1:Determinacin del rea bajo una curva. Resultado de Aprendizaje:1.1Determina magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin. Ejercicionm. 8Resolver ejercicios de integrales de funciones algebraicasque contienen en su integrando radicales, aplicando el mtodo de sustitucin trigonomtrica.INTEGRALES CON RADICALES DE LA FORMA

Ejercicio 1. Calcula la integral

CONSIDERACIONES: -Tomaa=2 y sustituye el radical

y la sustitucin trigonomtrica x=asenDetermina dx. -Realiza la sustitucin y simplifica. -Aplica identidades trigonomtricas. -Aplica el mtodo de cambio de variable para la solucin de las integrales. -Regresa a la variable original aplicando el triangulo rectngulo siguiente a partir de su solucin: donde

y

INTEGRALES CON RADICALES DE LA FORMA

Ejercicio 2. Calcula la integral

CONSIDERACIONES: -Tomaa=2 y sustituye el radical

y la sustitucin trigonomtrica x=atanDetermina dx. -Realiza la sustitucin y simplifica. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 53/113 -Aplica una identidad trigonomtrica. -Aplica el mtodo de cambio de variable para la solucin de las integrales. -Regresa a la variable original aplicando el triangulo rectngulo siguiente a partir de su solucin: donde

y tan

INTEGRALES CON RADICALES DE LA FORMA

Ejercicio 3. Calcula la integral x d25 x x12 2} CONSIDERACIONES: -Tomaa=5 y sustituye el radical

y la sustitucin trigonomtrica x=asecDetermina dx. -Realiza la sustitucin y simplifica. -Aplica una identidad trigonomtrica. -Aplica el mtodo de cambio de variable para la solucin de la integral. -Regresa a la variable original aplicando el triangulo rectngulo siguiente a partir de su solucin: donde

Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 54/113 Nombre del Alumno:Grupo: Unidad de Aprendizaje 1:Determinacin del rea bajo una curva. Resultado de Aprendizaje:1.1Determina magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin. Problemanm. 8Resolver problemas de integrales de funciones algebraicasque contienen en su integrando radicales, aplicando el mtodo de sustitucin trigonomtrica. INTEGRALES CON RADICALES DE LA FORMA

,

y

Problemas.1.

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Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 55/113 Nombre del Alumno:Grupo: Unidad de Aprendizaje 1:Determinacin del rea bajo una curva. Resultado de Aprendizaje:1.1Determina magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin. Ejercicio nm. 9Resolver ejercicios de integrales de funciones algebraicas, aplicando el mtodo de fracciones parciales FRACCIONES PARCIALES (FACTORES LINEALES DISTINTOS) Ejercicio 1. Calcula la integral } +dx3x 2x x3 5x2 3 CONSIDERACIONES: -Aplicaelmtododefraccionesparcialesenelintegrando,comenzandoporfactorizareldenominador,expresndoloenfactoreslineales distintos. -Para cada factor lineal distinto en el denominador existirun trmino cuyo denominador ser A, B, C,, respectivamente. -Iguala el integrado a la suma de cada trmino de a cuerdo al nmero de factores obtenidos.

=

+

++

-Resolver la ecuacin aplicando cualquier mtodo para determinar los valores del numerador para cada termino: A, B, C -Sustituir los valores y resolver las integrales resultantes de cada trmino aplicando el mtodo de cambio de variable. FRACCIONES PARCIALES (FACTORES LINEALES DISTINTOS Y OTROS REPETIDOS) Ejercicio 2. Calcula la integral ( )( )} ++ dx1 x 3 x13 8x 3x22 CONSIDERACIONES: -Aplica el mtodo de fracciones parciales en el integrando, identificando los factores lineales. -Por cada factor de la forma (ax + b )k deldenominadorabra k trminos en la descomposicin de fracciones parciales: ( ) ( ) ( ) ( )kk433221b axA...... ..........b axAb axAb axAb axA+ +++++++ -Iguala el integrado a la suma de cada trmino de a cuerdo al nmero de factores obtenidos.

=

+

-Resolver la ecuacin aplicando cualquier mtodo para determinar los valores del numerador para cada termino: A,

y B -Sustituir los valores y resolver las integrales resultantes de cada trmino aplicando el mtodo de cambio de variable. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 56/113 FRACCIONES PARCIALES (FACTORES CUADRATICOS Y REPETIDOS) Ejercicio 3. Calcula la integral

CONSIDERACIONES: -Aplica el mtodo de fracciones parciales en el integrando, identificando los factores cuadrticos y lineales si los hay. -Los factores lineales se manejan como en los casos anteriores -Por cada factor cuadrtico irreducible

que ocurra a la k sima potencia, se inserta como parte de la representacin del-integrando,

-Iguala el integrado a la suma de cada trmino de a cuerdo al nmero de factores cuadrticos.

=

+

-Resolver la ecuacin aplicando cualquier mtodo para determinar los valores del numerador para cada trmino. -Sustituir los valores y resolver las integrales resultantes de cada trmino aplicando el mtodo de cambio de variable. Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 57/113 Nombre del Alumno:Grupo: Unidad de Aprendizaje 1:Determinacin del rea bajo una curva. Resultado de Aprendizaje:1.1Determina magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin. Problemanm. 9Resolver problemas de integrales de funciones algebraicas, aplicando el mtodo de fracciones parciales FRACCIONES PARCIALES Problemas.1.

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Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 58/113 Nombre del Alumno:Grupo: Unidad de Aprendizaje 1:Determinacin del rea bajo una curva. Resultado de Aprendizaje:1.1Determina magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin. Ejercicionm. 10Resolver ejercicios de integrales de funciones algebraicas que contienen expresiones cuadrticas EXPRESIONES CUADRATICAS Ejercicio 1. Calcula la integral

dx CONSIDERACIONES: -Identificaquelaexpresincuadrticaesirreducibleyaplicaelmtododecompletareltrinomiocuadradoparaexpresarlaexpresinenla forma.

-Elige el valor de u como la cantidad que esta elevada a la potencia y despeja x, a continuacin determina la dx. -Sustituya los valores en la integral original. -Simplifica la integral y aplicael teorema: [ ] -Aplica el mtodo de cambio de variable para la solucin de las integrales. -Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u. Ejercicio 2. Calcula la integral

CONSIDERACIONES: -Identificaquelaexpresincuadrticaesirreducibleyaplicaelmtododecompletareltrinomiocuadradoparaexpresarlaexpresinenla forma.

-Aplica el mtodo de sustitucin trigonomtrica haciendo la sustitucin de x+b=atan en este caso. -Calcula la dx y sustituye el radical

=a sec -Sustituya los valores en la integral original. -Simplifica la integral y determina su valor. -Regresa a la variable original aplicando el triangulo rectngulo siguiente a partir de su solucin: donde

y tan

Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 59/113 Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 60/113 Nombre del Alumno:Grupo: Unidad de Aprendizaje 1:Determinacin del rea bajo una curva. Resultado de Aprendizaje:1.1Determina magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin. Problema nm. 10Resolver problemas de integrales de funciones algebraicas que contienen expresiones cuadrticas. EXPRESIONES CUADRATICAS Problemas.1.

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Modelo Acadmico de Calidad para la Competitividad AING-00 61/113 Nombre del Alumno:Grupo: Unidad de Aprendizaje 1:Determinacin del rea bajo una curva. Resultado de Aprendizaje:1.1Determina magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin. Ejercicio nm. 11Resolver ejercicios de integrales de funciones algebraicas y trigonomtricas, aplicando sustituciones diversas. SUSTITUCIONES DIVERSAS Ejercicio 1. Calcula la integral

CONSIDERACIONES: -Realiza la sustitucin de

-Despeja x como

y calcula la diferencial de x.

-Sustituya los valores en la integral original que dando en trminos de la variable u. -Simplifica la integral y aplicael teorema: [ ] -Aplica el mtodo de cambio de variable para la solucin de las integrales. -Regresa a la va