i ii iii Morelia, Michoacn. Mxico iv Cubierta de CIE-CONALEP Colaboracin:Coordinacin de Innovacin Educativa, CIE/QFB - UMSNH Sistema Nacional de Educacin a Distancia, SINED Coordinadora: Silvia Ochoa Hernndez Eduardo Ochoa Hernndez Quedan rigurosamente prohibidas, sinla autorizacin escritade los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas por la ley, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin de ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pblico. 2011CONALEPMICH/CIE. Mxico Ediciones CONALEPMICH lvaro Obregn 144, Morelia. http://www.conalepmich.edu.mx/ Registro: CALDER2011-A Impreso en_ Impreso en Mxico Printed in Mxico v Para los muchos estudiantes de CONALEP que suean mirandoen la tecnologa el espritu de las matemticas. Hay formas y formas a lahora de promocionar y difundir los servicios y actividades de labiblioteca. Estamos anteunasociedaddondeprimaloaudiovisual(fotografas,vdeos..)sobrelotextual(trpticos,carteles)y donde la biblioteca est muriendo por falta de educacin. vi Ascomolabellezadeunagranobradeartecausa impactoennuestrocerebro,estetambinarmonizaen formaparticularalcomprenderydescubrirelplacerde lasprofundidadesmatemticas.Alconferirnosla sensibilidadparapenetrarenlossignificadosdelos nmeros. Calvin C. Clawson. Misterios matemticos vii Prefacio Primera Parte ix Anlisis de funciones 1.1. Anlisis de funciones Introduccin 1 Producto Cartesiano Relaciones y Funciones 1.2. Grfica de una funcin 10 1.3. Clasificacin de funciones 12 1.4. lgebra defunciones 30 1.5. Anlisis de ecuaciones 59 1.6. Modelacin 70 1.7. Problemario 78 1.8. Autoevaluacin 86 1.9. Conclusin 87 1.10. Soluciones del problemario 88 1.11. Soluciones de autoevaluacin 94 Referencias 96 Segunda Parte Lmites 2.1. Nocin intuitiva de lmite 1 2.2. Teorema de los lmites 15 2.3. Lmites determinados e indeterminados 16 2.4. Lmites unilaterales 33 2.5. Continuidad de una funcin 39 2.6. Problemario 47 2.7. Autoevaluacin 52 2.8. Conclusin 53 2.9. Soluciones del problemario 54 2.10. Soluciones de autoevaluacin 61 Referencias 62 Conceptos viii Tercera parte La derivada 3.1. Determinacin de razones de cambio 1 3.2. Clculo de derivadas por frmulas 10 3.3. Clculo de mximos y mnimos 43 3.4. Aplicacin de mximos y mnimos 53 3.5. Problemario 58 3.6. Autoevaluacin 62 3.7. Conclusin 64 3.8. Solucin de problemario 65 3.9. Solucin de autoevaluacin 68 Referencias 70 ix Hoynosencontramosanteunaencrucijadaentrelasherramientas informticasyunnuevoordenderedessocialesquepresionanpor soluciones;podemosllegarporprimeravezalnuevotiempo,unoms incierto y de carcter tecnolgico de innovacin constante. La educacin es parte de nuestro mundo y a nuestra sociedad le corresponde juzgar si est a la altura de su tiempo. Estesencillolibro, expresa elintentodeunainstituciny sushombrespor hacer de l un medio para hablar entre generaciones, para atar las ideas que amenazanconevaporarse, pararomperlasparedesdelaulaamuchosms ciudadanosyparademocratizarlaactividaddectedraenpginasque representan la actitud del espritu CONALEP. Con el apoyo del Sistema Nacional de Educacin a Distancia (SINED) para generar los contenidos para formar profesores escritores, con la inventiva de laCoordinacindeInnovacinEducativa/QFBdelaUniversidad MichoacanaylaclarametadelCONALEPMICHporserunainstitucin queproducesupropiavisindelasprofundidadesde suprograma educativomediosuperior.Enunaprimerafasemayoagostode2011, forman profesores del sistema CONALEP con el fin de producir una cultura deobrasliterarias que permitanapoyarlasnecesidadesdeconocimiento de estudiantes, formar profesores como escribas de su ctedra. Si estas pginas ayudanaconvencerquelaeducacinnoeshacermsfcilalgo,sino fundamentalmenteproduciruncambioreflexivoeneldesafocognitivo dentrodelpensamientocientficotcnico.Estoespruebadequela comunidaddocente,autoridadesysindicatosoncapacesdesumarparaun futuro comn. Eduardo Ochoa H,2011. x Noesdesconocidoparaquieneslaboramosenelsectoreducativo,losdesafosdelmundo globalylosretosquenosproponeconelfindeelevarlacalidad,asegurarlaequidadyla pertinenciaeducativadenuestrosservicios,tendenciasqueenestamateriahansido adoptadas como eje rector de muchos programas educativos. Hoynuestrocolegiosemantienealavanguardiadelaeducacintcnicadelnivelmedio superior a travs de su modelo educativo reorientado yfortalece su operacin en su modelo decalidadacreditadaycertificada,soportadaenlacertificacindesuprocesocentral,la formacin de profesionales tcnicos bachilleres bajo la norma ISO9001 versin 2008. Es eneste contexto,quea3aos al frente deeste colegiose halogradocrearunasinergia enlaquetodoslosinvolucrados,alumnos,padresdefamilia,directivos,maestrosy administrativos,tenemosclaroelrumbodenuestrainstitucinenlabsquedapermanente de ofrecer una alta calidad educativa. Es en este marco, que con mucho agrado y satisfaccin, tengo el honor de presentar el fruto deltrabajoylacapacitacindocente,representadoporestelibroquehoytienesentus manos y que se complementa por otros 6 libros de texto que te permitirn contar con obras escritaspordistinguidosdocentesdelColegioyque estntotalmenteapegadosanuestros programasdeestudio.Creemosqueenelfuturocercanoestetrabajoseampliaraotras asignaturasfacilitandoelaprendizaje,eldesarrollodelashabilidadesdelpensamiento,la prcticadocenteenelaulayconellomejorarlatransicinyenconsecuenciareducirla reprobacin del alumnado del Colegio. Estasobras,noobstantehabersidoescritaspornuestrosmejoresdocentesconeltotal respaldodelComitEjecutivodelSUTACONALEPMICHydelaDireccinGeneraldel CONALEPMICH,mepermitocompartirlasdemanerahumildecontodalacomunidad educativadelColegioconlaconviccindequeintegralosesfuerzosdetodosquienes laboramosenelConalep Michoacn,queconsuesfuerzocotidiano, trabajamosenfavorde mejorar el proceso educativo que nos corresponde. Lic. Antonio Ortiz Garcilazo Director General, 2011. xi Mtro. Leonel Godoy Rangel Gobernador Constitucional del Estado de Michoacn Mtra. Graciela Carmina Andrade Garca Pelez Secretaria de Educacin Dr. Rogelio Sosa Pulido Subsecretario de Educacin Media Superior y Superior Lic. Ana Mara Martnez Cabello Directora de Educacin Media Superior Mtro. Wilfrido Perea Curiel Director General del Sistema Conalep Mtro. Vctor Manuel Lagunas Ramrez Titular de la Oficina de Servicios Federales en Apoyo a la Educacin en Michoacn Lic. Antonio Ortiz Garcilazo Director General del Conalep Michoacn Ing. Jos Gilberto Dvalos Pantoja Secretario General del SUTACONALEPMICH Dr. Salvador Jara Guerrero Rector de la Universidad Michoacana de San Nicols de Hidalgo M.C. Lourdes Galeana de la O Directora General del SINED Ing. Eduardo Ochoa Hernndez Coordinador de Innovacin Educativa (CIE/QFB) [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 i [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 1 1.1. Anlisis de funciones Introduccin A lo largo de esta unidad se hablar de uno de los conceptos pilares en el estudio de la matemtica:lafuncin,lacualsurgedelanecesidadderelacionarcantidades variables entre s. Losorgenesdelconceptodefuncinseremontanaciertosescritosdeastrnomos babilonios.EnlaEdadMediaelconceptodefuncinseasociaconeldemovimiento siendoNicols de Oresme (1323-1392) quien representa en unos ejes coordenados el cambio develocidad respecto deltiempo. Posteriormente Galileo (1564-1642) estudi elmovimiento demaneracuantitativa yexpresasusresultadosmedianteleyesentre magnitudes.1 Han sido diferentes lospersonajes matemticos que graciasasus investigaciones han ido desarrollando elconcepto defuncin. Entre los cuales podemos mencionar aRen Descartes(1596-1650),quienen1637utilizalapalabrafuncinparasealarla potencia entera de una variable. Isaac Newton (1642-1727) utiliz el trmino fluyente para designar la relacin entre variables. Leibniz (1646-1716) aplica el trmino funcin parasealarcantidadesquedependendeunavariable.Lostrminosconstante, variable yparmetro fueronintroducidos porl.Porotrolado,lanotacinactualque designa aunafuncin comof(x),sedebeaLeonhardEuler(1707-1783). Finalmente se puede mencionar al alemn Johann Dirichlet (1805-1859), a quien se le atribuye la definicin moderna de funcin como una regla de correspondenciaentre dos conjuntos.2 Lasfuncionespuedenserrepresentadasmediantegrficas,ascomollevaracabo operaciones entre ellas yser utilizadas para describir situaciones ofenmenos que se presentan a diario en nuestro entorno mediante la modelacin matemtica. Paradarinicio alestudio delasfunciones comenzaremos conladescripcin devarios trminos introductorios y necesarios para conceptos que se vern ms adelante. [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 2 Conceptos Enlaresolucindeproblemasmatemticosseempleandostiposdecantidades: constantes y variables.3 Unavariable,esunacantidadqueduranteelanlisisdeunproblemapuedeadquirir diferentes valores y generalmente se utilizan las ltimas letras del abecedario (x, y, z), para ser representadas. Unaconstante,esunacantidadquemantieneunvalorfijoduranteelanlisisdeun problema. Podemos tener constantes numricas o arbitrarias. Unaconstantenumricallamadatambinabsoluta,mantieneelmismovalorpara cualquier problema, por ejemplo: Unaconstantearbitrariallamadatambinparmetro,adquiereciertosvalores numricos y los conserva durante el anlisis de un problema. Generalmente se utilizan las primeras letras del abecedario para representarlas (a,b,c,k). Unafrmulamuyconocidaes,lacualseutilizaparaobtenerelreadeun crculo,dadoelvalordelradio.Enestafrmulapodemosidentificarquey2son constantes absolutas, mientras que r es una variable. Decursosanterioresseconocequelaecuacinrepresentaaunalnea recta.Losparmetrosoconstantesarbitrariassonmyb,lascualesconservarnun valor durante un problema especfico y la variable est representada por x. Producto Cartesiano Delateoradeconjuntosrescatamoselconceptodeproductocartesiano,elcuales una manera de vincular dos conjuntos, a travs de parejas ordenadas.4 SeadosconjuntosAyB,elproductocartesianosedefinecomounnuevoconjunto conformadoporparejasordenadas(a,b),talesqueapertenecealconjuntoA,yb pertenece al conjunto B. Lo anterior se puede representar como sigue: [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 3 AB = {(a,b) / a eA, b eB} Ejemplo 1. Sean los conjuntos M={i,j,k} y N={p,q}. Determinar su producto cartesiano. Elproductocartesiano serelnuevoconjuntoM Nconformado delos siguientes pares ordenados: MN = {(i,p),(i,q),(j,p),(j,q),(k,p),(k,q)} Ejemplo 2. Determinar el producto cartesiano de los conjuntos A={1,2} y B={3,4}. AB = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} Lasparejassepuedenrepresentarcomopuntosen elplano cartesiano,considerandoel primer elementocomolaabscisayelsegundocomola ordenada. Relaciones y funciones Enelproducto cartesiano alconjunto detodoslosprimeros elementos delasparejas ordenadasselellamadominioyalconjuntodelossegundoselementosselellama contradominio o rango. Una relacin es un subconjunto de un producto cartesiano que asocia a los elementos del dominio con los del contradominio.5 Una funcin es una relacin en la que a todo elemento del dominio le corresponde solo unelementodelcontradominio. Estoimplicaqueenunafuncinnohabrdospares ordenadosconlamismaabscisa(primerelemento)ydiferenteordenada(segundo elemento). [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 4 Ejemplo3.SeanlosconjuntosV={a,b,c}yN={2,4,6},determinarel producto cartesiano, el dominio y contradominio El producto cartesiano: VN={(a,2),(a,4),(a,6),(b,2),(b,4),(b,6),(c,2),(c,4),(c,6)} Dominio: V={a,b,c} Contradominio: N={2,4,6} Ejemplo 4. Dados los conjuntos S={1,5,6}, T={2,4,7} y la relacin de que elprimerelementoesmayorqueelsegundoelemento,determinarel conjunto solucin que satisface dicha relacin. Primeramente obtenemos el producto cartesiano: S T={(1,2),(1,4),(1,7),(5,2),(5,4),(5,7),(6,2),(6,4),(6,7)} Los pares que satisfacen la condicin S mayor que T son: R={(5,2),(5,4),(6,2),(6,4)} Esta relacin se puede visualizar mediante un diagrama sagital (diagrama de flechas) ST 12 54 67 Podemos observar que algunos elementos del dominio S les corresponden uno omselementosdelcontradominioT.Enelconjuntosolucinaparecen pares ordenados con el mismo primer elemento 5 y 6. Ejemplo 5. Dados los conjuntos A={3,6,9}, B={6,12,18,24} y la relacin de que el segundo elemento sea el doble del primer elemento, determinar el conjunto solucin que satisface dicha relacin. Obtengamos el producto cartesiano: A B={(3,6),(3;12),(3,18),(3,24),(6,6),(6,12),(6,18),(6,24), [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 5 (9,6),(9,12),(9,18),(9,24)} De las parejas obtenidas el conjunto solucin es: R={(3,6),(6,12),(9,18)} Podemosobservarmedianteundiagramasagital,quetodosloselementos deldominioestnasociadosconunsoloelementodelcontradominio. Adems los primeros elementos 3,6y9son diferentes entre synose repiten en otro par ordenado, por lo que se puede decir que esta relacin es una funcin. AB 6 3 12 6 18 9 24 Ejemplo6.Determinarsienelsiguientediagramaserepresentauna funcin o una relacin. AB 515 1030 1545 2060 2575 Eldiagramacorrespondeaunafuncin,yaqueacadaelementodel conjunto A le corresponde un nico elemento del conjunto B. [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 6 Ejemplo 7. Indicar si en elsiguiente diagrama se representa una funcin o una relacin: CD 05 3 11 -5 2-3 El diagrama corresponde a una relacin, debido a que al menos un elemento deldominioCestasociadocondoselementosdelcontradominioD.El elemento 0 se asocia con los elementos 5 y -5. Ejemplo8.Determinarsienelsiguientediagramaserepresentauna funcin o una relacin: MN 10 2 20 30 Es funcin porque cumple con la condicin de que cada elemento de M est asociado con un nico elemento de N. [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 7 Ejemplo 9. Indica si en el siguiente diagrama se representa una funcin o una relacin: PQ 15 545 75 Representa una relacin debido a que un elemento de P est asociado con ms de un elemento de Q. Ejemplo 10. Determinar si en los siguientes conjuntos de pares ordenados se tiene una funcin o una relacin. K={(0,0),(2,4),(5,25),(7,49)} L={(-2,10),(0,10),(3,10),(6,10)} M={(0,0),(1,1),(1,-1),(2,4),(2,-4)} N={(1,1),(2,2),(3,3),(3,4),(3,5)} De acuerdo con las definiciones de relacin y funcin, se determina que losconjuntosKyLsonfunciones,yaqueelprimerelementodecada pareja ordenada no se repite. En el conjunto Mel 1y2aparecen dos veces como primer elemento, as comoenelconjuntoNel3aparecetresveces,concluimosquelos conjuntos M y N no son funciones, solo relaciones. Es importante que observe que toda funcin es una relacin, pero no toda relacin es una funcin. Una caracterstica de las funciones es que nos indica una dependencia existente entre cantidades relacionadas. [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 8 Unafuncinesunaregladecorrespondenciaenlaqueacadaelementodeun conjuntoA(Dominio)seleasociaunoysolounelementodeunconjuntoB (Contradominio o Rango). x Dominio f f(x) Contradominio Notacin matemtica de una funcin CuandoseestableunafuncindeunconjuntoAenunconjuntoB,atravsdeuna regladecorrespondencia,seasociaacadaelementoxdelconjuntoAunnico elemento y del conjunto B. Esto se puede escribir con la siguiente notacin6: : A B Si el valor de y depende de x, decimos que y es una funcin de x. Entonces podemos usar la notacin de funcin7 . (se lee f de x) Es decir, donde: xes la variable independiente yes la variable dependiente frepresenta la regla de correspondencia Comosemencionanteriormente,estaformadedenotarunafuncinsedebeal matemtico Leonhard Euler. Ejemplo11.Imaginaquetrabajasparaunacompaaenlacualsete asignaunsueldode$50.00porhora.Determinarlareglade correspondencia y una notacin funcional. Podemos asociar para una determinada cantidad de horas trabajadas un pago especfico. [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 9 Dominio (no. de horas) Contradominio (pago correspondiente) Par ordenado 1$50(1,50) 2$100(2,100) 5$250(5,250) 10$500(10,500) 20$1000(20,1000) variable independiente variable dependiente Ahora observa que para cada elemento del dominio, solo se puede asociar uno y solo un elemento del contradominio. Es decir, si trabajas 5 horas nosepuedenasociardiferentespagos$50,$250o$500.(nicamente $250). Notacin funcional: Siel pago ser: La cantidad a la cual le podemos asignar valores a voluntad, es decir, el nmero de horas trabajadas se le llama variable independiente. Lascantidadescuyosvaloressedeterminanporelvalorquetomala variableindependiente,enestecasoelpago,selesllamavariable dependiente. Evaluacin de una funcin Elvalorquetomaunafuncinesaquelqueadquierelavariable dependiente, digamos y, cuando se le da un valor especfico a la variable independiente, digamos x6. Ejemplo 12. Obtener el valor que adquiere la funcin, cuando x vale -5. [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 10 Para obtener f(-5), basta sustituir x=-5 en dicha funcin y llevar a cabo las operaciones indicadas. Por lo tanto, se tiene: Ejemplo13.Obtenerelvalorqueadquierelafuncincuandox vale 2 y cuando vale a. Sustituimosenlafuncindadayrealizamoslasoperaciones correspondientes: Por lo tanto, se tiene: Ahora sustituyamosen la funcin. Se tiene que 1.2. Grfica de Funciones Para visualizar una funcin otra manera es a travs de su grfica7. Lagrficadeunafuncineselconjuntodelasparejasordenadas(x,y)enelplano cartesiano,demaneratalquenoexistandosdiferentesparejasordenadasconla misma abscisa. [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 11 Criterio de la recta vertical Para determinar si una grfica representa a una funcin o a una relacin, se traza una rectavertical,paralelaalejeYsobrelagrfica,sirectacortalagrficaenunsolo punto se trata de una funcin, en caso contrario ser una relacin6. LassiguientesgrficasmuestrancmoaltrazarlarectaverticalparalelaalejeY, pueden cortar en uno o ms puntos: Observaquelasdosprimerasgrficascorrespondenafuncionesylaterceraauna relacin, ya que corta en dos puntos. [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 12 1.3. Clasificacin de funciones Las funciones pueden ser clasificadasen dos grandes grupos, como funciones algebraicas y funciones trascendentes1. Funcin AlgebraicaTrascendente Entera (Polinomial) Racional Fraccionaria Irracional Trigonomtricas Exponenciales Logartmicas Constante Lineal Cuadrtica y otras Las funciones algebraicas son aquellas en las que secombinan operaciones finitas de suma,resta,multiplicacin,divisin,potenciacinoradicacin,queafectanala variable independiente. A su vez, una funcin algebraica puede ser racional entera o racional fraccionaria. Funcin racional entera Estas funciones tambin seconocen como polinomiales, ysecaracterizan por que se expresan a travs de un polinomio de la forma8: nn12 P(x) = an x + an1x + ... + a2 x + a1x + a0 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 13 Dondeesunnmeropositivo,ylosnmerosan , an1 ,..., a1 , a0selesdenomina coeficientes del polinomio y adems son constantes. El grado del polinomio es. Por ejemplo en la siguiente funcin: P(x) = 2x5 + x3 7x2 +10 Su grado es 5. Su grfica es la que se muestra a continuacin: Dentro de las funciones polinomiales tenemos varios casos: Funcin constante Cuando en el polinomio nn1 2 P(x)= an x + an1 x + ... + a2 x + a1x + a0 todos los coeficientes de x valen cero, tenemos la funcin constante6. Tambin es posible expresar esta funcin como Df = R(El dominio es el conjunto de todos los reales) Rf = {k}(El rango o contradominio lo compone el valor k) [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 14 y 8 6 4 k 2 x -8-6-4-22468 -2 -4 -6 -8 f(x)=k Ejemplo 14. Obtener la grfica de la funcin. y 8 6 4 2 -8-6-4 x -22468 -2 -4 -6 -8 Funcin lineal Cuando en el polinomio nn12 P( x) = an x + an1 x + ... + a2 x + a1 x + a0 todos los coeficientes de x valen cero, excepto paratenemos la funcin lineal6: . En geometra analtica, esta funcin tambin puede escribirse como Donde m representa la pendiente (grado de inclinacin) de la recta y b la ordenada en el origen. Para este tipo de funciones el dominio y rango est en todos los reales. Df = R, o en forma de intervalo ( Rf = R, o en forma de intervalo ( [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 15 Recordemos que la pendiente m, representa la razn de cambio de y respecto de x. Ejemplo 15. Obtener la grfica de la funcin De la frmulase puede identificar quey b=1. Conociendodospuntossetrazalagrficadeunafuncinlineal,pues bastaunirlosatravsdeunarectaquepuedeextenderseenambos sentidos. La pendiente, nos indica que por cada 3 unidades que nos desplacemos en la direccin x, tambin nos desplazaremos 2 unidades en la direccin y. Conociendo b=1, tenemos un punto de la grfica (0,1). (3,3 Ay (0, Ax [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 16 Apartirde(0,1)nosdesplazamos,3unidadesenx,2unidadeseny llegando al punto (3,3). Dichos puntos se unen con una recta y se obtiene la grfica correspondiente. Nota: si la pendiente es negativa un desplazamiento es positivo y el otro negativo. Ejemplo 16. Obtener la grfica de la funcin Como la pendiente es negativa, se tiene que por cada 2 unidades que nos desplacemosenladireccinpositivadex,habr1unidadde desplazamiento en la direccin negativa de y. Esto nos permite obtener del punto (0,3) otro punto de coordenadas (2,2) y trazar una recta para obtener la grfica correspondiente. (0,3 Ax A (2, Funcin Identidad Lafuncinidentidadesuncasoparticulardelafuncinlineal quesurgecuandom=1yb=0.Porloqueresultalafuncin.6 Tambinexpresada como. Comotodafuncinpolinomial,eldominioyrangoloconformanelconjuntodelos nmeros reales. La grfica de la funcin identidad es una recta con una inclinacin de 45. [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 17 Funcin Cuadrtica Esta funcin es de la formay representa una parbola cncava hacia arribaohaciaabajo,dependientedelsignoquetengaelcoeficientedeltrmino cuadrtico6. Lascoordenadas(h,k)delvrticedeunaparbola,sepuedenobtenerutilizandolas siguientes frmulas, tomando como base la forma general [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 18 Dominio: Df= Rpara las dos grficas Rango: Rf = [)cncava hacia arriba Rf = []cncava hacia abajo Ejemplo 17. Obtener la grfica de la funciny determinar el dominio y el rango. Observamos los valores que tienen los coeficientes en la funcin dada y tenemos:. Con estos valores calculamos las coordenadas del vrtice: As que las coordenadas V(h,k)=(2,-1). Porotrolado,vemosqueelcoeficientedeltrminocuadrticoes positivo a=1, por lo que la parbola abre hacia arriba. Dominio= Contradominio[-1, Tabulando algunos valores para x, se obtiene: x-2-1012 y15830-1 Cuya grfica es la siguiente: 19 CONALEP-2 011[Anlisis derivativo de funciones] Funcin Potencia Esta funcin tiene la formadonde n es un entero positivo7. El dominio son todos los reales: El rango es [si n es par. El rango escuando n es impar paracuando n = 1,2,3,4,5,6 De acuerdo con las grficas, se puede observar que cuando n es par, la funcin 20 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 sermuyparecidaalaparbola,essimtricarespectoalejeY,y cuandonesimparsersemejantealagrficade,essimtricarespectodel origen. Paracuando el exponente esy n es entero positivo Cuando n es igual a 2 se tiene la funcin raz cuadrada El dominio para esta funcin es [0,). Para valores pares: 4,6,8 sus grficas son semejantes a la de la raz cuadrada. Cuando n es igual a 3 se tiene la funcin raz cbica El dominio para esta funcin son los reales (-, ). Para valores impares: 5,7,9 sus grficas son semejantes a la de la raz cbica. Paracuando Cuandose obtiene la funcin recproca El dominio son todos los reales excepto para 0. 21 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 Su grfica es una hiprbola teniendo como asntotas los ejes de coordenadas. Funcin racional fraccionaria Tambin conocidas como funciones racionales, se caracterizan por expresarse como el cociente de dos polinomios6 f ( x) = P( x) Q( x) donde P y Q son polinomios yQ(x) 0. El dominio para este tipo de funciones lo forman todos los valores de x, tales que Q(x) 0. La siguiente es un ejemplo de funcin algebraica racional: x2 + 2x + 4 f ( x) = x 2 El valor de x que vuelve 0 al denominador, representa una asntota vertical (recta a la cual tiende a tocar la grfica, sin llegar a tocarla). Es decir, si, despejando . Enestagrficaseobservaunaasntotaverticalcuyaecuacines.Lagrfica tiende a tocar dicha asntota conforme x se acerca al valor 2. 22 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 En la siguiente funcin el valor de x que hace 0 al denominador, es cuando despejando, g ( x) = x + 1 x + 3 Esta grfica tiene una asntota cuya ecuacin es x = -3. Cuando x se aproxima a -3 los valores de la funcin crecen hacia el infinito de manera positiva y negativamente. Finalmente, en la siguiente grfica se observa una asntota que coincide con el eje y. y = 3 x Funcin Trascendente Las funciones trascendentes son aquellas que no son algebraicas. Las cuales incluyen a las trigonomtricas directas e inversas, logartmicas y exponenciales. 23 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 Algunos ejemplos son: trigonomtrica trigonomtrica exponencial exponencial logartmica trigonomtrica inversa Funciones Trigonomtricas De trigonometra recordemos que las funciones trigonomtricas surgen como resultado de la razn entre las magnitudes de los lados de un tringulo rectngulo: Hipotenusa Cateto opuesto Cateto adyacente Generalmente consideraremos la medida de los ngulos en radianes, a menos que se diga lo contrario, recuerde. Veamos las grficas de algunas de ellas: Df = R Rf = [-1,1] Df = R Rf = [-1,1] Df=R-{ Rf=(- 24 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 Funcin Exponencial Grfica de la funcin Funcin Logartmica Grfica de la funcin Funcin explicita e implcita La funcin exponencial es de la formadondela base kes una constante positiva yelexponente es una variable.7 El dominio es (-, ) y el rango es (0, ) La funcin logartmica es de la forma,dondela baseaesunaconstantepositiva.Eslainversadela funcin exponencial7. El dominio es (0, ) y el rango es (-, ) Cuando unafuncin tiene alavariable dependiente despejada, sedice que lafuncin estaexpresadaenformaexplcita.Encasocontrario,sedicequeestenforma implcita6. Ejemplos de funciones explcitas: 25 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 Ejemplos de funciones implcitas: Funcin creciente y decreciente Otra manera de clasificar las funciones es de acuerdo con su monotona.9 Una funcin f(x) es creciente en un intervalo I, si para cualquier par de valores pertenecientes al intervalo I, tal quese tiene. Ejemplo18.Sealafuncin: f ( x) =x2 puntos x=2 y x=3. enelintervalo [0,4],tomemoslos Por lo tanto la funcin es creciente del punto 2 al 3. Una funcin f(x) es decreciente en un intervalo I, si para cualquier par de valores x1, x2, pertenecientes al intervalo I, tal quese tiene. 26 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 Ejemplo 19. Sea la funcin: f ( x) = x2 puntos x=-3 y x=-2. en el intervalo [-4,0], tomemos los Se cumple que. La funcin es decreciente Ejemplo 20. La siguiente grficamuestra ambos comportamientos. En el intervalo [-4,0]: es decreciente. En el intervalo [(0,4]: es creciente. 27 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 Funcin par Si en una funcin se sustituye la variablepor su simtricoy se cumple se dice que la funcin es par10,11. Ejemplo 21. Verificar si la funcines par o impar. Se sustituye x por x Como se cumple que, entonces es una funcin par. Funcin impar Si en una funcin se sustituye la variable x por su simtrico xy se cumple se dice que la funcin es impar6,7 Ejemplo 22. Verificar si la funcines par o impar. Se sustituye x por x Como se cumple que, entonces es una funcin impar. Ejemplo 23. Verificar si la funcines par o impar. Se sustituye x por x Podemos ver que comola funcin no es par. Por otro lado, para que la funcin sea impar se debe cumplir la condicin de quepero y Dado quela funcin no es impar. Esta funcin no es impar, ni par. De lo anterior se concluye: La grfica de una funcin par es simtrica con respecto al eje Y. 28 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 La grfica de una funcin impar es simtrica con respecto al origen. Hay funciones que no son pares ni impares. Funcin continua y discontinua Finalmentediremosqueotraformadeclasificaralasfuncionesesconbaseala continuidad de la grfica. Una funcin es continua cuando su grfica no presenta un hueco o salto. Otra forma de describirla, es diciendo que una funcin escontinua sise puede dibujar sugrfica sin tener que levantar el lpiz del papel.12 Una funcin es discontinua si no es continua. c c c 29 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 Funcin del mayor entero Otrafuncinesladefinidacomofuncindelmayorentero13,14,elsmboloquela representa es [[x]], el cual se define como el mayor entero menor o igual a x, esto es: [[x]] = n si n, donde n Z Por ejemplo: [[1]] = 1,[[1.2]] = 1,[[0.2]] = 0,[[-4.3]] = -5,[[-10]] = -10, [[19.8]] = 19, y as sucesivamente, queda como retopara el lector hacer su grfica. Funcin valor absoluto Funcin valor absoluto8,9, es definida como || Su dominio es el conjunto de todos los nmeros reales y el rango de dicha funcin son los nmeros reales no negativos. Sea la funcin| | Cuando,estoindicaquesu contradominio es siempre positivo. Dicha funcin es par, decreciente de (-y creciente de [0, ). Nota:hastaaqusolosehahabladodelasprincipalesfuncionesquesepresentan durante el estudio del clculo. Sin embargo, es importante sealar que existe una gran cantidaddefuncionesqueserconvenienteinvestigar,talescomolafuncin escalonadaqueseutilizaenlosestacionamientoscuandonoscobranporhorao fraccin, la funcin definida por intervalos, la funcin signo, entre otras. Existenlibrosdedicadosaltemadefunciones,enloscualessepuedeampliardicho tema. Se invita al lector a que haga la lectura correspondiente.1,15,16. 30 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 1.4. lgebra de funciones Sepuedecombinar,unafuncinfconotrafuncinhatravsdelasoperaciones aritmticas: suma,resta,multiplicacin ydivisin.Lascualessepuedendefinirdela siguiente manera:17 Sean las funciones fyh, Suma: Resta: Multiplicacin: Divisin:( )donde El dominio de estas nuevas funcioneses la interseccin del dominio f con el dominio h. A continuacin veremos algunas operaciones con funciones. Sumas de funciones EJEMPLO24.Dadaslasfunciones: f (x)= 8x +1 calcular: r( x)=f ( x) + g( x) . ylafuncin:g(x)= 5x3+ 2 Lo primero que podemos realizar es sustituir cada uno de los sumandos de la funcin propuesta de la siguiente manera: r(x)=f (x)+ g(x) r(x)= (8x +1) + (5x3 + 2) . Losegundo serarealizar lasumadelosdostrminos, estoserealiza primeramenteeliminandolosparntesisqueagrupancadaunadelas funciones. Recuerde que para concretar este proceso se debe considerar el signo que antecede al parntesis, es decir: si el sigo que est antes del primerparntesis espositivo, sedicemspormenosyelresultado de esta operacin de signos lo colocamos antes del trmino considerado. Para nuestro caso, como en el primer grupo de trminos no contiene signo, se asume que este es positivo, es decir: r(x)=f (x) + g(x)= + f ( x) + g( x) Ahora bien, el resultado de suprimir el primer parntesis ser entonces: 31 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 (uu) + 8 +(8x+1)= +(+8x +1)= +8x+1 = 8x +1 Para el segundo trmino tendremos: +(5x3 + 2) = +(5x3 ) + (+2)= 5x3 + 2 Demaneraquesuprimiendo losparntesisdeambasfunciones(odecada grupo de trminos) tendremos: r(x)= (8x +1) + (5x3 + 2) = 8x +1 5x3+ 2 El siguiente paso en el desarrollo de la suma, ser agrupar los trminos semejantes, que para nuestro caso solo tenemos los nmeros +1 y +2: r(x)= 8x +1 5x3+ 2 = 8x 5x3+1+ 2 = 8x 5x3+ 3 Finalmente, comounamaneraordenadadepresentarelresultado, podemos ordenarlostrminos,comenzandoconlosexponentesdemayoramenor, para finalmente colocar los trminos numricos. Recuerde que este acomodo debe respetar el signo de cada trmino como se observa en el acomodo del trmino -5x3. r(x) = 8x 5x3+ 3 = 5x3+ 8x + 3 r(x)= 8x +1 5x3+ 2 = 8x 5x3+1+ 2 = 8x 5x3+ 3 Siendo el resultado final: r(x) = 5x3+ 8x + 3 EJEMPLO 25. Dadas las funciones: R(u) = 5u (2u)2 + 8u3 u(3u)ylafuncin: P(u) = (3u) + 12 u u | u5| | 1 | , desarrolla

2| | \ u. \ 2 . R(u) + P(u) . Como puede observarse, cada una de las funciones est expresada de forma tal, que es ms cmodo primeramente desarrollarla a su mnima expresin, paradespusrealizarlasumaindicada.Portanto,enlafuncin R(u) desarrollada,debemosprimeramentedesarrollarelcuadradoindicado (2u)2 y el producto de u(3u), o sea: (2u)2= (22 u2 ) = (4u2 ) = 4u2 y para el otro producto: u(3u) = ()()(u)(3u) = +3u2 Desarrollando entonces en la funcin R(u), tendramos: R(u)= 5u (2u)2 + 8u3 u(3u)= 5u 4u2+ 8u3+ 3u2 32 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 u 2 222 u2 5 Acomodando lostrminos deacuerdoasuexponente yagrupando trminos semejantes, tendramos: R(u) = 8u3 4u2 + 3u2 + 5u= 8u3 1u2 + 5u Porotrolado,paradesarrollarlafuncinrestante, primeramente que quitar el parntesis del primer trmino: (3u) = +3u= 3u P(u) tendramos Similarmente, para el segundo trmino, tenemos un desarrollo que implica ladivisindedostrminosiguales(cuyoresultadoeslaunidad),es decir: +12 u = +12(1)= +12 u Para el tercer trmino, el desarrollo posible es la multiplicacin de la variable por s misma dos veces, lo cual se entiende como el cuadrado de la misma, es decir: (uu) = (u2 ) = (u2 ) = u2 Finalmente,paraelcuartotrminopodemosrealizarladivisindelas variables,quealserlamismabaseyexponentediferente,loquese realizaeslarestadelosexponentes(exponentedelnumeradormenos exponente del denominador). Por otro lado, el desarrollo numrico es el 1 producto del 8 y de 2 lo que nos dara: | u5 8 | | 1 | = 8 (u52 )| 1 | = 8 | 1 | (u3 ) = 4u3 | ||| \. \.\.\. Teniendo como versin final de desarrollo de la funcin P(u) como P(u)= (3u ) + 12 u (uu ) + 8 | u | 1 = 3u+ 12 u 2+ 4u3 = 4u3 u 2+ 3u + 12 2 | u \. De esta manera, la suma de las funciones originales, ahora desarrolladas en sus mnimas expresiones sera: P (u ) = 8u3 1u2 + 5u, F (u) = 4u3 u2 + 3u +12 Y la suma de ambas, podra expresarse como P(u)+ F (u)= (8u3 1u2 + 5u) + (4u3 1u2 + 5u +12)= 8u31u2 + 5u + 4u31u2 + 3u +12 Acomodando los trminos semejantes en orden descendente: P(u) + F (u) = 8u3+ 4u31u2 1u2 + 5u + 3u +12 La suma finalmente es: 33 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 P(u) + F (u) = 12u3 2u2+ 8u +12 EJEMPLO26.Realizarlasumadelasfunciones: P( y) = 2 y 2 5 y + 8 G( x) = 3x + 8 6 y x2 Estasumanosepuederealizar,puestoquecadaunadelasfunciones definidas no son dependientes de la misma variable, es decir, la funcin G( x) depende en su valor de los valores dex, como sedefine, pero la funcin P( y) est definida de acuerdo a los valores de y, por lo tanto, losvaloresdecadaunadelasfuncionessonindependientesporque dependen cada una de diferente variable. EJEMPLO27.Culeselresultadodelasumade P(x)= 2 y2 5 y + 8 ? G( x) = 3x + 8 6x2 con Paraestecaso,comocadaunadelasfuncionesestdefinidaparala mismavariable,entoncesesposiblelasuma,soloqueparalavariable P(x)= 2 y2 5 y + 8 ,cadaunodelostrminos algebraicos nocontiene ala variablealaquesehacereferencia, porlotanto,puedeconsiderarse como un trmino independiente a cada uno de los trminos que contienen la y. De esta manera, el desarrollo ser: 3x + 8 G( x) + P( x) = 6 + 2 y2 5 y + 8 x2 Pudiendo sintetizar el valor de la funcin 3x + 83x + 8 G( x) = 6= 6= 3x + 8 G( x) : x2 x2 1 6x2 Sustituyendo este nuevo valor de la funcin como G( x) + P( x) = 3x + 8 + 2 y2 5 y + 8 6x2 34 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 2 2 EJEMPLO28.Culeselresultadodelasumade P( x)=2x2 5x+ 8 ? 3x+ 8 G( x) = 6 x2 con Deacuerdoaldesarrolloanterior,lasumadeestasfuncionespuede realizarse como ya se ha explicado, es decir, agrupando las dos funciones con cada uno de sus trminos semejantes. De esta manera, podemos afirmar que 3x + 8 G( x) + P( x) = 6 + 2x2 5x + 8 x2 Desarrollando el resultado de la primera funcin: 3x + 83x + 8 G( x) = 6= 6= 3x + 8 x2 x2 1 6x2 Lo cual nos dara una suma de la siguiente manera: G( x) + P( x) = 3x + 8 + 2x2 5x + 8 6x2 El desarrollo se facilita al separar la fraccin: 3x + 8 + 2x2 5x + 8 = 3x+ 8 + 2x2 5x + 8 =1+ 4+ 2x 5x + 8 6x26x26x22x3x2111 De manera que la suma de estas fracciones ser: 142x2 5x83x + 8 +12x4 30x3 + 48x2 +++= 2x3x21116x2 Lo que finalmente ordenado nos queda: 12x4 30x3 + 48x2+ 3x + 8 G( x) + P( x) = 6x2 Pues el numerador no es un polinomio que pueda factorizarse. EJEMPLO 29. Expresar el resultado en su mnima expresin de la siguiente suma: M (x) + N (x) , dadas; M ( x) = x y ( x + y )2 yN ( x) = y La suma entonces, se desarrollar de la siguiente manera: 35 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 | x2|| ( x + y )2| M ( x) + N ( x) = | + | \ y. y | \. Quitando los parntesis y desarrollando la suma, tendremos: | x2| | ( x + y )2| x2+ ( x + y )2 | + | = \ y. y | y \. Desarrollando el binomio cuadrado que contiene al numerador, tendremos: x2 + ( x + y )2 x2 + (x2 + 2xy + y2 ) == x2 + x2 + 2xy + y2 yyy Comopuedeobservarse,enelnumeradortenemosdostrminossemejantes con signo contrario, lo cual los hace cero: x2 + x2 + 2xy + y2 +2xy + y2 = yy Finalmente paraestecaso,puedefactorizarse enelnumerador lay,lo cualnosllevar apoderdividirla conelmismofactor deldenominador para poder suprimirla: +2xy + y2 y(+2x + y) y (+2x + y)(+2x + y) === 1 yyy11 Para obtener el resultado: M (x)+ N (x)= 2x +y EJEMPLO30.Comprobarquelasumadefuncionesesconmutativa(tomar cualquiera de las funciones anteriormente descritas). Puedetomarseelejemplo23,considerandolasumapropuesta r(x)=f (x)+ g(x), considerando f (x)= 8x +1 y la funcin g(x)= 5x3+ 2 . El desarrollo de la suma segn se realiz es: r(x) = 5x3+ 8x + 3 Por consiguiente, aplicando la conmutatividad de la suma, proponemos una nuevasumacambiandoelordendelasfunciones,ylellamamos R(x)=g(x)+f (x) .Sielresultadodeestapropuestaesigualqueelde r( x) , entonces la conmutatividad es vlida. 36 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 2 2 Desarrollamos entonces la nueva sumaR( x)como se describi en el ejemplo 23,esdecir,sustituyendo elvalordecadaunadelasfuncionescomo sumandos de la propuesta: R(x)=g(x)+f (x) R(x)= (5x3+ 2) + (8x +1) Suprimiendo los parntesis y desarrollando la suma, tendremos: R(x)= 5x3+ 2 + 8x +1 = 5x3+ 2 +1+ 8x = 5x3+ 8x + 3 Entonces, como ambos resultados son iguales, podemos afirmar que r( x) = R( x), f ( x) + g ( x) = g ( x) +f ( x) Lo que demuestra que la suma de funciones es conmutativa. EJEMPLO 31. Comprobar la validez de la ley asociativa de las funciones, definida como A+(B+C)=(A+B)+C, El valor de cada una de las funciones A, B y C es: A = a(x)= x2+ 5 , B = b(x)= (5x+ 3) y C = c( x) = | 1 + x | 3 | \. Paradesarrollarlaparteizquierdadelaigualdad,segnindicanlos parntesis, desarrollaremos primero la suma de B+C: b( x) + c( x) = (5x + 3) + | 1 + x | = 5x 3 + x2 + 2 x + 1 = x2 13 x 26 3 | 3939 \. Despus,eldesarrollodelladoizquierdodelaigualdadsecompleta sumandoalresultadoanteriorlafuncinAydesarrollandolasuma (quitandolosparntesisyagrupandolostrminossemejantes)comose muestra: A + (B + C) = (x2 + 5) + x2 13 x 26 = x2 + 5 + x2 13 x 26 = 2x2 13 x + 19 393939 Porotrolado,elclculodelapartederechadelaigualdadimplica primero sumar A+B: A + B = a(x) + b(x) = x2 + 5 + (5x + 3) = x2 + 5 5x 3 = x2 5x + 2 El clculo completo quedara sumando la funcin C de la siguiente manera: ( A + B ) + C = ( x2 5x + 2) + x2 + 2 x + 1 = 2x2 13 x + 19 3939 37 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 uv(u ) = sin(u ) w(u ) = cos | t + u | \. v(u ) + w(u ) = sin(u ) + cos | t + u | \. 0000 t 2 1 -1 0 t000 3t 2 -1 1 0 2t 000 Como puede observarse, ambos resultados son iguales, lo que afirma que A + (B + C)= ( A + B) + C EJEMPLO32.Culserelresultadodesumar w(u ) = cos | t + u | ? v(u ) = sin(u )con 2 | \. Como puede observarse, la suma puede realizarse sencillamente conjuntado las funciones: v(u ) + w(u ) = sin(u) + cos | t + u | 2 | \. Lo cual, es el resultado de la suma pedida. Sin embargo, este resultado tieneunvalorpeculiar,elcualsepuedemostrarasignandovalores caractersticos al resultado de la suma. Esto puede realizarse con ayuda de una tabla. Enlasiguientetabla,semuestranlosvalorescaractersticosylos resultados para cada una de las funciones dadas, as como los valores de lasumadelasmencionadasfunciones. Semuestraademsunbosquejode las grficas correspondientes, donde como puede verse, la suma es de cero para todos los valores de u ; o bien, de x de acuerdo al formato para el software que ha realizado las grficas. 2 | 2 | 38 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 x El resultado entonces ms significativo y evidente ser: v(u ) + w(u ) = sin(u ) + cos | t + u | = 0 2 | \. Este resultado justifica una identidad trigonomtrica: cos | t + u | = senu 2 | \. EJEMPLO 33. Cul es el resultado de sumar las funciones: i ( x) = 110x ? h ( x) = 810x con La suma de estas funciones, es de acuerdo a lo anteriormente descrito, la suma de los valores de cada funcin: h ( x) + i(x) = (810x ) + (110x ) Donde se puede observar, es factible hacer una factorizacin, y con ello la suma de los factores diferentes, es decir: (810x ) + (110x ) = 10x (8 +1) = 9 10x Teniendo entonces, el resultado: h ( x) + i(x) = (810x ) + (110x ) = 9 10x EJEMPLO 34. Cul es el resultado de sumar n(x)= 0 conf ( x) = 5x 8 ? 9 Elresultadoesobviamentelamismaf ( x) ,puesdeacuerdoalos desarrollos que aqu se han mencionado, podemos decir que f ( x) + n( x) = | 5x 8 | + (0) = 5x 8 9 | 9 \. 39 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 De hecho, a la funcinn( x)= 0 , se le llama la funcin constante, pues su valor eselmismo sin depender delavariable independiente x.Para el caso particular de que esta funcin se defina con el valor constante de cero, acta como el elemento neutro en la suma de funciones. Resta de funciones EJEMPLO35.Dadaslasfunciones f (x) = 3x +1 ylafuncin g(x) = 2 + 6x ; calcular: r(x) =f (x) g(x) . Aligualquesehizoenlasuma,loprimeroquepodemosrealizares sustituir cada una de las funciones por sus valores correspondientes: r(x)=f (x) g(x) r(x)= (3x +1) (2 + 6x) . Despus, seeliminan los parntesis que agrupan cada una delos valores de las funciones. Para este caso, igual que la suma, se debe considerar el signo que antecede al parntesis, es decir, si el sigo que est antes delprimerparntesisespositivo;locualnocambiaelsignodelos trminos de la primer funcin: f (x) = (3x +1)= 3x +1 Ahora, la manipulacin del segundo trmino conlleva a considerar el signo negativoqueantecedealafuncin,locual,alaplicarlaleydelos signos, cambia cada uno de los signos de cada uno de los trminos, como se muestra: g(x)= (2 + 6x) = (2) (+6x)= +2 6x As que finalmente, la resta se puede realizar en realidad como una suma, esdecir; agrupando cada uno delos trminos semejantes, solo que antes dehaceresto,esnecesarioconsiderarelresultadodelasoperaciones conlossignos,enparticularconlafuncinalaqueleantecedeel signo negativo. As, para este caso en particular tendremos: f (x) g(x)= (3x +1) (2 + 6x)= 3x +1+ 2 6x f (x) g(x)= 3x +1+ 2 6x = 3x + 3 r(x) = 3x + 3 Que es el resultado final. 40 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 2 EJEMPLO36.Dadaslasmismasfuncionesqueenelejemploanterior: f (x) = 3x +1 y la funcin: g(x) = 2 + 6x ; calcular ahora s(x)= g(x) f (x) Ahora,desarrollaremoslarestadelasmismasfunciones,soloque intercambiandoelordendecadaunodelasfunciones;locualpuede expresarse: s(x)= g(x) f (x) = (2 + 6x) (3x +1) Desarrollandolasumadeacuerdoalmismoprocedimientodescritoen ejemplos anteriores, suprimimos primeramente los parntesis (en donde si serecuerda, quitar elparntesis donde antecede elsigno menos, cambia el signo de todos y cada uno de los trminos de la funcin): s(x)= (2 + 6x) (3x +1)= 2 + 6x 3x 1 . Agrupando entonces los trminos semejantes, tendremos: s(x)= 2 + 6x 3x 1 = +3x 3 s(x)= 3x 3 Locualserelresultadofinal,quemuestraquesiintercambiamosel orden de los elementos de la resta, el resultado no es el mismo: r(x) = 3x + 3 s(x)= 3x 3 Lo que nos lleva a afirmar que la resta de funciones no es conmutativa, es decir: f (x) g(x)= g(x) f (x) EJEMPLO37.Sicadaunadelassiguientesfuncionessedefinencomo F1 (x) = 2x 3 + 8x2 5x +1 y F2 (x) = 10x + 5x 6 , entonces cul ser el resultado de ( F1 F2 ) (x) ? De manera similar a los ejemplos anteriores, realizar laresta de estas funcioneseselequivalentedeconjuntarcadavalorquitandolos parntesisyagrupandolostrminossimilares.Unadiferenciaparaeste caso es la notacin, la cual puede entenderse: ( F1 F2 ) (x) = F1 (x) F2 (x) De esta manera, prosiguiendo con la mencionada metodologa, escribimos: ( 32 ) ( 2 ) F1 (x) F2 (x) = 2x + 8x 5x +110x+ 5x 6 41 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 12 Que a su vez, es: (2x3+ 8x2 5x +1) (10x2+ 5x 6) = 2x3 + 8x2 5x +110x2 5x + 6 Acomodando y agrupando los trminos semejantes: 2x3+ 8x210x2 5x 5x +1+ 6 = 2x3 2x210x+ 7 Teniendo como resultado final: ( F F)( x) = 2x3 2x210x + 7 Ejemplo38.Esposiblerealizarlarestadedosfuncionesqueson dependientes de dos variables diferentes? Pararesponderaestapregunta,podemosdefinirdosfunciones cualesquiera,haciendodependientesacadaunadeellasdevariables diferente, por ejemplo: s( x) = 6x , t( y) = 2 y Lo cual no puede realizarse porque, entre otras razones: s(x) t( y) = (s t )( x y ) EJEMPLO 39. De acuerdo a las funciones: si la siguiente igualdad es verdadera v(x) w(x)= |w(x) v(x)| v(x)= 2x 5,w(x)= 6x +1. Comprobar Primero, puede desarrollarse el lado izquierdo de la igualdad: v(x) w(x)= (2x 5) (6x +1) = 2x 5 + 6x 1 v(x) w(x)= 8x 6 Porotrolado,elladoderechodelaigualdadnosproporcionael resultado: |w(x) v(x)| = (6x +1) (2x 5) |w(x) v(x)| = |8x + 6| = 8x 6 = |6x +1 2x + 5| Lo cual nos proporciona una evidencia de que la igualdad es verdadera. 42 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 u2 u2 \. 5 5 EJEMPLO 40. Realizar la diferencia entre las funciones: R(u)= 5u (2u)2 + 8u3 u(3u)& F (u) = (3u ) + 12 u (uu ) + 8 | u | 1

2 | u \. Este ejemplo, es retomado de uno de los ejercicios resueltos de las sumas de funciones, por lo que omitiremos los desarrollos para cada una de las funciones, puesto que son los mismos, es decir que por un lado: R(u)= 5u (2u)2+ 8u3 u(3u)= 5u 4u2+ 8u3+ 3u2 Y de manera semejante: F (u) = (3u ) +12 u (uu ) + 8 | u | 1 = 3u + 12 u2 + 4u3= 4u3 u2 + 3u + 12

2 | u \. Por lo que ahora nos corresponde, la resta de las funciones, una vez que ya se han abreviado, sern conP (u ) = 8u31u2+ 5u, F (u) = 4u3 u2+ 3u +12de la siguiente manera: P (u ) F (u) = (8u31u2+ 5u ) (4u3 u2 + 3u +12) Quitando los parntesis y agrupando los trminos semejantes: P(u) F (u) = 8u31u2 + 5u 4u3+ u2 3u 12= 8u3 4u31u2 + u2+ 5u 3u 12 Teniendo como resultado final: P(u) F (u) = 4u3+ 2u 12 EJEMPLO 41. Definiendo las funciones siguientes: Q(t) = t t 2 , R(t)= 3t 2+ 2 y S (t) = t + 2 , realizar la resta U (t) = Q(t) |R(t) S (t)| Para realizar esta resta, se procede primeramente a realizar la resta que se encuentra agrupada en el parntesis cuadrado: |R(t) S (t)| = (3t 2 + 2) (t + 2) = 3t 2 + 2 t 2 = 3t 2 t Ahora bien, retomando la resta completa, podemos expresarla como U (t) = Q(t) |R(t) S (t)| = |t | 3t 2 t ( t 2 | Observe que se han sustituido los valores que equivalen a la funcin Q (t ) 43 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 \. t 2 t 2 | | () y a la resta de | R(t ) S (t )| ; solo que a esta ltima por ser la parte del sustraendo, se le antepone en la resta completa el signo de menos, lo que nos lleva al realizarla, quitando los parntesis, a aplicar la ley de los signos,comoyahemosdescrito,parafinalmenteagrupartrminos semejantes, es decir: U (t )= | t | 3t 2 t (=t 3t 2 + t t 2 |t 2 Que una vez desarrollado nos dar el resultado completo: t (t ) (1) (t 2) (3t 2 ) + (t 2) (t ) t 3t 3 + 6t 2 + t 2 2t U (t) = 3t 2 + t == t 2t 2t 2 t 3t 3+ 6t 2+ t 2 2tt 2 EJEMPLO42.Siretomamoslosvaloresdelasfuncionesdefinidasenel problema anterior (40), ser cierto que Q(t) |R(t) S (t)| = |Q(t) R(t)| S (t) ? Comoyahemosrealizadolaparteizquierdadelaigualdad,podemos desarrollar lapartederechadelamisma,demaneraquesillegamos al mismo resultado, la igualdad ser vlida. Realizando entonces primeramente la resta del parntesis cuadrado: |Q(t ) R(t )| = | t | (3t 2+ 2)( |( \ . Lo que desarrollado nos dar como resultado: |Q(t) R(t)| = |t | (3t 2 + 2)( = t 3t 2 2 = 3t 3 + 6t 2 t + 4 | \. ( t 2t 2 Completando ahora la operacin deseada tendremos: 3t3 + 6t 2 t + 4 ( Q(t) R(t) S (t) = ( t + 2 t 2 Quitandolosparntesisyrealizandolasoperacionesfinalmentecomo suma: 44 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 || 3t 3 + 6t 2 t + 4 Q(t) R(t) S (t) = t 2 = t 2 3t 3 + 5t 2 t + 8 t 2 Comolosresultadossondiferentes,podemosresponderquenoala pregunta realizada, o bien afirmar que Q(t) |R(t) S (t)| = |Q(t) R(t)| S (t) EJEMPLO 43. Ser cierto queF (x) F (x) = 0 ? Esta propiedad de la resta, se puede comprobar si proponemos una funcin cualquiera como grado: F (a) . Un buen ejemplo puede ser un polinomio de tercer F (x) = 3x3 2x2+ 8x 3 De esta manera, si realizamos la resta de las funciones ahora propuestas, tendremos: F (x) F (x) = (3x3 2x2 + 8x 3) (3x3 2x2 + 8x 3) Ahora bien, si desarrollamos la resta como tal, procedemos primeramente a quitar los parntesis: F (x) F (x) = 3x3 2x2+ 8x 3 3x3+ 2x2 8x + 3 Agrupando trminos semejantes: F (x) F (x) = 3x3 3x3 2x2+ 2x2+ 8x 8x + 3 3 = 0 Lo cual demuestra que es cierto que F (x) F (x) = 0 EJEMPLO 44. Cul es el resultado de la operacin R(x)= G(x) P( y) , dadas: 3x + 8 G( x) = 6 x2 yP( y) = 2 y2 5 y + 8? Comopuedeobservarse,cadaunadelasfuncionesestdefinidapara diferentesvariables,entoncesnoesposiblelarestacomooperacin definida, pues: G(x) P( y) = (G P)( x ) = (G P)( y ) Producto de funciones 45 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 ( EJEMPLO 45. Dadas las funciones f (x) = 2x + 6 y la funcing(x)= 2x2+ 8x 1; calcular: R(x)=f (x) g(x) . Realizar el producto de dos funciones diferentes, conlleva al proceso de realizar elproducto mismodesusvalores, esdecirqueparaestecaso propuesto tendremos el producto de los polinomios indicados: R(x) =f (x) g(x) = (2x + 6)(2x2+ 8x 1) Locualsellevaacabomultiplicandocadaunodelostrminos algebraicos del primer factor por los del segundo, es decir: R(x) = (2x + 6)(2x2+ 8x 1) = (2x)(2x2+ 8x 1) + (6)(2x2+ 8x 1) R(x) = (4x3+16x2 2x) + (12x2+ 48x 6) = 4x3+16x2 2x 12x2+ 48x 6 R(x)= 4x3 +16x2 2x 12x2 + 48x 6 = 4x3 + 4x2+ 46x 6 Siendo este ltimo el resultado final. EJEMPLO 46. De acuerdo a las funciones: Desarrollar: |v( x)||w( x)| v( x) = 2 x 5 y w( x) = 1 36 x + 1 Igual que en el caso anterior, realizar este producto se concreta con el productodelospolinomiosrespectivos (binomiosparanuestrocaso),es decir: |v( x)||w( x)| = 2 x 5( 1 x +1 3 (6 ( Por lo que el desarrollo se puede expresar como |v(x)||w(x)| = + | 2 x | | 1 x | + | 2 x | (+1) (5)| 1 x | (5) (+1) 3 | 6 | 3 | 6 | \. \.\.\. Quitando los parntesis tendremos: |v(x)||w(x)| = + | 2 x2| + | 2 x | | 5 x | (+5) = 2 x2 + 2 x + 5 x 5 18 | 3 | 6 | 1836 \.\.\. Es decir que, agrupando los trminos comunes el resultado ser: |v( x)||w(x)| = 1 x2 + 3 x 5 92 46 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 \. \. \. \. | | () 3 EJEMPLO 47. Definiendo las funciones siguientes Q(t) = t t 2 , R(t)= 3t 2+ 2y S (t) = t + 2 , realizar el producto U (t) = Q(t)|R(t) S (t)| Esteproducto,serealizaprimeramentedesarrollandoelproductoque indican los parntesis rectangulares, es decir: |R(t) S (t)| = (3t 2 + 2)(t + 2) = 3t 3 + 6t 2 + 2t + 4 El resultado anterior se multiplica con el valor de la funcin Q(t): Q(t) |R(t) S (t)| = |t | (3t 3 + 6t 2 + 2t + 4) t 2 | El desarrollo de este producto, ser entonces: 432 Q(t) |R(t) S (t)| = | t | (3t 3 + 6t 2 + 2t + 4) = 3t+ 6t+ 2t+ 4t t 2 |t 2 Elanteriorpuedetomarsecomoelresultado,sinembargouna factorizacin del numerador puede mostrarnos un resultado ms elegante: 3t 4+ 6t 3 + 2t 2+ 4t Q(t) |R(t ) S (t )| = t 2 EJEMPLO48.Definiendolasmismasfuncionesqueenelejemplo anterior(45), ser cierto queQ(t)|R(t) S (t)| = |Q(t) R(t)| S (t) ? Comoyasehadesarrollado laparteizquierdadelaigualdadsugerida, procedemosadesarrollarlapartederecha.Igualqueeldesarrollodel ejemplo anterior, primeramente desarrollamos elproducto indicado enel parntesis: |Q(t) R(t)| = |t | (3t 2 + 2) t 2 | El desarrollo de este producto es: |Q(t) R(t)| = |t | (3t 2 + 2) = 3t + 2t t 2 |t 2 Ahora bien, retomando el producto completo, podemos expresarlo como | 3t 3 + 2t | Q(t) R(t)S (t) = | t + 2 \ t 2 . 47 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 Queunavezdesarrollandoyagrupandosustrminossemejantes,nos proporciona el resultado: 3t 4 + 6t 3 + 2t 2 + 4t |Q(t) R(t)| S (t) = t 2 Al igual que en el ejercicio anterior, se puede expresar su resultado de una manera simplificada como factores del numerador, quedando finalmente: 3t 4 + 6t 3 + 2t 2 + 4t |Q(t) R(t )| S (t) = t 2 Comopuedeobservarse, esteresultado eselmismoqueeldelejercicio anterior, lo cual nos lleva a afirmar que Q(t)|R(t) S (t)| = |Q(t) R(t)|S (t) EJEMPLO49.Esposiblerealizarelproductode P( y) = 2 y2 5 y + 8 G( x) = 3x + 8 y 6 Comopuedeobservarse,cadaunadelasfuncionesestdefinidapara diferentes variables. Como el producto de funciones est definido como G(x) P(x)= (G P )( x ) Entonces no es posible el producto como operacin definida, pues: G(x) P( y) = (G P)( x ) = (G P)( y ) Cociente o divisin de funciones EJEMPLO50.Dadaslasfunciones f ( x) f (x) = 2x + 6yg(x)= 2x2 + 8x 2 ; calcular:R( x) =. g ( x) Lo primero que debe realizarse, es la sustitucin de los valores de las funciones en el cociente propiamente dicho. Esto se expresa: R( x) = f ( x) = g ( x) 2x + 6 2x2+ 8x 2 Estepuedeseryaelresultadodeladivisin,sinembargo,una manipulacin algebraica puede exhibir un resultado ms sintetizado: 48 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 f ( x)2x + 6 (2) ( x + 3) x + 3 R( x) ==== g ( x)2x2+ 8x 2 (2) (1x2+ 4x 1) 1x2+ 4x 1 De esta manera, tendremos como resultado final: R( x) = x + 3 x2 + 4x 1 2x 3 7 x + 1 EJEMPLO51.Deacuerdoalasfunciones v( x) v( x) =y 8 w( x) = 6 x Desarrollar: w( x) Sustituyendoelvalordecadaunadelasfuncionesenelcociente, podemos comenzar el desarrollo de la misma. De esta manera: 2x 3 v( x)= 2x 3 7 x + 1 = 8w( x)86 x 7 x + 1 6 x Como puede observarse, realizar esta operacin conlleva aladivisin a su vez de dos cocientes. Esta operacin puede realizarse con el mtodo de losproductoscruzados,obien,unavezacomodadosenundivisor principal, realizando la ley de la herradora. A continuacin se muestra cada uno de los desarrollos dentro de la igualdad: v( x) = 2x 3 7 x +1 = w( x)86 x 2x 3 (2x 3) (6 x ) (8) (7 x +1) v( x) = 8= (2x 3) (6 x ) w( x) 7 x + 1 6 x (8) (7 x + 1) Deestamanera,desarrollandoelproductodenumeradorydenominador independientemente del mtodo escogido, tendremos: v( x) w(x) (2x 3) (6 x ) = = (8) (7 x +1) 12x 2x2 18 + 3x 56x + 8 Agrupando trminos semejantes nos dara como resultado final: v( x) 2x2 +15x 18 = w( x)56x + 8 Nohayqueperderdevistaqueeneldesarrollodelasdivisionesy multiplicaciones,sedebenconsiderarlossignosparaaplicar 49 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 precisamente la ley de los signos. Para el presente ejemplo, el resultado (que es un cociente) tiene un signo negativo, pues al haber dividido una funcinpositivaconunanegativa,lafuncinresultanteesnegativa. Podemosademsexpresarelresultadosinelsignonegativo,estoes: aplicandoelsignoalnumeradoroaldenominadordelafuncin resultante, es decir: v( x) 2x2+ 15x 18 (2x2+ 15x 18) +2x215x + 18 = == w( x)56x + 856x + 856x + 8 v(x) 2x2 +15x 18 2x2 +15x 18 2x2 +15x 18 = == w( x)56x + 8 (56x + 8)56x 8 En ambos casos anteriores, el resultado es el mismo. EJEMPLO52.Definiendolasfuncionessiguientes: Q(t ) = t t + 2 , R(t ) = t + 2 t realizar el cociente U (t ) = Q(t ) R(t ) Elcociente quesepide,aligual que enloscasosanterioresse desarrollasustituyendolosvaloresdecada una delasfuncionesy realizando las operaciones indicadas. Para este caso, podemos escribir: t Q(t ) t+ 2 (t ) (t )t 2 U(t )= =t+2= = R(t )t (t +2) (t +2) (t +2)2 EJEMPLO 53. Es cierto que f( x ) = 1 ? Considere f( x ) f( x ) = 5x2 + 1 Comopuedeobservarse,desarrollarestadivisinpuedellevarnosal resultado trivial de la unidad, por lo que para justificarlo, sustituimos el valor propuesto en la divisin para corroborarlo. As escribimos: f ( x ) f ( x ) = 5x + 1 = 1 5x + 1 EJEMPLO 54. Es posible realizar el cociente deG(x)= 5x2+ 8y P(x) = 0 ? Esta divisin no es aritmticamente posible, puesto que cualquier nmero ovariable(incluyendoalcero),nopuedeserdivididoentreceroy 50 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 = ? darnos un resultado posible. Aunque en teora este resultado es infinito (ounnmero muygrande),elnmeroinfinitonoestdefinido. Simplemente: el infinito puede ser un uno con noventa y nueve ceros, o un unocon cienceros. Hayalguna diferenciaoambas cantidadesson iguales? f( x ) 0 Potencia de funciones EJEMPLO 55. Elevar a la potencia 3 la funcin:f ( x)= 3x + 2 Elevar a una potencia equivale a multiplicar por ella misma el nmero de vecesquelapotencialoindique.Paraestecaso,elevaralcuboesta funcin equivale a multiplicarla por si misma tres veces, es decir: ( f (x))3= (3x + 2)3 El desarrollo de este producto equivale a realizar el producto: (3x + 2)3= (3x + 2) (3x + 2)(3x + 2) Para llevar un proceso similar al del producto (que ya hemos descrito), la potenciacin puede realizarse primeramente con el producto de 2 de los factores y el resultado de nueva cuenta por el factor mismo; es decir: (3x + 2)3= (3x + 2)(3x + 2)( (3x + 2) = (9x2+12x + 4)(3x + 2) El desarrollo de estos dos nuevos factores ser entonces: (9x2+12x + 4)(3x + 2) = 27x3+ 54x2+ 36x + 8 Teniendo entonces como resultado: ( f (x))3= 27x3 + 54x2 + 36x + 8 EJEMPLO 56. Realizar la operacin: p( x) = ( w(x))2 , definiendow( x) = x + 1 2 De manera similar que en el ejemplo anterior, definimos la potencia como elproductodelamismafuncindosvecesparaestaocasin.Enotras palabras: 51 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 2 p( x) = | x + 1 | = | x + 1 | | x + 1 | 2 | 2 |2 | \.\. \. Considerando quelafuncintienesignonegativo,elproductoconsidera lasleyes delossignos, locualnosdardeentrada unsigno positivo (dadoquemenospormenosesms).Siendolafuncinunafraccin,el productoserealizaigualqueloindicaelproductodenmeros racionales:numeradorpornumeradorydenominadorpordenominador.De esta forma tendremos: p( x) = | x + 1 | | | x + 1 | | = ( x + 1) ( x + 1) \2 . \2 .(2) (2) Teniendo como resultado final: ( x + 1)2 p( x) == (2)2 x2 + 2x + 1 4 EJEMPLO 57. Cul ser el resultado de la siguiente operacin: y = ((3t + 2)2 )3 ? Estapotenciacin esenrealidadunapotenciadeotra,paralocualel procesoparaundesarrollomenoslaborioso,consisteprimeramenteen desarrollar la potencia de la potencia. Esto se hace recordando la regla algebraica para tal fin, la cual nos dice: ( xa )b= xab De manera que para este caso, podemos aplicar esta regla para simplificar el desarrollo en una sola potencia, es decir: y = ((3t + 2)2 )3= (3t + 2)23 y = (3t + 2)6 El desarrollo ahora de la potencia del binomio puede realizarse por pares para optimizar un poco los clculos. As entonces: y = (3t + 2)6= (3t + 2)2 (3t + 2)2 (3t + 2)2 Cada cuadrado sera: (3t + 2)2= 9t 2 +12t + 4 52 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 1 () 1 ? Demaneraqueelproductodelosdosprimeroscuadradospuede reescribirse como (9t 2 +12t + 4)(9t 2 +12t + 4) = (81t 4 + 216t 3 + 216t 2 + 96t +16) Ysitomamoslosdosprimeros factoresyadesarrollados, solorestara multiplicar este resultado por el ltimo cuadrado, es decir: y = (9t 2 +12t + 4)(81t 4 + 216t3+ 216t 2 + 96t +16) Que finalmente nos dar como resultado y = 729t 6+ 2916t5 + 4860t 4+ 4320t 3 + 2160t 2+ 576t+ 64 EJEMPLO 58. Cul ser el resultado de la siguiente operacin: f ( x ) = ((5x2+ 1)2 )2 Siguiendoconlametodologadescritaenelejercicioanterior,elevar esta potencia de un binomio al cuadrado y esa a su vez a la potencia de un medio (1/2), puede desarrollarse como 1 12 f ( x ) =(5x2+ 1)22= (5x2+ 1)2 2= (5x2+ 1)2= (5x2+ 1)1= 5x2 + 1 Es decir, el resultado es la misma base f ( x ) = ((5x2+ 1)2 )2= 5x2 +1 EJEMPLO59.Esposibleexpresardemaneradistintalafuncin G(x) = (sin x )2 ? Esta expresin es una conocida identidad, expresada como (sin x)2= sin2x = 1 cos2x Por lo que la expresin puede expresarse como G(x)= sin2x = 1 cos2x 53 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 Inversin de funciones EJEMPLO 60.Invertir la funcin:f ( x)= 3x + 2 Para invertir esta u otra funcin, es necesario primero igualarla a y, es decir: f (x)=y= 3x + 2 El siguiente paso es despejar la funcin para que esta quede en funcin de x, lo cual nos resultara para nuestro caso: y = 3x + 2 x = y 2 3 Luego, debe de hacerse un cambio de variable, es decir: intercambiar las variables que para nuestro caso, son x y y. De esta forma tenemos que x = y 2 3 y = x 2 3 f ( x) = x 2 3 Este concepto puede verificarse con los trazos grficos: Como puede observarse, estas dos funciones son una la imagen de la otra, obien,trazandolafuncin y =f (x)=x ,(lacualesunarectade45o) esta sirve como un espejo que refleja ambas funciones. Ejemplo 61. Encontrar la funcin inversa de w( x) = x + 1 2 Similarmente al ejemplo anterior, la inversin de esta funcin se logra primeramente igualando la funcin a la variable y: 54 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 w( x) =y = x + 1 2 Despus, despejamos la variable x: y = x + 1 , 2 x = 2 y 1 Por ltimo, cambiamos las variables: y= 2x1 Quenosexhibefinalmentelafuncininversa.Podemosvisualizarlo con las grficas de ambas ecuaciones: EJEMPLO 62. Definida la funcin:y =f ( x) =x31 , Cul ser el resultado de la operacin:z =f 1 (x) ? La funcinf (x) = x31 se invierte siguiendo las descripciones anteriores, primeramente igualando la funcin con la variable y: y = x31 Ahora, despejando la variable x, tendremos: x = 3y +1 Finalmente, intercambiando variables: y = 3x +1 55 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 Que sera la funcin inversa, pudiendo entonces escribir: f 1 (x) = 3x +1 , z = 3x +1 La grfica de esta funcin puede bien mostrar esta inversin: Ejemplo 63. Cul es la funcin inversa de la funcin: g ( x ) = 2 ? x 3 Siguiendoconlametodologadescrita entodosycadaunodelos ejerciciosanteriores,elprimerpasoesigualarlafuncinauna variable distinta: g ( x ) = h = 2 x 3 Despus, se despeja la funcin dependiente: x = 3h + 2 h Y finalmente, se intercambian las variables: h = 3x + 2 x Ahora bien, para la funcin original y para la funcin invertida, debemos de considerar que existen restricciones: la funcin no estar definida en ciertos valores de x. Por ejemplo, la funcin original no est definida six = 3 , puesto que este valor har que el denominador tenga como valor elceroycomoserecordar,ladivisinentreceroesunaoperacin aritmtica no definida. Por otro lado, la funcin h, tiene como numerador directamente a la variable independiente, es decir, cuando la variable x valecero,lafuncinnoestdefinida.Podemosobservarestas condiciones en un bosquejo de la grfica de ambas funciones: 56 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 Ejemplo 64. Es posible invertir la funcinG( x)= sin(x)? Lafuncinsin(x),enelmomentodeserigualadaalafuncinynos proporciona la funcin seno, es decir: y = sin( x) Ahora bien, despejando la variable x de esta funcin, tendremos que x = sin1 ( y) Intercambiando las variables, tendremos: y = sin1 ( x) Lacualpordefinicinesunafuncinquesoloestdefinidaenlos valoresde t r hasta t r ;porlotantoestafuncintieneunrango diferenteasufuncinoriginal,loquepordefinicinconvierteala funcin original sin(x) en una funcin que no es invertible. La siguiente figura muestra la inversin de los valores descritos 57 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 Composicin de funciones La composicin de funciones esotra operacin entrefunciones que sebase enaplicar unafuncinenotraenunordendeterminado,dichoresultadoestambinuna funcin18,19. Dadas dos funcionesy, se llama funcin compuestaala funcin definida de la siguiente forma: Se lee:o tambin g f Eldominio deeselconjunto detodadeldominio de,talqueestenel dominio de . La funcin composicin tiene las siguientes propiedades: (asociativa) (no es conmutativa) Ejemplo65.Dadaslasfuncionesy,determinar . () () () () Ejemplo66.Dadaslasfuncionesy,determinar: . () 14 58 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 () () Ejemplo67.Determinarparalassiguientesfunciones . ( ) Ejemplo 68. Determinarpara las siguientes funciones: . Ejemplo69.Determinarparalassiguientesfunciones: . () () () () () () Ejemplo70.Determinarparalassiguientesfunciones: . ( )( ) 59 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 Ejemplo 71. Determinar, dada. Ejemplo 72. Determinar, dada. 1.5. Discusin de ecuaciones Discutir unaecuacin algebraica representada porunaexpresin endosvariables de formaf ( x, y) =0, significa analizar algunos pasos que nos permitan conocer aspectos importantes de laecuacin yconesto poder trazar sugrfica conalguna precisin de una manera relativamente sencilla. Los pasos por analizar los pondremos en forma de listado como sigue20: 1.Extensin. 2.Intersecciones: con el eje X y con el eje Y. 3.Simetras: con eleje X, con el eje Y, con el origen de coordenadas. 4.Asntotas: horizontales y verticales. 5.Tabulacin. 6.Grfica. Expliquemos cada paso: 1.Extensin: La extensin de una curva f ( x, y) =0, trata la determinacin de los intervalos devariacin para loscuales losvalores dexyysonvalores reales, estonosayudaparalalocalizacindelacurvaenelplanocoordenadoy adems, poder saber si se trata de una curva cerrada o de extensin indefinida. Losintervalos devariacinsedeterminan despejandoyentrminosdex,y luego despejando x en trminos de y, determinando as el dominio y el rango de la ecuacinf ( x, y) =0. 2.Intersecciones: Con el eje X y con el eje Y. Recordando que todo punto que se localice sobre el eje X tiene coordenadas ( x ,0) dondex, y todo punto sobre el eje Y tiene coordenadas ( y ,0) donde y, recordar que esto nos permite obtener las intersecciones de la grfica de la ecuacin con los ejes coordenados, procediendo como sigue: a)Con el eje X: en la ecuacin dada, sustityase 0 (cero) en la variable y, y resulvase para x. b)ConelejeY:enlaecuacindada,sustityase0enlavariablexy resulvase para y 60 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 Esconvenienteaclararquealgunasecuacionespuedenteneruno, varios, o ningn punto de interseccin con los ejes. 3.Simetra: Con eleje X,con el eje Y,con el origen de coordenadas. Una curva es simtrica respecto a una lnea recta, si cada punto de la curva tiene su simtrico con respecto a la recta. Con el eje X: si en la ecuacin dada (la original) se sustituye la y por la y, y esta no cambia respecto a la original, entonces la curva dada es simtrica respecto al eje X, si cambia,entoncesnohaysimetraconelejeX(yaquelospuntosdecoordenadas ( x, y)y( x, y) conx , yson simtricos respecto al eje X. Con el eje Y: si en la ecuacin dada (la original) se sustituye la x por la -x y esta no cambia respecto a la original, entonces la curva dada es simtrica respecto al eje Y, si cambia,entoncesnohaysimetraconelejeY(yaquelospuntosdecoordenadas ( x, y)y(x,y) conx , yson simtricos respecto al eje Y. Con elorigen de coordenadas: sien la ecuacin dada (la original) se sustituye la x por la -x y la y por la y, y esta no cambia respecto a la original, entonces la curva dadaessimtricarespectoalorigendecoordenadas,sicambia,entoncesnohay simetra respecto al origen (ya que los puntos de coordenadas( x, y) yson simtricos con respecto al origen de coordenadas). y(x, y) conx , Cuando hay simetra respecto a los dos ejes, tambin habr simetra respecto al origen y hay que investigarlo. 4.Asntotas: horizontales,verticales. -Si la distanciadentre un puntoPque se mueve a lo largo de una curva respecto a una lnea recta, se hace cada vez ms pequea sin que llegue a tocar la recta, dicha recta es asntota de la curva. 61 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 Trataremosalgunasreglasparadeterminarasntotascuandosetieneecuaciones algebraicas de la forma;donde f ( x) y g ( x) son polinomios en x distintos de cero, tienen asntotas horizontales y verticales21. 1aRegla:Silospolinomiosysondeigualgrado,alefectuarla divisin,el cocientekes la asntota horizontal, e igualando a cero el polinomiodeldenominadoryresolviendoparax,seobtendrnlas asntotas verticales: f( x ) g ( x ) = k + r ( x ) g ( x ) 2aRegla:Sielpolinomiodelnumerador f ( x)esdemenorgradoqueeldel polinomiodeldenominadorg ( x) ,laasntotahorizontaleseleje xcuya ecuacin esy = 0 , e igualando a cero el polinomio del denominadorg( x) = 0 y resolviendo parax , se obtendrn las asntotas verticales. 3aRegla:Sielpolinomio delnumeradorf ( x)esdegradomayorqueeldel polinomiodeldenominadorg ( x) ,entoncesnoexisteasntotahorizontalo sern de otra forma. En lo que respecta a las asntotas verticales si las hay, su tratamiento es similar a las reglas anteriores. 5.Tabulacin:Paralatabulacindedatosserealizarandeacuerdoconlos valores del dominio y rango. 6.Grfica:Contodalainformacinobtenidaenlos5puntosanteriores,se procede a graficar la ecuacin original. EJEMPLO 73. Discutir; 1. Extensin. Despejandoy en trminos de x se tiene: y = 3x + 6 . 2 Despejando xen trminos de y se tiene: x = 2 y 6 . 3 Los valores permisiblesson: Dominio = (, ). Rango = (, ). 2. Interseccin. Con el eje Y: Si x = 0 ; y = 3(0) + 6 = 6 = 3 ; en 22 y = 3; P1 (0, 3). 62 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 Con el eje X: Siy = 0 ; x = 2(0) 6 = 6 = 2 ; en ; P2 (2, 0) 33 3. Simetras. Con el eje X: Sustituyendo en la ecuacin original la se tiene: y = 3x + 6 2 3x + 6 y = Cambi respecto alaecuacin original,nohay 2 simetra con el eje X. Con el eje Y: ; y = 3( x) + 6 2 y = 3x + 6 Cambirespectoalaecuacinoriginal,nohay 2 simetra con el eje Y. Con el origen de coordenadas:, y = 3x + 6 . 2 y = 3x 6 Cambi, no hay simetra con el origen. 2 4. Asntotas: Horizontales: No hay asntota. Verticales: No hay asntota 5. Tabulacin. De acuerdo con el dominio, se dan los siguientes valores para x: x-5-2-112 y1.835-3-1 6. Grfica. 63 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 {1,1} EJEMPLO 74. Discutir; 1. Extensin. Despejando y en trminos de x se tiene: y(x21) = x ;y = x x21 Igualando a cero el denominador: Factorizando:( x 1) ( x +1) = 0 x21 = 0 Igualando a cero cada factor: x 1 = 0 ;x = 1 x +1 = 0 ; Dominio = = (, 1)( 1,1)(1, ) 2. Interseccin. x = 1 Con el eje Y: Si

x x = 0 ; x = 0 y = 0 (0)21 ; P1 (0, 0) Con el eje X: Siy = 0 ;0 =; x21 ; P1 (0, 0) 3. Simetras. ConelejeX.Sustituyendoenlaecuacinoriginallase tiene: y = x x21 cambirespectoalaecuacinoriginal,luegonohay simetra con el eje X. Con el eje Y: ; y = x ( x )21 y = x x21 Cambirespectoalaecuacinoriginal,luegonohay simetra con el eje Y. Con el origen de coordenadas:, y = y = x x21 x ; No cambi, s hay simetra con el origen. x21 Asntotas. Horizontales: PorlasegundaRegla,laasntotahorizontalesel eje X. 64 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 y = 0,es la ecuacin de la asntota horizontal. Verticales: Igualando a cero el denominadorx21 = 0 ; factorizando: ( x 1) ( x +1) = 0 ;x 1 = 0 ; x = 1 x +1 = 0 ; x = 1 Las ecuacionesx = 1 yx = 1 son las asntotas verticales. 4. Tabulacin. De acuerdo con el dominio, se dan los siguientes valores para x: x-3-1.1-0.900.91.53 y-0.38-5.244.740-4.741.20.38 5. Grfica. EJEMPLO 75. Discutir; 1. Extensin. Despejando y en trminos de x se tiene: y = 25 x2 . Es necesario para que y tenga un valor dentro de los reales, quex2s 255 s x s 5 . Valoresqueseencuentrenfuera,entre-5y5propiciaran soluciones complejas, por lo tanto el dominio de la ecuacin es: Dominio = |5, 5| Despejando xentrminos deysetiene: x = 25 y2 . Esnecesario paraquextengaunvalordentrodelosreales,que 5 sy s 5 . Anlogo a lo anterior el rango de la ecuacin es: Rango = |5, 5| Interseccin. y2s 25 Con el eje Y: Six = 0 ; y =25 (0)2; eny = 5 ; 65 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 Con el eje X: Si P3 (5, 0) P4 (5, 0) 2. Simetras. y = 0 ;x =25 (0)2; en , Con el eje X:Sustituyendo en la ecuacin original la se tiene: y = 25 x2 . y = 25 x2;alresolverlaecuacintendremosdossoluciones delmismovalorperoconsignoscontrariosporloqueal multiplicarlosporelsignomenos,losresultadossernlos mismos, por lo que si haysimetra con el eje X Con el eje Y:; x = 25 y2 . x = 25 y2Anlogo a lo anterior, tambin hay simetra con el eje Y. Con el origen de coordenadas:, y = 3. Asntotas. 25 (x)2y = 25 (x)2 s hay simetra con el origen. Horizontales: No hay asntotas. Verticales: No hay asntotas. 4. Tabulacin. De acuerdo con el dominio, se dan los siguientes valores para x: x-5-2025 y0 4.5854.58 0 5. Grfica. 66 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 () EJEMPLO 76. Discutir: x212x+ 4 y +12= 0 1. Extensin. ( x212x + 12) Despejando y en trminos de x se tiene: y =. 4 Dominio = (, ). Despejando x en trminos de y se tiene: completando el cuadrado de laecuacin: ( x 6)2= 4 y 24 ; x2+12x= 4 y +12 ; x2+12x 36 = 4 y +12 36 ; x =24 4 y + 6 . Podemosobservar quelostrminos delarazresultan negativos cuandoy > 6 , por lo que el rango de la ecuacin es: Rango = (, 6|. 2. Interseccin. Con el eje Y:Si ( x212x + 12) x = 0 ; y =; en y=-3; P30, 3. Con el 4 eje X: Siy = 0 ;x =24 4 y + 6 ; enx = 1.1 ;x = 10.89 P1 (1.1, 0) P2 (10.89, 0) 3. Simetras. Con el eje X:Sustituyendo en la ecuacin original lase () tiene: ( x212x + 12) y =;Cambirespecto alaecuacin original,no 4 hay simetra con el eje X. Con el eje Y:; x =24 4 y + 6 x =24 + 4 y + 6 ; cambi respecto a la ecuacin original,no hay simetra con el eje Y. Con el origen de coordenadas:, y = ( x212( x) + 12) 4 ( x2+ 12x + 12) y =cambi, no hay simetra con el origen. 4 67 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 {0} = 4. Asntotas. Horizontales: No hay asntotas. Verticales: No hay asntotas. 5. Tabulacin. De acuerdo con el dominio, se dan los siguientes valores para x : x-401.15.510.891316 y-19-305.930-6.25-19 6. Grfica. EJEMPLO 77.Discutir; 1. Extensin. Despejando y en trminos dex se tiene: y = x 4 . x Igualando a cero el denominador:x= 0. Los valores permisibles para son todos los reales excepto cero. Dominio=(, 0)(0, ). 2. Interseccin. Con el eje Y: Si ; x = 0 ; y = 0 4 ;No hay. Con eleje X: Si 0 y = 0 3. Simetras. ConelejeX:Sustituyendoenlaecuacinoriginalsetiene y = x 4 x cambi, no haysimetra con el eje X. 68 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 Con el ejeY: sustituimos y por y;y = x 4 x y = x + 4 x cambi respecto a la ecuacin original, no hay simetra con el eje Y. Con el origen de coordenadas:, y = x + 4 x 4. Asntotas. cambi, no hay simetra con el origen. Horizontales: Por la primera regla, haciendo la divisin: y = x 4 = 1 4 xx y = 1es la ecuacin de la asntota horizontal. Verticales: Igualando acero eldenominador de la asntota vertical (es el eje Y). x = 0 ;eslaecuacin 5. Tabulacin. De acuerdo con el dominio, se dan los siguientes valores para x: x-5-2-112 y1.835-3-1 6. Grfica. EJEMPLO 78.Discutir: 69 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 {0} =

1. Extensin. Despejando y en trminos de x se tiene: y = 328 27 ; obsrvese que x los trminos de la raz se hacen infinitos cuandox = 0 ; por lo que Dominio=(, 0)(0, ). 28 Despejando xen trminos de y se tiene:x =. y3 + 27 Ntese que la expresin se vuelve infinita cuando el denominador de la ecuacin sea cero y para que esto suceda, el valor deydebe ser -3, por lo que el rango nos queda: rango = (, 3)(3, ). 2. Interseccin. Con el eje Y: Si con el eje Y. x = 0 ; y = 328 27 ; en; no hay interseccin 0 Con el eje X: Si y = 0 ; x = 28 ; en x=1.03; (0)3 + 27 P1 (1.03, 0). 3. Simetras. Con el eje X: Sustituyendo en la ecuacin original La se tiene: y = 3 28 27 x y = 3 28 27 x ; Cambi respecto a la ecuacin original,no hay simetra con el eje X. por Con el ejeY: x x ; x = 28 y3 + 27 x = 28 y3 + 27 ;Cambirespectoalaecuacinoriginal,nohay simetra con el eje Y. Con el origen de coordenadas:, y = 3 y = 3 28 27 x 28 27 x cambi, no hay simetra con el origen. 4. Asntotas. 70 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 Horizontales:PorlaprimeraRegla,partiendodelaecuacin: y3= 27 + 28, x y3= 27 ; y = 3 es la ecuacin de la asntota horizontal. Verticales: Igualando acero eldenominador de la asntota vertical (es el eje Y) x = 0 ;eslaecuacin 5. Tabulacin. De acuerdo con el dominio, se dan los siguientes valores para x: x-2-1-0.50.51.03724 y-3.44-3.8-4.363.070-2.35-2.71 6. Grfica. 1.6. Modelacin de funciones. Ejemplo 79. Un terreno rectangular tiene un permetro de 80 m. Se desea expresar el rea en funcin de uno del lado ms largo (base). Un buen comienzo para el planteamiento de este problema, es realizar un dibujo que represente lo ms posible al problema planteado, con todas las representaciones de sus variables. De esta manera, podemos expresar en un bosquejo un dibujo como el siguiente: 71 ALEP-2011[Anlisis derivativo de funciones] CON Deacuerdoalafigura,podemosexpresarelreadelrectnguloen funcin de la base o de la altura, es decir: A(b, h) = b h Por otro lado, un clculo que puede ser tambin til es la funcin del permetro, que se escribira: P(b, h) = (b + b) + (h + h) = 2b + 2h Comoconocemoselvalordelpermetro,podemossustituirloenla expresin anterior de manera que P(b, h) = 80m = 2b + 2h Que podemos expresar como 80m= 2b + 2h Esta es ya una ecuacin, pues sus valores estn en funcin de un valor en particular, de hecho, puede expresarse de manera ms sintetizada como 40m= b + h Podemos despejar de esta ecuacin, la variable altura (h), para de esta manera tener la ecuacin en funcin de la base (b), es decir: h = 40m b Sustituyendo esta variable en la funcin del rea tendremos: A(b, h) = b h = b (40m b) Lo cual nos deja una expresin en funcin de una sola variable: A(b) = b (40m b) = (40m)(b) b2 Y que es la funcin pedida. EJEMPLO 80.Cmosepuedeexpresar elreadeuntringulo equiltero como funcin de la longitud x de uno de sus lados? 72 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 tringulos rectngulo en los qu Aligualqueenelproblemaanterior,unbuencomienzopuedeseruna representacin del problema. As, un dibujo del tringulo ayudara: Comopuede observarse,lafigura muestra larepresentacindeun tringuloequiltero,estoes,concadaunodesusladosiguales.La altura de esta parte de la mitad del lado considerado como base (por ser untringulorectngulo),deahquelabasesedivideendospartes iguales a partir de la altura, que es una recta perpendicular a la base. Comenzandoconelanlisis delafigura,tenemosqueelreadel rectngulo ser: A (b, h ) = b h 2 Comosabemos,labasepuedesustituirseporelvalordelabase,es decir: A ( x, h) = ( x ) (h) 2 Por lo que puede observarse, debemos encontrar una expresin que vincule lavariable hconlavariable x.Unamanera deexpresar loanterior es considerando uno de losesehadividido el tringulo rectngulo: 73 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 2 | 2 x 2 = 2 2 Eneltringulomencionado,podemosexpresarqueporteoremade Pitgoras: x2= (h)2+ | x | \. Despejando la variable h: | x | h | \. Queesunafrmulaquecontienesolamentealavariablex.Portanto, podemossustituirestafrmulaenlafuncinqueexpresaelreadel tringulo: | 2| || ( x )

x2 x || \ 2 .| A ( x ) = \ . 2 Que es la frmula pedida. Ejemplo 81.Unapistadeatletismo tiene400mdelongitud, ysufigura est compuesta por dos lados paralelos y dos semicrculos. Encuentra una funcin que exprese el rea encerrada en la pista en funcin del radio de los semicrculos. Lafiguraquerepresentaelproblemapropuestopuedesercomola siguiente: Siobservamos,elreacontenidaporelpermetrodelapistapuede dividirse en tres partes: dos semicrculos y un rectngulo. La siguiente figuramuestraestasreas,elreallamadaA1comoelreadel rectngulo y el rea A2 y A3 como las reas de los semicrculos, que por cierto, son iguales. 74 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 (( ) ) El rea del rectngulo puede calcularse como A1 = b h = (a ) (2r ) El rea de cada uno de los semicrculos ser: | t r 2 || t r 2 | A2 + A3 = | + | \ 2 .\ 2 . Y el rea total de la figura ser: A1 + A2 + A3 = (a 2r ) + | t r 2 || t r 2 | + 2 | 2 | \.\. Porotrolado,considerando elpermetro totaldelafigura,tendremos que ser la suma del permetro de cada una de las dos semicircunferencias (t r ) y las bases del rectngulo(a): P = (t r ) + (t r ) + (a ) + (a ) = 2(t r + a) Comoconocemos elvalornumrico delpermetro queesde400m,podemos sustituirlo en esta ecuacin: P = 400 = 2(t r a) Despejamoslavariablea,elreadecadaunodelossemicrculosen funcin del radio ser: a = 200 t r Por lo tanto, considerar esta frmula para el clculo de la variable a o lado de la figura puede ser sustituida en la frmula del rea total: 2222 A1 + A2 + A3 = (a 2 r ) + | t r || t r + || t r =200 t r 2 r +|| t r | + 2 | 2 | 2 | 2 | \.\.\.\. Elreatotalestar entonces enfuncindel radiodelas semicircunferencias,porloqueagrupandotrminosy reduciendola expresin tendremos: At(r) = r (t r 400) Que sera la funcin pedida. Ejemplo 82. Se desea fabricar una caja sin tapa con una lmina de cartn cuadrada cuyos lados midan 12cm. Encontrar una expresin del volumen que contendrlacajaenfuncindecuatrorecortescuadradosquese realizarn en cada una de las esquinas. 75 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 como se muestra en la siguiente figura Undibujoquerepresente elplanteamiento deltextoanterior puedeser similar al siguiente: Comopuedeobservarse, lahojadecartntienelosrecortes descritos, por lo que una funcin que nos indique la base de la caja se expresara como b(x) = (12cm 2x)(12cm 2x ) Puesto que el cuadro que hara las veces de base tiene como lado el valor de 12cm 2x , : Como puede observarse, el valor de la altura de la caja ser entonces de x,porloqueelvolumentotaldelacajapuedeexpresarsecomoel producto de la base por la altura, es decir: b(x) h(x) = (12cm 2x)(12cm 2x)( x ) Desarrollando el producto y agrupando trminos semejantes, tendramos: V (x) = 4x ( x 6cm)2 Que es la funcin pedida. 76 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 Ejemplo 83. Un pueblo se encuentra a 3km de distancia de un ro. En una sesindesimulacro,sepretendiqueunbosqueseincendiabaauna distancia de 2km del mismo ro. La distancia sobre el ro que separa al pueblo del bosque es de 6km (vase la figura). Los bomberos matemticos quieren representar una funcin que represente la distancia sobre el ro paraenunmomentodado,calculareltrayectomscortoparairdel pueblo al ro y despus al bosque22. Una suposicin que puede ubicar una mejorsolucin para el problema, es suponerun puntosobreelro,elcualserlaposicindemenor distanciadelrecorrido.Estopuedebosquejarse,puedesercomola siguiente: Como puede observarse, el punto x representa la distancia entre los dos pueblos en donde puede ser mnima funcin de la distancia total. Por otro lado,ladistanciaquehanderecorrerlosbomberos desdeelpuebloal ro y luego al bosque (o incluso en orden inverso) se calcula con la suma delostrayectos quehanderecorrer; estoesdeacuerdo aldibujo: el segmento A ms el segmento B. D(x)=A(x) + B( x) El segmento A puede ser expresado comoA(x) = (3Km)2+ ( x )2 Y el segmento B:B(x) = (2Km)2+ (6Km x)2 77 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 Por lo que la suma de ambas funciones sera: D(x) = A(x) + B(x) = ((3Km)2+ ( x)2 ) + ((2Km)2+ (6Km x )2 ) Que una vez desarrollando y agrupando trminos semejantes, obtendramos: D(x) = 2x2 (12x) Km + (49) Km2 . 78 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 1.7. Problemario 1. Determinar las variables independientes y las dependientes, as como las constantes que intervienen en cada una de las situaciones que se indican a continuacin: 1.1. El rea de un tringulo se determina utilizando la frmula 1.2. El rea de un crculo es a travs de la frmula 1.3.Aciertotrabajadorselepagaporelnmerodehorastrabajadas.Elcostopor hora para dicho trabajador es de $80.00, por lo que su pago se determina mediante la ecuacin, siendo n el nmero total de horas trabajadas. 1.4. La energa cintica de un cuerpo es la energa que dicho cuerpo tiene debido a su movimiento, lacualdepende sumasaydesuvelocidad deacuerdosonlasiguiente frmula: 1.5. En geometra analtica se demuestra que la ecuacin que determina una parbola est definida como 1.6.La ecuacin que define la posicin en un instante de tiempo t, de un cuerpo que se mueve con una velocidad inicialy con una aceleracin constante a es: 1.7. Cuando un cuerpo se ve afectado por un cambio de temperatura,sepueden presentardilatacionesocontracciones,demaneraqueladeformacinlinealse puedecalcularconlafrmula,dondeLrepresentalalongitudinicialdel cuerpo yoes el coeficiente de dilatacin lineal que caracteriza al material del cuerpo. 1.8.LaLeydeOhmnospermitedeterminarlacorrienteatravsdeunconductor mediante la frmula, en la que V representa el voltaje aplicado y R la resistencia elctrica. 1.9. Para describir el crecimiento de bacterias en un cultivo, se tiene, donde A se conoce como factor de crecimiento y k tasa de crecimiento y ambos son positivos. 1.10. LacantidaddeaguacontenidaenuntinacocilndricoV,sepuedecalcular conociendoeldimetroDyelniveldeaguamedidodesdelabasehmediante: 2. Obtener el producto cartesiano de los siguientes conjuntos: 2.1.{ y{ 2.2. { y{ 79 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 2.3.{y{ 2.4.{y{ 2.5.{y{ 3. Determinar si los siguientes conjuntos corresponden a funciones o relaciones: 3.1.{ 3.2.{ 3.3.{ 3.4.{ 3.5.{( ) ( ) ( ) () 4. Determinar si las siguientes grficas corresponden a funciones o relaciones: 4.1.4.2. 4.3.4.4. 4.5.4.6. 80 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 4.7.4.8. 4.9.4.10. 5. Evaluar las siguientes funciones: 5.1.para 5.2.para 5.3.para 5.4.para 5.5. para 5.6.para() 5.7.para( ) 5.8.para 5.9.para 5.10. para ( )() 6. Identificar si las funciones siguientes son de tipo algebraica o trascendente: 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 81 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 () 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. 6.10. 7. Determinar si las funciones siguientes son pares, impares o ninguna de las dos: 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9. 7.10. 8. Dadas las siguientes funciones, realizar las sumas propuestas: 1 r( x) = x + 2 2 ( 2 , v( x) = sin ( x + t ) , 2x2 2x s( x) =, x w( x) = ex t( x) = ( x +1)( x 1) , x 2x2 2x u( x) = 2x , 2 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7. r( x) + s( x)= r(x)+ t(x)= s(x) + |t(x) + u(x)| = s(x)+r(x)= w(x)+ r(x)= v(x)+ s( x)= u(x) + |s(x) + r(x)| = 8.8. |u(x) + s(x)| + r(x) = 8.9.v(x)+ t(x)= 8.10. |v(x) + w(x)| + ( s(x) + t(x))= 82 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 9. Dadas las siguientes funciones, realizar las restas o diferencias propuestas: A(x) = 2x2+ 8x 5 , B(x) = 5x3+ 2x + 0 , C( x) = ( x +1)( x 1) , x D(x) = sin ( x) , E(x) = sin1 ( x) , & F ( x) = 1 2 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7. 9.8. 9.9. A(x) F (x)= F (x) A(x)= B(x) A(x)= C(x) A(x)= D(x) A(x)= A(x) B(3) = E(x) D(x)= A(x) F (x) = A(x) |B(x) C(x)| = 9.10. | A(x) B( x)| C( x) = 10. Dadas las siguientes funciones, realizar las multiplicaciones propuestas: A(x) = 2x2+ 8x 5 , B(x) = 5x3+ 2x + 0 , C( x) = ( x +1)( x 1) , x D(x) = sin ( x) , E(x) = sin1 ( x) , F ( x) = x 2 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. A(x) B(x)= B(x) A(x)= C(x) A(x)= D(x) E(x)= F (x) B(x)= A | 1 x | B( x) = 3 | 10.7. 10.8. 10.9. \. A(x) D(x)= A(x) F (x) = A(x) |B(x) C(x)| = 83 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 10.10. | A(x) B(x)|C(x) = 11. Dadas las siguientes funciones, realizar las divisiones propuestas: A(x) = x2 x , F ( x) = x 8 A( x) B(x)= x2+ 2x +1, C( x) = ( x +1)( x 1) , x D(x)= sin 1( x) , E(x) = ux + vx , 11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6. 11.7. 11.8. 11.9. = B( x) B( x) = A( x) A( x) = C ( x) C ( x) = B( x) A( x) = E( x) F ( x) = D( x) A( x) = D( x) F ( x) = A( x) A( x) = F ( x) 11.10. C ( x) = A(1) 12. Dadas las siguientes funciones, realizar las potencias propuestas: A(x) = x2 x , B(x)= x2+ 2x +1,C(x)= sin 1( x) , D( x) = x 8 12.1. 12.2. 12.3. A( x)2 = B( x)3 = C( x)1= 84 [Anlisis derivativo de funciones]CONALEP-2011 12.4. 12.5. 12.6. D( x)2= D( x)1= A( x)0 = 12.7. (C( x)4 )2= 12.8. 2 D( x) 4= 816 12.9.A( x) 2 = 12.10. ( A( x)4 )0= 13. Enc