material de analisis derivativo de funciones

Ing. Roberto Cuellar Alcalá 1

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Calle Armando del Castillo Franco S/N Col. Fidel Velázquez Gómez Palacio, Durango CP 35025 Tel. y Fax (871) 719-60-26 y 719-62-50 Correo Electrónico: [email protected]

Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica

PROFESIONAL TECNICA

MATRIAL DIDACTICO DE

CUADERNILLO DE ANALISIS DERIVATIVO DE FUNCIONES MATEMATICAS V

“La música es para el alma lo que la gimnasia para el cuerpo...... y las

matemáticas para la mente" - Platón

EQUIPO:___________________________________________

GRADO:_________ ESPECIALIDAD:_______

TITULAR DE LA MATERIA:

Ing. Roberto Cuellar Alcala

“EDUCACIÓN DE CALIDAD PARA LA COMPETITIVIDAD”

CNTRO MEXICANO FRANCES CONALEP

ENCUADRE DE LA MATERIA: MATEMATICAS V (CALCULO DIFERENCIAL)


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INDICE

UNIDAD I REPASO DE ALGEBRA 1.- Productos notables: 2.- Factorización: 3.- Radicales 4.- Simplificación de Radicales 5.- Operaciones con radicales: a) Suma y resta b) Multiplicación y División UNIDAD II 1.- Funciones, conceptos básicos 2.- Tipos de funciones 3.- Grafico de funciones 4.- Situaciones subjetivas donde se involucra el concepto de función 5.- Ejercicios para obtener el rango y el dominio de la función UNIDAD III 1.- Límites, conceptos básicos 2.- Teorema sobre límites a) Límites al infinito c) Límite y discontinuidad de funciones b) Límite y continuidad de funciones d) Infinitésimos UNIDAD IV 1.- Derivación, conceptos básicos 2.- Derivación por incrementos 3.- Derivación de funciones algebraicas 4.- Derivación de funciones trascendentes (Logarítmicas y exponenciales) 5.- Repaso de identidades trigonométricas 6.- Derivación de funciones trigonométricas 7.- Significado geométrico de la derivada UNIDAD V 1.- Máximos y mínimos de una función (primer método) 2.- Ejercicios para obtener máximos, mínimos y puntos de inflexión 3.- Aplicaciones de la derivada. CRITERIOS DE EVALUACIÓN El alumno acreditará la materia como mínimo con calificación de 70, siguiendo los siguientes criterios: a) No más de 3 faltas en el período a evaluar (excepto en casos especiales) b) Cuaderno de ejercicios limpio y con todos los ejercicios en orden y completos. c) El examen tiene un valor del 50 % (repartido en exámenes semanales, quincenales y mensuales) d) Reporte de trabajo mensual 10% e) Participación en pizarrón y clase del 15 % f) Tareas del 25 % repartido en el número de tareas del período a calificar g) Disciplina y limpieza no llevan puntaje a favor, pero si en contra. EN CASO DE FALTAS DE RESPETO EN EL ACTO CIVICO SE SUSPENDERÁ A LOS ALUMNOS DE 3 A 5 DIAS.

NOTA: AL ALUMNO (A) QUE SE SORPRENDA REALIZANDO ACTIVIDADES DE OTRA MATERIA DURANTE LA CLASE DE CALCULO SE SANCIONARA CON SUSPENSION DEL EXAMEN PARCIAL O SEMESTRAL (EN TERCER PARCIAL). ____________________________ ________________________________ ALUMNO PADRES DE FAMILIA


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Estimados alumnos: Generalmente muchos de ustedes han escuchado que la

materia de cálculo diferencial e integral son materias muy difíciles. Sin

embargo, esta apreciación es totalmente equivocada, dado que el cálculo es la

herramienta más poderosa para entender la mayor parte de nuestro entorno,

¿Por qué? Porque el cálculo diferencial estudia todas aquellas magnitudes que

están en constante cambio o variación: índices de natalidad o mortalidad,

velocidad o aceleración, movimientos financieros, oferta y demanda en el

mercado, el desarrollo de microorganismos en vacunas o en tejidos, etc. Y el

cálculo integral es la suma o cuantificación de estos cambios o magnitudes en

variación.

Este cuadernillo consta en su primera etapa con un repaso de álgebra:

productos notables, factorización, ecuaciones de primer y segundo grado,

radicales y operaciones con ellos, para facilitar el aprendizaje significativo y

lograr el cumplimiento de los objetivos en el aula.

La segunda y tercera etapa consta de conceptos básicos en el cálculo como

son las funciones y el término límite de una función, para culminar con la

obtención de la derivada de funciones y su aplicación. Entremos entonces en el

fascinante mundo del cálculo y apliquemos este conocimiento para desarrollar

nuevas aplicaciones al entorno en que vivimos.

Este cuadernillo ha sido impreso sólo por una página, dejando la página

posterior para anotar las explicaciones del maestro durante todo el semestre.

CON AFECTO SINCERO

ING. ROBERTO CUELLAR ALCALA

TITULAR DE LA MATERIA


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ANTECEDENTES HISTORICOS DEL CÁLCULO INFINITESIMAL

El cálculo infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprende el estudio

y aplicaciones del cálculo integral.

El cálculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el

movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya

que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe

calcularse, teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo

infinitesimalmente pequeño.

En 1666, el científico inglés Isaac Newton fue el primero en desarrollar

métodos matemáticos para resolver problemas de esta índole.

Casi al mismo tiempo el filósofo y matemático alemán Gottfried Leibniz realizó

investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta

nuestros días.

Destacan otros matemáticos por haber hecho otros trabajos importantes

relacionados con el cálculo diferencial, sobresale entre otros, Pierre Fermat

matemático francés, quién en su obra habla de los métodos diseñados para

determinar los máximos y mínimos, acercándose casi al descubrimiento del

cálculo diferencial. Dicha obra influenció a Leibniz en la invención del cálculo

diferencial.

Fermat dejó casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella época

era común entre los matemáticos el plantearse problemas unos a otros, por lo

que frecuentemente se ocultaba el método propio de solución, con el fin de

reservarse el éxito para si mismo y para su nación; ya que había una gran

rivalidad entre los franceses, alemanes y los ingleses, razón por la que las

demostraciones de Fermat se hayan perdido.

Nicolas Oresme obispo de la comunidad de Iisieux, Francia, estableció

que en la proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera

máxima o mínima, dicha ordenada varía más pausadamente.

Johannes kepler tiempo después, coincide con lo establecido por

Oresme conceptos que permitieron a Fermat en su estudios de máximos y

mínimos, las tangentes y las cuadraturas, igualar a cero las derivada de la

función, debido a que la tangente a la curva en los puntos en que la función


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tiene su máximo y su mínimo, es decir, la función es paralela el eje “x” donde la

pendiente de la tangente es nula.

Isaac Barrow maestro de Newton, quién por medio del triángulo

característico”, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus

catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abocinas y las

ordenadas de los extremos del arco.

Newton concibió el método de las “fluxiones”, considerando a la curva

como la trayectoria de un punto que fluye; denomina un “momento” de la

cantidad fluente al arco mucho muy corto correspondiente, es decir, la

velocidad, por lo tanto, “fluente” es la cantidad variable que se identifica como

“función”; “fluxión” es la velocidad o rapidez de variación de la fluente que se

identifica como la “derivada”; al incremento infinitesimal o instantáneo de la

fluente se le llama “momento” que se identifica como la “diferencial”

El principio establece que: “los momentos de las funciones son entre sí

como sus derivadas”. La concepción de leibniz se logra al estudiar el problema

de las tangentes y su inverso, basándose en el triángulo característico de

Barrow, observando que el triángulo es semejante al que se forma con la

tangente, la subtangente y la ordenada del punto de tangencia, así mismo, es

igual al triángulo formado por la normal, la subnormal y la ordenada del mismo

punto. Los símbolos “dx, dy/dx, la palabra “derivada” y el nombre de

“ecuaciones diferenciales” se deben a Leibniz.

Agustin Lóuis Cauchy matemático francés, impulsor del cálculo

diferencial e integral autor de la teoría de las funciones de las variables

complejas, basándose para ello en el método de los límites; las definiciones de

“función de función” y la de “función compuesta” también se deben a Cauchy.

Jacobo Bernoulli introduce la palabra “función” en el cálculo

diferencial y la simbología “f(x)” se debe a Leonardo Euler; ambos

matemáticos suizos. John Wallis enuncia el concepto de “límite” y la

representación simbólica “lím” se debe a Simon Ihuilier; el símbolo tiende a

“→” lo implantó J.G. Leathem.


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Los procesos generales y las reglas prácticas sencillas del cálculo

diferencial se deben a Newton y a Leibniz; sin embargo, por más de 150 años

el cálculo diferencial continúo basándose en el concepto de lo infinitesimal.

En el siglo XIX se han encontrado bases más firmes y lógicas al

margen de lo infinitamente pequeño. El cálculo diferencial se ha ido

desarrollando a través de los años, consolidándose en una herramienta

técnico-científica que se utiliza en el análisis de procesos que contienen

magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las reacciones

químicas, los cambios atmosféricos, los desarrollos sociales y económicos de

las naciones, en la astronomía, la estadística, etc.

A Newton y a Leibniz se les llama fundadores del cálculo ya que fueron los

primeros en estudiar el problema geométrico fundamental del cálculo

diferencial, que se denomina: “problema de las tangentes” en el cual hay que

hallar rectas tangentes a una curva dada.


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UNIDAD I REPASO DE ALGEBRA

PRODUCTOS NOTABLES.- Son aquellos que se pueden obtener siguiendo una regla o algoritmo sencillo. Los más comunes: 1.- Binomio al cuadrado 2.- Binomio al cubo 3.- Binomios conjugados 4.- Binomios con termino común (x + a) (x + b) BINOMIO AL CUADRADO: Genera un trinomio su desarrollo, cuyos términos se obtienen: 1.- El cuadrado del primer término 2.- +/- El doble producto del primer término por el segundo término. 3.- + El cuadrado del segundo término. Ejemplo: A ) (x + 4)2 = x2 + 8x + 16

B) (2x – 3y)2 = 4x2 – 12xy + 9y2

EJERCICIOS. (5b – 4 a)2 = (a – 5b)2 = (x – 3y)2 = (8m + 4n)2 = (2r + 5t)2 = BINOMIO AL CUBO


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Su producto genera 4 términos: 1.- El cubo del primer término 2.- +/- El triple producto del cuadrado del primero por el segundo 3.- +El triple producto del primer término por el cuadrado del segundo 4.- +/- El cubo del segundo Obtener este producto de manera directa es posible (e ideal) con un poco de práctica. Sin embargo, en ocasiones, se dificulta un poco, sobre todo cuando los términos tienen coeficientes diferentes de 1, por lo que se recomienda indicar operaciones primero y luego realizarlas. Ejemplo: 1.- (x + 3)3 = x3 + 3(x)2 (3) + 3(x)(3)2 + 33 = x3 + 9x2 + 27x + 27 2.- (2x – 5y)2 = (2x)3 – 3(2x)2 (5y) + 3(2x)(5y)2 – (5y)3

= 8x3 – 60x2y + 150xy2 – 125y3 EJERCICIOS: 3.- (Y + 4)3 4.- (2b – 3 a)3 = 5.- (m – 7)3 = 6.- (4x – 5y)3 =


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BINOMIOS CONJUGADOS 2 binomios son conjugados si tienen los mismos términos y uno de esos términos tiene signo diferente. (x + 2)(x – 2) son binomios conjugados (a + 3)(a + 4) no son binomios conjugados (x – 1)(x – 1) no son binomios conjugados El producto de binomios conjugados genera un binomio, cuyos términos se calculan así: 1.- El cuadrado del primero 2.- – el cuadrado del segundo Ejemplo: 1.- (2x – 3y) ( 2x + 3y) = 4x2 – 9y2 2.- (3m + 2n)(3m – 2n) = 9m2 – 4n2 EJERCICIOS 3.- (4x + 3y)(4x – 3y) = 4.- (3b – 5 a) (3b + 5 a) = 5.- (a +b )(a – b) = 6.- (3 +m) (3 – m) = 7.- (10x – 10y)(10x + 10y) = 8.- ( p + q ) (p – q) = 9.- (2b + 5c) (2b – 5c) = BINOMIOS DE LA FORMA (x+a)(x+b)


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También llamados binomios con término común, su producto genera un trinomio: 1.- El cuadrado del término común 2.- +/- la suma algebraica de los no comunes por el común. 3.- +/- el producto de los no comunes. Ejemplo: ( x + 4) (x – 7) x2 es el cuadrado del común; la suma algebraica de los no comunes es: (+4) + ( – 7 ) = – 3, por el común que es x, resulta – 3x; el producto de los no comunes : (+4)(– 7) = – 28 Por lo tanto, (x + 4) (x – 7) = x2 – 3x – 28 EJERICICIOS 1.- ( x + 5) (x +9) = 2.- (2x + 7)(2x +3) = 3.- (m + 5) (m – 4)= 4.- (x + 8) (x – 7) = 5.- ( a + 4) (a – 5) = 6.- ( y + 5) (y – 4) = 7.- (x + 2) (x – 1) = FACTORIZACION Significa descomponer en factores una expresión dada. Así:


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4 a3 b2 x3 = 2*2*a*a*a*b*b*x*x*x 4x2 + 2x = 2x (2x + 1) Existen 10 casos específicos y alrededor de 6 casos especiales. En este resumen, solo veremos los más comunes que se requieren en cálculo, y que a saber son: 1.- Trinomio cuadrado perfecto 2.- Trinomio de la forma x2 + bx +c 3.- Diferencia de cuadrados 4.- Con término común 5.- Suma y resta de cubos perfectos TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Es la operación inversa de elevar un trinomio cuadrado perfecto. Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto debe cumplir con 2 condiciones: 1.- El término cuadrático e independiente deben ser positivos y tener raíz cuadrada exacta. 2.- El doble producto de las raíces debe dar como resultado el término lineal. Ejemplo: X2 + 10x + 25 1.- El término cuadrático y el independiente son positivos y tienen raíz cuadrada exacta, las cuales son: x y 5 Luego, el doble producto de las raíces es: 2(x)(5) = 10x, es decir, el término lineal, entonces, el trinomio si es cuadrado perfecto. Por lo tanto: X2 + 10x + 25 = (x + 5) 2 NOTA: SI EL SIGNO DEL TERMINO LINEAL ES NEGATIVO, ENTONCES EL BINOMIO ES NEGATIVO. EJERCICIOS:

A) a2 – 2ab + b2 =

B) 1 + 14x2y2 + 49x4y4 =

C) a2 + 16 a + 64 = D) 36 + 12m2 + m4 =


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E) x8 + 18 x4 + 81=

TRINOMIO DE LA FORMA X2 + bx + c Los trinomios de la forma X2 + bx + c, en ocasiones no tiene raíz cuadrada exacta o es negativo el término independiente. Estos trinomios de factorizan así: 1.- Se colocan 2 pares de paréntesis, colocando en ambos la raíz cuadrada del cuadrático. 2.- Se buscan 2 números que sumados den el lineal y multiplicados el independiente. EJEMPLO: X2 + 2x – 8 1.- ( x ) (x ) 2.- Los factores de 8 son 8* 1, 4 * 2 de estos 2 pares de factores, los únicos que sumados algebraicamente dan +2 (término lineal) son el 4*2. ahora, el signo del término independiente es negativo, lo que implica que uno de ellos es negativo y al ser el lineal positivo, entonces el mayor de ellos es positivo. X2 + 2x – 8 = (x +2) (x – 2) EJERCICIOS X2 + 7x + 10 = X2 – 5x – 36 = a 2 – 2 a – 35 = m2 – 8m – 1008 = x2 + x – 132 = x2 – 4x – 320 =

DIFERENCIA DE CUADRADOS Una expresión algebraica es una diferencia de cuadrados si: 1.- Es un binomio 2.- Ambos términos tienen raíz cuadrada exacta. 3.- Y están separados por un signo negativo.


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Su factorización genera 2 binomios, cuyos términos se encuentran fácilmente: (La suma de las raíces) (La diferencia de las raíces) EJEMPLO:

A) X2 – 9 = (X + 3)(X – 3) B) 4X4 – 25Y8 = ( 2X2 + 5Y4) (2X2 – 5Y4).

EJERCICIOS:

C) 9X2 – 16 = D) 36 – 49 x2 = E) a2 – b2 = F) 100m2 – 121n2 = G) 4 – 9x4 = H) 1 – x2 =

FACTORIZACION POR FACTOR COMUN Una expresión algebraica que se factoriza por factor común puede ser cualquier polinomio de 2 o más términos. En ocasiones puede ser por factor común coeficiente (m.c.d.) , literal (el que contenga el exponente menor) o ambos. Ejemplo: 1.- 2 x2 + 4x3 En este ejemplo el mcd de 2 y 4 es el 2 y el factor común literal es x con exponentes 2 y 3, entonces se toma el menor: es decir, 2x2 2x2 + 4x3 = 2x2 (1 + 2x) 2.- 5 a2 – 10 a + 20 a4 = 5 a( a – 2 + 4 a3) 3.- m2 + 4m3 + 8m4 = m2 (1 + 4m + 8m2 ) 4.- 12 x3 + 24x4 + 2x6 = 5.- a2 + a3 + a4 + a5

6.- 4 a2x3 + 8ax + 12 a2x4 = SUMA Y/O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS: Una suma o diferencia de cubos perfectos es aquella si y solo sí: 1.- Es un binomio separado de sus términos por el signo + (suma) o – (diferencia). 2.- Tienen ambos miembros del binomio raíz cúbica exacta.


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Su factorización genera 2 binomios: SUMA: (suma de las raíces cúbicas)(el cuadrado de la primera raíz – el producto de las raíces + el cuadrado de la segunda raíz) RESTA: (resta de las raíces cúbicas)(el cuadrado de la primera raíz + el producto de las raíces + el cuadrado de la segunda raíz) EJEMPLO: A) 8X3 + 27y3 las raíces cúbicas son 2x, 3y y por ser suma: 8x3 + 27y3 = (2x + 3y) (4x2 – 6xy + 9y2)

B) 125 a6 – b3 = (5 a2 – b) (25 a4 + 5 a2b + b2 )

C) b3 – 125 a6 = D) 712 z12 – 1000 y6 =

E) a3 + b3 =

F) 64 x3 + 1=

G) 27m15 + 216 n6 =

H) x3 – 8 = RADICALES Un radical es toda raíz indicada. Sabemos que al obtener una raíz de cualquier número, ésta tiene 4 elementos: (¿podrías escribirlos?) 3 8 = 2


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RADICALES SEMEJANTES Un radical es semejante a otro si ambos tienen el mismo radicando y el mismo índice, así pues:

2 3 y 5 3 son semejantes

3 5 y – 2 3 5 son semejantes

2 y – 3 3 3 no son semejantes

SIMPLIFICACION DE RADICALES SEMEJANTES Para simplificar radicales semejantes, solamente se suman algebraicamente los coeficientes y delante de ellos se coloca el radical semejante, ejemplo:

1.- 3 3 + 4 3 3 = (1+4) 3 3 = 5 3 3

2.- 3 3 – 10 3 + 3 = (3 – 10 + 1) 3 = –6 3

3.- 12 4 10 – 5 4 10 + 2 4 10 =

4.- 5 2 + 3 2 – 4 2 =

5.- 5 5 15 + 3 5 15 – 12 5 15 =

TEORIA DE LOS EXPONENTES EXPONENTE CERO.- Toda expresión elevada a la cero es igual a 1. ¿Por qué? Porque de acuerdo al criterio de los exponentes en cualquier división, el exponente del numerador resta al exponente del denominador: X2 ---------= X2- 2 = X0 = 1 X2


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EXPONENTE NEGATIVO Cuando un exponente es negativo y deseamos hacerlo positivo, entonces solamente se cambia la expresión que lo contiene al denominador si esta en el numerador y al numerador en caso de estar en el denominador. Ejemplo:

x-1/2 = 1/x1/2

y-1 x3

---------- = ------- x-3 y Si la expresión tiene coeficientes y estos están con exponente positivo entonces no se cambian. 4 4x-3 = -------- x3 EXPONENTE FRACCIONARIO

TEOREMA: mn

a = an/m

1.- x ; el índice m es 2 y el exponente n es 1, entonces:

x = x1/2

2.- 32

b = b2/3

En los 2 ejercicios anteriores, el exponente n es menor que el índice m. ¿Qué ocurre cuando m es mayor que n? Pues que se puede simplificar a una expresión entera y una fraccionaria. Ejemplo:

1.- 5

x = x5/2 donde 5 es mayor que 2 y al dividir 5 entre 2 = 2 enteros y ½

5

x = x2 *x1/2 , aplicando el teorema: 5

x = x2 x

2.- 38

x = x8/3 = x2 * x2/3 = x2 32

x


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3.- 57

a

4.- 38

b

5.- 75

ba

6.- 51012

yx

VALOR NUMERICO DE RADICALES Aplicando el teorema anterior, es posible encontrar el valor numérico de expresiones aritméticas elevadas a exponentes fraccionarios. Ejemplo:

1.- 163/2 = 161 * 161/2 = 16 16 = 16(4) = 64

1 1 1 1 2.- 49-3/2 = ---------= ----------- = ------------ = ---------------

493/2 49 49 49(7) 343

3.- (32/243) -1/5 = 5/1

243

32

1

=

5

243

32

1

Para encontrar la raíz quinta es necesario descomponer en factores primos el radicando:

32 = 2*2*2*2*2 = 25

243 = 3*3*3*3*3*3 = 35

1/ 5

243

32=

5

5

243

325

1 =

5/5

5/5

243

32

1 =

243

32

1 aplicando “ley de la tortilla”

= 32

243

EJERCICIOS:

1.- 2/5

9

4

=


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2.- 3/1

27

8

3.- 4/5

81

16

4.- 5/2

243

32

5.- 95/2 * 27-1/3

6.- 243-1/5 * 1283/7

MULTIPLICACION CON RADICALES DEL MISMO INDICE.

TEOREMA: m a por m b = m ba * si hay coeficientes fuera de los

radicales también se multiplican Ejemplo:


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5 3 * 4 2 = (5*4) 2*3 = 20 6

2 3 9 * 6 3 4 = (2*6) 3 4*9 = 12 3 36

Racionalizar una expresión (numerador o denominador) significa convertirla a racionalizar quitando radicales y que la expresión sea equivalente. Las expresiones pueden ser monomios o polinomios. Ejemplo: racionalizar el denominador de:

x2

3 Multiplicamos toda la expresión por el denominador

x2

3

x

x

2

2 =

2

2

23

x

x si notas, el exponente se elimina con el radical

= x

x

2

23

EXPRESIONES CONJUGADAS En el tema de productos notables, 2 binomios eran conjugados si tenían los mismos elementos y uno de ellos signo diferente. Para racionalizar el numerador o denominador se aplica el mismo teorema. Ejemplo:

Racionalizar el denominador 252

24

se multiplica toda la expresión por el

denominador cambiando el signo del binomio para hacerla conjugada

252

24

252

252 =

22

2

252

25222208

=

)2(254

102228

=

46

22218

Como todos los coeficientes tienen mitad = 46

2119

EJERCICIOS, RACIONALIZAR EL DENOMINADOR:

1.- 21

23


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2.- 57

527

3.- 34

325

4.- 3627

23

ECUACIONES Una ecuación es una igualdad. En una ecuación se utilizan las últimas letras del alfabeto (r-z) para representar a los valores desconocidos llamados incógnitas. Los valores que satisfacen una ecuación se llaman raíces o soluciones de la ecuación.


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El exponente máximo de una incógnita el grado de la ecuación, así pues, si el mayor es 1, entonces es de grado 1, si es 2, el grado es 2 o cuadrática, etc. De igual forma, el grado determina las raíces o soluciones, de primer grado tiene una solución, de segundo 2, etc. De la misma forma, el número de incógnitas determina el número de ellas: X+ 2Y = 8 De primer grado con 2 incógnitas X2 + 7x +10 De segundo grado con una incógnita X3 + 2y + 5z2 De tercer grado con 3 incógnitas ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Toda ecuación consta de 2 términos:

2x + 8 = x – 1

Primer miembro segundo miembro Para la resolución de ecuaciones de primer grado, se pasan todas las incógnitas a la izquierda y los valores conocidos a la derecha, se reducen los semejantes y se encuentra el valor de la incógnita. Ejemplo:

2x + 8 = x – 1 2x – x = – 1 – 8

x = – 9 la comprobación es sencilla, sustituyendo el valor encontrado en la ecuación:

2x + 8 = x – 1 2(– 9) + 8 = – 9 – 1

– 18 + 8 = –10 – 10 = –10

RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES 1.- 5X = 8X – 15 2.- 8x – 4+ 3x = 7x + x + 14 3.- x – (2x + 1) = 8 – (3x+3) 4.- 15x – 10 = 6x – (x+2)+(–x + 3) ECUACIONES CUADRATICAS Pueden ser de 2 tipos: a) Completas de la forma: ax2 +bx + c b) Incompletas, con 2 formas: ax2 + bx = 0 y ax2 + c = 0


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SOLUCION DE ECUACIONES DE LA FORMA ax2 + bx = 0 1.- Se factoriza la ecuación por su factor común 2.- Siempre x1 = 0 y para encontrar x2 se iguala el factor encontrado Ejemplo: x2 + 4x = 0 X(x + 4) = 0 donde x1 = 0 y x2 se halla así: X + 4 = 0 ; despejando x =– 4 ; entonces x2 = – 4 SOLUCION DE ECUACIONES DE LA FORMA ax2 + c = 0 1.- Se despeja c (si es necesario) 2.- Se despeja x (si es necesario) y se extrae la raíz cuadrada a ambos miembros. 3.- Si c en el despeje es negativo entonces las raíces son imaginarias. Si son positivas las raíces son reales e iguales. Ejemplo: x2 – 1 = 0 x2 = 1 extraemos la raíz a ambos miembros x1 = x2 = +/- 1 4x2 – 16 = 0 4x2 = 16 despejando x x2 = 16/4 x2 = 4 extraemos raíz x1 = x2 = +/- 4 SOLUCION DE ECUACIONES COMPLETAS Para la solución de ecuaciones completas existen 2 formas: 1.- Por factorización 2.- Por formula general METODO DE FACTORIZACION Recordando el tema factorización, la solución se centra en ese proceso, ejemplo: resolver x2 + 13 + 40 Factorizando: x2 + 13 + 40 = ( x +8) (x + 5) = 0 X + 8 = 0 y x+ 5 = 0 X1 = – 8 y x2 = – 5 POR FORMULA GENERAL En la fórmula general se indican y se emplean los coeficientes de la ecuación, siendo la fórmula general la siguiente:


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X= a

acbb

2

4/2

Ejemplo: 3x2 – 5x + 2 = 0 a = 3 b = – 5 c = 2

x = )3(2

)2)(3(4)5(/)5(2

=

6

1/5

6

1/5

6

2425/5

de aquí se desprenden las 2 raíces:

x1 = 16

6

6

15

x2 = 3/2

6

4

6

15

La comprobación se deja al alumno. RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES: 1.- 4x2 + 3x – 22 = 0 2.- x2 – 7x + 10 = 0 3.- x2 =– 15 x – 56 4.- 4x2 + 8x = 0 5.- x2 - 36 = 0


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FUNCIONES

El término función es de suma importancia en el estudio del cálculo. Antes de definir qué es una función veamos lo siguiente:

Guadalajara Chiapas

Tepic Coahuila

Tuxtla Gutiérrez Guerrero

Saltillo Michoacán

Morelia Jalisco

Chilpancingo Nayarit

Relaciona las 2 columnas y escribe los pares ordenados:

Sres. Saenzpardo Nancy Issa

Moisés Ramírez

Sres. Issa Ilse Saenzpardo

Sres. García Jairo Ramírez

Sres. Ramírez Giselle Saenzpardo

Mónica Issa

Sres. Martínez Denisse García

Jesú Martínez

Relaciona las 2 columnas y escribe los pares ordenados. 1.- ¿Qué observas al relacionar las 2 listas? 2.- ¿Se repite el primer elemento en alguna de ellas?


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El concepto de función surge de relacionar grupos que tienen algo en común. La primera relación se da entre estados y su capital y la segunda es una relación entre padres de familia y alumnos de preparatoria cursando algún semestre de preparatoria. Existen muchas relaciones: alumno-calificación; padres-número de hijos; personas-profesiones; deporte-número de jugadores, etc. Sin embargo no todas las relaciones son funciones. Una FUNCION ES UNA RELACION DONDE NO SE REPITE EL PRIMER ELEMENTO DE LOS PARES ORDENADOS. Así pues, la primera relación del ejemplo es una función y la segunda no lo es, dado que se repite el primer elemento al menos una ocasión. Los pares ordenados se representan generalmente así: (x,y) y se grafican en el plano cartesiano, donde los valores de x se llaman abscisas (eje de las abscisas) y los valores de y se llaman ordenadas (eje de las ordenadas). Al CONJUNTO DE VALORES DE X SE LE LLAMA DOMINIO Y AL CONJUNTO DE VALORES DE Y SE LE LLAMA CONTRADOMINIO, RANGO O IMAGEN. Ahora bien, para que se genere una relación de pares ordenados, entonces debe existir que situación la generó. Contesta esto: 1.- ¿Cuánto pagas de luz en tu casa a la CFE? 2.- ¿Si compras tela para hacer una prenda de vestir, cuánto pagas por ella? 3.- ¿Qué necesitas para obtener 10 en cálculo diferencial? 4.- ¿Qué necesitas para obtener una buena cosecha de tomates si los plantaste previamente en una parcela? 5.- ¿Qué necesitas para llegar a tiempo a la escuela? Si te fijas, las 2 primeras cuestiones se contestan con una sola situación de cambio, sin embargo, las 3 últimas, puedes enumerar cualquier cantidad de situaciones para contestar la pregunta. A ESTAS SITUACIONES DE CAMBIO, EN CÁLCULO SE LE LLAMA VARIABLE. En la pregunta 1, el costo ($), depende del consumo de kilowatt-


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hora, en la segunda depende del número de metros que compre. En las 3 últimas preguntas, las variables son muchas y la pregunta se contesta con muchos “depende de”. Si te fijas la palabra “depende” es la clave en el entendimiento de una función. Entonces ahora podemos afirmar lo siguiente: “CUANDO UNA VARIABLE DEPENDE DEL COMPORTAMIENTO DE OTRA, SE DICE QUE LA SEGUNDA ESTA EN FUNCION DE LA PRIMERA. A LA QUE “DEPENDE” SE LE LLAMA VARIABLE DEPENDIENTE Y LA QUE DETERMINA LA RELACION SE LE LLAMA VARIABLE INDEPENDIENTE”. Las variables se representan con las últimas letras del alfabeto ( r – z ) y

algunos autores emplean algunas del alfabeto griego: ,ξ, ω, entre otras. Las constantes se representan de 2 gormas: 1.- Con las primeras letras del alfabeto: a,b,c,d y algunos autores consideran constantes hasta la letra n. 2.- Con cualquier número real o la combinación de números reales y las primeras letras del alfabeto: 2, 3, ½ ,¾ , 3b, 5 a, etc.

NOTACION DE FUNCIONES La notación de una función generalmente es la letra f y entre paréntesis una expresión: f (x) y se lee “efe de equis” g (r) y se lee “ge de erre” h(t) y se lee “hache de te” La mayor parte de los autores de textos sólo consideran a x e y en los ejercicios sin que esto tenga que ser exclusivo. Por ejemplo: Dada la función: y = 2x + 5 y es la variable independiente, la x es la independientes y el 2 y el 5 son constantes. Si deseo obtener f(1),entonces sólo bastará con sustituir en la x el número 1: f(1) = 2(1)+5 = 2 + 5 = 7 Si quiero obtener el valor de la función cuando la variable independiente x vale 3: f(3) = 2 (3) + 5 = 6 + 5 = 11 ESTO SIGNIFICA QUE LA VARIABLE Y ES LA VARIABLE DEPENDIENTE O FUNCIÓN.


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CLASIFICACION DE FUNCIONES

FUNCIONES

ALGEBRAICAS TRASCENDENTES

LOGARITMICAS

y = log 2x

y = ln 3x

TRIGONOMETRICAS

INVERSAS

y = arcsen 2x

y = arccos x

TRIGONOMETRICAS

y = sen 2x

y = cos 3x

y = tang x

EXPONENCIALES

y = 2x + 1

y = ex

POLINOMIALES: 1.- Lineal y = 3x + 5 2.- cuadrática y = x2 + 8 3.- cúbica y = x3

+ 2x2 – 5


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INTERVALOS DE UNA VARIABLE Es cuando una variable toma valores que están comprendidos entre 2 de ellos que se denominan extremos del intervalo. Sean a y b los extremos inferior y superior, respectivamente, de un intervalo, la variable puede tomar cualquiera de los valores que estén comprendidos entre a y b; lo anterior se llama amplitud del intervalo, siendo a < b, resultando b – a. La notación de un intervalo puede ser (a,b); (a,b]; [a, b]; o combinación de ellos. El paréntesis significa que esta “abierto” y el corchete significa que el intervalo esta “cerrado”. Ejemplo: el intervalo [5, 2) se representa:

– 5 x < 2

DOMINIO Y CONTRADOMINIO (RANGO O IMAGEN) DE FUNCIONES Encontrar el dominio o contradominio de una función significa encontrar al conjunto de números reales contenidos en un intervalo. Recuerda que los números reales son todos aquellos que podemos representar

en la recta numérica y su intervalo es desde – hasta + . Los números irreales o imaginarios son las raíces pares de números negativos y se representan con la letra i. De este concepto entonces:

9 = 3i

4 16 = 2i

Ejemplo 1: encuentra el dominio y contradominio de la siguiente función: y = 5x + 6 Como puedes ver, para cualquier valor de x le corresponde un valor de y, por lo que:

Df (- , + )

Cf (- , + ) EJEMPLO 2:

y = 5x

Dando valores a la variable independiente:

DOMINIO X 0 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3

CONTRADOMINIO Y i i i i i 0 1 1.41 i i i

Para valores de x 5 la función no esta definida para los números reales, por lo que:

Df [5, + )

Rf ([0, + )


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Ejemplo 3:

y = 23

852

xx

x

En esta función hay un cociente, por lo que el denominador tiene que ser una expresión diferente de 0, dado que la división entre cero es infinito. ¿Sabes porqué? Es decir, la división entre cero queda excluida en nuestro curso. Supongamos que a = b. Observa:

a = b ab = a2

ab – b2 = a2 – b 2 b(a – b) = (a + b) (a – b)

b = a+ b a = b

b = 2b 1 =2

¿Dónde está el error? Bien, vemos que el denominador es un trinomio de la forma x2 + bx + c. resolviendo la ecuación (por el método de factorización) X2 + 3x + 2 = 0 (x +2) (x + 1) = 0, por lo que x1 = – 2; x2 = – 1 Ahora bien, el numerador puede ser cero, dado que cero entre cualquier cantidad es cero. Entonces: Df ( ) Rf ( ) EJERCICIOS: ENCUENTRA EL DOMINIO Y CONTRADOMINIO DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES:

1.- f(x) = 3

12

x


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2.- f(x) = 42

x

3.- f(x) = 1

22

x

x

4.- f(x) = 6

2

4

xx

x

5.- f(x) = x2 + 1


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EVALUACION DE FUNCIONES

Evaluar funciones significa encontrar el valor que toma la función cuando la variable independiente tiene un valor o expresión definida. Así pues, dada la función: y = x2 + 2x – 8 Hallar:

a) f( – 1 ) b) f(1) c) f( 0) d) f( ½ )

SOLUCION:

a) f (– 1) = (– 1)2 + 2(– 1) – 8 = 1 – 2 – 8 = – 9 b) f ( 1) = (1)2 + 2 (1) – 8 = 1 + 2 – 8 = – 5 c) f(0) = (0)2 + 2(0) – 8 = 0+0 – 8 = – 8 d) f (1/2) = (1/2)2 + 2(1/2) – 8 = ¼ + 1 – 8 = – 6 ¾

En caso de que el ejercicio solicite una demostración, significa que me están dando el resultado y sólo tendré que encontrar la igualdad. Ejemplo: Dado f(x) = x3 – 5x2 – 4x + 20 , demostrar:

a) f (1) = 12 f (x) = 13 – 5 (1)2 – 4(1) + 20 = 1 – 5 – 4 + 20 = – 9 + 21 = 12 L.Q.Q.D. b ) f(0) = – 2 f(3) primero encontramos f(0). Luego f(3) y el resultado lo multiplicamos por – 2 f(0) = 03 – 5(0)2 – 4(0) + 20 = 0 – 0 – 0 + 20 = 20 f(3) = 33 – 5 (3)2 – 4 (3) + 20 = 27 – 45 – 12 + 20 = 47 – 57 = – 10 Luego: f(0) = – 2 (3) 20 =– 2 (– 10) 20 = 20 L.Q.Q.D. EJERCICIOS: 1.- DADO f(x) = x3 + 5x + 3 Hallar: a) f( – 1)

b) f( 2 )


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c) f( 1/3)

d) f(x + 1)

e) f(x – 2) 2.- DADO f(x) = x3 – 5x2 – 4x + 20 DEMOSTRAR:

a) f(7) = 5 f( – 1) b) f(5) = 0

c) f (x+1) = x3 – 2x2 – 11 x + 12


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3.- DADO f(x) = 4x , demostrar que f(x + 1) – f (x) = 3 f(x)

4.- DADO f(x) = x

1 demostrar que f (x + h) – f (x ) = –-

xhx

h

2

5.- DADO f(x) = 3x2 – 2x + 5 demostrar:

a) f(-2/3 ) = 7 2/3

b) f ( 2 ) = 11 – 2 2


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c) f(x + h) = 3x2 – 2x + 5 +2h (3x – 1 ) + 3h2

DADO f(x) = x3 – 7x 2 – 6x + 42 DEMOSTRAR:

a) f(1) = 30

b) f(7) = 0

c) f(0) = -7/2 f(3)

d) 3 f( – 1) = – 4 f(6)

e) f(9) = 5 f(1)

f) f(z+2) = z3 – z 2 – 22 z + 10

DADO: f(x) = sen + cos 2 HALLAR:

a) f( /4 )=

b) f( /3) =

c) f() =

d) f(2) =


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EJERCICIOS DE REPASO UNIDADES I Y II TRABAJO PARA ENTREGAR EL DIA DEL 1ER. EXAMEN PARCIAL 1.- Escribe el dominio y el contradominio de la siguiente relación de pares ordenados: (1,2); (2,4) ; (3,6) ; (4,8) ; (5,10) 2.- Menciona que es una función 3.- ¿Qué nombres reciben las variables en una función? 4.- Menciona como se representan las variables en una función y escribe 3 ejemplos. 5.- Menciona como se representa una constante en una función y escribe 3 ejemplos 6.- Los fundadores del cálculo diferencial fueron __________________________ y ___________________________________. 7.- Escribe los conceptos que estableció Nicolás Oresme en el estudio de los máximos y mínimos. 8.- Explica como se le conoce al cálculo diferencial. 9.- Escribe los razonamientos de Isaac Barrow sobre el método de las fluxiones


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10.- Menciona que aportó Louis Cauchy al cálculo diferencial. 11.- Cita la aportación de Pierre Fermat al cálculo diferencial 12.- Escribe como surge históricamente el cálculo diferencial. 13.- Menciona que es un intervalo en una función y escribe sus formas posibles Encuentra el dominio y el rango de las siguientes funciones

1.- y = 2

4 x

2.- y = 1

3

x


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EVALUA LAS SIGUIENTES FUNCIONES 1.- DADO f(x) = x3 + 2x2 – 8x – 1 HALLAR:

a) f( – 1) =

b) f(1/2) =

c) f(0)

d) f(x – 3) =

e) f (x+h) =

f) f (h

hx )


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2.- DADO f(x) = 10 + 12x – 3x2 – 2x3

DEMOSTRAR QUE:

a) f(1) = 17

b) f(3) = – 35

c) 2f(1/2 ) = 5 f(2)

d) f( x + 1) = - 2x 3 – 9x2 + 17

e) f( – 1) = – 3

f) f(- 2) = - 1 f(0)


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DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES, ESCRIBE A QUE TIPO DE FUNCION PERTENECE. y = 2x + 1 y = ln 2x y = log (x – 1) y = sen 2x y = 3x3 + 2x2 – 1 y = arc cos 2x y = cos 3x EVALUA LA SIGUIENTE FUNCION HALLANDO LO QUE SE TE PIDE.

DADO f(x) = x2

Hallar: a) f (9/2)

b) h

xfhxf )()(


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ANALISIS GRAFICO DE FUNCIONES De acuerdo a la clasificación de funciones (pagina 25), cada una de ellas se puede graficar y determinar sus características así como los intervalos en los que se hallan números reales. Generalmente para construir una grafica de una función se emplea el sistema de coordenadas rectangulares; los valores del dominio se ubican en el eje horizontal (eje x o abscisas) y los valores del contradominio, rango o imagen en el eje vertical (eje de las y u ordenadas). FUNCION LINEAL. Dado y = 2x + 1 Grafica la función dando valores al dominio en el intervalo desde – 3 hasta +3. CARACTERISTICAS DE UNA FUNCION LINEAL.


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FUNCION CUADRATICA Dado: y = x2 – 4; y = – 2x2 +1 GRAFICA AMBAS FUNCIONES CON INTERVALOS DESDE – 3 HASTA +3 CARACTERISTICAS DE UNA FUNCION CUADRATICA


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FUNCION CUBICA Dado y = 2x3 + 3x2 – 12 + 1 Grafica la función dando valores al dominio en el intervalo desde – 3 hasta +3. CARACTERISTICAS DE UNA FUNCION CUBICA


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FUNCION EXPONENCIAL Dado y = 2x Grafica la función dando valores al dominio en el intervalo desde – 3 hasta +3. CARACTERISTICAS DE UNA FUNCION EXPONENCIAL


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FUNCION LOGARITMICA LOGARITMO.- El logaritmo de un número es el exponente al que elevar una base para encontrar dicho número. La base de un logaritmo puede ser cualquier número, sin embargo, las bases más utilizadas son 2: 1.- Base e (Euler), descubierta por Jhon Neper y cuyo numero e es un limite de una función exponencial y vale 2.71828…son llamados logaritmos naturales. 2.- Base 10, también llamada decimal , vulgar o de Briggs descubierta por Jhon Briggs asesorado por Neper. En las calculadoras científicas el calculo de los logaritmos es muy sencillo, la tecla LOG pertenece al decimal o de Brigss y la tecla LN pertenece al natural o neperiano. Ejemplo: Log 10 = 1 porque 101 = 10 Log 100 = 2 porque 102 = 100 Log 1000 = 3 porque 103 = 1000 Log 128 = porque 10 = Ln 235 = porque 2.71828 = Si te fijas los logaritmos tienen 2 partes, una entera llamada característica y otra decimal llamada mantisa. La característica se obtiene restando 1 al número de dígitos enteros y las decimales en tablas matemáticas. Sin embargo este método esta en desuso al estar incluidas en las calculadoras científicas. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS LOGARITMO DE UN PRODUCTO = a la suma de los logaritmos de los factores Log ab = log a + log b LOGARITMO DE UN COCIENTE = a la diferencia del logaritmo del dividendo menos e divisor. Log a/b = log a – log b LOGARITMO DE UNA POTENCIA = al producto del exponente por el logaritmo de la base Log an = n log a LOGARITMO DE UNA RAIZ = al cociente del logaritmo del radicando entre el índice de la raíz.

Log n a = n

alog

POR DEFINICION: Log 1 = 0 (100 = 1)


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RELIZA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS CON LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 1.- 325 * 23 = 2.- 424 ENTRE 24 3.- 32 =

4.- 3 64

5.- 345 * 286 = 6.- 1234 ENTRE 610 7.- 24 3 =

8.- 4 128


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GRAFICA DE UNA FUNCION LOGARTIMICA y = Log x Grafica la función dando valores al dominio en el intervalo desde – 3 hasta +3. CARACTERISTICAS DE UNA FUNCION LOGARITMICA


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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS En este curso estudiaremos las graficas de las funciones:

a) Seno b) Coseno c) Tangente

El valor numérico de la letra griega π es un valor redondeado de 3.1416, sin embargo el valor angular es de 180º, por lo que 2π = 360º, π/2 = 90º, π/4 = 45º, etc. Con la ayuda de tu calculadora científica obtener los valores del contra dominio y graficar. La obtención de estos valores debe estar en DEG (D) en la pantalla de la calculadora.

GRAFICA DE FUNCION SENO

CARACTERISTICAS DE LA FUNCION SENO

FUNCIONES COSENO


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CARACTERISTICAS DE LA FUNCION COSENO

FUNCION TANGENTE

CARACTERISTICAS DE LA FUNCION TANGENTE


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UNIDAD III LIMITES

Hemos escuchado frecuentemente la palabra límite en nuestro léxico cotidiano, por ejemplo: 1.- 2.- 3.- 4.- En matemáticas y específicamente en cálculo, el LIMITE DE UNA VARIABLE se comprende rápidamente en geometría con el siguiente ejemplo: ¿Podrías trazar un cuadrado en un círculo? ¿Luego un pentágono? ¿Ahora un hexágono? ¿Se puede un icoságono? Si te fijas el número de lados n de la figura trazada en el círculo “tiende” a la circunferencia. En una caja que contiene huevo o pañales por ejemplo, se puede leer: “no estibar mas de 5 cajas”, ¿porqué? Porque el empaque tiene como “límite” ese número de cajas. ¿Qué ocurre si se coloca una o más cajas de las indicadas? Definitivamente que las cajas excedentes podrían sin duda aplastar a las de abajo. Entonces un límite en cálculo es un tope a cota a la que la variable tiende dada una función específica. Entonces podemos definir lo siguiente: “una función no puede tender a 2 límites, si el límite de una función existe, éste es único”. Matemáticamente: Lim f(x) = L x x0

Se lee: “el límite de f(x) cuando x tiende a x0, es L” EJEMPLO:

Dado f(x) = 2

83

x

x

X 2 Sustituyendo el 2 en lugar de x, nos queda:


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22

823

=

22

88

=

0

0

Lo que nos representa una indeterminación. Utilizando una calculadora obtener los valores que faltan.

X 1.5 1.7 1.9 1.9 1.999 ¿ ? 2.001 2.1 2.3 2.5

F(x)

1.- ¿Hacia donde tiende el límite cuando la variable x tiende a 2? 2.- ¿Hay algún método mas sencillo en lugar de obtener losa valores del dominio y contradominio por izquierda o por derecha? ¿si? ¿no? Veamos el resultado de la pregunta 12 y analicemos la función en el numerador: x3 – 8 ¿Lo podemos factorizar? ¿Cuál sería el resultado de la factorización? LIMITES PARTICULARES En el concepto de límite determinamos que si existe un número real cuando la variable independiente tiende a un límite, entonces el límite existe y es real. Sin embargo, en ocasiones el valor es indeterminado (0/0), tiende a infinito o simplemente a cero. Los siguientes límites son una guía para el desarrollo de este tema y su comprensión. 1.-

Lim v

c es decir:

0

c

v 0 2.- lim cv


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v es decir c* = 3.-

lim c

v es decir

c

v 4.-

lim 0v

c es decir 0

c

v EJEMPLOS DE LÍMITES HALLAR EJEMPLO 1 Lim x2 + 2x – 1 x 2 lim = 22 + 2(2) – 1 = 4 + 4 – 1 = 8 – 1 = 7 EJEMPLO 2

2

1072

x

xx =

0

0

0

1414

0

10144

22

10)2/722

(indeterminación).

x 2 Recuerda que las indeterminaciones son resultados no válidos por lo que hay que encontrar una solución, en este caso factorizar:

Lim

2

)5)(2(

2

1072

x

xx

x

xx x – 5 = 2 – 5 = – 3

EJEMPLO 3:

Lim 1

232

x

xx= 0

3

0

3

264

12

2)2(3)2(2

x – 2


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LIMITES AL INFINITO Cuando el límite tiende al infinito, una forma de resolver el ejercicio es dividir toda la expresión entre la variable que tenga el exponente mayor:

Lim

4

4

4

34

24

34

424

232

424

232

x

xx

x

xxx

xx

xxx

=

32

3

424

232

xx

xx

x

2

1

4

2

004

002

424

232

EJERCICIOS

1.- Lim 1

13

x

x

x 1

2.- lim 2

2

84

52

xx

x

x

3.- lim 32

1

x

x

x 3


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4.- lim 24

12 2

x

xx

x 2

5.- lim x

xx

2

28 2

x 0

6.- lim 43 2 x

x -2

7.- lim 3

2142

x

xx

x 3

8.- lim 25

52

x

x

x – 5


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9.- lim 4

452

x

xx

x – 4

10.- lim 1

13

x

x

x – 1

11.- lim 1

22

2

x

xx

x 1

12.- lim 1

32 2

x

xx

x – 1

13.- lim 25

1252

3

x

x

x 5


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14.- lim 5

40132

x

xx

x – 5

15.- lim 2

83

x

x

x 2

16.- lim x

x 33

x 0

17.- lim 22 x

x

x 0


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18.- lim x

x

4

2

x 4

19.- lim x

x 42

x 0

20.- lim 163

25

2

2

x

x

x 5

21.- lim 47

9

2

2

x

x

x 3


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22.- lim 23

1

2

x

x

x 1

23.- lim 32

1

2

2

x

x

x 1

24.- lim 3013

22

xx

x

x 2

25.- lim 8

23

x

x

x – 2


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DERIVACION DE FUNCIONES

En este capítulo vamos a investigar como varía el valor de una función al variar el valor de la variable independiente. El problema fundamental del cálculo diferencial es el de establecer con toda precisión una medida de esta variación. La investigación de problemas de esta índole, problemas que trataban de magnitudes que variaban de una manera continua, llevó a Newton al descubrimiento de los principios fundamentales del cálculo infinitesimal, el instrumento científico más poderoso del matemático moderno. INCREMENTOS.- El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia que se obtiene restando el valor inicial del valor final, por ejemplo, en Física la diferencia de temperaturas (T2 – T1). El

incremento de x se representa por el símbolo x, que se lee, “delta equis”. Es evidente que un incremento puede ser positivo o negativo, según la variable aumente o disminuya el valor. Asimismo. El incremento de cualquier variable es: y significa incremento de y t significa incremento de t z significa incremento de z Existen varias aplicaciones sobre el conocimiento de “razón de cambio”, por ejemplo: los índices de reprobación en matemáticas, la tasa de deserción escolar, los costos de producción, la fuerza de los vientos huracanados, el crecimiento de microorganismos en una vacuna, etc. Las razones de cambio se refieren por lo general a cambios con respecto al tiempo, pero se puede buscar la razón de cambio respecto de cualquier variable relacionada. Ejemplo: Se dispara un proyectil cuya trayectoria se describe con la función y = – 0.05 x2 +2x Grafica la función dando valores de 5 en 5 hasta 40 iniciando en 0 al dominio


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Considera cuando x = 5, entonces la altura y = ______ . si ahora x = 15 entonces la altura y = ________.

1515

75.875.18

)(tan

)(

x

y

xciascambiodedi

yturacambiodeal

El cociente de incrementos de y al pasar de x =10 a x =20

2

1

1020

1520

X

Y

CONCLUSION.- Por lo general se puede calcular el cociente de incrementos de “y” con respecto a “x” en un intervalo x mediante la siguiente regla:

x

y

CAMBIOENx

CAMBIOENyCociente de incrementos

Si nos interesa la razón de cambio “exacto” de “y” para valores particulares de x, por ejemplo cuando x =5 ¿Cuál es la razón de crecimiento de “y” para cada unidad de incremento en x? La razón de cambio de “y” con un valor concreto de “x”, se denomina “RAZON DE CAMBIO INSTANTANEO” de “y” con respecto a “x” la cual se calcula HACIENDO 0X

X X X+ X )()( xfxxfy

x

y

5 1

5 0.1

5 0.01

5 0.001

5 0.0001

De la tabla anterior se observa que el cociente de incrementos se aproxima a 1.5 cuando x 0 El análisis anterior da lugar a la siguiente definición:

x

xfxxf

x

y

dx

dy

)()(limlim

x 0

Entonces esta ecuación anterior es la interpretación fundamental de la derivada “como una razón de cambio instantáneo de una variable con respecto a otra”. Para encontrar si una función es derivable, es decir, si el límite del cociente de los incrementos existe, sería muy tardado y complicado hacer el análisis tanto grafico como tabular, tal como lo hicimos en el ejemplo anterior, por lo que existen 2 formas de encontrar la derivada de funciones:


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1.- Por incrementos o fórmula general 2.- Por medio de fórmulas establecidas (formulario). DEFINICION DE DERIVADA.- “La derivada de una función en una variable es el límite del cociente del incremento de la función entre el incremento de la variable independiente cuando ésta tiende a cero”. SIGNIFICADO GEOMETRICO DE LA DERIVADA

OBJETIVO 1. Comprender el significado geométrico del concepto de derivada en un

punto. 2. Obtener las pendientes a las rectas tangentes a una curva en un punto. 3. Aplicar el concepto de FUNCION DERIVADA a la obtención de la

DIRECCION de una curva.

INTRODUCCION

1.- En una recta 12

12

xx

yym

corresponde al valor de la pendiente de la

recta, es decir, m es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación.

2.- En consecuencia, en el caso de una recta x

ym

es la pendiente.

Es decir m permite determinar la DIRECCION de la recta.

3.- Considerando lo anterior, podemos afirmar que 0

0 )()(

xx

xfxf

es la

pendiente de la recta secante que corta a la curva y=f(x) en los puntos (x,f(x))

y ))(,( 00 xfx

4.- Como x es un valor que tiende a

0x , así también el punto (x ,f(x)) tiende a

))(,( 00 xfx . De esta forma GEOMETRICAMENTE las secantes se van “

transformando” en la TANGENTE a la curva en el punto ))(,( 00 xfx .

5.- En consecuencia, 0

0 )()(

xx

xfxf

es la pendiente de la RECTA TANGENTE a

la curva y = f(x) en el punto ))(,( 00 xfx cuando x tiende a 0x .( x tiende a 0 ).


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6.- Luego el x

xfxxflim x

)()( 00

0 , o sea la DERIVADA de una función en

un punto ))(,( 00 xfx , es la PENDIENTE de la recta TANGENTE a la curva en el

punto ))(,( 00 xfx .

7.- La recta TANGENTE a una curva en un punto, determina la DIRECCION de la curva en ese punto. Podemos concluir entonces que la DIRECCION DE UNA CURVA está definida por las diversas direcciones que tienen las infinitas tangentes en cada punto. 8.- Para DEFINIR MATEMATICAMENTE en un solo concepto la DIRECCION de una curva, se hace necesario GENERALIZAR el concepto anterior.

9.- Así el concepto x

xfxxflimxf x

)()()(

00

00 al transformarse en

x

xfxxflimxf x

)()()( 0 representa ahora LA PENDIENTE DE UNA

RECTA TANGENTE a la curva en cualquier punto de ella.

10.- Finalmente podemos decir que x

xfxxflimxf x

)()()( 0

representa la DIRECCION DE LA CURVA y = f(x) en todos sus puntos.

Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo, data del gran científico griego Arquímedes (287 – 212 a.C.) es el llamado: problema de las tangentes y que se describe a continuación.

Dada una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x) (ver figura 1).

Figura 1

Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de la curva y próximo a P.

La recta que pasa por P y Q se denomina: recta secante.


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Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas: Q1, Q2, Q3, ..., Qn, ..., entonces, la posición límite (si existe) de la secante, se denomina: la recta tangente a la curva en P.

Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son respectivamente:

, (Ver figura 2.), entonces, la pendiente de la recta secante ,

denotada por viene dada por:

Figura 2.

En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical), es la recta cuya

pendiente viene dada por:

De esta forma, la ecuación de la recta tangente a la curva en es:

(Punto – Pendiente)

Interpretación Física De La Derivada Velocidad promedia y velocidad instantánea

Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, separadas entre si 100 Km., en un tiempo de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 Km./h. Esto es, la velocidad promedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado.

Pero, durante el viaje, el velocímetro con frecuencia marcó lecturas diferentes de 50 Km./h. Inicialmente marco 0; a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar 0.

Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Qué es lo que en realidad marca el

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/4.4.html#LINK1


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velocímetro? No marca la velocidad promedio, sino la llamada velocidad instantánea. Por lo tanto:

Definición: Sea un punto P un punto sobre una recta de coordenada l tal que su posición al tiempo t está dada por s(t), donde s es una función derivable.

La velocidad v(t) de P al tiempo t está dada por:

t

tsttslímtvt

0)(

Por tanto, la velocidad instantánea v es la derivada de la función de la posición s, es decir, v = ds/dt.

DERIVACION DE FUNCIONES POR FORMULA GENERAL O DE 4 PASOS Una forma de derivar funciones es por medio de la regla de 4 pasos. Es un poco largo y tedioso el proceso y en el momento de que el alumno aprende a derivar por fórmula, este método no les agrada por los motivos ya citados. REGLA DE LOS 4 PASOS. 1.- Se sustituye x por x + x así como y por y + y

2.- Se resta la función original 3.- Se divide toda la expresión resultante de la resta entre x

4.- x 0, es decir se sustituyen los x por 0 EJEMPLO: DERIVAR: y = x2 + 3x PASO 1 y + y = (x + x )2 + 3(x + x )

y + y = x2 + 2x x +( x )2 + 3x + 3 x

Paso 2 y + y = x2 + 2x x +( x )2 + 3x + 3 x

-y = – x2 – 3x y = 2x x + )( x

2 + 3 x

Paso 3

x

y

x

x

x

x

x

xx

3)(2 2

x

y 2x + x + 3

Paso 4


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x

y 2x + 0 + 3

x

y 2x + 3

DERIVAR LAS SIGUIENTES FUNCIONES POR LA REGLA DE LOS 4 PASOS 1.- y = 8x – 5 2.- y = a + bx 3.- y = x2 – 3x 4.- y = 2x3 + 2x2 – 4x + 1


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5.- y = 2

32 x

6.- y = 2

21 x

7.- y = 3

32

2

x

x


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8.- y = 2

2 4

x

x

9.- y = 2

22

x

ax

10.- y = x

x 42


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DERIVACION POR FORMULAS

DERIVACION DE FUNCIONES ALBEBRAICAS.- En el capítulo 3 de este cuadernillo estudiamos los tipos de funciones, los cuales son 2:

a) algebraicas b) trascendentes

Las algebraicas son aquellas donde se involucran todas las operaciones del álgebra: suma, resta, multiplicación, división, potencia y raíz. Dentro de su clasificación, las algebraicas pueden ser polinomiales de primer grado (lineales), de segundo grado (cuadráticas), de tercer grado (cúbicas), etc. Antes de observar los procedimientos de derivación, recordemos también el concepto de variable y constante. Una variable es aquella que cambia en un proceso matemático y se representa por las últimas letras del alfabeto (r – z) y algunas letras griegas; asimismo, las constantes son aquellas que no cambian en un proceso matemático y se representan con las primeras letras del alfabeto

(a – n), por la letra griega y la letra e (Euler).

En el formulario de derivación, la notación

x

y

dx

dyf ´(x) = D(x) = y´ son lo

mismo, en nuestro curso utilizaremos por comodidad la última, es decir, y´, la cual se lee: “ye prima”. EJEMPLO 1: Sea y = 3x + 2 Por ser una suma algebraica, utilizaremos la fórmula III:

)(

dx

wvud

dx

dw

dx

dv

dx

du

Si te fijas la fórmula son 3 términos y en la función son sólo 2, sin embargo eso no importa, dado que la fórmula es solamente una representación, es decir, pueden ser 2,3, 4 o más términos. Ahora bien, debemos derivar entonces 3x y sumarle la derivada de 2. Checando el formulario, puedes darte cuenta que la variable x en la expresión 3x está elevada a la potencia 1 y además esta acompañado de un número (una


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constante) por lo que la expresión es la derivada de cdx

cxd

)( , luego el

número 2 por ser una constante corresponde a la fórmula I, es decir: 0)(

dx

cd

Entonces: y = 3x + 2 y´= 3 Ejemplo 2: y = 5x3 + 4x2 + 2x + 8 Es una suma algebraica, por lo que utilizamos la fórmula 3, es decir, la de la suma, donde se debe derivar cada término por separado.

dx

d

dx

xd

dx

xd

dx

xd

dx

dy )8()2()4()5( 23

Los términos 1 y 2 se pueden derivar con la fórmula 4, es decir.

)()(

dx

dvc

dx

cvd

El término 3 se puede derivar con la fórmula 4 a, es decir

cdx

cxd

)(

Y el último término, que es una constante, con la fórmula 1

0)(

dx

cd

Sin embargo, derivar x3 y x2 se consigue con la fórmula de un “x a la n”(fórmula bastante empleada en cálculo diferencial)

dx

xd n )(nxn-1

Por lo tanto, y´= 15x2 + 8x + 2 En los siguientes ejercicios, se te proporciona el resultado (a la derecha), demuestra entonces que la derivada que encuentres coincide con el resultado 1.- y = 3x4 – 2x2 + 8 y´ = 12x3 – 4x


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2.- y = 4 + 3x – 2x3 y´= 3 – 6x2

3.- y = 72

72 zz y´= z – z6

4.- y = 2

32

xx y´= -

32

62

xx

5.- y = 2x3/4 + 4x-1/4 y´= 4/54/1

2

3

xx

6.- y = x

cxbxa 2 y´= c –

2x

a

7.- y = 3x2 + 5x – 8 y´= 6x + 5


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8.- y = 32 2 x y´= 32

2

2 x

x

9.- y = 4

102 5 xx y´=

2

55

4

1010 44

xx

10.- y = x

x 2

2 y´=

xxx

1

4

1

11.- y = x21 y´= x21

1

12.- y = ax

aax y´=

axx

a

ax

a

22


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13.- f(x) = (2 – 3x2) 3 f´(x) = -18 (2 – 3x2)2

14.- y = 3 94 x y´= 3/2)94(

3

x

15.- y = 22

1

xa y´ =

322 )( xa

x

16.- y = (2 – 5x)3/5 y´= 5/2)52(

3

x

17.- y = (a - 2)x

b y´= )(

22 x

ba

x

b


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18.- y = x bxa y´= bxa

bxa

2

32

19.- y = x 22 xa y´=

22

22 2

xa

xa

20.- y = xa

xa

y´=

2)(

2

xa

a

21.- y = 22

22

xa

xa

y´=

222

2

)(

4

xa

xa


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22.- y = x

xa 22 y´=

222

2

xax

a

23.- y = 22 xa

x

y´=

322

2

)( xa

a

24.- y = x2 x43 y ´=

x

xx

43

106 2

25.- y = cx

cx

1

1 y´=

221)1( xccx

c


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26.- y = 22

22

xa

xa

y´=

4422

2

)(

2

xaxa

xa

27.- y = px2 y´= y

p


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28.- y = 22 xaa

b y´=

ya

xb2

2

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Se dice que una función y= f(x) es creciente en un interválo l = (a,b) si se verífica que: a < b entonces f (a) < f (b) Se dice que es una función y = f(x) es decreciente en un interválo l = (a,b) si se verífica que: a < b entonces f(a) > f(b) Empleando LA DERIVADA de la función es sencillo determinar si una función es creciente o decreciente en un intervalo. Si f´(x) > 0 sobre un intervalo l, entonces es creciente en ese intervalo Las pendientes de las rectas son negativas, quiere decir que la función es decreciente. Ejemplo. Determina si la función y = x2 – 7x + 2 = 0 es creciente o decreciente en x = 2 Graficando la función dando valores al dominio de – 2 hasta + 2


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Ahora bien, deriva la función: Y´ = 2x – 7

Evaluamos la función en x = 2 Y ´= 2(2) – 7 = – 3

- 3 < 0 Por lo tanto la función es decreciente en x = 2, observa la grafica, traza la recta tangente al punto y comprueba graficamente lo anterior. EJEMPLO 2: Determina como es la función y = x2 + 12x – 5 cuando x = - 5

y = x2 + 12 x – 5 y ´= 2x + 12

Evaluando para x = - 5 y´= 2(- 5 ) + 12 = - 10 + 12 = +2

por lo tanto la función en ese punto es creciente.

FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE DE UN INTERVALO

Para determinar los intervalos de una función, se procede a lo siguiente: 1.- Se obtiene la primera derivada de la función 2.- La función es creciente cuando la evaluación de la función es positiva, por lo que hay que utilizar una inecuación siendo x > al término independiente. 3.- El intervalo será de dicho valor al infinito EJEMPLO Determina en que intervalo la función y = x2 - 6x + 1 es creciente

Y= x2 – 6x + 1 Y´= 2x – 6

2x > 6 (despejando el – 6) x > 3

Entonces el intervalo es (3, ∞)

EJERCICIOS. Determina si las siguientes funciones son crecientes en los puntos indicados para la abscisa. 1.- f(x) = x – 2


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2.- f(x) = 2x2 3.- f(x) = 3x2 – 4x + 3 4.- f(x) = 4x2 + 2x +5 5.- y= x3 - 4


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PUNTO DE INFLEXION DE UNA FUNCION

El punto donde la función cambia de sentido lo llamamos punto de inflexión. Los puntos de inflexión de una curva son muy importantes en el diseño de carreteras, juegos mecánicos, entre otras cosas. Para obtener el punto de inflexión se sigue el siguiente procediemiento:

a) se obtienen la primera, segunda y tercera derivada. b) La segunda derivada se iguala a cero y se resuelve. c) El valor obtenido se sustituye en la tercera derivada, si este es diferente

de cero, entonces es punto de inflexión. d) Se obtiene el punto evaluando la función en el valor obtenido.

Ejemplo: Obtener el punto de inflexión de la función y = x3

y´= 3x2 y´´ = 6x y´´´= 6

La segunda derivada se iguala a cero y se resuelve. y´´ =6x 6x = 0 X = 0/6 X = 0

Este valor se sustituye en la tercera derivada, si es distinto de cero es punto de inflexión, como lo es en este caso.

EJERCICIOS: OBTENER LOS PUNTOS DE INFLEXION DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES

1.- y = x3 + 1 2.- y = x3- 3x2 – 3x – 4


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3.- y = x3 – 6x + 5 4.- y = x3 + 3x2 – 36 x + 12

CONCAVIDADES

Para determinar las concavidades (huecos) de una función se sigue el siguiente criterio.

a) Si la segunda derivada es mayor que cero, la curva es cóncava hacia arriba

b) Si la segunda derivada es menor que cero, la curva es cóncava hacia abajo.

****ALGUNOS AUTORES UTILIZAN CÓNCAVA Y CONVEXA. DETERMINA LAS CONCAVIDADES DE LA FUNCION y = x3 – 3x2

y´= 3x2 – 6x y ´´ = 6x – 6

se resuelve la inecuación

6x – 6 >0 6(x – 1 ) > 0

x – 1 > 0 x > 1

Entonces la función es cóncava hacia arriba en el interválo (1 , ∞ )


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EJERCICIOS DETERMINA LAS CONCAVIDADES DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES 1.- f(x) = x3 + 1 2.- f(x) = x3+ x – 4 3.- f(x) = 2x3 – 6x2 + 45 x – 52


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4.- f(x) = 2 + x – x2 – x3

APLICACIONES DE LA DERIVADA UNIDAD V

MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

FIGURA 1 FIGURA 2


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1.- ¿Qué observas en las figuras 1 y 2? 2.- ¿Qué observas en la figura 3?

FIGURA 3

FUNCION CRECIENTE.- Una función y = f(x) es creciente si al aumentar algebraicamente “x” también “y” aumenta, es decir, la función creciente en un intervalo si es creciente en todos los valores del intervalo. FUNCION DECRECIENTE.- Una función y = f(x) es decreciente si al aumentar algebraicamente “x” la “y” disminuye, es decir, la función es decreciente en un intervalo si es decreciente en todos los valores del intervalo. El criterio para determinar si una función es creciente o decreciente en un intervalo dado, es el siguiente: hallar la derivada de la función, geométricamente hablando la tangente forma un ángulo agudo con el eje de las “x” y tiene pendiente positiva (FUNCION CRECIENTE); si la derivada es negativa, la tangente forma un ángulo obtuso con el eje de las x y tiene pendiente negativa (FUNCION DECRECIENTE), por lo tanto: “Una función es creciente cuando su derivada es positiva y es decreciente cuando su derivada es negativa. MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION Si “f” es una función cuyo valor es “c”, se tiene que:

a) f(c) se llama máximo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a “c” tal que f(x) ≤ f(c) para todo “x”en dicho intervalo, es decir, si f(c) es mayor que cualquiera de los valores de f(x) que le anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado.

b) f(c) se llama mínimo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a “c” tal que f(x) ≥ f(c) para todo “x” que le anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado.

De lo anterior no debe confundirse los máximos y mínimos relativos de los absolutos, los cuales son donde la ordenada “y” es mayor o menor en la grafica, por lo que se denominan “absolutos”.


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Grafica la función y = 2x3 +3x2 – 12x dando valores al dominio de – 3 hasta +3 METODOS PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION Existen 2 métodos para calcular los máximos y mínimos de una función, ambos útiles y sencillos. Para efectos prácticos sólo veremos el segundo método el cuál consiste en lo siguiente: 1.- Se deriva la función dada. 2.- La derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación. Las raíces de la derivada se denominan valores críticos de la función. 3.- Se obtiene la segunda derivada de la función, es decir, se deriva la primera derivada. (DERIVADAS SUCESIVAS) 4.- Se sustituyen las raíces en la segunda derivada. Si el valor encontrado es positivo, significa que en ese valor crítico existe un mínimo, por el contrario, si el resultado es negativo, entonces existe un máximo en ese valor crítico. DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCION. Derivar sucesivamente una función, significa obtener la segunda, tercera, cuarta, etc. derivada (en un momento puede llegar a ser 0). Ejemplo: Obtener la cuarta derivada de la función y = x3 + 5x2 – 6x + 8 y´= 3x2 + 10x – 6 yII = 6x + 10


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yIII = 6 yIV = 0 EJEMPLOS DE MAXIMOS Y MINIMOS. Calcular los máximos y mínimos (si los hay) de la siguientes funciones y = 2x3 +3x2 – 12x Paso 1: derivar la función y´= 6x2 + 6x – 12 Paso 2, se iguala a cero y se obtienen las raíces: 6x2 + 6x – 12 = 0 Se puede simplificar (todo se puede dividir entre 6) X2 + x – 2 =0 Por factorización (x +2)(x – 1) = 0 por lo que x1 = – 2 x2 = 1 Paso 3: derivar la primera derivada: y´= 6x2 + 6x – 12 yII = 12x + 6 Paso 4, sustituir las raíces en la segunda derivada: X1 = – 2 x2 = 1 YII = 6(-2) + 6 =– 12 yII= 6(1) + 6 = 6 + 6 = +12 Por lo tanto, tenemos que existe un máximo relativo cuando x = – 2 y hay un mínimo relativo cuando x = 1 (checa el último grafico que realizaste). 2.- y = x3 – 6x2 + 9x max. = 4 para x =1 Min. = 0 para x = 3


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3.- y= 10 + 12x – 3x2 – 2x3 max = 17 para x = 1 min = - 10 para x= – 2 4.- Comprobar que la siguiente función no tiene máximos ni mínimos y = 2x3 + 3x2 + 12x – 4 5.- y = 2x2 – x4 min = 0 para x= 0 max. =1 para x = 1


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6.- y = x4 – 4x min = 3 para x=1 7.- y = 3x4 – 4x3 – 12x2 Min = – 5 para x = –1 max = 0 para x = 0 min = – 32 para x = 2 8.- y= x5 – 5x4 max = 0 para x= 0 min = – 256 para x=4


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9.- y = x2 + x

a 32 min = 3 a2 para x = a

10.- y = 22 ax

ax

min = - ½ para x = – a max = ½ para x = a

11.- y = x3 – 6x2 +15


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12.- y = ax

x

2

14.- y = (1 – x)3 (2+x)2

15.- Y = x2 + 8x +10


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16.- y = x4 – 32 x + 4

17.- y = 5

55 xx

APLICACIONES DE LA DERIVADA

PROBLEMAS QUE PERMITEN LA APLICACIÓN DEL CALCULO

DIFERENCIAL.

La aplicación del cálculo diferencial se puede dar en diferentes áreas

del conocimiento, como por ejemplo:

En la economía la derivada se puede utilizar para determinar la

utilidad bruta anual de una empresa particular en un determinado período de

tiempo.

Con el cálculo diferencial, un ingeniero preocupado en el

abastecimiento de agua de una ciudad, puede medir el caudal de un río, el

volumen que fluye en este, en una unidad de tiempo.


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En la mecánica se puede aplicar el cálculo diferencial para

determinar la eficiencia de las máquinas térmicas, es decir, para establecer

cuanto trabajo desarrolla en función del tiempo.

El concepto de velocidad del movimiento rectilíneo en el área de la

física corresponde al concepto más general.

EJEMPLO 1: Construcción de una caja de máximo volumen Debes tener en cuenta lo siguiente:

1. Lee el problema hasta comprender lo que se pide. 2. Realiza el dibujo. 3. Construye el modelo. 4. Calcula máximos y mínimos.

Y analizar las siguientes cuestiones:

a) ¿Qué es lo que te pide el problema?. b) ¿Cuáles son las dimensiones de largo, ancho y alto de la caja?(

puedes utilizar incógnitas). c) ¿Cuál es la ecuación con la que se va a obtener el máximo ó

mínimo?. d) Deriva la función del inciso anterior. ¿Cuáles son los puntos críticos?. e) De acuerdo a los puntos críticos, qué valor corresponde al máximo

(de ser necesario utiliza el criterio de la segunda derivada).

PONIENDO EN PRÁCTICA LOS CONOCIMIENTOS.

Usa los conceptos matemáticos aprendidos para efectuar una o todas las actividades siguientes:

Diseño de una caja de cartón de máximo volumen sin tapa.

Materiales: Cartulina de 20 cm. X 20 cm. Tijeras Regla Escuadras Calculadora Hojas cuadriculadas o equipo de dibujo Cinta adhesiva (masking- tape)


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ENUNCIADO DEL PROBLEMA: En esta actividad examinamos el volumen de las diferentes cajas que se pueden construir a partir de un material del mismo tamaño. PROCEDIMIENTO: a) Tomando la cartulina de 20 cm. X 20 cm. Recorta cuadros en las esquinas como se muestra en la siguiente figura; después de que tu profesor asigne las medidas de “x” a cada equipo. b) Las medidas de “x” para los seis equipos distintos, asignando una medida a cada equipo son: 2.5 cm., 2.8 cm., 3 cm., 3.3 cm., 3.5 cm., y 3.8 cm. c) Haga los dobleces necesarios para formar la caja como lo muestra la siguiente figura:

d) Cada equipo que tome los siguientes datos de las distintas cajas y que realice las operaciones pertinentes en su calculadora.

CÁLCULOS: a). Determina el área de la base como lo indica la tabla en la columna 5 y anótalo.

b). Determina el volumen del paralelepípedo como lo indica la columna 6 de la tabla y anótalo.

c). ¿Cómo se comparan los datos de tu grupo con los datos obtenidos por los otros grupos?(compara las áreas y volúmenes con la de los otros).

AREA VOL.

EQUIPO L A h L X A AREA X h

1

2

3

4

5

6

A

L

h


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d). Deriva la función del volumen V = x (20 – 2x)2

e). Iguala dx

dv con cero

f). Obtén el valor de “x” en dx

dv = 0

g). ¿Qué valor de “x” en la tabla se aproxima más con la “x” determinada en el inciso (f)? Coméntalo con tu grupo.

h). Comenta con tus compañeros qué método ocuparías si te asignan un trabajo similar al de la práctica.

i). Al estar trabajando en una empresa que se dedique al diseño de envases ¿Crees que te permitirían desperdiciar material?

j). ¿Qué dimensiones tiene la caja de máximo volumen?

k). Los métodos que hay son con: aritmética, álgebra, gráficamente y con cálculo diferencial, posiblemente se inclinen por el método de cálculo diferencial, debido a que se pierde menos tiempo y no se desperdicia material como en el ensayo de prueba y error.

l). En una empresa y en nuestra vida cotidiana, a nadie le gusta desperdiciar, incluso ni en experimentos.

m). Altura = 33

1 cm 3.3 cm.

Largo = ancho = 13 3

1 cm. 13.3 cm.

REALICEMOS EL EJERCICIO EN EL PIZARRON.

V = x (20 – 2x) 2


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EJEMPLO 2 . Altura máxima alcanzada por una toronja

Una toronja es lanzada en línea recta hacia arriba a una velocidad inicial de

100 pies/seg. Su altura en el tiempo t está dada por y = -16 t 2 + 100 t + 6 ¿A qué altura llega antes de regresar al suelo?. Si desea llevar al máximo la altura de la toronja sobre el suelo. Ya sabes que usando la derivada se puede encontrar exactamente cuándo la toronja está en su punto más alto. Por

sentido común, en la parte más alta la velocidad dt

dy debe ser cero.

Alternativamente se busca un máximo, así que se tratan de encontrar puntos críticos donde y’ = 0. Se tiene:

610016 2 tty y

10032 tdt

dy

y así .32

100segt

Por lo tanto, se obtiene el tiempo en el que la altura es máxima; el valor máximo de y es entonces:

piesy 25.1626125.3100125.3162

¿Será necesario comprobar analíticamente que en el punto crítico que existe un máximo?

LANZAMIENTO DE UNA TORONJA

0

50

100

150

200

0 2 4 6 8

TIEMPO

AL

TU

RA

Altura máxima


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OPTIMIZACIÓN

Dado que el mundo está lleno de problemas, tanto en la industria, la ingeniería,

el comercio y cualquier otra área que requiera de poder calcular aquellos

valores que les permitan determinar ganancias máximas o mínimos costos,

menor cantidad de material para máximos volúmenes etc., es en donde se

vuelven importantes los procesos de optimización y donde el calculo diferencial

toma un papel relevante en la determinación de estos valores a partir de uno de

sus conceptos mas importante que es el de la derivada en la obtención de

máximos y mínimos a partir de una función.

Pasos a seguir para resolver problemas de optimización:

Lee el problema hasta comprender lo que se pide.

Realiza uno ó varios dibujos de la situación que muestre como se

relacionan los elementos que varían.

Construye el modelo (ecuación) de la situación del problema, para lo

cual consideras lo que se desea que sea máximo o mínimo, como pueden ser

áreas, volúmenes, costos, dimensiones, etc. y exprésalo en términos de una

sola variable, utilizando los datos proporcionados.

Calcula los máximos y mínimos por el método que desees y resuelve el

problema.

EJEMPLO 2: Determinación de las dimensiones de una lata. ¿Cuáles son las dimensiones de una lata de aluminio con capacidad de 64 cm3 de jugo, que utilice el mínimo de material (es decir, aluminio)?. La lata es cilíndrica y con tapa en ambos extremos.

Este problema lo puedes resolver por medio de ensayo y error, pero otra manera de resolverlo es utilizando máximos y mínimos. Para realizar esto, es


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necesario elaborar un modelo matemático de la cantidad de material a usar (área de aluminio)

Elaborando un dibujo de la situación, para calcular el área de aluminio se descompone la lata, considerando las tapas y el cuerpo del cilindro.

El área de cada tapa es 2r y la del cuerpo del cilindro es hr2 construyendo

el modelo (ecuación).

A TOTAL

= área de las tapas + área cilindro

ATOTAL

= hrr 22 2

Dado que la ecuación está en términos de dos variables h (altura), r (radio) es necesario expresarla en términos de una sola variable, para lo cual es necesario recurrir al volumen dado del cilindro.

VCILINDRO

= hr 2

Como conocemos que V = 64 cm 3 sustituyendo en la ecuación anterior tenemos:

64 = hr 2

Despejamos la h (altura) resultando: 2

64

rh

Sustituyendo en ATOTAL

queda: ATOTAL

=

2

2 6422

rrr

hrA 2

A = r2

A = r2


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Simplificando términos: ATOTAL

=r

r128

2 2

Calculando dr

dA OTALT obtenemos:

2

T 1284

rr

dr

dA OTAL

CONTINUEMOS:


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EJEMPLO 2: Un problema económico.

Una fábrica contrata a una empresa de autobuses para el traslado de sus trabajadores, convienen en pagar $120.00 por trabajador, si hay un mínimo de 50 personas y se comprometen a disminuir $1.00 por cada persona que exceda de 50. ¿Cuál es el numero de trabajadores que proporcionara el máximo ingreso a la empresa del transporte?.

1. Si analizamos el enunciado del problema observaremos que por cada unidad que se aumente a 50 que es el numero de trabajadores mínimo, se reducirá en $1.00 el costo del transporte por lo tanto la fórmula para calcular el Ingreso de la empresa seria:

xxI 12050

La cual representaría a nuestra función de ingreso 2. Aplicando la formula para derivar un producto y determinar los valores críticos tenemos: Aplicando los 4 pasos para obtener máximos y mínimos:

Igualando la derivada a cero y despejando la variable para obtener el valor crítico tenemos:

3. Sustituyendo en la formula del ingreso tendríamos:

Sustituyendo en la derivada con

valores menores y mayores tenemos:

Con un valor menor (34):

-2(34) + 70 = 2 -------- f ’(34) = +

Con un valor mayor (36):

-2(36) + 70 = - 2 ------ f ’(36) = -

34 36 35

34f

36f


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ACELERACION EN UN MOVIMIENTO RECTILINEO

Siendo la velocidad la razón de cambio de la posición de un cuerpo, nos preguntamos: ¿Cuál es la razón de cambio de la velocidad? Si la velocidad en el movimiento rectilíneo se define como la rapidez de la distancia con respecto

al tiempo: dt

dsv Si la razón de cambio de la velocidad es:

2

2)(

dt

sd

dt

vd

Esto quiere decir que la segunda derivada se denomina aceleración y se define:” la rapidez de variación de la velocidad con respecto al tiempo:

a = 2dt

sd

dt

dv s

El movimiento de caída libre de un cuerpo se obtiene de la ecuación: s = 2

2

1gt

donde g es la gravedad terrestre (9.8 m/s2) , la velocidad se obtiene: v =gt y la aceleración a = g. Ejemplo 1: La ley del movimiento rectilíneo de un cuerpo viene dado por la ecuación: s= t3 – t + ½ , hallar su velocidad y aceleración en:

a) Un instante cualquiera b) Un instante t = 2 segundos c) Un instante t= 4 segundos.

SOLUCION:

a) En un instante cualquiera: S´= 3t2 – 1 m/s (velocidad) S´´ = 6t m/s2 (aceleración).

b) Cuando t = 2 segundos V = 3t2 – 1 = 3(2)2 – 1 = 3(4) – 1 = 12 – 1 = 11m/s a = 6t = 6(2) = 12m/s2

c) Cuando t = 4 V= 3t2 -1 = 3(4)2 – 1 = 3(16) – 1 = 48 – 1 = 47m/s a = 3t = 6(4) = 24 m/s2

Ejemplo 2: Se deja caer una pelota desde lo alto de la torre Eiffel. Dicha torre tiene una altura de 300.5 metros. ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo y cuál es su velocidad instantánea cuándo llega al suelo?


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Un coche hace un recorrido en 12 minutos moviéndose según la ley:

s = 144t2 - 4

4t midiendo t en minutos y s en metros, hallar:

a) ¿Qué distancia recorre el coche? b) ¿Cuál es su velocidad máxima? c) Qué distancia ha recorrido el coche cuando alcanza su velocidad

máxima?

OPTIMIZACION Y NUMEROS

1.- Hallar 2 números positivos cuyo producto sea 288 y que la suma del doble del primero más el segundo sea mínima. Solución: Sea “x” el primer número Sea “y” el segundo número La ecuación de la suma máxima la denotaremos con “u” U= 2x + y La ecuación que establece el producto de 2 números igual a 288 es: xy = 288

Tenemos entonces que despejando y de la anterior: x

y288

Entonces: u = 2x + x

288 y de esta forma se trabaja con una sola variable “x”.

Aplicamos los 4 pasos para obtener máximos y mínimos:


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APLICACIONES A LA ECONOMIA

El coste total de producción de “x” unidades diarias de un producto es de x2/2 +70x + 50 dólares, y el precio de una de ellas es de 100 – x/2 dólares. Hallar el número de unidades que se deben vender diariamente para que el beneficio sea máximo. Denotemos el beneficio de la producción con la letra P, con C el coste de la producción y con R el precio de venta de cada prenda, entonces P= R – C P = x(100 – x/2 ) – ( x2/2 + 70 x + 50)

OTRAS APLICACIONES Una persona cuenta con 25 m de cerca y desea rodear un campo que bordea un río recto. En la ribera no necesita cerca. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno que ocupa el área máxima? Consideremos 2 casos extremos que se pueden presentar: A = l * a Caso 1: 23m 1m 1 Caso 2: 12


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Como se observa, las áreas son diferentes, por lo que trataremos de encontrar el área máxima que se puede cercar. Si x es el ancho, entonces denotaremos al largo con la letra y:

A = xy P = 2x + y

De donde podemos conocer el valor de y para relacionarlo con el área Y= 25 – 2x

Sustituyendo: A = x(25 – 2x) = 25x – 2x2

Encontramos la primera derivada: A ´= 25 – 4x

Igualamos a cero y encontramos: 25 – 4x = 0

X = 25/4 X = 6.25

Encontramos la segunda derivada: A ´´ = - 4

Lo que nos dice que para x = 6.25 tenemos un máximo Ahora bien, el largo se obtiene de la ecuación:

Y = 25 – 2x Y = 25 – 2(6.25)

Y = 12.50

El área entonces es de : A = 78.125 m2

PARA REFORZAR LO APRENDIDO SE TE RECOMIENDA

RESOLVER LOS PROBLEMAS QUE A CONTINUACIÓN SE PLANTEAN, VERIFICA TUS RESULTADOS CON LA RESPUESTA INCLUIDA EN CADA UNO DE ELLOS.

1. Un propietario puede rentar sus 40 apartamentos a $5,000.00 mensuales cada uno, el dueño de los apartamentos observa que por cada $250.00 de aumento en la renta, se renta un apartamento menos. ¿Qué renta debe cobrar y cuantos apartamentos debe rentar para obtener máximas ganancias?

R.- Debe rentar 30 apartamentos a un costo de $7,500.00 cada uno para obtener máximas ganancias.


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2. Dada una lamina rectangular de longitudes 2 y 1 m, respectivamente, calcula las dimensiones de la caja abierta que se puede formar con ella cortando en las cuatro esquinas un cuadro para que el volumen sea máximo.

R.- 6

33

3. Una bala disparada verticalmente hacia arriba alcanza, al cabo de t segundos la altura h = 500t – 5t2 metros. ¿Cuál será la altura máxima que pueda alcanzar?

R.- 12,500 mts

4. Un fabricante español de televisores observa que puede vender 50 televisores a 20,000.00 pts. cada uno y que por cada aparato que fabrique de mas el precio bajara 300.00 pts. ¿Cuántos televisores debe fabricar para obtener el máximo ingreso?

R.- x = 8.3 8 Televisores = 58


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6. El costo de combustible que consume una locomotora es proporcional al

cuadrado de la velocidad y tiene un costo de 1,600.00 pts. por hora cuando la velocidad es de 40 km/h. Independientemente de la velocidad el costo por hora se incrementa por diferentes causas en 3,600.00 pts. por hora. Calcular la velocidad a la que debe ir la locomotora para que el costo por kilómetro sea mínimo.

R.- V = 60 km/h

7. Hallar dos números cuya suma sea 120 y que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo

R.- n1 = 80 n2 = 40


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8.- Una empresa produce y vende paquetes de hojas de maquina y gasta “x” cantidad de cientos de dólares en la producción y gastos de ejecución, siendo P la ganancia en su empresa por cada paquete que vende al mercado, es decir: P = 230 + 20x - x2/2. ¿Qué cantidad de paquetes de máquina darán el beneficio máximo?

9.- Se deja caer una moneda desde una altura de 200 metros, hallar la velocidad instantánea de la moneda cuando alcanza el suelo. 10.- Se desea fabricar una caja con piezas de cartón de 24 * 8 cm cortando las esquinas y doblando hacia arriba. Encuentra la medida del doblez para que el volumen sea máximo y el volumen máximo.


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11.- Encuentra las dimensiones que debe tener un cilindro de latón de 1200 cm3 que requieren la menor cantidad de metal (área total). 12.- Un comerciante en la promoción y venta de videograbadoras, descubre que la demanda del artículo se representa por

Y = 2

2500

w

Donde y es la ganancia total y w es la videograbadora. Encuentra que cantidad de videograbadoras para obtener la máxima ganancia.


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13.- Un proyectil se mueve de acuerdo a la ecuación: s = t3 – 6t2 + 9t + 4, calcular la velocidad y aceleración en: a) t = 3 segundos b) t = 6 segundos 14.- Un campesino cuenta con 25 metros de cerca y desea rodear un campo de bordea un río recto. En la ribera no necesita cerca. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno que ocupa el área máxima? 15.- Determina las dimensiones de un cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto de r =5 y altura = 15


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16.- Un volante de propaganda debe contener 69 cm2 de impresión con los margenes siguientes; izquierdo y derecho 4 cm, superior e inferior de 6 cm. Determina las dimensiones mínimas de la página. 17.- Encuentra el punto en la parábola y2 = 4p que esté más próximo al punto (2,7).


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20.- La página de un ibro debe contener 500 cm2 de impresión con margenes de 3 cm por lado. Determina las dimensiones de la página. 21.- En una hoja tamaño carta (27.94 * 21.59) se dejan los margenes siguientes: izquierdo 3 cm y los otros lados 2 cm. Determina si las dimensiones de la hoja minimizan la cantidad de papel, con esos margenes.


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DERIVACION DE FUNCIONES TRASCENDENTES

Recordando la clasificación de funciones, estas se dividen en algebraicas y trascendentes. Las primeras incluyen todas las operaciones concernientes al álgebra y las trascendentes incluyen:

a) Exponenciales b) Logarítmicas c) Trigonométricas d) Trigonométricas inversas.

En este capítulo emplearemos el resto del formulario, es decir de la fórmula 11 a la 27. Si lograste dominar el tema de derivación de funciones algebraicas, entonces este tema será muy sencillo, de lo contrario, hay que seguir preparándose. Ejemplo 1: y = e2x Este ejercicio representa un ev , donde v = 2x , checando la fórmula:

dx

dve

dx

ed vv

)(

lo que quiere decir que hay que derivar la variable v, dv/dx = 2

y ´= e2x (2) = 2e2x

Ejemplo 2:

y = sen 2x2 de acuerdo a la fórmula: dx

dvv

dx

senvdcos

)(

v = 2x2 dv/dx = 4x y´= cos 2x2 (2x) = 2x cos2x2 Ejemplo 3:

y = ln (2x2 + 3) v

dxdv

dx

vd

)(ln

Entonces v = 2x2 + 3 dv /dx = 4x

y´= 32

42 x

x


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Encuentra la derivada de las siguientes funciones:

1.- Y = ln ( ax +b) y´= bax

a

2.- y = ln (ax2 + b) y´= bax

ax

2

2

3.- y = ln (ax + b)2 y´= bax

a

2

4.- y = ln axn y´= x

n


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5.- y = ln (2x3 – 3x2 + 4) = y´= 432

)1(623

xx

xx

6.- y = log x

2 y´=

x

elog

7.- y = ln 2

2

1 x

x

y´=

)1(

22xx

8.- y = ln 229 x y´= 229

2

x

x


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9.- y = ln (ax xa ) y´= )(2

32

xax

xa

10.- y = x lnx y´= 1 + lnx

11.- y = bta

bta

y´=

222 tba

ab


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12.- y= x2 lnx2 y´= 2x (1+2lnx) 13.- y = enx y´= nenx

14.- y = 10nx y´= n 10nx ln 10

15.- y = 2xe y´=

2

2 xxe


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16.- y = xe

2 y´=

xe

2

17.- y = te y´= t

e t

2

18.- y = b2y y´= 2b2y ln b

19.- y = u

eu

y´= 2

)1(

u

ueu

20.- x

xln y´=

2

ln1

x

x


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21.- y= ln (x2 ex) y´= 12

x

22.- y = 1

1

x

x

e

e y´=

2)1(

2

x

x

e

e

23.- y = 2

2ln

x

x y´=

3

ln42

x

x

24.- y = ln xx

xx

1

1

2

2

y´= 1

2

2

x


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Sugerencia: racionalizar el denominador para facilitar la operación solicitada. En los ejercicios del 25 al 29 encontrar el valor de y´ para el valor dado de x 25.- y = ln (x2 + 2) para x = 4 y´= 4/9 26.- y = log (4x – 3) para x = 2 y´= 0.3474

27.- y = x ln 3x para x = 6 y´= 1.4319

28.- y = xe-2x para x = ½ y´= 0


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29.- y = x

x 2ln para x = 4 y´= - 0.0483

30.- y = sen ax y´= a cosa x 31.- y = 3 cos 2x y´= - 6 sen2x 32.- y = tg 3x y´= 3 sec2 3x 34.- y = a csc bx y´= - ab csc bx ctg bx


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35.- y = x2cos y´= xsen

xsen

2

2

36.- y = 3 3xtg y´= 3/2

2

)3(

3sec

xtg

x

37.- y = x cos x y´= cosx – x senx

38.- y = x

senx y´=

2

cos

x

senxxx

39.- y = sen 2x cos x y´= 2 cos 2x cosx – sen 2x senx


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40.- y = ln sen ax y ´= a ctg ax

41.- y = ln x2cos y´= - tg 2x

42.- y = ln senx

senx

1

1 y´= sec x


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43.- y = arc cos a

x y´=

22

1

xa

44.- y = arcseca

x y´=

22 axx

a

45.- y = arctg a

x y´=

22 xa

a


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46.- y = arc secx

1 y´=

21

1

x

47.- y = arc csc 2x y´= 14

1

2

xx

48.- y = arc sen x y´= 22

1

xx

49.- y = x arc sen 2x y´= arcsen 2x + 241

2

x

x


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50.- y = x2 arccos x y´= 2x arccos x - 2

2

1 x

x

51.- y = arc sen (3x – 4x2) y´= 1

22

x

52.- y = arctg ax2 y´= 421

2

xa

ax


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DERIVACION DE FUNCIONES IMPLICITAS

Decimos que una función es implicita cuando el valor de la función no está dado explicitamente o cuando no esta despejada la variable.

FUNCION IMPLICITA FUNCION EXPLICITA

xy – 1 = 0 y = 1/x

X2 +y – 4 = 0 y = 4 – x2

X2 + y2 = 25 Y = 225 x

En algunos casos será posible resolver para una variable, pero será más sencillo utulizar la derivación implícita. Este tipo de derivación consiste en derivar a cada término de ambos miembros de la igualdad con respecto a x y resolver para y´, recuerda que si derivas y, entonces debes indicar con respecto a x. El algorítmo es el siguiente:

a) Derivar cada término b) Anotar con respecto a quién se deriva la función, (si es con respecto a x

se escribe dx/dx = 1, esta expresión no se escribe por razones obvias, si es con respecto a y, se escribe dy/dx = y´.

c) Agrupar los téminos que contiene dy/dx = y´en un miembro y en el otro los que no lo tienen.

d) Factorizar y´ e) Despejar y´.

EJEMPLO: 1.- OBTENER LA DERIVADA DE LA FUNCION

y = 4x2 + 9y2 = 36 8x + 18 y y´= 0 Despejamos y´

18y y´= - 8x

y´= y

x

y

x

9

4

18

8

2.- OBTENER LA DERIVADA DE LA FUNCION: 6x2 + xy – 2y3 = 3

12x + y +x dx

dy – 4y

dx

dy = 0

(Si te fijas se aplico la derivación de un uv para derivar xy)

x yxdx

dyy

dx

dy 124


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yx

yx

dx

dy

yxyxdx

dy

4

12

12)4(

EJERCICIOS. 1.- 6x2+7xy – 5y2 =9 2.- x2+xy – 2y2 – 2 = 0 3.- 2x2 + 8xy – 2y2 +3x +2y = 5


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4.- 7x2 + 9xy + 8y2 + 4x + 3y = 56 5.- 3x2 + xy – y2 = 4 6.- 4x2 + 4xy – 6y2 = 2

material de analisis derivativo de funciones

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