analisis y funciones

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ANALISIS DE FUNCIONES


UTP/LABORATORIO FISICA

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RESUMEN

• Representar correctamente la grafica de un conjunto de datos experimentales,

realizar el análisis correspondiente y describir el comportamiento de un fenómeno

físico a partir de esas gráficas.

• Aprender el uso adecuado de los diferentes papeles gráficos: milimetrado,

logarítmicos y semilogaritmicos

• Aprender y practicar el uso de calculadoras científicas y hojas de cálculo.

• Aprender aplicar las diferentes fórmulas en un análisis defunción

• Comprender, distinguir y valorar el concepto de función

• Interpretar y relacionar tabla, gráfica y fórmula de una relación funcional

• Distinguir los conceptos de variable dependiente e independiente, dominio y

recorrido

• Apreciar e interpretar sobre una gráfica las primeras propiedades generales de

una función

• Distinguir, formular y representar situaciones mediante

una función de proporcionalidad directa e inversa.

INDICE


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Introduccion……………………………………………………………………. ... 5

Tabla de datos experimentales………………………………………………... .6

Caracteristicas basicas de una tabla…………………………………………....7-10

Graficas………………………………………………………………………….....11-13

Funcion …………………………………………………………………………....14-18

Variables y Constantes…………………………………………………………..19- 20

Papel Milimetrico,semilogaritmico,logaritmico ………………………………...21-23

Experimentos y calculos ………………………………………………………...24- 27

Cuestionario……………………………………………………………………....28- 32

INTRODUCCION


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Para investigar la relación entre dos cantidades físicas en el laboratorio,

debemos realizar mediciones experimentales las cuales nos proporcionan

por lo menos dos lista de números a los cuales les llamaremos datos. Estos

datos se organizan en forma de tablas con sus respectivas columnas o filas

y adoptan el nombre de tabla de datos experimentales.

De las distintas formas en que puede presentarse una función, mediante un

enunciado, una tabla, una expresión algebraica o una gráfica, esta última es la que

nos permite ver de un sólo vistazo su comportamiento global, de ahí su

importancia.

Una función es una correspondencia entre dos conjuntos numéricos, de tal forma

que a cada elemento del conjunto inicial le corresponde un elemento y sólo uno

del conjunto

.

.

GRAFICA DE FUNCIONES


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1.- TABLA DE DATOS EXPERIMENTALES

La física por ser unas de las ramas de las ciencias naturales es experimental y

cuantitativa, es decir, en el trabajo del laboratorio se tendrá la necesidad de medir

magnitudes físicas disponiendo así de datos experimentales. Es una norma

elemental que dichos datos, deben ser presentados en forma clara y ordenada, y

la mejor forma de lograr esto es ubicar los datos en tablas, de modo que en ellas

se destinen diferentes columnas a cada conjunto de, datos.

La realización de tablas de valores no se limita necesariamente a los datos que se

recogen directamente en el trabajo experimental, sino que puede extenderse a los

resultados de efectuar operaciones con dichos datos. Además, pueden disponerse

de columnas para colocar en ellas el error siempre que éste sea diferente en cada

medición.

Para mayor información, las tablas de datos deben poseer un título y deben

aparecer las magnitudes con sus unidades de medida.

http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/caceres/guia_2_analisis_grafico.pdf



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A. Características básicas de una tabla

A continuación se muestra un ejemplo de una tabla de datos experimentales tal y como se

escribiría en un texto científico.

Tabla: Experiencia número 1. Temperatura y presión del vapor de agua saturado.

54.3 80

59.3 152

66.1 180

73.1 250

80.5 370

85.7 400

88.3 500

93.8 608

98.0 690


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En la tabla 1.1 se observan las características esenciales de toda tabla presente

en un texto científico:

Cabecera

Que describen que magnitudes se van a listar junto con su unidad de

medida y su incertidumbre. La tabla de datos expresa, normalmente, el

valor numérico de una magnitud; por eso es conveniente expresar la

cabecera de acuerdo con el criterio descrito en la sección 1.2.1. Es decir

en vez de .

Cuerpo

Que se sitúa a continuación de la cabecera y en el que se listan de forma

ordenada los valores numéricos de los datos experimentales. No es

necesario separar con líneas verticales las diferentes columnas del cuerpo

de una tabla, basta con que se diferencien claramente y que se alineen

correctamente para una lectura más fácil.

Pie de tabla

Que describa brevemente qué es lo que se presenta con un detalle mayor

que la cabecera de la tabla donde sólo se deben poner símbolos

matemáticos. Debe identificar la tabla y no basta con repetir la cabecera en

palabras sino que suele ser necesario añadir información sobre las

circunstancias en las que se han tomado esos valores experimentales.

Como se ha señalado anteriormente, lo más importante a la hora de presentar los

datos experimentales es su ordenación y claridad. Conviene huir de formas

cómodas de escribir pero imprecisas o poco claras para leer: el fin principal de los

textos científicos es la divulgación de las ideas y resultados a otros científicos.


http://termodinamica.us.es/tecnicas/como/node7.html#sec:defsi

http://termodinamica.us.es/tecnicas/como/node12.html#tab:tpsat

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A la hora de hacer una tabla de datos tenga en cuenta los siguientes puntos:

Título o pie de tabla claro y conciso que identifique la tabla de datos y los

diferencie de cuales quiera otros. Para identificar fácilmente una tabla

conviene enumerarlas. Así una referencia a la tabla anterior puede ser:

como se observa en los datos de la tabla número 1.1.

Título para cada columna que identifique claramente qué es lo que se mide

y en qué unidad se mide. También debe exponerse, siempre, la

incertidumbre.

En caso de escribir el resumen a mano conviene ser cuidadoso y claro a la

hora de alinear los datos para evitar confusiones. La regla de oro es: lo va a

leer otra persona.

En la medida de lo posible, las cifras de los números convienen ordenarlas

según su rango: las decenas sobre decenas, unidades sobre unidades etc.

Se deben colocar todas las cifras que permita la incertidumbre, de acuerdo

con las reglas que se explican en 2.4: obsérvese que en la tabla 1.1 la

última temperatura es y no , pues ambas no son, realmente,

equivalentes.

Si la lista de datos es excesivamente larga (ojo, no un poco larga) es

posible agrupar la tabla y repetir las columnas: en este caso hay que

separar nítidamente el grupo de datos. Como regla general en estos casos

la tabla debe leerse de arriba a abajo y de izquierda a derecha. Salvo que

se quiera confundir al lector no se debe usar la opción de izquierda a

derecha y de arriba a abajo. En todo caso hay que ser restrictivos con esta

forma de presentar los datos puesto que no arrojan claridad ni suponen una

ganancia de espacio significativa. Por ejemplo:



http://termodinamica.us.es/tecnicas/como/node36.html#cha:cifras


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Tabla: Evolución de la temperatura con el tiempo

0 290 8 298

2 292 10 300

4 294 12 302

6 296 14 304

Por supuesto deben evitarse propuestas como por ejemplo: lecturas de

temperatura (en kelvin) cada dos segundos: 290, 292, 294, 296, 298, 300....

http://termodinamica.us.es/tecnicas/como/node12.html

2.- GRAFICAS


http://termodinamica.us.es/tecnicas/como/node12.html

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Es un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas en un plano por medio

dos rectas coordenadas perpendiculares llamadas ejes coordenados, que se

cortan en el origen O (ver figura). La recta horizontal recibe el nombre de “eje x”y

la vertical el de “eje y”; se indican con X e Y respectivamente. Con lo anterior, se

trata de un plano coordenado o plano xy.

Los ejes coordenados lo dividen en cuatro partes llamadas primero, segundo,

tercero y cuarto cuadrantes (ver figura; I, II, III, IV). Los puntos de los ejes no

pertenecen a cuadrante alguno.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Una vez tabulados los datos así como los valores de las magnitudes calculadas,

es conveniente representar los resultados en un gráfico. La representación gráfica

viene a ser lo más representativo del fenómeno que se está estudiando y en su

interpretación se reflejará el comportamiento límite del fenómeno bajo las

condiciones en que se realizó y además algunas informaciones matemáticas como

por ejemplo la función matemática que mejor lo representen. Además, la

representación gráfica permite obtener valores que aún no han sido obtenidos

experimentalmente, es decir, valores entre puntos. Dicho proceso se llama

interpolación. El proceso para obtener valores fuera del intervalo experimental

recibe el nombre de extrapolación.


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REGLAS PARA GRAFICAR

Los ejes deben llevar claramente las magnitudes que en ellos se

representan y las unidades correspondientes.

Elegir las unidades en los ejes coordenados de modo que permitan leer e

interpretar con facilidad.

Es conveniente en general, que el origen aparezca en el gráfico. No

obstante, las escalas pueden reemplazarse cuando los datos

experimentales están en un intervalo que así lo requiere.

Debe usarse el eje de la abscisa para la variable independiente (aquella

que es controlada por el experimentador) y el eje de la ordenada para la

variable dependiente.

Por ejemplo, si medimos la longitud de una barra metálica al variar la

temperatura, se busca a la función l = f(T), entonces es conveniente usar el

eje x para T y el eje y para l.

Los valores experimentales no deben ser graficados como un punto sino

que hay que

representar “el error con el cual se obtuvo dicho valor”. Para ello se usan

cruces, cuadrados, círculos, rectángulos, etc., centrados en el valor.

La recta o curva que representa la función que siguen los puntos, debe

tratarse de modo que sea lo más representativo posible del fenómeno.

ERRORES EN LOS GRÁFICOS

En cualquier experimento científico cuantitativo es esencial indicar los posibles

errores, en cualquier cantidad medida. Una vez que un error ha sido estimado

debe representarse en el gráfico. Por ejemplo, si las extensiones medidas en el

alambre (tabla 1) son aproximadas por ± 0,05 mm, entonces las primeras dos

medidas pueden representarse gráficamente por barras como se muestra en la

figura 1. Las barras de errores se extienden por encima y por debajo de los puntos

medidos los cuales son indicados por puntos encerrados en círculos.

Supóngase además que las masas fueron medidas con un error de ± 0,5 kg. Esta


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Incertidumbre puede representarse por barras horizontales que se extienden 0,5

kg en ambos lados de las masas representadas (ver figura 1). Generalmente,

ambos errores, horizontal y vertical, deben ser mostrados pero pueden ser

omitidos si el error asociado a la medida es muy pequeño para representarse.


3.- FUNCION



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Una función es una relación entre dos magnitudes siempre que a cada valor de la

variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente

La variable independiente se suele representar por x, y la letra y representa el

valor de la variable dependiente. La relación o función que existe entre ambas se

suele representar por la letra f, de la siguiente forma f(x)=y

FUNCIÓN LINEAL

Es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya

representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede

escribir como:

y = mx + b m = Δy pendiente de la recta

Δx

b es el intercepto de la recta con el eje y cuando x=0


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FUNCION CUADRATICA

Es una función polinómica de segundo grado definida como:

y = a + bx cx2

donde a, b y c son números reales (constantes) y a ≠ 0.


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FUNCIÓN POTENCIAL

Aquellas funciones de la forma:y = kxn, donde la base b, es una constante y el exponente n variable independiente.Justificación:log(y)

= log(k) + n.log(x)

y = B + n. x n = logy1 – log y2log x1 – logx2


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FUNCIÓN EXPONENCIAL

Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = bx, en donde la

base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas

funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología,

administración, economía, química, física e ingeniería.

La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y

diferente de uno (b>0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se

impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función bx se transforma en la

función constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de

la forma f(x)=(-9)1/2 no tendrían sentido en los números reales.

El dominio de la función exponencial está formada por el conjunto de los

números reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números

positivos.


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4.-VARIABLES

La definición más sencilla, es la referida a la capacidad que tienen los objetos y las cosas de

modificar su estado actual, es decir, de variar y asumir valores diferentes. Sabino (1980)

establece:

"entendemos por variable cualquier característica o cualidad de la realidad que es susceptible

de asumir diferentes valores, es decir, que puede variar, aunque para un objeto determinado

que se considere puede tener un valor fijo".

Briones (1987 : 34) define:

"Una variable es una propiedad, característica o atributo que puede darse en ciertos sujetos

o pueden darse en grados o modalidades diferentes. son conceptos clasificatorios

que permiten ubicar a los individuos en categorías o clases y son susceptibles de identificación

y medición".

CLASIFICACIÓN DE LAS VARIABLES

Variable Independiente:

Es aquella característica o propiedad que se supone ser la causa del fenómeno estudiado.

investigación experimental se llama así, a la variable que el investigador manipula. Son los

elementos o factores que explican un fenómeno científico, se identifica como causa o

antecedente.

Variable Dependiente:

Hayman, la define como propiedad o característica que se trata de cambiar mediante la

manipulación de la variable independiente. La variable dependiente es el factor que es

observado y medido para determinar el efecto dela variable independiente. Son los efectos o

resultados del fenómeno que se intenta investigar

RELACIÓN ENTRE LAS VARIABLES


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1- El objeto, proceso o característica a estudiar y que modifica su estado con la modificación de

la variable independiente (es decir que depende de ella y que en esa medida es un efecto) se

llama variable dependiente. Si queremos averiguar cómo se produce la modificación en

nuestras sensaciones visuales con la modificación de la luz, la luz sería La variable que tiene

que manipular el investigador (es decir, la variable independiente) y la sensación luminosa del

sujeto, la variable dependiente.

2. En investigación se denomina variable independiente a aquélla que es manipulada por e el

investigador en un experimento con el objeto de estudiar cómo incide sobre la expresión de la

variable dependiente. A la Variable independiente también se la conoce como variable

explicativa, y mientras que a la variable dependiente se la conoce como variable explicada.

Esto significa que las variaciones en La variable independiente repercutirán en variaciones en la

variable dependiente.

5.- CONSTANTES

La constante es un valor fijo. Una constante es un dato cuyo valor no puede

cambiar durante la ejecución del programa.


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6.- PAPEL GRAFICO MILIMETRADO

Es papel impreso con finas líneas entrecruzadas, separadas a 1 mm en la escala

regular. Estas líneas se usan como guías de dibujo, especialmente para graficar

funciones matemáticas o datos experimentales y diagramas.

7.-PAPEL SEMILOGARITMICO

Es un papel impreso en dirección vertical en escala logarítmica y en dirección

horizontal en escala milimétrica. Permite graficar en un solo papel rangos muy

extensos


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8.-PAPEL LOGARITMICO

Es un papel cuyas escalas han sido previamente diseñadas para reproducir el

comportamiento de los logaritmos, es decir la escala es repetitiva y no

homogénea. La escala logarítmica se presenta en ciclos, cada ciclo representa 10

veces el valor del ciclo anterior. Permite calcular en forma aproximada el

exponente de una relación potencial (y = a xn) o bien de una relación exponencial

(y= a ebx)


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9.- EXPERIMENTOS Y CALCULOS


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Equipos y materiales

Tres hojas de papeles gráficos milimetrados

Tres hojas de papeles gráficos semilogaritmicos

Tres hojas de papeles gráficos logarítmicos

Una calculadora científica personal

Una regla 0.30m, 1/1000 m.

Procedimiento

Se graficaran y analizan la se graficas de las tres tablas de datos.

1. La posición de un automóvil que baja por la pendiente de una colina fue

observada en diferentes tiempos y los resultados se resumen en la siguiente tabla.

La medida (metros) del espacio recorrido por un móvil se mueve en line recta con

velocidad constante en función de tiempo (segundos)

2. La medida (metros) del espacio recorrido por un móvil que se mueve en línea

recta con aceleración constante en función del tiempo expresado en (segundos).


t(s) e(m)

1.1 8.45

2.9 14.75

4.1 18.95

6.6 27.70

8.0 32.60

9.8 38.90

10.5 41.35

12.1 46.95

13.9 53.25

15.5 58.85

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3. Medida de la actividad radiactiva del Radón donde el día uno se detectó una desintegración de 4.3 x 1018 núcleos. Los porcentajes de la muestra sin desintegrar, para distintos días se muestra en la siguiente tabla Nº 3

Sistema experimental

A partir de los datos anteriores, realice las siguientes graficas:

I.- En el papel milimetrado los valores de la tabla Nº1, Nº2 y Nº3.

Tabla1

En la hoja grafica milimetrada se traza el eje X e Y, se hace una escala para los

valores de la tablas e vs t y nos sale una función lineal.

y = mx + b m = Δy pendiente de la recta

Δx

b es el intercepto de la recta con el eje y cuando x=0

Tabla 2


valores de la tablas e vs t y nos sale una función cuadrática (curva).

.Tabla 3


t (s) e (m)1,0 1,002,2 4,843,4 11,564,4 19,365,9 34,817,1 50,41

t (días) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A (t) % 83 69 57 47 39 32 27 22 18 15

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valores de la tablas A vs t y nos sale una función exponencial (curva).

II.- En el papel semilogarítmico los valores de la tabla Nº1, Nº2 y Nº3.

Tabla 1

En la hoja grafica semilogaritmica se trazan los ejes X e Y, se hace una escala

par los valores de la tabla e vs t pero esta escala se hace en el eje X de acuerdo a

la escala logarítmica de la hoja y en el eje y se usa como hoja milimetrada dejando

un ciclo hacia abajo la gráfica que resulta es una curva.

Tabla 2


para los valores de la tabla e vs t pero esta escala se hace en el eje X de acuerdo

a la escala logarítmica de la hoja y en el eje y se usa como hoja milimetrada

dejando un ciclo hacia abajo la gráfica que resulta es una línea.

y = a + bx cx2

donde a, b y c son números reales (constantes) y a ≠ 0.

Tabla 3


para los valores de la tabla A vs t pero esta escala se hace en el eje X de acuerdo

a la escala logarítmica de la hoja y en el eje y se usa como hoja milimetrada

dejando un ciclo hacia abajo la gráfica que resulta es una curva.

III.- En papel logarítmico los valore de la tabla Nº1, Nº2 y Nº3.

Tabla 1

En la hoja grafica logaritmica se trazan los ejes X e Y, se hace una escala para

los valores de la tabla e vs t pero esta escala se hace en el eje X e Y se hacen de

acuerdo a la escala logarítmica de la hoja la gráfica que resulta es una curva pero

se toma dejando a la izquierda y abajo

Tabla 2


los valores de la tabla e vs t pero esta escala se hace en el eje X e Y se hacen de

acuerdo a la escala logarítmica de la hoja la gráfica que resulta es una curva pero

se toma dejando a la izquierda y abajo.


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Tabla 3


los valores de la tabla A vs t pero esta escala se hace en el eje X e Y se hacen de

acuerdo a la escala logarítmica de la hoja la gráfica que resulta es una línea pero

se toma dejando a la izquierda y abajo.

Y = Y0 ebx

Justificación:

log(y) = log (y0) + bx . log(e)

Y = B + mx


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analisis y funciones

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