UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA FACULTAD DE INGENIERIA CIENCIAS Y

ADMINISTRACION DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA

TEMUCO

PROGRAMA DOCENTE ESPECIAL: INGENIERIA ELECTRICA PARA INGENIEROS DE EJECUCION EN

ELECTRICIDAD

ANALISIS MODERNO DE SISTEMAS DE POTENCIA

Profesor: Manuel Villarroel Moreno

2008

iINDICE

CAPITULO 1 SISTEMA EN TANTO POR UNIDAD 1 1.1. Introducción 1 1.2. Condiciones para el cálculo 1 1.3. Cambio de base 3 1.4. Ventajes del sistema en tanto por unidad 4 1.5. Sistema en tanto por unidad en circuitos trifásicos 4 Problemas propuestos 5 CAPITULO 2 REGULACION DE TENSION O CONTROL DE VOLTAJE 7 2.1. Introducción 7 2.2. Clasificación de las variaciones de tensión 7 2.3. Formas de regular las variaciones lentas de tensión 7 2.4. Formas de actuar de los medios de regulación de tensión 8 2.5. Regulación de tensión por inyección de potencia reactiva 8 2.6. Regulación de tensión mediante transformadores con cambio de TAP (TCT) 14 2.6.1 Sistema de transmisión radial con un TCT en el extremo transmisor 14 2.6.2 Sistema de transmisión radial con un TCT en ambos extremos de la línea 16 2.7. Regulación de tensión mediante el uso combinado de TCT e inyección de

Potencia Reactiva 18

Problemas propuestos 20 CAPITULO 3 CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA 22 3.1. Introducción 22 3.2. Planteamiento del problema básico 22 3.3. Modelo de representación del SEP 23 3.3.1. Tipos de barras 23 3.3.2. Representación de los elementos del SEP 24 3.4. Planteamiento matemático para un SEP de “n” barras 24 3.4.1. Ecuaciones de barras 24 3.4.2. Ecuaciones del flujo de potencias 24 3.4.3. Potencia perdida en la transmisión 25 3.4.4. Cálculo de las tensiones de barras 25 3.5. Técnicas de solución para el problema del flujo de potencias 26 3.5.1. Método de Gauss 26 3.5.2. Método de Gauss-Seidel 27 3.5.3. Método de Newton-Raphson 32 3.5.4. Método de Newton-Raphson desacoplado (MNRD) 38 3.5.5. Método de Newton-Raphson desacoplado rápido (MNRDR) 39 3.6. Flujo de Carga “DC” o Flujo de Potencia de Corriente Continua 42 3.7. Cálculo de flujo de potencia en sistemas radiales 45 3.7.1. Introducción 45 3.7.2. Modelación del Sistema 45 3.7.3. Método suma de potencias 46 Problemas propuestos 48 CAPITULO 4 DESPACHO ECONOMICO DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA 51 4.1. Introducción 51 4.2. Despacho económico sin considerar las pérdida de la red 51 4.2.1. Formulación del problema 51 4.2.2. Solución sin considerar límites de generación 51 4.2.3. Solución considerando los límites en las potencias generadas 54

ii 4.3. Despacho económico considerando las pérdidas en la red 56 4.3.1. Formulación del problema 56 4.3.2. Solución sin considerar límites de generación 57 4.3.3. Solución considerando los límites de generación 58 4.3.4. Cálculo de las pérdidas en la red 60 Problemas propuestos 62 CAPITULO 5 ESTUDIO Y ANALISIS DE FALLAS 63 5.1. Introducción 63 5.2. Tipos de fallas 63 5.3. Cálculo de Cortocircuitos 64 5.3.1. Objetivos 64 5.3.2. Aproximaciones 64 5.4. Cortocircuitos trifásicos simétricos 65 5.4.1. Comportamiento de un generador en condiciones de cortocircuito trifásico

simétrico 65

5.4.2. Cortocircuitos trifásicos simétricos en un SEP 70 5.5. Cortocircuitos Asimétricos 74 5.5.1. Componentes simétricas 74 5.5.2. Circuitos equivalentes de secuencia de los elementos componentes de un

SEP 76

5.5.3. Análisis de algunos tipos de cortocircuitos 5.5.3.1.Cortocircuito monofásico a tierra a través de una impedancia de falla ZF 5.5.3.2.Cortocircuito bifásico a tierra a través de una impedancia de falla ZF 5.5.3.3.Cortocircuito entre dos fases a través de una impedancia de falla 5.5.3.4.Observaciones finales respecto a los cortocircuitos asimétricos

8383858889

5.6. Fases abiertas 90 5.6.1. Introducción

5.6.2. Una fase abierta 5.6.3. Dos fases abiertas 5.6.4. Impedancias serie desequilibradas

90909495

Problemas propuestos 96 CAPITULO 6 ESTABILIDAD 101 6.1. Introducción

6.2. Estabilidad transitoria 101101

6.2.1. Objetivos 6.2.2. Suposiciones básicas para los estudios simplificados de estabilidad transitoria6.2.3. Ejemplo ilustrativo 6.2.4. Ecuación de oscilación de una máquina síncrona 6.2.5. Ecuaciones de oscilación en un sistema multigenerador 6.2.6. Estudio de la ecuación de oscilación de un generador conectado a una barra

infinita 6.2.7. Algunos métodos de solución de la ecuación de oscilación

101101102104107108

112 6.2.8. Criterio de Areas Iguales

6.2.9. Reducción a un sistema simple 6.2.10. Ecuación de oscilación de dos máquinas finitas 6.2.11. Factores que condicionan la estabilidad transitoria

117119120121

Problemas propuestos 122 BIBLIOGRAFIA 126

CAPITULO 1

SISTEMA EN TANTO POR UNIDAD 1.1. Introducción Las líneas de transmisión de Energía Eléctrica se operan a niveles en que el kilovolt (kV) es la unidad más conveniente para expresar los voltajes. Debido a que se transmite una gran cantidad de potencia, los términos comunes son los kilowatts (kW) o megawatts (MW) y los kilovoltamperes (kVA) o megavoltamperes (MVA). Sin embargo, estas cantidades, al igual que los volts, los amperes y los ohms, se expresan frecuentemente en por ciento o en por unidad de un valor base o de referencia especificado para cada una. Por ejemplo, si se selecciona una base de voltaje de 120 kV, los voltajes de 108, 120, y 126 kV equivaldrán a 0,9; 1,0 y 1,05 en por unidad o a 90, 100 y 105 % respectivamente. El valor en por unidad de cualquier cantidad se define como la razón entre la cantidad y su base. La relación en por ciento es 100 veces el valor en por unidad. Ambos métodos de cálculo, porcentual y en por unidad, son más simples y más informativos que los volts, los amperes y los ohm reales. El método en por unidad tiene una ventaja sobre el porcentual: el producto de dos cantidades expresadas en por unidad queda expresado también en por unidad, mientras que el producto de dos cantidades dadas en por ciento se debe dividir por 100 para obtener el resultado en por ciento. El método que más se emplea en la resolución de problemas en que intervienen transformadores, generadores, líneas, etc; consiste en representar estos elementos a través de sus circuitos equivalentes. Los parámetros de los circuitos equivalentes y las variables asociadas, pueden expresarse en unidades convencionales (ohm, volt, watt, etc.) o bien en por unidad (pu) o en tanto por uno (º/1). Cuando se emplean valores en por unidad, se simplifica la resolución de problemas, entre otras cosas, porque ello permite eliminar las razones de transformación (cuando existen transformadores) y efectuar comparaciones en forma mucho más sencilla. 1.2. Condiciones para el cálculo

En esta sección, se analizarán los sistemas monofásicos considerando que es más sencillo introducir estos conceptos que en los sistemas trifásicos. Sin embargo, la extensión a los sistemas trifásicos es inmediata, como se verá posteriormente. Las magnitudes de base en una red eléctrica deben seleccionarse de tal forma, que el circuito equivalente resultante en por unidad sea isomorfo al real, es decir, que las leyes fundamentales de la electricidad sean también válidas en el sistema equivalente en por unidad. Considérese en principio dos situaciones. a. Sin transformadores Como las características topológicas de la red no se alteran, sólo interesa como invariante la forma de las ecuaciones de las leyes de Ohm y de Joule, debido a que las asociadas a las leyes de Kirchhoff se conservarán automáticamente. De acuerdo con lo planteado en la sección anterior, los valores en tanto por unidad de los fasores (indicados con un punto sobre el respectivo símbolo) de tensión (voltaje), corriente, impedancia, potencia aparente y admitancia se definen de la forma indicada en las expresiones (1.1) siguientes:

)volt(V)volt(V)pu(V

B

&& =

)amperes(I)amperes(I)pu(I

B

&& =

)ohm(Z)ohm(Z)pu(Z

B

&& =

)svoltampere(S)svoltampere(S)pu(S

B

&& =

)mho(Y)mho(Y)pu(Y

B

&& = (1.1)

2

Obsérvese que los valores en por unidad son complejos si los valores en unidades convencionales lo son, ya que las bases son cantidades modulares. Si se escogen VB e IB como voltaje y corriente base respectivamente, será necesario determinar las otras cantidades de base, es decir: ZB, SB y YB. En la Figura 1.1 se han representado los sistemas original y transformado (en tanto por unidad).

+

-

I (amp)

V(volt) Z(ohm)

+

-

V(pu)

I(pu)

Z(pu)

a) b)

Figura 1.1.- Circuitos equivalentes: a) Sistema original; b) Sistema transformado (en por unidad) - Conservación de la ley de Ohm Para que se cumpla la ley de ohm, en ambos circuitos, las cantidades de base deben satisfacerla, es decir:

V Z I ZVIB B B B

B

B

= ⇒ = (1.2)

- Conservación de la Ley de Joule De la misma forma se puede demostrar que en este caso:

S V IB B B= (1.3)

Para la admitancia se cumple que:

YZB

B

=1

(1.4)

Las ecuaciones (1.1) a (1.4) muestran que sólo se necesita definir dos magnitudes de base. Lo habitual es considerar como tales a la potencia aparente (SB) y la tensión (VB), en cuyo caso, la corriente base se obtiene a partir de la ecuación (1.3) y la impedancia base se puede escribir como:

B

2B

B

2B

B MVA)kV(

S)V(

Z == (1.5)

donde kVB y MVAB son los kilovolts base y Megavoltamperes base respectivamente. b. Presencia de transformadores En un sistema eléctrico aparecen distintos niveles de voltaje. Con el objeto de eliminar este inconveniente, se requiere determinar que relación además de las dos anteriores deben cumplir las bases elegidas en los diferentes niveles de tensión, al utilizar el sistema en pu. Para el análisis se considerará la Figura 1.2 que representa el circuito equivalente aproximado (se ha despreciado la corriente de excitación) de un transformador en cantidades convencionales y el circuito respectivo en tanto por unidad. Z1 y Z2 corresponden a las impedancias de cortocircuito de cada uno de los enrollados, N1 y N2 son el número de espiras de cada bobinado.

3

+

-

+

-

1 Z2(Ω)(A) I2 (A)

E1(V) E2(V)V1(V) V2(V)

a : 1N1 : N2I

.

.

.

.

. .

Z1(Ω). .

+

-

1 Z1

V1

+

-

V2

(pu)I (pu) Z2(pu) I2(pu)

(pu)(pu). .

. .. .

a) b)

Figura 1.2.- Circuitos equivalentes: a) Sistema original ; b) Sistema transformado (por unidad) En la Figura 1.2 a) se puede escribir (en unidades convencionales)

1111 Z IVE &&&& −= 2222 Z IVE &&&& += (1.6) de donde se obtiene:

aNN

Z IVZ IV

EE

2

1

222

111

2

1 ==+−

=&&&

&&&

&

& (1.7)

En la Figura 1.2 b), en por unidad se tiene:

)pu(Z )pu(I)pu(V)pu(Z )pu(I)pu(V 222111&&&&&& +=− (1.8)

Tomando como bases de voltaje a ambos lados VB1 y VB2 la expresión (1.8) queda:

2B

1B

222

111

2B

222

1B

111

VV

Z IVZ IV

VZ IV

VZ IV

=+−

⇒+

=−

&&&

&&&&&&&&& (1.9)

Comparando (1.7) con (1.9), se puede escribir:

VV

NN

aB

B

1

2

1

2

= = (1.10)

O sea, las tensiones bases de ambos lados deben estar en relación directa con el número de espiras. Por lo mismo, las corrientes bases de ambos lados quedan en relación inversa con el número de espiras.

II

NN a

B

B

1

2

2

1

1= = (1.11)

A partir de (1.10) y (1.11), la potencia base a ambos lados del transformador debe ser la misma.

S S SB B B1 2= = (1.12)

1.3. Cambio de base En general, los fabricantes expresan las impedancias de transformadores y otras máquinas eléctricas en por unidad o en porcentaje, tomando como bases el voltaje nominal y la potencia aparente nominal del equipo. Como en los problemas aparecen involucrados diferentes aparatos (con distintas características nominales) se hace necesario expresar las impedancias en tanto por unidad, respecto a otra base.

4

Para una impedancia dada Zd (pu) es posible calcular una impedancia nueva Zn (pu) o respecto a otra base, utilizando la siguiente expresión:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Bd

Bn2

Bn

Bddn MVA

MVAkVkV

)pu(Z)pu(Z (1.13)

donde MVABd y MBABn son los MVA bases dado y nuevo respectivamente y kVBd y kVBn corresponden a los respectivos kV bases dado y nuevo. 1.4. Ventajas del sistema en tanto por unidad - Los valores en por unidad, base propia, característicos de máquinas similares, aunque de tamaños

muy diferentes, varían muy poco.

- En los transformadores, la impedancia equivalente en por unidad es independiente del lado a que está referida.

- En los cálculos se manejan cantidades que están en un margen estrecho alrededor de la unidad (condiciones normales), lo que permite comprobar los valores por inspección.

1.5. Sistema en tanto por unidad en circuitos trifásicos Los circuitos trifásicos balanceados se resuelven como si fueran una línea con un neutro de retorno, en el llamado circuito equivalente monofásico o por fase; por ello, las bases para las diferentes cantidades en los diagramas de impedancias son los kVA (o MVA) por fase y los kV de línea a neutro. Generalmente, los datos que se dan son los kVA o MVA trifásicos totales y los kV de línea a línea (entre líneas o de línea). Debido a esta costumbre de especificar el voltaje línea a línea y los kilovoltamperes o megavoltamperes totales, puede surgir alguna confusión al considerar la relación entre el valor por unidad del voltaje de línea y el del voltaje de fase. Aunque se puede especificar un voltaje de línea como base, el voltaje que se requiere para la solución del circuito monofásico es el voltaje a neutro. El voltaje base a neutro es el voltaje base línea a línea dividido por 3 . Debido a que ésta es también la relación entre los voltajes línea a línea y línea a neutro de un sistema trifásico balanceado, el valor en por unidad de un voltaje línea a neutro sobre el voltaje base línea a neutro es igual al valor en por unidad del voltaje línea a línea en el mismo punto sobre el voltaje base línea a línea, siempre que el sistema esté balanceado. Igualmente, los kilovoltamperes trifásicos son tres veces los kilovoltamperes monofásicos, y la base de los kilovoltamperes trifásicos es tres veces la base de los kilovoltamperes monofásicos. Por lo tanto, el valor en por unidad de los kilovoltamperes trifásicos sobre los kilovoltamperes base trifásicos es idéntico al valor en por unidad de los kilovoltamperes monofásicos sobre los kilovoltamperes base monofásicos. Para los sistemas monofásicos o para los sistemas trifásicos, donde el término corriente se refiere a la corriente de línea (IL), el de voltaje se refiere a voltaje al neutro (VLN) y el de los kilovoltamperes corresponde al valor por fase (kVA1φ), las siguientes expresiones relacionan las distintas cantidades:

ISV

S3 VB

B1

BLN

B3

BLL

= =φ φ

φ

===3B

2BLL

B

BLL

B

BLNB S

)V(I 3

VI

VZ (1.14)

donde SB3φ corresponde a la potencia base total (trifásica). Por comodidad se acostumbra usar como bases los MVA trifásicos (MVAB3φ ) y los kV entre líneas (kVBLL), en cuyo caso, la impedancia base se puede determinar simplemente como:

( )

φ

=3B

2BLL

B MVAkV

Z (1.15)

5

Con la excepción de los subíndices, las expresiones (1.5) y (1.15) son idénticas. En lo que sigue de este curso, las ecuaciones se utilizarán sin los subíndices, pero se deben usar con los voltajes y potencias correspondientes. Es conveniente dejar claro también, que en los cálculos en por unidad donde intervienen transformadores trifásicos, se requiere que los voltajes base en los dos lados del transformador tengan la misma relación que la de los voltajes nominales entre líneas de ambos lados, lo que es independiente del tipo de conexión de los enrollados. Como se dijo, la potencia base es la misma en ambos lados y por lo tanto las corrientes bases quedan en relación inversa con la razón de transformación trifásica.

Problemas propuestos 1.1. En la Figura 1.3 se ha representado el diagrama unilineal de un sistema eléctrico de potencia (trifásico). Las características de los generadores, transformadores y líneas son las siguientes, donde las cantidades en pu y en % están en base propia (b.p.): Generador 1: 30 MVA; 6,9 kV; X=0,5 pu. Generador 2: 20 MVA; 13,8 kV; X=0,4 pu. Motor Síncromo (MS): 20 MVA; 6,9 kV; X=0,25 pu. Transformador 1: 25 MVA; Υ/Δ; 6,9 /115 kV; X=10 %. Transformador 2: 30 MVA; Δ/Υ; 115/13,2 kV; X=8 %. Transformador 3: 20 MVA; Υ/Δ; 6,9 /115 kV; X=10 %. Linea 1: Z=(25+j80) Ω; Linea 2: Z=(20+j60) Ω; Linea 3: Z=(10+j30) Ω a. Dibuje el diagrama de impedancias para el sistema poniendo todos los valores de los parámetros en pu,

considerando una base de 30 MVA y 6,9 kV en el circuito del generador 1 b. Si el Motor Síncrono trabaja a su potencia nominal con Factor de Potencia 0,8 inductivo a 6,6 kV,

determine, suponiendo que ambos generadores entregan la misma corriente: b.1. La corriente (A) absorbida por el MS b.2. Las corrientes (A) en las líneas b.3. Las corrientes (A) entregadas por ambos generadores b.4. Las tensiones (kV) en todas las barras del sistema b.5. Las potencias (MW y MVAR) entregadas por ambos generadores b.6. Las pérdidas (MW y MVAR) del sistema

1 2L1

L3

L2

6

5

3

ΔY

ΔY

Y

Y

Δ

T1 T2

T3

Y

Y

G1

MS

G24 7

Figura 1.3

6

1.2. Considere el diagrama unilineal que se muestra en la Figura 1.4, con los siguientes datos, donde las cantidades expresadas en % están en base propia: Generador: 130 MVA; 13,2 kV; X=16 % Transformador 1: 135 MVA; 13,8/132 kV; X=10% Transformador 2: 130 MVA; 132/11 kV; X=12% Línea: Z=(4+j12) Ω Carga: (88+j27) MVA. Tomando como bases los valores nominales del generador, determine: a. El circuito equivalente en pu, identificando cada uno de los elementos en el diagrama. b. Las corrientes de líneas (A) en la línea y generador, si la tensión en la carga es de 11 /0º kV. c. El voltaje en la carga (kV) si se supone que el voltaje en bornes del generador se mantiene constante en

13,2 kV.

1 4Línea

ΔY YΔ

T1 T2

Y

G 2 3

Carga Figura 1.4

1.3. Dibuje el diagrama de impedancias para el sistema de la Figura 1.5, poniendo todos los valores de los parámetros en pu, considerando una base de 50 MVA y 138 kV en la Línea 1. Las características de los generadores, transformadores y líneas son las siguientes, donde las cantidades en % están en base propia: Generador 1: 20 MVA; 13,2 kV; X=15 % Generador 2: 20 MVA; 13,2 kV; X=20 % Transformadores 1 a 4: 20 MVA; Υ/Δ; 13,8 /138 kV; X=10 %. Transformadores 5 y 6: 15 MVA; Δ/Υ; 138/6,9 kV; X=8 %. Linea 1: X=40 Ω; Linea 2: X=20 Ω; Linea 3: X=25 Ω Si la carga es de 24 MW, Factor de Potencia 0,8 capacitivo a 6,6 kV, determine las tensiones en la barras 1 y 2 en kV, suponiendo que ambos generadores contribuyen de igual forma a la carga.

1 2Línea 1

ΔY YΔ

T1 T3

Y

G1

ΔY

T2

3

Y

G2

Línea 2 Línea 3

YΔ

YΔ

Carga

T4

T5 T6

Figura 1.5

CAPITULO 2

REGULACIÓN DE TENSION O CONTROL DE VOLTAJE 2.1. Introducción Un sistema de potencia bien diseñado debe ser capaz de entregar un servicio confiable y de calidad. Entre los aspectos que caracterizan una buena calidad de servicio están, la adecuada regulación del voltaje así como de la frecuencia. El Control de Voltaje tiene como objetivo mantener los niveles de tensión dentro de límite razonables. El problema; sin embargo, es diferente según se trate de una red de distribución o una de transmisión.

En una red de transmisión se pueden admitir variaciones de tensión mayores que en una red de distribución, ya que no existen aparatos de utilización directamente conectados a ella. Por lo tanto, dentro de ciertas limitaciones, no hay mayores inconvenientes en que la tensión en un punto dado de la red de transmisión varíe dentro de límites relativamente amplios, alrededor de un valor que puede ser diferente del nominal.

En las redes de distribución, las variaciones de tensión están limitadas por las características de los consumos. Estos sólo funcionan adecuadamente con tensiones cercanas a la nominal y admiten variaciones lentas que no sobrepasen un ± 5% en aplicaciones térmicas (cocinas, lámparas, calentadores) y un ± 8% en el caso de motores, lavadoras, receptores de radio y televisión, etc. Con tensiones muy altas habrá calentamiento y menor vida útil. Si son muy bajas habrá mal rendimiento, malas características de torque (motores), etc. 2.2. Clasificación de las variaciones de tensión Según sus características, las variaciones de tensión se pueden clasificar en:

– Variaciones lentas: Tanto previsibles (periódicas), originadas en los cambios periódicos de los consumos que presentan máximos a ciertas horas del día y mínimos en otras; como aleatorias, debidas a las conexiones y desconexiones de los consumos, que pueden ocurrir en cualquier momento.

– Variaciones bruscas: Tanto regulares como aleatorias (“pestañeos”), debidas a los “golpes de corriente” causados por el funcionamiento intermitente de equipos tales como refrigeradores, ascensores, soldadoras, etc.

– Caídas de tensión: De breve duración (desde fracciones de segundo hasta algunos segundos) y de amplitudes muy variables (hasta un 100% de la tensión). Su efecto es casi equivalente al de una interrupción de servicio

En este capítulo, se analizará exclusivamente el control de las variaciones lentas de tensión en las redes de transmisión y distribución. 2.3. Formas de regular las variaciones lentas de tensión

La regulación lenta de tensión tiene por fin mantener el módulo de la tensión en todo el sistema en el mejor valor posible. Los métodos más empleados son:

– Inyección (absorción) de potencia reactiva: permite modificar la potencia reactiva circulante en el sistema, que es una importante causa de variación de la tensión. Se consigue con el empleo de condensadores estáticos, compensadores síncronos, reactores y los generadores de las centrales.

– Inserción de una tensión serie adicional: para compensar la caída que se desea regular. Se consigue, por ejemplo, con transformadores (o autotransformadores) con derivaciones, operables en vacío (más baratas) o bajo carga, que permiten variar discontinuamente la razón de transformación.

8

– Modificación de la reactancia: para mantener constante la caída longitudinal ZI. Se consigue por ejemplo, usando conductores fasciculados, empleando condensadores serie, colocando líneas en paralelo o disminuyendo el largo de las líneas, acercando los transformadores de distribución a los consumos.

2.4. Formas de actuar de los medios de regulación de tensión – Regulación continua: Reguladores de inducción y compensadores síncronos. – Regulación cuasi-contínua: Cambiadores de derivación bajo carga de los transformadores. – Regulación intermitente: Condensadores estáticos. – Regulación fija: Condensadores serie y cambiadores de derivación en vacío. 2.5. Regulación de tensión por inyección de potencia reactiva a. Línea corta de transmisión: Con el objeto de establecer algunos conceptos básicos se considerará en primer lugar, el caso de una línea corta de transmisión y su diagrama fasorial correspondiente, tal como se muestra en la Figura 2.1. PR y QR son las potencias activa y reactiva que llegan a la carga a través de la línea.

R + jX

TV VR

TP + jQT RP + jQR

Carga

I

a) I

ϕ

AB

CD

Δ

jXI

RI

θ

RVR

TV

V

E

b)

Figura 2.1.- Línea corta de transmisión: a) Circuito equivalente; b) Diagrama fasorial

De la Figura 2.1 y considerando que θ es un ángulo pequeño, se puede escribir:

VVVVV RTRT Δ≈−=− && (2.1) pero, ΔV=AD+DC, con: AD=RI cos ϕR y DC=XI sin ϕR, por lo que se obtiene finalmente:

R

RR

VXQRP

V+

=Δ (2.2)

De la misma forma:

R

RR

VRQXP

EC−

= (2.3)

Por lo que:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ+

=θ −

VVECtg

R

1 (2.4)

Las ecuaciones (2.2) y (2.4) muestran claramente que el transporte de PR y QR desde el extremo

transmisor T al receptor R, va acompañado de una caída de tensión ΔV y de un desfase θ entre las tensiones

9

de ambos extremos de la línea. Debido a que usualmente, en los sistemas de transmisión y generación R<< X, el término dominante en la ecuación (2.2) es XQR, o sea la potencia reactiva transferida desde T a R es la causante principal de la caída de tensión ΔV. Por la misma razón anterior, el término dominante en (2.4) es XPR, de donde se concluye que el desfase θ es decisivo en el valor de la potencia activa suministrada al consumo. Según lo planteado, para reducir la caída de tensión ΔV es necesario evitar (disminuir) el transporte de potencia reactiva por la línea, es decir, la potencia reactiva debería ser suministrada en lo posible, en el mismo punto donde será consumida. Si por ejemplo, se desea mantener constante ΔV para cualquier valor de PR. Entonces, a partir de la ecuación (2.2), QR debe variar según la ecuación (2.5), para cumplir con la condición señalada.

RR PXRKQ −= (2.5)

Donde el término K=(ΔV/X)VR es constante, puesto que para VT y ΔV constantes, entonces, VR es constante y por lo tanto, la potencia reactiva QR enviada al consumo a través de la línea debe variar tal como se muestra en la Figura 2.2. Controlando la potencia reactiva QR en la forma mostrada en la Figura 2.2, es posible mantener la tensión VR constante para diversos valores de potencia activa PR. Este control se hace, evidentemente en el extremo receptor y el procedimiento se conoce con el nombre de “regulación de tensión por inyección de potencia reactiva”.

PR

QR

K

XK/R

QR0

QR1

PR0 PR1

Figura 2.2.- Variación de la potencia reactiva QR entregada por la línea en función de la potencia activa del

consumo, para mantener VR constante Conviene insistir en que la potencia QR correspondiente a la ecuación (2.5) representa solamente la potencia reactiva que llega al consumo a través de la línea, cuyo valor, en caso de producirse una variación de PR, será diferente al correspondiente al consumo ya que su ley de variación para ΔV constante está definida por la ecuación (2.5) Con el objeto de precisar lo expuesto, consideremos:

QRO: Potencia reactiva requerida por el consumo PRO: Potencia activa inicial del consumo QR1: Nuevo valor de potencia reactiva que se debe suministrar al consumo a través de la línea. PR1: Nuevo valor de potencia activa requerida por el consumo.

A partir de (2.5) se puede escribir:

1R1R

0R0R

PXRKQ

PXRKQ

−=

−=

(2.6)

10

Según sea el nuevo valor PR1, se pueden presentar dos casos: a1) PR1 > PR0; entonces QR1< QR0 a2) PR1 < PR0; entonces QR1> QR0 La potencia que se debe inyectar en el consumo será:

1R0R QQQ −=Δ (2.7) El valor de ΔQ será positivo o negativo, según corresponda al caso a1) o a2) y se puede considerar en general como una potencia inyectada según se muestra en la Figura 2.3.

CONSUMO

VT RV

ΔQ

R RP + jQ

Línea

R R ΔP +j(Q + Q)

Figura 2.3.- Representación de ΔQ como fuente de potencia reactiva

Ejemplo 2.1. El sistema de la Figura 2.4, alimenta una carga que en demanda máxima (Dmáx) es de 45 MVA, cos ϕ =1. Durante la demanda mínima (Dmín) la carga es de (10+j2) MVA. Si la tensión en el extremo transmisor puede tomar como valores extremos 110 y 100% respectivamente, determinar la compensación de potencia reactiva necesaria en el extremo receptor durante Dmáx y Dmín, si se desea mantener en dicho extremo una tensión de 100 y 95% respectivamente. SB=100 MVA Solución: a) Para demanda máxima: )pu( 0,0j45,0SL +=& ; VT=1,1 (pu); VR= 1,0 (pu) Aplicando la aproximación de una línea corta (Ecuación 2.2) se tiene:

RG0,38+j0,6 (pu)

T

SL Comp.

SR SC

Figura 2.4

1Q6,045,038,0

11,1V

XQRPVVV R

R

RRRT

∗+∗=−⇒

+=−=Δ

De donde se obtiene: QR=−0,1183 (pu) ⇒ QC=QL−QR=0−(−0,1183)=0,1183 (pu) ⇒ QC=11,83 MVAR (inyectar).

b) Para demanda mínima: )pu( 02,0j1,0SL +=& ; VT=1,0 (pu); VR= 0,95 (pu) Aplicando la ecuación (2.2) se tiene:

95,0Q6,01,038,0

95,00,1 R∗+∗=− ⇒ QR=0,01583 ⇒QC=QL-QR=0,02-0,01583=0,00417 (pu)

⇒ QC=0,417 MVAR (inyectar).

11

b. Línea de longitud media o larga: El estudio de la regulación de tensión en una línea media o larga, mediante inyección de potencia reactiva, se realiza usualmente, empleando las ecuaciones de potencia activa y reactiva en función de las constantes generalizadas A-B-C-D ya vistas, que se resumen a continuación.

)(in s V BA )( sin VV

B1Q

)( cos VBA )( cosVV

B1P

)( sin VV B1)(sin V

BDQ

)( cosVV B1)( cos V

BDP

2RTRR

2RTRR

TR2TT

TR2TT

α−β⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−θ−β⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

α−β⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−θ−β⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

θ+β⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−δ−β⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

θ+β⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−δ−β⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

(2.8)

Ejemplo 2.2. Repetir el Ejemplo 2.1, empleando parámetros ABCD y las ecuaciones de potencia del extremo receptor. Solución: Los parámetros ABCD de la línea son: A=D=1∠0º; C=0; B=Z=0,38+j0,6=0,7102∠57,65º a) Para demanda máxima: VT=1,1 (pu), VR= 1 (pu); PL=0,45 (pu) y QL=0 Las ecuaciones correspondiente al extremo receptor se obtienen de (2.8), es decir:

)(in s V BA )( sin VV

B1Q

)( cos VBA )( cosVV

B1P

2RTRR

2RTRR

α−β⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−θ−β⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

α−β⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−θ−β⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

A partir de PR despejamos cos (β−θ), donde:

77698,01,11

)º0º65,57cos(117102,045,0VV

)( cos AVBP)( cos

2

TR

2RR =

∗−∗∗+∗

=α−β+

=θ−β ⇒ θ=18,64º

reemplazando valores en la ecuación de QR:

)pu( 2146,0)º0º65,57(in s 1 7102,01 )º64,1865,57( sin 1,11

7102,01Q 2

R −=−∗⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−∗∗⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

De donde se obtiene que: QC=QL-QR=0-(-0,2146)=0,21146 (pu) ⇒QC=21,46 MVAR (inyectar). b) Para demanda mínima: VT=1,0 (pu), VR= 0,95 (pu); PL=0,1 (pu) y QL=0,02 A partir de PR despejamos cos (β−θ), de donde:

5831,00,195,0

)º0º65,57( cos95,017102,01,0VV

)( cos AVBP)( cos

2

TR

2RR =

∗−∗∗+∗

=α−β+

=θ−β ⇒ θ =3,32º

12

reemplazando valores en la ecuación de QR se tiene:

)pu( 01315,0)º0º65,57(in s 0,95 7102,01 )º32,365,57( sin 0,10,95

7102,01Q 2

R =−∗⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−∗∗⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

De donde se obtiene que: QC=QL−QR=0,02−0,01315=0,00685 (pu) ⇒ QC =0,685 MVAR (inyectar). c. Sistema enmallado: En un caso general, interesa estudiar la influencia de la inyección o extracción de potencia reactiva en una barra cualquiera del sistema, sobre la tensión de dicha barra. El estudio parte de la premisa que existe un relación definida entre las potencias P, Q y la tensión V de la barra, relación que puede escribirse como V=V(P,Q), de donde:

dQQVdP

PVdV

∂∂

+∂∂

= (2.9)

o bien:

)VQ(dQ

)VP(dPdV

∂∂+

∂∂= (2.10)

Es decir, la variación de tensión en un punto cualquiera p de un sistema, debido a cambios dP y dQ

en las potencias activa y reactiva allí entregadas, está completamente determinada si se conocen los coeficientes (∂P/∂V) y (∂Q/∂V). De los dos, el (∂Q/∂V) es el más importante ya que orienta sobre la amplitud de la variación de potencia reactiva que es necesario producir para provocar una variación determinada de tensión en el punto considerado. Para determinar estos coeficientes, consideremos que la carga S = P+jQ existente en el punto p del sistema de la Figura 2.5 a) se aumenta en un consumo puramente inductivo ΔQ, de valor muy pequeño (y que en el límite se hace tender a cero). Este hecho modifica la tensión en p, que de V pasa a V + ΔV.

Z T+

-

V + V Δ V0

P+ j(Q + Q)Δ

+

-

S=P+jQ

2P + jQ2

11P + jQ

iiP + jQ nnP + jQ

p

Δ Q

jX

a) b)

Figura 2.5.- Determinación del coeficiente (∂Q/∂V). a) Diagrama unilineal; b) Circuito equivalente

Según el teorema de Thevenin, el sistema puede ser representado por el circuito de la Figura 2.5 b), donde V0 es el voltaje que existía en p cuando no había consumo y ZT es la Impedancia equivalente de Thevenin del sistema vista desde p. En el circuito de la Figura 2.5 b) se puede aplicar lo planteado en las ecuaciones (2.1) y (2.2); que en este caso quedan:

VQXPR

VVV TT0

+=−=Δ (2.11)

es decir:

0QXPRVVV TT2

0 =−−− (2.12)

13

La ecuación (2.12) es una función implícita y por lo tanto, como en este caso, sólo se produce un cambio en Q, (P permanece constante) se puede derivar parcialmente respecto a V y se obtiene:

T

0

XV2V

VQ −

=∂∂ (2.13)

Si hubiera un cambio en P (ΔP) con Q constante, se encuentra que:

T

0

RV2V

VP −

=∂∂ (2.14)

En el caso en que no exista consumo previo S en el punto p, V0=V, por lo que (2.13) y (2.14) quedan:

TXV

VQ

−=∂∂ (2.15)

TRV

VP

−=∂∂ (2.16)

Valores típicos de (∂Q/∂V) van desde los −3 a −15 MVAr/kV. El signo menos indica que si ΔQ (ó ΔP) es positivo, lo que significa que la potencia que sale de p aumenta, entonces la tensión en el nudo p disminuye. Por lo tanto, la conexión de un reactor produce una baja de tensión mientras que la conexión de un condensador produce un aumento en la tensión.

Es interesante hacer notar que (∂P/∂V) y (∂Q/∂V) tienen las dimensiones de corriente. Por otra parte; la corriente de cortocircuito trifásico en p (ICC), (como se verá más adelante), se puede calcular directamente de la Figura 2.5, despreciado RT y la corriente previa a la falla y vale:

TCC X

VI = (2.17)

Las expresiones de (∂Q/∂V) e ICC (en módulo) son prácticamente iguales. La diferencia está en que la corriente de cortocircuito se calcula con las reactancias transitorias de las máquinas; mientras que (∂Q/∂V) considera reactancias permanentes o sólo las reactancias hasta aquellas barras en que la tensión permanece constante por efecto de la acción de los reguladores de tensión. Para nudos algo alejados de las máquinas, casi no habrá diferencias entre ambas definiciones. Por ello se suelen considerar como aproximadamente iguales. Para el cálculo real de (∂Q/∂V) no se consideran las impedancias de las cargas y se suponen constantes las tensiones en bornes de las máquinas síncronas. Por otra parte, aunque hasta el momento, sólo se ha considerado inyectar potencia reactiva, es evidente que, dependiendo de las condiciones de carga en el sistema, habrá que absorber potencia reactiva en algunos casos, para mantener la tensión dentro de los límites prefijados. Generalmente es necesario absorber potencia reactiva en las horas de poco consumo, lo que se debe fundamentalmente a la potencia reactiva “generada” por las líneas de transmisión que operan a niveles de tensión elevados o por redes de cables. Ejemplo 2.3. En el sistema de la Figura 2.6, las barras A y C se mantienen a tensión nominal de 220 kV. La barra B se mantiene a tensión nominal de 154 kV. Suponiendo que una cierta variación de carga en el sistema hace disminuir en 5 kV la tensión en la barra M, calcular la inyección de potencia reactiva necesaria en esta barra para restablecer su tensión primitiva. Los valores en % están con SB=500 MVA.

M

A B

C

X=10%

ΩX=50 ΩX=50

ΩX=50 X=10%

Figura 2.6

14

Solución: SB=500 MVA; VBL=154 kV ⇒

Ohm 432,47500

154Z2

B == ;

)pu( 05414,1432,47

50XL == .

Por otra parte:

)pu( 03247,0154

5V −=−

=Δ

V=Ctte

V=Ctte

V=Cttej0,1 (pu) j50 ohm j50 ohm

j50 ohm

j0,1 (pu)

M

Figura 2.7

La reactancia de Thevenin en M es:

)pu( 3729,0

05414,11

15414,11

15414,11

1XTH =++

= A partir de la ecuación (2.10):

VQ

Q

VP

PV∂

∂Δ

+∂

∂Δ

=Δ ; con ∞=−=∂∂

THRV

VP y 6815,2

3729,01

XV

VQ

TH−−=−=

∂∂ se obtiene:

)pu( 08707,0)6815,2(*03247,0Q −=−=Δ ⇒ Inyectar 43,53 MVAr 2.6. Regulación de tensión mediante transformadores con cambio de TAP (TCT) El coeficiente (∂Q/∂V) de una barra puede en algunos casos alcanzar e incluso superar valores del orden de −15 MVAr/kV. En estas condiciones no resulta adecuado el sistema de inyección de potencia reactiva debido a la magnitud de las cantidades que habría que poner en juego para compensar las variaciones de tensión en la barra correspondiente. Puede suceder que la tensión regulada se desee en la barra q correspondiente al secundario de un transformador conectado a la barra p como se muestra en la Figura 2.8.

A pesar de la reactancia introducida entre p y q, (∂Q/∂V) puede aún resultar demasiado elevado. En estas condiciones, lo más adecuado es emplear un TCT que permita regular la tensión en la barra q “inyectando una tensión adicional”. Esto no genera potencia reactiva, pero modifica su distribución en el sistema. El empleo de TCT para regular tensión en una barra determinada, se ilustrará mediante el análisis de los casos siguientes:

p q

Figura 2.8.- Transformador con cambio de Tap conectado entre las barras p y q de un

sistema

2.6.1. Sistema de transmisión radial con un TCT en el extremo transmisor En el sistema de la Figura 2.9 se tiene:

ZL: Impedancia de la línea de transmisión (Ω/fase).

ZT: Impedancia del TCT (Ω/fase), referida al secundario.

V1N, V2N: Tensiones nominales del TCT. aN=V1N/V2N: Razón nominal del TCT.

VTZL

2V

P+jQ

RV

ZT

Figura 2.9.- Sistema radial con un TCT ubicado en el extremo transmisor

15

VT, V2, VR: Tensiones en los puntos que se indican antes del cambio de Tap. a=V1N/V’2N: razón del transformador después del cambio de Tap (razón no nominal)

'''R2T V;V;V : Tensiones en los puntos que se indican después del cambio de Tap.

La razón de cambio en el Tap t (suponiéndolo en el secundario del transformador), es:

'N2

N2

N VV

aat == (2.18)

Si se supone que VT=V1N y que ZT, prácticamente no varía al cambiar el TAP, las redes equivalentes “por fase” antes y después del cambio de TAP son las que se muestran en las Figuras 2.10 a) y b)

Na : 1

P+jQ2VVT

ZT

V2N VR

ZL+

-

+

-

+

-

+

-

I

a : 1

P+jQV2VT

ZT

V2N VR

ZL+

-

+

-

+

-

+

-

I

b)

a)'

'' '

Figura 2.10.- Redes equivalentes por fase correspondientes al sistema de la Figura 2.9. a) Antes del cambio de Tap, b) Después del cambio de Tap

A partir de la Figura 2.10 b) se puede escribir:

'R

'LT

'N2 VI )ZZ(V &&& ++= (2.19)

Considerando la ecuación (2.2) se puede determinar en forma aproximada, el módulo de la caída de tensión en las impedancias del transformador y la línea como sigue:

'R

LTLTTL

'LT

VQ )XX(P )RR(

VI )ZZ(+++

=Δ≈+ (2.20)

Despejando 'N2V de (2.18), introduciendo este valor y (2.20) en (2.19) y despejando t, se obtiene:

2'RLTLT

'RN2

)V(Q )XX(P )RR(VV

t++++

= (2.21)

Utilizando esta ecuación se puede determinar el cambio de tap necesario para cumplir determinadas condiciones. Por ejemplo, si se quiere compensar la caída de tensión en la línea, 2

'R VV = y por lo tanto:

22LTLT

2N2

VQ )XX(P )RR(VV

t++++

= (2.22)

16

Si adicionalmente se desprecia la caída en el transformador, se tiene que: RT y XT son iguales a cero y V2=V2N y por lo tanto:

2N2LL

2N2

VQ XP RV

t++

= (2.23)

2.6.2. Sistema de transmisión radial con TCT en ambos extremos de la línea En el sistema de la Figura 2.11 se tiene: ZL: Impedancia de la línea de transmisión

(Ω/fase) ZA y ZB: Impedancia de cada TCT (Ω/fase),

referida al sector de la línea. a1N=VAN/VaN: Razón nominal del TCT A a2N=VBN/VbN: Razón nominal del TCT B

VTZL

2V RVV1

A ZBZ

TCT "A" TCT "B"

P+jQ

Figura 2.11.- Regulación de tensión con TCT en ambos extremos

a1= VAN/V’aN: razón del transformador A después del cambio de Tap a2= VBN/V’bN: razón del transformador B después del cambio de Tap VT, V1, V2, VR: Tensiones en los puntos indicados antes del cambio de Tap.

'''1

'R2T V;V;V;V : Tensiones en los puntos indicados después del cambio de Tap.

La razones de cambio en los Tap t1 y t2 se pueden definir como:

'aN

aN

N1

11

VV

aa

t == (2.24)

'bN

bN

N2

22

VV

aa

t == (2.25)

Las redes equivalentes antes y después del cambio de Tap se muestran en la Figura 2.12.

V 2VVT

+

-

+

-

+

-

P+jQVR

+

-

I

aN

ZBZA

+

-

V1

1Na : 1 LZ

BV

+

-

2Na : 1

a)

V 2VVT

+

-

+

-

+

-

P+jQVR

+

-

I

aN

ZBZA

+

-

V1

1a : 1 LZ

BV

+

-

2a : 1

'

b)

' ' '

'

'

Figura 2.12.- Redes equivalentes por fase correspondientes al sistema de la Figura 2.11. a) Antes del cambio de Tap, b) Después del cambio de Tap

A partir de la Figura 2.12 b) se puede escribir:

'B

'BLA

'aN VI )ZZZ(V &&& +++= (2.26)

17

Considerando la ecuación (2.2) se puede determinar en forma aproximada, el módulo de la caída de tensión en las impedancias de los transformadores y la línea como sigue:

'B

BLABLAALB

'BLA

VQ )XXX(P )RRR(

VI )ZZZ(+++++

=Δ≈++ (2.27)

Despejando 'aNV de (2.24), introduciendo este valor y (2.27) en (2.26) y despejando t1, se obtiene:

2'BBLABLA

'BaN

1)V(Q )XXX(P )RRR(

VVt

++++++= (2.28)

Por otra parte, de la Figura 2.12.b) y considerando la ecuación (2.25) se tiene que:

'RN22

'R2

'B VatVaV == (2.29)

Introduciendo (2.29) en (2.28), se obtiene finalmente:

2'RN22BLABLA

'RN22aN

1)V a t(Q )XXX(P )RRR(

V a t Vt

++++++= (2.30)

Si VT permanece constante, la ecuación (2.30) permite determinar los cambios de TAP necesarios t1 y t2 de tal modo que se obtenga un valor deseado '

RV . En particular, si se desea que 'RV sea igual a la tensión

nominal del secundario del transformador B, o sea bN'R VV = , entonces, a partir de (2.30) se obtiene:

2BN2BLABLA

BN2aN1

)V t(Q )XXX(P )RRR(V t V

t++++++

= (2.31)

Si además, se desprecian las caídas internas de los transformadores y se considera t1 = t2, entonces:

2BN

LL

BN

aN21

VQ XP R

VV

tt+

−== (2.32)

Ejemplo 2.4. En el sistema de la Figura 2.13, calcular los cambios de TAP necesarios para mantener 33 kV en el consumo. Qué potencia reactiva se debería inyectar en la barra de carga para mantener 33 kV, en el caso de que los transformadores no tuvieran cambiadores de TAP? Solución: a) Usando la ecuación (2.30), con t1=t2 se tiene:

2'RN2

TT'RN2aN

21 )V*a(Q*XP*RV*a*V

tt−−

==

en que todos los valores son por fase y por lo tanto: P=150/3=50 MW/fase Q=(50/0,8)∗sin( cos-1 0,8)=37,5 MVAR/fase

33/230 kV

V=33 kV(12+j40)

150 MW cos =0,8 ϕ

Ω

230/33 kV200 MVA 200 MVAj5,671% b.p. j5,671% b.p.

Figura 2.13

18

XTR=0,05671∗ZB2=0,05671∗(2302/200) XTR=15 Ω/fase RT=12 Ω/fase; XT=(15+40+15)=70 Ω/fase

90394,02

333

33230

5,377050123

3333230

3230

tt 21 =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∗

∗−∗−∗∗==

b) Usando aproximación de la línea corta:

fase/MVAr 57,870

5012X

PRQ0

VXQRP

V RR

R

RR −=∗

−=∗

−=⇒=+

=Δ

Luego: QC=QL-QR=37,5-(-8,57) ⇒QC=46,07 MVAR/fase. Es decir; se deberían inyectar 138,21 MVAr 2.7. Regulación de tensión mediante el uso combinado de TCT e inyección de Potencia Reactiva

Los dispositivos de producción o absorción de potencia reactiva se conectan usualmente al enrollado terciario de transformadores que interconectan redes de transmisión y de distribución. Si el transformador tiene cambiador de tap, es posible regular independientemente los voltajes primario y secundario, inyectando potencia reactiva para controlar uno de ellas y modificando los tap para controlar el otro. La Figura 2.14 muestra un esquema típico, en que las variables se suponen “por fase” y las impedancias referidas al primario.

V2

V3

CS

1S

V1

2S

a)

V

+

-

V

+

-

Zp s

t

N Z

N

ZV

+

-

CS

1 2

P+jQ I

b)

Figura 2.14.- Esquema típico de regulación de tensión combinando TCT e inyección de potencia reactiva. a) Diagrama unilineal, b) Red equivalente por fase

En general, el problema consiste en determinar los cambios de Tap necesarios en el transformador, para ciertas condiciones de potencia reactiva del compensador sincrónico y determinada potencia compleja transferida entre los enrollados primario y secundario, de tal modo que las tensiones V1 y V2 estén dentro de ciertos valores especificados. El análisis se efectúa normalmente haciendo las siguientes aproximaciones:

– Se desprecia la potencia activa perdida en el transformador, por lo que Zp, Zs y Zt se suponen sin resistencia

– Las caídas de tensión se calculan por medio de expresiones simplificadas

Sea P+jQ, la potencia compleja que llega al nudo N por la rama Zp. El diagrama fasorial de la Figura 2.15 muestra esta situación, considerando como referencia el fasor de voltaje VN .

I

ϕ

θ

V

Δ V

jX Ip

1

VNVδ

Figura 2.15.- Diagrama fasorial para determinar el voltaje en el nudo N

A partir de esta figura se puede escribir:

19

N

pN1 V

Q XVVV =Δ≈− (2.33)

N

p

VP X

V =δ (2.34)

Por otra parte, en la Figura 2.15 se tiene que:

22N

21 )V()VV(V δ+Δ+= (2.35)

Introduciendo (2.33) y (2.34) en (2.35) y despejando VN se obtiene:

2pp

21

21

p2

12N )PX(4)QX4V(V

21

2QX2V

V −−±−

= (2.36)

En algunos cálculos más simplificados, la tensión VN se determina despreciando δV, con lo que resulta una expresión más sencilla que (2.36). A partir del valor de VN, se puede determinar el tap en que debe quedar el transformador utilizando, por ejemplo, la expresión (2.18). Ejemplo 2.5. El TTTE de la Figura 2.16 tiene conectado en el terciario un compensador síncrono. La potencia de la carga es de (75+j30) MVA y los voltajes V1 y V2 deben permanecer en 225 y 70 kV respectivamente. Las reactancias del TTTE son: Xps=11,5%; Xpt=19,2%; Xst=7,5%, todas en base común 75 MVA. Determinar, despreciando Xs, el campo de regulación del cambiador de TAP en carga, si se sabe que el compensador síncrono funciona: a) en vacío; b) Como condensador síncrono (40 MVAR). Solución: Parámetros del transformador de 3 enrollados: Sólo interesa el valor de Xp:

( ) )pu( 116,0XXX21X stptpsp =−+= , como:

ohm 33,64575

220Z2

1B ==

Se tiene que: Xp=74,86 ohm/fase. (XS=-0,001 pu)

P T V

220/13,2/66 kV

V

CS

SP/T/S

1 2

75/45/60 MVA

DATOS TTTE

ΔY/ /Y

Figura 2.16 Usando la ecuación (2.36) y considerando el circuito equivalente de la Figura 2.14 b), se tiene que: a) Compensador en vacío ⇒ P=25 MW/fase; Q=10 MVAR/fase; V1=225/√3 kV/fase; V2=70/√3 kV/fase. Reemplazando valores en la ecuación (2.36) se obtiene: VN1=±122,92 kV/fase y VN2=±16,4 kV/fase (No válida); por lo tanto; VN=122,92 kV/fase y:

0415,370

392,122'a =∗

= . Además: 3333,366220a N == . Entonces:

0,91253,33333,0415

aa'tN

a ===

20

b) Compensador entregando 40 MVAR ⇒ Q=30−40= −10 MVAr; es decir, Q= −10/3 MVAr/fase. Reemplazando valores en la ecuación (2.36) se obtiene: VN1=±131,021 kV/fase y VN2=±14,41 kV/fase (No válida); por lo tanto; VN=131,021 kV/fase y:

2419,370

3021,131"a =∗

= . Además: 3333,366220a N == . Entonces:

0,97263,33333,2419

aa"t

Nb === . Es decir, el tap debe variar entre 0,9125 y 0,9726

Problemas propuestos

2.1. En el sistema de la Figura 2.17, el generador no tiene regulador de voltaje y SB=100 MVA. Antes de energizar la línea, la tensión en el punto A es del 100%. Determinar: a. Las tensiones en ambos extremos de la línea después de ser energizada (sin carga). b. La capacidad del reactor necesario a conectar en “B” para que la tensión en este punto sea del 100%. c. La tensión en “A” con el reactor conectado. 2.2. En el terciario del Transformador Trifásico de Tres Enrollados (TTTE) de la Figura 2.18, hay un condensador síncrono que tiene por objeto mantener la tensión de la carga en 100%. Cuando la carga es de (40+j15) MVA, el condensador síncrono (CS) está en vacío. Determinar la potencia reactiva que entrega el CS cuando la carga aumenta a (80+j30) MVA. El generador no tiene regulador de voltaje, la potencia base es de 100 MVA y los parámetros del transformador son: Xp=13,1%; Xs=-1%; Xt=8%

X=0,05

A

B/2=0,285 (pu)X=0,05 (pu)

BG

Figura 2.17

P

X=0,067

T 66 kV

13,8 kV

154 kV

CS

S

CARGA

Figura 2.18 2.3. Una línea corta de transmisión que tiene una impedancia serie de (0,02+j0,1) pu (SB=100 MVA), alimenta una carga de 200 MVA, Factor de Potencia 0,8 inductivo. En el extremo receptor existe un compensador que permite que con 220 kV en el extremo transmisor, el voltaje en el extremo receptor sea de 225 kV. Considerando que el desfase entre ambos voltajes es pequeño y que el voltaje en el extremo transmisor se mantiene constante, Determinar: a. La capacidad (MVAr) del compensador síncrono que está conectado en el extremo receptor. b. El voltaje que aparece en el extremo receptor al desconectar la carga. 2.4. El esquema de la Figura 2.19, muestra un diagrama simplificado de la Central Termoeléctrica Bocamina. Los coeficientes (∂P/∂V) y (∂Q/∂V) en la barra de 66 kV son respectivamente: –130 [MW/kV] y −56,5 [MVAr/kV]. La tensión en dicha barra es de 67,3 kV, cuando está la carga de 4 MVA conectada, a Factor de Potencia 0,9 (inductivo). En estas condiciones se pretende hacer partir un motor de inducción tipo Jaula de Ardilla, que mueve las bombas de la caldera, sabiendo que la tensión mínima de partida del motor es del 90% y que durante la partida consume 5 veces la corriente nominal con cos ϕ=0,3. Determinar si es posible hacer partir el motor en estas condiciones. 2.5. Los sistemas de la Figura 2.20, están unidos a través de un autotransformador regulador cuyo rango es VN±15 x 1,25%. Cuando está en su derivación nominal y las tensiones son V1=1,1 (pu); V2=0,9 (pu), el

21

Sistema 1 entrega (100 + j80) MVA. Determinar la derivación en que se debe ajustar el regulador para que la potencia reactiva que entregue el Sistema 1 no sea superior a 30 MVAR (V1 y V2 constantes). Considerar SB=100 MVA.

66/4,16 kV

X=8%

cos =0,9ϕ4 MVA

1,75 MVA11 MVA MI

cos =0,8ϕ

66 kV

Figura 2.19

t : 1X=35%

Sistema 2

V + 15 x 1,25% N _

Sistema 1

1V 2V

Figura 2.20 2.6. En el sistema de la Figura 2.21, los generadores 1 y 2 tienen reguladores de tensión que mantienen constante la tensión en bornes. El transformador de 154/69 kV tiene cambiador de TAP bajo carga en el lado de 69 kV con 19 derivaciones en pasos de 1,25% y con el valor nominal en la derivación central. El cambiador de TAP es comandado por un sistema de control que trata de mantener constante la tensión en barras de 69 kV y que reacciona cuando la tensión varía en más de 1,5% del valor de ajuste. La tensión en barra de 69 kV es la nominal y el cambiador se encuentra en la posición (69+4x1,25%). En ese instante se conecta un banco de condensadores de 6 MVAr a la barra de 69 kV. ¿Cómo reacciona el sistema de regulación? ¿En qué valor queda la tensión en la barra de 69 kV después que ha reaccionado el sistema de regulación? Todos los valores en % están en base propia.

X=12%X =80%s

100 MVA

100 MVAG1

154/69 kV120 MW

F. de P. = 0,96

X=10%

X=16%

(8,33+j30)Ω

(8,33+j30)Ω

(12,5+j37,5) Ω

200 MVA 50 MVAX =120%s

G2

50 MVA

Figura 2.21 2.7. En el sistema de la Figura 2.22, la potencia en el consumo puede variar del siguiente modo:

MVA )20j30(S)3j0( C +≤≤− & . Considerando que la tensión en el extremo transmisor VT se mantiene constante en 12 kV y que la del extremo receptor VR no debe variar en más de ± 5%; determinar si es necesario inyectar o absorber potencia reactiva en el extremo receptor y a partir de que valor o valores de la potencia del consumo. Valores en porcentaje en base 100 MVA.

X=10%X =30%s80 MVA 12/66 kV

G1j40%

S c

VT

X=12%66/33 kV

VR

Figura 2.22

CAPITULO 3

CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA 3.1. Introducción El cálculo y análisis del flujo de potencias en la red de un Sistema Eléctrico de Potencia (SEP) es uno de los aspectos más importantes de su comportamiento en régimen permanente. Consiste en determinar los flujos de potencia activa y reactiva en cada línea del sistema y las tensiones en cada una de las barras, para ciertas condiciones preestablecidas de operación. Hasta el año 1950, el Cálculo del Flujo de Potencias (CFP) se realizaba utilizando principalmente los Analizadores de Redes de Corriente Alterna (ARCA) y en algunos casos, los Analizadores de Redes de Corriente Contínua (ARCC) que corresponden a una simulación a escala del Sistema Real. En la actualidad, el CFP se realiza fundamentalmente, utilizando los computadores digitales por las grandes ventajas que éstos presentan respecto a los analizadores de redes. El análisis del flujo de potencias (AFP) permite:

− Programar las ampliaciones necesarias del SEP y determinar su mejor modo de operación, teniendo en cuenta posibles nuevos consumos, nuevas líneas o nuevas centrales generadoras.

− Estudiar los efectos sobre la distribución de potencias, cuando se producen pérdidas temporales de generación o circuitos de transmisión.

− Ayudar a determinar los programas de despacho de carga para obtener un funcionamiento óptimo. 3.2. Planteamiento del problema básico Considérese el SEP elemental de dos barras de la Figura 3.1 y su circuito equivalente por fase que se muestra en la Figura 3.2. La línea L12 se ha representado por su circuito π nominal y donde: 21 S y S && : Potencias complejas netas de las barra 1 y 2 respectivamente, representadas como fuentes de

potencia activa y reactiva, que corresponden a la Potencia Generada menos la Potencia Consumida.

2112 S y S && : Flujos de potencia compleja que van desde la barra 1 a la barra 2 y viceversa.

1 2

G2S

L12

12S S21

C1S C2S

G1 G2

SG1

Figura 3.1.- Sistema elemental de dos barras para plantear el problema básico

1 2

SS1 2

V1 2V

Y/2

R + j XL L

Y/2

Figura 3.2.- Circuito equivalente por fase del sistema de la Figura 3.1

En la Figura 3.1, las potencias complejas netas de las barras 1 y 2 son:

222C2G2C2G2C2G2

111C1G1C1G1C1G1

jQP)QQ( j)PP(SSS

jQP)QQ( j)PP(SSS

+=−+−=−=

+=−+−=−=&&&

&&& (3.1)

23

En el circuito de la Figura 3.2 se puede escribir:

LL

122*

2

22*2

*2

LL

211*

1

11*1

*1

jXRVV

2YV

VjQP

VS

jXRVV

2YV

VjQP

VS

+−

+=−

=

+−

+=−

=

&&&

&&&

(3.2)

Estas ecuaciones, que relacionan las tensiones con las potencias activas y reactivas, presentan las siguientes características.

− Son algebraicas y no lineales.

− La frecuencia no aparece en forma explícita porque se la supone constante.

− El sistema de cuatro ecuaciones, tiene 12 variables en total: PG1, PG2, QG1, QG2, PC1, PC2, QC1, QC2, V1, θ1, V2, θ2, por lo que no es posible obtener una solución para ninguna de ellas a menos que se reduzca el número de incógnitas, fijando de antemano algunas variables.

En relación a esto último, una forma posible de resolver el problema es la siguiente:

− A partir de los datos del consumo suponer conocidas e independientes del voltaje, las potencias de las cargas PCi, QCi, con i = 1,2.

− Fijar a priori dos variables de generación PG2 y QG2 por ejemplo. No se pueden fijar las cuatro variables de generación debido a que las pérdidas en el sistema no son conocidas inicialmente.

− Fijar el módulo y ángulo de la tensión en barra 1; es decir; suponer conocidos V1, θ1. En particular, puede tomarse esta tensión como referencia, o sea, θ1=0

En estas condiciones, el sistema de 4 ecuaciones (3.2) queda con sólo 4 variables: PG1, QG1, V2, θ2. 3.3. Modelo de representación del SEP Teniendo presente el análisis del problema básico y con el objeto de establecer un procedimiento general para el CFP, es necesario considerar lo siguiente: 3.3.1. Tipos de Barras Asociados a cada barra p de un SEP existen cuatro variables, Pp; Qp; Vp; θp. Según las variables conocidas y desconocidas, las barras se clasifican en los siguientes grupos: − Barras de Carga (Barras P-Q): Pp y Qp están especificadas; Vp y θp son las incógnitas

− Barras de tensión controlada (Barra P-V): Pp y Vp están especificadas; Qp y θp son las incógnitas. En este tipo de barra debe existir alguna fuente controlable de potencia reactiva.

− Barra flotante (Barra V& ): Vp y θp están especificados; Pp y Qp constituyen las incógnitas. En esta barra debe existir por lo menos un generador. La necesidad de definir esta barra nace del hecho que no es posible especificar a priori, la potencia total que es necesario generar en el sistema debido a que inicialmente no se conocen las pérdidas en el mismo. La barra flotante debe suministrar la diferencia entre la potencia compleja inyectada al sistema en el resto de las barras y la carga total más las pérdidas. Esta barra se conoce también con otros nombres tales como: de referencia, oscilante, de relajación (slack).

24

3.3.2. Representación de los elementos del SEP a. Líneas: Se representan usualmente por su circuito π nominal. Para una línea conectada entre las barras p y q de un SEP, el circuito equivalente corresponde al mostrado en la Figura 3.3. En algunos casos, basta representar la línea por su impedancia serie. b. Transformadores: Cuando funcionan en su razón nominal, se representan por su impedancia de cortocircuito. Cuando operan con cambio de TAP y razón no nominal, se pueden representar por su circuito equivalente π que se muestra en la Figura 3.4, cuyos parametros se indican en la ecuación (3.3).

Vp qpqY' /2 pqY' /2 V

SpqIpq

Zpq Ypq( ) SqpqpI

p q

Figura 3.3.- Circuito equivalente π de una línea para

el cálculo de flujos de potencia

A

B

CV1 V2

I1 I2+

-

+

-

Figura 3.4.- Modelación circuital en tanto por unidad de un transformador con cambio de TAP

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−ββ

=αβ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

−αα

=11YC YB 11YA (3.3)

Con α=1+t1 y β=1+t2; y donde t1 y t2, representan el cambio del Tap, en el lado respectivo. c. Generadores: Se consideran normalmente como fuentes de potencia activa y reactiva. 3.4. Planteamiento matemático del problema para un SEP de “n” barras 3.4.1. Ecuaciones de Barras Considérese una barra p cualquiera de un sistema tal como se muestra en la Figura 3.5. La potencia compleja neta, pS& y la corriente

inyectada en la barra p, pI& están relacionadas por las siguientes ecuaciones, que constituyen las ecuaciones de barras.

Vp

pResto del

SEP +

-

Ip

Figura 3.5.- Representación de una Barra p en un SEP

*p

pp*p

*p

p

pp*ppp

V

jQP

V

SI

jQPIVS

−==

+==

&

&

(3.4)

3.4.2. Ecuaciones del flujo de potencias A partir de la Figura 3.3 se puede escribir:

)2Y(VY)VV(I 'pqppqqppq&&&&&& +−= (3.5)

La potencia compleja que fluye desde la barra p a la q está dada por:

[ ] *pq

*qp

2p

*'pq

*pq

*pqppq YVVV )2Y(YIVS &&& −+== (3.6)

25

Análogamente, la potencia compleja que fluye desde la barra q a la barra p estará dada por:

[ ] *qpq

*p

2q

*'qp

*qp

*qpqqp YVVV )2Y(YIVS &&& −+== (3.7)

Las expresiones (3.6) y (3.7) corresponden a las ecuaciones del flujo de potencia a través de la línea. Conviene indicar que )2Y()2Y( y YY '

qp'pqqppq

&&&& == . Además, pqY& es el inverso de la impedancia entre las barras p y q, el que no debe confundirse con el valor correspondiente en la matriz YB, de la ecuación (3.10). 3.4.3. Potencia perdida en la transmisión

De acuerdo con los sentidos adoptados para qppq S y S && , la potencia compleja perdida en la línea será:

qppqLpq SSS &&& += (3.8)

3.4.4. Cálculo de las tensiones de barras

Las ecuaciones (3.6) y (3.7) indican claramente que para resolver el problema del flujo de potencias se requiere determinar previamente las tensiones en todas las barras que correspondan. Empleando el método nodal de resolución de circuitos, en forma matricial, para la red de un SEP de n barras se puede escribir:

[ ] [ ][ ]BBB V YI = (3.9)

donde [ ]BI es el vector de corrientes inyectadas a las barras; [ ]BY es la matriz admitancia de barras y [ ]BV es el vector tensiones de barra, definidos como:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

n

p

2

1

B

I

I

II

I

&M

&M

&

&

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

n

p

2

1

B

V

V

VV

V

&M

&M

&

&

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnp2n1n

pnpp2p1p

n2p22221

n1p11211

B

YYYY

YYYY

YYYYYY···YY

Y

&L&L&&MLMLMM

&L&L&&MLMLMM

&L&L&&

&L&&&

(3.10)

Teniendo presente que según (3.4), las corrientes inyectadas en las barras dependen de las potencias

complejas netas respectivas y considerando (3.9) y (3.10), se puede escribir:

nnnpnp22n11n*n

*n

npnppp22p11p*p

*p

nn2pp2222121*2

*2

nn1pp1212111*1

*1

VY ··· VY ··· VYVYVS

VY ··· VY ··· VYVYV

S

VY ··· VY ··· VYVYVS

VY ··· VY ··· VYVYVS

&&&&&&&&

MMMMM

&&&&&&&&

MMMMM

&&&&&&&&

&&&&&&&&

+++++=

+++++=

+++++=

+++++=

(3.11)

26

Este sistema de ecuaciones es similar al obtenido en el problema elemental de 2 barras; es decir; las ecuaciones son algebraicas y no lineales, por lo tanto es necesario resolverlo mediante técnicas de aproximaciones sucesivas. 3.5. Técnicas de solución para el problema del flujo de potencias Existen actualmente diversos métodos para resolver el problema de cálculo del flujo de potencias, los que reciben nombres según sea el procedimiento que se aplique para calcular las tensiones. Entre ellos podemos mencionar el de Gauss, el de Gauss-Seidel, los de Newton-Raphson (Completo, Desacoplado, Desacoplado rápido), el flujo DC, etc. Se estudiará a continuación, cada uno de ellos, considerando en primer lugar el procedimiento general y luego las aplicaciones al cálculo de flujo de potencias 3.5.1. Método de Gauss Se emplea para resolver un problema lineal o no lineal. Por simplicidad se considerará un sistema lineal de ecuaciones, como el indicado en (3.12), para fundamentarlo. Sin embargo, su aplicación a un sistema no lineal resulta inmediata.

3333232131

2323222121

1313212111

yxaxaxayxaxaxayxaxaxa

=++=++=++

(3.12)

Despejando x1 de la primera ecuación, x2 de la segunda y x3 de la tercera se obtiene:

3323213133

2232312122

1131321211

)/axaxa(yx)/axaxa(yx)/axaxa(yx

−−=−−=−−=

(3.13)

Sean 03

02

01 x ,x ,x , valores iniciales estimados a priori de la solución del sistema (3.12), entonces,

reemplazando estos valores en (3.13) se tiene:

330232

01313

13

220323

01212

12

110313

02121

11

a/)xaxay(x

a/)xaxay(x

a/)xaxay(x

−−=

−−=

−−=

(3.14)

El procedimiento continua hasta que se satisface algún “criterio de convergencia” tal como, por ejemplo, el indicado en (3.15), donde ε es una cantidad de valor pequeño y positivo. A cada etapa del proceso se le denomina “iteración”.

3 ,2 ,1i con xx ki

1ki =ε≤−+ (3.15)

Aplicando el método a un sistema de n ecuaciones con n incógnitas; para la incógnita xi, después de k iteraciones, y con i= 1, 2,.....; n; se puede escribir:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡∑−=

≠=

+ n

ij1j

kjiji

ii

1ki xay

a1x (3.16)

27

Los inconvenientes de este procedimiento son el gran número de pasos que se requiere para llegar al resultado y la ocurrencia relativamente alta de situaciones en que no hay convergencia, por lo que no se utiliza para resolver el problema de cálculo de los voltajes de la ecuación (3.11). Sin embargo, constituye la base para la formulación del Método de Gauss-Seidel, lo que justifica su análisis. Al aplicar la ecuación (3.16) al problema de cálculo de los voltajes en las barras del sistema de ecuaciones (3.11) se obtiene:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

= ∑≠=

+n

pq1q

kqpq*k

p

pp

pp

1kp VY

)V(

jQP

Y1V &&&

& (3.17)

Donde: p = 1, 2, 3, ….., n; q= 1, 2, 3, ....., n y p ≠ s (barra slack).

La ecuación (3.17) se conoce como método de Gauss YB, porque usa el Método de Gauss y se trabaja con la matriz admitancia de barras del sistema eléctrico. La expresión es válida sólo para las barras de carga. En el caso en que el SEP contenga barras de tensión controlada, la ecuación (3.17) debe ser modificada, pues en este tipo de barras no se conoce el valor de la potencia reactiva Qp. Por lo dicho en el párrafo anterior, la modificaciones requeridas se estudiarán al considerar el Método de Gauss-Seidel YB. 3.5.2 Método de Gauss-Seidel a. Caso general: Corresponde a una modificación del método de Gauss tendiente a acelerar la convergencia del proceso iterativo. En el método de Gauss se calculan todos los valores de las incógnitas correspondientes a una iteración y luego se emplean para determinar los nuevos valores de las incógnitas en la iteración siguiente. En el método de Gauss-Seidel en cambio, los valores calculados en una iteración determinada, se utilizan inmediatamente para calcular los valores de las incógnitas que restan por calcular en la misma iteración. De este modo, si el proceso de cálculo se encuentra en la iteración (k+1) y ya se han determinado

;x ....., ,x ,x 1k1i

1k2

1k1

+−

++ entonces, los valores que se utilizan para calcular 1kix + serán

kn

k2i

k1i

1k1i

1k2

1k1 x ....., ,x ,x ,x ....., ,x ,x ++

+−

++ Por tanto, la fórmula iterativa del Método de Gauss-Seidel aplicada a un sistema de n ecuaciones de la forma dada por (3.12) es:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∑−∑−=

+=

−

=

++ n

1ij

kjij

1i

1j

1kjiji

ii

1ki xaxay

a1x (3.18)

b. Aplicación del método de Gauss-Seidel YB al cálculo flujos de potencia: El cálculo de las tensiones de barras aplicando el procedimiento explicado anteriormente es distinto según sean los tipos de barras existentes en el SEP. Por ello se considerarán en primer lugar los sistemas con barras de carga y flotante solamente, por ser el caso más simple. A continuación se analizará la situación de las barras de tensión controlada. b1. Sistemas con barras de carga y flotante solamente: Aplicando la ecuación (3.18) al sistema (3.11) se tiene:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−

−= ∑ ∑

−

= +=

++1p

1q

n

1pq

kqpq

1kqpq*k

p

pp

pp

1kp VYVY

)V(

jQP

Y1V &&&&&

& (3.19)

Donde: p = 1, 2, 3, ….., n; q= 1, 2, 3, ....., n y p ≠ s (barra slack).

28

La secuencia de solución según este método es como sigue: 1. Se suponen valores iniciales de tensión para todas las barras a excepción de la flotante, cuya tensión

está especificada, o sea es dato del problema, al igual que Pp y Qp en todas las barras de carga y los términos de la matriz admitancia de barras [YB].

2. Se aplica la fórmula iterativa (3.19) hasta que se cumpla algún criterio de convergencia, por ejemplo:

)slack barra( sp y n ......., ,3 ,2 ,1p con doespecifica

)slack barra( sp y n ......., ,3 ,2 ,1p con doespecifica VV

2kp

1kp

1kp

1kp

≠=ε≤θ−θ

≠=ε≤−

+

+

(3.20)

3. Determinadas las tensiones pV& , se calculan los flujos de potencia qppq S y S && aplicando (3.6) y (3.7).

4. Conocidos los valores de qppq S y S && se determinan las pérdidas en el sistema, empleando (3.8). b2. Sistemas con barras de carga, tensión controlada y flotante: Normalmente un SEP incluye además de las barras de carga y flotante, barras de tensión controlada (BTC) que tienen por objeto permitir regular la tensión en uno o varios puntos del sistema. En las barras de tensión controlada debe existir una fuente regulable de potencia reactiva para poder cumplir su cometido. Debido a que en este tipo de barra sólo se conocen el módulo de la tensión y la potencia activa, es necesario calcular previamente la potencia reactiva, antes de emplear la ecuación (3.19) para determinar el voltaje complejo en ella. A partir de la ecuación para la barra p de la expresión (3.11), se puede escribir:

∑=

=+++++=−=n

1qqpq

*pnpnppp22p11p

*ppp

*p VYVVY ··· VY ··· VYVY(VjQPS &&&&&&&&&& (3.21)

es decir:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∑−==

n

1qqpq

*pp VYV agImQ && (3.22)

Cuando se emplea la ecuación (3.19) en una BTC, el valor de Qp, que debe utilizarse corresponde al

indicado por (3.22), el que se debe actualizar en cada iteración. Al determinar el voltaje, debe tenerse en cuenta que su módulo en esta barra está especificado y por lo tanto sólo puede cambiar su ángulo.

Límites de Potencia reactiva en una Barra de tensión Controlada: En el cálculo del flujo de potencias en un SEP con Barras de tensión controlada es necesario tomar en cuenta los límites de potencia reactiva de las fuentes de potencia.

Sea p una BTC, entonces el valor de Qp se puede escribir como:

CpGpp QQQ −= (3.23)

Además: (QGp)máx : Valor máximo de generación de potencia reactiva de la fuente. (Qgp)mín : Valor mínimo de generación de potencia reactiva de la fuente. QCp : Potencia reactiva de la carga en la barra

29

Los límites de potencia reactiva para la barra p serán:

máxppmínp )Q(Q)Q( ≤≤ (3.24) donde: CpmáxGpmáxpCpmínGpmínp Q)Q()Q( y Q)Q()Q( −=−= Si el valor de la potencia reactiva calculado según (3.22) en una iteración cualquiera k, Qp

k, excede el límite máximo o mínimo prefijado, significa que es imposible obtener una solución con la tensión especificada en esta barra y en consecuencia, ella debe ser considerada como una barra de carga en esa iteración, en la cual la potencia reactiva es igual al límite superior e inferior según corresponda. En las iteraciones siguientes, el método intentará mantener el voltaje especificado originalmente en esa barra, siempre que no se violen los límites de Qp. Esto es posible, porque pueden ocurrir cambios en otros puntos del sistema, que lo permitan. Para explicar mejor el procedimiento, considérese el sistema de 3 barras de la Figura 3.6. Sean: Barra 1: Flotante Barra 2: de carga Barra 3: de tensión controlada La secuencia de cálculo aplicando el Método de Gauss-Seidel YB es:

1 2

3

Figura 3.6.- Sistema de tres barras para explicar el método de Gauss-Seidel YB

1. Especificar los datos necesarios: V1, θ1, P2, Q2, P3, V3 y los parámetros para determinar la matriz YB

2. Suponer los valores iniciales: 03

02

02 ,,V θθ . Normalmente se usa 1,0 (pu) para los módulos de voltaje y

0º para los ángulos; V3 está especificado. 3. Calcular la tensión en la barra 2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−

−= 0

323121*02

22

22

12 VYVY

)V(jQP

Y1V &&&&&

& (3.25)

4. Calcular la potencia reactiva en la barra 3

{ }0333

1232131

*03

03 VYVYVY()V( ImQ &&&&&& ++−= (3.26)

5. Verificar si 0

3Q está dentro de los límites establecidos

6. Si 03Q está dentro de los límites, determinar la tensión en la barra 3 según (3.27), mantener el valor

especificado para V3 y cambiar el ángulo inicial por el determinado con (3.27)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−

−= 1

232131*03

033

33

13 VYVY

)V(jQP

Y1V &&&&&

& (3.27)

7. Si 03Q no está dentro de los límites, reemplazar 0

3Q en (3.27) por el valor del límite excedido,

tomando el valor de 13V& calculado en (3.27) completo (módulo y ángulo).

30

8. Verificar que se cumpla el criterio de convergencia tal como se indica en ecuación (3.20), por ejemplo, en todas las barras. Si se cumple, el proceso de cálculo de las tensiones finaliza y se determinan los flujos de potencia y las pérdidas en las líneas según ecuaciones (3.6) y (3.7) y (3.8).

9. Si el criterio de convergencia no se cumple, volver al punto 3 y repetir el proceso. Ejemplo 3.1. Para el sistema de tres barras de la Figura 3.7, los datos en pu, base común, se dan en las Tablas Nº 1 y Nº 2. Realizar una iteración con el método de Gauss-Seidel YB, para determinar el voltaje en todas las barras. Con los valores obtenidos, determinar los flujos de potencia en todas las líneas, las pérdidas del sistema, la potencia entregada por el generador de la barra slack y la verificación de la potencia entregada a la carga SC1.

Tabla Nº 1: Datos de las líneas Línea Z (pu) Y’/2 (pu) 1-2 0,04+j0,12 j0,05 1-3 0,02+j0,06 j0,06 2-3 0,06+j0,18 j0,05

Tabla Nº 2: Datos de las barras Barra Nº Tipo V (pu) PG QG PC QC

1 PQ - - - 0,6 0,252 PV 1,04 0,2 - 0,0 0,0

23

1SC1

G3 G2 PG2

Figura 3.7

Límites de generación de Q en la barra 2: −1 ≤ QG2 ≤ 1 3 SL 1,06 - - 0,0 0,0 Solución: a) Determinación de la matriz de admitancia de barras YB

º43,1088114,1515j506,0j02,0

1YY

º43,1082705,55j6667,118,0j06,0

1YY

º43,1089057,75,7j5,212,0j04,0

1YY

º47,719775,2089,19j6667,605,0j06,0j18,0j06,0

106,0j02,0

1Y

º43,710813,134,12j1667,405,0j05,0j18,0j06,0

112,0j04,0

1Y

º48,716128,2339,22j5,706,0j05,0j06,0j02,0

112,0j04,0

1Y

1331

3223

2112

33

22

11

∠=+−=+

−==

∠=+−=+

−==

∠=+−=+

−==

−∠=−=+++

++

=

−∠=−=+++

++

=

−∠=−=+++

++

=

b) Valores iniciales y otros datos

1Q1 :2 barra la en Q de Límites2,002,0P;25,0j6,0)25,00(j6,00S

)slack Barra( doespecifica ,º006,1V ;º004,1V ;º01V

2

21

302

01

≤≤−=−=−−=−+−=

∠=∠=∠=&

&&&

31

c) Proceso iterativo: Utilizando la ecuación (3.19)

º23,10401,1V

º006,1* º43,1088114,15º004,1* º43,1089057,7º01

25,0j6,0º48,716128,23

1V

11

11

−∠=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∠∠−∠∠−

∠+−

−∠=

&

&

Antes de determinar 12V& se debe calcular la potencia reactiva neta de la barra 2, expresión (3.22)

{ }

límites) los entre (está 2693,0Q

º004,1*º006,1º*43,1082705,5º004,1* º43,710813,13º23,10401,1* º43,1089057,7ImQ02

02

−=

∠∠∠+∠−∠+−∠∠−=

La tensión 1

2V& se determina usando de nuevo la expresión (3.19), es decir:

º23,004,1V º23,00414,1V

º006,1* º43,1082705,5º23,10401,1* º43,1089057,7º004,1

2693,0j2,0º43,710813,13

1V

12

12

12

∠=⇒∠=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∠∠−−∠∠−∠

+−∠

=

&&

&

d) Cálculo de los flujos de potencia en las líneas: Usando las expresiones (3.6) y (3.7) y considerando que:

º57,718114,1515j506,0j02,0

1YY

º57,712705,55j6667,118,0j06,0

1YY

º57,719057,75,7j5,212,0j04,0

1YY

1331

3223

2112

−∠=−=+

==

−∠=−=+

==

−∠=−=+

==

se tiene:

{ }

{ }º29,302401,01211,0j2073,0S

º57,719057,7* º23,10401,1* º23,004,104,1*º9005,0º57,719057,7S

º94,1742064,00182,0j2056,0S

º57,719057,7* º23,004,1* º23,10401,10401,1*º9005,0º57,719057,7S

21

221

12

212

−∠=−=

∠∠∠−−∠+∠=

∠=+−=

∠−∠−∠−−∠+∠=

&

&

&

&

{ }

{ }º0,7705875,00572,0j0132,0S

º57,712705,5* º23,004,1* º006,106,1*º9005,0º57,712705,5S

º33,941659,01654,00125,0S

º57,712705,5* º006,1* º23,004,104,1*º9005,0º57,712705,5S

32

232

23

223

∠=+=

∠−∠∠−−∠+∠=

−∠=−−=

∠∠∠−−∠+∠=

&

&

&

&

{ }

{ }º01,1515227,02533,04572,0S

º57,718114,15* º006,1* º23,10401,10401,1*º9006,0º57,718114,15S

º24,164809,01345,0j4617,0S

º57,718114,15* º23,10401,1* º006,106,1*º9006,0º57,718114,15S

13

213

31

231

−∠=−−=

∠∠−∠−−∠+∠=

∠=+=

∠∠∠−−∠+∠=

&

&

&

&

32

e) Pérdidas: Utilizando la ecuación (3.8) se tiene:

1188,0j0045,02533,0j4572,01345,0j4617,0SSS

1082,0j0007,00572,0j0132,01654,0j0125,0SSS

1029,0j0017,01211,0j2073,00182,0j2056,0SSS

133131L

322323L

211212L

−=−−+=+=

−=++−−=+=

−=−++−=+=

&&&

&&&

&&&

f) Potencia entregada por el generador de la barra slack

1917,0j4749,00572,0j0132,01345,0j4617,0SSS 32313G +=+++=+= &&& g) Verificación de la potencia recibida por la carga SC1

2351,0j6628,0)2533,0j4572,0()0182,0j2056,0(SSS 13121C +=−−−+−−=−−= &&& Observación: No corresponde exactamente al valor especificado para la carga. ¿Porqué?

Factores de Aceleración: La experiencia con el método de Gauss-Seidel YB para el cálculo de flujos de potencia ha mostrado que se puede reducir considerablemente el número de iteraciones requeridas si la corrección en el voltaje de cada barra se multiplica por alguna constante que la incremente, para que el voltaje sea más cercano al valor al que se está aproximando. El multiplicador que realiza esto, se denomina factor de aceleración. La diferencia entre el valor de voltaje de la barra p calculado en la iteración actual 1k

pV +& y el

mejor que se obtuvo en la iteración anterior ackp )V( & se multiplica por un α apropiado para obtener una mejor

corrección que se agrega a este último. Es decir:

[ ]ackp

1kpac

kpac

1kp )V(V)V()V( &&&& −α+= ++ (3.28)

La elección del valor de α depende del sistema en estudio. Hay valores óptimos de los factores de

aceleración para cualquier sistema. Una mala selección de ellos puede dar como resultado una convergencia menos rápida o hacerla imposible. Normalmente, en los estudios de flujos de potencia, α varía entre 1,3 y 1,8. Generalmente, un factor de aceleración de 1,6 para las componentes real e imaginaria es una buena selección. Sin embargo, es posible que el factor de aceleración utilizado para la componente real pueda diferir del usado para la componente imaginaria. 3.5.3. Método de Newton Raphson a. Formulación general: Este método es mas sofisticado que los anteriores y exige un mayor volumen de cálculos, pero asegura convergencia en un mayor número de veces y además en forma más rápida. El problema matemático a resolver consiste en n relaciones no lineales del tipo f(xi)=0. Es decir, se trata de un sistema de n ecuaciones de la forma:

0)x,.....,x,x(f...............................

0)x,.....,x,x(f0)x,.....,x,x(f

n21n

n212

n211

=

==

(3.29)

Si se supone una estimación inicial del vector solución:

[ ] [ ]0

n02

01

0 x ...... x xx = (3.30)

33

Al que le falta un residuo [ ] [ ]0n

02

01

0 x ...... x xx ΔΔΔ=Δ , para llegar a la solución correcta; esto es,

tener 0)xx( f 0i

0i =Δ+ , aunque 0)x( f 0

i ≠ , se tiene:

0)xx,.....,xx,xx(f

...............................................................0)xx,.....,xx,xx(f

0)xx,.....,xx,xx(f

0n

0n

02

02

01

01n

0n

0n

02

02

01

012

0n

0n

02

02

01

011

=Δ+Δ+Δ+

=Δ+Δ+Δ+

=Δ+Δ+Δ+

(3.31)

Desarrollando cada ecuación en serie de Taylor en torno a los valores 0ix se tiene:

n

0

n

n0n

0

1

n01

0n

01n

0n

0n

01

01n

1

0

n

10n

0

1

101

0n

011

0n

0n

01

011

xf

x.....xf

x)x,.....,x(f)xx,.....,xx(f

...............................................................xf

x.....xf

x)x,.....,x(f)xx,.....,xx(f

φ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Δ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Δ+=Δ+Δ+

φ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Δ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Δ+=Δ+Δ+

(3.32)

donde iφ es el residuo en la serie de Taylor, que contiene los términos de orden superior

0

i

j

xf

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂: representa las correspondientes derivadas parciales, evaluadas en 0

ix

Como los 0ixΔ son pequeños, se pueden despreciar los términos de orden superior y se obtiene:

0xf

x.....xf

x)x,.....,x(f

...............................................................

0xf

x.....xf

x)x,.....,x(f

0

n

n0n

0

1

n01

0n

01n

0

n

10n

0

1

101

0n

011

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Δ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Δ+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Δ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Δ+

(3.33)

con i, j = 1, 2, …, n Matricialmente se puede escribir:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ

Δ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0

0

x

x

xf

xf

xf

xf

)x(f

)x(f

0n

01

0

n

n0

1

n

0

n

10

1

1

0in

0i1

MM

L

MLM

L

M (3.34)

Es decir:

[ ] [ ] [ ] [ ]0x J)x(f 000 =Δ+ (3.35)

Donde cada vector y matriz está definido según las ecuaciones (3.34) y (3.35), o sea:

34

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=)x(f

)x(f)x(f

0in

0i1

0 M Vector función evaluada en 0ix

[ ]

xf

xf

xf

xf

J0

n

n0

1

n

0

n

10

1

1

0

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

L

MLM

L

Matriz Jacobiana evaluada en 0ix

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ

Δ=Δ

0n

01

0

x

x x M Vector residuo evaluado en 0

ix

A partir de (3.35), el vector residuo evaluado en 0ix ; [ ] x 0Δ se puede escribir:

[ ] [ ] [ ])x(fJx 0100 −−=Δ (3.36)

En general entonces, el residuo en una iteración k es:

[ ] [ ] [ ])x(fJx k1kk −−=Δ (3.37)

Suponiendo que se conoce [ ]kx (vector de valores aproximados de la variable), entonces puede

obtenerse una aproximación mejor [ ]1kx + de la forma:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ])x(fJxxxx k1kkkk1k −+ −=Δ+= (3.38)

Como se han despreciado los términos de orden superior, [ ]1kx + no será la solución correcta y se debe repetir el proceso en forma iterativa, hasta que se satisfaga algún criterio de convergencia, tal como:

ε≤−+ k1k xx (3.39)

b. Aplicación al cálculo de flujos de potencia: En el caso de un Sistema de Potencia, los xi corresponden a las tensiones de las barras (módulo y ángulo), de manera que la ecuación (3.37) se puede escribir como:

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΔΔ

−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΔθΔ −

k

k1kk

k

QPJ

V (3.40)

en que:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

calcesp

calcesp

QQPP

QP

(3.41)

35

Donde Pesp y Qesp son los valores de P y Q especificados o programados y Pcalc y Qcalc son los respectivos valores que se van calculando en cada iteración. Para mayor comodidad, a los valores calculados, se les eliminará el superíndice calc, es decir, se designarán simplemente como P y Q. Según (3.21), los valores de P y Q en la barra p se pueden obtener a partir de:

*q

n

1q

*pqpppp VY VjQPS ∑=+=

=

&& (3.42)

Expresando los voltajes de barras en forma polar y las admitancias de línea en forma rectangular se tiene que:

pqpqpqqqqppp B jGYy VV ; VV +=θ∠=θ∠= &&& (3.43) Reemplazando (3.43) en (3.42), con qppq θ−θ=θ se obtiene:

∑ θ+θ−=+==

n

1qpqpqpqpqqpppp )sin j(cos )B jG(VVjQPS& (3.44)

de (3.44) se obtiene finalmente:

∑ θθ=

∑ θ+θ=

=−

=

n

1qpqpqpq pqqpp

n

1qpqpqpqpqqpp

) cosB sinG(VVQ

) sin B cosG(VVP (3.45)

A partir de (3.41) y (3.45), ΔP y ΔQ para la barra p se pueden determinar como:

∑ θθ−=Δ

∑ θ+θ−=Δ

=−

=

n

1qpqpqpq pqqp

esppp

n

1qpqpqpqpqqp

esppp

) cosB sinG(VVQQ

) sin B cosG(VVPP (3.46)

Por lo tanto se puede escribir a manera de resumen:

– Para las barras PQ y PV

∑ θ+θ−=Δ=

n

1qpqpqpqpqqp

esppp ) sin B cosG(VVPP (3.47)

– Para las barras PQ

∑ θθ−=Δ=

−n

1qpqpqpq pqqp

esppp ) cosB sinG(VVQQ (3.48)

– Para la barra slack no se requiere ecuaciones.

En las ecuaciones anteriores, las magnitudes de las tensiones en las barras PV y slack al igual que el ángulo en la barra slack no son variables, sino que se mantienen en sus valores especificados. Por lo tanto, el sistema formulado incluye dos ecuaciones para cada barra PQ y una para cada barra PV. Las variables del problema son V y θ para cada barra PQ y θ para cada barra PV.

36

Por razones prácticas se da a la barra slack el número n y se colocan los primeros números a las barras PQ. Luego si se tiene m barras PQ, se tendrá (n-m-1) barras con control de voltaje (barras PV). La Ecuación (3.40) queda entonces:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

θΔ −

QP

JV

1 (3.49)

Con ΔP y ΔQ calculados según (3.46). Luego, los valores actualizados para θ y V son:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΔθΔ

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ θ=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ θ+

+

k

k

k

k

1k

1k

VVV (3.50)

Despejando ΔP y ΔQ de (3.49), considerando (3.34) y arreglando adecuadamente, para hacer más fácil el manejo de las ecuaciones, se tiene:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ

θΔ

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ

θΔ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂Δ∂

∂θΔ∂

∂Δ∂

∂θΔ∂

−=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

Δ

Δ

VV

LM

NH

VV

VQV Q

VPV P

Q

P (3.51)

Si se tiene n nodos, m de carga, 1 libre y n-m-1 de voltaje controlado las dimensiones de las

submatrices que forman el Jacobiano son:

[H] es de (n-1) x (n-1) [N] es de (n-1) x m [M] es de m x (n-1) [L] es de m x m

Según lo anterior, la matriz Jacobiana completa es cuadrada y de dimensión, [(n-1)+m] x [(n-1)+m]. A partir de (3.51), se obtiene que:

q

pqpq

q

ppq

q

pqpq

q

ppq

VQ

VL Q

M

VP

VN P

H

∂

Δ∂=

∂θ

Δ∂=

∂

Δ∂=

∂θ

Δ∂=

(3.52)

Considerando (3.46), se pueden determinar todos los elementos de la matriz Jacobiana como sigue:

– para p ≠ q

qpqpqpq pqppq

qpqpqpqpqppq

qpq pqpqpqppq

qpqpqpqpqppq

V)cosBsinG(VL

V)sin BcosG(VM

V)sinBcosG(VN

V)cosBsin G(VH

θ−θ−=

θ+θ=

θ+θ−=

θ−θ−=

(3.53)

Se puede apreciar, que por la forma de la ecuación (3.51):

pqpq

pqpq

MN

LH

−=

= (3.54)

37

Para p = q

p2ppppp

p2ppppp

p2ppppp

p2ppppp

QVBL

PVGM

PVGN

QVBH

−=

−=

−−=

+=

(3.55)

Las expresiones (3.54) y (3.55) muestran lo importante que fue el haber planteado la matriz Jacobiana tal como se hizo en (3.51). Utilizando este tipo de coordenadas, el valor de Q en las barras PV puede ser calculado luego que el proceso haya convergido. El proceso mediante el método de Newton-Raphson para calcular los voltajes en las barras, se muestra en la Figura 3.8, luego de lo cual se determinan los flujos de potencia y las pérdidas en las líneas.

Elección de Tensiones Iniciales

Iter=0

Calcular P y QΔ Δ

del sistema

Convergióla solución?

Iter = Iter máx?si

no

si

no

Iter = Iter+1

Formación del Jacobiano

Inversión delJacobiano

Cálculo de Δθ y VΔ

Corrección de Valores de y Vθ

Salida

Ingreso de Datos

Figura 3.8.- Diagrama de Flujo del Algoritmo de Newton-Raphson

38

En estricto rigor, la matriz Jacobiana se calcula e invierte en cada iteración. Sin embargo, en la práctica se recalcula usualmente sólo un determinado número de veces en un rango de iteraciones, con el fin de aumentar la velocidad al proceso iterativo. Ejemplo 3.2. En el sistema del ejemplo 3.1 y, considerando los valores de voltajes obtenidos mediante el método de Gauss-Seidel, determine el Jacobiano completo en la iteración 1 Solución: La matriz Jacobiana queda de la siguiente forma:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂Δ∂

θ∂Δ∂

θ∂Δ∂

∂Δ∂

θ∂Δ∂

θ∂Δ∂

∂Δ∂

θ∂Δ∂

θ∂Δ∂

=

111211

212221

111211

1

11

2

1

1

11

21

2

2

1

21

11

2

1

1

1

LMMNHHNHH

VQ

VQQ

VP

VPP

VP

VPP

J

Los elementos de la matriz Jacobiana se obtienen utilizando las expresiones (3.53) para p≠q y (3.55) para p=q; por lo tanto, para los elementos de la diagonal se deben determinar previamente P y Q, utilizando (3.45) y considerando los resultados obtenidos en el ejemplo 3.1, que se resumen a continuación:

[ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−=

89,1951554,125,7

155,739,22B

6667,66667,156667,11667,45,255,25,7

G

º23,10401,1V1 −∠=& ; º23,004,1V2 ∠=& º006,1V3 ∠=&

Con (3.45) se obtiene: P1=−0,6628; P2=0,1948; Q1=−0,235; Q2=−0,2865 Con (3.53) y (3.55), la matriz Jacobiana queda:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−=

9867,2391,27764,84967,26983,131790,84508,70412,84567,24

J

3.5.4. Método de Newton-Raphson desacoplado (MNRD)

Cuando se resuelven problemas que involucren un número considerable de barras, este método representa una alternativa para mejorar la eficiencia computacional y reducir los requerimientos de memoria. Se hace uso de una versión aproximada del método de Newton-Raphson completo visto en 3.5.3., basada en las siguientes consideraciones:

− Un cambio en el ángulo del voltaje θ en una barra afecta principalmente al flujo de potencia activa P

en las líneas y débilmente a la potencia reactiva Q, lo que significa que: Q P∂θΔ∂

⟩⟩∂θΔ∂

− Un cambio en el módulo del voltaje V en una barra afecta principalmente al flujo de potencia reactiva

Q en las líneas y débilmente a la potencia activa P. Por lo tanto: VP

VQ

∂Δ∂

⟩⟩∂Δ∂

39

De acuerdo con esto, en la ecuación (3.51) N y M se pueden despreciar frente a L y H respectivamente y se puede escribir:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ

θΔ

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ

θΔ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂Δ∂

∂θΔ∂

−=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

Δ

Δ

VV

L0

0H

VV

VQV 0

0 P

Q

P (3.56)

o bien: [ ] [ ][ ]θΔ−=Δ HP (3.57)

[ ] [ ][ ]VV LQ Δ−=Δ (3.58)

Estas ecuaciones están desacopladas, en el sentido que las correcciones de los ángulos de los voltajes

se calculan usando sólo los cambios en la potencia activa mientras que las correcciones en la magnitud de los voltajes se determinan sólo con los cambios en la potencia reactiva. Sin embargo, las matrices [H] y [L] son interdependientes, porque los elementos de [H] dependen de las magnitudes de los voltajes que se están resolviendo en la ecuación (3.58), mientras que los elementos de [L] dependen de los ángulos de la ecuación (3.57). El procedimiento natural es ir resolviendo alternadamente los dos sistemas de ecuaciones usando en uno, las soluciones más recientes del otro. Esta aproximación significa aumentar el número de iteraciones, lo que en la práctica queda compensado por el menor tiempo en cada iteración, debido a la disminución del tiempo ocupado en la inversión de las matrices [H] y [L] de menor dimensión que la del Jacobiano completo. Ejemplo 3.3. A partir del ejemplo 3.2 escriba la matriz jacobiana del método de Newton-Raphson desacoplado. Eliminando las submatrices N y M se tiene:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

9867,230006983,131790,8004124,84567,24

J

3.5.5. Método de Newton-Raphson desacoplado rápido (MNRDR)

El método de Newton Raphson desacoplado, requiere la inversión de dos matrices en cada iteración. Para evitar estos cálculos, se introducen más simplificaciones que se justifican por las características que presentan los flujos de potencia en las líneas y los voltajes en las barras de un sistemas de transmisión bien diseñado y operando apropiadamente. Estas características son:

− Las diferencias angulares θpq = θp-θq entre los voltajes de dos barras típicas son, por lo general, tan pequeños que:

cos θpq = cos (θp-θq) = 1 y sin θpq = sin (θp-θq) ≈ 0 (3.59)

− Las susceptancias Bpq de las líneas son mucho más grandes que las conductancias Gpq, por lo que:

Gpq sin (θp-θq) << Bpq cos (θp-θq) (3.60)

− La potencia reactiva Qp que se inyecta a cualquier barra p del sistema durante su operación normal es mucho menor que la potencia reactiva que fluiría si todas las líneas de la barra estuvieran en cortocircuito con la referencia. Esto es:

VB Q 2pppp << (3.61)

40

Con estas aproximaciones, y usando (3.45) se tiene:

∑ θ+θ=n

1=qqpqpqpqpqpp V)sinBcosG( VP (3.62)

Es decir:

∑ θ+θ+=

≠=

n

pq1q

qpqpqpqpqp2pppp V )sin BcosG(VVGP (3.63)

∑−−=∑−=

≠

n

pq1=q

qpqp2ppp

n

1=qqpqpp VBVVBVB VQ (3.64)

A partir de (3.63) y (3.64) y considerando (3.46), los elementos de [H] y [L] se obtienen como sigue:

qppqq

pqpqqppq

q

ppq VVB

VQ

VL VVBP

H =∂

Δ∂==

∂θ

Δ∂= (3.65)

p2pppq

n

1qpqp

2ppp

p

ppp QVBV BVVB

PH +=∑−=

∂θ

Δ∂=

= (3.66)

∑ −=+=∂

Δ∂=

≠=

n

pq1q

p2pppqpqp

2ppp

p

pppp QVBVB VVB 2

VQ

VL (3.67)

según (3.61), las ecuaciones (3.66) y (3.67) quedan:

2ppppppp VBLH == (3.68)

Considerando (3.57) y (3.58), para el nudo p se puede escribir:

∑ θΔ−θΔ−=Δ

≠=

n

pq1q

qpqpppp H HP (3.69)

∑Δ

−Δ

−=Δ

≠=

n

pq1q q

qpq

p

pppp V

VL

VV

LQ (3.70)

Introduciendo (3.65) y (3.68) en (3.69) y (3.70) se obtiene:

∑ θΔ+θΔ−=Δ

≠=

n

pq1q

qqpqpppppp )VBVB(VP (3.71)

∑Δ

+Δ

−=Δ

≠=

n

pq1q q

qqpq

p

pppppp )

VV

VBVV

VB(VQ (3.72)

Dividiendo ambas ecuaciones por Vp y simplificando los voltajes de la ecuación (3.72), las ecuaciones anteriores quedan:

41

∑ θΔ−θΔ−=Δ

≠=

n

pq1q

qqpqppppp

p VBVBVP

(3.73)

∑ Δ−Δ−=Δ

≠=

n

pq1q

qpqpppp

p VBVBVQ

(3.74)

Se ha reducido la no linealidad de las ecuaciones, lo que debería permitir mejorar el comportamiento

del proceso iterativo. Si se fija arbitrariamente los valores de Vp y Vq del segundo miembro de la ecuación (3.73) en 1,0 (pu), los coeficientes de ambas ecuaciones quedan iguales, es decir:

∑ θΔ−θΔ−=Δ

≠=

n

pq1q

qpqpppp

p BBVP

(3.75)

∑ Δ−Δ−=Δ

≠=

n

pq1q

qpqpppp

p VBVBVQ

(3.76)

Matricialmente se tiene:

[ ][ ]θΔ=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡Δ 'B

VP (3.77)

[ ][ ]V ''BVQ

Δ=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡Δ (3.78)

donde B’ es el negativo de la parte imaginaria de la matriz YB, sin la fila y columna correspondiente a

la barra slack y B” es el negativo de la parte imaginaria de la matriz YB sin las filas y columnas correspondientes a las barras slack y PV

Una estrategia típica de solución es la siguiente:

1. Calcular los errores iniciales ΔP/V 2. Resolver la ecuación (3.77) para determinar Δθ 3. Actualizar los ángulos θ y usarlos para calcular los errores ΔQ/V 4. Resolver (3.78) para calcular ΔV 5. Actualizar las magnitudes del voltaje V y usarlas para calcular los nuevos errores ΔP/V 6. Volver al punto 2. y repetir el proceso hasta que todos los errores estén dentro de la tolerancias

especificadas. Ejemplo 3.4. Para el ejemplo 3.1 escriba la matriz Jacobiana del método de Newton-Raphson desacoplado rápido. Solución: A partir de los valores de la matriz [B] del Ejemplo 3.2 se tiene:

[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

39,220004,125,705,739,22

J : tantolopor ; 39,22"By 4,125,75,739,22

'B

42

3.6. Flujo de Carga “DC” o Flujo de Potencia de Corriente Continua Recibe este nombre no porque se aplique a sistemas que operan con corriente continua. El método es aplicable a los Sistemas Eléctricos de Potencia que operan a corriente alterna haciendo ciertas simplificaciones que permitan analizar la red como si fuera de corriente continua, teniendo la ventaja de que se trabaja con números reales, simplificando mucho los cálculos. Sin embargo, sólo se obtienen los flujos de potencia activa. El análisis considera la base fundamental de los flujos de potencia en corriente alterna ya estudiados. Considérese la línea conectada entre los nudos p y q de la Figura 3.9. La potencia compleja que va desde la barra p a la barra q, es:

Vp qpqY' /2 pqY' /2 V

SpqI pq

Z pq Ypq( )p q

Figura 3.9.- Modelo de una línea de transmisión para el cálculo de flujo de potencia DC

[ ] pqpq* '

pqppqqpp*pqppq jQP)2Y(VY)VV(VIVS +=+−== &&&&&& (3.79)

Sea:

'pq

'pqpqpqpqqqq;ppp jBYy B jGY ;VV VV =+=θ∠=θ∠= &&& (3.80)

2pq

2pq

pqpq2

pq2pq

pqpq

XR

XB y

XR

RG

+−=

+= (3.81)

Entonces:

)2B(jV)jBG( )VV(VS 'pq

2ppqpqqqpppppq −−θ−∠−θ−∠θ∠=& (3.82)

Es decir:

[ ] )2B(jV)jBG( ) sin j(cosVVVS 'pq 2

ppqpqpqpqqp2ppq −−θ+θ−=& (3.83)

Por lo que la potencia activa entre las barras p y q es:

pqqppqpqpqqp2ppq sin VVBG )cosVVV(P θθ−= − (3.84)

Suposiciones simplificatorias

a) Vp = Vq = 1,0 (pu)

b) Rpq << Xpq

c) θpq = θp - θq es muy pequeño A partir de b) y considerando (3.81) se tiene que:

0G XR

X

XR

RG pq2

pq2pq

pq2pq

2pq

pqpq =⇒

+<<

+= (3.85)

pq2pq

2pq

pqpq X

1XR

XB −=

+−= (3.86)

43

Según c)

radianes )( sin sin

1)( cos cos

qpqppq

qppq

θ−θ≈θ−θ=θ

≈θ−θ=θ

Por lo tanto (3.84) queda:

pq

qpqppqpq X

)( BPθ−θ

=θ−θ= − (3.87)

Para una red eléctrica que tiene n nudos las potencias netas inyectadas en cada nudo se pueden

escribir:

∑θ−θ

∑ ====

n

1q pq

qpn

1qpqp X

PP (3.88)

Donde q incluye todos los nodos directamente conectados al nodo p. Luego para los n nudos se tiene

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

θ

θ

θ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

p

1

nnnp1n

pnpp1p

n1p111

n

p

1

BBB

BBB

BBB

P

P

P

M

M

LL

MMMMM

LL

MMMMM

LL

M

M

(3.89)

o sea:

[ ] [ ][ ]θ= BP (3.90)

en que:

[ ]:P Vector de potencias activas netas en las barras [ ]:B Matriz de susceptancias del sistema [ ]:θ Vector de ángulos de las tensiones de las barras

Los elementos de la matriz [ ]B se determinan como sigue:

∑==

n

1q pqpp

X1 B (3.91)

Con p ≠ referencia y donde q incluye todas las líneas conectadas al nudo p

referencia pcon 0Bpp == (3.92)

referenciaq y p con X

1Bpq

pq ≠−= (3.93)

referenciaq ó referenciap con 0Bpq === (3.94)

44

De acuerdo con lo indicado en las expresiones (3.91) a (3.94), la matriz [ ]B , tal como se planteó en (3.89) es singular ya que la fila y columna correspondientes a la barra de referencia contienen solamente ceros. Así, para un sistema de n barras sólo hay (n-1) ecuaciones linealmente independientes, por lo que se debe considerar la submatriz de [ ]B con dimensión (n-1)x(n-1), la que puede invertirse para solucionar el problema del cálculo de los ángulos de fase de las tensiones de las barras. A partir de (3.90) se obtiene entonces:

[ ] [ ] [ ]P B -1=θ (3.95)

Como se aprecia, el procedimiento es muy sencillo, ya que el sistema es lineal y por lo tanto todos los ángulos de las tensiones de las barras se pueden determinar utilizando (3.95) para luego mediante (3.87), determinar los flujos de potencia activa en las líneas. Ejemplo 3.5. Resuelva el Ejemplo 3.1 utilizando el método de Flujo DC. Solución: A partir de los parámetros dados en el ejemplo 3.1 se tiene:

3333,812,01BB ;8889,13

18,01

12,01B ;25

06,01

12,01B 21122211 −=−===+==+=

0BBBBB 3223133133 =====

Por otra parte: P1=-0,6; P2=0,2; luego, la ecuación matricial queda, según (3.90):

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2

1 8889,133333,83333,825

PP

Resolviendo la ecuación se obtiene:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡θθ

0024,0

2,06,0

09,003,003,005,0

PP

8889,133333,83333,825

2

1-1

2

1

Con estos valores se determinan los flujos de potencia activa en las líneas, utilizando (3.87)

018,0

00X

P

4,006,0

0024,0X

P

2,012,0

0024,0X

P

23

3223

13

3113

12

2112

=−

=θ−θ

=

−=−−

=θ−θ

=

−=−−

=θ−θ

=

La potencia que entrega el generador en la barra slack es:

4,04,00PPP 31323G =+=+= La potencia recibida por la carga es:

6,04,02,0PPP 31211C =+=+=

45

3.7. Cálculo de flujo de potencia en sistemas radiales 3.7.1. Introducción

La gran mayoría de los sistemas de distribución en media tensión son de tipo radial u operan en forma radial, donde el sistema típico contiene sólo una barra desde donde salen los diferentes alimentadores (barra slack), que representa a la subestación de poder y por lo tanto los flujos de potencia tienen un sentido único. Por otra parte, la resistencia de las líneas es comparable con la reactancia inductiva. Estas y otras características propias hace poco recomendable usar los métodos tradicionales de cálculos, tales como el de Gauss-Seidel y los de Newton-Raphson, por ejemplo, que se emplean en sistemas de transmisión.

La principal característica de los métodos de cálculo de flujo de potencia radial es que hacen uso de la

estructura topológica radial de la red. Los más conocidos son los Métodos: Escalonado, Suma de Corrientes y Suma de Potencias, siendo estos dos últimos, los más utilizados.

El Método Escalonado resuelve la red aguas arriba, suponiendo primeramente un perfil de tensión y

aplicando directamente las leyes de Kircchoff, hasta llegar al nodo fuente. El error que se obtenga entre el voltaje de este nodo y el determinado en el proceso, se suma al perfil de tensión previamente supuesto a fin de obtener un nuevo perfil de tensiones para la próxima iteración. El proceso termina cuando el voltaje calculado en el nodo fuente es el especificado o la diferencia entre ellos es pequeña.

Los métodos Suma de Corriente y Suma de Potencias constan de dos procesos, uno aguas arriba en

que previamente supuesto un perfil de tensiones, se calculan las corrientes en el primero y las potencias equivalentes en el segundo y el otro aguas abajo en que se obtienen los nuevos valores para las tensiones de las barras. Este será el perfil de tensión para la próxima iteración y el proceso termina cuando se cumple el criterio de convergencia adoptado.

De acuerdo a estudios realizados, el Método Suma de Potencias, es más robusto y presenta mejores

características de convergencia que los Métodos Escalonado y Suma de Corrientes. Por esta razón, el problema se resolverá considerando este método. Previamente es necesario analizar la forma en que se modela el sistema que, como se dijo, presenta diferencias importantes respecto a los de transmisión de energía eléctrica. 3.7.2. Modelación del sistema a. Modelación de la red: La red se modela a través de su equivalente monofásico, cuando se trabaja en condiciones balanceadas. En el caso en que se presenten cargas monofásicas y/o bifásicas se debe trabajar con un modelo trifásico. La red se puede representar de distintas formas; sin embargo, se puede aprovechar su radialidad, asignando a la barra slack el número cero y haciendo coincidir el número de cada rama con el de la barra ubicada al final de ella. Con este ordenamiento, las barras se deben numerar por niveles, de izquierda a derecha, tal como se muestra en la Figura 3.10

1

2

0 Subestación0-1

3

4 5 6

7

1-2 1-3

2-4

5-7

2-5 3-6

Figura 3.10.- Red de 7 barras

46

b.- Modelación de las barras: Todas las barras, excepto la de la subestación se pueden considerar como de carga (PQ), donde se conocen la potencia activa y reactiva o en su defecto, se puede considerar la potencia aparente nominal del transformador de distribución y su respectivo factor de potencia. c.- Modelación de las ramas: Se representan por su resistencia y reactancia serie en pu o en Ω/fase. Dados los niveles de tensión y los largos de las líneas, se desprecia su efecto capacitivo. d.- Modelación de los transformadores de distribución: Debido a que estos equipos se presentan en gran cantidad y contribuyen en forma significativa a las pérdidas del sistema, se representan a través de su impedancia de cortocircuito, incluyendo las pérdidas de potencia activa y reactiva en el núcleo. e.- Modelación de las cargas: En general, las potencias de las cargas son función de la frecuencia y de la tensión. Considerando que la frecuencia prácticamente no varía, las cargas se pueden representar por distintos modelos que son función del voltaje aplicado, según se indica en la ecuación (3.96), donde S es la potencia aparente; V el módulo de la tensión; S0 la potencia aparente nominal y k, un parámetro característico que puede tomar los siguientes valores: k=0 (potencia constante); k=1 (corriente constante) y k=2 (Impedancia constante).

kV0SS = (3.96)

f.- Modelación de los condensadores shunt: Se modelan de la misma forma que las cargas. 3.7.3. Método Suma de Potencias

a.- Cálculo de las potencias equivalentes: Dado un perfil de tensiones, se determinan las potencias activas y reactivas en los consumos (vistas desde los terminales de los transformadores de distribución), además de las potencias reactivas inyectadas por los condensadores. En un proceso simultáneo aguas arriba de la red, se calculan las potencias equivalentes en las barras y las pérdidas de potencia en las líneas. La Figura 3.11 muestra una barra cualquiera i y todas las ramas k conectadas directamente a ella, donde la potencia compleja equivalente Si demandada por la carga y por la red aguas abajo de la barra es:

i

2

Rama 11

Rama 2Rama k

Rama n

n

k

ciP +j Q ci

Figura 3.11.- Diagrama de un nudo cualquiera

∑∑ +=++=k

iikk

kcii jQPLSSS &&& (3.97)

donde: Sci: Potencia compleja de carga en la barra i Sk: Potencia compleja equivalente en el nudo k Lk: Potencia compleja perdida en la rama k

47

Las pérdidas de potencia activa Lpk y reactiva Lqk se determinan separadamente a partir de:

2k

2k

2kk

qk

2k

2k

2kk

pk

V)QP(X

L

V)QP(R

L

+=

+=

(3.98)

b.- Cálculo de los voltajes: Este proceso se realiza aguas abajo, partiendo de la barra siguiente a la slack, ya que en ésta (la barra slack) se conoce el voltaje en módulo y ángulo; usando las potencias equivalentes determinadas anteriormente. La Figura 3.12 muestra un tramo de línea para determinar el voltaje en la barra i, a partir del voltaje (conocido) en la barra i-1. Aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones se puede escribir:

Tramo i

ii-1

i-1V

i iR +j X

i iP +j Q

I iV iβ-

Figura 3.12.- Tramo de línea de un alimentador cualquiera

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++=

∗−i

iiiii1i V

jQP)jXR(VV && (3.99)

Amplificando la expresión por ∗

iV y separando en parte real e imaginaria se tiene

)QRPX(sinVV

V)QXPR(cosVV

iiiiii1i

2iiiiiii1i

−=β++=β

−

− (3.100)

Elevando al cuadrado y sumando se obtiene:

0BVAV i2ii

4i =++ (3.101)

donde:

)XR)(QP(B

V)QXPR(2A2i

2i

2i

2ii

21iiiiii

++=

−+= − (3.102)

La ecuación (3.101) no depende del ángulo de desfase entre las tensiones β y tiene cuatro soluciones de la forma siguiente:

i

2ii

i B2

A2

AV −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛±−±= (3.103)

48

Por otra parte, según la ecuación (2.2), la caída de voltaje en una línea corta se puede escribir para este caso como:

i

iiiii V

QXPRV

+=Δ (3.104)

y las pérdidas de potencia aparente al cuadrado como:

4i

22i

2i

2i

2i2

si V)QP)(XR(

L++

= (3.105)

Considerando que en condiciones normales de operación, las caídas de voltaje y las pérdidas del sistema deben ser pequeñas y que los módulos de los voltajes son cercanos a la unidad, en la ecuación (3.102) se tiene que: Ai será siempre negativo y Bi positivo y de valor reducido. Por lo tanto, en la ecuación (3.103) el término ((Ai/2)2-Bi) será siempre positivo y cercano a (Ai/2)2. De esta forma, la única solución que tiene sentido físico es de la forma:

i

2ii

i B2

A2

AV −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+−+= (3.106)

Una vez que se conocen las magnitudes de los voltajes en todas las barras, se pueden determinar los ángulos de éstos, a partir de la ecuación (3.100)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

−=β −

2iiiii

iiii1i V)QXPR(

)QRPX(tg (3.107)

c.- Criterios de convergencia: La ecuación (3.106) debe resolverse en forma iterativa y por lo tanto, para terminar el proceso de cálculo se debe establecer algún criterio de convergencia. Existen diversas formas de detener el proceso, entre las cuales se pueden mencionar: Suma de las pérdidas totales, Potencia en cada carga, Fasor tensión en cada barra, Potencia equivalente en cada barra, Pérdidas en la barra flotante, Módulo de la tensión en cada barra y Potencia en la barra flotante. De todas ellas, las que más se emplean son, el Módulo de la tensión en cada barra, por su fácil programación y el de la potencia en la barra flotante porque sólo se realiza una comparación en cada iteración. Estos criterios se pueden expresar respectivamente como:

ε≤−+ ki

1ki VV (3.108)

2

k0

1k0

1k0

1k0

QQ

PP

ε≤−

ε≤−

+

+

(3.109)

Problemas propuestos

3.1. En el sistema mostrado en la Figura 3.13, empleando el método de Gauss Seidel-YB, calcular la tensión en las barras 2 y 3 en la segunda iteración ( 2

322 V y V && ) y la potencia compleja entregada por el generador en

estas condiciones. La tensión en la barra 1 se mantiene constante en su valor nominal y los datos en % están dados considerando SB=100 MVA.

49

3.2. En el sistema de la Figura 3.14 y empleando el método de Gauss-Seidel-YB, determinar: a. La tensión en la barra 3 considerando que 01,0VV k

31k

3 ≤−+

b. Las potencias activa y reactiva suministradas por el Generador G y las pérdidas de potencia activa y reactiva del sistema.

1 32G

Y/2=j1,5%

X=10%

Z=j50%

S=(8+j4) MVA. S=(25+j18) MVA

.S.

G

Figura 3.13

1,05 0º

0,4 + j0,5

(20 + j12) MVA

X = 0,11 2G

X= 0,5

3

Figura 3.14 3.3. Para el sistema de la Figura 3.15, los datos en pu, base común, se dan en las Tablas Nº 1 y Nº 2. a. Determinar el voltaje en todas las barras, haciendo dos iteraciones con el método de Gauss-Seidel YB y

con los valores obtenidos, determinar los flujos de potencia en todas las líneas. b. Determinar los elementos del Jacobiano desacoplado rápido del sistema. c. Correr un flujo DC y determinar los ángulos de los voltajes, los flujos de potencia activa en las líneas y

la potencia activa entregada por el generador G3

Tabla Nº 1: Datos de las líneas Línea Z (pu) Y’/2 (pu) 1-2 0,04+j0,10 j0,06 1-3 0,02+j0,08 j0,07 2-3 0,06+j0,20 j0,04

Tabla Nº 2: Datos de las barrasBarra Nº Tipo V (pu) PG QG PC QC

1 PQ - - - 0,8 0,2 2 PQ - 0,2 0,1 0,0 0,0

23

1SC1

SC3 G3 G2

Figura 3.15 3 SL 1,06 - - 0,4 0,1

3.4. La Figura 3.16 muestra un sistema de tres barras. La barra 1 es la barra slack y su voltaje es 1,05 (pu), la barra 3 es de tensión controlada (BTC) y el módulo del voltaje en ella está especificado en 1,05 (pu). La potencia reactiva del condensador síncrono puede variar entre 0 y 0,6 (pu). Determinar: a. Las tensiones en las barras, haciendo dos iteraciones del método de Gauss-Seidel-YB b. Los flujos de potencia activa y reactiva en las líneas c. Las pérdidas de potencia activa y reactiva d. La potencia compleja entregada por el generador G1 e. La potencia reactiva suministrada por el condensador de la barra 3. 3.5. En el sistema de la Figura 3.16, suponga que los valores de las tensiones en una iteración cualquiera son:

=1V& 1,05 ∠0º; =2V& 1,04∠-2,5º; =3V& 1,05∠-1,5º. Determinar: a. El Jacobiano completo en esa iteración b. El Jacobiano desacoplado c. La matrices [B’] y [B”]

50

G1 G2

1 2

3

j 0,08

j 0,05 j0,04

S=2,0+j1,0 S=0,4+j0,4

S=1,0+j1,4

S=1,2+j0,8C

Figura 3.16 3.6. En el sistema de dos barras de la Figura 3.17, los datos en pu están en base 100 MVA, la barra 1 es la barra slack y su voltaje es 1,04 (pu). En la barra 2, hay un compensador síncrono (CS) que mantiene constante el módulo del voltaje en 1,05 (pu). a. Determinar el voltaje en la barra 2 haciendo dos iteraciones del método de Gauss-Seidel-YB y con los

valores anteriores, calcular la potencia reactiva que debe entregar (recibir) el compensador síncrono y las potencias activa y reactiva que debe entregar (recibir) el generador.

b. Determinar los elementos de la matriz Jacobiana completa, considerando que los voltajes en la barra 1 y 2 son de 1,04 ∠0º y 1,05 ∠-4.5º respectivamente.

G

1 2j0,1

S =(100-j40) MVAS =(40+j20) MVA

CS-0,4 ≤ QG2 ≤ 0,4 QG2

c1 c2

P + jQG1 G1

Figura 3.17

3.7. En el sistema de la Figura 3.18, la barra 3 es BTC con una tensión de 1 (pu). Empleando el método de Gauss-Seidel-YB, determine: a. La tensión en la barra 3, considerando que

k3

1k3 θ−θ + ≤ 0,5

b. Las potencias activa y reactiva suministradas por el Generador G y las pérdidas de potencia activa y reactiva del sistema.

C1,05 0º

0,4 + j0,5

(20 + j12) MVA

X = 0,11 2G

X= 0,7

3

0 ≤ QC ≤ 0,4

Figura 3.18

c. La potencia reactiva que debe entregar el condensador ubicado en la barra 3. Los datos están en pu base 100 MVA.

CAPITULO 4

DESPACHO ECONOMICO DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA 4.1. Introducción La operación económica de los Sistemas de Potencia es muy importante para recuperar y obtener beneficios del capital que se invierte. Las tarifas que fijan las instituciones reguladoras y la importancia de conservar el combustible presionan a las compañías generadoras a alcanzar la máxima eficiencia posible, lo que minimiza el costo del kWh a los consumidores y también el costo que representa a la compañía esta energía. La operación económica que involucra la generación de potencia y el suministro, se puede subdividir en dos partes: una, llamada despacho económico, que se relaciona con el costo mínimo de producción de potencia y otra, la de suministro con pérdidas mínimas de la potencia generada a las cargas. Para cualquier condición de carga, el despacho económico determina la salida de potencia de cada central generadora que minimizará el costo de combustible necesario. En este Capítulo, sólo se considerará la aproximación clásica al despacho económico. 4.2. Despacho económico sin considerar las pérdidas de la red

Se trata de una formulación simplificada del problema general que proporciona una visión física de la solución. Es directamente aplicable al reparto de potencias entre generadores de una misma central. 4.2.1. Formulación del problema

Dado un sistema con n nudos y m generadores y dadas todas las potencias demandadas por las cargas

DiS& , con i=1,2,...,n; determinar la potencia activa que debe generar cada generador Pi, cuyo costo de operación es Ci(Pi), con i=1,2,......,m, para minimizar el costo total CT. Es decir:

)P(C........ )P(C)P(C)P(CC mm2211

m

1iiiT +++== ∑

= (4.1)

sujeto a:

m2

m

1i1iD P.......PPPP +++==∑

= (4.2)

m,...,2,1i con PPP máx

iimíni =≤≤ (4.3)

Se observa que en la ecuación (4.2) la restricción de igualdad entre la potencia activa demandada por

las cargas PD y la potencia total generada es simplemente el enunciado del principio de conservación de la potencia activa en el caso de un sistema sin pérdidas en las líneas de transmisión. Desempeña el mismo papel que las ecuaciones de los flujos de potencias en la formulación general. 4.2.2. Solución sin considerar límites de generación

La Figura 4.1 muestra la característica de entrada típica del grupo turbina-generador i en función de la potencia de salida Pi, donde Hi corresponde a la entrada de combustible por cada hora de funcionamiento y Ci al costo del combustible necesario, que se puede obtener multiplicando los valores de la curva de Hi, por el costo del combustible. En la curva de costo Ci, es posible definir el denominado “costo incremental” CIi de la unidad generadora i como la derivada de la función de costo respecto de la potencia activa generada, esto es:

52

i

iii dP

)P(dCCI = (4.4)

Figura 4.1.- Característica entrada-salida típica de un grupo turbina-generador

Unidades de H: Se mide habitualmente en Mbtu/h o en kcal/h, donde: 1 Btu (British thermal unit) se define como la cantidad de calor necesario para elevar en 1º F la

temperatura de una lb de agua a la presión atmosférica normal. 1 kcal es la cantidad de calor necesario para elevar en 1º C la temperatura de un kg de agua a la

presión atmosférica normal. El costo incremental (Costo Marginal) CIi representa la pendiente de la curva de costo Ci y se puede

interpretar como el costo adicional por hora que tiene aumentar la salida de la máquina i en un MW. Si las unidades de Ci(Pi) son UM/h (UM=Unidades Monetarias), las unidades de CIi, son UM/h/MW

ó UM/MWh. En este caso especial, el problema se reduce a resolver solamente las ecuaciones (4.1) y (4.2), lo que

se puede plantear de la siguiente forma:

El valor mínimo de CT se da cuando el diferencial de la función de costos dCT es cero, es decir:

0dPPC

..........dPPC

dPPC

dC mm

T2

2

T1

1

TT =

∂∂

++∂∂

+∂∂

= (4.5)

Como el costo de operación de cada máquina Ci depende sólo de la potencia generada por ella misma

Pi y no de las potencias generadas por las otras, el diferencial anterior queda:

0dPdPdC

..........dPdPdC

dPdPdC

dC mm

m2

2

21

1

1T =+++= (4.6)

Por otro lado, suponiendo que la potencia demandada por las cargas PD es constante (debido a los

cambios relativamente lentos en la demanda, que puede considerarse constante en períodos de 2 a 10 minutos), su diferencial será:

0dP.......dPdPdP m21D =+++= (4.7)

Entrada Hi(Mbtu/h)

Costo Ci(UM/h)

Salida, Pi (MW) míniP máx

iP

CIi(Pi)

53Multiplicando la expresión (4.7) por un número real λ (multiplicador de Lagrange) y restando el

resultado al de (4.6), se obtiene:

0dPdPdC

..........dPdPdC

dPdPdC

mm

m2

2

21

1

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ− (4.8)

La ecuación anterior se satisface cuando cada uno de los términos entre paréntesis es igual a cero.

Esto es, cuando:

λ====m

m

2

2

1

1

dPdC

..........dPdC

dPdC

(4.9)

Por lo tanto, el costo mínimo de operación se tendrá cuando todas las unidades generadoras

funcionan con el mismo costo incremental y se cumple el balance de potencia dado por la ecuación (4.2). El sistema de m+1 ecuaciones permite calcular las m potencias a generar y el costo incremental λ del sistema. Ejemplo 4.1: Las curvas de costo de funcionamiento de dos generadores son: 2

1111 P01,0P45900)P(C ++= y 22222 P003,0P43500.2)P(C ++= . La carga total PD que debe ser suministrada es de 700 MW. Determine la

potencia que debe entregar cada máquina, el costo incremental y el costo total. Resolución: En este caso sencillo se puede obtener la solución en forma analítica (forma directa). En efecto, se debe cumplir que: λ=CI1=CI2 y que la suma de las potencias entregadas por los generadores sea de 700 MW; es decir, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

700PPP006,043CI

P02,045CI

21

22

11

=++==λ+==λ

(4.10)

Cuya solución es:

P1=84,6 MW; P2=615,4 MW; CI1=CI2=λ= 46,69 UM/MWh

La Figura 4.2 muestra gráficamente que el generador 2 (que tiene un costo incremental menor) toma la mayor parte de la potencia demandada.

Figura 4.2.- Solución gráfica para el Ejemplo 4.1

El costo total de operación (mínimo) del sistema se determina usando la expresión (4.1); es decir:

M/hU 92,876.34P003,0P43500.2P01,0P45900CCC 222

21121T =+++++=+=

CI1(P1)

CI2(P2)

45

43

Costos Incrementales

(UM/MWh)

84,6 615,4 P (MW)

46,69

54En general, el problema se puede resolver mediante un proceso iterativo, denominado Método de

Iteración en λ, cuyo procedimiento es el siguiente:

Paso 1: Elegir un valor inicial de λ Paso 2: Hallar las correspondientes potencias de los generadores, P1, P2, ....,Pm

Paso 3: Si ∑=

⟨−m

1iDi 0 PP , aumentar el valor de λ y volver al paso 2.

Si ∑=

⟩−m

1iDi 0 PP , reducir λ y volver al paso 2.

Si ε≤−∑=

m

1iDi PP , proceso terminado.

El valor de ε es un valor positivo que corresponde a la tolerancia aceptable para la solución.

4.2.3 Solución considerando los límites en las potencias generadas

Para la obtención de las ecuaciones de despacho económico se ha supuesto que las potencias generadas estaban dentro de sus límites prácticos; o lo que es lo mismo, se ha supuesto que se respetan las restricciones expresadas por la ecuación (4.3). Considérese ahora un sistema ejemplo con tres generadores, con las curvas de costos incrementales mostradas en la Figura 4.3, donde se señalan los límites máximos y mínimos de funcionamiento. Supóngase que para una potencia demandada PD el sistema funciona en la condición de igualdad de costos incrementales con un valor λ=λ1 para todas las máquinas. A partir de esa situación, a medida que aumenta la demanda, aumenta el valor de λ común, hasta que se alcanza la potencia máxima en alguna de las unidades de generación. En el ejemplo se aprecia cómo se alcanza primero el límite de la unidad 3, para λ=λ2. Un incremento adicional en la potencia demandada tendrá que ser satisfecho por un incremento en la generación de las unidades 1 y 2, funcionando con la condición de igualdad de costos incrementales; esta situación corresponde por ejemplo al valor λ3 de la figura. Este razonamiento, aunque sin una demostración matemática rigurosa, conduce a la siguiente solución expresada en palabras: si en el proceso de búsqueda de la solución uno o varios generadores alcanzan alguno de sus límites, sus correspondientes potencias quedan fijadas en los límites alcanzados; los generadores restantes deben funcionar con igual costo incremental. El costo incremental del sistema es igual al costo incremental común de estos últimos generadores.

Figura 4.3.- Curvas de costos incrementales con límites de potencia generada.

El procedimiento iterativo para hallar λ será, en este caso, el siguiente: Elegir un valor inicial de λ tal que todos los generadores operen con el mismo costo incremental y dentro de sus límites. Si la elección de λ

CI1(P1) CI2(P2) Costos Incrementales

P (MW)

CI3(P3)

(UM/MWh)

λ1

λ2

mín1P mín

2P mín3P máx

1P máx2P máx

3P

λ3

55no es coherente con satisfacer la demanda, ajustarlo igual que en los casos en los que no se consideran límites. Si en este proceso una unidad de generación alcanza uno de sus límites, fijar la potencia a generar por la unidad en ese límite (máximo o mínimo) y continuar el proceso de ajuste de λ con el resto de las unidades. Ejemplo 4.2: Considere un rango de valores posibles para PD de 100 a 800 MW para las unidades de generación del Ejemplo 4.1, sujetas a los límites: 50 MW ≤ P1 ≤ 200 MW; 50 MW ≤ P2 ≤ 600 MW. Represente P1 y P2 en función de la potencia demandada para el despacho económico. En la Figura 4.4 se representan las curvas de costos incrementales de los generadores. En la Tabla 4.1 se aprecia que para valores de λ hasta 46, P1=50 MW (límite inferior), mientras que el generador 2 con P2=PD-50 MW suministra el resto de la carga. Cuando λ1=λ2=46, la máquina 2 suministra 500 MW, por lo que la carga total a servir en estas condiciones es de 550 MW.

Para valores de λ comprendidos entre 46 y 46,6 (46≤ λ ≤ 46,6), ninguna de las unidades alcanza sus

límites y se puede hallar P1 y P2 haciendo uso de las fórmulas de Costo Incremental del Ejemplo 4.1. Para λ1=λ2=46,6; la máquina 2 suministra su potencia máxima, 600 MW y la máquina 1 entrega 80 MW, por lo que la carga total a servir en estas condiciones es de 680 MW.

Para valores de λ mayores que 46,6; P2=600 MW (su límite superior) y P1=PD-600 MW. Si λ1=49;

ambas máquinas entregan su potencia máxima (200 MW y 600 MW respectivamente), con lo que se alcanza a servir la carga total de 800 MW. Los resultados se muestran gráficamente en la Figura 4.5.

Tabla 4.1.- Solución para el Despacho Económico del Ejemplo 4.2

PD (MW) P1 (MW) P2 (MW) CI (UM/MWh) CT (UM/h) 100 50 50 43,30 dC2/dP2 7.832,5 200 50 150 43,90 dC2/dP2 12.192,5 300 50 250 44,50 dC2/dP2 16.612,5 400 50 350 45,10 dC2/dP2 21.092,5 500 50 450 45,70 dC2/dP2 25.632,5 550 50 500 46,00 λ1=λ2 27.925,0 600 61,54 538,46 46,23 λ1=λ2 30.230,8 680 80 600 46,60 λ1=λ2 33.944,0 700 100 600 47,00 dC1/dP1 34.880,0 800 200 600 49,00 dC1/dP1 39.680,0

424344454647484950

0 100 200 300 400 500 600

CI (UM/MWh)

50

43,3

46,6

CI1

CI2

80P ; P (MW)1 2

Figura 4.4.- Costos incrementales de los generadores

56

100

200

300

400

500

600

0 100 200 300 400 500 600 700 800680

P1; P2 (MW)

5080

550

P1

P2

P = P + P (MW)D 1 2

Figura 4.5.- Reparto de carga entre los generadores

4.3. Despacho económico considerando las pérdidas en la red

Si todos los generadores están situados en una misma central o están próximos geográficamente, es razonable despreciar las pérdidas en las líneas para calcular el despacho económico. En cambio, si las centrales están separadas geográficamente, se deben considerar las pérdidas en las líneas de transmisión, con lo que el reparto económico determinado en el apartado anterior cambia.

En un caso sencillo supóngase que todas las unidades de generación del sistema son idénticas. Entonces, al considerar pérdidas en las líneas, es de esperar que sea más barato suministrar más potencia desde los generadores más próximos a las cargas. La forma más generalizada de abordar el problema del despacho económico considerando pérdidas en las líneas parte del supuesto de que se tiene una expresión para esas pérdidas Pp, en función de las potencias de salida de los generadores, de la forma:

)P......,,P,P(PP m21pp = (4.11)

4.3.1. Formulación del problema

Se trata de encontrar las potencias Pi para minimizar el costo total CT:

)P(C........ )P(C)P(C)P(CC mm2211

m

1iiiT +++== ∑

= (4.12)

sujeto a:

0P)P......,P,P(PP.......PPP)P(PP D3,21pm2

m

1i1Dipi =−−+++=−−∑

= (4.13)

m,...,2,1i con PPP máx

iimíni =≤≤ (4.14)

La restricción en forma de igualdad es simplemente una manifestación del principio de conservación

de la potencia (activa).

57Del mismo modo que en el caso de red sin pérdidas, considérese primero la situación en la que no

existen límites de generación. El valor mínimo de CT se da cuando el diferencial de la función de costos dCT es cero, es decir:

0dPPC

..........dPPC

dPPC

dC mm

T2

2

T1

1

TT =

∂∂

++∂∂

+∂∂

= (4.16)

4.3.2. Solución sin considerar límites de generación

Como el costo de operación de cada máquina Ci depende sólo de la potencia generada por ella misma Pi y no de las potencias generadas por las otras, el diferencial anterior queda:

0dPdPdC

..........dPdPdC

dPdPdC

dC mm

m2

2

21

1

1T =+++= (4.17)

Por otro lado, el diferencial del balance de potencias activas suponiendo que la potencia demandada

por las cargas PD es constante será:

0dPPP

......,dPPP

dPPP

)dP....dPdP(P)P(PPd mm

p2

2

p1

1

pm21

m

1iDipi =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂−+++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−∑=

(4.18)

Multiplicando la expresión (4.18) por un número real λ (multiplicador de Lagrange) y restando el

resultado al de (4.17), se obtiene:

0dPPP

dPdC

..........dPPP

dPdC

dPPP

dPdC

mm

p

m

m2

2

p

2

21

1

p

1

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ−λ

∂

∂+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ−λ

∂

∂++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ−λ

∂

∂+ (4.19)

La ecuación (4.19) se satisface cuando cada uno de los términos entre paréntesis es igual a cero. Esto

es, cuando:

m1,2,.....,i 0PP

dPdC

i

p

i

i ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ−λ

∂

∂+ (4.20)

O bien cuando:

m1,2,.....,i dPdC

1

1

i

i

iPpP =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=λ

∂∂ (4.21)

El coeficiente ∂Pp/∂Pi corresponde a las pérdidas incrementales de transmisión de la máquina i.

Designando al Factor de penalización Li para el i-ésimo generador como:

m1,2,.....,i 1

1L

iPpPi =

−=

∂∂ (4.22)

58Se tiene que como dCi/dPi representa el costo incremental del i-ésimo generador, el sistema operará a

costo mínimo, cuando el producto del costo incremental de cada unidad generadora por su Factor de Penalización Li sea el mismo para todas ellas. Por lo tanto, la solución del problema queda determinada por las m+1 ecuaciones siguientes, que permiten calcular las potencias a generar y el costo incremental del sistema:

0P)P(PP

1,2,.....mi CILm

1iDipi

ii

=−−

==λ

∑=

(4.23)

Se observa que ya no es condición de óptimo que cada generador funcione con el mismo costo

incremental. Los CI están ahora ponderados por los factores de penalización Li. Un factor de penalización elevado hace a la correspondiente unidad generadora menos atractiva. Es de esperar que las centrales alejadas de los centros de consumo tengan factores de penalización mayores que las más próximas a dichas cargas. 4.3.3. Solución considerando los límites de generación

Si se consideran los límites de generación, se tiene una solución análoga a la del caso sin pérdidas; es decir, hacer funcionar a todos los generadores que estén dentro de sus límites de tal forma que se cumpla que LiCIi=λ. Si en este proceso una unidad de generación alcanza uno de sus límites, fijar la potencia a generar por la unidad en ese límite (máximo o mínimo) y continuar el proceso de ajuste de λ con el resto de las unidades. Ejemplo 4.3: Considere las características de costo de los generadores del Ejemplo 4.1; es decir,

21111 P01,0P45900)P(C ++= y 2

2222 P003,0P43500.2)P(C ++= . La carga total PD que debe ser suministrada es de 700 MW. La expresión simplificada de las pérdidas es de la forma:

MW. )P00009,0P00003,0(P 22

21p += Determine, utilizando el método de iteración en λ, la potencia que debe

entregar cada máquina, las pérdidas en el sistema, el costo incremental y el costo total. Resolución: Las ecuaciones a considerar son:

( )

( )

0700PPP

)P00009,0P00003,0(P

P006,0430,00018P1

1CIL

P02,0450,00006P1

1CIL

p21

22

21p

22

22

11

11

=−−+

+=

+−

==λ

+−

==λ

(4.24)

Para utilizar el método de iteración en λ, conviene escribir las ecuaciones de la siguiente forma:

0700PPP

)P00009,0P00003,0(P00018,0006,043P

00006,002,045P

p21

22

21p

2

1

=−−+

+=

λ+−λ

=

λ+−λ

=

(4.25)

59Para comenzar el proceso iterativo se puede considerar como valor de partida para λ, el determinado

en el Ejemplo 4.1, es decir; λ=46,69. La Tabla 4.2 muestra el desarrollo del proceso y los resultados obtenidos.

Tabla 4.2.- Método de iteración en λ aplicado al Ejemplo 4.3

n λ (UM/MWh) P1 (MW) P2 (MW Pp (MW) P1+P2-Pp-PD (MW) CT=C1+C2 (UM/h) 1 46,690 74,12 256,18 6,07 -375,78 18.002,67 2 50,000 217,39 466,67 21,02 -36,96 34.375,20 3 50,500 238,82 497,02 23,94 11,89 36.830,05 4 50,300 230,25 484,92 22,75 -7,58 35.848,67 5 50,350 232,40 487,95 23,05 -2,70 36.094,09 6 50,370 233,25 489,16 23,17 -0,75 36.192,24 7 50,375 233,47 489,46 23,20 -0,27 36.216,78 8 50,380 233,68 489,77 23,23 0,22 36.241,31 9 50,378 233,60 489,65 23,21 0,03 36.231,50 10 50,377 233,55 489,59 23,21 -0,07 36.226,59

En la iteración 9 (n=9) se obtiene la solución más precisa considerando 3 cifras decimales para λ, que

corresponde a: λ=50,378 UM/MWh; P1=233,6 MW; P2=489,65 MW; CT=36.231,5 UM/h Al comparar estos resultados con los del Ejemplo 4.1, se aprecia que:

* Los costos incremental y total son ahora mayores, por que se han considerado las pérdidas.

* La potencia entregada por la máquina 1 aumentó y la entregada por la máquina 2 disminuyó, a pesar de que el costo incremental de esta última es menor. Ello se debe a que su Factor de Penalización es mayor. Iteración en la potencia de los generadores: Una manera diferente de resolver este problema es la

siguiente:

1. Elegir valores de Pi tales que 0PPm

1iDi =−∑

=; es decir, en este paso, no se consideran las pérdidas.

2. Con los valores de Pi, calcular Li y Pp 3. Resolver el sistema de ecuaciones (4.26), para determinar λ y nuevos valores para Pi:

0P)P(PP

1,2,.....mi CILm

1iDipi

ii

=−−

==λ

∑=

(4.26)

4. Comparar los nuevos valores de Pi con los anteriores. Si hay una diferencia importante, volver al paso

2. En caso contrario, terminar el proceso

Otros Métodos de búsqueda de la solución son: Gradiente de Primer Orden y Gradiente de Segundo Orden.

604.3.4. Cálculo de las pérdidas en la red

El método expuesto para optimizar la repartición de carga entre los generadores de un sistema, requiere desarrollar una expresión que permita determinar las pérdidas totales de transmisión en función de la potencia generada por ellos. Se aborda esta cuestión indicando uno de los métodos más importantes, aproximado pero sencillo. Según este método, para unas condiciones dadas de funcionamiento del sistema (o “caso base”) las pérdidas de transmisión son función cuadrática de las potencias de los generadores, lo que se puede escribir según las ecuaciones (4.27) o (4.28):

∑∑==

=m

1jjiij

m

1ip PPBP (4.27)

[ ] [ ] [ ][ ] P BP

P:

PP

B..BB:..::

B..BBB..BB

P..PPP t

m

2

1

mm2m1m

m22221

m11211

m21p =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= (4.28)

Donde los términos Bij son los llamados Coeficientes B o Coeficientes de pérdidas y [B] es la

matriz de coeficientes de pérdida. Los coeficientes Bij no son verdaderamente constantes sino que varían según el estado de carga del sistema y se obtienen a partir de los resultados de un Cálculo de Flujos de Potencia (caso base). Una vez determinados los coeficientes se tendrá una expresión para las pérdidas del sistema en función de las potencias generadas que, en rigor, sólo es válida para las condiciones correspondientes a esos valores concretos de las potencias de los generadores Pi. En la práctica, estos coeficientes pueden considerarse constantes, siempre que las condiciones del sistema no difieran drásticamente de las del caso base, respecto del cual han sido calculados. En un sistema real, dada la variación en la potencia demandada a lo largo de un día, la diferencia entre las condiciones de funcionamiento del sistema llegan a ser tan grandes que se hace necesario utilizar más de un conjunto de coeficientes B durante el ciclo de carga diario.

A partir de una fórmula de pérdidas explícita, el cálculo de ∂Pp/∂Pi es simple, suponiendo que Bij=Bji

∑=

=∂

∂ m

1jjij

i

p PB2PP

(4.29)

Existen varios métodos para la obtención de los coeficientes B. Para entender la formulación, se

presenta, a manera de ejemplo, el caso de un sistema simple (Figura 4.6) formado por dos generadores, un sistema de transmisión y una carga.

1 3 2

I1

4

G2aG1

Carga

b

c

I2

I +1 I2

Figura 4.6.- Sistema simple con dos generadores y una carga

Sean a, b y c las líneas de transmisión con resistencias Ra, Rb y Rc por las que circulan las corrientes cuyos módulos son 2121 II e I , I &&&& + , respectivamente. La potencia activa total perdida en el sistema de

transmisión Pp se puede escribir como:

61

c2

21b2

2a2

1p RII3RI3RI3P &&&& +++= (4.30)

Si se supone que 11 I e I && están en fase, entonces:

2121 IIII &&&& +=+ (4.31)

Escribiendo los módulos de las corrientes simplemente como: I1, I2 e I3, respectivamente, se tiene que las pérdidas se pueden escribir como:

)RR(I3RII6)RR(I3P cb22c21ca

21p ++++= (4.32)

Si P1 y P2 son las potencias trifásicas de salida de las máquinas, con factores de potencia fp1 y fp2 y V1 y V2 son los módulos de los voltajes entre líneas en las barras de los generadores, las corrientes I1 e I2 son:

22

22

11

11

fp V 3P

I fp V 3

PI == (4.33)

Por lo que las pérdidas quedan expresadas como:

22

22

cb22

2121

c212

12

1

ca21p )fp(V

RRP

)fp)(fp(VVR

PP2)fp(V

RRPP

+++

+= (4.34)

Que se puede escribir como:

2222122111

21p BPBPP2BPP ++= (4.35)

Donde:

22

22

cb22

2121

c12

21

21

ca11

)fp(VRR

B

)fp)(fp(VVR

B

)fp(VRR

B

+=

=

+=

(4.36)

Si los voltajes se expresan en kV, las resistencias en Ω/fase, las unidades de los coeficientes B son 1/MW y la potencia perdida Pp queda expresada en MW. Por supuesto que es posible hacer el cálculo en por unidad. Para el sistema en el cual han sido deducidos y con la suposición de que 21 I e I && están en fase, estos coeficientes entregan las pérdidas en forma exacta, por medio de la ecuación (4.35), solamente para los valores particulares de P1 y P2 que resultan de las tensiones y factores de potencia utilizados en las ecuaciones (4.36). Los coeficientes B son constantes al variar P1 y P2, sólo mientras las tensiones en las barras de los generadores mantengan un valor constante y los factores de potencia sean también constantes.

62Problemas propuestos

4.1.- La entrada de combustible de una unidad generadora en Mbtu/h en función de la potencia de salida en MW se puede expresar a través de la expresión: H=120+5,8P+0,032P2. El costo del combustible es de 2 UM/Mbtu. Determine: a. La ecuación del costo de operación en función de la potencia de salida. b. El costo promedio de combustible por MWh cuando P=200 MW. c. La ecuación del costo incremental en función de la potencia de salida. d. El costo aproximado de combustible adicional por hora para elevar la potencia de salida de la unidad de

200 a 201 MW. 4.2.- Los costos incrementales de combustible en UM/MWh para 4 unidades de una central son:

444333

222111

P0068,010CI P008,08CIP0096,06CI P012,09CI

+==λ+==λ+==λ+==λ

Si las cuatro unidades operan para cubrir una carga total de 800 MW, encuentre el costo incremental λ y la salida de cada una de las 4 unidades para que exista despacho económico. 4.3.- Repita el Problema 4.2, considerando que las potencias mínimas y máximas de salida de las unidades son: 50 y 200; 100 y 400; 80 y 250; 110 y 300 MW, respectivamente. 4.4.- Un sistema de potencia está alimentado por tres centrales que están operando en despacho económico. En estas condiciones, los costos incrementales de las plantas 1, 2 y 3 son respectivamente: 10; 9 y 11 UM/MWh. a. ¿Qué planta tiene el Factor de Penalización más alto y cuál el más bajo? b. ¿Cuál es el Factor de Penalización de la planta 1 si el costo por hora para incrementar la carga total

suministrada en 1 MW es de 12 UM/h? 4.5.- Un sistema de potencia tiene dos plantas generadoras. Los coeficientes B dados en por unidad sobre una base de 100 MVA y los costos incrementales dados en $/MWh son respectivamente:

2221113- P0096,06CI P012,06,6CI 10*

80,03-0,03-5

+==λ+==λ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

a. Determine el Factor de Penalización de cada planta cuando la planta 1 suministra 200 MW y la planta 2

entrega 300 MW. b. ¿Es éste el despacho más económico? c. ¿Qué salida de planta se debe incrementar y cuál reducir?. Explique. 4.6.- Resuelva el problema 4.5 utilizando el Método de Iteración en λ, para alimentar la carga de 500 MW. Considere 10 UM/MWh como valor inicial para λ del sistema.

CAPITULO 5

ESTUDIO Y ANALISIS DE FALLAS 5.1. Introducción Las condiciones anormales de funcionamiento de un Sistema Eléctrico de Potencia (SEP), se deben a fenómenos transitorios, que se pueden clasificar, según al tiempo de duración en las siguientes categorías: – Fenómenos transitorios ultrarápidos: Corresponden sustancialmente a descargas atmosféricas sobre

las líneas de transmisión y a los fenómenos producidos por operaciones de conexión y desconexión de diversos componentes de la red del SEP, tales como, las líneas. Las perturbaciones de este tipo dan origen a ondas de tensión y corriente que viajan prácticamente a la velocidad de la luz, pero su efecto dura unos pocos milisegundos después de iniciado. Sin embargo, los procesos de reflexión de las ondas producen elevadas tensiones que pueden llegar a destruir el equipo asociado a las líneas. La razón del estudio de estos fenómenos radica en el hecho de que su análisis suministra las bases necesarias para la selección adecuada del nivel de aislación de los equipos eléctricos asociados a las líneas y de las líneas mismas.

– Fenómenos transitorios medianamente rápidos: En este grupo se incluyen los fenómenos causados

por cambios abruptos de la estructura del SEP, o sea los cortocircuitos o líneas abiertas. Usualmente, sólo los 10 primeros ciclos son de importancia práctica y se estudian en el rango de 10 a 100 milisegundos siguientes a la falla.

– Fenómenos transitorios lentos: Cuando ocurre un cortocircuito en una línea de transmisión

importante y no se desconecta oportunamente la sección afectada, puede producirse uno de los fenómenos más peligrosos de un SEP, esto es, oscilaciones mecánicas de los rotores de los generadores. Se producen fenómenos transitorios electromecánicos que se estudian bajo el nombre de estabilidad transitoria. Las oscilaciones mecánicas de los rotores son relativamente lentas, en consecuencia, los estudios de estabilidad transitoria se realizan en el rango de fracción de segundo hasta un minuto.

Debido a los fenómenos transitorios se pueden producir en un SEP, diversas alteraciones que reciben

el nombre de fallas. Una falla en un circuito es cualquier evento que interfiere con el flujo normal de corriente. Sin embargo, dentro de este curso, designaremos como fallas a los cortocircuitos y las fases abiertas. 5.2. Tipos de fallas – Cortocircuitos: Trifásico simétrico, aislado o a tierra, bifásico aislado (cortocircuito entre 2 líneas),

bifásico a tierra (entre dos líneas y el conjunto a tierra) y monofásico (una línea conectada a tierra). – Fases abiertas: Una fase abierta, dos fases abiertas y tres fases abiertas. La última situación significa

que la línea o dispositivo sale completamente de servicio. Los cortocircuitos trifásicos dan origen a fallas simétricas pues el SEP permanece eléctricamente balanceado, en cambio los cortocircuitos bifásicos aislado y a tierra y el monofásico, así como 1 ó 2 fases abiertas corresponden a fallas asimétricas, ya que el sistema queda eléctricamente desbalanceado en el punto de falla. En el caso de fallas simétricas, el cálculo se realiza en base a una representación monofásica (por fase) de la red del SEP y se aplican las técnicas normales de análisis de circuitos. Para el cálculo de las fallas asimétricas, resulta conveniente utilizar al Método de las Componentes Simétricas.

645.3. Cálculo de Cortocircuitos En general las corrientes de cortocircuito alcanzan magnitudes mucho mayores que los valores nominales de los generadores, transformadores y líneas. Si se permite que estas corrientes circulen por un período prolongado, pueden causar un serio daño térmico al equipo y problemas de estabilidad de funcionamiento en el SEP. En este aspecto, el tipo de cortocircuito más severo es el trifásico, el que además de dar valores elevados de corriente, reduce a cero la capacidad de transmisión de una línea, lo siguen los cortocircuitos bifásico y finalmente el monofásico. En cambio, el tipo mas frecuente es el monofásico (aproximadamente el 75% de los casos ) y el menos frecuente es el trifásico (aproximadamente el 5% de los casos). En muchas oportunidades las corrientes de cortocircuito se autoextinguen y se restablece la aislación. Debido a este hecho, se utilizan en la práctica interruptores que reconectan automáticamente la línea dañada, una, dos o más veces para probar si la falla se ha eliminado. Sólo en el caso de que la falla persista, el interruptor desconecta la línea en forma definitiva. 5.3.1. Objetivos − Definir la capacidad de ruptura de los interruptores necesarios en las diversas partes de un SEP, para

lo que se realiza normalmente un cálculo de cortocircuito trifásico simétrico, debido a que este tipo de falla produce las corrientes de cortocircuito más elevadas en la mayoría de los casos.

− Ayudar a establecer un sistema adecuado de protección para diversas condiciones de falla, para lo que se debe realizar un cálculo de distribución de corrientes en la red del SEP tanto para cortocircuitos simétricos como asimétricos (usualmente el cortocircuito monofásico).

En general, el Cálculo de Cortocircuitos debe proporcionar los siguientes resultados:

− La corriente en el punto de falla

− La potencia de cortocircuito en el punto de falla

− La distribución de corrientes post-falla en todas las líneas del SEP

− Las tensiones post-falla en todas las barras 5.3.2. Aproximaciones − Las máquinas síncronas se representan por los circuitos equivalentes aproximados, que se muestran

en la Figura 5.1. jX'd

jXd"

E

+

-

+

-

V

jX'd

jXd"E

+

-

+

-

'

E" V

Figura 5.1.- Circuitos equivalentes para las Máquinas Síncronas − Las cargas, cuando se estima necesario incluirlas, se suponen independientes de la tensión y se

representan por una impedancia o admitancia equivalente.

− Todas las tensiones internas de los generadores se suponen iguales entre sí e iguales a 1,0 (pu)

− Se desprecian las corrientes de pre-falla

65− En muchos casos se desprecian las resistencias de los elementos y sólo se consideran sus reactancias

− Los transformadores con cambio de Tap se consideran en su razón nominal 5.4. Cortocircuitos trifásicos simétricos 5.4.1. Comportamiento de un generador en condiciones de cortocircuito trifásico simétrico a. El generador en vacío antes de producirse la falla: La corriente que circula por cada fase del generador en cortocircuito, es similar a la que circula por un circuito R-L serie, alimentado bruscamente por una fuente de tensión sinusoidal; es decir, la corriente es asimétrica respecto al eje de tiempo y disminuye en forma exponencial. Sin embargo, existe una diferencia fundamental y ella radica en que la reactancia del generador no permanece constante durante el fenómeno (Figura 5.1). Las corrientes en las tres fases de un generador en cortocircuito se muestran en la Figura 5.2.

ia

Figura 5.2.- Corrientes de cortocircuito en un Generador Síncrono

Figura 5.3.- Corriente de cortocircuito en un Generador Síncrono despreciando la

bi

ci

if

Tiempo

2 I"

2 I'

2 I

Periodosubtransitorio

Periodotransitorio permanente

Régimen

EnvolventeReal

Valor de régimenpermanente

Envolventetransitoria

extrapolada

extrapolado

Tiempo

componente unidireccional

66Usualmente la corriente continua no se considera en el análisis y su efecto se incluye posteriormente

en el cálculo de las corrientes instantáneas y de interrupción de los interruptores. Despreciando el efecto de la componente continua, la corriente de cortocircuito de una fase cualquiera, resulta simétrica, como se muestra en la Figura 5.3, que corresponde a un generador con enrollados amortiguadores y en vacío antes de producirse la falla. Directamente de esta figura los valores eficaces de corrientes de cortocircuito quedan:

Corriente subtransiente "dX

E"I = (5.1)

Corriente transiente 'dX

E'I = (5.2)

Corriente permanente dX

EI = (5.3)

b. El generador con carga antes de producirse la falla: En este caso, la fuerza electromotriz (fem) interna E se va modificando a medida que transcurre el fenómeno y, para determinar las corrientes subtransiente y transiente de cortocircuito se deben considerar los circuitos mostrados en las Figura 5.4 y 5.5, respectivamente, donde Ze es una impedancia externa que puede existir entre los terminales del generador y el punto de Falla F y Zc es la impedancia del consumo.

E

+

-

"

jX"d Ze

Zc

I"F

Figura 5.4.- Circuito Subtransiente

E'

+

-

Ze

Zc

I'jXd'F

Figura 5.5.- Circuito Transiente

Para realizar el cálculo se pueden emplear dos procedimientos – Aplicando el teorema de Thevenin en el punto de Falla: En la Figura 5.4, sean:

)0(VF& : tensión en el punto F antes de producirse la falla

"I& : corriente subtransiente de cortocircuito ZTH : Impedancia equivalente de Thevenin calculada desde el punto de falla, donde:

c"de

c"de

THZjXZZ )jXZ(

Z++

+= (5.4)

Por lo tanto, el circuito de la Figura 5.4, se transforma en el de la Figura 5.6, siguiente

+

-

I'' F

VF

ZTH

(0)

Figura 5.6.- Circuito equivalente de Thevenin en Régimen subtransitorio

67 Luego:

)0(V Z )jXZ(

jXZZZ

)0(V"I F

c"de

"dce

TH

F &&

&+

++== (5.5)

de la misma forma, para la Figura 5.5 se tiene:

)0(V Z )jXZ(

jXZZZ

)0(V'I F

c'de

'dce

TH

F &&

&+

++== (5.6)

– Empleando las tensiones detrás de las reactancias subtransiente o transiente: Cuando circula una

corriente de carga Ic antes de la falla, se pueden visualizar tres tensiones internas posibles, asociadas a sus correspondientes reactancias, tal como se indicó anteriormente. Las Figuras 5.7 a) y b) muestran los circuitos equivalentes y los diagramas fasoriales respectivos.

jXd'+

-

+

-

VjXd

jXd"

EE'E"

I" ( I', I)

Ic

a)

V

E"

E'

E

φjX" Id jX Id

Ic

c jX' Id c c

b)

Figura 5.7.- Cálculo de Corriente de Cortocircuito, empleando las tensiones internas. a) Circuito Equivalente

b) Diagrama Fasorial A partir de la Figura 5.7 se puede escribir:

c"d I jXV"E &&& += (5.7)

c'd I jXV'E &&& += (5.8)

cd I jXVE &&& += (5.9) Por lo que, las corrientes de falla son:

e"d ZjX

"E"I+

=&

& (5.10)

e'd ZjX

'E'I+

=&

& (5.11)

ed ZjXEI+

=&

& (5.12)

c. Concepto de Potencia de Cortocircuito: Durante un cortocircuito trifásico simétrico en un SEP, las tensiones en las barras no falladas disminuyen. La magnitud de la caída de tensión en las barras es una indicación de la capacidad de SEP para reaccionar frente al cortocircuito. Es conveniente disponer de una medida de esta propiedad del sistema como asimismo de la severidad de la falla. Ambos objetivos se pueden

68cumplir definiendo una cantidad denominada "Potencia de cortocircuito", "Capacidad de cortocircuito", o "nivel de falla" de la barra fallada. Considérese una barra “p” cualquiera del SEP en la cual se ha producido un cortocircuito trifásico simétrico.

p+

-pV (0) Ipf

Ref.

Figura 5.8.- SEP con un cortocircuito trifásico en la barra p Sean: Vp(0) : tensión en la barra p antes de producirse la falla Ipf : corriente de cortocircuito o de falla en la barra p. Entonces, por definición, la potencia de cortocircuito Scc en la barra p será:

( ) pfpcc I 0VS = (5.13)

Por otra parte si VB e IB son, respectivamente, el voltaje base y la corriente base en el sector que corresponde a la barra p, se puede demostrar que:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] B

pf

2p

Bpfpcc S puZ

pu)0(VS puI pu )0(VS == (5.14)

en que Zpf es la impedancia de cortocircuito en la barra “p” y corresponde a la impedancia equivalente de Thevenin calculada desde la barra p hacia el interior del SEP. d. Algunos antecedentes relativos a la selección de interruptores: Los valores de corriente suministrados por un cálculo de cortocircuito, corresponden a corrientes simétricas respecto al eje del tiempo y por lo tanto no incluyen la componente de corriente continua. En la selección de interruptores debe tenerse en cuenta la componente de corriente continua; por ello se distinguen dos valores de corriente:

− Corriente instantánea: Es la corriente que debe soportar un interruptor inmediatamente después de ocurrida la falla. Para determinarla, se calcula en primer lugar la corriente simétrica de cortocircuito utilizando las reactancias subtransientes de los generadores, motores sincrónicos y de inducción. Luego, el valor así calculado, se multiplica por un factor que depende de la tensión de operación del interruptor. Los factores usualmente empleados se indican en la Tabla 5.1.

− Corriente de interrupción: Es la corriente que un interruptor debe ser capaz de interrumpir en el momento que se abren sus contactos. Para determinar su valor, se procede primero a calcular la corriente simétrica de cortocircuito y luego se aplica un factor que depende de la velocidad de operación del interruptor. La Tabla 5.2 muestra algunos valores típicos.

Para el cálculo se recomienda emplear las reactancias subtransientes de los generadores, las reactancias transientes de los motores y condensadores síncronos. Los motores de inducción no se consideran.

69Tabla 5.1.- Factores de corrección para la

corriente instantánea Tabla 5.2.- Factores de corrección para la

corriente de interrupción Voltaje Factor Interruptores de Factor ⟩ 5 kV 1,6 8 ciclos o mas 1,0 ≤ 5 kV 1,5 5 ciclos 1,1 ≤ 600 V 1,25 3 ciclos 1,2

2 ciclos 1,4

Ejemplo 5.1. En el sistema de la Figura 5.9, los datos en pu están en base 2.000 kVA y 480 Volt. Si ocurre un cortocircuito trifásico en la barra m, cuando el voltaje en esta barra es el nominal y los motores están trabajando en condiciones nominales, determinar la corriente subtransitoria de falla (Amperes) en cada uno de los motores y en la línea, así como la corriente de falla en la barra m, considerando la corriente de pre-falla y utilizando: a. El método de las tensiones internas b. El método de Thevenin

j0,023 ohm/faseSistema

Barra del

M1

2M

V =480 VNS CC3 =9,6 MVA

mX''=0,8 (pu)

X''=0,25(pu)

1 MVA, 480 VoltCada motor

cos = 0,9 indϕ

Línea

φ

Figura 5.9

SCC3φ Potencia de Cortocircuito trifásico en la barra Solución: a) Cálculos previos:

)pu( 8,426,9SVk 48,0V;MVA 2S 3CCBB ==⇒== φ

[ ] (pu) 2083,08,4

1S

)0(VX3CC

2

S ===φ

A 63,24054803

102I );pu( 1997,01152,0023,0X

; 1152,0248,0

MVAkV

Z

6

BL

2

B

2B

B

=∗∗

===

Ω===

m

IS+E"S

+E"M1E"M2

+

jXS jXL j0,8

j0,25I1I2

ZTH

Figura 5.10 b) Método de las tensiones internas: Figura 5.10

(pu º32,172337,1º84,250,1)1997,02083,0(jº01E

(pu) º79,69522,0º84,255,025,0jº01E (pu); º56,239,0º84,255,08,0jº01E

(pu) º84,255,0º01

9,0cos2/1II )pu(º01480

º0480V

"S

"M2

"M1

1

21m

∠=−∠∗++∠=

−∠=−∠∗−∠=−∠=−∠∗−∠=

−∠=∠−∠

==∠=∠

=−

&&&

En falla, Vm=0; por lo tanto, del circuito (Figura 5.11):

(pu) º907,7IIII

(pu) º79,968088,325,0j

º79,69522,0I

(pu) º56,113125,18,0j

º56,239,0I

(pu) º68,72024,3)1997,02083,0(j

º32,172337,1I

"2M

"1M

"S

"F

"2M

"1M

"S

−∠=++=

−∠=−∠

=

−∠=−∠

=

−∠=+∠

=

&&&

&

&

&

m

I"S+E"S

+E"M1E"M2

+

jXS jXL j0,8

j0,25I"M2

I"F

I"M1

Figura 5.11

70Valores en amperes: Multiplicando por la corriente base se obtiene:

A º9035,523.18I A; º79,9156,162.9I A; º56,11333,706.2I A; º68,7263,274.7I "F

"2M

"1M

"S −∠=−∠=−∠=−∠= &&&&

d) Usando el Teorema de Thevenin A partir de la Figura 5.10, cortocircuitado las fuentes de tensión se obtiene la Impedancia de Thevenin:

).pu( 1299,0j

25,0j1

8,0j1

408,0j1

1ZTH =++

= Además, VTH=Vm(0)=1∠0º (pu)

º907,71299,0j

º01ZV

ITH

TH"F −∠=

∠==

&

&&

(pu) º79,968083,384,255,0

)8,0408,0(j8,0j408,0j25,0j

)8,0408,0(j8,0j408,0j

º907,7I

(pu) º56,1131257,184,255,0

)25,0408,0(j25,0j408,0j8,0j

)25,0408,0(j25,0j408,0j

º907,7I

)pu( º68,72024,384,251

)25,08,0(j25,0j8,0j408,0j

)25,08,0(j25,0j8,0j

º907,7I

"2M

"1M

"S

−∠=−∠−

+∗

+

+∗

−∠=

−∠=−∠−

+∗

+

+∗

−∠=

−∠=−∠+

+∗

+

+∗

−∠=

&

&

&

5.4.2. Cortocircuitos trifásicos simétricos en un SEP a. Método tradicional: Como en el caso de un cortocircuito trifásico simétrico, el SEP queda balanceado, es posible trabajar utilizando el circuito equivalente por fase, con las aproximaciones usuales, aplicando Thevenin en el punto de falla. El método es cómodo para resolver problemas con pocos nudos; sin embargo, cuando se trata de sistemas de mayor tamaño, resulta poco práctico. Por otra parte, para calcular un cortocircuito en otra barra es necesario hacer de nuevo todos los cálculos. Adicionalmente, la determinación de los voltajes en las otras barras y el cálculo de las corrientes en las líneas significa resolver la red completa del SEP. b. Cálculo sistemático (Método general): Cuando se trata de sistemas de gran magnitud, los cálculos manuales resultan demasiado engorrosos y se debe recurrir al uso de los computadores digitales. El procedimiento que se sigue, en vez de calcular las corrientes en el punto de falla, para luego repartirlas en todo el sistema; consiste en calcular directamente las tensiones en los distintos nudos, con ayuda de un modelo nodal de impedancias. Conocidas las tensiones durante la falla, pueden calcularse a continuación las corrientes por las diversas ramas. Debido a la rapidez del cálculo digital, la matriz de impedancia puede por ejemplo, incluir las admitancias paralelo tales como las asociadas a las cargas. Las tensiones, post-falla se pueden obtener como la superposición de la situación pre-falla (obtenida normalmente de un cálculo de flujo de potencia) con la situación durante la falla solamente, es decir:

[ ] [ ] [ ])cc(V)0(V)f(V BBB += (5.15)

71

donde: V fB ( ) :Vector de tensiones post-falla VB ( )0 :Vector de tensiones prefalla V ccB ( ) :Vector de tensiones debido sólo a la falla:

[ ] [ ] t nfqfpf1fB V··· V··· V··· V)f(V &&&&= (5.16)

[ ] [ ] t n0q0p010B V··· V··· V··· V)0(V &&&&= (5.17)

[ ] [ ] t nccqccpcc1ccB V··· V··· V··· V)cc(V &&&&= (5.18)

Aplicando el método de resolución nodal a la red del SEP, después de falla se tiene:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]FBBBBF I Z)cc(V )cc(V YI =⇒= (5.19) En que [ ] IF es el vector de corrientes (de falla) inyectadas en las distintas barras y [ ]BZ es la matriz de impedancia de barras que corresponde a la inversa de la matriz de admitancia de barras [ ] YB ; definidas como:

[ ] [ ] t nfqfpff1F I··· I··· I··· II &&&&= (5.20)

[ ]

Z···Z···Z···Z

Z···Z···Z···Z

Z···Z···Z···Z

Z···Z···Z··· Z

=Z

nnnqnpnn

qnqqqp1q

pnpqpp1p

n1q1p111

B

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

MMMM

MMMM

MMMM

(5.21)

En realidad no se inyecta corriente en ninguna de las barras, sino que se extrae corriente exclusivamente desde la barra fallada (por ejemplo, la barra p); por lo tanto, sólo uno de los elementos del vector de corrientes inyectadas es distinto de cero y vale pfI&− . Introduciendo (5.19), (5.20) y (5.21) en (5.15), considerando (5.16), (5.17) y lo dicho recién respecto a la corriente se obtiene:

pfnp0nnf

pfqp0qqf

pfpp0ppf

pfp110f1

I ZVV

I ZVV

I ZVV

I ZVV

&&&

&&&

&&&

&&&

−=

−=

−=

−=

(5.22)

Si existe una impedancia de falla ZF entre la barra fallada p y tierra se tiene:

pfFpf I ZV && = (5.23)

Reemplazando (5.23) en la p-ésima ecuación de (5.22) se obtiene finalmente:

ppF

0ppf ZZ

VI

+=

&& (5.24)

72 expresión que permite calcular la corriente en la barra fallada. Así mismo, el voltaje en esta barra es:

0pppF

pppf V

ZZZ

1V &&⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−= (5.25)

De la misma forma se puede obtener el voltaje en cualquier otra barra y la corriente de falla en una línea cualquiera conectada entre las barras p y q cuya impedancia es zpq:

0pppF

qp0qqf V

ZZZ

VV &&&+

−= (5.26)

pq

qfpfpqf z

VVI

&&& −

= (5.27)

Ejemplo 5.2. En el sistema de la Figura 5.12, todos los datos en por unidad, están en base común. Determinar las corrientes en cada una de las líneas y en los generadores, cuando ocurre un cortocircuito trifásico simétrico en la barra 2, estando el sistema en vacío y utilizando: a. El método tradicional b. El método general (Matricial)

23j0,04

j0,05 j0,08

j0,05

j0,03

G213,2 kV

220 kV

G3

j0,05

j0,05

220 kV

13,8 kV1

G1

j0,03j0,02 13,2 kV

Figura 5.12 Solución:

a) Método tradicional: El circuito equivalente se muestra en la Figura 5.13. Para encontrar la impedancia de Thevenin en la barra 2 es necesario reducirlo. La Figura 5.14 muestra el circuito anterior donde se ha realizado una transformación de Delta a Estrella entre los nudos 1, 2 y 3. Los valores de la estrella equivalente son:

01176,004,008,005,0

04,0*05,0X ;01882,004,008,005,0

08,0*04,0X ;02353,004,008,005,0

08,0*05,0X 321 =++

==++

==++

=

A partir del circuito de la Figura 5.14, la impedancia equivalente de Thevenin en la barra 2 queda:

[ ]

[ ]0353,0

05,003,001882,0)02353,002,003,0()01176,005,005,0()02353,002,003,0()01176,005,005,0(

05,003,001882,0)02353,002,003,0()01176,005,005,0()02353,002,003,0()01176,005,005,0(

XTH =++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+++++++∗++

+∗⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+++++++∗++

=

1

+ + +

j0,05

IG1

1 0º1 0º

23

j0,08

j0,02

j0,03

j0,04

j0,05

j0,05

j0,03

j0,05

2FI

IG2IG3

1 0º

Z THVTH,

Figura 5.13

1

+ + +IG1

1 0º1 0º

23

jX1

j0,02

j0,03

j0,05

j0,05

j0,03

j0,05

2FI

IG2IG3

1 0º

jX3 jX2

Z THVTH,

X2I

Figura 5.14

73El circuito equivalente de Thevenin queda tal como se muestra en la Figura 5.15, donde, debido a que el cortocircuito es directo, se tiene que V2F=0 y, por lo tanto:

(pu) º903286,280353,0j

º01I F2 −∠=∠

=&

+1 0º

j0,0353

2FI2FV

+

Figura 5.15 Considerando la Figura 5.14 se pueden determinar las corrientes y voltajes:

(pu) º902975,904,0j

3719,004,0jVV

I

(pu) º90014,305,0j

3719,05226,005,0jVV

I

(pu) º905325,608,0j

5226,008,0jVV

I

(pu) º03719,0º902814,6*1,0jº01I*1,0jº01V

(pu) º05226,0º905472,9*05,0jº01I*05,0jº01V

(pu) º902814,6)02353,003,002,001176,005,005,0(j

)02353,003,002,0(j*III

(pu) º905472,9)02353,003,002,001176,005,005,0(j

)01176,005,005,0(j*III

(pu) º908286,15º905,12º903286,28III

(pu) º905,1208,0j

0º01I

F2F3L32

F3F1L13

F2F1L12

3G3F

1G1F

2XX33G

2XX11G

2G2F2X

2G

−∠==−

=

−∠=−

=−

=

−∠==−

=

∠=−∠−∠=−∠=

∠=−∠−∠=−∠=

−∠=+++++

++==

−∠=+++++

++==

−∠=−∠−−∠=−=

−∠=−∠

=

&&&

&&&

&&&

&

&

&&&

&&&

&&&

&

b) Método general: Considerando el circuito de la Figura 5.13, se determina la matriz YB, que resulta:

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−= −

035,0j0222,0j0186,0j0222,0j0169,0j0186,0j0169,0j03,0j

YZ 55j25j20j

25j50j5,12j20j5,12j5,52j

Y 1BBB j0,0353

Utilizando las expresiones (5.24) a (5.27) con ZF=0 se obtienen:

(pu) º902775,904,0j

0º03711,0I

(pu) º90002,305,0j

º03711,0º05212,0I (pu); º90515,608,0j

0º05212,0I

(pu) º03711,0º010353,0j0222,0j º01V (pu); º05212,0º01

0353,0j0169,0j º01V

0V (pu); º903286,280353,0j

º01I

L32

L13L12

F3F1

2FF2

−∠=−∠

=

−∠=∠−∠

=−∠=−∠

=

∠=∠∗−∠=∠=∠∗−∠=

=−∠=∠

=

&

&&

&&

&&

Las corrientes en los generadores se determinan aplicando la Ley de Kirchhoff de corrientes en los nudos 1, 2 y 3 respectivamente:

74

)pu( º902775,6º90002,3º902775,9III

(pu) º908961,12º902775,9º90155,6º903286,28IIII

)pu( º90517,9º90002,3º90515,6III

13L32L3G

32L12LF22G

13L12L1G

−∠=−∠−−∠=−=

−∠=−∠−−∠−−∠=−−=

−∠=−∠+−∠=+=

&&&

&&&&

&&&

5.5. Cortocircuitos Asimétricos 5.5.1. Componentes simétricas a. Consideraciones generales: El cálculo de cortocircuitos asimétricos en un SEP, se realiza normalmente empleando el método de las componentes simétricas, por lo que es conveniente iniciar este estudio resumiendo algunos puntos fundamentales relacionados con su teoría. El Método de las Componentes Simétricas se basa en el teorema de Fortescue. Se trata de un método particular de transformación lineal que consiste básicamente en descomponer un conjunto de fasores desbalanceados en otro conjunto de fasores de características tales que permitan un análisis más sencillo del problema original. En el caso particular de tensiones y corrientes trifásicas desequilibradas, este método los transforma en tres sistemas de fasores balanceados. Los conjuntos balanceados de componentes son: − Componentes de secuencia positiva: formado por tres fasores de igual magnitud, desfasados 120º

entre si y con la misma secuencia de fase que el sistema original. − Componentes de secuencia negativa: formado por tres fasores de igual módulo, con desfase de 120º

uno de otro y con la secuencia de fases opuesta a la de los fasores originales. − Componentes de secuencia cero: formada por tres fasores de igual módulo y con desfase nulo. Cuando se resuelve un problema utilizando componentes simétricas, se acostumbra designar las tres fases del sistema como a, b y c, de forma que la secuencia de fase de los voltajes y las corrientes en el sistema es abc. Así, la secuencia de fase de las componentes de secuencia positiva es abc y la secuencia de fase de las componentes de secuencia negativa es acb. Si los fasores originales de voltaje se designan como

,V y V,V cba&&& los tres conjuntos de componentes simétricas se designan agregando un subíndice (o

superíndice) adicional 1 para las componentes de secuencia positiva, 2 para las de secuencia negativa y 0 para las de secuencia cero. Una vez obtenidos los resultados en el dominio de las componentes simétricas, los valores reales en cantidades de fase se calculan haciendo uso de una transformación inversa adecuada. b. Relación entre voltajes (corrientes) de secuencia y de fase: La Figura 5.16 muestra los tres sistemas equilibrados de vectores (considerándolos como tensiones) y la suma gráfica de los componentes para obtener los fasores desbalanceados.

b1

c1V a1V

V

VV

V

a0b0

c0

b2

a2

c2

V

V

V

V

V

V

a

c

b

a) b) c) d)

Figura 5.16.- Componentes de secuencia: a) positiva, b) negativa, c) cero, d) suma gráfica de ellas Como cada uno de los vectores desequilibrados originales es igual a la suma de sus respectivos componentes simétricos, se puede escribir:

75

2c1c0cc

2b1b0bb

2a1a0aa

VVVV

VVVV

VVVV

&&&&

&&&&

&&&&

++=

++=

++=

(5.28)

Si se consideran como referencia los fasores 0a2a1a V y V,V &&& , respectivamente se tiene:

º00a0c º2402a2cº1201a1c

º00a0bº1202a2b º2401a1b

º00a0a º02a2aº01a1a

VV VV VV

VV VV VV

VV VV VV

∠=∠=∠=

∠=∠=∠=

∠=∠=∠=

&&&

&&&

&&&

(5.29)

Designando como a& , al operador complejo que origina un desplazamiento de 120º, es decir:

321j

21º1201a +−=∠=& (5.30)

e introduciendo las expresiones (5.29) y (5.30) en (5.28), esta última se puede escribir como:

2a2

1a0ac

2a1a2

0ab

2a1a0aa

V aV aVV

V aV aVV

VVVV

&&&&

&&&&

&&&&

++=

++=

++=

(5.31)

La ecuación (5.31) se puede escribir en forma matricial, tal como se muestra en la expresión (5.32):

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

2a

1a

0a

2

2

c

b

a

VVV

aa1aa1111

VVV

&

&

&

&

&

&

(5.32)

o bien:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ 0,1,2c,b,aV TV (5.33)

donde [T] es la matriz de transformación que permite obtener las componentes de fase abc a partir de las de secuencia 012, cuyo valor es:

[ ] aa1aa1111

T2

2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= (5.34)

La matriz de transformación [T] es no singular y por lo tanto existe su inversa, de manera que es posible obtener las componentes de secuencia 012 a partir de las de fase abc. Pre-multiplicando (5.33) por la inversa de T, [T]-1 se obtiene:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ cb,a,1-2,1,0V TV (5.35)

en que:

76

[ ] aa1

aa1111

31T

2

21

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=− (5.36)

y la ecuación (5.35) queda

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

c

b

a

2

2

2a

1a

0a

VVV

aa1

aa1111

31

VVV

&

&

&

&

&

&

(5.37)

Las ecuaciones (5.32) y (5.37) son válidas también para las corrientes, es decir:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

2a

1a

0a

2

2

c

b

a

III

aa1aa1111

III

&

&

&

&

&

&

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

c

b

a

2

2

2a

1a

0a

III

aa1

aa1111

31

III

&

&

&

&

&

&

(5.38)

De la segunda ecuación de (5.38) se puede concluir que si en un sistema trifásico no existen conductor neutro o conexiones a tierra, o si el sistema está balanceado, la corriente de secuencia cero es nula c. Potencia en función de los componentes simétricas: Si se conocen las componentes de secuencia de la corriente y tensión, se puede calcular directamente la potencia suministrada en un circuito trifásico a partir de dichas componentes. La potencia compleja total transmitida en un circuito trifásico por 3 líneas; a, b y c viene dada por:

*cc

*bb

*aa IVIVIVjQPS &&&& ++=+= (5.39)

en que cba V y V,V &&& son las tensiones respecto al neutro en los terminales e cba I ,I,I &&& las corrientes que entran al circuito por las tres líneas. Puede existir o no neutro. Matricialmente se tiene:

[ ]∗

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=c,b,atc,b,a

*c

*b

*a

cba I VIII

VVVS &&&& (5.40)

Introduciendo (5.32) y (5.38) en (5.40) y haciendo las operaciones correspondientes se obtiene:

( )*2a2a

*1a1a

*0a0a I VI VI V 3S &&&& ++= (5.41)

Es decir, esta transformación no es invariante a la potencia compleja. 5.5.2. Circuitos equivalentes de secuencia de los elementos componentes de un SEP La aplicación del método de las componentes simétricas al cálculo de cortocircuitos asimétricos significa que cada componente del SEP se representa por tres circuitos equivalentes monofásicos, correspondiendo cada uno a una determinada secuencia. En cada uno de estos circuitos equivalentes las variables tensiones y corrientes corresponden a una misma secuencia y las impedancias asociadas a los

77elementos reciben el nombre de impedancia a la secuencia que corresponde. Veremos a continuación, los circuitos equivalentes de secuencia de los elementos componentes del sistema. a. Líneas: Las líneas se representan tal como se muestra en los circuitos de la Figura 5.17.

Z1

a)

Z2

b)

Z0

c) Figura 5.17.- Circuitos equivalentes de secuencia: a) Positiva; b) Negativa y c) cero, de líneas de transmisión Generalmente: Z1 = Z2 ≠ Z0; ya que en secuencia cero es necesario considerar tanto el efecto del retorno por tierra, como el de los conductores de guardia, en caso que ellos existan, debido a que la corriente se reparte por ambos caminos

b. Generadores: Un generador de rotor cilíndrico operando en condiciones de carga balanceada y despreciando el efecto de la resistencia de sus enrollados, se puede representar según el circuito equivalente que se muestra en la Figura 5.18. Directamente de esta figura se puede escribir:

cscc

bsbb

asaa

IjXEV

IjXEV

IjXEV

&&&

&&&

&&&

−=

−=

−=

(5.42)

o bien:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

s

s

scb,a,c,b,ac,b,ac,b,ac,b,a

jX000jX000jX

Zcon I ZEV (5.43)

jXsE+-

a

jXsE+-

b

jXsE+-

cVb

Va

Vc

I b

I c

Ia

Zn In

Figura 5.18.- Generador de rotor cilíndrico operando en condiciones balanceadas El análisis de un generador operando en régimen permanente y con carga desbalanceada, es mucho más complicado que el caso anterior; sin embargo, sus ecuaciones de comportamiento tienen la misma forma, variando sólo en la matriz de impedancia. Se puede demostrar que en este caso:

78

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

s2m1m

1ms2m

2m1msc.b,a

ZZZZZZZZZ

Z

(5.44)

donde: Zs, Zm1 y Zm2 son funciones complicadas de las inductancias propias y mutuas de todos los enrollados de la máquina. Esta matriz se puede transformar a una matriz de impedancia de secuencia, utilizando la siguiente expresión:

[ ] [ ]T ZTZc,b,a12,1,0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ − (5.45)

Introduciendo (5.44) en (5.45) y haciendo las operaciones respectivas se obtiene:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

02,1,0

Z000Z000Z

Z (5.46)

donde:

2m2

1ms2

2m1m2

s1

2m1ms0

Z aZ aZZ

Z aZ aZZ

ZZZZ

++=

++=

++=

(5.47)

Se observa que Z0, Z1 y Z2 son distintas y que no existe impedancia mutua entre las redes de

secuencia, ya que los elementos fuera de la diagonal de la matriz de impedancia de secuencia son todos nulos. Esto significa, que las redes de secuencia resultan desacopladas. La expresión (5.43) en componentes simétricas queda:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ 2,1,02,1,02,1,02,1,0I ZEV (5.48)

Es decir:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

2a

1a

0a

2

1

0

2a

1a

0a

2a

1a

0a

III

Z000Z000Z

EEE

VVV

&

&

&

&

&

&

&

&

&

(5.49)

o bien:

a222a2a

a111a1a

a000a0a

I ZEV

I ZEV

I ZEV

&&&

&&&

&&&

−=

−=

−=

(5.50)

Estas ecuaciones permiten representar el generador mediante tres circuitos monofásicos independientes (uno para cada secuencia). La Figura 5.19 muestra los circuitos equivalentes de secuencia de un generador síncrono, donde se ha considerado que, como ocurre normalmente, las tensiones generadas son equilibradas y por lo tanto:

79

0EE 2a0a == && (5.51)

Z+

-

I

Va0

0 a0

a)

Z1

+

-Ea1 Va1

+

-

Ia1

b)

Z+

-

I2 a2

Va2

c) Figura 5.19.- Circuitos equivalentes de secuencia de una generador síncrono: a) Secuencia cero; b) secuencia

positiva; c) secuencia negativa

Algunas observaciones:

− Las impedancias de secuencia Z0, Z1, Z2, de un generador se pueden calcular en forma analítica a partir de los parámetros fundamentales de la máquina; sin embargo, usualmente se determinan en forma experimental.

− La corriente de secuencia cero existirá sólo si el generador está puesto a tierra, directamente o a través de una impedancia.

− La barra de referencia para las redes de secuencia positiva y negativa es el neutro del generador ya que por la impedancia Zn sólo circula corriente de secuencia cero (Figura 5.18). La barra de referencia para la red de secuencia cero es la tierra del generador.

− La corriente In es igual a 3 Ia0, por lo tanto, la caída de tensión de secuencia cero entre una fase cualquiera y tierra es −Ia0Z0 −3 Ia0 Zn. Como la malla de secuencia cero es un circuito monofásico (por fase) por el que circula sólo la corriente de secuencia cero de una fase, debe tener una impedancia total de 3 Zn + Z0. De lo anterior se puede inferir que habrá distintos tipos de mallas de secuencia cero, dependiendo de la conexión del generador, algunas de las cuales se muestran en la Figura 5.20.

Z+

-

I

Va0

0 a0

a)

Z+

-

I

Va0

0 a0

b)

Z+

-

I

Va0

0 a0

3Zn

c)

Figura 5.20.- Circuitos equivalentes de secuencia cero de un generador síncrono en conexión: a) Estrella aislada de tierra; b) Estrella a tierra directa; c) Estrella a tierra a través de una impedancia Zn

c. Transformadores: Consideremos el circuito equivalente de Thevenin de un transformador trifásico de dos enrollados operando en condiciones balanceadas, que se muestra en la Figura 5.21.

V

V

+-

V'a

b

Vc

a

V'b

+-

+-

cV'

Zeq2

Zeq2

Zeq2

Ia

I

Ib

c

a

c

b

n

Figura 5.21.- Circuito equivalente de Thevenin de un transformador trifásico de dos enrollados

80Zeq2 es la impedancia equivalente referida al secundario. De la Figura 5.21 se puede escribir:

c2eqcc

b2eqbb

a2eqaa

IZV'V

IZV'V

IZV'V

&&&&

&&&&

&&&&

=−

=−

=−

(5.52)

o bien:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ c,b,ac,b,ac,b,a'c,'b,'aI ZVV (5.53)

en que, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ cb,a,Z es la matriz de impedancia del transformador, definida como:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2eq

2eq

2eqcb,a,

Z000Z000Z

Z (5.54)

Cuando un transformador trifásico de dos enrollados opera con carga desbalanceada, no es posible emplear directamente la ecuación (5.45) para llevar la impedancia en componentes de fase, a componentes simétricas y de allí deducir los circuitos equivalentes de secuencia. Se puede verificar sin embargo, que los circuitos equivalentes de secuencia positiva y negativa son iguales entre sí y corresponden a los ya estudiados. En cambio, el circuito equivalente de secuencia cero depende del tipo de conexión de los enrollados primario y secundario y de la existencia o no, de neutros conectados a tierra en los enrollados. La impedancia de secuencia cero puede tener valores totalmente diferentes según sean los terminales del transformador que se consideren. La Figura 5.22, ilustra el diagrama general necesario para determinar experimentalmente la impedancia de secuencia cero de un transformador trifásico de dos enrollados. Las líneas de segmentos corresponden al caso que existan neutros conectados a tierra.

A

B

C

a

b

c

I0

I0

I0 Trifásico

Transformador

+

-V

I

Figura 5.22.- Diagrama general para determinar la impedancia de secuencia cero A partir de esta figura, la impedancia de secuencia cero es:

3/I

VIVZ0

0 == (5.55)

81 Tal como se señaló anteriormente, el valor de Z0 puede ser diferente según se hagan las mediciones en el primario o secundario. La Figura 5.23 incluye una tabla con las mallas de secuencia cero asociadas a diferentes conexiones de transformadores trifásicos de dos y tres enrollados.

P SP SZ0

P SP SZ0

P SP SZ0

P SP SZ0

P SP SZ0

P SP SZ0

a)

P S

TSP

T

P S

TSP

T

P S

TSP

T

P S

TSP

T

b)

Figura 5.23.- Redes de secuencia cero de transformadores de a) dos y b) tres enrollados

82d. Redes de secuencia: Un SEP balanceado se puede representar por tres redes de secuencia independientes entre si (sin acoplamientos); una red de secuencia positiva, una red de secuencia negativa y una red de secuencia cero. Cada red de secuencia representa una fase del SEP y todas las impedancias corresponden a una determinada secuencia.

La red de secuencia positiva es la única que normalmente contendrá fuentes de fem, según lo

expuesto. Por otra parte, teniendo presente las aproximaciones usuales que se realizan en los cálculos de cortocircuito; es decir, que las fem de todos los generadores se consideran iguales en módulo y ángulo de fase y que se desprecian las corrientes de prefalla, se concluye que en ausencia de cortocircuitos en el sistema no existirán corrientes en ninguna de las redes de secuencia. Por lo tanto las redes de secuencia negativa y cero, son totalmente pasivas antes de falla. Para los efectos del cálculo de cortocircuitos asimétricos es necesario establecer para cada red de secuencia, su circuito equivalente de Thevenin mirado desde el punto de falla. Supongamos que se produce una falla en el punto F de un sistema y que los circuitos equivalentes de Thevenin corresponden a los indicados en la Figura 5.24, donde la tensión prefalla en F es Va (0). La corriente de falla en dicho punto tendrá en general componentes de secuencia positiva, negativa y cero. En estas condiciones circularán corrientes en todas las redes de secuencia y aparecerán tensiones en sus terminales. Esto significa que las 3 redes deben interconectarse en una forma que dependerá del tipo particular de falla y cuyos detalles veremos luego. La situación post-falla se puede ilustrar esquemáticamente como se muestra en la figura 5.24.

Z1

+

-Va1

+

-

Ia1

V (0)a

F1

Z+

-

I2 a2

Va2

F2

Z+

-

I

Va0

0 a0 F0

Red

de

Interconexión

Figura 5.24.- Mallas de secuencia y red de interconexión Directamente de esta figura se puede escribir:

a222a

a11a1a

a000a

I Z0V

I Z)0(VV

I Z0V

&&

&&&

&&

−=

−=

−=

(5.56)

o bien:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

2a

1a

0a

2

1

0

a

2a

1a

0a

III

Z000Z000Z

0)0(V

0

VVV

&

&

&

&

&

&

&

(5.57)

83 Es decir:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ 2,1,0

F

2,1,02,1,02,1,0

F I Z)0(VV (5.58)

5.5.3. Análisis de algunos tipos de cortocircuito 5.5.3.1. Cortocircuito monofásico a tierra a través de una impedancia de falla ZF – Diagrama esquemático: La Figura 5.25 muestra en forma esquemática esta situación

Ib

c

aI

I ZFVb

cV

aV

a

b

c

Figura 5.25.- Representación esquemática de un cortocircuito monofásico – Condiciones impuestas por la falla: A partir de la Figura 5.25 se puede escribir

aFa

cb

I ZV

0II&&

&&

=

== (5.59)

– Componentes simétricas: Las componentes simétricas de las corrientes quedan:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

c

b

a

2

2

2a

1a

0a

III

aa1

aa1111

31

III

&

&

&

&

&

&

(5.60)

de donde se obtiene:

a2a1a0a I31III &&&& === (5.61)

Para las componentes simétricas de los voltajes se tiene:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

c

b

a

2

2

2a

1a

0a

VVV

aa1

aa1111

31

VVV

&

&

&

&

&

&

(5.62)

y por lo tanto:

aFa2a1a0a I ZVVVV &&&&& ==++ (5.63)

o bien, a partir de (5.61)

Fa2Fa1Fa02a1a0a ZI3= ZI3=ZI3VVV &&&&&& =++ (5.64)

84– Conexión de las mallas: A partir de (5.61) y (5.64), se deduce que las mallas de secuencia quedan

conectadas en serie, tal como se muestra en la Figura 5.26.

Z1

+

-Va1

+

-

Ia1

V (0)a

F1

Z+

-

I2 a2

Va2

F2

Z+

-

I

Va0

0 a0 F0

3 ZF

Figura 5.26.- Interconexión de las mallas de secuencia para una falla monofásica Del circuito de la Figura 5.26 se tiene:

F021

a2a1a0a Z3ZZZ

)0(VIII

+++===

&&&& (5.65)

Conocidas las corrientes de secuencia, se pueden determinar las corrientes de las fases, utilizando la primera ecuación de (5.38) y se obtiene:

F021

aa Z3ZZZ

)0(V3I

+++=

&& (5.66)

0II cb == && (5.67)

Para los voltajes de secuencia se puede escribir:

a222a

a11a1a

a000a

I ZV

I Z)0(VV

I ZV

&&

&&&

&&

−=

−=

−=

(5.68)

y por lo tanto los voltajes de las fases quedan:

F021

aFa Z3ZZZ

)0(V Z 3V

+++=

&& (5.69)

)0(VZ3ZZZ

Z a 3)aa(Z)1a(ZV a

F021

F22

22

0b

&&+++

+−+−= (5.70)

)0(VZ3ZZZ

Z a 3)aa(Z)1a(ZV a

F021

F2

20c

&&+++

+−+−= (5.71)

Si el cortocircuito es directo a tierra, basta con hacer ZF = 0 en las expresiones (5.65) a (5.71).

855.5.3.2. Cortocircuito bifásico a tierra a través de una impedancia de falla ZF – Diagrama esquemático: La Figura 5.27 muestra esta situación

I

a

b

c

I

I

ZF

aV

VbcV

a

b

c

Figura 5.27.- Representación esquemática de un cortocircuito bifásico a tierra a través de una impedancia – Condiciones impuestas por la falla: A partir de la Figura 5.27, se puede escribir:

)II(ZVV

0I

cbFcb

a&&&&

&

+==

= (5.72)

– Ecuaciones en componentes de secuencia: Las componentes simétricas de las corrientes y de los

voltajes quedan:

1a0aF0a

2a1a0a

VI Z 3V

0III&&&

&&&

+=

=++ (5.73)

– Conexión de las mallas: A partir de las ecuaciones (5.73), las mallas de secuencia quedan conectadas

en paralelo, tal como se muestra en la Figura 5.28.

Z1

+

-Va1

+

-

Ia1

V (0)a

F1

Z+

-

I2 a2

Va2

F2

Z+

-

I

Va0

0 a0 F0

3 ZF

Figura 5.28.- Conexión de las mallas de secuencia para un cortocircuito bifásico a tierra

Haciendo ZF=0 y ZF=∞ (infinito), en el circuito de la Figura 5.28, es posible modelar el cortocircuito bifásico a tierra directo y el cortocircuito bifásico aislado de tierra, respectivamente.

86Ejemplo 5.3. En el sistema de la Figura 5.29, ocurre una falla bifásica a tierra en la barra 1, a través de una impedancia de falla ZF=j0,05 (pu). Con las consideraciones usuales del cálculo de cortocircuitos y considerando que todos los datos en % están en base 100 MVA, determinar: a. Las corrientes de línea en Amperes, en el punto de falla b. Los voltajes entre líneas en kV, en el punto de falla c. Las corrientes de línea en Amperes en bornes de G1 y de G2

1 2 3 4

50 MVA75 MVA 75 MVA 50 MVA

X =X =20%1 2 15/115 kVX =5%0 X =5%0

X =X =40%1 2X =120%0

115/15 kV X =X =20%1 2

G1 2G

YΔ1

15 kV

X =X =X =10%1 2 0 X =X =X =10%1 2 0

Δ

15 kV

Δ

ΔY1

Línea 2-3

Figura 5.29

Solución: Mallas de secuencia: Figuras 5.30 a 5.32 - Secuencia positiva

+

j0,4j0,1

j0,2a1I

+0º1

Z 1

a1I' a1I"

j0,1

j0,2

0º1

Figura 5.30

- Secuencia cero

j0,05

a0I

Z 0

a0I'

j1,2j0,1 j0,1

j0,05

a0I"

Figura 5.32

De la Figura 5.33 y a partir de las condiciones de prefalla se tiene que: Va(0)=1∠0º Las impedancias Z1, Z2 y Z0 corresponden a las impedancias de Thevenin de las respectivas mallas de secuencia. Sus valores son: Z1=Z2=j0,16 y Z0=j0,05.

- Secuencia negativa

j0,4j0,1

j0,2

a2I

Z 2

a2I' a2I"

j0,1

j0,2

Figura 5.31

- Interconexión de las mallas

a1I

Z 1

+a1V

+

a2I

Z 2

a2V

+

a0I

Z 0

a0V

+

3Z F

aV (0)

Figura 5.33

87a) Corrientes de línea en el punto de falla a1) Corrientes de secuencia: A partir del circuito de la Figura 5.33 se obtiene:

º907857,1)16,02,0(j

16,0jII

º902322,2)16,02,0(j

2,0jII

(pu) º900179,4

)2,016,0(j2,0j16,0j16,0j

º01I

1a0a

1a2a

1a

∠=+

∗−=

∠=+

∗−=

−∠=

+∗

+

∠=

&&

&&

&

a2) Corrientes de línea en (pu): Utilizando la matriz de transformación [T]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∠∠=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⇒⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∠−∠

∠

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

,33º626,0392153,67º6,0392

0

III

º902322,2º900179,4

º907857,1

aa1aa1111

III

c

b

a

2

2

c

b

a

&

&

&

&

&

&

a3) Corrientes de línea en Amperes (sector 1):

A º33,2688,244.23I ;A º67,15388,244.23I ;0I A 849.310153

10100I cba3

6

1B ∠=∠==⇒=∗∗

∗= &&&

b) Voltajes entre líneas en el punto de falla b1) Voltajes de secuencia: A partir de la Figura 5.33 se tiene que:

º008929,0907857,105,0jV

Vº03571,0º900179,416,0jº01V

0a

2a1a

∠=∠∗−=

=∠=−∠∗−∠=&

&&

b2) Tensiones fase neutro: Utilizando la matriz de transformación [T]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−∠−∠∠

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⇒⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∠∠∠

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

180º0,2678180º0,26780º0,8035

VVV

º03571,0º03571,0º008929,0

aa1aa1111

VVV

c

b

a

2

2

c

b

a

&

&

&

&

&

&

b3) Voltajes entre líneas en (pu)

º1800713,1º08035,0º1802678,0VVV

0VVV

º00713,1º1802678,0º08035,0VVV

acca

cbbc

baab

∠=∠−−∠=−=

=−=

∠=−∠−∠=−=

&&&

&&&

&&&

b4) Voltajes entre líneas en kV: Considerando que en ese sector (sector 1), VB1=15 kV, el voltaje base por fase será de 3/15 kV, por lo tanto:

kV º1802777,9V ;0V ;kV º02777,93/15* º00713,1V cabcab ∠==∠=∠= &&&

88c) Corrientes de línea en bornes de G1 y G2 c1) Corrientes de secuencia en bornes de G1: De los circuitos de las Figuras 5.30 a 5.32, se obtienen:

)pu( º907857,1II

(pu) º907858,1)2,08,0(j

8,0j º902322,2II

)pu( º902143,3)2,08,0(j

8,0j º900179,4II

'0a1G0a

'2a1G2a

'1a1G1a

∠==

∠=+

∗∠==

−∠=+

∗−∠==

&&

&&

&&

c2) Corrientes de línea en bornes de G1: Aplicando la matriz de transformación se tiene

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∠∠

∠=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⇒⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∠−∠∠

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

º305150º5

900,3572

III

º907858,1º902143,3

º907857,1

aa1aa1111

III

cG1

bG1

1aG

2

2

1cG

1bG

1aG

&

&

&

&

&

&

c3) Corrientes de línea en Amperes en bornes de G1 (sector 1):

A º30245.19I ;A º150245.19I ;º9086,374.1I A 849.310153

10100I cG1bG11aG3

6

1B ∠=∠=∠=⇒=∗∗

∗= &&&

c4) Corrientes de secuencia en bornes de G2: De los circuitos de la Figura 5.30 a 5.32, se obtienen:

0II

(pu) º1504464,0º60)2,08,0(j

2,0j º902322,2º60II

)pu( º1508036,0º60)2,08,0(j

2,0j º900179,4º60II

'"0a2G0a

"2a2G2a

"1a2G1a

==

∠=∠+

∗∠=∠=

−∠=−∠+

∗−∠=−∠=

&&

&&

&&

c5) Corrientes de línea en bornes de G2: Aplicando la matriz de transformación se tiene

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−∠∠−∠

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⇒⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∠−∠

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

º37,91,09717º093572,0

º63,1701,09717

III

º1504464,0º1508036,0

0

aa1aa1111

III

cG2

bG2

2aG

2

2

2cG

2bG

2aG

&

&

&

&

&

&

c6) Corrientes de línea en Amperes en bornes de G2 (sector 3)

A º37,9223.4I ;A º9086,374.1I ;º63,170223.4I A 849.310153

10100I cG2bG22aG3

6

3B −∠=∠=−∠=⇒=∗∗

∗= &&&

5.5.3.3. Cortocircuito entre dos fases a través de una impedancia de falla Este tipo de falla es muy poco frecuente y produce sobrecorrientes inferiores a las de los otros tipos de corcircuitos, por lo que sólo se calcula en casos excepcionales. Sin embargo, su análisis resulta interesante ya que es idéntico al de una carga conectada entre dos fases (carga bifásica).

89– Diagrama esquemático: La Figura 5.34 muestra esta situación

I

a

b

c

I

I ZF aV

VbcV

a

b

c

Figura 5.34.- Representación esquemática de un cortocircuito entre dos fases – Condiciones impuestas por la falla: A partir de la Figura 5.34, se puede escribir:

bFcb

cba

I ZVV

0II 0I&&&

&&&

+=

=+= (5.74)

– Ecuaciones en componentes de secuencia: Las componentes simétricas de las corrientes y de los voltajes quedan:

1aF2a1a

2a1a

0a

I ZVV

0II

0I

&&&

&&

&

+=

=+

=

(5.75)

– Conexión de las mallas: Las ecuaciones (5.75) nos indican que la malla de secuencia cero no interviene y que las mallas de secuencia positiva y negativa quedan conectadas en paralelo, según se muestra en la Figura 5.35

Z1

+

-Va1

+

-

Ia1

V (0)a

F1

Z+

-

I2 a2

Va2

F2

FZ

Figura 5.35.- Conexión de las mallas de secuencia para un cortocircuito entre dos fases 5.5.3.4. Observaciones finales respecto a los cortocircuitos asimétricos − Las corrientes y tensiones de secuencia calculadas corresponden sólo al punto de falla, no a otro. Para

calcular las corrientes y tensiones en otros puntos distintos, se debe resolver los respectivos circuitos. − Los cortocircuitos asimétricos pueden producir sobre tensiones en las fases no falladas, las que

dependen de la relación entre X0 y X1 y de la existencia o no de impedancia de falla. − Para limitar los valores de corriente de cortocircuito de las fallas a tierra se utilizan impedancias entre

el neutro y tierra, las que pueden ser de tipo resistiva pura o reactiva pura. − En aquellas partes del sistema que estén separadas del punto de falla por transformadores Y/Δ o

viceversa, se deben considerar los desfases de las componentes simétricas de las corrientes y de los voltajes, introducidos por la conexión del transformador.

905.6. Fases abiertas 5.6.1. Introducción Las fallas de conductor abierto o las fases abiertas, son los defectos producidos por la interrupción de una o más fases, sin contacto simultáneo con otras fases o tierra. Aunque no producen corrientes elevadas, provocan la circulación de corrientes de secuencia (en especial negativa) que son peligrosas para los equipos por el fuerte calentamiento que pueden originar. A primera vista, el cálculo empleando componentes simétricos se ve complicado por el hecho de que las fallas implican una asimetría en las impedancias del sistema, lo que haría necesario considerar los acoplamientos entre mallas de secuencia.

El problema se resuelve aplicando a las mallas de secuencia, supuestas independientes y sin impedancias mutuas, las condiciones eléctricas impuestas por la falla. Como las condiciones impuestas a las tres mallas están relacionadas entre sí, ello equivale a interconectar las mallas en el punto de falla, en una forma fijada por el tipo de falla.

El fenómeno que sigue a la aparición de la falla es transiente, donde las corrientes máximas se producen en el instante inicial. Normalmente interesa determinar lo que ocurre al cabo de algunos ciclos de iniciada la falla (operación de las protecciones, apertura de interruptores, etc.), por lo que en secuencia positiva, los generadores se representan por la fem E' y la reactancia transitoria '

1X . Sólo cuando interesa

verificar los esfuerzos electrodinámicos de los equipos o al especificar interruptores, se considera E'' tras "1X .

Una dificultad preliminar en el estudio de este tipo de fallas será entonces la de calcular las fem E' (o

E"), a partir de las condiciones de operación existentes antes de la falla. Dada la simetría longitudinal de estas fallas, se acostumbra usar como variables de cálculo, las caídas

longitudinales de tensión cba V y V ,V &&& ΔΔΔ entre los bornes P y Q de la zona en falla y las corrientes en las

fases: cba I e I ,I &&& tal como se indica en la Figura 5.36.

P Qa

b

c

a'

b'

c'

I

I

I

a aVΔ

VΔ b

VΔ c

b

c

+ -

+

+

-

-

Figura 5.36.- Modelación de fallas tipo fases abiertas

Para evitar la aparición de razones de transformación no reales (a, a2, etc.) en las ecuaciones de conexión, es preciso mantener en el análisis una simetría respecto a la fase de referencia a , por lo que la falla monofásica se supone en la fase a y la bifásica en las fases b y c. 5.6.2. Una fase abierta Esta situación se presenta, por ejemplo, cuando se emplean elementos de apertura que controlan individualmente cada una de las fases (fusibles o interruptores de accionamiento monopolar). A veces ocurre también al cortarse un conductor y quedar suspendido de tal forma de no hacer contacto con otra fase o tierra.

91– Diagrama esquemático: La Figura 5.37 muestra esta situación

P Qa

b

c

a'

b'

c'

I

I

I

a aVΔ

VΔ b

VΔ c

b

c

+ -

+

+

-

-

Figura 5.37.- Representación esquemática de una falla de una fase abierta

– Condiciones impuestas por la falla: A partir de la Figura 5.37, se puede escribir:

0VV

0I

cb

a

=Δ=Δ

=&&

& (5.76)

Es decir:

0VVVV

II II

0II

'cc

'bb

'cc

'bb

'aa

=−=−

==

==

&&&&

&&&&

&&

(5.77)

– Ecuaciones en componentes de secuencia: Las componentes simétricas de las corrientes y de las

caídas de voltajes quedan:

a2a1a0a

2a1a0a

V31VVV

0III

&&&&

&&&

Δ=Δ=Δ=Δ

=++ (5.78)

– Conexión de las mallas: A partir de (5.78), se puede concluir que las mallas de secuencia quedan

conectadas en paralelo entre los punto P y Q, tal como se indica en la Figura 5.38.

Z1

+

-

+ -Ia1

Z+ -

I2 a2

Z+ -

I0 a0

1

+

-

2

Va1Δ

Va0Δ

Δ

E'A BE'

Z'

Z'

0Z'

P1 Q1

2Q2P

0P Q0

Va2

Figura 5.38.- Conexión de las mallas de secuencia para una falla de una fase abierta

92 Puesto que las mallas de secuencia negativa y cero son pasivas, su efecto es el de intercalar una impedancia:

( )( )( ) ( )0022

0022

pq0pq2

pq0 pq2pq20 'ZZ'ZZ

'ZZ'ZZZZ

ZZZ

+++++

=+

= (5.79)

entre los bornes P y Q de la malla de secuencia positiva. Por lo tanto, aumenta la impedancia serie de la malla de secuencia positiva, lo que significa que se reduce la corriente y en consecuencia, la potencia activa transmitida. En algunos casos particulares y, debido a las conexiones de los transformadores vecinos a P y Q, puede resultar que Z0pq=∞, en cuyo caso aumenta aún mas la impedancia serie agregada a la malla de secuencia positiva, haciendo que la disminución de potencia transmitida sea mayor.

Es conveniente indicar que Z0pq y Z2pq son las impedancias equivalentes vistas en esas mallas, desde los bornes P y Q. Ejemplo 5.4. En el sistema de la Figura 5.39, se abre la fase “a” en la barra 3 cuando el motor M está recibiendo el 80% de su potencia nominal, con su tensión nominal en bornes, Factor de Potencia 0,8 inductivo. Calcular la potencia recibida por el motor (kVA) y las corrientes en los neutros de los transformadores en estas condiciones. Datos en % en base común 1.250 kVA.

1 2 3 4

1.250 kVA1.250 kVA 1.250 kVA 1.250 kVA

X =X =10%1 2 600/4.160 VX =4%0 X =4%0

X =X =16%1 2X =20%0

4.160/600 V X =X =10%1 2

G

YΔ11

600 V

X =X =X =5%1 2 0 X =X =X =5%1 2 0

Δ

600 V

Δ

ΔY1

Línea 2-3

X' =1

M

Figura 5.39

Solución: a) Condiciones de prefalla: El circuito equivalente por fase se muestra en la Figura 5.40 Del Circuito de la Figura 5.14 se tiene:

º87,368,0º01

8,0cos8,0VSI

1*

M−∠=

∠−∠

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−&

º85,39541,0º87,368,01,0jº01E

º11,111952,1º87,368,036,0jº01E

M

'G

−∠=−∠∗−∠=

∠=−∠∗+∠=&

&

+

j0,16j0,05j0,1 j0,05 j0,1

E'G

I+

E M

+

VM

Figura 5.40

b) Condiciones de falla: Como se abre una sola fase las mallas de secuencia quedan en paralelo y se muestran en la Figura 5.41. A partir de este circuito se tiene:

1816,03,046,03,046,0X20 =

+∗

=

º87,365736,0I )15,01816,031,0(j

º85,39541,0º11,111952,1I M1aM1a −∠=⇒++

−∠−∠= &&

93

º87,12602265,0º13,1432265,01,0jV

º06,19865,0V

º85,39541,0º87,365736,01,0jV

0V 0I

º13,1432265,046,0j

º13,531042,0X

VI

º13,531042,0V

º901816,0 º87,365736,0XIV

M2a

M1a

M1a

M0aM0a

2M2a

201a

−∠=∠∗=

−∠=

−∠+−∠∗=

=⇒=

∠=∠

−=Δ

−=

∠=Δ

∠∗−∠=∗=Δ

&

&

&

&&

&&

&

&&

+

j0,05

E'G

+

I a1

j0,31

j0,25

j0,04

j0,05

j0,04

j0,31VΔ

I a2

I a0

E M

+

j0,1

j0,05 j0,1

Va1M

Va0M

Va2M

+

+

+

I a1M

I a2M

I a0M

Figura 5.41

c) Potencia que llega al motor en estas condiciones

kVA )29,420j63,573(S

kVA º23,36125,7113250.1 º23,367067,1S

)pu( º23,367067,1S

)º13,1432265,0 º87,12602265,0º87,365736,0 º06,19865,00(3S

)IVIVIV(3S

f3

f3

f3

f3

*2a2a

*1a1a

*0a0af3

+=

∠=∗∠=

∠=

−∠∗−∠+∠∗−∠+=

∗+∗+∗=

&

&

&

&

&&&&&&&

d) Corrientes en los neutros de los transformadores en pu

(pu) º87,363473,03,0j

º13,531042,03,0j

VI 0a −∠=∠

=Δ

=&

&

(pu) º87,360419,1º87,363473,0*3I3I 0aNT −∠=−∠=∗= &&

d) Corrientes en los neutros de los transformadores en Amperes

A 48,173160.4310250.1I

3

B =∗∗

= ⇒ A º87,36180,75173,48 º87,360419,1I NT −∠=∗−∠=&

945.6.3. Dos fases abiertas Esta situación se presenta en los mismos casos que una fase abierta, pero con una frecuencia menor. – Diagrama esquemático: La Figura 5.42 muestra esta situación

P Qa

b

c

a'

b'

c'

I

I

I

a aVΔ

VΔ b

VΔ c

b

c

+ -

+

+

-

-

Figura 5.42.- Representación esquemática de una falla de dos fases abiertas – Condiciones impuestas por la falla: A partir de la Figura 5.42, se puede escribir:

0VV 0V

II

0IIII

'aaa

'aa

'c

'bcb

=−⇒=Δ

=

====

&&&

&&

&&&&

(5.80)

– Ecuaciones en componentes de secuencia: Las componentes simétricas de las corrientes y de las

caídas de voltajes quedan:

0VVV

III

2a1a0a

2a1a0a

=Δ+Δ+Δ

==&&&

&&& (5.81)

– Conexión de las mallas: A partir de (5.81), se concluye que las mallas de secuencia quedan

conectadas en serie tal como se indica en la Figura 5.43.

Z 1+-+

-

Ia1

Z2 Ia2

+-Va1Δ

E'A

BE'1Z'

2Z'

P1

Q1

2Q

2P+

-

Z

+

-

I0 a0

Va0Δ0Z'

0P

Q0

ΔVa2

Figura 5.43.- Conexión de las mallas de secuencia para una falla de dos fases abiertas

95De acuerdo con el circuito de la Figura 5.43, este tipo de falla equivale a intercalar una impedancia:

( ) ( )0022pq0 pq2pq20 'ZZ'ZZZZZ +++=+= (5.82) entre estos bornes P1 y Q1 de la malla de secuencia positiva. Con ello se reduce la potencia activa transmitida en el sistema, en una cantidad mayor que para el caso de una fase abierta, ya que la impedancia es mas alta. Nótese que la transmisión se interrumpe totalmente si Z0pq=∞, es decir, si el sistema no está puesto a tierra. 5.6.4. Impedancias serie desequilibradas Un efecto similar, aunque menos grave que el de una o dos fases abiertas, produce la conexión de una impedancia anormal en una de las fases. Es una situación que se presenta, por ejemplo, en el caso de reemplazar temporalmente una unidad monofásica defectuosa en un banco de transformadores, por otra de características diferentes, donde dos de las fases tendrán el mismo valor en su impedancia serie, el que será distinto al de la tercera. Otra situación de interés práctico se presenta cuando, debido a un cortocircuito monofásico a tierra en una línea trifásica, se desconecta la fase fallada por acción de los interruptores (monopolares) que protegen el tramo, que corresponde al caso de una fase abierta en dos puntos. – Diagrama esquemático: La Figura 5.44 muestra esta situación

P Qa

b

c

a'

b'

c'

I

I

I

a

VΔ b

VΔ c

b

c

aVΔ+ -

+

+

-

-

ZA

BZ

BZ

Figura 5.44.- Impedancias series desequilibradas – Condiciones impuestas por la falla: A partir de la Figura 5.44, se puede escribir:

cBc

bBb

aAa

I ZV

I ZV

I Z=V

&&

&&

&&

=Δ

=Δ

Δ

(5.83)

– Ecuaciones en componentes de secuencia: Las componentes simétricas de las corrientes y de las

caídas de voltajes quedan:

)III( )ZZ(31I ZV

)III( )ZZ(31I ZV

)III( )ZZ(31I ZV

2a1a0aBA2aB2a

2a1a0aBA1aB1a

2a1a0aBA0aB0a

&&&&&

&&&&&

&&&&&

++−=−Δ

++−=−Δ

++−=−Δ

(5.84)

– Conexión de las mallas: Considerando las ecuaciones (5.84), las mallas de secuencia quedan

conectadas en paralelo, tal como se indica en la Figura 5.45.

96

Z1

+

-+ -

Ia1

Z

+ -

I2 a2

Z

+ -

I0 a0

+

-

2

Va1Δ

Va0Δ

E'A BE'

1Z'

Z'

0Z'

P1 Q1

2Q2P

0P Q0

ΔVa2

ZB

ZB

ZB

BA1/3(Z - Z )

Figura 5.45.- Conexión de las mallas de secuencia cuando se tiene impedancias serie desequilibrada Para la transferencia de potencia activa, la conexión de las mallas de secuencia en esta forma, equivale a intercalar en la malla de secuencia positiva, la combinación de impedancias ZB en serie con el paralelo de 1/3(ZA - ZB) con (Z2pq + ZB) y con (Z0pq + ZB). Si ZA=∞ y ZB=0, se tiene el caso de una fase abierta en un punto.

Si ZA=0 y ZB=∞, se obtiene el caso de dos fases abiertas, pero para llegar a las relaciones ya vistas hay que calcular primero el equivalente de las impedancias en paralelo, antes de hacer tender ZB a ∞.

Si ZA=∞ y ZB corresponde a las respectivas impedancias de secuencia del tramo, se tiene el caso de una fase abierta en dos puntos.

Problemas propuestos 5.1. Un generador de 65 MVA, 15,5 kV, conectado en estrella alimenta el primario de un transformador de 65 MVA, 15,5/120 kV, conexión Δ/Υ. La reactancia subtransiente del generador es de 0,12 (pu) y la reactancia del transformador es 0,1 (pu), ambas en base 65 MVA. a. Estando el generador en vacío se produce un cortocircuito trifásico simétrico en los terminales del

secundario del transformador. Suponiendo que la tensión interna del generador es 1,0 (pu), determinar la corriente de falla subtransiente y el máximo valor posible de la componente de corriente continua.

b. Se conecta una carga impedancia trifásica balanceada en los terminales del secundario del transformador, de valor (0,8+j0,6) (pu) en base 65 MVA, cuando la tensión en bornes del generador es la nominal. Posteriormente se produce un cortocircuito trifásico simétrico en los terminales de la carga. Determinar la corriente subtransiente de falla en el generador incluyendo la corriente de prefalla.

5.2. En el sistema de la Figura 5.46, todos los datos en por unidad, están en base común. Determinar las corrientes en cada una de las líneas y en los generadores, cuando ocurre un cortocircuito trifásico simétrico a través de un impedancia ZF=j0,04 (pu) en la barra 1, estando el sistema en vacío, utilizando: a. El método tradicional (Thevenin) b. El método general (Matricial)

23j0,04

j0,05 j0,08

j0,05

j0,03

G213,2 kV

220 kV

G3

j0,05

j0,05

220 kV

13,8 kV

1

G1

j0,03j0,02 13,2 kV220 kV

Figura 5.46

975.3. Repetir el Problema 5.2 considerando un cortocircuito trifásico simétrico: a. En la barra 2. b. En la barra 3. 5.4. En el sistema de la Figura 5.47, todos los parámetros están en tanto por unidad, en una base común. Para un cortocircuito trifásico directo en la barra 3 y utilizando el método general, (matricial); determinar los voltajes en todas las barras, las corrientes en las líneas y las corrientes en los generadores. Suponer que el sistema está en vacío antes de producirse la falla.

X=0,3

1 34

X=0,15 X=0,2 X=0,15

2

X=0,1

X=0,2

X=0,05 X=0,05

X=0,05

L LL

1

2

3

G1 G 3

G2

Figura 5.47

5.5. En el sistema de la Figura 5.48 ocurre un cortocircuito monofásico a tierra en la barra de 13,2 kV. Con las aproximaciones usuales del cálculo de cortocircuitos, determinar:

a. cba I e I;I &&& (A) en el punto de falla. b. cba I e I;I &&& (A) en barra de 220 kV

c. cba I e I;I &&& (A) en bornes de G.

d. cba V y V;V &&& (kV) en bornes de G.

220 kV 13,2 kV

100 MVA 100 MVAS =800 MVACC3φ

ΔSistema

YΔ 1S =500 MVA3CC1φ φX =X = X1 2 0

X =X =X =10%1 2 0

G

80 MVAX =X =40%1 2

X =10%0

Datos en % en base 100 MVA

Figura 5.48

5.6. Repetir el Problema 5.5 considerando un cortocircuito bifásico a tierra en la barra de 13,2 kV 5.7. Repetir el Problema 5.5 considerando un cortocircuito monofásico a tierra en la barra de 220 kV 5.8. Repetir el Problema 5.5 considerando un cortocircuito bifásico a tierra en la barra de 220 kV

5.9. En el sistema de la Figura 5.49, ocurre una falla monofásica a tierra en la barra 2. Con las consideraciones usuales del cálculo de cortocircuitos y considerando que todos los datos en % están en base propia, determinar: a. La corriente de falla en Amperes b. Los voltajes entre líneas en kV, en el punto de falla c. Las corrientes en Amperes en bornes de G1 y G2 d. La corriente en Amperes, en los neutros de los transformadores y de los generadores e. Las corrientes de secuencia cero en Amperes, en el interior de la delta de los transformadores

1 2 3 4

50 MVA75 MVA 75 MVA 50 MVA

X =X =20%1 2 15/115 kVX =5%0 X =5%0

X =X =40%1 2X =120%0

115/15 kV X =X =20%1 2

G1 2G

YΔ1

15 kV

X =X =X =10%1 2 0 X =X =X =10%1 2 0

Δ

15 kV

Δ

ΔY1

Línea 2-3

Figura 5.49

985.10. Resuelva el problema 5.9, considerando una falla bifásica a tierra. 5.11. En el sistema de la Figura 5.50, los valores en % de los parámetros están en la base propia de cada equipo. El sistema se encuentra en vacío cuando ocurre un cortocircuito monofásico en el secundario del transformador conectado al generador G1. Determinar: a. La corriente de falla en Amperes y la tensión en el punto de falla en Volt. b. El valor que debería tener una resistencia de falla que limite la corriente de falla máxima a un 40% de

su valor original.

1

3

4 2

L

L1

3

L2G1 G

G

2

Δ

Δ

DY1

0YY

X =X =70 Ohm1 2X =100 Ohm0

L =L =L1 2 3

X =X =30%1 2X =20%

13,2 kV

0

20 MVA

3

13,2/60 kV50 MVA

0X =X =X =10%1 2X =X =25%1 2

X =20%

13,2 kV20 MVA

0X =10%n

60/13,2 kV70 MVA

0X =X =X =12%1 260/13,2 kV50 MVA

0X =X =X =10%1 2

X =X =30%1 2X =20%

13,2 kV

0

20 MVA

DY1

X n

Figura 5.50 5.12. En el sistema de la Figura 5.51 a) se produce una falla en F, del tipo mostrado en la Figura 5.51 b). Los parámetros están en tanto por unidad, en base común, 20 MVA. Determinar: a. La interconexión de las mallas de secuencia que permita representar dicha falla b. Las corrientes de falla en Amperes. c. Los voltajes entre líneas en el punto de falla en kV.

F

X = 15%1

X =3%0

G

11 kVX = X =X = 4%p1 p2 p0

Δ

X = X =X = 6% s1 s2 s0X = X =X = 9% t1 t2 t0

X = 10%2

P T S20 MVA20/10/15 MVA

Figura 5.51 a)

a

b

c

ZF

Figura 5.51 b) 5.13. Un generador alimenta un motor a través de un transformador conectado en Y/Δ. El generador está conectado al lado en estrella del transformador. Se produce una falla entre los terminales del motor y el transformador. Las componentes simétricas de la corriente que circulan desde el motor hacia la falla: son

0,3jI e 0,2jI ;6,2j8,0I 0a2a1a −=−=−−= &&& . Desde el transformador hacia la falla, las corrientes son:

0I e 0,1jI ;4,0j8,0I 0a2a1a =−=−= &&& . Todos los valores están en por unidad, base común. Suponer que X1=X2 para el motor y el generador. Determinar: a. El tipo de falla b. La corriente previa a la falla en la fase a c. La corriente de falla.

995.14. Una carga cuya impedancia Zc=(1,1 + j 0,6) (pu) se conecta entre las fases “b” y “c” de un generador de 20 MVA, 13,8 kV; X1=25%; X2=35%; X0=10%. En estas condiciones y considerando que todos los parámetros están en base 20 MVA, determinar las tensiones entre líneas del generador (en volt). 5.15. Las reactancias de un generador de 100 MVA, 20 kV son: X1=X2=20%, X0=5%. El generador está conectado a un transformador ΔY1 de 100 MVA, 20/230 kV con una reactancia del 10%. El neutro del transformador está sólidamente aterrizado. El voltaje en terminales del generador es de 20 kV cuando ocurre una falla bifásica (entre las fases b y c) y a tierra en el lado del alto voltaje del transformador. Calcular: a. Las corrientes y voltajes de secuencia en el punto de falla (pu) b. Las corrientes de línea (A) y los voltajes entre líneas en el punto de falla (kV) c. La corriente en todas las fases del generador (A) d. La corriente en el neutro del transformador (A) e. La corriente de secuencia cero en la delta del transformador (A) 5.16. Se tiene un transformador trifásico de tres enrollados, con carga desequilibrada, tal como se muestra en la Figura 5.52. Las tensiones nominales son: 6.600/660/2.200 volt (P/T/S). Considerando que la corriente en la carga A º090Ia ∠=& , calcular la corriente en cada fase del primario y la corriente en el terciario.

Figura 5.52

5.17. En el sistema de la Figura 5.53, se abren las fases “b” y “c” en la barra 4 (bornes del motor) cuando el motor M está recibiendo el 80% de su potencia nominal, con su tensión nominal en bornes, Factor de Potencia 0,8 inductivo. Calcular la potencia recibida por el motor (kVA) y las corrientes en los neutros de los transformadores en estas condiciones. Datos en % en base común 1.250 kVA.

1 2 3 4

1.250 kVA1.250 kVA 1.250 kVA 1.250 kVA

X =X =10%1 2 600/4.160 VX =4%0 X =4%0

X =X =16%1 2X =50%0

4.160/600 V X =X =10%1 2

1G

YΔ1

600 V

X =X =X =5%1 2 0 X =X =X =5%1 2 0

Δ

600 V

Δ

ΔY11

Línea 2-3

X' =1

M

Figura 5.53 5.18. Un generador, está entregando 90 MW (en sus bornes), Factor de Potencia 0,9 inductivo a un motor, a través de un transformador cuando se abren las fase "b" y "c" en bornes del motor (secundario del transformador). La tensión en bornes del Generador en ese instante era de 13.860 volt (entre líneas). Los datos en tanto por unidad, con SB=100 MVA, son los siguientes: Generador: 13,2 kV; 100 MVA, X1=X'd=0,3; X2=0,1; X0=0,04. Conexión: Estrella con neutro a tierra Transformador: 13,2/6,6 kV, 100 MVA, X1=X2=X0=0,1. Conexión Delta-Estrella con neutro a tierra: ΔY1 Motor: 100 MVA; 6,6 kV; X'd=X1=X2=0,1; X0=0,04. Conexión: Estrella con neutro a tierra Determinar la potencia activa (MW) y reactiva (MVAr) que recibe el motor en estas condiciones. 5.19. El sistema de la Figura 5.54 está trabajando en las condiciones indicadas, esto es, el motor está recibiendo una potencia de 100 MW, Factor de Potencia 0,95 inductivo a tensión nominal en bornes, cuando es necesario cambiar el transformador de la fase “a” del banco trifásico. El nuevo transformador monofásico

100es de 40 MVA, pero su reactancia es del 7% en base propia. Determine las corrientes que circulan por las líneas, en estas condiciones. Los datos están en base común 120 MVA.

G

01 2X = X = X =4%Cada T/F Monofásico

40 MVA

X' = X = 15%1d120 MVA

Banco trifásico formado por3 Unidades Monofásicas2X = 10%

0X = 6%

Xn

X = 1,5%n

M

21X = X =10%120 MVA

0X = 6%

Figura 5.54

5.20. El sistema de la Figura 5.55, está trabajando en las condiciones indicadas, esto es, la carga, conectada en estrella con neutro a tierra, está recibiendo la potencia de (80+j60) MVA a voltaje nominal en sus bornes, cuando se abre la fase “a” en este punto. Representando la carga como una impedancia constante, con Z1C=Z2C=Z0C, determine los voltajes cba V y V;V &&& en los bornes del generador en estas condiciones. Los datos están en base 100 MVA.

G

01 2X = X = X =10%100 MVAX' = X = 20%1d

100 MVA

2X = 10%0X = 5%

Xn

X = 3%n

Δ V=100%

(80+j60) MVA

ΔY11

Figura 5.55

CAPITULO 6

ESTABILIDAD 6.1. Introducción Se dice que un sistema de potencia está en una condición de operación de estado estable si todas las cantidades físicas que se miden (o se calculan) y que describen la condición de operación del sistema, se pueden considerar constantes para propósitos de análisis. Si, cuando se está en una condición de estado estable, ocurre un cambio repentino o una secuencia de cambios en uno o más parámetros del sistema o en una o más de sus cantidades de operación (variables), se dice que el sistema experimenta un disturbio o una perturbación de su condición de operación de estado estable. Las perturbaciones pueden ser grandes o pequeñas de acuerdo con su origen. Una perturbación grande es aquella para la cual las ecuaciones no lineales que describen la dinámica del sistema de potencia no se pueden linealizar de forma válida para propósitos de análisis. Las fallas en los sistemas de potencia, los cambios repentinos y grandes de carga, la pérdida de unidades generadoras y las maniobras en líneas son ejemplos de perturbaciones grandes y se estudian bajo el nombre de estabilidad transitoria. Los estudios de estabilidad transitoria, normalmente se hacen en base a la primera oscilación lo que significa considerar un tiempo de hasta un segundo. Si el sistema de potencia está operando en una condición estable y experimenta un cambio que puede ser analizado de manera apropiada a través de versiones linealizadas de sus ecuaciones dinámicas, se dice que ha ocurrido una perturbación pequeña. Como ejemplos, podemos mencionar, un cambio pequeño y gradual de carga, un cambio en la ganancia de un regulador automático de voltaje en el sistema de excitación de una gran unidad generadora, etc.; los que se estudian bajo el nombre de estabilidad permanente. Los estudios de estabilidad permanente consideran múltiples oscilaciones lo que significa tiempos bastante mayores que los de la estabilidad transitoria (del orden de los minutos) y por lo tanto, en algunos casos pueden ser importantes los efectos de los sistemas de control de las unidades generadoras. En resumen entonces, la estabilidad es la propiedad de un SEP o de sus partes componentes de mantener un estado de equilibrio (sincronismo), cuando ha sido sometido a acciones perturbadoras. El concepto puede ser aplicado a una o un grupo de máquinas sincrónicas para señalar la condición de que ellas permanecen en sincronismo respecto de otras cuando se producen perturbaciones. 6.2. Estabilidad transitoria 6.2.1. Objetivos Los estudios de estabilidad transitoria suministran la información necesaria para conocer la capacidad de un SEP de permanecer en sincronismo durante grandes perturbaciones tales como: cambios bruscos momentáneos o sostenidos de grandes cargas, pérdidas de generación, pérdida de líneas importantes y fallas tipo cortocircuitos y fases abiertas. Específicamente se obtienen: − en las máquinas síncronas: Los cambios de tensión, corriente y potencia, velocidad y torque.

− en la red del SEP: Los cambios en las tensiones de las barras y en el flujo de potencia a través de las líneas.

6.2.2. Suposiciones básicas para los estudios simplificados de estabilidad transitoria − Usualmente, los generadores se analizan individualmente. Sin embargo, en sistemas multimáquinas se

pueden concentrar grupos de ellos (máquinas equivalentes) para realizar los estudios. El comportamiento de cada generador se describe mediante una ecuación diferencial, denominada

102

ecuación de oscilación. Cada generador se representa por una fem constante tras la reactancia transitoria.

− Como variable fundamental se emplea la posición angular del rotor δ.

− Debido a la gran inercia de las máquinas, las variaciones de velocidad son pequeñas, por lo que los elementos estáticos del SEP (líneas, transformadores, etc.) se suponen operando a frecuencia nominal y las tensiones, corrientes y potencias se calculan mediante ecuaciones algebraicas.

− Los motores síncronos se representan como una máquina más.

− Generalmente no se consideran los efectos de amortiguación.

− En el caso de una perturbación balanceada, las ecuaciones algebraicas de acoplamiento son las correspondientes al flujo de potencias. Si la perturbación es no balanceada, se deben emplear las ecuaciones correspondientes a la secuencia positiva, modificando convenientemente la red equivalente del SEP según el tipo particular de perturbación. Esto significa que en fallas asimétricas, se utiliza la malla de secuencia positiva, agregándose las de secuencia negativa y cero según corresponda.

6.2.3. Ejemplo Ilustrativo Consideremos un generador de rotor cilíndrico suministrando potencia a una barra infinita a través de una línea de doble circuito, tal como se muestra en la Figura 6.1, donde:

E' : Tensión interna del generador (tensión inducida) XA : Reactancia total entre la tensión E' del generador y la de la barra infinita V, con ambas

líneas conectadas. XB :Reactancia total entre las tensión E' del generador y la de la barra infinita V, con una línea desconectada.

G

X'd

Pg

V 0º

Barra infinitaE' δ

Figura 6.1.- Sistema generador-linea-barra infinita Las ecuaciones potencia ángulo para cada caso son:

δ=

δ=

sin X

'E VP

sin X

'E VP

BgB

AgA

(6.1)

La Figura 6.2 muestra las curvas potencia ángulo para las ecuaciones (6.1).

Supongamos que inicialmente el generador está entregando una potencia Pg0 correspondiente a un ángulo δ0 (curva PgA). Si en estas condiciones se corta bruscamente una línea, entonces el generador pasa a operar según la curva PgB. Debido a la inercia del rotor, el ángulo δ no puede cambiar instantáneamente y en consecuencia el punto inicial de operación en la curva PgB es a0 y el generador entrega una potencia P1 ⟨ Pg0. Como la potencia motriz no ha disminuido, existe un ΔP = Pg0 - P1 ⟩ 0 que acelera el rotor por sobre la velocidad sincrónica, alcanzándose un punto tal como a1 en el cual la velocidad es aún mayor que la sincrónica y en consecuencia este punto es sobrepasado pudiéndose llegar al punto a2 o bien al punto a3.

103

PP

P1

23

PP g0=

PgA

PgB

Pg

δπ/2 ππ−δ δ δ0 δ1 δ2 3 1

a0

a1

a2

a3M

Fmec

Figura 6.2.- Curvas potencia-ángulo, para el sistema de la Figura 6.1

En estas condiciones el generador suministra mayor potencia que la recibida de la máquina motriz a expensas de su energía cinética, o sea existe:

)-( /2 para 0 PPP

/2 para 0 PPP

130g

20g

δπ⟨δ⟨π⟨−=Δ

π⟨δ⟨−=Δ (6.2)

Se produce entonces una desaceleración y el generador vuelve al punto M si había llegado al punto a3, pero aún ΔP ⟨ 0 y el rotor continua desacelerándose (ya bajo la velocidad sincrónica), alcanza y sobrepasa el punto a1 produciéndose ahora una ΔP ⟩ 0 que acelera nuevamente el rotor. El resultado de este proceso es una serie de oscilaciones alrededor del punto a1, las que se van amortiguando a medida que transcurre el tiempo debido a factores tales como: acción electromagnética, fricción, etc.; hasta que se alcanza el punto de equilibrio (Pg0, δ1). En estas condiciones se dice que el sistema generador-línea-barra infinita tiene "estabilidad transiente". Supongamos ahora que debido a la falla, el generador se acelera de tal forma que alcanza y sobrepasa el punto F correspondiente al ángulo π-δ1. En este caso, al sobrepasar el punto F, el generador queda sometido a un ΔP ⟩ 0 y continua acelerándose hasta que pierde el sincronismo. De lo anterior se concluye que el sistema generador-línea-barra infinita tiene "inestabilidad transiente" al sobrepasar el punto F. Luego, el límite de estabilidad transiente está en δ = π - δ1 Si δ ⟨ (π - δ1) ⇒ Operación estable después de un cierto número de oscilaciones Si δ ≥ (π - δ1) ⇒ Operación inestable Puesto que un ángulo δ1 de operación se alcanza después de un tiempo determinado, el análisis anterior puede visualizarse también a partir de la denominada "curva de oscilación" (Figura 6.3), para lo cual es necesario resolver la "Ecuación de oscilación" que se estudiará más adelante.

104

Inestable

Estable

δ

δ

δ

t

π − δ1

1

0

Figura 6.3.- Curvas de oscilación de una máquina síncrona 6.2.4. Ecuación de oscilación de una máquina síncrona Consideremos el i-ésimo generador de un SEP que contiene m unidades de la Figura 6.4, donde: Pmi : Potencia mecánica suministrada al generador, vía eje del rotor. Pgi : Potencia eléctrica generada y suministrada a la red, vía barras del SEP. − Si Pmi = Pgi, el generador funciona a velocidad constante

− Si Pmi ≠ Pgi, la diferencia de estas potencias se empleará en : a. Modificar la energía cinética o la velocidad de la unidad motriz-generador.

b. Vencer el torque de amortiguación que se desarrolla fundamentalmente en los enrollados de amortiguación de la máquina.

Generador

Pmi

Pgi

Figura 6.4.- Generador i en un sistema de m unidades Es decir:

Diigimi P)EC(dtdPP +=− (6.3)

donde:

ECi

: Energía cinética de la máquina i PDi : Potencia de amortiguación de la máquina i

105

Energía cinética ECi: representa la energía cinética total de la unidad i. Se expresa habitualmente en Megawatt-segundo (MW-s) o MegaJoule (MJ) de acuerdo a la expresión (6.4).

2ii2

1i JEC ω= (6.4)

Ji : Inercia de la i-ésima máquina ωi : Velocidad angular del generador i Derivando ECi respecto al tiempo y haciendo Mi = Ji ωi se obtiene

2i

2

ii

iii t ddM

dtd J)EC(

dtd θ

=ω

ω= (6.5)

donde: θi : Posición angular del rotor de la máquina i respecto a un eje fijo en grados o radianes

eléctricos. Mi : Momento angular del Máquina i Se ha determinado que es más conveniente medir la posición angular del rotor θi y su velocidad angular ωi respecto a un eje de referencia que gira a velocidad sincrónica, que hacerlo respecto a un eje estacionario. De este modo, si consideramos la Figura 6.5, donde ωs es la velocidad sincrónica y δi es el desplazamiento angular del rotor respecto al eje que gira a la velocidad sincrónica, se puede escribir:

tsisii ω+δ=θ+δ=θ (6.6) y por lo tanto:

2i

2

iit d

dM)EC(

t dd δ

= (6.7)

θ

θ

δ ii

s tω= s

ωs

Tmi

giT

Figura 6.5.- Representación esquemática de un generador síncrono Torque o potencia de amortiguación: A medida que la velocidad del rotor se desvía respecto a la sincrónica, se inducen corrientes en los enrollados de amortiguación del rotor que desarrollan un torque resistente. Este torque resistente aumenta con la velocidad relativa (dδi/dt) y usualmente se supone proporcionalidad entre el torque o la potencia PDi y la velocidad, a través de un parámetro positivo Di del generador medido en MW/(rad elect/seg) o sea:

t d d

DP iiDi

δ= (6.8)

106

Por lo tanto, la ecuación de oscilación de la máquina i queda:

t d dD

t d dMPP i

i2i

2

igimiδ

+δ

=− (6.9)

Debido a que el trabajo básico del enrollado de amortiguación es suministrar un torque extra de estabilización, normalmente se desprecia su efecto en la ecuación de oscilación. De este modo se obtienen resultados más seguros en el análisis y se simplifican los cálculos. Según esto, la ecuación de oscilación es:

2i

2

igimiait d d

MPPPδ

=−= (6.10)

donde gimiai PPP −= , es la potencia de aceleración. Constante de Inercia H: Se define como la razón entre la energía cinética almacenada por la máquina girando a velocidad síncrona y la potencia aparente nominal de la máquina. Es decir:

i

ii G

ECH = (6.11)

Donde Gi es la potencia aparente nominal de la máquina. Si ECi se mide en MegaJoule y Gi en MVA, H resulta medida en segundos. El valor de H varía muy poco con el tamaño de la máquina (2-8 segundos); en cambio M depende del tamaño y tipo de máquina, por lo que se prefiere utilizar H en la ecuación (6.10). A partir de (6.4) y considerando (6.11), se puede escribir:

iiii212

ii21

i GHMJEC =ω=ω= (6.12) de donde se obtiene:

f 180HG

f HG

HG

M iiii

i21

iii =

π=

ω= (6.13)

Según el ángulo δi se mida en radianes eléctricos o grados eléctricos, respectivamente y donde f representa la frecuencia de operación del sistema. Por lo tanto la ecuación (6.10) queda:

2i

2ii

gimiai t d d

f 180HGPPP δ

=−= (6.14)

Con δi medido en grados eléctricos. La expresión (6.14) puede expresarse en tanto por unidad base propia, dividiéndola por la potencia aparente nominal de generador. De esta forma se tiene finalmente:

2i

2i

gimiai t d d

f 180H)pu(P)pu(P)pu(P δ

=−= (6.15)

La potencia eléctrica entregada por el generador durante la perturbación depende de la fem detrás de la reactancia transitoria E' y de la corriente I, de manera que:

{ }*gi I 'E alReP &= (6.16)

La corriente I depende del comportamiento de toda la red eléctrica. Como la potencia mecánica permanece prácticamente constante mientras no se modifique el control de velocidad (en el primer segundo)

107

las variaciones de frecuencia son pequeñas, de manera que se puede suponer sin gran error que todos los elementos estáticos del sistema (líneas, transformadores, etc.) operan en condiciones cuasi estacionarias, hecho que simplifica los cálculos. En vez de la corriente I puede usarse también la tensión en bornes V (o la tensión constante en alguna otra barra cercana). 6.2.5. Ecuaciones de oscilación en un sistema multigenerador Consideremos un SEP alimentado por m generadores como se indica en la Figura 6.6, donde se supone que las reactancias transientes de los generadores están incluidas en la red pasiva del sistema. Empleando el método nodal de resolución de circuitos, para la red de un SEP de m barras (nudos) se puede escribir:

[ ] [ ][ ]BBB E YI = (6.17)

donde: [ ]BI es el vector de corrientes inyectadas en las barras; [ ]BE vector de tensiones de barras e [ ]BY es la Matriz de admitancia de barras, que se pueden escribir como:

[ ] [ ] tmi21B I···I···III &&&&=

(6.18)

[ ] [ ] t'm

'i

'2

'1B E···E···EEE &&&&= (6.19)

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mmmi2m1m

imii2i1i

m2i22221m1i11211

B

Y···Y···YY

Y···Y···YY

Y···Y···YYY···Y···YY

Y

MMMM

MMMM (6.20)

E'

E'

E'

E'

1

2

i

mI

I

I

I

1

2

i

m SEP

PASIVA

RED

DEL

Figura 6.6.- Sistema multigenerador Considerando las ecuaciones (6.17) a (6.20), se puede escribir:

∑=

=+++++=m

1j

'jij

'mim

'iii

'22i

'11ii EYEY ····· EY ····· EYEYI &&&&&& (6.21)

por lo tanto, la potencia compleja suministrada por el i-ésimo generador es:

∑=

==+=m

1j

*'j

*ij

'i

*i

'igigigi EYEIEjQPS &&& (6.22)

108

suponiendo que:

j'j

'j EE δ∠=& ijijij YY ϕ∠=& (6.23)

Se tiene que:

∑=

ϕ−δ−δ∠=+m

1jijjiij

'j

'igigi )( YEEjQP (6.24)

de donde:

∑=

δ−δ+ϕ=m

1jijijij

'j

'igi )cos(YEEP

(6.25)

Es decir, la potencia suministrada a la red por una unidad cualquiera, depende de las posiciones angulares δj de todo el resto de los generadores, además de la propia δi, ambas funciones del tiempo. La admitancia Yij sufre cambios discontinuos debido a los cambios topología de la red (prefalla, en falla, falla despejada, reconexión, etc.) En el cálculo de Pgi se ha supuesto que las velocidades de las máquinas permanecen constantes, en consecuencia se tendrá un sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas de la forma:

2m

2

mmi21gmmm

2i

2

imi21gimi

22

2

2mi212g2m

21

2

1mi211g1m

tdd

M),·····,,·····,,(PP

tdd

M),·····,,·····,,( PP

tdd

M),·····,,·····,,(PP

tdd

M),·····,,·····,,(PP

δ=δδδδ−

δ=δδδδ−

δ=δδδδ−

δ=δδδδ−

(6.26)

En general, la solución del sistema de ecuaciones diferenciales anterior resulta laboriosa, aún para el caso simplificado de representación de los generadores aquí supuestos. 6.2.6. Estudio de la ecuación de oscilación de un generador conectado a una barra infinita Esta situación, si bien es cierto, es la más simple posible, tiene importancia desde un punto de vista didáctico y práctico ya que muchas situaciones reales pueden ser reducidas a esta forma simple equivalente. Según (6.15) , la ecuación de oscilación en este caso es de la forma:

2

2

2

2

gma tdd

f 180H

tddMPPP δ

=δ

=−= (6.27)

donde Pa ,Pm , Pg y M están en “tanto por unidad” y δ en grados eléctricos. – Potencia mecánica suministrada al generador: Los cambios de Pm dependen enteramente de la

acción de los controles potencia-frecuencia. En el instante de la perturbación e inmediatamente después hasta el lapso de 1 segundo aproximadamente, la potencia de la máquina motriz Pm es sustancialmente constante, o sea:

mmm P)0(P)0(P == +− (6.28)

109

– Potencia suministrada por el generador durante la perturbación al sistema: En régimen permanente, la potencia activa suministrada por un generador de polos cilíndrico o de polos salientes está dada respectivamente por:

δ−

+δ=

δ=

2sinVXX2XX

sinXEVP

sinXEVP

2

qd

qd

dg

dg

(6.29)

En los estudios simplificados de estabilidad transiente, para calcular la potencia activa suministrada por un generador, ya sea de polos cilíndricos o de polos salientes, se utiliza el circuito equivalente aproximado que se muestra en la Figura 6.7, en cuyo caso:

jX 'd

+

-

+

-

VE'

Figura 6.7.- Circuito equivalente de una máquina síncrona para estudios de estabilidad transiente

δ= sin'XV'EPd

g

(6.30) – Análisis de la ecuación de oscilación: Supongamos por ejemplo, que la línea que une el generador y

la barra infinita (o sea el resto del sistema) sufre un cortocircuito trifásico. Los relés de protección harán desconectar la línea y una fracción de segundo después, la línea será reconectada. Suponiendo que la falla ha terminado se volverá a la situación original o se producirá el fenómeno de inestabilidad según sea la situación que corresponda y que se analizará luego. Consideraremos dos períodos:

• Durante la falla: En este período Pg=0 y Pm=constante y la ecuación (6.27) queda:

2

2

m td

dMP δ= (6.31)

La solución de esta ecuación diferencial, considerando que en t=0, δ = δ0 y dδ/d t = 0, queda:

2m0 t

M2P

)t( +δ=δ (6.32)

En la Figura 6.8 se ha dibujado esta solución, donde se aprecia que la máquina aumenta indefinidamente su ángulo de torque. En consecuencia se producirá una aceleración brusca de la máquina, perdiéndose rápidamente el sincronismo, si no se elimina la causa; es decir si no actúan las protecciones. • Reconexión de la línea: Inmediatamente después que se reconecta la línea (y suponiendo que la falla

ha sido eliminada) la potencia Pg pasa bruscamente al punto “a” de la Figura 6.8, en que:

rg sinXV'EP δ= (6.33)

110

X corresponde a la reactancia existente entre E' y V es decir, incluye la reactancia de la línea. Se establece entonces una potencia desacelerante Pdes que depende de δ, es decir:

δ−= sinXV'EPP mdes (6.34)

PP g0méc =

Pg

δ

t

π/2δ0 δ lím π

a

t

t

p

r

δ δp r

sin reconexión

con reconexión

Figura 6.8.- Solución de la Ecuación de oscilación para una máquina síncrona

Por lo tanto, la ecuación de oscilación en este período es:

2

2

m td

dMsinXV'EP δ

=δ− (6.35)

que no tiene solución analítica simple y en su resolución se deben utilizar métodos numéricos, pero se comprende que δ crecerá a menor velocidad y que el resultado final depende del instante de reconexión. Si la reconexión ocurre oportunamente δ deja de crecer y a pesar de que δlím ⟩ π/2, se conserva el sincronismo, tal como se muestra en la Figura 6.8. Es conveniente hacer notar que en muchos casos, durante la falla, el generador sigue suministrando potencia (cortocircuitos monofásicos, bifásicos, fases abiertas), es decir, Pg ≠ 0 durante este período y por lo tanto, la ecuación de oscilación en esta etapa, tendrá la misma forma indicada en (6.35). Ejemplo 6.1. El sistema de la Figura 6.9 está entregando la potencia indicada a la barra infinita, cuyo voltaje es el nominal, cuando se produce un cortocircuito monofásico a tierra en el punto P (al medio de la línea). La falla es despejada simultáneamente por ambos interruptores (en forma monopolar). Determine las ecuaciones de Pg(δ) antes de falla, en falla y en falla despejada. Todos los datos en % están en base 50 MVA.

LíneaV

X =X =X =5%1 2 0

ΔΔ X =X =20%1 2X =20%0

PBarra

Infinita

(50+j20) MVA

X =X =X =5%1 2 0X =10%0

X' =X =30%d 1X =15%2

1 2

E'

Figura 6.9

111

Solución:

a) Antes de falla o en condiciones de prefalla: El circuito equivalente por fase se muestra en la Figura 6.3 En el circuito de la Figura 6.10, con ,º01V ∠=& se tiene:

δ=δ∗=δ∗∗

=

∠=−∠∗+∠=

−∠=∠

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

sin 2958,2 sin6,0

1*3775,1 sin X

V 'EP

º82,253775,1º8,21077,16,0jº01'E

º8,21077,1º014,0j1

VSI

abgAF

*

&

&

+

j0,2j0,05j0,3 j0,05

E'

I+

V

a b

Figura 6.10

b) En falla: Las mallas de secuencia cero y negativa se muestran en las Figuras 6.11 y 6.12. - Secuencia cero

j0,1j0,05

j0,1

j0,1 j0,05

X0

Figura 6.11

Las impedancias de secuencia cero y negativa son respectivamente:

(pu) 1,015,03,015,03,0X

)pu( 075,0215,0X

2

0

=+∗

=

==

Estas reactancias se agregan a la malla de secuencia positiva en serie en el punto de falla, tal como se indica en la Figura 6.13

- Secuencia negativa

j0,1j0,05j0,15 j0,1 j0,05

X2

Figura 6.12

- Malla de secuencia positiva incluyendo las impedancias de secuencia cero y negativa

+

j0,1j0,05j0,3

E'

+V

j0,1 j0,05

jX0

jX2

a b

Figura 6.13

La reactancia Xab se encuentra utilizando la expresión de transformación de estrella a delta en la Figura 6.13; es decir:

9857,0175,0

45,0175,0175,015,015,045,0Xab =∗+∗+∗

=

δ=δ∗∗

=δ∗∗

= sin 3975,1 sin9857,0

13775,1 sin X

V 'EPab

gF

c) En falla despejada: Queda una fase abierta en dos puntos. Las mallas de secuencia cero, negativa y positiva son las indicadas en las Figuras 6.14 a 6.16

112

- Secuencia cero

j0,05

j0,1

j0,05P0 Q0

Figura 6.14

Las mallas de secuencia quedan conectadas tal como se muestra en la Figura 6.17, que corresponde a la Figura 4.45, donde:

05,0jZZ

05,0jZ ;2,0jZ

05,0jZ ;35,0jZ

VE y EE

'00

'22

'11

'B

''A

==

==

==

==

- Secuencia negativa

j0,05j0,15 j0,05P2 Q2

Figura 6.15

- Malla de secuencia positiva

+

j0,05j0,3

E'+

V

P1 j0,05a bQ1

Figura 6.16

ZA=∞ y ZB corresponde a la impedancia de la línea que está abierta en dos puntos (se abrieron los dos interruptores simultáneamente); es decir:

)pu( 2,0jjXjXjXZ 021B ==== Por lo tanto, la reactacia Xab entre E’ y V queda:

'1B'

0B0'2B2

'0B0

'2B2

1ab XX)XXX()XXX()XXX()XXX(

XX +++++++

++∗+++=

++++++++∗++

+=)05,02,005,0()05,02,02,0()05,02,005,0()05,02,02,0(35,0Xab

78,005,02,0 =++

δ=δ∗∗

=δ∗∗

= sin 766,1 sin78,0

13775,1 sin X

V 'EPab

gFD

Z1

+ -

Ia1

Z

+ -

I2 a2

Z

+

I0 a0

Va1Δ

Va0Δ

1Z'

2Z'

0Z'

P1 Q1

2Q2P

0P-Q0

ΔVa2

ZB

ZB

ZB

BA1/3(Z - Z )

+

-BE'

b+

-E'A

a

Figura 6.17

6.2.7. Algunos métodos de solución de la Ecuación de Oscilación

Existen diferentes métodos para la evaluación numérica de las ecuaciones planteadas en (6.35), tales como Punto a Punto, Euler, Euler Modificado, Runge-Kutta, etc. La mayoría de ellos son prácticos solamente cuando se emplean computadores, sobre todo si se estudia sistemas de gran tamaño. Se trata de determinar δ como función de t, graficando la respuesta y de esta forma saber si el sistema es estable o no. Se estudiará a continuación algunos de ellos, con el fin de ver sus características y posibilidades de aplicación. a. Método punto a punto (Solución por partes): Es un método simple, que permite realizar cálculos a mano y por lo tanto es aplicable sólo a sistemas pequeños. Se divide el tiempo total de estudio en n intervalos

113

de duración Δ t segundos cada uno, tal como se indica en la Figura 6.18. Generalmente se utiliza un Δ t = 0,05 segundos y el cálculo se hace bajo las siguientes suposiciones:

– La potencia de aceleración determinada al comienzo de un intervalo, es constante desde la mitad del intervalo anterior hasta la mitad del intervalo considerado. En algunos casos, en vez de la potencia de aceleración se emplea la aceleración angular.

– La velocidad angular es constante en cada

intervalo e igual al valor calculado para la mitad del mismo.

Por supuesto, ninguna de las condiciones anteriores es exacta ya que δ está cambiando continuamente y tanto Pa como ω' son funciones de δ. A medida que el intervalo de tiempo disminuye, la curva de oscilación calculada de esta forma se hace más exacta.

La Figura 6.18 ayuda a visualizar estas suposiciones. La potencia de aceleración se calcula en los puntos encerrados en círculos en los extremos de los intervalos n-2, n-1 y n, que son los comienzos de los intervalos n-1, n y n+1 respectivamente. La velocidad angular ω' corresponde a dδ/dt, es decir al exceso de la velocidad angular de la máquina, sobre la velocidad síncrona ωs. Entre las ordenadas n-3/2 y n-1/2 hay un cambio de velocidad originado por la potencia de aceleración constante.

Pa,n-1Pa,n-2

a,nP

aP

t

SupuestoReal

n-2 n-1 n ω '

ω 'n-1/2ω 'n-3/2

n-3/2 n-1/2 t

ω 'Δ

RealSupuesto

δΔ n

n-1

δ

n

Δ n-1δ

tn-2 Figura 6.18.- Valores supuestos y reales de Pa, ω' y δ

El cambio de velocidad es igual al producto de la aceleración por el intervalo de tiempo:

t PH

f 180t td

d'' 1n,a2

2

2/3n2/1n Δ=Δδ

=ω−ω −−− (6.36)

La variación del ángulo δ en un intervalo cualquiera es igual al producto de la velocidad ω' en el intervalo por el tiempo. Así, el cambio de δ durante el intervalo n-1 es

t ' 2/3n2n1n1n Δω=δ−δ=δΔ −−−− (6.37)

y durante el intervalo n

t ' 2/1n1nnn Δω=δ−δ=δΔ −− (6.38) Restando (6.37) a (6.38) e introduciendo el resultado en (6.36), se obtiene:

21n,a1nn )t (

Hf 180=kcon P k Δ+δΔ=δΔ −− (6.39)

114

Luego:

n1nn δΔ+δ=δ − (6.40)

La ecuación (6.40) permite obtener δ como función del tiempo o sea corresponde a la solución paso a paso de la ecuación de oscilación. Por otra parte, la velocidad ω' se puede determinar a partir de (6.39), dividiendo por Δt y se obtiene:

1n,a1nn Pt

k'' −− Δ+ω=ω (6.41)

• Discontinuidad en la potencia de aceleración: Cuando ocurre una falla, se produce una discontinuidad en la potencia de aceleración Pa que tiene un valor cero antes de la falla y un valor distinto de cero después de ésta. Esta discontinuidad ocurre al comienzo del fenómeno (cuando t = 0). Lo mismo sucede cuando se producen aperturas de interruptores, reconexiones, etc. Teniendo en cuenta que este método supone que la potencia de aceleración calculada al comienzo del intervalo es constante desde la mitad del intervalo anterior hasta la mitad del intervalo que está siendo considerado y que en este caso se tiene dos valores distintos para la potencia acelerante, se debe tomar el valor promedio de estos valores como la potencia acelerante constante. En general, para una discontinuidad en un tiempo t se tiene:

2)t(P)t(P

)t(P aaa

+− += (6.42)

En el caso en que la discontinuidad ocurra en el punto medio del intervalo no hay necesidad de emplear (6.42) pues el método contempla una discontinuidad justamente en ese punto. En otro caso, conviene aproximar al más cercano, esto es, al comienzo o al medio del intervalo, según corresponda. Ejemplo 6.2. Las ecuaciones de Pg=Pg(δ) de un sistema generador-barra infinita son las siguientes: PgAF=3 sin δ (pu); PgF=0,5 sin δ (pu) y PgFD=1,5 sin δ (pu). La potencia mecánica de entrada es de 1,2 (pu), la frecuencia es de 50 Hz y la constante de inercia es de 4 seg. Si la falla se despeja a los 0,2 seg de iniciada y se realiza una reconexión exitosa 0,15 seg después del despeje: a. Dibujar las curvas de Pg=Pg(δ), indicando en forma aproximada, las áreas acelerantes y desacelerantes. b. Determinar (utilizando exclusivamente la curva de oscilación) si el sistema es estable,. Solución: a) Curvas de Pg=Pg(δ): Se muestran en la Figura 6.19, donde:

º4218,156)3/2,1(sinº180

º5782,23)3/2,1(sin

lím

1lím

10

=δ−=δ

==δ−

−

b) Estabilidad: Se debe resolver la ecuación de oscilación. Usando el método punto a punto, con Δt=0,05 seg, se tiene:

0

2,0

3,0

90 180

1,2

δ

PgAF

P gFD

PgF

δ 0 δ d δ r δ lím

P =P g0m

Pg Acelerante Desacelerante

1,5

0,5

Figura 6.19

625,54

)05,0(*50*180H

)t(*f*180K22

==Δ

=

115

Tabla 6.1. Aplicación del Método punto a punto

T Pm Pg Pa K*Pa Δδ δ ω’ 0- 1,2 1,2 0 - 0 23,5782 0 0+ 1,2 0,2 1 - 0 23,5782 0 0p - - 0,5 2,8125 0 23,5782 0 0,05 1,2 0,2222 0,9778 5,5001 2,8125 26,3907 0,9817 0,1 1,2 0,2847 0,9153 5,1486 8,3126 34,7033 2,9016 0,15 1,2 0,3725 0,8275 4,6547 13,4612 48,1645 4,6988 0,2 1,2 0,4578 0,7422 4,1749 18,1159 66,2804 6,3236 0,2- 1,2 0,4578 0,7422 - 18,1159 66,2804 6,3236 0,2+ 1,2 1,3733 -0,1733 - 18,1159 66,2804 6,3236 0,2p - - 0,2845 1,6003 18,1159 66,2804 6,3236 0,25 1,2 1,4963 -0,2963 -1,6667 19,7162 85,9966 6,8823 0,3 1,2 1,4552 -0,2552 -1,4355 18,0495 104,0461 6,3005 0,35 1,2 1,2903 -0,0903 -0,5081 16,6140 120,6601 5,7994 0,35- 1,2 1,2903 -0,0903 - 16,6140 120,6601 5,7994 0,35+ 1,2 2,5806 -1,3806 - 16,6140 120,6601 5,7994 0,35p - - -0,7355 -4,1372 16,6140 120,6601 5,7994 0,4 1,2 2,1892 -0,9890 -5,5631 12,4770 133,1371 4,3553 0,45 1,2 1,9263 -0,7263 -4,0854 6,9139 140,0510 2,4134 0,5 1,2 1,8105 -0,6105 -3,4341 2,8285 142,8795 0,9873 0,55 1,2 1,8357 -0,6357 -3,5758 -0,6056 142,2739 -0,2114

Conclusión: Como el ángulo deja de crecer y empieza a disminuir, el sistema es estable transitoriamente.

b. Método de Euler: Constituye un algoritmo relativamente sencillo, aunque poco preciso para determinar y en la ecuación diferencial dy/dt = f (y). La fórmula de recurrencia es:

)f(y t yy ii1i Δ+=+ (6.43)

Es decir, el valor al final del intervalo se obtiene a partir del que se tiene al comienzo del mismo y de la derivada evaluada también al inicio de éste. Esto hace que sea poco preciso cuando la derivada cambia con rapidez dentro del intervalo, lo que obliga a trabajar con intervalos pequeños.

En este problema, el tiempo total t se divide en n intervalos de Δt seg y se supone potencia acelerante constante en cada intervalo e igual al valor que tiene al comienzo. La ecuación (6.35), se puede escribir:

M)(PP

tdd gm

2

2 δ−=

δ (6.44)

para luego transformarla en dos ecuaciones de primer orden de la forma:

M)(PP

td'd

' td

d

gm δ−=

ω

ω=δ

(6.45)

cuyas ecuaciones de solución de acuerdo con (6.43), son:

t M

)(PP''

180 t '

igmi1i

ii1i

Δδ−

+ω=ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

πΔω+δ=δ

+

+

(6.46)

116

Como Pg(δ ) sufre cambios discontinuos es necesario acomodar Δ t para que cuando ocurra algún caso de éstos, se quede al comienzo del intervalo, lo que significa dejar flexibilidad en cuanto al intervalo. c. Método de Euler Modificado: En este método, la ecuación diferencial dy/dt = f (y) se resuelve utilizando la expresión:

t 2

)y(f)y(fyy i1i

i1i Δ+

+=∗+

+ (6.47)

donde y*i+1 es un valor auxiliar que corresponde a una predicción del valor de yi+1, que se obtiene utilizando la fórmula de Euler, ecuación (6.43). El valor yi+1 de (6.47) es el valor mejorado o corregido. Aplicado al problema dado por (6.45), la predición se obtienen usando (6.46) y luego se aplica (6.48):

tM 2

)(P)(P2P ''

180 t 2

''

ig*

1igmi1i

i*

1ii1i

Δδ−δ−

+ω=ω

πΔ

ω+ω+δ=δ

++

++

(6.48)

d. Método de Runge-Kutta de 4º orden: Este método es más conveniente que los anteriores, ya que mejora la precisión y se pueden considerar intervalos mayores de tiempo, lo que significa resolver una menor cantidad de flujos de potencia en el sistema. Aunque la cantidad de cálculos es mayor en cada punto, la disminución en el número de veces que hay que resolver las ecuaciones algebraicas, lo hace de todas formas muy conveniente Las expresiones quedan:

t )WW2W2W(''

t )DD2D2D(

432161

i1i

432161

i1i

Δ++++ω=ω

Δ++++δ=δ

+

+ (6.49)

con:

[ ]

[ ] ( ) t W'D) t D(PPT

W

t W'D2 tW'D)

2 tD(PP

TW

2 tW'D

2 tW'D)

2 tD(PP

TW

2 t W

'D

' D)(PPT

W

'D

3i3igma

s4

3i4

2i2igma

s3

2i3

1i1igma

s2

1i2

iigma

s1

i1

Δ+ω−Δ+δ−ω

=

Δ+ω=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+ω−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Δ

+δ−ω

=

Δ+ω=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+ω−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Δ

+δ−ω

=

Δ+ω=

ω−δ−ω

=

ω=

(6.50)

En las expresiones anteriores se ha incluido la constante asociada a los roces mecánicos y efecto de

los enrollados amortiguadores D y el tiempo de arranque del generador o constante de aceleración Ta, definido como el tiempo necesario para alcanzar la velocidad síncrona, al partir con torque nominal constante. El tiempo de arranque Ta equivale a 2 veces la constante de inercia H.

117

6.2.8. Criterio de Areas Iguales

La curva de oscilación permite determinar si un sistema formado por un generador conectado a una barra infinita (o una situación equivalente) es estable o inestable después de una perturbación brusca e importante. Si la curva muestra que el ángulo tiende a crecer sin límite, el sistema es inestable, por otra parte, si después de todas las perturbaciones (incluyendo desconexión y reconexión de líneas, por ejemplo), el ángulo alcanza un máximo y luego disminuye, puede decirse que el sistema es estable. En general, la estabilidad o inestabilidad del sistema depende en forma decisiva del hecho de si la falla es sostenida (permanente) o si se elimina en un tiempo determinado. Existe un tiempo máximo permisible para eliminar la falla tal que el sistema sea estable. Este tiempo medido respecto a la iniciación de la falla, se denomina "tiempo crítico de aclaramiento".

El emplear la curva de oscilación en forma exclusiva para determinar el tiempo crítico de despeje, por ejemplo, es un método de aproximaciones sucesivas, por lo que no es eficiente. El método consiste en calcular la curva de oscilación para falla sostenida y luego para distintos tiempos de despeje supuestos. Del análisis de todas las diferentes curvas se determina el tiempo crítico de despeje. El criterio de áreas iguales, permite determinar fácilmente el ángulo crítico de despeje y a partir de la curva de oscilación calculada para falla sostenida (permanente) o empleando un procedimiento indirecto, calcular el tiempo correspondiente a este ángulo crítico. Consideremos nuevamente la ecuación de oscilación de un generador conectado a una barra infinita.

gm2

2PP

tddM −=

δ (6.51)

Multiplicando toda la expresión por 2(dδ/dt)/M y arreglando adecuadamente se puede escribir:

∫ δ−=δ δ

δ0d)PP(

M2

tdd

gm (6.52)

donde δ0 es el ángulo inicial de la perturbación y dδ/dt = ω' (exceso de la velocidad angular respecto a la síncrona). Cuando dδ/dt = 0 significa que ω' = 0; es decir, la velocidad del generador es igual a la velocidad síncrona y se ha alcanzado el valor máximo de la curva de oscilación. Por supuesto la máquina no permanecerá en reposo respecto a la barra infinita , la primera vez que dδ/dt se haga cero, pero el hecho que δ deje de variar momentáneamente puede interpretarse como una indicación de estabilidad. Para dδ/dt = 0, la expresión (6.52) queda:

∫δδ δ−

00=d )PP( gm (6.53)

Ecuación que puede interpretarse gráficamente mediante la curva Pg = f (δ) del generador conectado a la barra infinita y considerando una perturbación o falla específica. Supongamos que la línea que une al generador con la barra infinita sufre un cortocircuito trifásico y que después de un cierto intervalo de tiempo se la reconecta cuando la falla ha sido eliminada. La situación puede ilustrarse como se indica en la Figura 6.20.

En la Figura 6.20, el área A1 es acelerante (A1⟩ 0) y A2 es área desacelerante (A2 ⟨ 0). La ecuación (6.53) aplicada a este caso resulta:

∫δδ =⇒=−+δ−

0 2121gm AA 0)A(A=d )PP( (6.54)

118

Pg

δπ/2 πδδ0

PP g0= m

límδ δ1r

A

A

1

2

Pg máxP sin δ=

Figura 6.20.- Aplicación del criterio de áreas iguales a un sistema generador-línea-barra infinita, falla trifásica Esto significa que el sistema será estable si después de reconectar la línea en un tiempo correspondiente a δr, el generador oscila hasta un ángulo máximo δ1, tal que A1 = A2. Lo anterior constituye el criterio de áreas iguales para determinar la estabilidad transiente. Por otra parte si δr es tal que δ1 ⟩ δlím, el sistema será inestable y A1 ≠ A2, de modo que el valor máximo de δr o sea el ángulo crítico de aclaramiento (de reconexión, en este caso) δrc se podrá determinar aplicando el criterio de áreas iguales según se muestra en la Figura 6.21, de la siguiente forma:

Pg

δπδδ0

PP g0= m

límδr

Pg máxP sinδ=

c

A1

A2

Figura 6.21.- Determinación del ángulo crítico de aclaramiento

∫ ∫ ∫δδ

δδ

δδ =δδ−+δδ−lím

0

rc

0

lím

rc0d )sin PP(d P=d )PP( máxmmgm (6.55)

de donde se obtiene que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ δ+δ−δ=δ −

máx

límmáx0límm1rc P

cos P)(Pcos (6.56)

Ejemplo 6.3. Un generador conectado a una barra infinita tiene las siguientes curvas de Pg=Pg(δ): PgAF=2,5 sin δ, PgF=0,8 sin δ, PgFD=1,5 sin δ. El ángulo de torque antes de falla es de 30º y todos los datos están en pu base común. a. Determinar si el sistema es estable, al despejar la falla en un tiempo tal que δd=60º, sin reconexión. b. Si el sistema se reconecta 20º después que la falla ha sido despejada, calcular el ángulo crítico de despeje.

119

a) Sin reconexión: Las curvas de Pg(δ) se muestran en la Figura 6.22, donde:

rad 0472,1º60

rad 1565,2º56,123

5,125,1sinº180

25,1º30 sin*5,2PP

rad 5236,0º30

d

lím

1lím

gom

0

==δ

==δ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=δ

===

==δ

−

2,5

60

1,25

δ

PgAF

P gFD

PgF

δ 0 δ dδ lím

g0P =Pm

Pg

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

30 90 180

Figura 6.22

Aplicando el criterio de Areas iguales se puede escribir:

0 169,0d ) sin*5,125,1(d ) sin*8,025,1( lím

d

d

0⟩=δδ−+δδ− ∫∫

δ

δ

δ

δ ⇒ el sistema es inestable

a) Con reconexión: Las curvas de Pg(δ) se muestran en la Figura 6.23, donde:

rad 5236,0º300 ==δ

º150º30º180'lím =−=δ

rad 618,2lím =δ

º20cdr +δ=δ Para determinar el ángulo crítico de despeje se debe cumplir que:

[ ] 0 d )(PP'lím

0gm∫

δ

δ=δδ−

2,5

1,25

δ

PgAF

P gFD

PgF

δ 0δ cd 'δ lím

g0P =Pm

Pg

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

30 90 180δ r

20º

Figura 6.23

Es decir: ∫∫∫δ

δ

δ

δ

δ

δ=δδ−+δδ−+δδ− lím

r

r

cd

cd

00d ) sin*5,225,1(d ) sin*5,125,1( d ) sin*8,025,1(

0)º20( cos cos*7,02399,0 cdcd =+δ+δ+

0 sin 342,0 cos*6397,12399,0)(F cdcd =δ−δ+=δ ⇒ δcd=86,45º; con F(δ)=8,574 *10-5

6.2.9. Reducción a un sistema simple Ya se ha dicho que las distintas características eléctricas y mecánicas de las máquinas de un sistema hacen necesario tratarlas en forma individual. Sin embargo, en algunos casos excepcionales (por ejemplo, máquinas de una misma central o eléctricamente cercanas entre si y ubicadas lejos de la perturbación) es

120

posible reemplazar dos o más máquinas por una sola que les sea equivalente. En tal caso, la energía cinética de la máquina equivalente debe corresponder a:

∑ ∑=== =

n

1i

n

1iiiieq GHECEC (6.57)

Como las máquinas están en paralelo, sus potencias se suman. Luego, la potencia de la máquina equivalente Geq es:

∑==

n

1iieq GG (6.58)

Dividiendo ambos miembros de (6.57) por Geq se obtiene la constante de inercia equivalente, Heq:

∑

∑

∑=

=

=

==n

1ii

n

1iii

n

1ii

eqeq

G

GH

G

ECH

(6.59)

para que esta máquina oscile junto con las máquinas que reemplaza. Como las máquinas están en paralelo en alguna barra del sistema, la reactancia de la máquina equivalente será igual a la combinación en paralelo de las reactancias individuales hasta esa barra y la fem E' será igual a la tensión transitoria que se tendría en vacío en la barra de unión. 6.2.10. Ecuación de oscilación de dos máquinas finitas Dos máquinas síncronas conectadas por medio de una reactancia pueden ser reducidas a una máquina equivalente alimentando una barra infinita a través de la reactancia. Este modelo se utiliza en algunos casos con propósitos demostrativos. Al respecto, consideremos la Figura 6.24, en que además supondremos que existen consumos en las barras, para hacer más general el análisis.

E'1δ1 E' δ2 2

M1 M2

Figura 6.24.- Dos máquinas finitas

Las ecuaciones de oscilación son:

2

2a

2

2g2m22

21

1a

1

1g1m21

2

MP

MPP

tdd

MP

MPP

tdd

=−

=δ

=−

=δ

(6.60)

Es decir, varían los dos ángulos. Es posible reducir estas dos ecuaciones a una sola considerando que sólo interesa la diferencia entre ellos. Si ésta aumenta indefinidamente, el sistema es inestable. Restando las ecuaciones (6.60), se tiene:

121

2

2a

1

1a22

2

21

2

MP

MP

tdd

tdd

−=δ

−δ

(6.61)

haciendo δ = δ1 - δ2 en la expresión (6.61) y amplificándola por M1 M2 / (M1+M2), se puede escribir:

21

12a21a2

2

MMMPMP

tddM

+−

=δ (6.62)

donde M = M1 M2 / (M1+M2) es el momento angular equivalente a las dos máquinas Desarrollando la expresión (6.62) considerando (6.60) se obtiene:

gm2

2PP

tddM −=

δ (6.63)

con:

21

12g21gg

21

12m21mm

MMMPMP

P

MMMPMP

P

+

−=

+−

=

(6.64)

La ecuación (6.63) es equivalente a la de un generador conectado a una barra infinita y por lo tanto se puede aplicar todo lo estudiado en 6.2.6. 6.2.11. Factores que condicionan la estabilidad transitoria El análisis hecho hasta el momento, con todas las simplificaciones que contiene, permite determinar los factores que más influyen en la estabilidad transitoria de un sistema, los que se pueden visualizar mejor a partir del criterio de áreas iguales y considerando el sistema generador-línea-barra infinita de la Figura 6.1.

– Potencia eléctrica inicial: Del criterio de áreas iguales se deduce que mientras mayor sea la potencia eléctrica que está entregando la máquina antes de ocurrir la falla, mayor será el área acelerante. Ello incrementará la velocidad relativa que adquiere el rotor, aumentado de esta forma la posibilidad de que el sistema sea inestable. Un criterio empírico suele ser el de limitar la potencia eléctrica inicial al 80% del máximo teórico E'V/X.

– Tiempo de operación de las protecciones (tp): Mientras más rápidos son los esquemas de protección y los interruptores utilizados, menor es el ángulo δp alcanzado, y por lo tanto, menor el área acelerante y mayor la potencia que se podría haber estado transmitiendo. Intimamente ligada con este aspecto está la conveniencia de realizar una apertura simultánea de ambos extremos de la línea fallada, esto es, de usar equipos de onda portadora.

– Tipo de falla: El valor máximo de la curva de potencia eléctrica transferible durante la falla depende del tipo y ubicación de ésta. La falla más rigurosa es el cortocircuito trifásico, siguiendo el bifásico a tierra, bifásico, monofásico y las fases abiertas. La ubicación más desfavorable depende del sistema, pero corresponde generalmente a puntos cercanos al generador. La poca probabilidad de ocurrencia de fallas trifásicas hace que en Chile se use como criterio de estabilidad el cortocircuito bifásico a tierra.

– Interruptores de acción monopolar: La mayoría de las fallas que ocurren en un sistema eléctrico es de tipo monofásico y se puede eliminar abriendo solamente la fase fallada. Ello exige disponer de interruptores de accionamiento monopolar, lo que implica un ligero sobrecosto en esos equipos y en

122

las protecciones, que se compensa por el hecho de mantener una mayor capacidad de transferencia durante la etapa que sigue a la eliminación de la falla.

– Reconexión automática: El hecho de que la mayoría de las fallas sea de carácter fugaz y la ventaja

que significa para la estabilidad el volver a la curva de potencia eléctrica prefalla, hace muy atractiva la reconexión automática. El tiempo de reconexión está normalmente condicionado por la necesidad de esperar la desionización del espacio en torno al punto de falla, donde se estableció el arco. Este tiempo de espera es variable con la tensión, condiciones atmosféricas, etc.

– Reactancia del sistema eléctrico: La potencia eléctrica que se puede transmitir es inversamente

proporcional a la reactancia total que une las máquinas. En lo posible habrá entonces que mantener valores bajos de esas reactancias (líneas fasciculadas, condensadores serie, máquinas con alta razón de cortocircuito, etc.), condiciones que por otra parte llevan a subir el nivel de cortocircuito. En casos particulares puede incluso resultar conveniente construir subestaciones intermedias de seccionalización, que reduzcan la longitud del tramo afectado por la falla.

– Inercia de los generadores: La aceleración de la máquina será menor mientras mayor su inercia

mecánica. Sin embargo, el alto costo ligado normalmente al aumento de la inercia de una máquina y el poco efecto relativo en la estabilidad, hacen poco atractiva su modificación más allá de los valores naturales. Durante la operación del sistema es posible elevar la inercia total conectada, poniendo en servicio más generadores que los estrictamente necesarios. Sin embargo, ello va en desmedro de la operación más económica, por lo que representa una medida que se emplea con reticencia.

– Tensión interna de los generadores: Aumentar las fuerzas electromotrices implica también

aumentar la estabilidad. En condiciones normales se operará entonces con una fem alta, la que se hará más alta mientras más fuerte es la transmisión, para así mantener relativamente constante la tensión en el consumo. Sin embargo, al ocurrir una falla y crecer la corriente del estator, crece también el flujo desmagnetizante, produciéndose una paulatina reducción de la fem en el entrehierro. La constante de tiempo es comparativamente alta, de manera que en gran medida es válida la hipótesis de fem constante.

– Frenado de los generadores: Es posible pensar en mejorar la estabilidad, sometiendo los

generadores a un frenado de acción rápida cuando comienzan a acelerarse. Ello puede hacerse en las turbinas Pelton, intercalando deflectores de chorro. Para las restantes turbinas se puede recurrir al procedimiento indirecto de acrecentar la carga, conectando resistencia a los bornes del generador.

Problemas propuestos

6.1. En un sistema eléctrico de potencia, se han establecido las siguientes ecuaciones de Pg=Pg(δ): PgAF=1,8 sin δ (pu); PgF=0,5 sin δ (pu) y PgFD=1,2 sin δ (pu). Determinar el tiempo crítico de despeje de la falla, si Pm=1 (pu) y M=2,5x10-4 (pu). 6.2. Dadas las ecuaciones Pg=Pg(δ) y las curvas de oscilación para falla sostenida, de los sistemas 1 y 2 siguientes, determinar: a. Las áreas acelerantes y desacelerantes para despeje de la falla en 0,4 y 0,25 seg, indicando, en ambos

casos, si el sistema es estable o inestable b. El tiempo máximo de despeje para que el sistema sea estable

Sistema 1: PgAF=2 sin δ (pu); PgF=0,75 sin δ (pu) y PgFD=1,5 sin δ (pu); Pm=1,0 (pu) t (seg) 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 δ (º eléctricos) 15 17 20 25 32 40 50 65 77

123

Sistema 2: PgAF=2 sin (δ+15º) (pu); PgF=0,5 sin δ (pu) y PgFD=1,5 sin δ (pu); Pm=1,0 (pu) t (seg) 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 δ (º eléctricos) 30 33,13 42,18 56,19 73,97 94,54 113,9 127,6 134,7

6.3. Un generador que tiene una constante de inercia de 2,5 seg, está suministrando una potencia de 0,8 (pu) a una barra infinita, a través de una red completamente reactiva cuando se produce una falla que reduce la máxima potencia posible de salida a 0,5 (pu). La potencia máxima que se puede transmitir antes de la falla es de 1,5 (pu) y de 1,3 (pu) después del despeje de la falla. Si el despeje se produce a los 0,2 seg: Dibujar a. La curva de oscilación hasta 1 seg. b. Las curvas de Pg =Pg(δ) indicando claramente las áreas acelerantes y desacelerantes. 6.4. El sistema de la Figura 6.25, está operando en condiciones normales, esto es, el generador está entregando 125 MVA, factor de potencia 0,8 inductivo a la barra infinita; E'=1,8 (pu); X’d=0,9 (pu); V=1∠0º (pu), H=5 seg, reactancia de cada línea 0,4 (pu); cuando ocurre un cortocircuito trifásico en el medio de la línea inferior. Los interruptores 1 y 2 despejan simultáneamente la falla en un tiempo t1 tal que δ(t1)=90º. Los interruptores permanecen abiertos

Barra inf.

G

E' δ

Línea 1

Línea 21 2

V 0º

Figura 6.25

hasta t2 seg, donde δ(t2)=120º. En t2, los interruptores reconectan la línea y la falla ha desaparecido. Considerando que todos los datos están en una base común (100 MVA), determinar si en estas condiciones, el sistema es estable o inestable. 6.5. El sistema de la Figura 6.25, está operando en condiciones normales, esto es, el generador entregando 120 MW a la barra infinita, E'=1,65 (pu), X'd=X1=0,6 (pu); X2=0,3 (pu); X0=0,1 (pu), V=1∠0o (pu), H=5 seg, f=50 Hertz cuando ocurre un cortocircuito monofásico en la línea 2, al lado de la barra del Generador. Los interruptores 1 y 2 (tripolares) despejan simultáneamente la falla. Los datos de la línea son: X1=X2=0,3 (pu); X0=0,5 (pu). Todos los parámetros están en tanto por unidad, base común 100 MVA. Determinar el tiempo crítico de despeje de la falla 6.6.- Un generador de 60 Hertz está suministrando el 60% de la potencia eléctrica máxima a través de una red completamente reactiva, cuando ocurre una falla que incrementa la reactancia de la red entre el voltaje interno del generador y la barra infinita en un 400%. Cuando la falla es despejada, la potencia máxima que se puede suministrar es el 80% del valor máximo original. Determine el ángulo crítico de despeje de la falla. 6.7.- Si el generador del problema anterior tiene una constante de inercia H de 6 [MJ/MVA] y la potencia mecánica es de 1 (pu), determinar el tiempo crítico de despeje de la falla. ¿A qué velocidad gira la máquina en ese instante? 6.8.- Un generador síncrono está entregando el 25 % de la potencia máxima que es capaz de entregar a una barra infinita. Si la potencia eléctrica entregada por el generador a la barra infinita se triplica bruscamente, determinar el valor máximo alcanzado por el ángulo δ durante las oscilaciones alrededor del nuevo punto de equilibrio. ¿Cuál es el ángulo δ de régimen permanente en el nuevo punto de equilibrio? 6.9.- Un generador que está operando a 50 Hz, entrega una potencia de 1 (pu) a una barra infinita a través de una red completamente reactiva, cuando ocurre una falla que reduce la máxima potencia transferible a 0,4 (pu), mientras que la máxima potencia transferible antes de falla era de 1,8 (pu) y de 1,25 (pu) después que la falla es despejada. La constante de inercia es de 4 seg. La falla se despeja a los 0,2 seg y el sistema se reconecta exitosamente 0,15 seg después que la falla ha sido despejada. Utilizando exclusivamente la curva de oscilación, determinar si el sistema es estable en las condiciones planteadas.

124

6.10.- En el sistema de la Figura 6.26, todos los parámetros en pu están en base 100 MVA. La potencia compleja en el punto indicado es MVA )40j80(S +=& , cuando ocurre un cortocircuito trifásico en el punto F (al medio de la línea). La falla es despejada simultáneamente por ambos interruptores. Determine las ecuaciones de Pg(δ) antes de falla, en falla y en falla despejada.

G

13,8 KVF

S.

Barra inf.V=1,1

40 MW, F. de P.=1

j0,1

j0,4

X' =0,25d

j0,41 2

Figura 6.26

6.11.- Repetir el Problema 6.10, considerando que la falla ocurre al comienzo de la línea; es decir, al lado del interruptor Nº 1). 6.12.- Repetir el Problema 6.11, considerando que la carga es un reactor de 10 MVAr. 6.13.- Las ecuaciones de Pg=Pg(δ) de un sistema Generador-Barra infinita son: PgAF=2,5 sin δ; PgF=PgFD=0. La potencia que el generador entregaba a la barra infinita en el momento de producirse la falla era de 1,0 (pu). La falla es despejada a los 0,1 seg y 0,1 seg más tarde se hace una reconexión exitosa. Todos los datos están en una base común. H=5 seg., f=50 Hz. Determine el valor máximo alcanzado por el ángulo δ durante las oscilaciones. 6.14.- Un generador de 50 Hz con H=5 (MJ/MVA) está conectado a través de un transformador elevador a una línea de transmisión. En el otro extremo de la línea hay un transformador reductor que une la línea a una barra infinita. Las reactancias en pu del generador son: X1=0,3; X2=0,15; X0=0,05, las de los transformadores X1=X2=X0=0,1 y las de las línea de transmisión son: X1=X2=0,25 y X0=0,70. Los transformadores están conectados en delta en el lado de baja tensión y en estrella con el neutro a tierra en el lado de alta tensión. Se produce una falla monofásica en el lado de alta tensión del transformador conectado al generador, en el momento que éste está suministrando una potencia de 1,0 (pu). La tensión interna del generador es 1,24 (pu) y la tensión de la barra infinita es de 1,05 (pu). La falla es aislada simultáneamente por interruptores monopolares a ambos lados. Estos la aislan en 0,15 seg. y se reconectan 25 ciclos después de la apertura. Determinar si el sistema permanece estable en estas condiciones. 6.15.- El sistema de la Figura 6.27 está trabajando en las condiciones indicadas. Todos los parámetros en porcentaje están en base 100 MVA. Determinar el tiempo máximo de despeje de la falla si ocurre un cortocircuito monofásico a tierra en el punto F, al comienzo de la línea, y ésta tiene interruptores monopolares. 6.16.- Resuelva el problema 6.15, considerando que los interruptores son tripolares y que se produce reconexión automática exitosa 0,1 seg después que la falla ha sido despejada.

1 2

100 MVA75 MVA15/115 KV

X =15%0

X =X =40%1 2X =100%0

G

15 KV

X =X =X =5%1 2 0

Δ

1F

E'=140%

X' =X =X =30%d 21

H=1,875 seg

3 4

75 MVA

Δ

2

Barra Infinita

V =100%4100 MW

115/15 KVX =X =X =5%1 2 0

Figura 6.27

125

6.17.- En el sistema de la Figura 6.28 ocurre un cortocircuito bifásico a tierra en el punto F, al comienzo de la línea, cuando la potencia transmitida en el punto indicado es MVA)20j175(S +=& . Todos los datos están en base común 100 MVA. a. Si los interruptores son tripolares y despejan la falla en forma simultánea, calcular el tiempo de

aclaramiento de la falla (sin reconexión) b. Si los interruptores reconectan la línea 10º después del despeje, calcular el tiempo de aclaramiento de

la falla en esta nueva condición.

200 MVA 200 MVAX' =X =X =25%d 1 2X =25%0

X =45%01 2X =X =35%

Barrainfinita

F

H=3 seg

X =X =X =20%1 2 0

Δ

c/u

1 2

V=100%

S.G

Figura 6.28 6.18.- El sistema de la Figura 6.29 está entregando la potencia indicada a la barra infinita, cuando se abre la fase “a” de la línea en el punto P, próximo a la barra 2. Determinar el máximo valor alcanzado por el ángulo δ al producirse la oscilación del rotor de generador. Todos los datos en % están en base 50 MVA.

1 2 3 4G

X =X =X =5%1 2 0

ΔΔ X =X =20%1 2X =50%0

PBarra

InfinitaV =100%3

(50+j20) MVA

X =X =X =5%1 2 0X =10%0

X' =X =30%d 1X =15%2

Figura 6.29

6.19.- En el sistema de la Figura 6.30, ocurre un cortocircuito trifásico en el punto F (mitad de la línea inferior), cuando el sistema estaba trabajando en las condiciones indicadas. Todos los datos están en base 100 MVA. La falla es despejada por ambos interruptores en forma simultánea y luego el sistema se reconecta. Determinar: a. Las ecuaciones de PgAF, PgF y PgFD. b. La potencia eléctrica que estaba entregando el generador y su ángulo de torque en el momento en que

ocurrió la falla

100 MVA100 MVA 100 MVA

15/115 kVX =30% d'

X=40% c/u

115/15 kV

G

15 kV

X=10% X=5%

BarraInfinita

(15+j5) MVA (25+j10) MVA

V=100%(40+j10) MVA

F1 2

Figura 6.30

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[11] Duncan Glover, J.; S. Sarma, Mulukutla. “Sistemas de Potencia: Análisis y Diseño”, 3ª Edición,

International Thomson Editores, S. A., México, 2004