capitulo ii algebra vectorial i (2).ppt

CAP –I -ELEMENTOS DE ÁLGEBRA Y

CÁLCULO VECTORIAL Facultad de Ciencias Físicas –UNMSM-UNI-UNTECS. Msc. San Bartolomé Montero Jaime.H.

UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA DEL SUR -UNTECSDEL SUR -UNTECS

INGENIERIA ELECTRONICA Y INGENIERIA ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES TELECOMUNICACIONES

FISICA -IFISICA -I

Magnitud escalar. Es Aquella cuya medida queda completamente especificada por un número real y su unidad. Ejemplos: la masa(m), la temperatura(T), la presión(P),la carga eléctrica(Q),etc.

Magnitud vectorial. Es Aquella en la que para su determinación se necesitan tres números reales y su unidad. O equivalentemente, un módulo (definido por una número real positivo y su unidad), una dirección (definida por el ángulo entre una recta) y un sentido. Estas magnitudes se pueden representar por una recta orientada también llamada vector.Ejemplos: la velocidad, la fuerza, el campo gravitatorio , el campo eléctrico.

1.Magnitud escalar y vectorial :

)(ˆ)(

)(ˆ)(ˆˆˆ

)(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(

2eléctricocampor

rqkrE

gravedadkgg

fuerzakFjFiFF

velocidadktzjtyitxtv

zyx

2.Concepto de vector :Vectores en el Plano2.Concepto de vector :Vectores en el Plano

A

'Aa

dirección

sentido

módulo

Vector. Se denota como :Se define como un segmento orientado caracterizado por:• Un origen o punto de aplicación. Punto A.• Un escalar o módulo, , dado por la longitud del segmento AA’. El módulo es siempre positivo e independiente de la dirección del vector. • Una dirección, ángulo que subtiende al segmento AA’.• Un sentido, que se indica mediante una punta de flecha.

a ó a

aa ó

Recta soporte

Punto de aplicación

3.Las Coordenadas Rectangulares3.Las Coordenadas Rectangulares

Los puntos en el plano cartesiano se grafican con dos valores abscisa y ordenada. La abscisa es el valor x o Dominio y la ordenada es el valor y ó Rango.

Y = Rango; X = Dominio

A=(1,1)

B=(x,y)

4.Las Coordenadas polares.4.Las Coordenadas polares.

Las coordenadas polares tienen la forma P(r, θ), donde r = radio, es la distancia desde el origen (0, 0) al punto P un punto dado en el plano y θ la magnitud el ángulo. Si el lado móvil del ángulo se mueve en dirección contraria al movimiento de las manecillas del reloj considerando el eje x entonces la dirección del ángulo es positiva. Si el lado móvil del ángulo se mueve siguiendo el movimiento de las manecillas del reloj, entonces la dirección del ángulo es negativa. Donde : x = r Coseno(θ) ; y = r Seno (θ) ;por lo tanto el Vector

P=

jrSenirCospo ˆ)(ˆ)(

j

i

Coordenadas CartesianasCoordenadas Cartesianas

Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores

• Dados A y B, si A = B entonces A = B• Todo vector se puede desplazar paralelamente a si mismo , dos vectores son iguales si sus respectivas componentes son iguales :

BA

),(),(2121 bbaaBA

A) IGUALDAD :

B)Vectores Colineales y CoplanariosB)Vectores Colineales y Coplanarios

Los vectores son Colineales ,si se encuentran en una misma recta soporte y tienen los mismos sentidos

A

B

Los vectores son coplanarios , si se encuentran en un mismo plano ó forman dicho plano.

a

b

A

B

C

1. Vectores libres : Aquellos que no tienen una posición fija en el espacio. Tal cantidad se representa por un número infinito de vectores que tienen la misma magnitud, dirección y sentido.

2. Vectores deslizantes: Aquellos que tienen una y solo una recta a lo largo de la cual actúan. Pueden representarse por cualquier vector que tenga sus tres elementos iguales ubicado en la misma recta.

3. Vectores fijos. Aquellos que tienen uno y solo un punto de aplicación

1)Considere dos vectores A y B como se muestra.

El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo .

La magnitud de la resultante R se determina mediante la ley de Cosenos

La dirección mediante la ley de Senos

2 22 cosR A B A B

( )

AR B

sen sen sen

MODULO DEL VECTOR RESULTANTEMODULO DEL VECTOR RESULTANTEDado dos vectores y Para hallar el módulo del vector resultante se utiliza la LEY DE COSENOS.

a b

c a b

a

b

c

a

b c

bSen

bCosDe la figura : En el Δ ACD ; Por Pitágoras se tiene :

AB C

D

CDBCABcADc 222 )cos(2

cos222

2222

abbac

senbbac

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos2 cos2 cos

abc a baca b cacb a c

Y como ф= -γCosф=Cos(-γ)=-Cosγ

DIRECCION DEL VECTOR RESULTANTEDIRECCION DEL VECTOR RESULTANTE

Para hallar la dirección de la resultante se necesita conocer la medida del ángulo (α );para lo cual usamos la LEY DE SENOS .

A B C

D

E

a

b

c

csen

bsencsenCDbsenCD

Análogamente :

asen

bsenasenEBbsenEB

Y como ф= -γSenф=Sen(-γ)=Senγ

a b csen sen sen

2)Suma de 2)Suma de mas de dos mas de dos

VectoresVectores

BA

R

BA

C

CLey del

polígonoR A B C

“El vector resultante es aquel que vector que va desde el origen del primer vector hasta el

extremo del ultimo”

A

B

C

D

Entonces si se tiene los siguientes vectores

El vector resultante de la suma de todos ellos será:

A B

C

D

DCBAR

R

Propiedades vectoriales:Propiedades de la suma de vectores y producto de un escalar por un vector.

000 :nulo elemento vii) : vectoresde suma la a respecto producto del vadistributi vi) :escalares de suma la a respecto producto del vadistributi vi)

:producto el para asociativa v) es, esto ,0/ , :suma la para simétrico elemento iv)

0 :suma la para neutro elemento iii) :suma la para aconmutativ ii)

:suma la para asociativa i)

ababaaaa

aaababbaba

aaabba

cbacba

.

1. Conmutatividad.

2. Asociatividad

Considere dos vectores A y B como se muestra.

El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo .

La magnitud del vector diferencia D es

La dirección mediante la ley de Senos

2 22 22 cos( ) 2 cos( )D A B A B A B A B

( )

AD B

sen sen sen

MAGNITUD Y DIRECCION DE UN VECTOR EN EL PLANOy

xx1 x2

y1

y2

p1

p2

v

Sea el vector :

Si el vector tiene por punto inicial en el origen de coordenadas ,se le denomina Vector de posición ó radio vector ,entonces el vector

Luego para cada vector =(x,y) є R², existe un escalar ó número ,llamado Norma ó Módulo de ,denotado por Talque = (x²+y²)½ .

A cada vector =(x,y) ,no nulo que є R²,le corresponde una dirección dada por la medida del ángulo .Luego tenemos : y

Y 0º≤ m( )≤360º,por lo tanto tenemos :

= (x,y) = ( Cos , Sen ) .

Un vector queda determinado por su Magnitud y su dirección .

v)( 12,121221 yyxxppvpp

o vjyixyxv

2222 ),(

v vv

v

(x,y)v

yxy

vySen

22

yxx

vx

22cos

v v r = r(t)

Es un vector colineal con el vector original Tiene un módulo igual a la unidad Se define como el vector dado entre su modulo

correspondiente es decir

ˆAAeA

ˆAA A e

Aplicaciones :

6.-Las dos fuerzas P(60N) y Q(40N) actúan sobre el perno A de la figura . Determinar el módulo y la dirección de su resultante.

7.-Determinar el módulo y la dirección de la resultante de las fuerzas mostradas en la figura .

Cualquier vector puede descomponerse en infinitas componentes. El único requisito es que La suma de esta componentes nos de el vector original. La descomposición puede ser en un plano o en el espacio.

1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO

2. EN DOS DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO:

ˆ ˆ

ˆ ˆcosˆ ˆ(cos )

ˆ

ˆ ˆˆ (cos )

x y

x y

A

A

A A A

A A i A j

A A i Asen j

A A i sen j

A Ae

e i sen j

2 2x yA A A

y

x

AAtg

Módulo

Dirección

En el sistema de fuerzas mostrado en la figura determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.

Si La resultante FRFR de las dos fuerzas que actúan sobre el tronco de madera está dirigido a lo largo del eje del tronco(eje x+) y tiene una magnitud de 5kN. a)Determine la fuerza de cada remolque si θ=45° .b)El valor de ángulo θ que forma el cable unido a B tal que la magnitud de la fuerza FBFB en este cable sea un mínimo. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza en cada cable para esta situación?

Determine el ángulo θ para conectar el elemento a la placa tal que la resultante de las fuerzas FA y FB esté dirigida horizontalmente a la derecha. Determine además la magnitud de la fuerza resultante

Coordenadas cartesianas

Y

X

Z

yx

z

zyxP ,,

Y

X

Z

z

Coordenadas cilíndricas

Y

X

Z

Coordenadas esféricas

9.Sistemas de coordenadas en el espacio :9.Sistemas de coordenadas en el espacio :

Sistemas de coordenadas tridimensional:

ρϕ

P(ρ,ϕ,z)ϕ

rP(r,θ,ϕ)

x=ρcosϕy=ρsenϕz=z

x=rsenθcosϕy=rsenθsenϕz=rcosθ

A cada uno de los ejes coordenado se le asigna vectores unitarios

Cada uno de estos vectores unitario a tiene módulos iguales a la unidad y direcciones perpendiculares entre sí.

ˆˆ ˆ, ,i j k

ˆˆ ˆi j k = 1

3. En el espacio. Cualquier vector puede descomponerse en tres componentes.

4. En el espacio.

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆcos cos cosˆˆ ˆ(cos cos cos )

ˆ

ˆˆ ˆˆ (cos cos cos )

x y z

x y z

A

A

A A A A

A A i A j A k

A A i A j A k

A A i j k

A Ae

e i j k

2 2 2 2x y zA A A A

cos xAA

cos yAA

cos AzA

Cosenos directores

ˆˆ ˆr OP xi yj zk

El producto escalar o producto punto de dos vectores A y B denotado por y expresado A multiplicado escalarmente B, se define como el producto de las magnitudes de los vectores A y B por el coseno del ángulo que forman ellos.

cos. BABA

7. Producto escalar de dos vectores en forma de componentes . Entonces tenemos

8. Si el producto escalar de dos vectores es nulo. Entonces dichos vectores son perpendiculares

. 0A B A B

1. El producto escalar es conmutativo

2. El producto escalar es distributivo

3. Producto de un escalar por el producto escalar

4. Producto escalar entre la suma de dos vectores por un tercer vector

4. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales

5. Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes.

6. Producto escalar de dos vectores

Geométricamente esta situación se muestra en la figura

Producto escalar de dos vectores.

cosb

ab

cosbaba

Propiedades.

kaajaaiaauaaP

aaaa

ikkjjikkjjiibababa

bababcacbac

abba

zyxee

, , ia,consecuencEn . vii)

vi)

0 ,1 v) 0y 0, si iv)

:escalares a respecto asociativa iii) :vadistributi ii) :aconmutativ i)

Propiedades del Producto Escalar :Propiedades del Producto Escalar :

.cos a ba b

Producto escalar de dos vectores.

a

cosb

b

cosabba

Producto escalar en términos de las componentes cartesianas.

zzyyxx babababa

Ángulo que forman dos vectores.

abbababa

abba zzyyxx

cos

Angulo entre dos vectores :Angulo entre dos vectores :

Aplicaciones:

6.Sabemos que los vectores y cumplen que y Además, si y entonces : . ¿Cuál es el producto escalar ?

u v 5u 8v

vua 2 vub 23

14. ba vu .

7.Sabemos que los vectores y cumplen que y . Además, si y entonces : . ¿Qué ángulo forman y ? .

u v 6u

3v vua 2 vub 32

8. ba u v

8.Determina un vector que sea perpendicular al vector (6,-2) y tenga módulo √10.

uv

9.Dados los vectores (1,2) y (-3,1) y los vectores y , calcular x para que los Vectores y sean perpendiculares.

u vvua vuxb

a b

PRODUCTO VECTORIAL :

Y

X

Z

ab

bac

• Vector perpendicular al plano determinado por

.

• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer

girar

• Módulo dado por :

ba y

ba sobre

senabbac

Propiedades.

bababa

bcacbacbababa

cbacbaabba

|| 0y 0, Si v) :suma la a respecto vodistributi iv)

:escalarun por producto el para asociativo iii) :asociativo-no ii)

:ativoanticonmut i)

c

ij

k

1. El producto vectorial no es conmutativo

2. El producto vectorial es distributivo

3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial.

4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios

5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es

6. La magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo que tiene a los vectores A y B

7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores son paralelos.

ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ( ) ( ) ( )

x y z y z z y x z z x x y y z

x y z

i j kAxB A A A i A B A B j A B A B k A B A B

B B B

( ) ( )Area AxB A Bsen A h

Producto mixto de tres vectores.

Triple producto escalar :

Y

X

Z

a

b

c

ba

cos).( abcsenbxac

Volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores

Propiedades.

acbbaccba :cíclica i)

Producto mixto en términos de coordenadas cartesianas.

zzyyxyzxxzxyzzy

zyx

zyx

zyx

cbabacbabacbababbbaaaccc

bac

Lic:San Bartolomé Montero Jaime.H.

Volumen =

a b

c

).( bxacbac

Momento de un vector con respecto a un punto.

r a

d

OM

OP

araMO

)(daarsenMO

El momento de un vector con respecto a un punto no varía al cambiar el punto de aplicación del vector sobre la recta soporte.

Momento de un Vector :

Cálculo vectorial :Función vectorial con respecto a un escalar (λ ):

1a

2a

kajaiaaa zyx

12 aaa a

aaa

2

1

12

Cálculo vectorial :Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.

a

a

a

a

dad

dad

dad

dad

aalímalímdad

00

aaa

aaa

Se define laDerivada como:

La derivada es una recta tangente a la trayectoria

Cálculo vectorial :Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.

j

dda

id

daja

límialím

jaa

límiaalím

aalímalímdad

yxyx

yyxx

00

00

00

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ja yiaa x )()()(

Cálculo vectorial :Derivada de una función vectorial con respecto al escalar tiempo.

dtad

dtad

dtad

kdttdaj

dttda

idttda

talím

dttad zyx

t

0

kdttdaj

dttda

idttda

talím

dttad zyx

t

0

“Vemos que la derivada de una función vectorial es un vector tangente a la curva en cualquier punto”

Cálculo vectorial :Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.

Propiedades.

dbdab

dadba

dd

dbdab

dadba

dd

ddfa

dadfaf

dd

dλbd

dλadλbλa

dλd

:es vectorialfunciones dos de vectorialproducto del Derivada iv)

:es vectorialfunciones dos deescalar producto del Derivada iii)

:escalarun por ctorialfunción ve una de producto del Derivada ii)

: vectoresde suma la de Derivada i)

Cálculo vectorial22.-

Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.

Algunas consecuencias.

auaa

Si iii)

|| Si ii)

general,En i)

aa

aaa

aa

udad

duda

dadctea

udadu

dda

dadcteu

dudau

dda

dad

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Cálculo vectorial23.-

Integral de una función vectorial.

2

112

/ , Dadas

dbaa

cdbab

dadba

Propiedades:

1

2

2

1

2

1

2

1

v)

:y Si iv)

:, Si iii)

: Si ii)

:y Si i)

21

dada

dd

dada

dadacte

dadada

dakdakctek

dbdadbabbaa

Cálculo vectorial24.-

Integral en función de las componentes cartesianas.

kajaiaa zyx

kdajdaidada zyx

Integral de una función vectorial.

2

112

/ , Dadas

dbaa

cdbab

dadba

Tema 2 APLICACIONES DEL ÁLGEBRA

Y CÁLCULO VECTORIAL

Facultad de Ciencias Físicas-UNMSM