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ALGEBRA DE BOOLE

Integrantes: José Suárez Suxe. Mijail Yovera Huamán. Ronald Granda Delgado.Curso: Circuitos Digitales I.Docente: Hugo Chiclayo padilla.

Álgebra de Boole

Llamada también Retículas booleanas. En informática y matemática, es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

Se denomina así en honor a George Boole, (2/09/1815 a 8/12/1864), fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, se aplica en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948.

Introducción

Calculo proposicional y Teoría de conjuntos El calculo proposicional (CP) y la teoría

de conjuntos (TC) pertenecen ambos a un sistema de algebraico denominado algebra de boole.

Para tener una idea de los nexos que los unen, veremos una breve explicación de cada uno.

I- Conjuntos y elementos (TC) Llevando a cabo un sencillo proceso de

abstracción podemos definir un conjunto de dos modos diferentes:

-Por extensión: Enumeración simple de sus elementos.

- Por comprensión: Definir una propiedad no ambigua y determinada.

II- Proposiciones y conectivas (CP)

Definimos una proposición como un aserto que puede ser cierto o falso, pero no ambas a la vez. Tales proposiciones pueden ser simples o compuestas.

Como es sabido, las oraciones simples se unen mediante conectivas. De ellas, cuatro son importantes:

- Conjunción y ^- Disyunción o v- Condicional si… entonces →- Bicondicional si y solo si ↔

Además de estas conectivas, también se usa la negación:

- Negación no ¬

III- Unión e intersección

Aquí comenzamos a ver el modo en que boole unifica el (CP) y la (TC).

La unión entre dos conjuntos L y W se define como el conjunto formado por los elementos de L junto con los elementos de W.

La intersección entre dos conjuntos L y W se define como el conjunto que comprende solo a los elementos que L y W tienen en común.

También se puede expresar con esta simbología:

A∩B= {x / xєA Λ xєB}

AUB= {x / xєA v xєB}

Conjunto universal, conjunto vacío y conjunto complementario Al definir un conjunto L no solo se determinan sus

elementos, si no también los que no son, definiendo un conjunto L’. Pero esto incluiría mas conjuntos diferentes.

Con el fin de obtener una restricción postulamos un conjunto universal E que consideramos como el conjunto de todos los elementos que consideramos.

El complementario de un conjunto es el complementario respecto a este conjunto universal. Boole lo identifica tal conjunto con el valor “1”.

La intersección de dos conjuntos seria siempre un conjunto. Excepto cuando no tiene elementos en común, este caso especial se elimina postulando un conjunto vacío,&. Boole lo identifica tal conjunto con el valor “0”.

Hoy en día expresamos la certeza de un enunciado asignándole un valor “1” y su falsedad con el valor “0”.

Leyes del algebra de conjuntos y de calculo proposicional

Funciones y tabla de verificación Definimos a la función como la expresión

de unas variables dadas cuyo valor queda unívocamente determinado para valores de las variables.

Si consideramos p=1 una proposición cierta y p=0, falsa. Con esto concluimos que una proposición simple es una función que toma valores de 1 ó 0.

Si esto vale para una proposición simple entonces también será para las proposiciones complejas.

Tablas de verificación

p q p۸q p٧q p→q p↔q

1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0

0 1 0 1 1 0

0 0 0 0 1 0

Algebra de Boole

En las diapositivas anteriores hemos visto que las aportaciones de Boole jugaron un papel primordial para alcanzar la unificación del CP y el TC.

Para ello es necesario distinguir operaciones binarias de las operaciones unitarias.

Operaciones binarias y operaciones unitarias Operaciones binarias:Operaciones binarias: Una operación

binaria(º) en un conjunto A es una operación tal que si a, b son elementos del conjunto A entonces también lo es a º b.

Operaciones unitarias:Operaciones unitarias: Una operación unitaria(~) en un conjunto A tal que si b es un elemento de A entonces ~ b también lo es.

Postulados y teoremas del algebra de Boole En este caso se a usado el enunciado por Huntington

en 1904: Def.:Def.: Una clase de elementos B junto con dos

operaciones binarias (+) y (º) es una algebra booleana si y solo si se verifican los siguientes postulados.

P1P1: Las operaciones (+) y (º) son conmutativas. P2:P2: Existen en B distintos elementos identidad 0 y 1

relativos a las operaciones (+) y (º), respectivamente. P3:P3: Cada operación es distributiva respecto a la otra. P4:P4: Para cada a de B existe un elemento a‘ de B, tal

que:a + a‘ =1 y a º a‘ =0

Teoremas

Teorema 1:Teorema 1: Toda proposición identidad algebraica deducible a los postulados de una algebra booleana sigue valida si todas las operaciones (+) y (º), y los elementos identidad 0 y 1 son intercambiados. (este teorema se conoce como el principio de dualidad).

Teorema 2:(CONMUTATIVA):Teorema 2:(CONMUTATIVA):a+b=b+a y aºb=bºa

teorema 3:(Pro. ELEMENTOS DOMINANTES):teorema 3:(Pro. ELEMENTOS DOMINANTES): Para todo elemento a en un algebra booleana, se cumple:

a +1 =1 y a º 0 =0. Teorema 4:(DE ABSORCION):Teorema 4:(DE ABSORCION):Para cada par de

elementos a, b en una algebra booleana B:a+(aºb)=a y aº(a+b)=a

Teoremas Teorema 5:(DISTRIBUTIVA)Teorema 5:(DISTRIBUTIVA) En toda algebra

booleana B cada una de las operaciones binarias (+) y (º) es asociativa esto es, para toda a, b, c en B:

a+(b+c)=(a+b)+c yaº(bºc)=(aºb)ºc

Teorema 6:(COMPLEMENTO):Teorema 6:(COMPLEMENTO):El elemento a‘ asociado con el elemento a en el algebra booleana es único.

a‘ +a=1(a‘ )º( a)=0(a‘ ) ‘=a (INVOLUTIVA)

Teorema 7:(IDEMPOTENCIA):Teorema 7:(IDEMPOTENCIA): Para toda “a” en un algebra booleana B:

a+a=aaºa=a

Teorema 8:Teorema 8: En toda algebra booleana se cumple:0 ‘=1 y 1 ‘=0.

Teorema 9:(LEYES DE MORGAN):Teorema 9:(LEYES DE MORGAN):Para toda a y b en una algebra booleana :

(aºb) ‘=a ‘+b ‘ y (a+b) ‘=(a ‘)º(b ‘) definición : la relación de “ de orden” a C b se

define por la proposición: para toda a y b en una algebra booleana B, a C b si y solo si ab’=0.

Teorema 10:Teorema 10: Las siguientes 4 propiedades de C son validas en toda algebra booleana para elementos arbitrarios x, y, z:

(A) si xCy y yCz, → xCz(B) si xCy y xCz, →xCyºz(C) si xCy → xCy+z para toda z.(D) xCy ↔ y ‘Cx‘

Teoremas

Forma Normal DisyuntivaForma Normal Disyuntiva

Teorema 1: Teorema 1: toda función en un algebra booleana que no contiene constante es igual a una función en forma normal disyuntiva.

Teorema 2:Teorema 2: si cada una de n variables el valor 0 y 1 de una manera arbitraria, pero fija, entonces exactamente un termino de la forma normal disyuntiva completa en n variables tendrá el valor 1 y todos los demás términos tendrá el valor 0.

Corolario: Corolario: dos funciones son iguales si y solo si, si sus respectivas formas normales disyuntivas contienen los mismos términos.

CorolarioCorolario: para establecer cualquier identidad en algebra booleana, es suficiente verificar el valor de cada función para todas las combinaciones de o y 1 que pueden asignar a las variables.

Forma normal conjuntiva

Definición:Definición: se dice que una función booleana esta forma normal conjuntiva en n variables X1,X2…Xn, para n>0, si la función es un producto de factores del tipof1(Xn) +…+f n (Xn), donde fi(Xi) es Xi o X’i para cada i=1,2…n y ninguno par de factores son idénticos , además, se dice que 0 y 1 estan en forma conjuntiva en n variables para toda n>=0.

Teorema1:Teorema1: toda función en una algebra booleana que no contiene constante es igual a una función en forma normal conjuntiva.

Definicion:Definicion: la forma normal conjuntiva en n variables que contiene 2n factores se llama forma normal conjuntiva completa en n variables.

Teorema 2: Teorema 2: Si a cada una de n variables se le asigna el valor 0 o 1 de una manera arbitraria, pero fija , entonces exactamente un factor de la forma normal conjuntiva en las n variables tendrá el valor 0 y todos los demás factores tendrán el valor1.

Corolario: dos funciones, cada una expresada en la forma normal conjuntiva en n variables, son iguales si y solo si contiene idénticos factores

Puerta lógicas: Para que el algebra de boole se torne útil a la electrónica

debe plantearse como una algebra bivalente. Esta algebra bivalente aplicada a las tablas de verdad del CP

expuesta anteriormente cambia de nomenclatura donde decimos disyunción ahora decimos OR, donde decimos conjunción decimos AND, donde decimos negación ahora decimos inversor o NOT

De Boole a la Electrónica Digital

Funciones booleanas

Definición:

Se denomina función lógica o booleana a aquella función matemática cuyos símbolos son binarias y están unidas mediante los operadores del álgebra de Boole suma lógica (+), producto lógico (°) o negación(').

Tales funciones consisten en un numero finito de constaste (0,1) y (+);(°) nunca deben de estar adyacentes

…Fin