libro de algebra

Introduccin

CONCEPTO: el lgebra es una extensin de la aritmtica en la cual se desconoce el valor de una de las cantidades con las que se opera. Es la rama de las matemticas que

estudia estructuras, relaciones y cantidades.

Se trabaja con las mismas reglas que en la aritmtica agregando un par de conceptos

tales como las formulas y las ecuaciones. En el lgebra se estudia los nmeros de el modo mas general posible.

En el lgebra los nmeros son representados por smbolos tales como a,b,x,y

En el lgebra se usan letras para representar nmeros o usamos letras para la

demostracin de reglas y formulas para mostrarlo de una manera general que es apta

para cualquier numero lo que hace de estas reglas generales para cualquier numero existente. Al usar letras para estas formulas estamos hablando en lenguaje algebraico o

notacin algebraica.

Smbolos algebraicos bsicos:

Suma + Resta -

Multiplicacin x, ( )( ), , Divisin , /

Radicacin Agrupacin ( ), { }, [ ],

Es igual a = Es mayor que >

Es menor que < Es mayor o igual que Es menor o igual que

En el caso de la multiplicacin cuando dos letras se asume que se esta multiplicando as si tenemos ab estamos diciendo que a esta multiplicando a b, o en parntesis (a)(b) tambin es a por b. Y la divisin se puede expresar como una fraccin a/b.

En general una combinacin de smbolos y signos del lgebra representa a un numero y

se llama una expresin algebraica. Ejemplo:

5abx + 258bx 36ay

La parte de la expresin algebraica que no se encuentra separada por un signo de suma

o resta se llama trmino

Del ejemplo anterior son trminos: 5abx; 258bx; -36ay

Otros trminos son: -4k; 3x/4mn; 5/3y

Todos los trminos poseen un signo, un coeficiente y una parte literal, as:

Trmino Signo coeficiente literal -59ax - 59 ax

8v + 8 v

xyz + 1 xyz -89 - 89

Cmo aprender lgebra Creado por Oscar Avila, Maluniu, Rosy Guerra

5 partes:Aprender las reglas bsicas del lgebraComprender las variablesAprender a resolver ecuaciones mediante el

mtodo de cancelacinMejorar tus habilidades para el lgebraExplorar los temas de nivel intermedio

Dominar el lgebra es importante para aprender a casi todos los dems tipos de matemticas en la

escuela secundaria y la preparatoria. Sin embargo, aprender incluso las habilidades ms bsicas en

lgebra puede ser complicado para los principiantes. Si tienes dificultades con los temas bsicos de

lgebra, no te preocupes; con una explicacin adicional, algunos ejemplos sencillos y algunos

consejos para mejorar tus habilidades, pronto podrs resolver los problemas de lgebra como si

fueras un profesional.

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Parte 1 de 5: Aprender las reglas bsicas del lgebra

1.

1 Revisa tus operaciones matemticas bsicas. Para aprender lgebra, necesitars conocer las

habilidades matemticas bsicas tales como la suma, la resta, la multiplicacin y la divisin. Esta

matemtica de escuela primaria es esencial para poder aprender lgebra. Si no has dominado estas

habilidades, ser difcil abordar los conceptos ms completos que se ensean en lgebra. Si

necesitas repasar estas operaciones, lee este artculo de wikiHow que habla acerca de las

habilidades de matemtica bsicas.

No es necesario dominar a la perfeccin estas operaciones bsicas en tu mente para poder resolver

los problemas de lgebra. Muchas clases de lgebra te permitirn utilizar una calculadora para

ahorrar el tiempo cuando resuelvas estas operaciones simples. Sin embargo, por lo menos debes

saber cmo realizar estas operaciones sin utilizar una calculadora para cuando no te permitan

hacerlo.

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2.

2

Conoce el orden de las operaciones. Una de las cosas ms complicadas acerca de la resolucin

de una ecuacin algebraica como principiante es saber dnde empezar. Por suerte, existe un orden

especfico para resolver estos problemas: primero resuelve las operaciones matemticas que estn

entre parntesis, luego los exponentes, la multiplicacin, la divisin, la suma y, por ltimo, la resta.

Una herramienta para recordar este orden de operaciones son las siglas PEMDSR. Para recapitular,

el orden de las operaciones es el siguiente:

Parntesis

Exponentes

Multiplicacin

Divisin

Suma

Resta

En lgebra, el orden de las operaciones es importante porque realizar estas operaciones en un

problema algebraico en el orden incorrecto a veces puede afectar la respuesta. Por ejemplo, en este

problema matemtico 8 + 2 5, si sumamos 2 a 8 primero, obtendremos 10 5 = 50, pero si

multiplicramos 2 y 5 primero, obtendremos 8 + 10 = 18. Solo la segunda respuesta es la correcta.

3.

3 Aprende a utilizar los nmeros negativos. En lgebra, es comn utilizar nmeros negativos, de

modo que es sensato revisar informacin sobre cmo sumar, restar, multiplicar y dividir nmeros

negativos antes de comenzar a aprender lgebra. Estos son algunos elementos bsicos sobre los

nmeros negativos que debes tener en cuenta; si necesitas ms informacin, busca en Internet

artculos sobre cmo sumar, restar, multiplicar y dividir nmeros negativos.

En una recta numrica, una versin negativa de un nmero est a la misma distancia del cero como

la versin positiva, pero en la direccin opuesta.

Sumar dos nmeros negativos hace al nmero ms negativo (es decir, los dgitos sern mayores,

pero dado que el nmero es negativo, cuenta como menor).

Dos signos negativos se cancelan, ya que restar un nmero negativo es lo mismo que sumar uno

positivo

Multiplicar o dividir dos nmeros negativos da una respuesta positiva.

Multiplicar o dividir un nmero positivo y uno negativo da una respuesta negativa.

4.

4

Aprender a ordenar problemas extensos. Si bien los problemas algebraicos simples pueden ser

fciles de resolver, los ms complicados pueden requerir muchos pasos. Para evitar errores, mantn

tu trabajo organizado al comenzar en una lnea nueva cada vez que contines con la resolucin del

problema. Si lidias con una ecuacin de dos lados, escribe todos los signos igual (=) debajo uno del

otro. De esta manera, si cometes un error en algn punto, ser mucho ms fcil encontrarlo y

corregirlo.

Por ejemplo, para resolver la ecuacin 9/3 -5 +3 4, podramos organizar el problema as:

9/3 - 5 + 3 4

9/3 - 5 + 12

3 - 5 + 12

3 + 7

10

Parte 2 de 5: Comprender las variables

1.

1 Busca los smbolos que no sean nmeros. En lgebra, comenzars a ver letras y smbolos que

aparecen en tus problemas matemticos en lugar de solo nmeros. Estos reciben el nombre de

variables. Las variables no solo son tan confusas como podran parecer el principio, sino que son

formas de mostrar nmeros con valores desconocidos. Estos son algunos ejemplos comunes de las

variables en lgebra:

Las letras como x, y, z, a, b y c

Las letras griegas como theta o

Ten en cuenta que no todos los smbolos son conocidos como variables. Por ejemplo, pi, o ,

siempre es igual a 3,1459.

2.

2 Piensa en las variables como en nmeros desconocidos. Como se mencion anteriormente,

las variables son bsicamente nmeros con valores desconocidos. En otras palabras, hay un

nmero que puede colocarse en el lugar de la variable para hacer que la ecuacin funcione. Por lo

general, en un problema algebraico tu objetivo es averiguar el valor de la variable. Piensa en ello

como en un nmero misterioso que intentas descubrir.

Por ejemplo, en la ecuacin 2x + 3 = 11, x es nuestra variable. Esto significa que hay un valor que va

en el lugar de x para hacer que el lado izquierda de la ecuacin sea igual a 11. Dado que 2 4 + 3 =

11, en este caso, x = 4.

Una manera sencilla de comenzar a comprender las variables es reemplazarlas con signos de

interrogacin en los problemas algebraicos. Por ejemplo, podramos volver a escribir la ecuacin 2 +

3 + x = 9 como 2 + 3 + ? = 9. Esto facilita la comprensin de lo que tratamos de hacer; solo

necesitamos averiguar qu nmero sumar a 2 + 3 = 5 para obtener 9. Desde luego, una vez ms la

respuesta es 4.

3.

3

Si una variable aparece ms de una vez, simplifcalas. Qu haces si una variable aparece ms

de una vez en una ecuacin? Si bien esta situacin puede parecer difcil de resolver, en realidad

puedes tratar a las variables como lo haras con nmeros normales; es decir, puedes sumarlas,

restarlas etc. siempre y cuando solo combines aquellas que sean semejantes. En otras palabras, x +

x = 2x, pero x + y no es igual a 2xy.

Por ejemplo, veamos la ecuacin 2x + 1x = 9. En este caso, podemos sumar 2x y 1x para obtener 3x

= 9. Dado que 3 x 3 = 9, sabemos que x = 3.

Una vez ms ten en cuenta que solo puedes sumar las mismas variables. En la ecuacin 2x + 1y =

9, no podemos combinar 2x y 1y puesto que las dos variables son diferentes.

Esto tambin se aplica para cuando una variable tiene un exponente distinto que otra. Por ejemplo,

en la ecuacin 2x + 3x2 = 10, no podemos combinar 2x and 3x2 puesto que las variables x tienen

exponentes diferentes. Lee el artculoCmo sumar exponentes para obtener ms informacin.

Parte 3 de 5: Aprender a resolver ecuaciones mediante el mtodo de

cancelacin

1.

1 Trata de aislar la variable en las ecuaciones algebraicas. Resolver una ecuacin algebraica

generalmente significa determinar lo que es una variable. Las ecuaciones algebraicas generalmente

se establecen con nmeros o variables en ambos lados, de la siguiente manera: x + 2 = 9 4. Para

hallar la variable, necesitas aislarla a un lado del signo igual. Lo que quede en el otro lado del signo

igual ser la respuesta.

En el ejemplo (x + 2 = 9 4), para aislar x en el lado izquierdo de la ecuacin, deberemos

deshacernos del "+ 2". Para hacerlo, simplemente restaremos 2 de ese lado, quedndonos con x = 9

4. Sin embargo, para mantener iguales a ambos lados de la ecuacin, tambin necesitaremos

restar 2 del otro lado. Esto nos deja con x = 9 4 - 2. Siguiendo el orden de las operaciones, primero

multiplicamos y luego restamos lo que nos da una respuesta de x = 36 - 2 = 34.

2.

2 Cancela la resta con la resta (y viceversa). Como vimos anteriormente, aislar x en un lado del

signo igual generalmente significa deshacerse del nmero que est a su lado. Para hacerlo,

desarrollamos la operacin opuesta en ambos lados de la ecuacin. Por ejemplo, en la ecuacin x

+ 3 = 0, dado que vemos un "+ 3" al lado de la x, colocaremos un "- 3" en ambos lados. El "+ 3" y el

"- 3", aislando x y el "-3" en el otro lado del signo igual, de esta forma: x = -3.

En general, la suma y la resta son como opuestos, as que efecta una de ellas para deshacerte de

la otra. Lee lo siguiente:

Para deshacerte de la suma, resta. Ejemplo: x + 9 = 3 x = 3 - 9

Para deshacerte de la resta, suma. Ejemplo: x - 4 = 20 x = 20 + 4

3.

3

Cancela la multiplicacin con la divisin (y viceversa). La multiplicacin y la divisin son

operaciones un poco ms difciles con las que trabajar, pero tienen la misma relacin de oposicin.

Si ves un " 3" en un lado, lo cancelars al dividir ambos lados entre 3 y as sucesivamente.

Con la multiplicacin y la divisin, debes efectuar la operacin opuesta entodos los nmeros del otro

lado del signo igual, incluso si hay ms de uno. Lee lo siguiente:

Para deshacerte de la multiplicacin, divide. Ejemplo: 6x = 14 + 2 x = (14 + 2)/6

Para deshacerte de la divisin, multiplica. Ejemplo: x/5 = 25 x = 25 5

4.

4

Cancela los exponentes al sacar la raz (y viceversa). Los exponentes son un tema previo al

lgebra bastante avanzado; si no sabes cmo resolverlos, lee el artculo acerca de resolucin de

exponentes bsicos para obtener ms informacin. Lo opuesto de un exponente es la raz que

tiene el mismo nmero que l. Por ejemplo, el opuesto del exponente2 es una raz cuadrada (), el

del exponente 3 es la raz cbica (3) y as sucesivamente.

Puede ser un poco confuso, pero en estos casos, cuando lidias con un exponente, sacas la raz en

ambos lados. Por el otro lado, cuando lidias con una raz, tomas el exponente de ambos lados. Lee

lo siguiente:

Para deshacerte de los exponentes, saca la raz. Ejemplo: x2 = 49 x = 49

Para deshacerte de la raz, toma el exponente. Ejemplo: x = 12 x = 122

Parte 4 de 5: Mejorar tus habilidades para el lgebra

1.

1 Emplea imgenes para hacer que los problemas se vean ms claros. Si tienes dificultades para

visualizar un problema de lgebra, trata de utilizar diagramas o imgenes para ilustrar la ecuacin.

Incluso puedes tratar de emplear un grupo de objetos fsicos (como bloques o monedas) en caso de

que tengas algunos a la mano.

Por ejemplo, resolvamos la ecuacin x + 2 = 3 utilizando cajas ()

x +2 = 3

+ =

En este punto, restaremos 2 de ambos lados al quitar 2 cajas () en ambos lados:

+- =-

=, or x = 1

Como otro ejemplo, probemos 2x = 4

=

En este punto, dividiremos ambos lados entre dos al separar las cajas en cada lado en dos

grupos:

| =|

= o x = 2

2.

2 Emplea marcas de sentido comn (sobre todo para problemas con palabras). Al convertir un

problema con palabras en lgebra, revisa tu frmula al reemplazar valores simples para la variable.

La ecuacin tiene sentido cuando x=0? Cuando x=1? Cuando x = -1? Es fcil cometer errores

simples al escribir p=d/6 cuando lo que quieres decir es p=d/6, pero sern fciles de detectar si

haces una revisin rpida de tu trabajo antes de proseguir.

Por ejemplo, supongamos que nos dicen que una cancha de ftbol mide 27,5 m (30 yardas) ms de

largo que de ancho. Utilizamos la ecuacin l = w + 27,5 para representar el problema. Podremos

evaluar si esta ecuacin es vlida al reemplazar valores simples para w. Por ejemplo, si la cancha de

ftbol es w = 9 m (10 yardas) de ancho, ser 9 + 27,5 = 36,5 m (40 yardas) de largo. Si tiene 27,5 m

(30 yardas) de ancho, ser 27,5 x 27,5 = 55 m (60 yardas) de largo, etc. Esto tiene sentido;

esperaramos que la cancha fuera ms larga o que ancha, as que esta ecuacin es lgica.

3.

3 Ten en cuenta que en lgebra las respuestas obtenidas no siempre sern nmeros

integrales. Las respuestas obtenidas en lgebra y en otras formas avanzadas de matemticas no

siempre sern nmeros enteros y sencillos. Con frecuencia, pueden ser decimales, fracciones o

nmeros irracionales. Puedes utilizar una calculadora para resolver estos problemas complicados,

pero ten en cuenta que tu profesor podra pedirte que des la respuesta en su forma exacta, y no en

forma decimal.

Por ejemplo, supongamos que reducimos una ecuacin algebraica a x = 12507. Si escribimos

12507 en una calculadora, obtendremos una lista larga de decimales (adems, dado que la pantalla

de la calculadora no es tan grande, no podr mostrar la respuesta correcta). En este caso,

podramos querer representar nuestra respuesta con un nmero tan simple como 12507 o

simplificarla al escribirla en una notacin cientfica.

4.

4

Cuando creas haber dominado el lgebra bsica, prueba con lafactorizacin. Una de las

habilidades ms complicadas en el lgebra es la factorizacin, la cual es una especia de atajo para

reducir a las ecuaciones complejas a formas ms simples. La factorizacin es un tema de lgebra

semi avanzado, as que considera la posibilidad de consultar el artculo indicado lneas arriba en

caso de que tengas problemas para dominarlo. Estos son algunos ejemplos rpidos para factorizar

ecuaciones:

Las ecuaciones que tengan la forma ax + ba se factorizan a a(x + b). Ejemplo: 2x + 4 = 2(x + 2)

Las ecuaciones que tengan la forma ax2 + bx se factorizan a cx((a/c)x + (b/c)) donde c es el nmero

ms grande que se divide entre a y b equitativamente. Ejemplo: 3y2 + 12y = 3y(y + 4)

Las ecuaciones que tengan la forma x2 + bx + c se factorizan a (x + y)(x + z) donde y z = c y yx +

zx = bx. Ejemplo: x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1).

5.

5 Practica, practica y practica! Para progresar en lgebra (y en cualquier otra clase de

matemticas), es necesario mucho esfuerzo y repeticin. No te preocupes; solo presta atencin en

clase, haz todas tus tareas y pdele ayuda tu profesor o a otros estudiantes siempre que lo necesites,

y as el lgebra ser algo muy sencillo para ti.

6.

6

Pdele ayuda tu profesor para que te ayude a entender los temas difciles de lgebra. Si tienes

dificultades para entender el lgebra, no te preocupes; no es necesario que lo aprendas por tu

cuenta. Tu profesor es la primera persona a quien debes acudir con preguntas. Despus de clase,

pdele cortsmente que te ayude. Los buenos profesores generalmente estarn dispuestos a

explicarte el tema del da en una clase despus de la escuela e incluso podra darte algunos

materiales de prctica extra.

Si, por alguna razn, tu profesor no puede ayudarte, pregntale acerca de algunas alternativas de

tutora que haya en tu escuela. Muchas escuelas contarn con algn tipo de programa extracurricular

que pueda ayudarte a obtener el tiempo y la atencin adicional que necesitas para dominar el

lgebra. Recuerda que utilizar la ayuda gratuita disponible no es algo por lo que debas sentir

vergenza, sino que es una seal de que eres lo suficientemente inteligente como para resolver tu

problema!

Parte 5 de 5: Explorar los temas de nivel intermedio

1.

1 Aprende las ecuaciones grficas x/y. Los grficos pueden ser herramientas valiosas en lgebra

puesto que te permiten mostrar las ideas para las que normalmente necesitaras nmeros en

imgenes fciles de entender. Por lo general, en el lgebra bsica, los problemas de grficos estn

restringidos a ecuaciones con dos variables (generalmente x e y) y se realizan en un grfico simple

en 2D con un eje x y uno y. Con estas ecuaciones, todo lo que necesitas hacer es darle un valor a x

y resolver y (o viceversa) para obtener dos nmeros que correspondan a un punto en el grfico.

Por ejemplo, en la ecuacin y = 3x, si le damos el valor de 2 a x, obtendremos y = 6. Esto significa

que el punto (2,6) (dos espacios a la derecha del centro y seis espacios por encima del centro) es

parte del grfico de la ecuacin.

Las ecuaciones con la forma y = mx + b donde m y b son nmeros) sonespecialmente comunes en el

lgebra bsica. Estas ecuaciones siempre tienen una pendiente de m y cruzan el eje y en y = b.

2.

2 Aprende a resolver desigualdades. Qu haces cuando tu ecuacin no emplea un signo igual?

Pues nada muy diferente de lo que haras normalmente. En el caso de las desigualdades, las cuales

utilizan los signos como > ("mayor que") y < ("menor que") se resuelven de manera normal.

Terminars con una respuesta que sea mayor o menor que la variable.

Por ejemplo, con la ecuacin 3 > 5x - 2, resolveramos de la misma manera en que lo haramos en

una normal:

3 > 5x - 2

5 > 5x

1 > x, or x < 1.

Esto significa que todos los nmeros menores de 1 sirven para x. En otras palabras, x puede ser 0, -

1, -2 y as sucesivamente. Si relacionamos estos nmeros en la ecuacin para x, siempre

obtendremos una respuesta menor que 3.

3. 3

Resuelve las ecuaciones cuadrticas. Un tema algebraico con lo que muchos principiantes tienen

dificultades para resolver son las ecuaciones cuadrticas. Estas ecuaciones tienen la forma ax2 + bx

+ c = 0, donde a, b, y c son nmeros (excepto que a no puede ser 0). Estas ecuaciones se resuelven

con la frmula x = -b +/- (b2 - 4ac)/2a . Ten cuidado que el signo +/- significa que necesitas hallar las

respuestas para la suma y la resta, de modo que tendrs dos respuestas para estos tipos de

problemas.

Como ejemplo, resolvamos la frmula cuadrtica 3x2 + 2x -1 = 0.

x = -b +/- (b2 - 4ac)/2a

x = -2 +/- (22 - 4(3)(-1))/2(3)

x = -2 +/- (4 - (-12))/6

x = -2 +/- (16)/6

x = -2 +/- 4/6

x = -2 +/- 2/3

x = -2 2/3 y -1 1/3

4. 4

Experimenta con el sistema de ecuaciones. Resolver ms de una ecuacin al mismo tiempo

podra parecer algo muy complicado, pero cuando trabajas con ecuaciones algebraicas simples no lo

es tanto. Con frecuencia, los profesores de lgebra utilizan un mtodo grfico para resolver estos

problemas. Cuando trabajas con un sistema de dos ecuaciones, las soluciones son los puntos en un

grfico que las lneas para ambas ecuaciones se cruzan.

Por ejemplo, supongamos que trabajamos con un sistema que contenga las ecuaciones y = 3x - 2

and y = -x - 6. Si dibujamos estas dos lneas en un grfico, obtenemos una lnea que sube en un

ngulo empinado y una que baja en un ngulo leve. Dado que estas lneas se cruzan en el punto (-

1,-5), esta es una solucin para el sistema.[1]

Si queremos verificar nuestro problema, podemos hacerlo al reemplazar nuestra respuesta en las

ecuacin del sistema; una respuesta correcta debe funcionar para ambos.

y = 3x - 2

-5 = 3(-1) - 2

-5 = -3 - 2

-5 = -5

y = -x - 6

-5 = -(-1) - 6

-5 = 1 - 6

-5 = -5

Ambas ecuaciones se cumplen, as que nuestra respuesta es correcta!

NMEROS NATURALES

Los nmeros naturales son 0, 1, 2, 3, 4..

Podemos distinguir entre:

Nmeros cardinales: se utilizan para contar los elementos de un grupo: 1, 2, 3, 4

Por ejemplo: 3 manzanas, 17 botellas, 4 nios

Nmeros Ordinales: se utilizan para determinar la posicin que ocupa un elemento dentro de un conjunto: primero, segundo, tercero, cuarto

Por ejemplo: La primera camisa, el segundo coche, la cuarta silla

Utilizamos el sistema de numeracin decimal en el que cada 10 unidades forman una unidad de orden superior:

10 unidades = 1 decena

10 decenas = 1 centena

10 centenas = 1 unidad de millar

10 unidades de millar = 1 decena de millar

OPERACIONES CON NUMEROS NATURALES: REGLAS DE PRIORIDADES

a) Si en una expresin matemtica hay sumas (restas) y multiplicaciones (divisiones), primero hay que resolver las multiplicaciones (divisiones) y luego las sumas (restas).

Ejemplo:

3 + 7 x 8

1 Resolvemos la multiplicacin: 7 x 8 = 56.

2 Luego la suma: 3 + 56 = 59

Ejemplo:

9 6 : 2

1 Resolvemos la divisin: 6 : 2 = 3

2 Luego la resta: 9 3 = 6

b) Si hay multiplicaciones y divisiones se comienza a resolver empezando por la izquierda. Igualmente, si

hay sumas y restas se comienza a resolver empezando por la izquierda.

Ejemplo:

3 x 7 x 8

1 Empezamos por la izquierda, resolviendo la primera multiplicacin:

3 x 7 = 21

2 Luego la segunda: 21 x 8 = 168

Ejemplo:

9 6 + 2

1 Empezamos por la izquierda, resolviendo la resta: 9 - 6 = 3

2 Luego la suma: 3 + 2 = 5

c) Si en la expresin matemtica hay parntesis hay que comenzar resolviendo los parntesis. Si dentro

de los parntesis hay sumas (restas) y multiplicaciones (divisiones), aplicamos el orden sealado

anteriormente.

Ejemplo:

(5 + 3) x 4 = (8) x 4 = 32

(9 - 3) + (4 x 3) = (6) + (12) = 18

(5 - 3) x (7 - 4) : 3 = (2) x (3) : 3 = 2

d) Si dentro de los parntesis hay otros parntesis, hay que comenzar resolviendo los parntesis interiores.

Ejemplo:

((15 3) x 4) 1 x ((5 + 3) x 4) = ((12) x 4) 1 x ((8) x 4) =

(48) 1 x (32) = 48 32 = 16

Los Nmeros enteros

Los nmeros enteros son aquellos que no tienen decimales.

Pueden ser positivos: 1, 2, 3....

Puede ser 0

O pueden ser negativos: -1, -2, -3...

Delante de los nmeros positivos normalmente no se coloca ningn signo (aunque se podra poner el signo " +

"), mientras que delante de los signos negativos siempre se coloca el signo " - ".

1.- Comparar nmeros enteros Los nmeros positivos son mayores que los negativos.

Para ver como se comparan los nmeros enteros distinguiremos entre nmeros positivos y negativos:

a) En los nmeros positivos a media que la cifra es mayor el nmero es mayor:

7 es mayor que 2

b) En los nmeros negativos es al contrario: si la cifra es mayor el nmero es menor:

-7 es menor que -2

Por lo tanto: (el signo " < " significa "menor que")

... -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 ...

NUMEROS ENTEROS

Los nmeros enteros incluyen tanto los nmeros naturales que ya conocemos (0, 1, 2, 3,.), como los nmeros negativos (-1, -2, -3)

El valor opuesto de un nmero entero es el mismo nmero pero con el signo cambiado:

El opuesto de -3 es 3 El opuesto de 5 es -5

El valor absoluto de un nmero entero es su valor sin considerar el signo. El valor absoluto de un nmero entero se expresa |3|.

Ejemplo:

|1| = 1 |-1| = 1

Vemos que un nmero (1) y su negativo (-1) tienen el mismo valor absoluto.

Al ordenar los nmeros enteros de menor a mayor primero van lo negativos y luego los positivos:

... -5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5

OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS

a) Suma:

Si todos son nmeros enteros positivos se suman igual que los nmeros naturales.

(+4) +(+ 5) + (+6) = 15

(*) Hemos puesto los nmeros dentro de parntesis con signos positivos para recalcar que son enteros positivos, pero esta suma realmente se escribira: 4 + 5 + 6 = 15

Si todos son nmeros enteros negativos se suman sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo

negativo.

(- 5) + (-7) + (- 4) = |5| + |7| + |4| = |16| = -16

Si hay nmeros enteros positivos y negativos:

(+ 4) + (- 5) + (+2) + (- 9)

Por un lado sumamos los nmeros positivos:

(+ 4) + (+2) = 6

Por otro lado sumamos los nmeros negativos:

(-5)+ (-9) = |5| + |9| = -14

Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el valor absoluto mayor |14|y como sustraendo el valor absoluto menor |6|.

14 6 = 8

El resultado de la resta tendr el signo del minuendo (-14), luego:

(+ 4) + (- 5) + (+2) + (- 9) = -8

b) Resta:

(+4) (+5) (-6)

La resta de nmeros enteros se puede tratar como una suma. Para ello sustituimos el signo de la resta (-)

por el de la suma (+) pero al hacer esta sustitucin tenemos tambin que cambiar el signo del nmero que va restando:

(5) es positivo, pero como lleva delante el signo de la resta se convierte en (-5).

(-6) es negativo, pero como lleva delante el signo de la resta se convierte en (6).

La operacin queda como una suma:

(+ 4) + (- 5) + (+ 6)

Ahora procedemos igual que en la suma.


(+ 4) + (+ 6) = 10


(- 5) = - 5

Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el de mayor valor absoluto |10|y como sustraendo el de menor valor absoluto |5|.

10 5 = 5

El resultado de la resta tendr el signo del minuendo (10), luego:

4 (5) (-6) = 5

c) Sumas y restas:

(+ 7) - (- 5) + (-2) - (+ 9)

Aquellos nmeros que vayan restando sustituimos el signo de la resta por el de la suma y al nmero le cambiamos el signo:

(+ 7) + (+ 5) + (-2) + (- 9)

Ahora procedemos igual que en la suma.


(+ 7) + (+ 5) = 12


(- 2) + (- 9) = - 11

Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el de mayor valor absoluto |12| y como sustraendo el de menor valor absoluto |11|.

12 11 = 1

El resultado de la resta tendr el signo del minuendo (12), luego:

(+ 7) - (- 5) + (-2) - (+ 9) = 1

Veamos otro ejemplo:

(+ 2) - (- 7) - (+2) - (- 9)

Sustituimos los signos de resta por el de suma pero cambiando el signo del valor que va restando:

(+ 2) + (+ 7) + (-2) + (+ 9)

Sumamos los nmeros positivos:

(+ 2) + (+ 7) + (+ 9) = 18

Sumamos los nmeros negativos:

(- 2)

Restamos los valores absolutos:

|18| - |2| = 16 Como el minuendo es positivo el resultado es tambin positivo

d) Multiplicacin

Para multiplicar nmeros enteros se multiplican sus valores absolutos, como si fueran nmeros naturales, pero a continuacin hay que prestar atencin al signo del resultado:

Si todos los factores son positivos el resultado es positivo.

Si hay factores negativos hay que distinguir:

Si el nmero de factores negativos es par el resultado es positivo.

Si el nmero de factores negativos es impar el resultado es negativo.

Veamos algunos ejemplos:

( + 3) x (+ 4) = |3| x |4| = 12 (todos los factores son positivos)

( + 3) x (- 4) = |3| x |4|= -12 (hay un factor negativo: luego el nmero de factores negativos es impar)

(- 3) x (- 4) = |3| x |4|= 12 (hay dos factores negativos: el nmero de factores negativos es par, por lo que el resultado es positivo)

Veamos ms ejemplos:

(+ 2) x (+ 6) x (+5) = |2| x |6| x |5|= 60

(+ 2) x (+ 6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= -60

(+ 2) x (- 6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= 60

(- 2) x (- 6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= -60

e) Divisin

En la divisin se opera igual que en la multiplicacin de nmeros enteros: se dividen los valores absolutos, igual que cuando operamos con nmeros naturales, y a continuacin hay que ver el signo del resultado:

Si dividendo y divisor tienen el mismo signo (lo dos positivos o los dos negativos) el resultado es positivo.

Si dividendo y divisor tienen distinto signo (uno es positivo y otro es negativo) el resultado es

negativo.

Ejemplos:

(+8) : (+4) = |8| x |4|= 2

(-8) : (-4) = |8| x |4|= 2

(+8) : (-4) = |8| x |4|= -2

(-8) : (+4) = |8| x |4|= -2

f) Potencia

La base puede ser un nmero entero positivo o negativo, pero el exponente siempre tiene que ser

positivo.

El valor absoluto de la base se eleva a la potencia, igual que con los nmeros naturales, pero hay que prestar atencin al signo:

Si la base es positiva el resultado siempre es positivo.

Si la base es negativa el signo depende del exponente:

Si el exponente es un nmero par el resultado es positivo

Si el exponente es un nmero impar el resultado es negativo.

Multiplicar por tres cifras

Vamos a hacer una multiplicacin: 637 x 284.

Para ello tenemos que realizar 4 pasos:

1er paso:

2do paso:

3er paso:

4 paso:

El resultado es:

1.- Propiedad Conmutativa

Cuando vamos a multiplicar dos nmeros da igual el orden que utilicemos:

2 x 3 es igual que 3 x 2

A esta propiedad se le llama propiedad conmutativa.

Veamos otro ejemplos

4 x 6 = 24

6 x 4 = 24

2.- Propiedad asociativa

Si tenemos que multiplicar 3 o ms nmeros:

4 x 5 x 7

Da igual que empecemos:

a) Multiplicando el 1 por el 2, y su resultado lo multipliquemos por el 3

4 x 5 = 20 (multiplicamos el primero por el segundo)

20 x 7 = 140 (multiplicamos el resultado anterior por el tercero)

b) Multiplicando el 2 por el 3, y su resultado lo multipliquemos por el 1

5 x 7 = 35 (multiplicamos el segundo por el tercero)

35 x 4 = 140 (multiplicamos el resultado anterior por el primero)

Vemos que el resultado es el mismo.

3.- Propiedad distributiva

Para multiplicar una suma por un nmero:

(4 + 3) x 8

Podemos hacerlo de dos maneras:

a) Primero resolvemos la suma y su resultado lo multiplicamos por el nmero.

4 + 3 = 7 (resolvemos la suma)

7 x 8 = 56 (el resultado de la suma lo multiplicamos por el nmero)

b) Aplicando la PROPIEDAD DISTRIBUTIVA que consiste en multiplicar el nmero por cada elemento de

la suma y a continuacin sumar los resultados.

(4 + 3) x 8 = (4 x 8) + (3 x 8)

4 x 8 = 32 (multiplicamos el 8 por el primer miembro de la suma)

3 x 8 = 24 (multiplicamos el 8 por el segundo miembro de la suma)

32 + 24 = 56 (sumamos los resultados de las dos multiplicaciones anteriores)

Vemos que el resultado es el mismo.

Ejercicios

(En los ejercicios para ver la solucin hacer click en recuadro; doble click vuelve a la posicin original)

1.- Resuelve las siguientes multiplicaciones:

Nmeros Cardinales y Ordinales

Nmeros cardinales y nmeros ordinales

La diferencia entre nmeros ordinales y cardinales es muy sencilla:

Los nmeros ordinales son aquellos que utilizamos para indicar una posicin, por

ejemplo: Primero, segundo, tercero, cuarto...

Sin embargo, los nmeros cardinales son los que usamos para contar y para hacer operaciones como las sumas, restas, divisiones, multiplicaciones, etc... Por ejemplo:

1,2,3,4...

1.- Nmeros cardinales

Los nmeros cardinales son los que utilizamos para contar y para realizar operaciones aritmticas (suma, resta,

multiplicacin, divisin)

1, 2, 3, , 20, 21, ., 98, 99, 100

Numeros cardinales

Cmo se escriben? Del 20 al 29 se escriben uniendo las dos cifras

20 = veinte

21 = veintiuno

22 = veintids

23 = veintitrs

24 = veinticuatro

25 = veinticinco

26 = veintisis

27 = veintisiete

28 = veintiocho

29 = veintinueve

30 = treinta

Escritura de los nmeros del 20 al 29

A partir del 31 los nmeros con dos cifras se escriben separando la primera y la segunda cifra con la conjuncin

y:

31 = treinta y uno

32 = treinta y dos

33 = treinta y tres

34 = treinta y cuatro

35 = treinta y cinco

36 = treinta y seis

37 = treinta y siete

38 = treinta y ocho

39 = treinta y nueve

40 = cuarenta

Los nmeros de tres cifras tambin se escriben separando sus cifras:

124 = ciento veinticuatro

256 = doscientos cincuenta y seis

Escritura de nmeros del 30 en adelante

Los nmeros cardinales se clasifican en pares e impares:

Son pares los que terminan en 0, 2, 4, 6 y 8:

Por ejemplo: 6, 14, 28, 36

Son impares los que terminan en 1, 3, 5, 7 y 9

Por ejemplo: 7, 15, 23, 39

Nmeros Pares

2.- Nmeros ordinales

Los nmeros ordinales se utilizan para indicar la posicin:

Primero, segundo, tercero,

A cada nmero cardinal le corresponde un nmero ordinal.

1 Primero

2 Segundo

3 Tercero

4 Cuarto

5 Quinto

6 Sexto

7 Sptimo

8 Octavo

9 Noveno

10 Dcimo

Los nmeros ordinales

Ejercicios


1.- Emparejar los nmeros cardinales con los nmeros ordinales:

2.- Formar dos grupos: uno con los nmeros pares y otro con los nmeros impares

3.- Escribir con letras los siguientes nmeros

Los Nmeros Romanos

Los romanos utilizaban las siguientes cifras:

I : vale 1

V: vale 5

X: vale 10

L: vale 50

C: vale 100

D: vale 500

M: vale 1.000

Y combinando estas cifras segn determinadas reglas conseguan escribir todos los nmeros.

Una de estas reglas deca que algunas de estas cifras se podan repetir seguidas hasta 3 veces:

Las cifras que s se podan repetir eran:

I / X / C / M

Y las que no se podan repetir eran:

V / L / D

Siguiendo la regla anterior tendramos, por ejemplo:

I: vale 1

II: vale 2

III: vale 3

X: vale 10

XX: vale 20

XXX: vale 30

C: vale 100

CC: vale 200

CCC: vale 300

M: vale 1.000

MM: vale 2.000

MMM: vale 3.000

En los nmeros romanos se ponen cifras pequeas al lado de cifras mayores:

a) Si se ponen a su derecha suman:

VI = 5 + 1 = 6

b) Si se ponen a su izquierda restan:

IV = 5 - 1 = 4

Si una cifra pequea va entre dos cifras mayores,una a su derecha y otra a su izquierda, por ejemplo:

X I V

Suma I a la X o resta a la V ? Siempre resta al nmero mayor que tenga a su derecha (en este caso a la V).

Si se escribe una raya encima de un nmero, ese nmero va multiplicado por 1.000:

_

X

X con una arriba es: 10 x 1.000 = 10.000

__

C

L

C L con una arriba es: 150 x 1.000 = 150.000

Vamos a escribir ahora del 1 al 20 en nmeros romanos:

Vamos a ver otros ejemplos:

Nmeros Primos y Compuestos

Nmero primo es aquel nmero que tan slo se puede dividir (divisin exacta) por 1 o por si mismo.

Algunos nmeros primos son; 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,

Para ver si un nmero es primo se puede comprobar dividindolo por 2, 3, 5, 7, 11 (es decir, por los nmero primos). Si ninguna de las divisiones es exacta el nmero es primo.

No hace falta probar con los nmeros que no son primos (4, 6, 8,... ) ya que stos son mltiplos de algn

nmero primo (del 2, o del 3, ), por lo que si la divisin no es exacta con los nmeros primos tampoco lo ser por sus mltiplos.

Y hasta qu nmero tenemos que llegar con las comprobaciones? En el momento en el que el cociente de la divisin sea menor que el divisor se puede parar.

Por ejemplo: queremos ver si 59 es primo:

59 : 2 = 29 (resto 1)

59 : 3 = 19 (resto 2)

59 : 5 = 11 (resto 4)

59 : 7 = 8 (resto 3) 59 : 11 = 5 (resto 4)

El cociente (5) ya es menor que el divisor (11) por lo que podemos dejar de comprobar y confirmar que

59 es un nmero primo. Los nmeros que no son primos se denominan nmeros compuestos, y son aquellos que adems de poder dividirse por 1 y por si mismo, se pueden dividir al menos por algn otro nmero.

El nmero 8 es compuesto porque se puede dividir por 1, 2, 4 y 8.

Todos los nmeros pares son compuestos (excepto el 2), porque todos ellos se pueden dividir, adems de por 1 y de por si mismo, al menos tambin por el 2.

COMO AHORRAR TRABAJO PARA SABER SI UN NMERO GRANDE ES PRIMO

a) Si lo hacemos manualmente haciendo divisiones con nmeros primos cada vez de mayores, paramos en el

momento en que el cociente es menor que el divisor.

Ejemplo:

3.38 Descomponer en sus factores primos el nmero 3054:

Como veo que 509 no es divisible por 2, 3, 5, 7, 11 lo divido por 13, 17, 19, 23:

En las divisiones que tienes encima ves que el cociente siempre es mayor que el divisor. En este caso, hay que

continuar probando con nmeros primos cada vez mayores en el divisor hasta que el cociente sea menor que el

nmero que se encuentre en este lugar. Si el resto no es cero ya puedes decir que el nmero que tienes en el

dividendo es un nmero primo.

Vemos que el cociente 22 es menor que el divisor 23 y el resto es distinto de cero. Podemos decir que 509 es un

nmero primo.

b) Otra forma para facilitar el trabajo para saber si un nmero es primo es utilizar la Hoja de Clculo. Los

resultados de las operaciones son instantneas y si el resultado ves que tiene decimales, pruebas por el siguiente

nmero primo.

c) Si dispones de Internet en el buscador GOOGLE escribes: como saber si un nmero es primo.

Ahora te diriges a: descartes.cnice.mec.es/Algebra/divisibilidad/numeros_primos_y_numeros_compues.htm En la casilla correspondiente escribes un nmero y al instante te dir si es primo o no.

3.39 Vas a descomponer en sus factores primos al nmero 36:

3.40 Descompn en sus factores primos el nmero 225:

3.41 Calcula los factores primos del nmero 2250.

3.42 Cules son los factores primos del nmero 2310?



Respuestas:

EL NMERO PRIMO

Es aqul que nicamente tiene como divisores exactos (al dividirlo por ellos el resto es igual a cero) el 1 y si

mismo.

En cambio, el nmero compuesto es aqul que tiene como divisores exactos, adems del 1 y de si mismo, otros

nmeros.

Por ejemplo:

El nmero 13 es primo porque slo tiene como divisores exactos el 1 y el 13.

El nmero 8 es compuesto porque tiene otros divisores exactos: 1, 2, 4 y 8.

Algunos nmeros primos son:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...

Algunos nmeros compuestos son:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18...

REGLAS DE DIVISIBILIDAD

Un nmero es divisible por otro cuando el resto es cero.

a) Un nmero es divisible por 2 cuando termina en cifra par o en cero.

Por ejemplo:

42 : 2 = 21 (resto = 0)

68 : 2 = 34 (resto = 0)

126 : 2 = 63 (resto = 0)

b) Un nmero es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es 3 o mltiplo de 3.

Por ejemplo:

63 : 3 = 21 (resto = 0) Si sumamos las cifras de 63 (6 +3) da 9 que es mltiplo de 3.

138 : 3 = 46 (resto = 0) Si sumamos las cifras de 138 (1+3+8) da 12 que es mltiplo de 3.

564 : 3 = 188 (resto = 0) Si sumamos las cifras de 564 (5+6+4) da 15 que es mltiplo de 3.

c) Un nmero es divisible por 4 cuando sus dos ltimas cifras son cero o son divisibles por 4.

Por ejemplo:

624 : 4 = 156 (resto = 0) Las dos timas cifras (24) son divisibles por 4.



d) Un nmero es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5.

Por ejemplo:

725 : 5 = 145 (resto = 0) Este nmero termina en 5.



e) Un nmero es divisible por 9 si al sumar sus cifras el resultado es mltiplo de 9.

Por ejemplo:

126 : 9 = 14 (resto = 0) La suma de sus cifras (1+2+6=9) es mltiplo de 9.



Ejercicios


1.- Indica cual de los siguientes nmeros es primo y cual es compuesto:

2.- Responde si es verdadero o falso:

CALCULAR TODOS LOS NMEROS PRIMOS QUE HAY ENTRE LOS 209 PRIMEROS

NMEROS NATURALES

Fue un matemtico llamado Eratstenes, nacido casi 300 aos antes de Cristo quien ide una forma sencilla

para calcular los nmeros primos.

CRIBA DE ERATSTENES:

Antes de comenzar, debes saber que, por criba se entiende un utensilio, generalmente una malla metlica que se

usa para cribar o limpiar de impurezas el trigo u otras semillas.

La criba de Eratstenes limpia de nmeros compuestos y nos deja los nmeros primos solamente.

Veamos lo vamos a hacer:

2 Multiplicamos 2 por s mismo y nos da 4.

3 Nos colocamos sobre el 4, lo tachamos (en este ejemplo lo hemos pintado de rojo).

4 Contamos dos lugares a partir del 4 y nos encontramos con el 6 y hacemos lo mismo.

5 Seguimos contando 2 lugares y lo pintamos de rojo.

Todos los nmeros en fondo rojo no son primos. Todos ellos tienen a 2 como divisor. En la primera pasada nos

ha quedado:

6 Ahora multiplica 3 por 3. Obtienes como resultado el 9, lo tachas y vas contando 3 lugares (SE CUENTAN

LOS QUE TIENEN FONDO EN COLOR O SUPUESTAMENTE TACHADOS).

Los tachas, en nuestro caso lo hemos pintado de verde:

7 Ahora tomas el cinco lo multiplicas por s mismo y obtienes

25.

Te colocas en 25, lo tachas, vas contando (incluyendo los tachados, en nuestro caso, los pintados) de 5 en 5

lugares. Los tachas (en nuestro caso lo pintamos de amarillo), si no est borrado o pintado, hasta terminar todos

los nmeros.

8 Multiplicas ahora 7 por s mismo, te colocas en 49, lo tachamos o pintamos y a partir de este nmero vamos

tachando, si no lo est, y pintamos de azul (contando siempre los tachados o pintados).

9 Tomamos el 11 y lo multiplicamos por s mismo, nos situamos en 121, vamos contando de 11 en 11 y si no

est pintado o tachado lo hacemos. Ahora utilizamos el color rosa claro.

10 Tomamos el 13 y lo multiplicamos por s mismo y obtenemos 169. Nos situamos en 169, vamos contando

de 13 en 13 y si no est pintado o tachado lo hacemos. Ahora utilizamos el color gris.

Como el siguiente nmero a 13 vemos que es 17. Al multiplicarlo por s mismo nos pasamos de 209. Esto

quiere decir que ya hemos terminado.

TODOS LOS NMEROS EN FONDO BLANCO SON PRIMOS.

3.17 Intenta hacer por tu cuenta una criba que deje pasar los 30 primeros nmeros primos. Si tienes alguna duda

no tienes ms que consultar a lo que se te ha explicado.

MLTIPLOS Y DIVISORES: Se dice que un nmero (12) es mltiplo de otro (4) cuando al dividir el primero entre el segundo, el resto es

igual a cero:

En este caso, 12 es mltiplo de 3.

Contesta a las preguntas siguientes:

3.17 Es 12 mltiplo de 4?









Respuestas:

3.17 S. Al dividirlos obtenemos el resto cero.

3.18 S. Al dividirlos obtenemos el resto igual a cero.




3.22 No. Al dividirlos no obtenemos el resto igual a cero.



3.25 No. Al dividirlos no tenemos el resto igual a cero.

Se dice que un nmero es divisor de otro cuando lo divide exactamente.

Ejemplo: 3 divide exactamente a 9

5 no divide exactamente a 12

Podemos decir que 3 es un divisor de 9

y 5 no es un divisor de 12.

3.26 Es 7 un divisor de 21?









Respuestas: 3.26 21 contiene un nmero exacto de veces a 7. S, 7 es un divisor de 21.

3.27 127 no contiene un nmero exacto de veces a 5. No, 5 no es un divisor de 127.

3.28 21 contiene un nmero exacto de veces a 3. S, 3 es un divisor de 21.







NMERO DECIMAL.

Nmero decimal es aquel que tiene una parte entera y una parte decimal.

3,5

4,765

2,875

La parte decimal, que va a la derecha de la coma (en el primer ejemplo: 0,5) es una cantidad inferior a la unidad.

Los nmeros decimales se pueden clasificar en:

a) Decimales exactos: tienen un nmero finito de cifras decimales.

4,32

1,6

5,4323

b) Decimales peridicos: tienen un nmero infinito de decimales, que a partir de cierto momento se van repitiendo siguiendo un patrn, que se denomina periodo. Cabe distinguir dos casos particulares:

b.1.- Nmeros peridicos puros: si el patrn de repeticin de las cifras decimales comienza desde el primer decimal.

3,33333

4,75757575

2,423423423..

b.2.- Nmeros peridicos mixtos: si la sucesin infinita de decimales no presenta inicialmente ningn patrn y luego comienza una secuencia.

Las cifras decimales que hay entre la coma y el comienzo del periodo se denomina anteperiodo.

5,2147777777

6,9163636363

7,1332456456456456..

c) Decimales infinito no peridicos: tiene un nmero infinito de decimales que no siguen ninguna secuencia:

5,326

4,23522398

13,0074823

Para comparar nmeros decimales se comienza comparando la parte entera:

23,45> 12,45

Ya que la parte entera del primer nmero (23) es mayor que la del segundo (12).

Si las partes enteras fueran iguales, habra que comparar las partes decimales: primero

comenzando por las dcimas; si fueran iguales comparamos las centsimas; si fueran iguales comparamos las milesimas; y si fueran iguales comparamos las diezmilsimas

12,45> 12,35 Las dcimas del primero (0,4) son mayores que las del segundo (0,3)

12,43> 12,41 Las centsimas del primero (0,03) son mayores que las del segundo (0,01)

12,477> 12,475 Las milsimas del primero (0,007) son mayores que las del segundo (0,005)

12,4774> 12,4771 Las diezmilsimas del primero (0,0004) son mayores que las del segundo (0,0001)

Nmeros Decimales

Hasta ahora hemos trabajado con nmeros enteros, cuya cifra ms pequea es la unidad:

Pero tambin hay nmero que tienen una parte inferior a la unidad, estos se llaman nmeros decimales:

La parte entera va a la izquierda de la coma y la parte decimal a la derecha.

Vamos a ver cada una de estas cifras decimales.

a) La dcima

La dcima es un valor ms pequeo que la unidad

1 unidad = 10 dcimas.

Es decir, si dividimos una unidad en 10 partes iguales, cada una de ellas es una dcima.

Las dcimas van a la derecha de la coma.

b) La centsima

Es un valor ms pequeo que la unidad y tambin que la dcima.

1 unidad = 100 centsimas

1 dcima = 10 centsimas.

Es decir, si dividimos una unidad en 100 partes iguales, cada una de ellas es una centsima.

Y si dividimos una dcima en 10 partes iguales, cada una de ellas es una centsima.

c) La milsima

Es un valor ms pequeo que la unidad, que la dcima y tambin que la centsima:

1 unidad = 1.000 milsimas

1 dcima = 100 milsimas

1 centsima = 10 milsimas

Es decir, si dividimos una unidad en 1.000 partes iguales, cada una de ellas es una centsima.

1.- Cmo se lee un nmero decimal?

Por ejemplo: 53,41 se puede leer:

"cincuenta y tres coma cuarenta y uno"

o "cincuenta y tres con cuarenta y uno"

2.- Comparacin de nmeros decimales

Para comparar nmeros decimales comenzamos comparando la parte entera: aqul que tenga la parte entera ms

alta, es el mayor.

234,65 es mayor que 136,76

Si ambos tienen igual parte entera habra que comparar la parte decimal, comenzando por las dcimas, luego

por las centsimas y por ltimo por las milsimas.


146,89 es mayor que 146,78 (ambos tienen igual parte entera, pero el primero tiene 8 dcimas mientras que el

segundo tiene 7).

357,56 es mayor que 357,53 (ambos tienen igual parte entera y tambin las mismas dcimas, pero el primero

tiene 6 centsimas y el segundo tan slo 3)

634,128 es mayor que 634,125 (ambos tienen igual parte entera y tambin las mismas dcimas y centsimas,

pero el primero tiene 8 milsimas y el segundo tan slo 5)

Veamos otros ejemplos:

Vamos a comparar un nmero con parte decimal y otro sin parte decimal:

207,12 es mayor que 207 (ambos tienen igual parte entera, pero el primero tiene 1 dcima mientras que el

segundo no tiene ninguna).

Vamos a comparar un nmero con dcimas y centsimas y otro slo con dcimas:

43,28 es mayor que 43,2 (ambos tienen igual parte entera y las mismas dcimas, pero el primero tiene 8

centsimas mientras que el segundo no tiene ninguna).

Vamos a comparar un nmero con dcimas y otro slo con centsimas:

72,1 es mayor que 72,09 (ambos tienen igual parte entera, pero el primero tiene 1 dcima y el segundo

ninguna).

Ejercicios


1.- Indica cul de los siguientes nmeros es entero y cul decimal.

2.- Ordena los siguientes nmeros de mayor a menor.

Multiplicaciones con Decimales

1.- Multiplicaciones

En una multiplicacin pude haber decimales en cualquiera de los dos factores, o en los dos:

a) En primer lugar multiplicamos sin tener en cuenta que hay decimales:

b) A continuacin contamos los nmeros decimales que hay en ambos factores y sern las cifras decimales que

lleve el resultado:

b.1.- Empecemos por la primera multiplicacin,

Tiene una cifra decimal en el primer factor y ninguna en el segundo: en total 1 cifra decimal.

El resultado de la multiplicacin (324.324) llevar 1 cifra decimal:

b.2.- Segunda multiplicacin,

Tiene dos cifras decimales en el segundo factor: en total 2 cifras decimales.

El resultado de la multiplicacin (527.814) llevar 2 cifras decimales:

b.3.- Tercera multiplicacin,

Tiene dos cifras decimales en el primer factor y una en el segundo: en total 3 cifras decimales.

El resultado de la multiplicacin (255.528) llevar por tanto 3 cifras decimales:

2.- Multiplicar por 10, 100, 1.000

Por ejemplo:

45,6 x 10

235,6 x 100

78,96 x 1.000

Para calcular el resultado:

a) Primero escribimos en el resultado el primer factor.

b) Luego en el resultado desplazaremos la coma a la derecha tantas posiciones como ceros lleve el nmero por

el que hemos multiplicado.

Puede ocurrir que haya ms ceros que cifras decimales, por lo que no podamos desplazar a la derecha la coma

tantas posiciones como ceros.

Qu hacemos? Las posiciones que no hayamos podido desplazar la coma la completaremos con ceros:

Veamos los ejemplos:

a) 45,6 x 10

Primeros repetimos en el resultado el primer factor.

45,6 x 10 = 45,6

Luego desplazaremos la coma a la derecha una posicin ya que hemos multiplicado por 10 que lleva 1 cero:

45,6 x 10 = 456, (la coma a la derecha sin ninguna cifra decimal se puede quitar y escribir 456)

b) 235,6 x 100


235,6 x 100 = 235,6

Luego desplazaremos la coma a la derecha dos posiciones ya que hemos multiplicado por 100 que lleva 2 ceros:

Como 235,6 tan slo tiene un decimal y necesitamos desplazar la coma 2 posiciones, completaremos el

movimiento que nos falta poniendo 1 cero:

235,6 x 100 = 23.560

c) 78,96 x 1.000


78,96 x 1.000 = 78,96

Luego desplazaremos la coma a la derecha tres posiciones ya que hemos multiplicado por 1.000 que lleva 3

ceros.

Como 78,96 tan slo tiene dos decimales y necesitamos desplazar la coma 3 posiciones, completaremos el

movimiento que nos falta poniendo 1 cero:

78,96 x 1.000 = 78.960

Ejercicios


1.- Resuelve las siguientes operaciones:

2.- Resuelve las siguientes operaciones:

OPERACIONES CON DECIMALES

a) Suma con decimales: se realiza como una suma ordinaria. Hay que tener la precaucin de poner las cifras en las columnas correspondientes: las unidades con las unidades, las dcimas con las dcimas,

las centsimas con las centsimas, etc. Las comas deben estar alineadas.

Ejemplo:

23,45 + 5,2 + 67,345

La suma es:

Vemos en el ejemplo anterior que si alguno de los sumandos tiene menos cifras decimales que el resto, las que faltan se completan con ceros.

Si en la suma hay alguna cifra sin decimales hay que tener precaucin en su colocacin (es como si llevara

una coma a su derecha).

Ejemplo:

33,04 +17 + 0,456

La suma es:

b) Resta con decimales: se realiza como una resta ordinaria. Al igual que en la suma hay que tener la precaucin de poner las cifras en la columna correspondiente.

Ejemplo:

45 0,567

La resta es:

Vemos en el ejemplo anterior que si uno de los 2 nmeros tiene menos cifras decimales que el otro las cifras que le falten se completan con ceros.


67,1 43,872

La resta es:

c) Multiplicacin con decimales: se realiza como una multiplicacin ordinaria, pero al resultado hay que ponerle tantos decimales como el nmero de cifras decimales que tengan conjuntamente los dos factores.

Ejemplo:

45,2 x 36,56

La multiplicacin es:

Como el primer factor tiene un decimal y el segundo dos decimales, en total suman tres cifras decimales,

por lo que el producto tendr tres decimales.

d) Divisin con decimales:

d.1.- Divisin con decimales:

234 : 45,56

Si el divisor tiene decimales hay que eliminarlos multiplicndolo por un 1 seguido de tantos ceros como

cifras decimales.

45,56 x 100 = 4556

Para que la divisin sea equivalente a la inicial, y el resultado no vare, el dividendo hay que multiplicarlo

por el mismo nmero.

234 x 100 = 23400

Luego la divisin quedara:

23400 : 4556

Ahora ya operaramos como en una divisin normal.

d.2.- Dividendo con decimales:

124,45 : 15

Realizamos la divisin como si no hubiera decimales:

12445 : 15 = 829 (resto 10)

Pero el cociente llevar tantas cifra decimales como tenga el dividendo.

Cociente 8,29

d.3.- Dividendo y divisor con decimales

45,679 : 31,22

Al igual que en el primer caso hay que eliminar los decimales del divisor.

31,22 x 100 = 3122

Para que la divisin sea equivalente a la inicial y el resultado no vare, el dividendo hay que multiplicarlo

por el mismo nmero.

46,679 x 100 = 4667,9

La divisin quedara: 4567,9 : 3122 Y operaramos como en el segundo caso.

NMERO MIXTO

Es una expresin numrica formada por un nmero natural y una fraccin:

3 + 6 / 5

El valor numrico de un nmero mixto es la suma del nmero y del valor numrico de la fraccin:

6 / 5 = 6 : 5 = 1,2

Luego:

3 + 6 / 5 = 3 + 1,2 = 4,2

Un nmero mixto se puede expresar en forma de fraccin. Para ello expresamos la parte entera en

forma de fraccin (ponindole como denominador 1) y sumamos 2 fracciones.

3 + 6 / 5 = 3 / 1 + 6 / 5 = 15 / 5 + 6 / 5 = 21 / 5

Una fraccin cuyo numerador es mayor que su denominador se puede expresar en forma de nmero

mixto:

16 / 5

Dividimos el numerador entre el denominador.

16 : 5 = 3 (resto = 1)

La parte entera ser el cociente de la divisin (3), mientras que la fraccin tendr como numerador el

resto (1) y como denominador el mismo que la fraccin original (5).

16 / 5 = 3 + 1 / 5

Vamos a realizar algunos ejemplos: Calcular el valor numrico de:

3 + 4 / 6 = 3 + 0,666 = 3,666

5 + 2 / 8 = 5 + 0,250 = 5,250

7 + 1 / 6 = 7 + 0,166 = 6,166

Expresar las siguientes fracciones en forma de nmero mixto:a ) 7 / 3

Dividimos el numerador entre el denominador.7 : 3 = 2 (resto = 1)

El nmero mixto es: 2 + 1 / 3

b) 9 / 2

Dividimos el numerador entre el denominador.

9 : 2 = 4 (resto = 1)

El nmero mixto es: 4 + 1 / 2

Expresa los siguientes nmeros mixtos en forma de fraccin.

c) 4 + 5 / 7

4 + 5 / 7 = 4 / 1 + 5 / 7 = 28 / 7 + 5 / 7 = 33 / 7

d) 5 + 6 / 8

5 + 6 / 8 = 5 / 1 + 6 / 8 = 40 / 8 + 6 / 8 = 46 / 8

REDONDEOS Y TRUNCAMIENTO DE UN NMERO DECIMAL

a) REDONDEOS

Los nmeros decimales se pueden redondear:

- A la unidad: consiste en eliminar la parte decimal, aproximndola a la unidad ms cercana. Si la parte

decimal es igual o inferior a 0,500 se aproxima a la unidad inferior, si es superior se aproxima a la unidad

superior.

4,14 se aproxima a 4 (ya que la parte decimal es 0,1)





- A la dcima: consiste en dejar una sola cifra decimal, aproximando las centsimas a la dcima ms cercana. Si la parte centesimal es igual o inferior a 0,050 se aproxima a la dcima inferior, si es superior

se aproxima a la dcima superior.

4,14 se aproxima a 4,1 (ya que la parte centesimal es 0,04)





- A la centsima: consiste en dejar tan slo dos cifras decimales, aproximando las milsimas a la centsima ms cercana. Si la parte milesimal es igual o inferior a 0,005 se aproxima a la centsima

inferior, si es superior se aproxima a la centsima superior.

4,14 se aproxima a 4,14 (ya que la parte milesimal es 0,000)





b) TRUNCAMIENTO

En el truncamiento de un nmero decimal se eliminan las cifras a partir de aquellas en la que se realiza el truncamiento.

- Truncamiento por la unidad: se eliminan todas las cifras decimales.

45,325 se trunca por 45



- Truncamiento por la dcima: tan slo se deja esta cifra decimal:

45,325 se trunca por 45,3

122,3434 se trunca por 122,3

91,435123 se trunca por 91,4

- Truncamiento por la centsima: tan slo se dejan dos cifras decimales:

45,325 se trunca por 45,32

122,3434 se trunca por 122,34

91,435123 se trunca por 91,43

Y as sucesivamente.

Mecnica de los signos

La regla bsica para sumar y restar es: trminos con signos iguales se suman, trminos con signos diferentes

se restan.

Al multiplicar dos trminos con signos iguales el signo del resultado es positivo (+), al multiplicar dos trminos

con signos diferentes el signo del resultado es negativo (-).

Signo en la respuesta de la

operacin

Signos de Operandos Suma (signo) multiplicacin

+ + Se suman (+) +

+ - Se resta (del mayor) -

- + Se resta (del mayor) -

- - Se suman (-) +

Siempre que no se escriba signo se presume que el signo es positivo.

El cero carece de signo al ser la nulidad no tiene valor alguno ni positivo ni negativo.

Ejemplos:

Sumas:

4 + 5 = + 9

- 6 12 = - 18

5 3 = + 2

5 9 = - 4

12x -15x = -3x

-6m -3m = -9m

Multiplicaciones:

(7)(5) = 35

(5)(-12) = -60

(-8)(-3) = 24

(x)(z) = xz

(m)(-n) = -mn

(12x)(-3y) = -36xy

Mecnica de los signos para mas de dos factores

Sumas y restas

Si el nmero de sumandos es mayor de dos primero se suman todos los positivos y aparte todos los negativos,

luego se restan estas dos cantidades colocando el signo del valor absoluto mayor de los dos.

5x x + 5x x + 6x 9x + 5x + 6x + 7x = 34x 11x = 23x

Una manera til y simple para realizarlo consiste en separar todos los positivos en un parntesis y todos los

negativos en otro antes de sumarlos, esto logra una forma sencilla de no confundirse con los trminos:

Ejemplos:

5 6 + 5 7 + 6 9 + 5 = (5 + 5 + 6 + 5)-(6 + 7 +9) = (21) (22) = -1

5x5xx+6x9x+5x+6x+7x = (5x +6x+5x+6x+7x) - (5x+x+9x) = (29x) (15x) = 14x

Como se puede notar los signos de los factores negativos se han cambiado al introducirlos al parntesis, ya que

se colocado un signo negativo antes de l parntesis el cual significa que todos los factores que se encuentran

en ese parntesis son factores negativos.

Producto

Si el nmero del multiplicando es mayor que dos se pondr a la respuesta signo negativo solo si la cantidad total

de signos negativos es impar, si la cantidad de negativos es par o cero se pondr signo positivo

Ejemplos

(8)(2)(3) = 48

(-1)(-5)(3)(-2) = -30

(x)(z)(-y) = - xyz

(12x)(-3y)(8z) = -288xyz

LA FRACION

Se utiliza para representar las partes que se toman de un objeto que ha sido dividido en partes iguales.

Por ejemplo, dividimos una pizza en 8 partes iguales y cogemos tres. Esto se representa por la siguiente

fraccin:

Los trminos de la fraccin se denominan: numerador y denominador.

Cmo se leen las fracciones? Se leen en funcin de cul es su denominador:

1 / 2: un medio

1 / 3: un tercio

1 / 4: un cuarto

1 / 5: un quinto

1 / 6: un sexto

1 / 7: un sptimo

1 / 8: un octavo

1 / 9: un noveno

1 / 10: un dcimo

1 / 11: un onceavo

1 / 12: un doceavo

1 / 13: un treceavo


A cuantas unidades equivale una fraccin? Para calcularlo se divide el numerador entre el denominador:

Por ejemplo:

Para ver a cuantas unidades equivale esta fraccin dividimos: 2 : 8 = 0,25

Equivale a 0,25 unidades

Si una fraccin tiene igual numerador y denominador representa la unidad.

Por ejemplo, divido una tarta en 4 partes y me tomo las cuatro partes:

Quiere decir que me he tomado la totalidad de la tarta. (4 / 4) equivale a la unidad (a la tarta). Si dividimos 4 : 4

= 1

1.- Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando equivalen a las mismas unidades.

Por ejemplo:

Estas dos fracciones son equivalente ya que equivalen a las mismas unidades:

4 : 8 = 0,5 unidades

1 : 2 = 0,5 unidades

Cmo sabemos cuando dos fracciones son equivalentes?

Para ello dividimos sus numeradores y sus denominadores, si guardan la misma proporcin es que son

equivalente:

Veamos un ejemplo:

Dividimos sus numeradores: 6 : 2 = 3

Dividimos sus denominadores: 9 : 3 = 3

Guardan la misma proporcin (3) luego estas dos fracciones son equivalentes.

Podemos comprobarlo. La primera fraccin equivale a 6 : 9 = 0,66 unidades

La segunda fraccin equivale a 2 : 3 = 0,66 unidades

Veamos ahora un ejemplo de dos fracciones que no son equivalentes:

Dividimos sus numeradores: 2 : 3 = 0,66

Dividimos sus denominadores: 4 : 9 = 0,44

No guardan la misma proporcin luego estas dos fracciones no son equivalentes.

Podemos comprobarlo. La primera fraccin equivale a 2 : 4 = 0,50 unidades

La segunda fraccin equivale a 3 : 9 = 0,33 unidades

2.- Comparacin de fracciones

Cmo puedo saber si una fraccin es mayor o menor que otra?

Para ello vamos a distinguir:

Comparar fracciones con el mismo denominador

Comparar fracciones con distinto denominador

a) Comparar fracciones con el mismo denominador

Es mayor la fraccin que tenga mayor el numerador.

Podemos comprobar que 2 / 4 = 0,5 mientras que 1 / 4 = 0,25, luego la primera fraccin es mayor.

Tambin podemos comprobar que 5 / 9 = 0,55 mientras que 3 / 9 = 0,33, luego la primera fraccin es mayor.

b) Comparar fracciones con distinto denominador

En este caso puede ocurrir que tengan el mismo numerador o no.

b.1.- Si tienen el mismo numerador es mayor la que tenga menor denominador.

En este caso comprobamos que 8 / 3 = 2,66 mientras que 8 / 5 = 1,60, luego la primera fraccin es mayor.

Tambin podemos ver que 6 / 2 = 3,00 mientras que 6 / 4 = 1,50, luego la primera fraccin es mayor.

b.2.- Si tienen distinto numerador entonces para poder compararlas hay que expresarlas con el mismo

denominador:

Si los dos trminos de una fraccin se multiplican por el mismo nmero la fraccin resultante es

equivalente.

Y por qu nmero multiplicamos cada fraccin? la primera fraccin la multiplicamos por el denominador de la

segunda, y la segunda por el denominador de la primera.Veamos un ejemplo:

Para comparar estas dos fracciones, vamos a multiplicar los dos trminos de la primera fraccin por 2

(denominador de la segunda).

Podemos comprobar que al multiplicar numerador y denominador por el mismo nmero la fraccin no cambia:

3 / 7 = 0,428 mientras que 6 / 14 = 0,428.

Y vamos a multiplicar los dos trminos de la segunda fraccin por 7 (denominador de la primera).

Ahora las dos fracciones ya tienen el mismo denominador, luego podemos compararlas:

Vemos que la segunda fraccin es mayor que la primera porque su numerador es mayor.

b.3.- Si tienen distinto numerador tambin se pueden calcular fracciones con el mismo denominador

utilizando el mtodo del Mnimo Comn Mltiplo.

Vamos a verlo con un ejemplo:

Calculamos los mltiplos de cada denominador:

Mltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70...

Mltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90...

Hemos sealado en rojo el nmero 30 porque es un mltiplo comn de ambos nmeros y es el menor de los

mltiplos comunes (por ejemplo, 60 tambin es un mltiplo comn pero es mayor que 30).

Utilizaremos este Mltiplo Comn Mltiplo como denominador comn de ambas fracciones, pero para que las

nuevas fracciones sean equivalentes a las anteriores tenemos que ajustar los numeradores Cmo lo hacemos?

En la primera fraccin vamos a sustituir su denominador 10 por 30, en definitiva, vamos a multiplicar por 3 su

antiguo denominador, luego para que la fraccin sea equivalente a la original tendremos tambin que

multiplicar por 3 su numerador.

En la segunda fraccin vamos a sustituir su denominador 15 por 30, por lo que vamos a multiplicarlo por 2,

luego tendremos tambin que multiplicar por 2 su numerador.

Ya podemos comparar ambas fracciones:

Ejercicios

1.- Calcula las unidades a las que equivalen las siguientes fracciones:

2.- Indica si los siguientes pares de fracciones son equivalentes o no:

3.- Compara los siguientes pares de fracciones e indica cual es mayor y cual es menor:

Formulas

Suma de Fracciones homogneas : a + b = a + b c c c

Suma de Fracciones heterogneas : a + b = ad + bc c d cd

Resta de Fracciones homogneas : a - b = a - b c c c

Resta de Fracciones heterogneas : a - b = ad - bc c d cd

Multiplicacin de Fracciones : a b = ab c d cd

Divisin de Fracciones : a b = a d = ad c d c b cb

FRACCIONES

La fraccin est formada por 2 nmeros naturales: el nmero de arriba se denomina numerador y el de

abajo denominador.

4 / 6 (4 es el numerador y 6 es el denominador)

El denominador indica el nmero de partes en las que se divide una unidad y el numerador el nmero de partes que se toma.

4 / 6 de una tarta significa que la tarta se ha dividido en 6 porciones y se han tomado 4.

La fraccin tiene una equivalencia numrica que se calcula dividiendo el numerador entre el denominador:

4 : 6 = 0,666

Puede ocurrir que el numerador sea menor, igual o mayor que el denominador:

Si el numerador es menor que el denominador se denomina fraccin propia. El valor de la fraccin es menor que la unidad (como vimos en el ejemplo anterior).

Si el numerador es igual que el denominador, el valor de la fraccin es la unidad.

7 / 7 su valor numrico es 7 : 7 = 1

Si el numerador es mayor que el denominador se denomina fraccin impropia. El valor de la fraccin es mayor que la unidad.

9 / 6 su valor numrico es 9 : 6 = 1,5

En una fraccin impropia puede ocurrir que su equivalencia numrica sea un nmero exacto o no:

12 / 6 su valor numrico es 12 : 6 = 2 (resto = 0)

15 / 6 su valor numrico es 15 : 6 = 2 (resto 3)

Estas fracciones impropias cuya divisin no es exacta se pueden representar en forma de nmero mixto, que es la combinacin de una parte entera y de una fraccin.

La parte entera ser el cociente de la divisin (en este caso, 2) mientras que la fraccin tendr como numerador el resto (3) y como denominador el mismo que la fraccin original (6).

Luego 15 / 6 equivale al nmero mixto 2 + (3 / 6)


19 / 5 = 19 : 5 = 3 (resto = 4)


21 / 4 = 21 : 4 = 5 (resto = 1)


El valor de un nmero mixto es igual a la suma de la parte entera y de valor numrico de la fraccin:

Ejemplo: 2 + (3 / 6)

Calculamos el valor numrico de la fraccin: 3 : 6 = 0,5

Luego el valor del nmero mixto ser:

2 + (3 / 6) = 2 + 0,5 = 2,5

Vimos anteriormente que este nmero mixto era equivalente a la fraccin 15 / 6. Podemos comprobar cmo el valor del nmero mixto coincide con el valor numrico de la fraccin original:

15 / 6 = 15 : 6 = 2,5

Las fracciones tambin se utilizan en operaciones aritmticas:

Calcular: 7 / 10 del nmero 30

Esto es equivalente a 7 / 10 x 30

Para resolverla el nmero (30) se multiplica por el numerador de la fraccin (7) y se divide por su denominador (10):

7 / 10 de 30 = (7 x 30) / 10 = 210 / 10 = 21

Vamos a hacer otro clculo: 5 / 7 de 35

5 / 7 de 35 = (5 x 35) / 7 = 175 / 7 = 25

EQUIVALENCIA ENTRE FRACCIONES

Dos fracciones son equivalentes cuando tienen el mismo valor numrico.



Luego ambas fracciones son equivalentes.

Para comprobar si dos fracciones son equivalentes: se multiplica el numerador de la primera por el

denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda. Si ambos resultados son iguales las 2 fracciones son equivalentes.

Vamos a comprobarlo con el ejemplo anterior: 9 / 3 y 21 / 7

9 x 7 = 63

3 x 21 = 63

Para calcular una fraccin equivalente a una dada hay que multiplicar (dividir) los 2 miembros de la fraccin por un mismo nmero.

Ejemplo: 4 / 10

Multiplicamos ambos miembros, por ejemplo, por 6:

24 / 60

Comprobamos que ambas fracciones son equivalentes aplicando la regla anterior:

4 x 60 = 240 10 x 24 = 240

Cuando calculamos fracciones equivalentes dividiendo numerador y denominador por un mismo nmero estamos simplificando la fraccin.

Por ejemplo: 44 / 24

Dividimos ambos miembros por 2:

44 : 2 = 22 24 : 2 = 12

Volvemos a dividir por 2:

22 : 2 = 11 12 : 2 = 6

La fraccin equivalente: 11 / 6

La fraccin ya no se puede reducir ms (numerador y denominador ya no tienen ms divisores comunes), decimos que esta fraccin ya es irreductible.

Y podemos comprobar que es equivalente a la fraccin original:

44 x 6 = 264

24 x 11 = 264


Vamos a hallar la fraccin irreductible de 28 / 20

Dividimos numerador y denominador por 2.

28 : 2 = 14

20 : 2 = 10

Volvemos a dividir por 2.

14 : 2 = 7

10 : 2 = 5

Ya no podemos seguir simplificando ya que no tienen ms divisores comunes. La fraccin equivalente es 7 / 5

Podemos obtener directamente la fraccin irreductible de una dada dividiendo numerador y denominador por el Mximo Comn Divisor (MCD) de ambos nmeros.

Veamos un ejemplo:

50 / 20

Calculamos el MCD:

50 = 2 x 52

20 = 22 x 5

El MCD es: 2 x 5 = 10

Dividimos numerador y denominador entre 10:

50 : 10 = 5

20 : 10 = 2

La fraccin irreductible es: 5 / 2

FRACCIONES

La fraccin est formada por 2 nmeros naturales: el nmero de arriba se denomina numerador y el de

abajo denominador.

4 / 6 (4 es el numerador y 6 es el denominador)

El denominador indica el nmero de partes en las que se divide una unidad y el numerador el nmero de

partes que se toma.

4 / 6 de una tarta significa que la tarta se ha dividido en 6 porciones y se han tomado 4.

La fraccin tiene una equivalencia numrica que se calcula dividiendo el numerador entre el denominador:

4 : 6 = 0,666

Puede ocurrir que el numerador sea menor, igual o mayor que el denominador:

Si el numerador es menor que el denominador se denomina fraccin propia. El valor de la fraccin es menor que la unidad (como vimos en el ejemplo anterior).

Si el numerador es igual que el denominador, el valor de la fraccin es la unidad.


Si el numerador es mayor que el denominador se denomina fraccin impropia. El valor de la fraccin es mayor que la unidad.

9 / 6 su valor numrico es 9 : 6 = 1,5

En una fraccin impropia puede ocurrir que su equivalencia numrica sea un nmero exacto o no:

12 / 6 su valor numrico es 12 : 6 = 2 (resto = 0)

15 / 6 su valor numrico es 15 : 6 = 2 (resto 3)

Estas fracciones impropias cuya divisin no es exacta se pueden representar en forma de nmero mixto, que es la combinacin de una parte entera y de una fraccin.

La parte entera ser el cociente de la divisin (en este caso, 2) mientras que la fraccin tendr como numerador el resto (3) y como denominador el mismo que la fraccin original (6).



19 / 5 = 19 : 5 = 3 (resto = 4)


21 / 4 = 21 : 4 = 5 (resto = 1)


El valor de un nmero mixto es igual a la suma de la parte entera y de valor numrico de la fraccin:

Ejemplo: 2 + (3 / 6)

Calculamos el valor numrico de la fraccin: 3 : 6 = 0,5

Luego el valor del nmero mixto ser:

2 + (3 / 6) = 2 + 0,5 = 2,5

Vimos anteriormente que este nmero mixto era equivalente a la fraccin 15 / 6. Podemos comprobar cmo el valor del nmero mixto coincide con el valor numrico de la fraccin original:

15 / 6 = 15 : 6 = 2,5

Las fracciones tambin se utilizan en operaciones aritmticas:

Calcular: 7 / 10 del nmero 30

Esto es equivalente a 7 / 10 x 30

Para resolverla el nmero (30) se multiplica por el numerador de la fraccin (7) y se divide por su denominador (10):

7 / 10 de 30 = (7 x 30) / 10 = 210 / 10 = 21

Vamos a hacer otro clculo: 5 / 7 de 35

5 / 7 de 35 = (5 x 35) / 7 = 175 / 7 = 25

Suma de Fracciones A

Objetivo:

Suma y resta de fracciones

Comparacin de fracciones utilizando las reglas de proporcin

Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente.

Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla:

a + c = ad + bc (se multiplica cruzado y los productos de suman)

b d bd (se multiplican los denominadores)

Veamos un ejemplo:

El jefe de Cheo reparti los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los contables. A Cheo le toc

una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia ms la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado

que falt. En total , que parte del trabajo tiene que realizar Cheo?

Solucin: Cheo tuvo que realizar 7/12 del trabajo.

Notita para darle pensamiento: (para darle "coco")

A Cheo le toc ms de la mitad del trabajo o menos de la mitad del trabajo?

Solucin:

Para comparar fracciones utilizamos las siguiente reglas de las proporciones

a.) Si a = c entonces ad = cb

b d

b.) Si a < c entonces ad < cb

b d

c.) Si a > c entonces ad > cb

b d

Volviendo a Cheo, 7/12 es menor o mayor que 1/2 ?

7 ? 1 7(2) > 12(1), por lo tanto 7 > 1

12 2 12 2

De modo que Cheo realiz ms de la mitad del trabajo.


A Mara le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedi a ella dos quintas partes

adicionales que le tocaban a ella. En total qu parte de la herencia la toc a Maria?

Solucin

1 + 2 = 1(5) + 3(2) = 5 + 6 = 11

3 5 15 15 15

A Mara le toc 11/ 15 de la herencia de su padre.

Suma de Fracciones B

Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones:

1.) Fracciones homogneas ( 1, 3, 5 )

4 4 4

2.) Fracciones heterogeneas ( 1, 2, 3 )

3 5 7

Las fracciones homogneas son las fracciones que tienen el mismo denominador; y las fracciones heterogeneas son

las fracciones que tienen diferentes denominadores.

Ejemplo de suma de fracciones homogneas:

1 + 3 = 4

fracciones homogneas, en suma, se

suman los numeradores y el

denominador se queda igual.>

2 + 3 = 5

7 7 7

Ejemplo de suma de fracciones heterogneas:

1 +1

4 2

Para sumar fracciones heterogneas:

1. Se multiplican los denominadores.

2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador.

3. Se suman los productos para obtener el numerador.

1 + 1

4 2

Paso 1 : 1 + 1 = 1_+ 1__ 4 2 8

Paso 2 : 1 + 1 = (2 1) + (4 1) < Se multiplic cruzado> 4 2 8

Paso 3: 2 + 4 = 6 < Se suman los productos para obtener el numerador.> 8 8

Paso 4: 6 2 = 3 < Se simplifica la fraccin si es posible.> 8 2 4

Resta de Fracciones

En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar.

Ejemplo 1:

5 - 1 = 4 Resta de Fracciones Homogneas

9 9 9

Ejemplo 2:

2 - 1 = ( 2 2) - (3 1) = 4 - 3 = 1 3 2 6 6 6

Sumar fracciones es un procedimiento bastante sencillo. Sin embargo, suelen aparecer

inquietudes cuando ambas fracciones tienen denominadores diferentes. Aprende cmo

resolver la suma de fracciones heterogneas en esta corta infografa.

Fraccin impropia:Una fraccin impropia es aquella en la cual el numerador es mayor que el denominador. En este ejemplo, el cinco, que est en el lugar del numerador, es mayor que el cuatro, que ocupa

el lugar del denominador.

Este tipo de fracciones pueden ser convertidas en un nmero mixto. Para averiguar cmo se hace, dirgete a

nuestra leccin de fracciones impropias.

Reducir y simplificar:Puede que al hacer la suma de fracciones heterogneas te encuentres con que el resultado son fracciones bastante grandes como 20/12, 84/32, 106/80 o incluso fracciones ms grandes.

Recuerda que este tipo de fracciones deben ser reducidas o simplificadas para hallar su equivalente. Averigua

cmo hacerlo en nuestra leccin de reducir fracciones.

Dividir fracciones

Dale la vuelta a la segunda fraccin y multiplica.

Hay 3 simples pasos para dividir fracciones:

Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fraccin (por la que quieres dividir) (ahora es la recproca).

Paso 2. Multiplica la primera fraccin por la recproca de la segunda.

Paso 3. Simplifica la fraccin (si hace falta)

Ejemplo 1

1

1

2 4

Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fraccin (la recproca):

1

4

4 1

Paso 2. Multiplica la primera fraccin por la recproca de la segunda:

1

4 =

1 4 =

4

2 1 2 1 2

Paso 3. Simplifica la fraccin:

4 = 2

2

(Si no ests seguro de cmo se hace el ltimo paso ve a la pgina de Fracciones equivalentes)

Ejemplo 2

1

1

8 4

Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fraccin (la recproca):

1

4

4 1

Paso 2. Multiplica la primera fraccin por la recproca de la segunda:

1

4 =

1 4 =

4

8 1 8 1 8

Paso 3. Simplifica la fraccin:

4 =

1

8 2

Convertir Decimales a Fracciones Para convertir un Decimal a una Fraccin sigue estos pasos:

Paso 1: Escribe el decimal dividido por 1.

Paso 2: Multiplica los nmeros de arriba y abajo por 10 una vez por cada nmero luego de la coma. (Por ejemplo, si hay dos nmeros luego del decimal,

multiplcalos por 100, si hay tres usa el 1000, etc.)

Paso 3: Simplifica (reduce) la fraccin

Ejemplo 1: Expresar 0,75 como fraccin Paso 1: Escribe:

0,75

1

Paso 2:

libro de algebra

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