ALGEBRA DE CONJUNTOSDado un conjunto A={a, b, c, d}, la relacin depertenenciase representa por aA.Se llamacardinaldel conjunto, y se representa car(A), al nmero de elementos que contiene.Se llama conjunto vaco, y se representa por,al conjunto que no contiene ningn elemento. No desespere, estamos de acuerdo en que si no contiene ningn elemento, no es un conjunto, sin embargo su definicin como tal es muy til.Se llamauniversooconjunto universal, y se suele representar por H, al conjunto formado por todos los elementos que se estn considerando.Dado un conjunto A, se llamacomplementariodel mismo, y se representa por Ac, al conjunto formado por los elementos del universo que no son de A.Dos conjuntos son iguales si estn formados por los mismos elementos.Se dice que B essubconjuntode A, y se representa BA, si todos los elementos de B pertenecen a A. Se dice tambin que Best incluidoen A.Dados dos conjuntos A y B, se llamaunin de ambos, y se representa AB, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B.Ejemplo 1: A={a, b, c, d} B={c, d, e, h}AB = {a, b, c, d, e, h}Ejemplo 2: C={personas obesas} D={personas hipertensas}CD = {personas obesas o hipertensas}Se llamaintersecciny se representa AB, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B.Ejemplo 3: para los conjuntos anterioresAB = {c, d} CD = {hipertensos y obesos}Si dos conjuntos no tienen elementos comunes, se llamandisjuntosy su interseccin es el conjunto vaco. Si, para el ejemplo 2, en el universo que se est considerando no hay nadie que sea hipertenso y obeso CD =Al conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado se le denomina conjunto de las partes del conjunto olgebray se representa por P(A)Ejemplo: A = {1, 2, 3}P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}PropiedadesPropiedades de la inclusini) AAii) Aiii) ABBA ; slo si A = Biv) AB y BD ==> ADPropiedades de la unin e interseccini) IdentidadA= AAH = A

ii) IdempotenciaAA = AAA = A

iii) CommutatividadAB = BAAB = BA

iv) Asociatividad(AB)D = A(BD)(AB)D = A(BD)

v) Distributividad(AB)D = (AD)(BD)(AB)D = (AD)(BD)

vi) AbsorcinA(AB) = AA(AB) = A

vii) ComplementaridadAAc= HAAc=

Nota:A todo conjunto en el que se hayan definido dos operaciones que tengan estas propiedades, se le denominaAlgebra de Boole.Funcin de conjunto:toda regla que de un modo perfectamente determinado haga corresponder un nmero real a cada elemento del conjunto. Se representa porf: Ael nmero x que le corresponde al elemento a, se representa por x=f(a)Se denominaimagen de la funcinal conjunto de nmeros que estn en correspondencia con algn elemento, a travs de la funcin.im f = { x; aA , f(a)=x }PAR ORDENADOEnmatemticas, unpar ordenadoes una pareja de objetos matemticos, en la que se distingue unprimer elementoy unsegundo elemento. El par ordenado cuyo primer elemento esay cuyo segundo elemento esbse denota como (a,b).Un par ordenado (a,b) no es elconjuntoque contiene aayb, {a,b}. Un conjunto est definido nicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado elordende estos es tambin parte de sudefinicin. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son idnticos, pero los pares ordenados (0, 1) y (1, 0) son distintos.Los pares ordenados tambin se denominan 2-tuplas o vectores 2-dimensionales. La nocin de una coleccin finita de objetos ordenada puede generalizarse a ms de dos objetos, dando lugar al concepto den-tupla.Elproducto cartesianode conjuntos, lasrelaciones binariasy lasfuncionesse definen en trminos de pares ordenados.ndice[ocultar] 1Definicin 1.1Producto cartesiano 1.2Generalizaciones 2Construccin 3ReferenciasDefinicin[editar]La propiedad caracterstica que define un par ordenado es la condicin para que dos de ellos sean idnticos:Dos pares ordenados (a,b) y (c,d) son idnticos si y slo si coinciden sus primer y segundo elemento respectivamente:

Los elementos de un par ordenado tambin se denominancomponentes.Producto cartesiano[editar]Artculo principal:Producto cartesiano.Dados dos conjuntosXeY, la coleccin de todos los pares ordenados (x,y), formados con un primer elemento enXy un segundo elemento enY, se denomina el producto cartesiano deXeY, y se denotaXY. El producto cartesiano de conjuntos permite definirrelacionesyfunciones.Generalizaciones[editar]Artculo principal:N-tupla.Es habitual trabajar con colecciones ordenadas de ms de dos objetos, sin ms que extender la definicin del par ordenado. Por ejemplo, untro ordenadooterna ordenadaes una terna de objetos matemticos en la que se distinguen un primer, segundo y tercer elemento. La propiedad principal de un tro ordenado es entonces:(a1,a2,a3) = (b1,b2,b3) si y slo sia1=b1,a2=b2, ya3=b3En general se puede adoptar una definicin similar para un nmero cualquiera de elementosn, dando lugar as a unan-tupla.Construccin[editar]La propiedad caracterstica de igualdad entre pares ordenados es su nica propiedad relevante para su uso en matemticas.1Sin embargo, enteora de conjuntosse construyen todos los objetos matemticos a partir deconjuntos: nmeros, funciones, etc. En este contexto, se utiliza una definicin de par ordenado como un tipo particular de conjunto.La definicin conjuntista ms habitual, debida aKuratowski, es:

Mediante elaxioma de extensionalidady elaxioma del parpuede demo5.- CONJUNTOS5.1.- PAR ORDENADO (PO)5.1.1.- DEFINICIN DE POSe llama Par Ordenado o dupla cuyo smbolo es (x y) al conjunto cuyos elementos son a su vez otros dos conjuntos : 1.- el conjunto {x y} que es un par simple 2.- el conjunto {x} de un nico elemento Def: (x y) := { {x y} {x} } (x y) : Par Ordenado (PO) x : Primer elemento del PO (Primera componente del PO) y : Segundo elemento del PO (Segunda componente del PO) Obs 1: PO es un par de conjuntos (es un Conjunto de Conjuntos) donde {x y} (x y)Obs 2: La igualdad de PO es la de Conjuntos Obs 3: Primer y segundo elemento es una forma de llamar a las componentes del PO, porque los nmeros todava no estn definidos. Justamente el concepto de nmero se definen a partir del PO. 5.1.2.- PORQU LA DEFINICIN DE POLa importancia del PO se desprende de la simplicidad (facilidad, claridad, comodidad) con que a partir de el se puede estructurar una red de definiciones con los principales elementos de la matemtica clsica.

8.- Nmero Entero 9.- Nmero Fraccionario 10.- Estructura Mtrica 11.- Nmero Real 12.- Numero Complejo 13.- Estructura Algebraicas 14.- Leyes de Composicin 15.- Estructura Lineal (Vectorial) 16.- Coordenadas Cartesianas 17.- Grafos La fecunda utilizacin del PO se puede observar en la lista siguiente, que obvia todo comentario: 1.- Producto Cartesiano 2.- Relacin 3.- Relacin Unvoca 4.- Funcin 5.- Relacin de Equivalencia 6.- Relacin de Orden 7.- Nmero Natural

Para la definicin del PO pilar de la matemtica, hace falta solamente la nocin previa de conjunto. Un par simple es un conjunto formado por 2 elementos, cuyo smbolo es {x y} : Par y cumple con la igualdad de conjuntos {x y} = {y x} donde se observa que a los elementos x e y del par no se les asigna ninguna caracterstica particular que les otorgue un papel diferente dentro del Par. Es decir son simplemente y nada mas que elementos del Par. Mientras en el PO a sus dos elementos x e y, se les asigna una caracterstica diferencial, la de ser primer o segundo elemento (componente). La definicin de PO se introduce justamente para asignar a cada elemento de un par simple propiedades especficas. Por ejemplo el conjunto de manos de una persona constituyen un Par si no se da una diferencia entre ellas. Sin embargo si se distinguen la mano izquierda de la derecha se est en presencia de un PO al haberle asignado a los elementos del par una caracterstica diferencial. Anlogamente se tiene otro ejemplo en el conjunto Matrimonio que esta formado por un par de personas, y se distingue entre hombre y mujer se tiene un par ordenado. El papel diferente de ambas componentes es la base para establecer el concepto de Relacin en general. La forma de asignar una caracterstica diferente a los elementos x e y es por medio de diferenciar su presencia en los conjuntos que lo definen: 1.- {x, y} donde se define el Par 2.- {x} donde se define la primera componente 5.1.3.- IGUALDAD DE POLa igualdad de PO es simplemente un caso particular de la Igualdad de Conjuntos. T.- (x y) = (a b) { {x y} {x} } = { {a b} {a} } La igualdad de conjuntos cumple con el teorema siguiente T1:La igualdad de dos PO es condicin necesaria y suficiente de la igualdad de las componentes homlogas es decir de las primeras componentes entre si y las segundas componentes entre si. Esto justifica, como la definicin de PO distingue ambos elementos5.1.4.- TEOREMAS DE POT1.- (x y) = (a b) TCR T1.- (x y) (a b) x a y bD.- [ ] Se pasa a la demostracin del Teorema directo . Por Hiptesis x = a y = b Entonces {x} = {a} {x y} = {a b} {{x y} {x}} = {{a b} {a}} Por Def. PO queda (x y) = (a b) [ ] Partiendo de (x y) = (a b) Recordando Def. PO {{x y} {x}} = {{a b} {a}} Se presentan 2 opciones que se llamarn I y II I.- {x y} = {a b} {x} = {a} x a y para satisfacer el sistema I tambin debe resultar y b II.- {x y} = {a} {x} = {a b} x a y bque satisface el sistema II. De ambas opciones I , II se llega a x a y b T2.- (x y) = (y x) x yTCR T2.- (x y) (y x) x yD1.- Caso particular de T1D2.- [ ] x y {x} = {y} {x y} = {y x} {{x y} {x}} = {{y x} {y}} Por la Def. PO (x y) = (y x) 164[ ] (x y) = (y x) {{x y} {x}} = {{y x} {y}} Hay 2 Opciones I y II I.- {x y} = {y x} {x} = {y} x y que satisface el sistema I II.- {x y} = {y} {x} = {y x} x y que satisface el sistema II. El resultado de las opciones I y II es el mismo. Por lo tanto la Tesis es x y Obs: El TCR T2 representa la propiedad fundamental de los PO: (x y) (y x) x yy muestra la diferencia esencial entre los PO y los pares simples que cumplen en todos los casos {x y} = {y x} T3.- Def PO (x x) = {{x}} D.- (x x) := {{x x} {x}} = {{x} {x}} = {{x}} 5.1.5.- TERNAS Y NUPLAS5.1.5.1.- TERNASLa definicin de Par Ordenado se puede generalizar para el caso de tres componentes (ternas) o ms componentes, en general para n componentes (nuplas): Def: (x y z) := { {x y z} {x y} {x} } (x y z) : Terna x : Primer elemento de la terna y : Segundo elemento de la terna z : Tercer elemento de la terna Obs : Si se hubiera definido la terna por la proposicin (x y z) := ((x y) z) ( definicin no vlida ) se habra tomado un conjunto de conjuntos de diferentes niveles (x y z) := {{(x y) z},{(x y)}} := {{{{x y}{x}} z },{{{x y}{x}}}} lo cual es errneo. 1655.1.5.2.- NUPLASDef: (x1 x2 xn ) := { { x1 x2 xn } .. { x1 x2 } { x1} } (x1 x2 xn ) : Nupla xi : i-esimo componente de la nupla 5.1.5.3.- NUPLA DE 1 ELEMENTOA fin de generalizar el concepto de nupla para todo valor de n 1 se define tambin para el caso de n = 1 Def: (x) := {{x}} Obs : Ntese que del T3 resulta (x x) := {{x}} = (x5.2.- PRODUCTO CARTESIANO (PC)5.2.1.- DEFINICIN DE PCDado 2 conjuntos A y B se llama Producto Cartesiano de A por B (en ese orden), cuyo smbolo es AxB, alconjunto de todos los pares ordenados (x y) tales que su primera componente x pertenece a A y la segunda ypertenece a B.Def: AxB := { (x y): xA yB } AxB : Producto Cartesiano de A por B A : Primer Conjunto del Producto Cartesiano o Conjunto de Partida B : Segundo Conjunto del Producto Cartesiano o Conjunto de Llegada Ejemplo 1: A = { Azul Rojo Blanco Verde Negro Metalizado } B = { Ferrari Honda Williams Lotus } AxB = { (Azul Ferrari) (Azul Honda) (Azul Williams) (Azul Lotus ) (Rojo Ferrari) (Rojo Honda) (Rojo Williams) (Rojo Lotus ) (Blanco Ferrari) (Blanco Honda) (Blanco Williams) (Blanco Lotus ) (Verde Ferrari) (Verde Honda) (Verde Williams) (Verde Lotus ) (Negro Ferrari) (Negro Honda) (Negro Williams) (Negro Lotus ) (Metalizado Ferrari) (Metalizado Honda) (Metalizado Williams) (Metalizado Lotus ) } Un Producto Cartesiano puede ser representado grficamente en un baco cartesiano. De all su nombre:

- TEOREMAS DE PCT1.- AxB = BxA A = B TCR T1.- AxB BxA A B D.- [ ] A = B AxB = BxA [ ] A BSe presentan 2 opciones I y II I.- x: xA xB(xy): (x y)AxB (x y)BxA AxB BxA ECUACIONES

1. Ecuaciones polinmicas enterasLas ecuaciones polinmicas son de la formaP(x) = 0, donde P(x) es un polinomio.Grado de una ecuacinElgradode una ecuacin es elmayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.Tipos de ecuaciones polinmicas1.1 Ecuaciones de primer grado o linealesSon del tipoax + b = 0, con a 0, cualquier otra ecuacin en la que al operar, trasponer trminos y simplificar adoptan esa expresin.(x + 1)2= x2- 2x2+ 2x + 1 = x2- 22x + 1 = -22x + 3 = 01.2 Ecuaciones de segundo grado o cuadrticasSon ecuaciones del tipoax2+ bx + c = 0, con a 0.Ecuaciones de segundo grado incompletasax2= 0ax2+ b = 0ax2+ bx = 01.3 Ecuaciones de tercer gradoSon ecuaciones del tipoax3+ bx2+ cx + d = 0, con a 0.1.4 Ecuaciones de cuarto gradoSon ecuaciones del tipoax4+ bx3+ cx2+ dx + e = 0, con a 0.Ecuaciones bicuadradasSon ecuaciones de cuarto grado que no tiene trminos de grado impar.ax4+ bx2+ c = 0, con a 0.1.5 Ecuaciones de grado nEn general, las ecuaciones de grado n son de la forma:a1xn+ a2xn-1+ a3xn-2+ ...+ a0= 02. Ecuaciones polinmicas racionalesLas ecuaciones polinmicas son de la forma, donde P(x) y Q(x) son polinomios.

3. Ecuaciones polinmicas irracionalesLas ecuaciones irracionales son aquellas que tienen al menos un polinomio bajo el signo radical.

4. Ecuaciones no polinmicas4.1 Ecuaciones exponencialesSon ecuaciones en la que la incgnita aparece en el exponente.

4.2 Ecuaciones logartmicasSon ecuaciones en la que la incgnita aparece afectada por un logaritmo.

4.3 Ecuaciones trigonomtricasSon las ecuaciones en las que la incgnita est afectada por una funcin trigonomtrica. Como stas son peridicas, habr por lo general infinitas soluciones.

Polinomio algebraico[editar]Enmatemticas, unpolinomio algebraicoen uncuerpoes unpolinomiocon coeficientes en ese cuerpo. En el caso ms simple, lo que a menudo significa mientras no se especifique otro, el cuerpo es, el cuerpo de losnmeros racionales, en este caso los polinomios algebraicos son aquellos con coeficientes racionales. Por ejemplo:

es un polinomio algebraico en los racionales.Conversin de coeficientes[editar]Una ecuacin algebraica en el cuerpo de los racionales siempre puede convertirse en una ecuacin con coeficientesenteros. Por ejemplo, tomemos la ecuacin:

multiplicando por tres toda la ecuacin tenemos:

La forma estandar de este tipo de ecuacin, sin embargo, tiene un coeficiente unitario al principio. Si todos los otros coeficientes son enteros, entonces las races de la ecuacin sonenteros algebraicos.Ecuaciones trascendentes[editar]Considerando la ecuacin

sta no es una ecuacin algebraica en cuatro variables (x, y, z y T) en el cuerpo de los nmeros racionales debido a que elseno, laexponenciaciny 1/Tno son funciones polinomiales. En este caso se est tratando conecuaciones trascendentes.1Sin embargo si es una equacin algebraica en, el cuerpo de laserie formal de Laurentconen los nmeros racionales

DESIGUALDADESCONCEPTOS Y DEFINICIONESUna igualdad en lgebra es aquella relacin que establece equivalencia entre dos entes matemticos. Es una afirmacin, a travs del signo = , de que dos expresiones son iguales.Las igualdades algebraicas pueden ser:a) Ecuaciones: cuando se cumple la igualdad solamente para determinado(s) valor(es) dela(s) variable(s).Ejemplo: 3x - 7 = 5 , se cumple que es igual solamente cuando x = 4.b) Frmulas: cuando se cumple la igualdad para todos los valores de la(s) variable(s) independiente(s).Ejemplo: , se cumple para todos los valores de la velocidad d vt = v y del tiempo t.c) Identidades: Cuando el miembro izquierdo es exactamente igual al derecho. Tambin seles llama as a las igualdades que se cumplen independientemente del valor de sus variables.Ejemplos: a) (Ambos lados son idnticos). 8 28 2 + =+ sen x sen xb) (para cualquier valor que se le d a la x siempre 2 2sen x cos x + = 1la suma da 1).d) Equivalencias: cuando el miembro izquierdo vale lo mismo que el derecho.

DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO SIN VARIABLE EN EL DENOMINADORSe resuelven exactamente igual que las ecuaciones de primer grado, es decir solamente hayque despejar. Pero debe tenerse mucho cuidado de respetar la propiedad 3 de las desigualdadesantes citada, para lo cual es necesario recordar que es falso que en una ecuacin (en este caso, enuna desigualdad) lo que est sumando pasa restando al otro lado, o que lo que est multiplicando pasa dividiendo, sino que en ambos lados se resta la misma cantidad (ley uniforme o de lasigualdades) para anular la que se desea, o que ambos lados se dividen por la misma cantidadigualmente para anular la cantidad deseada.Ejemplo 1: 3x - 7 < 8 - 2xSolucin: Para anular el trmino - 7 del lado izquierdo, se suma + 7 en ambos lados:

DESIGUALDADES CON VARIABLE EN EL DENOMINADORPara entender bien el porqu de las diferentes tcnicas que existen para resolver desigualdades cuando aparece la variable en el denominador, debe el estudiante tener muy claro que en losprocesos de despejar incgnitas no se pasa a sumar, ni a restar ni a multiplicar al otro lado ninguna cantidad.Hay que recordar que existe la equivocada creencia, porque lamentablemente as lo enseanmuchos profesores, que una cantidad que est sumando pasa al otro lado del signo igual restando; o si est restando pasa sumando; o si est multiplicando pasa dividiendo; o si est dividiendo pasa multiplicando. Todo eso es falso, no tiene ninguna razn de ser, no hay lgica en eso.Son mecanismos que agilizan los procesos de despejar, pero que llevan a errores a los inexpertosen Matemticas.Es indispensable recordar que si se tiene una igualdad, por ejemplo,2*- 7=1 para despejar la incgnita x , NO se pasa el - 7 al otro lado sumando, pues no existe lgica parasuponer que el nmero - 7 pasa al lado derecho con la operacin contraria. Los nmeros no sonmariposas o golondrinas para suponer que se pasan de un lado a otro como si anduvieran volando. Lo que realmente se hace es aplicar la ley de las igualdades (ley uniforme) que dice que loque se haga de un lado de la igualdad debe hacerse del otro lado tambin para que la igualdadse conserve. Qu se necesita para que el - 7 se elimine?: fcil, sencillamente sumarle + 7 ; entonces a la igualdad se le suma en ambos lados ese + 7 que se necesita, quedando as:

Si se hacen las operaciones nicamente en el lado izquierdo de la igualdad (en el lado derecho no), se eliminan el - 7 con el + 7, quedando entoncesy all es donde da la impresin de que el - 7 original pas al otro lado con signo contrario; peroes solamente una apariencia, no una realidad. Analizando el lado derecho, a simple vista se veque lo anterior es lo mismo que (sumando 1 + 7) . Posteriormente, para despejar la in- 2 8 x =cgnita x es necesario quitarle su coeficiente 2 que le multiplica, lo cual se consigue dividiendoentre 2 ; pero nuevamente por la ley de las igualdades, debe hacerse en ambos lados, quedandoas:Si se efectan de nuevo las operaciones nicamente en el lado izquierdo de la igualdad (en ellado derecho no), se simplifican el 2 del numerador con el 2 del denominador, quedando entonces

y otra vez da la impresin de que ese 2 pas al otro lado dividiendo. Pero no pasa de ser unaapariencia.

GRAFICA DE FUNCIONESes la representacin grfica de lacorrespondenciaentre los elementos delconjuntodominioy los delconjunto imagen. Es el conjunto formado por todos lospares ordenados(x,f(x)) de la funcinf; es decir, como un subconjunto delproducto cartesianoXY.Las nicas funciones que se pueden trazar de forma completa son las de una sola variable, con un sistema decoordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la funcin escontinua, entonces la grfica formar unalnea rectaocurva.En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma unvoca mediante una proyeccin geomtrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes (con un plano) de la funcin para los que los valores de todas las variables, excepto dos, permanezcan constantes.El concepto de grfica de una funcin se generaliza a la grfica de unarelacin. Notar que si bien cada funcin tiene una nica representacin grfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma, pero con dominios ycodominiosdiferentesFUCIONES LINEALESUna funcin lineal de una nica variable dependientexes de la forma:

que se conoce comoecuacin de la rectaen el planox,y.En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

en esta recta el parmetrom= 1/2 por tanto dependiente1/2, es decir, cuando aumentamosxen una unidad entoncesyaumenta en 1/2 unidad, el valor debes 2, luego la recta corta el ejeyen el puntoy= 2.En la ecuacin:

la pendiente de la recta es el parmetrom= -1, es decir, cuando el valor dexaumenta en una unidad, el valor deydisminuye en una unidad; el corte con el ejeyes eny= 5, dado que el valor deb= 5.En una recta el valor demse corresponde al ngulode inclinacin de la recta con el eje de lasxa travs de la expresin:

Funciones lineales de varias variables[editar]Las funciones lineales de varias variables admiten tambin interpretaciones geomtricas. As una funcin lineal de dos variables de la forma

representa un plano y una funcin

representa unahipersuperficieplana de dimensin n y pasa por el origen de coordenadas en un espacio (n+1)-dimensional

FUNCIONES POLINOMICAS Y RACIONALESFUNCIONES POLINOMICAS I RACIONALES

Enmatemticas, unafuncin polinmicaes unafuncinasociada a unpolinomioconcoeficientesen unanillo conmutativo(a menudo uncuerpo).Formalmente, es una funcin:

dondees unpolinomiodefinido para todonmero real; es decir, una suma finita de potencias demultiplicados porcoeficientesreales, de la forma:1

Otra definicin[editar]Si p(x) es un polinomio en la variable x entonces decimos que esta es una funcin polinomial p: R R que asigna a cada punto x R el valor p(x) R.Funciones polinmicas bsicas[editar]Algunas funciones polinmicas reciben un nombre especial segn elgradodel polinomio:GradoNombreExpresin

0funcin constantey = a

1funcin linealy = ax + b es unbinomiodel primer grado

2funcin cuadrticay = ax + bx + c es untrinomiodelsegundo grado

3funcin cbicay = ax + bx + cx + d es un cuatrinomio de tercer grado

ReferenciasFuncin racionalEste artculo trata sobre el concepto matemtico. Para la capacidad de razonar, vaseRacionalidad.

Funcin racional de grado 2:

Funcin racional de grado 3:

Enmatemticas, unafuncin racionales unafuncinque puede ser expresada de la forma:

dondePyQsonpolinomiosyxuna variable, siendoQdistinto del polinomio nulo. Las funciones racionales estn definidas o tienen sudominio de definicinen todos los valores dexque no anulen el denominador.1La palabra "racional" hace referencia a que la funcin racional es unarazno cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden sernmeros racionaleso no.Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo delanlisis numricoparainterpolaro aproximar los resultados de otras funciones ms complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.Funcin homogrfica:

si el denominador es distinto de cero, y si ad bc, la curva correspondiente es una hiprbola equiltera.2Propiedades[editar] Toda funcin racional es declaseen un dominio que no incluya lasracesdel polinomioQ(x). Todas las funciones racionales en las que elgradode Q sea mayor o igual que el grado de P tienenasntotas(verticales, horizontales u oblicuas).Integracin de funciones racionales[editar]Dada una funcin racional:

Si el denominador es un polinmico mnicoconkracesdiferentes, entonces admitir la siguiente factorizacin en trminos depolinomio irreducibles:

Sientonces la funcin racional puede escribirse como combinacin lineal de fracciones racionales de las formas:

Por lo que la integral de la funcines una combinacin lineal de funciones de la forma:

Obsrvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen uncuerpo algebraicoque es cerrado bajo la derivacin, pero no bajo la intergracinOPERACIONES ENTRE FUNCIONES