lecciones de algebra

5/27/2018 Lecciones de Algebra

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ANTONIO LOPEZ GARCIA

2012

BLOG DE ALGEBRAESPACIOS VECTORIALES. APLICACIONES

LINEALES. MATRICES. SISTEMAS DE

ECUACIONES. NUMEROS REALES. SUCESIONES.

LIMITES.


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INDICE:

INTRODUCCION 3

ESPACIOS VECTORIALES 4

APLICACIONES LINEALES 50

MATRICES 77

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 105

NUMEROS REALES. SUCESIONES 124


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INTRODUCCION

En las siguientes pginas figuran las entradas del blog que mantuve durante elprimer cuatrimestre del curso 2011/12. Sus destinatarios principales fueron los

alumnos de ADE de la UNED, aunque podra estar destinado a cualquierestudiante de primer curso de lgebra Lineal.

Cada entrada del blog est dedicada a presentar un concepto bsico e ilustrarlocon ejemplos y ejercicios. Ningn apartado se trata en profundidad. Es slo una

presentacin, un comienzo, despus se podr pasar al libro de texto y a unestudio ms profundo.

COMIENZO

La idea al crear este blog es presentar de forma sencilla algunas ideas bsicas delAlgebra Lineal.

Adems practicaremos con ejemplos que aclaren los puntos tratados,proponindolos para que los trabajis y presentndoos despus la solucin.

El Algebra es sencilla, slo hace falta no perderse entre sus muchas y variadasideas.


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ESPACIOS VECTORIALES

Comencemos con los espacios vectoriales. Es un tema que suele asustar a todos

aquellos que siempre renegaron de las Matemticas. Pero no tienen mayormisterio.

Un Espacio Vectorial es un conjunto de vectores. Slo hay que saber cules sonlos vectores y qu se puede hacer con ellos.

Los Espacios Vectoriales que nos van a servir para todos los ejemplos de esteblog van a ser R2y R3. Hay muchos ms, pero dejmoslos para los expertos.

R2 es un espacio vectorial formado por infinitos elementos (los vectores). Son,por ejemplo: (2,3), (5,-1), (0,7), etc. Es decir, ni ms ni menos que pares denmeros reales. Un vector suele nombrarse con una letra: a = (2,6), por ejemplo.

Tambin R3 est formado por infinitos vectores, que ahora sern ternas denmeros reales: (0,2,-3), (-3,4/5,7), (1/2,-8,9), etc.

Los vectores de un Espacio Vectorial se pueden sumar. Tambin se puedemultiplicar un vector por un nmero real (que se llama escalar).

Ejercicio 1: En el Espacio R2tenemos los vectores:

a = (2,-4), b = (-1,0), c = (-2, -3).

Cul ser el resultado de efectuar las operaciones siguientes:

a + b

2a

b - c

3a - 2c


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OPERACIONES CON SUBESPACIOS

Decamos que los vectores de un Espacio Vectorial se pueden sumar. Es unaoperacin sencilla.

En R2para sumar dos vectores, sencillamente se suman por un lado los primerosnmeros del vector (las primeras componentes), y por otro lado las segundas. Porejemplo, si a = (5,4) y b = (-1,5), entonces la suma a+b = (5,4)+(-1,5) = (4,9).

En R3la suma se hace igual pero ahora tenemos tres componentes en vez de dos.Por ejemplo: (1,2,3)+(5,-1,-3) = (6,1,0).

Tambin se puede multiplicar un vector por un nmero. Slo tenis que coger elnmero y multiplicarlo por todas las componentes del vector.

Por ejemplo: Si a = (3,1), entonces 5a = (5*3,5*1) = (15,5). Si b = (2,-1,4),entonces -2b = (-2*2,-2*(-1),-2*4) = (-4,2,-8).

Muy importante: Los vectores de un Espacio Vectorial NO SE MULTIPLICAN.Si tenis a = (1,2), b = (3,-1), no sintis la tentacin de multiplicarlos a*b (almenos de momento, porque eso ser otro tema y otra historia).

Ejercicio 1 resuelto: En el Espacio R2tenemos los vectores:

a = (2,-4), b = (-1,0), c = (-2, -3). Cul ser el resultado de efectuar lasoperaciones siguientes:

a + b = (2,-4) + (-1,0) = (1,-4).

2a = 2(2,-4) = (2*2,2*(-4)) = (4,-8).b - c = (-1,0) - (-2,-3) = (1,3).

3a - 2c = 3(2,-4) - 2(-2,-3) = (6,-12) - (-4,-6) = (10,-6).

Ejercicio 2: En el Espacio R3 tenemos los vectores a = (1,0,2) y b = (-1,2,-3).Efecta las operaciones siguientes:

3a + 5b

-a -b

5b2a


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SUBESPACIOS VECTORIALES

Entender lo que es un Subespacio Vectorial a veces se hace muy duro leyendo

determinados libros de Algebra.

Pero si tenis claro que un Espacio Vectorial es un conjunto formado porvectores, entonces slo tenis que imaginar que de todos esos vectores delEspacio cogis algunos (pocos o muchos), es decir, cogis una parte del Espacio,un subconjunto de l. Esa es la idea primera para comprender lo que es unSubespacio Vectorial: una parte de todo el Espacio.

Si slo fuese eso sera demasiado fcil, pensaris. Y es cierto, hay una segundaparte ms complicada de visualizar.

Ese grupo de vectores que se cogen para hacer un Subespacio tienen que cumplirdos condiciones:

1) Al sumar dos vectores de ese grupo (los que sean), tenemos que obtener otrovector de ese grupo.

2) Al multiplicar un vector de ese grupo (el que sea) por un nmero (el que sea),se tiene que obtener otro vector de ese grupo.

Por ejemplo, R2es un Espacio Vectorial formado por infinitos vectores, como yasabis. De esos infinitos escojo todos los que empiezan por cero, es decir todosaquellos cuya primera componente es un cero: los que son de la forma: (0,a)donde a puede ser cualquier nmero.

Est claro que estos que he escogido son muchos, en realidad son infinitos, peroson slo una parte de todos los que hay en el Espacio completo R2.

Qu pasa si sumo dos de esos vectores que he escogido? Sern dos vectores queempiecen por cero, as que al sumarlos el resultado ser otro vector que empezar

por cero tambin. Por lo tanto el grupo de vectores que empiezan por cerocumplen la primera condicin. Con letras: (0,a) + (0,b) = (0,a+b).

Y si multiplico uno de los vectores que escog por un nmero cualquiera? Puesal multiplicar el nmero por el cero (primera componente) del vector el resultado

va a ser cero, por lo que el vector resultante tambin empezar por cero. Es decir,se cumple la segunda condicin. Con letras: k*(0,a) = (k*0,k*a) = (0,k*a).


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Luego los vectores de R2 cuya primera componente es un cero forman unSubespacio Vectorial del Espacio R2.

Ejercicio 3. Los vectores de R2 que empiezan por uno, son un SubespacioVectorial?

Ejercicio 2 resuelto:

En el Espacio R tenemos los vectores a = (1,0,2) y b = (-1,2,-3).

Efecta las operaciones siguientes:

3a + 5b = 3(1,0,2) + 5(-1,2,-3) = (3,0,6) + (-5,10,-15) = (-2,10,-9).-a -b = -(1,0,2) - (-1,2,-3) = (-1,0,-2) - (-1,2,-3) = (0,-2,1).5b - 2a = 5(-1,2,-3) - 2(1,0,2) = (-5,10,-15) - (2,0,4) = (-7,10,-11).


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UN SUBESPACIO ESPECIAL

En cualquier Espacio Vectorial hay un vector nico y muy especial: el vectornulo.

Sumado con cualquier otro vector el resultado es el otro vector. Es decir, es elelemento neutro de la suma de vectores.

Multiplicado por cualquier nmero el resultado es l mismo, el vector nulo.

En R2el vector nulo es el vector (0,0).

En R3el vector nulo es el vector (0,0,0).

Deca ayer que un Subespacio Vectorial es una parte del conjunto de vectores detodo el Espacio que cumple las dos condiciones que vimos.

Si de todo el Espacio escojo solamente el vector nulo, el conjunto formado slopor l, cumplir las dos condiciones para ser un Subespacio Vectorial?

En R2el conjunto formado slo por el vector nulo ser: A = {(0,0)}.

Si sumo dos vectores cualesquiera de A (como en A slo est el (0,0)) tendr:(0,0) + (0,0) = (0,0) que est en A.

Si multiplico un vector cualquiera de A por un nmero cualquiera: k(0,0) = (0,0)

que est en A.

Luego el conjunto formado por nicamente el vector nulo es un SubespacioVectorial.

Lo mismo podemos razonar en R3 con (0,0,0).

Ejercicio 3 resuelto: Los vectores de R2 que empiezan por uno, son unSubespacio Vectorial?


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En R2 el conjunto de vectores que empiezan por 1 es evidentemente infinito:(1,0), (1,-1), (1,8), etc.

Si sumo dos vectores de ese grupo: (1,0) + (1,-1) = (2,-1). El resultado es otro

vector pero que no empieza por uno.Falla la primera de las condiciones para que este conjunto de vectores sea unSubespacio Vectorial. No lo es. Ya no hace falta ver la segunda (tambinfallara).

Ejercicio 4: En R3, el conjunto de todos los vectores cuya segunda coordenada esigual a la tercera, es un Subespacio Vectorial?


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UN GRUPO ESPECIAL DE SUBESPACIOS VECTORIALES

En el Espacio Vectorial R2 (igual se podra razonar todo lo que sigue en R3)

podemos construir fcilmente un Subespacio Vectorial de la siguiente forma:

Escogemos un vector cualquiera, por ejemplo (2,3), y lo vamos multiplicandopor todos los nmeros reales: 1*(2,3) = (2,3); 2*(2,3) = (4,6); 3*(2,3) = (6,9);0*(2,3) = (0,0); (-1)*(2,3) = (-2,-3); etc.

Este conjunto de infinitos vectores que obtenemos es un Subespacio Vectorial deR2, y se representa por: R(2,3), donde la letra R quiere expresar que al vector(2,3) lo multiplicamos por todos los nmeros reales.

Tenemos pues que: R(2,3) = {(2,3), (4,6), (6,9), (0,0), (-2,-3), }.

Con este mtodo a nuestra disposicin ya podemos construir todos losSubespacios Vectoriales de R2o de R3que queramos. Slo tenemos que escogerun vector cualquiera y de inmediato fabricamos el Subespacio correspondiente:R(1,1); R(0,8); R(-1,3); R(2,2); etc.

R(1,1) = {(2,2), (3,3), (4,4), (0,0), (-1,-1), }.

R(0,8) = {(0,16), (0,24), (0,40), (0,0), (0,-8), }.

R(-1,3) = {(-2,6), (-4,9), (-6,12), (0,0), (1,-3), }.

R(2,2) = {(4,4), (6,6), (8,8), (0,0), (-2,-2), }.

Te habrs dado cuenta de que el vector nulo (0,0) se encuentra en todos losSubespacios anteriores. Esto siempre se cumple: El vector nulo pertenece a todos

los Subespacios Vectoriales.

Ejercicio 5: A cul de los siguientes subespacios vectoriales no pertenece elvector (1,2)?

a) R(-1,-2) b) R(3,6) c) R(-1,2) d) R(1/2,1)

Ejercicio 4 resuelto: En R3, el conjunto de todos los vectores cuya segundacomponente es igual a la tercera es un Subespacio Vectorial?

1x(2,3);2x(2,3); 3x(2,3).....


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Ejemplos de este conjunto de vectores seran: (1,2,2), (3,4,4), (-2,8,8), (0,0,0),etc.

Un vector cualquiera de este conjunto ser (x,y,y) ya qye la primera componentepuede ser cualquier nmero, x, y la segunda y la tercera tambin podrn ser

cualquier nmero, y, pero en este caso deben coincidir.Otro vector cualquiera de este conjunto sera (a,b,b).

Si sumo los dos tengo: (x,y,y) + (a,b,b) = (x+a,y+b,y+b). Me sale otro vector conla segunda componente igual a la tercera. Por ejemplo: (1,2,2) + (3,4,4) = (4,6,6).

Si multiplico (x,y,y) por un nmero cualquiera k: k*(x,y,y) = (k*x, k*y, k*y), ytambin la segunda y tercera componentes son iguales. Por ejemplo: 3*(1,2,2) =(3,6,6).

Por lo tanto s es cierto que el conjunto de vectores cuya segunda componente esigual a la tercera es un Subespacio Vectorial de R3.


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OTRA FORMA DE EXPRESAR SUBESPACIOS

Ayer vimos una forma muy sencilla de nombrar a un Subespacio Vectorial:

R(2,3), por ejemplo, que representa al Subespacio formado por todos los vectoresque podemos obtener multiplicando el (2,3) por cualquier nmero real.

Otra forma de expresar el conjunto de vectores que forman un SubespacioVectorial F, puede ser la siguiente: F = {(x,y,z) / y = z}. En este ejemplo elSubespacio F est formado por todos los vectores donde y = z, es decir, susegunda componente es igual a la tercera: (0,1,1), (1,3,3), (9,-2,-2), etc.

Otros ejemplos de Subespacios expresados as, seran:

G = {(x,y) / x = 0} formado por todos los vectores de R2 con primeracomponente igual a 0.

H = {(x,y,z) / y = 0, x = z} formado por todos los vectores de R3con segundacomponente igual a 0 y la primera igual a la tercera.

J = {(x,y) / x = 2y} formado por todos los vectores de R2

con la primeracomponente igual al doble de la segunda, etc.

Ejercicio 6: Cul de las siguientes expresiones valdra para nombrar alSubespacio formado por todos los vectores de R3 con las tres componentesiguales?

a) {(x,y,z) / x=1, y=1, z=1} c) {(x,y) / x = y}b) R(1,1,1) d) {(x,y,z) / x=1, y=z}

Ejercicio 5 resuelto: A cul de los siguientes subespacios vectoriales nopertenece el vector (1,2)?

a) R(-1,-2) b) R(3,6) c) R(-1,2) d) R(1/2,1)

S pertenece a R(-1,-2) ya que (1,2) = (-1)*(-1,-2).

S pertenece a R(3,6) ya que (1,2) = (1/3)*(3,6).


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S pertenece a R(1/2,1) ya que (1,2) = 2*(1/2,1).

No pertenece a R(-1,2) ya que no existe ningn nmero k tal que (1,2) = k*(-1,2).Sera imposible pues k debera ser positivo y negativo a la vez.


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MAS SOBRE SUBESPACIOS

Una forma de comprobar que un conjunto de vectores expresado por una

condicin es un Subespacio Vectorial es intentar escribir ese conjunto en laforma R(a,b), si estamos en R2, o R(a,b,c) si es en R3, pues ya hemos visto endas anteriores que un conjunto de esta forma s es un subespacio vectorialsiempre.

Ejemplo:

Comprobar si A = {(x,y) / x = y} es un subespacio vectorial de R2.

Este conjunto A est formado por todos los vectores en los que la primeracomponente es igual a la segunda. Por ejemplo, forman parte de A los vectores(1,1), (2,2), (3,3), (0,0), etc.

Como x = y podemos escribir cualquier vector de A de la forma: (x,y) = (y,y).Los vectores de A se obtendrn dndole valores a y.

Pero entonces cualquier vector de A se podr expresar en la siguiente forma:(y,y) = y(1,1) donde y ser un nmero cualquiera. Es decir, el conjunto A ser elR(1,1), y ya hemos dicho antes que estos conjuntos son siempre un subespaciovectorial, luego A lo es.

Otro ejemplo:

Comprobar si A = {(x,y) de R2tales que 2x y = 0} es un subespacio vectorial

de R

2

.

Si 2xy = 0 entonces 2x = y. Los vectores de A son de la forma (x,y) = (x,2x) =x(1,2).

Es decir, el conjunto A es en realidad el conjunto R(1,2): A = R(1,2) y yasabemos que este conjunto es un subespacio de R2.


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Ejercicio 6 resuelto: Cul de las siguientes expresiones valdra para nombrar alSubespacio formado por todos los vectores de R3 con las tres componentesiguales?

a) {(x,y,z) / x=1, y=1, z=1} c) {(x,y) / x = y}

b) R(1,1,1) d) {(x,y,z) / x=1, y=z}

El conjunto del apartado a) est formado solamente por el vector (1,1,1).

El del apartado b) est formado por vectores de R2, no de R3.

El del apartado d) est formado por vectores cuya primera componente es 1 y lasegunda igual a la tercera.

Ninguno de los conjuntos anteriores es la solucin que nos piden.

El conjunto del apartado b) R(1,1,1) est formado por todos los vectores quepodemos obtener multiplicando (1,1,1) por todos los nmeros reales. Si hacemosestas multiplicaciones vamos consiguiendo todos los vectores posibles con lastres componentes iguales. La solucin es, por lo tanto, el apartado b).

Ejercicio 7: Expresar el Subespacio Vectorial A = {(x,y,z) / x = y, z = 0} en laforma R(a,b,c).


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UNION E INTERSECCION DE SUBESPACIOS

De cuando estudiaste conjuntos recordars que haba dos operaciones con ellosque se utilizaban con frecuencia: la unin U y la interseccin .

La interseccin de dos conjuntos est formada por los elementos que pertenecena la vez a ambos.

La unin la forman los elementos que pertenecen a un conjunto o a otro o aambos.

Los Subespacios Vectoriales son conjuntos, as que podemos hallar lainterseccin o la unin de dos de ellos.

Por ejemplo: A = {(x,y) / x = 0}, B = {(x,y) / y = 0}, son dos Subespacios, el Acontiene a todos los vectores con primera componente igual a 0, y el B a aquellosvectores con segunda componente igual a 0. Su interseccin estar formada portodos los vectores que estn a la vez en A y en B, es decir, todos los que tienenlas dos componentes iguales a cero. Slo hay un vector que cumpla eso: (0,0).

Resumiendo: A B = { (0,0) }.

La unin A U B contendr a todos los vectores con primera componente igual acero y a todos los de segunda componente igual a cero.

Ejercicio 8: El conjunto A U B anterior, es un Subespacio Vectorial?

Ejercicio 7 resuelto: Expresar el Subespacio Vectorial A = {(x,y,z) / x = y, z = 0}en la forma R(a,b,c).

Un vector cualquiera de A ser (x,y,z) y debe cumplir que x = y,adems de quez= 0. Es decir, un vector de A se podr expresar as: (x,y,z) = (y,y,0) = y(1,1,0),donde y puede ser cualquier nmero real. Por lo tanto A = R(1,1,0).


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EXPRESANDO SUBESPACIOS

Hemos visto que hay dos maneras bastante tiles de expresar SubespaciosVectoriales: R(1,2) y {(x,y) / y = 2x} son dos formas de indicar lo mismo.

Cmo pasar de una forma a la otra?

Por ejemplo, si tengo el Subespacio R(2,3) cmo consigo expresarlo en formade conjunto de vectores que cumplen una condicin?

En R(2,3) se encuentran todos los vectores que se obtiene al multiplicar cualquier

nmero real por el vector (2,3). Es decir, todos los vectores (2,3) = (2 ,3 ).

Un vector cualquiera de ese conjunto de vectores ser (x,y), que por lo anteriorser de la forma (2 ,3 ). As que: (x,y) = (2 ,3 ), de donde x = 2 , y = 3 .

Ahora expreso y en funcin de x as: y = 3 = (3/2)(2 ) = (3/2)x.

Y ya tengo el conjunto con la condicin: R(2,3) = {(x,y) / y = (3/2)x}.

Al revs, si me dan el subespacio {(x,y) / x = 4y}, cmo lo transformo enR(a,b)?

Un vector cualquiera del conjunto ser (x,y), pero como x = 4y, tendr:

(x,y) = (4y,y) = y(4,1), donde y puede ser cualquier nmero real.

As pues: {(x,y) / x = 4y} = R(4,1).

Ejercicio 9: Expresa R(-2,1) en forma de conjunto, y {(x,y) / x = -y} en formaR(a,b).

Ejercicio 8 resuelto: El conjunto de R2 que contiene a todos los vectores conprimera componente igual a cero y a todos los de segunda componente igual a

cero, es un Subespacio Vectorial?


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Un vector de ese conjunto ser (0,1) y otro ser (1,0). Su suma es: (0,1) + (1,0 ) =(1,1), que no pertenece al conjunto ya que no tiene ni la primera ni la segundacomponente iguales a cero. Falla pues la primera de las condiciones necesarias

para que un conjunto de vectores sea un Subespacio.

Recuerda que habamos obtenido este conjunto haciendo la unin de dosSubespacios. Este ejercicio sirve pues como ejemplo de que cuando hacemos launin de dos Subespacios el conjunto obtenido no tiene por qu ser otroSubespacio.


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COMBINACIONES LINEALES

El vector (2,3) de R2es combinacin lineal de los vectores (1,1) y (0,1) porquepuedo encontrar dos nmeros, el 2 y el 1, de forma que (2,3) se puede expresar

como:(2,3) = 2(1,1) + 1(0,1)

El vector (2,1,4) de R3 es combinacin lineal de los vectores (1,0,0), (0,1,0) y(0,0,1) porque puedo encontrar tres nmeros, el 2, el 1 y el 4, de forma que(2,1,4) se puede expresar como:

(2,1,4) = 2(1,0,0) + 1(0,1,0) + 4(0,0,1)

Tambin el vector (-2,8,8) es combinacin lineal de (1,0,1), (2,-1,3) y (0,2,4), yaque:

(-2,8,8) = 2(1,0,1) -2(2,-1,3) +3(0,2,4)

Ejercicio 10: Expresa (3,7) como combinacin lineal de (1,2) y (3,4).

Ejercicio 9 resuelto: Expresa R(-2,1) en forma de conjunto y {(x,y) / x = -y} enforma R(a,b).

En R(-2,1) se encuentran todos los vectores que se obtiene al multiplicarcualquier nmero real por el vector (-2,1). Es decir, todos los vectores (-2,1) =(-2 , ).

Un vector cualquiera de ese conjunto de vectores ser (x,y), que por lo anterior

ser de la forma (-2, ). As que: (x,y) = (-2, ), de donde x = -2, y = .Ahora expreso x en funcin de y as: x = -2 = -2y.

Y ya tengo el conjunto con la condicin: R(-2,1) = {(x,y) / x = -2y}.

Para la segunda parte, un vector cualquiera del conjunto ser (x,y), pero como x= -y, tendr:

(x,y) = (-y,y) = y(-1,1), donde y puede ser cualquier nmero real.

As pues: {(x,y) / x = -y} = R(-1,1).


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COMO EXPRESAR UN VECTOR COMO COMBINACIONLINEAL DE OTROS?

Por ejemplo, expresar (5,2) como combinacin lineal de (-1,2) y (3,1).

Tendremos que encontrar dos nmeros a, b, que cumplan que: (5,2) = a(-1,2) +b(3,1).

Multiplicando y sumando nos queda: (5,2) = (-a,2a) + (3b,b) = (-a + 3b,2a + b).

Separando las primeras componentes por un lado y las segundas por otro obtengodos ecuaciones que forman un sistema:

5 = -a + 3b

2 = 2a + b

Se puede resolver por cualquiera de los mtodos posibles, por ejemplo, porsustitucin, depejando a en la primera ecuacin: a = 3b 5, y sustituyendo estevalor en la segunda:

2 = 2(3b5) + b; 2 = 6b10 + b; 2 = 7b -10; 7b = 12; b = 12/7.

Y ahora como a = 3b5, sustituyendo b por el valor que he obtenido:

a = 3(12/7)5; a = 36/75; a = 1/7.

Por lo tanto (5,2) = (1/7)(-1,2) + (12/7)(3,1).

Ejercicio 11: Expresar (2,1,1) como combinacin lineal de (1,1,1), (0,1,0) y(1,0,1).

Ejercicio 10 resuelto: Expresa (3,7) como combinacin lineal de (1,2) y (3,4).

Hay que encontrar dos nmeros, a, b, que cumplan que: (3,7) = a(1,2) + b(3,4)

Multiplicando y sumando: (3,7) = (a + 3b, 2a + 4b)

Y as se obtiene el sistema:

3 = a + 3b


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7 = 2a + 4b

Resolvindolo se llega a: a = 9/2, b= -1/2.

Por lo tanto: (3,7) = (9/2)(1,2)(1/2)(3,4).


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VECTORES DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES

En un Espacio Vectorial un conjunto de vectores son dependientes si alguno deellos es combinacin lineal de los dems.

Si no son dependientes es que son independientes.

Por ejemplo, en R2, el conjunto formado por los vectores {(1,2), (3,-1), (9,4)} esdependiente, ya que:

(9,4) = 3(1,2) + 2(3,-1).

Tambin son dependientes los vectores (2,-3) y (-4,6) en R2, ya que: (-4,6) = -2(2,-3).

En R3, los vectores (1,0,1), (-2,4,8), (-1,2,4), son dependientes, ya que:

(-2,4,8) = 0(1,0,1) + 2(-1,2,4).

En cambio, por mucho que lo intentes, no conseguirs poner (1,0,1) y (-1,2,4)como combinacin lineal uno del otro (intntalo). Por eso (1,0,1) y (-1,2,4) sonindependientes en R3.

Aclaro esto ltimo con un ejemplo ms sencillo. Veamos si los vectores (2,1) y(4,3) son dependientes o independientes en R2:

Para que sean dependientes, uno de ellos debe ser combinacin lineal del otro.Veamos si: (4,3) = a(2,1), donde a tiene que ser un nmero real.

Pero, existe ese nmero a que cumple lo anterior? De existir, al cumplirse que(4,3) = a(2,1), cogiendo las primeras componentes tendramos que 4 = 2a, esdecir, que a = 2. Pero cogiendo las segundas componentes 3 = a. Evidentemente ano puede valer a la vez 2 y 3, por lo tanto dicho nmero a no existe.

Si ahora probamos a encontrar b que cumpla (2,1) = b(4,3) veremos que dichonmero b tampoco existe.


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As que los dos vectores (4,3) y (2,1) no son combinacin lineal uno del otro,luego son vectores independientes en R2.

Ejercicio 12: En R3, los vectores (1,0,1), (2,1,2), son dependientes oindependientes?

Ejercicio 11 resuelto: Expresar (2,1,1) como combinacin lineal de (1,1,1),(0,1,0) y (1,0,1).

Tenemos que encontrar 3 nmeros, a,b,c, que cumplan: (2,1,1) = a(1,1,1) +b(0,1,0) + c(1,0,1).

Multiplicando y sumando queda: (2,1,1) = (a+c, a+b, a+c).

De cada componente se obtiene una ecuacin del sistema:

2 = a+c

1 = a+b

1 = a+c

La primera ecuacin nos dice que a+c vale 2, la tercera que a+c vale 1. Esimposible que algo tenga a la vez dos valores distintos, por lo que el sistema notiene solucin.

Eso quiere decir que es imposible escribir (2,1,1) como combinacin lineal de(1,1,1), (0,1,0) y (1,0,1).


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DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE DOS VECTORES

Os contaba ayer que un conjunto de vectores es dependiente si alguno de ellos escombinacin lineal de los otros.

Si ese conjunto de vectores est formado por un solo vector ser, lgicamente,independiente.

Qu posibilidades tenemos si el conjunto est formado por dos vectores? Essencillo:

Dos vectores sern dependientes si uno es mltiplo del otro. Si no es as, sernindependientes.

Por ejemplo, en R2, los vectores (2,3) y (6,9) son dependientes pues (6,9) =3(2,3).Tambin valdra razonar que (2,3) = (1/3)(6,9).

Un ejemplo en R3, los vectores (2,1,-1) y (-4,-2,2) son dependientes pues (-4,-

2,2) = -2(2,1,-1).

Los vectores (2,2) y (6,4) son independientes pues si fuese (6,4) = a(2,2) paraalgn nmero a, entonces, separando por componentes:

6 = 2a

4 = 2a

De la primera ecuacin a= 3, pero de la segunda a = 2. Como a no puede tenerdos valores distintos, eso significa que (6,4) no es mltiplo de (2,2) (y viceversa),luego los dos vectores son independientes.

Ejercicio 13: Cules de los siguientes pares de vectores son dependientes?

a) (2,-1) y (4,2) b (3,1,-2) y (-3,-1,2) c) (4,2,-8) y (1,1/2,-2)

Ejercicio 12 resuelto: En R3

, los vectores (1,0,1), (2,1,2), son dependientes oindependientes?


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Si fuesen dependientes existira un nmero a tal que: (2,1,2) = a(1,0,1).Separando por componentes obtenemos un sistema de tres ecuaciones:

2 = a

1 = 0

2 = a

La segunda ecuacin nos indica que el sistema no tiene solucin, es decir, noexiste ningn nmero a que cumpla la condicin, luego los dos vectores sonindependientes.


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DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE MAS DE TRESVECTORES

En R2

, tres o ms vectores siempre son dependientes.

En R3, cuatro o ms vectores siempre son dependientes.

El nico caso que falta por comentar es en R3 cuando tenemos tres vectores. Paraver si son dependientes o no, se calcula el determinante cuyas 3 filas son lascorrespondientes a cada vector. Si el determinante vale 0 los tres vectores serndependientes. Si el determinante no vale 0 sern independientes.

Veamos si los vectores (1,0,2), (2,1,1) y (3,1,3) son dependientes oindependientes.

Se forma el determinante

313

112

201

Y se calcula por la Regla de Sarrus:

1*1*3 + 0*1*3 + 2*1*2 - 2*1*3 - 0*2*3 - 1*1*1 = 3 + 0 + 4 - 6 - 0 - 1 = 0

Como el determinante vale 0 los tres vectores son dependientes.

Otro ejemplo: Ahora los vectores son (2,1,3), (1,0,0) y (0,2,1)

El determinante es:120

001

312

Por la Regla de Sarrus vale:

2*0*1 + 1*0*0 + 1*2*3 - 3*0*0 - 1*1*1 - 0*2*0 = 0 + 0 + 6 - 0 - 1 - 0 = 5

Como el determinante no vale 0 los tres vectores son independientes.


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Ejercicio 14: Cules de los siguientes conjuntos de vectores son dependientes?

A) {(1,2), (3,1)}

B) {(1,0,1), (2,1,3), (-1,2,0)}

C) {(-2,3), (-1,-2)}D) {(2,1,3), (-1,-2,1), (1,-1,4)}

Ejercicio 13 resuelto: Cules de los siguientes pares de vectores sondependientes?

(2,-1) y (4,2)

(4,2) = a(2,-1), y, de aqu: 4 = 2a, 2 = -a. En la primera ecuacin a vale 2 y en lasegunda a vale -2. Al obtener dos valores distintos no hay solucin, luego los dos

vectores son independientes.(3,1,-2) y (-3,-1,2)

(3,1,-2) = a(-3,-1,2), y, de aqu: 3 = -3a, 1 = -a, -2 = 2a. En las tres ecuaciones seobtiene el mismo valor a = -1. S hay solucin del sistema luego los dos vectoresson dependientes.

(4,2,-8) y (1,1/2,-2)

(4,2,-8) = a(1,1/2,-2), y, de aqu: 4 = a, 2 = (1/2)a, -8 = -2a. En las tres ecuacionesse obtiene el mismo valor a = 4. S hay solucin del sistema luego los dosvectores son dependientes.


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SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO DE VECTORES

Si tenemos un conjunto de vectores de un Espacio y formamos con ellos todas lascombinaciones lineales posibles, obtenemos otro conjunto de vectores del

Espacio (ms grande, por supuesto).

Este conjunto as obtenido ser siempre un Subespacio, el Subespacio generadopor ese conjunto de vectores.

En ocasiones este Subespacio coincidir con todo el Espacio.

Por ejemplo, con el conjunto de vectores de R2: {(1,2), (3,1)}, formamos todaslas combinaciones lineales posibles, es decir, obtenemos todos los vectores queresultan al multiplicar cada vector del conjunto por un nmero y sumar:

1(1,2) + 2(3,1) = (7,4);

2(1,2) + 1(3,1) = (5,5);

3(1,2) + 2(3,1) = (9,8);

1(1,2) + 0(3,1) = (1,2); etc.

Obtendremos infinitos vectores. De hecho obtendremos cualquier vector de R2.

Por ejemplo, el vector (10,14) se obtendr as:

(10,14) = a(1,2) + b(3,1).

(10,14) = (a+3b, 2a+b)

10 = a+3b14 =2a+b

Y resolviendo el sistema queda: a = 32/5, b = 6/5. Por lo que: (10,14) =(32/5)(1,2) + (6/5)(3,1).

En este ejemplo el Subespacio generado por {(1,2), (3,1)} es todo el Espacio R2.


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Ejercicio 15: Cul es el Subespacio generado por el conjunto de vectores {(1,0),(-3,0)}

Ejercicio 14 resuelto: Cules de los siguientes conjuntos de vectores son

dependientes?A) {(1,2), (3,1)}

B) {(1,0,1), (2,1,3), (-1,2,0)}

C) {(-2,3), (-1,-2)}

D) {(2,1,3), (-1,-2,1), (1,-1,4)}

Para ver si {(1,2), (3,1)} es un conjunto de vectores dependientes slo tenis quecomprobar si uno de los vectores, por ejemplo (3,1) es mltiplo del otro (1,2).Para que lo fuesen existira un nmero que multiplicado por 1 de 3, y que

multiplicado por 2 de 1. Imposible. Son independientes.Se razona igual en el apartado c): Buscamos un nmero que multiplicado por -1de -2 (tiene que ser el 2), pero que multiplicado por -2 de 3 tambin (aqu ya no

puede ser el 2). Imposible que exista tal nmero. Son independientes.

Para los casos b) y d) calculamos el determinante. En el caso b) sera:

021

312

101

Por la Regla de Sarrus obtenemos: 0 + 0 + 4 -(-1) - 0 - 4 = 1

Son independientes.

En el caso d) sera:

411

121

312

Por la Regla de Sarrus obtenemos: -16 +1 +3 -(-6) - (-4) -(-2) = 0

Este conjunto de vectores es dependiente.


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GENERADORES EN R2

En R2un vector (a,b) genera el Subespacio R(a,b). Nunca un slo vector generartodo el espacio.

Dos vectores dependientes (a,b) y (c,d) generarn el Subespacio R(a,b) o elR(c,d). Estos dos Subespacios sern iguales, formados por el mismo conjunto devectores.

Dos vectores independientes generarn todo el Espacio R2.

Si tenemos tres o ms vectores, y al menos dos de ellos son independientes,entonces ese conjunto de vectores generar todo el Espacio R2. Si entre ellos nohay dos que sean independientes, entonces es que todos son mltiplos unos deotros, y slo generarn el Subespacio R(a,b), donde (a,b) es uno cualquiera de losvectores del conjunto.

Veamos ejemplos:

El vector (2,5) genera el Subespacio R(2,5).

Los vectores (1,2) y (2,4) generan el Subespacio R(1,2), o el R(2,4). AmbosSubespacios son iguales.

Los vectores (2,1) y (0,2) generan el Espacio completo R2, pues sonindependientes (uno no es mltiplo del otro).

Los vectores (1,0), (0,1) y (2,0) generan todo el Espacio R2pues (1,0) y (0,1) sonindependientes.

Los vectores (1,0), (2,0) y (6,0) generan el Subespacio R(1,0), pues no podemosencontrar dos que sean independientes.


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Ejercicio 16: Cul de las siguientes afirmaciones es cierta?

a) Los vectores (-1,3) y (1,-3) generan todo el Espacio R2.

b) Los vectores (2,1) y (4,2) generan el Subespacio R(4,2).

c) Los vectores (1,1), (1,2) y (2,4) no generan todo el Espacio R

2

.

Ejercicio 15 resuelto: Cul es el Subespacio generado por el conjunto devectores {(1,0), (-3,0)}

Segn lo tratado hoy la respuesta es sencilla: R(1,0), ya que los dos vectores sonuno mltiplo del otro: (-3,0) = (-3)(1,0).


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GENERADORES EN R3

En R3un vector (a,b,c) genera el Subespacio R(a,b,c).

Dos vectores dependientes (a,b,c) y (d,e,f) generarn el Subespacio R(a,b,c) o elR(d,e,f). Estos dos Subespacios sern iguales, formados por el mismo conjuntode vectores.

Dos vectores independientes (a,b,c) y (d,e,f) generarn el Subespacio R(a,b,c) +R(d,e,f).

Tres vectores independientes generan todo el Espacio R3

.

Si tenemos cuatro o ms vectores, y al menos tres de ellos son independientes,entonces ese conjunto de vectores generar todo el Espacio R3. Si entre ellos nohay tres que sean independientes tenemos dos opciones: que haya al menos dosque sean independientes o que todos sean dependientes. En el primer caso elSubespacio generado ser de la forma R(a,b,c) + R(d,e,f), y en el segundo de laforma R(a,b,c).

Veamos ejemplos:

El vector (2,5,1) genera el Subespacio R(2,5,1).

Los vectores (1,2,2) y (2,4,4) generan el Subespacio R(1,2,2), o el R(2,4,4).Ambos Subespacios son iguales.

Los vectores (2,1,0) y (0,2,1) generan el Subespacio R(2,1,0) + R(0,2,1), puesson independientes (uno no es mltiplo del otro).

Los vectores (1,0,1), (2,0,1) y (2,-1,0) generan todo el Espacio R3 pues sonindependientes.

Los vectores (1,0,1), (2,0,1), (2,-1,0) y (2,0,2) generan todo el Espacio R3pues al

menos tres de ellos (los tres primeros), son independientes.


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Los vectores (1,0,1), (2,0,1), (4,0,2) y (2,0,2) generan el Subespacio R(1,0,1) +R(2,0,1), pues no podemos encontrar entre ellos ms de dos que seanindependientes.

Los vectores (1,0,1), (2,0,2), (3,0,3) y (4,0,4) generan el Subespacio R(1,0,1),pues todos ellos son dependientes.

Ejercicio 17: Cules de los siguientes conjuntos de vectores generan el espacioR3:

{(1,2,-1), (0,1,3), (1,3,2)}

{(1,0), (2,-5)}

{(3,1,1), (-3,-1,1), (0,0,1)}

{(1,1,1), (1,4,-1), (2,5,0), (-2,-8,2)}

Ejercicio 16 resuelto: Cul de las siguientes afirmaciones es cierta?

a) Los vectores (-1,3) y (1,-3) generan todo el Espacio R2.

b) Los vectores (2,1) y (4,2) generan el Subespacio R(4,2).

c) Los vectores (1,1), (1,2) y (2,4) no generan todo el Espacio R2.

La afirmacin a) es falsa pues (-1,3) y (1,-3) son dependientes. Generan elSubespacio R(-1,3), no todo el Espacio.

La afirmacin c) es falsa, pues de entre los tres vectores hay dos, (1,1) y (1,2),que son independientes, luego s generan todo el Espacio.

La afirmacin b) es cierta pues (2,1) y (4,2) son dependientes y generan tanto elSubespacio R(2,1) como el R(4,2), ya que ambos son iguales.


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BASES EN R2Y EN R3

Una base de un Espacio Vectorial es un conjunto de vectores linealmenteindependientes y que generan todo el Espacio.

En R2una base est formada por dos vectores independientes.

En R3una base est formada por tres vectores independientes.

Por ejemplo, los vectores (1,2) y (-1,3) son una base de R2, porque son dosvectores y son independientes (en R2dos vectores independientes generan todo el

Espacio).

Otro ejemplo, los vectores (1,2,0), (1,3,1) y (2,5,0) no son una base de R3, porqueson tres vectores y son independientes (en R3 tres vectores independientesgeneran todo el Espacio).

En cambio los vectores (-1,2), (3,4) y (-1,5) no son una base de R2 ya que,aunque generan todo el Espacio, no son independientes.

Ejercicio 18: Cul de los siguientes conjuntos de vectores es una base de R3?

{(1,2,4), (-2,3-1), (-1,5,3)}

{(2,1,1), (-2,-1,0), (1,1,1)}

{(1,3),(0,2)}

{{(1,2,4), (-2,3-1), (5,0,0), (-2,9,1)}

Ejercicio 17 resuelto: Cules de los siguientes conjuntos de vectores generan elespacio R3:

{(1,2,-1), (0,1,3), (1,3,2)}

{(1,0), (2,-5)}

{(3,1,1), (-3,-1,1), (0,0,1)}

{(1,1,1), (1,4,-1), (2,5,0), (-2,-8,2)}


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El conjunto {(1,2,-1), (0,1,3), (1,3,2)} no genera R3 ya que el determinanteformado por los tres vectores vale 0. Comprubalo.

El conjunto {(1,0), (2,-5)} no genera R3ya que est formado por vectores de R2.

El conjunto {(3,1,1), (-3,-1,1), (0,0,1)}no genera R3ya que los tres vectores que

lo forman son dependientes (su determinante vale 0). El conjunto {(1,1,1), (1,4,-1), (2,5,0), (-2,-8,2)} tampoco genera R3ya que slo

podemos encontrar dos vectores independientes entre los cuatro.


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BASES EN SUBESPACIOS

Una base de un subespacio de R2de la forma R(a,b) es la formada por el vector(a,b).

Una base de un subespacio de R3de la forma R(a,b,c) es la formada por el vector(a,b,c).

Una base de un subespacio de R3de la forma R(a,b,c) + R(d,e,f) es la formadapor los vectores (a,b,c) y (d,e,f).

Para obtener una base de un subespacio expresado por una condicin, porejemplo, del subespacio A = {(x,y) / x = 3y}, primero debemos escribir elsubespacio en la forma R(a,b).

En este caso sera as: Un vector cualquiera del subespacio A es de la forma(x,y), pero sabemos que x = 3y, as que, sustituyendo, un vector cualquiera delsubespacio A ser de la forma (3y,y).

Sacando la y como factor comn nos queda: y(3,1). Es decir: A = R(3,1), y unabase de A est formada por el vector (3,1).

Otro ejemplo: Si nos dan el subespacio B = {(x,y,x) / x + y + z = 0}.

Un vector cualquiera de B es (x,y,z), y en l se cumplir que x + y + z = 0.

Despejando x queda: x = -yz. Sustituyendo, un vector cualquiera de B ser: (-y-

z, y, z) = (-y, y, 0) + (-z, 0, z) = y(-1,1.0) + z(-1,0,1).

Es decir, el subespacio B es: B = R(-1,1,0) + R(-1,0,1). Una base de B estarformada por los vectores (-1,1,0) y (-1,0,1).

Ejercicio 19: Encontrar una base del subespacio A = {(x,y,z) / x -2y + 3z = 0}.


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Ejercicio 18 resuelto: Cul de los siguientes conjuntos de vectores es una basede R3?

{(1,2,4), (-2,3-1), (-1,5,3)} No es base pues son tres vectores no independientes,ya que su determinante vale cero.

{(2,1,1), (-2,-1,0), (1,1,1)} S es base pues son tres vectores independientes, yaque su determinante no vale cero.

{(1,3),(0,2)} No es base de R3pues son vectores de R2.

{{(1,2,4), (-2,3-1), (5,0,0), (-2,9,1)} No es base pues est formado por cuatrovectores


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COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE

Cualquier par de vectores de R2que sean independientes es una base del espacioR2. Hay por lo tanto infinitas bases de R2.

Si escogemos una de esas bases A = {(a,b), (c,d)}, un vector cualquiera (x,y) deR2 se podr escribir como combinacin lineal de los vectores de A: (x,y) =m(a,b) + n(c,d). Los nmeros m y n sern las coordenadas de (x,y) en la base A.

De igual forma podemos razonar en R3, donde habr infinitas bases formadas portres vectores independientes.

Por ejemplo, en R2 los vectores (2,1) y (-1,3) son una base ya que sonindependientes. Cualquier vector de R2 se puede escribir como combinacinlineal de (2,1) y (-1,3). Escojo el (3,5), tendremos que: (3,5) = 2(2,1) + 1(-1,3).As las coordenadas de (3,5) en la base formada por (2,1) y (-1,3) son 2 y 1.

Cmo calcular las coordenadas de un vector en una base? Hallemos lascoordenadas de (1,1) en la base

B = {(1,2), (3,-1)}.

Las coordenadas sern dos nmeros m y n que cumplan que: (1,1) = m(1,2) +n(3,-1). Multiplicando y sumando en el segundo miembro nos queda que: (1,1) =(m+3n, 2m -n). Separando cada componente por un lado obtenemos un sistemade dos ecuaciones:

1 = m + 3n

1 = 2mn

Podis resolverlo por el mtodo que mejor os parezca, saldr: m = 4/7, n = 1/7.Estas sern las coordenadas de (1,1) en la base B.

Ejercicio 18: Halla las coordenadas del vector (2,3,4) en la base A = {(1,0,0),(1,1,0), (0,1,1)}.

Ejercicio 19 resuelto: Encontrar una base del subespacio A = {(x,y,z) / x -2y + 3z= 0}.


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Despejando x en la condicin: x = 2y -3z. Un vector cualquiera de A ser de laforma:

(x,y,z) = (2y-3z,y,z) = (2y,y,0) + (-3z,0,z) = y(2,1,0) + z(-3,0,1).

Por lo tanto A = R(2,1,0) + R(-3,0,1). Una base de A ser: {(2,1,0), (-3,0,1)}


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DIMENSION

La dimensin de un Espacio es el nmero de vectores que hay en una cualquierade sus bases (todas tienen que tener el mismo nmero de vectores).

Por lo tanto, la dimensin de R2es 2 y la dimensin de R3es 3.

La dimensin de un Subespacio siempre es menor que la de todo el Espacio.

Por ello la dimensin de un Subespacio de R2ser 1, a no ser que el subespaciosea {(0,0)} de dimensin 0.

La dimensin de un Subespacio de R3ser 1 2 (excepto el caso del {(0,0,0)} dedimensin 0).

Por ejemplo, la dimensin de R(2,3) es 1, ya que es un subespacio de R2y unabase suya es el vector (2,3).

La dimensin del subespacio R(-1,2,0) + R(0,1,1) es 2, y una base es: {(-1,2,0),(0,1,1)}

La dimensin del subespacio {(x,y,z)/ x - y +2z = 0} se calcula hallando unabase:

Despejamos una compnente: x = y - 2z.

Un vector cualquiera del subespacio ser: (x,y,z) = (y-2z,y,z) = (y,y,0) + (-2z,0,z)= y(1,1,0) + z(-2,0,1).

El subespacio {(x,y,z)/ x - y +2z = 0} es entonces igual a: R(1,1,0) + R(-2,0,1), yuna base est formada por dos vectores, luego la dimensin del subespacio es 2.

Ejercicio 19: Cul de los siguientes subespacios tiene dimensin 2?

a) R(1,4) b) R(1,1,1) + R(2,2,2) c) {(x,y,z)/ x = y, z = 0} d) Ninguno de losanteriores.


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Ejercicio 18 resuelto: Halla las coordenadas del vector (2,3,4) en la base A ={(1,0,0), (1,1,0), (0,1,1)}.

(2,3,4) = a(1,0,0) + b(1,1,0) + c(0,1,1)

(2,3,4) = (a+b, b+c, c)

Tenemos entonces el sistema:

2 = a + b

3 = b + c

4 = c

De la ltima ecuacin sabemos que c = 4. Sustituyendo en la segunda b = -1.Pasando a la primera obtenemos que a = 3.

Las coordenadas que nos piden son 3, -1 y 4.


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SUMA DE SUBESPACIOS

La suma de dos subespacios vectoriales A y B est formada por todos losvectores que se pueden escribir como suma de un vector de A y otro vector de B.

Es decir: A + B = {x + y tal que x pertenece a A, y pertenece a B}.

La suma de subespacios vectoriales siempre es otro subespacio vectorial.

Por ejemplo, si tenemos los subespacios de R2: A = R(1,0) y B = R(0,1), vamos a

calcular su suma A + B:

Un vector de A + B ser de la forma: (1,0) + (0,1) = (,0) + (0,) = (,) donde

y pueden ser cualquier nmero real. Es decir A + B estar formado por todoslos vectores posibles, luego A + B = R2.

Si tenemos los subespacios de R3: A = R(1,0,0) y B = R(0,1,0), vamos a calcularsu suma A + B.

Un vector de A + B ser de la forma (1,0,0) + (0,1,0) = (,0,0) + (0,,0) =(,,0), donde y pueden ser cualquier nmero real. Es decir A + B estarformado por todos los vectores posibles que tienen de tercera coordenada el valor0. Por lo tanto: A + B = {(x,y,z) tales que z = 0}.

Ejercicio 20: Halla la suma de los subespacios A = {(x,y) / x=y} y B = R(2,2).

Ejercicio 19 resuelto: Cul de los siguientes subespacios tiene dimensin 2?

a) R(1,4) b) R(1,1,1) + R(2,2,2) c) {(x,y,z)/ x = y, z = 0} d) Ninguno de losanteriores.

El subespacio R(1,4) tiene dimensin 1 ya que una base est formada por elvector (1,4).

El subespacio R(1,1,1) + R(2,2,2) tiene dimensin 1 pues el vector (2,2,2) esmltiplo del (1,1,1) y, por lo tanto, una base del subespacio est formada por el

vector (1,1,1).


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El subespacio {(x,y,z)/ x = y, z = 0} est formado por los vectores de la forma(x,y,z) = (y,y,0) = y(1,1,0) = R(1,1,0), por lo que una base est formada por elvector (1,1,0) y el subespacio es de dimensin 1.

La respuesta correcta es la ltima: Ninguno de los anteriores.


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LA DIMENSION DE UNA SUMA DE SUBESPACIOS

Decamos ayer que la suma de dos subespacios siempre es otro subespacio.

Recordad que eso mismo pasaba con la interseccin: la interseccin de dossubespacios siempre es otro subespacio.

Existe una frmula muy til que relaciona la suma y la interseccin desubespacios utilizando las dimensiones:

La dimensin de la suma de dos subespacios es igual a la dimensin del primeroms la dimensin del segundo menos la dimensin de la interseccin de ambos.

En smbolos: Dim (A + B) = Dim A + Dim B Dim (AB).

Veamos cmo se puede usar:

Tenemos los subespacios A = R(1,0) y B = R(0,1), quin ser A + B?

Tanto A como B son subespacios de R

2

, que tiene dimensin 2. A y B tienendimensin 1. La interseccin de A y B estar formada por los vectores quepertenecen a la vez a ambos subespacios, es decir, vectores que tengan a la vezde segunda componente un cero (por estar en A) y de primera componente uncero (por estar en B). El nico vector de la interseccin ser pues el (0,0), as queA B = {(0,0)}, y Dim (A B) = 0.

Utilizando la frmula de las dimensiones: Dim (A + B) = Dim A + Dim BDim(AB) = 1 + 1 0 = 2, la dimensin de A + B es 2, pero 2 es la dimensin detodo el espacio, lo que quiere decir que A + B es todo el espacio: A + B = R2.

Un ejemplo en R3: Los subespacios sern ahora A = {(x,y,z) / z = 0} y B =R(1,1,0). Ser cierto que A + B = B?

Un vector de A ser de la forma (x,y,z) = (x,y,0) = (x,0,0) + (0,y,0) = x(1,0,0) +y(0,1,0). Por lo que A = R(1,0,0) + R(0,1,0), y as A es de dimensin 2. B es dedimensin 1.


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La interseccin de A y B estar formada por los vectores que cumplan a la vez Ay B: los que tengan de tercera componente un cero y la primera componente seaigual a la segunda, es decir, la interseccin de A y B coincide con B, y es dedimensin 1.

Utilizando la frmula: Dim (A + B) = 2 + 1 1 = 2. Por lo que la suma A + B esde dimensin 2 y no puede ser igual a B que es de dimensin 1.

Ejercicio 21: Es cierto que la suma de los subespacios A = {(x,y,z) / x = 0} y B= {(x,y,z) / y = 0} es todo el espacio R3?

Ejercicio 20 resuelto: Halla la suma de los subespacios A = {(x,y) / x=y} y B =R(2,2).

Un vector de A ser de la forma (x,y) = (y,y) = y(1,1), as que A = R(1,1).

Pero R(1,1) = R(2,2). Si no tienes claro piensa en un vector cualquiera de R(2,2)y vers como est en R(1,1) y viceversa.

Es decir, A = B, por lo que A + B = A = R(1,1) (tambin podramos decir que A+ B = B = R(2,2)).


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CASOS POSIBLES EN LA SUMA DE SUBESPACIOS

Posibilidades que surgen al sumar subespacios:

En R2:

Si sumis dos subespacios de dimensin 1 y el resultado es de dimensin 1 esque ambos subespacios eran iguales y la suma es igual a uno cualquiera de losdos.

Si sumis dos subespacios de dimensin 1 y el resultado es de dimensin 2entonces la suma es igual a todo el espacio R2.

En R3:

Si sumas dos subespacios de dimensin 1 y el resultado es de dimensin 1 esque ambos subespacios eran iguales y la suma es igual a uno cualquiera de losdos.

Si sumis dos subespacios de dimensin 1 y el resultado es de dimensin 2entonces la suma es igual a un subespacio de dimensin 2 de R3.

Si sumis un subespacio A de dimensin 1 y otro B de dimensin 2 y el resultadoes de dimensin 2, entonces la suma es igual al subespacio B de dimensin 2.

Si sumis un subespacio A de dimensin 1 y otro B de dimensin 2 y el resultado

es de dimensin 3, entonces la suma es igual a todo el espacio R3

.

Si sumis dos subespacios de dimensin 2 y el resultado es de dimensin 2 esque ambos subespacios eran iguales y la suma es igual a uno cualquiera de losdos.

Si sumis dos subespacios de dimensin 2 y el resultado es de dimensin 3,entonces la suma es igual a todo el espacio R3.


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Por ejemplo la suma R(2,1) + R(1,1) es de dimensin 2, ya que la interseccin deambos subespacios consiste en el vector (0,0) solamente (para ver por qu es dedimensin 2 la suma utiliza la frmula que vimos ayer). Al ser suma de dossubespacios de dimensin 1 y dar como resultado un subespacio de dimensin 2eso significa que el resultado de la suma es todo R2.

La suma de A = {(x,y,z) / x = 0, y = z} y B = {(x,y,z) / x = 0} es de dimensin 2.Veamos por qu:

Un vector de A es de la forma (x,y,z) = (0,y,y) = y(0,1,1). Por lo tanto A =R(0,1,1), y A es de dimensin1.

Un vector de B es de la forma (x,y,z) = (0,y,z) = (0,y,0) + (0,0,z) = y(0,1,0) +z(0,0,1). As que B = R(0,1,0) + R(0,0,1), y B es de dimensin2.

La interseccin de A y B son los vectores que cumplen las condiciones de A y lade B a la vez, es decir, los vectores de primera componente igual a cero y desegunda componente igual a la tercera. Luego AB = A, y la interseccin es de

dimensin 1.

Por la frmula Dim (A + B) = 1 + 21 = 2. Eso quiere decir que A + B = B.

Ejercicio 22: A quin ser igual la suma de A = {(x,y,z) / x = 2y} y B = {(x,y,z)/ y= x, z=2x}.

Ejercicio 21 resuelto: Es cierto que la suma de los subespacios A = {(x,y,z) / x =0} y B = {(x,y,z) / y = 0} es todo el espacio R3?

La dimensin de A es 2 y la de B tambin es 2. La interseccin est formada porlos vectores de primera y segunda componentes cero A B = {(x,y,z) / x = y =0}, y es de dimensin 1. As: Dim (A + B ) = 2 + 2 -1 = 3, por lo que A + B = R3.


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SUBESPACIOS SUPLEMENTARIOS

Dos subespacios se dice que son suplementarios si su interseccin est formada

slo por el vector nulo y su suma coincide con todo el espacio.

En ese caso su suma se llama suma directa.

Los subespacios R(2,1) y R(-1,3) son suplementarios ya que su interseccin es elvector (0,0) y su suma es R2.

Veamos por qu: R(2,1) = {(x,y) / x = 2y}, R(-1,3) = {(x,y) / y = -3x}. Un vectorde la interseccin cumplir a la vez las dos condiciones, es decir, la interseccinestar formada por las soluciones del sistema:

x = 2y

y = -3x

Y la nica solucin es x = y = 0. Por lo tanto la interseccin de los dossubespacios es el vector nulo.

Por la frmula de las dimensiones: Dim (R(2,1) + R(-1,3)) = 1 + 1 -0 = 2, as quela suma de los dos subespacios debe ser todo el espacio R2.

Los subespacios A = R(1,0,0) y B = {(x,y,z) / x= y} son suplementarios.Comprobmoslo:

Un vector de B ser (x,y,z) = (x,x,z) = (x,x,0) + (0,0,z) = x(1,1,0) + z(0,0,1), dedonde A = R(1,1,0) + R(0,0,1). B es de dimensin 2.

R(1,0,0) = {(x,y,z) / y=0, z=0}

Un vector de la interseccin cumplir que: y=0, z=0, x=y. El nico vector quecumple a la vez estas tres condiciones es el (0,0,0). Por lo tanto la interseccin delos dos subespacios es el vector nulo.


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Por la frmula de las dimensiones: Dim (A + B) = 1 + 2 0 = 3, as que la sumade los dos subespacios debe ser todo el espacio R3.

Por lo tanto se cumplen las dos condiciones para que A y B sean suplementarios.

Ejercicio 23: Son suplementarios los subespacios A = {(x,y,z) / x=2z} y B ={(x,y,z) / y = 2z}?

Ejercicio 22 resuelto: A quin ser igual la suma de A = {(x,y,z) / x = 2y} y B ={(x,y,z) / y= x, z=2x}.

Un vector de A ser: (x,y,z) = (2y,y,z) = (2y,y,0) + (0,0,z) = y(2,1,0) + z(0,0,1).Luego A = R(2,1,0) + R(0,0,1), y A es de dimensin 2.

Un vector de B ser: (x,y,z) = (x,x,2x) = x(1,1,2). Luego B = R(1,1,2) y A es dedimensin 1.

Un vector de la interseccin cumplir a la vez las condiciones de A y la de B:

x = 2y

y = x

z = 2x

La nica solucin es (0,0,0). Por lo tanto la interseccin de los dos subespacios esel vector nulo.

Por la frmula: Dim ( A + B) = 2 + 1 -0 = 3. Luego la suma A + B = R3.


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APLICACIONES

Una aplicacin entre dos espacios vectoriales transforma cada vector de uno de

los espacios (espacio inicial) en un vector del otro (espacio final).

Las representamos por una letra minscula.

Por ejemplo f: R2 R3, definida por f(x,y) = (x,y,0), es la aplicacin f quetransforma los vectores del espacio R2en vectores del espacio R3, de forma quecada vector de R2 lo transforma en el vector de R3 que tiene las dos primerascomponentes iguales a las dos primeras del vector original, y la terceracomponente es cero.

As: f(2,3) = (2,3,0); f(-1,5) = (-1,5,0); f(0,0) = (0,0,0); etc.

La aplicacin g: R2R2, definida por g(x,y) = (x2,y2), transforma cada vector deR2en otro vector de R2 tambin, cuyas componentes son las del vector originalelevadas al cuadrado.

En la aplicacin g tendremos: g(1,2) = (1,4); g(-2,4) = (4,16); g(0,1) = (0,1); etc.

Ejercicio 24: En la aplicacin h: R3R3, definida por h(x,y,z) = (x+y, 2+y, z-x),halla: h(1,2,3), h(0,0,0) y h(-1,2,-4).

Ejercicio 23 resuelto: Son suplementarios los subespacios A = {(x,y,z) / x=2z} yB = {(x,y,z) / y = 2z}?

Un vector de A ser (x,y,z) = (2z,y,z) = (0,y,0) + (2z,0,z) = y(0,1,0) + z(2,0,1), de

donde A = R(0,1,0) + R(2,0,1). A es de dimensin 2.Un vector de B ser (x,y,z) = (x,2z,z) = (x,0,0) + (0,2z,z) = x(1,0,0) + z(0,2,1), dedonde B = R(1,0,0) + R(0,2,1). B es de dimensin 2.

Un vector (x,y,z) cualquiera de la interseccin cumplir a la vez la condicin deA y la de B, es decir:

x = 2z, y = 2z,

y dicho vector ser: (x,y,z) = (2z,2z,z) = z(2,2,1). De donde A B = R(2,2,1). La

interseccin es de dimensin 1, no nula.

Al no ser nula la interseccin, aunque A + B = R3

, los subespacios A y B no sonsuplementarios.


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MAS APLICACIONES

Aplicaciones entre espacios hay de todos los tipos posibles y entre todos losespacios posibles. En los prximos das veremos muchos ejemplos deaplicaciones de R2en R2, de R2en R3, de R3en R3y de R3en R2.

Por ejemplo f: R3 R2, definida por f(x,y,z) = (y,z), es la aplicacin f quetransforma los vectores del espacio R3en vectores del espacio R2, de forma quecada vector de R3lo transforma en el vector de R2que tiene sus dos componentes

iguales a las dos ltimas del vector original.

As: f(2,3,1) = (3,1); f(0,-1,5) = (-1,5); f(0,0,0) = (0,0); etc.

La aplicacin g: R3R3, definida por g(x,y,z) = (0,1,z), transforma cada vectorde R3en otro vector de R3tambin, cuyas componentes son: la primera un cero,la segunda un uno y la tercera la que era tercera en el vector original.

En la aplicacin g tendremos: g(1,1,2) = (0,1,2); g(-2,4,3) = (0,1,3); g(0,0,0) =(0,1,0); etc.

Ejercicio 25: En cules de las siguientes aplicaciones es f(1,2) = (3,5)?

a) f: R2R2, f(x,y) = (y+1,y) b) f: R2R2,f(x,y) = (x+y,y+3) c) f: R2R2,f(x,y) = (y+1,5)

Ejercicio 24 resuelto: En la aplicacin h: R3R3, definida por h(x,y,z) = (x+y,2+y, z-x), halla: h(1,2,3), h(0,0,0) y h(-1,2,-4).

h(1,2,3) = (1+2,2+2,3-1) = (3,4,2); h(0,0,0) = (0+0,2+0,0-0) = (0,2,0); h(-1,2,-4)= (-1+2,2+2,-4-(-1)) = (1,4,-3).


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IMAGEN DE UN VECTOR

En una aplicacin f, a cada vector del espacio inicial le corresponde otro delespacio final, que se llama imagen del vector.

Cada vector tiene una sola imagen.

En la aplicacin f: R3R2, definida por f(x,y,z) = (y,z), la imagen del vector(1,3,2) es el vector f(1,3,2) = (3,2). La imagen de (0,1,-1) es el vector f(0,1,-1) =(1,-1). La imagen del vector nulo es f(0,0,0) = (0,0).

La imagen de (1,2) en la aplicacin g: R2R3, definida por g(x,y) = (0,1,x+y), esg(1,2) = (0,1,3). La imagen del vector nulo es g(0,0) = (0,1,0).

Ejercicio 26: Halla la imagen del vector nulo y del vector (-1,3) en las siguientesaplicaciones:

a) f: R2R2, definida por f(x,y) = (x+2,y-x).

b) g: R2R3, definida por g(x,y) = (5,x+y,2x).c) h: R2R2, definida por g(x,y) = (x2,y2).

Ejercicio 25 resuelto: En cules de las siguientes aplicaciones es f(1,2) = (3,5)?

a) f: R2 R2, f(x,y) = (y+1,y) b) f: R2R2 ,f(x,y) = (x+y,y+3) c) f: R2R2,f(x,y) = (y+1,5)

En el apartado a) es f(1,2) = (2+1,2) = (3,2). En el apartado b) es f(1,2) =(1+2,2+3) = (3,5). En el apartado c) es f(1,2) = (2+1,5) = (3,5). Las aplicacionesb) y c) son soluciones.


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APLICACIONES LINEALES

De entre todas las aplicaciones posibles nos interesan aquellas que cumplen las

dos condiciones siguientes:

La imagen de la suma de dos vectores es igual a la suma de las imgenes dedichos vectores.

La imagen del producto de un nmero por un vector es igual al producto delnmero por la imagen del vector.

Las aplicaciones que cumplen estas dos condiciones se llaman aplicacioneslineales.

Veamos si la aplicacin f: R2R2, que cumple que f(x,y) = (x2,x+y) es unaaplicacin lineal.

Para ello escojo dos vectores cualquiera, (1,2) y (3,4). La primera condicin quedebera cumplir f es que: f((1,2)+(3,4)) = f(1,2) + f(3,4). Esto debe cumplirse

para cualquier pareja de vectores que seleccione.

Pero f((1,2)+(3,4)) = f(4,6) = (16,10), mientras que f(1,2) + f(3,4) = (1,3) + (9,7)= (10,10).

Como la primera condicin nos falla entonces f no es una aplicacin lineal.

Veamos ahora si f: R2R2, que cumple que f(x,y) = (x,0) es una aplicacinlineal.

Escojo dos vectores cualquiera, (1,2) y (3,4). Tenemos f((1,2)+(3,4)) = f(4,6) =(4,0), y adems f(1,2) + f(3,4) = (1,0) + (3,0) = (4,0). La primera condicin secumple para los dos vectores que escog. Si cojo dos vectores cualesquiera (a,b) y(c,d) tendra:

f((a,b)+(c,d)) = f(a+c,b+d) = (a+c,0).

f(a,b) + f(c,d) = (a,0) + (c,0) = (a+c,0).


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La primera condicin se cumple para la aplicacin f. Veamos la segunda:

f(k(a,c)) = f(ka,kb) = (ka,0).

kf(a,b) = k(a,0) = (ka,0).

La segunda tambin se cumple, as que f es una aplicacin lineal.

Ejercicio 27: Comprueba si la aplicacin f: R2R2, que cumple que f(x,y) =(x+y, 1) es una aplicacin lineal.

Ejercicio 26 resuelto: Halla la imagen del vector nulo y del vector (-1,3) en las

siguientes aplicaciones:a) f: R2R2, definida por f(x,y) = (x+2,y-x).

b) g: R2R3, definida por g(x,y) = (5,x+y,2x).

c) h: R2R2, definida por g(x,y) = (x2,y2).

En f ser: f(0,0) = (0+2,0-0) = (2,0); f(-1,3) = (-1+2,3-(-1)) = (1,4).

En g: g(0,0) = (5,0+0,2*0) = (5,0,0); g(-1,3) = (5,-1+3,2*(-1)) = (5,2,-2).

En h: h(0,0) = (0,0); h(-1,3) = (1,9).


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UNA PROPIEDAD IMPORTANTE DE LAS APLICACIONESLINEALES

Una importante propiedad que cumplen todas las aplicaciones lineales es que laimagen del vector nulo debe ser el vector nulo.

Si en una aplicacin esta propiedad no se cumple entonces podemos asegurar queno es una aplicacin lineal.

As, la aplicacin f: R2R2, que cumple que f(x,y) = (x, 2), no es una aplicacinlineal, ya que f(0,0) = (0,2), y no se cumple que la imagen del vector nulo sea elvector nulo.

La aplicacin g: R3R2, que cumple que f(x,y,z) = (x, x+y, z+1) tampoco es unaaplicacin lineal, ya que f(0,0,0) = (0,0,1).

Ejercicio 28: Cul de las siguientes aplicaciones no es lineal?

f: R2R2, que cumple que f(x,y) = (y,x).

g: R2R3, que cumple que g(x,y) = (x, y-1, 0).

h: R3R2, que cumple que f(x,y,z) = (2x+y, -y).

Ejercicio 27 resuelto: Comprueba si la aplicacin f: R2R2, que cumple quef(x,y) = (x+y, 1) es una aplicacin lineal.

Teniendo en cuenta lo tratado hoy, como f(0,0) = (0,1), f no es una aplicacinlineal.

Podramos haber razonado tambin as:

Escojo dos vectores (1,2) y (3,4). La imagen de su suma es: f((1,2)+(3,4)) =f(4,6) = (10,1).

La suma de sus imgenes es: f(1,2) + f(3,4) = (3,1) + (7,1) = (10,2).

Como los resultados son distintos no se cumple la primera condicin para seraplicacin lineal.


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NUCLEO DE UNA APLICACIN LINEAL

El ncleo de una aplicacin lineal es el conjunto de todos los vectores del espacio

inicial cuya imagen es el vector nulo.

As, en la aplicacin lineal f: R2R2, que cumple que f(x,y) = (x, 0), el vector(0,3) pertenece al ncleo, ya que f(0,3) = (0,0). Tambin el vector (0,-4)

pertenece al ncleo, ya que f(0,-4) = (0,0). Todos los vectores cuya primeracomponente es cero pertenecen al ncleo.

En la aplicacin lineal g: R3R2, que cumple que f(x,y,z) = (x+z, x+y), el vector(1,-1,-1) pertenece al ncleo, ya que g(1,-1,-1) = (0,0). Tambin pertenecen al

ncleo los vectores (0,0,0), (2,-2,-2) y muchos ms.

Ejercicio 29: Qu vectores pertenecen al ncleo de la aplicacin lineal f:R2R2, que cumple que f(x,y) = (x+y,0)?

Ejercicio 28 resuelto: Cul de las siguientes aplicaciones no es lineal?

f: R2

R

2

, que cumple que f(x,y) = (y,x).g: R2R3, que cumple que g(x,y) = (x, y-1, 0).

h: R3R2, que cumple que f(x,y,z) = (2x+y, -y).

En la aplicacin g se tiene que g(0,0) = (0,-1,0), luego no es lineal.

Veamos que f s lo es. Escojo dos vectores (a,b) y (c,d) del espacio inicial. Setiene que cumplir que f((a,b)+(c,d)) = f(a,b) + f(c,d).

f((a,b)+(c,d)) = f(a+c,b+d) = (b+d,a+c).

f(a,b) + f(c,d) = (b,a) + (d,c) = (b+d,a+c)

Por lo anterior se cumple la primera condicin para ser aplicacin lineal. Ahorala segunda. Se tiene que cumplir que f(k(a,b)) = kf(a,b) para un nmero kcualquiera.

f(k(a,b)) = f(ka,kb) = (kb,ka)

kf(a,b) = k(b,a) = (kb,ka)

Las dos condiciones se cumplen, por lo tanto f s es aplicacin lineal.

Con h habra que hacer un razonamiento similar, s es aplicacin lineal.

(0,0) (0,0,0)o


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EL NUCLEO ES UN SUBESPACIO

El ncleo de una aplicacin lineal es un subespacio del espacio inicial de la

aplicacin.

En la aplicacin lineal f: R2R2, que cumple que f(x,y) = (y, x), el ncleo estarcompuesto por todos los vectores del espacio inicial R2que tienen por imagen elvector nulo, el (0,0) en este caso.

Un vector cualquiera del ncleo (x,y) cumplir, pues, que f(x,y) = (0,0). Pero en

esta aplicacin: f(x,y) = (y,x). Luego un vector cualquiera del ncleo de fcumplir que (y,x) = (0,0). De aqu obtenemos (separando por componentes) lasecuaciones: y = 0, x = 0.

Es decir, el ncleo de f estar formado por el vector (0,0), y ninguno ms.

Recordad que el vector (0,0) es un subespacio, el subespacio {(0,0)}.

Ejercicio 30: Hallar el ncleo de la aplicacin f: R2R3, que cumple que f(x,y) =(-x, x,0).

Ejercicio 29 resuelto: Qu vectores pertenecen al ncleo de la aplicacin linealf: R2R2, que cumple que f(x,y) = (x+y,0)?

En prximos das veremos como calcular exactamente estos vectores. Hoydiramos que pertenecen al ncleo de f los vectores que tienen dos componentesopuestas, por ejemplo: (2,-2), (-3,3), (5,-5), (0,0), etc.


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COMO CALCULAR EL NUCLEO?

El ncleo de una aplicacin lineal f se representa por kerf.

Vamos a ver en algunos ejemplos cmo calcular el ncleo de una aplicacin.

En la aplicacin lineal f: R2R2, que cumple que f(x,y) = (x-y,0), el ncleoestar compuesto por todos los vectores (x,y) que cumplan que (x-y,0) = (0,0), esdecir, aquellos cuya imagen es el vector nulo. De aqu obtenemos, separando porcomponentes, dos ecuaciones: x-y = 0 y 0 = 0. La segunda no nos dice nada, perode la primera obtenemos que x = y.

El ncleo de f ser el subespacio: kerf = {(x,y) / x=y}.

En la aplicacin lineal f: R3R2, que cumple que f(x,y,z) = (x,z), el ncleo estarcompuesto por todos los vectores (x,y,z) que cumplan que (x,z) = (0,0). De aquobtenemos dos ecuaciones: x= 0 y z = 0.

El ncleo de f ser el subespacio: kerf = {(x,y,z) / x=0, z=0}.

Ejercicio 31: Calcula el ncleo de la aplicacin f: R3R3, que cumple quef(x,y,z) = (x+y,0,z),

Ejercicio 30 resuelto: Hallar el ncleo de la aplicacin f: R2R3, que cumple quef(x,y) = (-x, x,0).

El ncleo estar compuesto por todos los vectores (x,y) que cumplan que (-x,x,0)= (0,0,0). De aqu obtenemos tres ecuaciones: -x=0, x=0, 0=0. Es decir,obtenemos que x=0. El ncleo de f estar formado por todos los vectores (x,y)cuya primera componente sea cero.


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LA DIMENSION DEL NUCLEO

Al ser un subespacio del espacio inicial de la aplicacin, el ncleo tienedimensin.

Recuerda que la dimensin es el nmero de vectores de una de las bases.

La dimensin del ncleo debe ser menor o igual que la dimensin del espacioinicial.

En la aplicacin lineal f: R2R2, que cumple que f(x,y) = (x-y,0), vimos ayerque ker f = {(x,y) / x=y}. Vamos a hallar la dimensin del ncleo.

Un vector cualquiera del ncleo (x,y) cumplir que x=y, luego ser de la forma(y,y) = y(1,1). Es decir, tambin podemos escribir el ncleo de f como: ker f =R(1,1). Una base del ncleo est formada por el vector (1,1), y el ncleo tienedimensin 1: Dim (ker f) = 1.

En la aplicacin lineal f: R3

R2

, que cumple que f(x,y,z) = (x,-x), el ncleoestar compuesto por todos los vectores (x,y,z) que cumplan que (x,-x) = (0,0).De aqu obtenemos dos ecuaciones: x= 0 y -x = 0. El ncleo de f ser elsubespacio: kerf = {(x,y,z) / x=0}.

Un vector cualquiera del ncleo ser de la forma (x,y,z) = (0,y,z) = (0,y,0) +(0,0,z) = y(0,1,0) + z(0,0,1). Podremos escribir el ncleo como ker f = R(0,1,0) +R(0,0,1), y ser: Dim(ker f) = 2.

Ejercicio 32: Calcula la dimensin del ncleo de la aplicacin lineal f: R3R3,que cumple que f(x,y,z) = (y, 2y, 0).

Ejercicio 31 resuelto: Calcula el ncleo de la aplicacin f: R3R3, que cumpleque f(x,y,z) = (x+y,0,z),

El ncleo estar compuesto por todos los vectores (x,y,z) que cumplan que(x+y,0,z) = (0,0,0). De aqu obtenemos tres ecuaciones: x+y= 0, 0 = 0, z=0. Es

decir: ker f = {(x,y,z) / x+y=0, z=0}.


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IMAGEN DE UNA APLICACIN LINEAL

La imagen de una aplicacin lineal es el conjunto de todos los vectores delespacio final que son imagen de algn vector del espacio inicial.

As, en la aplicacin lineal f: R2R2, que cumple que f(x,y) = (x, 0), el vector(2,0) pertenece a la imagen de f, ya que es la imagen de algn vector de R2, dehecho es la imagen de infinitos vectores. Por ejemplo, f(2,7) = (2,0), as que (2,0)es la imagen de (2,7).

En la aplicacin lineal g: R3R2, que cumple que f(x,y,z) = (x+z, x+y), el vector(2,2) pertenece a la imagen de g, ya que es la imagen del vector (1,1,1) de R3, esdecir: g(1,1,1) = (2,2).

Ejercicio 33: Cules de los siguientes vectores pertenecen a la imagen de laaplicacin lineal f: R2R3, que cumple que f(x,y) = (-x, x+y, -x+y)? a) (2,1) b) (-1,2,0) c) (0,0,0) d) (-1,1,1)

Ejercicio 32 resuelto: Calcula la dimensin del ncleo de la aplicacin lineal f:R3R3, que cumple que f(x,y,z) = (y, 2y, 0).

El ncleo estar compuesto por todos los vectores (x,y,z) que cumplan que(y,2y,0) = (0,0,0). De aqu obtenemos tres ecuaciones: y = 0, 2y = 0, 0 = 0. Elncleo de f ser el subespacio: kerf = {(x,y,z) / y = 0}.

Un vector cualquiera del ncleo (x,y,z) cumplir que y = 0, luego ser de laforma (x,0,z) = x(1,0,0) + z(0,0,1). Es decir, tambin podemos escribir el ncleo

de f como: ker f = R(1,0,0) + R(0,0,1). El ncleo tiene pues dimensin 2: Dim(ker f) = 2.

para calcular la el ncleo se sabe que es (0,0,0)

(y,2y,z)=(0,0,0)donde se puede saber que:

y=0

2y=0

z=0

Por lo tanto, el ncleo de f ser el subespacio

kerf=(x,y,z)/(y=0)

Cualquier vector del ncleo tendr y=0 y ser de la

siguiente forma

(x,0,z)= x(1,0,0)+y(0,0,0)+z


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LA IMAGEN ES UN SUBESPACIO

La imagen de una aplicacin lineal es un subespacio del espacio final de laaplicacin.

En la aplicacin lineal f: R2R2, que cumple que f(x,y) = (x, 0), la imagen estarcompuesta por todos los vectores del espacio final R2 que que son imagen dealgn vector. Sern todos los vectores que tienen de segunda componente uncero. Es decir, la imagen de f es el subespacio R(1,0).

En la aplicacin lineal f: R3R2, que cumple que f(x,y,z) = (x, z), la imagenestar formada por todos los vectores del espacio final R2, ya que cualquiera serimagen de algn vector del espacio inicial. Por ejemplo, el vector (2,3) es imagendel vector (2,5,3). Es decir, la imagen de f es R2.

Ejercicio 34: Cul ser la imagen de f: R2R3, que cumple que f(x,y) = (x,-x,x)?

Ejercicio 33 resuelto: Cules de los siguientes vectores pertenecen a la imagende la aplicacin lineal f: R2R3, que cumple que f(x,y) = (-x, x+y, -x+y)? a)(2,1) b) (-1,2,0) c) (0,0,0) d) (-1,1,1)

El vector (2,1) no puede pertenecer a la imagen de f ya que slo tiene doscomponentes, y la imagen de f est compuesta por vectores de R3.

El vector (-1,2,0) pertenece a la imagen de f ya que f(1,1) = (-1,2,0).

El vector (0,0,0) pertenece a la imagen de f ya que f(0,0) = (0,0,0).

El vector (-1,1,1) no pertenece a la imagen de f ya que si perteneciese sera laimagen de algn vector (a,b), y se cumplira que: f(a,b) = (-a, a+b, -a+b) = (-1,1,1), De aqu saldran tres ecuaciones: -a = -1, a+b = 1, -a+b = 1. De la primeraa = 1, de la segunda entonces b = 0, y la tercera nos quedara -1 = 1. El sistemano tiene solucin.


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COMO CALCULAR LA IMAGEN?

La imagen de una aplicacin lineal f se representa por Im f.

Para calcular la imagen de una aplicacin lineal f tenemos que hallar la imagende los vectores de la base cannica del espacio inicial de la aplicacin. Lasimgenes as obtenidas generarn Im f.

Vemoslo en dos ejemplos:

En la aplicacin lineal f: R2R2, que cumple que f(x,y) = (x-y,0), el espacio

inicial es R2, y la base cannica es {(1,0), (0,1)}. Las imgenes de los dosvectores de la base son: f(1,0) = (1,0), f(0,1) = (-1,0). Los vectores obtenidos(1,0) y (-1,0) generan el subespacio Im f. Uno es mltiplo del otro, as que una

base de Imf es {(1,0)}, y se tiene que: Im f = R(1,0).

En la aplicacin lineal f: R3R2, que cumple que f(x,y,z) = (x,z), el espacioinicial es R3, y la base cannica es {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}. Las imgenes de lostres vectores de la base son: f(1,0,0) = (1,0), f(0,1,0) = (0,0), f(0,0,1) = (0,1). Losvectores obtenidos generan el subespacio Im f. Son dependientes pues son tres

vectores en R2. Si nos quedamos con (1,0) y (0,1), que son independientes,tenemos una base de Im f, y se tiene que: Im f = R(1,0) + R(0,1) = R2.

Ejercicio 35: Halla la imagen de la aplicacin f: R3R3, que cumple que f(x,y,z)= (x+y,0,z).

Ejercicio 34 resuelto: Cul ser la imagen de f: R2R3, que cumple que f(x,y) =(x,-x,x)?

Utilizando ya lo visto hoy en los ejemplos anteriores. Una base cannica delespacio inicial es {(1,0), (0,1)}. Las imgenes de estos vectores son: f(1,0) = (1,-1,1), f(0,1) = (0,0,0). Estos dos vectores generan Im f. Descartando el vector nulo(nunca puede formar parte de una base), la Im f tiene como base {(1,-1,1)}. Porlo tanto: Im f = R(1,-1,1).


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LA DIMENSION DE LA IMAGEN

Al ser un subespacio del espacio final de la aplicacin, la imagen tienedimensin.

Recuerda que la dimensin es el nmero de vectores de una de las bases.

La dimensin de la imagen debe ser menor o igual que la dimensin del espaciofinal.

En la aplicacin lineal f: R2R2, que cumple que f(x,y) = (x-y,0), vimos ayerque Im f = R(1,0). Una base de Im f es {(1,0)}, formada por un solo vector, luegoDim(Im f) = 1

En la aplicacin lineal f: R3R2, que cumple que f(x,y,z) = (x,z), Im f = R(1,0) +R(0,1) = R2, es decir Dim(Im f) = 2.

Ejercicio 36: Calcula la dimensin de la imagen de la aplicacin lineal f: R3R3,que cumple que f(x,y,z) = (y, 2y, 0).

Ejercicio 35 resuelto: Halla la imagen de la aplicacin f: R3R3, que cumple quef(x,y,z) = (x+y,0,z).

El espacio inicial es R3, y la base cannica es {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}. Lasimgenes de los tres vectores de la base son: f(1,0,0) = (1,0,0), f(0,1,0) = (1,0,0),f(0,0,1) = (0,0,1). Los vectores obtenidos generan el subespacio Im f. Dos deellos son iguales. Si nos quedamos con (1,0,0) y (0,0,1), que son independientes,tenemos una base de Im f, y se tiene que: Im f = R(1,0,0) + R(0,0,1). Ademsvemos que Dim(Im f) = 2.


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APLICACIONES INYECTIVAS

Una aplicacin lineal es inyectiva si no existen dos vectores del espacio inicialque tengan la misma imagen. Dicho de otra forma, todos los vectores del espacio

inicial tienen imgenes distintas.

Lo anterior es difcil de comprobar. Hay un precedimiento ms fcil: Para ver siuna aplicacin es inyectiva o no, slo hay que calcular el ncleo: si est formadoslo por el vector nulo la aplicacin es inyectiva, en otro caso, no lo es.

Recuerda que para que el ncleo est formado nicamente por el vector nulo sudimensin ha de ser cero. As que una aplicacin lineal es inyectiva si la

dimensin del ncleo es cero, en otro caso no es inyectiva.

La aplicacin lineal f: R3R2, que cumple que f(x,y,z) = (x,y), no es inyectivapues f(0,0,3) = (0,0), as que el vector (0,0,3) est en el ncleo de f. Como elncleo contiene a algn vector aparte del vector nulo f no puede ser inyectiva.

La aplicacin lineal f: R3R3, que cumple que f(x,y,z) = (-x,2y,3z),es inyectiva.

Veamos por qu.

Un vector del ncleo (x,y,z) cumplir que f(x,y,z) = (-x,2y,3z) = (0,0,0). De aqutenemos las ecuaciones:

-x = 0

2y = 0

3z = 0

Y nos queda que x = y = z = 0. Por lo tanto el ncleo est formado por el vector(0,0,0) solamente. Luego f es inyectiva.

Ejercicio 37: Cul de las siguientes aplicaciones de R3R3,es inyectiva:

a) f(x,y,z) = (x,0,z) b) f(x,y,z) = (z,x,y) c) f(x,y,z) = (x-y,y-z,z)


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Ejercicio 36 resuelto: Calcula la dimensin de la imagen de la aplicacin lineal f:R3R3, que cumple que f(x,y,z) = (y, 2y, 0).

El espacio inicial es R3, y la base cannica es {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}. Lasimgenes de los tres vectores de la base son: f(1,0,0) = (0,0,0), f(0,1,0) = (1,2,0),

f(0,0,1) = (0,0,0). Los vectores obtenidos generan el subespacio Im f. Sidescartamos los dos vectores nulos, entonces Imf = R(1,2,0). Por lo tanto Dim(Imf) =1.


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APLICACIONES SUPRAYECTIVAS

Una aplicacin lineal es suprayectiva si todo vector del espacio final es imagen

de algn vector (o de ms de uno) del espacio inicial.

El procedimiento ms sencillo para ver si una aplicacin es suprayectiva o no escalcular la imagen de la aplicacin. Si la imagen coincide con el espacio finalentonces la aplicacin es suprayectiva y viceversa.

Otra forma de decirlo: una aplicacin lineal es suprayectiva si la dimensin de laimagen coincide con la del espacio final, en otro caso no es suprayectiva.

La aplicacin lineal f: R3R2, que cumple que f(x,y,z) = (x,y) es suprayectiva.Un vector cualquiera del espacio final R2, es (a,b), que ser imagen del vector(a,b,0) por ejemplo. Es decir: f(a,b,0) = (a,b).

La aplicacin lineal f: R3R3, que cumple que f(x,y,z) = (-x,2y,3z),essuprayectiva. Veamos por qu.

Las imagenes de los vectores de la base cannica son: f(1,0,0) = (-1,0,0); f(0,1,0)= (0,2,0); f(0,0,1) = (0,0,3).

Los tres vectores obtenidos son generadores de Imf y adems, son independientes(si calculis su determinante veris que no sale cero). Por lo tanto son una basede Imf y:

Imf = R(-1,0,0) + R(0,2,0) + R(0,0,3).

Como, de lo anterior, dim(Imf) = 3 = dim R3, resulta que Imf = R3. Luego f essuprayectiva.

Ejercicio 38: Es suprayectiva f: R2R2, que cumple que f(x,y) = (x-y,0)?

Ejercicio 37 resuelto: Cul de las siguientes aplicaciones de R3R3, esinyectiva:

imagen de

la aplicacion

lineal


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a) f(x,y,z) = (x,0,z) b) f(x,y,z) = (z,x,y) c) f(x,y,z) = (x-y,y-z,z)

La aplicacin del apartado a) no es inyectiva, pues f(1,1,1) = (1,0,1), f(1,2,1) =(1,0,1), es decir, hemos encontrado dos vectores con la misma imagen. Esto esimposible en las aplicaciones inyectivas.

En la aplicacin del apartado b) un vector cualquiera del ncleo (x,y,z) cumplirque f(x,y,z) = (z,x,y) = (0,0,0), es decir: z=0, x=0, y=0. El ncleo ser entonces elvector nulo y s es inyectiva la aplicacin.

En la aplicacin del apartado c) un vector cualquiera del ncleo (x,y,z) cumplirque f(x,y,z) = (x-y,y-z,z) = (0,0,0), es decir: x-y=0, y-z=0, z=0. Como z=0entonces la segunda de las ecuaciones nos dice que y=0, luego la primera nos daque x=0. Por lo mismo de antes la aplicacin es inyectiva.


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APLICACIONES BIYECTIVAS

Una aplicacin lineal es biyectiva si es a la vez inyectiva y suprayectiva.

La aplicacin lineal f: R3R3, que cumple que f(x,y,z) = (-x,2y,3z) es biyectiva.Lo es porque hemos visto en los dos das anteriores que es inyectiva(antesdeayer) y suprayectiva (ayer).

La aplicacin lineal f: R2R2, que cumple que f(x,y) = (x,0),no es biyectiva.Veamos por qu.

El vector (0,3), por ejemplo, pertenece al ncleo, ya que f(0,3) = (0,0). Luegocomo el ncleo contiene a ms vectores aparte del vector nulo, la aplicacin f noes inyectiva.

Si no es inyectiva tampoco puede ser biyectiva.

Ejercicio 39: Tenemos la aplicacin lineal f: R2R2, que cumple que f(x,y) =(y,-x). Cul de las siguientes es cierta?

a) No es inyectiva b) Es biyectiva c) No es suprayectiva d) dim(kerf) = 1

Ejercicio 38 resuelto: Es suprayectiva f: R2R2, que cumple que f(x,y) = (x-

y,0)?Las imgenes de los vectores de la base cannica son f(1,0) = (1,0); f(0,1) = (-1,0).

Los vectores (1,0) y (-1,0) generan Imf, pero son dependientes (uno es mltiplodel otro), luego Imf = R(1,0) (tambin valdra decir que Imf = R(-1,0)). Ladimensin de la imagen es 1 y la del espacio final es 2, as que f no essuprayectiva.


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UNA FORMULA UTIL

Una importante frmula que relaciona las dimensiones de ncleo e imagen y se

puede utilizar en la resolucin de numerosos ejercicios es:

Dim(kerf) + Dim(imf) = Dim(Espacio inicial)

Veamos su aplicacin en el caso de la aplicacin lineal f: R2R2, que cumpleque f(x,y) = (x,0).

La imagen de f est generada por las imgenes de los vectores de la basecannica: f(1,0) = (1,0); f(0,1) = (0,0).

Luego la imagen de f est generada por (1,0) y (0,0). De este par de vectoresdescarto el vector nulo (que nunca puede estar en una base) y llegamos a laconclusin de que una base de Imf est formada por el vector (1,0), es decir: Dim(imf) = 1.

Como la dimensin del espacio inicial de f es la dimensin de R2que es 2,entonces, aplicando la frmula:

Dim(kerf) + 1 = 2, de donde: Dim(kerf) = 1. La aplicacin no puede ser niinyectiva ni suprayectiva ni biyectiva.

Ahora consideremos la aplicacin lienal f: R2R2, que cumple que f(x,y) =(2x,5y).

Las imgenes de los vectores de la base cannica son: f(1,0) = (2,0); f(0,1) =(0,5). As la imagen de f est generada por los vectores (2,0) y (0,5) que sonindependientes (comprubalo calculando el determinante formado con ellos),luego son una base de Imf y, por lo tanto, Dim(Imf) = 2.

La dimensin del espacio inicial es 2, y aplicando la frmula:

Dim(kerf) + 2 = 2, de donde: Dim(kerf) = 0. La aplicacin f es inyectiva,

suprayectiva y biyectiva.


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Ejercicio 40: En la aplicacin lineal f: R3R2, que cumple que f(x,y,z) = (x-y,z).Utiliza la frmula de las dimensiones para averiguar si es inyectiva, suprayectivao biyectiva.

Ejercicio 39 resuelto: Tenemos la aplicacin lineal f: R2R2, que cumple quef(x,y) = (y,-x). Cul de las siguientes es cierta?

a)No es inyectiva b)Es biyectiva c)No es suprayectiva d)dim(kerf)= 1

Las imgenes de los vectores de la base cannica son: f(1,0) = (0,-1); f(0,1) =(1,0). As la imagen de f est generada por los vectores (0,-1) y (1,0) que sonindependientes (comprubalo calculando el determinante formado con ellos),luego son una base de Imf y, por lo tanto, Dim(Imf) = 2. Esto quiere decir que laaplicacin es suprayectiva ya que la dimensin de la imagen coincide con ladimensin del espacio final.

Utilizando la frmula vista hoy dim(kerf)=0, luego f es inyectiva. Adems serbiyectiva.

La respuesta correcta era, por tanto, la b.


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ENDOMORFISMOS Y AUTOMORFISMOS

Un endomorfismo es una aplicacin lineal de un espacio vectorial en s mismo,

es decir, los espacios inicial y final coinciden.

Un automorfismo es un endomorfismo biyectivo.

La aplicacin lineal f: R2R

2, que cumple que f(x,y) = (x,0).

Ya vimos ayer que no era biyectiva. Los espacios inicial y final de la aplicacin

coinciden: R

2

, luego la aplicacin es un endomorfismo, pero no unautomorfismo.

Si consideremos la aplicacin lineal f: R2R

2, que cumple que f(x,y) = (2x,5y).

Como los espacios inicial y final coinciden y ayer comprobamos que era

biyectiva, entonces es un automorfismo.

La aplicacin lineal f: R3R

2, que cumple que f(x,y,z) = (y,-z) no es un

endomorfismo (ni automorfismo) pues los espacios inicial y final no coinciden.

Ejercicio 41: En la aplicacin lineal f: R3R

3, que cumple que f(x,y,z) = (z,x+y,-

z).Cules de las siguientes afirmaciones son ciertas?

a) Es inyectiva b) Es endomorfismo c) Es automorfismo d) Es biyectiva

Ejercicio 40 resuelto: En la aplicacin lineal f: R 3R2, que cumple que f(x,y,z) =

(x-y,z). Utiliza la frmula de las dimensiones para averiguar si es inyectiva,

suprayectiva o biyectiva.

Las imgenes de los elementos de la base cannica son: f(1,0,0) = (1,0); f(0,1,0)

= (-1,0); f(0,0,1) = (0,1). Estos tres vectores generan Imf, pero (1,0) y (-1,0) son

uno mltiplo del otro, es decir, son dependientes, as que en la base de Imf slo

estar uno de los dos, adems de (0,1). La base de Imf ser {(1,0),(0,1)}. As:

Dim(Imf) = 2.

Por la frmula de las dimensiones: Dim(kerf) + 2 = 3, luego Dim(kerf) = 1..Como la dimensin del ncleo no es cero, la aplicacin no es inyectiva.


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Como la dimensin de la imagen coincide con la del espacio final la aplicacin es

suprayectiva.

Como la aplicacin no es inyectiva, no puede ser biyectiva.


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MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIN


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COMO HALLAR LA IMAGEN DE UN VECTOR CON LA MATRIZ ASOCIADA?


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MAS SOBRE LA MATRIZ ASOCIADA


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OTRO EJEMPLO DE MATRIZ ASOCIADA


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EMPEZANDO CON MATRICES


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78

PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NUMERO


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MULTIPLICANDO MATRICES


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PRODUCTO DE MATRICES CUADRADAS


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EL PRODUCTO DE MATRICES NO ES CONMUTATIVO


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MATRIZ IDENTIDAD


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MATRIZ ADJUNTA


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MATRIZ ADJUNTA DE UNA MATRIZ DE ORDEN DOS


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87

LA TRASPUESTA DE UNA MATRIZ


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88

INVERSA DE UNA MATRIZ


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89

CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ (I)


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90

CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ (II)


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91

EL RANGO DE UNA MATRIZ

5/27/2018 Lecciones de Alge

lecciones de algebra

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