algebra de operadores

Espacios vectorialesTransformaciones lineales

Álgebras y álgebra de L(V)Derivadas de funciones de operadores

Conjugación de operadoresOperadores hermíticos y unitarios

Operadores de proyección

Álgebra de operadores

Física Matemática III

7 de agosto de 2012

Física Matemática III Álgebra de operadores

Índice

1 Espacios vectoriales

2 Transformaciones lineales

3 Álgebras y álgebra de L(V)

4 Derivadas de funciones de operadores

5 Conjugación de operadores

6 Operadores hermíticos y unitarios

7 Operadores de proyección

Espacio vectorial

Definición 1Un espacio vectorial V es un conjunto de objetos, llamadosvectores, con las propiedades siguientes:

1 Cierre bajo la operación de suma

|a〉+ |b〉 = |b〉+ |a〉|a〉+ (|b〉+ |c〉) = (|a〉+ |b〉) + |c〉|a〉+ |0〉 = |a〉|a〉+ (− |a〉) = |0〉

2 Cierre bajo la multiplicación por un escalar (que puede ser unnúmero complejo o un número real):

α (β |a〉) = (αβ) |a〉1 |a〉 = |a〉

3 La multiplicación por un escalar es distributiva:

α (|a〉+ |b〉) = α |a〉+ α |b〉(α + β) |a〉 = α |a〉+ β |a〉

Ejemplos

Rn , formado por el conjunto de las tuplas de números realesde longitud n ó n-tuplas (a1, a2, ..., an) sobre los númerosreales.Rn sobre los números complejos NO es un espacio vectorial.Cn, formado por el conjunto de las tuplas de númeroscomplejos de longitud n ó n-tuplas (z1, z2, ..., zn) sobre losnúmeros complejos.Mm×n, formado por el conjunto de las matrices complejasm × n con m filas y n columnas sobre los números complejos.Pc [t], formado por el conjunto de todos los polinomios en lavariable t con coeficientes complejos sobre los númeroscomplejos.P r [t], formado por el conjunto de todos los polinomios en lavariable t con coeficientes reales sobre los números reales.P r [t] sobre los números complejos NO es un espacio vectorial.

Independencia lineal

Definición 2Un conjunto de vectores |a1〉, |a2〉, ..., |an〉, son linealmenteindependientes si cumplen

n∑i=1

αi |ai 〉︸︷︷︸combinación

lineal

= 0⇒ αi = 0 para todo i

Definición 3Un subespacio W de un espacio vectorial V es un subconjunto novacío que cumple

|a〉 , |b〉 ∈ W ⇒ α |a〉+ β |b〉 ∈ W ∀α, β

Base

Teorema 4Dado S ⊂ V, entonces el conjunto WS de todas las combinacioneslineales de los vectores en S es un subespacio de V. Se dice queWS es generado (spanned) por S o que S genera (spans) a WS :

WS ≡ Span (S)

Definición 5Una base de un espacio vectorial V es un conjunto B de vectoreslinealmente independientes que genera completamente a V. Cuandouna base de V es finita, entonces V es de dimensión finita; mientrasque cuando es infinita, entonces V es de dimensión infinita.

Teorema 6Todas las bases de un espacio vectorial de dimensión finita tienen elmismo número de vectores linealmente independientes. Estenúmero se conoce con el nombre de dimensión.

Ejemplos

R es un subespacio de C sobre los números reales.Pc

n [t], formado por el conjunto de todos los polinomios en lavariable t de grado menor o igual a n con coeficientescomplejos sobre los números complejos, es un subespacio dePc [t].Cn−1, formado por las n-tuplas complejas con el últimoelemento igual a cero, es un subespacio de Cn.El número 1 es una base para R sobre R.Los números 1 y i =

√−1 forman una base de C sobre R.

El número 1 es una base para C sobre C. En este caso ladimensión del espacio vectorial es 1, aunque los vectores sonlos mismos que en el ejemplo anterior, en donde la dimensiónera 2.El conjunto formado por los monomios 1, t, t2, ..., tn formauna base para Pc

n [t], de donde se deduce que la dimensión esn + 1.

Producto interno

Definición 7El producto interno de vectores pertenecientes a un espaciovectorial V sobre C es una función que asocia un número complejoa cada par de vectores |a〉 y |b〉

g : V × V → C,

donde g (|a〉 , |b〉) se denotará también como 〈a | b〉, cumpliendo

1 〈a | b〉 = 〈b | a〉∗ ⇒ 〈a | a〉 ∈ R2 〈a| (β |b〉+ γ |c〉) = β 〈a | b〉+ γ 〈a | c〉3 〈a | a〉 ≥ 0, y 〈a | a〉 = 0⇐⇒ |a〉 = 0

Notas

La existencia de un producto interno en un espacio vectorial esun problema no trivial.Si el producto interno se ha definido, se le llama espaciovectorial con producto interno y pueden existir diferentesmaneras de definirlo.Para los espacios vectoriales de dimensión finita, puededemostrarse que el producto interno es único.Adoptando la notación β |b〉+ γ |c〉 ≡ |βb + γc〉, tendremosque

〈a | βb + γc〉 = β 〈a | b〉+ γ 〈a | c〉 ,

mientras que

〈βb + γc | a〉 = β∗ 〈b | a〉+ γ∗ 〈c | a〉

Se dice que el producto interno es sesquilineal porque eslineal complejo conjugado en el primer argumento, mientrasque es lineal en el segundo.

Ejemplos

Dados |a〉 , |b〉 ∈ Cn con |a〉 = (α1, α2, ..., αn) y|b〉 = (β1, β2, ..., βn), entonces el producto interno está biendefinido por

〈a | b〉 =n∑

i=1

α∗i βi .

Sean f , g ∈ C (a, b), donde C (a, b) representa el conjunto detodas las funciones complejas de variable real en el intervalo(a, b) que poseen primera derivada continua. Entonces elproducto interno está bien definido por

〈f | g〉 =

∫ b

aw (x) f ∗ (x) g (x) dx ,

donde w (x) es positiva en el intervalo (a, b).

Ortogonalidad entre vectores

Teorema 8Para cualquier par de vectores |a〉 , |b〉 ∈ V se satisface ladesigualdad de Schwarz

〈a | a〉〈b | b〉 ≥ |〈a | b〉|2 .

La igualdad se satisface cuando |a〉 y |b〉 son proporcionales entre sí.

Definiciones 9Los vectores |a〉 , |b〉 ∈ V son ortogonales cuando 〈a | b〉 = 0.Una base ortogonal es aquélla cuyos vectores son ortogonales.

Ejemplo

Las funciones |ek〉 = e ikx/√2π forman una base ortonormal en

C (0, 2π) tomando w (x) = 1:

〈ek | el 〉 =12π

∫ 2π

0e−ikxe ilxdx = δkl

Norma de un vector

Definiciones 10

La norma o longitud de un vector se define como ‖a‖ ≡√〈a | a〉.

Un vector normalizado es aquél cuya norma es igual a 1.Una base ortonormal es aquélla cuyos vectores son ortogonales ynormalizados.

Propiedades:1 La norma del vector cero es nula: ‖0‖ = 0.2 La norma de cualquier vector diferente del vector cero es

positiva: ‖a‖ > 0.3 ‖αa‖ = |α| ‖a‖.4 Desigualdad triangular: ‖a + b‖ ≤ ‖a‖+ ‖b‖.

Definición 11Espacio lineal normado es aquél espacio vectorial donde haydefinida una norma.

Ley del paralelogramo

Los espacios vectoriales con un producto interno bien definidoson automáticamente espacios normados.Sin embargo no siempre los espacios normados son espaciosvectoriales. Para ello es necesario que se cumpla lo siguiente:

Definición 12Ley del paralelogramo

‖a + b‖2 + ‖a − b‖2 = 2 ‖a‖2 + 2 ‖b‖2

Entonces es posible definir el producto interno a partir de lasnormas de los vectores:

〈a | b〉 =‖a + b‖2 − ‖a − b‖2 − i ‖a + ib‖2 + i ‖a − ib‖2

4

Ley del paralelogramo

Teorema 13Un espacio lineal normado es un espacio vectorial con un productointerno definido si y sólo si la norma satisface la ley delparalelogramo.

Escogiendo una base {|ai 〉}Ni=1, para cualquier vector |a〉 concomponentes {αi}Ni=1 en esta base puede comprobarse que lasiguiente definición de norma

‖a‖2 ≡N∑

i=1

|αi |2

satisface la ley del paralelogramo.

Teorema 14Todo espacio vectorial de dimensión finita admite la definición deun producto interno.

El método Gram-Schmidt

Consiste en el proceso de obtención de una base ortonormal apartir de una base cualquiera en un espacio vectorial.Primero construimos una base ortogonal:∣∣e ′1⟩ = |a1〉∣∣e ′2⟩ = |a2〉 −

|e ′1〉〈e ′1| a2〉〈e ′1| e ′1〉∣∣e ′3⟩ = |a3〉 −|e ′1〉〈e ′1| a3〉〈e ′1| e ′1〉

− |e′2〉〈e ′2| a3〉〈e ′2| e ′2〉

... ... ...∣∣e ′n⟩ = |an〉 −n−1∑k=1

∣∣e ′k⟩ ⟨e ′k ∣∣ an⟩⟨

e ′k∣∣ e ′k⟩

... ... ...

Después se normalizan los vectores utilizando la expresión

|en〉 =|e ′n〉‖e ′n‖

Transformación lineal

Definiciones 15Una transformación lineal consiste en una correspondencia entreespacios vectoriales T : V → W que preserva las combinacioneslineales

T (α |a〉+ β |b〉) = αT (|a〉) + βT (|b〉) .

Una transformación lineal T : V → V se llama endomorfismo uoperador lineal en V.

El conjunto de las transformaciones lineales de V a W sedenota por L (V,W) y resulta ser un espacio vectorial.El conjunto de los endomorfismos de V se denota por L (V).Dos transformaciones lineales, T : V → W y U : V → W soniguales si y sólo si T (|ai 〉) = U (|ai 〉) para todos los vectores|ai 〉 de una base en V.

Ejemplos

El operador derivada D en Pc [t]: sea |x〉 ∈ Pc [t], conx (t) =

∑nk=0 αktk , entonces definiendo la acción de D como:

D |x〉 =n∑

k=1

kαktk−1

convierte a D en una transformación lineal.El operador integral S en Pc [t]: sea |x〉 ∈ Pc [t], conx (t) =

∑nk=0 αktk , entonces definiendo la acción de S como:

S |x〉 =n∑

k=1

αk

k + 1tk+1

convierte a S en una transformación lineal.

Núcleo e imagen

Definición 16Sea la transformación lineal T : V → W. El conjunto de vectoresen V que se transforman en el vector cero en W forma unsubespacio en V que se denomina núcleo o kernel de T y sedenota por ker T

ker T ⊂ V.

Definición 17Sea la transformación lineal T : V → W. El conjunto de vectoresen W que se obtienen al aplicar T en V forma un subespacio en Wque se denomina imagen (range) de T y se denota por T (V)

T (V) ⊂ W.

La dimensión de T (V) se conoce como rango de T .

Teorema de la dimensión

Teorema 18Una transformación lineal es inyectiva si y sólo si su núcleo es elvector cero.

Teorema 19Sea la transformación lineal T : V → W. Entonces

dim V = dim ker T + dim T (V) .

Corolario 20Un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita esbiyectivo si es inyectivo o sobreyectivo.

Ejemplo

Ejemplo 21

Núcleo de T : R4 → R3 dado por

T (x1, x2, x3, x4) = (2x1 + x2 + x3 − x4,

x1 + x2 + 2x3 + 2x4,

x1 − x3 − 3x4)

ker T = {α (1,−3, 1, 0) + β (3,−5, 0, 1) con α, β ∈ R}

T (x1, x2, x3, x4) = (2x1 + x2 + x3 − x4) (1, 0, 1)

+ (x1 + x2 + 2x3 + 2x4) (0, 1,−1)

Isomorfismo

Definiciones 22Un espacio vectorial V es isomorfo a otro espacio vectorial W siexiste una transformación lineal biyectiva T : V → W. Entonces sedice que T es un isomorfismo.

Definición 23Un transformación lineal biyectiva de V hacia sí mismo se denominaautomorfismo.

El conjunto de los automorfismos de V se denota por GL (V).

Isomorfismo

Teorema 24Una transformación lineal sobreyectiva es un isomorfismo si y sólo sisu núcleo es el vector cero.

Teorema 25Un isomorfismo T : V → W transforma conjuntos de vectores deV linealmente independientes en conjuntos de vectores de Wlinealmente independientes.

Teorema 26Dos espacios vectoriales de dimensión finita son isomorfos si y sólosi tienen la misma dimensión.

Espacios duales

Definición 27Un funcional lineal consiste en una transformación linealT : V → W donde W coincide con R o C.

Definición 28El conjunto de los funcionales lineales L (V,C) (o L (V,R) si V esun espacio vectorial real) se denomina espacio dual y se denotapor V∗.

Base dual

Teorema 29Sea V un espacio vectorial de dimensión N con una baseB = {|a1〉 , |a2〉 , ..., |aN〉} y los funcionales lineales f i con lapropiedad f i |aj〉 = δij . Entonces a la base B le corresponde unabase única B∗ = {f 1, f 2, ..., f N} que es base del espacio dual V∗.

Demostración. Consideremos un funcional arbitrario g ∈ V∗, queestará unívocamente determinado por su acción sobre la base B :

g |ai 〉 = γi ∈ C.

Consideremos ahora un vector arbitrario en V dado por|a〉 =

∑Ni=1 αi |ai 〉 . Entonces

g |a〉 = g

(N∑

i=1

αi |ai 〉

)=

N∑i=1

αig |ai 〉 =N∑

i=1

αiγi .

Base dual (continuación)

que podemos reescribir como

N∑i=1

αiγi =N∑

i=1

N∑j=1

γiδijαj =N∑

i=1

N∑j=1

γiαj f i |aj〉

=

(N∑

i=1

γi f i

) N∑j=1

αj |aj〉

,

donde podemos identificar claramente que

g =

(N∑

i=1

γi f i

).

Notación matricial

Es útil representar en forma de vector columna a los vectores|b〉 y como vectores filas a los funcionales 〈a|

|b〉 =

b1...bN

; 〈a| =(a∗1 . . . a∗N

).

El producto interno puede obtenerse como un productomatricial:

〈a| b〉 =(a∗1 . . . a∗N

) b1...bN

=N∑

i=1

a∗i bi

Los operadores lineales T : V → W se pueden representarmediante matrices m × n donde m y n serían las dimensionesde V y W respectivamente.

Transformación dual

Definición 30Sea T : V → U una transformación lineal. Su transformación dualT ∗ se define como

T ∗ : U∗ → V∗

〈ub| → 〈vb| = T ∗ 〈ub| ≡ 〈ub|T ∗

sujeto a la condición

〈vb| va〉 = 〈ub| ua〉(〈ub|T ∗) |va〉 = 〈ub| (T |va〉)

para todo |va〉 ∈ V y 〈ub| ∈ U∗.

Producto tensorial

Definición 31Sean U y V dos espacios vectoriales de dimensión N y M con lasbases BU = {|ui 〉}Ni=1 y BV = {|vi 〉}Mi=1. Consideremos el espaciovectorial W de dimension NM con la base BW definida por

|ui , vj〉 = (|ui 〉 , |vj〉)⇒ BW = {|ui , vj〉}N,Mi=1,j=1

Sean |a〉 =∑N

i=1 αi |ui 〉 ∈ U y |b〉 =∑M

i=1 βi |vi 〉 ∈ V. Entoces sedefine el vector |a, b〉 ∈ W como

|a, b〉 =N∑

i=1

M∑j=1

αiβj |ui , vj〉

El espacio W se denomina producto tensorial de U y V y sedenota por W = U ⊗ V. Para los elementos de su base también seemplea la misma notación|ui , vj〉 = |ui 〉 ⊗ |vj〉.

Álgebra

Definición 32Un álgebra A sobre C (o R) es un espacio vectorial sobre C (o R)en donde se ha definido una operación binaria µ : V × V → V,denominada producto o multiplicación que tiene la propiedad decierre y satisface

a (βb + γc) = βab + γac ∀a,b, c ∈ A, ∀β, γ ∈ C (o R).

La dimensión del álgebra es la dimensión del espacio vectorial.El álgebra es asociativa cuando: a (bc) = (ab) c.El álgebra es conmutativa cuando: ab = ba.El álgebra posee la identidad si tiene el elemento 1 cumpliendoa1 = 1a = a.Para las álgebras con identidad el elemento inverso por laizquierda de a, a−1, cumple a−1a = 1, mientras que elelemento inverso por la derecha cumple aa−1 = 1.

Ejemplos

El producto (x1, x2) (y1, y2) = (x1y1 − x2y2, x1y2 + x2y1)convierte a R2 en álgebra conmutativa.El producto vectorial en R3 convierte a R3 en un álgebra noasociativa y no conmutativa.El producto matricial convierte aMm×n en un álgebraasociativa no conmutativa.El conjunto de las funciones reales definidas en el intervalo(a, b) derivables a cualquier orden, C∞ (a, b), constituye unálgebra de dimensión infinita cuando se define la multiplicaciónpunto a punto.

Homomorfismo

Definición 33Sean T : A→ B una transformación lineal entre dos álgebras A yB. Si T (ab) = T (a) T (b), entonces T se conoce como unhomomorfismo de álgebras. Si es biyectivo, entonces se denominaun isomorfismo de álgebras.

Definición 34Dada un álgebra A y un subespacio B de ésta, se dice que B es unasubálgebra de A cuando B contiene los productos de todos suselementos.

Ejemplo

La transformación T : R3 →M3×3 con

T (a1, a2, a3) =

0 a1 −a2−a1 0 a3a2 −a3 0

es un isomorfismo lineal, donde el producto entre vectores en R3 esel producto vectorial y el producto entre matrices enM3×3 estádado por

A • B = AB − BA,

utilizando el producto matricial ordinario en el segundo miembro.

Ejemplo

a = (a1, a2, a3)b = (b1, b2, b3)

}⇒ ab = (a1, a2, a3)× (b1, b2, b3)

= (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1)

T (a) =

0 a1 −a2−a1 0 a3a2 −a3 0

; T (b) =

0 b1 −b2−b1 0 b3b2 −b3 0

T (ab) =

0 a2b3 − a3b2 −a3b1 + a1b3−a2b3 + a3b2 0 a1b2 − a2b1a3b1 − a1b3 −a1b2 + a2b1 0

Ejemplo

T (a)T (b) =

0 a1 −a2−a1 0 a3a2 −a3 0

• 0 b1 −b2−b1 0 b3b2 −b3 0

0 a1 −a2−a1 0 a3a2 −a3 0

0 b1 −b2−b1 0 b3b2 −b3 0

−

0 b1 −b2−b1 0 b3b2 −b3 0

0 a1 −a2−a1 0 a3a2 −a3 0

0 a2b3 − a3b2 −a3b1 + a1b3−a2b3 + a3b2 0 a1b2 − a2b1a3b1 − a1b3 −a1b2 + a2b1 0

Constantes de estructura

Definición 35

Sea A un álgebra y B = {ei}Ni=1 una base de su espacio vectorial.Entonces puede escribirse

eiej =N∑

k=1

ckij ek .

Los números complejos ckij , que son las componentes del vector eiej

en la base B se denominan constantes de estructura de A.

Definición 36Sea D : A → A el espacio vectorial formado por losendomorfismos de A que cumplen

D (ab) = [aD (b) + D (a)b] .

D se conoce como la operación derivada en A.

Ejemplo

Consideremos la base estándar en R4, formado por los vectores

e1 = (1, 0, 0, 0)

e2 = (0, 1, 0, 0)

e3 = (0, 0, 1, 0)

e4 = (0, 0, 0, 1)

con las constantes de estructura siguientes

e21 = −e2

2 = −e23 = −e2

4 = e1

e1ei = eie1 = ei para i = 2, 3, 4

eiej =4∑

k=1

εijkek para i , j = 2, 3, 4.

Este espacio constituye el álgebra de los cuaterniones (H).

Álgebra de L (V)

Teniendo en cuenta que L (V) es un espacio vectorial podemospensar en la posibilidad de definir un producto entre suselementos, que son los operadores lineales que conectan losvectores de V entre sí.Consideremos las transformaciones T : V→ V y S : V→ V.Entonces definamos el producto como la composición deambas:

S ◦T : V → V → V

Definición 37L (V) con el producto definido como la composición detransformaciones lineales constituye el álgebra de operadoreslineales en V.

Igualdad de operadores

Definición 38Dos operadores lineales T ,S ∈ L (V) son iguales si T |a〉 = S |a〉para todo |a〉 ∈ V.

Dado que una base puede generar todo el espacio V, dosoperadores serán iguales si T |ai 〉 = S |ai 〉 para los elementos|ai 〉 de la base.La acción de un operador sobre los elementos de la basepermite definirlo unívocamente.

Teorema 39Un operador lineal T es cero si y sólo si 〈b |T | a〉 ≡ 〈b|Ta〉 = 0para todo |a〉 y |b〉 o bien 〈a |T | a〉 = 0 para todo |a〉.

El operador identidad

Definiciones 40El elemento identidad 1 está presente en L (V) y satisface1 |a〉 = |a〉 para todo |a〉 ∈ V.Dado un operador lineal T , se define su inverso T−1 como el quesatisface T−1T = TT−1 = 1.

En general sólo las correspondencias biyectivas admiten lacorrespondencia inversa, por lo que sólo los automorfismos soninvertibles.

Teorema 41El inverso de un operador lineal es único. Si T ,S ∈ L (V) soninvertibles, entonces su producto TS también lo es:

(TS)−1 = S−1T−1

Ejemplos

Inverso del operador T : R3→R3 definido por

T (x1, x2, x3) = (x1 + x2, x2 + x3, x1 + x3) .

Potencias positivas y negativas del operadorT θ : R2→R2

definido por

T (x1, x2) = (x1cos θ − x2sen θ, x1sen θ + x2cos θ) .

Funciones de operadores

Definiendo las potencias enteras de los operadores porinducción Tm = TTm−1, donde T 0 = 1 y T−m =

(T−1)m,

es posible construir funciones de operadores a partir de sudesarrollo en serie de Taylor:

f (x) =∞∑

k=0

(x − x0)k

k!

dk fdxk

∣∣∣∣x=x0

↓

f (T ) =∞∑

k=0

(T − x01)k

k!

dk fdxk

∣∣∣∣x=x0

Conmutadores y anticonmutadores

Definición 42El conmutador [T ,S] de dos operadores T ,S ∈ L (V) es otrooperador de L (V) que se define como

[T ,S] = TS − ST ,

y el anticonmutador {T ,S} es también otro operador L (V)definido como

{T ,S} = TS + ST .

[T ,S] = − [S ,T ]

[αT , βS] = αβ [T ,S]

[T ,S + U ] = [T ,S] + [T ,U ]

[T + S ,U ] = [T ,U ] + [S ,U ]

[TS ,U ] = T [S ,U ] + [T ,U ] S[T ,SU ] = [T ,S] U + S [T ,U ]

[T , [U ,S]] + [U , [S ,T ]] +[S , [T ,U ]] = 0

Derivada de un operador lineal

Definición 43Consideremos la correspondencia H : R→ L (V), que toma unnúmero real y le asigna un operador lineal en V. Si t ∈ R,denotamos la imagen de t por H (t) y definimos su derivada como

dHdt

= lim∆t→0

H (t + ∆t)−H (t)

∆t,

que al igual que H (t) pertenece a L (V).

Las reglas de derivación de funciones aplican igual a lasderivadas de operadores. Sólo hay que respetar el orden de losproductos porque en general no son conmutativos

ddt

(UT ) =dUdt

T + UdTdt

ddt(T 2) =

dTdt

T + TdTdt6= 2T

dTdt

Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff

Teorema 44Sean T ,S ∈ L (V). Si [S , [S ,T ]] = [T , [S ,T ]] = 0, entonces secumple

etSetT = et(S+T )e12 t2[S,T ].

Si además se satisface [S ,T ] = 0, entonces

eSeT = e(S+T )

Ejemplo: Derivada de etH

Utilizando el resultado etHe∆tH = e(t+∆t)H , que es válido porque[tH ,∆tH ] = 0, tendremos

ddt

etH = lim∆t→0

e(t+∆t)H − etH

∆t= lim

∆t→0

etHe∆tH − etH

∆t,

desarrollando e∆tH = 1 + H∆t + H2∆t2/2 + ... y sustituyendo

ddt

etH = lim∆t→0

etH (1 + H∆t + H2∆t2/2 + ...)− etH

∆t

= lim∆t→0

etHH∆t∆t

+etHH2∆t2

2∆t+ ... = etHH

Ejemplo: derivada de eH(t)

Sean S = H (t) y T = ∆t dHdt y supongamos que

[S , [S ,T ]] = [T , [S ,T ]] = 0. Hasta el primer orden en ∆ttendremos

H (t + ∆t) ≈ H (t) + ∆tdHdt

= S + T .

Utilizando la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff para t = 1

eH(t+∆t) ≈ eS+T = eSeT e−12 [S,T ]

que en el límite ∆t → 0 conduce a

eH(t+∆t) ≈ eH(t)

(1 + ∆t

dHdt

)(1− 1

2∆t[H (t) ,

dHdt

])≈ eH(t)

{1 + ∆t

dHdt− 1

2∆t[H (t) ,

dHdt

]}

Ejemplo: derivada de eH(t)

Por tanto

ddt

eH(t) = eH(t) dHdt− 1

2eH(t)

[H (t) ,

dHdt

]Es posible obtener también el siguiente resultado

ddt

eH(t) =dHdt

eH(t) +12eH(t)

[H (t) ,

dHdt

],

que combinándolo con el anterior se obtiene finalmente

ddt

eH(t) =12

(dHdt

eH(t) + eH(t) dHdt

)=

12

{dHdt

, eH(t)

}

Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff generalizada

Sea F (t) = etABe−tA, donde A y B son independientes de t.Utilizando que

dFdt

= [A,F (t)] yddt

[A,F (t)] =

[A,

dFdt

],

se puede obtener

etABe−tA =∞∑

n=0

tn

n!An [B] ≡ B + t [A,B] +

t2

2[A, [A,B]] + . . .

donde An [B] se define inductivamente como

An [B] = [A,An−1 [B]]

siendo A0 [B] = B.

Ejemplo

En Mecánica Cuántica es frecuente encontrarse con expresiones deltipo

etABe−tA

donde[A,B] = κ1,

con κ ∈ R.En estos casos

etABe−tA = B + tκ1

que indica que B ha sido trasladado t unidades. En este caso etA

recibe el nombre de operador de traslación y a A se le llamagenerador de la traslación.Esto ocurre por ejemplo cuando B representa un observable y A lacantidad de movimiento, el hamiltoniano, o el momento angular. Elprimero induce traslaciones espaciales; el segundo, traslacionestemporales y el tercero, rotaciones.

Operador hermítico conjugado

Definición 45Sean T ∈ L (V) y |a〉 , |b〉 ∈ V. El operador adjunto o hermíticoconjugado de T , denotado por T †, se define por⟨

b∣∣∣T †∣∣∣ a⟩ = 〈a |T | b〉∗

La idea es la siguiente: Si |c〉 = T |b〉 y a |b〉 y |c〉 lecorresponden sus duales 〈b| = (|b〉)† y 〈c | = (|c〉)† en V∗,entonces T † ∈ L (V∗) y se cumple que

〈c | = (|c〉)† = (T |b〉)† = (|b〉)† (T )† = 〈b|T †

Para el caso T = 1 se cumple 1† = 1.

Propiedades

Teorema 46Sean T ,U ∈ L (V) y α ∈ C. Entonces:

1 (U + T )† = U† + T †

2 (UT )† = T †U†

3 (αT )† = α∗T †

4

((T )†

)†= T (en espacios vectoriales de dimensión finita)

Ejemplo 47Operador hermítico conjugado de T , definido por

T

α1α2α3

=

α1 − iα2 + α3iα1 − α3

α1 − α2 + iα3

Valores esperados

Definición 48Dado un operador lineal H ∈ L (V) y un estado |a〉 ∈ V, el númerocomplejo 〈a |H | a〉 se denomina valor esperado de H y se denotapor 〈H〉a:

〈H〉a = 〈a |H | a〉 .

El operador hermítico conjugado de H tiene un valor esperado⟨H†⟩a =

⟨a∣∣H†∣∣ a⟩ = 〈a |H | a〉∗.

La conjugación de operadores tiene propiedades muy parecidasa la conjugación de números complejos. Por ello es posibleplantearse si existen operadores que como los números realesbajo conjugación permanezcan iguales o los númerosimaginarios, que cambian de signo.

Operadores hermíticos

Definición 49Un operador lineal H ∈ L (V) se denomina hermítico oautoadjunto si H† = H y es antihermítico si H† = −H .

Los operadores hermíticos tienen valores esperados que sonnúmeros reales, mientras que aquéllos antihermíticos tienenvalores esperados imaginariosCualquier operador T puede reescribirse como suma de unoperador hermítico H y un operador antihermítico A

T =T + T †

2︸︷︷︸H

+T −T †

2︸︷︷︸A

= H + iH ′

donde H ′ = −iA.

Operadores positivos

Dados los operadores hermíticos T y U , no siempre lo es suproducto:

(TU)† = U†T † = UT 6= TU

Teorema 50Un operador lineal T ∈ L (V) es hermítico si y sólo si〈T 〉a ∈ R ∀ |a〉 ∈ V.

Los operadores hermíticos se representan mediante matriceshermíticas en notación matricial (aij = a∗ji ).

Definiciones 51Un operador lineal T ∈ L (V) se llama positivo (T ≥0) si eshermítico y cumple que 〈T 〉a ≥ 0∀ |a〉 ∈ V. Si además cumple quesi 〈T 〉a = 0 se implica que |a〉 = 0, se denomina definido positivo.

Operadores unitarios

Definición 52Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con un productointerior definido. Un operador T ∈ L (V) se llama unitario siT † = T−1.

Los operadores unitarios preservan el producto interior: sean|a′〉 = T |a〉 y |b′〉 = T |b〉 ,entonces⟨

a′∣∣ b′⟩ =

⟨a∣∣∣T †T ∣∣∣ b⟩ =

⟨a∣∣T−1T

∣∣ b⟩ = 〈a | b〉

Operador de proyección

Definición 53Un operador T ∈ L (V) hermítico se denomina operador deproyección si cumple que T 2 = T .

El único operador de proyección que tiene inverso es eloperador identidad.

Sean S ,T ∈ L (V) dos operadores de proyección. Entonces su sumaS + T es un operador de proyección si y sólo si ST = TS = 0.Los operadores que satisfacen esta condición se llaman operadoresde proyección ortogonales.

Relación de clausura

Sea B = {|ei 〉}Ni=1 una base ortonormal en V. Entonces el conjunto{P i = |ei 〉〈ei |}Ni=1 está formado por operadores de proyecciónortogonales entre sí. Su suma es igual a la unidad y se le conocecomo relación de clausura

N∑i=1

P i =N∑

i=1

|ei 〉〈ei | = 1.

Demostración

Sumando en i(N∑

i=1

P i

)|a〉 =

N∑i=1

P i |a〉 =N∑

i=1

αi |ei 〉 = |a〉 ,

por lo tantoN∑

i=1

P i = 1.

Ejemplo

Sea la base {|ei 〉} ∈ R3 dada por

|e1〉 =1√2

110

, |e2〉 = 1√6

1−12

, |e3〉 =1√3

−111

calcularemos los operadores de proyección y comprobaremos larelación de clausura.

algebra de operadores

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