7. racionalización de denominadores (santillana).pdf
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U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 1
GUIA DE TRABAJO Materia: Matemáticas Guía #67B.
Tema: Racionalización de denominadores (Santillana).
Fecha: ____________
Profesor: Fernando Viso
Nombre del alumno:___________________________________________
Sección del alumno:____________________________________________
CONDICIONES: Trabajo individual.
Sin libros, ni cuadernos, ni notas.
Sin celulares.
Es obligatorio mostrar explícitamente, el procedimiento empleado para
resolver cada problema.
No se contestarán preguntas ni consultas de ningún tipo.
No pueden moverse de su asiento. ni pedir borras, ni lápices, ni
calculadoras prestadas.
Marco Teórico:
Ejemplo #1: Racionalizar el denominador:
3 2
6 3 5
6
324
a bc
a b c
Solución:
Se descomponene los factores del numerador y del denominador:
3 2
6 2 4 3 5
2 3
2 3
a bc
a b c
Luego, se determina la conjugada del denominador:
6 4 2 3 52 3E a bc
Nótese que los exponentes de los componentes del subradical de la
conjugada del denominador y los expoenentes de los componentes del
subradical del denominador suman en cada caso 6.
Ahora se multiplican ambos términos de la fracción por E.
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 2
63 2 4 2 3 563 2 4 2 3 5
6 62 4 3 5 4 2 3 5
62 4 2 3 5
2 3 2 3 (2 3 ) ( 2 3 )
2 32 3 2 3
2 3
a bc a bc a bc a bc
abca b c a bc
a c a bc
Ejemplo #2: Racionalizar el denoiminador:
3 2
7 11 23 8
2
32
a bc
a b c
Solución:
Se descompone el coeficiente de la cantidad subradical:
3 2
7 5 11 23 8
2
2
a bc
a b c
La conjugada del denoimiandro es: 7 2 3 5 62E a b c
Multiplicando numeradro y denominadro por la conjugada del denominador:
7 73 2 2 3 5 6 3 2 2 3 5 6
7 7 14 28 147 75 11 23 8 2 3 5 6
73 2 2 3 5 6 7 3 5 6
32 4 2
2 2 2 2
22 2
2 2 4
2
a bc a b c a bc a b c
a b ca b c a b c
a bc a b c a a b c
ba b c
Ejemplo #3: Racionalizar el denominador:
2 2
3
3 3x y
x y
Solución:
La conjugada del denominador es: 2
3E x y
Multiplicando ambos términos de la fracción por E:
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 3
2 22 2 2 23 3
233
23
23
2 23
3 3 3 3
3
3
3 2
x y x y x y x y
x yx y x y
x y x y x y
x y x yx y
x y x xy y
Ejemplo #4: Racionalizar el denominador:
2 5
2 5 6
Solución:
2 2
2 5 62 5
2 5 6 2 5 6
2 3 30 3 2 3 30 3
1 2 102 5 6
2 3 30 3 1 2 10 22 3 5 30 3 6 10
1 401 2 10 1 2 10
22 3 5 30 3 6 10 3 6 10 5 30 22 3
39 39
PREGUNTAS:
Racionalización de un monomio:
1.- Racionalizar el denominador de las siguientes fracciones y simplificar el resultado:
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 4
(a).-
21
7
Solución:
21 7 21 7 3 7
49 77 7
(b).-
3
5
Solución:
3 5 3 5
55 5
©.- 2
3 10
Solución:
2 10 2 10 10
30 153 10 10
(d).- 32 2
x
x y
Solución:
3
33 3
2 2 2
2 2 42 2 2
x y x x xy xyx
x y xyx y x y
(e).-
2
10
Solución:
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 5
2 10 2 10 10
10 510 10
(f).- 6
x
x
Solución:
6 6 6
6 66 6
x x x x x
xx x
(g).-
1
1
a
a
Solución:
21 11 1 1
1 11 1
a aa a a
a aa a
(h).-
n
n
a
a
Solución:
n n n nn
nn n
a a a aa
aa a
(i).-
5
3
Solución:
5 3 5 3
33 3
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 6
(j).-
8
2
x
Solución:
32 2 2 2 2 42
22 2 2
x x xx
(k).-
2n
n
a
a
Solución:
2 2n n n nn n
nn n
a a a aa a
aa a
(l).-
6
2
Solución:
6 2 6 23 2
22 2
(m).- 2 3 2
4ab
x y z b
Solución:
2 3 2 2 3 2
2 3 2 2 3 2 22 3 2 2 3 2
4 4 44 x y z b ab x y z b axyz yb a ybab
x y z b x y z xy zx y z b x y z b
(n).- 2 33
xy
a x yz
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denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 7
Solución:
2 3 2 4 2 2
2 3 2 32 3 2 3
3 3 3 3
3 3 33 3
xy a x yz a x y z ax y z z
a x yz a x yz axza x yz a x yz
(ñ).-
2 3
5 72
x y
x y
Solución:
5 7 4 62 3
5 75 7 5 7
2 2 2
2 22 2
x y x y xy xyx y
x y xyx y x y
(o).-
x y
x y
Solución:
2 2x y x yx y x y x y
x y x yx y x y
(p).-
3 5
2
xy
Solución:
33 5 25 2
22 2
xyxy
(q).- 3
2
Solución:
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denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 8
4 44 43 2 3 4 12
2 22 2
(r).-
3
4 7 52
x y a
x y a
Solución:
3
22 3 2
1
42 44
xy xyx y a a
xyx y xya y xy xyy xy a
(s).-
4
6 7 45
a b x
b y
Solución:
4 4
3 23 3 2 1255
a b x b a bx
b yb y b b
Racionalización de un binomio:
1.- Racionaliza el denominador de las siguientes fracciones y simplifica el resultado:
(a).-
2
3 5
Solución:
2 3 5 2 3 2 5 2 3 2 55 3
3 5 23 5 3 5
(b).-
2
10 8
Solución:
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 9
2 10 8 2 10 2 2 2 10 2 210 2
10 8 210 8 10 8
©.-
x y
x y
Solución:
x y x yx yx y
x yx y x y
(d).-
2
1 1m m
Solución:
1 1 2 1 12
1 11 1 1 1
2 1 1 1 1
2
m m m m
m mm m m m
m m m m
m m
(e).-
1
1
x
x
Solución:
2
1 1 11
1 11 1
2 1 2 1
1 1
x x xx
x xx x
x x x x
x x
(f).- 2 3
m n
m n
Solución:
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 10
2 3 2 3
4 92 3 2 3
m n m n m nm n
m nm n m n
(g).- 5
5 3
Solución:
5 3 5 5 3 5 5 35
5 3 25 3 5 3
(h).- 3 3
3 3
a
a
Solución:
2
3 33 3 3 3
3 33 3 3 3
3 2 3 3 3 6 2 3 3
aa a
aa a
a a a a
a a
(i).-
1
1
a
a a
Solución:
2
1 1 11
11 1
a a a a aa
a aa a a a
(j).-
3 5
3 5 5 3
Solución:
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 11
3 5 5 33 5 45 15 15 45 15 15 9 3 15
45 75 30 63 5 5 3 3 5 5 3
(k).-
3
3
x
x x
Solución:
2
2
3 3 33
33 3
3 3
3
x x x x xx
x xx x x x
x x x
x x
(l).-
1x x x
x
Solución:
2 12 1 x x xx x x
xx x
(m).-
3 3
3 3
x
x
Solución:
2
2
3 33 3 3 3 3 3 2 3 3
3 33 3 3 3
6 2 3
xx x x x
x xx x
x x x
x
(n).- 1 1
1
a a
a a
Solución:
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 12
2
22
1 11 1 1 1
1 11 1 1 1
1 1 2 1 1 2 2 11
2 2
a aa a a a
a aa a a a
a a a a a aa a
(ñ).- 1 1
1 1
x x
x x
Solución:
2
22
1 1 2 11 1 1 1
1 11 1 1 1
2 2 11
2
x x xx x x x
x xx x x x
x xx x
(o).- 1 1
1 1
x x
x x
Solución:
2
22
2
1 11 1 1 1
1 11 1 1 1
2 2 11 1 2 11
2 2
x xx x x x
x xx x x x
x xx x xx x
Racionalización con índices mayores que 2:
1.- Racionaliza el denominador en las siguientes fracciones y simplifica:
(a).- 3
5
5
Solución:
3 3 32 2 23 2
3 3 32 3
5 5 5 5 5 55
55 5 5
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denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 13
(b).-
2
5
a
a
Solución:
5 5 52 4 2 4 2 45 4
5 5 54 5
a a a a a aa a
aa a a
©.- 2
1
m a
Solución:
2 2 2
2 2
1 m m mm m m
m m mm m
a a a
aa a a
(d).-
2
23 4
xy
x y
Solución:
2 2 2 2 2 22 3 3 32
2 2 3 23 3 3
2 2 2 2
2 24 2 8
xy xy xy xy xy y xyxy
xyx y xy x y
(e).-
2
2x
Solución:
2 2 2 2 2 2
22 2
x x x
x x xx x
(f).- 6 3 11
5
2 16a b
Solución:
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denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 14
6 62 3 2 3
2 26 64 3 5 2 3
5 2 5 2
22 2 2
a b a b
abb a b a b
(g).- 4
1
mn
Solución:
3 3 3 34 4
4 3 34
1 m n m n
mnmn m n
(h).- 3 3
2
1 1a a
Solución:
Recordar que 3 3 2 2 ;a b a b a ab b entonces:
2 23 33 3
3 3 2 23 33 3
2 2 2 23 32 23 3 3 3
2 23 23 3
1 1 1 12
1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 2 1 1 1
1 1 2
1 1 1
a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a
a a a
a
(i).- 3 3
1
x y
Solución:
Recordar que 3 3 2 2a b a b a ab b ; entonces:
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denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 15
3 2 23 33 3 2 233
3 3 3 2 23 33
1 x x y y x xy y
x yx y x x y y
(j).- 3
2
9x
Solución:
3 32 2
3 32 2
2 3 2 3
33 3
x x
xx x
(k).- 3 3 46
2
2x x y
Solución:
5 3 2 5 3 2 5 3 26 6 6
3 43 3 4 5 3 26 6
2 2 2 22
22 2
x y x y x y
x xy x yx x y x y
(l).- 5 4 6
2ab
a b c
Solución:
5 5 54 4 4 4 4 4
25 54 4 4
2 2 2ab ab c ab ab c ab c
ab c bcb a bc ab c
(m).- 2 3 33
4ab
x y z b
Solución:
3 3 32 2 2
3 32 2
4 4 4ab xb ab xb a xb
xyzb xyzyz x b xb
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 16
(n).-
3
5 4 7 62
m n x
m n x
Solución:
5 5 53 2 3 4 4 2 3 4 4 3 4 5
5 5 54 2 4 2 3 4 4
2 2 2
2 22 2 2
m n x m x m n x m x m n x m x m n x
mnx nxmn m nx m nx m n x
(ñ).- 2 2 2 5
2 2 2 5
Solución:
2
2 2 5 2 52 5 2 5
2 52 5 2 52 2 5
2 5 2 10 2 10 7
3 3
(o).-
2 5 7
2 5 7
Solución:
2
2 5 72 5 7 2 5 7 20 7 4 35 27 4 35
20 7 13 132 5 7 2 5 7
(p).- 3 3
2
x y
Solución:
Recordar que 3 3 2 2 .a b a b a ab b
Luego:
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 17
3 2 2333 2 23 33
3 3 2 23 3 33
22 x xy yx x y y
x yx y x x y y
(q).-
2
2 3 5
Solución:
2 2 3 5 4 3 2 5 4 3 2 5
12 5 72 3 5 2 3 5
(r).-
2 3
7
Solución:
2 3 7 2 7 21
77 7
(s).-
3 2
7 2 6 3
Solución:
3 2 7 2 6 6 42 18 6 42 18 6 9 6 21
98 108 10 107 2 6 3 7 2 6 3
Cuestionario resúmen:
1.- Racionalizar el denominador de las siguientes fracciones y simplificar:
(a).-
3
2
Solución:
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 18
3 2 6
22 2
(b).-
5
2 10
Solución:
5 10 5 10 10
20 42 10 10
©.-
12
3
Solución:
4 34
3
(d).- 2
a a
Solución:
2
2 2a a
aa a a
(e).-
8
2 p
Solución:
2 8 2 4 28
22 2
p p p
p pp p
(f).- 33
a
ab
Solución:
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 19
3 3 3
3 33 3 3 33
a ab a ab ab
ab bab ab
(g).- 7
5
a
Solución:
7 5 35
55 5
a a
(h).- 2 2 5
2
7 4
z
xy x y z
Solución:
2 5 2 52 42 2 5
2
7 777 4
yz z yz yzz z
x y z x yx y yz yzxy x y z
(i).- 3 5
15
Solución:
3 53 5 3 5 5 3 5 3
15 5 315 3 5
(j).-
x y
x
Solución:
1x y x xy xyx
x xx x
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 20
(k).-
m n
m
Solución:
1m n m m mn mn
m mm m
(l).- 2 3a b
b
Solución:
2 3 2 3 23
a b b ab b ab
b bb b
(m).- 10 4
2
Solución:
10 2 2 20 2 2 2 5 2 25 2
2 22 2
(n).- 1 y
y
Solución:
11
y y y y y
y yy y
(ñ).- 1
2
m m
Solución:
1 2 2 2 2
22 2
m m m m
(o).- 3 3x y
y
Solución:
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 21
3 3 3 3 33
x y y xy y xy
y yy y
2.- Identificar y racionalizar el denominador:
(a).- 2
3
Solución:
2 3 2 3
33 3
(b).- 5
15
Solución:
5 15 5 15 15
15 315 15
©.- 7
2 10
Solución:
7 10 7 10
202 10 10
(d).- 3
a a
Solución:
2
3 3a a
aa a a
(e).- 4
2x
Solución:
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 22
4 2 4 2 2 2
22 2
x x x
x xx x
(f).-
2
5
3ab
ab
Solución:
2
2
3 3 3 3ab a ab a ab ab
ab bb ab ab ab
(g).- 5
6
y
x
Solución:
5 306
66 6
y xyx
xx x
(h).-
a b
a b
Solución:
a b a b a ba ba b
a ba b a b
(i).- 3
x y
Solución:
33 x y x y
x yx y x y
(j).- 1
1
x
x
Solución:
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 23
21 1 1
11 1
x x x
xx x
(k).- n
a
a
Solución:
1
n n n
n nn n
a a a a a
a aa a
(l).-
3
1
1 x
Solución:
2
1 1 1
1 1 1 1
x x
x x x x
(m).- 3
2
a
a
Solución:
3 2 3 6 2 6
4 42 2
a a a a a a a
a aa a
(n).-
2 5 3 2
5 5 2 2
Solución:
2 5 3 2 5 5 2 2 50 4 10 15 10 12 62 19 10
125 8 1175 5 2 2 5 5 2 2
(ñ).-
h
x h x
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 24
Solución:
( ) h x h xh x h x h x h x
x h x hx h x x h x
x h x
(o).-
1
1 1
m
m
Solución:
1 1 1 11
1 11 1 1 1
1 11 1
m m mm
mm m
m mm m
m m
(p).-
1
1 1
m
m
Solución:
1 1 1 1 1 11
1 11 1 1 1
1 1
m m m m mm
m mm m
m m
m
(q).- 2 1
x
x x
Solución:
22 2
2 2
2 22 2
1 11
11 1
x xx x x xx x x
x xx x x x
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 25
(r).-
2
3
x
x
Solución:
32 2 6 3 5 6
9 93 3
xx x x x x x
x xx x
(s).- 3 2 2 3
2 2 3 3
Solución:
2 2 3 33 2 2 3 12 9 6 4 6 18 30 13 6
8 27 192 2 3 3 2 2 3 3
30 13 6
19
(t).- 1
2 2 3 3
Solución:
2 2 3 31 2 2 3 3
8 272 2 3 3 2 2 3 3
2 2 3 3 3 3 2 2
19 19
(u).- 2
2 2 2
Solución:
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 26
2 2 2 2 2 2 22
2 2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 22
22 2
2 2 2 2 4 2 2 2
3.- Racionalizar el denominador según sea el caso:
(a).- 3 2
1
7c b
Solución:
3 2 3
3 32 2
1 7 49
77 7
b b
bcc b b
(b).- 3
3
3
Solución:
3 32 2
3
3 3 2
3 3 3 39
33 3
©.- 5
1
x
Solución:
5 54 4
5 5 4
1 x x
xx x
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 27
(d).- 4
2
x h
Solución:
3 34 4
4 34
22 x h x h
x hx h x h
(e).- 6 3 114
zy
z y z
Solución:
3 3 34 4 4
4 417 3 4 3 3 3 34 4 4 4
z y y z y z yzy zy y
z y zz y z zy z zy z y
(f).- 3
a
Solución:
34 4
4 34
3 27
33 3
a a
(g).-
1
8 64 xy
Solución:
7 78
4 2 4 4 8 7 788 8 8 8
7 78
1 1 1 1
88 64 8 8 8
8
x y
xyxy xy xy x y
x y
xy
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 28
(h).- 3
2
2xy
Solución:
2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 3
2 2 23 3
2 2 2 22
22 2
x y x y x y
xy xyxy x y
(i).- 25
9
3y
Solución:
4 3 4 3 4 35 5 5
2 4 35 5
3 9 3 3 39
33 3
y y y
y yy y
(j).- 6 2
3
2 7x
Solución:
6 65 4 5 4
6 62 5 4
3 7 3 7
142 7 7
x x
xx x
(k).-
3
5 7 316
m n
m n
Solución:
3 2 5 3 2 2 5 3 2 5 3 2
5 4 2 3 5 4 2 3 5 3 2
2 2 2
2 22 2 2
m n m n m n m n m n m m n
mnm m n m n m n
(l).-
3
4
1
3 1
a
a
Solución:
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 29
3 3 34 4 4
3 344
3 1 1 3 1 3 11
3 1 33 13 1
a a a aa
aaa
(m).-
n
m n
a
a
Solución:
1n m m n n m m n
n m m n
m n m m n
a a a aa a
aa a
(n).- 3 2 2
2
2 4
xy
xy x y
Solución:
3 3 3 4 4 4 7 7 7 66 6 6
5 5 5 5 56 6
5 5 56 6
2 2 2
2 22 2 2
2 321
22 2
xy xy xy
xy xyx y x y x y
x y x y
xyxy x y
4.- Racionalizar el denominador según corresponda:
(a).- 3 3
x y
x y
Solución:
3 2 233
3 3 2 23 33
3 2 233
3 2 233
x xy yx y
x y x xy y
x y x xy yx xy y
x y
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 30
(b).- 3 3
h
x h x
Solución:
2 3 23 3
3 3 2 3 23 3
2 23 2 3 23 33 3
2 3 23 3
x h x x h xh
x h x x h x x h x
h x h x x h x h x h x x h x
x h x h
x h x x h x
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 31
U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #67B Racionalización de
denominadores (Santillana)
FVR (4/03/2012) 32
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