matemÁticas 9° saint joseph high school 2020 prof ... · tabla de contenido. racionalización de...
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MATEMÁTICAS 9°
Saint Joseph High School 2020
Prof. Jonathan Brenes S.
Tabla de contenido.
Racionalización de denominadores ............................................................................................. 1
Denominadores con raíz de índice 2 (Soluciones de la página 110) ......................................... 1
Denominadores con raíz de índice mayor a 2 ........................................................................... 3
Denominadores con dos términos (Soluciones de la página 111) ............................................ 3
Conversiones ................................................................................................................................. 5
Ejemplos de algunas conversiones ............................................................................................ 5
Teorema de Pitágoras ................................................................................................................... 6
Soluciones de la página 132 ....................................................................................................... 7
Soluciones de la página 133 ....................................................................................................... 9
Soluciones de la página 135 .................................................................................................... 11
Soluciones de la página 136 ..................................................................................................... 14
Soluciones de la página 137 ..................................................................................................... 18
Práctica para la prueba corta .................................................................................................. 21
Recíproco del teorema de Pitágoras ........................................................................................ 23
Distancia entre dos puntos ......................................................................................................... 25
Ejemplos sobre distancias entre dos puntos ........................................................................... 25
Solución problema 20 de la página 150 ................................................................................... 25
Trigonometría ............................................................................................................................. 28
Medida de ángulos en grados y radianes ................................................................................ 28
Soluciones de la página 156 ..................................................................................................... 30
Medidas de ángulos y lados de un triángulo rectángulo ......................................................... 31
Soluciones de la página 169 .................................................................................................... 34
Soluciones de la página 170 ..................................................................................................... 35
Soluciones de la página 171 ..................................................................................................... 36
Soluciones de la página 172 ..................................................................................................... 41
Triángulos no rectángulos ........................................................................................................ 42
Ley de senos ..................................................................................................................... 42
Ley de cosenos ................................................................................................................. 48
Ángulos de elevación y depresión ................................................................................... 50
Geometría ................................................................................................................................... 59
Visualización espacial: Pirámides ............................................................................................. 59
Funciones .................................................................................................................................... 66
Función lineal ........................................................................................................................... 66
Ejercicios sobre función lineal ................................................................................................. 72
Repaso de imágenes y pre-imágenes ...................................................................................... 74
Función cuadrática ................................................................................................................... 85
Gráficas de funciones a partir de transformaciones ............................................................... 92
Problemas sobre función cuadrática ....................................................................................... 99
Estadística.................................................................................................................................. 105
Repaso de medidas de tendencia central .....................................................................................
Análisis de gráficas ........................................................................................................................
Probabilidad .....................................................................................................................................
1
Racionalización.
Se estudiará la racionalización de denominadores, la cual consiste en un proceso donde se
busca una expresión equivalente a otra pero sin radicales en el denominador.
I caso: Racionalización de denominadores con raíz de índice 2.
Ejercicios resueltos de la página 110.
𝑎) 6
√3
6
√3∙
√3
√3=
6√3
√32=
6√3
3= 2√3
𝑏) 15
2√5
15
2√5∙
√5
√5=
15√5
2√52=
15√5
2 ∙ 5=
15√5
10=
3√5
2
𝑐) 4
3√12
4
3√12∙
√12
√12=
4√12
3√122=
4√12
3 ∙ 12=
4√12
36=
√12
9=
2√3
9
𝑑) 6𝑥
√3𝑥
6𝑥
√3𝑥∙
√3𝑥
√3𝑥=
6𝑥√3𝑥
√(3𝑥)2=
6𝑥√3𝑥
3𝑥= 2√3𝑥
Si 𝑥 < 0 la solución es:
6𝑥√3𝑥
√(3𝑥)2=
6𝑥√3𝑥
−3𝑥= −2√3𝑥
𝑒) 14𝑎𝑏
√7𝑎𝑏
en caso de tener 𝑥 > 0
2
14𝑎𝑏
√7𝑎𝑏∙
√7𝑎𝑏
√7𝑎𝑏=
14𝑎𝑏√7𝑎𝑏
√(7𝑎𝑏)2=
14𝑎𝑏√7𝑎𝑏
7𝑎𝑏= 2√7𝑎𝑏
𝑓) 10𝑥2𝑦3
√5𝑥𝑦
10𝑥2𝑦3
√5𝑥𝑦∙
√5𝑥𝑦
√5𝑥𝑦=
10𝑥2𝑦3√5𝑥𝑦
√(5𝑥𝑦)2=
10𝑥2𝑦3√5𝑥𝑦
5𝑥𝑦= 2𝑥𝑦2√5𝑥𝑦
𝑔) 𝑎 + 𝑏
√𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏
√𝑎 + 𝑏∙
√𝑎 + 𝑏
√𝑎 + 𝑏=
(𝑎 + 𝑏)√𝑎 + 𝑏
√(𝑎 + 𝑏)2=
(𝑎 + 𝑏)√𝑎 + 𝑏
(𝑎 + 𝑏)= √𝑎 + 𝑏
ℎ) 2𝑥 − 3
√2𝑥 − 3
2𝑥 − 3
√2𝑥 − 3∙
√2𝑥 − 3
√2𝑥 − 3=
(2𝑥 − 3)√2𝑥 − 3
√(2𝑥 − 3)2=
(2𝑥 − 3)√2𝑥 − 3
(2𝑥 − 3)= √2𝑥 − 3
𝑖) 5 √ 3
5
5 √ 3
5= 5 ∙
√3
√5=
5√3
√5 =
5√3
√5 ∙
√5
√5=
5√15
√52=
5√15
5= √15
𝑗) 3
2√
2
3
3
2√
2
3=
3
2∙
√2
√3=
3√2
2√3 =
3√2
2√3 ∙
√3
√3=
3√6
2√32=
3√6
2 ∙ 3=
√6
2
3
II caso: Racionalización de denominadores con raíz de índice mayor a 2.
𝑎) 6
√47
6
√227 =6
√227 ∙√257
√257 =6√257
√22 ∙ 257 =6√257
√277 =6√257
2= 3√257
𝑏) 5
2√54
5
2√514 ∙√534
√534 =5√534
2√51 ∙ 534 =5√534
2√544 =5√534
2 ∙ 5=
√534
2
Otros ejercicios explicados de este caso son:
𝑎) 5
√327
5
√327 =5
√327 ∙√357
√357 =5√357
√32 ∙ 357 =5√357
√377 =5√357
3
𝑏) 6𝑥
√(2𝑥)211
6𝑥
√(2𝑥)211=
6𝑥
√(2𝑥)211∙
√(2𝑥)911
√(2𝑥)911=
6𝑥 √(2𝑥)911
√(2𝑥)2 ∙ (2𝑥)911=
6𝑥 √(2𝑥)911
√(2𝑥)1111=
6𝑥 √(2𝑥)911
2𝑥= 3 √(2𝑥)911
III caso: Racionalización de denominadores con dos términos.
Ejercicios resueltos de la página 111.
𝑎) 4
√8 + 2
4
√8 + 2∙
√8 − 2
√8 − 2=
4(√8 − 2)
(√8 + 2)(√8 − 2)=
4√8 − 8
√82
− √22 =
4√8 − 8
8 − 2=
4√8 − 8
6=
4√8
6−
8
6=
2√8 − 4
3
𝑏) 22
2√3 − 1
4
22
2√3 − 1∙
2√3 + 1
2√3 + 1=
22(2√3 + 1)
(2√3 − 1)(2√3 + 1)=
22(2√3 + 1)
(2√3)2 − 12=
22(2√3 + 1)
4 ∙ 3 − 1=
22(2√3 + 1)
11
= 2(2√3 + 1) = 4√3 + 2
𝑐) 4
√7 + √5
4
√7 + √5∙
√7 − √5
√7 − √5=
4(√7 − √5)
(√7 + √5)(√7 − √5)=
4√7 − 4√5
√72
− √52 =
4√7 − 4√5
7 − 5=
4√7 − 4√5
2
= 2√7 − 2√5
𝑑) 34
2√5 − √3
34
2√5 − √3∙
2√5 + √3
2√5 + √3=
34(2√5 + √3)
(2√5 − √3)(2√5 + √3)=
68√5 + 34√3
(2√5)2
− √32
=68√5 + 34√3
4 ∙ 5 − 3
=68√5 + 34√3
17=
68√5
17+
34√3
17= 4√5 + 2√3
𝑒) √3 − √2
√3 + √2
√3 − √2
√3 + √2∙
√3 − √2
√3 − √2=
(√3 − √2)(√3 − √2)
(√3 + √2)(√3 − √2)=
(√3 − √2)2
√32
− √22 =
√32
− 2 ∙ √3 ∙ √2 + √22
3 − 2
=3 − 2 ∙ √3 ∙ √2 + 2
1= 5 − 2√6
𝑓) 6
2√5 − √17
6
2√5 − √17∙
2√5 + √17
2√5 + √17=
6(2√5 + √17)
(2√5 − √17)(2√5 + √17)=
12√5 + 6√17
(2√5)2 − √172 =
12√5 + 6√17
4 ∙ 5 − 17
=12√5 + 6√17
3=
12√5
3+
6√17
3= 4√5 + 2√17
5
𝑔) 𝑎 − 𝑏
√𝑎 + √𝑏
𝑎 − 𝑏
√𝑎 + √𝑏∙
√𝑎 − √𝑏
√𝑎 − √𝑏=
(𝑎 − 𝑏)(√𝑎 − √𝑏)
(√𝑎 + √𝑏)(√𝑎 − √𝑏)=
(𝑎 − 𝑏)(√𝑎 − √𝑏)
√𝑎2
− √𝑏2 =
(𝑎 − 𝑏)(√𝑎 − √𝑏)
(𝑎 − 𝑏)
= √𝑎 − √𝑏
ℎ) 9𝑎 − 4𝑏
3√𝑎 − 2√𝑏
9𝑎 − 4𝑏
3√𝑎 − 2√𝑏∙
3√𝑎 + 2√𝑏
3√𝑎 + 2√𝑏=
(9𝑎 − 4𝑏)(3√𝑎 + 2√𝑏)
(3√𝑎 − 2√𝑏)(3√𝑎 + 2√𝑏)=
(9𝑎 − 4𝑏)(3√𝑎 + 2√𝑏)
(3√𝑎)2 − (2√𝑏)2
(9𝑎 − 4𝑏)(3√𝑎 + 2√𝑏)
(3√𝑎)2 − (2√𝑏)2=
(9𝑎 − 4𝑏)(3√𝑎 + 2√𝑏)
(9𝑎 − 4𝑏)= 3√𝑎 + 2√𝑏
Conversiones
En la página 65 del libro del curso se encuentra una tabla sobre prefijos y sufijos utilizada para
realizar conversiones.
A continuación se presentan acá algunos ejercicios sobre conversiones. 1) Realizar las siguientes conversiones. a) 500 TL a pL. (pL = picolitros)
1𝑇𝐿 = 1012𝐿 1𝑝𝐿 = 10−12𝐿
500𝑇𝐿 = 500 ∙1012
10−12𝑝𝐿 = 500 ∙ 1024𝑝𝐿 = 5 ∙ 102 ∙ 1024𝑝𝐿 = 5 ∙ 1026𝑝𝐿
500𝑇𝐿 = 500𝑇𝐿 ∙1012𝐿
1 𝑇𝐿∙
1𝑝𝐿
10−12𝐿= 500 ∙
1012
10−12𝑝𝐿 = 500 ∙ 1024𝑝𝐿 = 5 ∙ 102 ∙ 1024𝑝𝐿
500𝑇𝐿 = 5 ∙ 1026𝑝𝐿
6
b) 200 zm A Zm. (zm= Zeptómetros y Zm = Zettámetros)
1𝑧𝑚 = 10−21𝑚 1𝑍𝑚 = 1021𝑚
200 𝑧𝑚 = 200 ∙10−21
1021𝑍𝑚 = 200 ∙ 10−42𝑍𝑚 = 2 ∙ 102 ∙ 10−42𝑍𝑚 = 2 ∙ 10−40𝑍𝑚
200 𝑧𝑚 = 200𝑧𝑚 ∙10−21𝑚
1 𝑧𝑚∙
1𝑍𝑚
1021𝑚= 200 ∙
10−21
1021𝑍𝑚 = 200 ∙ 10−42𝑍𝑚
200 zm = 2 ∙ 102 ∙ 10−42𝑍𝑚 = 2 ∙ 10−40𝑍𝑚
2) Un supermercado tiene 1,2 Mg de arroz ¿Cuántas bolsas de 2kg se pueden hacer con ese contenido?
1𝑀𝑔 = 106𝑔 1𝑘𝑔 = 103𝑔
1,2 𝑀𝑔 = 1,2 ∙106
103 𝑘𝑔 = 1,2 ∙ 103 𝑘𝑔 = 1200 𝑘𝑔
Cantidad de bolsas =1200
2= 600
Teorema de Pitágoras.
Es utilizado para calcular la medida de un lado de un triángulo rectángulo. En todo triángulo la
suma de sus ángulos mide 180°. Para los triángulos rectángulos los lados reciben nombres
especiales, los cuales se detallan en la siguiente imagen.
Los ángulos 𝛼 y 𝛽 son agudos y suman 90°, es decir son
complementarios.
El teorema de Pitágoras dice:
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos, o sea:
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
7
Página 132
2a)
2b)
𝐴 =𝑏 ∙ ℎ
2
𝐴 =80 ∙ 9
2
𝐴 = 360
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
262 = 𝑎2 + 52
676 = 𝑎2 + 25
676 − 25 = 𝑎2
651 = 𝑎2
√651 = √𝑎2
√651 = |𝑎|
√651 = 𝑎 √651 = −𝑎
−√651 = 𝑎
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
412 = 𝑎2 + 402
1681 = 𝑎2 + 1600
1681 − 1600 = 𝑎2
81 = 𝑎2
√81 = √𝑎2
9 = |𝑎|
9 = 𝑎 9 = −𝑎
−9 = 𝑎
8
Problema 3: Calcule la medida de la sombra del árbol que se indica en la figura.
Problema 4: Calcule la medida de la sombra del árbol que se indica en la figura.
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
802 = 𝑥2 + 602
6400 = 𝑥2 + 3600
6400 − 3600 = 𝑥2
2800 = 𝑥2
√2800 = √𝑥2
20√7 = |𝑥|
20√7 = 𝑥 20√7 = −𝑥
−20√7 = 𝑥
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
1022 = 𝑥2 + 802
10 404 = 𝑥2 + 6400
10 404 − 6400 = 𝑥2
4 004 = 𝑥2
√4 004 = √𝑥2
√22 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 13 = √𝑥2
2√7 ∙ 11 ∙ 13 = |𝑥|
2√1001 = |𝑥|
20√7 = 𝑥 20√7 = −𝑥
−20√7 = 𝑥
9
Página 133.
Problema 9: Un poste de 8 m clavado verticalmente en el suelo, proyecta una sombra de 18 m, ¿Qué distancia hay desde el extremo de la sombra y la altura superior del poste?
Problema 10: Un alambre de 48 m es doblado en tres segmentos rectilíneos, de modo que, dos
ángulos internos del triángulo que se forma sean complementarios. Si el segmento menor mide
12m, ¿cuánto miden los otros segmentos?
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑥2 = 82 + 182
𝑥2 = 64 + 324
𝑥2 = 388
√𝑥2 = √388
√𝑥2 = 2√97
|𝑥| = 2√97
𝑥 = 2√97 −𝑥 = 2√97
𝑥 = −2√97
48 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
48 = 𝑎 + 12 + 𝑐
48 − 12 = 𝑎 + 𝑐
36 = 𝑎 + 𝑐
36 − 𝑎 = 𝑐
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
(36 − 𝑎)2 = 𝑎2 + 122
362 − 2 ∙ 36 ∙ 𝑎 + 𝑎2 = 𝑎2 + 122
1296 − 72𝑎 + 𝑎2 = 𝑎2 + 144
1296 − 72𝑎 = 144
1296 − 144 = 72𝑎
1152 = 72𝑎
1152
72= 𝑎
16 = 𝑎
Respuesta:
Los catetos miden 12 y 16.
La hipotenusa mide 20.
Nota:
(𝐼 − 𝐼𝐼)2 = 𝐼2 − 2 ∙ 𝐼 ∙ 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼2
10
Problema 11: De acuerdo con los datos de la siguiente figura, ¿Qué altura aproximada, desde el suelo, alcanza la escalera en la pared?
Ejercicio 12. De acuerdo con los datos de la figura, el extremo superior de la escalera está a 50
cm del cielo raso, y el extremo inferior está a 2m de la pared. Si la escalera es de 3.5 m, a qué
altura está el cielo raso del piso.
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
242 = 𝑎2 + 62
576 = 𝑎2 + 36
576 − 36 = 𝑎2
540 = 𝑎2
√540 = √𝑎2
6√15 = |𝑎|
6√15 = 𝑎 6√15 = −𝑎
−6√15 = 𝑎
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
3.52 = 22 + 𝑏2
12,25 = 4 + 𝑏2
12,25 − 4 = 𝑏2
8,25 = 𝑏2
√8,25 = √𝑏2
√8,25 = |𝑏|
√8,25 = 𝑏 √8,25 = −𝑏
−√8,25 = 𝑏
El valor de x es √8,25 + 0,5 ≈ 3,37
R/ Del piso al cielorraso hay aproximadamente 3,37m
11
Página 135.
Ejercicio 1. De acuerdo con los datos de la figura ¿Qué altura aproximada, desde el suelo, alcanza
la escalera en la pared?
Ejercicio 2. En relación con los datos de la figura, el valor de “a” corresponde a
Solución:
c2 = a2 + b2
172 = 82 + 𝑏2
289 − 64 = 𝑏2
225 = 𝑏2
√225 = √𝑏2
15 = |𝑏|
±15 = 𝑏
R/ 15 m
Solución:
c2 = a2 + b2
(3√3)2
= 𝑎2 + (𝑎√2)2
32√32
= 𝑎2 + a2√22
9 ∙ 3 = 𝑎2 + 2𝑎2
27 = 1 ∙ 𝑎2 + 2𝑎2
27 = 3𝑎2
27
3= 𝑎2
√9 = √𝑎2
3 = |𝑎|
±3 = 𝑎
R/ 3
12
Ejercicio 3. ¿Cuál es la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles, si uno de
los catetos mide 2√6 cm?
Ejercicio 4. ¿Cuál es la medida de la diagonal de un rectángulo, cuyos lados miden 16 cm y 30
cm?
c2 = a2 + b2
x2 = (2√6)2
+ (2√6)2
x2 = 22√62
+ 22√62
x2 = 4 ∙ 6 + 4 ∙ 6
√x2 = √48
|𝑥| = 4√3
𝑥 = ±4√3
R/ 4√3
R/
c2 = a2 + b2
x2 = 302 + 162
x2 = 900 + 256
x2 = 1156
√x2 = √1156
|𝑥| = 34
𝑥 = ±34
R/ 34 cm
R/
13
Ejercicio 5. Las diagonales de un rombo miden 22 cm y 120 cm, respectivamente, su lado mide:
Ejercicio 6. De acuerdo con los datos de la figura, la medida del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ es de:
Respuesta: El valor de AB es 8 − 2√7
c2 = a2 + b2
x2 = (11)2 + (60)2
x2 = 121 + 3600
x2 = 3721
√x2 = √3721
|𝑥| = √3721
𝑥 = ±√3721
𝑥 = ±61
R/ 61 cm
c2 = a2 + b2
102 = 62 + y2
100 − 36 = y2
√64 = √y2
8 = |𝑦|
±8 = 𝑦
c2 = a2 + b2
82 = 62 + z2
64 − 36 = z2
√28 = √z2
2√7 = |𝑧|
±2√7 = 𝑧
14
Página 136.
Ejercicio 7. Según los datos de la figura, ¿cuánto mide 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ?
c2 = a2 + b2
132 = x2 + 52
169 = x2 + 25
169 − 25 = x2
√144 = √x2
12 = |𝑥|
±12 = 𝑥
𝐴𝐵 = 12 − 5 = 7𝑐𝑚
Ejercicio 8. Si la medida de la diagonal de un cuadrado se representa con 𝑥√18, entonces su
perímetro se representa con:
c2 = a2 + b2
(𝑥√18)2
= y2 + y2
𝑥2 ∙ √182
= 1y2 + y2
18𝑥2 = 2y2
18𝑥2
2= y2
9𝑥2 = y2
√9𝑥2 = √y2
3𝑥 = |𝑦|
±3𝑥 = 𝑦
R/ Perímetro = 12x
15
Ejercicio 9. En la figura, 𝐴𝐵 = 26, 𝐵𝐶 = 24, 𝐷𝐸 = 7, 𝐴𝐶 = 𝐷𝐸 − 4. ¿Cuál es la medida de
𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ?
c2 = a2 + b2
𝑦2 = 242 + 72
√𝑦2 = √625
|𝑦| = 25
𝑦 = ±25
R/ La hipotenusa mide25 cm
c2 = a2 + b2
262 = (𝑥 − 4)2 + 242
676 = x2 − 2 ∙ x ∙ 4 + 42 + 576
676 = x2 − 8x + 16 + 576
676 − 16 − 576 = x2 − 8x
84 = x2 − 8x
0 = 1x2 − 8x − 84
𝑎 = 1 𝑏 = −8 𝑐 = −84
𝑥 =−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =− − 8 + √(−8)2 − 4 ∙ 1 ∙ −84
2𝑎
𝑥 =8 + √64 + 336
2
𝑥 =8 + √400
2
𝑥 =8 + 20
2= 14
𝑥 =−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
16
Ejercicio adicional para Cotidiano: Resolver la ecuación cuadrática.
102 = (𝑥 − 2)2 + 52
Solución.
102 = (𝑥 − 2)2 + 52
100 = x2 − 2 ∙ x ∙ 2 + 22 + 52
100 = x2 − 4x + 4 + 25
0 = x2 − 4x + 4 + 25 − 100
0 = 1x2 − 4x − 71
𝑎 = 1 𝑏 = −4 𝑐 = −71
𝑥 =−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =− − 4 + √(−4)2 − 4 ∙ 1 ∙ −71
2 ∙ 1
𝑥 =4 + √16 + 284
2
𝑥 =4 + √300
2
𝑥 =4 + 10√3
2
Otra forma de resolver el ejercicio 9 sin usar ecuaciones cuadráticas es la siguiente.
𝑥1 =4
2+
10√3
2
𝑥1 = 2 + 5√3
𝑥2 =−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥2 =− − 4 − √(−4)2 − 4 ∙ 1 ∙ −71
2 ∙ 1
𝑥2 =4 − √16 + 284
2
𝑥2 =4 − √300
2
𝑥2 =4 − 10√3
2
𝑥2 =4
2−
10√3
2
𝑥2 = 2 − 5√3
17
Ejercicio 10. ¿Cuál es la medida en términos de 𝑥, de la diagonal de un rectángulo, cuyas
medidas de los lados están representadas por 6𝑥 y 3𝑥, respectivamente?
Ejercicio 11. De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es la medida de la base mayor del
trapecio?
La base se obtiene sumando 𝑦 + 7 + 𝑥
Base = 3 + 7 + 3√17
𝐵𝑎𝑠𝑒 = 10 + 3√17
c2 = a2 + b2 10 = 𝑥 − 4
262 = 242 + 𝑦2 10 + 4 = 𝑥
676 = 576 + 𝑦2 14 = 𝑥
676 − 576 = 𝑦2 𝐴𝐸 = 24 𝑐𝑚
100 = 𝑦2 AD=?
√100 = √𝑦2
10 = |𝑦|
±10 = 𝑦
c2 = a2 + b2
𝑦2 = 242 + 72
√𝑦2 = √625
|𝑦| = 25
𝑦 = ±25
R/ La hipotenusa mide25 cm
c2 = a2 + b2
c2 = (6𝑥)2 + (3𝑥)2
c2 = 36𝑥2 + 9𝑥2
√c2 = √45𝑥2
|𝑐| = 3x√5
𝑐 = ±3𝑥√5
𝑅/ 3𝑥√5
Cálculo de 𝑦.
c2 = a2 + b2
52 = y2 + 42
25 − 16 = y2
√9 = √𝑦2
3 = 𝑦
Cálculo de 𝑥.
c2 = a2 + b2
132 = y2 + 42
169 − 16 = x2
√153 = √𝑥2
3√17 = 𝑥
18
Página 137.
Ejercicio 12. La altura del trapecio es de 8 cm. AC = 29 cm, AE = 10 cm y BFDE es un cuadrado.
¿Cuál es la medida, en centímetros, del perímetro del trapecio?
Ejercicio 13. Con base en los datos de la figura la medida de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ es:
Cálculo de x.
c2 = a2 + b2
102 = x2 + 82
100 = x2 + 64
100 − 64 = x2
√36 = √x2
6 = 𝑥
No se usa Pitágoras para y.
y = 29 − x − 8
y = 29 − 6 − 8
y = 15
c2 = a2 + b2
172 = x2 + 152
289 = x2 + 225
289 − 225 = x2
√64 = √x2
8 = 𝑥
La medida de AB es
𝐴𝐵 = 𝑥 + 18 + 𝑦
𝐴𝐵 = 8 + 18 + 5√7
𝐴𝐵 = 26 + 5√7
Cálculo de DC
c2 = a2 + b2
c2 = 82 + 152
c2 = 289
𝑐 = 17
Perímetro
𝑃 = 8 + 10 + 29 + 17 = 64
c2 = a2 + b2
202 = y2 + 152
400 = y2 + 225
400 − 225 = y2
√175 = √y2
5√7 = 𝑦
19
Ejercicio 14. Según los datos de la figura, el perímetro del triángulo sombreado corresponde a:
c2 = a2 + b2
(3√13)2 = 62 + (4 + x)2
32 ∙ √132
= 62 + 42 + 2 ∙ 4 ∙ 𝑥 + 𝑥2
9 ∙ 13 = 36 + 16 + 8𝑥 + 𝑥2
117 = 36 + 16 + 8𝑥 + 𝑥2
0 = −117 + 36 + 16 + 8𝑥 + 𝑥2
0 = −65 + 8𝑥 + 𝑥2
𝑎 = 1 𝑏 = 8 𝑐 = −65
𝑥 =−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =−8 + √82 − 4 ∙ 1 ∙ −65
2 ∙ 1
𝑥 =−8 + √64 + 260
2
𝑥 =−8 + √324
2
𝑥 =−8 + 18
2=
10
2= 5
Cálculo de la hipotenusa
c2 = a2 + b2
𝑐2 = 62 + 42
√𝑐2 = √52
|𝑐| = 2√13
𝑐 = ±2√13
Perímetro
2√13 + 5 + 3√13
5√13 + 5
Nota: Fórmula notable.
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
20
Ejercicio 15. Según los datos de la figura, el perímetro del triángulo sombreado corresponde a:
Ejercicio 16. En un triángulo rectángulo donde la hipotenusa mide 25 cm y su perímetro es de
56 cm, ¿Cuánto mide el cateto mayor?
Cálculo de 𝑎
c2 = a2 + b2
132 = a2 + 122
169 = a2 + 144
169 − 144 = a2
25 = a2
√25 = √a2
5 = |𝑎|
±5 = 𝑎
Cálculo de 𝑐
c2 = a2 + b2
c2 = 52 + 52
c2 = 50
√c2 = √50
|𝑐| = √50
𝑐 = ±5√2
Perímetro.
𝑃 = 7 + 13 + 5√2
𝑃 = 20 + 5√2
𝑃 = 56
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 56
𝑎 + 𝑏 + 25 = 56
𝑎 + 𝑏 = 56 − 25
𝑎 + 𝑏 = 31
𝑎 = 31 − 𝑏
Como 𝑎 = 31 − 𝑏, entonces:
c2 = a2 + b2
252 = (31 − 𝑏)2 + b2
625 = 312 − 2 ∙ 31 ∙ b + b2 + b2
625 = 961 − 62b + 2b2
0 = −625 + 961 − 62b + 2b2
0 = 336 − 62b + 2b2
𝑏 =−𝐵 + √𝐵2 − 4𝐴𝐶
2𝐴
𝑏 =− − 62 + √(−62)2 − 4 ∙ 2 ∙ 336
2 ∙ 2= 24
21
Práctica para la prueba corta sobre el teorema de Pitágoras.
1. Determine el valor de x.
2. Calcule el perímetro del triángulo sombreado. Si 𝐵𝐶 = 16𝑐𝑚, 𝐴𝐵 = 12𝑐𝑚 y 𝐴𝐷 = 6𝑐𝑚.
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
(9√8)2
= (8√6)2
+ 𝑥2
92√82
= 82√62
+ 𝑥2
81 ∙ 8 = 64 ∙ 6 + 𝑥2
648 = 384 + 𝑥2
648 − 384 = 𝑥2
264 = 𝑥2
√264 = √𝑥2
2√66 = |𝑥|
±2√66 = 𝑥
Respuesta: 𝑥 = 2√66
Cálculo de AC
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
(16)2 = (12)2 + 𝑥2
256 = 144 + 𝑥2
256 − 144 = 𝑥2
112 = 𝑥2
√112 = √𝑥2
4√7 = |𝑥|
±4√7 = 𝑥
𝐴𝐶 = 4√7
Se usa el ∆𝐴𝐵𝐶 para calcular AC
22
Se desea calcular el perímetro del triángulo DBC.
Perímetro 16+6+2√37 = 22 + 2√37
Cálculo de AD
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑦2 = 62 + (4√7)2
𝑦2 = 36 + 42√72
𝑦2 = 36 + 16 ∙ 7
𝑦2 = 36 + 112
𝑦2 = 148
√𝑦2 = √148
|𝑦| = 2√37
𝑦 = ±2√37
Se usa el ∆𝐴𝐷𝐶 para calcular AD
𝐴𝐷 = 2√37
23
3. Determine la medida del perímetro del trapecio.
Recíproco del Teorema de Pitágoras
En todo triángulo, si se cumple que 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2, entonces uno de sus ángulos internos es
recto.
Página 132, ejercicio d.
Por lo tanto el triángulo sí es rectángulo.
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
(12)2 = (8)2 + 𝑥2
144 − 64 = 𝑥2
√80 = √𝑥2
4√5 = |𝑥|
±4√5 = 𝑥
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
(10)2 = (8)2 + 𝑦2
100 − 64 = 𝑦2
√36 = √𝑦2
6 = |𝑦|
±6 = 𝑦
Sumando los lados del trapecio obtenemos el perímetro.
𝑃 = 𝐷𝐶 + 𝐴𝐷 + 𝐴𝐸 + 𝐸𝐹 + 𝐹𝐵 + 𝐵𝐶
P = 6 + 12 + 4√5 + 6 + 6 + 10 = 40 + 4√5
El perímetro es
40 + 4√5
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
(2√3)2 = (√5 − 1)2 + (√5 + 1)2
4 ∙ 3 = √52
− 2 ∙ √5 ∙ 1 + 12 + √52
+ 2 ∙ √5 ∙ 1 + 12
12 = 5 − 2√5 + 1 + 5 + 2√5 + 1
12 = 5 + 1 + 5 + 1
12 = 12
24
Ejercicio adicional sobre el recíproco de Pitágoras.
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
(2√3)2 = (√5)2 + (√5)2
12 = 5 + 5
12 = 10
12 > 10
El triángulo no es rectángulo, es obtusángulo.
Nota: Sean a y b catetos de un triángulo rectángulo, y c la hipotenusa, si se cumple:
𝑐2 > 𝑎2 + 𝑏2 Entonces el triángulo es obtusángulo.
𝑐2 < 𝑎2 + 𝑏2 Entonces el triángulo es acutángulo.
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 Entonces el triángulo es rectángulo.
25
Distancia entre dos puntos
Considere un segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ en un plano cartesiano, con 𝐴(𝑥1, 𝑦1) y 𝐵(𝑥2, 𝑦2), como en la figura
de la izquierda. Luego un punto C, de forma tal que se obtenga un triángulo rectángulo como la
figura de la derecha.
Por el teorema de Pitágoras, sabemos que la medida de AB es:
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑥2 = (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
√𝑥2 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
𝑥 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
Con lo cual obtenemos que la distancia de A a B está definida como:
𝑑(𝐴, 𝐵) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
donde 𝐴 = (𝑥1, 𝑦1) 𝐵 = (𝑥2, 𝑦2)
Ejemplo 1. Determine la distancia entre los puntos 𝐴(3,1) y 𝐵(5,10).
𝑑(𝐴, 𝐵) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
𝑑(𝐴, 𝐵) = √(5 − 3)2 + (10 − 1)2
𝑑(𝐴, 𝐵) = √(2)2 + (9)2
𝑑(𝐴, 𝐵) = √4 + 81
𝑑(𝐴, 𝐵) = √85 ≈ 9,2195
26
Ejemplo 2. Determine la distancia entre los puntos 𝐴(4, −2) y 𝐵(6,8).
Tenemos que 𝑥1 = 4, 𝑦1 = −2, 𝑥2 = 6, 𝑦2 = 8
𝑑(𝐴, 𝐵) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
𝑑(𝐴, 𝐵) = √(6 − 4)2 + (8 − −2)2
𝑑(𝐴, 𝐵) = √(2)2 + (10)2
𝑑(𝐴, 𝐵) = √4 + 100
𝑑(𝐴, 𝐵) = √104 = 2√26
Ejemplo 3. Calcular el área del círculo.
𝐴 = 𝜋𝑟2
𝐴(4,2) 𝐵(6,5)
𝑑(𝐴, 𝐵) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
𝑑(𝐴, 𝐵) = √(6 − 4)2 + (5 − 2)2
𝑑(𝐴, 𝐵) = √(2)2 + (3)2
𝑑(𝐴, 𝐵) = √4 + 9
𝑟 = 𝑑(𝐴, 𝐵) = √13
𝐴 = 𝜋𝑟2 = 𝜋√132
= 13𝜋
27
Ejemplo 4. Problema 20 de la página 150.
Calcular el perímetro del triángulo ∆𝐴𝐵𝐶, con 𝐴(3,11), 𝐵(−9, −5) y 𝐶(6, −10).
Solución:
d(B,C) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
d(B,C) = √(6 − −9)2 + (−10 − −5)2
d(B,C) = √(15)2 + (−5)2
d(B,C) = √225 + 25
d(B,C) = √250
d(B,C) = 5√10
El perímetro se halla sumando las tres distancias calculadas.
𝑃 = 20 + 15√2 + 5√10
Aproximadamente 57,02
Nota: El ∆𝐴𝐵𝐶 no es rectángulo, por eso no se aplica directamente el Teorema de Pitágoras
para calcular la medida de los lados, sino que se utiliza la fórmula de la distancia.
d(A,C) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
d(A,C) = √(6 − 3)2 + (−10 − 11)2
d(A,C) = √(3)2 + (−21)2
d(A,C) = √9 + 441
d(A,C) = √450
d(A,C) = 15√2
d(A,B) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
d(A,B) = √(−9 − 3)2 + (−5 − 11)2
d(A,B) = √(−12)2 + (−16)2
d(A,B) = √144 + 256
d(A,B) = √400
d(A,B) = 20
28
Trigonometría
Etimología.
Tri ⇒ Tres
Gono ⇒ Ángulos
Metría ⇒ Medida
Medidas de tres ángulos, medidas de triángulos.
Los ángulos se miden en grados o radianes.
Ejemplos:
1) Pasar 150° a rad
Rad = 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 ∙ 𝜋
180°
Rad = 150° ∙ 𝜋
180°=
15𝜋
18=
5𝜋
6=
5
6𝜋 ≈ 2,62
2) Pasar 45° a rad
Rad = 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 ∙ 𝜋
180°
Rad = 45° ∙ 𝜋
180°=
9
36𝜋 =
3
12𝜋 =
1
4𝜋 =
𝜋
4
Fórmula conversión de grados a radianes.
Rad = 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 ∙ 𝜋
180°
Fórmula conversión de radianes a grados.
Grados = 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 ∙ 180°
𝜋
29
3) Pasar 5𝜋
3 rad a grados.
Grados = 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 ∙ 180°
𝜋
Grados = 5𝜋
3 ∙
180°
1
𝜋=
900𝜋
3
𝜋=
900𝜋
3𝜋
1
=900𝜋∙1
3∙𝜋=
900
3 = 300°
4) Pasar 𝜋
6 rad a grados.
Grados =180
6 = 30°
Un radián puede considerarse como una porción de circunferencia, de medida igual que el
radio.
Ver https://www.youtube.com/watch?v=L5GNg9a_gSc
Ver https://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/radianes.html
Nota: No se debe confundir las medidas longitudinales con las angulares. En la siguiente figura
se muestra una medida longitudinal dada en centímetros y una medida angular en grados.
30
Página 156
1. 13𝜋
9𝑟𝑎𝑑 =
13 ∙ 180
9= 260°
2. −10𝜋
9𝑟𝑎𝑑 =
−10 ∙ 180
9= −200°
3. 450° ⇒ 𝑅𝑎𝑑 =𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 ∙ 𝜋
180=
450 ∙ 𝜋
180=
5𝜋
2𝑟𝑎𝑑
4. − 75° ⇒ Rad =𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 ∙ 𝜋
180
−75 ∙ 𝜋
180=
−15𝜋
36=
−5𝜋
12𝑟𝑎𝑑
5. 10
9 𝑟𝑎𝑑
Grados =𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 ∙ 180
𝜋
Grados =
109 ∙ 180
𝜋
Grados =
109 ∙
1801
𝜋=
10 ∙ 1809 ∙ 1
𝜋=
18009𝜋
=200
𝜋= 67,7°
6. −17𝜋
12𝑟𝑎𝑑 =
−17 ∙ 180
12=
−3060
12= −255°
Otra forma:
Grados =
−17𝜋12 ∙
1801
𝜋=
−3060𝜋12𝜋1
=−3060𝜋
12𝜋=
−3060
12= −255°
7. 330° ⇒ Rad =𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 ∙ 𝜋
180°=
330𝜋
180=
11
6𝜋 𝑟𝑎𝑑
8. 19𝜋
12𝑟𝑎𝑑 =
19 ∙ 180
12=
3420
12= 285°
Ejercicio adicional: Calcular 1 radián en grados
Grados =𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 ∙ 180
𝜋
Grados =1 ∙ 180
𝜋≈ 57,3°
31
Medidas de ángulos y lados en un triángulo rectángulo.
Observe la siguiente figura, en la cual hay un ángulo agudo denotado con 𝛼.
A partir de los catetos, la hipotenusa y un ángulo agudo, se definen tres fracciones llamadas
razones trigonométricas.
Las razones trigonométricas principales se llaman: Seno, coseno y tangente. Las cuales se
definen así.
Seno de 𝛼 es igual al cateto opuesto a 𝛼 entre la hipotenusa.
Coseno de 𝛼 es igual al cateto adyacente a 𝛼 entre la hipotenusa.
Tangente de 𝛼 es igual al cateto opuesto a 𝛼 entre el cateto adyacente a 𝛼.
Los símbolos de seno de 𝛼, coseno de 𝛼 y tangente de 𝛼, son:
𝑆𝑒𝑛(𝛼), 𝐶𝑜𝑠(𝛼) y 𝑇𝑎𝑛(𝛼)
En resumen, tenemos que:
𝑆𝑒𝑛(𝛼) =𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎=
𝑎
𝑐
𝐶𝑜𝑠(𝛼) =𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎=
𝑏
𝑐
𝑇𝑎𝑛(𝛼) =𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒=
𝑎
𝑏
Del triángulo tenemos que:
𝑐 es la hipotenusa
𝑎 es el cateto opuesto a 𝛼
𝑏 es el cateto adyacente a 𝛼
32
Ejemplos:
1. De acuerdo con el siguiente triángulo calcule las medidas de 𝑥, 𝑦.
Solución:
𝑆𝑒𝑛(63°) =𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑆𝑒𝑛(63°) =𝑥
𝑦
0,891 =𝑥
𝑦
Esta ecuación no es útil, pues tiene dos incógnitas.
Probamos ahora con coseno y tangente.
𝐶𝑜𝑠(𝛼) =𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝐶𝑜𝑠(63°) =5√7
𝑦
𝑦 ∙ 𝐶𝑜𝑠(63°) = 5√7
𝑦 ∙ 0,454 = 5 ∙ 2,6458
𝑦 ∙ 0,454 = 13,229
𝑦 =13,229
0,454= 29,14
𝑇𝑎𝑛(63°) =𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑇𝑎𝑛(63°) =𝑥
5√7
1,963 =𝑥
5√7
1,963 ∙ 5√7 = 𝑥
1,963 ∙ 5 ∙ 2,6458 = 𝑥
25,969 = 𝑥
33
2. De acuerdo con el siguiente triángulo calcular la medida de 𝑥.
Solución:
3. De acuerdo con el siguiente triángulo calcular la medida de 𝑥.
Solución:
Datos:
𝑥 es un cateto opuesto a 50°.
10 es la hipotenusa.
𝑆𝑒𝑛(50°) =𝐶𝑎𝑡 𝑂𝑝
ℎ𝑖𝑝
𝑆𝑒𝑛(50°) =𝑥
10
10 ∙ 𝑆𝑒𝑛(50°) = 𝑥
10 ∙ 0,766 = 𝑥
7,66 = 𝑥
Datos:
𝑥 es un adyacente a 45°.
8 es un cateto opuesto a 45°.
𝑇𝑎𝑛(𝛼) =𝐶𝑎𝑡 𝑂𝑝
𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑𝑦
𝑇𝑎𝑛(45°) =8
𝑥
1 =8
𝑥
1 ∙ 𝑥 = 8
𝑥 = 8
Nota: Recuerde que a ángulos
iguales se oponen lados iguales.
Por tanto sin hacer cálculos, se
obtiene también que 𝑥 = 8.
34
Página 169.
Ejercicio 1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 cm y uno sus ángulos internos
mide 28°, entonces la medida del cateto opuesto a dicho ángulo mide aproximadamente:
Ejercicio 2. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm y uno de los ángulos internos
de dicho triángulo mide 42°, entonces la medida del cateto adyacente a dicho ángulo mide
aproximadamente:
Ejercicio 3. En un triángulo rectángulo se tiene que uno de sus catetos mide 20 cm y el ángulo
interno opuesto a dicho cateto mide 20°. ¿Cuál es la medida del otro cateto?
Solución: Se realiza el procedimiento con cualquiera de los dos triángulos siguientes.
𝑠𝑒𝑛(28°) =𝐶𝑎𝑡 𝑂𝑝
𝐻𝑖𝑝
𝑠𝑒𝑛(28°) =𝑥
20
0,47 =𝑥
20
0,47 ∙ 20 = 𝑥
9,40 = 𝑥
𝐶𝑜𝑠(𝛼) =𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑
𝐻𝑖𝑝
𝐶𝑜𝑠(42°) =𝑥
10
10 ∙ 𝐶𝑜𝑠(42°) = 𝑥
10 ∙ 0,743 = 𝑥
7,43 = 𝑥
35
𝑇𝑎𝑛(𝛼) =𝐶𝑎𝑡 𝑂𝑝
𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑𝑦
𝑇𝑎𝑛(20°) =20
𝑥
𝑥 ∙ 𝑇𝑎𝑛(20°) = 20
𝑥 ∙ 0,364 = 20
𝑥 =20
0,364= 54,95
Página 170.
Ejercicio 4. En el ∆𝐴𝐵𝐶 se tiene que 𝐶 = 90°, 𝐴 = 18° y 𝐴𝐶 = 10 𝑐𝑚, entonces la medida de
la hipotenusa es:
Ejercicio 5. En el ∆𝐴𝐵𝐶 se tiene que 𝐶 = 20°, 𝐴 = 70° y 𝐴𝐶 = 10 𝑐𝑚, entonces el cateto mayor
mide aproximadamente:
Solución: Se puede utilizar tan seno como coseno.
𝐶𝑜𝑠(𝛼) =𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑
𝐻𝑖𝑝
𝐶𝑜𝑠(18°) =10
𝑥
𝑥 ∙ 𝐶𝑜𝑠(18°) = 10
𝑥 ∙ 0,951 = 10
𝑥 =10
0,951= 10,52
𝑆𝑒𝑛(70°) =𝑥
10
10 ∙ 𝑆𝑒𝑛(70°) = 𝑥
10 ∙ 0,94 = 𝑥
9,4 = 𝑥
𝐶𝑜𝑠(20°) =𝑥
10
10 ∙ 𝐶𝑜𝑠(20°) = 𝑥
10 ∙ 0,94 = 𝑥
9,4 = 𝑥
36
Ejercicio 6. En el ∆𝐴𝐵𝐶 se tiene que 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐴 = 40° y 𝐴𝐶 = 10 cm, entonces la
hipotenusa mide aproximadamente:
Ejercicio 7. En un triángulo rectángulo, el cateto mayor mide 40 cm y el ángulo adyacente a
este cateto mide 34°, entonces la hipotenusa mide aproximadamente:
Ejercicio 8. De acuerdo con los datos de la figura, la longitud del segmento AC está dada por:
𝐶𝑜𝑠(40°) =10
𝑥
0,766 =10
𝑥
0,766𝑥 = 10
𝑥 =10
0,766= 13,05
𝐶𝑜𝑠(34°) =
40
𝑥
𝑥 ∙ 𝐶𝑜𝑠(34°) = 40
𝑥 ∙ 0,829 = 40
𝑥 =40
0,829= 48,25
Solución mediante 𝑡𝑎𝑛(40°).
𝑡𝑎𝑛(40°) = 𝐶𝑎𝑡 𝑂𝑝
𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑
𝑡𝑎𝑛(40°) = 24
𝑥
𝑥 ∙ 𝑡𝑎𝑛(40°) = 24
𝑥 = 24
𝑡𝑎𝑛(40°)
Solución mediante 𝑡𝑎𝑛(50°).
𝑡𝑎𝑛(50°) = 𝐶𝑎𝑡 𝑂𝑝
𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑
𝑡𝑎𝑛(50°) = 𝑥
24
24 ∙ 𝑡𝑎𝑛(50°) = 𝑥
Nota: Recuerde que la suma de
los ángulos interno es de 180°
37
Ejercicio 9. De acuerdo con los datos de la figura, la longitud del segmento AB está dada por:
Página 171.
Ejercicio 10. Analice las siguientes proposiciones, de acuerdo con el triángulo adjunto.
De las proposiciones anteriores, ¿cuáles son verdaderas?
Solución: Se debe calcular coseno y tangente, para lo cual es necesario hallar la medida del
cateto adyacente a 𝛼.
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
√62
= 22 + 𝑥2
6 = 4 + 𝑥2
6 − 4 = 𝑥2
√2 = √𝑥2
Solución mediante 𝑡𝑎𝑛(42°).
𝑡𝑎𝑛(42°) = 𝐶𝑎𝑡 𝑂𝑝
𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑
𝑡𝑎𝑛(42°) = 20
𝑥
𝑥 ∙ 𝑡𝑎𝑛(42°) = 20
𝑥 = 20
tan (42°)
Solución mediante 𝑡𝑎𝑛(48°).
𝑡𝑎𝑛(48°) = 𝐶𝑎𝑡 𝑂𝑝
𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑
𝑡𝑎𝑛(48°) = 𝑥
20
20 ∙ 𝑡𝑎𝑛(48°) = 𝑥
i. 3cos(𝛼) = √3 ii. tan(𝛼) = √2
38
√2 = |𝑥|
De acuerdo con la figura tenemos que:
𝑐𝑜𝑠(𝛼) =𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑
𝐻𝑖𝑝=
√2
√6=
√2
√6∙
√6
√6=
√12
6=
2√3
6=
√3
3
Si mandamos el 3 que divide a multiplicar el coseno obtenemos 3cos(𝛼) = √3.
De forma similar calculamos tangente.
tan(𝛼) =Cat Op
𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑=
2
√2=
2
√2∙
√2
√2=
2√2
√4=
2√2
2= √2
Resumiendo tan(𝛼) = √2, con lo cual ambas proposiciones son verdaderas.
Ejercicio 11. Analice las siguientes proposiciones, de acuerdo con el triángulo adjunto.
Solución: Primero se debe calcular el valor de 𝑥 con el Teorema de Pitágoras.
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
√32
= 𝑥2 + 12
√2 = 𝑥
√2 = −𝑥
√2
−1= 𝑥
−√2 = 𝑥
±√2 = 𝑥
i. 3𝑠𝑒𝑛(𝛼) = √6 ii. 𝑡𝑎𝑛(𝛼) − √2 = 0
39
3 = 𝑥2 + 1
3 − 1 = 𝑥2
2 = 𝑥2
√2 = √𝑥2
√2 = |𝑥|
±√2 = 𝑥
Luego se calculan las razones trigonométricas 𝑠𝑒𝑛(𝛼) y 𝑡𝑎𝑛(𝛼).
Respuesta: Ambas proposiciones son verdaderas.
Ejercicio 12. Analice las siguientes proposiciones, de acuerdo con el triángulo adjunto.
Solución: Para las razones trigonométricas deben utilizarse sólo triángulos rectángulos, por lo
tanto este ejercicio se desarrollará utilizando el ∆𝐷𝐵𝐶.
𝑠𝑒𝑛(𝛼) =𝐶𝑎𝑡 𝑂𝑝
𝐻𝑖𝑝
𝑠𝑒𝑛(𝛼) =𝑥
√3
𝑠𝑒𝑛(𝛼) =√2
√3
𝑠𝑒𝑛(𝛼) =√2
√3∙
√3
√3
𝑠𝑒𝑛(𝛼) =√6
3
3𝑠𝑒𝑛(𝛼) = √6
𝑡𝑎𝑛(𝛼) =𝐶𝑎𝑡 𝑂𝑝
𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑
𝑡𝑎𝑛(𝛼) =√2
1
𝑡𝑎𝑛(𝛼) = √2
𝑡𝑎𝑛(𝛼) − √2 = 0
i. 𝐵𝐶 ∙ cos(𝛼) + 𝐷𝐶 = 0 ii. 𝐷𝐶 ∙ tan(𝛼) − 𝐵𝐷 = 0
40
Ejercicio 13. Analice las siguientes proposiciones, de acuerdo con los datos de la figura,
considerando que 3𝑡𝑎𝑛(𝛼) = 4.
Primera proposición.
cos(𝛼) =𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑
𝐻𝑖𝑝
cos(𝛼) =𝐷𝐶
𝐵𝐶
𝐵𝐶 ∙ cos(𝛼) = 𝐷𝐶
𝐵𝐶 ∙ cos(𝛼) − 𝐷𝐶 = 0
La proposición es falsa.
Segunda proposición.
𝑡𝑎𝑛(𝛼) =𝐶𝑎𝑡 𝑂𝑝
𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑
𝑡𝑎𝑛(𝛼) =𝐵𝐷
𝐷𝐶
𝐷𝐶 ∙ 𝑡𝑎𝑛(𝛼) = 𝐵𝐷
𝐷𝐶 ∙ 𝑡𝑎𝑛(𝛼) − 𝐵𝐷 = 0
La proposición es verdadera.
i) 10𝑡𝑎𝑛(𝛼) cos(𝛼) − 8 = 0 ii) 𝑠𝑒𝑛2(𝛼) + cos2(𝛼) = 8
Solución
3𝑡𝑎𝑛(𝛼) = 4
𝑡𝑎𝑛(𝛼) =4
3
𝐶𝑎𝑡 𝑂𝑝
𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑
Observe que en el triángulo el cateto opuesto mide 8 y no 4.
Por lo tanto:
𝑡𝑎𝑛(𝛼) =8
6
𝐶𝑎𝑡 𝑂𝑝
𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑐2 = 82 + 62
𝑐2 = 100
𝑐 = 10
Primera proposición.
10𝑡𝑎𝑛(𝛼) cos(𝛼) − 8 = 0
10 ∙4
3∙
6
10− 8 = 0
10 ∙4
3∙
6
10− 8 = 0
4
3∙ 6 − 8 = 0
24
3− 8 = 0
8 − 8 = 0 Es verdadero.
Segunda proposición.
𝑠𝑒𝑛2(𝛼) + cos2(𝛼) = 8
(8
10)
2
+ (6
10)
2
= 8
82
102+
62
102= 8
64
100+
36
100= 8
64 + 36
100= 8
1 = 8 Es falso.
41
Página 172.
Ejercicio 14. Si 𝛼 es la medida de un ángulo interno de un triángulo rectángulo, tal que
13𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 5, entonces:
i. 13𝑐𝑜𝑠(𝛼) − 12 = 0
ii. 13(𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑡𝑎𝑛𝛼) = 10.
De las proposiciones anteriores, ¿cuáles son verdaderas?
Solución:
De la ecuación 13𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 5, obtenemos que:
Para la primera proposición es necesario
conocer el valor del coseno, por lo tanto
necesitamos calcular x.
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
132 = 52 + 𝑥2
169 = 25 + 𝑥2
169 − 25 = 𝑥2
144 = 𝑥2
√144 = √𝑥2
12 = 𝑥
𝑐𝑜𝑠(𝛼) =𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑜𝑠(𝛼) =12
13
Ahora verificamos si se cumple la proposición.
13𝑐𝑜𝑠(𝛼) − 12 = 0
13 ∙12
13− 12 = 0
12 − 12 = 0
Por lo tanto la proposición es cierta.
Segunda proposición.
13(𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑡𝑎𝑛𝛼) = 10.
13 (𝐶𝑎𝑡 𝑂𝑝
𝐻𝑖𝑝+
𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑𝑦
𝐻𝑖𝑝∙
𝐶𝑎𝑡 𝑂𝑝
𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑) = 10
13 (5
13+
12
13∙
5
12) = 10
13 (5
13+
5
13) = 10
13 (10
13) = 10
10 = 10
La segunda proposición es verdadera.
𝑠𝑒𝑛(𝛼) =5
13
𝐶𝑎𝑡 𝑂𝑝
𝐻𝑖𝑝
42
Triángulos no rectángulos
En este capítulo se continuará con el estudio de las medidas de lados y ángulos en triángulos,
específicamente en triángulos no rectángulos. Los métodos para realizar estos cálculos se
presentan a continuación.
Triángulos rectángulos.
Pitágoras. (Si tenemos dos lados de medidas conocidas)
Razones trigonométricas. (Si tenemos un lado y un ángulo de medidas conocidas)
Triángulos no rectángulos.
Ley de senos. (Si tenemos dos ángulos y un lado de medidas conocidas)
Ley de cosenos. (Si tenemos dos lados y un ángulo de medidas conocidas)
Ley de senos: Considere el triángulo no rectángulo como el que aparece en la figura.
La ley de senos establece que se cumple la siguiente doble igualdad.
𝑎
𝑠𝑒𝑛(𝛼) =
𝑏
𝑠𝑒𝑛(𝛽) =
𝑐
𝑠𝑒𝑛(𝛾)
Ejemplo 1: De acuerdo con las medidas del triángulo siguiente, calcular el valor de 𝛼, a y c.
Posteriormente se plantean las tres fracciones de la ley de senos.
Para calcular 𝛼 se toma en cuenta que la suma de
los ángulos internos es de 180°. Por lo tanto 𝛼 debe
medir 80°
43
𝑎
𝑠𝑒𝑛(𝛼) =
𝑏
𝑠𝑒𝑛(𝛽) =
𝑐
𝑠𝑒𝑛(𝛾)
𝑎
𝑠𝑒𝑛(𝛼) =
25
𝑠𝑒𝑛(40°) =
𝑐
𝑠𝑒𝑛(60°)
Existen varias formas para obtener 𝑎 y 𝑐, si elegimos las dos últimas fracciones para formar una
ecuación obtendremos el valor de 𝑐.
25
𝑠𝑒𝑛(40°)=
𝑐
𝑠𝑒𝑛(60)
25𝑆𝑒𝑛(60°) = 𝑠𝑒𝑛(40°) ∙ 𝑐
25𝑆𝑒𝑛(60°)
𝑠𝑒𝑛(40°)= 𝑐
25 ∙ 0,866
0,643= 𝑐
21,65
0,643= 𝑐
33,67 = 𝑐
Para calcular 𝑎 se puede elegir las dos primeras fracciones o la primera y tercera. En el caso de
la primera y tercera se obtiene lo siguiente.
𝑎
𝑠𝑒𝑛(80°)=
33,67
𝑠𝑒𝑛(60)
𝑎 ∙ 𝑆𝑒𝑛(60°) = 𝑠𝑒𝑛(80°) ∙ 33,67
𝑎 =33,67𝑆𝑒𝑛(80°)
𝑠𝑒𝑛(60°)
𝑎 =33,67 ∙ 0,985
0,866
𝑎 =33,16
0,866
𝑎 = 38,3
Por lo tanto 𝑎 = 38,3 𝛼 = 60° 𝑐 = 33,67
44
Ejemplo 2: De acuerdo con las medidas del triángulo siguiente, calcular el valor de 𝑥 y 𝑦.
Solución:
𝑦 = 60°, pues los ángulos internos suman 180°.
Las tres fracciones de la ley de senos quedan de la siguiente forma:
28
𝑠𝑒𝑛(50°)=
31,65
𝑠𝑒𝑛(60°)=
𝑥
𝑠𝑒𝑛(70°)
Para calcular x se puede elegir entre usar la primera fracción con la tercera, o la segunda con la
tercera. Se presenta a continuación ambos casos.
Por lo tanto el valor de x es aproximadamente 34,35 cm
28
𝑠𝑒𝑛(50°)=
𝑥
𝑠𝑒𝑛(70°)
28𝑠𝑒𝑛(70°) = 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛(50°)
28 ∙ 𝑠𝑒𝑛(70°)
𝑠𝑒𝑛(50°)= 𝑥
28 ∙ 0,94
0,766= 𝑥
26,32
0,766= 𝑥
34,36 = 𝑥
31,65
𝑠𝑒𝑛(60°)=
𝑥
𝑠𝑒𝑛(70°)
31,65 ∙ 𝑠𝑒𝑛(70) = 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛(60°)
31,65 ∙ 𝑠𝑒𝑛(70)
𝑠𝑒𝑛(60°)= 𝑥
31,65 ∙ 0,94
0,866= 𝑥
29,751
0,866= 𝑥
34,35 = 𝑥
45
Práctica.
Página 201. Para cada triángulo se dan tres datos, halle el valor de x en cada caso.
Ejercicio 1a.
Solución.
Los ángulos cuyas medidas faltan son de 50°, pues a lados iguales se oponen ángulos iguales.
Posteriormente se plantea la ley de senos.
10
𝑠𝑒𝑛(50°)=
𝑥
𝑠𝑒𝑛(80°)=
10
𝑠𝑒𝑛(50°)
Se elige una igualdad que permita obtener el valor de 𝑥.
10
𝑠𝑒𝑛(50°)=
𝑥
𝑠𝑒𝑛(80°)
10 ∙ 𝑠𝑒𝑛(80°) = 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛(50°)
10 ∙ 𝑠𝑒𝑛(80°)
𝑠𝑒𝑛(50°)= 𝑥
10 ∙ 0,985
0,766= 𝑥
9,85
0,766= 𝑥
12,86 = 𝑥
46
Ejercicio 1b.
Solución: Se procede primero a distinguir cuáles ángulos son los de igual medida. La siguiente
figura es de ayuda para saber que el ángulo C y B miden igual.
Se procede a plantear la ley de senos.
12
𝑠𝑒𝑛(50°)=
𝑥
𝑠𝑒𝑛(80°)=
12
𝑠𝑒𝑛(50°)
Se elige una igualdad que permita obtener el valor de 𝑥.
12
𝑠𝑒𝑛(50°)=
𝑥
𝑠𝑒𝑛(80°)
12 ∙ 𝑠𝑒𝑛(80°) = 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛(50°)
12 ∙ 𝑠𝑒𝑛(80°)
𝑠𝑒𝑛(50°)= 𝑥
12 ∙ 0,985
0,766= 𝑥
11,82
0,766= 𝑥
15,43 = 𝑥
47
Ejercicio 1c.
Solución: El ángulo faltante mide 76°
Se plantea la ley de senos.
16
𝑠𝑒𝑛(76°)=
𝑥
𝑠𝑒𝑛(72°)=
𝑦
𝑠𝑒𝑛(32°)
Se procede a resolver la siguiente ecuación para obtener 𝑥.
16
𝑠𝑒𝑛(76°)=
𝑥
𝑠𝑒𝑛(72°)
16 ∙ 𝑠𝑒𝑛(72°) = 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛(76°)
16 ∙ 𝑠𝑒𝑛(72°)
𝑠𝑒𝑛(76°)= 𝑥
16 ∙ 0,951
0,97= 𝑥
15,216
0,97= 𝑥
15,69 = 𝑥
48
Ley de cosenos.
La ley de cosenos establece que la medida del cuadrado de un lado 𝑥 de un triángulo es igual a
la suma de los cuadrados de los dos lados restantes, menos el doble del producto de dichos
lados por el coseno del ángulo comprendido entre esos lados.
Ejemplo
𝑥2 = 𝑏2+𝑐2 − 2𝑏𝑐 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝐴)
𝑥2 = 𝑏2+𝑐2 − 2𝑏𝑐 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝐴)
𝑥2 = 142+122 − 2 ∙ 14 ∙ 12 ∙ 𝐶𝑜𝑠(40°)
𝑥2 = 196 + 144 − 336 ∙ 𝐶𝑜𝑠(40°)
𝑥2 = 196 + 144 − 336 ∙ 0,766
𝑥2 = 196 + 144 − 257,376
𝑥2 = 82,63
√𝑥2 = √82,63
𝑥 = 9,09
Resolver primero el
producto.
49
Página 204 ejercicio 11
AB=?
Solución: La ley de senos no sirve, pues no tenemos la medida de dos ángulos.
Resolver el ejercicio 12 (página 205) AC=?
𝑥2 = 𝑏2+𝑐2 − 2𝑏𝑐 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝐴)
𝑥2 = 52+ 82 − 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ 𝐶𝑜𝑠(60°)
𝑥2 = 25 + 64 − 80 ∙ 𝐶𝑜𝑠(60°)
𝑥2 = 25 + 64 − 80 ∙ 0,5
𝑥2 = 25 + 64 − 40
√𝑥2 = √49
𝑥 = 7
𝑥2 = 𝑏2+𝑐2 − 2𝑏𝑐 ∙ 𝐶𝑜𝑠(𝐴)
𝑥2 = 102+102 − 2 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 𝐶𝑜𝑠(120°)
𝑥2 = 100 + 100 − 200 ∙ 𝐶𝑜𝑠(120°)
𝑥2 = 100 + 100 − 200 ∙ −0.5
𝑥2 = 100 + 100 + 100
𝑥2 = 300
√𝑥2 = √300
𝑥 = 10√3
𝑥 ≈ 17,32
50
Ángulos de elevación y depresión
Suponga que una persona de 1,8 m de altura está sobre la azotea de un edificio de 16m de altura,
y logra divisar una caja en el suelo con un ángulo de depresión de 38°. ¿A cuánta distancia está
la caja de la base del edificio?
Solución
𝑡𝑎𝑛(52) =𝑥
17,8
17,8 ∙ 𝑡𝑎𝑛(52) = 𝑥
17,8 ∙ 1,28 = 𝑥
22,784 = 𝑥
R/ La caja está a 22,78 metros de la base del edificio.
51
Autoevaluación 18-1.
1) De acuerdo con los datos en la figura adjunta, ¿cuál es el valor aproximado de 𝑥?
2) De acuerdo con los datos en la figura adjunta, ¿cuál es el valor aproximado de 𝑥?
3) De acuerdo con los datos de la figura, si desde el punto A se observa el punto B, con un
ángulo de depresión de 48°, entonces, ¿cuál es aproximadamente la distancia entre los puntos
A y M?
tan (32°) =𝑥
40
40 ∙ tan (32°) = 𝑥
40 ∙ 0,625 = 𝑥
25 = 𝑥
SOHCAHTOA
𝑆𝑒𝑛(36°) =𝑥
40
𝑆𝑒𝑛(36°) ∙ 40 = 𝑥
0,588 ∙ 40 = 𝑥
23,52 = 𝑥
tan (48°) =𝑂𝑝
𝐴𝑑
tan (48°) =𝑥
52
1,11 ∙ 52 = 𝑥
57,77 = 𝑥
tan (58°) =40
𝑥
𝑥 ∙ tan (58°) = 40
𝑥 =40
tan (58°)= 25
SOHCAHTOA
𝐶𝑜𝑠(54°) =𝑥
40
40 ∙ 𝐶𝑜𝑠(54°) = 𝑥
40 ∙ 0,588 ∙= 𝑥
23,52 = 𝑥
52
Solución:
4) De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es la medida aproximada de 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ?
5) De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es la medida aproximada de 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ?
6) De acuerdo con los datos de la figura, si desde el punto A se observa el punto B, con ángulo
de elevación de 36°, entonces, ¿cuál es aproximadamente la distancia entre los puntos A y C?
𝐶𝑜𝑠(𝛼) =𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑
𝐻𝑖𝑝
𝐶𝑜𝑠(62°) =6
𝑥
𝑥 ∙ 0,470 = 6
𝑥 =6
0,470= 12,77
𝐶𝑜𝑠(𝛼) =𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑
𝐻𝑖𝑝
𝐶𝑜𝑠(62°) =𝑥
12
12 ∙ 𝐶𝑜𝑠(62°) = 𝑥
12 ∙ 0,469 = 𝑥
5,63 = 𝑥
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 5,63 + 5,63 = 11,26
𝐶𝑜𝑠(36°) =𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑
𝐻𝑖𝑝
𝐶𝑜𝑠(36°) =𝑥
42
42 ∙ 0,809 = 𝑥
33,98 = 𝑥
53
7. De acuerdo con los datos de la figura, si desde el punto A se observan los puntos C y B, con
ángulos de elevación de 28° y 34° respectivamente, entonces, ¿cuál es aproximadamente la
distancia entre los puntos B y C?
𝑥 = 𝑧 − 𝑦
𝐵𝐶 = 𝑥 = 16,19 − 12,76 = 3,43
Otra forma de resolver el ejercicio, mediante ley de senos, con el triángulo ABC.
SOHCAHTOA con el ∆𝐴𝐶𝐷
𝑡𝑎𝑛(28°) =𝐶𝑎𝑡 𝑂𝑝
𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑
𝑡𝑎𝑛(28°) =𝑦
24
24𝑡𝑎𝑛(28°) = 𝑦
12,76 = 𝑦
SOHCAHTOA con el ∆𝐴𝐵𝐷
𝑡𝑎𝑛(34°) =𝐶𝑎𝑡 𝑂𝑝
𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑
𝑡𝑎𝑛(34°) =𝑧
24
24𝑡𝑎𝑛(34°) = 𝑧
16,19 = 𝑧
SOHCAHTOA para calcular AC, usando el ∆𝐴𝐶𝐷
𝐶𝑜𝑠(28°) =𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑𝑦
𝐻𝑖𝑝
𝐶𝑜𝑠(28°) =24
𝐴𝐶
𝐴𝐶 ∙ 𝑐𝑜𝑠(28°) = 24
𝐴𝐶 =24
𝑐𝑜𝑠(28°)= 27,18
𝐴𝐶
Ley de senos en el triángulo ACB
𝑥
𝑠𝑒𝑛(6°)=
27,18
𝑠𝑒𝑛(56)
𝑥𝑠𝑒𝑛(56°) = 𝑠𝑒𝑛(6°) ∙ 27,18
𝑥 =𝑠𝑒𝑛(6°) ∙ 27,18
𝑠𝑒𝑛(56°)
𝑥 =0,105 ∙ 27,18
0,829= 3,44
54
8) Encuentre la altura de un edificio, el cual proyecta una sombra de 30 m, cuando el ángulo de
elevación, desde el extremo de la sombra, hasta la visual dirigida hacia un punto que está en lo
más alto del edificio, es de 28°.
9) Desde lo alto de un edificio, cuya altura es de 60m, se ve un objeto con un ángulo de
depresión de 24°, ¿a qué distancia está el objeto del edificio?
10) Desde lo alto de la torre de Pisa, se deja caer una piedra, esta recorre 55,47 metros y cae
en un punto que está a 4,27 metros del pie de la torre, ¿cuál es el ángulo de inclinación de la
torre de Pisa?
𝑡𝑎𝑛(𝑥) =55,47
4,27
𝑡𝑎𝑛(𝑥) = 12,99
𝑥 = 85°
𝑡𝑎𝑛(28°) =𝑥
30
30𝑡𝑎𝑛(28°) = 𝑥
15,95 = 𝑥
La altura es de 15,95 metros.
𝑡𝑎𝑛(66°) =𝑥
60
60 ∙ 𝑡𝑎𝑛(66°) = 𝑥
60 ∙ 2,25 = 𝑥
135 = 𝑥
𝑡𝑎𝑛(30°) =𝐶𝑎𝑡 𝑂𝑝
𝐶𝑎𝑡 𝐴𝑑𝑦
𝑡𝑎𝑛(30°) =𝑥
10
10 ∙ 0,577 = 𝑥
5,77 = 𝑥
55
11) La escalera de un carro de bomberos puede extenderse una longitud máxima de 40 m,
cuando se levanta con un ángulo máximo de 62° y la base de la escalera se coloca en el camión
a 2 metros sobre el suelo. ¿Cuánta altura podrá alcanzar la escalera?
12) Desde un avión que está volando a una altura de 1600 metros, sobre el océano; se observa
una costa, el ángulo de depresión de la costa es de 20°, ¿a qué distancia, horizontal, está el
avión de la costa?
13) Un edificio se levanta sobre un plano horizontal; el ángulo de elevación en cierto punto del
plano es de 30° y en un punto situado a 24 metros más cerca del edificio es de 45°. ¿Cuál es la
altura del edificio?
𝑠𝑒𝑛(62°) =𝐶𝑎𝑡 𝑂𝑝
𝐻𝑖𝑝
𝑠𝑒𝑛(62°) =𝑥
40
40𝑠𝑒𝑛(62°) = 𝑥
35,32 = 𝑥
Altura de la escalera con respecto al
suelo 37,32 metros.
𝑡𝑎𝑛(70°) =𝑥
1600
1600 ∙ 𝑡𝑎𝑛(70°) = 𝑥
1600 ∙ 2,75 = 𝑥
4400 = 𝑥
56
R/ La altura del edificio es de 32,79 metros aproximadamente.
14) Un avión sube formando un ángulo de 18°, con una velocidad constante de 38 km por
hora. ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a una altura de 12 km?
Tiempo para llegar a 𝑥 = 12 km.
𝑦
𝑠𝑒𝑛(30°)=
24
𝑠𝑒𝑛(15°)
𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛(15°) = 24 ∙ 𝑠𝑒𝑛(30)
𝑦 =24 ∙ 𝑠𝑒𝑛(30)
𝑠𝑒𝑛(15)
𝑦 =24 ∙ 0,5
0,2588
𝑦 =12
0,2588
𝑦 = 46,37
Triángulo gris.
𝑆𝑒𝑛(45°) =𝑥
𝑦
𝑆𝑒𝑛(45°) =𝑥
46,37
46,37 ∙ 𝑆𝑒𝑛(45°) = 𝑥
46,37 ∙ 0,7071 = 𝑥
32,79 = 𝑥
𝑡𝑎𝑛(30) =𝑥
24+𝑧 𝑡𝑎𝑛(45°) =
𝑥
𝑧
(24 + 𝑧)𝑡𝑎𝑛(30) = 𝑥 𝑧 ∙ 𝑡𝑎𝑛(45°) = 𝑥
(24 + 𝑧) ∙ 0,577 = 𝑥 𝑧 ∙ 1 = 𝑥
13,85 + 0,577𝑧 = 𝑥
13,85 + 0,577𝑧 = 𝑧
−𝑧 + 0,577𝑧 = −13,85
−0,423𝑧 = −13,85
𝑧 =−13,85
−0,423= 32,74
𝑧 = 𝑥
32,74 = 𝑥
13,85 + 0,577𝑧 = 𝑥
13,85 + 0,577 ∙ 32,74 = 𝑥
32,74 = 𝑥
𝑠𝑒𝑛(18°) =𝑥
38
38𝑠𝑒𝑛(18°) = 𝑥
11,74 = 𝑥
Cuando lleva una hora ha subido 11,74 Km.
57
Regla de tres.
Km horas
11,74 1
12 x
11,74
12=
1
𝑥
11,74 ∙ 𝑥 = 12 ∙ 1
𝑥 =12 ∙ 1
11,74= 1,02
En 1,02 horas el avión llega a 12 km de altura.
15) Dos hombres, quienes tienen 2 metros de estatura, están en una plaza, separados por una
distancia de 100 metros, observan un globo en el cielo, situado entre ambos, los respectivos
ángulos de elevación son 58° y 34°. Calcular la altura del globo.
𝑡𝑎𝑛(34°) =𝑂𝑝
𝐴𝑑
𝑡𝑎𝑛(34°) =𝑎
𝑥
𝑥 ∙ 𝑡𝑎𝑛(34°) = 𝑎
𝑥 ∙ 0,675 ∙ = 𝑎
0,675𝑥 = 𝑎
𝑡𝑎𝑛(58°) =𝑂𝑝
𝐴𝑑
𝑡𝑎𝑛(58°) =𝑎
100 − 𝑥
(100 − 𝑥) ∙ 𝑡𝑎𝑛(58°) = 𝑥
100 ∙ tan(58°) − 𝑥 ∙ tan (58°) = 𝑎
160,03 − 1,6𝑥 = 𝑎
100
𝑠𝑒𝑛(88°)=
𝐷𝐶
𝑆𝑒𝑛(58°)
100 ∙ 𝑠𝑒𝑛(58°) = 𝐷𝐶 ∙ 𝑠𝑒𝑛(88°)
100 ∙ 𝑠𝑒𝑛(58°)
𝑠𝑒𝑛(88°)= 𝐷𝐶
84,86 = 𝐷𝐶
𝑠𝑒𝑛(34°) =𝑎
84,86
84,86𝑠𝑒𝑛(34°) = 𝑎
47,45 = 𝑎
Altura del globo 49,45 m.
58
𝑎 = 𝑎
160,03 − 1,6𝑥 = 0,675𝑥
160,03 = 0,675𝑥 + 1,6𝑥
160,03 = 2,275𝑥
160,03
2,275= 𝑥
70,34 = 𝑥
Como
0,675𝑥 = 𝑎
Entonces
0,675 ∙ 70,34 = 𝑎
47,48 = 𝑎
La altura a la que está el globo es de 49,48 m
𝑎 = 𝑎
160,03 − 1,6𝑥 = 0,675𝑥
−0,675𝑥 − 1,6𝑥 = −160,03
−2,275𝑥 = −160,03
𝑥 =−160,03
−2,275= 70,34
Para calcular a se usa 0,675𝑥 = 𝑎 o bien 160,03 − 1,6𝑥 = 𝑎.
0,675𝑥 = 𝑎
0,675 ∙ 70,34 = 𝑎
50,18 = 𝑎
Como se debe sumar la altura de los hombres, entonces el globo está a 52,18 metros de altura.
59
Geometría: Pirámide.
Existen diferentes versiones que dan origen a la palabra “pirámide”, provenientes del griego,
egipcio y hebreo. Para los hebreos pirámide significaba “la cripta de los muertos”, para los
egipcios y griegos “medida del fuego”, por su similitud a las hogueras.
Una pirámide es un poliedro limitado por un polígono en la base y triángulos en las caras
laterales. Las partes de las pirámides son las siguientes:
Sección plana en las pirámides.
Una sección plana corresponde a la superficie resultante de la intersección de un plano con
una pirámide.
En el enlace https://www.youtube.com/watch?v=005wVqSvBj8 podrá ver diferentes secciones
planas.
Problemas sobre secciones planas.
1) Una pirámide de base cuadrada, cuya área de la base es de 36 𝑐𝑚2 y de altura 5 cm, es cortada
con un plano paralelo a la base a una altura de 4 cm de la base. Calcule el área de la región de
corte.
Ap = Apotema de la pirámide.
H = Altura.
a = apotema de la base.
60
Con el área de 36 𝑐𝑚2 sabemos que cada lado, del cuadrado que forma la base, mide 6 cm y la
apotema de la base mide 3cm.
Posteriormente trazamos un triángulo como el de la figura.
Comparamos las medidas usando que en triángulos semejantes, los lados son proporcionales.
5
1=
3
𝑥
5𝑥 = 3
𝑥 =3
5= 0,6
Cada lado del cuadrado de la sección plana mide 0.6 ∙ 2 = 1,2, entonces el cuadrado tiene área
1,22 = 1.44
R/ 1.44 𝑐𝑚2
61
Problema 2.
Una pirámide de base cuadrada, cuya área de la base es de 49 𝑐𝑚2 y de altura 10 cm, es cortada
con un plano paralelo a la base a una altura de 6 cm de la base. Calcule el área de la región de
corte.
𝐴𝑏 = 49
𝑙2 = 49
√𝑙2 = √49
𝑙 = 7
Apotema de la base mide 3,5.
10
4=
3.5
𝑥
10𝑥 = 3,5 ∙ 4
10𝑥 = 14
𝑥 =14
10= 1,4
Cada lado del cuadrado de corte mide 2,8.
R/ El área de corte mide 2.82 = 7,84 𝑐𝑚2
62
Problema 3.
Una pirámide de base cuadrada, cuya área de la base es de 81 𝑐𝑚2 y de apotema 36 cm, es
cortada con un plano paralelo a la base a una altura de 2 cm de la base. Calcule el área de la
región de corte.
𝐴𝑏 = 81
𝑙2 = 81
√𝑙2 = √81
𝑙 = 9
Apotema de la base mide 4,5. (Segmento en azul)
Sacar la altura de la pirámide, mediante Pitágoras.
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
362 = 4,52 + 𝑏2
1296 − 20,25 = 𝑏2
√1275,75 = √𝑏2
35,72 = 𝑏
Ecuación.
35,72
33,72=
4,5
𝑥
35,72𝑥 = 4,5 ∙ 33,72
35,72𝑥 = 151,74
𝑥 =151,74
35,72= 4,25
Cada lado del cuadrado de corte mide 8,5.
R/ El área de corte mide 8,52 = 71,25𝑐𝑚2
63
Problema 4.
Una pirámide de base cuadrada, cuya área de la base es de 121 𝑐𝑚2 y de apotema 8 cm, es
cortada con un plano paralelo a la base a una altura de 4 cm de la base. Calcule el área de la
región de corte.
𝐴𝑏 = 121
𝑙2 = 121
𝑙 = 11
La mitad de cada lado es 5,5, por eso la apotema de la base mide 5,5 cm
El cuadrado de corte mide 3,422 = 11,7 𝑐𝑚2
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
82 = 5.52 + 𝑏2
64 = 30,25 + 𝑏2
64 − 30,25 = 𝑏2
33,75 = 𝑏2
√33,75 = √𝑏2
5,81 = 𝑏
La altura de la pirámide es 5,81
cm
En dos o más triángulos semejantes, los lados son proporcionales.
𝐻
ℎ=
𝐵
𝑏
5,81
1,81=
5,5
𝑥
5,81𝑥 = 5,5 ∙ 1,81
5,81𝑥 = 9,96
𝑥 =9,96
5,81= 1,71
Cada lado del cuadrado de corte mide 3,42
64
Problema 5.
Una pirámide de base cuadrada, cuya área de la base es de 169 𝑐𝑚2 y de altura 20 cm, es cortada
con un plano paralelo a la base a una altura de 10 cm de la base.
a) Calcule el área de la región de corte.
b) Calcule la apotema de la pirámide.
c) Calcule la medida de cada arista lateral.
𝐴𝑏 = 169
𝑙2 = 169
√𝑙2 = √169
𝑙 = 13
𝑂𝐴 = 6,5
En dos o más triángulos semejantes, los lados son
proporcionales.
𝐻
ℎ=
𝐵
𝑏
20
10=
6,5
𝑥
20𝑥 = 6,5 ∙ 10
20𝑥 = 65
𝑥 =65
20= 3,25
Cada lado del cuadrado de corte mide 6,5
Área de corte mide 6,52 = 42,25
65
b) Apotema de la pirámide.
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝐴𝑝2 = 202 + 6,52
𝐴𝑝2 = 400 + 42,25
𝐴𝑝2 = 442,25
√𝐴𝑝2 = √442,25
𝐴𝑝 = 21,03
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑐2 = 21,032 + 6,52
𝑐2 = 442,26 + 42,25
𝑐2 = 484,51
√𝑐2 = √484,51
𝑐 = 22
66
Función lineal
Problema: Suponga que una persona decidió tabular el ingreso por las ventas de un cierto
artículo, lo hizo por cada mes, durante un primer semestre, como se muestra a continuación.
Mes Ingreso
Ene 1 300 000
Feb 1 320 000
Mar 1 315 000
Abr 1 325 000
May 1 340 000
Jun 1 345 000
La persona decidió pronosticar las ventas que tendría para agosto del año en curso. Encontró
que para hacerlo podía valerse de las matemáticas y usar funciones.
Observó que el problema consiste en una relación entre dos variables (mes e ingreso). Donde el
mes es una variable independiente y el ingreso una variable dependiente. Además, pudo notar
que la tabla es un claro ejemplo de una función, pues a cada mes le corresponde un único
ingreso.
Dicha información se puede representar con ayuda de una gráfica de Excel o algún otro
programa informático, como Geogebra. Para graficarlo en Excel se deben seguir los siguientes
pasos.
1. Escribir los datos en forma tabular y seleccionar la tabla.
2. Dar clic sobre Insertar, dispersión.
Lo cual dará por resultado una gráfica como la siguiente.
Dominio Codominio
67
Buscar una única línea recta que pase por todos los puntos de la gráfica no es posible. Lo que sí
es posible hacer es buscar la línea recta que mejor se aproxime a todos esos puntos. Para hacer
esto en Excel se debe dar clic derecho sobre algún punto de los formados en la gráfica, luego,
dentro de las opciones desplegadas se debe elegir “agregar línea de tendencia”.
Tanto Excel como Geogebra pueden proporcionar el criterio de la función lineal asociada a la
recta. Para hacerlo en Excel se siguen los siguientes pasos.
1. En el recuadro que surgió tras dar clic sobre agregar línea de tendencia, elegir la opción lineal,
presentar ecuación en el gráfico y presentar valor de R cuadrado.
2. Dar clic sobre el recuadro que contiene la ecuación, posteriormente en la barra de
herramientas se da clic en formato, luego en agregar formato a la selección y en categoría se
elige número.
Con los pasos anteriores deberá tener una gráfica como la siguiente.
68
Vamos a entender la ecuación proporcionada por Excel.
Los puntos de una recta se representan con pares ordenados de la forma (𝑥, 𝑦), donde "𝑥" es
un valor del eje 𝑥, "𝑦" es su correspondiente pareja del eje 𝑦. Todos los puntos de la recta
cumplen la ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. Donde 𝑚 es un valor llamado pendiente y 𝑏 es el valor del eje
𝑦 por donde la recta interseca a dicho eje.
¿Qué es la pendiente de una recta?
Es un número que indica cuántas unidades aumenta la recta en el eje 𝑦 por cada unida que
aumenta en el eje 𝑥. En los ejemplos siguientes se muestran rectas con sus respectivas
pendientes y criterios.
Es así como en los datos proporcionados por Excel, el 8428,57 representa la pendiente de la
recta, mientras que la intersección de la recta con el eje 𝑦 se da en 𝑦 = 1294666,67.
Con ayuda del criterio de la función, podemos dar un aproximado al ingreso para agosto.
Calculando la imagen de 8.
𝑦 = 8428.57𝑥 + 1294666.67
𝑦 = 8428.57 ∙ 8 + 1294666.67
𝑦 = 1 362 095.
Por lo tanto para el mes de agosto las proyecciones muestran un ingreso de 1 362 095.
En el caso del valor de 𝑅2, es llamado coeficiente de correlación, y mide en una escala de 0 a 1
qué tan próximos están los puntos a la recta. Donde 1 significa que todos los puntos están
alineados sobre dicha recta.
69
Es importante aclarar que al sustituir la 𝑥 del criterio por valores del dominio se obtendrá por
resultado valores aproximados a los ingresos reales y no exactamente el ingreso tabulado en el
problema inicial.
Para precisar mejor los resultados y obtener un coeficiente de correlación mayor es necesario
hacer uso de otro tipo de función.
Ecuación canónica de la recta.
Anteriormente vimos que el criterio de una función lineal es de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. La
representación gráfica de una función lineal es una recta. Además por dos puntos 𝐴(𝑥1, 𝑦1) y
𝐵(𝑥2, 𝑦2) pasa una única recta. Esa recta tiene por pendiente la razón de cambio de 𝑦 unidades
con respecto a 𝑥 unidades. Recuerde que una razón es un cociente o fracción.
Mes Ingreso
Ene 1 303 095
Feb 1 311 524
Mar 1 319 952
Abr 1 328 381
May 1 336 810
Jun 1 345 238
Datos a partir del criterio
Mes Ingreso
Ene 1 300 000
Feb 1 320 000
Mar 1 315 000
Abr 1 325 000
May 1 340 000
Jun 1 345 000
Datos del problema
70
Observe cómo la pendiente de la recta coincide con la tangente del ángulo formado por la recta
y el eje 𝑥.
Para calcular 𝑏 se puede partir de 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. Al despejar se obtiene:
𝑦 − 𝑚𝑥 = 𝑏
Donde m es la pendiente, 𝑥 e 𝑦 son las coordenadas de algún punto de la recta.
Ejemplo: Determinar la ecuación canónica de la recta que aparece en la figura siguiente.
La ecuación canónica de la recta es 𝑦 =3
5𝑥 +
14
5.
Ecuación general de la recta.
La ecuación general de la recta es de la forma 𝐴𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
En el ejemplo anterior se tiene por ecuación canónica a 𝑦 =3𝑥
5+
14
5. Al sumar las fracciones se
obtiene:
𝑦 =3𝑥 + 14
5
Al pasar 5 a multiplicar e igual a cero la ecuación se obtiene la ecuación general.
5𝑦 = 3𝑥 + 14
−3𝑥 + 5𝑦 − 14 = 0
Intersecciones con los ejes de coordenadas.
Las intersecciones son puntos, por tanto se representan con pares ordenados (𝑥, 𝑦).
Toda intersección con el eje x es de la forma (𝑎, 0) y toda intersección con el eje y es de la
forma (0, 𝑏). Con 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
En el ejemplo siguiente se muestra una gráfica con sus respectivas intersecciones.
Solución:
𝐴(2,4) y 𝐵(−3,1).
𝐴(𝑥1, 𝑦1) y 𝐵(𝑥2, 𝑦2)
𝑚 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1=
1 − 4
−3 − 2=
−3
−5=
3
5
𝑏 = 𝑦 − 𝑚𝑥 ⇒ 𝑏 = 4 −3
5∙ 2 ⇒ 𝑏 =
14
5
71
Ejemplo de intersecciones con los ejes de coordenadas.
∩ 𝑥 = (2,0) ∩ 𝑦 = (0,3)
También es posible hallar las intersecciones mediante el criterio de la función.
Considere al función 𝑓: ℝ → ℝ, con 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 2. Determinar las coordenadas de los puntos
de intersección con los ejes.
Intersección con el eje 𝑥.
𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 2
𝑦 = 5𝑥 + 2
0 = 5𝑥 + 2
−2
5= 𝑥
∩ 𝑥 = (−2
5, 0)
Con ayuda de las intersecciones es posible trazar la gráfica de la función.
En general podemos observar a partir de 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, que en toda función lineal la intersección
con el eje 𝑥 está dada por (−𝑏
𝑚, 0), mientras que la intersección con el eje 𝑦 está dada por (0, 𝑏).
Intersección con el eje 𝑦.
𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 2
𝑦 = 5 ∙ 0 + 2
𝑦 = 2
∩ 𝑦 = (0,2)
72
Ejercicios sobre función lineal.
1. Pronosticar el ingreso para septiembre.
Mes(x) Ingreso(y)
Ene 1320000
Feb 1325000
Mar 1322000
Abr 1326000
May 1329000
Jun 1332000
𝑦 = 2171.43𝑥 + 1318066.67
𝑦 = 2171.43 ∙ 9 + 1318066.67
𝑦 = 1 337 609,54
R/Aproximadamente 1 337 610.
y = 2171.43x + 1318066.67 R² = 0.8477
1318000
1320000
1322000
1324000
1326000
1328000
1330000
1332000
1334000
0 1 2 3 4 5 6 7
Ingreso
73
2. Graficar la función 𝑓: ℝ → ℝ, con 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1, con ayuda de las intersecciones.
Intersección con el eje x. Intersección con el eje y.
𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1
𝑦 = −2𝑥 + 1
0 = −2𝑥 + 1
−1 = −2𝑥
−1
−2= 𝑥
1
2= 𝑥
(1
2, 0)
3. Determinar el criterio de la función cuya gráfica es la siguiente.
𝐴(−1,1) y 𝐵(1,3).
𝐴(𝑥1, 𝑦1) y 𝐵(𝑥2, 𝑦2)
𝑚 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1=
3 − 1
1 − −1=
2
2= 1
𝑏 = 𝑦 − 𝑚𝑥 = 1 − 1 ∙ −1 = 2
R/ 𝑦 = 𝑥 + 2
𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1
La imagen de 0.
𝑓(0) = −2 ∙ 0 + 1
𝑓(0) = 1
𝑦 = 1
74
Imágenes y preimágenes.
Dado el criterio. 𝑓(𝑥) = 6𝑥+1
3 Calcule:
La preimagen de −1
2. Me piden la x, se debe formar una ecuación.
−1
2=
6𝑥 + 1
3
−1 ∙ 3 = 2(6𝑥 + 1)
−3 = 12𝑥 + 2
−3 − 2 = 12𝑥
−5
12= 𝑥
R/−5
12
La imagen de 3 en 𝑓(𝑥) = 6𝑥+1
3 es:
𝑓(3) = 6 ∙ 3 + 1
3=
19
3
R/19
3
Criterio.
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1
Calcular la imagen de 120.
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1
𝑓(120) = 120 + 1 = 121 R/121
Calcular la preimagen de 80. Me preguntan por la x.
𝑦 = 𝑥 + 1
80 = 𝑥 + 1
79 = 𝑥 R/79
75
4. Determinar las imágenes y pre-imágenes en cada caso.
a) 𝑓(𝑥) =−2𝑥−2
3 la pre-imagen de
2
3 y la imagen de 3.
Pre-imagen de 2
3.
2
3=
−2𝑥 − 2
3
2 = −2𝑥 − 2
2 + 2 = −2𝑥
4
−2= 𝑥
−2 = 𝑥
La imagen de 1. (Me preguntan por la y)
R/1
La imagen de 2.
R/3
Las pre imágenes de 3. (Me preguntan por
la x)
R/ −3 y 2
La imagen de 1 es 2.
La imagen de 2 es 3.
La imagen de √7 es 3.
La imagen de 100 es 3.
76
La pre-imagen de 2
3 es -2.
La imagen de 3.
𝑦 =−2𝑥 − 2
3
𝑦 =−2 ∙ 3 − 2
3=
−8
3
La imagen de 3 es −8
3
b) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 3 la pre-imagen de −3 y la imagen de 0.
La preimagen de −3
5𝑥 − 3 = −3
5𝑥 = −3 + 3
5𝑥 = 0
𝑥 =0
5= 0
La imagen de 0.
𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 3
𝑓(0) = 5 ∙ 0 − 3 = −3.
c) 𝑓(𝑥) =𝑥
5− 2 la pre-imagen de −
3
4 y la imagen de 5.
−3
4=
𝑥
5− 2
−3
4+ 2 =
𝑥
5
−3
4+
2
1=
𝑥
5
−3 ∙ 1 + 4 ∙ 2
4 ∙ 1=
𝑥
5
5
4=
1𝑥
5
PIIS Preimagen igualar
imagen sustituir
𝑎
𝑏+
𝑐
𝑑=
𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
𝑏𝑑
77
5415
= 𝑥
25
4= 𝑥
La imagen de 5.
𝑓(5) =5
5− 2 = −1
5. Sean 𝐴(−1,2) y 𝐵(3,5) puntos de una función lineal, determine las intersecciones con los
ejes de coordenadas.
𝐴(−1,2) 𝐵(3,5)
𝑚 =𝑦2−𝑦1
𝑥2 − 𝑥1=
5 − 2
3 − −1=
3
4
𝑏 = 𝑦 − 𝑚𝑥
𝑏 = 5 −3
4∙
3
1
𝑏 =5
1−
9
4
𝑏 =5 ∙ 4 − 1 ∙ 9
1 ∙ 4=
11
4
Criterio: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Criterio: 𝑦 =3
4𝑥 +
11
4
Intersección con el eje x.
0 =3
4𝑥 +
11
4
0 −11
4=
3
4𝑥
−11434
= 𝑥
−44
12= 𝑥
−11
3= 𝑥
𝑅/ (−11
3, 0)
Intersección con el eje y.
𝑓(𝑥) =3
4𝑥 +
11
4
𝑓(0) =3
4∙ 0 +
11
4
𝑦 =11
4
𝑅/ (0,11
4)
78
6. Grafique la función identidad. 𝑓(𝑥) = 𝑥
7. Grafique las funciones
a) 𝑓: ℝ → ℝ, con 𝑓(𝑥) =𝑥
2− 4
Intersección con el eje x.
0 =𝑥
2− 4
4 =𝑥
2
4 ∙ 2 = 𝑥
8 = 𝑥
Intersección con el eje y.
𝑓(𝑥) =𝑥
2− 4
𝑓(0) =0
2− 4
𝑓(0) = −4
79
b) 𝑓: [−1,4[ → ℝ, con 𝑓(𝑥) = −2𝑥 − 1
Ejercicio de graficar.
𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 4
Ejercicio de determinar el criterio.
𝐴(5,0) y 𝐵(0,2).
𝐴(𝑥1, 𝑦1) y 𝐵(𝑥2, 𝑦2)
𝑚 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1=
2 − 0
0 − 5=
2
−5=
−2
5
𝑏 = 𝑦 − 𝑚𝑥
𝑏 = 0 −−2
5∙ 5 = 2
R/ 𝑦 =−2
5𝑥 + 2
Intersección en x
0 = −2𝑥 + 4
−4 = −2𝑥
−4
−2= 𝑥
2 = 𝑥 ⋂𝑥 = (2,0)
Intersección en y
𝑦 = −2𝑥 + 4
𝑦 = −2 ∙ 0 + 4
𝑦 = 4
⋂𝑦 = (0,4)
Intersección con el eje x.
0 = −2𝑥 − 1
1 = −2𝑥
1
−2= 𝑥
−1
2= 𝑥
Intersección con el eje y.
𝑓(0) = −2 ∙ 0 − 1
𝑓(0) = −1
80
Práctica para el diagnóstico
1) Una pirámide de base cuadrada, cuya área de la base es de 225 𝑐𝑚2 y de altura 10 cm, es
cortada con un plano paralelo a la base a una altura de 6 cm de la base. Calcule:
a) El área de la región de corte.
𝐴𝑏 = 𝑙2
225 = 𝑙2
√225 = √𝑙2
15 = 𝑙
b) La medida de la apotema de la pirámide.
Medidas
Segmento azul: 7,5 cm
Segmento rojo: 4 cm.
Segmento anaranjado: x cm
El segmento anaranjado se
debe calcular comparando
triángulos semejantes.
4
10=
𝑥
7.5
4 ∙ 7,5 = 10𝑥
30 = 10𝑥
3 = 𝑥
Cada lado del cuadrado de corte es de
medida 6 cm. Su área es 36 𝑐𝑚2
Solución mediante el Teorema de Pitágoras.
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑐2 = 102 + 7.52
𝑐2 = 156,25
√𝑐2 = √156,25
|𝑐| = 12,5
𝑐 = ±12,5
R/ La apotema mide 12,5 cm
81
c) La medida de las aristas laterales.
2. Grafique las funciones siguientes, con ayuda de las intersecciones.
a) 𝑓: ℝ → ℝ, con 𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 2
Intersección con el eje x.
0 = −4𝑥 + 2
−2
−4= 𝑥
1
2= 𝑥
⋂𝑥 = (1
2, 0)
b) 𝑓: [−2,2[ → ℝ, con 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3
Intersección con el eje x.
0 = 2𝑥 + 3
−3
2= 𝑥
−3
2= 𝑥
⋂𝑥 = (−3
2, 0)
Solución mediante el Teorema de Pitágoras.
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
𝑦2 = 12,52 + 7.52
𝑦2 = 212,5
√𝑦2 = √212,5
|𝑦| = 14,58
𝑦 = ±14,58
R/ Cada arista lateral mide 14,58 cm aproximadamente.
Intersección con el eje 𝑦.
⋂𝑦 = (0, 𝑏) = (0,2)
82
Intersección con el eje y.
⋂𝑦 = (0, 𝑏) = (0,3)
3. Determine el criterio de la función cuya gráfico contiene a los puntos 𝐴(2, −1) y 𝐵(4,3).
𝑚 =3 − −1
4 − 2=
4
2= 2
𝑏 = 𝑦 − 𝑚𝑥
𝑏 = 3 − 2 ∙ 4 = −5
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
𝑦 = 2𝑥 − 5
4. Considere la función 𝑓: ℝ → ℝ, con 𝑓(𝑥) =−𝑥+2
5, calcule la imagen de −1 y la preimagen de
−2
3.
Solución de la imagen de −1
𝑓(−1) =− − 1 + 2
5=
3
5
Solución de la preimagen de −2
3
−2
3=
−𝑥 + 2
5
−2 ∙ 5 = 3(−𝑥 + 2)
−10 = −3𝑥 + 6
−10 − 6 = −3𝑥
𝑓(−2) = 2𝑥 + 3 = 2 ∙ −2 + 3 = −1
𝑓(2) = 2𝑥 + 3 = 2 ∙ 2 + 3 = 7
PIIS
Preimagen igualar imagen sustituir
83
−16
−3= 𝑥
16
3= 𝑥
5. En la función 𝑓: ℝ → ℝ, con 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 3, el valor de la pendiente es ___-1_____ y su
monotonía es estrictamente decreciente
6. De acuerdo con la gráfica adjunta, determine:
7. De acuerdo con la siguiente tabla, pronosticar el ingreso para el mes de octubre.
Mes(x) Ingreso(y)
Ene 4520000
Feb 4500000
Mar 4650000
Abr 4600000
May 4700000
Jun 4720000
a) La imagen de 2 __3____
b) La imagen de 4 ___5___
c) La imagen de 100 __5___
d) La preimagen de -1 __-1___
e) ¿Cuántas preimágenes tiene
2? Tiene 2 preimágenes.
84
𝑦 = 44285.71𝑥 + 4460000.00
𝑦 = 44285,71 ∙ 10 + 4460000.00
𝑦 = 4 902 857
y = 44285.71x + 4460000.00R² = 0.82
y = 44286x + 4E+06R² = 0.8182
4450000
4500000
4550000
4600000
4650000
4700000
4750000
0 1 2 3 4 5 6 7
Ingreso(y)
85
Función cuadrática
Es de la forma 𝑓: ℝ → ℝ, con 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0.
Su gráfica es una parábola.
Características
1) Concavidad:
Si 𝑎 > 0, la gráfica es cóncava hacia arriba (figura 1).
Si 𝑎 < 0, la gráfica es cóncava hacia abajo (figura 2).
2) Intersecciones:
⋂ 𝑥 = (𝑥1, 0) ∧ (𝑥2, 0)
𝑥1 ∧ 𝑥2 son las soluciones de 0 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Si △ > 0, la gráfica tiene dos intersecciones con el eje 𝑥.
Si △ = 0, la gráfica tiene una intersección con el eje 𝑥.
Si △ < 0, la gráfica no tiene intersecciones con el eje 𝑥.
⋂ 𝑦 = (0, 𝑐)
3) Vértice:
𝑉 = (−𝑏
2𝑎,− △
4𝑎)
4) Eje de simetría:
𝑥 =−𝑏
2𝑎
5) Ámbito:
Si 𝑎 > 0, 𝐴𝑓 = [−△
4𝑎, +∞[
Si 𝑎 < 0, 𝐴𝑓 = ]−∞,−△
4𝑎]
6) Monotonía:
Si 𝑎 > 0
86
i. 𝑓 es estrictamente creciente en 𝑥 ∈ ]−𝑏
2𝑎, +∞[
ii. 𝑓 es estrictamente decreciente en 𝑥 ∈ ]−∞,−𝑏
2𝑎[
Si 𝑎 < 0
i. 𝑓 es estrictamente creciente en 𝑥 ∈ ]−∞,−𝑏
2𝑎[
ii. 𝑓 es estrictamente decreciente en 𝑥 ∈ ]−𝑏
2𝑎, +∞[
Ejemplos
1. Graficar la función 𝑓: ℝ → ℝ, con 𝑓(𝑥) = −𝑥 − 2 + 𝑥2.
𝑎 = 1 𝑏 = −1 𝑐 = −2
a) Concavidad: Cóncava hacia arriba, pues 𝑎 = 1
b) Intersecciones:
Eje 𝑥, se iguala el criterio a 0.
0 = −𝑥 − 2 + 𝑥2
Solución mediante fórmula general.
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
∆= (−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ −2 = 9
𝑥1 =−𝑏 + √∆
2𝑎
𝑥1 =− − 1 + √9
2 ∙ 1= 2
𝑥2 =−𝑏 − √∆
2𝑎
𝑥2 =− − 1 − √9
2 ∙ 1=
−2
2= −1
∩ 𝑥 = (2,0) ∧ (−1,0)
Eje 𝑦.
∩ 𝑦 = (0, 𝑐) = (0, −2)
87
c) Vértice.
𝑉 = (−𝑏
2𝑎,− △
4𝑎)
𝑉 = (− − 1
2 ∙ 1,
−9
4 ∙ 1) = (
1
2,−9
4) = (0.5, −2.25)
d) Gráfica de la función.
Adicionalmente se puede obtener el eje de simetría, ámbito y monotonía.
e) Eje de simetría: 𝑥 =1
2
f) Ámbito: [−2.25, +∞[ = [−9
4, +∞[
g) Monotonía:
Estrictamente decreciente: ]−∞,1
2[
Estrictamente creciente: ]1
2, +∞[
88
2. Graficar la función 𝑓: ℝ → ℝ de criterio 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 5𝑥 − 2
𝑎 = 3 𝑏 = 5 𝑐 = −2
a) Concavidad: Hacia arriba, pues 𝑎 > 0.
b) Intersecciones.
Eje 𝑥, se iguala a cero el criterio.
0 = 3𝑥2 + 5𝑥 − 2
Fórmula general.
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
∆= 52 − 4 ∙ 3 ∙ −2 = 25 + 24 = 49
𝑥1 =−𝑏 + √∆
2𝑎
𝑥1 =−5 + √49
2 ∙ 3
𝑥1 =−5 + 7
6=
2
6=
1
3
𝑥2 =−𝑏 − √∆
2𝑎
𝑥2 =−5 − √49
2 ∙ 3=
−5 − 7
6=
−12
6= −2
∩ 𝑥 = (1
3, 0) ∧ (−2,0)
Eje y
∩ 𝑦 = (0, 𝑐) = (0, −2)
c) Vértice.
(−𝑏
2𝑎,−∆
4𝑎) = (
−5
2 ∙ 3,−49
4 ∙ 3) = (
−5
6,−49
12) ≈ (−0.83, −4.08)
89
d) Gráfica.
Otras características que se pueden extraer de la función son:
e) Eje de simetría. 𝑥 =−5
6
f) Ámbito. (Se lee en el eje y)
𝐴𝑓 = [−49
12, +∞[
g) Monotonía:
Estrictamente decreciente ]−∞,−5
6[
Estrictamente creciente ]−5
6, +∞[
h) Dominio = ℝ
90
3. 𝑓: ℝ → ℝ , 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 − 6
𝑎 = 2 𝑏 = −1 𝑐 = −6
a) Concavidad: Hacia arriba, pues 𝑎 > 0.
b) Intersecciones.
Eje x.
0 = 2𝑥2 − 𝑥 − 6
Fórmula general.
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
∆= (−1)2 − 4 ∙ 2 ∙ −6 = 1 + 48 = 49
𝑥1 =−𝑏 + √∆
2𝑎
𝑥1 =− − 1 + √49
2 ∙ 2
𝑥1 =1 + 7
4=
8
4= 2
𝑥2 =−𝑏 − √∆
2𝑎
𝑥2 =− − 1 − √49
2 ∙ 2=
1 − 7
4=
−6
4= −
3
2
∩ 𝑥 = (−3
2, 0) ∧ (2,0)
Eje y
∩ 𝑦 = (0, 𝑐) = (0, −6)
c) Vértice.
(−𝑏
2𝑎,−∆
4𝑎) = (
− − 1
2 ∙ 2,−49
4 ∙ 2) = (
1
4,−49
8) = (0.25, −6.125)
91
d) Gráfica.
Otras características de la función cuadrática son:
e) Eje de simetría. 𝑥 =1
4
f) Ámbito. (Se lee en el eje y)
𝐴𝑓 = [−49
8, +∞[
g) Monotonía:
Estrictamente decreciente ]−∞,1
4[
Estrictamente creciente ]1
4, +∞[
h) Dominio = ℝ
92
Gráfica de funciones cuadráticas a partir de transformaciones.
Se usa con criterios de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘.
Se realizan a partir de la gráfica estándar 𝑓(𝑥) = 𝑥2
Y se aplican distintas transformaciones, para “a” se aplica una homotecia, para “h” un
desplazamiento horizontal y para “k” un desplazamiento vertical, tal y como aparece en los
ejemplos siguiente.
1) Graficar 𝑓: ℝ → ℝ, con 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 + 3)2 − 1.
Solución: Partimos de la gráfica de 𝑦 = 𝑥2
Posteriormente la gráfica se debe mover 3 unidades hacia la izquierda para obtener 𝑦 =
(𝑥 + 3)2
Luego se desplaza la gráfica una unidad hacia abajo, con lo cual se tiene la gráfica de 𝑦 =
(𝑥 + 3)2 − 1
93
Finalmente se debe aplicar una homotecia de razón 2 (o bien elongación de 2 unidades). Para
ello basta con obtener dos pares ordenados del gráfico de la función.
𝑥 𝑦 Par ordenado (𝑥, 𝑦)
−1 2(−1 + 3)2 − 1 = 7 (−1,7) −5 2(−5 + 3)2 − 1 = 7 (−5,7)
Por lo tanto la gráfica de 𝑓 queda como aparece en la siguiente figura.
2) Graficar 𝑓: ℝ → ℝ, con 𝑓(𝑥) = 3(𝑥 − 2)2 + 1
Nota: La función tiene su criterio en su forma canónica, pues la fórmula notable no ha sido
desarrollada. Su gráfica se puede realizar mediante transformaciones a partir de la función
estándar 𝑓(𝑥) = 𝑥2.
94
Se desplaza la gráfica 2 unidades hacia la derecha, con lo cual se obtiene 𝑦 = (𝑥 − 2)2.
Posteriormente se realiza un desplazamiento vertical una unidad hacia arriba, con esto se
obtiene la gráfica de 𝑦 = (𝑥 − 2)2 + 1.
Para la homotecia de razón 3 se puede elegir 𝑥 = 1 y 𝑥 = 3, y buscar sus imágenes.
𝑥 𝑦 = 3(𝑥 − 2)2 + 1 Par ordenado (𝑥, 𝑦)
1 3(1 − 2)2 + 1 = 4 (1,4)
3 3(3 − 2)2 + 1 = 4 (3,4)
95
Finalmente se traza la gráfica de la función, como aparece en la siguiente imagen.
3. Graficar 𝑓: ℝ → ℝ, con (𝑥) = 2(𝑥 +1)2 + 3
Solución: Primero se realizan las transformaciones a partir de la gráfica estándar.
Se procede a realizar un desplazamiento de una unidad hacia la izquierda.
Para obtener la gráfica de 𝑦 = (𝑥 + 1)2 + 3 se realiza un desplazamiento vertical 3 unidades
hacia arriba.
96
Con ayuda de la siguiente tabla podemos observar el efecto en la transformación dada por la
homotecia de razón 2. (Elongación de 2 unidades).
𝑥 𝑦 = 2(𝑥 + 1)2 + 3 Par ordenado (𝑥, 𝑦)
1 11 (1,11)
−3 11 (−3,11)
La gráfica de la función es la siguiente.
97
4. Graficar 𝑓: ℝ → ℝ, con 𝑓(𝑥) = 4(𝑥 − 1)2 + 2
Solución: Primero se realizan las transformaciones a partir de la gráfica estándar.
A la gráfica anterior se le realiza un desplazamiento de una unidad hacia la derecha, lo cual
permite obtener la gráfica de 𝑦 = (𝑥 − 1)2.
Posteriormente se realiza un desplazamiento vertical 2 unidades hacia arriba, obteniendo 𝑦 =
(𝑥 − 1)2 + 2
98
Se eligen algunos valores para precisar el efecto que tiene la homotecia de razón 4 a la gráfica.
𝑥 𝑦 = 4(𝑥 − 1)2 + 2 Par ordenado (𝑥, 𝑦)
1 4(−1 − 1)2 + 2 = 18 (−1,18)
−3 4(3 − 1)2 + 2 = 18 (3,18)
La gráfica de la función se muestra en la siguiente imagen.
99
Problemas con función cuadrática
1) Un objeto tiene una trayectoria parabólica modelada por ℎ(𝑡) = −2.45𝑡2 + 21𝑡
2, donde ℎ es
la altura en metros que alcanza sobre el suelo, a los 𝑡 segundos de haberse lanzado.
a) ¿A los cuántos segundos alcanza la altura máxima?
b) ¿Cuál es la altura máxima?
c) ¿A los cuántos segundos se estrella contra el suelo?
Solución.
El movimiento parabólico es como el de la gráfica adjunta.
La solución de la pregunta a) y b) corresponden al vértice. El eje 𝑦 representa la altura y el eje
𝑥 el tiempo.
Vértice = (−𝑏
2𝑎,
−∆
4𝑎)
Tiempo con la altura máxima: 𝑥𝑚𝑎𝑥 =−𝑏
2𝑎 =
− 21
2
2 ∙ −2.45 =
15
7 ≈ 2.14 segundos.
Altura máxima: 𝑦𝑚𝑎𝑥 =−∆
4𝑎 =
− 441
4
4 ∙ −2.45 =
45
4 = 11.25 metros.
Para determinar a los cuántos segundos se estrella contra el suelo, corresponde a plantear la
ecuación con 𝑦 = 0.
ℎ(𝑡) = −2.45𝑡2 + 21𝑡
2
100
𝑦 = −2.45𝑡2 + 21𝑡
2
0 = −2.45𝑡2 + 21𝑡
2
𝑡1 =30
7≈ 4.29
𝑡2 = 0
R/ Vuelve a estar en el suelo a los 4.29 segundos.
2) Cuánto mide el área del rectángulo más grande que se pueda construir con un perímetro de
30 cm.
Solución.
El perímetro del rectángulo tiene por fórmula 𝑃 = 2𝑙 + 2𝑎.
El área es 𝐴 = 𝑙 ∙ 𝑎
Como el perímetro mide 30 cm tenemos que
30 = 2𝑙 + 2𝑎
30 − 2𝑎
2= 𝑙
30
2−
2𝑎
2= 𝑙
15 − 𝑎 = 𝑙
Ahora podemos escribir el área en términos de una sola variable.
𝐴 = 𝑙 ∙ 𝑎
𝐴 = (15 − 𝑎) ∙ 𝑎
𝐴 = 15𝑎 − 𝑎2
De esta forma el área solo depende del ancho.
𝐴(𝑎) = 15𝑎 − 𝑎2
101
El eje 𝑦 tiene como valor máximo −∆
4𝑎.
De acuerdo con el criterio anterior tenemos que
∆ = 152 − 4 ∙ −1 ∙ 0
∆ = 225
El área máxima es −225
4∙−1 = 56.25 𝑐𝑚2
Es posible encontrar también cuál es el largo y el ancho que maximizan el área.
Ancho que maximiza = −𝑏
2𝑎 =
−15
2∙−1 = 7.5 cm
El largo es 𝑙 = 15 − 𝑎 = 15 − 7.5 = 7.5
La figura resultante se trata de un cuadrado. Recuerde que: “Un cuadrado es un rectángulo cuyo
largo y ancho miden igual”.
3) Una bola de tenis se lanza desde la azotea de un edificio, con una altura de 20 metros sobre
el suelo, de manera que la altura t segundos después de haber sido lanzada se modela con la
fórmula ℎ(𝑡) = −4,9𝑡2 + 24,5𝑡 + 20.
a) ¿A qué altura está la bola tres segundos después de haber sido lanzada?
Se debe buscar la imagen de 3.
ℎ(3) = −4,9 ∙ 32 + 24,5 ∙ 3 + 20.
ℎ(3) = −4,9 ∙ 9 + 73,5 + 20.
ℎ(3) = 49,4.
R/ La bola está a 49,4 metros del suelo.
102
b) ¿Cuánto tiempo después la bola está a 39,6 m sobre el suelo?
39,6 = −4,9𝑡2 + 24,5𝑡 + 20
0 = −4,9𝑡2 + 24,5𝑡 + 20 − 39,6
0 = −4,9𝑡2 + 24,5𝑡 − 19,6
𝑎 = −4,9 𝑏 = 24,5 𝑐 = −19,6
Fórmula general.
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
∆= (24,5)2 − 4 ∙ −4,9 ∙ −19,6
∆= 600,25 − −19,6 ∙ −19,6
∆= 600,25 − 384,16
∆= 216,09
𝑡1 =−𝑏 + √∆
2𝑎
𝑡1 =−24,5 + √216,09
2 ∙ −4,9
𝑡1 =−24,5 + 14,7
2 ∙ −4,9=
−24,5 + 14,7
−9,8=
−9,8
−9,8= 1
𝑡2 =−𝑏 − √∆
2𝑎
𝑡2 =−24,5 − √216,09
2 ∙ −4,9
𝑡2 =−24,5 − 14,7
2 ∙ −4,9=
−24,5 − 14,7
−9,8=
−39,2
−9,8= 4
R/ La bola está a 39.6 metros a un segundo de haber sido lanzada y a los 4 segundos.
c) ¿Cuánto tiempo tarda la bola en tocar el suelo?
Se debe encontrar la intersección con el eje 𝑥.
0 = −4,9𝑡2 + 24,5𝑡 + 20
Fórmula general.
𝑎 = −4,9 𝑏 = 24,5 𝑐 = 20
103
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
∆= 24,52 − 4 ∙ −4,9 ∙ 20
∆= 600,25 − −19,6 ∙ 20
∆= 600,25 − −392
∆= 992,25
𝑡1 =−𝑏 + √∆
2𝑎
𝑡1 =−24,5 + √992,25
2 ∙ −4,9
𝑡1 =−24,5 + 31,5
−9,8=
7
−9,8= −0,71
𝑡2 =−𝑏 − √∆
2𝑎
𝑡2 =−24,5 − √992,25
2 ∙ −4,9
𝑡2 =−24,5 − 31,5
−9,8=
−56
−9,8= 5,71
R/ La bola toca el suelo a los 5,71 segundos.
d) ¿Cuánto tiempo tarda la bola en llagar a su altura máxima?
Solución: Como el tiempo está en el eje x, se necesita calcular la coordenada 𝑥 del vértice.
Coordenada x = −𝑏
2𝑎
𝑥 =−24,5
2 ∙ −4.9=
−24,5
−9,8= 2,5
e) ¿Cuál es altura máxima?
Se debe calcular la coordenada y del vértice.
∆= 992,25
−∆
4𝑎=
−992,25
4 ∙ −4,9=
−992,25
−19,6= 50,625
104
R/ La altura máxima la alcanza a los 50,625 metros.
4) Entre todas las parejas de números reales (a,b) tales que 𝑎 + 2𝑏 = 40, ¿cuál tiene un
producto 𝑎 ∙ 𝑏 máximo?
Solución:
𝑎 + 2𝑏 = 40
𝑎 = 40 − 2𝑏 *
Por lo tanto el producto 𝑎 ∙ 𝑏, se convierte en:
(40 − 2𝑏) ∙ 𝑏
𝑚(𝑏) = 40𝑏 − 2𝑏2
𝐴 = −2 𝐵 = 40 𝐶 = 0
∆= 𝐵2 − 4𝐴𝐶
∆= 402 − 4 ∙ −2 ∙ 0
∆= 1600
El producto máximo es:
−∆
4𝑎=
−1600
4 ∙ −2= 200
R/ El valor mayor que se puede obtener al multiplicar 𝑎 ∙ 𝑏 es 200.
¿Cuál es el valor de 𝑎 y de 𝑏?
El valor b que maximiza el producto es
𝑏 =−𝐵
2𝐴=
−40
2 ∙ −2= 10
De * se sabe que 𝑎 = 40 − 2𝑏 es decir 𝑎 = 40 − 2 ∙ 10 = 20