ALGUNAS SOLUCIONES APROXIMADAS PARA TUNELES SUPERFICIALES

PRESION DE SOSTENIMIENTO EN LA BOVEDA Y CONTRABOVEDA

Las soluciones aproximadas mostradas en este apartado se obtienen a partir de simples suposiciones y explican algunos principios del nuevo método austriaco de construcción de túneles (NATM). Están basadas en la consideración del hecho que, junto a los hastiales del túnel, así en un túnel con sección transversal circular radio ro la trayectoria de σo en la bóveda tiene un radio de curvatura r. para un túnel no circular (e.g. emboquille de un túnel) el radio de la trayectoria de σo en la bóveda coincide con el radio de curvatura ro de la bóveda. Debido ala geometría considerada, se puede expresar el equilibrio en la bóveda y contra bóveda utilizando coordenadas cilíndricas r y o:

∂σr

∂r

+∂r−∂θ

r=ρg . er (39)

Fig.47 trayectoria de σ o en la bóveda.

G es la fuerza de masa,ρ la densidad y e, el vector unitario radial. Esta ecuación se puede expresar para el punto B, Fig. 48 en coordenadas X-Z como:

d σx

dz+σx−σ z

r=γ

Con ρg .θr=−γ . dr=−dz .σr=σ z .σθ=σ x, y para el punto C como:

d σ z

dz+σ x−σ z

r=γ

Con ρg .θr=−γ y dr=dz

Se considera la tensión vertical σ z en el eje de simetría ABC, fig 48

Fig.48 un ciclo de carga – descarga (mostrado para un ejemplo de ensayo triaxial) deja una compactación permanente.

Antes de la excavación del túnel, existe una distribución lineal con la profundidad Z: σ z=γzel así tensionar primario cambia debido a la construcción del túnel, y se intenta determinar la nueva distribución de tensiones. Entre la superficie del terreno (punto A ) y la bóveda (punto B), la distribución de σ z con profundidad z, tendría la forma representada en la fig. 48. En la superficie

del terreno, se aproxima al este tensional primario y en la bóveda toma el valor de pc.pc es la presión del sostenimiento en la bóveda la tensión que el terreno ejerce sobre el sostenimiento. Para la distribución señalada, se puede asumir dentro del rango 0≤ z≤h , la forma de la parábola cuadrática es la siguiente:

σ z ( z )=a1 z2+a2 z+a3

Los coeficientes a1 , a2 , a3 se pueden determinar a partir de las tres condiciones siguientes:

1. σ z ( z=0 )=0

2. dσdz

⌊¿¿

La segunda condición se obtiene a partir de la ecuación (39) y la razonable suposición que en el punto A el radio de curvatura de la trayectoria de la tensión horizontal es infinita (r=∝). La tercera condición obtiene a partir de a suposición que en el punto B (bóveda) la resistencia del terreno está completamente movilizada para un material cohesivo (c≠0, φ=0) esta condición es:

σ x−σ z=2C (40)

Por lo tanto, se obtiene a partir de la ecuación 39 la tercera condición:

dσdz

I z=0=γ−2Crc

rc Es el radio de curvatura de la bóveda. La distribución de tensiones entre el punto A y B es:

σ Z (z )=−cr ch

Z2+γz(41)

Si se fija en la ecuación 41 z=h, se obtiene la presión del sostenimiento necesaria en la bóveda pc=σz

pc=h (γ−2Crc)(42)

A partir de la ecuación 42 se observa que para

c ≥ γ rc (43)

No es necesario ningún sostenimiento (al menos en la bóveda). Destaca que conforme a la ecuación 43, la cobertura h no se tiene en cuenta si la cohesión supera el valor γ rc, este resultado aparentemente paradójico se puede ilustrar si se considera el mecanismo simple de colapso mostrado en la fig. 49. La fuerza de cohesión 2c( h +r) tiene que aguantar el peso

2 r γ (h+r )−1/2 r2πγ .obviamente, esto es posible si c>γr.

Fig. 49 mecanismo simple de colapso.

La relación 42 se puede generalizar fácilmente para el caso que el terreno presente cohesión y fricción (∅ ,0). Entonces la ecuación 40 se sustituye por la condición de rotura para un material con fricción y cohesión:

σ x−σ z¿ σz2sinφ1−sinφ

+2c cosφ1−sinφ

A partir de la cual se obtiene, finalmente:

pc=γ− c

rc

cos φ1−sinφ

1+ hrc

2sinφ1−sinφ

De aquí se obtiene que no es necesario sostenimiento si :

c ≥ γ rc1−sinφcosφ

A partir de la ecuación 45 y 46 se deduce la importancia del radio rc. Por lo tanto, no se puede juzgar de la estabilidad de una investigación de pequeño diámetro la estabilidad de un túnel mayor en el mismo terreno. A partir de la ecuación 45 es evidente que la presión de sostenimiento pc aumenta si pc disminuye debido a la descompresión (tramo ascendente de la línea de reacción del terreno). Por lo tanto la descompresión se debería evitar, lo cual es un principio básico del NATM. Si en la superficie del terreno se aplica una carga constante q por unidad de área, la ecuación 45 se puede generalizar de la forma siguiente:

pc=q− c

rc

cosφ1−sinφ

+γh

1+ hrc

sinφ1−sinφ

Mediante ensayos en laboratorio se demuestra que esta ecuación supone una estimación segura de la presión de sostenimiento necesaria.

Se puede utilizar una consideración similar para determinar la presión de sostenimiento necesaria pi en la contra bóveda. Se considera de nuevo la distribución vertical de tensiones σ z a lo largo del

eje de simetría ABC, fig 48.σ z Presenta en la contra bóveda el (aun desconocido ) valor p i y se aproxima con la distribución de la profundidad z de forma asintótica a la tensión primaria

goestatica σ z¿¿=Yz. Una simple curva analítica que es suficiente para estas condiciones, es la hipérbola:

σ z ( z )=γz+ az

Con el parámetro libre a

Fig.50 geometría de un emboquille.

Se supone q la resistencia del terreno esta totalmente movilizada en la contra bóveda ( punto c). Para un material fraccional, a partir de la ecuación de equilibrio 39 se obtiene:

dσ z

dz0=γ+ 2c

ri

(48)

r es el radio de curvatura de la contra bóveda. A partir de las ecuaciones 47 y 48 se puede

determinar el factor a como −2c (H+h )2/rn para el que la presión de sostenimiento, para z=h +H,

se determina como:

pi=(H+h)(γ+ 2cri)

H es la altura del túnel, fig. 50 para c<γ ri

2es pi>0 i.e. es necesario un sostenimiento de la contra

bóveda, esta también es un principio importante del NATM, que requiere un anillo cerrado rápido en terrenos blandos para terrenos con cohesión y fricción, se obtiene de manera similar:

pi=(H+h)γ r i (1−sinφ )−2c cosφ

ri (1−sinφ )−2 ( H+h ) sinφ

4.2 CARGA DE SOSTENIMIENTO

El sostenimiento del túnel se puede considerar como una viga con curvatura inicial. todas las magnitudes importantes se refieren a una viga de espesor 1 m.las magnitudes

P=carga lineal normal a la viga

q= carga lineal tangencial a la viga,

N= fuerza normal,

Q= fuerza transversal,

M= momento flector,

Se puede representar como funciones de la longitud de arco S. si la forma de la sección transversal del túnel esta dad en coordenadas polares r(ϑ ), las magnitudes citadas anteriormente pueden representarse también como funciones de ϑ normalmente,las derivadas respecto a s se representan como prima (‘), y las derivadas respecto a ϑ con un punto: x’=dx/ds , x=dx / dϑ . Debido a que ds=rdϑ se aplica x=x ' r. A partir de esas consideraciones de equilibrio en un elemento viga con longitudes ds, se pueden deducir las siguientes relaciones:

Q−N=−pr

N+Q=−pr

M=rQ

Las cuales representan un sistema de ecuación diferencial. Un caso especial sencillo aparece si se que, debido al creep y la rotura de hormigón proyectado aun no completamente fraguado, desaparece todos los momentos flectores, M=0, asi como que (consecuentemente) no actúan tensiones cortantes en la roca y el sostenimiento de hormigón proyectado: q=0.por lo tanto, a partir de las ecuaciones (49) deduce que para secciones de sostenimiento de curvatura constante(r=Const.) se debe p=Const. N =-pr=Const.

Se considera un perfil de emboquille que solo esta formado por arcos de bóveda y contraboveda.las fuerzas resultantes R representadas en la fig.51 ejercidas desde el sostenimiento

a la roca se deben absorber por construcciones apropiadas (e.g. aumentar las zapatas del arco de la bóveda) los valores pi se pueden deducir a partir de la sección 4.1, se debería comprobar que la tensión a compresión hormigón proyectado es admisible. si β es la resistencia a compresión y d la rigidez del sostenimiento hormigón proyectado ,entonces:

d>pi ri

β

4.3 LIMITE INFERIOR DE LA PRESION DEL SOSTENIMEINTO

Fig. 51. Fuerzas en los puntos donde cambia la curvatura del sostenimiento

.

Fig.52. situación para la estimación de p con el teorema del límite inferior mediante la suposición de un campo tensional tolerable.

Fuera de la zona plastificada, la tensión vertical se fija a σ z=q+Y z y la tensión horizontal σ x=k σz si es precisa q las tensiones normales y tangenciales que actúa sobre el límite de la zona plastificada, no hay aumentos.se obtienen, de forma numérica, los resultados que se representan en la fig. 53 de forma a dimensional. Para que sirva de comparación, también se representa la presión del sostenimiento obtenido con la ecuación 45.mediante una transformación y consideración de la carga q se obtiene (φ=0)

p−qc

=( r ro

c−1) h

ro

FIg.53 resultados numéricos de Davis et al.: Estimación segura de la presión de sostenimiento necesaria. Resultados con la ecuación 45.

4.4 LIMITE SUPERIOR DE LA PRESION DE SOSTENIMIENTO

Para h /r ≥1/sinφ−1, atkinson y potts obtuvieron el límite superior (peligroso):

pγr

= 12cosφ ( 1

tanφ+φ− π

2 )

6. ASIENTO DE LA SUPERFICIE

Además de la prueba de estabilidad, la determinación del asiento de la superficie es muy importante en la construcción de túneles. Sin embargo, las deformaciones geotécnicas se pueden predecir con menor seguridad que la estabilidad. Esto se debe, principalmente, al hecho que el terreno presenta una relación tensión-deformación no lineal, por lo que apenas se conoce la distribución de las rigideces. A continuación se consideran algunas suposiciones referentes al

asiento del terreno superficial debido a la excavación de túnel. Se debe tener en cuenta su limitada precisión.

Para la determinación de la distribución de los asientos superficiales, primero se considera la solución de lame (véase ecuación 12) del problema de una cavidad cilíndrica eb un espacio elástico sin peso, cargada con la tensión hidrostáticaσ m se considera el desplazamiento vertical uv del terreno superficial, fig 63

La componente vertical uv se obtiene a partir del desplazamiento u:

uv=Hr

u(65)

Con r2=H 2+X2 se obtiene a partir de la solución de lame (52).

uv=σ∞−p2G

.re2H

H 2+x2

El asiento máximo uvmax aparece para x=0, y la distribución de asientos es:

uv=uvmax

1+( x /H )2

Condición no es realista, si se comprara con mediciones (45). Tampoco es consistente, ya que se utiliza una solución para un espacio completo en un problema semiespacial. Una descripción más realista del asiento medido se obtiene, según peck, mediante la distribución de gauss:

uv=uvmax .e− x2/2a2

El parámetro a (desviación estándar) se determina por ajustes de medición. Se iguala la coordenada x en le punto de inflexión de la curva de gauss. Para la estimación de a se utiliza el diagrama de peck (46) .fig 64 o siguiendo la formula empírica (47):

2aD

=( HD )0.8

(67)

D es el diámetro del túnel y H la profundidad del eje del túnel, fig,65 para suelos arcillosos a= (0.4……0.6)H para suelos no cohesivos a=(0.25……….0.45)H.

El volumen del asiento (por metro de túnel) se obtiene a partir de la distribución de Guaus como:

V n=√2. π auvmax (68)

Y normalmente, se designa como perdida de volumen (pérdida de terreno). La pérdida de volumen equivalente a un porcentaje del área de la sección transversal del túnel por metro. Si este ratio es conocido basándose en la experiencia para un tipo de suelo dado, el asiento máximo uvmax se puede estimar con (67) y (68). Mar y Taylor (48) proporcionan los siguientes valores estimados para V u/ A:

Frente de excavación sin sostenimiento en arcillas duras: 1-2 % Frente de excavación con sostenimientos (slurry), arenas: 0.5 % Frente de excavación con sostenimiento (slurry), arcillas blandas: 1-2 % Excavación convencional con hormigón proyectado en arcillas de Londres: 0.5-1.5 %

Debido a la mejora tecnológica, la perdida de volumen puede haber disminuido en estos últimos años.

La evaluación de numerosas inspecciones en campo y ensayos de laboratorio con cargas centrifugas conducen a una relación empírica (49) entre la perdida de volumen V u relacionada con

el área A de la sección transversal del túnel y el numero de estabilidad N=(σ ¿¿v−σ1) /cv−σ v¿

es la tensión vertical a la profundidad del eje del túnel, σ t es la (posible) presión de sostenimiento

en le frente de excavación, y cv es la cohesión no drenada. Si N t es el valor de N en el colapso, entonces:

V u

A=0.23 . eN

Las estimaciones representadas se refieren a zonas sin edificaciones. Si en la superficie aparecen edificios rígidos, los asientos son menores (50).

El asiento máximo uvmax también puede estimarse mediante la siguiente consideración: se tiene ε 90=ε vo−εro=U o/ro donde U o es el desplazamiento (asiento) de la clave y ro es el radio del

túnel. Además du /dr ro=εro se conoce la suposición: