algebra volumen i

COLEGIO PREUNIVESITARIO

I.E.P SAN AGUSTN

ALGEBRA 1 AO SECUNDARIA

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Qu observan?; Cmo son los lados de las figuras?, Cul es el rea de cada figura? Determina el rea en cada caso:

EXPRESIN ALGEBRAICAEs un conjunto de nmeros (constantes) y letras (variables) separados por los signos de las operaciones fundamentales (adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin, radicacin); los exponentes son racionales y fijos.

TERMINO ALGEBRAICO

Es una expresin algebraica cuyas bases no estn relacionadas por las operaciones de adicin o sustraccin.

ELEMENTOS DE UN TRMINO ALGEBRAICO

CLASIFICACIN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Se clasifican tomando en cuenta los exponentes de las variables, as se tiene:

1) Expresin algebraica racional

Siendo los exponentes de las variables nmeros enteros. Ejemplo:

Puede ser de dos tipos:

a) Expresiones algebraicas enteras

Cuando no aparecen variables en los denominadores, es decir las variables estn afectadas slo de exponentes enteros NO NEGATIVOS

Ejemplo:

1) 2x7y22)

3) a4 -

b)Expresiones algebraicas fraccionariasCuando aparece alguna variable en los denominadores, es decir al menos una de las variables est afectada de exponente entero NEGATIVO.

Ejemplo:

1) 3x 52) 5x2y3z-13) 2x2 +

4) 6a4 + 5b2 - 3c-3GRADO DE UN TRMINO ALGEBRAICO

GRADO ABSOLUTO

Se calcula sumando el exponente de sus variables.

Ejemplo:

6 x5 y9 z4GA = 5 + 9 + 4 = 18

GRADO RELATIVO

Est dado por el exponente de la variable referida. Del Ejemplo anterior:

GRx = 5, GR y = 9, GRz = 4

TERMINOS ALGEBRAICOS SEMEJANTES

Dos o ms trminos son semejantes si tienen la misma parte literal.

Ejemplo:

1.-2x4 ;

2. 5m; 2m; -m; 10m

3. 6xy2; - 3xy2;

EJEMPLOS DE APLICACIN

1) Cul es el rea de las siguientes figuras?

X

x

a) x b) x

x x y

x x

x y

Atotal = x2+x2+ Atotal = xy+xy+ xy+

x2+x2+x2 = 5x2 xy+xy = 5xy

c) b d) a b

b a a

b a b

a

b a

As= a2 (b2+b2+ As= ab+ab+

b2+b2)= a2-4b2 ab +ab= 4ab

2) Determinar el nmero de trminos que tiene la respectiva expresin algebraica.

Expresin Algebraica N de Trminos

15xy5z1

x2 + xy 10

3

6x5 + 9x2 - x 12

4

3) Dada la siguiente expresin algebraica, determina el grado absoluto y relativo.

Expres. Algebraica GA GRX GRY GRZ

-12X2YZ 4 2 1 1

X3Y5Z 9 3 5 1

X9Y11 20 9 11

-15X4Z5 9 4 - 5

4) Reduce las siguientes expresiones:

a) 3x + 2x 5x + 10x = 10x

b) +--+10 5x +12 3x2 11x + 22

c) - + + - = 42m2n 2mn25) Identifica el COEFICIENTE y la PARTE LITERAL en cada uno de los siguientes trminos.

Trmino coeficiente Parte Literal

Algebraico

-12x9y7 -12 x9y7 m5n7 1 m5n7 -x4yz5 - x4yz5 -16p2q4 -16 p2q4 1/2m2n5 m2n5 - 0,32 x4 y7 - o,32 x4y7


c) -b

---------- a --------2) Identifica el coeficiente y la parte literal de cada uno de los siguientes monomios:

TERMINO

ALGEBRAICOCOEFICIENTEPARTE

LITERAL

3X2Y

9X 7Y9

- 0,2ab4C5

125 x34Z

0,249 a3bc2

3) Identifica los trminos semejantes en cada uno de los polinomios siguientes:

a)

b)ab2 2xy2 + 3ab2 + xy2 7ab2c)5x2a 2xz2 + 3ac + 3x2z+ 7xz2 - ac

d)10x2y3z 6x2y2z 8x2y3z + 3x2y2z

e) 16a3b 9ab3 + 3a3b - 16a3b ab34) De qu grado es cada una de la siguientes expresiones algebraicas.

a) 4 x2y3

- - - - - - - - - - - - - - - -

b) 12a3 b4

- - - - - - - - - - - - - - - -c) - 8x3yz6

- - - - - - - - - - - - - - - -d) x7y4 z2

- - - - - - - - - - - - - - - -

e) 0,6x2yz4

- - - - - - - - - - - - - - - -

f)2,4x4y6z - - - - - - - - - - - - - - - -

g) -6x3y3z6

- - - - - - - - - - - - - - - -

5) Halla el grado absoluto y relativo con respecto a la variable k, y, z de cada una de los siguientes expresiones algebraicas.

EXPRESIN

ALGEBRAICAGAGRxGRyGRz

9x3yz4

-0,3x2y9

6x7y9

10xy4z5

9x3y2z3

1) Identifica el coeficiente y la parte literal de cada uno de los siguientes monomios.

TERMINO

ALGEBRAICOCOEFICIENTEPARTE

LITERAL

- 6z2y

0,028 x3y2z

-

- 0,83xy4z5

2) Identifica los trminos semejantes en cada uno de los siguientes polinomios.

a) x4y + 2xy4 3x4y + 5xy4 x4y

b) 8xy3 5a2c 11ky3 + 16a2c

c)

d) 3a2b23a3b2 5z36a3b2+9z3 4a2b3e) 15mn2 6m2n+13mn2 9m2n + mn23) Determina el grado en cada uno de las siguientes expresiones algebraicas.

a) 4x3y7

- - - - - - - - - - - - - - -b) 6x4y2z

- - - - - - - - - - - - - - -c)

- - - - - - - - - - - - - - -d) 0,6x2yz4

- - - - - - - - - - - - - - -e) 0,83ab3c2 - - - - - - - - - - - - - - -

f) 4xy8

- - - - - - - - - - - - - - -g) 25xy4z

- - - - - - - - - - - - - - -4) Determina el grado absoluto y relativo de las siguientes expresiones algebraicas.

EXPRESIN


-2x3z4

0,3x3y9z5

0,3x9y10

0,9x4y8

16x4y8z3

-3x3y2z10

13x9y11

1,3y4z5

0,52y10

-8x9yz12

21x4y7

6y10 z10

-7x4 y4z4

12x3y2z10

REDUCCIN DE TERMINOS SEMEJANTES

Para reducir trminos semejantes, se suman los coeficientes, y se pone la misma parte literal.

Ejemplo:

1) Reducir:7x5 + 9x5 = (7+9)x5= 16x52)Reducir:

3)Reduce el polinomio:

12xy3 5xy3 + 4xy3

Solucin:

12xy3 5xy3 + 4xy3=(12 5 + 4) xy3

= 11xy3

4)Reducir:

1,3xy2 + 0,2x2y 3,3xy2+ x2y

Solucin:

= 1,3xy2 + 0,2x2y 3,3 x y2 + x2 y

= (1,3 3,3) xy2 + (0,2 + 1) x2 y

= - 2xy2 + 1,2 x2y

Reducir:

1) x + 2

2) 8a + 9a

3) 11b + 9b 10b + 5b 3b

4) 4ax + 5ax + 10ax5) 14xy + 32xy 10xy + 20xy

6) 40x3y 51x3y+ 25x3y + 8x3y

7) 15xy + 40xy 20xy + 16xy

8) 7ab 11ab + 20ab 31ab

9) a + 6a 20a + 150a 80a + 31a

10) -a2b+15a2b+a2b85a2b131a2b+39a2b

11) 7a 9b + 6a 4b

12) 5x 11y 9 + 20x 1-y

13) 6m + 8n + 5 m n 6 m 11

16) a + b - c + 8 + 2a + 2b 19 2c 3a 3 3b + 3c17)

18) 5pq2 + 3p2q 3pq2 2pq214) 81 x+ 19y30z+6y+80y + x 25y

15) 3a+4b 6+81b114b+31a- a b19) 1,025p2q + 1,025pq2 +2,9p2q 3,1p2q

20)

Reducir:

1) - 8m - m + 6m 3 m

2) - 9m - 7m - 5m + 12 m

3) 6ax+1 + 8ax+1 - 3ax+14) - mx+1 5mx+15)

6) - a

7) 25x2y + 32x2y 20x2y + 16x2y

8) m2n + 6m2 - 9m2n + 15m2n

9) 55a3b2 81a3b2 + 42a3b210) 25x2 - 50x2 + 11x2 + 14x211) a + b c b c + 2c a

12) 5x - 11y 9 + 16x 30y +15

13) - a + b + 2b 2c + 3a + 2c 3b

14) 15a2 6ab - 8a2+20 5ab 31+a2- ab

15) - 71a3b - 84a4b2 + 50a3b + 84a4b2 45a3b + 18a3b

16) - 0,5p3q - 2,7p3q +0,1p3q - 3,2p3q

17)

18)

19) - 9b+3ab2 + 12b - 15ab2+6b

20)

21) - 7c + 21c + 14c 30c + 82c

22) -mn + 14mn - 31mn mn + 20mn

23) a2y 7a2y 93a2y + 51a2y+48a2y

24) a + a - a + a 3a + 6a25) 7ax - 30ax - 41ax 9ax + 73ax26) -9b 11b - 17b -81b b + 110b

27) 84m2 x 50/m2 x 604m2x28) 40a 81a + 130a + 41a 83a 91a29) -21ab+52ab- 60ab + 84ab 31ab ab 23ab30) 0,3a + 0,4b + 0,5c - 0,6a 07b 0,9c + 3a 3b 3c

VALOR NUMRICOObserva la siguiente figura:

Cul es el volumen del cubo?

Hallar V, si a = 2; 3; 4; 5

El valor numrico de una expresin Algebraica es el nmero que se obtiene al sustituir las letras por nmeros.


1)Hallar EL V.N de:

9xz para x = 2 y z = 3

SOLUCION :

Sustituimos x por su valor 2 y Z por su valor 3. Luego multiplicamos

9(2) (3) = 54

El valor numrico es 54

2)Encuentra el valor numrico de:

3x3 5x2 + 2x 1para x = -1

SOLUCION: Reemplazamos x por su valor (-1)

3 (-1)3 - 5(-1)2 + 2(-1) - 1

Efectuamos las potencias

3 (-1) - 5(1) + 2(-1) - 1

Multiplicamos y hallamos la suma

- 3 - 5 - 2 1 = - 11

El valor numrico es - 113)Hallar el valor numrico de:

S = (2X 1)2 + (2Y 1)2 + 2(Z 1)2Para x = - 2y = -1 z= 3

SOLUCION :

Reemplazamos los valores dados x, y, z en S

S =

Operando al interior de los corchetesS =

S =

Efectuando las potencias indicadasS = 25 + 9 + 49 Sumando :S = 83El V.N de S para los valores dados es 83.4)Reduce los trminos semejantes y halla el valor numrico de 3m 5n 9m + 10n, para m = -; n=

SOLUCION :

Reducimos los trminos semejantes3m 5n 9m + 10n =

(3 9)m + (-5 + 10)n = -6m + 5n

Se reemplazan los valores de m y n en 5n 6m =5 - 6 = 2 + 2 = 4

El valor numrico es 4.

5) Si se sabe que:

P(x) = 3x4 2x3 + x2 x 2

Hallar P (-2)

SOLUCION :

Asignamos a x el valor de 2P (-2)= 3(-2)4 2(-2)3 + (-2)2 (- 2) - 2

Operando P(-2) = 68 Respuesta

1)El volumen de un cilindro de radio r y la altura h, se calcula usando la siguiente frmula.

V =

Halla el volumen de un cilindro cuyo radio mide 4m. y cuya altura mide 6m.

2) Halla el valor numrico del polinomio siguiente : 5x3 3x2 + 2x + 1 cuando:

a) x = 1

b) x = - 2

c) x =

d) x = 2

e) x = 3

3) Sabiendo que x = 2; y=-1; a=2; c=-2; hallar el valor numrico de las siguientes expresiones algebraicas.

a) 3xy2 + 8x 7

b) 3ac2 cy

c) 3x + 5y + a2 c2d) x2 y3 7y + xy

e) 5c3 3xy + y2

f)

4)Hallar el V.N de mn

Para a = 1, b=2 m=; n=

5)Encontrar la energa potencial (Ep) de un farol situado a 5m de altura, si su masa m es de 12 Kg.

Dato:Ep = m x g x h

g = 10m/s2

1) Si a = -2, b=1; c= 3; d= ,

x = - 2; y = - 1; z = - 4

Calcula el V.N de las siguientes expresiones

a) A = a + b + c

b) M = 2d x2 y3

c) F = X2 2y + z

d) G = 2acd - x2 y3 z

2)Efecta los siguientes clculos de V.N

a) Si P(x) = x3 x + 2

Hallar P(1)b) Si P(x) = 3x2 + x - 2

Hallar P(2)

c) Si P(x) = x2 + x - 1

Hallar P(-1)d) Si P(x) = 5x3 3x + 6

Hallar P(-3)3)Hallar el V.N de la expresin siguiente:

para m = n; =

4)Sabiendo que x = 2; y= -1; a = 2; c = -2. Hallar el valor numrico de las siguientes expresiones.

a) 5ac 3ac2 + xy2b) 6 - 3c2 + 5xy

c) 4x y2 5yx2 + ac2d) 5ax 3c2 + 2xy

e)

f)

g) 10ac2 - 3xy2 + 2c

h) -9x2y + 2a2 c 9ac

i) 2 axy 3xy + 9xc

j) 10x2y + 12ac 15xy

k)

5) Hallar la velocidad v de un mvil que se desplaza 5 km en 10 h.

5 km en 10 h.

6) Hallar el V.N de la expresin

6x2y3

x = 2; y= -1

7)Sea a=2; b= x =

Hallar el valor numrico de:

8) Hallar el valor numrico de las siguientes expresiones algebraicas.

Si x = 4; y = 81; z= 64; a= 3

b = -2 y c = 4

a) 3

EMBED Equation.3 b)

c) 2

EMBED Equation.3 d)

e)

MONOMIOS

Cul es el rea de las figuras (1) y (2)?

Las expresiones algebraicas en las que se operan productos y potencias, pero no sumas ni restas, se llaman monomios.

De la Fig (1) x2 + x2 + x2 + x2 + x2 = 5x2

Fig (2) xy + xy + xy + xy = 4xy

GRADO DE UN MONOMIO

El grado absoluto se obtiene sumando los exponentes de los factores de la parte literal.

Ejemplo:15x4y4z

GA = 10

2a3bc

GA = 5

VALOR NUMERICO DE UN MONOMIO

Valor numrico de un monomio M(x) para x = a, se obtiene al sustituir x por a:

Ejemplo:

M (x=2) = 2x3 = 2(2)3 = 16

M (x=4) = -10x2 = -10(4)2 = -160

MONOMIOS SEMEJANTES

Los que tienen la misma parte literal y por tanto el mismo grado.

Ejemplo:

- 3x2; 2x2; -4x2

3xy3; ; - 2xy3 EJEMPLOS DE APLICACIN

1. Cul es el rea de las siguientes figuras?

Solucin :

Atotal(a)=x2 + x2 + x2+ x2 + x2 + x2 = 6x2

Btotal(b)= xy + xy + xy + xy = 4xy

2.Determina el grado absoluto y el grado relativo de las siguientes expresiones algebraicas-

EXPRESIONES

ALGEBRAICASGAGRxGRyGRz

- 7xyz3111

-2

431-

3x3y4z8341

7x7y8z10257810

3. En cada caso indica el grado absoluto del monomio e indica el valor numrico.

a) 7xy5; x=2; y = -1

Solucin :

7(2) (-1)5 = 7(2) (-1) = 14

Respuesta: El valor numrico es -14 y el GA = 1 + 1 + 5 = 7

b) -3a3b2; a =3; b = 2

Solucin :

-3(3)2 (2)2 = -3(9) (4) = 108

Respuesta: El valor numrico es 108

y el GA = 3 + 2 = 5

c)-9abc2; a=2; b = 1; c=1

Solucin :

-9(2) (1) (-1)2 = 18

Respuesta: El valor numrico es 18

y el GA = 1 + 1 + 2 = 4

4. Calcular el valor numrico de la expresin E para x = -3 y = -2; m = -1

E =

a)0b) 1c) 2d)

e)

Solucin :

5. Hallar m si el siguiente monomio es de 2 grado.

- 7

a) 5b) 4c) 3d) -2e) 5

Solucin:

Por dato el exponente de la variable x es 2.

m 3 = 2

Luego:m = 5

Rpta. (a)

6.Cul es el grado del trmino:

4x-1; y-1

a) -1 b) -2 c) 1 d) 2

e) No tiene grado

Solucin :

El grado es un nmero relacionado con los exponentes de un polinomio, por lo tanto tal nmero siempre es natural.

Rpta. (e)

7.Dar el grado del siguiente trmino

-

a) 1b) 2c) 3 d) 4

e) No tiene grado

Rpta. (e)

8. Cules de las siguientes afirmaciones son falsas?

I) El grado de un monomio puede ser negativo.

II) Todo trmino algebraico tiene grado.

III) El grado de un monomio puede ser una fraccin.

IV) En un monomio el grado est dado por el mayor exponente de todas sus letras.

a) I y II b) I y III c) slo I

d) slo III

e) Todas

Rpta. (e)

1) Cul es el grado del siguiente trmino?

P(x,y,z) = - xywzt

a) 1

b) 4c) 5d) 5

e) No tiene grado

2) Hallar el valor de m si se sabe que el siguiente monomio es de noveno grado respecto a y, y de sexto grado respecto a x.

- m + t y t + 7

a) 1b) 2c) 4 d) 8 e) 0

3) Calcula a b en el siguiente monomio si adems se sabe que GRx = 15; GRy = 10

-

a) 5 b) 7c) 9 d) 11 e) 15

4) Hallar t en el siguiente monomio si se sabe que es de 7 grado respecto a x y que su grado absoluto es 12.

M (x;y) = + 3

a) 1 b) 2c) 3 d) 4 e) 5

5) Calcular el coeficiente del siguiente monomio, sabiendo que es de octavo grado.

M (x;y) = 15 a2 xa+1. y2

a) 175 b) 215c) 225

d) 255 e) 375


2) Determina el grado absoluto y relativo de las siguientes expresiones algebraicas.

EXPRESIN


-

2

0,7x10z4

-

3) En cada caso indica el grado absoluto del monomio e indica el valor numrico.

a) -7ab2c2a=2;b=1;c= -1

b) 15m2n3p ;m=2;n=-2; p=1

c) 8a3b2a = 5;b = 1

d)6a3b2c4 a = 3; b= -1 c= 2

4) Encontrar el coeficiente del siguiente monomio si GRx = 9; Gry = 8.

M(x;y) = m3xm+t y 2t

a)

b)

c)

d)

e)

5) Hallar el grado absoluto del siguiente trmino.

a) 5

b) 10

c) 12

d) 15

e) No tiene grado

6) Hallar el coeficiente del siguiente monomio sabiendo que es de 8 grado.

M (x;y;z) = -3a2xyz2+a

a) 48b) 12c) -9d) 6e) 3

7) Deducir

3,2ab5 + 6,8b5a 3,7 (ab)5 + 3,7a5b5

a) ab5 b) ab5

c) 9ab5

d) 10ab5e) 10a5b58) Cul es el triple de m si los siguientes trminos son semejantes?

4x2m+3; -2

a) 3b) 6c) 9d) 12e) 18

9) Calcular el valor de a + 2b, si los tres trminos siguientes son semejantes.

2ya+b ; 0,5 y 7+b ; 2 y9

a) 2b) 5c) 7d) 9e) 11

10) Cul es el trmino de mayor coeficiente si todos son semejantes con variable x?

T1 = 6m xm+1 t2 = 3m2xm+1T3 = 13m x9 t4 = 18mx 1+m

a) 101x9b) 104x9c) 172x9

d) 144x9e) 166x9

ADICION Y SUSTRACCIN DE MONOMIOS SEMEJANTES

Cul es la suma de las reas de los rectngulos?

a1= ( 2x) (x) = 2x2a2 = (4x) (x) = 4x2a3= ( 2x) (x) = 2x2

S = A1+ A2 + A3 = 2x2 + 4x2 + 2x2= 8x2

La adicin y la sustraccin de monomios semejantes se realiza sumando o restando los coeficientes y dejando la misma parte literal.

REDUCCIN DE UN POLINOMIO QUE CONTENGA TERMINOS SEMEJANTES DE DIVERSAS CLASES

Para reducir un polinomio que contiene trminos semejantes se indica cada clase con marcas distintas y se reduce separadamente cada una de ellas.

Ejemplo 1:Reducir el polinomio

4x2 8x + 6x2 + 5x 3x2 + 7x

Resolucin :

En el polinomio dado, marcamos los trminos semejantes de la manera siguiente

= (4 + 6 - 3)x2 +(5+7-8)x

= 7x2 + 4x

Ejemplo 2:Deducir el polinomio

13a2 5b2 + 13ab + 8a2 10b2 2ab

+ 6b2 8ab

Resolucin :

--10b

= (13+8)a2 +(-5-10+6)b2 + (13-2-8)ab

= 21a2 + (-9)b2 + 3ab

Ejemplo 3:

Reducir el polinomio

X2y3 10x3y2 + 6xy2 + 5x2y3 8x3y2 12xy

+ 7x3y2 11xy2 + 7xy

Resolucin :

1x2y3 - 10x3y2+6xy2+3x2y3-8x3y2 -

+ 7x3y2 11xy2 + 7xy

= (1+5) x2y3 + (-10 8+7)x3 y2

+ (6 11)xy2 + (-12 + 7)xy

= 6x2y3 11x3y2 5xy2 5xy

4)De:

Resta

a) 7 + a

5 - a

Resolucin :

7 + a (5 a) = 7 + a 5 +a

= 2 + 2ab) 6 + x ; 3 x

Resolucin :

6 + x (3 x) = 6 + x 3 +x

= 3 + 2x

c) 2m + 1 ; 2m

Resolucin :

2m + 1 2m = 1

d)6a + 4 ; 3b + 3

Resolucin :

6a + 4 (3b + 3) = 6a + 4 3b 3

= 6a 3b + 1

1) Halla el resultado de las siguientes operaciones con monomios

a) x3 + 5x3 3x3 + 2x3b) 2xyz + 9xyz 4xyz + 6xyz

c) 5an 4an + 11and) axq 6axq 3axq2) Reducir los trminos semejantes en cada uno de los polinomios siguientes.

a) 6x + 7a - 10x + 3x 8ab) 15ay + 13a - 7z + 6a - 13ay + 4z

c) xy 5x2 + 8y2 + 11xy 25x2 30y2d) 12x3 + 5xy2 8xyz3 - 7xy2 z - 6x3+ 2xyz33) Reducir los trminos semejantes en cada uno de los polinomios siguientes.

a) 8y2 - 5x2 + xy - 25x2 30y2 + 11xy + 14x2

+ 26y2 + 6x2 + 13xy

b) 5n + 8yn 10zn + 15xn 16yn + 20zn +

48xn 15zn - 14xn + 12yn4) De

;Resta

a)7 + 3a

; 5 9

b)6 + 10m;5m 3

c)15 + pq;6 qp

d)10 - ab

;-5 ab + 10

5) Si los trminos :

t1 = (a + 1) xb+2 y4

t2 = (2 a) x4 y0Son semejantes, hallar la suma t1 + t2a) x4y4

b) 3x4y4

c) 3xy

d) -3x4y4

e) Imposible

1. Halla el resultado de las siguientes operaciones con monomios

a) 3x2 + 8x2b) 11ac 7ac

c) 3ab 5ab + 4ab

d) 7x2y + 3x2y - 8x2ye) 13xm + 7xm 16xmf) 7xy4 + 2xy4 6xy4g) 8yz3 - 3yz3 4yz3h) xyn 3xyn + 5xyn2. Reducir los trminos semejantes en cada uno de uno de los polinomios siguientes.

a) 5a + 3y + 9y 11 + 8y

b) 23mx + 18my + 5mx 7ny + 4mx 20ny

c) 4b2 6xyz 2a2 + 3b2 + 8xyz a2d) 3axn 5xan + a2x 2axn +8xan - 4a2x

3. Reducir los trminos semejantes en los siguientes polinomios

a)2ab3 3a2b2 + 9a2b - 8a3 10a2b2 9a2b + 15a3 - 7ab3 + 13a2b2

b) 2xy - 3x2y + 5xy2+ 8x2y - 4xy2- 6xy

- 4xy2 + 10xy - 6x2y

c) 6xyz3 3xy3z 2x3yz +7x3yz - 9xy3z

12xyz3

4. Resta;De

a) 6ab; 7abb) 12a + 4; 15a + 2c) 6a + 3; 6b + 3d) 10a m; 10a + n5. Resta;De

a) 5x + y; 3x + yb) 10a m; 13a 2mc) 12a + 3; 13 10ad) 15pq 3; pq + 156. Si los trminos:

t1 = (5 - b)x m+3 y6

t2 = (3 + b) x8 ynSon semejantes, hallar la suma t1 + t2a) (-8 + a)x6y8b) (8-a)x8y6c) x8y6

d) - 8x8y6

e) 8x8y6

MULTIPLICACIN DE MONOMIOS

Cul es el volumen del paralelpedo de la figura?

Vp= Abase x h

= (3x) (x) (2x)

= 6x3La multiplicacin de monomios se realiza multiplicando los coeficientes y luego la parte literal aplicando la ley de exponentes.

An xam = a n+m

EJEMPLOS DE APLICACION

Efecta:

(a) (2xy2) (-3xy5)

Solucin :

(2xy2) (-3xy5) = -6x2 y7

(b) (-3x3y) (-2x2yz)

Solucin :

(-3x3y) (-2x2yz) = 6 x5y2z

c) (-3x2z) (-2x3y2z) (-4xyz)

Solucin :

(-3x3y) (-2x2 yz) (-4xyz) = -24x6 y3 z3

= 24x6y3z3

d) (10abc) (-3a2b) (abc3)

Solucin :

(10 abc) (-3a2b) (abc3)

= 30a4b3c4

PRODUCTO DE MAS DE DOS MONOMIOS

Para obtener el producto de ms de dos monomios se aplica la propiedad asociativa: se halla el producto de los dos primeros y luego el producto de este resultado con el tercer factor y as sucesivamente, hasta el ltimo.

EJEMPLOS DE APLICACION

Ejemplo 1: Hallar el producto de: 8x2 por 5x4 por 3x5Resolucin:

8x2 . 5x4 . 3x5 = (8x2 . 5x4) . 3x58x2 . 5x4 . 3x5 = (40x2+4 ) 3x5 = (40x6) 3x5 = 40.3x6+5 )

8x2 . 5x4 . 3x5 = 120x11Ejemplo 2: Hallar el producto de: (3ab2c)

(-4a3b2) (5cd3)

Resolucin:

(3ab2c)(-4a3b2)(5cd3)=

(3ab2c)(-4a3b2)(5cd3)= 601+3. b2+2.c 1+1 .d3

(3ab2c)(-4a3b2)(5cd3)= 60a4.b4.c2.d3

Ejemplo 3: Hallar el producto de:

(-5a3bc3) (-2abc3) (3ac4)

Resolucin:

(-5a3bc3) (-2abc3) (3ac4) =

(-5a3bc3) (-2abc3) (3ac4) = 30a 3+1+1

.b1+1.c3+3+4

(-5a3bc3)(-2abc3)(3ac4) = 305 b2 c10

1) Halla el producto de cada operacin

a) x2.x5 =

b) (3x) (7x2)

c) (-5a3 bc3) (-8a2b3)

d) (9ab2m) (-3ab3m)

2) Efecta :

a) (6xy5) (-3x2yz3)

b) (-10bc) (-6a2b) (- 2abc)

c) (-5mn)(2m2) (- 3n3)

d) (0,2p2q) (0,1pq2) (-3p4 q)


a) (2a3) (5a2b) (a3 b3)

b) (8a3bm) (-9a2 b2) (a3m2n) (6bn3)

c) (9a3b4) (-7a4 m7) (-11m2n) (5x3b)

4) En cada espacio libre, escribe el factor que falta.

a)3x = 15x3

b)4xy2 = 12x3 y6

c)25xy3z2 = 50x2y4z3

b)18x4 = 72x4 y2


a) x3 . x8b) (-6a3 b) (9a2 b4)

c) (-3x2 yz4) (-7xy3 z6)

d) (-5x3 y2w) (18x3 w4y )

e) (7ab2yc)(-7aby3c2)

f) (8m3n2y) (-3mn4z5)

g) (-12a5m2yx - 6ab3 my4)

h) (16x3y2) (9x4 y6)


a) (4am2) (-6a2m) (-2a2m2)

b) (-3b2m4) (7m2n) (-5a3m)

c) (12x4 yz3) (-8y3xz2) (2xy)

d) (6xn z) (8a3x2) (-4a2x3) (-3xn)

e) (-11x3 y) (-7xz4) (2w3y4) (-w2z4)

3) Efecta:

a) (10x y3z) (-3xyx) (-30x3y5 z4)

b) (0,3m4n5) (0,1m5n4)c)

EMBED Equation.3 d)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 4) En cada espacio libre, escribe el factor que falta:

a)2x2 = 6x4

b)-7a2x4 = 21a3x6

c)18a3bc2d4 = 54a5b3c3d6

d)45x4y2 = 225x10 y8

e)-13x3yz6 = 169x8y5 z8

f)4mnx4y3 = -60m3n5x7y5

Ejemplo: (-3xy2z)4 = +81 x12 y8 z4Sea el exponente natural se eleva el coeficiente a dicho exponente y cada variable al producto del exponente por el de la potencia.


1. Calcula las potencias indicadas:

a) (17x3y5z)2

Solucin :

(17x3y5z)2 = 289x6y10z2

b) (-2abc4)3 =

Solucin :

(-2abc4)3 = 8a3b3c122. Hallar el valor a para que el grado del siguiente monomio sea igual a 10.

a) 2b) 4 c) 2d) 6e) 10

Solucin :

=

= 4x

El grado absoluto

GA = 2a + 4 +2 = 10

= 2a + 6 = 10

2a = 4

a = 2

Rpta. (a)

1. Halla el resultado de:

a)(x3)2

b)(2xy2)4

c)(-4m2n2p3)3

d) (-2a3bz2)4

2. Calcula las potencias indicadas

a) (- 12a3b2c4)2

b)(- 8b4b5cd3)3

c)(- 9m4n3c2)2

d) (10x10y9z8)3

3. Hallar el valor de m para que el grado del siguiente monomio sea 16.

a) 10b) 7c) 14d) 6e) 8

4. Halla el resultado de:

a)(x3)2. (8x4)2

b)x2y. (3x2y4)4c)a4. (-2ab3)2 (-3a)3

d) 4x2b(-2xb)6

e)(5x2y)2. (2xy2) 3

f)5a3. (2ab3)4

1) Halla el resultado de:

a)(a2b)3

b)(2a3x)3

c)(7x2y)3d) (3am2n3)4

e)(xy2z4)5

f)(-3y2 z4)5

g) (- 6a2b3c)2

h)(25xy2zt2)2

i)(12x3yz4)2

j)(5a8b4c2)4

k)(- 7x2yz4)3

l)(- 3x4y2w5)52) Halla el resultado de:

a)6a3y5 (2a2y2)

b)(3ab3)2(2ab)3

c)(2x3)4 . (x3y)2

d) (-3ab2)2. (-3ax) 2

e)(-7xy3)3. (-3ax) 2

f)(8abc3)2. (5a2bc) 2

3) Calcula las potencias indicadas:

a)(16xy7z5)3 b)(-3a4b3c2)4

c)(-4m4n7)9

d) (16a5bc7)2

4) Hallar el valor de a para que el grado del siguiente monomio sea igual a 20.

a) 2b) 5c) 3d) 1e) 0

Para hallar el cociente de dos monomios se divide el coeficiente del dividendo entre el del divisor y a continuacin se escriben las letras en orden alfabtico ponindole a cada una un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el que tiene en el divisor.

Ejemplo 1: Halla el cociente de dividir:

16x4 : 8x2

Resolucin :

= 2x2Ejemplo 2: Halla el cociente de dividir:

24x6 : (-4x3)

Resolucin :

= - 6x3Ejemplo 3: Halla el cociente de dividir:

(- 28x4y6) : (7x3y2)

Resolucin :

= - 4xy4Ejemplo 4: Halla el cociente de dividir:

(- 45x5y6z3) : (-9x3y4 z)

Resolucin :

= 5x2y2z2Ejemplo 5: Halla el cociente de dividir:

(60am+2bn+3) : (4a2b5)

Resolucin :

= 15am . bn-2

1. Halla el cociente de las divisiones siguientes:

a) (12x5y2) (3x2y)

b) (22x8y4) (2x5y3)

c) (30x8y3z) (-6x3yz)

d) (-42a3b4 c2) (7a3b2c)

2. Efectuar las operaciones y hallar la reduccin

a)

b)

3) Simplificar:

4)Reducir:

a) 2xy

b) xy

c) xy

d) 0

e) 2xy

5)Reducir:

B =

a) 1

b) 2

c) 3

d) abc

e) ab

1) Halla el cociente de las divisiones siguientes:

a) (56a5b6z) : ( 86abz) = ..............

b)(-48x6b7 xn) : (-12x4b3 xn)..............

c) (55x6y7z4t8) : (-5x4y2 zt3)...............

d) (-72xm+3yn+4) : (-6xmy4)..............

2) Halla el cociente de las divisiones siguientes:

a) (-144xn+8ym+4z4+p) : (-6x6+ny2-nz3+p)

b) (-625a3x+yb2x+3yc3n+5):(-5ay+2xb2y+xc3+2n)

c)(128x3+ay5+bz6+4c):(16xa+1yb+3z4c+5)

d)(224x3m+n+pym+3n+q):(7x2m+n+py2n+m+q)

3) Si A = 3x(2y)

B = (3y) (2z)

Hallar : AB Z 36xy2a) o

b) 12x2yc) 18xy

d) 18x2ye) 2xy24) Si P = x (x+1)

Q = x (x -1)

Halla el valor de

a) 1b) 0c) xd) 2xe) 1

5) Simplificar:

si

P = x + 1 yQ = x 1

a) 0b) 1c) xd) 2xe) 3x

6) Efectuar las operaciones y hallar la reduccin:

a) 36

b)

Carla tiene un terreno rectangular.

Una parte ser construida para vivienda y el resto para el jardn exterior. Este tendr forma de letra ele y uno de sus anchos ser el doble del otro. Como muestra la figura.

-2j

2j a-j

Casa

a

J Jardn

a) Cul es el permetro del jardn y de la casa?

Pj= + a + 2j + (a-j) + (-2j) j

Pc= (-2j) + (-2j) + (a j) + (a j)

b) Cul es el rea de la casa y del jardn?

Aj = .a (-2j) (a-j)

a) Ac= (-2j) (a-j)Con dichos enunciados en lenguaje matemtico resolvemos las operaciones con polinomios.

POLINOMIOS

Es una expresin algebraica racional entera que consta de dos o ms trminos. Si los coeficientes de sus trminos son nmeros reales, se dice que es un polinomio en R.

NOTACIN POLINOMICA:

Un polinomio cuya nica variable es x.

P(x)= a0x0 + a1x1 + a2x2 +....+ anxn CARACTERSTICAS DE UN POLINOMIO

1) Cantidad finita de trminos

2) Los exponentes de las variables deben ser ENTEROS POSITIVOS O CERO.

3) Los denominadores no deben tener variables.

Ejemplos :

1) 4x2 - 5x+ Si es polinomio

2) 5m5-m3-m+2-2

EMBED Equation.3 m2

Si es polinomio

3) 6z3 - 2z4 -

EMBED Equation.3 -

Si es polinomio

4)8x3 + 5x2 6 + x

No es polinomio

5) 5x4 + 2x2 +

No es polinomio

6)3

No es polinomio

7)1 + x + x2 + x3 + x4 +.........

No es polinomio

TERMINOS DE UN POLINOMIO

Los monomios o sumandos de un polinomio son los trminos de un polinomio.

Con 1 slo trmino recibe el nombre de MONOMIO.

Con 2 trminos recibe el nombre de BINOMIO.

Con 3 trminos recibe el nombre de TRIMONIO.

EJEMPLOS DE APLICACIN:

1) Cul es el valor de a si se sabe que los trminos y son semejantes?

a) 6

b) 12

c) 9

d) 2

e) 3

Solucin :

Si son trminos semejantes, los exponentes de sus variables son iguales, es decir:

xa+3 = x12 a + 3 = 12

a = 9

Rpta. ( c )

2) Calcular m + 1m sabiendo que t1 y t2 son trminos semejantes:

t1 = 0,2 ym+2 ; t2 = - 5

a) 6

b) 7c) 5

d) 8

e) 9

Solucin :

Sean t1 y t2 trminos semejantes:

y m+2 = m+2 = 8

m = 6

Luego: m + 1 = 8 + 1 = 9

Rpta. ( e)

3) Calcular la suma de coeficientes de los siguientes trminos semejantes, sabiendo que la nica variable es x.

3axa+5 ; - 7ax8a) -10

b) -8c) -12

d) 12

e) 6

Solucin :

Si son trminos semejantes

xa + 5 = x8 a + 5 = 8

a = 3

Reemplazamos el valor de a en los coeficientes de los trminos y sumamos

3(3) + - 7(3) = 9 21 = -12

Rpta. ( c )

4) Calcular el valor de a + 2b si los tres trminos siguientes son semejantes:

2y a+b ; -0,32y 7+b ; 7

a) 9

b)11c) 5

d) 7

e) 2

Solucin :


y a+b = y 7+b = y9

a + b = 9 ....... ( 1 )

7 + b = b = 2 .... ( 2 )

Si b = 2 Reemplazando (2) en ( 1)

a + 2 = 9

a = 7

Luego: a + 2b = 7 + 2(2) = 7 + 4 = 11

Rpta. ( b)

5) Dar la suma de los coeficientes de los siguientes tres trminos semejantes que tiene a x como nica variable:

3,2mxm+a ; - 0,2m2x2+a ; 0,5mx6a) 3,3

b) 5,8c) 5,6

d) 5,2

e) 6,6

Solucin :


x m+a = x 2+a = x6

m+a = 6 ........... ( 1)2 + a = 6 a + 4 .... ( 2 )

Reemplazando (2) en ( 1)

m + 4 = 6

m = 2

Luego la suma de los coeficientes de los trminos semejantes ser

3,2 ( 2) + - 0,2 ( 2)2 + 0,5 (2)

= 6,4 0,2 (4) + 1,0

= 6,4 0,8 + 1,0 = 7,4 0,8 = 6,6

Rpta. ( e)

1. Hallar el menor coeficiente si los trminos dados son semejantes, de variable y.

- cy c+5 ; 2c2y 5+c ; - 3c3y3a) 2

b) -2

c) 8

d) -3

e) -

Rpta. ( )

2.Escribe (P) en caso que la expresin sea un polinomio y (H) en caso que no lo sea.

a) 2x-5x2+6x5

( )b) 3x-2 + 3x-1 4 + 3x( )

c) 6-6x-2 + 3x

( )

d) 3x-2y3z4

( )

e)

( )

3. Escribe (M), (B) (T) si la expresin es un monomio, binomio o trinomio respectivamente.

a) 4x+3x2+2x2

( )b) 5xy - 5xy2 + 5x

( )

c) (2+3+51x

( )

d) 2xy 3x2y2

( )

e) 6x + 8x3 - 2x 5

( )

4. Calcular b-a sabiendo que t1 y t2 son semejantes de variables x e y.

t1 = a3bx-3y2 ; t2 = ab3xay a+b+1

a) 1

b) 1

c) 7

d) -7

e) 5

5. De los dos trminos del problema anterior, Cul es el menor coeficiente?

a) -108

b) 192

c) 108

d) 192

e) 111

Rpta. ( )

6. Reducir a un solo trmino:

3x2 + 5x + 2

a) 10x2

b) 30x

c) 30x3

d) 10x3

e) Imposible

Rpta. ( )

1. Reducir a un solo trmino

7xy4 - 9xy + 2y4x

a) 6xy4

b) 9xy4

c) 0

d) 9xy4

e) imposible

2. Escribe (P) en caso que la expresin sea un polinomio y (N) en caso que no lo sea.

a) 2x2+6x2- 3x2

( )

b)

( )c) x + 22x2 - 30x3 ( )d) 4x0 + 3x0 + 4x1

( ) e) x-2 + x-1 +x0+ 3x1( )

3. Reducir los siguientes trminos semejantes:

- 11a2b5 + 7 a2b5 + 3 b5a2a) -

a2b5 b) 0c) -2 a2b5

d)a2 b5

e) Imposible

4.El siguiente polinomio es reducible a un solo trmino Cul es el coeficiente de dicho trmino?

P(x) = (a - c) x a+1- 3acx7+(a+c)x 5 - ca) 40x7 b) 25x7c) 48 x7

d) 17x7 e) x7

5.Si todos los trminos del siguiente polinomio son semejantes Cul es el polinomio reducido?

P(y) = (m + t) y m+ t + y8 - (m - t) y t + 7

a) y8 b) 6y8c) 15y8

d) 3y8 e) 9y8

6.Cul de las siguientes afirmaciones son falsas?

I.X7 + X3 = X10

II.6y2 + 4y3 = 10y5

III. Un monomio siempre es una expresin

racional entera.

IV.Un trmino algebraico cualquiera puede ser racional entero o racional fraccionario e inclusive irracional.

7. Cules de las siguientes afirmaciones son ciertas?

I. es un monomio de grado 3.

II. P(x) = x + Es un polinomio.

III. P(x) =

Un polinomio en R.

IV. P(x)=

polinomio en R.

a) Slo II.b) Slo I. c) Todas

d) I y IIIe) Slo III8. Cules de las siguientes afirmaciones son falsas?

I. 3X3 - 10X + es un POLINOMIO

II. No es un POLINOMIO

III. 1 + y2 + y3 + ........ No es un POLINOMIO

IV. 10X-1 + 6X2 + 2 es un POLINOMIO

a) Slo I.b) Slo I y II. c) Slo III

d) Slo IV. e) Todas

9. Cul es el valor de a si se sabe que los trminos son semejantes?

; -

a) 8 b) 10

c) 11

d) 9 e) -1010. Calcular m2 3 sabiendo que t1 y t2 son trminos semejantes.

t1 = 0,23ym+12

t2 = -6,2 2m+10

a) 4 b) 3

c) 0

d) 1 e) 5

GRADO DE UN POLINOMIO

a) GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO (GA)

Esta dado por el mayor de los grados absolutos de sus trminos.

Ejemplo:

El mayor es 8, luego GA = 8

b) GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO (GR)

Esta dado por el mayor de los exponentes de la variable referida.

Ejemplo :

P = (x,y) = 3x4y - 5x3y7 + 2x5y - y4

GRx = 5 GRy = 7


1) Escribir los grados correspondientes a cada una de las expresiones dadas.

EXPRESINGAGRxGRyGRzGRt

-5x7yz412714-

-2

6231-

xy8t1018-1

X + y111--

2x2+x+y221--

2) Cul es el grado de la siguiente expresin?

P (x) = 1 + x +2x2 + 3x3 + 4x4 +

a) 4 b) 10

c) 6

d) 8 e) No tiene gradoSolucin :

Es una expresin de infinitos trminos por lo tanto no es polinomio y no tiene grado.

Respuesta (e)

3) Dar el grado del siguiente polinomio

P(x) = 6 + xm - 3xm+7 + xm+3

a) m b) 6

c) 10

d) m+7 e) 12Solucin :

El grado o grado absoluto, est dado por el mayor de los grados absolutos de sus trminos.

El polinomio es un trinomio de grado m+7.

Respuesta ( d )

4.Hallar m si el siguiente polinomio es de grado absoluto igual a 10.

P(x) = 7 +5xm+6 - 3xm+7

a) 1 b) 5

c) 3

d) 4 e) 2Solucin :

En el trinomio el mayor grado absoluto de sus trminos es m+7,

m + 7 = 10

m = 3

Respuesta ( c )

5. Calcular a si el siguiente polinomio es de cuarto grado.

P(x) = 3

a) 7 b) 2

c) 4

d) 6 e) 5Solucin :

En el trinomio el mayor grado absoluto de sus trminos es a - 3

a - 3 = 4 , a = 7

Respuesta ( a )

1) Escribir los grados correspondientes a cada una de las expresiones dadas.

EXPRESINGAGRxGRyGRzGRt

6x3yz4

X3 +xy - t5

M(x)= 9m4x

P(x;y)=

2) Hallar m+n si el siguiente polinomio es de grado 8 respecto a y y de 3 grado respecto a x.

P(x,y)=1 +

a) 9 b) 12

c) 15

d) 11 e) 17

3) Del siguiente polinomio se conocen los siguientes datos:

GRx = 7;GRy = 8

P(x,y)=

Cul es el GA de P(x,y)?

a) 12 b) 10

c) 9

d) 14 e) 11

4) Hallar m si el siguiente polinomio es de grado absoluto igual a 14.

P(x)=

a) 23 b) 6

c) 14

d) -9 e) 8

5. Hallar la suma de coeficientes de:

P(x) si este polinomio es grado 7

P(x)=

a)

b)

c)

d)

e)

1. Escribir los grados correspondientes a cada una de las expresiones dadas.

EXPRESIN

GAGRxGRyGRzGRt

0,35tz

1-9ytz

3x2y-2

M(x,y)=

E(y,t)= 2y2 3t3

2. Cul es el grado absoluto de la siguiente expresin?

P = (x,y) = 6x4y5 - 0,2x9y + 18xy20 a) 9 b) 21

c) 40

d) 20 e) 103. Cul es el grado absoluto de la siguiente expresin?

P(x,y) = 2

a) 8 b) 5

c) 18

d) No tiene grado

e) 104. Dar el grado del siguiente polinomio.

P(x,y)=0,3

a) 16 b) 13

c) 10

d) No tiene grado

e) 395. Dar el grado del siguiente polinomio.

M(x) = 10 +xm-5 - 2

a) m b) m+2

c) m-5

d) No tiene grado

e) 16. Cul de las siguientes afirmaciones son ciertas?

I. Un polinomio es una expresin algebraica racional entera.

II. El grado es una caracterstica slo de los polinomios.

III. Si los coeficientes de un polinomio son nmeros reales, entonces se trata de un polinomio en R.

IV. Al establecer el grado de un polinomio slo se toman en cuenta los exponentes de las variables.

a) Slo I. b) Slo II. c) Slo III

d) I y II e) Todas7. Calcular a si el siguiente polinomio es de 8 grado.

P(x) = 6

a) 5 b) 0

c) 8

d) No tiene grado

e) 11

8. Hallar la suma de coeficientes de P(x) si este polinomio es de grado 10.

P(x) = 2mxm -

a) 14 b) 28

c)

d)

e) 79. Hallar la suma de coeficientes de P(x) sabiendo que es de GA =12.

P = (x) = 2a2xa+1 - 3axa+5 + 7axa+10 a) 14 b) 12

c) 8

d) 6 e) 16

10. Hallar el valor de m si el polinomio.

P(x,y) = es de GRx = 10

P(x,y)=

a) 1 b) 5

c) 3

d) 7 e) 6VALOR NUMRICO DE UN POLINOMIO

Ejemplo:

P (x)= 2x3 + 3x2 + 3; x = 2

Hallar V.N

P (2)= 2(23) + 3(22) + 3

= 16 + 12 + 3 = 31

El V.N de un polinomio es el resultado de sustituir x por a.

EJEMPLO DE APLICACIN

1) Hallar el V.N de 3xy2 + 3x2y para x = 6; y = -2

a) -144 b) -188c) -288

d) -88 e) -44

Solucin :

3(6) (2)2 + 3 (-6)2 (-2)

= -18(4) 6(36)

= -72 216

= -288

Rpta. ( c )

2) Calcular el V.N de la expresin E para x = -3, y = -2 y m = 1

E =

a)

b)

c) +

d) 19 e) 0

Solucin :

E =

E =

Rpta. ( b )

3) Calcular el V.N de S para a= y b = -2.

a) -2 b)

c)

d) -1 e)

Rpta. ( d )

4) El V.N. de F es 7 para x = 1, y = 2 Cul es el valor de a?

F = ax2 + y2

a) 6 b) 7

c) 3

d) 4 e) 5Solucin :

F = a (1)2 + (2)2 = 7

a + 4 = 7

a = 3

Rpta. ( c )

5) Cul de las siguientes afirmaciones es falsa?

I. El valor numrico (V.N) de una expresin algebraica es siempre un nmero entero.

II. Dado P (x) = x2 + 2x + a2 las nicas variables son a y x.

III. M(a,x)=3a2x7 es un monomio cuya nica variable es x.

IV. En el monomio M(x) = -7 el coeficiente es -7

a) Slo I. b) Slo II. c) Slo III

d) I y II e) Todas

Rpta. ( e )

1.Dado P(x) = 3x3+2x2+x+4; Hallar P(2) - P(1)

Rpta. 28

2.Dado Q(x) = 2x3 3x2 + 5x 3, hallar

Q (3) - Q (4)

Rpta. 583.Si P(x;y) = x2 + 2xy y2 . Hallar P(2;1) + P(1;2)

Rpta. 8

4.Si Q(x;y) = 3x3 2x2 y + 3xy2 2y3 ; hallar

Q (3;2) - 2Q (2;3)

Rpta. 655. El V.N de x2 + xmy + y2 para x = e y = es 50. Calcular el valor que se le debi haber dado a m.

a) 2 b) 3

c) 5

d) 6 e) 106. Si P(x+1) = 3x 2

Calcular

a) 15 b) -13

c) 0

d) 12 e) -10

1. Si P(x) = 3x-1, calcular P (1) P(0)

2. Si P(x) = 2x+1,

calcular

3. Sea P(x) = 3x+1; Q(x) = 2x-3

Calcular:

4.Si P(x) = y Q(x) =

Calcular:

5. Si P(x) = x2+2x+1 y Q(x) = 2x-1 halla

6. Si P(x) = x2+2x+1,halla

7. Si P(x) = 2x + 4, Q(x) = P(x+1). Calcula Q(1)a) 2 b) 4

c) 6

d) 8

e) 108.Si P(x) = 3x + 1

Q(x) = P(X+1) .Calcular

Q

a) 2 b) 4

c) 8

d) 16 e) 329.Si el polinomio P(x) = x2 - 6x +9 determinar el valor de

a)

b) 1

c)

d)

e)

10. Sabiendo que:

f(x-1) = (1 + x) (1 + x2) (1 +x3)(1 + x4)(1 + x5)

Calcule f(o)

a) 1 b) 0

c) -1

d) 2 e) 32

ADICION Y SUSTRACCIN DE POLINOMIOS

Estas operaciones se resuelven eliminando los parntesis de cada polinomio (tomando en cuenta la regla de los signos) y reduciendo los trminos semejantes.

Ejemplo:

Efectuemos la operacin :

(5x2 + 3) + (3zx2 + 2x2y) (7z2+ 4x2y - 8)

= 5x2y + 3 + 3z2 - 2x2y 7z2 - 4x2y + 8

= x2y 4z2 + 11


1. Efecta las siguientes operaciones con polinomios.

a) (7a2 + 6) + (4a2 - 9)

Solucin :

7a2 + 6 + 4a2 9 = 11a2 - 3

b) - (2p3 4pq) - (pq - qp3)

Solucin :

-2p3 4pq - pq - p3q

= -2p + 3pq + p3q

c) (4a2 + 5b2) + (7a2 9b2)

Solucin :

4a2 + 5b2 + 7a2 9b2

= 11a2 4b2

d) (3pq2 4p2q) - (8p2q - 4pq2)

SOLUCIN:

3pq2 + 4p2q 8p2q + 4 pq2= 7pq2 4 p2q

2. Efecta E + F si :

E = 1 + x x2

F = x2 - x 1

a) 0 b) 2

c) x

d) 1 e) 2 + 2x + 2x2

Solucin :Ordenando

E = x2 + x + 1

F =

Rpta. ( a )

3. Efectuar M = 3a2 b - c2S = b + c2 - 3a2

a) 0 b) 2

c) a2

d) 2a e) 6a2 2b 2c2

Solucin :

Ordenando

M = 3a2 b - c2 +

S =

Rpta. ( e )

4. Reducir: pq5 + 3p2q4 + 6pq5

- 2 p2q4 + 3pq5

a) - 8pq5

b) 9pq5+5p2q4c c) 0

d) 8pq5 + p2q4e) p2q4

Solucin :

pq5 + 3p2q4 + 6pq5 - 2 p2q4 + 3pq5

= 8pq5 + 2 p2q4

Rpta. ( d )

1. Cuntos trminos tiene el polinomio que resulta de P( x) + Q(x) Si P( x) = x5 + x3 + 2x

Q= x4 + x2 2 ?

a) 7

b) 6

c) 3

d) 4

e) 5

2)Sean los polinomios

P( x) = 3x5 + 2x4 + 6x3 - 2x2

P( x) = 2x3 + 2x + 3

El coeficiente de x3 que resulta en P( x) = -2Q( x) es :

a) 3

b) 2

c) -2

d) -3

e) 4

3.Si P( x) = 3x4 + 2x3 + 3x2

N( x) = 6x2 - 2x3 + 2x4

El resultado de P( x) N( x) es:

a) x4 + 4x3 3x2b)x4 4x3 + 3x2c) 3x4 3x3

d) 2x4 4x3e) x4 4x3 + 3x24.Si P( x) = ax2 - bx

Q( x) = 2ax2 - 3bx

El coeficiente de x que resulta en P( x) - Q( x)

a) a - b

b) 3b

c) 4b

d) 2b

e) 4b

5. Sean P( x) = (3a 1)x2 + 3x + 2

Q( x) = 4x2 - bx - 2

Y P( x) + Q( x) = 0, halla a + b

a) a

b) 2

c) 3

d) -1

e) -2

1.Dado los polinomios:P( x) = 2x2 + 3x - 5

Q( x) = x2 - x + 7

R( x) = 3x2 + 8x - 10

Hallar

a)P( x) + Q( x)

b) R( x) ) + P( x)c) Q( x) ) - P( x)

d) R( x) ) - Q( x)

e) P( x) + Q( x) - R( x)

2.Las adiciones se pueden ordenar verticalmente. Halla el resultado de cada adicin de polinomios.

a)P( x) : 13x3 3x2 + 5x 64 +

Q( x) ): 24x3 8x2 - 7x 48

R( x) ) : 17x2 - 13x 50

P( x) + Q( x) ) + R( x) :

b)R( y) ) :

Q( y):

R(y) + Q( y) :

3.Dado el polinomio

R( x) : 30x3 - 7x2 - 0,5x + 7,8 determinar un polinomio T( x) para que la suma

R( x) :

T( x) :

R( x) + T( x):

4.De a2 + b + 1 restar la suma de a2 2b con 3b + 1

a) a2 + b b) 2 a2 + b c) 2a2 +b

d) a2 b e) 0

5. Cunto le falta a 1 x para ser igual 1 + x?

a) 3x

b) 2x

c) 2

d) 1

e) 2x

6.

Si P( x) = 1 - x2 + x

Q( x) = 2 x

R( x) = x2 + 2

Cunto le falta a la resta de Q menos R para ser igual a la suma de P ms Q?

a) 3 + x

b)2x2 x - 2

c) x2 x + 1

d) x - 3x2 + 1

e) 1 3x + x27.Cunto le falta a B para que sumado con C d A?

A = x + ; B = 2x - ; c = 1 -

a) x -

b) + 6

c) x +

d) -x-

e) 1 -

8.Cunto hay que restar de 7x2 + 6x + 1 para obtener 6x 7x2 - 7

a) 8

b) x2 + x - 2c) 2x-3

d) x - x2 5 e) x - 7

9. Restar de A, lo que queda de quitarle c a b.

a = 5x2 + x + 3

b = 3x2 5x2 1

c = 3x2 + 2x 7

d = 3x2 + x 1

e = 13x2 5

f = 2x - x2 + 2

g = 11x2 5x + 1

h = 8x2 x + 8

10.

Efectuar

6 + (x2 + x 1) (x + 2) -x(x2 3x + 1)

a) 5

b) 2x

c) 4

d) x -1

e) x + 1

MULTIPLICACIN DE POLINOMIOS

Se resuelve aplicando, la propiedad distributiva una o mas veces segn sea necesario.

Ejemplo:

- 6x2y (4x3y2 3yz4)

= (-6x2y) (4x3y2) + (-6x2y) (-3yz4)

= -24x5y3 + 18x2y2z4)


1. Efecta las siguientes multiplicaciones.

a) -3(5x4y + 8x2y)

Solucin :

b)-5abc2(4ac3 + 1,2ab2)

Solucin :

-20a4bc5 6,0a4b3c2

Solucin :

4x2 - 10x + 10x 25

= 4x2 - 25

d)

Solucin :

= 2x3y6+

2.Efectuar

(x 2) (2 + x) + 4

a) 2x2

b) x + 5c) x2

d) x2 + 1

e) 2x2 - 3

Solucin :

(x 2) (2 + x) + 4

2x + x2 - 4 2x + 4 = x2Rpta. ( c )

3.(x2 1) (x2 + 2) - (1+ x2) (x2 - 2)

a) x2 + 1

b) -2x2

c) x2- 1 d) x + 1

e) 2x2

Solucin :

(x2 1) (x2 + 2) - (1+ x2) (x2 - 2)

= x4 + 2x2 - x2 2 (x2 2+ x4 - 2x2)

= x4 + x2 - 2 (-x2 2+ x4)

= x4 + x2 - 2 + x2 + 2- x4 = 2x2Rpta. ( e )

4.Efectuar:

(x + a) (a + b) + (a - b) (x - b)

- (a + b) (a - b) 2b2

a) 2ax b) ax + bc) ax - b2

d) ax + 2b

e) 2ax

Solucin :

(x+a)(a+b)+(a - b)(x - b)(a+b)(a - b)2b2

Rpta. ( a )

5.Efectuar:

(32x2 - 20x3)+

a) 11x-6 b) 12x + 3c) 13x-1

d) 17x - 1e) 6x + 2

Solucin :

(32x2 - 20x3)+

32x2- 20x3+10x + 20x3 30x2 1 - 2x2 + 3x

= 13x 1

Rpta. ( c )

1.Si R(x) = 6x(2x 1) + x (3x 2)

Q(x) = x(2x 1) + 3(x2 2x+1)

Hallar N(x) = R(x) + Q(x)

2.Si P(x) = 3x (1+2x-x2) 6x + x2

Q(x) = x (1+x) 3x(1 + x)

Hallar A(x) = Q(x) - P(x)

3.Escribir El resultado de las siguientes multiplicaciones

a) (2x +y) (x 2y)

b) (xy -1) (2x 2)

c) (2 + x2) (3x 1)

d) (x -1) (x +1)

4.Hallar el rea de la figura

5.Si P(x;y) = 2xy (x + y) + 3(3x2y+2y2x)

Q(x;y) = (x + y) x + y 2xy (4-3) (x+y)

El nmero de trminos de:

A(x;y) = P(x;y) + Q(x;y) es

a) 0

b) 1c) 2d)3e)4

1)Dado los polinomios:

P(x) = 5x2 6x + 4

Q(x) = 8x2 5x + 3

R(x) = x3 2x2 5x + 4

Hallar el resultado de las siguientes operaciones

a)4 P(x)

b)7x2 Q(x)

c) 8 R(x)

d) 5x2y P(x)

e) 10xy2Q(x)f) -7x2y3 R(x)

2) Efectuar ls siguientes multiplicaciones y hallar el resultado reducido.

a) (x+5) (x + 2)

b) (2x + 3) (x + 1)c) (3x - 2y) (5x + 3y)

d) (x - 3) (x - 3)

e) (x + 7) (x - 7)

f) (x - y) (x + y)

3) Hallar el rea de la siguiente figura.

a) 36xyb) 12xz

c) 36zy

d) 12zye) 12x(3y + z)

4) Efecta la siguiente operacin combinada.

a) 4a2 2a (3a + 5b2)

b) 3a (b + 2c) 4ab

5)Efecta

2x (3y - x) + y (x + 2y)

6)Halla el rea de la regin sombreada

a)3x2b) x2 4c) 3x2 + 8x

d)3x 2

e) 2x2 2

7.Halla el rea de la regin sombreada:

a) 12x2 + 3x

b) 15x2 - x

c) 11x2 + 22x

d) 30x - 4x2e) 15x2 8x8. Efecta

- 3n (5m3 n) 1,5m (-2m2n 7n)

a)- 12m3n + 10,5 mn

b) 15m3 n + 3 n2c) 18m3 + 3n2 + 10,5mn

d)22m3 + 10,5mn

e) 3m3 n + 3 n29. Efecta

- 6xy (3x2 + 2xy)+ 3x2 (9x + y2)+ 4x2y2

10. Halla el rea de la regin sombreada.

x + 1POTENCIACION DE POLINOMIOS

Recordemos que:

an = a x a x a x a x . a = P

n veces

Es decir: la potencia P es el resultado de multiplicar por si mismo n veces una base a. Si esta base es un POLINOMIO, entonces tendremos POTENCIACION DE POLINOMIOS.

Ejemplo:

(5x+3)2 = (5x+3) (5x+3)

= 25x2= + 15x + 15x + 9

= 25x2= + 30x + 9


1. Efectuar:a) ( x - 1) 2Solucin :

( x - 1)2= ( x - 1) ( x - 1) = x2 - x x + 1

= x2 - 2x + 1

b) (3x2 + 6) 2

Solucin:

= (3x2 + 6) 2 = (3x2 + 6) (3x2 + 6)

= 9x4 + 18x2 + 18x2+ 36

= 9x4 + 36x2 + 36

c)

Solucin :

=

EMBED Equation.3 =

=

2. Efectuar:

( x + 1) 2 - ( x - 1) 2 a)2x 1b) x + 1c) 6x 3

d) 7x + 3e) 2x

Solucin :

(x + 1)2 - ( x - 1) 2

= (x + 1) (x + 1) - ( x - 2) ( x - 2)

= x2 + x + x + 1 (x2 - 2x 2x + 4)

= x2 + 2x + 1 (x2 - 4x + 4)

= x2 + 2x + 1 x2 + 4x - 4)

= 6x 3

Rpta. ( c )

3. Efectuar:

= 7 ( x 7 )2 - 7 ( x + 7 )2a) 196

b) 196x

c)-196x

d) 192x

e) -192x

SOLUCIN:= 7 (x - 7) (x - 7)- 7 (x + 7) (x + 7)

=7(x27x-7x+49)7(x2 +7x+7x+49)

=7( x214x+49 ) 7( x2 +14x+49 )

=7x2 7(14x)+7(49)7x2 7(14x)-7(49)

- 2.7 (14x)

= - 14 (14x) = -196x

RPTA ( C )

4.Efectuar:

( x3 - 3x) 2 -

a)1b) 5c) 7d) 4 e) 8

Solucin :

( x3 - 3x) ( x3 - 3x) -

x6 - 3x4 - 3x4 + 9x2 (x2 - 1) (x2 -1) (x2 - 4)

x6 - 6x4 + 9x2 (x4 2x2 + 1) (x2 -4)

x6 - 6x4 + 9x2 (x6 2x4 + x2 4x4 + 8x2 -4)

= x6 - 6x4 + 9x2 (x6 6x2 + 9x2 4)

= x6 - 6x4 + 9x2 x6 6x2 + 9x2 4

= 4

Rpta (d)

1.e que grado es el siguiente polinomio?

P(x) = x3 (x5 3)2 + 3x (x8 + 1)2

a)15

b) 13

c) 17

d) 14

e) 8

2.Dar el grado del producto de P(x) y Q(x) sabiendo que:

P(x) = (x17 + x2 + 1)2 (x + 5) + x3 - 3

Q(x) = (2x7 - 5x3 + 3)x2 - x 1

a)12

b) 15

c) 22

d) 44

e) 36

3.Cul es el trmino independiente al elevar al cubo el binomio (x + 4)?

a) 4

b) 64

c) 8

d) 12

e) -12

4.Dar el trmino que no depende de y al efectuar (2y + 2)3

a) 4

b) 6

c) 8

d) 5

e) 7

1.Efectuar:

a)(3m5 + 3)2

b)(3mn2 - 3)2c)(a 2b)4d) (x2 - 1)42.Efectuar: (x + 3)2 (x + 1)

a) 2x + 1

b) 6x + 9

c) 6x + 8

d) 4x + 8

e) 4x + 9

3.Hallar:

(x2 + 3)2 (x2 - 2)2 (3) + 2x4 18x2 8

a) 9

b) 12

c) - 8

d) - 11

e) 13

4. Cul es el grado del producto P(x) y Q(x) sabiendo que:

P(x) = (2x10 + 3)2 x3 + 1Q(x) = (x18 3x12) x2 x + 3

a) 36

b) 24

c) 56

d) 20

e) 44

5. Cul es el trmino independiente al elevar al cubo el binomio (3m2 + 6)?

a) 36

b) 12

c) 18

d) 216

e) -24

6. Dar el trmino que no depende de z al efectuar (3z + 8)3

a) 24

b) 64

c) 512

d) 16

e) -32

7. Efectuar :

(x + 3)2 - (x - 1)2 + (x - 3)2 - (x + 1)2

a) 18b) - 2

c) 16

d) - 6e) 10

8. Efectuar :

(x + 5)2 - (x + 2)2 - (x - 2)2 - (x - 5)2

a) 50b) 25

c) 42

d) - 8e) 21

9. Dar el trmino independiente al efectuar (x + 3)2 - (18x + 32)

a) - 32b) 9

c) - 23

d) 41e) - 9

10.Dar el grado del producto A(x), B(x) y C(x) si se sabe que:

A(x) = (2x3 - 1)2 x4 + x - 6

B(x) = (x2 - 3)2 x + 5x2 - 1

C(x) = (x - 5)2

a) 10b) 17

c) 15

d) 19e) 14

SUMA DE COEFICIENTES

Dado un polinomio:

Para hallar la suma de coeficientes de un polinomio basta igualar a 1 sus variables y operar, el resultado nos da la suma de coeficientes del polinomio.

Ejemplos

1. Si P(x) = 3x2 + 5x + 2, hallar la suma de coeficientes de P(x):

Resolucin:

P(x) = 3x2 + 5x + 2

P(1) = 3(1)2 + 5(1) + 2

P(1) = 3 + 5 + 2 = 10

Suma de coeficientes de P(x) es 10.

2. Si P(x) = (x + 1)3 + (2x 1)2 + (3x 2)4 Cul es la suma de los coeficientes de P(x)?

Resolucin:

P(x) = (x + 1)3 + (2x - 1)2 + (3x - 2)4

P(1) = (1 + 1)3 + (2 - 1)2 + (3 - 2)4

= 23 + 12 + 14

= 8 + 1 + 1 = 10

Suma de coeficientes de P(x) es 10.

TERMINO INDEPENDIENTE

Para hallar el trmino independiente de un polinomio, respecto a unas variables, basta con igualar a cero dichas variables, operar y el resultado nos da el valor del trmino independiente del polinomio.

P(0) = trmino independiente del polinomio P(x)Ejemplos

1. Si P(x) = x2 - 5x + 3x + 18 Cul es el trmino independiente de P(x)?

Resolucin :

Vemos que el trmino independiente es 18. Un modo de obtener este trmino es haciendo x = 0, esto es:

P(x) = x2 - 5x + 3x + 18

P(0) = (0)2 5(0) + 3(0) + 18

P(0) = 18 (Trmino independiente de P(x).

2. Si Q(x) = (x + 1)2 10(x + 3). Hallar el trmino independiente de Q(x).

Resolucin :

Q(x) = (x + 2) 3 + (x + 1) 2 - 10(x + 3)

P(0) = (0 + 2)3 (0 + 1) 2 - 10(0 + 3)P(0) = 23 +12 - 10(3) = 8 + 1 - 30 = -21

El trmino independiente de Q(x) es - 21.

1. Hallar la suma de coeficientes en los siguientes polinomios.

a) P(x) = 7x3 + 3x2 - 5x + 2

b) N(x)= (2x3)4 + (2x 1)3 + (x + 1)=

c) T(x) = (3x 2)2 + (4x 3)3 + 6x52. Hallar el trmino independiente de cada uno de los siguientes polinomios

a) P(x) = 8x3 5(x2 + 1) + 7 (x2 1)

b) A(x) = 2x4 5x3 - 3x2 4 (x2 10)

c) C(x) = 3x2 (x2) + 4(x3 3) (2x4 + 5)

3. Sean A = x10 - x8 - x4 + 10x2 + 3

B = 3x4 + 2x3 - 5x

Hallar el coeficiente principal de B A

4.Si f (x) = x2 4x 1

g (x) = x3 4x 1

Hallar el trmino independiente de P(x) = f (x) g(x)

5.Hallar el trmino independiente del polinomio

P(x) = (x + 1) (x + 2) + (x - 1) x (x - 2)

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

6. De cul de los polinomios su trmino independiente es diferente de cero?

a) (2x 1) (4x 2) (3x)

b) (2x) (6x) - (3x) (2x3)

c) x4 - 3x3 + 4x2 5x

d)(2x - 1) (6x - 2) (4x -2) (3x - 1)

e)(2x - 1) (5x + 2) + (x + 1) (x2 + 2)

1. Halla la suma de coeficientes de cada uno de los siguientes polinomios.

a)Q(x)= 8x3 + 10x2 - 15x - 3

b)P(x)= 8(x2 1) + 5(x + 2) - 3

c)M(x)= (x + 1) 3 + (x - 1) 2 + 3(x + 2)

2. Hallar el trmino independiente de cada uno de los siguientes polinomios.

a) Q(x)= 4x2 6(x2 + 1) + 7 (x3 + 2)

b)R(x)= 3(x + 2)3 +(x + 3)2 - 2(x + 10)

c) B(x)= (x2+2)3 - (x3 - 2)3 + (x+2)(x-3)

3. Sean A = x2 + 3x + 2

B = x3 + 3x - 3

Hallar el trmino independiente de AB.

4. Sean A = x4 - x3 + 2x2 5x- 3

B = 3x4 + 2x3 5x

Hallar la suma de coeficientes de A + B

5. Sean P (x)= 3x(x3 2x + 3)

Q (x) = 2x (x2 3x + 1)

Hallar a) P(0) + Q(0)

b) Si N(x) = P (x) + Q(x)

Hallar N (0)

6. Si P (x)= (x 2) (x + 3) (x2 2)

Q (x) = (x + 1) (x 2) (x3 1)

Hallar a) P(2) + Q(2)

b) Si A(x) = P (x) + Q(x)

Hallar A (2)

7. Si B (x)= A(x) (x3 3x2 3x+2)

A (x) = 4x2 3x + 8

Hallar el trmino independiente de B (x)

8. Hallar la suma de coeficientes de:

P(x) = (x4 3x2 + 2X 1) (x5-4x2+2x+1)

9. Si P (x) = 3x2 + 4x 6 y

Q(x) =x3 2X2 + 3x-1

Hallar la suma de coeficientes de:

A(x) si:

A(x) = P(x) . Q(x)

a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

10) Hallar el trmino independiente de P(x) Q(x)

Si: P (x) = 4x3 +3x2 + 2x - 3

Q(x) = x4 2X3 - 2x2+3x

a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

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Recuerda que:

am : an = EMBED Equation.3 = am - n

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c)

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a0 + a1 + a2 + . + an : Suma de coeficientes

a0 : coeficiente principal

an : trmino independiente

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algebra volumen i

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