ESCUELA:

NOMBRES

ALGEBRA

FECHA:

Ing. Germania Rodriguez

SEPTIEMBRE 2008 – FEBRERO 2009

1

Escuela de Ciencias de la Computación

I BIMESTRE

Teoría de conjuntosII. Conceptos Fundamentales de AlgebraIII.Ecuaciones y DesigualdadesIV.Funciones y gráficasV. Funciones Polinomiales y

racionalesVI.Funciones exponenciales y

logaritmicas

3

Teoría de Conjuntos

DefiniciónPertenencia єTabulación y ComprensiónTipos de conjuntos: Vacio, Unitario, Finito, Infinito, Potencia Relaciones: Inclusión, Comparables cOperaciones: Unión, Intersección, Diferencia, Diferencia Simétrica

EJEMPLO: A={b,c,d,e} ; B={c,e,h,f,k} y C={a,b,e,h}

Sistema de Números Reales

-∞ ………-30/3….. -√25.. -∏ -3/2 -1 0 1 3/2 ∏ √25…30/3…….∞

Exponentes y RadicalesLeyes de los exponentes

Ley Ejemplo

a0 = 1 30 = 1

a-n = 1 / a 3-3 = 1 / 33 = 1 /27

aman = a m+n 23.24 = 23+4=128

(am)n = a m.n 23.22 = 23.2 =64

Exponentes y RadicalesLeyes de los exponentes

Ley Ejemplo

(ab)n = anbn (20)3 = (2.10)3 =23 103 =8.1000 = 8000

(a / b)n = an /bn (2 / 10)3 = 23 /103 = 8 / 1000

am / an = a m-n

an / am = a n-m

25 / 23 = 25-3 = 22 = 4

23 / 25 = 23-5 = 2-2 = 1/22=1/4

Ejemplo:

Exponentes y RadicalesLeyes de los radicales

Ley Ejemplo

n√a.b = n√a. n√b √ 25.2 = √25. √2 = 5 √2

n√(a/b) = n√a / n√b √ 25 / 2 = √25 / √2 = 5 / √2

m√n√a = mn√ a √3√64 = 2.3√64 = 6√26

a1/n = n√ a 271/3 = 3√ 27 = 3

am/n = (n√ a)m = n√ am 23/2 = (2√2)3 = 3√23 = 3√8

Exponentes Racionales

Ejemplo:

Expresiones AlgebraicasColección de variables y números realesPOLINOMIOS:

Suma de cualquier número de monomios (una expresión de la forma axn) anxn + an-1xn-1+…+a1x+a0 Polinomio de Grado n

OPERACIONES Suma, Resta, Multiplicación y División

Ejemplo: x3 – 3x2 +4 y x2+x+2

Expresiones AlgebraicasFórmulas de Productos

Fórmula Ejemplo

(x + y)(x – y) = (x2-y2) (2a + 3)(2a - 3) = (2a) 2 – 32 = 4a2 - 9

(x ± y)2 = (x2 ± 2xy+y2) (2a - 3)2 = (2a)2–2(2a)(3)+ 32

= 4a2-12a+ 9

(x ± y)3 =(x3±3x2y+3xy2±y3) (2a+3)3 = (2a)3–3(2a)2(3)+ (2a)32+33

= 8a3+36a2+ 18a +27

Ejemplo:p8 – q8 =

Expresiones AlgebraicasFactorización

Fórmula Ejemplo

( x2- y2) =(x + y)(x – y) 4a2 – 9 = (2a) 2 – 32 = (2a + 3)(2a - 3)

(x3- y3) = (x - y)(x2 + xy+y2) (8a3 - 27) = (2a)3– 33

= (2a – 3)(4a2+6a+ 9)

(x3+ y3) = (x + y)(x2 -xy+y2) (125a3 + 8) = (5a)3+23

= (5a+2)(25a2-10a+ 4)

Ejemplo:x3 – 8 =

Expresiones FraccionariasExpresión racional del tipo p/q donde p

y q son polinomiosCociente Denominador 0 si: Dominio

6x 2- 5x + 4 x2 - 9

x = ±3 Toda x ≠ ±3

x 3 – 3x 2y + 4y 2

y – x3

y = x3 Toda x y y tales que y ≠ x3

Ejemplo:

CAPITULO IIEcuaciones y Desigualdades

•Ecuaciones.•Problemas aplicados.•Ecuaciones cuadráticas•Números complejos•Otros tipos de ecuaciones•Desigualdades.

EcuacionesSon expresiones algebraicas (igualdades) que contienen al menos un valor desconocido incógnita tienen una sola solución; para resolverla se debe obtener expresiones equivalentes y para esto se debe sumar o restar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación o también se puede multiplicar o dividir ambos lados por la misma cantidad, tratando de aislar la incógnita a un solo lado de la ecuaciónLas ecuaciones más básicas donde la incógnita esta elevada a potencia 1 ose denominan Ecuaciones Lineales son de la forma ax + b = 0 para resolverla aplicamos resolución de las ecuaciones Ejemplo ax + b - b = 0 – b

ax / a = -b / a x = -b / a

Ecuaciones CuadráticasUna ecuación cuadrática posee la incógnita a la segunda potencia, su forma general es: ax2+bx+c = 0;a≠0 Esta ecuación tiene a lo sumo dos raíces (soluciones).

Para resolverla se puede aplicar:• Factorización que consiste en transformar a la ecuación cuadrática en dos factores, para luego igualar a 0 cada factor y obtener así las soluciones.

Ecuaciones Cuadráticas• Completar el trinomio cuadrado perfecto método que consiste en agregar la mitad del coeficiente del término en x (b) elevado al cuadrado, a los dos miembros de la ecuación, obteniéndose así un trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro, que luego se soluciona aplicando el método de la raíz cuadrada

• El método más fácil y más sencillo es el de aplicar la fórmula cuadrática: x=(−b±√b2−4ac)/2a donde b2−4ac es el discriminante de la ecuación si es mayor a cero las soluciones son dos raíces reales y diferentes, y si es menor a cero la solución no esta en los números reales

Ejemplo:x2 + 2x – 3 =

Números ComplejosLos números complejos se necesitan para expresar la solución de ecuaciones que no se halla en el conjunto de números reales, por ejemplo la raiz cuadrada de un número negativo Ejm: x2 = -9 para poder expresar la solución de este tipo de ecuación se utiliza i = √-1 de donde i2 = -1 Con este término x = √-9 la solución sería x=3i Los números complejos contienen a los reales normalmente se forman de una combinación de un real y el imaginario. Se puede realizar operaciones entre ellos como suma, resta, multiplicación, división

Otro tipo de ecuacionesEcuaciones con valor absoluto

2|4x-1| + 1 = 7

Solución de una Ecuación por agrupación

20x3+8x2-35x-14=0

Ecuaciones con exponentes racionalesy3/2 = 5y

Ecuaciones con radicales √(3x+1) - √(x+4) = 1

DesigualdadesTambién llamada inecuación para resolverla se debe encontrar el conjunto de valores que hacen verdadera la desigualdad. Una desigualdad puede tener un número infinito de soluciones que se representan en la recta numérica o en intervalos.Se resuelven igual que las ecuaciones aislando la incógnita aplicando operaciones iguales en ambos lados, con la diferencia que al multiplicar ambos lados por un valor negativo la desigualdad cambia de sentido Ejm: 4x – 3 < 2x + 5 Desigualdad continua 4 ≥ 3x+5 > -1 Desigualdad racional 4 / (3x+2) ≥ 0

DesigualdadesDesigualdad con valor absoluto

PROPIEDADES|a| < b equivale a –b < a < b|a| > b equivale a a < –b o a > b

Ejemplo:|x+5| < 3, |x+5| > 3 y |x+5| = 3

Desigualdad CuadráticaFactorar y utilizar diagrama de signos

Ejemplo 25x2 – 9 < 0

CAPITULO III Funciones y gráficas

Sistema de coordenadas rectangularesGráficas de ecuaciones.RectasDefinición de funciónGráficas de funcionesTipos de funcionesFunciones cuadráticasOperaciones sobre funciones

Sistema de coordenadas rectangulares

Formado por la intersección de dos rectas numéricas una horizontal y otra vertical llamados ejes coordenados, que forman cuatro semirectas y cuatro cuadrantes; el punto de intersección se denomina origen. Un punto cualesquiera quedará representado en este plano por medio de sus coordenadas P(a,b), que no son más que las distancias que existen entre el punto considerado y los ejes coordenados.

II I

III IV

P(a,b)

a

b

O

Sistema de coordenadas rectangulares

De manera general cada par ordenado de números reales constituye una relación y la ubicación de estas parejas ordenadas en el plano, constituye el gráfico de la relación.

Una de las fórmulas básicas de la Geometría analítica es la fórmula de la distancia entre dos puntos que tiene la siguiente forma:

d(P1,P2)= √(x2−x1)2+(y2−y1)2

El punto medio M de un segmento entre P1y P2

M= x2+x1 , y2+y1

2 2

Gráfica de ecuacionesGraficar una ecuación quiere decir representar en un sistema de coordenadas todas los pares ordenados que hacen que la relación se cumpla, así por ejemplo si la relación esta dada por la fórmula 2y=x2 algunos de los pares ordenados que cumplen con la relación son (0,0), (2,2), (1, 1/2), (−2,2) etc. Si representamos estos pares ordenados y luego los unimos tendríamos:

(0,0)

(2,2)

(1,1/2)

(-2,2)

Gráfica de ecuacionesCuando se grafica se debe considerar algunas definiciones:INTERSECCIONES: que son los puntos por donde la gráfica de la ecuación corta los ejes coordenados x o y. Estos valores se encuentran x=0 para encontrar la intersección con y, y para encontrar la intersección con x, hacemos y = 0SIMETRIAS: La gráfica de una ecuación también puede ser simétrica, esto quiere decir que la porción de la gráfica en un cuadrante es imagen (como reflejada en un espejo) de la gráfica en otro cuadrante. Para saber si la gráfica es simétrica con respecto al eje x reemplazamos y por − y en la ecuación, y viceversa para el eje y reemplazamos x por -x

Gráfica de ecuacionesCIRCUNFERENCIAS: Una circunferencia se define como un conjunto de puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro siempre es constante. La distancia constante se llama radio. Se aplica la fórmula de la distancia para encontrar la ecuación del conjunto antes mencionado.La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera:

(x−h)2+(y−k)2=r2 Si la circunferencia tiene su centro en el origen del sistema, la ecuación adopta la siguiente forma: r2 = x2 + y2 Al estudiar la circunferencia pueden presentarse dos tipos de ejercicios; dados los elementos de la circunferencia es decir el centro y el radio encontrar su ecuación y, dada la ecuación de la circunferencia, encontrar sus elementos. EJEMPLO: Obtener la ecuación dado centro (2,-3) radio 5 yObtener el centro y el radio dada x2 + y2 +4y -117 = 0

RectasLa ecuación de la recta tiene la forma

ax + by = c

Dada la ecuación podemos obtener la recta calculando las intersecciones.

EJEMPLO 2x – 5y = 8

La pendiente de la recta es M = (y2-y1) / (x2-x1)

PARALELAS: dos rectas son paralelas cuando tienen igual pendiente M

PERPENDICULARES: dos rectas son perpendiculares cuando M1.M2 = -1

FunciónUna relación es una correspondencia entre los elementos de 2 conjuntos Ejemplo relaciones familiares, laborales, numéricas.Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que, a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del rango. Una función f de un conjunto D a un conjunto E es una correspondencia que asigna a cada elemento de x de D un único elemento de y de E.

D Ef(x) = x3

y = x3

x y

-2 -8

-1 -1

0 0

1 1

2 8

FunciónSe debe resaltar que en una función existen dos tipos de variables, la variable que puede tomar diferentes valores (en este caso x se denomina variable independiente y la variable que depende de los valores tomados por x, que se denomina variable dependiente (en este caso y). Además gráficamente el Rango se ubica en el eje x y el dominio en el eje yPRUEBA DE LA RECTA VERTICAL Es una forma de saber si el grafico de una relación corresponde al gráfico de una función, que consiste en trazar una recta vertical por cualquier parte del grafico. Si la recta vertical corta al grafico en un punto, el gráfico constituye el gráfico de una función; caso contrario no

Gráficas de Funciones

Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica, que es la gráfica de las parejas ordenadas de números reales que constituyen la función. Cuando se dibuja la gráfica de una función, los valores del dominio se asocian por lo regular al eje horizontal y los valores del rango con el eje vertical.

Función creciente, decreciente o constante

En un intervalo I del dominio de una función ff es creciente en I si f(b) > f(a) siempre que b > a en el intervalo If es decreciente en I si f(b) < f(a) siempre que b < a en el intervalo If es constante en I si f(b) = f(a) siempre que b = a en el intervalo I

Continuidad una función es continua cuando la gráfica esta unida en todo su dominio, es decir no existen punto en x que no tengan valor en y

Paridad de una funciónAl reemplazar la variable x por –x

Si f(-x) = f(x) la función es parSi f(-x) la función es impar

Si f es par entonces es simétrica al eje vertical ySi f es impar entonces es simétrica respecto al origen

EJEMPLOS:Si f(x) = x2 – 1 entonces f(-x) = (-x)2 – 1 = x2 – 1 función parSi f(x) = 2x – 3 entonces f(-x) = 2(-x) – 3 = -2x – 3 función impar

Tipos de FuncionesFunciones LinealesDel tipo f(x) = ax + b a ≠ 0Se llaman así porque su gráfica es una línea recta

Funciones CuadráticasDel tipo f(x) = ax2 + bx + c a ≠0Su gráfica es una parabola

Operaciones con FuncionesCon las funciones se pueden realizar las cuatro operaciones aritméticas básicas suma, resta, multiplicación y división, pero además tienen una operación propia llamada composición que se denota con o se da entre dos o más funciones

La función resultante será (f o g )(x) = f (g (x)) y en caso de (g o f)(x) = g (f (x))

EJEMPLO:

Si f(x) = 1/x y g(x) = x2 + 3x - 2 obtener (f o g )(x) y (g o f)(x)

CAPITULO IVFunciones polinomiales y Racionales

Funciones polinomiales de grado mayor que 2Funciones racionales.

Funciones polinomiales y Racionales Tienen la forma

f(x) = an xn + an-1 xn-1+ ….. + a1 x + a0

Que es un polinomio de grado n y con an ≠ 0Los casos para grado de 0 a 2 se resumen en la siguiente tabla:

Todas las gráficas de las funciones polinomiales son continuas

Grado de f Forma de f(x) Gráfica de f (con intersección en y)

0 f(x) = a0 Recta horizontal

1 f(x) = a1x+a0 Recta con pendiente a1

2 f(x) = a2x2+a1x+a0 Parábola con eje vertical

Funciones polinomiales de grado mayor a 2

Sí ƒ es de grado n y todos los coeficientes excepto an son cero entonces: f(x)=axn en donde a=an≠0Si n es impar es una función impar por tanto simétrica al origen

EJEMPLOf(x) = ½ x3

y= ½ x3

x y

-2 -8/2=-4

-1,5 -27/16=-1,7

-1 -1/2=-0,5

0 0

1 ½=0,5

1,5 27/16=1,7

2 8/2=4

Si n es par f es una función par por tanto la gráfica es simétrica respecto a y, algunos ejemplos

Funciones polinomiales de grado mayor a 2

Normalmente se puede obtener una gráfica muy precisa con los siguientes pasos Pág. 2632.Calcule ƒ(-x) para determinar si la gráfica tiene alguna simetría 3.Calcule el intersecto ƒ(0) en y.4.Factorice el polinomio.5.Determine los intersectos en x, hallando las soluciones reales de la ecuación ƒ(x) = 0.6.Trace una recta numérica. Determine los signos algebraicos de todos los factores entre los intersectos en x. Esto indicará dónde ƒ(x) > 0 y donde ƒ(x) < 0. 7.Grafique la función utilizando los resultados de los pasos 1 – 5 y marcando puntos adicionales donde sea necesario

Funciones polinomiales de grado mayor a 2

EJEMPLO: x3 + x2 – 4x - 4

Funciones racionalesTienen la forma R(x) = P(x) donde Q(x) ≠ 0

Q(x) Sea R una función racional definida como cociente de dos polinomios de la forma R(x)= amxm+.......+a1x+a0

bnxn+.......+b1x+b0 donde am,bn≠0

División de polinomios objeto bajar el grado de un polinomio

TEOREMA ASINTOTAS HORIZONTALES: Pág. 3081.- Sí m< n, el eje x (y = 0) es una asíntota horizontal.2.- Sí m =n, la recta y=ambn es una asíntota horizontal.

3.- Sí m > n, no hay asíntotas.

Gráfica de Funciones racionalesSi f(x) = g(x) / h(x) donde g(x) y h(x) son polinomios se debe seguir las siguientes pautas: Pág. 3092.Encontrar las intersecciones con x, haciendo g(x) = 03.Hallar la asíntota vertical resolviendo h(x) = 04.Encontrar las intersecciones con y, obteniendo f(0), trazamos la intersección (0,f(0))5.Aplicar teorema de asíntotas horizontales y=c6.Si existen asíntotas horizontales determinar si corta la gráfica con f(x) = c7.Trazar la gráfica en cada región

EJM: x 2 – x - 6 x2- 2x - 3

CAPITULO VFunciones exponenciales y

Logarítmicas

Funciones exponenciales.Función exponencial naturalFunciones logarítmicas.Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Funciones ExponencialesTienen la forma f(x)=ax

En donde x es cualquier número real.

Si a >1 la función exponencial ƒ con base a, es creciente para todos los reales.

Funciones Exponenciales• El dominio de ƒ es el conjunto de los números reales (el gráfico se extiende indefinidamente a lo largo del eje x positivo y negativo).

• El rango de ƒ es el conjunto de las reales positivos. (el gráfico se extiende indefinidamente hacia arriba del eje de las x).

• El intersecto en y para la gráfica de ƒ es 1.

• La gráfica no tiene intersectos en x. El eje x es una asíntota horizontal para la gráfica de ƒ.

• La función ƒ es creciente si a > 0 y decreciente si 0< a < 1.

• La función ƒ es biunívoca (uno a uno).

Funciones ExponencialesOtra forma de funciones exponenciales podría ser:

f(−x) = 3(−x)2=3x2 = f(x)

Lo que implica que ƒ es una función par. En consecuencia la gráfica es simétrica con el eje y. El intersecto en y de la gráfica es ƒ(0) = 30 = 1.Utilizando esta información y marcando los puntos que resultan de la tabla anexa podemos graficar la función que se muestra a continuación.

x y

-2 81

-1 9

0 1

1 9

2 81

Funciones Logarítmicas FUNCION EXPONENCIAL NATURALLa base e.- El número irracional e es el que se usa con mayor frecuencia como base exponencial tanto para fines teóricos como prácticos. De hecho: f(x)=ex

FUNCION LOGARITMICALa inversa de una función exponencial de base a, se llama función logarítmica de base a y se representa por loga Sus valores se representan como loga(x) o como logax, puesto que:

f−1(x) sí y solo sí x=f(y)La definición de loga se puede expresar de la siguiente manera:

y=loga(x) sí y solo sí x=ay Pág. 349

Funciones Logarítmicas

EJEMPLOS

Gráficas características

Graficar Funciones Logarítmicas METODO 1 Pág 352Dado y=logax donde ax es su inversa graficamos y = xa trazamos la línea y = x y reflejamos la gráficaMETODO 2Dado y=logax con x= ak donde y=logax=k es el número real nos proporciona los puntos de la gráficaMETODO 3Pasar a la forma exponencial y=logax donde x = ay dar valores a y para encontrar a x y graficasEJEMPLO: f(x) = log2 (x+4)

Funciones Logarítmicas Propiedades de las gráficas

• El dominio de ƒ es el conjunto de los números reales positivos (el gráfico se extiende indefinidamente a lo largo del eje x positivo).• El rango de ƒ es el conjunto de las reales (el gráfico se extiende indefinidamente hacia arriba y hacia abajo del eje de las x)• El intersecto en x para la gráfica de ƒ es 1. La gráfica no tiene intersecto en y.• El eje x es una asíntota vertical para la gráfica de ƒ.• La función ƒ es creciente en el intervalo (0, ∞) si a > 1 y decreciente en el intervalo (0, ∞) si 0< a < 1.• La función ƒ es biunívoca (uno a uno).

Propiedades Funciones Logarítmicas

log u.w = log u + log w

log u / w = log u - log w

log uc = c log u

Se aplican igual para logaritmos comunes como para logaritmos naturales Pág. 349

EJEMPLO: log4 (x+1) = 2 + log4 (3x-2)

BIBLIOGRAFIA

Algebra y Trigonometría con geometría analítica, Eart Swokowski y Jeffery Cole, THOMSON, Décima Edición

Guía Álgebra, Informática, Ing. Julio González Zuñiga, Editorial UTPL

Ing. Germania Rodríguez MoralesUNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJA

Gestión del ConocimientoMail: grrodriguez@utpl.edu.ec

Skype: grrodriguez78

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