algebra i tercer año

8/18/2019 Algebra I Tercer Año

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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Álgebra Álgebra 7 8

TEMA: TEORÍA DE EXPONENTES

CONCEPTOEstudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que

existen entre ellos, mediante leyes.La operación que da origen al exponente es la potenciación.

POTENCIACIÓNEs la operación que consiste en repetir un número denominado base,

tantas veces como factor, como lo indica otro número que es el exponente,el resultado de esto se le denomina potencia.

Representación:

.

veces"n"Base

nAx.......xAxAxAA

.

Ejemplos:1. 813x3x3x33

veces4

4

2. 642x2x2x2x2x22veces6

6

3.

vecesn

nnx.......nxnxnxnn

4.

veces5

5

2

1x

2

1x

2

1x

2

1x

2

1

2

1

5.

veces7

7

3x3x3x3x3x3x33

LEYES FUNDAMENTALES1. Producto de Potencias de Igual Base

. xa . xb = xa+b .

Ejemplos:1. 23 . 24 = 23+4 = 27 2. 2–5 . 2-4 . 27 = 2–5–4+7 = 3–2

2. Cociente de Potencias de Igual Base

. ba

b

a

x x

x

. x 0

Ejemplos:

1. 4

8

2

2 = 28–4 = 24

2. 5

6

2

2

= 2–6–(–5) = 2–1

3. Producto de Potencias de Diferente Base

. xa . ya = (x . y)a .

Ejemplos:1. 23 . 43 = (2 . 4)3 2.

3 . 6 = (3 . 5)


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4. Cociente de Potencias de Bases Diferentes

.

a

a

a

y

x

y

x

. y 0

Ejemplos:

1. 3

3

3

3

4

2

4

2. 3

3

3

2

8

2

8

5. Potencia de Potencia

. c ba

c ba

x x

..

.

OBSERVACIÓN:( X A) B = ( X B) A = X A . B

6. Exponente Negativo

. a

a

x

x 1

. . aa

x

y

y

x

. x 0 y 0

Ejemplos:

1. 2

12

1

2. 2

222

2

3

2

3

3

2

7. Exponente Nulo o Cero

. x0 = 1 . x 0

Ejemplos:

1. 13 0

xy

2. 15

y3x2

0

8. Exponente Fraccionario

. b aba

x x . b 0

Ejemplos:

1. 3 232

x x

2. 3 535

x x

9. Producto de Radicales Homogéneos

. aaa

y x y x ..

.

Ejemplos:1. 3333 205.45.4

2. 55556

5

3

5.

2

1

3

5.

2

1


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10. Potencia de un Radical

. a c bc a b x x . .

11.

Raíz de Raíz

. c baa b c x x

..

.

OBSERVACIÓN:b

aa b x x

Ejemplos:

1. 243 4 x x

2. 123 44 3 101010

12. Casos Especiales

1. . 1....... n Mn n n mmm Arad AAA .

2. . 1...... nn n n Brad BBB .

3. . aa

..

..

aa

aa

a

.

4. 1.......111 nrad nnnnnn

5. nrad nnnnnn ......111

6. nx....xx

n

nx

7. bb

....a bb aa

8. n

2 1n2xx......xxx

ECUACIONES EXPONENCIALESDefinición

Son aquellas ecuaciones donde la incógnita se encuentra en elexponente. Se estudiarán aquellos casos que son factibles de resolverlosutilizando los conceptos anteriores.

1. Bases IgualesSi: Nx = N y x = y

OBSERVACIÓN:

.N > 0 . .N 1.

Ejemplo:Resolver: 9x – 1 = 27x – 2

Buscamos bases iguales: 32x – 2 = 3x – 6 Luego: 2x – 2 = 3x – 6 4 = x


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2. Formas AnálogasSi: .MM = MN. .M = N.

OBSERVACIÓN:

2

1M

4

1M

Ejemplo:1. Resolver: 355 36x x

Resolución Buscando formas análogas:

325

56

x

x

65

56

x

x 6

5x

5 6x

Nota: Si: a1(x) = b1(x) f(x) = 0

2. Resolver: 3x–7 = 5x–7

Resolución x – 7 = 0 x = 7

EN LA VIDA LA PACIENCIA HA DE SER ELPANDE CADA DÍA; PERO LA NECESITAMOS ENPARTICULAR PARA NOSOTROS, PORQUE NADIESE NOS HACE TAN PESADO COMO NOSOTROS

MISMOS.

S AN F RANCISCO DE S ALES

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Simplificar

2

1

40

1

6

3

1

16

E

Rpta.

2. Simplificar:2

3

1

6

4

1

3

2

3

2

x

x x E

Indicar el exponente final de“x”

Rpta.

3. Simplificar:2

5 12 25 6 8

E

Rpta.

4. Simplificar:3 3 3 3 22

x x x x E

Rpta.

5. Simplificar:

222

22

53

35

n

nn

nn

E

Rpta.

6. Simplificar:7613825

32

E

Rpta.

7. Hallar el valor de “n” para queel monomio:

6 4n5

4 n1n

x

xxE

Sea de 1er grado.

Rpta.

8. Calcular el valor de “x” e “y”

sabiendo que el monomio:

y13

2

3 6 y yx

b.a

b.aN

Es de 2do grado con respectoa “a” y de grado absoluto igual7

Rpta.


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9. Hallar el valor de N:

rad N .....3232323232

Rpta.

10. Hallar “x” en: 22+x + 22–x = 17

Rpta.

11. Hallar el valor de “x”, si: 73x–2 + 72 = 50

Rpta.

12. Hallar el valor de “x”:

555

557

2

16

x

x

Rpta.

13. Hallar “x” en:

5x + 5x+1 + 5x+2 + 5x+3 = 19 500

Rpta.

14. Simplificar:

x

2x1x

2

22P

Rpta.

15. Hallar “x” si se cumple lasiguiente igualdad:

142842

x x

Rpta.

T ODOS DESEAN ARDIENTEMENTE TENER LAVERDAD DE SU PARE; PERO MUY POCOS ELESTAR DE PARTE DE LA VERDAD

W HATELEY

PROBLEMAS PARA LA CASA

1.

Reducir

2

1

5

4

3

2

32

1

27

1

A

A)

5 B)

8 C)

4D) 3 E) 9

2. Calcular:121212

16

1

9

1

4

1

M

A) 10 B) 8 C) 9

D)

2 E)

7

3. Simplificar:4 16342P

A) 2 B) 3 2 C) 2D) 22 E) 42

4. Simplificar:3

3

1

9

1

3

1

9

1

3

1

Q

A)

9 B)

1/9 C)

1/3D) 3 E) 27

5. Si:

3x x

x ; calcularx

x x x

x

A) 27 B) 81 C) 9

D) 3 E) 1

6. Reducir05249

27

P

A) 1/2 B) 1/3 C) ¼D) 1/9 E) 1/15

7.

Si se cumple que: 2x x1

Calcular

x

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

8. Si x 0, simplificar:

0404

5345

.

..................

x x

x N

A) X0 B) x C) x2 D) x3 E) x4


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9. Si se cumple:6

6

x

x , hallar x6

A)

12 B)

2 C)

6D) 12 E) 18

10. Si aa = 2, hallar 1a a a

A)

1 B)

2 C)

3D) 4 E) 5 F)

CLAVES

1. A

2. C

3. A

4. E

5.

A

6. B

7. D

8. A

9. C

10.

D

DPTO. DE PUBLICACIONES “Manuel Scorza”

V.L.E.B.

¿SABÍAS QUÉ...

LA CARRERA PROFESIONAL DEODONTOLOGÍA

El odontólogo trata las afecciones y enfermedades buco–dentales y conexas. Desarrolla acciones de carácter integral, dediagnóstico, prevención, promoción, tratamiento, recuperación,rehabilitación y administración de salud del sistemaestomatognático, tanto a nivel individual como de la comunidad.

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Sector salud, servicios de sanidad, hospitales militares – policiales, clínicas, policlínicos, servicios odontológicos, centroseducativos, seguros, empresas industriales, consultoriosparticulares e instituciones odontológicas.


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TEMA: POLINOMIOS

NOTACIÓN FUNCIONALSe utiliza para indicar las variables en una expresión algebraica. Par

ello emplearemos letras como P, F, G, ..., etc.

Ejemplo:P(x) se lee P de x: x variableF(x;y) se lee F de xy: x, y variablex, y, z variablesa, b, c constantes

Observación:- Se denominan variables a los símbolos que representan cantidades de

valor fijo. Para ello se utilizan las últimas letras del alfabeto (z, y, x, ...,

etc.).- Se denominan constantes a lo símbolos que representan cantidades de

valor fijo. Para ello se utiliza generalmente el numeral. También seutilizan frases denominadas parámetros, en este caso emplearemos lasprimeras letras del alfabeto (a, b, c, ..., etc.).

VALOR NUMÉRICOEs el número que se obtiene al reemplazar las letras de una expresión

por valores determinados.

Ejemplos:1. Hallar el V.N. de: E = x2 + y3 + 3z

Para x = 3; y = 2; z = 5

Resolución V.N. “E” = (3)2 + (2)3 + 3(2) = 32

2. Hallar P(3,2), si P(x,y) = x2 + 5y + 20

Resolución P(3,2) es el V.N. de P(x,y)

Para x = 3; y = 2

P(3,2) = 32 + 5(2) + 20 = 39

GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICASEl grado es una característica de las expresiones algebraicas,

relacionado con los exponentes, que en una ecuación indica el número devalores que debe tener la incógnita.

El grado absoluto si se refiere a todas las variables y relativo si serefiere a una de las variables.

Grado en un Monomio1. Grado Absoluto (G.A.)

Se obtiene al sumar los exponentes de las variables.

2. Grado Relativo (G.R.)El grado relativo a una variable es el exponente de dicha variable.

Ejemplo: F(x,y) = a4x5 y8

G.R.(x) = 5 G.R.(y) = 8G.A.(F) = 8 + 5 = 13

Grado en un Polinomio1.

Grado AbsolutoEstá dado por el mayor grado de sus términos.

2.

Grado RelativoEl grado relativo de una variable es el mayor exponente de dichavariable.


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Ejemplo: P(x,y) = 6x8 y – 3x7 y3 + 2xy5

G.R.(x) = 7 G.R.(y) = 5G.A.(P) = 10

3. Cálculo de Grados en Operaciones1. En la adición o sustracción se conserva el grado del mayor.

Ejemplo: Si P(x) es de grado: aSi Q(x) es de grado: b

tal que: a > b Grado [P(x) Q(x)] = a

2. En la multiplicación los grados se suman Ejemplo: (x4 + x5 y + 7) (x7 y + x4 y5 + 2)

Resolución Grado: 6 + 9 = 15

3. En la división los grados se restan

Ejemplo:3334

3387

y x y z x

x y x xy

Resolución Grado: 9 – 6 = 3

4. En la potenciación el grado queda multiplicado por el exponente Ejemplo: (x3 y – x2 y6 + z9)10

Resolución Grado: 9 . 10 = 90

5. En la radicación el grado queda dividido por el índice del radical. Ejemplo: 3 12637 72 x y x xy

Resolución.

Grado 43

12

POLINOMIOS ESPECIALES

1. Polinomios HomogéneosSon aquellos en los que todos los términos tienen igual grado.Ejemplo: x3 y2 – x5 + x2 yz2 Es un homogéneo de grado 5.

2. Polinomios OrdenadosUn polinomio será ordenado con respecto a una de sus variables, si losexponentes de dicha variable están aumentando o disminuyendo segúnsea el orden ascendente o descendente.Ejemplo: x4 y7 – x8 y10 + x5 y24

Está ordenado ascendentemente con respecto a y.

3. Polinomios CompletosUn polinomio será completo con respecto a una de sus variables sicontiene todos los elementos de dicha variable desde el mayor hasta elcero inclusive.Ejemplo: xy8 – y8 + x3 y7 + x2 y8 Es completo con respecto a x.

Propiedad:En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términoses equivalente al grado aumentado en uno. Es decir:Número de términos = Grado + 1

Ejemplo:P(x) = x3 – x4 + 2x – 7x2 + 11x5 + 2


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Como es completo:Número de términos = 6

4. Polinomios IdénticosDos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico paracualquier valor asignado a sus variables. En dos polinomios idénticos los

coeficientes y sus términos semejantes son iguales.

Ejemplo: ax + by + cz = 8z + 2x – 5ya = 8; b = –5, c = 2

5. Polinomios Idénticamente NulosSon aquellas expresiones que son equivalentes a cero. Estando reducidasse cumple que cada coeficiente es igual a cero.

Ejemplo: ax + by + cz = 0a = 0; b = 0; c = 0

GENERALMENTE, HOMBRE RISUEÑOS SONSANOS DE CORAZÓN. LA RISA ES LA SAL DELA VIDA; LA RISA DE UN NIÑO ES COMO LALOCA MÚSICA DE LA INFANCIA. LA ALEGRÍAINOCENTE SE DESBORDA EN UNA CATARATA

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¡T RISTE HOGAR ES AQUEL DONDE NORESUENA LA AMABLE SONRISA INFANTIL!

R UBÉN D ARÍO


1. Hallar el valor de “n” para queel grado absoluto del monomio:(5xn+4 y2)5 sea 40.

Rpta.

2. SiendoA = 2mxm+2 . y3m+n B = 3nx3n-2 . y4m–8 Términos semejantes. Calcular“A – B”

Rpta.

3. Hallar el valor de “m” para quela expresión sea de grado 22

4 3 m2m3 x.xxP

Rpta.

4. Hallar el valor de “n” para elcual la expresión.

nnnn

x x

x x x P

642

2434

.

.

Es de cuarto grado

Rpta.

5. Calcular “2m+n”, si el monomio

mn

nm

y x

y x y x M

63

73

.

.;

y siendo su grado absoluto 7el grado relativo a “x” es 5

Rpta.

6.

SeaP(x) = 3x90 – 27x88 + 3x2 – 4xHallar P(3)

Rpta.

7. Si P(x+1) = x2 + 1Calcule:

2

10

P

P P

Rpta.

8. Si

P(x) = x2 – 2Calcular

veces

P P P P

2002

......2......

Rpta.


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9. Sea P(x) = (m–1)x2 + mx + m + 1Si P(2) = 4, Calcular el valor de“m”

Rpta.

10. Dado el PolinomioP(x+2) = x2 – 5x + kSi el término independiente es6. Halle la suma de loscoeficientes.

Rpta.

11. Halle el término independiente y la suma de coeficientes delpolinomio.P(x–1) = (2x–3)2n + 4x4

Rpta.

12. Si

P(x–2) = k . x – 8Hallar P(x+1), si P(x) carece detérmino independiente.

Rpta.

13. Si P(x+5) = 3x–2; calcule “m”,si P(2x+m) = 6x+7

Rpta.

14. Sea P un polinomio, tal que:P(2–x) = P(–x) + x – P (1–x)Si la suma de coeficientes deP es K y su términoindependiente es 2K además.P(2) = 4–K. Calcular P(2) + K

Rpta.

15. Si f(x) = x+a; f(0) > 0Reduce:

a

x ax f

Rpta.

DPTO. DE PUBLICACIONES “Manuel Scorza”

V.L.E.B.


1. Siendo el polinomio:P(x) = x24 + 128x17 + 2x11 + 64x6 + 4x + 2Hallar P(–2)

A) 2 B) –6 C) 5D) 8 E) 12

2. Si la expresión:

3 3

3b

12

5a

y.xE

Es de cuarto grado conrespecto a “y”, y de sexto

grado absoluto. El valor de(a – b) es:

A)

8 B)

9 C)

1D) 3 E) 5

3. Si la suma de coeficientes deP(x) es 10 donde:P(6–x) + P(x–2) = P(x–1) + x +

P(x+2)Calcular el términoindependiente.

A) 10 B) 15 C) 150D) 12 E) 20

4. Sea un polinomio P(x) que

cumple:

P(x+2) – P(x) = 2x

Hallar P(3) – P(1)

A)

1 B)

0 C) –1

D) 8 E) 2

5.

Si P(x) = 3x+4 P(P(x)) = ax+b

Calcular

baP

A) 3/2 B) 1/2 C) 5/2

D) 3/7 E) 3/5

6. Sabiendo que:

P(x) = 3x+2 P(g(x)) = 6x+5

Calcular g(2) + g(–3)

A) 2 B) 5 C) 1

D) –5 E) 0


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7. Si P(x+5) = 3x–2, calcular “m”,si P(2x+m) = 6x+7

A) 1 B) 3 C) 5D) 8 E) 7

8. Indicar el valor de “a+b”, si elpolinomioP(x) = (a3–27)x2 + (b3–7)x+5Es lineal y mónico.

A) 5 B) 4 C) 9D) 11 E) 15

9. Si:P(x+y;2x– y) = x2+y2 Hallar P(2;1)

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

10. Si f(x+1) = x–2a Y f(1) = 4Calcule f(a)

A) 2 B) 3 C) 4D) 1 E) 5

CLAVES

1. B

2. A

3. C

4. B

5. C

6. E

7. D

8. A

9. B

10. D

¿SABÍAS QUÉ...

LA CARRERA PROFESIONAL DEPSICOLOGÍA

El psicólogo es el científico del comportamiento humano y elprofesional de la sicología aplicada. Como científico, elabora y ejecutaproyectos de investigación exploratorios, naturalistas, correlaciónales yexperimentales, con el propósito de describir y explicar los procesospsicológicos relacionados con las modalidades de adquisición,mantenimiento y recuperación de la información, los mecanismos demotivación y afectividad, también los procesos de encodificación ydecodificación estudiados desde su origen y su evolución, todo ello a partirde las observaciones, mediciones e intervenciones en el comportamientoadquirido de los seres humanos.

Como profesional, utiliza las leyes que explican el psiquismo y susinteracciones con otras disciplinas científicas, con el objeto de elaborartécnicas y estrategias, válidas y confiables, para la evaluación ydiagnóstico psicológico, que a su vez le permitan la intervención, según elcaso, correctiva y/o fortalecedora de las variables psicológicas afectadas,quedando abierto el campo para su incursión en la planificación de laprevención de los desajustes del psiquismo.


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TEMA: PRODUCTOS NOTABLES

CONCEPTOSon los resultados de cierta multiplicaciones indicadas que se obtienen

en forma directa.

PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES

1. Binomio Suma o Diferencia al Cuadrado (T.C.P.)

. (a b)2 = a2 2ab + b2 .

Identidades de Legendre (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 – (a – b) = 4ab (a + b)4 – (a – b)4 = 8ab (a2 + b2)

Ejemplos: 62526232232323 222 (a + 5)2 – (a – 5)2 = 4a . 5 = 20a 10567.108252.5.82525 2244

2. Diferencia de Cuadrados

. a2 – b2 = (a + b) (a – b) .

Ejemplos: (x + 2) (x – 2) = x2 – 4 1121212 3252525

3. Binomio al Cubo

.

baabbaba

babbaaba

3

33333

32233

.

. baabbaba

babbaaba

3

33333

32233

.

Ejemplo: (2 + 3)3 = 23 + 3 . 22 . 3 + 3 . 2 . 32 + 33

(2 + 3)3 = 8 + 36 + 54 + 27(2 + 3)3 = 125

4.

Producto de Binomios con Término Común

. (x + a)(x+ b) = x2 + (a + b)x + ab .

5. Producto de Tres Binomios con Término Común

. (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac) x + abc .

. (x – a)(x – b)(x – c) = x3 – (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac) x – abc .

6. Trinomio al Cuadrado

. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) .

. (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc) .


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7. Trinomio al Cubo

. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (c + a) .

. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + (a + b + c) (ab + bc + ca) – 3abc .

. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2( b + c) + 3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6abc .

8. Suma y Diferencia de Cubos

. a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) .

. a3 – b3 = (a – b) (a2 – ab + b2) .

9. Identidades de Argan’d

. (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1 .

. (x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) = x4 + x2 y2 + y4 .

En general

. (x2m + xm yn + y2n) (x2m – xm yn + y2n) = x4m + x2m y2n + y4n .

10. Identidades de Gauss

. a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) .

. (a + b) (b + c) (c + a) + abc = (a + b + c) (ab + bc + ac) .

11. Identidades Condicionales

Si . a + b + c = 0 . Se verifican:

. a2 + b2 + c2 = –2(ab + bc + ac) .

. (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 .

. a3 + b3 + c3 = 3abc .

LA CARRERA PROFESIONAL DEECONOMÍA

El economista investiga y analiza los fenómenos económicos ysociales relacionados con las actividades de producción, intercambio,distribución y consumo de bienes y servicios de cualquier formacióneconómico–social


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1. Efectuar:

63232 E

Rpta.

2. ¿Qué expresión hay queagregar a (3x+2)2 para que seaigual a: (3x+5)(3x+7)?

Rpta.

3. Simplificar:

22222

227 abbaabb

Rpta.

4. Efectuar: 11111 42 x x x x A

Rpta.

5. Efectuar: bbababaN

2.

Rpta

6. Simplificar:

22

2

ba

babaaP

Rpta.

7. Dado

1a

b

b

a ; a . b 0

Determinar:

22

44

.ba

ba

Rpta.

8. Si x3 + y3 = 280; x+y = 10Calcular x . y

Rpta.

9. Reducir: 6 64224 bbbaababaP

a > 0

Rpta.

10. Si: P(x) = x3 – 3x + 12Calcule P(m),Si 33 3232 m

Rpta.

11. Si: (x+5)(x+b)(x–3) = x3–19x+a.Calcular a – b

Rpta.

12. Si: 55 x ; 53y Calcular:N = x6 – 6x2 y2 – y6

Rpta.

13. Simplificar: 16 257.17.5.31212 A

Rpta.

14. Simplificar:

322

322

322

322

B

Rpta.

15. Si: x + y + z = 0

xy

z

xz

y

yz

xN

222

Rpta.


15/37




1. Si x + x–1 = 3, hallar el valor de:E = x6 + x–6

A) 122 B) 222 C) 322

D) 422 E) 522

2. Encontrar el valor de:E=(x– y)(x2+xy+y2)+ y(3x2+3xy+2y2)Para 223 x ; 223y

A) 32 B) 27 C) 0D) 36 E) 216

3. Six+y+z = xy + xz + yz = 5Calcular x2 + y2 + z2

A) 10 B) 5 C) 18D) 20 E) 25

4. Si (x+y+z)2 = x2+y2+z2 Calcular

x

z x y x N

A) x B) xy C) x/yD)

1 E)

xyz

5. Si se cumple:(a + b)3 = a3 + b3

Hallar:b

a

A) 1 B) –1 C) 2D) –2 E) 1/2

6. Sabiendo que: a+b+c = 1Calcular

1a

cb1aN

333

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

7. Si x+y+z=6; (x+y)(x+z)(y+z)=71Hallar. M = x3 + y3 + z3

A)

1 B)

2 C)

3D) 4 E) 8

8. Si a3 + b3 + c3 = 0

Hallar:

abcacbcabcbacba

Q3

3

A) 6 B) 3 C) 1D) 1/3 E) 1/9

9.

Si 52xx 1 Hallar x2 + x–2

A) 2 B) 5 C) 7D) 5 E) 4

10. Siendo: 4 8qp ;

218pq

Hallar 22 qp

A) 16 B) 6 C) 9

D)

36 E)

41

CLAVES

1.

C

2. E

3. C

4. D

5. B

6.

C

7. C

8. C

9. D

10. C

DPTO. DE PUBLICACIONES

“Manuel Scorza” V.L.E.B.


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¿SABÍAS QUÉ...

LA CARRERA PROFESIONAL DEMEDICINA HUMANA

La medicina humana es una disciplina científica de carácter social,con métodos y tecnología adecuados, que estudia al ser humano en formaindividual y a la comunidad en forma integral, dentro del proceso vital ydel entorno que lo rodea, descubriendo las alteraciones de salud quederivan en enfermedad al perderse el estado de bienestar físico, psíquicoo social.

La medicina es una profesión de servicio por excelencia, se ejerce enforma personal y colectiva dentro de los parámetros que dictan la Ética yDeontología Médica, con la mayor eficiencia posible, bajo los principios de

equidad, solidaridad, y el más amplio sentido humanístico y social.El profesional médico presta asistencia de salud a la persona o a lacomunidad y se interesa por ella, tanto en los aspectos preventivo–promocionales, como de diagnóstico y tratamiento de las enfermedadesque la afligen, así como ejecuta las acciones de rehabilitación que seannecesarias.

TEMA: DIVISIÓN ALGEBRAICA

DIVISIÓN ALGEBRAICAOperación que se realiza entre polinomios que consiste en hallar dos

polinomios llamados COCIENTE y RESIDUO, conociendo otros dos

polinomios denominados DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra ligadospor la relación:

. D(x) = d(x) Q(x) + R(x) .

Donde:D(x) : Dividendod(x) : DivisorQ(x) : CocienteR(x) : Residuo o Resto

Propiedades de la División Gdo. (D(x)) Gdo. (d(x)) Gdo. (Q(x)) = Gdo. (D(x)) – Gdo. (d(x))

Gdo. (R(x)) < Gdo. (d(x))

Además: Máximo Gdo. (R(x)) = Gdo. (d(x)) – 1

PRINCIPALES MÉTODOS DE DIVISIÓNMétodo de William G. Horner

Pasos a seguir:1. Coeficiente del dividendo ordenado decrecientemente en una variablecompleto o completado.

2. Coeficiente del divisor ordenado decrecientemente en una variable,completo o completado, con signo contrario salvo el primero.

3. Los coeficientes del cociente se obtienen de dividir la suma de loselementos de cada columna entre el primer coeficiente del divisor. Cada


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coeficiente del cociente se multiplica por los demás coeficientes deldivisor para colocar dichos resultados a partir de la siguiente columnaen forma horizontal.

4. Los coeficientes del residuo que se obtienen de sumar la columnasfinales una vez obtenidos todos los coeficientes.

OBSERVACIÓN:

LA LÍNEA DIVISORIA SE COLOCARÁ SEPARANDO TANTOS TÉRMINOS DE LAPARTE FINAL DEL DIVIDENDO COMO GRADO DEL DIVISOR:

Método de Paolo RuffiniPasos a seguir:1. Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente, completo o

completado, con respecto a una variable.2. Valor que se obtiene para la variable cuando el divisor se iguala a cero.3. Coeficientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna, luego

que el coeficiente anterior se ha multiplicado por (2), y colocado en lasiguiente columna.

4.

Resto de la división que se obtiene de sumar la última columna

OBSERVACIÓN:S I EL COEFICIENTE PRINCIPAL DEL DIVISOR ES DIFERENTE DE LA UNIDAD , EL COCIENTE OBTENIDO SE DEBERÁ DIVIDIR ENTRE ESTE VALOR.

Teorema del RestoSe utiliza para obtener el resto de una división. Consiste en igualar a cero aldivisor y despejar la mayor potencia de la variable, para que sea

reemplazada en el dividendo.

OBSERVACIÓN:DESPUÉS DE REALIZAR EL REEMPLAZO , DEBE COMPROBARSE QUE EL GRADODEL POLINOMIO OBTENIDO SEA MAYOR QUE EL G RADO DEL DIVISOR.

Ejemplo:

2

1023

x

x x

Resolución

d(x) = x – 2 = 0 x = 2Reemplazo “x” en D(x): R(x) = (2)3 + 2(2) – 10 R(x) = 2


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1. La división:

53

722

234

x x

bax x x x

Es exacta, calcular “a + b”

Rpta.

2. Calcular el residuo de:

23

6472624

2536

x x

x x x x x

Rpta.

3. Calcular el cociente de:

x6x10

x2x7x18x303

325

Rpta.

4.

Calcular el cociente de:

2

223 34

x

x x x

Rpta.

5. Calcular el resto de la división:

1

12

245

x

x x x x

Rpta.

6. Calcular la suma de loscoeficientes del residuo aldividir:

12

132542

234

x x

x x x x

Rpta.

7. Al dividir:

1

5732

23

x

x x x

Señale el residuo.

Rpta.

8. Calcular “m–n” para que ladivisión

1x

mnxx5x2

24

Sea exacta

Rpta.

9. Calcular el valor de “” en:

2x

x2x3x2x 345

Rpta.

10. Calcular el resto de:

123

65432

23

x x

x x x

Rpta.

11. Calcular el valor de (m+n) en lasiguiente división exacta

nx x

mx x x

3

345 1

Rpta.

12. Hallar el términoindependiente del cociente,

luego de dividir:

375

933376102

234

x x

x x x x

Rpta.

13. Si la división

3

322

24

x x

bax x x

Es exacta, hallar 4 ba Rpta.

14. Hallar el resto de la división

1

17532

6918

x

x x x x

Rpta.

15. Si el resto de:

4714

272

2

x x

x nn

Es 256, hallar el valor de “n”

Rpta.

HAY QUE MOSTRAR MAYOR RAPIDEZ EN CALMARUN RESENTIMIENTO QUE EN APAGAR UN

INCENDIO, PORQUE LAS CONSECUENCIAS DELPRIMERO SON INFINITAMENTE MÁS PELIGROSAS

QUE LOS RESULTADOS DEL ÚLTIMO; EL INCENDIOFINALIZA ABRAZANDO ALGUNAS CASAS A LO

MÁS, MIENTRAS QUE EL RESENTIMIENTO PUEDECAUSAR GUERRAS CRUELES, CON LA RUINA YDESTRUCCIÓN TOTAL DE LOS PUEBLOS.

H ERÁCLITO


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1. Hallar el T.I. del resto de:

2

24

213

7468

x x

x x x

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

2. Hallar el resto de:

1

12345

x

x x x x x

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

3. Si la división:

1x2x

nx3mxx2x42

234

Es exacta. Halla (m+n)

A) 16 B) 18 C) 20D) –20 E) –16

4. Hallar el resto de:

3

452832

248

x

x x x

A) 5 B) 10 C) 15D) 20 E) 25

5. Hallar la suma de coeficientesdel cociente:

23

65292

24

x x

x x x

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

6. Luego de dividir:

25

317310 2345

x

ax x x x x

Se sabe que el residuo es 5,hallar “a”

A) 4 B) 2 C) 1

D) 3 E) –1

7.

Hallar el resto de dividir:

14

2001422

515112

x x

x x x

A)

2641 B)

2728 C)

2729D) 2700 E) 2001

8. Hallar el residuo de ladivisión:

323

54322345

y yx3x2

y2xy2 yx6 yx8 yx5x6

A)

0 B)

1 C)

xyD) y E) y5

9. Si l coeficiente del términolineal del cociente es –45,hallar 4 n

3

762 325

x

x nx x

A) –81 B) –3 C) 3D) 81 E) 72

10. Calcular el resto de lasiguiente división:

3712

162

321

x x

x

A) x+1 B) x+2 C) x+3

D) x+4 E) x+5

CLAVES

1. C

2. A

3. A

4.

B

5. E

6. C

7. C

8. E

9.

C

10. E




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¿SABÍAS QUÉ...

LA CARRERA PROFESIONAL DEINVESTIGACIÓN OPERATIVA

La Investigación Operativa es una profesión moderna que se dedica ala identificación, análisis y solución de problemas relacionados con elquehacer de todo tipo de organizaciones y otras entidades las cualesidentifica como sistemas industriales, comerciales, de sistemas deproducción, de bienes y servicios tales como sistemas industriales,comerciales, de transporte, de salud, educación, banca, seguros,ecológicos, agrícolas, mineros, energéticos, financieros, de mercadotecnia,planificación de proyectos, planificación estratégica, organismos públicosentre otros. Su propósito es lograr que la gestión empresarial se base enla toma de las mejores decisiones, científicamente sustentadas, buscandoel uso racional de los recursos, realiza su actividad utilizando losconocimientos propios de su área, así como lo de Economía, Gestión deOrganizaciones, Informática, Economía, Estadística y Matemática,Estadística y Humanidades.

TEMA: COCIENTES NOTABLES

CONCEPTOSon aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa sin

necesidad de efectuar la operación de división.

Condiciones que debe cumplir:

y x

y x mm

Dondex; y bases igualesm Z+; m 2

CASOS1. Si: R = 0 x q

y x

y x nm

cociente entero o exacto (C.N.)

2. Si: R = 0 y x

x R x q

y x

y x nm

cociente completo

LA VIDA, LO MISMO QUE UN VINO DE ALTOPRECIO, DEBE SER SABOREADA CON OPORTUNAS

INTERRUPCIONES, SORBO A SORBO. INCLUSO ELMEJOR VINO PIERDE SU ENCANTO Y NO

ACERTAMOS YA A APRECIARLO CUANDO LO

ENGULLIMOS COMO SU FUERA AGUA

F EUEERBACH .


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También según la combinación de signos se puede analizar 4 casos.Deducción de los CocientesDIVISIÓN INDICADA

SEGÚN SU FORMACOCIENTES

n Z+

y x

y x nn

=xn-1+xn-2 y+xn-3 y2+...+yn-1+; n (C.N.)

y x

y x nn

=xn-1+xn-2 y+xn-3 y2+...+yn-1+y x

y n

2 ; n (cociente completo)

y x

y x nn

ompletocociente cn par;y x

y y ...y x y x x

C.N.impar n;y ...y x y x x n

nnnn

nnnn

212321

12321

y x

y x nn

ompletocociente cn impar;y x

y y ...y x y x x

C.N.par n;...ny y x y x x n

nnnn

nnnn

212321

12321

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA OBTENER UN C.N.De:

qp

nm

y x

y x

se debe cumplir: r

q

n

p

m ; r Z+

FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN C.N.Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en eldesarrollo de los C.N., sin necesidad de conocer los demás.

De la división:

y x

y x nn

a) Si d(x) = x – y:. tk = xn–k yk–1 .

b) Si d(x) = x+y:. tk = (–1)k–1xn–k yk–1 .

Donde:tk término del lugar kx 1er. término del divisor.

y 2do. término del divisor.m número de términos de q(x)

Ejemplos:

432234

55

y xy y x y x x y x

y x

(C.N.)

y x

y y xy y x x

y x

y x

4

322344 2 (Cociente Completo)

863366

33

1212

y y x y x x y x

y x

(C.N.)


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EJEMPLOS DE APLICACIÓN

Hallar el cociente de:

1. 9x

81x2

=

2. 1

12

z

z =

3. 11

1212

x

x =

4. 15

125 2

x

x =

5. 471649

2

4

y y =

6. z x

z x

98

81643

26

=

7. nnnn

y x

y x 21

422

3294

=

8. 67

364912

24

n

n

x

x =

9. w z y x

w z y x

22

=

10. z

z

31

91 2

=


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1. Hallar el valor numérico deltérmino número 37 para

5

1x de:

910

595 4343

x

x x

Rpta.

2. Hallar el lugar que ocupa eltérmino de grado 101, en eldesarrollo de:

49

80180

y x

y x

Rpta.

3. Si A es el penúltimo términodel C.N.

y x

y x

4

1040

Hallar A

Rpta.

4. Hallar el grado absoluto del

décimo primer término en el

cociente notable que se

obtiene al dividir:52

1523

n

nn

y x

y x

Rpta.

5. Simplificar a expresión

1.......

1.......

547290

9096102

x x x

x x x P

Rpta.

6.

Si la división:

x

1x51x5 9999

Origina un cociente en el cual

un término tiene la forma

A(25x2 – 1)B, calcular A–B

Rpta.

7. En el desarrollo de:

35

93155

y x

y x

Existe un término cuyoG.A.=122, la diferencia de losexponentes de x y en ese

término es:

Rpta.

8.

El grado absoluto del términode lugar 6 del siguiente C.N.

23

n39n3

yx

yx

; es:

Rpta.

9. Encontrar el cociente que dioorigen al siguiente desarrollox35 – x30 + x25 – x20 + x15 – x10 + x5 – 1

Rpta.

10. Halar el tercer término de:

1

12

82

x

x

Rpta.

11. Hallar T 5/T 10 del siguientedesarrollo:

2573

348511951

.

.

nmba

nmba

Rpta.

12. Indicar cuántos términostiene el siguiente desarrollo

54

54

y x

y x nn

Rpta.

13. Hallar el valor numérico deltérmino central generado porel desarrollo del C.N.

1811

2

2020

x x

x x ; para

3x

Rpta.

14.

¿Cuál es el tercer término enel cociente?

y x

y x

2

322

510

Rpta.


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15. Hallar el desarrollo delsiguiente C.N.

6

84 3

x

x

Rpta.

LA CARRERA PROFESIONAL DETECNOLOGÍA MÉDICA

El profesional tecnólogo médico graduado tiene una sólida formaciónintegral basada en principios científicos, humanísticos y tecnológicos, quecrea, planifica, modifica, evalúa, y aplica continuamente métodos,procedimientos y tecnologías en: Laboratorio Clínico y AnatomíaPatológica, Terapia Física y Rehabilitación, Radiología, TerapiaOcupacional.


1. Hallar el término de lugar 6,de:

y x

y x

2

1284

728

A) 32x4 y5 B) –32x4 y5 C) 32x5 y4 D) –32x5 y4 E) x5 y4 F)

2.

Hallar el G.A. del término delugar 8 de:

44

406

y x y x

n

n

A) 30 B) 20 C) 40D) 50 E) 25

3. Hallar el V.N. del término delugar 29 de:

32

3 3636

x

x x ; para x = –1

A)

32 B)

69 C)

128D) 256 E) 512

4. Hallar el T 4 del desarrollo del

siguiente C.N.

23

1

1218

1

x x

x x

A)

X6 B)

X5 C)

x4

D) 1 E) x

5. Hallar el número de términos

de:

nn

nn

a a

a a

32

516

A) 4 B) 3 C) 2

D)

1 E)

5

6. Hallar el T 3 en:

3

81

3

3

x

x x

A) x 9 B) 39 x C) 33 x

D) 37 x E) 3 x


25/37



7. Halar el término lineal de:

x

x 644 3

A) 12x B) 13x C) xD) –12x E) 10x

8. Hallar el término central de:

75

4935

y x

y x

A) x17 y27 B) x27 y17 C) x21 y15 D) x15 y21 E) x12 y13

9. Hallar el grado absoluto delquinto término de:

615

3075

ba

ba

A) a24 B) a12b12 C) ab12

D)

b24

E)

b18

10. hallar el G.A. del sextotérmino del desarrollo de:

34

4864

y x

y x

A) 45 B) 55 C) 65D) 75 E) 85

CLAVES

1. B

2. C

3. C

4. D

5. A

6. B

7. A

8. D

9. D

10. B

¿SABÍAS QUÉ...

LA CARRERA PROFESIONAL DENUTRICIÓN

El nutricionista es un especialista en el área de la alimentación ynutrición, es un agente de cambio ligado al sector productivo para eldesarrollo, con participación activa en la vida económica y política,presentando propuestas de solución. Su objetivo es contribuir a resolverla problemática alimentaria nutricional del país y mejorar la calidad devida del poblador.

Ámbito de Trabajo: En las áreas de salud pública, clínica asistencial, alimentación

colectiva, industria, educación, en instituciones como el Ministerio deSalud, EsSalud, Fuerzas Armadas, instituciones públicas y privadas.Consulta privada.


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TEMA: FACTORIZACIÓN

Proceso inverso de la multiplicación por medio del cual una expresiónalgebraica racional entera es presentada como el productos de dos o másfactores algebraicos.

Factor Divisor: Un polinomio no constante es factor de otro cuando lodivide exactamente, por lo cual también es llamado divisor.

Factor Primo Racional: Llamamos así a aquel polinomio que no se puededescomponer en otros factores. Racionales dentro del mismo campo.

Ejemplo:El proceso

(x + a) (x + b) = x 2 + (a + b) x + abes una multiplicación.

En cambio el procesox2 + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b)

es una factorización

Donde:(x + a), (x + b), son factores primos.

MÉTODO DE FACTORIZACIÓN Factor Común MonomioConsiste en extraer la parte que se repite en todos los términos para lo

cual se extrae la expresión repetida, elevada a su menor exponente.

Ejemplo:Factorizar E = 7x5 y5 – 2x3 y3 + x2 y2

El factor común monomio será x2 y2. Ahora dividiremos cada uno de lostérminos entre dicho factor común, para lo que queda en el polinomio. Luegode dicho proceso se tendrá:

Factor Común PolinomioSe usa este método cuando el polinomio posee un factor común de 2 o

más términos. Por lo general, se encuentra luego de agrupar términos y bajolos siguientes criterios:

- De acuerdo al número de términosEjemplo: si el polinomio tiene 8 términos podemos agrupar de 2 en 2 ode 4 en 4.

-

De acuerdo a los coeficientes de los términos:Ejemplo:FactorizarE = x12 + x8 y4 + x4 y8 + y12

Como no hay factor común monomio podemos agrupar los 4 términos de2 en 2 y en forma ordenada.En cada uno de los tres grupos:

E = x6(x4 + y4) + y8(x4 + y4)

Factor Común Polinomio (x4 + y4). Ahora dividamos cada agrupación entreel factor común polinomio.

Los factores primos no se pueden descomponer en nuevos factores,tiene un único divisor que es sí mismoEsta expresión tendrá 2 factores primos


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Método de las IdentidadesAplicación de identidades notables para estructuras conocidas.Recordemos los siguientes:

A) Trinomio Cuadrado PerfectoA2 2AB + B2 = (A B)2

OBSERVACIÓN:

E L TRINOMIO O CUADRADO PERFECTO ES EL DESARROLLO DE UN BINOMIOAL CUADRADO , SE CARACTERIZA POR PORQUE EL DOBLE D EL PRODUCTO DE LARAÍZ DE DOS DE SUS T ÉRMINOS ES IGUAL AL TERCER TÉRMINO :

Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en binomio al cuadrado.

Ejemplo:

Luego, es T.C.P.

B) Diferencia de Cuadrados

A2 – B2 = (A + B) (A – B)

Ejemplos:1. Factorizar: x4 – 4b2

Resolución Se tiene: (x2)2 – (2b)2 = (x2 + 2b) (x2 – 2b)

2. Factorizar: x2 + 2xy + y2 – z6

Resolución x2 + 2xy + y2 – z6 (x + y)2 – (z3)2 = (x + y + z3) (x + y – z3)

C) Suma o Diferencia de Cubos

A3 B3 = (A B) (A2 AB + B2)

Ejemplo:Factorizar: 27x3 – 8

Resolución (3x)3 – 23 = (3x - 2) (9x2 + 6x + 4)

ASPA SIMPLESe utiliza para factorizar expresiones trinomios o aquella que adopten

esa forma: Ax2m + Bxm yn + Cy2n

Ejemplos:Factorizar: a2 + b2 + 3a + 3b + 2ab - 28(a + b)2 + 3(a + b) – 28 (a + b + 7) (a + b – 4)

ASPA DOBLESe utiliza para factorizar polinomios de la forma:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F


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Ejemplos:1. Factorizar:

La expresión factorizada es:(5x + 3y – 7) (4x + 2y – 1)

2.

Factorizar:

La expresión factorizada es:(3x + 4y + 2z) (2x + 5y + 3z)

ASPA DOBLE ESPECIALSe utiliza para factorizar polinomios de la forma:

Ax4 + Bx3 + Cx2 Dx + E.

Regla: 1. Se descompone el término de mayor grado y el término independiente,se calcula la suma del producto en aspa.

2. A la suma obtenida se le agrega la expresión que haga falta para ver eltérmino central. La expresión agregada es la que se descompone paracomprobar los otros términos del polinomio

Ejemplo:1. Factorizar

P(x) = (x2 + 3x – 5) (x2 + 2x + 3)

MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOSCon éste método se busca uno o más factores binomios primos

Además:1. Si P(x0) = 0; entonces: (x- x0) es un factor primo de P(x).

2. Los demás factores se encuentran al efectuar: 0

x x

x P

3. Los valores que anulan a P(x); se pueden encontrar:

ceros

Posibles

x P incipal deCoef.Divisores

x de P T. indep.Divisoresx

Pr0

Ejemplo:

Factorizar: P(x) = x3 + 6x2 + 11x – 6

1

6

Divisor de

Divisoreseros Posibles c

Posibles ceros = (1, 2, 3, 6)


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Probando con uno de ellos; para x = 1 por Ruffini

R = 0 lo que significa que x = 1 es un cero y luego un factor es (x – 1)

Luego: P(x) = (x – 1) (x2 – 5 x + 6)x –3x –2

P(x) = (x – 1) (x – 3) (x – 2)

MÉTODO DE SUMAS Y RESTASSe inspecciona el dato, comparándolo con alguna identidad conocida, la

mayoría de veces será necesario aumentar algunos términos para constituiren forma completa aquella identidad sugerida por el dato, naturalmente queaquellos términos agregados deben ser quitados también para así no alterarel origen. Este método conduce la mayoría de las veces a una diferencia decuadrados, suma de cubos o diferencia de cubos.

Ejemplo:Factorizar:

x4 + 64y4 x4 + 64y4 + 16x2 y2 – 16x2 y2

x4

+ 16x2

y2

+ 64y4

– 16x2

y2

(x2 + 8y2)2 – (4xy)2

Donde:(x2 + 8y2 + 4xy) (x2 + 8y2 – 4xy)


1. Indique el número de factoresprimos.Q(X) = x9 (x + 1)10 (x2 + 1)11

Rpta.

2. Hallar la suma de factoresprimos.A(x) = (x + 2)(x – 1) ++ (x + 3)(x + 2) + x + 2

Rpta.

3. Factorizar e indicar uno de losfactores primos.(x + y)x2 – (x + y)z2 + (x + y)y2

Rpta.

4. Indicar un factor primo de:(x + y2) (x + y) + z (x + y2)

Rpta.

5.

Indicar un factor primo:(x2+y2) (x–2y) + (x2+y2) (2x+y)

Rpta.

6. Indicar un factor primo de:(x–3y)(x2+y2)+(x2– y2)(x-3y)+x–3y

Rpta.

7.

Factorizar:(x+y)(xy+1) +y(x+y) – (x+y)

Rpta.

8. Dar un factor primo de:(x2+y2)(xy+2)+(x2+y2)(x2–1)– – (x2+y2)

Rpta.

9. Factorizar:(x+3x)(xy+2)+(xy+2)z(x+3y+z)

Rpta.

10. Factorizar:(x+y)(x– y+z) – (x2 – y2) – x – y

Rpta.


30/37



11. Factorizar:a4 – b4 Señalar un factor primo.

Rpta.

12. Indicar un factor primo alfactorizar:(a2 + b2) – (c2 + b2)

Rpta.

13. Indicar el número de factoresprimos de:x8 – 44

Rpta.

14. Dar la suma de los factoresprimos:x2 – y2 – xz – yz

Rpta.

15. Factorizara2 + b2 – c2 + 2abIndique un factor primo

Rpta.


1. Factorizar: x2 – 49

A) (x + 7)2 B) (x – 7)2 C) (x + 7)(x – 7) D) (x – 7)(x – 1)

E) N.A.

2.

Factorizar:Q(x) = 18x2 – 39x + 20Indique cual es un factorprimo.

A) 6x + 1 B) 3x – 5 C) 3x + 4D) 6x + 5 E) 3x – 4

3. Dar la suma de factoresprimos de(x+7) (x2–6x) = (x+7) (5x–12)

A) 3x + 9 B) 3x + 14 C) 3x+6D)

3x + 8 E)

3x + 10

4. Dar la suma de factoresprimos:(x - 5) (x2 – 6x) + (40 – 7x) (x – 5)

A) 3x + 8 B) 3x – 18 C) 2x – 13D) 2x + 8 E) 3x – 8

5. Indicar un factor primo de:3x(x+2)(2x–3)+(14x+12)(2x–3)

A) 6x + 4 B) 2x + 3

C)

x + 2 D)

3x + 2E) 3x + 5

6.

Dar un factor primo de:2x(x+2)(x+3) – 3(x+5)(x+3)

A) x – 3 B) (x + 3)2 C) 2x – 5 D) 2x + 3E)

2x – 3

7. Indicar la suma de factoresprimos de:6x(2x–1)(2x+3) – (5x-2)(2x+3)

A) 8x B) 9xC) 8x + 6 D) 9x + 6E) 7x – 3

8. Indicar la suma decoeficientes de un factorprimo de:x2 + 5xy + 6y2 + 9x + 22y + 20

A) 6 B) 7 C) 8D)

5 E)

13


31/37



9. Indicar un factor primo de:x2 + xy - 6y2 + 3x + 19y – 10

A) x–3y+2 B) x+2y+5C) x–2y–5 D) x+3y–2E) x+3y+2

10. Dar la suma de los términosindependientes de losfactores primos de:2x2 – 7xy + 6y2 – 2x + y – 12

A) 1 B) 4 C) 11

D)

7 E)

8

CLAVES

1. C

2. E

3. C

4. C

5. B

6. E

7. B

8. B

9. D

10. A



¿SABÍAS QUÉ...

LA CARRERA PROFESIONAL DEFARMACIA Y BIOQUÍMICA

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TEMA: M.C.D. – M.C.M. – FRACCIONES

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)El Máximo Común Divisor de 2 o más polinomios es otro polinomio que

tiene la característica de estar contenido en cada uno de los polinomios. Se

obtiene factorizando los polinomios y viene expresado por la multiplicaciónde factores primos comunes afectado de sus menores exponentes.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)El Mínimo Común Múltiplo de 2 o más polinomios es otro polinomio que

tiene la característica de contener a cada uno de los polinomios. Se obtienefactorizando los polinomios y viene expresado por la multiplicación de losfactores primos comunes y no comunes afectados de sus mayoresexponentes.

Ejemplo:Hallar el M.C.D. y M.C.M. de los polinomios:

A(x) = (x+3)4 (x2+1)6 (x–2)2 (x+7)6 B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (x–2)4 (x+5)8 C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (x–2)3 (x+3)3

Rpta: como ya están factorizados el:

M.C.D. (A,B,C) = (x2+1)2 (x–2)

M.C.M. (A,B,C) = (x2

+1)6

(x–2)4

(x+3)4

(x+7)6

(x+5)6

Propiedad:Solo para dos polinomios: A(x), B(x).

Se cumple:M.C.D. (A,B) . M.C.M. (A,B) = A(x) . B(x)

FRACCIONES ALGEBRAICASFracción Algebraica

Una fracción algebraica, se obtiene como la división indicada de dospolinomios N(x) y D(x) siendo D(x) polinomios no constante.

Denotado: x D

x N

Donde:N(x): polinomio numerador (no nulo).D(x): polinomio denominador (no constante)

Ejemplo:

2

12

x

x ;2

1

7

4

x

x ;4

4822

x

x x

Signos de una Fracción

a)

Signo del Numerador: +b) Signo del Denominador: – c) Signo de la fracción propiamente dicha: –

y

x F

OBSERVACIONES: S I INTERCAMBIAMOS UN PAR DE SIGNOS POR UN MISMO SIGNO EL VALORDE LA FRACCIÓN NO SE ALTERA EN EL EJEMPLO ANTERIOR, ES DECIR:

y x y x y x y x F

También:

B

A

B

A

B

A


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Ejemplo: Sumar: x 0

y x x

y x

x

x y

y

y x

x S

1

y x

y x S

Regla para Simplificar FraccionesDebemos factorizar el numerados y denominador para luego eliminar los

factores comunes:

Ejemplo:Simplificar

6116

1923

2

x x x

x x F

Resolución Factorizando y Simplificando:

2

3

321

133

x

x

x x x

x x x F

Operaciones con Fracciones1. Adición o Sustracción

Es preciso dar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los denominadores.

Se presentan los siguientes casos:A) Para fracciones homogéneas:

Ejemplo:

2222

x

z y x

x

z

x

y

x

x

B) Para fracciones heterogéneas:Ejemplo:

bdf

bdebfc adf

f

e

d

c

b

a

C)

Para 2 fraccionesRegla practica:

yw

yz wz

w

z

y

x

2. MultiplicaciónEn este caso se multiplican los numeradores entre sí y lo mismo se hacecon los denominadores. Debe tenerse en cuenta que antes de efectuar laoperación puede simplificarse cualquier numerador con cualquier

denominador (siempre que sean iguales).

Ejemplo:

f d b

ec a

f

e

d

c

b

a

..

.....

7

7

7

1.

2.

2

7.

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

3. DivisiónEn este caso, se invierte la segunda fracción y luego se efectúa como

una multiplicación. También se puede aplicar el producto de extremosentre el producto de medios.

Ejemplo:

c

d.

b

a

d

c

b

a ... invirtiendo


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bc

ad

d

c

b

a

Fracción Independiente

2

11

2

1

22

,y cxy bx a

cy bxy ax y x F

Es independiente x e y-

k c

c

b

b

a

a

111

k cte.

SER PADRE, ALGO ES; SER MAESTRO AFORTUNADO, ES MÁSAÚN; PERO DESENVOLVER UN BUEN ENTENDIMIENTO, COLABORAREN SUS TRIUNFOS ES ALCANZAR LA PATERNIDAD MÁS ALTA Y

MÁS NOBLE, ES COMO CORREGIR Y PERFECCIONAR LA OBRA DE LANATURALEZA, LANZANDO AL MUNDO POBLADO DE FLORESAMARILLAS, VULGARES Y REPETIDAS, UNA FLOR NUEVA Y QUEACREDITE LA MARCA DE FÁBRICA DEL JARDINERO DE LAS ALMAS,

Y QUE SE DISTINGA DE LA MUCHEDUMBRE DE LAS FLORESHUMANAS POR UN MATIZ ROJO, PRECIOSO Y EXQUISITO.

R AMÓN Y C AJAL


1. Hallar el M.C.M. y M.D.C. de:6mn; 12m2n; 9mn2

Rpta.

2. Hallar el M.C.M. y M.D.C. de:x: x2 + x

Rpta.

3.

Hallar el M.C.M. y M.D.C. de:

x2

– 1: x2

+ x

Rpta.

4.

Hallar el M.C.M. y M.D.C. de:a2 + ab – 6b2: a2 – ab – 2b2

Rpta.

5. Hallar el M.C.M. y M.D.C. de:x2 – 3x – 2: x3 – 3x2 + 4

Rpta.

6. Hallar el M.C.M. de:2mn, 4m2n

Rpta.

7. Hallar el M.C.M. de:12 a3 . 9 a2 . 6a2x2

Rpta.

8. Hallar el M.C.M. de:7m3n4z8; 49m4n2 y5; 21m5 y3z2

Rpta.

9. Hallar el M.C.M. de:3m3: (3m)2 (x– y)2: (3m)3 (x– y)3

Rpta.

10. Hallar el M.C.M. de:2a2x + 4abx + 2b2x: 2a2x2 – – 4b2x2: 2a2x – 2b2x

Rpta.


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11. Reducir:

2

22

aab

bab

ab

babA

Rpta.

12. Efectuar:

2233

2

23

ba

ba

ba

baaB

Rpta.

13. Reducir:

a

b

b

a

aba

b

bab

aA

2

2

2

2

Rpta.

14. Efectuar:

aba

b

a

b

bab

a

b

aB

2

32

2

32

Rpta.

15. Reducir:

babbaa

abbbaaA

23224

223

Rpta.


“Manuel Scorza”

V.L.E.B.


1. Hallar el MCD de P(x) S(x)P(x) = x4(x + 1)2 (x – 2)3 Q(x) = x2 (x - 2)4 (x + 7)2 S(x) = x3 (x + 2)4 (x – 1)3

A)

(x – 2)x2 B) x2 C) x3 D) x3 (x – 2)E) N.A.

2. Hallar el mcm de:P(x; y; z) = x2 y7 z8

Q(x; y; z) = x

4

y

3

z

9

R(x; y; z) = z5 y2 z10

A) xyz B) x5 y3z9 C)

x5 y7z10 D)

x2 yz10 E)

N.A.

3. Señale el MCD de A(x) B(x)

A(x) = x4

– 1B(x) = x3 – 3x + 2

A) x + 1 B) x2 + 1 C) x – 1D) x – 2 E) x + 2

4. Hallar el MCM de:P(x) = x2 – 4x + 3F(x) = x2 + 4x + 3R(x) = x4 – 10x2 + 9

S(x) = x3 + x2 – 9x – 9

A) (x2–9)(x4–1) B) (x2–9)(x2–1)C)

(x2–9)(x+1) D) (x2–9)(x2+1)E) (x2+9)(x2–1)

5. Hallar el MCM de:(a2–b2): (a2–2ab+b2) y (a2+2ab+b2)

A) (a – b)2 B) (a – b)3 C) (a2 – b2)3 D) (a2 – b2)2 E) (a – b)3

6. Reducir:

22

22

ay ax

y ax a

A) y x a

B) y x a

C) y a

x a

D) y a

x a

E) y

x


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7. Efectuar:

nn

n

2

21

E indique como respuesta eldenominador

A)

n B)

n+1 C)

n–1D) n+2 E) 1

8.

Si:

2155

2

xy

N

y

x

Obtener el valor de “N”

A) xy B) 2xyC) 3xy D) 5xy

E) 6x2 y

9. Cumpliéndose que:

x x

P

x 333

12

Hallar “P”

A) 1 B) x–1 C) 1–x

D) 3x–1 E) 1–3x

10. Luego de reducir:

168

162

2

x x

x

Indique la suma de loselementos de la fracción

A)

x B)

2x C)

3x

D) 4x E) –x

CLAVES

1. B

2. C

3. C

4. B

5. A

6. B

7. A

8. C

9. B

10. B

PROFUNDIZANDO CONOCIMIENTOS

1. Simplificar:

3a

100a

a9a3a

100a20a.

30a7a

a27a 2

23

2

2

4

A) 10a3a

B) 10a3a

C) 3a

3a

D) 10a

3a

E) 1

2. Hallar el valor de E en laexpresión:

b2ax

ba2x

bx

axE

3

para2

bax

A) 1 B) a + b C) a – bD) (a – b)3 E) Cero

3. Simplificar

xybbybxaxyaabxy4baxy yxab

M222

22

A) ax + by B) ax – by

C) byax

byax

D) byax

byax

E) 1

4. Calcular el valor de laexpresión:

n2a

n2a

m2a

m2a

Cuando: nmmn4

a

A) 1 B) Cero C) 4mnD) m+n E) 2

5. Si:

bc2

acbx

222

;

22

22

acb

cbaz

Calcular:

xz1

zxE

A) Cero B) 1 C) a+b+cD) abc E)

abc

1

6. Reducir

a

b

b

a

1

babbaa

bab2ba2a3223

3223

A) (a+b) B) ab C) 1D) –1 E) Cero


37/37



7. Efectuar:

a

b1

a

b1

.b4b3a

b9b2a

22

22

A) a + b B) a – b

C) ab D) 1E)

b

a

8. Simplificar:

x

x y

yx

y

y

x y

yx

x

A) x

y B)

y

x C) yx

x

D) yx

y

E) yx

xy

9. Si:1ab

1ax

;

1ab

aab y

Calcular:1 yx

1 yx

A) Cero B) a C) 1

D)

ab E)

ab+1

10. Cuánto le falta a2x

2x

para

ser igual a2x

2x

A) 1x

x8

B) 4x

x8

C) 1x

x8

D) 4x

x82

E) 4x

x82

CLAVES

1. A

2. E3. C

4. E

5. B

6. D

7. B8. B

9. E

10. C

ÍNDICE

PÁG.

T EORÍA DE EXPONENTES ................................................................................................ 7

POLINOMIOS ..................................................................................................................... 19

PRODUCTOS NOTABLES ................................................................................................... 29

DIVISIÓN ALGEBRAICA ................................................................................................... 38

COCIENTES NOTABLES .................................................................................................... 46

FACTORIZACIÓN ............................................................................................................... 57

M.C.D. Y M.C.M. – FRACCIONES..................................................................................... 69

algebra i tercer año

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