ESCUELA:

PONENTE:

BIMESTRE:

ALGEBRA

CICLO:

CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

I BIMESTRE

Ing. Julio González

ABRIL – AGOSTO 2007

CAP ITULOS

1.- CONCE P TOS F UNDAME NTALE S DE L ALG E B R A. (2)

2.- E CUACIONE S Y DE S IG UALDADE S . (9)

3.- F UNCIONE S Y G R ÁF IC AS .(15)

4.- F UNCIONE S P OLINOMIALE S Y R ACIONALE S .(39)

5.- F UNCIONE S E XP ONE NCIALE S Y LOG AR ÍTMIC AS .(44)

CAP ITULO 1

CONCE P TOS F UNDAME NTALE S DE L ALG E B R A

• S IS TE MA DE NÚME R OS R E ALE S .

•NATUR ALE S .- S e de s ig na n por N (N = {0, 1 , 2 , 3 , 4 , .....}

•E NTE R OS .-S e de s ig na n por Z = { .... 3, 2, 1, ,0 , 1 , 2, 3, 4 ,......}.

•R ACIONALE S .- S e de fine n : Q = {a /b : a Z, b Z y b 0}. De ntro de e s te c onjunto e s tá n lo s de c im a le s s im ple s y de c ima le s pe riódic os . S on e je m plo de núme ros ra c iona le s : ½, ¾, -4, 0 , 1 .3333, 0 .25.

• IR R AC IONALE S .- S e re pre s e nta n s im bólic a m e nte por Q ´, e s porq ue c ons tituye n e l c om ple m e nto de los núm e ros ra c iona le s y q ue inc luye n, jus ta me nte a q ue llos de c im a le s o núm e ros que no pue de n e xpre s a rs e , de n ing una ma ne ra c omo una fra c c ión o un núm e ro ra c iona l.

• R E ALE S .- E s te c on junto e s ta c ons titu ido por la un ión de los núm e ros ra c iona le s (q ue c ompre nde n los núm e ros na tura le s , lo s núm e ros e nte ros , lo s núm e ros fra c c iona rios ) y lo s irra c iona le s , e s de c ir R Q Q´

• VALOR AB S OLUTO

•NOTAC IÓN CIE NTÍF ICA

• E XP ONE NTE S Y R ADICALE S

•E XP ONE NTE S E NTE R OS

3232 yx

•E XP ONE NTE S R ACIONALE S

LE YE S DE LOS E XP ONE NTE S

75

32

21

2

yx

7 53 22 yx

xxx

xEja

a

a

y

x

y

xEj

b

a

b

a

yxxyEjbaab

xxEjaa

Ejaaa

mnm

n

n

nn

nnn

mnnm

nmnm

232

3

2

22

333

623

83552

.)5(

.)4(

)(.)()3(

)(.)()2(

3333.)1(

•E XP R E S IONE S ALG E B R AICAS

•P OLINOMIOS

•ALG E B R A DE P OLINOMIOS

•P R ODUC TOS NOTAB LE S

011

1 ...... axaxaxa nn

nn

)33()(

2)(

))((

32233

222

22

yxyyxxyx

yxyxyx

yxyxyx

F OR MULAS DE F ACTOR IZACIÓN

Dife re nc ia de c ua dra dos

Dife re nc ia de c ubos

S uma de c ub os

))((22 yxyxyx

))(( 2233 yxyxyxyx

))(( 2233 yxyxyxyx

• E XP R E S IONE S R AC IONALE S .

• Una e xpre s ión ra c iona l e s un coc ie nte de dos po linom ios . •ALG E B R A DE E XP R E S IONE S R AC IONALE S .

•F R ACC IONE S COMP LE J AS .

•R ACIONALIZACIÓN (DE NOMINADOR E S , NUME R ADOR E S )

•S IMP LIF ICACION DE E XP R E S IONE S R ACIONALE S

CAP ITULO 2

E CUACIONE S Y DE S IG UALDADE S

•E CUAC IONE S

E c ua c ión: E nunc ia do de que dos c a ntida de s o e xpre s ione s s on ig ua le s .

•TIP OS DE E CUACIONE S

•E c ua c ión line a l00 abax

•E c ua c ione s c ua drá tic a s

•TE OR E MA DE L F ACTOR 0S i p y q s on e xpre s ione s a lg e b ra ic a s , e ntonc e s

ME TODOS DE R E S OLUCIÓN:- F a c toriz a c ión.- C om ple ta r e l c ua dra do.- F órm ula c ua drá tic a :

002 acbxax

000 qopsisoloysipq

a

acbbx

2

42

Dis c rim ina nte .

S í

OTR OS TIP OS DE E CUACIONE S .S e re s ue lve n utiliz a ndo m é todos e le m e nta le s d ife re nte s a los a nte riore s .

acb 42

realesraicestieneNoacb

diferentesyrealesraicesDosacb

raízUnaacb

04

04

04

2

2

2

•DE S IG UALDADE S .

De s ig ua lda d: E nunc ia do de que dos c a ntida de s o e xpre s ione s no s on ig ua le s . E j.

S e s o luc iona n utiliz a ndo la s prop ie da de s de la s de s ig ua lda de s .

La m a yor pa rte de la s de s ig ua lda de s pos e e un in fin ito núm e ro de s o luc ione s .

La s o luc ión d la s de s ig ua lda de s s e da n e n nota c ión de inte rva los .

Un in te rva lo e s un c on junto in fin ito de puntos c on una nota c ión e s pe c ia l. E je m plos :

032 x

E xis te n de s ig ua lda de s c on va lor a b s o luto. E j.

S e s o luc iona n utiliz a ndo e l s ig u ie nte te ore m a :

initoIntervalobxb

osemiabiertIntervalobxaba

cerradoIntervalobxaba

inf,

,

,

227 x

0

b

baóbaaequivaleba

babaequivaleba

E xis te n de s ig ua lda de s line a le s y de orde n ma yor que 2.

La s de s ig ua lda de s no line a le s s e s o luc iona n utiliz a ndo un proc e dim ie nto a m plia me nte e xp lic a do e n e l lib ro g u ía .

CAP ITULO 3F UNCIONE S Y G R AF ICAS

•S IS TE MA DE C OOR DE NADAS R E CTANG ULAR E S .• S e orig ina de l produc to c a rte s ia no R x R .• Un punto c ua le s q uie ra que da rá re pre s e nta do e n e s te p la no por me dio de s us c oorde na da s .•C a da pa r orde na do de núm e ros re a le s c ons tituye una re la c ión y la ub ic a c ión de e s ta s pa re ja s orde na da s e n e l p la no, c ons tituye e l g rá fic o de la re la c ión.

• F OR MULA DE LA DIS TANC IA. Una de la s fórm ula s b á s ic a s de la G e om e tría a na lític a e s la fórm ula de la d is ta nc ia e ntre dos puntos que tie ne la s ig u ie nte form a :

•G R ÁF IC A DE E CUAC IONE S .

•G ra fic a r una e c ua c ión qu ie re de c ir re pre s e nta r e n un p la no c oorde na do toda s los pa re s orde na dos que h a c e n que la re la c ión s e c um pla .

•S i re pre s e nta m os e s tos pa re s orde na dos e n e l s is te ma de c oorde na da s c a rte s ia na s , te ndría m os bos que ja da la g rá fic a de la e c ua c ión.

•E l g ra do de e xa c titud de una g rá fic a e s tá e n func ión d ire c ta de l núm e ro de puntos e s c og idos pa ra g ra fic a r.

212

21221 )()(),( yyxxPPd

•E xis te n forma s de g ra fic a r una e c ua c ión m a rc a ndo e l m ín imo núm e ro de puntos , e s to s e c ons ig ue a p lic a ndo c ie rta s prop ie da de s .

- In te rs e c c ione s c on los e je s . - S im e tría s .

•C IR CUNF E R E NCIAS .

•Una c irc unfe re nc ia s e de fine c om o un c onjunto de puntos de l p la no c uya d is ta nc ia a un punto fijo lla m a do c e ntro s ie mpre e s c ons ta nte . La d is ta nc ia c ons ta nte s e lla m a ra d io .

• La form a de la e c ua c ión de una c irc unfe re nc ia c on c e ntro e n e l punto (h ,k) e s ta da da de la s ig u ie nte ma ne ra :

•S i la c irc unfe re nc ia tie ne s u c e ntro e n e l orig e n de l s is te m a , la e c ua c ión a dopta la s ig u ie nte form a :

•Al e s tud ia r la c irc unfe re nc ia pue de n pre s e nta rs e dos tipos de e je rc ic ios ; da dos lo s e le m e ntos de la c irc unfe re nc ia e s de c ir e l c e ntro y e l ra d io e nc ontra r s u e c ua c ión y, da da la e c ua c ión de la c irc unfe re nc ia , e nc ontra r s us e le me ntos .

•R E CTAS .

•Una re c ta que da de fin ida s i s e c onoc e n dos de s us puntos .

222 )()( rkyhx

222 ryx

•E s ne c e s a rio c onoc e r c la ra m e nte la s form a s de la s e c ua c ione s de la re c ta , e l c onc e pto de pe nd ie nte , re c ta s pa ra le la s , re c ta s pe rpe ndic ula re s .

•F OR MAS DE LA E CUACIÓN DE LA R E C TA:

F OR MA P UNTO-P E NDIE NTE

F OR MA P UNTO Y P E NDIE NTE CON INTE R S E CCIÓN CON E L E J E Y

generalFormacbyax 0

)( 11 xxmyy

bmxy

•P E NDIE NTE DE UNA R E C TA:

•La pe nd ie nte de una re c ta s e de fine por:

S i s e c onoc e n dos puntos

S i s e c onoc e la forma g e ne ra l

•R E CTAS P AR ALE LAS Y P E R P E NDIC ULAR E S .

•Dos re c ta s s on pa ra le la s s i s e c um ple qué :

12

12

xx

yym

b

am

E s de c ir s i s u s dos pe nd ie nte s s on ig ua le s .

•Dos re c ta s s on pe rpe nd ic ula re s s i:

E s de c ir e l produc to de s us dos pe nd ie nte s e s ig ua l a -1

•DE F INICIÓN DE F UNCIÓN.

La s re la c ione s e s pe c ia le s lla ma da s func ione s re pre s e nta n uno de los c onc e ptos m á s im porta nte s de toda s la s m a te m á tic a s .

21 mm

121 mm

Una func ión e s una re la c ión e n la q ue s e a g re g a la re s tric c ión de q ue , a c a da e le m e nto de l dominio le c orre s ponde uno y s o lo uno de los e le m e ntos de l ra ng o

•Una func ión de un c on junto Dom in io a un c on junto R a ng o (c odomin io) e s una c orre s ponde nc ia que a s ig na a c a da e le me nto x de D un ún ic o e le m e nto y de R . Al e le m e nto y de R s e lla m a va lor e n x y s e de nota por (x) (que s e le e “f de x”).

Domin io R a ng o

fx y

D R

(Ta m b ié n re c ib e e l nom b re de im a g e n de x b a jo ).

•A m e nudo una func ión s e de fine por una fórm ula e xplíc ita , por e je mplo

•DOMINIO Y R ANG O

•S on los c onc e ptos m á s im porta nte e n e l tra ta m ie nto de una func ión.

•DOMINIO.

E l dom inio de una func ión e s e l c on junto numé ric o q ue c ontie ne lo s va lore s de la va ria b le inde pe nd ie nte que h a c e n que la func ión dé c omo re s u lta do un núm e ro re a l.

2)( xxf

G e ne ra lm e nte e l c onjunto dom in io de la e xpre s a e n nota c ión de in te rva los .

•R ANG O.

E l ra ng o, c odom inio o c ontra dom inio de una func ión e s e l c on junto numé ric o q ue s e forma de los "re s u lta dos " de la func ión a l a p lic a r lo s va lore s de l dom in io.

Muc h a s ve c e s e s ne c e s a rio e nc ontra r va lore s de l ra ng o, da dos va lore s de l dom ino de la func ión. (e nc ontra r im á g e ne s ) E s ta ope ra c ión s o la m e nte c ons is te e n re e m pla z a r e l va lor de l dom inio (q ue tom a la s ve c e s de la va ria b le inde pe ndie nte ) e n la func ión da da .

Alg una s ve c e s s e de s c rib e n func ione s e n té rm inos de va ria s e xpre s ione s , ta le s func ione s s e lla m a n func ione s de fin ida s por troz os o por pa rte s . Ve a mos e l s ig u ie nte e je m plo:

S e de be tom a r e n c ons ide ra c ión q ue s e tra ta de una s o la func ión, s ino que é s ta e s tá de fin ida por in te rva los o pa rte s , y de pe nde rá de l va lor de l dom in io, e l va lor de l ra ng o.

21

20

032

)( 2

xsí

xsíx

xsíx

xf

•G R ÁF IC O DE F UNC IONE S .

Toda func ión q ue tie ne un dom inio y un ra ng o de núm e ros re a le s , tie ne una g rá fic a , que e s la g rá fic a de la s pa re ja s orde na da s de núm e ros re a le s que c ons tituye n la func ión.

Cua ndo s e d ib u ja la g rá fic a de una func ión, lo s va lore s de l dom in io s e a s oc ia n por lo re g u la r a l e je h oriz onta l y lo s va lore s de l ra ng o c on e l e je ve rtic a l

E s importa nte re s a lta r que h a y un únic o (x) pa ra c a da x e n e l dom in io, pue s s o lo un punto de la g rá fic a tie ne a b s c is a x. P or c ons ig u ie nte s i tra z a m os una re c ta ve rtic a l (prue b a de la re c ta ve rtic a l) por c ua lq uie r pa rte de la g rá fic a de una func ión é s ta c orta a la g rá fic a de la func ión a lo

m á s e n un punto.

E n c ons e c ue nc ia la g rá fic a de una func ión no pue de s e r la fig ura de l tipo de una c irc unfe re nc ia , e n la q ue una re c ta ve rtic a l pue de c orta r a la g rá fic a e n va rios puntos .

•F UNC IONE S P AR E S E IMP AR E S .

E s m uy im porta nte s a b e r s i una func ión da da e s pa r o im pa r, pue s proporc iona un a uxilia r útil pa ra h a c e r la g rá fic a ; a de m á s , c ie rtos prob le m a s de c á lc u lo y m a te m á tic a s m a s a va nz a dos s e s implific a n c ua ndo s e s a b e q ue la func ión e s pa r o im pa r.

P a ra s a be r s i una func ión e s pa r o im pa r s e de b e c umplir lo s ig u ie nte :

Una func ión pa r e s s im é tric a re s pe c to a l e je ve rtic a l y; una func ión impa r e s s imé tric a c on re s pe c to a l orig e n.

P a ra de te rmina r s i una func ión e s pa r s e re e m pla z a e n la e c ua c ión orig ina l la va ria b le inde pe nd ie nte por s u ne g a tivo y s e a na liz a e l re s u lta do c om pa rá ndolo c on la func ión orig ina l. S i e l re s u lta do e s una e c ua c ión e qu iva le nte , e ntonc e s c onc lu imos q ue la func ión e s pa r.

P a ra de te rm ina r s i una func ión e s im pa r s e re e m pla z a e n la e c ua c ión orig ina l la va ria b le inde pe nd ie nte por s u ne g a tivo y s e a na liz a e l

imparesfuncionLaxfxfSí

paresfuncionLaxfxfSí

)()(

)()(

re s u lta do c ompa rá ndolo c on la func ión orig ina l. S i e l re s u lta do de re e m pla z a r, re s u lta la func ión orig ina l c a mb ia da de s ig no, c onc lu im os q ue la func ión e s im pa r.

•F UNCIONE S C R E CIE NTE S , DE CR E CIE NTE S Y CONS TANTE S .

Una prop ie da d im porta nte de la s func ione s , e s la c ontinu ida d; e l e s tud io de la c ontinu ida d s e lo h a c e m a s profunda m e nte e n e l c á lc u lo.

La s func ione s c re c ie nte s , de c re c ie nte s y c ons ta nte s s e de fine n c om o s ig ue :

S e a I un inte rva lo de l dom in io de una func ión , e ntonc e s :

1.- e s c re c ie nte e n I s í (b ) (a ) s ie mpre q ue b a e n I2 .- e s de c re c ie nte e n I s í (b ) (a ) s ie m pre q ue b a e n I3 .- e s c ons ta nte e n I s í (b ) (a ) pa ra todo a y b de I

S i la g rá fic a de una fig ura no e s tá rota o de s un ida e n un punto, s e d ic e que la func ión e s c ontinua e n e s e punto.

•TIP OS DE F UNCIONE S .•F unc ione s line a le s .Una func ión e s una func ión line a l s í:

S e us a la pa la bra line a l pa ra de nomina r e s ta s func ione s e n virtud de q ue s us g rá fic a s s on líne a s re c ta s .

S on la s func ione s m á s s e nc illa s de g ra fic a r pue s s o lo s e ne c e s ita rá n dos puntos de s u g rá fic o. E l dom inio de e s ta s func ione s s on los núme ros R e a le s .

Una func ión line a l im porta nte de a nota r e s la func ión ide ntida d de nota da por (x) x

E l g rá fic o de e s ta func ión c orre s ponde a una líne a que d iv ide a l prim e r y te rc e r c ua dra nte e n dos pa rte s ig ua le s .

0)( abaxxf

•F unc ione s c ua drá tic a s .-

Una func ión e s una func ión c ua drá tic a s í:

La g rá fic a de una func ión c ua drá tic a s e de nom ina pa rá bo la .

La s g rá fic a s de toda s la s func ione s c ua drá tic a s s on s im ila re s a la g rá fic a de c on la d ife re nc ia de que s us c onc a vida de s (form a ) pue de n s e r h a c ia a rrib a o h a c ia a b a jo o pue de n s e r re fle ja da s s ob re e l e je x.

0)( 2 acbxaxxf

2)( xxf

Muc h a s ve c e s e s ne c e s a rio re c onoc e r e l vé rtic e de la pa rá b ola (e s pe c ia lm e nte c ua ndo s e re q u ie re e nc ontra r e l ra ng o de una func ión c ua drá tic a , y los va lore s m á ximo o m ín im o).

E l vé rtic e de la pa rá bo la e s ta da do por e l punto de c oorde na da s :

•OP E R AC IONE S S OB R E F UNC IONE S .

Con la s func ione s e s pos ib le re a liz a r la s c ua tro ope ra c ione s funda m e nta le s e s de c ir, s uma r, re s ta r, multip lic a r y d iv id ir func ione s .

a

bf

a

b

2;

2

Con la s func ione s e s pos ib le re a liz a r la s c ua tro ope ra c ione s funda me nta le s e s de c ir, s uma r, re s ta r, multip lic a r y d ivid ir func ione s . E s to s e re s um e a s í:

)(

)()(

)()())((

)()())((

)()())((

xg

xfx

g

fCociente

xgxfxfgProducto

xgxfxgfDiferencia

xgxfxgfSuma

•COMP OS ICIÓN DE F UNCIONE S . La func ión c ompos ic ión (que s e le e “g o f ”) e s la func ión de fin ida por:

pa ra toda x e n e l DominioObs e rve mos e l s ig u ie nte g rá fic o:

S e pue de a prove c h a r la s ope ra c ione s s ob re func ione s pa ra tra s la da r g rá fic a s bá s ic a s .

fg

xfgxfg ))((

x f(x) f(g (x))f g

D E K

•F UNCIONE S INVE R S AS Una func ión inve rs a e s una func ión q ue re vie rte la c orre s ponde nc ia e ntre los va lore s de l dom inio y e l ra ng o.

E n una func ión inve rs a e l dom in io de la func ión pa s a a s e r ra ng o de la func ión inve rs a y vic e ve rs a .

P a ra de fin ir a la inve rs a de una func ión e s e s e nc ia l q ue d is tintos núm e ros e n e l dom in io, de n s ie m pre d ife re nte s va lore s de ; ta le s func ione s s e de nom ina n b iun ívoc a s (o inye c tiva s o uno a uno)

S e d ic e que una func ión e s uno a uno o b iunívoc a s i y s o lo s i c a da e le m e nto de l ra ng o de e s tá a s oc ia do c on e xa c ta m e nte un e le m e nto de s u dominio x.

P a ra una func ión de re fe re nc ia , la inve rs a s e re pre s e nta por

Una func ión c on dom in io D y ra ng o E s e lla m a func ión inve rs a de s í:

Ade m á s e s im porta nte ob s e rva r que una func ión que e s c re c ie nte o de c re c ie nte to ta lme nte e n s u dom in io tie ne una func ión inve rs a .

S i s e q u ie re c om prob a r q ue una func ión e s b iun ívoc a o uno a uno, s e h a c e la prue ba de la re c ta h oriz onta l, q ue c ons is te e n h a c e r pa s a r una líne a h oriz onta l por c ua lq uie r pa rte de la g rá fic a . S í la líne a c orta e n má s de un punto a la g rá fic a , la func ión no e s b iun ívoc a ; s i la c orta e n un s o lo punto, la func ión e s uno a uno o b iunívoc a .

1f

1f

11

1

))((

))((

fdedominioelenxtodaparaxxff

yfdedominioelenxtodaparaxxff

E xis te n g u ía s a d ic iona le s pa ra ob te ne r la func ión inve rs a .

CAP ITULO 4

F UNCIONE S P OLINOMIALE S Y R ACIONALE S

Una func ión po linom ia l tie ne la form a :

S i e l c oe fic ie nte s e d ic e e ntonc e s q ue la func ión polinom ia l e s de g ra do n, e l núm e ro s e de nomina c oe fic ie nte princ ipa l de l po linom io.

S e re q u ie re n mé todos que s e e s tudia n e n c á lc u lo pa ra h a c e r un a ná lis is c om ple to s ob re g rá fic a s de func ione s polinom ia le s de g ra do ma yor q ue 2 . G e ne ra lme nte , a m e dida q ue e l g ra do a um e nta , la g rá fic a e s m á s c omplic a da .

011

1 ....)( axaxaxaxf nn

nn

0na

na

S e pue de ob te ne r una g rá fic a to ta lm e nte pre c is a u tiliz a ndo e l proc e dim ie nto s ug e rido a c ontinua c ión:

1. Ca lc u le (x) pa ra de te rm ina r s i la g rá fic a tie ne a lg una s im e tría .

2 . Ca lc u le e l in te rs e c to (0) e n y. F a c toric e e l polinom io.3. De te rm ine los in te rs e c tos e n x, h a lla ndo la s s o luc ione s re a le s

de la e c ua c ión (x) 0 .4 . Tra c e una re c ta num é ric a . De te rm ine los s ig nos a lg e b ra ic os de

todos lo s fa c tore s e ntre lo s in te rs e c tos e n x. E s to ind ic a rá dónde (x) 0 y donde (x) 0 .

5 . G ra fique la func ión utiliz a ndo los re s u lta dos de lo s pa s os 1 – 5 y m a rc a ndo puntos a d ic iona le s donde s e a ne c e s a rio .

E n los c a s os e n lo s que (x) s on pos itivos ((x) 0 ), la g rá fic a de la func ión e s tá por e nc im a de l e je x.

La g rá fic a de la func ión e s ta por de ba jo de l e je x, e n a que llos inte rva los donde los va lore s de (x) s on ne g a tivos ((x) 0 ).

•F UNCIONE S R ACIONALE S La s func ione s ra c iona le s s e de fine n e n té rm inos de c oc ie nte s de polinom ios . E n g e ne ra l, una e xpre s ión R e s una func ión ra c iona l s í:

p (x), q (x) s on po linomios ; e l dom in io de R e s e l c onjunto de todos lo s núm e ros re a le s ta le s que q (x) 0 . La s func ione s ra c iona le s s on c ontinua s pa ra todo va lor de x, c on e xc e pc ión de a q ue llos pa ra los q ue e l de nom ina dor q (x) e s c e ro.

0)()(

)()( xq

xq

xpxR

•AS INTOTAS HOR IZONTALE S , VE R TICALE S Y OB LÍCUAS .

La s re c ta s fija s a la s que s e a proxim a una g rá fic a , s e lla m a n a s íntota s . S e d ic e que una re c ta x a e s una a s íntota ve rtic a l pa ra la g rá fic a de una func ión s í.

S e d ic e que una re c ta y c e s una a s íntota h oriz onta l pa ra la g rá fic a de una func ión s í:

axoaxquemedidaaxf

óaxoaxquemedidaaxf

)(

)(

xoxquemedidaacxf )(

E l s ig u ie nte te ore m a e s m uy útil a l g ra fic a r func ione s ra c iona le s :

S e a R una func ión ra c iona l de fin ida c om o c oc ie nte de dos polinom ios de la forma :

1.- S í m n , e l e je x (y 0) e s una a s ín tota h oriz onta l.

2 .- S í m n , la re c ta e s una a s íntota h oriz onta l.

3 .- S í m n , no h a y a s íntota s .

bxbxbaxaxa

n

n

m

mxR01

01

.......

.......)(

0, ba nm

n

mb

ay

C AP ITULO 5

F UNCIONE S E XP ONE NCIALE S Y LOG AR ÍTMICAS

• F UNCIONE S E XP ONE NCIALE S

la func ión e xpone nc ia l c on b a s e a s e de fine c om o:

E n donde x e s c ua lqu ie r núm e ro re a l.

s í a 1 e ntonc e s la func ión e xpone nc ia l c on b a s e a , e s c re c ie nte pa ra todos los re a le s .

Ta m b ié n s e pue de de m os tra r q ue s í 0 a 1 , e ntonc e s e s de c re c ie nte pa ra todos los re a le s .

xaxf )(

Los g rá fic os de e s ta s func ione s s on c a ra c te rís tic os y de pe nde rá e ntonc e s de l va lor de la b a s e pa ra s a b e r s i e s c re c ie nte o de c re c ie nte .

Una func ión e xpone nc ia l e s o b ie n c re c ie nte o de c re c ie nte y por lo ta nto e s b iun ívoc a y tie ne func ión inve rs a .

Com o una func ión e xpone nc ia l e s b iun ívoc a s e tie ne q ue c um ple n la s s ig u ie nte s c ond ic ione s :

S í x1 y x2, s on núm e ros re a le s :

21

21

21

21

)2(

)1(

xxentoncesaaSí

aaentoncesxxSíxx

xx

•F UNCION E XP ONE NCIAL NATUR AL

NUME R O e

S í n e s un e nte ro pos itivo e ntonc e s

la func ión e xpone nc ia l na tura l e s tá de fin ida por

pa ra todo núm e ro re a l x

La func ión e xpone nc ia l na tura l e s una de la s func ione s m á s ú tile s e n ma te m á tic a s a va nz a da s y e n la prá c tic a .

nquemedidaae

n

n

71828.21

1

xexf )(

• F UNC IONE S LOG AR ÍTMIC AS

La inve rs a de una func ión e xpone nc ia l de ba s e a , s e lla m a func ión log a rítm ic a de b a s e a y s e re pre s e nta por log a .

pue s to que :

y -1(x) s í y s o lo s í x (y)

La de fin ic ión de log a s e pue de e xpre s a r de la s ig u ie nte ma ne ra :

P ue s to q ue e l dom in io y e l ra ng o de la func ión e xpone nc ia l de b a s e a s on todos lo s núme ros re a le s y lo s núme ros re a le s pos itivos re s pe c tiva m e nte ; e l dom in io de s u inve rs a log a x s on los re a le s pos itivos y s u ra ng o todos lo s núm e ros re a le s .

ya axsisoloySíxy )(log

Como una func ión log a rítm ic a de b a s e a e s b iun ívoc a s e tie ne q ue c um ple n la s s ig u ie nte s c ond ic ione s :

S í x1 y x2, s on núm e ros re a le s pos itivos s e tie ne :

E s te te ore m a s e us a c on m uc h a fre c ue nc ia e n la s o luc ión de e c ua c ione s log a rítm ic a s . (S e la lla m a prop ie da d b iun ívoc a de la s func ione s log a rítm ic a s )

A c ontinua c ión te ne m os a lg una s prop ie da de s g e ne ra le s de la s func ione s e xpone nc ia le s y log a rítm ic a s :

2121

2121

loglog)2(

loglog)1(

xxentoncesxxSí

xxentoncesxxSí

aa

aa

La propie da d (4) s e de duc e a s í

75)4(

32loglog)3(

15log11log)2(

01log101log)1(

7loglog

32

51

40

5

xa

aaxa

aa

a

x

xxxa

a

a

a

x

ya

aax

óaxluegoxySílog

)(log

LOG AR ITMOS COMUNE S

Los log a ritm os de ba s e 10 s e lo s c onoc e c om o log a ritmos c om une s . E l s ímb olo log x s e u tiliz a c om o a bre via tura de log 10 x, a s í te ne m os la s ig u ie nte de fin ic ión:

LOG AR ITMOS NATUR ALE S

Ante riorm e nte s e de fin ió a la func ión e xpone nc ia l na tura l por m e dio de la e c ua c ión (x) e x. La func ión log a rítm ic a e n ba s e e s e lla m a func ión log a rítm ic a na tura l. S e utiliz a e l s ímb olo ln x.

0)(loglog 10 xtodaParaxx

A c ontinua c ión te ne m os a lg una s form a s de log a ritmos c om une s y na tura le s pa ra a lg una s propie da de s g e ne ra le s e s tud ia da s .

LE YE S DE LOS LOG AR ITMOS

La s s ig u ie nte s le ye s s on funda m e nta le s pa ra todo tra b a jo c on log a rítm os .

xexxa

xexxa

ea

xxx

xxxa

a

a

a

lnloglog 10)4(

ln10loglog)3(

1ln110log1log)2(

01ln01log01log)1(

E CUACIONE S E XP ONE NCIALE S Y LOG AR ÍTMICAS .

S on e c ua c ione s e n donde a pa re c e n e xpre s ione s e xpone nc ia le s c on b a s e s c ons ta nte s y va ria b le s e n e l o los e xpone nte s .A ve c e s pa ra s u s o luc ión s e toma n log a rítmos a lo s dos m ie mb ros de la e c ua c ión.

uuu

wuw

u

wuuw

wyu

ac

a

aaa

aaa

loglog)3(

logloglog)2(

loglog)(log)1(

:entonces positivos,

reales numerosdenotan Sí

F ÓR MULA DE CAMB IO DE B AS E .

S í u > 0 y s i a y b s on núm e ros re a le s pos itivos d ife re nte s de 1, e ntonc e s

b

uu

a

ab log

loglog