correcion 2sec. algebra i bimestre

4a2x3 – 6bx2 + ax -8a2x3 – 2bx2 + 4ax + 7a -5a2x3 – 3ax – 2a

-9a2x3 – 8bx2 + 2ax + 5a

IEP LOS PEREGRINOS ÁLGEBRA 2º Año

1. POLINOMIOS

1.1 OPERACIONES CON POLINOMIOS

CONCEPTO:Son trasformaciones que se hacen con Expresiones Algebraicas, para obtener otras equivalentes cuando aquellas admiten alguna simplificación.

1.1.1 ADICION Para sumar expresiones algebraicas, basta reducir los términos semejantes que se presenten.

a) ADICION DE MONOMIOS:

Para sumar varios monomios se escriben unos a continuación de otros con sus signos correspondientes.

Ejemplo: Hallar la suma de:

4ab2 ; - 3a2 b ; + 5ab2 ; - 8a2 b ; 7 a2 b 2 Solución: = 4ab2 - 3a2 b + 5ab2 - 8a2 b + 7 a2 b 2 = ( 4+5 ) ab2 + ( - 3 – 8 ) a2b + 7 a2b2

= 9ab2 – 11a2 b + 7a2 b2

b) ADICION DE UN MONOMIO Y UN POLINOMIO: Para sumar un monomio

a un polinomio basta agregarle como un término más con su propio signo

Ejemplo: Hallar la suma de: Solución: = 5x + 6x2 – 9x + 8

= 6x2 + ( 5 – 9 ) x + 8 = 6x2 – 4x + 8

c) ADICION DE POLINOMIOS:

Para sumar polinomios, se forma uno solo que contenga los términos de los demás, con sus correspondientes signos, se reducen los términos semejantes, si lo hubiese.

Ejemplos: Si: A = 3a2b –a3 + 7ab2

B = 6a3 - 7b3

C = - 5a2b – 10 ab2 + b3

Hallar la suma de: A + B + C.Solución:

A+B+C=

= ( 3 – 5 ) a2 b + ( -1 + 6 ) a3 +(7 – 10 ) ab2 + ( -7 + 1) b3 = - 2a2b + 5a3 – 3ab2 – 6b3

= 5a3 –2a2 b – 3ab2 – 6b3

Nota: Cuando los polinomios sumandos contienen términos semejantes, es conveniente escribirlos unos debajo de otros, de modo que los términos semejantes, entre sí, formen columna vertical, para facilitar la reducción de términos. Ejemplo: La suma de los polinomios es:

P = 4a2 x3 – 6bx2 + ax;Q = 7a – 8a2 x3 – 3ax;R = 4ax – 2a – 5a2 x3 – 2bx2

Solución:

Se dispone así

1


1.1.2 SUSTRACCION

a) SUSTRACCION DE MONOMIOS: Para restar dos monomios se escribe el minuendo y a continuación el sustraendo con el signo cambiado.

Ejemplo ①De 7ab2 restar + 3ab2

Solución: 7ab2 - 3ab2 = 4ab2

Ejemplo: ②Restar – 3mn de 5mn Solución:5mn + 3mn = 8mn.

b) SUSTRACCION DE POLINOMIOS: Para resta un polinomio de otro se escribe el polinomio minuendo y a continuación todos los términos del sustraendo con los signos cambiados.

Ejemplo ①Del polinomio 5a2b2 - 8a2b + 6ab2 restar el polinomio 3a2b2 – 6a2b + 5ab2

Solución: = 5 a2b2 – 8a2b + 6 ab2 – 3 a2b2

+ 6 a2b – 5 ab2 = ( 5 – 3 ) a2b2 + ( - 8 + 6 ) a2b + ( 6 – 5 ) ab2 = 2 a2b2 – 2 a2b + 1 ab2

Nota: La operación se simplifica si ponemos los términos semejantes unos debajo de otros.

Ejemplo ② Hallar la resta de: ( 5x2 – 4x + 15 – 7x3 ) – ( 6x2 – 4x3

– 3 ) Solución :

Ordenando y colocando los semejantes unos debajo de otros, tenemos:

1.1.3 MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

a) Definición: La multiplicación es una operación que tiene por objeto dadas dos expresiones llamadas multiplicando y multiplicador , hallar una tercera expresión llamada producto , tal que , para todos los valores atribuidos a las letras , el valor numérico del producto sea siempre igual al producto de los valores numéricos de las dos expresiones dadas .

b) Leyes

LEY CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACION : El orden de los factores no altera el producto Así:

x ¿ y = y ¿x

LEY ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACION :Los productos de dos factores de igual signo da (+ ) y el producto de dos factores de signos diferentes, da ( - ) Así:

x ¿ y ¿ z = x (y ¿ z ) = (x ¿ y ) z

LEY DE LOS SIGNOS :El producto de dos factores de igual signo da ( + ) y el producto de dos factores de signos diferentes, da ( -). As

( + ) ¿ ( + ) = ( + )

( - ) ¿ ( - ) = ( + )

2

-7x3 + 5x2 - 4x + 15 4x3 – 6x2 + 3

- 3x3 – 1x2 - 4x + 18

Signos iguales da ( + )


( + ) ¿ ( - ) = ( - )

( - ) ¿ ( + ) = ( - )

Nota:Cuando el producto tiene mas de dos factores, contamos cuantos factores negativos existen, si este número es par el producto es ( + ) y si es impar el producto es ( - ).

Así:( - 1 ) ( -1) ( - 1 ) (-1) = + 1

LEY DE LOS COEFICIENTES El coeficiente de productos de factores, es el producto del coeficiente de los factores. Así:

( 5x ) ( -2y ) = -10xy

LEY DE LOS EXPONENTES:Para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base, se escribe la base elevada a la suma de los exponentes.

( a5 ) (a3) = a5 + 3 = a8

c) Multiplicación De Monomios :

Para multiplicar monomios , primero se multiplican los signos según la ley de los signos después se multiplican los coeficientes según la ley de los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras comunes a los factores con un exponente según la ley de los exponentes y las no comunes , con el que tenga en el factor en que se hallen .Ejemplo ①Efectuar:

( -2x3y2z4 )( - 5x7 y5)( - 4x4y6)

SOLUCIÓN:

= - 40x14y13z4

Nota:

El grado del producto tanto absoluto como relativo es igual a la suma de los grados de los factores. Ejemplo: ②

(3x2 y )⏟3

(−4xy2 z )⏟4

=−12x3 y3 z⏟7

d) Multiplicación De Un Polinomio Por Un Monomio : (Ley distributiva de la multiplicación ) ..

REGLA: Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplican cada uno de los términos del polinomio por el monomio, procediendo como en la multiplicación de monomios y luego se suman algebraicamente los productos parciales. Ejemplos ①Efectuar: (3a2b - 5ab2 + 8b3)¿ 6ab

Solución: ( 3a2b – 5ab2 + 8b3) ¿

6ab = 18a3b2 - 30a2b3 +

48ab4

Ejemplo: ②Efectuar:

( 4x3 – 2x2 + 5x – 1 ) ( - 2 x2) Solución:

( 4x3 – 2x2 + 5x – 1) ( -2x2 ) = - 8x5 + 4x4 – 10x3 + 2x2

e) Multiplicación De Polinomios :

Para multiplicador dos polinomios, se multiplican todos los términos del multiplicador por todos del multiplicando, teniendo en cuenta las leyes respectivas y se reducen los términos semejantes.

Ejemplo: Efectuar:

3

Signos diferentes da ( - )


( 3x – 2 ) (4x – 5) = 12x2 – 8x – 15x + 10= 12x2 – 23x + 10

REGLA PRÁCTICA: 1. Para efectuar la multiplicación ( y cualquier otra operación)de polinomios lo primero que se debe hacer es ordenar los polinomios con respecto a una letra y en el mismo sentido, colocándolos uno debajo de otro, cuidando de escribir los productos parciales, de tal manera que los términos semejantes estén en columna para facilitar su reducción.

2. Si los polinomios no son, completos, se completan colocando un cero por cada término que falta, con la finalidad de guardar su lugar.

Ejemplo:

Efectuar: (2x4 – 3x3 + x – 2) ( 3x3 – 5x + 4 )

Solución:Los polinomios están ordenados en forma descendente, los completamos y tomamos la distribución adecuada.

1.1.4 DIVISIÓN

a) Definición.- Es una operación que tiene por objetivo determinar dos expresiones llamadas cocientes y residuo,

conociendo otras llamadas dividendo y divisor.

D(X) d(x) R(X) q(x)

D(x) : Dividendo

d(x) : Divisor q(x) : Cociente

R(x) : Residuo

b) Propiedades

1. PROPIEDAD FUNDAMENTAL

Consecuencias :

2. PROPIEDAD DE LOS GRADOS. ( G :Grado )

NOTA : Conocido el grado del residuo se puede determinar la forma de éste , es decir .

4

2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 2 3x3 + 0x2 – 5x + 4 6x7 – 9x5 + 0 + 3x4 - 6x3 0 – 10x5 + 15x4 + 0 – 5x2 + 10x 8x4 – 12x3 + 0 + 4x – 8 6x7 – 9x6 – 10x5 + 26x4 – 18x3 - 5x2 + 14x – 8

Rpta: 6x7 – 9x6 – 10x5 + 26x4 – 18x3 – 5x2 + 14x – 8

D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)

T. Indep. D(x) = T. Indep.d(x).T.Indep. q(x) + T. Indep. R(x)

G[q ( x )]=G [ D( x )]−G [d ( x )]

Gmin[ R( x ) ]=0

Gmax [ R( x ) ]=G [d ( x ) ]−1

G [R ( x )] Forma

0 R(x) = a 1 R(x) = ax + b 2 R(x) = ax2 + bx+c 3 R(x) = ax3 + bx2 + cx + d . . . .


3. PROPIEDADES DEL NUMERO DE TERMINOS

c) Clases De División

1. DIVISIÓN EXACTA.- Si el residuo es igual a cero .

2. DIVISIÓN INEXACTA.- Si el residuo es diferente de cero.

d) Condición Necesaria:Para efectuar la división por este o cualquier otro método, los polinomios dividiendo y divisor deberán estar escritos en forma completa y ordenada descendentemente.

e) División De Dos Monomios: 1) Se dividen los signos mediante

ley de los signos. 2) Se dividen los coeficientes.3) Se dividen las letras aplicando

teoría de exponentesEjemplo:

Dividir: W =

−108m8n7 y5

−12m5n4 y4

Efectuando: W = 9m3 n3 y

f) DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOS : Para realizar una división entre dos polinomios existen varios métodos, algunos más usados o convenientes que otros.Entre los más difundidos tenemos:

a) METODO CLÁSICO b) METODO DE COEFICIENTES

SEPARADOS c) METODO DE HORNER.d) METODO DE RUFFINI.

Método Clásico : Se recomienda cuando los polinomios a dividir son de una sola variable o para polinomios homogéneos de dos variables..

Ejemplo:

Dividir: x2 + 2x4 – 3x3 + x – 2 entre x2 – 3x + 2

Solución :

D(x) = (x2 –3x+ 2) ( 2x2 + 3x +6) + 13x -14

Q(x) = 2x2 + 3x + 6R(x) = 13x – 14

Método de Coeficientes Separados:

En este caso, además de las consideraciones anteriores se debe tener en cuenta:

1º.Se trabaja solamente con los coeficientes y sus correspondientes signos del dividendo y divisor.

2º .En caso de faltar un término con una potencia de la variable se coloca en su lugar cero, tanto en el dividendo como en el divisor.

3º. De esta manera se obtiene los coeficientes con su signos del polinomio cocientes .

4º. Para determinar el grado del cociente y resto de aplican las propiedades

[Q( x )]0=[ D( x )]0−[d ( x )]0

5

2x4 – 3x3 + x2 + x – 2 x2 – 3x + 2 -2x4 + 6x3 – 4x2 2x2 + 3x + 6 3x3 – 3x2 + x – 2 -3x3 + 9x2 – 6x

6x2 – 5x – 2 - 6x2 + 18x - 12 13x - 14

#max Tq= G[q ( x )]+1

#max [T R=G [ d( x )]=0


[ R( x ) ]0=[d ( x ) ]0−1

Ejemplo: Dividir:

6 x5−20 x4−13 x3+25x2−12x+7

3 x2−x+1

Solución:

El cociente es de grado:

[Q( x )]0=[ D( x )]0−[d ( x )]0

= 5 – 2 = 3 El cociente es:

Q (x) = 2x3 – 6x2 – 7x + 8

El residuo es de grado:

[ R( x ) ]0=[d ( x ) ]0−1= 2 – 1 = 1

El residuo es:

R(x) = 3x – 1

1.1.5 EJERCICIOSNIVEL I

1) CuáL será el resultado de sumar

el triple de a2+2ab−b2

con el

doble de b2−3ab+a2

a) a2 –b2 b) a2 + b2

c) 5a2 – b2 d) 5a2 + b2 e) b2

2) Calcule el resultado de sumar el

doble de x3+x2+x+1 con

quíntuple de x3+ x –1

a)7x3 +2x2 -3 b)7x3 + 2x2+ 7x -3

c)7x3 -3 d) 2x2 -3 e) 3

3) Restar el polinomio : 2x4 + 3x3

+2x2 + 3x +2 del polinomio

siguiente : 3x4+ 2x3 +3x2+ 2x+ 3

a) x4 –x3 + x2 -x+ 1 b) -x+ 1 c)-

x3 –x+ 1 d)-x4–x+1 e) 1

4) Restar del polinomio : x3 + 4x2 -

6x – 2 el siguiente polinomio: x3 -

x2 - 7x – 1

a) x2 + x- 1 b) 5x2 + x+ 1

c) 5x2 + 1 d) x+ 1 e) x

5) Señalar el exceso del polinomio :

3x4 + 4x3 +2x2 – 1 sobre el

polinomio : 2x4 + 5x3 +1.

a) –x3 + 2x2 -2 b)x4 –x3 + 2x2 -2

c) 2x2 -2 d) -2 e) 2x2

6) Calcular el exceso del doble del

polinomio: x3 + 3x2 + x + 2 ,

sobre el triple de : x2 + x – 1.

a) -x+7 b) 3x2 -x + 7 c)

x3 + 3x2 -x + 7

d) 2x3 + 3x2 -x + 7 e) 3x2

6

6 – 20 - 13 + 25 – 12 + 7 3 – 1 + 1 -6 + 2 – 2 2 - 6 - 7 + 8 - 18 –15 + 25 + 18 - 6 + 6 - 21 + 31 - 12 +21 – 7 + 7 24 - 5 + 7 -24 + 8 - 8 3 - 1


7) En cuanto excede el triple del

polinomio:

2x3 +x2–3x–5,al doble del

polinomio: 2x2 + x –2.

a)- x2 -11x -11

b)x3 -x2- 11x-11

c) 6 x3 -x2 - 11x-11

d) -11

e) -11x -11

8) En cuánto excede la suma de los

polinomios: x3 + 2x2 - x +2 ; x3 -

x2 + x –2 , al duplo del polinomio:

x4 – 6

a) 2x3 -2x4 b)2x3 -2x4 – 2

c) 2x3 -2x4 -12

d) 2x3 - 12 e) 2X3

9) Si la suma del doble de x5 + x3

+2x con el triple de x5 + 2x3 + x

Se le resta el cuádruple de x5 +

x ; se obtiene

a) 3X b) 8x3 c) –X5+ 8x3 +3X

d) X5 + 8x3 +3X e) 8x3 +3X

10)Si al triple de la suma de 2x3 +3x2

+ 4x + 1 con x3 +x2 + x +

3 , se le resta el doble de la suma

de : 3x3 + x2 + x +1 con x3 + x +

2 , se obtiene :

a) x3 -10x2 + 11x+ 6

b) x3 +10x2 + 11x+ 6

c) x3 -10x2 +6

d) -10x2 + 6

e) -10x2

11) Si se sabe que:

A=2( x2+x+1)( x+1)+2 x

B=2( x2−x+1)( x−1)−2x Calcular : A – B - 4x

a) x2 + 4 b) 4 c) x2

d) 8x2 + 4 e) -8x2+4

12) Si :

A=(2 x+3 )(4 x2−9 ) B=(2x−3 )(4 x2+9 ) Calcule el valor de : 2( A + B ) – 3 ( A – B )

a) 32x3 -72x2 -108X -108b) 32x3 -72x2 +108X -108c) 32x3 -72x2+ 108X +108d) 32x3 -72x2 +108X -108e) -32x3 -72x2 -108X -108

13) Indicar el coeficiente del término cuya parte variable es x2 , del polinomio que resulta al efectuar:

R= (2 x+1 )3+3( x2+x+1 )( x−1)+(2 x−1 )2

a) 8 b) 16 c) 16x2

d) x2 e) -16x2

14) Cuál será el coeficiente del término (cuya parte variable es x3), del resultado que se obtiene al efectuar:

P=( x+2)2( x2+1 )+( x−2 )2( x2−1)

a) 8 b) 2 c) 0

d) -2 e) -82

15) Indicar el mayor coeficiente que se obtiene al efectuar operaciones en :

A=( x+1)( x+2)( x+3 )+2( x+2 )2

a) 14 b) 19 c) -19

d) -14 e) 20

7


16) Al efectuar la expresión: R = ( x + 2) (x + m) ( x – 2 )

Se observa que el término cuya variable es x2, tiene un coeficiente tal que excede en 25 al término independiente. Calcular el valor de m .a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

17) Señale la suma de coeficientes del cociente que se obtiene al efectuar la división: x5+3 x4+5x3+9 x2+7 x+2

x2+4 x+1

a) -13 b) 13 c) 14

d) -14 e) 15

18) Si después de efectuar la división indicada a continuación:

(2 x4+3 x3+4 x2+5 x+m) :( x+1) el resto es 12 ; hallar m .

a) 11 b) 12 c) 13 d)14 e) 15

19) De las divisiones que se indican a continuación:

(2 x3+4 x2+3x+6 ) :( x+2) (3 x3+6 x2+9 x+12) :( x+3 )

( x3+6 x2+11 x+6 ) :( x+1)

(2 x3+3 x2+5 x+1 ):( x+4 ) ¿Cuántas resultan exactas? a) 1 b) 2 c) 3 d)4 e) NINGUNA

20) Qué valor deberá tomar a , para que la división sea exacta:

[ax 3+(a+1 )x2+(a+2 )x+a ]:( x+2 )

a) 1 b) 0 c) -1 d) 2 e) 3

NIVEL II

1) Efectuar E + F si :

E = 1 + x – x2

F = x2 – x – 1

a) o b) 2 c) x

d) 1 e) 2+2 x+2x2

2) Efectuar M – S si se cumple que :

M = 3a2 – b – c2

S = b + c2 – 3a2

a) 0 b) 2 c) a2

d) 2a e) 6a2-2b –2c2

3) Reducir :

E=2( x2+x−1)+3 ( x2−x+1)−5( x2−1

5x−2 )

a) 7x b) 2x2 –1 c) x2 + x + 1 d) 11 e) 0

4) Reducir :

M=5a (b+c )−5b(a+c )−5c (a+b )

a) –8bc b) –10bc c) bc d) bc+ ab e) 5bc-ab

5) Reducir :

T=2 y ( x2+z2 )−2xy (x− y )−2 y ( z2+xy )

a) 0 b) 2x +y –z c) x2 + y2 + z2

d) xy +yz +xz e) 1

6) Reducir :

5x - [7 y−2 x−(3x−2 y ]+9 y

a) 3x b) 2x + y c) 10x d) 10x + 3y e) x + y

7) Simplificar : (a + b) x + (b +c) y – (a – b) x +

(b –c) y

8


a) 2b(x+y) b) 2a (x - y) c) xa + yb d) xa – yb e) 0

8) Reducir :

7a2− {a(7a−b )+2a [b−a ] }−a(2a−b)

a) a +b b) o c) a+2b

d) a-2b e) a- b

9) Simplificar:

3xy - [2 x( x+ y )−3 y (2x− y )]−x (7 y−2x )

a) y2 b) –y2 c) 3y2 d) 3x2 e) –3y2

10) Hallar P(x) + Q(x) si se sabe que : P(x) = 1 + x – 7 x2

Q(x) = 7x ( x + 2 )- 1

a) 2x2- 1 b) 10x c) –15x d) 15x e) 5x

11) Hallar E = 3P(x) – 5Q(x) , si se sabe que :

P(x) = 2 – x + 5x2

Q(x) = x + 5 – x 2

a) x2 – 2x – 1 b) 20x2 – 8x –19

c) 2x2 – 5x –19 d) 20x2 –19

e) 20x2 –8x

12) Restar : 7 – x de 2 – x

a) 6x – 5 b) 8x c) 5d) –5 e) 6x - 2

13) De a2 + b + 1 restar la suma de a2 – 2b con 3b + 1

a) a2 + b b) 2a2 + b c) 2a2 - b d) a2 –b e) 0

14) ¿Cuánto le falta a 1 – x para ser igual a 1 + x ?

a) 3x b) 2x c) 2 d) 1 c) – 2x

15) Si P(x) = 1 – x2 + x , Q(x) = 2 – x , R (x) = x2 + 2 .

¿ Cuánto le falta a la resta de Q menos R para ser igual a la suma de P más Q ?

a) 3 + x b) 2x2 – x – 2 c) x2 – x + 1

d) x – 3 x2 + 1 e) 1 – 3x + x2

16) ¿Cuánto le falta a B para que sumado con C de A ?

A=x+ 12

; B=2x−13

; C=1− x2

a) x -

12 b)

12 x + 6 c) x +

12

d) –

12 x –

16 e) 1-

x3

17) Cuánto hay que restar de –7x2 + 6x + 1 para obtener 6x – 7x2 – 7 ?

a) 8 b) -x2 + x – 2 c) 2x – 3 d) x – x2 – 5 e) x – 7

18) Restar de A , lo que queda de quitarle C a B .

A = 5x2 + x+3 B=3x– 5x2+1 C=3x2+2x – 7

a) 3x2 + x – 1 b) 13x2 – 5 c) 2x – x2 + 2 d) 11x2 – 5x + 1 e) 8x2 - x + 8

19) Hallar el valor numérico de P(a, b) para a – b = - 2

si se sabe que :

9


P(a,b ) = 7a-3b+3b(a–2b) + 6( b2–b) – a(3b – 2)

a) –15 b) –13 c) 11 d)15 e) –18

20) Del ejercicio 18. Restar C de ( A+B+3x2)

a) 2x b) 11 c) -2x+11d) 2x+11 e) 2x- 11

NIVEL III

1) Efectuar: ( x + 1 )2 – ( x– 2 )2

a) 2x – 1 b) x + 1 c) 6x – 3 d) 7x + 3 e) 2x

2) Efectuar : 7( x – 7 )2 – 7(x + 7 )2

a) 196 b) 196x c) –196 x d) 192 e) –192x

3) Hallar el término independiente de Z , al efectuar ( 3z + 2 )6

a) 8 b) 16 c) 32 d) 64 e) 128

4) Al multiplicar ( x – 7) ( 2x + 5m ) ( x + 5 ) se obtiene como término independiente -350 .

Según esto. ¿ cuál es el valor de m ?

a) 2 b) 5 c) 6d) 4 e) 3

5) ¿cuál es la suma de coeficientes el cociente al efectuar la división P(x) : Q (x) ? P(x) = x6 + 3x4 – x3 +x2 – 2x – 2 Q(x) = x4 + x – 1

a) 6 b) 8 c) 4 d) 5 e) 2

6) Hallar la suma de coeficientes del residuo al dividir :

( 3x – 1 – 2x2 + 4 x2 – 5 x3 ) ; (x2 – 2x–1)

a) 29 b) 17 c) 11 d) 13 e) –29

7) Hallar el valor numérico de P (x)

para x = − 7

11

P(x) = ( x + 3 ) ( x + 2 ) (x + 1 ) – 6 – x2 ( x + 6 )

a) – 7 b) – 5 c)

117

d) −11

7 e)−11

5

8) Hallar el valor numérico de E para

X = 3√2+√3 , si :

E = ( x + 5 )3 – ( x – 5 )3 – 30 x2

a) 125 b) 180 c) 215d) 250 e) No se puede

9) Cuál es el grado de E = P(x) + 2Q(x) si se sabe que :

P(x) = ( 2x5 – 1 )9 + x4 – x5 + 1Q(x) = (x2 - 3 )5 + 3x2 – x + 2

a) 17 b) 25 c) 45 d) 22 e) 47

10) Hallar el grado de F = M + N – P si se conoce que :

M = ( 7x7 + 2 )7 + ( x – 1 ) 2

N = (2x3 + 2)3 – x2

P = (5x2 + 1 )5 – 2x2

a) 49 b) 27 c) 41

10


d) 14 e) 16

11) ¿Cuál es el término independiente del producto : (x2 – 5x+3) (-3x + 1 ) ?

a) –1 b) 3 c) –3 d) –2 e) 5

12) Dar el término independiente del producto que resulta la multiplicar (x –7 ) (x2 – 5x– 3)

a) –17 b) 21 c) –10 d) 10 e)+ 4

13) Hallar el término independiente del producto siguiente :

7 ( x2 + 10x – 3 ) (x4 – 5 +2x )

a) 100 b) –21 c) –15 d) 105 e) 15

14) ¿ Cuál es el término independiente al elevar al cubo el binomio ( x + 4 ) ?

a) 4 b) 64 c) 8 d) 12 e) 7

15) Dar el término que no depende de y , al efectuar : ( 2y + 2 ) 3:

a) 4 b) 6 c) 8 d) 5 e) 7

16) ¿ Cuál es el término que no depende de x en el producto de : (x + 1 ) (x7 – 5 ) ( x2 + x + 5 ) (x2 + 8x – 1) ( x3 – 7 ) ?

a) –175 b) 175 c) 25 d) 17 e) – 25

17) ¿Cuánto debemos aumentar a P(x) para que al dividirlo por (x – 2 ) el resto sea 24 ?

P(x) = 2x5 – 5 + x2 + 2x3

a) –17 b) 17 c) 15 d) -15 e) –55

18) ¿Cuánto debemos aumentar al polinomio P(x) para que al dividirlo por (x+1) el resto sea 50 ?

P(x) = 1 + 3x + x4 – x2

a) 52 b) 42 c) 40 d) 38 e) 28

19) ¿ Qué valor deberá formar “a”, de manera que la división de P(x) : F(x) sea exacta ? siendo :

P (x) = x3 + ax2 + ax + 1

F(x) = x + 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) N.A e) Cualquier valor .

20) Se sabe que el residuo de la división mostrada es ( a – 1 ); calcular a :

[ x3+x2+ax+1 ] :( x−2)

a) –14 b) 6 c) 2d) – 7 e) 0

1.2. METODO DE HORNER: Es el método mas general y se utiliza generalmente cuando el divisor es de 2do grado o más . En este método se utilizan sólo coeficientes .

Empleando el siguiente esquema .

ESQUEMA

11

Línea Imaginaria El 1ro. Con su signo D D I V I D E N D O Fila I V I S O R COCIENTE RESIDUO

Columna

Los demás con signo cambiado con


Ejemplo 1 : Dividir : 8x4 + 6 x3 – 3 x2 + 20x – 7

entre 2x2 + 3x – 1 Solución :

q(x) = 4x2 – 3x + 5

como:[q ( x )]0=4−2=2

R(x) = 2x –2 [ R( x ) ]0max =

2 – 1 =1

EJERCICIOS

NIVEL I

1. Hallar el cociente de la siguiente división.

x3+5 x2−7 x+5x2+2x−3

a) x + 5 b) x2 + 3 c) x + 3 d) –10x + 14 e) 10x – 14

2. Hallar el residuo de la división

x4−3 x3+2 x2+x−5x2−3 x+1

a) x2 + 1 b) 4x – 6 c) –2 d) –6 e) 4x

3. Al efectuar la siguiente división:

4 x4+13 x3+28 x2+25 x+124 x2+5x+6

Indicar su cociente:

a) x2 + 2x + 3 b) x2- - 2x - 3 c) x2 + 3x + 2 d) x2 – 2x + 3 e) x2 + 2x – 3

4. Del problema “3” indicar su residuo

a) 2x + 6 b) –2x + 6 c) –2x – 6 d) 2x – 6 e) x – 2

5. el problema “3” el término independiente del cociente es :

a) 1 b) 2 c) 3 d) –2 e) –3

6. El coeficiente del término lineal ( “x” de grado uno ) del cociente es :

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. El producto de términos del cocientes del problema 3 es :

a) 6x b) 6x2 c) 2x2 d) 15x3 e) 6x3

8. Calcular la suma de coeficientes del residuo de dividir

4 x4−5 x3−2 x2+3 x−1x2−2 x−1

a) –27 b) 29 c) 21d) 19 e) 11

9. Luego de dividir:

x5−3 x2+x+1x2+x−1

Hallar el residuo de la división

a) 9 b) 2 c) 9X-5 d) 10x – 6 e) 6x – 11

12


10. Hallar la suma de coeficientes del cociente de la siguiente división :

2x4+5 x3−2x2+4 x+82 x2+x−2

a) 2 b) 5 c) 7 d) 9 e) 13

11.Luego de efectuar :

3x6+2 x5+x4+2x+3x3−x+1

Indicar el cociente : a) 3x3 + 2x2 + 4x –1b) 3x2 + 2x – 1c) 3x2 + 4x - 1 d) x3 + 2x2 + 1 e) x3 – 3x – 1

12.En la siguiente división por Horner

1 2 4 5 c 7 -1 b - 4 a -2 - 4

1 2 2 2 d 3 9

Hallar la suma de : “ a + b + c + d ”

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 12

13.Si se tiene la división :

x5+2x3−13 x2−mx+nx2−3 x+3

Hallar “m + n “ sabiendo que la división es exacta : a) 9 b) –9 c) 12 d) –12 e) 21

14.Encontrar el valor de “m + n + p” si la división :

6 x5−17 x4+7 x3+mx2+nx+ p3 x3−4 x2+5 x−7

es exacta :

a) 22 b) 18 c) 17 d) 25 e) 28

15.Si la sgte. división es exacta Calcular el valor de “ m + n ”

2x4−4 x3+nx2−5 x+m

x2−x+2

a) 2 b) 13 c) 9 d) 8 e) 19

16.

12 x4−14 x3+15 x2−6 x+44 x2−2x+1

Indica :

El Cociente : El Residuo : La suma de los coeficientes

del cociente

17.

6 x5+5 x4−26 x3+33 x2−22x+62 x2−3 x+1

Indica :

El Cociente : El Residuo : El mayor coeficientes del

cociente

18.

18 x4−24 x2−3 x3−2 x−273 x2+2

Indica : El Cociente : El Residuo : La suma de los coeficientes

del residuo

19.

6 x4−10 x3−5 x2+18 x+42x2−6 x+5

Indica :

El Cociente : El Residuo : El mayor coeficiente del

residuo .

20.

3x 4+15 x3+3 x−14x2+5 x−3

Indica :

El Cociente : El Residuo :

13


El menor coeficientes del cociente

NIVEL II

1. En la siguiente división

2x4+7 x3+16 x2+Ax+B

2 x2+3 x+4

deja como resto : 13x + 3 .Calcular : “ A / B ” a) 1 b) 2 c) 3

d)

12 e)

13

2. En la siguiente división ;

x4+x3−5 x2+Ax+Bx2−2 x+2

deja como R(x) = 4 , calcular : “

√B+ 3√A ”

a) 2 b) 4 c)

12

d)

14 e) 3

3 . Calcular: “a + b + c ” si la división :

4x4+3x3+ax2+bx+c

x3−x+2x2+1;es exacta

a) 14 b) 5 c) 10 d) 0 e) –10

4. Si la siguiente división : x4+ax2+b

( x−1 )(x−5)es

exacta, calcular : “ a +b ”

a) 50 b) –2 c) –1 d) 49 e) 18

5. Al dividir : 6 x5−x4+ax 3−3 x2+4

3 x3−2 x2−x−2 se

obtiene como resto : “ bx + c ” Indicar el valor de : “ a + b + c ”

a) 3 b) – 4 c) – 2d) – 1 e) 2

6. En la siguiente división exacta :

Ax4+Bx3+14x2+Bx+3x2+2x+3

Calcular:

A+1B

a) 2 b) 12 c) 3

d)

13 e) 1

7. Calcular : “ a + b ” ; si el resto de :

3x4−4x3+3x+ax2+2x−2

x2−x+bes “ 8x – 2 ” ; además a ¿ b ∈R+

a) 13 b) 18 c) 5 d) 10 e) 16

8. Al efectuar la división

2x4+5x3+ax+ax2−x+1

Da como resto un polinomio de grado cero , ¿cuál es ?

a) –1 b) –3 c) 2 d) 8 e) 4

9. Calcular : (m+p) n . Si el resto de la división:

mx4+nx3+ px2+6 x+62x2−5 x+2

es : -5x + 8 y que la suma de los coeficientes del cociente es 4 .

a) 1249 b) 2419 c) -2419 d) -4219 e) 4219

10. En la división :

9x4+6ax3+(a2+3b) x2−abx−9a2

3x2+ax−bel resto obtenido es : (6ab + b2)

Calcular: R =

3a2+b2

a2

a) 6 b) 8 c) 10

14


d) 12 e) 14

11. Determinar el valor de “a “ para que la división sea exacta :

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

12.Determinar a + b , si la división es exacta :

6x4+16 x3+25 x2+ax+b3x2+2 x+1

a) 13 b) 19 c) 12d) 15 e) 11

13. Calcule A –B si la división deja como resto: 4x+ 5

12x4−12x3+13x2+Ax−B2x2−3x+5

a) 16 b) 32 c) 38d) -9 e) 51

14.Calcular (A+ B +C) si la división es exacta :

8x5+4x3+Ax2+Bx+C2x3+x2+3

a) 16 b) 17 c) 18

d) 19 e)20

15. Calcular

n−2m , si x4 + 2x3 –3x2 +

mx –n es divisible por x2 +2x –5

a) –3 b) 3 c) –2d) + 8 e) 2

16. El polinomio X5 - 2x4 – 6x3 +mx2 +nx +p es divisible por ( x – 3 ) (x2 –1). Luego el valor de m + n + p es:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

17. Siendo en una división :

D(x) = 4x4 – 2x3 –22x2 + 69x – 61 el dividendo.d(x) = 2x2 + 4x – 8 el divisor Q(x) = es el cociente y R(x) es el residuo Resolver: d(x) - Q(x) – 9R(x) = 0

a) 42 b) 25 c) 30d) – 4 e) 45

18. Hallar el término independiente del cociente , luego de dividir :

10x4+6x3−37x2+33x−95x2 7x+3

a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) –3

19. Calcular el valor de (m+n) si el polinomio: 3x4 – 4x3 + 3x2 + mx + n es divisible entre:

x2 – 3x + 5

a) 29 b) 31 c) 33 d) 47 e) 51

20. Si el residuo de la división:

x5+4x4+3x3+2x2+ax+bx2−x−1

es 26x + 1 , marque la alternativa correcta .

a) a = 4bb)–15a = b c) b = 2a d) a = b + 1 e) a = b

1.3. METODO DE RUFFINI .- Es un caso particular de Horner y se utiliza cuando el divisor es un binomio de 1er grado de la forma : ax + b; al igual que Horner utilizaremos sólo coeficientes .

Si

se iguala a cero ; es decir:

ax + b = 0 x =

−b a

15

d(x) = ax + b

2x4+x3−3x2−10x−ax2−x−2

a

b

a

3 -2 0 5 -7

-3 - 9 33 -99 282

x 3 -11 33 - 94 275


Esquemáticamente se ilustra : Ejem: D I V I D E N D 0 C O C I E N T E Resto

Ejemplo 1: Dividir: 3x4 –2x3 + 5x – 7 entre x +3 (a =1 ) Solución:

X + 3 = 0 X = -3

⇒ q(x) = 3x3 – 11x2 +33x – 94 R =275

como : [ g( x )]0=4−1=3

Ejemplo 2: Dividir: 6x4 – 4x3 +x2 +10x –2 entre 3x + 1 (a¿ 1) Solución:

3x+1=0

X = –

13

R =-5

EJERCICIOSNIVEL I

Dividir por el método de RUFFINI

1. ( 3x3 – 5x2 +10x – 8 )¿ ( x – 1 )

2. ( 6x3 +13x2 - 6x + 27 )¿ ( x +3 )

3. ( 7x3 – 9x2 - 33x +12 )¿ ( x – 4 )

4. ( 9x4 + 22x3 + 2x2 – 10x +4 )¿

( x + 2 )

5. ( 14x4 - 13x3 + 49x2 – 50x -77 )¿ (

x - 7 )

6. ( 1x4 - 10x3 + 24x – 17x +102 )¿ (

x -6 )

7. ( 1x5 - 8x4 - 2x3 – 18x2 –13x - 117 )

¿ ( x + 9 )

8. ( 1x5- 8x4+12x3 – 93x2 –23x-8 )¿

( x - 8 )

9. ( 1x5 + 21x2 –25x - 21 )¿ ( x+ 3 )

10. ( - 7x4 - 20x3 + 16x – 16 )¿ ( x + 2 )

11.( -2x5 + 164x3 –155x + 63)¿

( x + 9 )

12. ( x4 - 17x3 + 74x2 – 97x +99 )¿ ( x -

11)

13. ( x8 - 2x7 - 3x5 + 10x4 – 8x3 + 3x – 6)

¿ ( x - 2 )

14. ( 9x4 - 63x3 - 8x + 56 )¿ ( x - 7 )

15. ( 8x4 - 104x3 - 9x + 117 )¿ ( x -13 )

16. ( 6x4 - 106x3 + 68x2 )¿ ( x - 17 )

17. ( x3 – 3x2 – 18 )¿ ( x – 6 )

18. ( 2x3 –38x2 +120x)¿ ( x – 15 )

19. ( 7x3 – 32x2 +33x )¿ ( x – 3 )

20. ( x4 – 32x3 – 48x2 )¿ ( x – 12 )

NIVEL II

1. Al dividir x3+4x2−5x+7

x−2 indique el cociente :

a) x2 + 7x + 6 b) x2 - 6x + 7 c) x2 + 7x - 6

16


d) x2 + 6x + 7 e) x2 + x + 7

2. Calcule el resto en :

x4+7x2−4x3−5x−9

x+1

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

3. Calcular el cociente de dividir :

x4+3x3−2x2+3x+1

x−3

a) x3 - 2x - 3 b) x2 - 2x - 3 c) x2 - 2x - 3

d) x2 - 2x + 3 e) x2 + 2x - 3

4. Al dividir :

2x4+x3−8x2−3x+72x−3

Indique el término independiente de q(x)

a) 6 b) –6 c) 2 d) 4 e) –3

5. Si el residuo de dividir: (3x6 –x2 +ax –1 ) : ( x – 1) es “4” ¿Cuál debe ser el valor de “a” ?

a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 3

6. En el siguiente cuadro de Ruffini calcular la suma de los números que debemos escribir en los casilleros vacíos

a) 31 b) 51 c) 53 d) 35 e) 15

7. Indicar el cociente de dividir

4x4+4 x3−11x2+6x+62x-1

a) 2x3 + 5x2 + x + 1

b) 2x3 +3x2 -4x + 1 c) x3 + 5x2 + x + 3 d) x2 + 5x + 2 e) x2 + x + 3

8. Calcular “m” si la división es exacta.

6 x3−3 x2−mx−152x−3

a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2

9. En el siguiente esquema de Ruffini. Hallar la suma de los números que debemos escribir en los casilleros vacíos.

a) 20 b) –31 c) 91 d) -13 e) –16

10. Hallar “a” para que el residuo

de la división x3−ax2−ax−a2

x−a−2 sea:5a +11

a) 2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11. Resuelve aplicando el método de Ruffini:

a4−3a2+2a−2

Indica: El cociente El residuo La suma de los coeficientes

del cociente

12.

x3+3x2−7x-5x2

x−1 Indica:

El cociente El residuo El mayor coeficiente del

cociente

17

2 4 5 □ 8 2 □ 16 42 96

2 8 □ 48 104

1 3 2 -4 □ □ - 3 -3 □ □ 30 -87 1 0 2 -10 29 -93


13. 2x4−7x2+5x-3

x+2

Indica: El cociente El residuo El término cuadrático del

cociente .

14. 5x4−x3+7x2 -9

x+1 Indica:

El cociente El residuo El menor coeficiente del

cociente.

15.

23+6n3−5nn−1

Indica: El cociente El residuo El mayor coeficiente del

cociente.16. Completa los esquemas que se

dan a continuación y completa lo que se te pide :

16. ☺ 3 ☺ ☺ 1 ☺ ☺ ☺

2 ☺ -3 -1

Indica: El Dividendo El divisor El cociente El residuo La suma de los coeficientes

del cociente

17. 5 -1 13

-6 13 4

Indica: El Dividendo El divisor El cociente El residuo El término lineal del cociente .

18. Efectúa el cambio de variable o indica lo que se le pide:

3X12+3X8−2X4−5

X 4−2 Indica:

El cociente : El residuo : La suma de los coeficientes

del Cociente

19.

x6+3x3−5x3−1

Indica: El cociente : El residuo : El término de tercer grado

del cociente .

20.

3x20+x10−2x5 -5x5−1

Indica: El cociente : El residuo : El coeficiente del término

de segundo grado.

1.4 TEOREMA DEL RESTOPor medio de este teorema (también llamado de Descartes) se puede obtener el residuo en forma abreviada sin necesidad de efectuar la división.El procedimiento consta de dos pasos principales:

1. Se iguala el divisor a cero y se despeja la variable o toda una estructura .

2. Se reemplaza esta variable o estructura por el valor obtenido en el primer paso en el polinomio “DIVIDENDO” obteniéndose así el residuo de la división .

Ejemplo (1) :

18


Determinar el resto o residuo de la siguiente división:

2x4−3x3+2x−x2+3x+2

SOLUCION:

1. x + 2 = 0 2. x = -2

3. R = 2(-2) 4 – 3(2) 3 + 2(-2) – (2) 2 + 3

∴ R = 51 Ejemplo (2):

Determinar el residuo de la siguiente división :

2x5+3x4−x3−4 x2+3 x−7x2+3

Solución:

1) x2 + 3 = 0 2) x2 = - 3 Como se observa, en este caso no se despeja el valor de “x” sino que despeja la variable con su exponente. Se hace esto para no afectar el residuo por lo tanto al dividendo lo escribiremos en función de “ x2 ”.

D( x2) =2(x2)2. x +3(x2)2 – x2 . x – 4x2

+ 3x –7 reemplazando en el dividendo : 3) R( x) = 2(-3)2 x + 3(-3)2 – (-3) x – 4( -3) + 3x - 7 ∴ R( x) = 24x + 32

Ejemplo (3) : Determinar el residuo de la siguiente división:

( x2+x−2 )2n+( x2+x+1 )2+x2+x−1

x2+x−1 Solución : 1) x2 + x – 1 = 0

2) x2 + x = 1

Reemplazando en el dividendo:

3) R(x) = (1 – 2) 2n +( 1 + 1 )2+ 1 –1 ∴ R( x) = 5 OBSERVACIÓN: Al dividir P(x) entre (x - a) entonces el resto es P(x) . Así

P ( x )x−a →R=P( a)

PROPIEDAD: Si el dividendo y el divisor se multiplican o dividen por una expresión, entonces el resto o residuo, queda multiplicado o dividido por dicha expresión.

P ( x )x−a →R=P( a)

Luego: P (x ).Q( x )

( x−a ) .(Q( x )⇒R I=P(a ).Q( x )

P( x )÷Q( x )( x−a )÷Q (x )

⇒RII=P(a ) .Q( x )

EJERCICIOSNIVEL I

Hallar el residuo de las divisiones siguientes, empleando el teorema del resto:

1. ( 2x5 – 3x4 + 5x – 4 ) ¿ ( x - 2)a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

2. ( 2x6 – 5x4 + 7x2 + 3 ) ¿ ( x + 1)a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

3. ( x3 + 2x2 a + a3 ) ¿ ( x + a)a) a3 b) 2 c) -2a3 d) 2a3 e) 3a3

4. ( 6x4 –2x3 + 3x2 – 1 ) ¿ ( x - 1)a) 6 b) 5 c)4 d) 3 e) 2

5. ( x8 – y8 ) ¿ ( x + y)a) 4 b) 3 c)2 d) 1 e) 0

19


6. ( x2 – 6ax + 3a2) ¿ ( x – 2a)a) a2 b)5a2 c) -5a2 d) –a2 e) a3

7. Calcular el resto de:

2x3+3x2−5x+7x−1

a) 3 b)4 c)5 d)6 e)7

8. Hallar el resto en :

x4+( x+1)2+( x+2 )+3x−1

a) 11 b) 9 c) 8 d) 10 e) 7

9. Hallar el resto en :

( x+2)4 ( x−3 )+7x+3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10) Hallar el resto de la siguiente división :

3x3+2 x2−4 x-33x−1

a) 1 b) 2 c) -2d) -3 e) -4

11) Si se tiene la división:

4x3−4 x2+3 x+52x+1

Hallar su residuo.a) 1 b) –1 c) 2 d) 3 e) 4

12) Si la división es exacta:

x2+3x3−mx+n2x+1

Hallar “ m + n ”a) 1 b) 2 c) d) 4 e) 4

13) Calcular el residuo de:

( x+3)7+( x2−x-7 )8−x−1x+2

a) 1 b) –1 c) 2 d) 3 e) 4

14) Calcular el resto en :

x20+x10+x4+5x+2x4+1

a) x2 + 5x b) 5x c) x2 - 5xd) x2 - 6x e) 0

15) Hallar el resto en:

3x60−5x45+3x30−2x15+x5+7x5+1 :

a) 3 b) 5 c) 2 d) 6 e)19

16) Hallar el resto en :

9x70−3x40+5x14−6x8+x2+7x2−1

a) 9 b) –6 c) –13 d) 13 e) 6

17) Hallar el residuo en: ( 3x2 – 5x + 9 ) : ( x - 2)

a)11 b)17 c)26 d)29 e)21

18) Hallar el resto:

2x51−x50+8x−152x−1

a) 11 b)12 c) –12 d) –11 e)15

20


19)

x35−2x34+2x2−5x+7x−2

a) 6 b)7 c)4 d)5 e)14

20)

x5−2x4+3x3−4x2+5x-1x−1

a) 6 b)7 c)8 d)9 e) 2

NIVEL II

1)

( x+3)7+( x2+x−7)8−x−1x−2

a) 1 b)7 c)-5 d)-1 e) 3

2)

x50−2x15+3 x5−2x5+1

a) -2 b)-7 c)-5 d)-1 e) –3

3)

( x2+3x+2)5+( x2+3 x )2+24

x2+3x+4

a) -2 b) -4 c)-5 d)1 e) 8

4) Hallar el valor de “ n” : Si se sabe que ( 4x3 – 35 x2 + nx –10) es divisible por (x + 5 )

a) 75 b) -75 c) 77 d) -77 e) 71

5) Para que

(2x+3)5+25( x+3)4−6nx+2

sea una división exacta . ¿ Cuál debe ser el valor de “ n”

a) -6 b) 6 c) -4 d)4 e) 12

6) Hallar “n“ para que el polinomio P(x) = nx2 – 5x + 18 sea

divisible por ( x - 2)

a) 2 b) -2 c)7 d) -7 e) -1

7) Efectuar :

24a3−20a2+25a−7a−3

Indica:

El cociente : El residuo: El coeficiente principal

del coeficiente 8) Hallar el residuo en : ( 6x3 – 7x2 + 4x – 9) : ( x + 1 )

a) –26 b) 27 c) –28 d) –29e) 30

9) Hallar “ n” para que el residuo de : ( 2x2 – 2nx + 9n ) ÷ ( x - n ) sea 36

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

10) Hallar “n” para que al dividir: ( 6x3 + nx2 + 45x -12) :( x+ 3 ) el residuo sea 60.

a) 45 b) 46 c) 41 d) 42 e) 43

11) Hallar el resto en:

9 x70−3x 40+5 x14−6 x8+x2+7x2+1

a) -13 b) 13 c) -6 d) 6 e)-17

12) Al efectuar

21


x32+3 x60−2 x48−1x12−1

Se obtiene :

El cociente El residuo La suma de los coeficientes del cociente

13) Calcular el resto en :

(2x+9)40+( x+6 )30−( x+4 )25+7x+5

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

14) Calcular “ n ” si dividir :

x8+(3n−1 )x6+(n+5 )x 4+nx2+1x−√2 ,

el resto es 89

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

15) Calcular “n” si al dividir :

x100+32x95+(n+1) x3+3nx2+10x+2 ,

el resto es 14

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

16) En la siguiente división :

( x+ y )3+( y+z )3+( z+x )3−nxyz−mz3

x+ y

Calcular los valores de “ m “ y “ n “ si el resto que se obtiene es cero : a) 2;6 b) 2;- 6 c) -2;6d)-2 ; 6 e) 1;-6


x13+3x9+5x4−2x3+x+1x3+1

a) 0 b) 3x c) -3x d)7x+6 e) 7x – 1

18) Calcular el residuo en :

x4n . 3+2

x4n

+1

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5


x3 ( x+3)3+5( x2+1)+15x+14

x+3x2+2

a) 0 b) 1 c) 7 d)9 e) 17


( x+1)2 ( x−5) ( x+3 )2

(x+2 )( x+1 )

a) 7(x +1 ) b)7x+1 c) 7d) 6 e) 6 ( x – 1 )

22


2 . PRODUCTOS NOTABLES I

2.1 DEFINICIÓNSon los resultados de algunas multiplicaciones indicadas que se obtienen de manera directa, sin necesidad de efectuar la operación.

IDENTIDAD DE LA MULTIPLICACIÓNA.B ≡ C; donde A y B son los Factores y C es el producto

2.2 ALGUNAS IDENTIDADES ALGEBRAICAS IMPORTANTES SON:

1) BINOMIO AL CUADRADO

* ( a+ b )2 ≡ a2 + 2ab + b2

* ( a - b )2 ≡ a2 - 2ab + b2

2) BINOMIO AL CUBO

* (a + b)3 ≡ a3 + 3a2b + 3ab2 + b 3

* (a - b)3 ≡ a3 - 3a2b + 3ab2 - b 3

IDENTIDADES DE CAUCHY

* (a + b)3 ≡ a3 + b3 + 3ab(a + b)* (a - b)3 ≡ a3 - b3 - 3ab (a - b)

3) TRINOMIO AL CUADRADO

* (a+b+c)2 ≡ a2 + b2 + c2+ 2ab+ 2ac+ 2bc

4) TRINOMIO AL CUBO

* (a+b+c)3 ≡ a3 + b3 + c3+ 3a2b + 3a2c+ 3ab2+ 3b2c+ 3ac2+ 3bc2+ 6abc

* (a+b+c)3 ≡ a3 + b3 + c3+ 3ab(a+b) + 3bc(b+c)+ 3ac(c+a)+ 6abc

* (a+b+c)3 ≡ a3 +b3 +c3+3(a+b) (b+c) (c+a)

* (a+b+c)3 ≡ 3(a+b+c)(a2 +b2+c2 ) -

2(a3+b3+c3)+ 6abc

* (a+b+c)3 ≡ a3 +b3 +c3+ 3(a+b+c) (ab+ac+bc) – 3abc

5) PRODUCTO DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN O IDENTIDADES DE STEVIN.

* (x+a) (x+b) ≡ x2 + (a+b) x + ab * (x+a) (x+b) (x+c) ≡ x3+

(a+b+c)x2+ (ab+ac+bc)x + abc* (x+a) (x-b) (x-c) ≡ x3-(a+b+c)x2+

(ab+ac+bc)x – abc

6) DIFERENCIA DE CUADRADOS

* (a+b) (a-b) ≡ a2 – b2

7) SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

* (a+b) (a2-ab+b2) ≡ a3 + b3

* (a-b) (a2 + ab+ b2) ≡ a3 - b3

8) IDENTIDADES DE LEGENDRE

* (a+b)2+(a-b)2 ≡ 2a2 + 2b2

≡ 2 (a2+b2)

* (a+b)2 - (a - b)2 ≡ 4ab

9) IDENTIDADES DE LAGRANGE

* (a2+b2) (x2+y2)≡ (ax+by)2 + (ay-bx)2

* (a2+b2+c2) (x2+y2+z2)≡ (ax+by+cz)2 + (ay-bx)2+ (bz-cy)2 + (cx – az)2

23


10. IDENTIDAD TRINÓMICA O IDENTIDAD DE ARGAND

* (a2m+am+bn+b2n) (a2m-ambn+b2n) ≡ a4m+a2mb2n + b4n

* (a2+ab+b2) (a2–ab+b2) ≡ a4+a2b2+b4

* (a2+a+1) (a2-a+1) ≡ a4+a2+1

11. IDENTIDAD DE GAUSS

* (a+b+c) (a2 + b2 +c2-ab-ac-bc) ≡ a3 +b3 +c3 – 3abc

2.3 EJERCICIOSNIVEL I

1) Efectuar en forma abreviada:

(2x-1) (2x+1) (4x2+1) (16x4+1)+1

a) 16x8 b) 256x8 c) 32x8

d) 64x8 e) x8

2) Efectuar abreviadamente:

( x +1) (x-1) (x2+1) (x4+1) +1

a) x4 b) 2x4 c) x8 d) 2x8 e) 1


(√2+x2) (x2−√2 )+2

a) x2 b) x8 c) -4 d) x4 e) 0


5 - [m4+√5 ] [√5−m4 ]a) m4 b) 5 c) 10 d) -m8 e) m8

5) Efectuar operaciones en:

(x+1)3 + (x-1)3 – 2x3

a) 6x b) 5x c) 4x d) 3x e) x

6) Luego de efectuar operaciones en la expresión:

(a+1)3 - (a-1)3 – 6a2

Hallar su valor numérico

Para: a= 3√2+ 3√3

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

7) Hallar el valor numérico de la expresión:

(x+2) (x2+2x+4)(x3-8)+64

para: x= 12√4

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

8) Calcular el valor de:

(a+b) (a2-ab+b2)+(ab-)(a2+ab+b2)

para: a= 3√√2+1; b=

3√3√3+1

a ) √2+2 b )2 c )2√2+2 d )√2e )−2√2+2

9) Luego de efectuar operaciones en la expresión:

( 1+3x)2 – (1+5x)2+(1+4x)2

Calcular su valor numérico para

X= √3−1

4

a ) √1 b)√2 c )√3 d )−√3e )−√2

10) Después de efectuar operaciones en la expresión:

(x2+√3 )2−(x2+√5 )2+(x2+√2 )2 I

Indicar su valor numérico para:

X2 = 2√5−2√3−2√2

a) 5 b) 2 c) 4 d)0 e) 1

24


11) Luego de simplificar la expresión:

(x+2)2+(x+3)2+(x+4)2+(x+5)2-28x dar su valor numérico para:x=

√1,5

a)30 b)70 c) 40 d)60 e) 50

12) Efectuar las operaciones en la expresión mostrada:

(m+1)3 - (m+2)3 + (m+3)3 -m3 -18m. Calcule su valor numérico para:

m= √ √5−16

a ) √5+19 b )19 c )√5d )−√5+19 e )−19

13) Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. (√5+√2 )2−(√10+1 )2=−4

II. (√ x+1+1 ) (√x+1−1 )=x

III. (√5+√2 )2+(√10+1 )2=−4

IV. (√2+√8 )2−(√2−√8 )2=16

a) VFFF b) FFFF c) VFFV d)VVFV e)VVVV

14) De las proposiciones que se muestran a continuación indicar cuántas son ciertas:

* (x+a+b)(x+a-b) = x2 + a2 - b2

* (a+b)(a2+ab+b2) = a3 + b3

* (a+b)(a2+b2)(a-b) = a4 - b4

* (x+1)(x+2) = x2 + 3x + 2* (x+1)(x+2) = x2 + 2

a)5 b)4 c) 1 d)2 e) 3

15) Dos cantidades suman 16 y el producto es 100; calcule la suma de cuadrados.a)54 b)55 c) 56

d)57 e) 58

16) Las edades de dos hermanos se diferencian en 3 y el producto es 17; calcular la suma de cuadrados.a)41 b)43 c) 45

d)47 e) 49

17) Se sabe que la suma de dos cantidades es 5 y el producto de las mismas es 9. Calcule la suma de cubos de dichas cantidades.a)10 b)-10 c) 9d)-9 e) -8

18) La suma de dos cantidades es 6 y la suma de sus cubos es 72; calcular el producto de dichas cantidades.

a)0 b)2 c) 4 d)-6 e) 8

19) Calcular el producto de dos cantidades si se conocen la suma de cubos , cuyos valores son 3 y 12 respectivamente . a)5/3 b)3/5 c) 5/4 d) 4/5 e)5

20) La suma y el producto de dos cantidades son 6 y 21, respectivamente. Calcular la suma de los cubos de dichas cantidadesa)-164 b)163 c)-163 d)-162 e)162

NIVEL II


(8√x+1 ) ( 8√x−1 ) ( 4√ x+1 ) (√x+1 )+1

a) 3x b) 2x c) x d) - x e) -2x

2) Efectúe operaciones, en:

25


[( 8√3+1 ) ( 4√3+1) (√3+1 ) ] x ( 8√3−1)

a) o b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

3) Calcular la suma de cuadrados de la suma y la diferencia de √2+√2 y √2−√2

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

4) Calcular la suma de cuadrados de la suma y la diferencia de √3+√2 y √3−√2

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

5) Si la suma de dos números es 2

√5y su diferencia √5 , ¿cuál es el valor de la diferencia de sus cuadrados?

a) 10 b) 5 c)√5 d)

2√5 e) F.D.

6) La suma de dos números es (√2+√3

) y su diferencia es (√3−√2). ¿Cuál es la diferencia de sus cuadrados?

a) 3 b) 1 c) √3

d) 2√2 e) 2√3

7) Hallar el valor numérico de E, para:

y = √5+2√3E= ( y + 3 ) ( y - 3 ) ( y2 + 9 ) - y4

a) –81 b) 81 c) –27 d) 27 e) 9

8) Calcular el valor numérico de F si se sabe que:

F = m4 – (m - √2 ) (m+√2 )(m2+2)

Para m = 3√2+√3

a) 1 b) –4 c) 4 d) 16 e) imposible

9) Si la suma de dos números es √5y su producto es 2, calcular la suma de sus cuadrados.

a) 6 b) 4 c) 2 d) 1 e) 3

10) Si la diferencia de dos números es 3 y su producto es 4, calcular la suma de sus cuadrados.

a) 17 b) 11 c) 13 d) 7 e) 6

11) La suma de 2 números es 10 y su producto es 22. Hallar la suma de sus cubos.

a) 340 b) 120 c)210 d) 260 e) 10

12)La suma de dos números es 8 y su producto 18. Calcular la suma de sus cubos.

a) 20 b) 45 c) 70 d) 80 e) 78

13) Efectuar en forma abreviada:

F = (x+1)(x+2)(x+3)x-(x2+3x+1)2

a) 2 b) 1 c) –1 d)3 e) -3

14) Efectuar: (x+2)(x+3)(x+1)(x+4) –

(x2+5x+5)2

a) –6 b) -3 c) –1 d) –8 e) –4

15) Calcular el valor numérico de M si se sabe que:

a+b = 3 ; ab=2 y x=√7 M = (2x-a)(2x-b)

a) 30√7 b) 30-6√7 c) 24√7

d) 36√7 e) 28-2√7

26


16) Hallar el valor numérico de S sabiendo que:

x+y = 7; xy=5 y m = √3 S = (x-5m)(y-5m)

a) 17-5√3 b) 75-35√3 c)80-35√3

d) 55√3 e) 45√3

17) Efectuar:

3√a+√a2−b3 x3√a−√a2−b3

a) b b) a c) b2 d) a2 e) a3

18) Reducir la expresión

( 4√x+4√1+ x) ( 4√x−4√x+1) (√ x+√1+x )

a) –2 b) –1 c) –x d) x e) 0

19) Si tenemos que:

A = m2 + n2; B= mn ; C= m+n

Reducir:

( A−B )(C )m3+n3

+C2−AB

a) mn b) –1 c) 0 d)1 e) 3

20) Se sabe que: x+y = m2 + n2 ; m+n = x2 + y2

Entonces el equivalente de:

A= m4 + n4 – m – n + 2m2 +n2; es:

a) xy b) 2xy c) 3xy d) xy-1 e) 2

NIVEL III

1) Si x +

1x = 6 ; Calcular x2 +

1

x2

a) 32 b) 17 c) 34

d) 36 e) √6

2) Si x +

1x = 4 ; Calcular x3 +

1

x3

a) 52 b) 26 c) 104d) 13 e) 4

3) Calcular a-2+a2, si a-1+a=8

a) 64 b) 66 c) 60d) 62 e) 58

4) Calcular m3+m-3,si m+m-1 = 2

a) 6 b) 2 c) 8d) –2 e) 0

5) Si: a+b = √5 ; ab = 1calcular: a2+b2

a) 3 b) 4 c) 5

d) √5 e) –1

6) Si se sabe que:

a+b = 4, a.b =3; hallar el valor de: a3 +b3

a) 20 b) 28 c) 64d) 27 e) 49

7) Efectuar: (x+1)(x2-x+1)(x6-x3+1)-x9

a)2 b) 1 c) 5d) 7 e) 3

8) Efectuar:

(a+2)(a2-2a+4)(a6-8a3+64)-83

a) a6 b) a12 c) a9

d) a18 e) –512

9) Efectuar:

27


E = (x + y)3-( x - y)3- 2y( 3x2 + y2)

a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) –2

10) Efectuar:A= (a+2m)3+(a-2m)3-2a(a2+12m2)

a) –4 b) 2 c) 4 d) 0 e) -6

11) Efectuar:( x + 5)2(x – 3 )2 ( 2x + x2 -15 )-2

a) 2 b) 6 c) 5 d) 1 e) –1

12) Efectuar:

( x+2) ( x-2) ( x2-6) - ( x2-5)2

a) –1 b) -7 c)-5d) 20x2 e) 2x4

13) Reducir :

1+(√2n2−1+2+n2) (−2+√2n2−1−n2)+(n2+2 )2a) n b) 2 c) 2nd) n2 e) 2n2

14) Reducir

√ [( p2+q2+2 pq )2−4 pq ( p2+q2+ pq ) ]a) pq b) p + q c) p2 + q2

d) 2p e) q2

15) Dadas las expresiones:

A = (a + 2b ) ( a2- 2ab + 4b2 ) B = ( a – 2b ) ( a2 + 2ab + 4b2)

Calcule: A + B , si a = 3√3

a) 6 b) 3 c) 4d) 2 e) 9

16) Se sabe que:P = ( 2x + y ) ( 4x2 – 2xy + y2)Q = (3x – 2y ) ( 9x2 + 6xy + 4y2 )

Indicar el equivalente de la sétima parte de (P+Q)

a) 7y3 b) y3 c) 3yd) 4y3 e) 2y2

17) Efectuar operaciones en :

b( a + c ) - (√ab+bc+√ac ) (√b (a+c )−√ac )a) a b) b c) cd) abc e) ac

18) Si se conocen las expresiones:

P = (√a2+bc+√c2+bc ) (√c2+bc−√a2+bc )

Q = (a + c ) ( a – c )

a) ac b) 3a c) 2ad) a e) 0

19) A partir de las expresiones:

A =( 3n – 2m ) (9n2 + 6mn + 4m2)

B = ( 2m √2m+3n ) (√8m3−3n )

hallar el valor de :

A+B

n2(3n−1)

a) 1 b) 4 c) 6d) 3 e) 9

20) Se sabe que :

P = 3√√2+1+ 3√√2−1

Q = 3√ (√2+1 )2+ 3√(√2−1 )2−1

Calcular : P x Q .

a) 2√3 b) 3√2 c) 2√2

d) 3√3 e) 1

28


3 COCIENTES NOTABLES

3.1 CONCEPTO.- Son casos especiales de divisiones algebraicas exactas entre divisores binómicos de la formas.

xn±an

x±a en los cuales es posible deducir el cociente sin necesidad de efectuar la operación.

CONDICIONES QUE DEBE CUMPLIR

1. Deben tener las bases iguales.

2. Deben tener los exponentes iguales.

xn±an

x±a

x ; a ; son las bases n∈N y va a indicar la cantidad de términos del cociente.

CASOSSe presentan 4 casos:

1er caso:

xn−an

x−a=CN

donde n es impar o par.

xn−an

x−a=xn−1+xn−2 a+xn−3 a2+. .. .+xan−2+an−1

Ejemplo.

x5−a5

x−a=x4+x3a+x2 a2+xa3+a4

2do caso.

xn+an

x+a=CN

, cuando n es impar

xn+an

x+a=xn−1−xn−2 a+xn−3 a2−.. .−xan−2+an−1

Ejemplo:

x5+a5

x+a=x4−x3a+x2 a2−xa2−xa3+a4

3er caso:

xn−an

x+a=CN

, cuando n es par

xn−a n

x+a=xn−1−xn−2a+xn−3a2−. ..+an−2−an−1

Ejemplo:

x4− y4

x+ y=x3−x2 y+xy 2− y3

4to caso:

xn+an

x−a no es CN Sea par ó impar

LEYES DE LOS COCIENTES NOTABLES

1. El desarrollo del CN tiene n términos.Ejemplo:

a)

x100− y100

x− y→

numero de términos: 100

b) − 2n2

m+nNro de termino del CN es : 50

2. el grado del cociente es n –1. el cociente un polinomio homogéneo.

3. Si el divisor es x – a, todos los términos son positivos, mientras que si le divisor es.x+a los términos tienen signos alternados.

4. el primer término del desarrollo se obtiene dividiendo el primer

29


termino del dividendo entre el 1er termino del divisor.

5. Los exponentes de la primera variable (x) disminuyen de 1 en 1 y los exponentes de la segunda variable (a) van aumentando de uno en uno.

6. Para calcular un termino cualquiera contando de derecha a izquierda, solo basta con intercambiar las bases tanto en el numerador como en el denominador. Para luego aplicar la formula del termino general.Ejemplo:

x121−a121

x−a⇒ a121−x121

a−x

7. Si

xm±an

x p±aqorigina un cociente

notable.entonces cumple que:mp

=nq

ademasmp

=nq

=¿Tér minos

Ejemplo:

x10−a15

x2−a3 ¿dá lugar a un C.N.?

102

=153

=5(n° de terminos)

le damos la forma adecuada

x10−a15

x2−a3=

( x2 )5−(a3 )5

x2−a3

= (x2)4 + (x2)3 (a3)+ (x2)2(a3)2+ (x2)(a3)3+(a3)4

= x8+ a3x6+ a6x4+ a9x+ a12

TERMINO DEL LUGAR k (tk).

Existe una formula que nos permite encontrar un termino cualquiera en

el desarrollo de los cocientes notables sin necesidad de conocer los demás.En una división que tiene la forma:

xn±an

x±a Usaremos:

Tk = (signo) xn-k. ak-1

x: 1ra basea: 2da basen: lugar que ocupa el termino buscado del C.N.

Signo será (-) si:K es parAl dividir tiene la forma de x+a

Ejemplo:Encontrar el termino 22 del siguiente desarrollo.

x155+a93

x5+a3

Solución:Dándole forma adecuada.

x155+a93

x5+a3=

( x5 )31+(a3 )31

x5+a3

como el divisor es de la forma x+a y el termino a buscar es par (K = 22), tendrá signo negativo.

∴ T 22=−(x5 )31−22. (a3 )22−1

T22=−( x45 ). (a63 )T 22=−x45 .a63

30


EJERCICIOS

NIVEL I

A.- Escribir los cocientes correspondientes a cada división sin efectuarlas:

01 .. .x4−14

x−1

02 .. .m2−n2

m−n

03 . ..a3−b3

a−b

04 . . .a5−x5

a−x

05 . ..x7+1x+1

06 . ..a10−1a+1

07 . ..x17+1x+1

08 . ..a10−b10

a+b

09 . ..a3−1a−1

10 .. .x4−1x−1

11. ..x9+29

x+2

12 .. .a4−81a+3

13 .. .m10+1

m2+1

14 . ..a32+1a4+1

15 .. .t7−1t−1

16 . ..x4−16x−2

17 . ..x3−27x−3

18 .. .m5−32m−2

19 .. .1−x4

1−x

20 .. .x7−a7

x−a

B.- Desarrollar.

01 .. .(ab )2−1ab−1

02 .. .( xy )2−1xy−1

03 . ..a35+1

a5+1

04 . . .t8−m12

t2+m3

05 . ..(ax )4−16(ax )−2

06 . ..(by )5−32(by )−2

07 . ..a5+32 y5

a+2 y

08 . ..b4−81x 4

b+3 x

09 . ..(ab )3−27ab−3

10 .. .1−( xy )5

1−xy

11. ..( xyz )5+1xyz+1

12 .. .a4 b4 c4−11+abc

31


13 .. .16−t4

2−t

14 . ..x6− y6

x− y

15 .. .( xy )8−1xy+1

16 . ..(ab )7+11+ab

17 . ..a40+b45

a8+b9

18 .. .( xy )4−(ab )4

xy+ab

19 .. .m40+ t25

m8+t5

20 .. .x6 y6−642+xy

C.- Escribe en el cuadrado el término que se pide:División Termino

pedidoExpresión

1)

x5−32x−2

T5

2)

T7

3)

x9−29

x−2

tcentral

4)

m40−1m2−1

T17

5)

a45−1a3−1

T8

6)

x15−a30

x−a2

tcentral

7)

a120−b80

a3−b2

T21

8)

x25−a75 b15

x5−a15 b3

T1

9)

m42−n70

m3−n5

T14

10)

211−x33

2−x3

T9

11)

a15−b10 c20

a3−b4 c4

tcentral

12)

312−z48

3−z4

T10

13)

a16−b48

a+b3

T13

14)

x18−b48

x−z4

T10

15)

m100+n50

m4+n2

T15

16)

y16−a8

y2+a

tultimo

17)

x 10 +32x2+2

T4

18)

(2 x )10− y20

2 x+ y2

T8

19)

a80−b120

a2−b3

T30

20)

x60+ y75

x4+ y5

T11

NIVEL II

01. Desarrollar el siguiente cociente notable:

x3+ y3

x+ y

32


a . .. x2+xy+ y2

b . .. x2−xy+ y2

c .. .x3+x2 y2+ y3

d .. . x2+xy− y2

e . . .x2−xy+ y

02. Dar el término central del desarrollo del siguiente cociente notable.

x3− y3

x− ya. xb. –xyc. xyd. ye. 2xy

03. cuantos términos tiene el siguiente cociente.

x8− y 8

x2− y2

a. 8b. 6c. 4d. 2e. N.A.

04. Cual es el valor de “m” si la siguiente expresión es un cociente notable:

am−b12

a2−b3

a. 12b. 6c. 4d. 8e. 10

05. Calcular (m+3) si la siguiente expresión:

xm+1− y16

x3− y 2 es un cociente

notable.

a. 24b. 25c. 26d. 27e. 28

06. Calcular el 6to termino del desarrollo del siguiente CN:

a18−b27

a2−b3

a. a3b18

b. a6b9

c. a8b15

d. a3b9

e. a6b15

07. Calcular el 2er termino del desarrollo del siguiente CN:

x8− y12

x2− y3

a. x2y6

b. x4y2

c. x2y4

d. x6y2

e. x4y6

08. Hallar el grado absoluto del 4to termino del siguiente CN:

a12−b6

a2+ba. 5b. 6c. 7d. 8e. 9

09. Hallar el grado absoluto del 6to termino del siguiente CN:

33


m24−n36

m2+n3

a. 27b. 25c. 23d. 21e. 19

10. Hallar “n-1” si la siguiente expresión es un CN:

xn+3− y2 n+1

x2− y3

a. 4b. 5c. 6d. 7e. 8

11. Hallar “n-1” si la siguiente división es un CN:

a2 n+6−b3 n+6

a3+b4

a. 6b. 4c. 7d. 5e. 9

12. Hallar el numero de términos del siguiente CN:

x45+ y36

x5+ y 4

a. 6b. 7c. 8d. 9e. 15

13. Hallar el número de términos del siguiente CN:

xn+1− yn+5

x2− y3

a. 3

b. 4c. 6d. 8e. 5

14. Hallar el producto del termino 3ro con le termino 5to del siguiente CN:

x9+ y9

x+ ya. –x6y10

b. –x10y6

c. x6y10

d. x10y6

e. x8y12

15. Hallar el grado del producto del 4to termino con el 5to termino del desarrollo del siguiente CN:

a21+b14

a3+b2

a. 37b. 23c. 27d. 41e. 33

16. Dar el grado del 8vo termino del CN correspondiente a la siguiente división:

x100+m120

x10+m12

a. 104b. 76c. 82d. 48e. 102

17.Hallar el grado respecto a y del séptimo termino del CN correspondiente a la siguiente división:

a180− y150

a18− y15

a. 60b. 75c. 84

34


d. 90e. 78

18.Dar el termino de lugar 101 del CN correspondiente a la división:

x220− y1210

x2+ y11

a. x12y100

b. x15y1100

c. x18y1100

d. x18y110

e. x8y1100

19.¿Cuánto le falta al grado del séptimo termino del CN correspondiente a la división:

a60−b84

a5−b7 para que sea igual a

72

20.Calcular el valor de r, sabiendo que el resultado de la siguiente división es un CN:

x18− y63

x2− yr +3

a. 6b. 5c. 7d. 8e. 4

NIVEL III

01. Determinar “n” para que la división:

x6 n+1− y5n

x2 n−3− ynproporcione un

cociente notable. Indique “n+1”.

a. 12b. 3c. 4

d. 5e. 15

02. Expresar el polinomio:

P(x )=x8+x6+ x4+x2+1

como una división notable.

a . ..1−x10

a−x2

b . ..1−x8

1−x2

c .. .1+x8

1−x2

d .. .1−x10

1−x

e . . .1+x8

1−x

03. Dada la división:

x45+ y30

x3+ y2Determine el octavo

termino del desarrollo: indique el valor numérico para: X = 2 ; Y = ½

a. –64b. 64c. –128d. 256e. –256

04. Determine el termino de lugar 35 del desarrollo del cociente notable:

x125− y125

x− ya. x90y34

b. x90y35

c. –x90y34

d. –x90y35

e. x35y90

05. Dado los cociente notables:

35


Q1(x )=xa+30+xa+28+ .. .+1

Q2(x )=xa−10+x a−13+.. . 1

si el numero de términos de Q1 = 2Q2

; calcule la suma de cifras de “a”.a. 6b. 8c. 7d. 17e. 14

06. Calcular “n” para que la división siguiente.

xn25− yn+ 7

xn− y2 genere un

cociente notable.a. 1b. 2c. 3d. 5e. b y d

07. En el cociente notable de:

a5 m−1+b12m−5

am−5+bm−1

calcular el grado absoluto del termino central de su desarrollo.

a. 55b. 60c. 66d. 70e. 74

08. Calcule el valor numérico de:

S(x )=x39−x38+x37 .. .. . ..−x2+x−1

x35−x30+x25 . . .. .. . ..+x15−x10+ x5−1para. X = 2

a. 5b. 10c. 11d. 15e. 13

09. Halle el termino central del cociente notable de:

a3 n+9+b6 n+11

an−1+b2 n−3

a. a8b5

b. –a9b15

c. a-3b10

d. a6b12

e. N.A.

10. Señale el valor numérico del termino central del desarrollo de:

( x+ y )20−( x− y )20

8 xy ( x2+ y2 )

para:

x=√5y=√3

a. 64b. 128c. 256d. 512e. 1024

11. Efectuar sin multiplicar polinomios:

P=( x2+x+1 )( x−1)+1a. xb. x2

c. x3

d. 2x3

e. 1


E=[ x5+x4+x3+x2+x+1 ]( x−1 )−x6

a. x6

b. –1c. 2x6

d. –2e. 1


F=(x15+x14+ x13+. ..+x2+x+1 ) ( x−1 )+1a. x30

b. x32

36


c. x16

d. x8

e. 1

14. ¿Cuál es la división que origina el siguiente cociente?.

x40+x38+ x36+. .. x4+x2+1

a . ..x44−1x−1

b . ..x10−1x−1

c .. .x 42−1x−1

d .. .x40−1x−1

e . . .x42−1x2−1

15.Indicar el denominador del cociente notable si el primer y ultimo termino son: X18 e y12

respectivamente y además el segundo término es: x15y2.

a. x2+yb. x3-yc. x3-y2

d. x3+y2

e. x-y

16.En el desarrollo de un cociente notable, tres términos consecutivos son: x45y4; x40y6; x35y8señale el denominador de la división que lo origina.a. x-yb. x4+yc. x5-y3

d. x5-y2

e. x-y2

17.Dada la siguiente división:

( xy )90−1

( xy )3−1se pide hallar el grado del termino de lugar 19 del cociente respectivo.

a. 33

b. 66c. 56d. 46e. 39

18.Calcular m sabiendo que el termino de lugar 13 del CN

correspondiente a

xm−1x2−1 es de

segundo grado.a. 28b. 30c. 26d. 4e. 14

19. Hallar m si el tercer termino del CN correspondiente a la división.

1024 x10−14 x2−1 es (m+6)xm-6

a. 10b. 12c. 8d. 16e. 15

20.Calcular (m-t), sabiendo que el termino de lugar 29 del CN correspondiente a:

x100− y150

x2− y3 es x

m+t+1 . y t+80

a. 37b. 4c. 33d. 36e. 38

37

correcion 2sec. algebra i bimestre

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