aletos 1 Álgebra vectorial · aletos física para ciencias e ingeniería tema 7.2 Álgebra...

aletosFísica para Ciencias e Ingeniería

TEMA 7.2ÁLGEBRA VECTORIAL

1

7.2-1 Introducción

A lo largo del estudio de la Física surgen una serie de propiedades, tanto de magnitudes escalares comovectoriales, que se expresan por medio de nuevos conceptos tales como gradiente, divergencia, laplaciana, rota -cional, y sus relaciones con nuevas definiciones tales como flujo y circulación de un vector, así como ciertosteoremas y transformaciones de vectores.

7.2-2 Concepto de campo escalar y campo vectorial. Representación gráfica.

En general, se llama campo a una magnitud física cuyo valor es función del punto del espacio que se con-sidere y del instante en que se mida.

Si la magnitud es función solamente el punto del espacio que se considere, y, por tanto, independiente deltiempo, se dice que es un campo estacionario.

Según la naturaleza de la magnitud física puede ser un campo escalar, o un campo vectorial.Campo escalar

Si se trata de un campo escalar estacionario de una cierta magnitud V, será, en general, función de lascoordenadas de cada punto del espacio.

En el desarrollo de la teoría de campos es frecuente designar un campo de esta naturaleza, por cualquierade las siguientes expresiones:

En coordenadas cartesianas:V = V(x,y,z), f = f(x,y,z), F = F(x,y,z),

En coordenadas cilíndricas circulares:

V = V(r,ϕ, z), f = f(r,ϕ, z), F = F(r,ϕ, z),En coordenadas esféricas:

V = V(r,θ,ϕ ) f = f(r,θ,ϕ ), F = F(r,θ,ϕ ).

Las representaciones gráficas ayudan a tener una idea clara de cómo varían ciertas magnitudes físicas.

Los campos escalares estacionarios suelen representarse por medio de las llamadas superficies de nivel, osuperficies equipotenciales, que se definen como:

Los lugares geométricos de todos los puntos del espacio en los cuales la magnitud escalar tiene unmismo valor.

nario es el de las superficies de nivel utilizadas en la confección de mapas en los cuales la cota z de cada puntoes función de su posición en el plano de dibujo: z = z (x, y). [Fig. 7.2-1].

Se dibujan las curvas de nivel z(x, y) = cte. a intervalos constantes. Las regiones del mapa donde se apro-ximan las curvas de nivel son aquéllas donde la pendiente es mayor.

Campo vectorial

Se denomina campo vectorial a una magnitud física de carácter vectorial que es, en general, función de cadapunto del espacio y del instante que se considere.

Son ejemplos de campos vectoriales: los campos de fuerzas gravitatorias, electrostáticas, magnéticas, loscampos de velocidades en el seno de un fluido en movimiento, etc.

Si la magnitud vectorial es solamente función de cada punto del espacio, pero no es función del tiempo, sedice que es un campo estacionario.

FIG. 7.2-1

En la práctica, se dibujan las superficies de nivel que corresponden a valo-res de la magnitud escalar, que se diferencian en una cantidad constante. Deesta forma se conoce el valor de V en los diferentes puntos del espacio, y ade-más, se visualiza rápidamente en qué regiones experimenta V la mayor rapi-dez de variación, que son aquéllas donde las superficies de nivel se encuentranmás próximas unas a otras.

Las superficies de nivel en el espacio forman un sistema de capas envolven-tes sin ningún punto de contacto, ya que dos superficies de nivel correspon-dientes a valores distintos de la magnitud escalar no pueden cortarse. Si lohicieran, la magnitud V tendría a la vez dos valores distintos en los puntos deintersección, lo cual es absurdo.

Un ejemplo sencillo de representación gráfica de un campo escalar estacio-



2

Los campos vectoriales se representan por medio de las llamadas líneas de fuerza, que se obtienen trazan-do, a partir de cada punto del espacio, un pequeño segmento en la dirección del vector correspondiente a dichopunto. El extremo de dicho segmento sirve de origen para trazar otro segmento en la nueva dirección que tengala magnitud vectorial, y así sucesivamente.

De esta forma se obtiene una línea poligonal.Si se dibuja nuevamente esta línea poligonal, tomando

los puntos más próximos entre sí, los segmentos que deter-minan serán más pequeños, y en el límite, cuando las lon-gitudes de estos segmentos tiendan a cero, la línea poligo-nal se convertirá en una línea curva, denominada línea defuerza del campo vectorial. FIG. 7.2-2

Por la forma en que se ha dibujado, se deduce que la línea de fuerza tiene la propiedad de ser tangente encada punto al vector campo que existe en dicho punto, y su sentido es el de dicho vector campo.

Para que las líneas de fuerza indiquen en cada punto el módulo, además de la dirección y sentido del vec-tor campo, se conviene en dibujarlas de la siguiente forma:

En cada punto se toma una pequeña superficie de área dA, perpendicular a la dirección del vector en dichopunto, y se dibujan, a partir de los puntos de dicha superficie un número de líneas de fuerza, dN, uniforme-mente distribuidas, igual al producto del módulo del vector por el área dA del elemento de superficie.

De esta forma queda determinado el módulo del vector en dicho punto, por la densidad, d

N

d

A

[

1

.

1

]

De forma que en aquellas regiones en las que las líneas de fuerza estén más próximas entre sí el módulodel vector campo tendrá un mayor valor. Y por el contrario, el módulo será menor en aquellas regiones dondelas líneas de fuerza estén más separadas.

[1]

La derivada direccional de un campo escalar V, función de varias variables, se define como la relación entre la variación de dicha función escalar y el desplazamiento en una determinada dirección.

La derivada direccional de una función escalar se expresa normalmente por:

7.2-3 Derivada direccional de un campo escalar

dVdl

[2]

donde dl representa el módulo de un desplazamiento vectorial infinitesimal dl en una dirección y sentido deter-minados.

7.2-4 Gradiente de un campo escalar

Consideremos dos superficies de nivel de un campo escalar V, infinitamente próximas, correspondientes alos valores V y V+dV.

El gradiente de una función escalar V en un punto se define como un vector cuyas características son:módulo: es el valor máximo de la derivada direccional en dicho punto.dirección: la de la máxima derivada direccional en dicho punto.sentido: dirigido hacia los valores crecientes del campo escalar.

VV+dV

FIG. 7.01-3

dl

dln

grad

V Vamos a justificar que la definición del vector gradiente implica que sudirección en cada punto del espacio es la de la normal a la superficie denivel que pasa por dicho punto, estando su sentido dirigido hacia los valo-res crecientes del campo escalar.

Si a partir de un punto P, perteneciente a la superficie de nivel V,pasamos a un punto P’ de la superficie de nivel V+dV, la variación de Ves, evidentemente, dV.

Esta variación es la misma cualesquiera que sean dichos puntos; portanto, el numerador de las distintas derivadas direccionales que se puedenconsiderar a partir del punto P es el mismo para todas ellas.

Por consiguiente, será máxima la derivada direccional cuyo denominador sea el de menor longitud; en estecaso dln.

P’P

Esta longitud es el módulo del vector desplazamiento cuya dirección es, evidentemente, la de la normal ala superficie de nivel V en el punto P.

De la definición del vector gradiente se deduce que su módulo es, pues,

grad

V =dVdl

n

[3]

Si a partir del punto P se considera un desplazamiento dl que forma con la normal un ángulo ϕ, se verifi-ca que,

dln = dl cos ϕy sustituyendo en [3],



3

grad

V =dVdl

n

=dV

dl cosϕde donde,

dV = grad

V dl cosϕ

que se puede expresar como,

4]

[5]

dV = grad

V dl

[6]

dVdl

=∇V ⋅dl

dl

Con objeto de simplificar la notación en las relaciones del álgebra vectorial, se define un operador vecto-rial que se representa por el símbolo, ∇, denominado operador nabla, de forma que:

dV =∇V ⋅dl

dVdl

= gradV cosϕ = ∇V cosϕ

[7]

[9]

que, a su vez, si se introduce el vector unitario dl

dlse puede expresar en la forma,

7.2-5 Operador nabla

La anterior expresión, [7], se puede considerar como la definición general de ∇V, ya que es independientedel sistema de coordenadas que se utilice.

Hay que hacer notar que en la mayoría de los manuales y textos de campos electromagnéticos, la expre-sión ∇V representa el vector gradiente, aunque no aparezca indicado expresamente su carácter vectorial pormedio de la flecha que normalmente se utiliza para indicar esta característica de una magnitud física.

A partir de la relación [5] se puede obtener la siguiente expresión de la derivada direccional:

Una magnitud escalar se modifica, en general, de un punto a otro, y la variación que experimenta al pasardel punto (x, y, z) al (x+dx, y+dy, z+dz) es

dV =

∂Vdx

dx +∂Vdy

dy +∂Vdz

dz

Esta expresión se puede considerar como el producto de los vectores

∂Vdx

i +

∂Vdy

j +

∂Vdz

k

dl

= dxi +dy

j +dz

k

[10]

[11]

de modo que podemos conocer la variación de la magnitud escalar en todo el campo si conocemos el vectordefinido por la relación [10].

El vector gradiente de una magnitud escalar en coordenadas cartesianas es un vector cuyas componentesson las derivadas de una magnitud escalar respecto a las coordenadas respectivas y se define como

gradV

=∂Vdx

i +

∂Vdy

j +

∂Vdz

k [12]

7.2-6 Gradiente de un magnitud escalar en coordenadas cartesianas

[8]



4

∇ =

∂

dx

i +

∂

dy

j +

∂

dz

k [13]

De modo que el operador nabla en coordenadas cartesianas se representa por:

[14]

que indica una operación a realizar con la magnitud a la que se aplique. En este caso, indica la derivada par-cial de una magnitud respecto a la coordenada correspondiente

∇V = grad

V =

∂Vdx

i +

∂Vdy

j +

∂Vdz

k

7.2-7 Flujo de un vector

Se llama flujo de un vector E a través de un elemento de superficie ds a la expresión

dΦ =E.d a =

E.n da = Eda cosθ

siendo da un vector cuyo módulo es igual al área del elemento de superficie; su dirección es la de la normal adicho elemento y n, un vector unitario asimismo normal al elemento de superficie.

El sentido de los vectores da y n es, en principio, arbitrario.Si el elemento pertenece a una superficie que encierra un volumen, dichos vectores se toman en el sentido

de la normal hacia el exterior del volumen encerrado por la superficie.Si la superficie es finita, el flujo tiene por expresión:

[15]

Φ = E

⋅da

=S∫ E

⋅nda =

S∫ E da cosθ

S∫

Si la superficie es cerrada, es decir, si encierra un determinado volumen:

Φ = E

⋅da

=S∫ E

⋅nda =

S∫ E da cosθ

S∫

siendo ahora el sentido de los vectores da y n hacia afuera del volumen encerrado por la superficie S.

[16]

[17]

7.2-8 Divergencia de un vector

Se puede hallar una expresión muy útil del flujo de un vector a través de una superficie cerrada S si sedivide el volumen encerrado por dicha superficie en paralelepípedos elementales, por medio de tres series deplanos infinitamente próximos y paralelos a los coordenados.

El flujo es igual a la suma de los flujos a través de la superficie de cada paralelepípedo, pues cualquier carainterior al volumen pertenece a dos paralelepípedos consecutivos, y, en consecuencia, el flujo a través de ellainterviene dos veces con signos opuestos, ya que uno de ellos es entrante, y el otro, saliente, quedando sola-mente los flujos a través de las caras que forman la superficie S.

O

XY

Z

A B

CD

E F

GH

FIG. 2-3

Siguiendo el mismo razonamiento, el flujo a través de la cara opuesta EFGH, es, teniendo en cuenta elcambio de sentido de la normal,

− E

x−

12

∂Ex

dxdx

dydz

Procediendo de la misma forma para los otros dos pares de caras y sumando todas las expresiones, se obtie-ne para el flujo total a través del paralelepípedo de volumen dv = dx.dy.dz

Si consideramos uno de los paralelepípedos de aristas dx, dy, dz, el flujo,por ejemplo, a través de la cara ABCD paralela al plano YZ es igual al pro-ducto de la componente Ex del vector E por el área dydz de dicha cara.

Si en el centro del paralelepípedo el vector es E, su componente Ex en elcentro de la cara ABCD es

E

x+

12

∂Ex

dxdx

y el flujo a través de ella

E

x+

12

∂Ex

dxdx

dydz



5

[19]

dΦ1

=∂E

x

dx+∂E

y

dy+∂E

z

dz

dxdydz

La expresión entre corchetes se denomina, divergencia del vector E y según [2.5]

divE

=∂E

x

dx+∂E

y

dy+∂E

z

dz= ∇E

es decir, su expresión es el producto escalar del operador nabla por el vector.El flujo a través de la superficie S será igual la suma de las expresiones [18] extendida a todo el volumen

V encerrado por dicha superficie:

[18]

Φ = dΦS∫ =

∂Ex

dx+∂E

y

dy+∂E

z

dz

dxdydz

V∫ [20]

y teniendo en cuenta [19],

Φ = dΦ

S∫ = divE

dvV∫ = ∇E

dv

V∫ [21]

siendo dv = dx.dy.dz

el volumen del paralelepípedo elemental.

Si una superficie S es cerrada, la divergencia de un vector E se define como el flujo por unidad de volu-men encerrado por dicha superficie, en el caso límite de que dicho volumen tienda a cero:

divE

= limv→0

1v

E⋅nda

S∫

Conviene resaltar que la divergencia de un vector es una magnitud escalar.La definición anterior [22], es independiente del sistema de coordenadas que se utilice y sirve, por tanto,

para calcular la expresión del operador divergencia en cualquier sistema de coordenadas sin más que desarro-llar en cada caso el segundo miembro.

[22]

7.2-10 Operador laplaciana

Si el vector E deriva de un potencial, es decir, si el vector se puede expresar a partir de una función esca-lar V, por medio de la relación

E

= −grad

V = −∇V [24]

entonces la divergencia del vector en coordenadas cartesianas es,

7.2-9 Teorema de la divergencia

De las relaciones [17] y [21] se obtiene:

E.d a

S∫ = ∇

V∫Edv [23]

divE

= div grad

V = ∇(−∇V )= −∇⋅∇V = −∂

dx

i +

∂

dy

j +

∂

dz

k

⋅

∂

dx

i +

∂

dy

j +

∂

dz

k

=

∂2Vdx 2

+∂2Vdy2

+∂2Vdz 2 [25]

La expresión

∂2Vdx 2

+∂2Vdy 2

+∂2Vdz 2

se representa simbólicamente introduciendo el operador denominado laplaciana, que indica que hay que cal-cular las derivadas parciales segundas de la magnitud a la que se aplique respecto a la coordenada correspon-diente.

El operador laplaciana se puede aplicar igualmente a un vector y en ese caso representa un vector cuyascomponentes son las laplacianas de las componentes del vector:

[26]

[27] ΔE

=i ΔE

x+jΔE

y+kΔE

z



6

7.2-11 Circulación de un vector

Se denomina circulación elemental de un vector a lo largo de un elemento de longitud dl a la expresión,

dC = E⋅dl

= Edl cosθSi la longitud es finita:

C = E

⋅dl

=i

f∫ Edl cosθ

i

f∫

Si la circulación se calcula a lo largo de la longitud correspondiente a una curva cerrada que encierra unasuperficie S:

C = E

⋅dl

L∫ = Edl cosθ

L∫

[28]

[29]

[30]

Siguiendo el mismo razonamiento, si el rectángulo estuviera situado en el plano XY o en el XZ las circu-laciones serían

Vamos a calcular la circulación de un vector a lo largo de un rectángulo de lados dy, y dz, paralelos a losejes OY y OZ, contenido en el plano YZ, siguiendo el sentido ABCD.

Si en el centro del rectángulo el vector es E, la circulación es

O

XY

Z

A B

CD

ds

Ey−∂E

y

∂z12dz

dy

a lo largo de BC

E

z−∂E

z

∂y12dy

dz

a lo largo de CD

− Ey

+∂E

y

∂z12dz

dy

a lo largo de DA

a lo largo de AB

− E

z−∂E

z

∂y12dy

dz

La circulación total es

∂Ez

∂y−∂E

y

∂z

dydz

∂Ey

∂x−∂E

x

∂y

dxdy o

∂Ex

∂z−∂E

z

∂x

dxdz

FIG. 2-4

Se define el rotacional de un vector E, como límite del flujo por unidad de volumen, a través de una super-ficie cerrada, del producto vectorial n x E, siendo n un vector unitario dirigido hacia afuera del volumenencerrado por la superficies S, cuando dicho volumen tiende a cero.

7.2-12 Rotacional de un vector

rot

E

=∇×E

= limΔv→0

1Δv

n×E

dsS∫ [31]

Se puede demostrar que la definición [31] es equivalente a:

n ⋅∇×E

= lim

S→0

1S

E⋅dl

L∫ [32]



7

La componente de ∇×E

en la dirección del vector unitario n es el límite de la circulación del vector E

a lo largo de un curva cerrada L, por unidad de superficie encerrada S, cuando dicha superficie tiende acero, siendo el vector unitario, normal a la superficie S.

Es decir:

Las definiciones anteriores del rotacional de un vector son independientes del sistema de coordenadas quese utilice y sirven, por tanto, para calcular la expresión del rotacional en cualquier sistema de coordenadas.

Consideremos ahora una curva cerrada C [Fig. 2.5], situada en una región del espacio en el que existe uncampo vectorial.

Imaginemos una superficie cualquiera S limitada por dicha curva y dividimos esa superficie en rectángu-los infinitesimales por intersección de dos series de planos infinitamente próximos y perpendiculares entre sí.

C

S

FIG. 2-5

La circulación a lo largo de la curva C es, evidentemente,la suma de las circulaciones a lo largo de cada uno de los infi-nitos rectángulos elementales recorridos en el mismo sentidoque la curva C, pues cada lado de cada rectángulo es recorri-do dos veces en sentidos contrarios y queda como resultadode dicha suma la circulación a lo largo de los lados exterioresque forman la periferia o contorno de la curva C.

Por tanto, según lo indicado anteriormente,

E⋅dl

C∫ = rot

E⋅ds

S∫ = ∇×E

⋅ds

S∫ [33]

7.2-13 Teorema de Stokes

relación que expresa el llamado teorema de Stokes, y segúnel cual

La circulación de un vector a lo largo de una curva cerrada es igual al flujo del rotacional de dicho vectora través de una superficie cualquiera limitada por la curva.

Si el vector E deriva de un potencial, es decir, si el vector se puede expresar a partir de una función esca-lar V, por medio de la relación

E

= −grad

V = −∇V [34]

el rotacional del vector es

E⋅dl

C∫ = rot

E⋅ds

S∫ = ∇×E

⋅ds

S∫

y por consiguiente, una cualquiera de sus componentes, por ejemplo la componente x es

(∇×∇V )

x=∂2V∂y∂z

−∂2V∂z∂y

= 0

y otro tanto ocurre con las otras componentes, de modo que,

rot

grad

V =∇×∇V = 0 [35]

De forma análoga, es fácil comprobar que

div rot

E

=∇⋅∇×E

= 0 [36]

7.2-14 Relaciones importantes de álgebra vectorial

a) Si se aplica el rotacional a un vector, que es a su vez, el rotacional de otro vector, entonces

rot

rot

E

= rot 2

E

=∇×(∇×E

)y teniendo en cuenta la propiedad del doble producto vectorial

rot

rot

E

= rot 2

E

=∇×(∇×E

)=∇⋅∇E−(∇⋅∇)E

= grad

divE−(∇⋅∇)E

= grad

divE−∇2E

[37]



8

b) Si calculamos la divergencia del producto vectorial de dos vectores

Desarrollando el último término

(∇ ⋅∇)E

=∂2E

x

dx 2+∂2E

x

dy2+∂2E

x

dz 2

i +

∂2Ey

dx 2+∂2E

y

dy 2+∂2E

y

dz 2

j +

∂2Ez

dx 2+∂2E

z

dy 2+∂2E

z

dz 2

k = ΔE

y sustituyendo en [37] queda

rot

rot

E

= rot 2

E

= grad

divE−ΔE

[38]

y desarrollando, y ordenando términos se obtiene div (a ×

b )=

∂

∂x(a

yb

z−a

zb

y)+

∂

∂y(a

zb

x−a

xb

z)+

∂

∂z(a

xb

y−a

yb

x)

div (a ×b )=b

x

∂az

∂y−∂a

y

∂z

+b

y

∂ax

∂z−∂a

z

∂x

+b

z

∂ay

∂x−∂a

x

∂y

− a

x

∂bz

∂y−∂b

y

∂z

+a

y

∂bx

∂z−∂b

z

∂x

+a

z

∂by

∂x−∂b

x

∂y

y teniendo en cuenta la expresión del rotacional de un vector, queda

div (a ×b )=b rot a − a rot

b [39]

c) En algunos casos es útil transformar una integral del tipo

dl× grad

ϕC∫

extendida a una curva cerrada, siendo ϕ una función que cumple con la condición Δϕ = 0, en una integralde superficie.

Para ello, si consideramos la componente x del producto vectorial del integrando

(dl × grad

ϕC∫ )

x=

∂ϕ

∂zdy − ∂ϕ

∂ydz

C∫ =

a ⋅dl

C∫

siendo el vector a

a = 0i +

∂ϕ

∂z

j − ∂ϕ

∂y

k

haciendo uso del teorema de Stokes

(dl × grad

ϕC∫ )

x=

∂ϕ

∂zdy − ∂ϕ

∂ydz

C∫ =

a ⋅dl

C∫

y según la condición impuesta a la función ϕ, queda

(dl × grad

ϕC∫ )

x=

∂2ϕ

∂x 2ds

x+∂2ϕ

∂x∂yds

y+∂2ϕ

∂x∂zds

z

S

∫ =∂

∂x(grad

ϕ ⋅ds

S∫ )

Para las componentes y y z, se pueden escribir relaciones análogas, de modo que resulta finalmente

dl× grad

ϕC∫ = grad

(grad

ϕ ⋅ds

S∫ ) [40]

d) Para concluir este grupo de relaciones vamos a analizar dos transformaciones que se deducen directa-mente del teorema de Green.

Consideremos el vector

a =V ⋅

b

siendo V una función escalar. Si calculamos la divergencia de dicho vector



9

div a = div (V ⋅b )=V

∂bx

dx+∂b

y

dy+∂b

z

dz

+b

x

∂Vdx

+by

∂Vdy

+bz

∂Vdz

y recordando las definiciones de gradiente de una magnitud escalar, y de la divergencia de un vector, resulta

div a = div (V ⋅b )=V div

b +b grad

Vy aplicando el teorema de Green

(V ⋅b )

S∫ ds

= (V div

b +b grad

VV∫ )dv = V div

b

V∫ dv +

b grad

VV∫ dv

(V ⋅b )

S∫ ds

= V div

b

V∫ dv +

b grad

VV∫ dv [41]

e) Supongamos un vector definido por la expresión

a =U grad

V

siendo U y V dos funciones escalares.Si consideramos el producto escalar

donde

a ⋅ds

= (U grad

V )⋅ds

=U ∂V∂n

ds

∂

∂nrepresenta la derivada respecto a la normal al elemento de superficie, y calculamos la divergencia

a

div a = div (U grad

V )=

∂U∂x

∂V∂x

+∂U∂y

∂V∂y

+∂U∂z

∂V∂z

+U ∂2V∂x 2

+∂2V∂y 2

+∂2V∂z 2

div a = div (U grad

V )= grad

U ⋅grad

V +UΔV

que, teniendo en cuenta la definición de gradiente y el producto escalar de dos vectores, queda

a ⋅ds

= (grad

U ⋅grad

V +UΔVV∫

S∫ )dv = (grad

U ⋅grad

V dv +UΔVV∫ + UΔV

V∫ dv

Si ahora aplicamos el teorema de Green [2.10] al vector a

y si escribimos esta última relación permutando entre sí las funciones U y V, y restamos las dos ecuacionesobtenemos el denominado lema de Green.

(UΔV

V∫ −VΔU )dv = (U ∂V

∂n−V ∂U

∂nS∫ )dv [42]



10

7.2-15 Relaciones diferenciales

Gradiente

Divergencia

Rotacional

Laplaciana

∇(Φ+Ψ)=∇Φ+∇Ψ [43]∇(ΦΨ)=Φ∇Ψ +Ψ∇Φ [44]∇(F

G)= (F ∇)

G +(

G∇)

F +F ×(∇×

G)+

G ×(∇×

F) [45]

∇f (Φ)=dfdΦ

∇Φ [46]

∇(F +

G)=∇F +∇

G [47]

∇(ΦF)=Φ(∇

F)+

F(∇Φ) [48]

∇(F ×

G)=

G(∇×F)−

F(∇×

G) [49]

∇(∇×F)= 0 [50]

∇(∇Φ)=∇2Φ = ΔΦ [51]

∇×(F +

G)=∇×F +∇×

G [52]

∇×(ΦF)=Φ(∇×

F)+(∇Φ)×

F [53]

∇×(F ×

G)=F (∇

G)−

G(∇

F)+(

G∇)

F −(

F ∇)

G [54]

∇×(∇×F)=∇(∇

F)−∇2

F [55]

∇×(∇Φ)=0 [56]

∇2(ΦΨ)=Φ∇2Ψ +2(∇Φ)(∇Ψ)+Ψ∇2Φ [57]∇2(Φ

F)=Φ∇2

F +2 (∇Φ)∇

F +F ∇2Φ [58]

Relaciones integrales más usadas

SeaS una superficie cerradaV el volumen que contieneds = n ds un vector normal a la superficie dirigido hacia afueraF un campo vectorial y Φ un campo escalar

7.2-16 Teorema de la divergencia (Gauss) y relaciones integrales asociadas

F⋅ds

S∫ = F⋅nds

S∫ = ∇V∫Fdv [59]

F×ds

S∫ = − ∇V∫ ×

Fdv [60]

Φds

S∫ = − ∇V∫ Φ dv [61]

F

(G

ds

)S∫ =

F (∇

G)dv + (

G∇)

V∫Fdv

V∫ [62]



11

7.2-17 Identidades de Green que se derivan del teorema de la divergencia

Φ∇2Ψ +(∇Φ)(∇Ψ)

V∫ dv = (Φ∇Ψ)ds

S∫ [63]

1ª Identidad

2ª Identidad

3ª Identidad

(Φ∇2Ψ−Ψ∇2Φ)

V∫ dv = (Φ∇Ψ −Ψ∇Φ)ds

S∫ [64]

Φ(r )= −1

4π∇2Φ(r ')r − r 'V

∫ dv '+ 14π

1r − r '

∂Φ

∂n '−Φ

∂Φ

∂n '1r − r '

ds '

S∫ [65]

7.2-18 Teorema de Stokes y relaciones integrales asociadas

SeaC una trayectoria cerradaS un superficie abierta limitada por Cds = n ds un vector normal a la superficie cuyo sentido es el de la circulación a lo largo de C.

Fdl

L∫ = (∇×

F)

S∫ ds [66]

F ×d

l

L∫ = − (ds ×∇)×

F)

S∫ [67]

ΦL∫ d

l = − (∇Φ)×

S∫ ds [68]

7.2-19 Teorema de Helmholtz

El teorema de Helmholtz establece qué información se requiere para calcular un campo vectorial.Básicamente, la respuesta es que

Si se conocen la divergencia y el rotacional de un campo vectorial en todos los puntos de una región fini-ta, se puede calcular el campo vectorial unívocamente.

Φ(r )=1

4πb(r ')r − r '

dv 'V∫ =

14π

∇Fr − r 'V

∫ dv ' [69]

A(r )=

14π

c(r ')r − r '

dv 'V∫ =

14π

∇×F

r − r 'V∫ dv ' [70]

el teorema indica que se puede encontrar F a partir de

F =F (r )= −∇Φ(r )+∇×

A(r ) [71]

Considérese un campo vectorial: F

= F(x,y,z)= F

(r), y supóngase que las funciones ∇F

=b (r) y ∇×F

=c (r)

están dadas para todos los puntos de un volumen finito V, es decir, son funciones conocidas de la posición.Entonces, si se definen las funciones:

En estas expresiones, el punto definido por el vector de posición r, en el que se calcula, F

, recibe el nombre de punto

de campo, mientras que el punto definido por el vector de posición r', en el que se encuentran las fuentes, recibe el

nombre de punto fuente.

dv ' es un elemento de volumen en la posición de un punto fuente.



12

Dado que F

puede hallarse a partir de

Si hay fuentes en el infinito, es decir, si todas ellas no están contenidas en un volumen finito, este teore-ma no es válido a menos que se incluyan ciertas integrales de superficie que involucran a F.

Tales situaciones deben resolverse por métodos especiales.

Al conjunto completo de las ecuaciones fuente de los campos eléctrico y magnético se le da el nombre deEcuaciones de Maxwell y constituyen la descripción fundamental del campo electromagnético.

∇F

= b (r) y ∇×F

= c (r) [72]

estas expresiones reciben el nombre de fuentes de campo.Es decir, aquellos puntos en los que,

∇F

= b (r) ≠ 0

reciben el nombre de fuentes escalares del campo.Y aquellos en los que,

∇×F

= c (r) ≠ 0

reciben el nombre de fuentes vectoriales del campo

Comentarios

Este teorema establece que se puede conocer un campo vectorial F conociendo solamente su divergencia ysu rotacional. El interés estriba en que habitualmente

∇

F →

≠

0

,

ó

∇

×

F →

≠

0 →

sólo en unos pocos puntos del espacio y aún así se puede obtener F en todo el espacio.La elección del potencial escalar Φ y del vector potencial A no es única y hay otras soluciones, además de

la que nos proporcione el teorema, para un campo dado F.

Sería conveniente, no obstante, puntualizar algo más acerca del significado de las fuentes escalares y vec-toriales. El término fuente sugiere, evidentemente, la idea de origen o nacimiento de algo.

En consecuencia, las condiciónes ∇F = 0 y ∇× F = 0 en un cierto volumen puede llevar al razonamientofalso de que al no haber fuentes, no existirá el campo F, o lo que es igual, será nulo en dicho volumen.

Esto puede constituir un serio contratiempo a la hora de interpretar los resultados de ciertos problemastanto teóricos como prácticos.

7.2-20 Coordenadas cartesianas o rectangulares

Gradiente de una magnitud escalar

∇V =

∂V∂xux

+∂V∂yuy

+∂V∂zuz

[75]

Laplaciana de una magnitud escalar

∇2V =

∂2V∂x 2

+∂2V∂y 2

+∂2V∂z 2

[76]

Divergencia de un vector

∇⋅E =

∂Ex

∂x+∂E

y

∂y+∂E

z

∂z[77]

Rotacional de un vector

∇×E =

∂Ez

∂y−∂E

y

∂z

u

x+∂E

x

∂z−∂E

z

∂x

uy

+∂E

y

∂x−∂E

x

∂y

u

z[78]

Laplaciana de un vector

∇2 E =∂2E

x

∂x 2+∂2E

x

∂y2+∂2E

x

∂z 2

ux

+∂2E

y

∂x 2+∂2E

y

∂y 2+∂2E

y

∂z 2

uy

+∂2E

z

∂x 2+∂2E

z

∂y2+∂2E

z

∂z 2

uz

[79]

[73]

[74]



13


∇V =

∂V∂rur

+1r∂V∂ϕ

uϕ

+∂V∂zu

z[80]


∇2V =

1r∂

∂r(r ∂V∂r

)+1r 2

∂2V∂ϕ 2

+∂2V∂z 2

[81]


∇⋅E =

1r∂

∂r(r E

r)+

1r

∂Eϕ

∂ϕ+∂E

z

∂z[82]


∇×E =

1r∂E

z

∂ϕ−∂E

ϕ

∂z

ur

+∂E

r

∂z−∂E

z

∂r

uϕ

+1r

∂

∂r(r E

ϕ)−

∂Er

∂ϕ

uz

[83]

Laplaciana de un vector

∇2 E = ∇2Er−

2r 2

∂Eϕ

∂ϕ−

Er

r 2

ur

+ ∇2Eϕ

+2r 2

∂Er

∂ϕ−

Eϕ

r 2

+∇2E

z

uz

[84]

7.2-21 Coordenadas cilíndricas o circulares

7.2-22 Coordenadas esféricas


∇V =

∂V∂rur

+1r∂V∂θ

uθ

+1

r senθ∂V∂ϕ

uϕ

[85]


∇2V =

1r 2

∂

∂r(r 2 ∂V

∂r)+

1r 2 sen2θ

∂2V∂ϕ 2

+1

r 2 sen2θ

∂

∂θ(senθ ∂V

∂θ) [86]


∇⋅E =

1r 2

∂

∂r(r 2 E

r)+

1r senθ

∂

∂θ(E

θsenθ)+

1r senθ

∂Eϕ

∂ϕ[87]


∇×E =

1r senθ

∂

∂θ(E

ϕsenθ)−

∂Eθ

∂ϕ

ur

+1r

1senθ

∂Er

∂ϕ−∂

∂r(r E

ϕ)

uθ

+1r

∂

∂r(r E

θ)−

∂Er

∂θ

uϕ

[88]

aletos 1 Álgebra vectorial · aletos física para ciencias e ingeniería tema 7.2 Álgebra...

Documents