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aletosFísica para Ciencias e Ingeniería

CAPÍTULO 8.08MEDIOS DIELÉCTRICOS

1

8.08-1 Teoría macroscópica de los dieléctricos

Los dieléctricos son sustancias cuyas moléculas y átomos mantienen fuertemente ligadas a todas las partícu-las cargadas que los constituyen.

Estas partículas cargadas, bajo la acción de un campo electrostático exterior, pueden modificar ligeramente susposiciones, pero siempre en la proximidad de las moléculas a las que pertenecen.

La definición anterior corresponde a un dieléctrico ideal, ya que, en realidad, existen unos pocos electrones libresen los átomos de un dieléctrico con una concentración media de 107 e/m3, de forma que tienen una conductividadextraordinariamente pequeña comparada con la de los metales. Se puede considerar, pues, que, en general, un dieléc-trico no es una sustancia conductora.

Los efectos de conducción eléctrica bajo la acción de campos ordinarios son despreciables. Sin embargo, no hay que olvidar la existencia de esa densidad de electrones libres para interpretar ciertos fenó-

menos, y, en algunos casos, bajo la acción de campos de una cierta intensidad, pueden tener cierta relevancia.En realidad no existe ningún dieléctrico perfecto como tampoco existe ningún conductor perfecto.Como se verá más adelante, un dieléctrico se caracteriza por su permitividad ε, y un conductor por su conducti -

vidad σ.Si ε >> σ, el material se clasifica como dieléctrico.Si ε << σ, el material se clasifica como conductor.No hay una separación clara entre unas sustancias y otras. De hecho, hay materiales que participan de las pro-

piedades de unos y otros. De los conocimientos adquiridos en la Física elemental se suele arrastrar la idea equivoca-da de que las propiedades de un dieléctrico son incompatibles con las de un conductor; sin embargo, son perfecta-mente compatibles, como se verá más adelante.

8.08-.2 Moléculas polares y no polares

La unidad de momento dipolar es 1 culombio-metro.Puesto que la separación de las cargas atómicas es del orden de 1 Angstrom = 10–10 m. y la carga del electrón

es e = 1,6.10–19 C, resulta conveniente expresar los momentos dipolares en debyes, siendo1 debye = 3,33 x10–30 C-m.

Veamos ahora qué efecto produce en cada uno de estos tipos de moléculas un campo eléctrico exterior, enten-diendo por tal, el campo creado por cualquier carga exterior al material dieléctrico. No se debe confundir este campocon el que crean las propias moléculas del dieléctrico en el caso de que sean moléculas polares.

Si se hace un estudio microscópico de diferentes materiales dieléctricos en ausencia de un campo eléctrico polari -zante, se observa que:

Hay moléculas en las cuales los centros de masa de sus cargas positivas y negativas coinciden en posición y, porconsiguiente, no forman dipolos. Son las llamadas moléculas no polares.

Ejemplos de estas sustancias son las que están constituidas por moléculas monoatómicas como He, Ne y A, o pormoléculas simétricas tales como H2, N2, O2.

En otras moléculas, en cambio, los centros de masa de sus cargas positivas y negativas se encuentran desplaza-dos una cierta distancia, de forma que cada molécula es un dipolo. caracterizado por un momento dipolar molecu-lar pm.

Se denominan por esta razón moléculas polares.Las moléculas de H2O, CO, ClH y NH3 son moléculas polares.Las moléculas polares suelen denominarse dipolos permanentes y están orientadas al azar, de forma que, macros-

cópicamente, no crean ningún campo eléctrico.En cualquier caso:

Las moléculas de un dieléctrico, sean polares, o no polares, son eléctricamente neutras.

Si un material dieléctrico de moléculas no polares se coloca en una región del espacio enla que existe un campo eléctrico exterior, sus cargas positivas y negativas quedan sometidasa fuerzas eléctricas de igual dirección que el campo eléctrico, pero en sentidos contrarios, comomuestra la figura 8.08-1. En esta figura se han dibujado las cargas positiva y negativa de unamolécula no polar en su posición inicial de equilibrio con sus centros ligeramente desplazadospara una mejor comprensión.

Bajo la acción de estas fuerzas las cargas positivas y negativas son desplazadas de sus posi-ciones iniciales de equilibrio, como muestra la figura 8.08-2, pero sin abandonar la molécula,ya que están fuertemente ligadas a ella.

8.08-3 Comportamiento de una molécula no polar bajo la acción de un campo eléctrico exterior

FIG.8.08-1

E

−F

F



2

De hecho, el desplazamiento se produce hasta que las fuerzas eléctricas debidas al campoexterior quedan equilibradas, entre otras, por la fuerza de atracción electrostática que seejercen mutuamente las propias cargas de la molécula al quedar separadas una cierta dis-tancia, y por fuerzas recuperadoras internas.

El efecto global producido por el campo electrostático exterior es un desplazamientorelativo de la carga total positiva respecto de la carga total negativa, como si estuvieranconcentradas idealmente dichas cargas totales en sus respectivos centros de masa en formade cargas puntuales. FIG. 8.08-2

Las fuerzas recuperadoras varían en magnitud de unos dieléctricos a otros y, por tanto, los desplazamientos pro-ducidos por un mismo campo exterior en las diferentes moléculas son distintos. En consecuencia, el momento dipolarmolecular pm de las moléculas de los diferentes dieléctricos dependerá del campo electrostático exterior por medio deun coeficiente α, característico de cada dieléctrico, denominado polarizabilidad.

Una molécula polar tiene un momento dipolar molecular aun en ausencia de uncampo electrostático exterior.

Sin embargo, estas moléculas polares están orientadas al azar con igual probabilidadpara todas las direcciones del espacio debido a la agitación térmica de la materia. [Fig.8.08-3]. Por consiguiente, la polarización es nula en cada punto, por ser la suma vecto-rial de momentos dipolares moleculares en todas las direcciones posibles, debido al grannúmero de moléculas por unidad de volumen.

Si se somete un dieléctrico de moléculas polares a la acción de un campo electrostá-tico exterior, las fuerzas que actúan sobre una molécula cualquiera que inicialmente noestá alineada con el campo, forman un par de fuerzas, como muestra la figura 8.08-4(a), cuyo momento es:

8.08-4 Comportamiento de una molécula polar bajo la acción de un campo eléctrico exterior

+− +−

+−+−

M

m = l× f

+ = l×q E

= q l×E

= pm ×EFIG. 8.08-3

FIG. 8.08-4

E

E

F

F

–F

–F

Este momento hace girar la molécula, orientándola en la dirección del campo exte-rior, hasta que su momento dipolar molecular queda alineado con el campo, en sumisma dirección y en el mismo sentido, en cuyo instante se anula el momento del parde fuerzas, como indica la figura 8.08-4 (b).

En este caso, cuando se hace referencia a la polarización del dieléctrico, se debeentender, no la conversión de sus moléculas en dipolos, puesto que ya lo son inicialmen-te aun antes de colocar el dieléctrico en presencia de un campo exterior, sino la alinea -ción de sus moléculas en la dirección de dicho campo exterior.

El proceso de polarización de un dieléctrico de moléculas polares es distinto del quetiene lugar en un dieléctrico de moléculas no polares.

De cualquier forma, el efecto que produce un campo electrostático exterior sobre las moléculas de un dieléctrico,tanto si son polares como no polares, es el de alinearlas de forma que su momento dipolar molecular sea en cadapunto de igual dirección y sentido que dicho campo.

La polarización de un dieléctrico de moléculas no polares consiste en la formación de moléculas polares aline-adas en cada punto con el campo exterior, y persisten como tales mientras actúa dicho campo.

Por esta razón, se denominan dipolos temporales o dipolos inducidos.La polarización de un dieléctrico de moléculas polares consiste en la orientación de los dipolos que constituyensus moléculas en la dirección del campo exterior.

Puesto que estas moléculas son dipolos, tanto si están sometidas a la acción de un campo exterior, como si no,se denominan dipolos permanentes.

En cualquier caso,

Un dieléctrico polarizado se caracteriza, bien por un desplazamiento relativo de los centros de masa de las car-gas de sus moléculas, o bien por una orientación de las mismas en la dirección y sentido del campo exterior.

Por consiguiente,Un dieléctrico polarizado no está cargado puesto que no tiene exceso de carga.

[1]

E

−F

F



3

8.08-5 Polarización de un dieléctrico

Es frecuente encontrar en la terminología empleada en el estudio de los medios dieléctricos las siguientes expre-siones:

Polarización electrónicaPolarización iónicaPolarización orientacional

Polarización electrónica

Es el tipo de polarización que se produce cuando los electrones de los átomos de las moléculas se ven des-plazados de su posición de equilibrio respecto de la carga positiva de los núcleos en presencia de un campoexterno aplicado.

Polarización iónica

Es el tipo de polarización que se produce cuando los iones negativos y positivos de las moléculas se vendesplazados de su posición de equilibrio en presencia de un campo externo aplicado.

Polarización orientacional

Es el tipo de polarización que se produce en materiales con moléculas polares orientadas al azar en ausen-cia de un campo eléctrico exterior pero que se alinean con él cuando se aplica dicho campo exterior.

En cualquier caso, la tendencia de las moléculas polares, o no polares, a alinearse con el campo o a experimen-tar desplazamientos relativos de sus cargas encuentra una cierta oposición debida a la agitación térmica de la mate-ria y a fuerzas y momentos de interacción de las moléculas. [Véase: Engineering electromagnetics fields & waves,Carl T. A. Johnk, New York, Wiley & Sons, Inc., Wiley international edition, 1975, pág. 122]

Si un material dieléctrico se encuentra en la proximidad de cuerpos conductores cargados, las moléculas del die-léctrico quedan sometidas al campo eléctrico creado por los conductores.

Este campo eléctrico ejerce fuerzas sobre las partículas cargadas que constituyen las moléculas del dieléctrico,sometiendo a las partículas positivas a una fuerza en la misma dirección y sentido del campo y a las partículas car-gadas negativamente a una fuerza en la misma dirección del campo pero en sentido contrario.

Este efecto produce un pequeño desplazamiento de dichas partículas de su posición de equilibrio que tiende a sercontrarrestado por la fuerza de atracción de las propias partículas desplazadas, de forma que en la nueva posiciónde equilibrio el efecto producido, desde un punto de vista macroscópico, consiste en un desplazamiento relativo detoda la carga positiva respecto de toda la carga negativa de la molécula.

Este desplazamiento, como ya se ha indicado anteriormente, es muy pequeño en la mayor parte de los casos; sumagnitud suele ser del orden de una pequeña fracción del diámetro molecular.

En estas condiciones se dice que el dieléctrico se ha polarizado.

La polarización de un medio dieléctrico, aunque en conjunto es un medio eléctricamente neutro, crea un campoeléctrico tanto en su interior como en el exterior. Con lo cual, la polarización del material depende del campo eléc-trico total en dicho medio. Pero parte de este campo total es producido por el propio material y a su vez, este campoeléctrico afecta a la distribución de carga de los conductores que, por consiguiente, modifican el campo eléctrico enel dieléctrico.

Esta situación parece conducir a un callejón sin salida, debido a estas interacciones mutuas.Veamos qué consideraciones se hacen para solucionar este problema.Pero antes de continuar conviene hacer la siguiente:AdvertenciaSuele producir una cierta confusión la relación existente entre la polarización de un medio dieléctrico y el campo

eléctrico, debido a que la mayor parte de los textos que tratan de este tema no especifican la situación en que seencuentra el dieléctrico que se estudia.

Por ejemplo, se puede leer en Fundamentos de la teoría electromagnética, 1ª edición en español, John R. Reitz yFrederick J. Milford, Méjico, Uteha, 1969, págs. 72-73, aludiendo a un pequeño elemento de volumen de un mate-rial dieléctrico

“Si el medio se polariza...”y no se advierte ni se indica por qué procedimiento se polariza el material.

Más adelante, en el desarrollo del planteamiento anterior, que se inicia de la forma indicada, se considera unaporción finita de material dieléctrico caracterizado en cada punto r’ por una polarización P(r’) que conduce a laobtención del campo eléctrico creado por el dieléctrico en un punto exterior, que, posteriormente, se justifica que esel mismo que el que crea el dieléctrico en su interior.



4

De manera que muy bien podría tratarse de un dieléctrico polarizado permanentemente o espontáneamente.Por consiguiente, en el mencionado planteamiento

no hay en principio, ninguna relación entre la polarización del dieléctrico y el campo eléctrico.

Igualmente puede leerse en Campos electromagnéticos, 1ª edición, Roald K. Wangsness, Méjico, Editorial Limusa,4ª reimpresión, 1990 pág. 183:

“Supóngase que se tiene un objeto polarizado...”donde tampoco se advierte ni se indica por qué procedimiento se polariza el material.

En cambio, en Teoría electromagnética, 1ª edición en español, Markus Zahn, Méjico, Nueva EditorialInteramericana, 1983, pág. 140, se inicia el estudio de la polarización considerando que:

“Encerramos numerosos dipolos en un medio dieléctrico dentro de un volumen diferencial...”para introducir, después de una serie de consideraciones de tipo geométrico, el vector desplazamiento eléctrico, D, ya renglón seguido establece el concepto de dieléctrico lineal.

Con todo lo anterior se pretende advertir del error que se suele cometer al aplicar a cualquier dieléctrico las rela-ciones que son válidas solamente para los dieléctricos lineales que aparecen más adelante en el estudio de los textoscitados anteriormente.

Hay que advertir que, en la mayor parte de los problemas en los cuales se da la expresión de la polarización deun material dieléctrico se trata de un dieléctrico polarizado permanentemente o espontáneamente para los cuales noson válidas dichas relaciones.

Un material de este tipo se puede conseguir situándolo en un campo eléctrico intenso a temperatura elevada. Lasmoléculas se orientan lentamente quedando alineadas en la dirección del campo y a continuación se enfría la mues-tra a temperatura ambiente sin suprimir el campo eléctrico.

Una vez finalizado el proceso, el dieléctrico conserva su polarización durante un cierto tiempo después de habersuprimido el campo polarizante.

Algunos polímeros, a temperatura ambiente, tienen tiempos de vida extrapolados de varios miles de años.[Véase: Campos y ondas electromagnéticos, 1ª edición en español, Paul Lorrain y Dale R. Corson, Madrid,

Selecciones Científicas, 1972, págs. 119-121].

La polarización P(rʼ) se supone que es una función de punto del material dieléctrico, conocida de antema-no, sin atender para nada a las causas que la producen.

De modo que ese campo no es el que polariza al material.Así que:

Si el dieléctrico está polarizado, el momento dipolar de cada molécula es:

p

m = rdq

molécula∫

Δp

= rdq

Δv∫

donde la suma se extiende a todas las moléculas que contiene el elemento de volumen dv.

[2]

[4]

Como nos interesa una descripción macroscópica del fenómeno, vamos a suponer un pequeño elemento de volu-men Δv de un material dieléctrico polarizado que, considerado globalmente, es eléctricamente neutro.

Su momento dipolar será la suma vectorial de todos los momentos dipolares de los elementos de volumen conte-nidos en él:

dp

= rdq [3]

Recordando el estudio del desarrollo multipolar de una distribución de carga podemos caracterizar a un elemen-to de volumen dv por su momento eléctrico dipolar:

Esta integral es del mismo tipo que la segunda integral del desarrollo multipolar de potencial eléctrico creado poruna distribución de carga. Por consiguiente, la expresión [4] nos permitirá calcular el potencial eléctrico creado porel elemento de volumen Δv en puntos muy alejados de dicho elemento, es decir, en puntos cuya distancia a Δv seamuy grande comparada con las dimensiones de dicho elemento.

Puesto que Δp depende del tamaño del elemento de volumen es conveniente caracterizar las propiedades eléctri-cas del material polarizado por su momento eléctrico dipolar por unidad de volumen.



5

es decir, P, representa el momento dipolar por unidad de volumen.Sus dimensiones son carga por unidad de área; en el sistema internacional, coul/m2.Y a partir de aquí

se considera que cualquier dieléctrico polarizado está caracterizado en cada uno de sus puntos rʼ por una pola-rización P(rʼ) que se supone que es una función conocida.

[7]

Se define el vector polarización P, de un material dieléctrico, como:

P

= limΔv→0

Δp

Δv=

dp

Δv[5]

[6]

Teniendo el cuenta la expresión del potencial creado por un dipolo, el potencial producido por un elemento devolumen dv’, situado en el punto determinado por el vector de posición r’ es:

dV(r) =1

4πε0

dp(r−r '

)

r−r ' 3

=1

4πε0

P(r '

)(r−r '

)

r−r ' 3

dv

de modo que el potencial creado por todo el volumen de dieléctrico se obtiene sumando las contribuciones de todoslos elementos dv del mismo:

8.08-6 Potencial creado por un dieléctrico polarizado en un punto exterior

V(r) =

14πε

0

P(r '

)(r−r '

)

r−r ' 3

dv 'V0∫

[8]

y a partir de aquí, teniendo en cuenta que:

r−r '

r−r ' 3

= ∇ ' 1

r−r '

[9]

el integrando de [7] se puede escribir como

P(r '

)(r−r '

)

r−r ' 3

= P⋅ ∇ ' 1

r−r '

donde, a su vez, teniendo en cuenta la relación [92] del álgebra vectorial

P⋅ ∇ ' 1

r−r '

= ∇ ' P

r−r '

−

1

r−r ' ∇ '⋅P

∇ ⋅(ΦF

) =Φ(∇ ⋅F

)+F(∇Φ)

se puede escribir el segundo miembro de [10-7] en la forma:

[10]

con lo que

P(r '

)(r−r '

)

r−r ' 3

= ∇ ' P

r−r '

−

1

r−r ' ∇ '⋅P

[11]

Sustituyendo en la expresión [7] del potencial:

V(r) =

14πε

0

∇ ' P

r−r '

+−∇ '⋅P

r−r '

V0

∫

dv ' =

14πε

0

∇ ' P

r−r '

dv '+ −∇ '⋅P

r−r ' dv '

V0∫V0

∫



6

V(r) =

14πε

0

∇ ' P

r−r '

+−∇ '⋅P

r−r '

V0

∫

dv ' =

14πε

0

∇ ' P

r−r '

dv '+ −∇ '⋅P

r−r ' dv '

V0∫V0

∫

y aplicando ahora el teorema de la divergencia a la primera integral del último miembro de la igualdad anterior:

[12]

[13]

V(r) =

14πε

0

P⋅n

r−r ' da +

−∇ '⋅P

r−r ' dv '

V0∫

S∫

denominadas densidad superficial de carga polarizada y densidad volumínica de carga polarizada, respectivamente.

Con la introducción de estas densidades de carga la expresión [14] del potencial queda en la forma:

Las expresiones [7] y [15] son igualmente válidas para calcular el potencial creado por un volumen de materialdieléctrico polarizado, si bien en la mayor parte de los casos es más útil la [16].

P⋅n

=σP

∇ '⋅P

= ρP

ya que la muestra de dieléctrico, globalmente considerada, es eléctricamente neutra.

8.08-7 Campo creado por un dieléctrico polarizado en un punto exterior

q

p= σ

Pda

S∫ '+ ρ

Pdv

V0

∫ ' = 0

Si se considera globalmente una muestra de material dieléctrico polarizado, la carga total polarizada es:

−∇ '⋅P

expresión en la que las dimensiones de y de resultan ser: coul/m2 y coul/m3, por lo cual conviene

Teniendo en cuenta que E

= −∇V , se obtiene a partir de [9.15]

[14]

P⋅n

definirlas como

[15]

Evidentemente, si P

= cte

, ρP

= 0. Y en el vacío, donde P

= 0, es igualmente ρP

= 0.

V(r) =

14πε

0

σP

r−r ' da +

ρP

r−r ' dv '

V0∫

S∫

[16]

E(r) =

14πε

0

(r−r '

)

r−r ' 3

σPda +

(r−r '

)

r−r ' 3

ρPdv '

V0∫

S∫

8.08-8 Campo creado por un dieléctrico polarizado en un punto interior

A partir de diferentes consideraciones [Véase Fundamentos de la teoría electromagnética, 1ª edición en español,John R. Reitz y Frederick J. Milford, Méjico, Uteha, 1969, pág. 78-81] se llega a la conclusión de que las expresio-nes [8-16] del potencial, y la [9-17] del campo eléctrico, son válidas tanto si el punto en el que se calculan es inte-rior o exterior al dieléctrico.

Hasta aquí se ha supuesto que la polarización P(rʼ) era una función conocida en cada punto del material.

Ahora bien, en muchos casos la polarización de un dieléctrico se produce como consecuencia de la acción de uncampo al que se ha sometido previamente el material, en cuyo caso, P(r’) es función del campo eléctrico total E(r’)y esto complica la situación.

La dificultad estriba en que La polarización P depende del campo eléctrico total E, en el que se incluye el campo creado por el propio die-léctrico, y este campo no se puede calcular porque no se conoce P.

De modo que no se puede calcular P porque no se conoce E, y viceversa.

Para resolver esta dificultad se recurre al teorema de Gauss aplicado a una superficie cerrada, contenida en unvolumen dieléctrico, que encierra varios cuerpos conductores cargados que se encuentran embutidos en el material.



7

FIG. 8.08-5

q1 q2

q3S1

S2

S3 S

Supongamos una superficie cerrada S situada dentro de un volumen dieléctrico quecontiene en su interior varios conductores cargados con cargas q1, q2 y q3, que se encuen-tran en las superficies de los mismos, S1, S2 y S3, respectivamente. [Fig. 8.08-5].

El flujo eléctrico a través de la superficie cerrada S es:

Φ = E

⋅nda

S∫

y según el teorema de Gauss

Φ =

1ε

0

Σqi =1ε

0

(q +qp)

[17]

[18]

donde Σqi representa la carga total encerrada por la superficie S, y por consiguiente, debe incluir tanto la carga libre

q = q1+q2+q3

como la carga polarizada

q

p= P

⋅nda

S1+S2+S3

∫ + −∇ '⋅P

dvv∫

[19]

[20]

[21]

y aplicando el teorema de la divergencia a la integral de volumen de [20]

−∇ '⋅P

dvv∫ = − P

⋅nda

S+S1+S2+S3

∫

[22]

que sustituida en [20] queda

q

p= P

⋅nda

S1+S2+S3

∫ − P⋅nda

S+S1+S2+S3

∫ = − P⋅nda

S∫

Igualando ahora los segundos miembros de [17] y [18] y sustituyendo qP por la [22] queda:

E⋅nda

S∫ =

1ε

0

(q +qp) =

1ε

0

(q − P⋅nda

S∫ )

Despejando q de la anterior:

q = ε

0E⋅nda

S∫ + P

⋅nda

S∫ = (ε

0E

+ P

) ⋅nda

S∫

La relación anterior establece que:

Por esta razón se define un nuevo vector, denominado desplazamiento eléctrico o simplemente desplazamiento,como:

D

= ε0E

+ P

cuyas dimensiones son coul/m2.Con la introducción del vector desplazamiento la relación [24] se puede escribir en la forma:

q = D

⋅nda

S∫

Si la carga libre encerrada por la superficie S es la correspondiente a una distribución volumínica de carga,

q = ρdv

v∫

y teniendo en cuenta la [26], después de aplicar el teorema de la divergencia a la integral de superficie,

[24]

[27]

La carga total libre encerrada por la superficie S es igual al flujo, a través de ella, del vector ε

0E

+ P

[25]

[26]

[28] q = D

⋅nda

S∫ = ∇ ⋅D

dv

v∫

[23]



8

igualando los segundos miembros de [27] y [28]:

ρdv

v∫ = ∇ ⋅D

dv

v∫

de donde se deduce

ρ = ∇ ⋅D

La fuente vectorial del vector desplazamiento es el rotacional del vector polarización.

De modo que El vector desplazamiento puede tener sus fuentes tanto en las cargas libres como en las cargas polarizadas.

relación que se conoce como expresión diferencial del teorema de Gauss.De la relación anterior se deduce igualmente que,

Las fuentes escalares del vector desplazamiento son las cargas libres.

El desplazamiento puede tener además fuentes vectoriales ya que, si se toman rotacionales en los dos miembrosde [25]

E

=1ε

0

D−

1ε

0

P

y puesto que el vector D depende de la carga libre, y el vector P, de la polarización del medio dieléctrico, se dedu-ce que el campo eléctrico es creado tanto por la carga libre como por la carga ligada.

Si nos quedamos con los dos primeros miembros de [23]

E⋅nda

S∫ =

1ε

0

(q +qp)

Por otra parte, de la [25], se obtiene despejando el campo eléctrico:

y aplicamos el teorema de la divergencia a la integral de superficie del primer miembro y sustituimos q y qP por

q = ρdvv∫

qp

= ρpdv

v∫

se obtiene:

∇ ⋅E

v∫ dv =

1ε

0

ρdvv∫ + ρ

pdv

v∫

=

1ε

0

ρtotal

dvv∫

de donde se deduce que

∇E

=1ε

0

ρtotal

=1ε

0

(ρ + ρp)

que viene a corroborar lo que se ha establecido anteriormente:Las fuentes escalares del campo eléctrico son tanto las cargas libres como las polarizadas.

En el vacío, donde, evidentemente ρP = 0, el campo es creado únicamente por las cargas libres.

A PARTIR DE AQUÍ EL ESTUDIO DE LOS MATERIALES DIELÉCTRICOS SE LIMITA A AQUELLOS TIPOS EN LOS QUE SU POLARIZACIÓN

DESAPARECE CUANDO SE ANULA EL CAMPO ELÉCTRICO EN EL MATERIAL.

[29]

[30]

[31]

∇×D

=ε0∇×E

+∇×P

y como ∇×E

= 0

por ser conservativo el campo eléctrico, resulta:

∇×D

= ∇×P

[32]

[33]



9

Si el material dieléctrico es isótropo el vector polarización tiene la misma dirección y sentido que el campo eléc-trico que la produce. En consecuencia,

8.08-9 Dieléctrico isótropo

P

= ε0χ(E)E

donde la magnitud escalar χ(E) se denomina susceptibilidad eléctrica del material.Combinando [34] con [25] se obtiene:

D

= ε0E

+ P

= ε0E

+ε0χ(E)E

= ε

01+ χ(E)

y definiendo como permitividad del dieléctrico

ε(E) = ε

01+ χ(E)

resulta

D

= ε(E)E

8.08-10 Dieléctrico lineal

Si el campo eléctrico no es muy intenso, la susceptibilidad χ y la permitividad ε de muchos materiales son inde-pendientes del campo eléctrico y son constantes características de cada dieléctrico, si bien pueden variar de un puntoa otro si el dieléctrico no es homogéneo.

Las relaciones [34] y [37] se pueden expresar en la forma:

P

= (ε −ε0)E

D

= εE

A veces es más conveniente utilizar una nueva constante sin dimensiones, denominada permitividad relativa, quese define como:

ε

r=ε

ε0

que, teniendo en cuenta la [36] se puede escribir en la forma

ε

r= 1+ χ

[34]

[35]

[36]

[10.37]

[38]

[39]

[40]

[41]

Si el campo eléctrico al que se somete un dieléctrico es muy intenso, puede hacer salir electrones de las molécu-las y el material adquiere una cierta conductividad.

El valor máximo del campo eléctrico que un dieléctrico puede soportar sin alcanzar esta situación se denominarigidez dieléctrica.

Para el aire el valor máximo del campo eléctrico alcanza valores alrededor de 2-3.106 voltios/m

8.08-11 Rigidez dieléctrica

8.08-12 Condiciones de contorno de los vectores campo y desplazamiento eléctricos

Si una superficie material separa dos medios distintos, los vectores E y D experimentan cambios en los puntosde dicha superficie.

Los dos medios pueden ser dos dieléctricos diferentes, o un dieléctrico y un conductor.El vacío puede considerarse como un dieléctrico de permitividad εo.Consideremos dos medios (1) y (2) separados por una superficie S que contiene una densidad superficial de carga

libre σ, que puede variar de unos puntos a otros, y a su vez, los dieléctricos pueden contener carga volumínica dedensidades respectivas ρ1 y ρ2.



10

Debe entenderse que estas cargas libres son debidas a que los dieléctricos no son perfectos, o bien porque se hanintroducido antes de poner los dos materiales en contacto, bombardeándolos por ejemplo con partículas cargadas.

Si consideramos una superficie cilíndrica cerrada, S, de sección A muy pequeña, y altura Δh despreciable com-parada con el diámetro de dicha sección, [Fig. 8.08-6], el flujo eléctrico a través de S es:

Φ = D

⋅nda

S∫ = D

1

⋅n

1

da

1S1

∫ + D2

⋅n

2

da

2S2

∫ + DL

⋅n

L

da

LSL

∫ = −D1n

da1

+ D2n

da2

S2

∫S1

∫ = −D1nA+ D

2nA

donde la integral extendida a la superficie lateral es nula por ser Δh des-preciable, y las componentes normales D1n y D2n se considera que sonconstantes en S1 y S2 debido a que la sección del cilindro es muy peque-ña. El vector unitario n normal a la superficie de separación está tomado enel sentido que va del medio (1) al medio (2).

FIG. 8.08-6 Φ =

1ε

0

σA+ ρ1AΔh

1+ ρ

2AΔh

2

dondeσA es la carga libre contenida en la porción A de superficie de separación.ρAΔh1 es la carga polarizada en la porción del cilindro, de volumen AΔh1, contenida en el medio (1)ρAΔh2 es la carga polarizada en la porción del cilindro, de volumen AΔh2, contenida en el medio (2)

Los términos que contienen a Δh1 y Δh2 son nulos, por ser ambas alturas despreciables. La ecuación [42] queda en la forma

D

2n−D

1n=σ

Por otra parte, si consideramos la trayectoria cerrada ABCDA, en la que los lados BC y DA tienen una longituddespreciable, de forma que los lados AB y CD, de pequeña longitud Δl, son tangentes en cada medio a la superficiede separación S, y se calcula la circulación del campo eléctrico a lo largo del rectángulo ABCDA, se obtiene:

Por otra parte, si se aplica el teorema de Gauss a la superficie S:

E⋅dl

C∫ = E

⋅dl

ABCDA∫ = E

2

⋅dl

A

B∫ + E

⋅dl

B

C∫ + E

1

⋅dl

C

D∫ + E

⋅dl

D

A∫

siendo las componentes tangenciales E1t y E2t constantes a lo largo de Δl debido a que su longitud es muy pequeña.Y teniendo en cuenta el teorema de Stokes, y que el campo eléctrico es conservativo:

E⋅dl

C∫ = (∇×E

S∫ ) ⋅n

da = 0

De [47] y [48] se deduce que:

E

1t= E

2t

[42]

[43]

[44]

[45]

Φ =

1ε

0

σA

Igualando los últimos miembros de [42] y [44], simplificando y ordenando términos:

[48]

donde los términos tercero y cuarto del último miembro son nulos por ser despreciable la longitud de los lados BCy DA, por lo que la expresión anterior queda en la forma

[46]

E⋅dl

C∫ = E

2

⋅dl

A

B∫ + E

1

⋅dl

C

D∫ = E

2tΔl −E

1tΔl [47]

[49]

[51]

∇E

=ρ

ε0

∇E

=ρ

ε

A veces produce una cierta confusión encontrar en los textos, como expresión de las fuentes escalares del campoeléctrico, las siguientes relaciones que, aparentemente, son distintas:

Advertencia

[50]

S S1

S2

D1

D2 E2

E1

nA

B

CD

SL



11

y sin embargo son equivalentes para un medio lineal, homogéneo e isótropo, si se explica el significado de la densi-dad volumínica de carga que aparece en cada expresión.

En la [50], ρ, representa, como se deduce de la [33], la densidad total de carga volumínica, es decir, la densidadde carga libre más la densidad de carga polarizada.

Y en la [51] ρ representa solamente la densidad de carga libre.

Para comprobar la equivalencia de [50] y [51] basta considerar que según [30] es

ρ = ∇ ⋅D

y, por otra parte, si el dieléctrico es lineal e isótropo,

[52]

[53] ∇D

= ∇(εE

)y si además es homogéneo,

∇D

= ∇(εE

) = ε∇E

de donde, finalmente, de [52] y [54] se obtiene:

∇E

=ρ

εQuizá, para evitar confusiones deberían expresarse las [50] y [51] en la forma:

∇E

=ρ

total

ε0

∇E

=ρ

libre

εEl inconveniente es que en la mayor parte de los textos no se suele especificar qué clase de densidad volumínica

de carga representa ρ en estas expresiones.

[54]

[55]

[56]

Supongamos una muestra de un dieléctrico sometido a la acción de un campo eléctrico externo, en el cual exis-ten N dipolos por unidad de volumen.

En un elemento de volumen dv habrá un número de dipolos

La fuerza que actúa sobre el elemento de volumen se obtendrá multiplicando la fuerza que actúa sobre un dipo-lo, por el número de dipolos contenidos en dicho elemento de volumen:

8.08-13 Fuerza sobre un elemento de volumen de un dieléctrico situado en un campo eléctrico externo

df = (p∇)E

dn = ( pdn∇)E

= (dp ∇)E

= (P

dv ∇)E

de donde:

df

dv= (P∇)E

Si el campo eléctrico que actúa sobre el dieléctrico es uniforme, la fuerza por unidad de volumen es, evidente-mente nula.

dn = N dvcuyo momento dipolar es,

dp =pdn =

pN dv

[57]

[58]

[59]

[60]

8.08-14 Momento sobre un elemento de volumen de un dieléctrico situado en un campo eléctrico externo

El momento que actúa sobre el elemento de volumen se obtendrá multiplicando el momento que actúa sobre undipolo por el número de dipolos contenidos en dicho elemento de volumen.

Teniendo en cuenta las relaciones correspondiente al momento que actúa sobre un dipolo, [Véase el Capítulo 09],se obtiene:

d τ =r ×(p∇)E

(r )+

p×E

(r )

dn =

r ×(pdn∇)E

(r )+pdn ×E

(r )

=r ×(dp∇)E

(r )+dp×E

(r )

=

=r ×(P

dv∇)E

(r )+P

dv×E

(r )

=r ×(P∇)E

(r )+P×E

(r )

dv

[61]



12

de donde:

d τdv

=r ×(P∇)E

(r )+P×E

(r )

Si el campo eléctrico que actúa sobre el dieléctrico es uniforme, el momento por unidad de volumen es,

d τdv

= P×E

(r )

[62]

[63]

aletos 8 - física · 2013. 3. 3. · aletos física para ciencias e ingeniería capÍtulo 8.08...

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