MATRICES

Álgebra Lineal

Realizado por:Azuaje Herymar C.I: 20.254.853

¿QUÉ SON MATRICES?

En matemáticas, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en

su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan

generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de

ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal. Las matrices

se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para

representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para

representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices

desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las

aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que

también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

 

Una matriz es una arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales.

TIPOS DE MATRICES

Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:  

  Matrices cuadradas  

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ´ n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.  

Ejemplo:  Sean las matrices

   

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.  

Matriz identidad  

Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann.  La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.  

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A; A· I = I ·A = A.  

Matrices triangulares  

Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices

Son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

Matrices diagonales  

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ...,dnn  ). Por ejemplo,  

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por: diag (3,-1,7)  diag (4,-3)  y  diag (2,6,0,-1).

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.  

Así, la traspuesta de

En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m ´ n, entonces AT =  es la matriz n ´ m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:  

1.  (A + B)T = AT + BT.

2.  (AT)T = A.

3.  (kA)T = kAT (si k es un escalar).

4.  (AB)T = BTAT.

 

Matrices simétricas  

Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica,

si AT = -A.  

Ejemplo:  Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.

Para B  los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.

A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

Matrices ortogonales  

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.  

Consideremos una matriz 3 ´ 3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

Matrices normales

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.  

Ejemplo:

Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal

SUMA Y RESTA DE MATRICES

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ´ 2 y otra de 3 ´ 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.  

Ejemplo:

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.  

Ejemplo:

DIVISIÓN DE MATRICES

La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B  tal que A/B = AB-1:  

Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.  

Ejemplo:  

MATRICES INVERTIBLES

Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que  

                                           AB = BA = I  

siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.  

Ejemplo:  

Puesto que  AB = BA = I,  A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra.

Las matrices son números que forman la matriz se llaman elementos de la matriz y los indicamos con letras minúsculas, mientras que los nombres de las matrices se indican con letras mayúsculas.

Varían en tamaño u orden. El tamaño u orden de una matriz se describe especificando el número de filas o renglones (líneas horizontales) y columnas (líneas verticales) que aparecen en la matriz. Por lo tanto, una matriz de orden “m x n” tiene “m” filas y “n” columnas (primero se indican las filas y después las columnas).