a) repaso al tema de vectores: los vectores en ......2019/02/09 · en la figura adjunta el vector...

U.D. 9 (PARTE 1) – ESTUDIO DEL MOVIMIENTO. CINEMÁTICA UD 9 (P1) -

FISICA Y QUÍMICA. 1º BACHILLERATO. PROFESOR: CARLOS M. ARTEAGA

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FÍSICA Y QUÍMICA. 1º DE BACHILLERATO

PROFESOR: CARLOS MARTÍN ARTEAGA

UNIDAD DIDÁCTICA 9

ESTUDIO DEL MOVIMIENTO: CINEMÁTICA (1ª PARTE)

A) REPASO AL TEMA DE VECTORES:

LOS VECTORES EN FÍSICA

1.- VECTORES

¿QUÉ TENEMOS QUE APRENDER?

Qué es un vector.

Cuáles son los elementos que caracterizan a un vector.

Qué magnitudes pueden ser representadas por un vector: diferencia entre magnitudes

escalares y magnitudes vectoriales.

Cómo se representa por escrito un vector.

Cuando un móvil se mueve en un plano o en el espacio, conviene definir la posición, desplazamiento, velocidad y aceleración utilizando VECTORES.

Los vectores son unos entes matemáticos que tienen una longitud y una dirección (que incluye un sentido), y que se usan para representar muchas magnitudes de la Física, que reciben el nombre de MAGNITUDES VECTORIALES.

Sin embargo, hay otras magnitudes físicas, como la temperatura, el tiempo o la masa de un cuerpo, que no tienen dirección y se representan por números ordinarios; se llaman MAGNITUDES ESCALARES.

Los vectores se representan geométricamente con flechas y se le asigna por lo general una letra que en su parte superior lleva una pequeña flecha de izquierda

a derecha (𝐴) o bien con las letras que determinan el punto origen y el punto

extremo (𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ )como se muestra en las figuras.

Un vector es, pues, un segmento que está orientado: tiene un PUNTO ORIGEN, O, y un PUNTO EXTREMO, P, que determina el SENTIDO del vector OP.

La DIRECCIÓN de un vector viene determinada por la recta sobre la que se apoya.

El MÓDULO es un número real positivo que indica la longitud del vector y que determina el valor de la magnitud asociada a dicho vector.

Una magnitud vectorial algebraicamente se representa colocando una flecha sobre el símbolo que la

representa r

o también escribiendo dicho símbolo en negrita, r.

En resumen, en Física existen magnitudes escalares, aquellas cuya medida se expresa con un número y una unidad, y otras, las magnitudes vectoriales, que para expresarlas correctamente es necesario especificar no sólo un número y unidad correspondiente, sino también una dirección y sentido, y a veces, su punto de aplicación. Estas magnitudes las representamos mediante vectores.

CONTESTA Y REPASA

9.1. Señala algunos ejemplos de magnitudes escalares y vectoriales. Define, a la vista de dichos ejemplos, lo que entiendes por escalar y por vector.



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2.- COMPONENTES Y MÓDULO DE UN VECTOR


Qué son las componentes de un vector y como se determinan.

Cómo se calcula el módulo de un vector a partir de las componentes.

El cálculo de las componentes de un vector a partir del valor del módulo del mismo y del ángulo

que forman.

Toda medida debe efectuarse respecto de un sistema de referencia. Por ejemplo, no tiene sentido decir que Málaga está a 100 km, si no decimos de qué lugar está Málaga a 100 km. Si nos dicen que unos amigos salieron de nuestra ciudad en coche e iban a 70 km/h, no sabremos dónde llegarán, necesitamos saber si salieron hacia el Sur, el Norte o en otra dirección. En Física, solemos representar los sistemas de referencia mediante sistemas de ejes cartesianos ortogonales; nos bastarán dos ejes (X e Y) para representar los vectores en el plano, dándoles valores positivos hacia arriba y a la derecha, y negativos hacia abajo y a la izquierda.

Un vector puede expresarse mediante las componentes, que son las proyecciones sobre los ejes coordenados.

En el dibujo puedes ver representadas las componentes del vector r que son los segmentos x e y:

Como puedes ver para determinarlas tienes primero que trasladar el vector hasta que su origen coincida con el origen de coordenadas, trazar las perpendiculares desde el extremo al eje de las equis (abscisas) y al eje de las íes (ordenadas). La distancia entre el origen de coordenadas y los puntos de corte con cada eje (proyecciones) son las componentes del vector, en este caso x e y.

El valor de cada una de las componentes lo podemos hallar aplicando la trigonometría:

xcos x r cos

r

ysen y r sen

r

Las COMPONENTES (x, y) del vector r coinciden con las coordenadas cartesianas de su extremo cuando el origen está situado en el origen de coordenadas.

Escribiremos el vector como r = (x, y), o como r (x, y), pero cuando se escribe a mano se coloca

generalmente una flecha encima: r

Se llama MÓDULO DE UN VECTOR a su longitud. Observando la figura podemos deducir cómo se puede calcular el módulo r del vector r usando el teorema de Pitágoras. El resultado es:

r x y 2 2

El módulo de un vector r se designa por r o simplemente por r. La dirección o sentido del vector es el que indica la flecha dibujada en su extremo.

Cuando representamos una magnitud vectorial mediante un segmento orientado, lo hacemos de manera que el módulo del vector sea proporcional al valor de la magnitud representada. Así si una fuerza de 80 N la representamos por un segmento de 4 cm, una fuerza de 160 N estará representada por un segmento de 8 cm.



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En la imagen se puede ver que el vector 𝐴, no es más que la suma de un vector en el eje "X" y otro en el eje "Y".

Cada uno de estos vectores se le conoce con el nombre de

componente, así el vector 𝐴𝑥 es la componente "X" del vector 𝐴 y

el vector 𝐴𝑦 es la componente "y" del vector 𝐴

Para poder escribir correctamente estos vectores debemos introducir los vectores unitarios, los cuales se detallan más adelante.

EJERCICIO RESUELTO

En la figura adjunta el vector A tiene su punto de aplicación en (1,5, 0,5) mientras que sus componentes son (3, 1,5).

En este caso su módulo es:

, , 2 23 1 5 3 35

CONTESTA Y REPASA

9.2. ¿Es posible que el módulo de un vector sea un número negativo? ¿Por qué?

9.3. ¿Es posible que las componentes sean números negativos? ¿Qué significado tendrán?

9.4. Señala el punto de aplicación y las componentes de los vectores B, C y D de la figura anterior y calcula sus módulos.

9.5. Calcula las componentes de los siguientes vectores y dibújalas en unos ejes de coordenadas:

a) Vector cuyo módulo es 18 y el ángulo que forma con la horizontal es de 600.

b) Vector cuyo módulo es 60 y el ángulo que forma con la horizontal es de 450.

c) Vector cuyo módulo es 0,5 y el ángulo que forma con la horizontal es de 1500.

d) Vector cuyo módulo es 25 y el ángulo que forma con la horizontal es de 2700.

e) Vector cuyo módulo es 40 y el ángulo que forma con la horizontal es de 3150.

3.- PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR


Cuál es el resultado de multiplicar un vector por un escalar.

Cuál es el vector opuesto de un vector.

El producto de un escalar por un vector es otro vector de la misma dirección, cuyo módulo es el módulo del vector multiplicado por el escalar, en valor absoluto.

El cociente de un vector entre un escalar tiene la misma definición, en este caso el módulo del vector queda dividido por el escalar.

Para calcular sus componentes basta multiplicar cada una de ellas por el número por el que queremos multiplicar al vector.

Así si queremos obtener un nuevo vector r multiplicando el vector r por un nº k dicho vector se escribe

r kr . Las componentes de r son (kx, ky).

Tras esta multiplicación el vector se alarga si k > 1, se acorta si k < 1, y no cambia de longitud si kl = 1; su sentido no cambia si k > 0 (positivo), pero se invierte si k < 0 (negativo).

El vector resultante de multiplicar r = (x, y) por –1 se llama VECTOR OPUESTO, se representa por –r r ,

y sus componentes son (–x, –y).



4

CONTESTA Y REPASA

9.6. Dado el vector A (3,2), escribe las componentes del vector 2A, del vector —2A y del vector ½A. Calcula los módulos de cada uno de ellos. ¿Qué relación existe entre los módulos y las componentes de los vectores anteriores?

4.- VECTORES UNITARIOS


Qué son los vectores unitarios.

La manera de representar un vector mediante los vectores unidad.

Otra forma de escribir un vector es utilizando los llamados VECTORES

UNITARIOS i y j

Un vector unidad (o unitario) es aquel que tiene de módulo la unidad. En un

sistema de referencia cartesiano definiremos los vectores unitarios i y j

como aquellos que tienen módulo unidad y sus direcciones son las de los ejes X, Y respectivamente.

De esta manera el vector r de la Figura se puede escribir, indistintamente:

( ) x, x y r y i j

EJERCICIO RESUELTO

Escribe mediante los vectores unitarios y calcula el módulo del vector con origen (0, 0) y extremo (4, 3). SOLUCIÓN:

r 4i 3j

r 2 24 3 5

EJERCICIO RESUELTO

Escribe mediante los vectores unitarios y calcula los módulos de los vectores con origen (0, 0) y extremos (2, 3), (–3, –2).

SOLUCIÓN:

1r 2i 3j r 2 2

12 3 13

– –2r 3i 2j r

2 2

23 2 13

CONTESTA Y REPASA

9.7. Representa los vectores A i; B j 2 3 . Escribe sus componentes y calcula su módulo

9.8. Representa los vectores C i j; D , i – , j 2 3 3 5 2 4 . Escribe sus componentes y calcula su módulo



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5.- SUMA DE VECTORES


La manera de sumar vectores gráficamente (regla del paralelogramo)

La suma de vectores en función de sus componentes.

La descomposición de vectores.

Si se suman dos magnitudes escalares, basta con sumar sus valores numéricos. Por ejemplo 10 W más 20 W son 30 W de potencia. Por el contrario, para la suma de vectores el proceso es más complejo, pues debemos de tener en cuenta dirección y sentido.

Podemos realizar la suma por la regla del paralelogramo o, conociendo las componentes cartesianas de los vectores a sumar, el vector resultante tendrá como componentes cartesianos la suma, eje a eje, de cada vector.

5.1 - REGLA DEL PARALELOGRAMO

Si queremos sumar dos vectores gráficamente, ponemos uno a continuación del otro y unimos el origen del primero con el extremo del segundo.

Si queremos sumar varios, los colocamos sucesivamente de la forma anterior y se une el origen del primero con el extremo del último.

En las figuras que aparecen a continuación puedes observar las dos formas de sumar gráficamente los

vectores �⃗� 𝑦 �⃗⃗�

5.2 - SUMA DE VECTORES EN FUNCIÓN DE SUS COMPONENTES

El vector resultante es el obtenido al sumar las componentes respectivas de todos los vectores que se quieren sumar.

EJERCICIO RESUELTO

Suma los vectores con origen (0, 0) y extremos (2, 3), (–3, –2) y calcula el módulo del vector suma. SOLUCIÓN:

r i j

r i j

s r r i j i j i j i j

s

1

2

1 2

2 2

2 3

3 2

2 3 3 2 2 3 3 2

1 1 2

EJERCICIO PROPUESTO

Sean los vectores �⃗⃗⃗� = 𝟐𝒊 + 𝟒𝒋 y �⃗⃗⃗� = 𝟑𝒊 − 𝟐𝒋 Representa y suma los vectores A y B, comprobando que el resultado de la suma coincide haciéndolo por el método gráfico o por el método analítico de sumar las componentes.

Repite los cálculos para obtener el vector (�⃗⃗⃗� − �⃗⃗⃗�) y el (�⃗⃗⃗� − �⃗⃗⃗�). ¿Coincide el vector (�⃗⃗⃗� − �⃗⃗⃗�) con

el vector (�⃗⃗⃗� − �⃗⃗⃗�)?



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5.3 - SUMA DE VECTORES CONOCIENDO SUS MÓDULOS Y LOS ÁNGULOS QUE FORMAN

Cuando conocemos los módulos de los vectores y el ángulo que forman con la horizontal (o con la vertical), descomponemos cada vector en sus componentes y sumamos las componentes horizontales por un lado y las verticales por el otro como se indica en las figuras:

x

x y

y

x

x y

y

a a cosa a i a j

a a sen

b b cosb b i b j

b b sen

x x y ya b a b i a b j

Para hacerlo de forma correcta y sin fallos tenemos que fijarnos muy bien en los signos de las componentes. En el ejemplo de la figura ay y bx tienen signos positivos, mientras que ax y by tienen signos negativos.

EJERCICIO RESUELTO

Dados los siguientes vectores determina el vector suma:

Descomponemos los dos vectores y calculamos el valor de las componentes:

x

x y

y

x

x y

y

a a cosa a i a j

a a sen

b b cosb b i b j

b b sen

El vector suma será: x x y ya b a b i a b j

x

y

x

y

a a cos cos , N

a a sen sen , N

b b cos cos , N

b b sen sen , N

0

0

0

0

35 50 22 50

35 50 26 81

30 70 10 26

30 70 28 19

a b , , i , , j , i j N 22 50 10 26 26 81 28 19 12 24 55

El módulo del vector suma será:

a b , , N 2 212 24 55 56 35



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CONTESTA Y REPASA

9.9. Dados los vectores r i j; r i – j; r – i j 1 2 33 2 4 4 2 , calcula el módulo de r3 y el vector suma de

los tres. Dibuja los vectores y calcula la suma gráficamente.

9.10. Calcula la suma de los vectores �⃗� 𝑦 �⃗⃗� , sabiendo que �⃗� tiene como módulo 12m y forma un ángulo con

el eje de abscisas de 1350 y �⃗⃗� tiene como módulo 20m y forma un ángulo con el eje de abscisas de 300.

B) MAGNITUDES DE LA CINEMÁTICA

6.- EL MOVIMIENTO: LA VELOCIDAD


A qué llamamos Sistema de Referencia en un movimiento.

Los conceptos de trayectoria, distancia o camino recorrido y desplazamiento, distinguiendo

claramente entre trayectoria y desplazamiento.

El concepto de velocidad, la fórmula que permite calcularla y la unidad de velocidad en el S.I.

Los conceptos de velocidad media y velocidad instantánea.

Qué es una magnitud vectorial.

La resolución de problemas que relacionan velocidad, espacio y tiempo.

Imagina que vas sentado en la parte de atrás del vagón de un tren ¿dirías que, con respecto al tren tú te estás moviendo? Imagina que alguien está junto a la vía viendo pasar tu tren ¿qué diría al observarlo ¿creerá que estás parado o qué estás moviéndote con respecto a él?

Para saber si un cuerpo está en reposo o en movimiento, basta con fijar su posición respecto a un objeto que consideramos fijo, y observar si varía en el transcurso del tiempo; si lo hace, decimos que el cuerpo se mueve respecto a dicho objeto.

A ese objeto que consideramos fijo y con respecto al cual estudiamos el movimiento lo llamamos SISTEMA DE REFERENCIA. Y al cuerpo en movimiento MÓVIL.

Vuelve al tren. Observa como el pasajero que está sentado en el primer asiento se levanta y se dirige hacia atrás. Dibuja el camino que recorre con respecto a ti. Piensa en la persona que está junto a la vía y dibuja el camino que sigue el mismo pasajero con respecto a ella. Como verás los movimientos son aparentemente distintos. Eso es porque el sistema de referencia que hemos cogido en cada caso es diferente y uno de ellos se está moviendo con respecto al otro.

TRAYECTORIA es la línea imaginaria que describe un cuerpo al moverse.

DISTANCIA O CAMINO RECORRIDO es la longitud de la trayectoria.

DESPLAZAMIENTO, en Física, es la distancia en línea recta desde la posición inicial hasta la posición final del móvil.

Para medir la rapidez con que un cuerpo cambia de posición respecto a un sistema de referencia utilizamos la magnitud velocidad.

VELOCIDAD es la magnitud que relaciona el desplazamiento o espacio recorrido por un móvil y el tiempo empleado en el mismo.

También podríamos definir la velocidad como el espacio que recorre un móvil en la unidad de tiempo. Nos indica, pues, la rapidez de un movimiento.

espacio distancia o camino recorridovelocidad= =

tiempo tiempo

La velocidad es una magnitud derivada (deriva de la longitud y del tiempo).

La unidad de velocidad en el sistema internacional es el m/s.



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1 m/s es la velocidad que lleva un móvil que realiza un recorrido de 1 metro en un segundo.

Otra unidad de velocidad: el km/h.

EJERCICIO RESUELTO

Halla la equivalencia que existe entre estas dos unidades de velocidad : m/s y km/h.

Para pasar 1 km/h a m/s las equivalencias son: 1km = 1000m; 1h = 3600s

km km 1000m 1h m1 1 0,28

h h 1km 3600s s

Para pasar 1m/s a km/h las equivalencias son: 1km = 1000m; 1h = 3600s

m m 1km 3600s 3600 km km1 1 3,6

s s 1000m 1h 1000 h h

Llamamos VELOCIDAD MEDIA de un móvil al realizar un recorrido a la velocidad constante que debería haber llevado un cuerpo para recorrer ese espacio en el tiempo invertido.

Evidentemente el móvil no ha llevado siempre esa velocidad sino que ha llevado diferentes valores de velocidad en cada instante. El cálculo de esta magnitud se realiza dividiendo el espacio recorrido entre el tiempo empleado en recorrerlo. Es decir, para calcular la velocidad media de un viaje tendremos que anotar la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla y dividir los dos datos.

Cuando en una fórmula aparece el subíndice o nos indica el valor que tenía esa magnitud en el momento en que empieza a contar el tiempo. Es decir eo es el valor del espacio en el momento en que ponemos en marcha el cronómetro, el “espacio inicial”

El símbolo de “espacio o longitud recorrida se puede encontrar también como “s”, e incluso si se trata de un movimiento vertical como “h”.

También nos podemos encontrar con el símbolo seguido de la abreviatura de una magnitud. Ese

símbolo significa “variación”. Por ejemplo si escribimos e, nos estamos refiriendo a la variación que ha

habido en el espacio o longitud [espacio final (ef) – espacio inicial (eo)]. Si escribimos t nos estamos refiriendo al tiempo que ha transcurrido.

EJERCICIO RESUELTO

¿Cuál es la velocidad media de un vehículo que ha tardado 30 minutos en recorrer 75 kilómetros? Calcúlalo en km/h y en m/s.

Equivalencias: 1hora = 60 minutos

f om

e - eespacio recorrido Δe 75km 75km 60min 75 60 km kmv = = = = = = = 150

tiempo empleado t Δt 30min 30min 1h 30 h h

Para pasarlo a m/s las equivalencias son: 1km=1000m; 1h=3600s

km km 1000m 1h m150 150 41,67

h h 1km 3600s s

Llamamos VELOCIDAD INSTANTÁNEA a la velocidad que posee un móvil en un momento determinado.

Por ejemplo, todos los coches tienen un VELOCÍMETRO que nos indica la velocidad instantánea del automóvil.

La velocidad instantánea es una magnitud vectorial, pues para conocer con exactitud la velocidad de un cuerpo es necesario conocer la dirección y el sentido del mismo, lo que hacemos asociándole un vector cuya intensidad es el valor numérico de la velocidad.

CONTESTA Y REPASA 9.11. ¿Puede un cuerpo haber realizado un movimiento y, sin embargo, no haberse desplazado? ¿Por qué?

9.12. ¿Puede un automóvil arrancar con movimiento uniforme? ¿Por qué?

9.13. Una persona a paso normal tarda 6 minutos en recorrer medio kilómetro ¿cuál es su velocidad media?

f om

e - eespacio recorrido Δev = = =

tiempo empleado t Δt



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7.- LA ACELERACIÓN


El concepto de aceleración y la fórmula para calcularla.

La unidad de medida de la aceleración en el S.I. y su significado.

La resolución de problemas de movimientos con aceleración.

Al hacer el estudio del movimiento de un cuerpo tenemos no sólo que determinar su posición inicial, su posición final, su trayectoria y el tiempo invertido en el movimiento, sino que en la mayoría de los casos tenemos que determinar los distintos valores de velocidad que ha ido llevando, ya que la velocidad es una magnitud que puede cambiar con el tiempo: por ello se introduce una nueva magnitud: la aceleración.

La aceleración es la magnitud que relaciona el cambio de velocidad con el tiempo.

La ACELERACIÓN es, pues, el cambio de velocidad por unidad de tiempo.

f 0v - vcambio de velocidad

aceleración = = tiempo t

(vf es la velocidad que tiene el móvil al final del tiempo considerado y vo en el momento de comenzar a contar el tiempo)

Teniendo en cuenta esto, la unidad con que medimos la aceleración tiene que ser una unidad de velocidad entre una unidad de tiempo. Si en el S.I. la unidad de velocidad es el m/s y la unidad de tiempo es el s, la

unidad de aceleración en el S.I. es el m s

s o lo que es lo mismo el m/s2

Si un cuerpo en reposo adquiere una velocidad de 1m/s en el tiempo de 1 segundo la aceleración sería:

f o

2

v - vcambio de velocidad 1m s - 0m s m s maceleración (a) = = = = 1 = 1

tiempo t 1s s s

La misma aceleración tendría si el objeto ya está en movimiento y aumenta su velocidad en un valor de 1m/s en el tiempo de 1 segundo.

Decimos, pues, que UN CUERPO TIENE UNA ACELERACIÓN DE 1m/s2 cuando en 1 segundo la velocidad aumenta de manera constante en un valor de 1m/s.

Si la aceleración tiene un valor positivo significa que la velocidad del móvil está aumentando de valor. Si el valor es negativo significa que la velocidad está disminuyendo. Cuando el valor de la aceleración es cero, la velocidad se mantiene constante.

Cuando en un coche pisamos el acelerador y aumentamos la velocidad decimos que aceleramos y lo que queremos decir es que la velocidad está aumentando, o sea que la aceleración es positiva; cuando pisamos el freno disminuimos la velocidad y lo que decimos es que frenamos o deceleramos, o sea que la aceleración es negativa; cuando mantenemos una velocidad constante ni aceleramos ni deceleramos, o lo que es lo mismo no hay aceleración.

EJERCICIOS RESUELTOS

En cierto momento de su movimiento, un cuerpo se mueve a 20 m/s y un segundo después se mueve a 30 m/s. Calcula su aceleración.

f o

2

v - vcambio de velocidad 30m s -20m s m s maceleración (a)= = = = 10 = 10

tiempo t 1s s s

Decimos que este móvil ha acelerado 10 m/s2, o sea, que aumenta su velocidad 10 m/s cada segundo que transcurre.

Si un coche acelera de manera uniforme de 0 a 10 m/s, en 5 s ¿cuál es su aceleración?

f o

2

v - vcambio de velocidad 10m s -0m s m s maceleración (a) = = = = 2 = 2

tiempo t 5s s s

Su velocidad aumenta 2m/s cada segundo que transcurre.



10

CONTESTA Y REPASA

9.14. ¿Qué significa que un automóvil tiene una aceleración de 4m/s2?

9.15. Explica claramente qué es aceleración y escribe con una fórmula la relación que existe entre velocidad y aceleración.

9.16. En el folleto explicativo de las características de un coche se dice que es capaz de pasar de 0 a 96km/h en 12,3s. ¿Cuál es su aceleración?

C) MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS

8.- MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS


Los conceptos de MRU y MRUA.

Cuando realizamos el estudio de algunos movimientos en particular empezamos siempre por los más sencillos, aquellos en el que los cuerpos se mueven siempre sobre una línea recta, es decir su TRAYECTORIA ES RECTILÍNEA.

Entre ellos a su vez los más sencillos son:

Los que mantienen constante su velocidad (MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME o MRU)

Y los que mantienen constante su aceleración, es decir los que van aumentando o disminuyendo su velocidad de manera uniforme (MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO o MRUA)

CONTESTA Y REPASA

9.17. ¿Qué diferencia existe entre el MRU y el MRUA?

9.- MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)


Las características del Movimiento Rectilíneo Uniforme

La fórmula que hay que utilizar para cualquier problema de MRU.

La resolución de problemas sobre este tipo de movimiento.

Un móvil se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme cuando:

— Su trayectoria es recta.

— Su velocidad es constante.

Como no cambia la velocidad, tampoco hay aceleración. En este movimiento son iguales la velocidad media e instantánea en cualquier punto de la trayectoria.

Por tanto la ecuación que se precisa para realizar los problemas de movimiento rectilíneo uniforme es:

EJERCICIO RESUELTO

Un cuerpo recorre con velocidad constante una trayectoria recta de 12km en 2 min. a) ¿Cuál es su velocidad en m/s? b) Si continúa con esa velocidad, ¿qué espacio recorrerá en media hora?

a)

sv=

t

s 12km 12km 1000m 1min 12000m mv= = = = = 100

t 2min 2min 1km 60s 120s s



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b)

EJERCICIO RESUELTO

A los 3s de ver un relámpago durante una tormenta, oímos el trueno. Dado que la velocidad del sonido es de 340 m/s, ¿a qué distancia se ha producido la descarga eléctrica? (Despreciamos el tiempo empleado por la luz en su recorrido hasta nosotros.)

EJERCICIO RESUELTO

El vehículo espacial Mariner 4 se lanzó de la Tierra a Marte llegando allí después de 228 días, tras recorrer una distancia de 522 000 000 km (5,22·108 km). Si se considera su movimiento como rectilíneo y uniforme, ¿qué velocidad, en km/h, tenía el vehículo?

CONTESTA Y REPASA 9.18. Un astronauta envía una onda de radio desde la Luna a la Tierra. Suponiendo para dicha onda un MRU,

con velocidad de 300 000 km/s (3x105 km/s), y conociendo que la distancia de la Luna a la Tierra es de 385000 km (3,85x105 km), ¿qué tiempo tarda en llegar la onda a la Tierra?

10.- MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE

ACELERADO (MRUA)


Las características del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado.

Las fórmulas o ecuaciones que hay que utilizar para resolver cualquier problema de MRUA.


Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es el propio del móvil que:

— Mantiene constante su dirección rectilínea,

— Cambia uniformemente el módulo de su velocidad, por lo que adquiere una aceleración constante.

Cuando el móvil aumenta su velocidad con regularidad; la velocidad final después de cierto tiempo es mayor que la velocidad inicial por lo que resulta una aceleración positiva. Es el movimiento al que propiamente llamamos acelerado.

En el caso contrario, cuando el móvil frena y disminuye su velocidad con regularidad, la velocidad final es menor que la velocidad inicial por lo que la aceleración es negativa. Es el movimiento retardado o decelerado.

ECUACIONES DEL MRUA

Ecuación de la velocidad en función del tiempo:

Ecuación del espacio recorrido por el móvil:

5

5 2

3

s m m 60sv = s = v t = 100 30min = 100 30min = 180000m = 1,8 10 m=

t s s 1min

1=1,8 10 km = 1,8 10 km = 180km

10

s mv = s = v t = 340 3s = 1020m

t s

8 8s 5,22 10 km 5,22 10 km 1día kmv= = = = 95394,7

t 228días 228días 24h h

f ov = v + a t

2

o o

1s = s + v t + a t

2



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EJERCICIO RESUELTO

Un motorista que conduce en línea recta a 72 km/h acelera de modo que en un minuto ha aumentado su velocidad a 126 km/h. Calcular: a) la aceleración adquirida, b) el espacio recorrido en ese minuto.

Expresamos las velocidades en m/s (Para pasar km/h a m/s las equivalencias son: 1km=1000m; 1h=3600s):

km km 1000m 1h m72 72 20

h h 1km 3600s s

km km 1000m 1h m126 126 35

h h 1km 3600s s

a) Escribimos las ecuaciones del MRUA que nos sirven para realizar este apartado:

f ov = v + a t

Escribimos los datos que conocemos: vf = 35m/s; vo = 20 m/s; t = 1min = 60s

Despejamos la aceleración que es el dato que desconocemos:

vf – vo = at luego f ov - va =

t

b) Escribimos las ecuaciones del MRUA que nos sirven para realizar este apartado

Escribimos los datos que conocemos: so=0; vo= 20 m/s; t = 1min = 60s; a = 0,25m/s2

Sustituimos los datos en la fórmula:

s = 0 + (20 m/s · 60s) + 1/2 ( 0,25 m/s2 · 602s2) = 1200 m + 450 m = 1650 m

EJERCICIO RESUELTO

Un móvil que se mueve a 30 m/s disminuye uniformemente la velocidad hasta que al cabo de 5 segundos marcha a 10 m/s. Calcula la aceleración.

Escribimos las ecuaciones del MRUA que nos sirven para realizar este problema:

Escribimos los datos que conocemos: vf = 10m/s; vo= 30 m/s; t = 5s

Despejamos la aceleración que es el dato que desconocemos:

vf – vo = at luego

Luego la velocidad disminuye 4 m/s cada segundo.

f o

2

v -v 35m/s - 20m/s 15m/s ma= = = = 0,25

t 60s 60s s

2

o o

1s = s + v t + a t

2

f ov = v + a t

f o

2

v - v 10m / s - 30m / s -20m / s ma - 4

t 5s 5s s

f ov - v

a = t



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EJERCICIO RESUELTO

Un automóvil se mueve a 36 km/h y disminuye la velocidad uniformemente hasta detenerse mientras recorre 50 m. Calcular: a) la aceleración, b) el tiempo que tarda en detenerse.

Expresamos la velocidad inicial en m/s:

km km 1000m 1h m36 = 36 = 10

h h 1km 3600s s

a) y b) Escribimos las ecuaciones del MRUA que nos sirven para realizar los dos apartados:

Escribimos los datos que conocemos: vf = 0m/s; vo= 10 m/s; so= 0; s = 50m

Podemos comprobar que tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas: la aceleración y el tiempo.

Despejamos la aceleración en la primera fórmula:

f ov - va =

t

Sustituimos el valor calculado de la aceleración en la segunda ecuación:

2f oo o o o f o o o f 0

o f 0 o f o

v -v1 1 1 1s = s + v t + t = s + v t + v -v t = s + v t + v t - v t =

2 t 2 2 2

1 1 1= s + v t + v t = s + v +v t

2 2 2

Despejamos el tiempo que es el valor que desconocemos:

o f o

o f o

o f o

o

f o

1s = s + v +v t

2

1s - s = v +v t

2

2 s - s = v +v t

2 s - s 2 50mt= = = 10s

v + v 10m/s

Conociendo el tiempo despejamos su valor en la fórmula de la aceleración

CONTESTA Y REPASA

9.19 Un móvil se desplaza con MRUA. Partiendo del reposo, recorre 100 m en 1 s. Calcula: a) la aceleración, b) la velocidad al cabo de 5 s, c) ¿a qué distancia del punto de partida se encuentra a los 10 s?

9.20. Un avión parte del reposo, acelera a razón de 10 m/s2 mientras recorre la pista de despegue y empieza a ascender cuando su velocidad es de 360 km/h. a) ¿Cuántos metros de pista ha recorrido? b) ¿Qué tiempo ha empleado?

9.21. Un coche empieza a frenar cuando marcha a 108km/h con una aceleración de –3m/s2 ¿Cuánto tardará en detenerse si la aceleración mantiene siempre el mismo valor?

9.22. Un tren reduce su velocidad desde 15 m/s hasta 7 m/s, con aceleración constante, recorriendo entre-tanto una distancia de 90 m. Calcula: a) la aceleración, b) la distancia que recorrerá hasta detenerse, si mantiene constante la aceleración adquirida.

f o

2

v -v 0m/s - 10m/s -10m/s ma = = = = -1

t 10s 10s s

f ov = v + a t 2

o o

1s = s + v t + a t

2



14

11.- CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS


A qué llamamos movimiento de caída libre de los cuerpos y qué tipo de movimiento es.

Cuál es el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre y qué significado tiene

dicho valor.

Las fórmulas o ecuaciones que hay que utilizar para resolver cualquier problema de caída libre.


El movimiento de caída libre de los cuerpos es el que tiene lugar cuando los dejamos caer libremente bajo la acción de su peso. Si la resistencia del aire es despreciable se define del siguiente modo:

El movimiento de caída libre de los cuerpos es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, en el que la aceleración constante es la aceleración de la gravedad.

Aceleración de la gravedad

Los cuerpos que caen libremente están sometidos a una aceleración que es producida por la gravedad, es decir, la atracción gravitatoria de la Tierra.

Siendo así, todos los cuerpos situados a la misma altura deben caer al suelo con la misma velocidad y al mismo tiempo. ¿Ocurre así realmente?

Galileo Galilei (1564-1642), considerado el padre de la moderna ciencia experimental, comprobó que todos los cuerpos de la misma forma y tamaño, aunque sean de distinta masa, caen libremente en el aire con la misma aceleración. Por ejemplo, dos esferas del mismo tamaño, una de acero y otra de madera, llegan a la vez al suelo al caer libremente desde la misma altura.

Pero, ¿por qué razón cae antes una piedra que una pluma? Sencillamente, porque, debido a su forma, la pluma encuentra mayor resistencia por parte del aire. Esto no ocurre en el vacío y se puede comprobar mediante el tubo de Newton.

Si se deja caer dentro de un tubo de vidrio, en que se ha hecho el vacío, una pluma y una bola de acero, se observa como caen a la vez, con la misma aceleración, al fondo del tubo.

Para comprender bien el movimiento de caída libre, es preciso tener en cuenta que:

La aceleración de la gravedad es constante para todos los cuerpos en un mismo punto geográfico. Varía ligeramente de unos lugares a otros de la Tierra y suele tomarse como valor medio g = 9,8 m/s2.

Durante la caída de un cuerpo, mientras se acerca al suelo, consideramos constante el valor de la acelera-ción de la gravedad.

Si la resistencia del aire se considera nula, todos los cuerpos caen libremente con la misma aceleración.

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE

Según lo dicho anteriormente, se comprende que en el movimiento de caída libre hemos de utilizar las ecuaciones del MRUA, teniendo en cuenta que:

no hay velocidad inicial (v0 = 0)

El espacio inicial recorrido es cero (s0 = 0)

la aceleración constante es la aceleración de la gravedad g.

En la superficie de la tierra g = 9,8m/s2.

Así, de las ecuaciones generales obtenemos:

fv =g t 21

s = g t2



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EJERCICIO RESUELTO

Desde la ventana de un edificio, a 100 m de altura sobre el suelo de la calle, dejamos caer una piedra. Calcular: a) el tiempo que tarda en llegar al suelo, b) la velocidad que tiene al llegar.

a) DATOS: s=100m; g = 9,8 m/s2

b)

EJERCICIO RESUELTO

¿Con qué velocidad llega al suelo un objeto que se ha dejado caer libremente desde un punto situado a 50 m de altura?

DATOS: s=50m; g = 9,8 m/s2

CONTESTA Y REPASA

9.23. Desde lo alto de un edificio se deja caer una piedra y se observa que tarda 4 s en llegar al suelo. Determina: a) la altura del edificio, b) la velocidad con que llega al suelo.

12.- LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ABAJO


Las fórmulas o ecuaciones que hay que utilizar para resolver cualquier problema de lanzamiento vertical hacia abajo.


Llamamos LANZAMIENTO VERTICAL al movimiento vertical de los cuerpos que tiene lugar con velocidad inicial v0.

Puede ser descendente o ascendente. Vamos a fijarnos en el primero:

LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ABAJO

Se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con velocidad inicial hacia abajo cuya aceleración constante es la de la gravedad.

Un movimiento de este tipo se da, por ejemplo, cuando arrojamos un objeto desde una ventana a la calle, verticalmente, con cierta velocidad inicial (impulsándolo)

Las ecuaciones de este movimiento son las de MRUA en general, teniendo en cuenta que la aceleración es la de la gravedad g, que tiene velocidad inicial (v0) y que no hay espacio inicial recorrido (s0=0)

2

o

1s = v t + gt

2

f ov = v + gt

21s = g t

2

2

2

2s 2 100mt = = = 20,41s = 4,52s

mg9,8

s

fv = g t

f 2

m mv = g t = 9,8 4,52s = 44,30

ss

2

2

2s 2 50mt= = = 10,20s = 3,19s

mg9,8

s

f 2

m mv = g t = 9,8 3,19s = 31,26

ss

21s = g t

2

fv = g t



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EJERCICIO RESUELTO

¿Cuánto tiempo tarda y con qué velocidad llega al suelo un objeto que se ha lanzado hacia abajo con una velocidad inicial de 3m/s desde un punto situado a 50 m de altura?

DATOS: s = 50m; v0 = 3m/s; g = 9,8 m/s2

2

o

1s = v t + gt

2

Como conocemos todos los datos excepto el tiempo, para poder realizar el cálculo del tiempo, pasamos todos los términos al primer miembro de la igualdad con lo que tenemos una ecuación de segundo grado. Al resolver dicha ecuación nos fijamos en que el valor del tiempo no puede ser nagativo, por lo que escogemos únicamente el valor positivo de las dos soluciones.

2

0

2

0 0

1g t + v t - s = 0

2

g-v ± v + 4 s

-3 ± 9 + 19,6 502t = = = 2,9s

g 9,8

Para el cálculo de la velocidad final utilizamos la fórmula que ya conocemos:

f ov = v + g t

f

mv = 3 + 9,8 2,9 = 31,42

s

CONTESTA Y REPASA

9.24. Se lanza verticalmente hacia abajo desde cierta altura una piedra, con la velocidad inicial de 6 m/s y tarda 2 s en llegar al suelo. Calcular: a) La altura desde la cual fue lanzada. b) La velocidad con que llega al suelo.

a) repaso al tema de vectores: los vectores en ......2019/02/09 · en la figura adjunta el vector...

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