3.2 programas referenciales del plan de...
TRANSCRIPT
-
3.2 PROGRAMAS REFERENCIALES DEL PLAN DE ESTUDIO PROPUESTO DEL
PROGRAMA DE INGENIERIA AMBIENTAL
Los programas referenciales del plan de estudio propuesto fueron diseados una vez definido el pnsum
que regira el presente programa durante los diez semestre acadmicos que se han contemplado para la
formacin del profesional en ingeniera ambiental.
Estos programas fueron diseados con el siguiente contenido:
Justificacin del programa referencial
Presentacin del programa referencial
Objetivos del programa referencial
Contenido programtico del programa referencial
Metodologa para desarrollar el programa referencial
Sistema de evaluacin
Investigacin a partir del desarrollo del programa referencial
Proyeccin social a partir del desarrollo del programa referencial
Bibliografa
A continuacin se presentan cada uno de estos programas referenciales en su respectiva rea de
formacin:
-
ASIGNATURAS DEL PRIMER SEMESTRE DE INGENIERIA AMBIENTAL
-
ASIGNATURA : CLCULO DIFERENCIAL
CDIGO :
REA : CIENCIAS BSICAS
SEMESTRE : I
CREDITOS : 3
1. JUSTIFICACIN
El clculo diferencial constituye una de las ramas ms importantes de la matemtica pura, como lo es el
CALCULO DIFERENCIAL, considerado como una ciencia deductiva y debe sus profundas races a
problemas fsicos. Su gran potencial belleza radica en la variedad de sus aplicaciones.
Administracin de recursos energticos, produccin y consumo de petrleo.
Calculo de reservas de recursos naturales (Maderas, Carbn, etc.).
Bioqumica: anlisis de la concentracin de ciertas sustancias txicas en ciertos rganos, manejo y tratamiento de epidemias, toma de decisiones en sistemas de contaminados.
Biologa, crecimiento de poblacin, controles de natalidad, tamao promedio de una poblacin, etc.
Botnica: Calculo de la vida promedio de las plantas
Medida de terrenos.
El clculo diferencial comprende el estudio del cambio que ocurre en una cantidad cuando se dan
variaciones en otras cantidades de las cuales depende la cantidad original.
Cambio en el Costo total de operacin de una planta que resulta de cada unidad adicional producida.
Cambio en la demanda de cierto producto que resulta de un incremento de una unidad en el precio.
Cambio en el producto nacional de un pas con cada ao que pasa.
Lo anterior es solo una pequea muestra de ciertas aplicaciones realizadas con el perfil de la Ingeniera
Industrial, imagnese para otras ramas del conocimiento.
El dominio y manejo del clculo diferencial no solo es necesario para ayudar a resolver las dificultades y
problemas que la vida plantea, si no tambin es un instrumento fundamental para el anlisis y
comprensin de las dems ramas del saber.
De esto surge como colario que la enseanza del clculo diferencial debe hacerse de tal manera que los
estudiantes encuentren en l algo verdaderamente funcional y no solo una disciplina de planteamientos
tericos con lo cual se hace rgido y carente de significacin para muchos de ellos. De aqu provienen
muchas frustraciones que padecen algunos estudiantes antes de finalizar el ciclo bsico de las ingenieras.
Lo que se pretende es que el estudiante tenga una visin del gran potencial del clculo diferencial en el
campo de desempeo de la ingeniera ambiental que pueda enfrentar adecuadamente los diversos
problemas que se le presenten.
2. PRESENTACIN
La historia de las matemticas tiene que incluirse en la historia general de las ciencias, ya que uno y otro
saber se han influenciado mutuamente. Aun as, las matemticas han existido y son capaces de existir
-
independientemente, y en el examen de ese existir se identifican los elementos externos (socio-culturales)
e internos (las dinmicas propias) que determinan la produccin, construccin o desenvolvimiento de las
diversas disciplinas que conforman hoy da las matemticas.
El Clculo Diferencial que se desarrolla en el programa de ingeniera ambiental, estudia sus diferentes
mtodos o tcnicas de derivacin para su posterior aplicacin en problemas que estn relacionados con su
perfil profesional.
El Clculo Diferencial como tal debe sus orgenes a los mtodos de clculo de cantidades infinitesimales,
siendo el concepto de lmite una de las herramientas fundamentales en la aparicin de est importante
rama de las Matemticas, pero hubo que esperar hasta el siglo XVII, para que los mtodos de clculo
(diferencial, integral y, en esencia, el anlisis infinitesimal) se diferenciaran como disciplinas
estructuradas dentro de las matemticas.
Uno de los principales aportes a las matemticas fue realizado por Leibniz, el cual fue la generalizacin,
dar una forma general a un problema que hasta entonces slo era particular. En este caso el problema de
las tangentes en la que plante que no se trata de hallar una tangente particular a una curva particular, si
no todas las tangentes a todas las curvas. Su investigacin le permiti puntualizar una teora de los
mximos y mnimos, de lo infinitamente pequeo y del paso al lmite, constituyendo as, como es sabido,
el clculo infinitesimal.
Newton fue otro de los que realizaron un gran aporte a las matemticas, a travs del concepto
fundamental del clculo Fluxin que corresponde a lo que hoy llamamos derivadas. Newton parte de la
comprobacin de que las lneas se describen no mediante adiciones por partes, si no por movimiento
continuo de puntos; las superficies por movimientos de lneas; los slidos por movimientos de
superficies, etc. y observa que las cantidades as generadas varan en tiempos iguales, ms o menos
segn la mayor o menor velocidad con que cada una de ellas crece. De ah la importancia fundamental de
estas velocidades de crecimiento y justamente a ellas Newton les atribuye el nombre de fluxiones,
mientras que se llama fuentes las cantidades generadas por los movimientos continuos. Newton
descubre el teorema de inversin que media entre las derivadas y las integrales, aporta las principales
reglas de derivacin e integracin.
Tomando la derivacin como la operacin bsica, Newton produjo sencillos mtodos analticos que
unificaban muchas tcnicas diferentes desarrolladas previamente para resolver problemas aparentemente
no relacionados como calcular reas, tangentes, longitud de curvas y los mximos y mnimos de
funciones. El De Methodis Serierum et Fluxionum de Newton fue escrito en 1671, pero Newton no
pudo publicarlo, y no apareci impreso hasta que John Colson produjo una traduccin al ingles en 1736.
En el ao de 1615 en las obras de Kepler, se public por primera vez, el mtodo de las operaciones
directas con infinitesimales. En la demostracin matemtica de las leyes de Kepler fue necesario utilizar
las magnitudes infinitesimales. Sin embargo, fue en su obra "Nueva esteriometra de toneles de vino..."
donde expuso su mtodo de utilizacin de magnitudes infinitesimales y los fundamentos para la sumacin
de stos.
Muchos cientficos dedicaron sus trabajos al perfeccionamiento del lado operativo de estos mtodos o
tcnicas, y a la explicacin racional de los conceptos que surgan sobre estos. La mayor fama la adquiri
la geometra de los indivisibles, creada por Cavalieri, este mtodo fue creado para la determinacin de
las medidas de las figuras planas y cuerpos, los cuales se representaban como elementos compuestos de
elementos de dimensin menor. As, las figuras constan de segmentos de rectas paralelas y los cuerpos de
planos paralelos. Sin embargo, este mtodo era incapaz de medir longitudes de curvas, ya que los
correspondientes indivisibles (los puntos) eran adimensionales.
La ltima etapa del desarrollo del anlisis infinitesimal, fue el establecimiento de la relacin e
inversibilidad mutua entre las investigaciones diferenciales e integrales, y a partir de aqu la formacin
del clculo diferencial e integral. Este ltimo surgi como una parte independiente de las matemticas,
casi simultneamente en dos formas diferentes: En la forma de teora de fluxiones de Newton y bajo la
forma del clculo de diferenciales de G.W. Leibniz.
-
El concepto de derivada se define por medio de lmites; la nocin de lmite es la que separa al Clculo de
las matemticas comunes. Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
descubrieron, independientemente uno del otro, la relacin entre las derivadas y las integrales, y se
atribuye a ambos la invencin del Clculo. Posteriormente el aporte de muchos otros matemticos ha
contribuido de manera importante a su desarrollo durante los ltimos 300 aos.
El clculo diferencial conserv una estrecha relacin con el clculo de diferencias finitas, originado en los
trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y Newton entre otros. As en 1711 Newton introdujo la frmula de
interpolacin de diferencias finitas de una funcin f(x); frmula extendida por Taylor al caso de infinitos
trminos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el clculo diferencial y el clculo en
diferencias finitas.
El aparato fundamental del clculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de potencias,
especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollndose casi todas las funciones conocidas por los
matemticos de la poca. Pero pronto surgi el problema de la convergencia de las series, que se resolvi
en parte con la introduccin de trminos residuales, as como con la transformacin de series en otras que
fuesen convergentes.
Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los
desarrollos en series asintticas introducidos por Stirling y Euler. .
Las matemticas del siglo XVII junto a los mtodos integrales, se formaron tambin los mtodos
diferenciales, dando sus primeros pasos en la resolucin de problemas. Tales problemas eran en aquella
poca de tres tipos: determinacin de las tangentes a las curvas, bsqueda de mximos y mnimos de
funciones y bsqueda de las condiciones de existencia de races mltiples de las ecuaciones algebraicas.
En el transcurso de este siglo los problemas diferenciales, aun se resolvan por los mtodos ms diversos.
Veamos algunos casos.
Ya en la escuela de Galileo, para la bsqueda de tangentes y normales a las curvas, se aplicaban
simultneamente los mtodos cinemticos, considerando diferentes lanzamientos y movimientos
complejos, determinando la tangente en cualquier punto de la trayectoria. Torricelli, admirador de
Galileo, estudi las trayectorias parablicas que siguen los proyectiles disparados desde un punto fijo con
velocidad inicial constante, pero con ngulos de elevacin sobre la horizontal variables, descubriendo que
la envolvente de todas esas parbolas era otra parbola, la llamada parbola de seguridad. Al pasar de la
ecuacin de la distancia a la de la velocidad, ambas en funcin del tiempo, y recprocamente, se dio
cuenta Torricelli del carcter inverso que presentan los problemas de cuadraturas en determinacin de
tangentes. Sin embargo, su muerte repentina a los 39 aos, trunc lo que poda haber sido la invencin del
clculo infinitesimal.
La exposicin sistemtica del mtodo y sus aplicaciones ms importantes las dio Roberval en 1640.
La acumulacin de los mtodos del clculo diferencial adquiri su forma ms clara en Fermat, quien
resolvi el problema de la determinacin de los valores extremales de una funcin f(x). Tambin est
prximo al clculo diferencial su mtodo de bsqueda, de las tangentes a las curvas algebraicas, si bien
las funciones estudiadas eran polinmicas.
El Clculo puede decirse que constituye el segundo gran avance o el segundo gran resultado de la historia
de las matemticas despus de la geometra eucldea, desarrollada en la Grecia Antigua. La matemtica
moderna nace precisamente en el siglo XVII y en el siglo XVIII en el marco de aquella revolucin
cientfica que gener una nueva visin del mundo, una nueva aproximacin al pensamiento y, en general,
las condiciones que construiran la sociedad moderna de la que somos parte.
El Clculo ha sido fundamental no slo para la historia misma de las matemticas, apuntalando diferentes
campos, abriendo nuevas disciplinas, nuevas temticas y nuevos trabajos, sino tambin de una manera
muy especial para las otras ciencias naturales y la tecnologa. Los mtodos del Clculo diferencial e
-
integral han estado presentes en la mayora de los campos de la fsica y las matemticas aplicadas, y en la
mayora de los campos tecnolgicos de los ltimos siglos.
La enseanza del Clculo plantea desde un principio tanto la derivacin como de la integracin: dos
asuntos diferentes que convergen. Desde el siglo XVII, se descubri la convergencia de los dos tipos
fundamentales de problemas a los que el Clculo se diriga:
reas bajo curvas, volmenes (integral) y
el Clculo de mximos y mnimos, tangentes a curvas en ciertos puntos precisos (derivada).
Ambos procesos, la integracin y la derivacin, convergen, lo que es la esencia precisamente de lo que se
conoce como el Teorema Fundamental del Clculo. Esto obliga, en cualquier curso de Clculo (aunque
sea introductorio) una referencia a ese nudo terico.
Por dnde empezar? Al ser dos asuntos diferentes pero que conducen a la misma conclusin terica se
podra formular la pregunta qu debe ensearse primero?, y qu despus? Pensando en los principios
tericos, pero principalmente pedaggicos, algunos autores (por ejemplo el gran matemtico
estadounidense Tom Apostol) plantean el Clculo integral primero y, posteriormente, el Clculo
diferencial. Su argumentacin es: la historia empieza con las problemticas que trata el Clculo integral y
slo muchos siglos despus la humanidad se enfrentara a las del Clculo diferencial. Es decir, la base de
la argumentacin es la prioridad histrica.
La mayora de los textos y programas empiezan con el Clculo diferencial, es decir con la derivada y
posteriormente completan la parte de la integracin. En nuestra opinin los dos enfoques desde el punto
de vista pedaggico y prctico estn plenamente justificados. Lo importante a tomar en cuenta aqu es que
los mtodos infinitesimales son el comn denominador que se usa para resolver los problemas que
originan la derivacin o la integracin: el Clculo de tangentes o el Clculo de reas a travs de sumas
infinitas.
El lugar del concepto de lmite Cuando los grandes creadores del Clculo diferencial e integral, Newton
y Leibniz, aportaron sus resultados no utilizaron el concepto de lmite, sino que ste tuvo una elaboracin
posterior. Tom ms de un siglo para que el concepto de lmite se llegara a utilizar como la base
fundamental del Clculo diferencial y del Clculo integral. La leccin que este nos ofrece es en el sentido
de entender que el concepto de lmite y toda la operatoria que tiene que ver con los lmites son
funcionales a la derivacin y a la integracin misma; que deben verse como un instrumento para la
derivacin y la integracin, y no como algo en s mismo.
Los lmites y el clculo de lmites si no se explican y ensean inmersos dentro de los mtodos de la
derivacin o la integracin dejan de tener un significado para el estudiante o para la persona que desea
comprenderlos.
Las tendencias actuales. En algunos pases desarrollados se han dado varias condiciones que han
influido para cambiar la enseanza tradicional del Clculo:
avance tecnolgico (acceso a calculadoras graficadoras y computadoras).
mejor competencia y preparacin de los profesores,
mejores condiciones y formacin de los estudiantes,
cambios en la percepcin de la naturaleza de las matemticas (menos nfasis en los aspectos formales).
La principal tendencia en los ltimos 5 aos ha sido la de incluir simultneamente en la enseanza del
Clculo tres dimensiones: grfica, numrica y analtica. La dimensin predominante durante dcadas fue
la analtica; ahora se busca no dejar de lado las otras.
El objetivo es crear cursos que fomenten la capacidad de razonamiento y la creatividad de los estudiantes.
-
Las Matemticas y por consiguiente el Clculo diferencial constituyen un conjunto muy amplio de
conocimientos expresados en un lenguaje (o conjunto de lenguajes) preciso y sin ambigedades, aplicable
a los distintos fenmenos y aspectos de la realidad. Su utilidad reside en que este lenguaje es un potente y
apreciado instrumento de intercomunicacin entre los conocimientos, permitiendo describir, representar,
extraer informacin relevante, predecir y actuar sobre la realidad correspondiente a las ciencias.
Para participar de este lenguaje es fundamental adquirir un buen dominio de determinadas destrezas y
expresiones matemticas en una de sus ramas como el anlisis. Adems, para que estos conocimientos
sean realmente funcionales, la adquisicin y uso de estos no puede reducirse a la obtencin y posesin de
resultados finales, sino que hay que dominar su forma de hacer. De acuerdo con esto, an cuando los
contenidos conceptuales estn presentes en la actividad matemtica no son los nicos elementos que
actan en su desarrollo. Es preciso, por lo tanto, el conocimiento de procedimientos como los que se
refieren a:
Comprensin y uso de diferentes lenguajes matemticos (Ejemplo: Lenguaje lgico, simblico, algebraico, geomtrico, variacional y estadstico).
Tcnicas, rutinas y algoritmos con un propsito concreto.
Estrategias generales necesarias en la resolucin de problemas.
Toma de decisiones, fundamentadas, sobre los pasos y estrategias para emplear en la resolucin de problemas.
Adems, se han de fomentar actitudes como el valorar los razonamientos correctos, la perseverancia en la
bsqueda de soluciones, la crtica de argumentos, etctera. De forma paralela a este carcter instrumental,
hay que resaltarle tambin el valor formativo de las Matemticas, esto ltimo potenciar en los
estudiantes la consolidacin de hbitos, estructuras mentales y actitudes cuya utilidad trasciende al mbito
de las propias Matemticas.
El Clculo Diferencial, sus mtodos de enseanza y los conceptos, deben presentarse: Grafica, numrica
y algebraicamente, no obstante y gracias a los adelantos tecnolgicos existe la imperiosa necesidad de
incorporar las nuevas tecnologas en nuestras prcticas educativas y sobre todo en los procesos de
aprendizaje del Clculo, con el firme propsito de acercarnos a travs de el ambiente corporizado a los
ambientes formal y abstracto que estn inmersos en el clculo.
La presentacin de cada tema tendr una anticipada o previa preparacin, de tal manera que se logre
mantener a los estudiantes concentrados en los conceptos de mayor importancia y trascendencia en el
Clculo diferencial, lo cual es posible a travs de la presentacin y descripcin de ciertas ideas algebraica
usando mtodos numricos. Por ejemplo se introducir la nocin de derivada a partir de la definicin de
lmite.
Quizs lo ms difcil cuando se desarrolla una asignatura de est ndole es el tipo de lenguaje que se debe
utilizar, por lo que se recomienda utilizar una combinacin entre un nivel apropiado de informalidad
frente a un anlisis honesto enfocado a las dificultades que los estudiantes enfrenten frecuentemente en el
estudio del Clculo diferencial, es decir habr especial preocupacin por que la presentacin de cada
ejemplo, aplicacin y ejercicio sea lo ms clara y real posible.
INTERPRETACION GEOMETRICA DEL CONCEPTO DE DERIVADA
Consideremos una curva y = f(x), como la que se muestra en la figura 1, tracemos la recta secante PQ. Si
el punto Q se moviera sobre la curva hasta aproximarse al punto P, la secante PQ tomara diferentes
posiciones.
La recta, si existe, y cuya posicin limite, Pr, es la nica recta secante PQ cuando
Q P a lo largo de la curva, se llama recta tangente a la curva en el punto P.
-
Se puede determinar la pendiente de la recta tangente al punto P Como el lmite de los valores de las
pendientes de las rectassecantes cuando Q tiende a P; este hecho se puede denotar as:
Figura 1. Interpretacin geomtrica del concepto de derivada
PQ
mm
sectan lim
De acuerdo con la figura, la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P y Q es:
h
xfhxf
x
ym
)()(sec
Cuando Q tiende a P (Q P); h = x tiende a cero (h0), luego: La pendiente de la recta tangente en el punto P es:
0
limtan
x
y
xm
0
)()(limtan
h
h
xfhxfm
, cuando el lmite existe.
El programa de Clculo Diferencial est compuesto por una serie de captulos que en su contenido
presentan:
En el captulo I se introducen los conceptos de lmite y continuidad, que son de gran importancia. El
lmite es el tema del que se ocupa el clculo y se quiere que el estudiante reconozca la importancia del
papel que este concepto juega. Se busca que las aplicaciones basadas en lmites proporcionen la
motivacin prctica necesaria. El anlisis de los lmites incluye lmites al infinito, lmites infinitos y el
concepto de continuidad.
-
En el captulo II se introduce la nocin de derivada y se interpreta geomtricamente la derivada, a partir
del concepto de rectas tangente y secante, como tambin la aplicabilidad de la derivada al concepto fsico
de velocidad y aceleracin.
En el captulo III se desarrollan las reglas bsicas de derivacin, como la del producto, la del cociente y la
regla de la cadena, tambin se desarrollan lasa derivadas de funciones algebraicas, exponenciales,
logartmicas y trigonomtricas y permite que se desarrolle una gran variedad de ejemplos de las reglas de
derivacin estudiadas y sus aplicaciones.
El captulo IV presenta las aplicaciones de la derivada de una funcin f al estudio de la grfica de la
funcin f, de donde se obtuvo la derivada. Este estudio sirve para determinar algunas propiedades
cualitativas de las grficas, tales como si la curva es creciente o decreciente; los valores mximos y
mnimos que toma la funcin. Tambin los valores de la segunda derivada determinan los puntos de
inflexin (todos los puntos donde la curva cambia de concavidad).
Para determinar las caractersticas anteriores se utilizan tres resultados importantes: el teorema de los
valores extremos, teorema de Rolle, teorema del valor medio y algunos teoremas derivados de ellos.
A menudo la vida nos enfrenta con el problema de encontrar el mejor modo de hacer algo. Por ejemplo,
un agricultor quiere escoger la mezcla de cultivos que sea la ms apropiada para obtener el mayor
aprovechamiento. Un medico desea escoger y aplicar la menor dosis de una droga que curar cierta
enfermedad. Un fabricante desear minimizar el costo de distribucin de sus productos. Algunas veces un
problema de esta naturaleza puede formularse de tal manera que involucre minimizar o maximizar una
funcin sobre un conjunto especfico. Si es as, los mtodos del clculo proveen una poderosa herramienta
para resolver el problema.
En el Capitulo V se trabajan algunos tpicos de los mtodos numricos, como herramientas
extremadamente poderosas para la solucin de problemas que son imposibles de resolverlos
analticamente y que son comunes en la practica de la ingeniera industrial
2. OBJETIVOS
3.1 OBJETIVOS GENERALES
Realizar el estudio del clculo diferencial y sus diferentes mtodos o tcnicas de derivacin para su posterior aplicacin en problemas que estn relacionados con su perfil profesional. del
ingeniero ambiental.
Reconocer las diversas aplicaciones del clculo diferencial, En trabajos prcticos a partir del aula en ingeniera ambiental
3.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS
Reconocer la importancia y papel que juega el lmite y la continuidad en el clculo.
Conocer y enunciar el concepto de derivada
Interpretar la derivada geomtricamente
Enunciar y aplicar correctamente las diversas tcnicas de derivacin
Calcular la derivada de una funcin dada
Resolver problemas de aplicacin cuya solucin requiera la utilizacin de las diversas tcnicas de derivacin.
Resolver problemas de aplicacin cuya solucin requiera de la utilizacin de las diversas tcnicas de derivacin.
-
Utilizar algn software matemtico, en particular DERIVE versin Demo, como ayuda audiovisual en el proceso de conceptualizacin y como herramienta en la resolucin de
ejercicios.
3. CONTENIDO
7 INTRODUCCION AL CALCULO 1.1 Concepto de Limite y su interpretacin geomtrica 1.2 Propiedades de los Limites 1.3 Teorema del sndwich 1.4 Limites al infinito y limites Infinitos 1.5 Continuidad de una Funcin 1.6 Continuidad de algunas funciones exponenciales 1.6 Ejercicios
2. LA DERIVADA
2.1 Incrementos y Tasas 2.2 La Derivada 2.3 Interpretacin geomtrica de la derivada 2.4 Derivada de Funciones Potenciales 2.5 Anlisis Marginal 2.6 Ejercicios
3. CALCULO DE DERIVADAS
3.1 Rectas tangentes y velocidad 3.2 La derivada 3.3 Clculos de derivadas: reglas de una constante, potencia, suma, productos y cocientes. 3.4 La regla de la cadena 3.5 Derivacin implcita y de orden SuperiorDerivada de funciones trigonomtricas 3.6 Derivada de funciones exponenciales y logartmicas 3.7 Razn de cambio 3.8 Ejercitacin
4. OPTIMIZACION Y BOSQUEJO DE CURVAS
4.1 Valores mximos y mnimos 4.2 Teorema de Bolle y teorema de valor medio 4.3 Criterio de la primera derivada 4.4 Continuidad y criterio de la segunda derivada 4.5 Aplicaciones de los mximos y mnimos 4.6 Ejercitacin
5. ELEMENTOS DE METODOS NUMERICOS (races de ecuaciones)
5.1 Mtodos grficos
5.2 Mtodo de biseccin
5.3 Mtodo de la regla falsa
5.4 Iteracin de punto fijo
5.5 Mtodo de Newton- Raphson
5.6 Mtodo de la secante
5.7 Races mltiples
5.8 Ejercicios
5. METODOLOGIA
-
La metodologa explica la manera de cmo se realizarn las actividades planeadas; se trata de interiorizar
en un mnimo de pasos, la orientacin del quehacer acadmico, en la cual interactan el profesor y el
estudiante para desarrollar actividades antes de las clases, en las clases y despus de las clases a partir de
seminarios, taller, exposiciones, laboratorio, prctica, etc.
La modalidad del curso es presencial y su desarrollo comprende exposiciones por parte del docente
complementadas con talleres de discusin y trabajos por parte de los estudiantes. Se entregar material de
apoyo anticipado para que el estudiante se prepare con anterioridad a la clase, se darn referencias
bibliogrficas de consultas. Se exige la participacin activa de los estudiantes evaluando su capacidad
analtica, y abstraccin.
Se har nfasis en una enseanza basada en la solucin de problemas, pero entendindose al problema
como un enunciado que involucra una serie de actividades que generan procesos de construccin, por
parte del alumno, en una forma activa y dinmica, lo cual conduce a la implementacin de una
metodologa que implica tres grandes momentos:
Trabajo individual.
Trabajo en pequeos grupos.
Trabajo en colectivo.
Esta metodologa pretende:
Que los estudiantes entiendan los propsitos y usos de los conceptos bsicos de Clculo Diferencial o el conocimiento matemtico que estn aprendiendo.
Que aprendan y reconozcan diferentes condiciones bajo las cuales sus conocimientos puedan ser aplicados de manera que en contextos mltiples puedan decidir cundo utilizar la estrategia
adecuada.
Que el alumno se involucre activamente en el desarrollo de las clases.
Lo anterior implica las siguientes fases. Observacin, anlisis y sntesis, acompaado de tcnicas
descriptivas y constructivas. Se utilizaran recursos prcticos tales como ejercicios de aplicacin en el
tablero, talleres en clase y extraclases, exposicin magistral, lecturas, consultas de texto o revistas,
pginas Web en Internet dedicada a el Clculo Diferencial y cursos virtuales de clculo disponibles en la
Red de Internet.
El aprendizaje del Clculo no debe limitarse a un adiestramiento en la resolucin de problemas, por
importante que ste sea, debe completarse la formacin en aspectos como la bsqueda de la belleza y la
armona, la adquisicin de una visin amplia y cientfica de la realidad, el desarrollo de la creatividad y
de otras capacidades personales y sociales.
La fuerte abstraccin simblica, el rigor sintctico y la exigencia probatoria que definen el saber
matemtico, deben tener una menor presencia en las Matemticas aplicadas a las ingenieras.
6. INVESTIGACIN
Es deseable que cada profesor est investigando en el rea de su desempeo y que los estudiantes se
formen en ese espritu.
En lo posible los estudiantes deben elaborar un proyecto que contemple los contenidos y aplicaciones y la
relacin entre las asignaturas y/o ncleos temticos que estn cursando. Si el proyecto no puede ser
elaborado conjuntamente en el desarrollo de la asignatura y/o ncleo temtico se debe elaborar un
proyecto que ponga en prctica los contenidos y aplicaciones de los mismos y la relacin con las otras
asignaturas y/o ncleos temticos.
-
La resolucin frecuente de problemas proporciona adems al alumnado actitudes y hbitos de indagacin,
le facilita tcnicas tiles para enfrentarse a situaciones imprevistas y fomenta su creatividad.
La resolucin de problemas ha de tener una doble consideracin, Por una parte, como bloque de
contenidos, tratar de contenidos matemticos especficos, del uso de la calculadora y/o el ordenador, y
de la toma de conciencia de los procesos mediante los que se ha resuelto un problema determinado. Y por
otra parte, como tema comn prioritario, ha de marcar el cambio metodolgico en el tratamiento de los
otros contenidos, en el sentido de que, siempre que sea posible, el aprendizaje partir del estudio,
participando activamente, de una situacin problemtica, entendindose aqu por situacin problemtica,
una situacin abierta, susceptible de diferentes enfoques, que permita formular preguntas, seleccionar
estrategias heursticas, establecer modelos matemticos y tomar decisiones oportunas.
7. EVALUACIN
La evaluacin antes que evaluar para calificar, tiene como uno de sus propsitos la toma de decisiones es
decir, se evala para decidir si el desarrollo de la asignatura debe ser replanteado o si es necesario buscar,
plantear o implementar nuevas estrategias en el proceso enseanza aprendizaje que se est desarrollando.
La evaluacin debe ser ms un instrumento de investigacin que de calificacin: Puede proporcionar
informacin valiosa sobre el rendimiento de los estudiantes, como estn aprendiendo, por que se
equivocan, donde esta la fuente de los errores ms comunes, etc.
La evaluacin involucra quices, trabajos, talleres, exmenes finales y parciales:
Evaluaciones frecuentes: Responde a los objetivos especficos de cada clase (conferencias, seminarios, clases practicas, trabajos investigativos, etc.), es decir, actividades que desarrollen
los estudiantes.
Evaluacin parcial: Responde a los objetivos especficos de cada tema y sus tipos fundamentales son: la prueba parcial, trabajo extraclases.
Evaluacin final: Responde a los objetivos finales de la asignatura y sus tipos son: examen final, defensa del trabajo de curso (en caso que exista).
Se realizaran dos (2) parciales con valor potencial de 35% cada uno y un examen final con valor del
30%. El primer parcial estar sujeto a una actividad de recuperacin para quienes as lo requieran y el
segundo parcial se har a travs de quices. La nota final es la suma de los porcentajes correspondientes.
Se establecer una hora de consulta semanal cuyo horario y sitio ser fijado en la primera semana de
clases.
8. BIBLIOGRAFIA
PURCELL. Edwin y VARBERG, Dale. Calculo con Geometra Analtica. Mxico: PRINTICE HALL. Hal996. 924P.
ARYA, Jugdish y LARDNER, Robin, Matemticas Aplicadas a la administracin y a las ciencias Biolgicas. Mxico: PRENTICE HALL. 1993.
SWIPKOSWKI, Eart W. Calculo con Geometra Analtica. Mxico Grupo Editorial Iberoamericana 1989 1097P.
APOSTOL, Tom, M CALCULUS. Volumen I. Santaf de Bogot. Editorial Reverte Colombiana S.A 1988 813 P.
SMITH, Robert T. Y Minton. Clculo, tomo I y II. Bogot. Mc Graw Hill 2000. 1342 Pg.
-
ALLENDOERFER, Carl B. Y Oakley. Matemticas Universitarias. Santa fe de Bogot. Mc
Graw Hill 1996. 383 Pg.
Pginas en Internet:
www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/15300/
www.usergioarboleda.edu.co/fondos/libros/mat_diferncial.htm
www.ejerciciosdematematicas.hpg.ig.com.br/cal2/
ASIGNATURA : LGEBRA LINEAL
CODIGO :
REA : CIENCIAS BSICAS
SEMESTRE : I
CREDITOS : 3
1. JUSTIFICACIN
El lgebra Lineal es una tcnica que podemos incluirla dentro del rea de los mtodos cuantitativos.
Fundamentalmente se orienta hacia el manejo de matrices.
Las matrices nos permiten la organizacin y la operacionalizacin de datos que de otra manera no
tendran la importancia que obtienen al incluirlos dentro de una matriz. Una vez que los datos se
encuentran en una matriz, podemos sistematizarlas y trabajar con ellos mediante un computador. El
computador permite no slo el trabajo apropiado con la informacin ubicada en una matriz, sino hacerlo
con matrices de gran tamao que son las que corresponden a situaciones de la realidad y efectuar
operaciones de gran velocidad.
El lgebra Lineal, siendo una herramienta de tipo matricial est ligada a tcnicas como la Investigacin
de Operaciones, dentro de esta tcnica vemos que en programacin lineal y en el mtodo llamado
Simplex su aplicacin es fundamental, lo mismo que en la teora de inventario y en la teora de colas.
Vemos entonces que el lgebra Lineal concentra una serie de herramientas que sern aplicadas en otras
asignaturas, ya que muchos problemas de Ingeniera se pueden tratar mediante matrices.
1. PRESENTACIN
APARICION DEL ANLISIS ESTRUCTURAL
La tendencia hacia una generalizacin cada vez mayor y hacer una abstraccin ms sutil que distingue a
gran parte de las matemticas de la poca reciente de casi todo lo que precedi a 1840. La estructura fue
el resultado final del acelerado avance desde lo particular hacia lo general. El movimiento se puede
observar con claridad tanto en geometra como en lgebra y en Aritmtica.
TRES FASES DEL ALGEBRA LINEAL:
La primera fase est representada por la obra de Prince, que en 1870 trataba de encontrar y exhibir todas
las lgebras Lineales asociativas en un nmero dado (Finito) de unidades fundamentales.
La segunda fase empez en la segunda dcada del siglo XX, continuo en 1920. Durante este perodo el
objetivo era los teoremas generales de aplicacin a todas las lgebras asociativas lineales.
La tercera fase se distingui por la introduccin de conceptos aritmticos como la de los ideales y las
valoraciones en el lgebra abstracta a que dio lugar , contribuyendo a las teoras abstractas final, los
anillos y los campos de nmeros algebraicos introducidos desde haca tiempo a las teoras de las
ecuaciones algebraicas y de los nmeros algebraicos.
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/15300/http://www.usergioarboleda.edu.co/fondos/libros/mat_diferncial.htmhttp://www.ejerciciosdematematicas.hpg.ig.com.br/cal2/
-
EL METODO ABSTRACTO:
Su desarrollo total necesit aproximadamente un siglo, sus avances de la evolucin de todas las
disciplinas matemticas de importancia de la poca reciente, son tpicas; primero el descubrimiento de
fundamentos aislados; despus el reconocimiento de que hay ciertos rasgos comunes a todos ellos.
No se nivela la importancia de la formulacin abstracta ms que cuando se toma como punto de partida
para la creacin deliberada de nuevas matemticas; ciertos postulados de la serie original se suprimen o
se contradicen, y se elaboran las consecuencias de la serie modificada del mismo modo que se elaboran
las de la primitiva.
HACIA LA ESTRUCTURA EN EL LGEBRA
La tendencia general desde 1870 adoptado por casi todas las matemticas parta de la elaboracin
detallada de teoras especiales para llegar a una investigacin d e las relaciones entere las teora mismas.
La obra de Prince ( 1870) estaba dirigida a encontrar principios para la tabulacin completa de las
lgebras lineales asociativas en un nmero finito dado de unidades fundamentales con coeficientes
numricos reales o complejos.
El problema de Prince era equivalente al de mostrar todos los grupos nmeros de smbolos linealmente
independiente (Unidades bsicas o fundamentales) c1 , c2 ..... cn que tienen sistemas cerrados bajo
la multiplicacin asociativa.
A partir de los ltimos aos d e la dcada 1870 -80 hasta fines del siglo, el lgebra Lineal tom
varias decisiones nuevas que en su poca parecieron extraordinariamente prometedoras pero que no han
influido mucho sobre el avance principal.
MATRICES Y DETERMINANTES
Las matrices aparecieron por primera vez hacia el ao 1950, introducidas por el ingls J.Silvestre. Su
desarrollo se debe a W.R.Hamilton y A. Cayly . las matrices aparecen de manera natural en geometra
Estadstica, economa etc.
Tiene una gran utilidad en los estndares de Sistemas de Ecuaciones.
El mundo est lleno de matrices numricos: El horario de los trenes de cada una de las estaciones es una
matriz de doble entrada , la tabla de cotizaciones de la bolsa de cada una de los das de la semana es otra.
As mismo, las tablas de sumar y multiplicar , la disposicin de los alumnos en clase, las casillas de un
tablero de ajedrez, las apuestas de la lotera los puntos de un monitor de ordenador son otros tantos de
ejemplos de la vida cotidiana de matrices.
Actualmente, muchos programas de ordenadores utilizan el concepto de matriz. As las hojas de Calculo
funciona utilizando una inmensa matriz, con ciento de filas y columnas, en cuyas celdas se pueden
introducir formulas para realizar clculos a gran velocidad.
Los elementos de la teora de matrices se incluyen actualmente en todos los cursos universitarios de
lgebra y desde su aparicin en 1925 en la teora de los Guanta, los fsicos matemticos se han
familiarizados con las matrices.
La invencin de las matrices ilustra una vez ms la poderosa y sugestiva que es una notacin bien
ideada; tambin es ejemplo del hecho que algunos matemticos admiten con disgusto de que un artificio
trivial de notacin puede ser el germen de una vasta teora con innumerables aplicaciones. Cayley
-
relat a Tait en 1984 que fue lo que le condujo a las matrices desde luego que no llegu al concepto de
matriz a travs de los cuestionarios; fue directamente a partir del, de los determinantes; o bien como un
modo concerniente de expresar las ecuaciones byaxx 1
dycxy 1
Simbolizando esta transformacin lineal con dos variables independientes por medio de la disposicin
en .cuadro
dc
ba a de sus coeficientes o elementos Cayley se vio conducido a su lgebra de
matrices de n
2 elementos por las propiedades de las transformaciones lineales homogneas de numero
de variable dependientes.
DETERMINANTES
Cayley llam en un principio, en su primer documento de 1945 hiperdeterminantes a los invariantes
algebraicos, ya que entonces consideraba el fenmeno de invariancia algebraica como una
generalizacin de la regla para multiplicar determinantes.
Es posible que ya hacia 1100 a.c. , los chinos resolvieron dos ecuaciones lineales con las incgnitas
empleando una regla equivalente al mtodo corriente de los determinantes y existe una leyenda de que
Seki Kawa (Japons 1642-1708) que igual si no super a Newton, tambin lo hizo hacia 1683. Poco
despus de que Seki hubiera de manera hipottica previsto los determinantes, Lebnis ( 1693) dio un regla
para resolver los sistemas de ecuaciones lineales simultaneas equivalentes al de los chinos. Esta regla fue
ampliada ( 1750) por Cramer ( Suizo, 1704- 1751) y simplificada ( 1764) por E.Bezout ( Francs, 1730-
1763). Pero a pesar de su atractivo como antigedades es difcil ver en ninguno de estos interesantsimos
desarrollo nada que tenga algo que ver con los determinantes.
Las siguientes aportaciones tienen pretensiones ms validas. Vandermonde ( 1735-1796, Francia) mejor
la notacin, aisl (1771) como objeto de estudio independiente a lo que despus se haba de ver que era
determinantes, y dio una exposicin sistemtica de lo poco que entonces se saba . La Granje descubri
en 1773 identidades intiles que mucho despus se reconocieron como casos muy particulares de la
propiedad caractersticas determinantes recprocos, y la place ( 1772) enunci malamente sus reglas para
el desarrollo de un determinante.
En 1812 dio un gran paso hacia delante Binet ( frances, 1786-1856) con las reglas de justificacin, que
bajo hiptesis adecuadas basta para definir los determinantes . El mismo ao Cauchy acometi
finalmente la materia usando la notacin S -+ y dando demostraciones generales de los teoremas
fundamentales. En lo sucesivo los determinantes formaron ya parte del equipo de todos los matemticos
activos, aunque todava faltaba una notacin adecuada. El ao 1841 hace poca en esta materia:
Resumiendo sus investigaciones de varios aos Tacovi present magistralmente los fundamentos,
incluyendo sus propios determinantes funcionales (Jacobina); Kayley invent la atractiva notacin de la
disposicin en cuadro entre barras verticales y la uso muy eficazmente.
Las matrices permiten la organizacin de datos los cuales de por si no aportan una informacin de valor.
Una vez organizados estos datos en una matriz se pueden utilizar en conjunto con la informtica, uso del
computador para agilizar el trabajo con matemticos de gran tamao que son los que corresponden a
situaciones reales.
Con las matrices se pueden realizar una serie de operaciones tales como: Suma, resta, multiplicacin. El
poder utilizarlas en este tipo de operaciones permiten su aplicacin a una serie de campos de la ingeniera
tales como a: Produccin, investigacin de Operaciones y ecologa.
En la produccin se pueden emplear en el clculo del tiempo necesario para elaborar una cantidad
determinada de unidades: Teniendo la matriz de las cantidades de unidades y la matriz de los tiempos
correspondientes a las cantidades producidas en determinados artculos.
En la investigacin de operaciones es de gran aplicabilidad el uso de las matrices, en tcnica de la
investigacin de operaciones tales como la programacin general, y dentro de estas el llamado mtodo
simples, el cual se basa en un modelo construido a partir del uso de matrices.
En Ecologa, ya hablando de la Ingeniera de Medio ambiente, se pueden encontrar aplicaciones de las
matrices, debido ala facilidad para organizar datos que son propios de ella.
Existen matrices que se pueden considerar como especiales entre ellas se encuentran las siguientes:
Matriz Cuadrada, identidad, traspuestas, conjugadas, Simtricas Anticimetricas Hermiticas,
Hantiermiticas .
Matriz Cuadrada: Es aquella que tiene un numero de filas igual al numero de columnas.
-
Matriz Identidad: ES una matriz que de por si es cuadrada y adems los elementos de la diagonal
principal son unos y sus dems elementos son ceros. Esta matriz es de gran aplicacin en campos como la
Investigacin de Operaciones .
La Matriz Transpuestas: Se obtiene a transponer los elementos de una matriz. Se transpone los elementos
de una fila en columna, o tambin se pueden transponer los elementos de una columna en elementos de
una fila.
Matriz Conjugada: Se obtienen matrices cuyos elementos son nmeros complejos . Se deben conjugar
cada elemento de la matriz.
Matriz Simtrica: Tiene la caracterstica que su traspuesta es igual a la misma matriz
Matriz Antisimetrica; Es aquella cuya transpuesta es igual al negativo de la matriz.
Hermitica: Es aquella que tiene sus elementos como nmeros complejos. Adems cumple que la
transpuesta de la conjugada es igual la la conjugada de la transpuesta.
Antihermitica: Es aqulla que tiene sus elementos como nmeros complejos. La traspuesta de la
conjugada es igual al negativo de la matriz.
Las determinantes corresponden a matrices cuadradas. Nos permiten la solucin de sistemas de
ecuaciones lineales, as como tambin el clculo de la inversa de una matriz.
Sistema de Ecuaciones Lineales: Nos permite la solucin de una serie de ecuaciones de tipo lineal.
Su aplicacin a problemas de ingeniera nos permite resolver aquellos problemas que conllevan variables
cuantificables, tales como problemas del campo de produccin o de inventarios.
Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden tratar aplicndoles el concepto de matriz, o sea que las
ecuaciones lineales se puedan llevar a una representacin material y trabajar con esas matrices, obtenidas,
realizando las operaciones que son factibles de realizar con ellas.
Espacio Vectorial. Los vectores se pueden representar mediante matrices. Una matriz de una sola fila o
de una sola columna se puede considerar como un vector.
Los vectores tienen una gran cantidad de aplicaciones en el campo matemtico, se aplican en el campo d
e la fsica en concepto como velocidad, aceleracin, fuerza, campo elctrico, trabajo, es decir tiene una
amplia aplicacin en la fsica.
PROGRAMACIN LINEAL
En los siglos XVII y XVIII, grandes matemticos como Newton, Leibrytz, Bernovilli y. Sobre todo,
lenguaje que tanto haban contribuido al desarrollo de clculo infinitesimal, se ocuparon de obtener
mximos y mnimos, condicionados de determinadas funciones.
Posteriormente el matemtico francs, Jean Baptiste- Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en
intuir, aunque de forma imprecisa los mtodos de lo que actualmente llamamos Programacin Lineal y la
potencialidad de que ello se deriva.
Se llama programacin Lineal al conjunto de tcnicas matemticas que pretenden resolver la situacin
siguiente
Optimizar (Maximizar o Minimizar) una funcin, objetivo, funcin lineal de varias variables sujeta a:
Una serie de restriccin, expresadas por ecuaciones lineales.
Un problema de programacin lineal en dos variables tiene la siguiente formulacin estndar:
Maximizar Z =F(x,y) = ax+by+c
Sujeto a: a1 x + b1 y < c1
a2 x + b2 y < c2
an x+bn y < cn
Pudiendo cambiarse, maximizar por minimizar y el sentido de las desigualdades
La programacin Lineal tiene infinidad de aplicaciones en la industria, la economa, la estrategia militar a
travs de la teora de matrices, estudios de transporte, en la determinacin de produccin.
CONTENIDOS CONCEPTUALES
Matrices: Introduccin a las matrices, tipos de matrices operaciones entre matrices; propiedad de las
matrices.
-
Vectores: Operaciones con vectores; Vectores en Rn Vectores perpendicular paralelos y equivalentes;
longitud o norma de un vector, dependencia e independencia lineal, combinacin Lineal, base y
dimensin de un espacio vectorial, transformacin lineal entre otras.
Solucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales : Mtodos para calcular la matriz inversa, mtodo directo,
mtodo viendo determinantes , Mtodo de Gavis, Mtodo de Grauss-Jordan, Regla de Kramer, etc.
Determinantes: Calculo de los determinantes por mtodos de Sarrus, mtodo de la adjunta, Mtodo de
Ganss, Propiedades, aplicaciones de los determinantes.
Programacin Lineal: Orgenes de la programacin lineal; funcin, objetivo, variables de decisin,
restricciones, Regin Factible, Solucin optima; Problemas de Programacin Lineal; Mtodos para
resolver problemas de programacin.
MAPA CONCEPTUAL
Considerando la aplicacin posterior en los distintos campos de la actividad profesional se considera eje
temtico de la asignatura el planteo y solucin de modelos lineales, lo que involucra como contenido
mnimos los siguientes: Anlisis de la solucin de sistemas de ecuaciones lineales resuelto por distintos
mtodos; los espacios vectorales, la programacin lineal, todo relacionado con las matrices.
3. OBJETIVOS
3.1 OBJETIVO GENERAL
Permitir que los estudiantes de ingeniera ambiental lleguen a conocer, aprender y aplicar los mtodos que
prevee el lgebra lineal a la solucin de problemas concretos relacionados con su especialidad.
3.2 OBJETIVOS ESPECFICOS
Conocer el concepto de matriz
Efectuar operaciones entre matrices
Relacionar las matrices con sistemas de ecuaciones lineales
Encontrar si existe la inversa de una matriz cuadrada
Aplicar las propiedades de la inversa
Conocer los tipos de matrices
Comprender el concepto de la funcin determinante
Utilizar las diferentes formas de clculos de determinantes
Conocer el concepto de adjunta de una matriz cuadrada y sus propiedades
Aplicar la relacin entre el determinante, la adjunta y la inversa de una
matriz cuadradaAplicar la regla de Cramer
Aplicar los diferentes mtodos para la solucin de sistemas lineales a travs de matrices
Comprender el concepto de Vector de los espacios R2 R3 Rn
Aplicar las operaciones entre Vectores y sus propiedades
-
Interpretar los conceptos de dependencia e independencia entre vectores.
Conocer los conceptos de base y dimensin de un especio vectorial
Conocer los conceptos de transformacin lineal y sus propiedades Entender el concepto de programacin lineal
Conocer los mtodos para resolver problemas de programacin lineal
4. CONTENIDO PROGRAMA TICO
1. INTRODUCCIN AL LGEBRA LINEAL Generalidades Concepto de matriz Tipo de matrices El espacio Vectoral de las matrices de orden m x n Igualdad de matrices Suma de matrices Diferencia de matrices Producto de un numero real por una matriz Propiedades Productos de Matrices Producto de una matriz fila, por una matriz columna Producto de dos matrices cualesquiera Propiedades Matriz de la potencia Polinomios de matrices
2. VECTORES Conceptos Igualdad de vectores Suma de vectores Diferencia de dos vectores Vector dirigido Equivalencia de vectores Vectores paralelos, mismo sentido y sentido opuestos Multiplicacin de un vector por un Escalar Norma o longitud de un vector Producto interno o producto Escalar Distancia entre dos vectores Angulo entre un vector y el eje X Angulo entre dos vectores Vector Unitario Propiedades de vectores Combinacin lineal Dependencia e independencia lineal
3. DETERMINANTES Generalidades Clculos de determinantes Propiedades Aplicaciones
4. MATRICES Y RESOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Operaciones elementales entre.......... Mtodo de la matriz escalonada
-
Mtodo de la Matriz escalonada redonda Sistemas inconsistentes Sistemas homogneos o solucin trivial Solucin general y y particular 5.7, Rango de una Matriz Regla de Cramer
5. SOLUCION DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES POR INVERSIN DE MATRICES
Matriz inversa Calculo de la Matriz inversa Mtodo directo Mtodo de Gaws Jordan Mtodo del uso de determinantes
6. PROGRAMA LINEAL Generalidades Formulacin de la Programacin Lineal Determinacin de la regin factible Mtodos para resolver problemas de programacin Lineal
5. METODOLOGIA
El programa se desarrollar siguiendo el mtodo y indicativo y deductivo. Se realizarn en clase
suficiente cantidad de ejercicios de investigacin con participacin activa de los estudiantes. Se harn
trabajos, talleres y lectura buscando reforzar las temticas dadas. Para la obtencin de las calificaciones se
realizan las evaluaciones preestablecidas.
Bajo la premisa que la pedagoga debe centrarse ms en el aprendizaje que el proceso de enseanza se
aplica una metodologa que orienta al estudiante para que sea artfice de la construccin de su aprendizaje
mediante la participacin permanente en todas las actividades del desarrollo curricular.
Sistema De Evaluacin
Se tiene en cuenta el Reglamento Estudiantil de la Universidad de La Guajira
Primera Evaluacin Parcial de 35%
Se obtendr mediante la realizacin de uno o varios exmenes del material visto, actividades de
investigacin, informes de lecturas, sustentacin de trabajos, actividades practicadas por el docente o por
la combinacin de estos medios.
Segunda evaluacin parcial de 35%
Se regir por las mismas normas de la primera; pero si se trata de exmenes nicos, estos podrn o no
incluir la totalidad de la asignatura vista hasta el momento de la realizacin
Evaluacin Final de 30%
Tendr como objeto la evaluacin global o parcial del contenido programtico de la asignatura. Se
realizar una vez terminado el programa . Debe hacerse mediante un examen y la actividad de
investigacin y/o los trabajos prcticos que en todo caso implique el conocimiento total o parcial de la
asignatura y efectivamente desarrollada segn metodologa que consta en el programa,
6. INVESTIGACIN
Los sistemas de ecuaciones agrupadas en matrices contienen diversas variables de un determinado
problema o situacin a resolver en beneficio de la parte afectada. Por lo tanto el lgebra lineal enfocada
como herramienta que contribuye a dar alternativas de solucin a los casos presentados, permite realizar
un anlisis.... de forma dependiente e independiente para tomar la mejor alternativa.
Por lo anterior el estudiante realizar investigacin bibliogrfica sobre los diferentes mtodos para
resolver sistemas de ecuaciones, lineales mediante matrices para conocer el significado de cada resultado.
Posteriormente se le entregan ejercicios de aplicacin donde se utilizan las matrices y programacin lineal
-
para resolver problemas, los cuales deben realizar a travs de talleres de investigacin. Por ltimo, se
plantean casos prcticos y reales del entorno, donde se determinan las variables, ecuaciones mtodo de
obtencin de las respuestas del caso en estudio.
7. PROYECCIN SOCIAL
Teniendo en cuenta que el lgebra lineal es una herramienta fundamentalmente centralizada en el uso de
las matrices, tiene importantes aplicaciones en el campo social.
Las Matrices le permiten no slo a las empresas pblicas y privadas sino tambin a la comunidad en
general, la organizacin y sistematizacin de la informacin, que de otra manera no tendra el significado
y valor que le aportan las matrices.
La informacin de todo tipo como: Economa, Estadstica, Climatologica etc., puede ser llevada a
matrices que permiten darle una importancia que solo no tendran, adems permiten su manipulacin e
interrelacin de una fuente de informacin con otras. Podemos relacionar matrices econmicas con
matrices poblacionales, lo cual nos dara una nueva informacin igualmente valiosa.
8. BIBLIOGRAFA
ANTN, HOWARD. Introduccin al lgebra Lineal
GROSSMAN STANLEY I . Algebra Lineal
CARAKUSHANSKY SEINFELD, MINA DE. Introduccin al lgebra Lineal
LIPSCHUTZ, SEYMOUR. Teora y Problemas de lgebra Lineal
MALTSEN ANTORCY. Fundamentos de lgebra Lineal
SNCHEZ RUBEN-VELASCO ANTONIO. Curso Bsico de lgebra Lineal. Editorial Limusa
BABOLLA, ROSA Y SAENZ, Paloma. lgebra Lineal y Teora de Matrices. Editorial Prentice may
HILL, RICHARD. lgebra Lineal Elemental. Editorial Prentice Hall 1997
HOFFMAN, Kenneth y KUNZE, Ray Editorial Prentice Hall 1987
NOBLE, ben y DANIEL, James, Algebra Lineal aplicada Editorial Prentice Hall. 1990.
SANZ , Paloma-VASQUEZ, francisco Jos- ORTEGA, Pedro. Problemas de lgebra Lineal. Editorial Prentice Hall. 1998.
SOBEL, Max LERNER, Norbert. Algebra. Editorial Prentice Hall 1996
FLOREY, G.G. Fundamentos de lgebra Lineal y aplicaciones. Ediciones Prentice-Hall Internacional
UNIVERSIDAD DEL VALLE. Conferencias de lgebra LinealI Depto. De Matemticas. Cali 1976.
-
ASIGNATURA: BIOLOGA GENERAL
CDIGO:
REA: CIENCIAS BSICAS
SEMESTRE: I
CREDITOS: 3
1. JUSTIFICACIN
Con el transcurrir del tiempo la biologa en sus diferentes ramas han evolucionado en el campo cientfico
y productivo que se ha convertido en una herramienta til en los campo de las ingenieras, principalmente
en la gentica, mecnica, industrial y aun aquellas en que la concepcin biolgica juega un papel
importante en la formacin acadmica, como es el caso de la Ingera Ambiental.
El programa de Biologa, abarca unidades tales como: Citologa, Biofsica, Bioenergtica, Reproduccin,
Gentica, Biomoleculas, enmarcadas dentro de una concepcin investigativa que permite un cabal
entendimiento de la Biologa Aplicada y una mejor comprensin en asignaturas tales como
Microbiologa, Bioqumica, Ecologa, Procesos Biolgicos, Evaluacin de recursos naturales,
contribuyendo as a una formacin slida acadmica del futuro Ingeniero Ambiental y
desarrollando en el estudiante la capacidad de sntesis, anlisis, abstraccin, es por esto y por su
estrecha relacin con los procesos ambientales que se justifica dentro del nuevo curricular. En
resumen podemos afirmar que contribuye a unir:
Slida formacin acadmica a travs del conocimiento bsico de la biologa general.
Desarrollo de la capacidad de sntesis, anlisis, y abstraccin.
Mejor entendimiento de la biologa integrada.
2. PRESENTACION
Este documento, presenta, en forma explicita la estructura y organizacin de los contenidos, el trabajo
interdisciplinario, el desarrollo de la actividad cientfica-tecnolgica, las estrategias pedaggicas, as
como los contextos posibles de aprendizaje para el logro de dichos propsitos y el desarrollo de las
caractersticas y las competencias esperadas; en cuanto, a lo concerniente a la asignatura de Biologa I en
el programa de Ingeniera Ambiental de la Universidad de la Guajira.
Podra pensarse en primera instancia, en lo vivo como objeto de estudio de la Biologa; sin embargo,
hablar de lo vivo sin mas indicaciones resulta ambiguo. De hecho, lo vivo puede ser tomado como objeto
de estudio de muchas otras disciplinas, por ejemplo a la qumica le puede interesar estudiar la estructura
de ciertas protenas que solo se encuentran en los seres vivos.
Incluso la misma caracterstica de vivo que tradicionalmente se ha usado para referirse al objeto de
estudio de la biologa podra ser insuficiente si se consideran ciertos sistemas, sin estar cobijados bajo este
adjetivo, son estudiados en el contexto de esta disciplina. Uno de stos es el ecosistema, el cual no podra
ser considerado como un ser vivo, sino como una agrupacin de ellos, de las interacciones entre s y
con el ambiente no vivo.
Asi mismo se realiza una mirada histrica de los objetos que se han construido desde la biologa, se
encontrara que han variado con el tiempo, junto con las preguntas o problemas a los cuales se ha
intentado dar respuesta.
Sin tener en cuenta un orden cronolgico estricto, podran identificarse tres puntos neurlgicos entorno a
los cuales se han estructurado y han variado estos problemas. Estos puntos son: diferencias entre lo vivo y
lo no vivo, diferencias y semejanzas al interior de lo vivo y finalmente, lo que se gener en torno a la
relacin entre los elementos de la triada informacin del sistema medio-tiempo.
En el momento en que se advirti que dentro de los seres de la naturaleza existen algunos a los que una
cierta organizacin confiere unas propiedades singulares (seres vivos), se empez a configurar un campo
de estudio para el cual encontrar aquellas propiedades era lo esencial. Aunque los seres vivos haban
hecho parte del estudio de los seres de la naturaleza, no se haban evidenciado sus regularidades, las
-
cuales los diferenciaban radicalmente de otros seres de la naturaleza y permitan entre otras cosas acercar
a los animales y a los vegetales. En esta lnea surgieron teoras como la gentica o los estudios sobre la
reproduccin y los ciclos de vida.
En la bsqueda de estas regularidades, tambin empezaron a surgir las diferencias. Los seres vivos
posean caractersticas comunes que permitan diferenciarlos de los no vivos, pero, a su vez, dentro de
ellos mismos se presentaban claras diferencias que aunque no se encontraban en otros seres de la
naturaleza, no constituan la regla de lo viviente.
En principio, estas diferencias eran aquellas que se podan percibir a nivel macro: plantas y animales,
animales acuticos y terrestres, plantas con flores y sin flores, etc. Pero poco a poco, con la
implementacin de nuevas tcnicas de estudio, el mundo microscpico fue haciendo su aparicin y con el
la posibilidad no solo de eliminar nuevos problemas, sino de encontrar nuevas regularidades y nuevas
diferencias. En este contexto la teora celular se constituyo en la cristalizacin de una serie de ideas que
permitieron, por una parte, instaurar a la clula como la unidad funcional, estructural y fisiolgica de los
seres vivos y por otra, ampliar el campo de estudio de la biologa, orientndolo hacia la estructura de los
seres vivos.
Sin lugar a dudas, el giro ms radical desde los eventos que se miran desde la biologa lo introdujo el
estudio de la relacin entre tres elementos: informacin , medio y tiempo. La informacin ya haba sido
identificada como una de las regularidades de los seres vivos, los cuales, ya fuese a nivel macro o
microscpico, posean una informacin gentica que vista de manera aislada les otorgaba un carcter
telenomico: la informacin gentica contiene el proyecto del organismo, de tal forma que cada parte del
mismo posee desde el programa una finalidad, una funcionalidad y una estructura especficas.
Con los trabajos que se cristalizaron en la teora evolutiva de Darwin y los que posteriormente surgieron
en esta misma lnea, se plantearon dos cosas importantes en relacin con los seres vivos: primero, estn
emparentados unos con otros y segundo, han cambiado.
Estos planteamientos mostraban en principio una gran incongruencia, ya que si los seres vivos estaban
emparentados unos con otros y posean la teleonoma que les confera su informacin gentica, el cambio
no tenia cabida, sino que, por el contrario, se esperara un alto grado de fidelidad en la informacin
transmitida de padres a hijos y por ende, una inmutabilidad dentro de las caractersticas de los mismos.
Que los seres vivos han cambiado a lo largo de toda su historia de permanencia en la tierra era una
evidencia irrefutable desde el registro fsil. Ahora bien, dar valor al escenario en el cual han ocurrido
estos cambios, es decir, al medio en el cual han estado los organismos, permita entender este cambio y
romper con la incongruencia. Claro est sin tomarlo como el nico factor determinante sino, por el
contrario, asumindolo como un elemento que interacta constantemente con el tiempo y con la
informacin que posee cada sistema biolgico, ya sea visto como una clula, un individuo, una poblacin
o un linaje.
A medida que el medio se constitua en elemento clave para entender a los seres vivos se introdujeron
nuevos niveles de anlisis: poblacin, comunidad, ciclos biogeoqumicos y sucesin ecolgica, entre
otros, se constituyen en nuevos objeto de estudio para la biologa.
Junto con el planteamiento de nuevos problemas y la construccin de nuevos objetos de estudio, se devela
una regularidad importante: la cantidad de factores que hay que tener en cuenta para abordar una
situacin biolgica experimenta, a la par, con lo anterior, un aumento progresivo. Ya no es suficiente por
ejemplo tener en cuenta los elementos que constituyen un organismo; ahora es tambin importante
encontrar las interacciones entre estos elementos, las nuevas caractersticas que de la interaccin surgen,
las interacciones que bajo estas caractersticas establece el organismo con su medio, as como los factores
que a su vez afectan a los constituyentes del organismo en un momento determinado, etc. De esta manera,
una situacin biolgica se presenta como consecuencia de una amplia variedad de agentes causales que
actan simultneamente y a su vez muy posiblemente estn determinados por otro sinnmero de factores
multivariados; de manera que el abordaje de una situacin biolgica solo puede realizarse en trminos
probabilsticos que permiten afirmar que muy posiblemente, y bajo los factores que se tienen en cuenta,
la situacin descrita ocurra tal como se plantea.
-
No obstante la complejidad de los sistemas biolgicos, existen dos caractersticas o adjetivos comunes
que se consideran cruciales para caracterizarlos y diferenciarlos.
El primero de estos adjetivos describe a los sistemas biolgicos como homeostticos, lo cual marca una
clara diferencia entre stos y los dems sistemas del mundo, ya que pone de manifiesto su capacidad para
mantener las diferencias que los hacen identificables a pesar de sus continuos intercambios de materia y
energa con el medio, mantenindose organizados frente a los cambios del mismo. Al contrario de lo que
le sucede con el resto de sistemas de la naturaleza, que de acuerdo con la segunda ley de la
termodinmica, tienden hacia estados de mxima entropa, probabilidad y desorden molecular, los
sistemas biolgicos constantemente tratan de superar este estado y mantienen su orden a pesar de los
continuos procesos irreversibles en los que participan. Un claro ejemplo de esto lo constituye un
organismo del desierto, el cual puede mantener unas marcadas diferencias en cuanto a concentracin de
solutos y de agua con respecto a su medio ambiente, al contrario de lo que se esperara para un ser no
vivo en las mismas circunstancias.
La homeostasis implica adems considerar los sistemas biolgicos no slo como la suma de varias partes
que pueden lograr la autorregulacin, sino, y quizs con ms importancia, como el resultado de las
interacciones que se establecen entre ellas. las interacciones permiten lograr la autorregulacin y hacen
que el todo posea caractersticas que no se encontraban en las partes, y que no surgen de la simple unin
de stas; a su vez, en las partes se encuentran caractersticas que no se infieren a partir del todo. Esta
interdependencia entre las partes genera un alto grado de complejidad, que se traduce en diferentes
niveles de organizacin. La complejidad no debe ser entendida slo como la presencia de un mayor
nmero de partes, sino como el establecimiento de nuevas interrelaciones entre ellas a medida que se pasa
de un nivel a otro. En cada nivel de organizacin aparecen propiedades emergentes, caractersticas nuevas
que no estaban en el anterior nivel. As pues, las propiedades de cada nivel no son solamente resultado de
la suma de las propiedades de niveles de orden de complejidad menor, sino que poseen caractersticas
propias que solo son apreciables en dicho nivel; de tal forma que pierde sentido interpretar niveles
superiores de organizacin nicamente en trminos de niveles inferiores. Gracias a sus propiedades
emergentes, cada nivel de organizacin puede comportarse como un sistema homeosttico.
Lo anterior, sin embargo, no invalida el hecho de que aquello que e valido para un nivel de organizacin
lo es tambin para los que estn por encima de l. Es decir, todo lo que se diga en el nivel molecular es
aplicable al nivel organismito, aunque no sea suficiente para explicarlo.
Esta mirada permite tomar distancia con un punto de controversia que desde hace varios siglos existe, no
solo para entender lo vivo, sino tambin para trazar las fronteras entre las diferentes disciplinas de las
ciencias naturales. Tal controversia se advierte claramente en el siguiente prrafo:
[] algunos bilogos llegaron a sostener que la nica investigacin biolgica esencialmente significativa
y de hecho realmente cientfica, es la realizada a nivel molecular. En contraste, algunos bilogos
ultraconservadores han afirmado que la biologa molecular puede ser buena fsica o buena qumica, pero
ha contribuido poco al entendimiento de los problemas biolgicos ms importantes (Ayala y Dobzhansky,
1983).
El segundo adjetivo que caracteriza a los sistemas biolgicos podra parecer contradictorio con el
anterior; pero es importante resaltar que es precisamente en esta aparente contradiccin que radica la
esencia de los mismos donde: junto con la capacidad de autorregulacin y homeostasis que tiende a
mantenerlos estables, existe la capacidad de adaptacin, la cual involucra cambios y transformacin y
permite reconocer la diversidad de estrategias que los sistemas biolgicos han desarrollado para tratar de
mantenerse a travs del tiempo. La adaptacin implica cambios, algunas veces dentro de los limites que
impone la informacin, y otras, de manera inesperada, frente a las presiones selectivas del medio. Esta
capacidad ha posibilitado la enorme variedad de organismo existentes en la actualidad y opera gracias a la
interaccin que se da entre los elementos: informacin del sistema, medios y tiempo, triada que ya ha
sido descrita .
Con lo plantado hasta aqu se advierte la necesidad de una mirada ms holstico para delimitar el objeto de estudio de la biologa. Considerar como sistemas a lo que se mira desde ella constituye un primer paso
para atender no solo a la ya descrita complejidad de los sistemas biolgicos, sino, adems, para lograr un
-
acercamiento a los mismos que permita delimitar problemas sin desconocerla. De esta manera, puede
decirse que la biologa estudia los sistemas biolgicos desde sus caractersticas de homeostticos y
adaptables. Estos sistemas sern considerados desde tres perspectivas de abordaje: el estado, las
interacciones y la dinmica.
El estado trata de establecer las caractersticas, condiciones, atributos o entidades que permiten describir
o caracterizar como homeosttico y adaptable a un sistema biolgico en un instante determinado. Dentro
d3e esta perspectiva de abordaje es importante tener en cuenta, tal como ya se sealo, que los sistemas
biolgicos jams presentaran un equilibrio esttico, sino que ms probablemente estarn en equilibrio
dinmico por sus caractersticas homeostticas; razn por la cual hablar del estado de un sistema
biolgico para algunas caractersticas de los mismos involucra pensar en rangos o intervalos. Un
organismo unicelular, por ejemplo, podra sobrevivir en un medio con concentraciones salinas que se
encontraran entre el o,5% y 3%. Por lo tanto, en diferentes momentos el sistema estar en equilibrio
homeosttico y en cualquier valor dentro de este intervalo, se podra hablar del estado del sistema.
Otras caractersticas de los sistemas biolgicos, sobre todo aquellas relaciones con los sistemas de
clasificacin, taxonoma, y filogenia, se ajustan mejor a la descripcin del estado como una fotografa de
un evento en un instante definido, en el sentido de que se corresponden con momentos estticos de dicho
sistema. Un ejemplo de esto lo constituye una situacin en la que se indaga por la posicin un rbol
filogentico los organismos X, Y y Z dadas unas relaciones evolutivas entre ellos.
Aquellas caractersticas de los sistemas biolgicos que solo pueden ser vistas cuando un elemento del
sistema se relaciona con otro, son fundamental en la mirada de las interacciones. Las interacciones en los
sistemas biolgicos son de vital importancia, ya que a partir de ellas surgen las propiedades emergentes
que caracterizan los diferentes niveles de organizacin biolgica. Solamente al considerar las
interacciones se pueden determinar aquellas caractersticas que permiten diferenciar un nivel de de
organizacin de otro, e incluso aquellos sistemas que, a pesar pertenecer al mismo nivel de organizacin,
muestran diversidad entre ellos. Claro ejemplo de esto lo constituye la fotosntesis, caractersticas de
algunos sistemas biolgicos que solo puede ser abordada a partir de las interacciones entre diferentes
elementos (molculas, organelos, potenciales de membrana, entre otros) de un sistema llamado clula
vegetal.
La dinmica, por su parte, se constituye en una mirada global sobre los posibles estados del sistema, as
como las transformaciones que se den entre los mismos de un intervalo de tiempo: tiene que ver con el
seguimiento tanto de aquellas caractersticas del sistemas que cambian como de las que permanecen. As
pues, la dinmica de los sistemas biolgicos puede ser asumida desde dos niveles: el ontogentico y el
filogentico, los cuales no solo se diferencian entre si por las escalas de tiempo que manejan, sino adems
por los niveles de complejidad biolgica desde los cuales se realizan sus respectivos anlisis y por la
caracterstica de los sistemas biolgicos de la que se pretende dar cuenta en cada uno de ellos.
De esta manera, el nivel ontogentico se hace referencia con las caractersticas homeostticas de un
sistema biolgico individual: una clula, un organismo, unito sistema. El nivel filogentico por su parte,
hace referencia a los procesos de adaptabilidad y evolucin que han sufrido las comunidades de
descendencia o grupos de clulas, organismos o ecosistemas, emparentados unos con otros.
En la enseanza de la biologa, se han presentado algunos problemas, dentro de los cuales se han
realizado varias investigaciones educativas (Garca,1991, Caballer y Jimnez,1992 y Giordan, 1988)
sealan que muchos estudiantes apelan a explicaciones mecanicistas, antropocntricas, animistas,
reduccioncitas y holistas extremas que desconocen la complejidad, inclusividad e interdependencia de los
sistemas biolgicos. As, por ejemplo se presentan casos en los que se piensa que un organismo puede ser
entendido simplemente a travs de lo que hace cada una de sus clulas; o que un ecosistema puede ser
asumido como la suma de un organismo y su medio. Tambin se presenta casos en los que se equipara el
funcionamiento de algunas maquinas y organizaciones sociales con el de los sistemas biolgicos; u otros
en los que se desconoce la interdependencia que existe entre los diferentes niveles de organizacin
biolgica.
As mismo, son frecuentes los casos en que la enseanza de la biologa se limita al aprendizaje y
memorizacin del nombre de las estructuras, categoras taxonmicas (vertebrados-invertebrados),
categoras fisiolgicas (aerobios-anaerobios), categora ecolgicas (productor-consumidor), etc. Sin hacer
-
nfasis en las caractersticas que lo asemejan y diferencian; en sntesis, que les permiten comportarse
como sistemas biolgicos.
De acuerdo con todo lo anterior, se consideran los siguientes referentes para la evaluacin en biologa, los
cuales, a pesar de estas comunalidades, presentan especificidades frente a cada uno de los puntos
planteados, como se advertir a continuacin:
La clula como nivel bsico de organizacin biolgica, debe ser entendida en dos sentidos.
El primero de ellos responde a la caracterstica inclusiva de los sistemas biolgicos y se presenta cuando
la clula es asumida como la base necesaria para entender los niveles que se encuentran por encima de
ella. El funcionamiento de un organismo no podra ser entendido sin entender el nivel celular; incluso,
muchos fenmenos propios del nivel ecosistmico, como, por ejemplo, la incorporacin de energa en las
cadenas troficas, tienen su base en el nivel celular. Es importante notar, sin embargo, que si bien tambin
para los que estn por encima de el, en ningn momento un nivel inferior podra explicar
satisfactoriamente uno superior, y de esta manera, aunque la clula sea necesaria para entender los niveles
organsmicos y ecosistemicos, jams podr explicarlo completamente.
Asumir a la clula de esta manera constituyo la idea ms fuerte que permiti, por una parte, romper con el
vitalismo que haba presidido la fundacin de la biologa y, por otra, poner en un punto accesible el
anlisis de la vida misma. Con las ideas vitalistas para distinguir los seres vivos de los objetos
inanimados, era necesario ver en cada ser una totalidad indivisible; de tal forma que la vida deba residir
en el ser considerado por entero y no en sus constituyentes, con lo cual era muy difcil cualquier anlisis o
interpretacin de este fenmeno.
Que una clula es homeosttico y adaptable se evidencia claramente en los organismos unicelulares, los
cuales no solo cumplen con todos los procesos metablicos y de intercambio de materia y energa que
caracterizan a los dems sistemas biolgicos, sino que adems han logrado permanecer, casi podra
decirse, desde sus inicios en la tierra, ya que los primeros organismos que, al parecer la habitaron eran
organismos unicelulares.
Ahora bien, si se centra la atencin en las tres perspectivas de abordaje desde las cuales se puede analizar
una clula, se encontrara que dar cuenta del estado de un sistema celular implica mirar aquellas
caractersticas fisicoqumicas y morfolgicas, intra y extracelulares, que le permiten actuar como un
sistema homeosttico en un instante determinado o como partes del sistema homeosttico ms complejos,
as como aquellas caractersticas que permiten ubicarlas en una jerarqua taxonmica o en una comunidad
de descendencia determinada. Es pertinente hablar, por ejemplo, desde esta perspectiva de abordaje, de
las caractersticas de los organelos, el ncleo, el citoplasma, la membrana celular, las concentraciones
moleculares e inicas intra y extracelulares, los espectros de absorcin lumnica de los cloroplastos, las
fase mittica o meitica en la que se encuentra la clula y la presencia o no de vesculas en un instante
determinado bajo unas condiciones dadas.
Mirar las interacciones, por su parte, involucra no solo aquellas caractersticas de la clula que la
diferencian de otros niveles de organizacin biolgica, sino tambin aquellas que, sin superar las fronteras
del nivel celular, evidencian diversi9dad en el interior de ste. En el primer grupo de caractersticas se
encuentran, por ejemplo todos aquellos aspectos relacionados con la replicacin y expresin gentica, la
energtica celular, la entrada y salida de sustancias de la clula y la reproduccin celular. En el segundo
grupo por su parte se encuentran, entre otros, tpicos relacionados con las diferencias entre auttrofos y
hetertrofos, procariotas y eucariota, meiosis y mitosis, anaerobios y aerobios. As mismo, la mirada sobre
las interacciones de un sistema celular puede corresponder al establecimiento de aquellas interrelaciones
que a nivel celular permiten y de hecho son necesarias para que se presenten otras en los niveles de
orden de complejidad mayor. (Organismito y ecosistemico).
Desde la dinmica se consideran los diferentes estados homeostticos o adaptables por los que puede
pasar una clula, en un intervalo de tiempo determinado, ante modificaciones en el ambiente intra y/o
extracelular. Esta perspectiva de abordaje se ocupa, por ejemplo, de eventos relacionados con el
seguimiento de los diferentes estados por los que puede pasar una clula, un organelo o una estructura
-
cuando ocurren procesos como la divisin celular, la fotosntesis, la respiracin o los procesos de
adaptacin o mutacin, para el caso de un linaje celular.
Finalmente, y en relacin con la enseanza de la biologa, varias investigaciones han mostrado que para
los alumnos constituye un punto de difcil entendimiento el concepto de que el funcionamiento de las
clulas es la base para entender el funcionamiento del organismo, ya que al parecer existe dentro de ellos
la idea de que las clulas son piezas (a modo de ladrillos) que hacen parte de la estructura de los seres
vivos pero no unidades implicadas en los procesos biolgicos, y menos aun que se constituyen en la
mnima unidad en la que se encuentran todas las caractersticas de lo vivo, que cumplen con todas las
funciones vitales, y que por ello es posible la existencia de organismos unicelulares o incluso, con
tcnicas adecuadas, la obtencin de un organismo completo a partir de cualquiera de sus clulas.
El nivel organsmico constituye el nivel inmediatamente superior al celular, de esta manera dentro de l se advierte un aumento en la complejidad biolgica, la cual, como se recordar, No debe ser
entendida slo como el aumento en el nmero de estructuras, en este caso clulas, que hacen parte
del sistema, sino sobre todo como un aumento en el nmero de interrelaciones que se establecen
entre ellas y, como consecuencia de esto, en el nmero de propiedades nuevas que surgen en este
nivel en relacin con el anterior. El organismo ya no puede ser considerado como un conjunto de
clulas sin interconexin entre si, sino mas bien como un sistema conformado por un conjunto de
clulas, las cuales, a pesar de cumplir las mismas funciones, establecen una relacin tal, que la
existencia del sistema depende de la interrelacin de sus partes y no del funcionamiento de cada una
de ellas por separados.
La mnima unidad desde la cual tiene sentido hablar, a nivel organsmico, es el tejido, entendido como un
conjunto de clulas organizadas e interrelacionadas estructural y funcionalmente; aunque no sea esta la
nica categora de anlisis, ya que dentro del organismo existen otras asociaciones celulares que
tambin se comportan como unidades funcionales y morfolgicas, como es el caso de los rganos y los
sistemas fisiolgicos.
Ahora bien, en relacin con las perspectivas de abordaje, el estado, en este nivel, tiene que ver con las
caractersticas tanto morfolgicas como fisiolgicas de un organismo, que le permiten actuar en un
instante determinado como un sistema homeosttico. As pues, desde esa perspectiva de abordaje se
pueden analizar aquellos tpicos que tienen que ver, por ejemplo, con las caractersticas de un tejido en
un momento determinado de un proceso, las concentraciones de ciertas sustancias en el torrente
sanguneo en un momento determinado y bajo un estimulo especifico, entre otros.
Las interacciones, por su parte hace referencia a las propiedades que se generan cuando se interrelacionan
entre si los diferentes elementos que hacen parte del sistema para mantenerlo en equilibrio homeosttico.
La principal interrelacin que se abarca en esta perspectiva de abordaje tiene que ver con los procesos de
diferenciacin celular, especficamente, con la forma como las diferentes clulas del organismo
interactan entre si para cumplir con las funciones vitales.
La dinmica permite el seguimiento de dos tipos de procesos: por una parte, los procesos homeostticos
y, por otra, los de desarrollo ontogentico. En los primeros se realiza una mirada global sobre los
diferentes estados (y la forma como intenta mantenerse la homeostasis en cada uno de ellos) por lo que
puede pasar un organismo en un intervalo de tiempo determinado cuando se modifican su estructuras o
procesos, o ante cambios en el medio ambiente. En los segundos, por su parte, la mirada se centra en los
diferentes estados por los que pasa un organismo en su ciclo de vida.
En el nivel organsmico carece de sentido hablar de la dinmica del sistema en trminos filogenticos, ya
que un anlisis filogentico involucra considerar especies y poblaciones y no organismos aislados.
Finalmente, y en relacin con la enseanza de este referente, durante mucho tiempo esta se centro de la
anatoma de los organismos; basada, por ejemplo, con saber el listado completo de los huesos del crneo,
los nombres de las venas y arterias que recorren el cuerpo o las partes del aparato digestivo de los
rumiantes para afirmar que se era competente en biologa. A pesar de que hoy en da la anatoma a cedido
espacio a otras ramas de estudio, muchos estudiantes siguen apelando ella como la nica herramienta
disponible para caracterizar a los organismos. As, por ejemplo las estructuras de locomocin son
-
sealadas por los estudiantes como la principal diferencia entre los vertebrados acuticos y terrestres,
desconocindose aspectos tales como el equilibrio hdrico y qumico o los mecanismos de intercambio
gaseoso.
El nivel ecosistemico es el de mayor complejidad biolgica, ya que incluye, adems de las propiedades de los niveles anteriores sus propias propiedades emergentes. De esta manera, el
ecosistema, adems de constituir un nivel en el cual algunas de sus propiedades tiene su base en los
niveles de orden de complejidad menor, tambin es un territorio desde el cual emergen propiedades
y caractersticas que no estaban en este nivel y que solo adquieren sentido a partir del mismo.
Ms que un conjunto de factores biticos y abiticos, el ecosistema adquiere su singularidad como
sistema biolgico a travs de las interacciones que se g