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*DEPARTAMENTO ACADMICO DE CIENCIASF S I C A 1CINEMTICA 2Autor: Segundo Lizardo Gallardo ZamoraTrujillo-2013

MOVIMIENTO DE PROYECTILES*Segundo L. Gallardo Zamora*El anlisis de este movimiento se simplifica si no se consideran la resistencia del aire, la curvatura ni la rotacin de la Tierra.Para facilitar el anlisis hacemos coin-cidir el plano del movimiento con el Plano (X,Y), de forma tal que el pro-yectil se mover simultneamente en direccin horizontal (paralelo al eje X) y en direccin vertical (paralelo al eje Y).Figura 1. Plano de movimiento del proyectilMOVIMIENTO BIDIMENSIONALTrayectoria del movimiento

Segundo L. Gallardo Zamora

En el plano (X,Y) la velocidad inicial Vi del proyectil se puede descom-poner en las dos componentes como se muestra en la Fig.2.*Segundo L. Gallardo Zamora* Un movimiento rectilneo hori-zontal uniforme, cuyo desplazamiento en cualquier instante esta determinado por: Una velocidad inicial horizontal : Vi x = Vi cos (1)Estas velocidades dan lugar a dos movimientos rectilneos si-multneos que son:y un movimiento rectilneo vertical uniformemente variado, cuyo desplazamiento en cualquier instante est determinado por:y = Vi y t - g t2y una velocidad inicial vertical: Vi y = Vi sen (2)Figura 2. Componentes de la Velocidad inicial(x, y)MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL


Por otra parte, si en la Ec.(3) despejamos el tiempo y reemplazamos en la Ec.(4), simplificando se obtiene:haciendo:A = ( tan ) MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL*Segundo L. Gallardo Zamora*Obtenemos: y = A x B x2 (7)Que es la ecuacin de la curva denominada parbola, razn por lo cual a este movimiento tam-bin se le denomina parablico.Figura 3. Trayectoria parablica de un proyectil


Como la ecuacin (7) es cuadrtica, se demuestra que el proyectil alcanza la altura Y en dos posiciones horizontales X diferentes que son:Debido a que la componente vertical del movimiento del proyectil es un MRUV de cada libre, podemos usar todas las ecuaciones de este movimiento para calcular su posicin y velocidad en cualquier instante.La posicin X1 cuando est en ascensoy la posicin X2 cuando est en descenso.MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL*Segundo L. Gallardo Zamora*Figura 4. Dos posiciones horizontales x a la misma altura y


Altura mxima ( ym = H ). Es la altura que alcanza el proyectil cuando su velocidad de ascenso (vertical final) es cero: ( Vfy = 0), tal como se ilustra en la Fig.5. Esta altura se obtiene usando: Pero en la figura se tiene: yi = 0, yf = ym y Vf y = 0. Por lo tanto:2 g( ym 0) = ( Vi sen ) 2 ( 0)En la altura mxima la velocidad horizontal del proyectil es la misma que en el punto de lanza-miento (Vx = Vi x ), razn por la cual, el proyectil sigue movin-dose horizontalmente hacia la derecha recorriendo la otra mi-tad de la trayectoria2 g( yf yi ) = ( Vi y ) 2 ( Vf y )2MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL*Segundo L. Gallardo Zamora*Figura 5. Altura mxima del proyectil


Alcance o Rango ( xm = D ). Es la distancia horizontal mxima que se desplaza el proyectil hasta retornar al nivel del punto de lanzamiento, tal como se ilustra en la Fig.6.Donde t es el tiempo de vuelo del proyectil que es igual a dos veces el tiempo t de ascenso o descenso: t = 2 t t = Vi (sen ) / gEl alcance se obtiene usando la ecuacin: xm = D = Vi (cos ) t (Xm, 0)El tiempo t de ascenso hasta la altura mxima se obtiene haciendo Vf y = 0 en la Ec:Vf y = Vi (sen ) g t = 0MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL*Segundo L. Gallardo Zamora*Figura 6. Alcance del proyectil


Ejemplo 1: Desde la parte ms alta del acantilado de la Fig.7, que est a 125 [m] sobre el agua, se lanza un proyectil con una velocidad ini-cial de 223,2 [km/h] y un ngulo de tiro de 47 sobre la horizontal. Calcular: a) la altura mxima que se eleva el proyectil respecto al agua, b) su alcance, c) el instante y la velocidad del proyectil cuando impacta en el agua. Solucin:Datosa) La altura mxima lo odemos cal-cular usando la Ec.(11) o la Ec.(4), cuando Vf y =0. ym = 229,79 mMOVIMIENTO BIDIMENSIONAL*Segundo L. Gallardo Zamora*Figura 7. Lanzamiento de un proyectil


b) El alcance D se obtiene usando valores en la Ec.(12).D = 390,89 mc1) El instante t de impacto del proyectil en el agua, (Fig.8), se obtiene usando yf = 0, y dems valores en la ecuacin:( yf yi ) = Vi (sen ) t g t2yf = 0(0 125) = 62 (sen 47) t ( 9,81) t2MOVIMIENTO BIDIMENSIONALEsta es una ecuacin cuadrtica del tipo: A x2 + B x + C = 0cuya solucin se obtiene mediante la frmula:*Segundo L. Gallardo Zamora*Figura 8. Alcance del proyectil


Por lo tanto: Donde: Vf x = Vi x = 62 cos 47 = 42,28 m/s y usando la Ec: 2 g (yf yi ) = (Vi y)2 (Vf y)2Donde elegimos la raz negativa: Vf y = 67,15 m/s, porque el pro-yectil est descendiendoyf = 0MOVIMIENTO BIDIMENSIONALc2 ) La velocidad de impacto en el agua, (Fig.9), se puede calcular usando:De donde elegimos la raz positiva: t = 11,47 s*Segundo L. Gallardo Zamora*Figura 9. Velocidad del impacto del proyectil


Datos:yi = 45 m, Vi = 122.4 km/h = 34 m/s, = 35, yf = 52 [m](yf yi ) = Vi (sen ) t g t2MOVIMIENTO BIDIMENSIONALEjemplo 2. Desde la azotea del edificio de la Fig.10, que est a 45 m de altura, se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 122.4 km/h y un ngulo de tiro de 35 sobre la horizontal. Cuando el proyectil est a 52 m sobre el suelo calcular: a) el instante en que pasa por esa posi-cin, b) la distancia horizontal recorrida, c) el vector posicin y d) su velocidad en tal posicin.de mdulo: Vf = 79,35 m/s y direccin: = tan-1(6715/42,28) = 57,8*Segundo L. Gallardo Zamora*Figura 10. Instantes en que el proyectil pasa por y2 = 52 m


(52 45) = 34 (sen 35) t ( 9.81) t2tftfObtenindose la ecuacin cuadrtica:Cuya solucin se obtiene me-diante la frmula:De donde se obtienen los dos tiem-pos que se indican en la Fig.11.9,81 t2 39,0 t + 14 = 0MOVIMIENTO BIDIMENSIONALFigura 11. Ubicacin del proyectil en dos instantes diferentes de su vuelo.

b) Una forma de calcular la distancia horizontal por donde pasa el proyectil cuando alcanza la altura y = 52 [m] se obtiene usando valores en la ecuacin de la trayectoria.Cuya solucin es:MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL*Segundo L. Gallardo Zamora*


de donde obtenemos dos distancias horizontales, que corresponden a los puntos 1 y 2 de la Fig. 12, que estn a la misma altura. Estas son:MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL*Segundo L. Gallardo Zamora*Figura 12. Dos posiciones diferentes para la misma altura del proyectilPregunta: Demuestre cul sera la otra forma de obtener X1 y X2?


c) Los vectores posicin del proyectil en cada punto (x,y) de la trayec-toria son:de mdulo : r1 = 53,17 [m] y direccin: 1 = tan-1 ( 52 /11,11 ) = 77,9de mdulo : r2 = 112,38 [m] XYy direccin: 2 = tan-1 ( 52 /99,62 ) = 27,6MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL*Segundo L. Gallardo Zamora*Figura 13. Vectores posicin del proyectil en las dos posiciones correspondientes a la misma altura


d) La velocidad del proyectil en cada posicin (x,y) de los punto 1 y 2 de la Fig.14 est definida por:2 g ( yf yi ) = (Vi y )2 (Vf y )2Donde la componente horizontal de la velocidad es constante en cualquier posicin y est dada por: Vx = V1x = V2x = 34 cos 35 = 27,85 m/sPara obtener la componente vertical de la velocidad en cada punto usamos los valo-res de y en la ecuacin: 2 (9,81) ( 52 45 ) = (34 sen 35)2 (Vf y )2XYMOVIMIENTO BIDIMENSIONAL*Segundo L. Gallardo Zamora*Figura 14. Velocidades totales del proyectil en las dos posiciones correspondientes a la misma altura1


Despejando la incgnita se tiene:Donde elegimos la raz positiva para el primer punto. V1 y = + 15,59 m/sPorque, en el punto 1 de la Fig.15 vemos que en x1 = 11,11 m el proyectil est ascendiendo, lo cual significa que la componente vertical de la velocidad debe ser positiva.Por lo tanto, la velocidad total en el punto 1 es:de mdulo: V1 = 31,92 [m/s] y direccin : 1= 29,2MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL*Segundo L. Gallardo Zamora*Figura 15. Velocidad total del proyectil en la primera posicin correspondiente a la misma altura1


con mdulo: V2 = 31,92 m/sy direccin : 2 = 29,2Ejercicio N 03.Una pequea esfera rueda sobre una mesa horizontal a razn de 42 [cm/s] y cae por el borde, que est a 95 [cm] de altura sobre el suelo. Calcular: a) la distancia horizontal, respecto al borde, donde impactar la esfera en el suelo, b) la velocidad de la esfera en el momento de impacto y c) el tiempo que demor la esfera en impactar en el suelo.Para el segundo punto elegimos la raz negativa. V1y = 15,59 m/s Porque, segn la Fig.16 vemos que en el punto 2, donde x2 = 99,62 m, el proyectil est descendiendo. LuegoMOVIMIENTO BIDIMENSIONAL*Segundo L. Gallardo Zamora*Figura 16. Velocidad total del proyectil en la segunda posicin correspondiente a la misma altura


2. Las componentes de la velocidad de lanzamiento de un proyectil son V1x = 35 [m/s] y V1y = 28 [m/s]. Calcular: a) la posicin y velocidad del proyectil despus de 0,8 [s] de ser lanzado, b) la velocidad del proyectil cuando est a una altura de 9 [m], c) la altura mxima que asciende el proyectil, d) el alcance mximo y e) el tiempo de vuelo del proyectil.

3. Un proyectil se dispara con una velocidad inicial Vi y un ngulo de tiro de 30 sobre la horizontal desde una altura de 40 m por encima del suelo. El proyectil choca contra el suelo con una velocidad igual a 1,2 Vi. Determinar Vi.MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL*Segundo L. Gallardo Zamora*Continuamos en Cinemtica 34. Un proyectil se dispara de tal forma que su alcance horizontal es igual a tres veces su altura mxima. Cul es el ngulo de tiro?5. Un jugador de ftbol patea una lata horizontalmente desde un mont-culo de 40,0 m de alto cerca a un estanque. Si el jugador escucha el chapoteo 3,00 s despus, cul es la rapidez inicial dada a la lata? Suponga que la rapidez del sonido en el aire es 343 m/s.


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