CINEMTICA

FSICA I

CONCEPTO DE CINEMTICAEstudia las propiedades geomtricas delas trayectorias que describen loscuerpos en movimiento mecnico,independientemente de la masa delcuerpo y de las fuerzas aplicadas.

1 . SISTEMA DE REFERENCIA

Para describir y analizar el movimiento mecnico,

es necesario asociar al observador un sistema de

coordenadas cartesianas y un reloj (tiempo). A

este conjunto se le denomina sistema de

referencia.

2. MOVIMIENTO MECNICO

Es el cambio de posicin que experimenta un cuerpo respecto de

un sistema de referencia en el tiempo. Es decir, el movimiento

mecnico es relativo.

3. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECNICOa) MvilEs el cuerpo que cambia de posicin respecto de un sistemade referencia. Si el cuerpo no cambia de posicin, se diceque est en reposo relativo.b) TrayectoriaEs aquella lnea continua que describe un mvil respecto de un sistema de referencia. Es decir la trayectoria es relativa. Si la trayectoria es una lnea curva, el movimiento se llama curvilneo y si es una recta, rectilneo.

c) Recorrido (e)

Es la longitud de la trayectoria entre dos puntos (A y B).

d) Desplazamiento (d)

Es aquella magnitud vectorial que se define como el cambio deposicin que experimenta un cuerpo. Se consigue uniendo laposicin inicial con la posicin final. Es independiente de latrayectoria que sigue el mvil.

e) Distancia (d)

Es aquella magnitud escalar que se define como el mdulo delvector desplazamiento. Se cumple que:

4. MEDIDA DEL MOVIMIENTO

a) Velocidad media (Vm)

Es aquella magnitud fsica vectorial, que mide la rapidez del cambiode posicin que experimenta el mvil respecto de un sistema dereferencia. Se define como la relacin entre el vectordesplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente.

EJEMPLO:

Una mosca se traslada de la posicin A (2;2) a la posicin B(5; 6) en

0,02 segundo, siguiendo la trayectoria mostrada. Determinar la

velocidad media entre A y B.

b) Rapidez Lineal (RL)

Es aquella magnitud fsica escalar que mide la rapidez del cambio

de posicin en funcin del recorrido. Se define como la relacin

entre el recorrido (e) y el intervalo de tiempo correspondiente.

5. MOVIMIENTO RECTILNEO

El mvil describe una trayectoria rectilnea respecto de un sistema

de referencia.

En esta forma de movimiento, la distancia y el recorridotienen el mismo mdulo, en consecuencia el mdulo de lavelocidad media y la rapidez lineal tienen el mismo valor.

6. MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME (M.R.U.)

Es aquel tipo de movimiento que tiene como trayectoria una lnearecta, sobre el cual el mvil recorre distancias iguales en tiemposiguales. Se caracteriza por mantener su velocidad media constanteen mdulo, direccin y sentido, durante su movimiento.

a) Velocidad (V)

Es aquella magnitud fsica vectorial que mide la rapidez

del cambio de posicin respecto de un sistema de

referencia. En consecuencia la velocidad tiene tres

elementos: mdulo, direccin y sentido. Al mdulo de la

velocidad tambin se le llama RAPIDEZ.

b) Desplazamiento (d)

El desplazamiento que experimenta el mvil es directamente

proporcional al tiempo transcurrido.

c) Tiempo de encuentro (Te)

Si dos mviles inician su movimiento simultneamente en sentidos

opuestos, el tiempo de encuentro es:

d) Tiempo de alcance (Ta)Si dos mviles inician su movimiento simultneamente en el mismo sentido, el tiempo de alcance es:

CINEMTICA (MRUV)

QU ES EL MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTEVARIADO?

Es un movimiento mecnico que experimenta un mvil donde la

trayectoria es rectilnea y la aceleracin es constante.

QU ES LA ACELERACIN?

Es una magnitud vectorial que nos permite

determinar la rapidez con la que un mvil

cambia de velocidad.

EJEMPLO:

Un mvil comienza a moverse sobre una trayectoria horizontal

variando el mdulo de su velocidad a razn de 4 m/s en cada 2

segundos. Hallar la aceleracin.

RESOLUCIN:

POSICIN DE UNA PARTCULA PARA EL M.R.U.V.

La posicin de una partcula, que se mueve en el eje x en el

instante t es.

ECUACIONES DEL M.R.U.V.

TIPOS DE MOVIMIENTO

I. ACELERADO

El signo (+) es para un movimiento acelerado (aumento de

velocidad).

II. DESACELERADO EL signo () es para un movimiento desacelerado(disminucin de velocidad).

OBSERVACIN:Nmeros de Galileo

EJEMPLO:Un mvil que parte del reposo con MRUV recorre en el primersegundo una distancia de 5m. Qu distancia recorre en el cuartosegundo?

MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME

Hemos expresado la posicin x de un objeto como una funcin deltiempo t indicando la funcin matemtica que relacionaba a x y a t.Luego se obtuvo su velocidad calculando la derivada de x conrespecto a t. Finalmente, se calcul la aceleracin a de un objetoderivando la velocidad con respecto al tiempo t. Un movimientorectilneo uniforme es aqul en el cual la velocidad es constante, portanto, la aceleracin es cero (la derivada de una constante es cero).

La funcin desplazamiento es la integral de la funcin velocidad queen este caso es constante v ( t ) = C, por tanto el desplazamiento ser

x ( t ) = xo + v . t , donde x0 ser la posicin inicial del mvil

MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

Si un objeto se mueve con aceleracin constante en una sola

dimensin Existe alguna forma de ir de a a v y luego a x ? S, por

un proceso llamado integracin. Dada la aceleracin podemos

obtener la funcin velocidad integrando la aceleracin y dada la

velocidad podemos obtener la funcin desplazamiento integrando

la velocidad.

La funcin velocidad es la integral de la aceleracin a ( t ) = C , por

tanto la velocidad ser v ( t ) = v0 + a . t . La funcin desplazamiento

es la integral de la velocidad, por tanto:

Esta es la expresin general de la posicin de un objeto enel caso del movimiento en una dimensin con aceleracinconstante, donde x0 es la posicin inicial del objeto.

CADA LIBRE

Si permitimos que un cuerpo caiga en vaco, de modo que laresistencia del aire no afecte su movimiento, encontraremos unhecho notable: todos los cuerpos independientemente de sutamao, forma o composicin, caen con la misma aceleracinen la misma regin vecina a la superficie de la Tierra. Estaaceleracin, denotada por el smbolo g , se llama aceleracinen cada libre

Si bien hablamos de cuerpos en cada, los cuerpos conmovimiento hacia arriba experimentan la misma aceleracin enmagnitud y direccin. El valor exacto de la aceleracin en cadalibre vara con la latitud y con la altitud. Hay tambinvariaciones significativas causadas por diferencias en ladensidad local de la corteza terrestre, pero este no es el casoque vamos a estudiar en esta seccin.

Las ecuaciones vistas en la seccin anterior para unmovimiento rectilneo con aceleracin constante pueden seraplicadas a la cada libre, con las siguientes variaciones:

Establecemos la direccin de la cada libre como el eje Y y tomamoscomo positiva la direccin hacia arriba.+

Reemplazamos en las ecuaciones de un movimientouniformemente acelerado a la aceleracin por -g , puesto quenuestra eleccin de la direccin positiva del eje Y es hacia arriba,significa que la aceleracin es negativa.

Reemplazamos en las ecuaciones de un movimientouniformemente acelerado a la aceleracin por -g , puesto quenuestra eleccin de la direccin positiva del eje Y es hacia arriba,significa que la aceleracin es negativa.

En la grfica podemos observar la direccin de los vectores aceleraciny velocidad, de un objeto que ha sido lanzado hacia arriba con unavelocidad inicial; en el primer instante (bola a la izquierda) notamos queel vector velocidad apunta hacia arriba, en el sentido positivo del eje Y,mientras el vector aceleracin ( g ) tiene una direccin hacia abajo, enel sentido negativo del eje Y. En el segundo instante cuando el objetocae (bola a la derecha) la direccin de la velocidad es hacia abajo en elmismo sentido del desplazamiento y el vector aceleracin ( g ) mantienesu misma direccin, en el sentido negativo del eje Y.

Con estas variaciones las ecuaciones resultan ser:

a ( t ) = - g

v ( t ) = v0 - g

MOVIMIENTO PARABLICO

Llamamos movimiento parablico a la trayectoria de un objeto que

describe un vuelo en el aire despus de haber sido lanzado desde

un punto cualquiera en el espacio. Si el objeto tiene una densidad

de masa suficientemente grande, los experimentos muestran que, a

menudo, podemos despreciar la resistencia del aire y suponer que

la aceleracin del objeto es debida slo a la gravedad. Como de

costumbre, vamos a definir el eje x como horizontal y el +y en la

direccin vertical hacia arriba. En este caso la aceleracin es a = -g . j

, entonces:

Supongamos que un proyectil se lanza de forma que su velocidad

inicial v0 forme un ngulo q con el eje de las x , como se muestra

en la figura:

Descomponiendo la velocidad inicial, obtenemos lascomponentes iniciales de la velocidad:

Para deducir las ecuaciones del movimiento parablico, debemospartir del hecho de que el proyectil experimenta un movimientorectilneo uniforme a lo largo del eje x , y uniformementeacelerado a lo largo del eje y . De esta forma tenemos que:

Si derivamos estas ecuaciones obtenemos la aceleracin y siintegramos obtenemos el desplazamiento:

Eliminamos el tiempo de las ecuaciones del desplazamiento x e y ,obtenemos la ecuacin de la trayectoria :

y = ax2 +bx +c

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Examinaremos ahora el caso especial en que una partcula se

mueve a velocidad constante en una trayectoria circular. Como

veremos, tanto la velocidad como la aceleracin son de magnitud

constante, pero ambas cambian de direccin continuamente. Esta

situacin es la que se define como movimiento circular uniforme.

Para el movimiento en crculo, la coordenada radial es fija ( r ) y el

movimiento queda descrito por una sola variable, el ngulo , quepuede ser dependiente del tiempo (t). Supongamos que duranteun intervalo de tiempo dt, el cambio de ngulo es d.

La longitud de arco recorrida durante ese intervalo est dada por ds

= r d. Al dividir entre el intervalo de tiempo dt, obtenemos unaecuacin para la rapidez del movimiento:

De donde d/dt es la rapidez de cambio del ngulo y se definecomo la velocidad angular, se denota por y sus dimensiones seexpresan en radianes por segundo (rad/s) en el SI. En terminos de

w, tenemos que:

v = r w

Una cantidad importante que caracteriza el movimiento circular

uniforme es el perodo y se define como el tiempo en que tarda el

cuerpo en dar una revolucin completa, como la distancia recorrida

en una revolucin es 2pir, el perodo T es:2 pi r = v T

La frecuencia es el nmero de revoluciones que efecta la partcula

por unidad de tiempo, por lo general es 1 segundo. La unidad en el

SI es el hertz (Hz), que se define como un ciclo por segundo. La

frecuencia es el inverso del perodo, esto es:

ACELERACIN CENTRPETA

Aunque la rapidez es constante en el caso del movimiento circularuniforme, la direccin de la velocidad cambia, por lo tanto, la aceleracinno es cero.

Sea P1 la posicin de la partcula en el tiempo t1 y P2 su posicin en eltiempo t2. La velocidad en P1 es V1, un vector tangente a la curva en P1.La velocidad en P2 es V2, un vector tangente a la curva en P2. Losvectores V1 y V2 tienen la misma magnitud V , ya que la velocidad esconstante, pero sus direcciones diferentes. La longitud de la trayectoriadescrita durante t es la longitud del arco del punto P1 a P2, que es iguala r. ( donde q esta medida en radianes ), la velocidad es la derivada deldesplazamiento con respecto al tiempo, de esta forma:

r . = V . t

Podemos ahora trazar los vectores V1 y V2 de tal forma que se

originen en un punto en comn:

Esta figura nos permite ver claramente el cambio en la velocidad al

moverse la partcula desde P1 hasta P2 . Este cambio es: V1 - V2 =

VYa que la direccin de la aceleracin promedio es la misma que la

de V, la direccin de a est siempre dirigida hacia el centro delcrculo o del arco circular en el que se mueve la partcula. Para un

movimiento circular uniforme, la aceleracin centrpeta es:

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO

Cuando el movimiento es uniformemente acelerado, existe una

aceleracin angular, y se define como la razn instantnea de cambio de

la velocidad angular:

Las unidades de la aceleracin angular son radianes por segundo al

cuadrado. Si la aceleracin angular es constante, entonces la

velocidad angular cambia linelmente con el tiempo; es decir,

= 0 + a t

donde w0 es la velocidad angular en t = 0. Entonces, el ngulo est

expresado por

(t) = 0 + 0 t + a t

EJERCICIOS

1. (15) Dos coches partieron al mismo tiempo uno de A con direccin a B y elotro de B con direccin a A, cuando se encontraron haba recorrido el primer

coche 36 km ms que el segundo. A partir del momento en que se encontraron. El

primero tard 1 hora en llegar a B y el segundo 4 horas en llegar a A. Hallar la

distancia entre A y B.

1 2

1 2

X + 36 x

Durante

Final2 1

etotal = 2x + 36

(I)

e2 = V2 x T2 = X

e1 = V1 x T1 = X + 36

(II)

e2 = V1 x T2 = (V1) (1h)e1 = V2 x T1 = (V2) (4h)

A B

e1 e2

De la ecuacin I

e2 = X = V2T

e1 = X + 36 = V1T Cuando se encuentran T2 = T1 = T

V2 = X

T

V1 = X + 36

T

Reemplazando en las ecuaciones II

e2 = X = (V1) (1h) = (X + 36) (1) X + 36 = X T T= X + 36

T X

e1 = X + 36 = (V2) (4h) = X (4)

T

Reemplazo III

X + 36 = ( X2 ) (4) 4 X 2 = (X + 36)2 (raz) X = 36

X + 36

etotal = 2 x + 36 = 2(36) + 36 = 108 m

2. (17) Un mvil parte del reposo con una aceleracin constante de 10/ms2,luego de transcurrir cierto tiempo, el mvil empieza a desacelerar en forma

constante con a = 5 m/s2 hasta detenerse, si el tiempo total empleado es de 30

segundos. Cul es el espacio recorrido?.

V0 VfT1 T2

e1 e2

X

Ttotal = 30 Seg

T1 + T2 = 30 Seg

X = e1 + e2

Para el primer tramo

Vf1 = V0 a T1

Vf1 = 0 + (10) T1

Vf1= 10 T1 (I)

e1 = (V0) (T1) + 1 (10) (T1)2

2

e1 = 1 (10) (T1)2

2

Para el segundo tramo

Vf = Vi aT

Vf = Vf1 aT

0 = 10 T1 (5) (T2) .

Reemplazo (I)

T2 = 2T1 (II)

Como T1 + T2 = 30 .. (a)

T1 + (2T1) = 30 reemplazo II en a

3T1 = 30 T1=10

T2 = 20

Se cumple:

e2 = (Vf1) (T2) 1 (5) (T2) 2

2

e2 = (10 T1) (T2) 1 (5) (T2)2

2 reemplazo (I)

Sumando e2 y e2e1 + e2 = 10 T1 T2 ( 1 ) (5) T2

2 + 5T12

2

X = 10 (10) (20) ( 1 ) (5) (20)2 + (5) (10)2

2

X = 1500 m

3. Una piedra lanzada en un planeta hacia arriba alcanza 100 m de altura,mientras que lanzada en la Tierra con la misma velocidad alcanza 20 m. Qu

distancia recorrer en dicho planeta una piedra soltada de 400 m de altura en

el ltimo segundo de su cada?

Planeta X

Vf = 0

h

V1

Para la tierra:

Vf2 = V0

2 2ge

02 = (V1)2 - 2(g) (100) -- raiz

V1 = 20 m/s (I)

hmax = 100 m

Gravedad

+ -

Vf = V1 gt ---- Vi = V1

0 = 20 10 T

T = 2 Seg

Planeta Tierra

Hmax = 20 m

Vf = 0

h

V1

Para el planeta X:

Vf2 = V0

2 2 ge

02 = (V1)2 - 2 (g) (100)

202 = 2(g) (100)

g = 2m/s2

1er Tramoe = V0t + 1 gt2

2400 X = 0 +1 (2) (T-1)2

2

400 X = (T-1) (I)Vf = V0 + gtV1= 0+(2) (T-1)V1 = 2 (T-1)V1 = 2 (20 1) = 38 m/s

(II)

V0=0

400-x

4. (19) Un mvil recorre la trayectoria mostrada en la figura con una rapidezconstante en el tramo AB y una aceleracin de 6m/s2. Con otra rapidezconstante en el tramo BC y aceleracin de 5 m/s2. Hallar el tiempo quedemora en el recorrido total ABC.

Para AB

V = Cte

a = 6m/s2

r = 6 m

Para BC

V = Cte

a= 5m/s2

Sabemos: ar = v2 , donde V = velocidad lineal

r

Para AB:

V2 = ar * r

VAB2 = (6) (6)

VAB = 6 m/s

Para BC:

V2 = ar * r

VBC2 = 5 * 5

VBC = 5 m/s

Sabemos que S = .rPara AB:1) SAB = () ( 6 ) = 6

2) SAB = e = vt 6 = VT16 =(6)T1 T1 = Seg

Para BC:

1) SBC = () (5) = 5 2) egvT 5 = 51T1 T2 = Seg

Ttotal = T1 + T2 = 2 Seg

5. (16) Hallar las velocidades V1, y V2. Si lanzadas las partculassimultneamente chocan como muestra la figura.

Para 1

M. Horizontal

e = V T

10 = V1 T (I)

Para 2

M. Horizontal

e = V T

30 = V2 T (II)

VY = 0

Vx

Vx

Vx

Vy

Vy

Vy

En y:

H = V1T + 1 (10) T2

2

180 = 1 (10) T2

2

III en I y II

V1 = 10 = 5 m/s

6 3

V2 = 30 = 5 m/s

6

T = 6 (III)