modulo.04.cinematica parte 3 u.central.2009

8/11/2019 Modulo.04.Cinematica Parte 3 u.central.2009

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Módulo.04-Complemento de Física-prosec.de estudios-U.Central – e.contreras.z-2009 1

UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE

FAC. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

PROSECUCIÓN DE ESTUDIOS.

MOVIMIENTO PARABOLICO.

Cuando una pelota de golf es elevada por el aire luego de haber sido golpeada por un jugador, estadescribe un movimiento parabólico, de modo que su desplazamiento es tanto horizontal como tambiénvertical. Este movimiento es posible describirlo de la siguiente manera:

• Tiene un movimiento horizontal que es uniforme (velocidad constante), con el supuesto que no existerozamiento con el aire.

• Su movimiento vertical es acelerado ya que está permanentemente bajo la influencia de la fuerza degravedad.

Se ve por tanto como el principio de Galileo se cumple estrictamente en este movimiento: "cuando uncuerpo es sometido simultáneamente a dos movimientos, cada uno de éstos se cumple

independientemente".

Las ecuaciones del movimientode proyectiles se obtienenutilizando el principio deindependencia de losmovimientos en los ejeshorizontal y vertical, yconsiderando naturalmente queel tiempo que tarda el cuerpo endesplazarse horizontalmente esigual al tiempo que ocupa el

cuerpo en moverseverticalmente desde la mismaposición de lanzamiento.

• En el eje horizontal el cuerpo se mueve con velocidad constante: x = vox t = vx t (1)

• En el eje vertical el cuerpo está sometido a la aceleración de gravedad entonces:

2

o oy

1y y v t gt

2− = − (2)

De la figura se obtiene que las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial son:

vox = vo cos θ (3) y voy = vo sen θ (4)

sustituyendo (3) en (1) se obtiene,

x = vo cos θ · t (5) (ecuación de la posición horizontal para cualquier tiempo )

Sustituyendo ahora (4) en (2),

2

o o

1y y v sen ·t g t

2− = θ − (6)

MODULO DE FISICA Nº4

CINEMATICA DE LA PARTICULA – PARTE 3.

LANZAMIENTO DE PROYECTILES

PROF. EUGENIO CONTRERAS Z.

y xv 0 v=

y

xmáx

ymáx

yv

xv

yv v

θ’

xv

yv

v

θ’ xv

yv

ox xv v=

ov

θ

v

x

θ




Alcance horizontal máximo: en la figura, el alcance horizontal máximo ocurre cuando y = yo , es decir:

2

o

10 v sen ·t g t

2= θ − ⇒ o

v

2v sent

g

θ= (7) (tiempo de vuelo del proyectil)

Además el alcance horizontal máximo ( xmáx ) sucede cuando el tiempo empleado es el tiempo de vuelo,es decir:

En (1) xmáx = vo cos θ · t V = oo

2v senv cos ·

g

θθ =

2

o2v sen cos

g

θ θ

Como sen 2θ = 2 sen θ · cos θ , entonces:2o

max

v sen 2x

gθ= (8)

Con esta última expresión se puede comprobar que el máximo alcance de un proyectil es para un ángulode 45°.

La velocidad vertical depende del tiempo transcurrido desde el lanzamiento y de la componentevertical de la velocidad inicial, es decir:

vy = voy - g t , ya que se comporta como un movimiento uniformemente acelerado.

Entonces: vy = vo sen θ - g t . (9)

Altura máxima que alcanza el pr oyectil. ( Ymáx )

Cuando el proyectil alcanza la altura máxima, la componente vertical final de la velocidad es nula .

Por lo tanto, considerando la ecuación 2 2

y oy ov v 2g( y y )− = − − y haciendo vy = 0 ( velocidad en el

punto más alto ), entonces el proyectil alcanza la altura máxima, es decir y = ymáx.

Luego, 2

oy max ov 2g( y y )− = − − ⇒

2

oy

max o

vy y

2g= + .

La altura máxima, el tiempo de vuelo y el alcance horizontal del proyectil dependen exclusivamente de lavelocidad inicial y del ángulo de lanzamiento.

EJEMPLO 1.

Una pelota sale rodando del borde de una mesa de 1,25[m] de altura. Si cae al suelo en un punto situadoa 1,5[m] del pie de la mesa, ¿qué velocidad llevaba la pelota al salir de la mesa?

SOLUCION.

yo = 1,25 m ; y =0x = 1,5 m

La ecuación del movimiento de la pelota es 2

o o(y)

1y y v ·t g·t

2− = −

Como sólo tiene velocidad inicial vox , y su posición vertical final es cero, entonces el tiempo que tardaen llegar al suelo es:

21 1,250 1,25 ·10· t t 0,5 s.

2 5− = − ⇒ = =

La ecuación del movimiento horizontal es x = xo + vx·t con vx = vox = vo cos 0 = vo

Entonces: 1,5 = 0 + vo · 0,5 ⇒ vo = 3 (m/s) .




EJEMPLO 2.

Un avión bombardero está volando horizontalmente a una altura de 1,2 km con una velocidad de180 km/hr.

a.) ¿cuánto tiempo antes de que el avión esté sobre el blanco debe dejar caer la bomba.b.) ¿Cuál es la velocidad de la bomba 10 s después de soltarla?c.) ¿Cuál es la velocidad de la bomba cuando se encuentra a 200 m de altura y cuando llega al

suelo?d.) ¿Cuál es la distancia horizontal cubierta por la bomba?

e.) ¿Cuál es el ángulo que forma con el eje horizontal la velocidad de la bomba al llegar al suelo?

SOLUCION.

a) v = 180 km/hr = 50 m/s.La velocidad de la bomba es la misma del avión,es decir,vo = vx = 50 m/s. ; vo(y) = 0yo = 1,2km = 1200 m. ; y =0

2

o o(y)

1y y v ·t g·t

2− = −

2

1 12000 1200 ·10·t t 15,49 s.2 5− = − ⇒ = =

b) t = 10 s

y o(y)v v g·t− = −

y yˆv 0 10·10 v 100 j (m / s)− = − ⇒ = −

2 2 2 2

x yv v v v 50 ( 100) 111,8(m / s)= = + = + − =

c) y = 200 m. ; yo = 1200 m.

2

o o(y)

1y y v ·t g· t

2− = −

21 1000200 1200 ·10·t t 14,14s.2 5

− = − ⇒ = =

y o(y)v v g·t− = −

y yˆv 0 10·14,14 v 141,4 j (m / s)− = − ⇒ = −

cuando llega al suelo t = 15,49 seg., entonces:

y o(y)v v g·t− = −

y yˆv 0 10·15,49 v 154,9 j (m / s)− = − ⇒ = −

2 2 2 2

x yv v v v 50 ( 154,9) 162,77(m / s)= = + = + − =

d) x = vx · t

x = 50 · 15,49 ⇒ x = 774,5 m.

e)y 1

x

v 154,9tg tg 72,11º

v 50

− ⎛ ⎞θ = ⇒ θ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⇒ θ = -72,11º

vo

yo

x

y =0

xv

yv

v

θ




EJEMPLO 3.

Un proyectil es disparado formando un ángulo de 45º con la horizontal, sobre un móvil que viaja a 20 m/sen dirección al punto de lanzamiento del proyectil. Cuando se encontraba a 2042 m del punto delanzamiento, aplica los frenos simultáneamente con el disparo del proyectil, con una retardación de 1,25m/s2. Al detenerse se devuelve simultáneamente con una aceleración constante a2, alejándose delpunto de lanzamiento del proyectil. Si a pesar de eso el proyectil impacta al móvil al cabo de 20 s de serdisparado, determinar:

a.) La velocidad inicial con que fue disparado el proyectil.

b.) La distancia recorrida por el móvil desde el momento que fue disparado el proyectil hasta quefue impactado.c.) La aceleración a2.

SOLUCION.a.) xo = 2042 m

tv = 20 seg.(tiempo de vuelo)

La ecuación de itinerario del proyectil es

2

o oy

1y y v · t g· t

2− = −

Si y = yo = 0 , voy = vo sen 45 y t = tv , entonces:

o ov o2v sen45º t ·g 20·10t v

g 2sen45º 2sen45º= ⇒ = = ⇒ ov 141, 42(m / s)=

b.) luego de efectuado el desplazamiento del móvil hacia la izquierda con a = -1,25 m/s2,

xp : desplazamiento del proyectil

xp = vox · t = vo cos45 · txp = 141,42 cos45 · 20 = 2000 m.

x1 :desplazamiento del móvil hacia la izquierda.

2 2 22 2 a

a 1 1

v v 0 20v v 2·a·x x

2a 2·( 1,25)

− −− = ⇒ = =−

⇒ x1 = 160 m.

Al desplazarse el móvil hacia la derecha conaceleración "a2", la distancia recorrida hastaque sea impactado por el proyectil es:

xa = x1 + x2 = 160 + ( 2000 - 1882 )

xa = 278 m .

c.) t1:tiempo para recorrer x1

a1

v v 0 20t 16 s.

a 1,25

− −= = =

−

t2 :tiempo para recorrer x2.

t2 = 20 - 16 = 4 s.

luego, 2

2 o(2) 2 2 2

1 1x v ·t ·a ·t 0 ·a ·16 118

2 2= + = + =

⇒ a2 = 14,75 m/s2 .

va

45º

vo

xo

Inicialmente:

v=0

45º

vo

xo

x1

45º

vo

xo x1

x2




EJEMPLO 4.

Un cañón está situado en lo alto de un arrecife a una altura de 400 pies. Dispara un proyectil con unavelocidad de 786 pies/s haciendo un ángulo de 30º con la horizontal. Calcular el alcance (distanciahorizontal desde el pié o base del arrecife) del cañón. Si un auto se dirige directamente al arrecife a unavelocidad de 60 millas/hr a lo largo de un camino horizontal. ¿A qué distancia debe estar el auto delarrecife para ser impactado por el proyectil?( 1 milla = 1609 m ; 1 pie = 30,48 cm ; g = 32,2 pies/s2. )

SOLUCION.yo = 400 pies.y = 0vo = 786 pies/s

θ = 30ºva = 60 millas/hr = 88 pie/sg = 32,2 pies/s.

o(y) ov v sen30º 786sen30º 393 pie / s= = =

2

o o(y)

1

y y v · t g· t2− = −

2 210 400 393·t ·32,2· t 16,1t 393 t 400 0

2− = − ⇒ − − =

2( 393) ( 393) 4·16,1·( 400)t

2·16,1

− − ± − − −= ⇒ ( t = 25,39 s ; t = -0,98 s )

luego, x = vx · t = vo cos 30º · t

x = 786 cos 30º · 25,39 ⇒ x = 17282,9 pies.

b.) xa = va · t = 88 (pies/s) · 25,39 s ⇒ xa = 2234,32 pies.

Luego, desde el arrecife debe estar a,

x + xa = 17282,9 + 2234,32 = 19517,2 pies.

va

30º

yo

vo

x




EJERCICIOS PROPUESTOS.

1.) Desde el borde de una mesa, se lanza horizontalmente un cuerpo A, con cierta velocidad inicial, ysimultáneamente se deja caer desde el mismo punto un cuerpo B. ¿Cuál de los dos llega primeroal suelo?

2.) Una pelota sale rodando por el borde de una escalera con una velocidad horizontal de 1,08 m/s. Silos escalones tienen 18 cm de altura y 18 cm de ancho, ¿cuál será el primer escalón que toque lapelota? R: 2

3.) Una piedra se lanza horizontalmente, a 8 m/s, desde un risco de 78,4 m de altura. ¿Cuán lejos dela base del risco caerá la piedra?. R: 31,7 m

4.) Un puente tiene una altura de 176,4 m sobre un río. Si un pescador lanza un anzuelo con unapesa, a una velocidad horizontal de 22 m/s, ¿qué desplazamiento horizontal tendrá el anzuelo alcaer al agua?

5.) Un proyectil es lanzado horizontalmente desde una altura de 36 metros con velocidad de 45 m/s.Calcular:a) El tiempo que dura el proyectil en el aire.b) El alcance horizontal del proyectil.

c) La magnitud de la velocidad que posee el proyectil al llegar al suelo.d) R: 2,68 [s] ; 120,7[m] ; 52,37[m/s]

6.) Desde un bombardero que viaja con una velocidad horizontal de 420 km/hr a una altura de 3500 mse suelta una bomba con el fin de explotar un objetivo que está situado sobre la superficie de laTierra. ¿Cuántos metros antes de llegar al punto exactamente encima del objetivo debe ser soltadala bomba, para dar en el blanco?. R: 3.086,7 m

7.) a) Si un objeto, inicialmente en reposo, cae desde una altura de 490 m, ¿cuánto tiempopermanecerá en el aire?

b) Si el objeto tuviera una velocidad horizontal de 200 m/s cuando comienza a caer, ¿cuálsería su desplazamiento horizontal antes de tocar el piso.?

8.) Un carro de juguete inicialmente en reposo, que viaja sobre una mesa de 1225 m se cae al llegaral borde. Si el carro cae a 0,4 m de la base de la mesa,a) ¿cuánto tiempo le tomó caer al piso?b) ¿cuál era su velocidad horizontal?

9.) Los clavadistas de Acapulco se lanzan desde un risco, a una altura de 61[m] sobre el mar. Si hayrocas en el agua hasta una distancia de 23[m] de la base del risco, ¿cuál es la velocidad horizontalmínima que deben tener los clavadistas al lanzarse al agua para no chocar con las piedras? R: 6,53 m/s.

10.) Un cazador acostado en el suelo, lanza una flecha con un ángulo de 60° sobre la superficie de la

Tierra y con una velocidad de 20 m/s . Calcular:a) Altura máxima que alcanza la flecha.b) Tiempo que dura la flecha en el aire.c) Alcance horizontal de la flecha.d) R: 15,3 m ; 3,53 s ; 35,34 m

11.) Un bateador golpea la pelota con un ángulo de 35° y le proporciona una velocidad de 18 m/s.a) ¿Cuánto tarda la pelota en llegar al suelo?b) ¿A qué distancia del bateador cae la pelota?R: 2,06 s ; 30,44 m




12.) Un jugador de tejo lanza el hierro con un ángulo de 18° y cae en un punto situado a 18 [m] dellanzador. ¿Qué velocidad inicial le proporcionó al tejo?. R:17,51 m/s

13.) ¿Con qué ángulo debe ser lanzado un objeto para que el alcance máximo sea igual a la altura quealcanza el proyectil?. R: 75,96°

14.) Un bateador golpea una pelota con un ángulo de 35° y es recogida 6 s más tarde. ¿Qué velocidadle proporcionó el bateador a la pelota?. R: 51,25 m/s

15.) Calcular el ángulo con el cual debe ser lanzado un proyectil para que el alcance sea máximo.R: 45°

16.) Un motociclista desea atravesar un riachuelo de 12 m de ancho, utilizando la pequeña pendiente(aproximadamente 15º ) que hay en una de las orillas.a) ¿Qué velocidad debe llevar la moto en el instante en que salta?. R: 15,33 m/sb) Si la moto se acelera a razón de 1,2 m/s2, ¿qué distancia debe impulsarse para saltar con la

velocidad justa? R: 97,9 m

17.) Un proyectil se dispara a un ángulo tal, que la componente vertical de la velocidad inicial es de49 m/s. La componente horizontal de la velocidad inicial es de 61 m/s.a) ¿Cuánto tiempo permanecerá en el aire el proyectil?

b) ¿Qué distancia horizontal recorrerá?c) ¿Cuál será la velocidad inicial del proyectil?d) R: 9,8 s ; 597,8 m; 78 m/s 39° sobre la horizontal.

18.) Un cuerpo, con una rapidez inicial de 40 m/s, se proyecta hacia arriba desde el nivel del piso,con un ángulo de 50º con la horizontal. (a) ¿Cuánto tiempo transcurrirá antes de que el cuerpogolpee el suelo? (b) ¿,A qué distancia del punto de partida golpeará el suelo? (c) ¿Cuál será elángulo con la horizontal con el cual se realizará el choque? R. (a) 6,3 s; (b) 161 m; (c) 50º.

19.) Un cazador apunta a una ardilla que se encuentra en la rama de un árbol. En el momento que éldispara su rifle, la ardilla se deja caer de la rama. Demostrar que la ardilla no debió moverse sideseaba seguir viviendo.

20.) Un aeroplano vuela horizontalmente a una altura de 1 km y con una velocidad de 200 km/h.Deja caer una bomba que debe caer en un barco que viaja en la misma dirección a unavelocidad de 20 km/h. Demostrar que la bomba debe dejarse caer cuando la distanciahorizontal entre el aeroplano y el barco es de 707 m. Resolver el mismo problema para el casoen el cual el barco se está moviendo en la dirección opuesta.

21.) Un astronauta sobre un planeta extraño encuentra que puede saltar una distancia horizontalmáxima de 15 m si su rapidez inicial es 3 m/s. ¿Cuál es la aceleración de caída libre sobre elplaneta?. R : 0, 6 m /s2

22.) Un proyectil se dispara de tal manera que su alcance horizontal es igual a tres veces su máximaaltura. ¿Cuál es el ángulo de disparo?. R: 53,1º

23.) Un bombero a 50 m de un edificio en llamas dirige elchorro de agua de una manguera a un ángulo de 30°sobre la horizontal, como se muestra en la figura. Si larapidez inicial de la corriente es 40 m/s, ¿a qué altura elagua incide sobre el edificio?. R: 18,7 m.

d

h

iv

θi




24.) Un cañón que tiene una velocidad de orificio de 1000 m/s se usa para iniciar una avalanchasobre la pendiente de una montaña. El blanco se encuentra a 2000 m del cañón horizontalmente ya 800 m sobre el cañón. ¿A qué ángulo, sobre la horizontal , debe dispararse el cañón?.R: 22,4º ó 89,4º

25.) Se lanza una pelota desde la ventana del piso más alto de un edificio. Se da a la pelota unavelocidad inicial de 8 m/s a un ángulo de 20° bajo la horizontal. La pelota golpea el suelo 3 sdespués. a) ¿A qué distancia horizontal, a partir de la base del edificio, la pelota golpea elsuelo? b) Encuentre la altura desde la cual se lanzó la pelota. c) ¿Cuánto tiempo tarda la

pelota para alcanzar un punto 10 m abajo del nivel de lanzamiento?.R: 22,6 m , 52,3 m , 1,18 s.

26.) Un jugador de tenis parado a 12,6 m de la red golpea la bola a 3° sobre la horizontal. Paralibrar la red la pelota debe elevarse al menos 0,330 m. Si la pelota apenas libra la red en elpunto más alto de su trayectoria, ¿cuán rápido se estaba moviendo la bola cuando ésta dejó la ra-queta?. R: 48,6 m/s

27.) Una estrategia en las guerras con bolas de nieve es lanzar una primera bola a un gran ángulosobre el nivel del suelo. Mientras su oponente está viendo esta primera bola de nieve, usted lanzauna segunda a un ángulo menor y cronometrada para que llegue a su oponente, ya sea antes o almismo tiempo que la primera. Suponga que ambas bolas de nieve se lanzan con una rapidez de

25 m/s. La primera se lanza a un ángulo de 70º respecto de la horizontal. a.) ¿A qué ángulo debelanzarse la segunda para llegar al mismo punto que la primera?. b) ¿Cuántos segundos despuésdebe lanzarse la segunda bola para que llegue al blanco al mismo tiempo que la primera?.R: a) 20º , b) 3,05 (s)

28.) Un obús de artillería se dispara con una velocidad inicial de 300 m/s a 55° sobre la horizontal.Explota sobre una ladera 42 s después del disparo. ¿Cuáles son las coordenadas x e y delobús donde éste explota, en relación con su punto de disparo?. R: x = 7230 m , y = 1680 m

29.) En la figura se muestra un barco enemigo que está en el lado oeste de una isla montañosa. Elbarco enemigo puede maniobrar hasta 2500 m de distancia de la cima del monte de 1800 m dealtura y puede disparar proyectiles con una rapidez inicial de 250 m/s. Si la orilla oriental de laplaya se encuentra horizontalmente a 300 m de la cima ¿cuáles son las distancias desde la orillaoriental a las cuales un barco puede estar fuera del alcance del bombardeo de la embarcaciónenemiga?. R: 3480 m < d < 270 m

BIBLIOGRAFIA: Física general, FREDERICK J. BUECHE. Física, Tomo I, RAYMOND A. SERWAY.

vi = 250 m/s1800m

2500m 300m

iv

θHθL

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