cinematica editex

VAMOS A CONOCER…

1. Sistema de referencia

2. ¿Qué es el movimiento?

3. La trayectoria

4. Magnitudes vectoriales

5. Distancia recorrida y vectordesplazamiento

6. Velocidad media

7. Movimiento rectilíneo uniforme

8. La aceleración

9. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

10. Caída libre

11. Movimiento circular uniforme

6

¿QUÉ SABES DE ESTO?1. Un automóvil pasa a las once de la mañana por el km 15 de una carretera. Si al mediodía

está en el kilómetro 90, ¿cuál fue su velocidad? Expresa esa cantidad en unidades del SI.

2. De las siguientes gráficas, señala la que describe mejor tu actividad en un día de clase,desde que sales de tu casa por la mañana hasta que regresas a primera hora de la tarde.

3. Si dejas caer una hoja de papel arrugada y otra lisa desde una cierta altura, ¿cuál caeantes? ¿Por qué?

3 · Formula1 · El movimiento

15h8h tiempo

Distancia recorrida

15h8h tiempo

Posición respectoa tu casa

15h8h tiempo

Posición respectoa tu casa

15h8h tiempo

Distancia recorrida

01 Fis-Quim 4ºESO 9/1/2008 08:14 Página 6

Primeros versos de la Iliada (I 1-7)

Canta, diosa, la cólera del Pelida Aquiles

funesta, pues que tantos males a los

aqueos causó

y muchas almas valerosas mandó de

cabeza al Hades

de héroes, a quienes hizo presa de los

perros

Y

La Ciencia que estudia el movimiento de los objetos se deno-mina Cinemática. Y se puede decir que la Física nace cuan-do el científico italiano Galileo Galilei descubre, en el siglo XVII,la ley que rige la caída de un objeto en la superficie de laTierra.En esta unidad didáctica se definen las magnitudes que des-criben el movimiento de los objetos sin entrar en las causasque los producen.


8 Física y Química Y

1. Sistema de referenciaEn el transcurso de un viaje se suele preguntar por la distancia que se harecorrido, por la que falta por recorrer, si se va deprisa o despacio o a lahora que se llegará a un determinado lugar.

Para contestar a esas preguntas, y en general en el estudio del movimiento,se deben relacionar las distancias y los lugares que ocupan los objetos conel tiempo transcurrido.

En primer lugar hay que situar a los objetos y para ello hay que relacionar-los con otros objetos que se eligen como referencia.

Un punto se puede situar sobre una línea, sobre el plano o en el espacio.En todos los casos hay que elegir otro punto respecto del que se describenlas posiciones denominado origen del sistema de referencia.

Para localizar un punto en una línea recta, en el plano o en el espacio seutiliza un sistema de referencia cartesiano.

Para la descripción del movimiento se necesita conocer el instante en el queun objeto ocupa una posición determinada, y por ello también hay que ele-gir un origen para el tiempo. En general, el origen de tiempo coincide conel instante en el que comienza la observación.

AP-7

225km

a Los hitos kilométricos de las carreteras yautopistas indican la distancia desde el puntoelegido como km 0.

Un sistema de referencia es un punto o un conjunto de puntos respectode los que se localiza un objeto.

d

Posición es el lugar que ocupa un objeto respecto de un sistema de re-ferencia.

d

Un sistema de referencia cartesiano son unos ejes de coordenadas quese cortan en un punto llamado origen de coordenadas.

d

SISTEMAS DE REFERENCIA

En una dimensión En dos dimensiones En tres dimensiones

Origen

O

e

0 x x XOrigen de referencia

Y

OX

x

y

P (x,y)

Y

O

Z

Xx

z

yP (x,y,z)

La posición de un punto enuna línea curva se determinacon una única coordenada,e, que indica la distancia, si-guiendo la línea, desde elpunto elegido como origendel sistema de referencia.

La posición de una partículaen una línea recta se fija conuna única coordenada, x,que indica la distancia desdeel origen del sistema de refe-rencia hasta el punto consi-derado.

Para localizar un objeto enun plano se precisan dos co-ordenadas (x, y), que expre-san la distancia desde dosejes de coordenadas hasta elpunto considerado

Un punto en el espacio se lo-caliza con tres coordenadas(x, y, z), que son igual a lasdistancias desde los tres ejesde coordenadas hasta elpunto considerado.


1 · El movimiento 9

Y

2. ¿Qué es el movimiento?En la siguiente figura se observa un tren que pasa frente a una estación

a El estado de movimiento depende del sistema de referencia.

Si se pregunta a unos viajeros, sentados en sus asientos, sobre su estado de movi-miento, contestan que no se han movido durante todo el viaje. Sin embargo laspersonas situadas en el andén observan que se alejan cada vez más.

Entre las dos afirmaciones hay una contradicción, que desaparece al acom-pañarlas de la correspondiente referencia. Los viajeros se alejan respecto dela estación, pero están en reposo unos respecto de los otros.

El asegurar que un objeto se mueve o está en reposo no tiene sentido, si nose añade el sistema de referencia elegido. El estado de reposo o de movi-miento de un objeto es siempre relativo respecto a otro objeto, que se uti-liza como referencia.

Un libro encima de una mesa está en reposo respecto a unos ejes de coor-denadas colocados en un rincón de la clase. Si el sistema de referencia estu-viera colocado en el Sol: la Tierra, el aula, la mesa y el libro no están enreposo. Así mismo, el Sol se traslada en torno al centro de la galaxia.

No existe ningún sistema de referencia inmóvil, por lo que no se puedeconocer la velocidad absoluta de un objeto. Sólo se puede determinar suvelocidad respecto a un sistema de referencia.

a A las personas situadas dentro de un mediode transporte les parece que el paisaje semueve hacia atrás.

ACTIVIDADES PROPUESTAS1. Pon ejemplos en los que algún objeto esté en reposo respecto a un sistema de

referencia y en movimiento respecto a otro.

El estado de reposo o de movimiento de un objeto depende del siste-ma de referencia elegido para realizar la descripción.

d

Un objeto está en movimiento cuando su posición, con relación a unsistema de referencia, se modifica a lo largo del tiempo transcurrido.Tanto el estado de reposo como el movimiento son relativos. Uno yotro dependen del sistema de referencia elegido.

d

El movimiento de la Tierra

A la Tierra se la puede considerar enreposo, para describir los movimientosque transcurren sobre su superficie.En la antigüedad se pensaba que laTierra estaba inmóvil, en el Universo,por lo que se consideraba la posibili-dad del movimiento absoluto.



3. La trayectoria

La trayectoria es una línea en un mapa, una carretera, un camino, las hue-llas marcadas en la nieve o la estela que deja en el cielo un avión reactor.

Las trayectorias pueden ser líneas rectas o líneas curvas. Las trayectoriascurvilíneas pueden ser circunferencias, elipses, parábolas u otro tipo decurva cualquiera.

4. Magnitudes vectorialesPara localizar con precisión la posición de los objetos, respecto de un sis-tema de referencia, hay que expresar además del valor numérico y la uni-dad de esa distancia, la dirección y el sentido en que se encuentran. Esainformación la indican las magnitudes vectoriales.

Un vector es un segmento orientado y se escriben en negrita v o con unaflecha encima v�. Son ejemplos de magnitudes vectoriales: la velocidad, laaceleración y la fuerza.

El módulo de un vector es el valor numérico de la magnitud, acompañadode la unidad correspondiente y es igual a la distancia desde el origen hastael extremo del segmento orientado y se representa:

v = |v�|

La dirección es la recta que contiene al segmento orientado y el sentido esla orientación del mismo dentro de la recta. En una misma recta hay dossentidos diferentes. Por ello, dos vectores del mismo módulo pueden tenersentidos distintos y una misma dirección. El punto de aplicación del vectores el origen del segmento orientado.

En contraposición con las magnitudes vectoriales, se denominan magnitudesescalares a las que se determinan solo con un número real y una unidad,como por ejemplo: la masa, el volumen, el tiempo y la distancia recorrida.

módulo

sentido

punto de aplicación

dirección

a Representación de una magnitud vectorial.

A O B

sentido dirección sentido

a La dirección es la recta que contiene alvector y el sentido indica hacia dónde se reco-rre la recta.

La trayectoria es la línea imaginaria que une las sucesivas posicionesque ocupa un objeto respecto del sistema de referencia.

d

Una magnitud se representa por un vector cuando para su descripciónhay que conocer su módulo, dirección, sentido y punto de aplicación.

d

a Trayectoria rectilínea a Trayectoria circular a Trayectoria curvilínea



Y

Operaciones con vectores

Una de las diferencias más notables entre las magnitudes escalares y lasmagnitudes vectoriales es el tratamiento matemático al que obedecen.

A las magnitudes escalares se les aplican las operaciones matemáticas con-vencionales. Sin embargo, al operar con vectores hay reglas y operacionesdiferentes que forman el conjunto de la matemática vectorial. Un ejemplode ello es la suma y la resta de magnitudes vectoriales.

Para sumar dos vectores a� y b�, se traslada uno a continuación de otro y elvector suma, c�, se obtiene uniendo el origen del primero con el extremo delsegundo. Para restar a un vector a� el vector b�, basta sumarle al vector a� elvector opuesto de b�, es decir, el vector –b�.

Cuando dos vectores tienen su origen en el mismo punto, entonces el vec-tor suma es la diagonal del paralelogramo cuyo origen coincide con el delos vectores. La otra diagonal es igual a la diferencia.

Si los vectores sumandos tienen la misma dirección y sentido, el vectorsuma tiene la misma dirección y sentido que los sumandos y su módulo esigual a la suma de ambos módulos: c = a + b

Si los vectores sumandos tienen la misma dirección y sentido contrarios, elvector suma tiene por módulo la diferencia de ambos módulos y su direccióny sentido coinciden con los del vector de módulo mayor: c = a – b

a Suma de vectores de la misma dirección.

Si los dos vectores son perpendiculares entre sí, el módulo del vector sumase determina aplicando el teorema de Pitágoras, ya que es igual a la hipo-tenusa del triángulo rectángulo que tiene por catetos los módulos de los dosvectores sumandos.

|c�| = c = �a2 + b�2�

El producto de un número real n por un vector a�, es otro vector de módulo nveces el módulo del vector a�, su dirección es la misma que la del vector a� ysu sentido es el del vector a�, si n es positivo, y el opuesto, si n es negativo.

|n · a�| = n · |a�| = n · a

Suma de vectoresde la misma direccióny sentidoc = a + b

b→

a→

a→

c = a + b→ → →

b→

Suma de vectoresde la misma direccióny sentido contrarioc = a – b

b→

a→

a→

c = a + b→ → →

b→

a→

a→

a→ a – b

→ →

a + b→ →

a – b→ →

b→

b→

b→

b→

a Suma y diferencia de vectores.

a→

c = a + b→

→

→

b→

a Suma de vectores perpendiculares.

5a→

a→

a Producto de un vector por un número.

ACTIVIDADES PROPUESTAS2. En un sistema de ejes de coordenadas cartesianas, dibuja un vector de 3 unida-

des sobre el eje X y otro de 4 unidades sobre el eje Y, tomando como origen delos vectores el del sistema de referencia. Súmalos gráficamente y calcula el módu-lo del vector suma.



5. Distancia recorrida y vector desplazamientoAl realizar un viaje o dar un paseo interesa conocer la distancia que se harecorrido, cuyo valor dependerá del camino que se haya seguido.

Cuando un móvil se traslada entre dos posiciones, puede hacerlo en línearecta o siguiendo cualquiera de las numerosas trayectorias curvilíneas queunen esas posiciones.

Para analizar ese cambio de posición que experimenta el móvil se utilizanlas magnitudes distancia recorrida y vector desplazamiento.

La distancia recorrida entre dos posiciones A y B se determina restando losvalores de las correspondientes posiciones, expresadas por una coorde-nada, e, que indica la distancia desde el origen del sistema de referenciasiguiendo la trayectoria.

distancia recorrida = ∆e = eB – eA

Tal es el caso de la distancia recorrida sobre una carretera, que se calcularestando los valores de los correspondientes puntos kilométricos.

La distancia recorrida es una magnitud escalar que se mide en el SI enmetros.

Un móvil se puede trasladar entre dos posiciones siguiendo numerosas tra-yectorias. Sin embargo, si el objeto se dirige en línea recta entonces la tra-yectoria es única.

Para desligar la posición de la trayectoria se define una nueva magnituddenominada vector desplazamiento.

Si se elige un sistema de referencia con el eje X coincidente con la direccióndel vector desplazamiento, entonces se puede prescindir de la notación vec-torial y su valor se calcula restando a la coordenada de la posición final, xB,la de la posición inicial xA, acompañadas de su signo correspondiente.

∆x = xB – xA

El módulo del vector desplazamiento se mide en el SI en metros.

Desplazamiento

Trayectoria

A

B

Trayectoria

Desplaza

miento

Distancia recorrida

Origen de referencia

O

eAeB

a La distancia recorrida se mide sobre latrayectoria.

Distancia recorrida

DesplazamientoOrigen de referencia

O xBxA

a El desplazamiento es la distancia más cortaentre dos posiciones.

Distancia recorrida es la longitud de la trayectoria que sigue un obje-to entre dos posiciones distintas.

d

Vector desplazamiento, ∆x�, es un vector tiene su origen en la posicióninicial del móvil y su extremo en la posición final.

d



De esta forma, si al recorrer la trayectoria en un sentido el vector desplaza-miento tiene un signo, al seguirla en sentido contrario el signo es elopuesto.

El vector desplazamiento, entre dos posiciones, es siempre el mismoindependientemente de cuál sea la trayectoria que recorra el móvil. Sinembargo, la distancia recorrida depende de la trayectoria seguida.

El vector desplazamiento no es solamente una distancia, es una distan-cia siguiendo un determinado sentido a lo largo de una dirección con-creta.

xinicial = 2 m

xinicial x inicialxfinal xfinal

xfinal = 5 m

∆x = 5 m – 2 m = 3 mxinicial = 5 m

xfinal = 3 m

∆x = 3 m – 5 m = –2 m

O O

∆x ∆x

ACTIVIDADES RESUELTASUna pista de scalextric tiene un tramo en forma de semicircunferencia de 1,5 m de radio. Dibuja la trayectoria y el vec-

tor desplazamiento. Calcula la distancia recorrida y el módulo del vector desplazamiento cuando el coche va desde unextremo al otro de ese tramo de pista.

La distancia recorrida es igual a la longitud de la semicircunferencia.

∆e = �2 ·

2π · R� = π · 1,5 m = 4,7 m

El módulo del vector desplazamiento coincide con el valor del diámetro la semicir-cunferencia.

∆x = 2 · R = 2 · 1,5 m = 3 m

Una pelota se lanza rodando contra una pared desde un punto situado a 1 m de una señal realizada en el suelo. Alcabo de un tiempo choca contra una pared situada a 7 m y regresa deteniéndose a 4 m de dicha marca. Representa en undiagrama las posiciones inicial y final de la bola. Dibuja la trayectoria y el vector desplazamiento. Calcula su valor y el dela distancia recorrida.

Identificando trayectoria con el eje de coordenadas X y el origen del sistema de refe-rencia en la señal, las posiciones de la pelota y de la pared son:

xinicial = 1 m; xfinal = 4 m; xpared = 7 m

El valor del vector desplazamiento es: ∆x = xfinal – xinicial = 4 m – 1 m = 3 m

La pelota recorre 6 m hasta que choca contra la pared, para después regresar por elmismo camino y recorrer 3 m hasta detenerse.

distancia recorrida = 6 m + 3 m = 9 m

El módulo del vector desplazamiento y la distancia recorrida no coinciden porque hay cambios en el sentido del movimiento.

La distancia recorrida y el módulo del vector desplazamiento coinci-den cuando la trayectoria es una línea recta y no hay cambios en el sen-tido del movimiento.

d

desplazamiento

a El desplazamiento es independiente de latrayectoria.

Trayectoria

Desplazamiento

Radio = 1,5 m

Posicióninicial

Posiciónfinal

xinicialO

Distancia recorrida

xfinal

∆x

xpared



6. Velocidad media Cuando un automóvil va por una carretera hay que saber si se desplaza y silo hace deprisa o despacio y, con frecuencia, hay que determinar en quésentido recorre la trayectoria.

Para indicar si un objeto va deprisa o despacio, sin precisar la dirección yel sentido del movimiento, se utiliza la magnitud rapidez media.

rapidez media = = �∆∆et�

La rapidez media es una magnitud escalar y no informa de la dirección ysentido del movimiento.

Para especificar tanto la distancia recorrida como la dirección y el sentido en elque se realiza un movimiento se emplea la magnitud vector velocidad media.

Si la trayectoria es una línea recta y se elige un sistema de referencia con ladirección de la trayectoria sobre el eje X, se cumple que:

v�media = �∆∆x�t� y su módulo: |v�media

| = vmedia = �∆∆xt�

La velocidad media es una magnitud vectorial, de dirección y sentido losdel vector desplazamiento.

La mayoría de los movimientos se producen sobre trayectorias curvilíneas,que se conocen previamente. Por tanto, para describir un movimiento bastacon conocer la rapidez con la que se realiza y el sentido en el que se reco-rre la trayectoria.

vmedia = �∆∆et�

Y se establece un criterio de signos, de forma que si al recorrer la trayecto-ria en un sentido a la velocidad se le asigna el signo positivo, al recorrerlaen sentido contrario la velocidad tiene signo negativo.

La rapidez media y la velocidad media se miden en el sistema internacio-nal en m/s y en la práctica en km/h.

distancia recorrida��tiempo empleado

x1 ∆x x2

XO

∆e

a Distancia recorrida y vector desplazamiento.

x1 ∆x x2

XO

∆e

a El módulo del vector desplazamiento y ladistancia recorrida coinciden cuando latrayectoria es una línea recta.

km

0

O

km

3

e

v < 0

v > 0

a El signo de la velocidad indica el sentido enel que se recorre la trayectoria.

ACTIVIDADES PROPUESTAS3. Expresa la velocidad del sonido, v = 340 m/s en la unidad km/h y la velocidad de

100 km/h en la unidad m/s.

Rapidez media es la relación entre la distancia recorrida por un móvil,medida sobre la trayectoria, y el tiempo empleado en recorrerla.

d

Vector velocidad media, v�media, es la relación entre el desplazamientorealizado por un móvil y el tiempo empleado en efectuarlo.

d

Por ello, la velocidad media de un objeto se identifica con la distanciaque recorre sobre la trayectoria en la unidad de tiempo.

d

Conversión de unidades

Para expresar la velocidad de unas uni-dades a las otras se utilizan los factoresde conversión:

1 km = 1000 m y 1 h = 3 600 s

1 �khm� = 1 �

khm� · �

1100

k0m

m� · �

3 610h0 s

�

1 �ms� = 1 �

ms� · �

1100

k0m

m� · �

3 610h0 s

�



Velocidad instantánea

La velocidad media determina la rapidez de un móvil en un cierto intervalode tiempo. Sin embargo, con frecuencia, interesa conocer la velocidad deun móvil en un instante determinado o en una posición de la trayectoria, tales el caso de los vehículos con el fin, por ejemplo, de respetar las normasde circulación.

Cuando el intervalo de tiempo entre dos observaciones es muy pequeño,entonces el valor medio de la velocidad es igual a la velocidad instantánea.Esta cantidad es la que muestra el velocímetro de los vehículos.

La velocidad instantánea es una magnitud vectorial de dirección la de latangente a la trayectoria y su sentido es el del movimiento. Su unidad demedida en el SI es el m/s.

a El velocímetro indica el módulo del vectorvelocidad instantánea y el cuentakilómetrosindica la distancia recorrida.

ACTIVIDADES RESUELTASLas figuras siguientes representan el movimiento de un ciclista a lo largo de dos trayectorias distintas. Calcula su velo-

cidad media en cada uno de los ejemplos.

En los dos ejemplos se conoce la trayectoria del movimiento, por lo que hay que calcular la rapidez e indicar el sentido en el que serecorre la trayectoria. La velocidad es negativa en la trayectoria en línea recta y positiva en la curvilínea.

a) Trayectoria rectilínea: vmedia = �∆∆

xt� = = �

0 m2–01s20 m� = –6 m/s

b) Trayectoria curvilínea: vmedia = �∆∆et� = = �

70 km4–h10 km� = 15 km/h

Un atleta corre la carrera de 100 m lisos en 9,84 s. Determina su velocidad media y exprésala en m/s y en km/h.

La velocidad media es: vmedia = �dtiisetman

pcoia

� = �190,804ms

� = 10,16 m/s

La velocidad expresada en km/h es: vmedia = 10,16 �ms� = 10,16 �

ms� · �

1 0k0m0 m� · �

3 6h00 s� = 36,58 km/h

Un atleta de maratón recorre los 42,195 km de que consta la prueba en un tiempo de 2 h 13 min 16 s. Determina lavelocidad media expresada en km/h y en m/s.

En primer lugar se expresa el tiempo total en horas: t = 2 h 13 min 16 s = 2 h + 13 min �60

hmin� + 16 s �

3 6h00 s� = 2,22 h

La velocidad media es: vmedia = �dtiisetman

pcoia

� = �42

2,1,2925

hkm

� = 19 �khm�

En unidades del SI: vmedia = 19 �khm� = 19 �

khm� · �

1 0k0m0 m� · �

3 6h00 s� = 5,28 �

ms�

efinal – einicial��∆t

xfinal – xinicial��∆t

0 20 40 60

20 s 0 s 0 h 4 h

80 100 120 x (m)x

final x inicial

e inicial e

final0

10

2030 40 50

6070



7. Movimiento rectilíneo uniformeUn movimiento es rectilíneo cuando la trayectoria es una línea recta y esuniforme si el módulo el vector velocidad permanece constante.

Si se hace coincidir el eje X del sistema de referencia con la trayectoria y si,además, el origen de tiempo coincide con el instante inicial, t0 = 0 s, enton-ces el módulo del vector velocidad se expresa:

v = �∆∆xt� = �

xt

––

xt0

0� = �x –

tx0� ⇒ v · t = x – x0

Ordenando términos, se tiene la ecuación de la posición del movimiento:

x = x0 + v · t

Donde x es la posición en cualquier instante, x0 la posición inicial, v lavelocidad, t el tiempo transcurrido e ∆x = x – x0 la distancia recorrida.

De la ecuación anterior se deduce que si la variación de la posición, x – x0,es una cantidad positiva entonces la velocidad tiene signo positivo y si esavariación es negativa, a la velocidad se le asigna el signo negativo.

La ecuación anterior también se aplica a cualquier movimiento uniforme.

e = e0 + v · t

Donde e0 es la posición inicial, e es la posición en cualquier instante y ladistancia recorrida medida sobre la trayectoria es ∆e = e – e0.

Al representar gráficamente la posición, x, en el transcurso del tiempo, t, seobtiene una línea recta que corta al eje de ordenadas en la posición inicial,x0, y cuya pendiente es igual al módulo del vector velocidad.

O X∆x = distancia recorrida

Origende referencia

x0 v x→

a Movimiento rectilíneo uniforme.

∆e = distancia recorrida

Origen de referencia

0

e0 e

a Movimiento uniforme.

ACTIVIDADES PROPUESTAS4. Escribe la ecuación de la posición para los

movimientos rectilíneos representados en lafigura adjunta.

5. Escribe las ecuaciones de los siguientes movi-mientos y represéntalos gráficamente.a) Un móvil sale de un punto situado a 5 km

del origen y se aleja con una velocidad de2 km/h.

b) Durante el recreo un compañero que está situado a 30 m de ti, se te acercacon una velocidad de 2 m/s.

GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

Gráfica posición frente al tiempo de unmóvil con velocidad positiva.

Gráfica posición frente al tiempo de unmóvil con velocidad negativa.

Gráfica de la velocidad frente al tiempo.

t

x = x0 + v · t

x0

O

x

Pendiente = = v∆x∆t

∆x∆t

t

x = x0 – v · t

x0

O

x Pendiente = = v∆x∆t

∆x

∆t

x (m)45

36

27

18

9

02 4 6

A

B

C

8 10 12 t (s)

tO

vv > 0

v < 0



ACTIVIDADES RESUELTASUn automovilista se encuentra en un instante en el kilómetro 10 de una carretera y transita con una velocidad media

de 80 km/h. Escribe la ecuación de la posición en cualquier instante. ¿Dónde se encontrará una hora y media más tarde?¿En qué instante pasará por la posición 190 km?

Si se elige como sistema de referencia para la posición el km 0, la posición inical es e0 = 10 km y la expresión de la posición en cual-quier instante es:

e = e0 + v · t = 10 km + 80 km/h · t

Cuando haya transcurrido un tiempo t =1,5 h su posición será:

e = 10 km + 80 km/h · t = 10 km + 80 km/h · 1,5 h = 130 km

Para calcular cuándo pasa por la posición 190 km, se sustituye en la ecuación de la posición y se despeja el tiempo.

e = 10 km + 80 km/h · t; 190 km = 10 km + 80 km/h · t ⇒ t = 2,25 h = 2 h 15 min

Dos autobuses salen al encuentro desde dos ciudades, A y B, que distan 750 km. El que sale desde la ciudad A arrancaa las ocho de la mañana con una velocidad media de 50 km/h. El otro sale desde la ciudad B a las once y su velocidadmedia es de 70 km/h. Determina el lugar y la hora a la que se cruzan en el camino. Representa en un diagrama de posi-ción frente al tiempo el movimiento de los dos vehículos.

a) Se elige como origen del sistema de referencia la posición de la ciudad Ay como origen de tiempos el instante en el que sale el autobús más madru-gador, las ocho de la mañana.

En este sistema de referencia, la velocidad del autobús situado en la ciudadB tiene signo negativo.

Las posiciones, en cualquier instante, de los dos autobuses son:

eA = 0 km + 50 km/h · t; eB = 750 km – 70 km/h · (t – 3 h)

Los autobuses se cruzan cuando en el mismo instante ocupen la misma posición.

eA = eB ; 50 km/h · t = 750 km – 70 km/h · (t – 3 h) ⇒ t = 8 h

Los autobuses se cruzan cuando son las 8 h + 8 h = 16 h, a las cuatro de la tarde.

La posición de cruce es igual a la distancia que se encuentran de la ciudad A.

eB = eA = 50 km/h · t = 50 km/h · 8 h = 400 km

b) Para representar de forma gráfica el movimiento de los autobuses, se construye una tabla de valores en la que se registran sus posi-ciones cada hora que transcurre y que se trasladan a la correspondiente gráfica.

Ciudad A Ciudad B

tsalida = 0 h tsalida = 3 h

vA = 50 km/h vB = 70 km/h

e0, A = 0 km e0, B = 750 km

e (km)800

Autobús A

Autobús B

700

600

500

400

300

200

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 t (m)

tiempotranscurrido (h)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

posiciónautobús A (km)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

posiciónautobús B (km)

750

750

750

750

680

610

540

470

400

Las dos gráficas se cruzan en el punto de encuentro.



8. La aceleraciónLa velocidad, considerada como una magnitud vectorial, tiene las caracte-rísticas de módulo, dirección y sentido. Por tanto, el vector velocidad semodifica siempre que cambie su módulo, su dirección o su sentido.

La aceleración, así entendida, tiene dos contribuciones: una que modificaal módulo del vector velocidad y otra que cambia la dirección del mismo.

Es un vector tangente a la trayectoria y sentido el del movimiento siaumenta la velocidad y el contrario, si la velocidad disminuye. Su módulose representa por: |a�t

| =at = a, y se determina mediante la relación entre lavariación del módulo del vector velocidad y el tiempo que tarda en produ-cirse. La aceleración tangencial es positiva si el módulo de la velocidadaumenta y negativa si disminuye.

a = �∆∆vt�

Es un vector perpendicular a la trayectoria en cada punto y su sentido eshacia el centro de curvatura. Su módulo se representa por: |a�n

| = an y en undeterminado instante es igual a la relación entre el cuadrado del módulo delvector velocidad, v, y el radio R de curvatura de la trayectoria.

an = �vR

2

�

La unidad de medida de la aceleración en el SI es el m/s2.

a La aceleración modifica al vector velocidad.

atangencial→

a El vector aceleración tangencial siempretiene la dirección de la recta tangente a latrayectoria.

anormal→

a El vector aceleración normal tiene siemprela dirección de la recta perpendicular a latrayectoria.

ACTIVIDADES PROPUESTAS6. Los siguientes esquemas representan el movimiento de un objeto en cuatro situa-

ciones diferentes.

Para cada ejemplo señala si se modifica algún atributo del vector velocidad eidentifica esa variación con el tipo de aceleración correspondiente.

80 km/h

80 km/h

80 km/h

80 km/h 80 km/h

80 km/h

50 km/h

50 km/hA

B C D

Aceleración es la magnitud vectorial que mide las variaciones del vec-tor velocidad en el transcurso del tiempo.

d

La aceleración normal, a�n, es la responsable del cambio de direccióndel vector velocidad.

d

La aceleración tangencial, a�t, es la responsable de la variación del mó-dulo del vector velocidad y habitualmente se conoce como acelera-ción . Siempre que se modifica el módulo del vector velocidad hay ace-leración tangencial.

d



Clasificación de los movimientos según su aceleración

Los movimientos se clasifican de dos formas:

a) Según sea su trayectoria.

b) Según se modifica el módulo del vector velocidad.

O que es lo mismo, se clasifican en función de las aceleraciones tangencialy normal.

a) Según la trayectoria:

• Rectilíneos: no se modifica la dirección del vector velocidad y laaceleración normal es igual a cero.

• Circulares: cuando el radio de la curva es constante. Se modifica ladirección del vector velocidad y por ello hay aceleración normal.

• Curvilíneos: si el radio de la curva no es constante. Se modifica ladirección del vector velocidad y por tanto, hay aceleración normal.

b) Según el módulo del vector velocidad:

• Uniformes: no se modifica el módulo del vector velocidad, lo quesignifica que la aceleración tangencial es igual a cero.

• Uniformemente acelerados: el módulo del vector velocidad semodifica proporcionalmente con el tiempo, por lo que el módulo dela aceleración tangencial es constante.

• Variados: el módulo del vector velocidad no se modifica proporcio-nalmente con el tiempo, por lo que el módulo de la aceleración tan-gencial no es constante.

En un movimiento rectilíneo nunca hay aceleración normal.

En un movimiento circular o curvilíneo siempre existe aceleración normal.

rectilíneo

cero

curvilíneo

otro valor

Aceleración normal

uniforme

cero

unifor-mementeacelerado

constante

variado

variable

Módulo de la aceleración tangencial

ACTIVIDADES RESUELTASEl guepardo es un animal capaz de alcanzar una velocidad de 72 km/h en 2 s. ¿Cuál es la aceleración del citado animal,

supuesta esta constante?

Expresando la velocidad en unidades del SI: v = 72 km/h = 20 m/s

A partir de la definición de aceleración: a = �∆∆

vt� = �

20 m/s2

–s

0 m/s� = 10 m/s2

Considerando a la órbita terrestre como una circunferencia de 150 millones de km de radio, determina la velocidad, enkm/h, y la aceleración, en m/s2, con que la Tierra se mueve alrededor del Sol.

Como la Tierra recorre la longitud de la circunferencia (2 · π · R) en un año su velocidad de traslación alrededor del Sol es:

v = �dtiisetman

pcoia

� = · �36

15añdoías

� · �124

díha

� = 107 589 �khm�

que expresada en unidades del SI es: v = 107 589 km/h = 29 886 m/s

Como el módulo del vector velocidad es constante la aceleración tangencial es igual a cero. Solo existe aceleración normal que modi-fica a la dirección del vector velocidad en cada instante.

Su módulo es: an = �vR

2

� = �(21950

88·610

m9

/ms)2

� = 6 · 10–3 �ms2�

2 · π · 150 · 106 km��

1 año



9. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Un movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado cuando la trayecto-ria es una línea recta y la aceleración es constante.

Aplicando la definición de aceleración tangencial y considerando que elinstante inicial de la observación es t0 = 0, se cumple que:

a = �∆∆vt� = �

vt

––

vt0

0� = �v –

tv0� ⇒ a · t = v – v0

Ordenando términos, se tiene la ecuación de la velocidad del movimiento:

v = v0 + a · t

Ecuación que relaciona el módulo la velocidad en un instante, v, y el de lavelocidad inicial, v0, con la aceleración, a, y el tiempo transcurrido, t.

De la ecuación anterior se deduce que si la variación de la velocidad,v – v0, es una cantidad positiva entonces la aceleración tiene signo positivoy si esa variación es negativa, como ocurre al frenarse un móvil, entonces ala aceleración se le asigna el signo negativo.

Al representar gráficamente la velocidad, v, de un móvil en el transcurso deltiempo, t, se obtiene una línea recta que corta al eje de ordenadas en lavelocidad inicial, v0, y cuya pendiente es igual al módulo de la aceleración.

pendiente = �∆∆vt� = a

a Durante una carrera se modifica continua-mente la velocidad de los automóviles.

GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

Gráfica de la velocidad frente al tiempode un móvil con aceleración positiva.

Gráfica de la velocidad frente al tiempode un móvil con aceleración negativa.

Gráfica de la aceleración frente altiempo.

t

v = v0 + a · t

v0

O

x

Pendiente = = a∆v∆t

∆v∆t

t

v = v0 – a · t

v0

O

v Pendiente = = a∆v∆t

∆v

∆ttO

aa > 0

a < 0

ACTIVIDADES PROPUESTAS7. Escribe la ecuación de la velocidad para

los movimientos representados en la figu-ra adjunta.

8. Escribe las ecuaciones de la velocidad delos siguientes movimientos y represénta-los gráficamente.a) Un móvil que lleva una velocidad cons-

tante de 10 m/s.b) Un móvil lleva una velocidad de 36 km/h y acelera con a = 2 m/s2.c) Un móvil que lleva una velocidad de 15 m/s se frena con una aceleración de

3 m/s2.

v (m/s)40

32

24

16

8

02 4 6

A

B

C

8 10 12 t (s)

Movimientorectilíneo

En tu CD Selección de Encarta de Mi-crosoft, en la carpeta estudio del mo-vimiento puedes encontrar más infor-mación sobre el movimiento rectilíneouniformemente acelerado.

h



ACTIVIDADES RESUELTASEl conductor de un automóvil que lleva una velocidad de 54 km/h, pisa el acelerador con lo que imprime al vehículo

una aceleración de 2 m/s2. Escribe la ecuación de la velocidad mientras se acelera el vehículo. Determina en qué instantealcanza la velocidad de 90 km/h. Calcula su velocidad a los 4 s después de comenzar a acelerar.

En primer lugar se expresan las velocidades en unidades del SI:

v = 54 km/h = 15 m/s y v = 90 km/h = 25 m/s

a) Sustituyendo en la ecuación de la velocidad: v = v0 + a · t = 15 m/s + 2 m/s2 · t

b) Sustituyendo en la ecuación anterior:

v = 15 m/s + 2 m/s2 · t; 25 m/s = 15 m/s + 2 m/s2 · t ⇒ t = 5 s

c) Sustituyendo en la ecuación de la velocidad:

v = 15 m/s + 2 m/s2 · t = 15 m/s + 2 m/s2 · 4 s = 23 m/s

que expresada en km/h: v = 23 m/s = 82,8 km/h

La gráfica de la figura adjunta representa la velocidad de unmóvil en el transcurso del tiempo. Determina la aceleración del mó-vil en cada uno de los tramos de la gráfica y representa sus valoresen un diagrama.

En cada uno de los segmentos que forman la gráfica la aceleración es unacantidad constante y su valor coincide con el de la pendiente.

Aplicando la definición de aceleración a cada segmento de la gráfica, secumple que:

aA = �∆∆

vt� = �

2 m2

/ss

––

00

ms

/s� = 1 �

ms2�

aB = �∆∆

vt� = �

145m

s/s

––22

sm/s

� = 4 �ms2�

aC = �∆∆

vt� = �

10 m6

/ss

––

154sm/s

� = –4 �ms2�

aD = 0 (velocidad constante)

aE = �∆∆

vt� = �

0 m10

/ss––108

ms

/s� = –5 �

ms2�

Un móvil A, arranca desde el reposo con una aceleración de 5 m/s2 yotro B, sale con una velocidad inicial de 20 m/s y una aceleración de1 m/s2. Construye la gráfica de la velocidad frente al tiempo para los seisprimeros segundos e indica si en el instante t = 5 s se encuentran los móvi-les.

Aplicando la ecuación de la velocidad: v = v0 + a · t, se construyen las correspon-dientes tablas de valores.

Lo único que se puede afirmar es que en el instante t = 5 s se igualan sus veloci-dades. Se desconoce si los móviles se chocan ya que no se sabe si recorren la mismatrayectoria.

v (m/s)

t (s)

30

25

20

15

10

5

0 1 2 3 4 5 6

B

A

14

12

10

8

6

4

2

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

v (m/s)

t (s)

6

4

2

0

-2

-4

-6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a (m/s2)

t (s)

t (s) 0 1 2 3 4 5 6

vA (m/s) 0 5 10 15 20 25 30

vB (m/s) 20 21 22 23 24 25 26



La ecuación de la posición

Para cualquier tipo de movimiento, la distancia recorrida por un móvil coin-cide con el área delimitada por la representación gráfica de la velocidadfrente al tiempo y el eje de abscisas.

Área total = área rectángulo + área triángulo

∆x = v0 · t + �21

� · (v – v0) · t

Por la definición de aceleración: v – v0 = a · t y como ∆x = x – x0, la expre-sión de la posición en este tipo de movimiento es:

x = x0 + v0 · t + �21

� · a · t2

Ecuación que relaciona la posición, x, de un móvil en un instante, t, con laposición inicial, xo, la velocidad inicial, vo y la aceleración, a.

La ecuación de la posición se aplica a cualquier movimiento en el que elmódulo de la aceleración tangencial es constante, siempre que la posiciónse indique con una coordenada, e, que representa la distancia desde el ori-gen de referencia siguiendo la trayectoria.

e = e0 + v0 · t + �21

� · a · t2

La ecuación de la posición en el transcurso del tiempo es una función poli-nómica de segundo grado, cuya representación gráfica es la rama de unaparábola, cuya forma depende de las características de cada movimiento.

rectángulo

Velocidad

Tiempo

v0

v – v0 = a · t

v

t

triángulov = v0 + a · t

a Grafica de la velocidad frente al tiempo.

ACTIVIDADES RESUELTASUn automóvil pasa de cero a 100 km/h en 8 s. Calcula la aceleración supuesta constante y la distancia que recorre hasta

alcanzar la citada velocidad.

En primer lugar se expresa la velocidad en el SI: v = 100 km/h = 27,8 m/s

Aplicando la definición de aceleración: a = �v –

tv0� = �

27,8 m8/s

s– 0 m/s� = 3,47 m/s2

Por tanto: ∆e = vo · t + �12

� · a · t2 = �12

� · 3,47 m/s2 · (8 s) 2 = 111 m

GRÁFICAS DE LA POSICIÓN FRENTE AL TIEMPO

t

x0

O

x

a > 0

t

x0

O

xa < 0

Gráfica de la posición frente al tiempode un móvil con aceleración positiva.

Gráfica de la posición frente al tiempode un móvil con aceleración negativa.



ACTIVIDADES RESUELTASUn conductor está situado a 100 de un semáforo de una carretera y frena el vehículo al observar que el semáforo cambia

a color rojo. Si el automóvil tarda en detenerse 10 s y el conductor no comete infracción, calcula la máxima velocidad a laque circulaba y expresa ese resultado en km/h. Construye las gráficas velocidad frente al tiempo y posición frente al tiempo.

a) Se elige como origen del sistema de referencia el punto en el que al automovilista comienza a frenar, a 100 m del semáforo.Aplicando las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado y como la máxima distancia recorrida es 100 m, resulta que:

v = vo + a · t ⇒ 0 = vo + a · 10 s

e = eo + vo · t + �12

� a · t2; 100 m = vo · 10 s + �12

� a · (10 s)2

Despejando la velocidad en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, resulta que:

v0 = –a · 10 s ⇒ 100 m = (–a · 10 s) · 10 s + �12

� a · (10 s)2; 100 m = –a · 100 s2 + a · 50 s2 = –a · 50 s2

Despejando: a = –2 m/s2, negativa ya que el coche se frena.

Por lo que la velocidad inicial es: v0 = –a · 10 s = – (–2 m/s2) · 10 s = 20 m/s = 72 km/h

b) Con el sistema de referencia indicado y aplicando las ecuaciones de la velocidad y de la posición se construyen las correspondien-tes tablas de valores y con ellas las gráficas pedidas.

El movimiento de un objeto, que recorre una trayectoria en una línea recta, está descrito por la ecuación: x = 5 + 8 t + 2 t2

en unidades del SI. Indica la posición inicial, la velocidad inicial y la aceleración. ¿Cuándo pasará por la posición 100 m?

a) Comparando la ecuación del movimiento con la ecuación general: x = xo + vo t + 1/2 a t2, se deduce que:

La posición inicial, t = 0 s, es: xo = 5 m y la velocidad inicial es: vo = 8 m/s

Como 2 · t2 = �12

� a · t2, entonces la aceleración es: a = 4 m/s2

b) Aplicando la ecuación del movimiento:

x = 5 m + 8 m/s · t + 2 m/s2 · t2; 100 m = 5 m + 8 m/s · t + 2 m/s2 · t2

Despejando el tiempo en la ecuación de segundo grado: 2 · t2 + 8 · t – 95 = 0

t = = �–8 ±

428,7� ⇒ �

Solo tiene significado físico la solución: t = 5,2 s

t1 = 5,2 s

t2 = –9,2 s–8 ± �82 – 4� ·2 · (–�95)��

2 · 2

14

12

10

8

6

20

18

16

4

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

v (m/s)

t (s)

70

60

50

40

30

100

90

80

20

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

e (m)

t (s)

t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

v (m/s) 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

e (m) 0 19 36 51 64 75 84 91 96 99 100



10. Caída libreSe denomina caída libre al movimiento que experimenta un objeto cuandose suelta a cierta altura sobre la superficie de la Tierra y en sus proximidades.

Al dejar caer simultáneamente un trozo de tiza y una hoja de papel, seobserva que cae antes la tiza. Esta y otras experiencias parecidas hacen pen-sar que los objetos más pesados caen antes que los ligeros.

Si se toman dos hojas de papel y se arruga una de ellas hasta hacer unapelota, se observa que la bola de papel cae antes. De esto se deduce que lavelocidad de caída de los objetos no depende de su masa.

Experiencias como esta no se consideraron hasta el Renacimiento, por loque en la Antigüedad se pensaba que cuanto más pesado fuera un objetoantes caía.

En el siglo IV a.C., el filósofo griego Aristóteles consideraba que el estadonatural de los objetos es el del reposo y que a él tienden siguiendo trayec-torias en línea recta.

Una piedra tiende a ocupar su estado natural, que es en el suelo, más rápi-damente que una pluma de ave formada, en parte, por aire.

Todas estas ideas perduraron sin modificarse durante 2 000 años hasta queGalileo, en el siglo XVI, se dio cuenta de que Aristóteles no había consi-derado la existencia del vacío. Se percató que el movimiento de los objetos,ya sean piedras o plumas de ave, siempre ocurren en un medio resistentecomo el aire o el agua y, por tanto, siempre hay algo que se opone al mismo.

Experimentó con planos de diversas inclinaciones y pulidos con esmero,dejando caer, por los mismos, bolas de diversas masas y tamaños. De susexperiencias llegó a la conclusión siguiente:

Esta aceleración, llamada aceleración de la gravedad, se designa con laletra g y tiene el valor de 9,8 m/s2 en la superficie de la Tierra.

Si una hoja de papel y una bola de papel no caen al mismo tiempo es por-que no tienen la misma forma y por ello presentan diferente aerodinámicay oponen distinta fricción o resistencia al aire.

Ecuaciones del movimiento

El movimiento vertical de un objeto es un caso particular de movimientorectilíneo uniformemente acelerado. Se elige como sistema de referencia eleje Y , coincidente con la vertical, a la posición se le da el nombre de alturay se designa con la letra h. El signo positivo o negativo de cada magnituddepende del criterio de signos adoptado en cada caso. Las ecuaciones delmovimiento son:

h = h0 + v0 · t + �12

� · g · t2 ; v = v0 + g · t

a La velocidad con que cae un objeto nodepende de su masa.

a Cuanto más inclinada esté la superficie delplano, más se asemeja el movimiento de labola a la caída libre.

moneda

pluma

a En ausencia de un medio resistente lapluma y la moneda caen al mismo tiempo.

Todos los objetos, en las proximidades de la Tierra y en ausencia deaire, caen con la misma aceleración independientemente de su masa,forma o tamaño.

d



ACTIVIDADES RESUELTASVerticalmente desde el suelo y hacia arriba, se lanza un objeto con una velocidad inicial de 30 m/s. Prescindiendo del

rozamiento con el aire y aproximando el valor de g a 10 m/s2, determina:

a) La altura a la que llega y el tiempo que tarda en alcanzarla.

b) El tiempo que tarda en regresar al suelo y la velocidad con la que llega al mismo.

c) Representa gráficamente la velocidad, la posición y la distancia recorrida en función del tiempo.

Se elige como origen de un sistema de referencia el suelo, el eje Y la vertical y se asigna el signopositivo a todas las magnitudes que tienen sentido hacia arriba.

a) Al subir: la velocidad inicial es positiva y la aceleración negativa.

Aplicando la ecuación de la velocidad y como en el punto más alto el objeto se detiene:

v = vg + g · t; 0 m/s = 30 m/s + (–10 m/s2) · t ⇒ tsubir = 3 s

Sustituyendo en la ecuación de la posición:

h = ∆h = h – h0 = v0 · t + �12

� · g · t2 = 30 m/s · 3 s + �12

� · (–10 m/s2) · (3 s)2 = 45 m

b) Al bajar: la posición inicial es positiva, la posición final es el origen, la velocidad inicial es igualcero y la aceleración es negativa. Aplicando la ecuación de la posición:

h = h0 + v0 · t + �12

� · g · t2 ; 0 m = 45 m + �12

� (–10 m/s2) · t2

Despejando: tbajar = 3 s, el mismo que el que empleó para subir.

Sustituyendo en la ecuación de la velocidad.

v = v0 + g · t = 0 + (–10 m/s2) · 3 s = –30 m/s

La misma con la que se lanzó y sentido hacia abajo.

c) Para construir la tabla de valores, que se representará gráficamente, se mantiene el sistema dereferencia ya descrito y se aplican las ecuaciones:

v = v0 + g · t y h = h0 + v0 · t + �12

� · g · t2

La distancia recorrida siempre aumenta. A la distancia recorrida al subir se le suma la recorridaal bajar.

tiempo (s) 0 1 2 3 4 5 6

velocidad (m/s) 30 20 10 0 –10 –20 –30

posición (m) 0 25 40 45 40 25 0

distancia recorrida (m) 0 25 40 45 50 65 90

2520

30354045

1510

50

1 2 3 4 5 6 t (s)

h (m)v (m/s)30

20

10

0

-10

-20

-30

1 2 3 4 5 6 t (s)5040

60708090

302010

01 2 3 4 5 6 t (s)

Distancia recorrida (m)

h

g

vf = 0

v0 = 30 m/sh0 = 0 m

h = 45 m

g

v0 = 0

hf = 0 m

h0 = 45 m

vf



11. Movimiento circular uniformeUn movimiento es circular cuando la trayectoria que recorre el móvil es unacircunferencia. En este movimiento siempre hay aceleración normal, quemodifica en cada instante la dirección del vector velocidad.

Un movimiento circular es uniforme si el módulo del vector velocidad esconstante. Por tanto, la aceleración tangencial es igual a cero y el módulode la aceleración normal es constante.

En este movimiento el móvil repite cada cierto tiempo las mismas posicio-nes, hecho que se describe mediante las magnitudes: período y frecuencia.

Las dos magnitudes se relacionan mediante la ecuación:

T = �1f�

En el Sistema Internacional, la frecuencia se mide en hercios (Hz). Un her-cio es igual a un ciclo cada segundo (c.p.s). En la práctica se expresa enrevoluciones (vueltas) cada minuto (r.p.m.).

Para medir las magnitudes angulares en el movimiento circular se empleacomo unidad el radián (rad), en vez de los grados sexagesimales.

Unas y otras unidades están ligadas por la relación: 2 · π rad = 360º

11.1. Velocidad angular

Una forma de describir la posición de un móvil en una trayectoria circulares indicando el radio de la circunferencia y el ángulo recorrido a partir deun radio elegido como origen. Las magnitudes: radio (R), ángulo (ϕ) expre-sado en radianes y la longitud del arco (e), están ligadas por la ecuación:

e = ϕ · R

En este sistema de referencia la variación de la posición del móvil en la tra-yectoria se expresa mediante la magnitud velocidad angular media.

ω = �∆∆ϕt� = �

ϕt

––

ϕt0

0�

Su unidad de medida en el SI es el rad/s, que también se puede expresarcomo s–1.

v→

v→

v→v→

a En el movimiento circular se modifica conti-nuamente la dirección del vector velocidad.

a Las sillas del carrusel describen trayectoriascirculares.

ϕ = 1 rad

e1 = R1

R1

R2

e2 = R2

a Un radián.

R

ϕ

e

Origen

a Sistema de referencia basado en el ángulodescrito.

Período (T) es el tiempo que tarda el móvil en recorrer una vuelta com-pleta de la trayectoria.

d

Frecuencia (f) es el número de vueltas o ciclos que recorre el móvil enla unidad de tiempo.

d

Un radián (rad), se define como la medida del ángulo comprendido por unarco de circunferencia de longitud igual al radio con el que se ha trazado.

d

Velocidad angular media (ω) se define como la relación entre el ángu-lo descrito y el tiempo empleado en recorrerlo.

d


Y

11.2. Ecuaciones del movimiento

Cuando el móvil recorre una vuelta completa, el ángulo descrito es igual a2π rad y el tiempo transcurrido es igual al período (T), por lo que:

ω = �2

T· π� = 2 · π · f

Si se describe el movimiento mediante la distancia recorrida se tiene laecuación que liga la velocidad lineal (v) con la velocidad angular (ω).

v = �∆∆et� = �

∆ϕ∆t

· R� = ω · R

Aplicando la definición de velocidad angular y considerando que el ins-tante inicial de observación es t0 = 0, se tiene:

ω = �∆∆ϕt� = �

ϕ –t

ϕ0� ⇒ ϕ – ϕ0 = ω · t

Despejando se deduce la ecuación del movimiento circular uniforme:

ϕ = ϕ0 + ω · t

Ecuación que relaciona el ángulo descrito (ϕ), con el ángulo inicial (ϕ0), lavelocidad angular (ω) y el tiempo transcurrido (t). Esta ecuación es seme-jante a la de la posición de un móvil en el movimiento rectilíneo uniforme.

dc


a Todos los puntos de la rueda tienen elmismo período, frecuencia y velocidadangular.

1 2 3 4 5

v1→ v2

→ v3→v4→ v5

→

ω

a La velocidad lineal de los puntos de unradio de una rueda es mayor cuanto másalejado esté del centro.

ACTIVIDADES RESUELTASUn tiovivo que gira con una frecuencia de 12 r.p.m. tiene los caballitos

situados a 2,5 m del eje de giro. Calcula:

a) La frecuencia, expresada en hercios, el período, la velocidad angular y lavelocidad con que se trasladan los caballitos.

b) El ángulo descrito y la distancia recorrida por ellos, si cada viaje dura 4 min.

c) La aceleración a la que está sometida una persona sentada en uno de ellos.

a) La frecuencia, el período y la velocidad angular de un punto no depende de la dis-tancia al eje de giro, es la misma para todos los puntos del tiovivo.

f = 12 r.p.m. = 12 �vu

meilntas� = 12 �

vumeilntas� �

6m0ins

� = 0,2 �vue

sltas� = 0,2 Hz

T = �1f� = �

0,12

vvuueellttaa/s

� = 5 s

ω = 2 · π · f = 2 · π �vu

raedlta� · 0,2 �

vueslta� = 0,4 · π �

rasd�

La velocidad lineal depende de la distancia al eje: v = ω · R = 0,4 · π �rasd�· 2,5 m = π �

ms�

b) El ángulo que describe cualquier punto del tiovivo es:

ϕ = ω · t = 0,4 · π rad/s · 4 min · 60 s/min = 96 · π rad

que corresponden a 48 vueltas.

La distancia recorrida por un punto depende de la distancia al eje:

∆e = v · t = π m/s · 240 s = 240 · π m

c) En el movimiento circular cada punto del tiovivo está sometido a una aceleraciónnormal que modifica continuamente a la dirección del vector velocidad. Mientrasque el movimiento sea uniforme, la aceleración tangencial es igual a cero.

� an = �ω2

R· R2

� = ω2 · R = (0,4 · π rad/s)2 · 2,5 m = 3,9 m/s2an = �vR

2

�

v = ω · R



PARA SABER MÁS

Tierra

Luna

a Aristóteles sitúa a la Tierra en el centrodel Universo. Los astros se mueven a sualrededor siguiendo trayectorias circulares.

El movimiento y la ciencia modernaDesde antiguo, las personas han anotado y estudiado el movimiento de los astros.

Los sacerdotes babilonios recogieron, durante muchas generaciones, la posición

del Sol, la Luna y de los planetas. Encontraron regularidades en sus movimientos,

describieron las trayectorias que recorrían y, con ellas, predijeron eclipses.

Estas observaciones las recogieron los pensadores griegos. La regularidad del

movimiento de los objetos celestes y la irregularidad de los movimientos terres-

tres les llevó a considerar a la trayectoria circular como símbolo de perfección.

Así, Aristóteles (384-322 a.C.) distingue entre las trayectorias circulares y perfec-

tas del movimiento de los planetas y las trayectorias caóticas del mundo de la

superficie terrestre, que él llamó mundo sublunar.

Los movimientos del mundo sublunar los clasifica en naturales y violentos.

El movimiento natural es propio de la naturaleza de los objetos. Cada objeto tiene

un lugar en el espacio y si no lo ocupa, tiende a alcanzarlo moviéndose. La caída de

los objetos es un movimiento natural, cayendo antes los pesados que los ligeros.

Para justificarlo recurre a que la materia está constituida por cuatro elementos

básicos: tierra, aire, fuego y agua. Estos elementos sufren la acción de dos fuer-

zas: la gravedad o tendencia de la tierra y del agua a hundirse, y la ligereza o ten-

dencia del aire y fuego a ascender. Una piedra, formada por tierra, tiende a

ocupar su estado natural, que es el suelo, más rápidamente que una pluma de un

ave formada, en parte, por aire.

El movimiento violento es consecuencia de la actuación de alguna fuerza. Un

carro se mueve por que tira de él una caballería, y un barco, porque el viento

empuja las velas.

Para Aristóteles no hay movimiento sin el concurso de una fuerza, siendo el

estado natural de los objetos el reposo, con la excepción de los objetos celestes

que describen una trayectoria circular sin principio ni fin. Según Aristóteles, en el

movimiento de los planetas no se precisaba del concurso de ninguna fuerza.

Estas ideas perduraron hasta el nacimiento de la ciencia moderna, cuando Gali-

leo Galilei (1564-1642) se dio cuenta de que Aristóteles no había considerado la

existencia del vacío.

Comprendió que el movimiento siempre ocurre en un medio resistente como el

aire o el agua y por tanto, siempre hay algo que se opone al mismo. Esta es la

razón por la que hay que aplicar continuamente una fuerza sobre un objeto para

mantenerlo en movimiento.

Después de considerar la posibilidad del movimiento en ausencia de aire, experi-

mentó con planos inclinados con el fin de amortiguar la aceleración de caída.

Cuanto más inclinado está el plano más rápidamente cae el objeto, y el caso límite

es la caída vertical.a Galileo lanzando objetos desde lo altode la torre de Pisa.


Y


Halló que las distancias recorridas durante intervalos de tiempo iguales estaban

en la proporción 1:3:5:7. Si el plano estaba más inclinado, las distancias eran

mayores pero las proporciones eran siempre las mismas. Concluyendo que la

misma ley debía regir en el caso límite, la vertical.

Galileo concluyó que todos los objetos, en las proximidades de la Tierra y en

ausencia de aire, caen con la misma aceleración independientemente de su masa,

forma o tamaño.

a El caso límite de un plano inclinado es lavertical.

ACTIVIDADES RESUELTASLa figura del margen representa una secuencia de fotografías, obtenidas

cada 0,2 s, de una pelota que se deja caer desde una ventana situada a unaaltura de 5 m sobre el suelo. Comprueba que las posiciones de la pelota estánde acuerdo con la ley encontrada por Galileo. ¿Qué relación hay entre las suce-sivas posiciones de la pelota y el tiempo transcurrido?

Se elige como origen del sistema de referencia el punto desde el que se deja caer lapelota. De la secuencia fotográfica se obtiene la siguiente tabla de valores.

Los intervalos de tiempo son iguales. Si se elige como unidad de longitud la recorridapor la pelota en el primer intervalo de tiempo, la distancia total recorrida en los suce-sivos intervalos es:

Primer intervalo: 0,2 m – 0 m = 0,2 m = 1 unidad

Segundo intervalo: 0,8 m – 0,2 m = 0,6 m = 3 unidades

Tercer intervalo: 1,8 m – 0, 8 m = 1,0 m = 5 unidades

Cuarto intervalo: 3,2 m – 1,8 m = 1,4 m = 7 unidades

Quinto intervalo: 5,0 m – 3,2 m = 1,8 m = 9 unidades

De acuerdo con la ley encontrada por Galileo para la caída libre.

b) Para calcular la relación entre las posiciones de la pelota y el tiempo transcurrido serepresenta la posición frente al cuadrado del tiempo.

La representación gráfica es una línea recta cuya pendiente es igual a 5 m/s2.

Como la pelota se deja caer desde el reposo se tiene que: ∆h = �21

� · g · t2

De donde se obtiene el valor aproximado de la aceleración de la gravedad:

pendiente = 5 m/s2 = �21

� · g ⇒ g = 10 m/s2

Durante la caída de un objeto la distancia total recorrida es proporcional al

cuadrado del tiempo transcurrido.

d

t (s) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

h (m) 0 0,2 0,8 1,8 3,2 5,0

t2 (s2) 0 0,04 0,16 0,36 0,64 1,0

e (m) 0 0,2 0,8 1,8 3,2 5,0

00,2 0,4 0,6 0,9 1

1

2

3

4

5

t2 (s2)

h (m)

Pendiente = ∆h∆(t2)

=

5= 5 m1 s2 = m

s2

a Gráfica posición frente a t2.

h (m)

3

4

5

2

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1t (s)

a Gráfica posición frente a tiempo.

1 m

2 m

3 m

4 m

5 m

0 m0,2 m0,8 m

1,8 m

5 m

3,2 m

0

a Sucesivas posiciones



1. Expresa la velocidad de 20 m/s en km/h y la de 120 km/h en m/s.

2. Para medir la distancia de la Tierra a la Luna se usa un rayo láser que, lanzadodesde la Tierra a la Luna, tarda en volver 2,56 s. ¿Cuál es la distancia Tierra-Luna?

3. La posición de un móvil, que describe una trayectoria en línea recta respecto a unsistema de referencia queda determinada por la ecuación: x = 5 + 2 · t, en la quetodas las magnitudes se expresan en unidades del SI. Calcula la posición y veloci-dad iniciales. Determina su posición y la distancia recorrida al cabo de un minuto.¿Cuánto tiempo tarda en recorrer 200 m?

4. La gráfica adjunta representa la posición de un móvil respecto a un sistema de refe-rencia y a lo largo del tiempo. Calcula la velocidad del móvil en cada tramo de la grá-fica y represéntala gráficamente. Calcula la distancia total recorrida por el vehículo y,si la trayectoria fuera una línea recta, determina el módulo del desplazamiento.

5. La posición de un móvil, respecto a un sistema de referencia, está representada enla figura adjunta. Determina la posición inicial y la velocidad del vehículo. Si conti-núa con esa misma velocidad, ¿a qué hora estará en la posición 400 km? ¿Dóndese encontrará cuando hayan transcurrido 5 h y 15 min?

6. Un ciclista pasa por la pancarta que indica que faltan 10 km para llegar a la meta,con una velocidad de 36 km/h. A un kilómetro de distancia se acerca otro con unavelocidad de 40 km/h. ¿Quién gana la etapa? En el caso de que la etapa la ganeel segundo ciclista, ¿a qué distancia de la meta alcanza al primero?

7. Dos móviles salen desde posiciones separadas por una distancia de 1 km, el unoen persecución del otro, con velocidades de 10 km/h y 12 km/h. Calcula cuántotardan en encontrarse y la distancia recorrida por cada uno de ellos. Construye lascorrespondientes gráficas de la posición frente al tiempo para los dos móviles.

8. Un pasajero que desea realizar un largo viaje llega a la estación con una hora deretraso. En la parada de taxi toma uno y decide perseguir al tren por una carreteraparalela a la vía. Si el tren se mueve con velocidad constante de 60 km/h y el taxia 90 km/h, calcula el tiempo que tarda en alcanzar al tren y dónde se encuentran.Construye la gráfica de la posición frente al tiempo para los dos móviles.

9. Dos vehículos salen al encuentro, uno del otro, desde puntos separados entre sí300 km, con velocidades de 60 km/h y 30 km/h. Si el que va más despacio arranca2 h más tarde de la hora prevista, determina: cuándo se encuentran y a qué dis-tancia del punto de partida del móvil que va más deprisa. Construye las corres-pondientes gráficas de la posición frente al tiempo.

10. La gráfica adjunta representa la velocidad de un móvil en el transcurso del tiempo.Describe el movimiento del objeto, determina su aceleración en cada tramo yrepresenta sus valores en una gráfica.

11. Un automóvil transita con una velocidad de 54 km/h y acelera hasta los 72 km/h enun tiempo de 10 s. Determina la aceleración del vehículo y la distancia recorrida.

12. Un objeto que lleva una velocidad de 30 m/s, frena y se detiene después de reco-rrer 200 m. Determina la aceleración y el tiempo que tarda en pararse.

13. ¿Cuál es la aceleración de un móvil que toma una curva de 40 m de radio a72 km/h?

210

180

150

120

90

60

30

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Posición (km)

Tiempo (h)

a Actividad 4.

14

12

10

8

6

4

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Velocidad (m/s)

Tiempo (s)

a Actividad 10.

e (km)

t (h)

250

200

150

100

50

01 2 3 4

a Actividad 5.

ACTIVIDADES FINALES


Y


14. Un automóvil va a 108 km/h y se detiene al cabo de 20 s. Determina la aceleracióny la distancia recorrida hasta que se detiene. ¿Cómo se modifica el tiempo y la dis-tancia recorrida, si el coche hubiera llevado una velocidad de 54 km/h?

15. Un motorista está parado en un semáforo que da acceso a una calle. En el instanteen el que el semáforo cambia a luz verde le sobrepasa un automóvil que va conuna velocidad constante de 36 km/h. El motorista se entretiene 1 s en arrancar ylo hace con una aceleración constante de 4,8 m/s2. ¿Cuánto tarda la motocicletaen alcanzar al coche? ¿Qué distancia han recorrido? Construye los diagramas dela velocidad y de la posición frente al tiempo para los dos vehículos.

16. Una noche de niebla transita un camión por una carretera recta y estrecha con unavelocidad constante de 54 km/h y detrás del camión va un automóvil con una velo-cidad de 90 km/h. El conductor del coche no descubre al camión hasta que seencuentra a 20 m de él. Si en ese instante pisa el freno imprimiendo una acelera-ción negativa de 4 m/s 2, determina si habrá colisión.

17. Deduce que, para un objeto que se deja caer desde una altura h, la velocidad en unaposición cualquiera se puede determinar mediante la ecuación: v = �2 · g ·� h�.

18. Desde el pretil de un puente se deja caer, partiendo del reposo, una piedra quetiene una masa de 30 g. Si tarda 1,4 s en golpear contra la superficie del agua,determina la altura del puente y la velocidad con que golpea al agua.

19. Desde la terraza de un edificio se deja caer, partiendo del reposo, una pelota detenis que tiene una masa de 55 g. Si la pelota llega al suelo con una velocidad de12 m/s, determina el tiempo que tarda en caer y la distancia desde la que se soltó.

20. Desde el suelo se lanza verticalmente un objeto con una velocidad inicial de15 m/s. Determina la altura que alcanza y el tiempo que tarda en alcanzarla. Calcu-la el tiempo que tarda en regresar al suelo y la velocidad en ese instante.

21. Se lanza un objeto verticalmente y hacia arriba y tarda 6 segundos en volver a lamano. ¿Hasta qué altura subió?

22. Se lanza verticalmente y hacia arriba una pelota con una velocidad inicial de20 m/s. En el mismo instante se deja caer otra desde una altura de 40 m. Deter-mina el punto de encuentro y calcula la velocidad de las pelotas en ese instante.Utiliza como valor de g 10 m/s2.

23. La Luna tarda 27,3 días en recorrer su órbita de 380 000 km de radio. Determinala velocidad lineal y angular de la Luna.

24. Un ciclista transita con una velocidad de 18 km/h sobre una bicicleta cuyas ruedastienen un radio de 42 cm. Calcula la frecuencia expresada en r.p.m., el período yla velocidad angular de las ruedas. ¿Qué ángulo describen los radios de las ruedasen un minuto? ¿Cuántas vueltas gira la rueda en ese tiempo?

25. Las ruedas grandes de un tractor tienen un radio de 1 m y las pequeñas de 50 cm.Si las ruedas grandes giran con una velocidad angular de 6 rad/s, determina: lavelocidad del tractor, la velocidad angular de las ruedas pequeñas y el período yfrecuencia de los dos tipos de ruedas.

26. Los radios de una rueda de bicicleta miden 45 cm y recorren un ángulo de 270°en 0,25 s. Determina su velocidad angular, el período, la frecuencia y la velocidaddel ciclista.

a El paracaidista no acelera indefinida-mente. Debido a la fricción con el aire sealcanza una velocidad constante, llamadavelocidad límite, de 20 km/h. Si no se abreel paracaídas la velocidad límite es de másde 200 km/h.

a Los puntos del exterior de las ruedastienen la misma velocidad lineal.



CIENCIA Y SOCIEDAD

INVESTIGA

1. En la enciclopedia Wikipedia puedes encontrar información sobre los distintos tipos de cinturones de seguridad y sobresu historia: http://es.wikipedia.org

2. Si quieres profundizar sobre el uso del cinturón de seguridad y las diversas campañas sobre su uso o sobre otros aspec-tos o normas de la circulación, puedes encontrar información en la página de la Dirección General de Tráfico:http://www.dgt.es/enterate/home.htm

El cinturón de seguridad es un mecanismo de seguridad

que se incluye de serie en la fabricación de los vehículos.

El cinturón de seguridad es el elemento que mayor seguri-

dad pasiva aporta a los usuarios en caso de accidente.

Los ocupantes de un vehículo llevan la misma velocidad que

él. En un choque o colisión, el vehículo se detiene inespera-

da y bruscamente debido a la violencia del impacto. Los ocu-

pantes continúan con su estado de movimiento sin que ac-

túe ninguna fuerza para detenerlos hasta que se estrellan

contra el volante, el parabrisas o el panel de instrumentos.

Un golpe de este tipo a 50 km/h es equivalente a caer des-

de el segundo piso de un edificio. La principal función del

cinturón de seguridad es mantener a los pasajeros en su

asiento y evitar que salgan despedidos fuera del vehículo o

que se desplacen dentro del habitáculo en caso de colisión.

En ensayos de laboratorio simulando choques fronta-

les, y usando maniquíes, se ha demostrado la altísima

probabilidad que tiene el conductor y otros pasajeros

de sufrir severos traumatismos por el golpe ocasiona-

do por otra persona sentada atrás sin cinturón de se-

guridad.

El cinturón es útil en cualquier tipo de trayecto, corto o

largo, urbano o por carretera y tanto en las plazas de-

lanteras como en las traseras de un automóvil.

En el caso de los niños de menos de 36 kg o de altura in-

ferior a 1,5 metros, el cinturón de seguridad no es efec-

tivo, por lo que deben utilizar elementos de retención

homologados y adecuados a su masa y estatura.

Así que hay que recordar que el cinturón es un seguro

de vida y no hay que olvidar de abrochárselo siempre.

El dispositivo del airbag no es un sustituto del cinturón

de seguridad, sino un complemento, ya que ambos ele-

mentos están diseñados para trabajar juntos y si el air-

bag se activa sin el cinturón puede ser incluso perjudicial.

El cinturón de seguridad



EN RESUMEN

AMPLÍA CON…

• JAVIER AMANTE (1987): La base de la Física. Editorial:Penthalon.

• Mª CONSUELO ESCOTET SUÁREZ (1999): Experimentos de Física.Investigación científica en secundaria. Editorial: Narcea, SAde ediciones.

• JOSÉ M. VAQUERO (2003): La nueva Física: Galileo. Coleccióncientíficos para la historia. Nívola Libros y Ediciones.

• JUAN IGNACIO MENGUAL (2006): Física al alcance de todos.Editorial Pearson.

• JAMES DE KAKALIOS (2006): La Física de los superhéroes.Editorial: Ediciones Robinbook.

• La página http://www.walter-fendt.de/ph14s/ presentasimulaciones interactivas de movimientos y sus representa-ciones gráficas.

• En la página http://newton.cnice.mecd.es/ del proyectoNewton de Física se abordan los diferentes elementos delmovimiento y los movimientos rectilíneos y circular.

• El Universo mecánico. Lección 2. La ley de la caída de loscuerpos. Ed. Arait. Multimedia.

• Cinemática 1. Ed. Didascalia. 29 minutos.

• El movimiento. Ancora Audiovisual SA. 22 min.

Aceleraciónnormal distinta de cero

Aceleraciónnormal igual

a cero

Rapidez

Movimiento

elementos

determinaTrayectoria

Rectilínea CurvilíneaDistanciarecorrida

Aceleraciónnormal

Aceleracióntangencial

Sentido DirecciónMódulo

Posición

Vector velocidad

Vector desplazamiento

Sistema dereferencia

variación variación


cinematica editex

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