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CINEMTICA DE UN PUNTO MATERIAL
Por: M.Cs. Lic. Norbil H. Tejada Campos
Compilacin de Informacin Bibliogrfica
1. INTRODUCCION
Cinemtica. !s considerada como parte de la "inmica# $ se oc%pa de est%diar el mo&imientode los c%erpos sin considerar las ca%sas '%e lo prod%cen# tambi(n se p%ede considerar como la)eometr*a del mo&imiento.
Partcula.- !l concepto int%iti&o '%e tenemos de part*c%la corresponde al de %n objeto m%$pe'%e+o '%e p%ede tener forma# color# masa# etc.# como por ejemplo %n grano de arena. !lconcepto f*sico abstracto es %na ideali,acin de %n objeto considerado como %n p%nto
matemtico sin dimensiones# '%e tendr slo posicin# masa $ mo&imiento de traslacin. !stosignifica '%e c%al'%ier objeto p%ede ser considerado como part*c%la# independiente de s%tama+o# considerando s% masa concentrada en %n p%nto '%e lo representa. !jemplos de objetos'%e se p%eden considerar como %na part*c%la son %n tomo# %na -ormiga# %n a&in# la Tierra#etc.# en este ltimo caso se j%stifica si se est%dia s% mo&imiento de traslacin en torno al /ol.
Mo&imiento. /e define como el cambio contin%o de posicin '%e e0perimenta %n c%erpo amedida '%e transc%rre el tiempo con respecto a %nsistema de referencia.
Trayectoria.- Es la c%r&a o l%gar geom(trico '%e describe %na part*c%la en s% mo&imiento en elespacio# $ se representa por %na ec%acin algebraica. Por ejemplo# en %n mo&imiento
%nidimensional la tra$ectoria es %na l*nea recta# y = constante, paralela al eje 01 en %nmo&imiento bidimensional la tra$ectoria p%ede ser %na parbola# y = a + bx2# %nacirc%nferencia#x2+ y23 r2# % otra c%r&a.
/egn la tra$ectoria se tiene di&ersos tiposde mo&imiento como los sig%ientes:Trayectoria MovimientoL*nea recta Mo&imiento rectil*neo.Parbola Mo&imiento parablico.Circ%nferencia Mo&imiento circ%lar.!lipse Mo&imiento el*ptico.4ndas # etc. Mo&imiento ond%latorio# etc.
/egn s% &elocidad# tenemos las sig%ientes clasesde mo&imientos:Mo&imiento %niforme [ ]v constante= 5 [ ]6=a .Mo&imiento %niformemente &ariado [ ]v constante 5 [ ]a constante= .Mo&imiento &ariado [ ]v constante 5 [ ]a constante .
Posicin.- !s la %bicacin de %n objeto 7o part*c%la8 en el espacio# relati&a a %n sistema de
referencia. !s %n &ector $ se denota por !"#yixtrr ++== 87 # dondex, y $" son los &alores
de la posicin# en coordenadas cartesianas# en cada direccin# e i9 # #9 $ !9 son los &ectores
%nitarios en la direccin de cada ejex, y $"# respecti&amente.
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$espla"amiento.- El despla,amiento se define como el cambio de posicin de %na part*c%la enel espacio 7para indicar cambios o diferencias finitas de c%al'%ier &ariable en f*sica se %sa els*mbolo delta# 8. !s independiente de la tra$ectoria '%e se siga para cambiar de posicin. Para
determinarlo se debe conocer la posicin inicial ir $ final fr de la part*c%la en mo&imiento.
$istancia.- !s la longit%d '%e se -a mo&ido %na part*c%la a lo largo de %na tra$ectoria desde%na posicin inicial a otra final. /% &alor n%m(rico en general no coincide con el &alor n%m(ricodel despla,amiento# e0cepto en casos m%$ partic%lares.
Tiempo.- ;
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>ig 62. Posicin de %na part*c%la d%rante s% mo&imiento en el espacio
3. MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL
3.1. "espla,amiento:La posicin de %na part*c%la '%eda determinada dando simplemente %n nmero 7la ?coordenada0@8. La descripcin de s% mo&imiento es completa si conocemos la f%ncin 07t8 '%e indica laposicin '%e oc%pa en cada instante t. La diferencia entre la coordenada de %na part*c%la entre
dos instantes tA$ t27con t2 tA8 se denomina despla,amiento: A2 xxx =
!l despla,amiento es %na magnit%d &ectorial# por lo tanto tiene mod%lo# direccin $ sentido. /ila coordenada 0 de la part*c%la se incrementa d%rante cierto inter&alo de tiempo# entonces eldespla,amiento es positi&o1 si# por el contrario# decrece# el despla,amiento es negati&o.
3.2. elocidad ( )v :!s la magnit%d de tipo &ectorial '%e nos indica ladireccin en '%e se m%e&e %n c%erpo# $ s% &alor nos da ladistancia '%e recorre en cada %nidad de tiempo.)rficamente &iene a ser la tangente a la tra$ectoria. /ee0presa en %nidades segn el sistema# como: m.sA1 cm.sA1pie.sA1 Dm.-A1 milla.-A1 etc.
elocidad media 7 mv 8:
"e la fig%ra# tenemos: 0 3 70E08708 $ t 3 7t E t87t81
!ntonces1 el despla,amiento de la part*c%la 7o c%erpo8 en
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el inter&alo de tiempo 7t8# esta relacionado de la sig%iente manera# lo c%al define la &elocidad
media# como:
Matemticamente: Fl despla,amiento por %nidad de tiempo#
iempoervalo
entodespla"ami
t
xvm
detint
=
= . . . . . . . . 7ec. 6A8
)rficamente:
tan& x
t=
. . . . . . . . . 7ec. 628
'elocidad instant(nea )v* nterpretacin fsica/i se -ace cada &e, ms pe'%e+o
t# entonces el p%nto P'%eda cada &e, ms cerca a P;-asta '%e x, coincide con la tangente en P a la
tra$ectoria.
Matemticamente:
t
xvv
tm
t
== 66
limlim v dx
dt= . . 7ec. 6G8
Lo c%al# se interpreta como la rapide, de &ariacindel despla,amiento 7A8.
)rficamente:
La &elocidad instantnea en c%al'%ier p%nto de %na grfica coordenadatiempo es# portanto# ig%al a la pendiente de la tangente a la c%r&a en dic-o p%nto 7de la fig%ra# en elp%nto P8.
"e la ec%acin 6G# tenemos: dx vdt =
Integrando# obtenemos 7donde1 para %n tiempo t6en la posicin 06$# para %n tiempo t en laposicin 08:
dx v dt
x
x
t
t
o o
= . 1 como: & 3 &7t8
x x v dtot
t
o
= .
x x v dtot
t
o
= + . . . . . . . . . . . . . . . . . 7ec. 68
A a velocidad instant(nea se obtiene calculando la derivada del despla"amiento con respecto altiempo.
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3.3.celeracin ( )a
Magnit%d de tipo &ectorial# c%$o &ector representati&o indica la direccin en '%e cambia la
&elocidad1 $ s% &alor nos da el a%mento o dismin%cin '%e e0perimenta la &elocidad en cada%nidad de tiempo. /e e0presa en %nidades segn el sistema# tales como: m.s 21 cm.s21 pie.s21Dm.-21 milla.-21 etc.
celeracin media ( )ma
Matemticamente:of
of
mtt
vv
t
va
=
= . . . . . . . . . . 7ec. 68
celeracin instant(nea ( )a
Matemticamente:t
vaa
tm
t ==
66limlim a
dv
dt= . . . . . . . . . 7ec.
6J8
"e la ec%acin 6J# tenemos: dv adt =
Integrando# obtenemos 7donde1 para %n tiempo t6con %na &elocidad &6$# para %n tiempo t con&elocidad &81
dv a dt v
v
t
t
o o
= . 1 como: a a t= 7 8
v v a dt o
t
t
o
=
.
v v a dt ot
t
o
= + . . . . . . . . . . . . . . . . . 7ec. 6K8
3.4. Movimi!to R"ti#$!o U!i%o&m 'MRU(
"efinicin. !s el mo&imiento '%e sig%e %na part*c%la en la c%al s% tra$ectoria es %na l*nearecta $ s% &elocidad es constante.
E#emplo /0.- 1n mvil ue se despla"a en lnea recta recorriendo espacios i&uales enintervalos de tiempos i&uales describe un M314 tal es el caso de la fi&ura /5
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Tenemos1 & 3 constante1 a 3 61 lo c%al significa '%e la &elocidad no s%fre cambios.
"e la ec%acin 6G# obtenemos: dx vdt =
Integrando# tenemos:
dx v dt x
x
t
t
o o
= . 1 & 3 constante
x x v t to o
= 7 8
x x v t to o
= + 7 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 7ec. 68
3.). Movimi!to R"ti#$!o U!i%o&mm!t V*&i*+o 'MRUV(
"efinicin. !ste mo&imiento se caracteri,a por'%e el m&il recorre %na l*nea recta de tal modo'%e s% &elocidad a%menta o dismin%$e en cantidades ig%ales d%rante inter&alos de tiempotambi(n ig%ales.
E#emplo /2.- En la fi&ura /6, se representa el movimiento rectilneo uniformemente aceleradode un punto material )M31*, donde su velocidad aumenta uniformemente, de 0/ m7s en 0/m7s cada 2 s4 vale decir ue est( afectado de una aceleracin lineal de 8 m7s 2.
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Tenemos '%e: a 3 constante1 lo c%al significa '%e# la &elocidad s%fre cambios ig%ales eninter&alos de tiempos ig%ales.
"e la ec%acin 6J# tenemos: dv adt =
Integrando1 dv a dt v
v
t
t
o o
= . 1 a3 constantev v a t t
o o= + 7 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 7ec. 68
Fdems# se tiene otras ec%aciones:
i. ( )[ ]dx v dt v a t t dt o o= = + . .
Integrando1
( )[ ]dx v a t t dt x
x
o o
t
t
o o
= + . 1 a = constante
( )x x v t t a t to o o o= + + 7 8 A
2
2. . . . . . . . . . . . . . . . 7ec. A68
ii. dv a dt = . 1 vdv adt dx
dt=
vdv adx= .
Integrando1
vdv adxv
v
x
x
o o
= 1 a = constante
( )A
2
A
2
2 2v v a x x
o o =
v v a x xo o
2 2 2= + 7 8 . . . . . . . . . . . 7ec. AA8
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E#emplo /9.- 1n automvil ue se nueve en lnea recta parte del reposo y se despla"a con unaaceleracin de : m7s2durante 8 s4 lue&o se apa&a el motor y el auto desacelera debido a lafriccin durante los si&uientes 0/ s a un promedio de 0,/ m7s24 por ;ltimo, se aplican losfrenos y el auto se detiene en 8 s m(s. $etermine la distancia total ue recorre el mvil.
/ol%cin
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!n el tramo FB:"istancia recorrida:
2
2
A.
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/ol%cin
Parte 7a8:
!n el inter&alo de 6 a G s:
Fceleracin: 8N72 2sma=
elocidad: 22 += tv
Posicin:
22 +== tdt
dxv
se tiene: dttdx 8227 +=
integrando: += dttdx 8227
A
2
2 =ttx ++=
"onde# por condiciones iniciales# setiene:
m=mxst 6A66 A66 ===
Tenemos:
A622 ++= ttx
Posicin para :Gst=
mx t 2I8G7 ==
!n el inter&alo de G a AA s:
Fceleracin: 8N7A 2sma = elocidad: AA+= tv Posicin:
AA+== tdt
dxv
se tiene: dttdx 8AA7 +=
integrando: += dttdx 8AA7
2
2 AA2
A=ttx ++=
"onde# por condiciones iniciales delinter&alo# se tiene:
m=mxst2
K2IG
A66 ===
Tenemos:
2
KAA
2
A 2 += ttx
Posicin para :Ist=
mx t GM8I7 == 7Opta8.
Parte 7b8:
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E#emplo /8.- En el &r(fico, se muestra la dependencia de la aceleracin en funcin deltiempo para una partcula ue se mueve en lnea recta. %e pide a* anali"ar el tipo demovimiento en los diferentes intervalos de tiempo, b* la posicin y velocidad ue alcancedic@a partcula a los 8/ se&undos despuAs de @aber iniciado del reposo.
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/ol%cin
Parte 7a8. Tipos de mo&imiento:
!n el inter&alo de 6 a A6 s: mo&imiento rectil*neo acelerado#8N7 2smta
=!n el inter&alo de A6 a G6 s: mo&imiento rectil*neo acelerado# 8N7J
I
2 2smta +=
!n el inter&alo de G6 a 6 s: mo&imiento rectil*neo %niforme# 8N76 2sma=
Parte 7b8. Posicin $ &elocidad para 87I6 st= :
!n el inter&alo de 6 a A6 s:
Velocidad:
t
dt
dva ==
se tiene: dttdv 87=
integrando: = tdtdv
A
2
2
A=tv +=
"onde# por condiciones iniciales delinter&alo# se tiene:
sm=smvst N6N66 A66 ===
Tenemos:
2
2
Atv=
elocidad para :A6st=
smv t NI68A67 ==
Posicin:
2
2A t
dtdxv ==
se tiene: dttdx 82
A7 2=
integrando: = dttdx 22A
2
G
J
A=tx +=
"onde# por condiciones iniciales delinter&alo# se tiene:
m=mxst 666 266 ===
Tenemos: G
JA tx=
Posicin para :A6st =
mx t JK#AJJG
I668A67
===
!n el inter&alo de A6 a G6 s:
Velocidad:J
I
2+== t
dt
dva
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se tiene: dttdv 8JI
27 +=
integrando: += dttdv 8JI2
7
G
2 J
I
A=ttv ++=
"onde# por condiciones iniciales delinter&alo# se tiene:
m=smvst NG6NI6A6 GA6 ===
Tenemos:
G6JI
A 2 += ttv
Posicin para :G6st=
smv t NGG68G67 ==
Posicin:
G6JI
A 2 +== ttdt
dxv
se tiene: dtttdx 8G6JI
A7 2 +=
integrando:
+= dtttdx 8G6JIA7 2
H
2GG6G
AI
A=tttx ++=
"onde# por condiciones iniciales delinter&alo# se tiene:
m=mxst A66G
I66A6 HA6 ===
Tenemos:
A66G6GAI
A 2G ++= tttx
Posicin para :G6st=
mx t GK668G67 ==
!n el inter&alo de G6 a 6 s:
Velocidad:
6==dt
dva
se tiene: 6=dvintegrando: 6=dv
I=v=
"onde# por condiciones iniciales delinter&alo# se tiene:
m=smvst GG6NGG6G6 IG6 ===
Tenemos:8tan7GG6 teconsv=
Posicin para :I6st=
smv t NGG68I67 == 7Opta8
Posicin:
GG6==dt
dxv
se tiene: dtdx 8GG67=
integrando: = dtdx 8GG67
JGG6 =tx +="onde# por condiciones iniciales delinter&alo# se tiene:
m=mxst J266GK66G6 JG6 ===
Tenemos:J266GG6 = tx
Posicin para :I6st=
mx t A6G668I67 == 7Opta8
E#emplo /5.- 1n mvil se mueve en lnea recta con una velocidad cuyo cuadrado decrecelinealmente con el despla"amiento entre los puntos y < ue distan 9/ m entre s. $etermineel despla"amiento BxC del mvil durante los 2 s ue preceden la lle&ada a B
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/ol%cin
"e la ec%acin de la recta: GHII2 += xv
Tenemos: GHII += xv
GHII +== xdt
dxv
se tiene: vdtdx=
dtx
dx=
+ GHII
integrando:
=+
t
tx
dtx
dx
2
HI
GHII1 integral del tipo:
baxxa
x
x
dx +== 2
[ ]tx t
t
x
2
HI
I
GHII2
=
+
mx 6M.AL= 7Opta8.
3.. Movimi!to V&ti"*#.- C*$+* Li&
"efinicin.- !s el caso ms importante de %n mo&imiento rectil*neo %niformemente acelerado7MOF81 en el c%l los c%erpos caen libremente 7sin obstc%los8 -acia la tierra en direccin
&ertical $ con %na aceleracin constante e'%i&alente a la aceleracin de la &ravedad ( )& # la
misma '%e &ar*a de %n l%gar a otro de la s%perficie terrestre.
'alores de & !l &alor de la aceleracin de la gra&edad 7g8 es propia de cada c%erpo celeste. !n
el caso partic%lar de la tierra# se considera %n &alor standard de #Ams2 G2#2 piess21
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"efinicin. !s a'%el mo&imiento en '%e la part*c%la recorre %na tra$ectoria c%r&a# $a sea en el plano7O28 o en el espacio 7OG8.
Poi"i!. !"#yixtrr ++== 87
V#o"i+*+ 87v .
V#o"i+*+ M+i* ( )mv .- !l m&il se -adespla,ado por el arco AA 7 1 eldespla"amiento# es %n &ector .. r
N = #segn la fig%ra tenemos:
r r rN = +
( ) ( ) ( ).. r r r x x i y y # " " !N N N N N= = = + +
r xi y# "! = + +
t
rvm
=
v
x
ti
y
t#
"
t!= + +
. . . . . . . . . . . . 7ec.
A8
3epresentacin &r(fica: la &elocidad promedio se representa por %n &ector paralelo al despla,amiento
.. rN =
V#o"i+*+ I!t*!t8!* ( )v .-si -acemos t pe'%e+o 7t 68# tenemos:
t
rvv
tm
t
==
66limlim
rdt
rdv
== . . . . . .
7ec. AJ8
3epresentacin &r(fica: la &elocidad instantnea es %n&ector tangente a la tra$ectoria en el p%nto enreferencia.
TambiAn:
v
dx
dti
dy
dt#
d"
dt!= + + . . . . . . . . . 7ec. AK8
Las componentes de la &elocidad a lo largo de los ejes de coordenadas# son:
v dx
dtx = 1 v
dy
dty
= 1 v d"
dt"= . . . . . . . . . . . . 7ec.
A8
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La magnit%d de la &elocidad se determina por la ec%acin:
v v v vx y "= + +2 2 2
. . . . . . . . . . . . 7ec. A8
a on&itud del rco,s# trata de conf%ndirse con r # lo '%e permite:
ds
rd
s
r
st
=
6lim !
ds
d"#
ds
dyi
ds
dx
ds
rd ++= . . . . . . . . . . . 7ec. 268
donde:ds
dx1
ds
dy1
ds
d": representan los cosenos directores de la tangente a la c%r&a.
Tambi(n# se sabe '%e 7L 9o&*&i*8:222 d"dydxds ++=
"e donde:
Tud"dydx
!d"#dyidx
ds
rd =
++
++=
222. . . . .
. 7ec. 2A8
Por lo tanto# la ec. AJ# res%lta:
Tuv
dt
ds
ds
rd
dt
rdv
=== . . . . . . 7ec. 228
Aceleracin 87a .-
A"#&*"i! M+i* ( )ma :
t
vam
=
!
t
v#
t
vi
t
va "
yxm
+
+
= . . . . . 7ec. 2G8
Aceleracin Instantnea ( )a .-si -acemos t pe'%e+o 7t 8# tenemos :
t
vaa
tm
t
==
66limlim r
dt
vdv
== . . . ..
7ec. 28
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/i la aceleracin no es %na constante# al deri&arla con respecto al tiempo res%lta:
rdt
rd
dt
rd
dt
d
dt
d
dt
vd
dt
d
dt
ad==
=
=
G
G
. . . .. 7ec. 28
"onde la deri&ada de la aceleracin#dt
ad# representa la &ariacin de la aceleracin debido a %na
&ariacin de la f%er,a res%ltante responsable de la aceleracin# %tili,ada en m'%inas# a esta deri&adase le llama PULSOo
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b8 Para t36#2 s# determinar:
Posicin:
#yixr +=
"onde:87282I.67cos2cos2 mtx ===
872
282I.67 msentseny ===
( ) 872
222I#6 m#irt
+==
Velocidad:
( )#yixdt
d
dt
rdv
+==
#titsenv cos2 +=
( ) #iv t
2
222I#6 +==
( ) 8N722#2HH#H2I#6 sm#iv t +==
Md%lo: ( ) 8N7MJH#H2I#6 smv t ==
Aceleracin:
( )#vivdt
d
dt
vda yx
+==
#tsenita 22 cos2 =
( ) #ia t 22
2I#62
22 ==
( ) 8N7ML#JMJ#AG 2
2I#6 sm#ia
t ==
Md%lo: ( ) 8N7JA#AI 2
2I#6 sma
t ==
E#emplo /:.- %e sopla el &rano @acia un contenedor de tren abierto con una velocidad 'ode 5m7s. Gu(les deben ser las elevaciones BdC mnima y m(xima para ase&urar ue todo el&rano cae en el tren. Hmitir todo efecto de ro"amiento y el viento.
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/ol%cin
a8 Mo&imiento Hori,ontal:
Aceleracin:
8N76 2..
smxax ==
Velocidad:
dt
xdx
...
=
87......8N7JA
.
asmv=x ox ===
Posicin:
dt
dxx=
.
2J =tx +="onde: mxyst 66 66 ==
m= 62 =
87...... btvx ox=
b8 Mo&imiento ertical:
Aceleracin:
8N7LA#M 2
..
sm&yay
===
Velocidad:
dt
ydy
...
=
G
.
=&ty +=
"onde: smyyst N66 6
.
6 ==sm= N6G =
87.........
c&ty=
Posicin:
dt
dyy=
.
H
2
2
A=&ty +=
"onde: myyst 66 66 ==
m= 6H =
87......2
A 2d&ty=
Anlisis:
AQ8 Flcance m*nimo:
smvxymxx NJI#H 6
.
min ===
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!n la ec%acin 7b8# tenemos:
sv
xt
x
KI#66
minA ==
Oeempla,ando en la ec%acin 7d8# obtenemos:
stt%i KI#6A=
A2
A 2min t&dy =
22
min 8KI#687NLA#M72
Assmd =
mmd KJ#2KIM#2min = 7Opta8.
2Q8 Flcance m0imo:
smvxymx x NJI#K 6
.
ma0 ===
!n la ec%acin 7b8# tenemos:
sv
xt
x
2I#A6
ma0
2 ==
Oeempla,ando en la ec%acin 7d8# obtenemos:
stt%i 2I#A2 =
22
A 2ma0 t&dy =
22
ma0 82I#A87NLA#M72
Assmd =
mmd JJ#KHJJ#Kma0 = 7Opta8.
!ntonces# el &alor de ?d@# para aseg%rar '%e todo el grano caiga en el tren# debe ser entre:
ma0min ddd
mdm JJ#KKJ#2
4.2. V#o"i+*+ *"#&*"i! ! Coo&+!*+* I!t&$!"*.- Com0o!!t T*!5!"i*# No&m*#
C%ando %na part*c%la se m%e&e sobre %na tra$ectoria c%r&il*nea tiene %na aceleracin dirigida
-acia el interior de la c%r&a# dic-a aceleracin tiene dos componentes %na tangencial ( )Ta $ %na
normal ( )Ia # c%$as direcciones son Tu $ Iu .
-
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22/38
Fs*# tenemos '%e:
IT aaa += . . . . . . . . . . .. . . 7ec. G68
dt
udvu
dt
dv
dt
uvd
dt
vda TT
T +=== 87
"ed%ci(ndose '%e:
IT uv
udt
dva
+
=
2
. . . . . . . . . . .. . . 7ec. GA8
Oadio de c%r&at%ra:
. . . . .. . . 7ec. G28
E#emplo IJ /6.- %e lan"a un cuerpo @ori"ontalmente con una velocidad de 9/ m7s en el campo &ravitatori$eterminar el radio de curvatura de su trayectoria a los 2 se&undos despuAs de ser lan"ado dic@o ob#eto.
/ol%cin
2NG
2
2
2
A
dx
yd
dx
dy
+
= rr
r
=G
-
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E! # 06!to >:a8 elocidad: #vivv
-
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/ol%cina8 !c%acin de la tra$ectoria $3$708:
Mo&imiento -ori,ontal 708:
8N7H#JQGKcos66 smvvv xx === tttvxx x H#JH#J666 =+=+=tx H#J= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7a8
Mo&imiento &ertical 7$8:
8N7L#HQGK66 smsenvv y ==
2
662
A&ttvyy y ++=
22 M6I#HL#H8LA#M72
AL#H6 tttty =++=
2M6I#HL#H tty = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7b8
!liminando la &ariable ?t@ de las ec%aciones 7a8 $ 7b8# tenemos:2A2#6KI#6 xxy = . . . . . . . . . . . . 7c8 7Opta. A8.
b8 Para t 3 6#2 s# tenemos:
Posicin: en las ec%aciones 7a8 $ 7b8#mssmx J#A82I#687NH#J7 ==
mssmssmy LM#682I#687NM6I#H782I#687NL#H7 22 ==
P 3 7A#J 1 6#8 m 7Opta. 28.
elocidad:deri&ando las ec%aciones 7a8 $ 7b8# tenemos:
8N7H#JQGKcos66 smvvv xx === . . . . . . . . . . . . 7d88N7LA#ML#H
6 smt&tvv
yy =+= . . . . . . . . . . . . 7e8
Oeempla,ando el &alor de t 3 6#2 s# obtenemos:
8N7H#JQGKcos66 smvvv xx ===
smssmsm&tvv yy NGI#282I#687NLA#M78NL#H7 2
6 ==+=
-
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8N7GI#2H#J sm#i#vivv yx +=+=
Mod%lo : 8N7LAL#J smv =
"ireccin : xe#eelcon += AJG.26 7Opta. G8.
Fceleracin:
deri&ando las ec%aciones 7a8 $ 7b8# tenemos:
8N76 2smax = . . . . . . . . . . . . 7f8
8N7LA#M 2
sm&ay == . . . . . . . . . . . . 7g8
8N7LA#M6 2sm#i#aiaa yx =+=
Componente tangencial de la aceleracin: 8N7GL#GQAJG.268NLA#M7 22 smsensm&senat ===
Componente normal de la aceleracin :
8N72A#MQAJG.26cos8NLA#M7cos 22
smsm&an ===
8N72A#MGL#G 2smuuuauaa ntnntt +=+= 7Opta. 8.
Oadio de c%r&at%ra 7W8:
"eri&ando la ec%acin 7c8# $ reempla,ando para 87J#A82I#67 mx st == # obtenemos '%e:
2A2#6KI#6 xxy =
-
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GJJ#62H#6KI#6J#A
J#A
====
=x
x
xdx
dyy 2H#62H#6
J#AJ#A
==
==
=x
xdx
ydy
( )[ ] 876GA#I2H#6
GJJ#6AA
2NG2
J#A
2
2
2NG2
m
dx
yd
dx
dy
x
=
+=
+
=
=
876GA#I m= 7Opta. 8.
E#emplo IJ 00.- 1n cuerpo resbala por una rampa ue tiene forma de @ipArbola dada por la ecuacin =xy
. uando el cuerpo lle&a al punto x = 2 m, tiene una rapide" de 8 m7s ue disminuye a ra"n de 0,2 m7sdetermine para dic@a posicin a* el radio de curvatura de la trayectoria y, b* la aceleracin del cuerpo.
/ol%cin
a8 Oadio de c%r&at%ra 7W8:
"eri&ando la ec%acin de la c%r&a# $ reempla,ando para 872 mx= # obtenemos '%e:
xy
A= 2I#6
A
2
2
2
===== xx xdx
dyy 2I#6
2
2G
2
==
=== xx xdx
ydy
( )[ ] 87GL#H2I#6
2I#6A
A2NG
2
2
2
2
2NG2
m
dx
yd
dx
dy
x
=+=
+
=
=
b8 Fceleracin 87a :
La direccin de la tangente a la c%r&a en 032 m# lo determinamos calc%lando la pendiente de la c%r&a# as*tenemos:
2I#6A
2
2
2
====== xx xdx
dyym
-
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2I#62
===xdx
dyta&
Q6GJ.AH82I#67 == ta&arc
Para 0 3 2 m# tenemos:
elocidad : 8N7I smuv t=
Fceleracin : a8 !n coordenadas intr*nsecas 7tangencial $ normal8:
nntt uauaa += 1 donde:
8N72#A 2smat= 1 8N72#A 2smua tt =
8N7KA#IGL#H
8NI7 222
smm
sma
va nn ===
8N7KA#I2#A 2smuua nt+= 1 Mod%lo: 8N7LGI#I 2sma =
Fceleracin : b8 !n coordenadas cartesianas 70$8:
#aiaa yx += 1 donde:8N722A#6cosKA#Icos2#A 2smax =+=
8N7LGA#IKA#I2#A 2smsensenay =+= 1
8N7LGA#I22A#6 2
sm#ia += 1 Mod%lo:
8N7LGI#I 2sma =
4.3. Movimi!to C6&vi#$!o ! # P#*!o 'R2( ! Coo&+!*+* Po#*&.- Com0o!!t R*+i*# T&*!v&*#
!n m%c-os casos es ms cmodo e0presar la posicin de %na part*c%la como %na %ncin del ng%lo . !s
decir# ( )rr= # '%e corresponde a la posicin e0presada en coordenadas polares# '%e &iene a ser %na
-
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componente paralela a r $ la otra perpendic%lar a (l# reciben lo nombres de componentes radial $trans&ersal# respecti&amente.
!n la fig%ra# tenemos los &ectores %nitarios:
( ) ( )#seniur += cos#isenu 87cos87 +=
Posicin:
rurr= . . . . . . . . . . . 7ec. GG8
Velocidad:
( )dt
udru
dt
drur
dt
d
dt
rdv rrr
+===
u
dt
dru
dt
drv
r
+=
-
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( ) ( ) ururv r += . . . . . . . . .. . . . 7ec. G8
"e donde:
r
dt
drvr ==
r
dt
drv == . . . . . . . . . . . . . 7ec. G8
Aceleracin:
( )ururdt
d
dt
vda
r
+==
urrurra r ++= 22 . . . . . . . . . . . 7ec. GJ8
"e donde:
2 rrar =
( ) 2A
2 rdt
d
rrra =+= . . . . . . . . . . . 7ec. GK8
E#emplo IJ 02.-El tubo doblado ue lleva a&ua, de seccin transversal uniforme, &ira alrededor del e#e vertical // m)constante*, determine la ma&nitud de la velocidad y aceleracin de una partcula de a&ua inmediatamente antessal&a del tubo en .
-
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/ol%cin
Fnlisis en coordenadas polares:
Componente radial : mmmr A2#6A26 == 1 smsmmvr r NH#6NH66 === 1 2N6 smr=
Componente trans&ersal: t = 1 sradrev N
G
AHminNAH6
== 1 2N6 srad=
a8 elocidad ( )v :
ururv r +=
8N7KJ#AH6#6 smuuv r +=
Md%lo : 8N7L6I#A smv =
"ireccin : QAM#KK=
b8 Fceleracin ( )a :
( ) ( ) urrurra r ++= 22
8N7KG#AAKM#2I 2smuua r +=
Md%lo : 8N7GG#2L 2
sma =
"ireccin : QHJ#2H=
-
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4.4. Movimi!to C6&vi#$!o ! # E0*"io 'R3( ! Coo&+!*+* Ci#$!+&i"*
La posicin de %na part*c%la# se p%ede e0presar
como %na f%ncin de O# $ 1 es decir:
( )L3rr ##= # donde las componentes O# $ se denominan coordenadas cil*ndricas.
"onde los &ectores %nitarios: 3u 1 u Lu #
forman %n triedro derec-o# para los c%ales se
c%mple uuu 3L =
!n la fig%ra# tenemos:
Posicin:
L3 uLu3r += . . . . . .
. . 7ec. G8
donde: #seniu3 8787cos +=
Velocidad:
( )L3 uLu3dt
d
dt
rdv
+==
( ) ( ( ) L3
uLu3u3v ++=
X 7ec. G8
"e donde:
-
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3dt
d3v3
== ;
3
dt
d3v == 1 L
dt
dLvL
== . . . . . . . . 7ec. 68
Aceleracin:
( )L3
uLu3u3dt
d
dt
vda
++==
( ( L3
uLu33u33a +++=
22
. . . . . . . . . . 7ec. A8
"e donde:
2 33a3 = ; ( ) 2A2 3
dt
d
333a =+= 1 LaL
= . . . . . . 7ec. 28
E#emplo IJ 09.- El movimiento de una partcula relativo al sistema de referencia xy", est( dado por las ecuaciparamAtricas tx J= 4 ty A6= 4 A6G +=t" , en unidades en el sistema internacioExpresar, usando coordenadas cilndricas, las componentes en las direcciones radial, transversal y axial, dposicin, velocidad y aceleracin de la partcula.
/ol%cin
a8 Posicin:
"r u"urHP +=
( ) ( ) 87A6JJ#AA G mututHP "r ++=
b8 elocidad:
( ) ( ) ( )( )"r ututdt
dHP
dt
dv
A6JJ#AA G ++==
-
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( ) ( ) ( ) "rr ututuv 2
GJJ#AAJJ#AA ++= 1 Pero: uur =
( ) ( ) ( ) "r ututuv 2
GJJ#AAJJ#AA ++= Para n%estro ejemplo: 8N76 srad=
( ) ( ) 8N7GJJ#AA 2 smutuv "r+=
c8 Fceleracin:
( ) ( ) ( )( )"r utudt
dv
dt
da
2GJJ#AA +==
( ) ( ) ( ) "rr
utuua JJJ#AA6 ++= 1 Pero: uur =
( ) ( ( ) "r
utuua JJJ#AA6 ++=
Para n%estro ejemplo: 8N76 srad=
8N7J 2
smuta "=
4.). Movimi!to C6&vi#$!o ! # E0*"io 'R3( ! Coo&+!*+* E%?&i"*
La representacin de la posicin de la part*c%la mediante
coordenadas esf(ricas# se da mediante los parmetros r#
1 donde:
r es la distancia de 4 a P. es la medida del ng%lo diedro formado por el R
el plano 4PF. es la medida del ng%lo '%e forman 4P con el eje
4.
/iendo: uuur # # &ectores %nitarios positi&os# losc%ales se p%eden e0presar en f%ncin de los &ectores
%nitarios !#i # # as*:
!#sensenisenur
87cos878cos7 ++=!sen#seniu 8787cos8cos7cos +=
#isenu 87cos87 +=
. . . . . . . . . 7ec. G8
Posicin:
rurr= . . . . . . . . . 7ec. 8
Velocidad:
( ) ( ( usenrururv r ++= . . . . . . . . 7ec. 8
"e donde:
rvr = ; rv = 1 senrv = . . . . . . . . 7ec. J8
-
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Aceleracin:
( ) ( ) ( ) usenrrsenrusenrrrusenrrra r +++++= cos22cos2 2222
. . . . . . . . . 7ec.K8
"e donde:
222 senrrrar =
cos2 2
senrrra +=
senrrsenra ++= cos22 . . . . . . . . 7ec. 8
E#emplo IJ 0>.-a &r;a &ira en torno al e#e vertical $ con celeridad constante de 2 rev7min. l mismo tiempo,
el a&uiln o pluma < de 02 m de lon&itud va descendiendo a ra"n constante de srad NA6#6=
. alcular lavelocidad y aceleracin del extremo < de la pluma en el instante en ue pasa por la posicin = 9/J.
/ol%cin
Componentes en coordenadas esf(ricas:
mr.< A2== 1 smr N6= 1 2N6 smr=
8N726M#6minN2 sradrev == 1 8N76 2srad=
87I2#687JQG6 radrad ===
1 8N7A6#6 srad=
1 8N76 2
srad=
a8 elocidad:
vvvv r ++=
"onde:
8N76 smrvr
==
8N72IH#A smsenrv ==
8N72#A smrv ==
8N726#A2IH#A6 smuuuv r ++=
Md%lo: 8N7KH#A smv =
-
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b8 b8 Fceleracin:
aaaa r ++=
"onde: 8N72IA#6 2222 smsenrrrar ==
N7HGH#6cos22
smsenrrsenra =++=
8N722K#6cos2 22
smsenrrra =+=
8N722K#6HGH#62IA#6 2smuuua r +=
Md%lo: 8N7II#6 2
sma =
Eig. NQ !..[.
AA. "eterminar el ng%lo \ ms pe'%e+o# medido desde la -ori,ontal# con '%e la mang%era debe ser dirigida demanera '%e la corriente de ag%a to'%e el fondo de la pared en el p%nto B. La rapide, del ag%a en la tobera esde &c3 piess. Z>ig. NQ !..[.
A2. La bola es lan,ada desde la torre con &elocidad de 26 piess como se m%estra. "eterminar: a8 lascoordenadas 0 $ $ del p%nto en '%e la bola toca la pendiente# b8 la rapide, con '%e la bola toca el s%elo. Z>ig.NQ !.J.[.
-
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AG. !l ni+o patea la pelota con %na rapide, inicial de ms a %n ng%lo de GKQ con la -ori,ontal. "etermine: a8 laec%acin de la tra$ectoria '%e sig%e la pelota# b8 para t36.2 s desp%(s de -aberse pateado la pelota# la&elocidad $ las componentes tangencial $ normal de la aceleracin. Z>ig. NQ !.K.[.
A. na caja se desli,a por %n cond%cto '%e tiene forma de -ip(rbola. C%ando la caja llega al p%nto 0 6 m#lle&a %na celeridad de ms '%e dismin%$e a ra,n de 6# ms2. "etermine la aceleracin $ el radio dec%r&at%ra en dic-a posicin. Z>ig. NQ !..[.
A. n tobogn &iaja por %na c%r&a '%e p%ede ser apro0imada mediante la parbola $ 3 6#6A02
. "etermine lamagnit%d de s% aceleracin c%ando el p%nto F# donde s% rapide, es & F3 A6 ms $ est incrementndose a
ra,n de .NG 2
smv.= Z>ig. NQ !..[.AJ. na part*c%la se m%e&e en el plano 0$ $ s%s coordenadas estn dadas por ( )x t t= A2 Gcos #
( )y t t= J Gsen . !nc%entre: a8 s% despla,amiento# b8 las componentes de s% &elocidad $ c8 lascomponentes de s% aceleracin en el tiempo t 3 6#K s. d8 ;c%l es la ec%acin de la tra$ectoria en la '%e sem%e&e la part*c%la=. /%ponga '%e las distancias se miden en metros# el tiempo en seg%ndos# $ '%e la cantidad
ang%lar Gt est e0presada en radianes.
AK. Las ec%aciones param(tricas del mo&imiento de %na part*c%la son:x 33cos]t#y 33sen]t#" 3 bt# donde3#] $ b son constantes. a8 Hacer %n es'%ema de la tra$ectoria. b8 Calc%lar la &elocidad $ la aceleracin de lapart*c%la. c8 "eterminar las componentes intr*nsecas 7tangencial $ normal8 de la aceleracin. d8 Calc%lar elradio de c%r&at%ra.
A. na part*c%la se m%e&e a lo largo de la c%r&a !tt#ttittr 8GL78H78H7 G22G +++= # siendo t 3 2.Hallar los md%los de las componentes tangencial $ normal de s% aceleracin en el instante t 3 2.
A. na part*c%la se m%e&e en el plano H?1 %n obser&ador colocado en H sabe '%e las ec%aciones param(tricasde la tra$ectoria escritas en el /I son: x 3 2 E t# y 3 2 E 9t E 2t 2. a8 "eterminar la forma e0pl*cita de latra$ectoria# b8 La e0presin del &ector de posicin# &elocidad $ aceleracin# c8 Las condiciones iniciales delmo&imiento# d8 Los &alores del &ector de posicin $ &elocidad para t 3 2 s. e8 "istancia de la part*c%la alobser&ador en t 3 2 s# f8 !l &ector despla,amiento $ el &ector &elocidad media entre t 3 2 s $ t 3 8 s.
26. !l mo&imiento c%r&il*neo plano de %na part*c%la est definido en coordenadas polares por ttr ILGG.6 G +=$ 2G.6 t= donde r esta dado cm# \ est en radianes $ t en seg%ndo. !n el instante en '%e t 3 2 s1determinar las magnit%des de la &elocidad# aceleracin $ el radio de c%r&at%ra de la tra$ectoria.
2A. !n el instante '%e se il%stra# el -ombre -ace girar la mang%era sobre s% cabe,a con %na &elocidad ang%lar
sradN2=
$ %na aceleracin ang%lar de2
NG srad=
. /i se s%pone '%e la mang%era se enc%entra en %nplano -ori,ontal $ el ag%a fl%$e a %n ritmo constante de G ms. a8 determine las magnit%des de la &elocidad $aceleracin de %na part*c%la de ag%a '%e sale por el e0tremo abierto1 b8 -aga %n est%dio de la tra$ectoria '%eseg%ir dic-a part*c%la de s% est%dio. Z>ig. NQ !.A6[.
22. La barra ran%rada se enc%entra fija en 4 $# como res%ltado de la &elocidad ang%lar constante sradNG= #cond%ce a la part*c%la P por %na bre&e distancia sobre la g%*a espiral r 3 6# 7m8# donde se e0presa en
radianes. "etermine la &elocidad $ aceleracin de la part*c%la en el instante en '%e abandona la ran%ra en labarra# es decir# r 3 6# m. Z>ig. NQ !.AA[.
2G. La rotacin de la barra 4F se define por 3 ^ 7tGt28 rad# donde t se e0presa en seg%ndos. !l collar*n B
se desli,a a lo largo de la barra de manera tal '%e s% distancia desde 4 es r 3 A#2t 2_ 6# tGm. Para t 3 A s#determine: a8 s% &elocidad# b8 s% aceleracin total $ c8 s% aceleracin relati&a a la barra. Z>ig. NQ !.A2[.
2. n eje roscado gira con %na posicin ang%lar = 6 GAI 2# t rad. na t%erca sit%ada sobre el eje gira relati&a
al mismo con %na &elocidad ang%lar de = 6 H# t rads. C%ando t 3 6# la t%erca est a %na distancia de 6#Jm de ?F@. /i el paso de rosca es de mm1 determine la &elocidad $ aceleracin de la t%erca para t 3 A6 s.7"ar la resp%esta en direcciones radial $ trans&ersal8. Z>ig. NQ !.AG[.
2. !l perno P se desli,a en las ran%ras del bra,o giratorio 4F $ de la barra circ%lar fija BC. /i 4F gira con
&elocidad ang%lar constante sradN2= # enc%entre la &elocidad de P c%ando QJ6= . Z>ig. NQ !.A[.2J. !l ca%dal de ag%a de %n aspersor ordinario es# inicialmente# de 2 Ls $ est programado para incrementarse
de forma contin%a -asta 6 Ls. La s%perficie de salida de las bo'%illas es de A.J6 mm 2. "etermine# el reade jard*n '%e regar dic-o aspersor# si s% &elocidad ang%lar es de 2 rads. Z>ig. NQ !.A[
-
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). >I>LIO@RAIA
-
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A. FN"O!` PST!L $ FFN I/FLFF/1 Ingenier*a Mecnica# "inmica. /eg%nda!dicin. International T-omson !ditores# /.F. M(0ico. 266G.
2. BOFF M. ".# F/LFM# .# /!"FT /.1 Mecnica para Ingenieros# "inmica#!ditorial Lim%sa# /.F.# M(0ico# A.
G. >.P.B!!O1 !.O. 4HN/T4N# r.1 Mecnica ectorial para Ingenieros# "inmica#!ditorial Mc. )ra Hill. M(0ico A6.
. H4/N!O O.# H"/4N O.# Mecnica Fplicada# Tomo II# "inmica# !ditorialCecsa# A.
. .L. M!OIFN1 "inmica# !dit. Oe&ert(# /.F. !spa+a# A.J. MOOFS O. /PI!)!L1 Fnlisis ectorial# !ditorial Mc. )ra Hill# M(0ico 2666.K. NFOF HFOOS1 Mecnica ectorial para Ingenieros# "inmica# Tomo II !ditorial
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