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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE NIVELACIÓN 2014 – 1S

SEGUNDA EVALUACIÓN DE MATEMÁTICAS PARA CIENCIAS, INGENIERÍAS Y EDUCACIÓN COMERCIAL

GUAYAQUIL, 08 DE SEPTIEMBRE DE 2014 HORARIO: 11H30 – 13H30

VERSIÓN 0 1) Dada la función de variable real f x( ) = log1 3 3− x , identifique la proposición VERDADERA.

a) dom f =!− −3{ }

b) rg f =!+

c) f es estrictamente creciente en el intervalo 3,+∞( ) . d) f es par. e) Los interceptos de f con el eje X son 2,0( ) y 4,0( ) . Solución: La gráfica de la función f se muestra a continuación. a) Para determinar el dominio de la función debe

cumplirse que 3− x > 0 . Por lo que, x ≠ 3 y se concluye que la proposición es falsa.

b) El rango de la función logarítmica es el conjunto de los número reales. La proposición es falsa.

c) En el intervalo especificado la función es estrictamente decreciente. La proposición es falsa.

d) La función no tiene simetría con el eje X. La proposición es falsa.

e) Los interceptos de la función se dan cuando se satisfacen la ecuación con valor absoluto 3− x =1 . La proposición es verdadera.

Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal e).

2) Sea f una función biyectiva de variable real tal que f x( ) =ex−2 −1, !!!x ≤ 2!!x − 2, !!!!!x > 2

#$%

, entonces la

regla de la correspondencia de su inversa es:

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-1

0

1

2

3

4


a) f −1 x( ) =ln x +1( )+ 2, !!!x ≤ 0!!!!!!!!x + 2, !!!!!!!!x > 0

#$%

&%

b) f −1 x( ) =ln x +1( )+ 2, !!! −1< x ≤ 0!!!!!!!!x + 2, !!!!!!!!!!!!!!!!x > 0

#$%

&%

c) f −1 x( ) =ln x +1( )+ 2, !!!x ≤ 2!!!!!!!!x + 2, !!!!!!!!x > 2

#$%

&%

d) f −1 x( ) =ln x −1( )− 2, !!! −1< x ≤ 0!!!!!!!!x − 2, !!!!!!!!!!!!!!!!x > 0

#$%

&%

e) f −1 x( ) =ln x −1( )+ 2, !!!x ≤ 2!!!!!!!!x − 2, !!!!!!!!x > 2

#$%

&%

Solución: Se analiza cada intervalo del dominio:

Cuando y = ex−2 −1 y x ≤ 2 , rg f = −1,0( ]

x = ey−2 −1 ey−2 = x +1

y− 2 = ln x +1( ) y = ln x +1( )+ 2

f −1 x( ) = ln x +1( )+ 2, −1< x ≤ 0

Cuando y = x − 2 y x > 2 , rg f = 0,+∞( )

x = y− 2 y = x + 2

f −1 x( ) = x + 2, x > 0

Se lo puede verificar gráficamente: Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal b).

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1

0

1

2

3

4

5

6

Identidad


3) Un valor de k para que al dividir la función polinomial f x( ) = 2x3 − kx2 − 4kx − 4k entre la

función polinomial g x( ) = x − 2k , su residuo sea igual a −4k , es:

a) –1 b) –2/3 c) 1/3 d) 2/3 e) 3/2

Solución: Se aplica el TEOREMA DEL RESIDUO:

f 2k( ) = 2 2k( )3 − k 2k( )2 − 4k 2k( )− 4k = −4k ⇒ 16k3 − 4k3 −8k2 = 0 12k3 −8k2 = 0 ⇒ 4k2 3k − 2( ) = 0

k2 = 0( )∨ 3k − 2 = 0( )

k = 0( )∨ k = 23

"

#$

%

&'

Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal d).

4) Considerando las restricciones apropiadas, al simplificar la expresión trigonométrica:

tan x( )− sec x( )"# $%2

una expresión equivalente es:

a) 1+ sen x( )1− sen x( )

b) 1+ cos x( )1− cos x( )

c) 1− sen x( )1+ sen x( )

d) 1− cos x( )1+ cos x( )

e) 1

Solución:

=sen x( )cos x( )

−1

cos x( )

"

#$$

%

&''

2

=sen x( )−1cos x( )

"

#$$

%

&''

2

=1− sen x( )"# %&

2

cos2 x( )=1− sen x( )( ) 1− sen x( )( )

1− sen2 x( )

=1− sen x( )1+ sen x( )

Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal c).

5) Al considerar los ángulos en el primer cuadrante, la expresión trigonométrica:

cos 2arctan x( )( )

en términos de x es:


a) 1+ x2 b) 1− x2 c) 1+ x2

1− x2 d)

1− x2

1+ x2 e) 1+ x2

Solución: Sean el ángulo α = arctan x( ) . Se dibuja el siguiente triángulo y se aplica el teorema de

Pitágoras para calcular la longitud del lado faltante.

cos 2arctan x( )( ) = cos 2α( ) = cos2 α( )− sen2 α( )

cos 2α( ) = 1x2 +1

!

"#

$

%&

2

−xx2 +1

!

"#

$

%&

2

=1

x2 +1−

x2

x2 +1=1− x2

x2 +1


6) El valor de la expresión trigonométrica:

sen 5π6

!

"#

$

%&

'

()

*

+,

−1

cos 2π3

!

"#

$

%&

cos 7π4

!

"#

$

%&

'

()

*

+,

4

sen arcsen −1( )( )

es igual a:

a) − 3 b) 14 c) −

14 d) 4 e) –4

Solución:

=

12!

"#$

%&−1

−12

!

"#

$

%&

22

!

"#

$

%&

4

−1( )=2 −

12

!

"#

$

%&

14−1( )

= 4


7) Sea el conjunto referencial Re = 0,2π[ ] y el predicado p x( ) : sen x( )cos x( ) = 14, la suma de

los elementos del conjunto de verdad Ap x( ) es igual a:

a) 0 b) 11π12

c) 35π12

d) 35π2

e) 3π

1

x

α


Solución:

sen x( )cos x( ) = 14

⇒ 2sen x( )cos x( ) = 12

⇒ sen 2x( ) = 12

2x = π6

"

#$

%

&'∨ 2x = 5π

6"

#$

%

&'∨ 2x = 13π

6"

#$

%

&'∨ 2x = 17π

6"

#$

%

&'

El conjunto de verdad del predicado es: Ap x( ) = π12, 5π12,13π12,17π12

!"#

$%&

La suma de los elementos de Ap x( ) es: π12

+5π12

+13π12

+17π12

= 3π .


8) Sea la matriz A = 1 10 0

!

"#

$

%& , entonces la matriz X = A+ A2 + A3 +…+ A10( )

T es igual a:

a) 10 010 0

!

"#

$

%& b) 10 10

0 0

!

"#

$

%& c) 10 0

0 10

!

"#

$

%& d) 0 10

10 0

!

"#

$

%& e) 0 10

0 10

!

"#

$

%&

Solución:

A = 1 10 0

!

"#

$

%&

A2 = 1 10 0

!

"#

$

%& 1 10 0

!

"#

$

%&= 1 1

0 0

!

"#

$

%& ⇒ A3 = A4 =!= A10 = A

Se#trata#de#una#matriz#periódica,#entonces: A+ A2 +....+ A10 =10A

XT =10 1 10 0

!

"#

$

%&

T

= 10 100 0

!

"#

$

%&

T

= 10 010 0

!

"#

$

%&

Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal a).

9) Dada la matriz A =

ln ek−1( ) 2 sen x( )0 k −1 cos x( )0 0 sen2 x( )+ cos2 x( )

"

#

$$$$$

%

&

'''''

. Si A es singular, el valor de k es

igual a: a) 1 b) −1 c) 0 d) −1,1{ } e) 0,1{ }


Solución:

La matriz seria: A =

k −1 2 sen x( )0 k −1 cos x( )0 0 1

"

#

$$$$

%

&

''''

Para que A sea singular: det A( ) = 0 ⇒ k −1( )2 = 0 ⇒ k =1 Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal a).

10) Dado el sistema de ecuaciones lineales:

x + y − z = 2x + 2y + z = 6

x + y + ζ 2 − 5( ) z = ζ

"

#$$

%$$

Para que este sistema sea INCONSISTENTE, el valor de ζ es igual a:

a) –2 b) 0 c) 1 d) 3 e) 4 Solución:

Se trabaja con la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales (S. E. L.):

1 1 −1 21 2 1 61 1 ζ 2 − 5( ) ζ

"

#

$$$$

%

&

''''

1 1 −1 20 1 2 40 0 ζ 2 − 4( ) ζ − 2

"

#

$$$$

%

&

''''

1 1 −1 20 1 2 40 0 ζ − 2( ) ζ + 2( ) ζ − 2

"

#

$$$

%

&

'''

Se analiza la última fila del S. E. L. Con ζ = −2 , el S. E. L. es inconsistente. Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal a).

11) Sea el número complejo z = z1( )z2 , donde z1 = r1eiθ1 = x1 + iy1 , z2 = r2 = x2 . El argumento de z es igual a:

a) 𝜃! b) 𝜃! 𝐜) 𝜽𝟏𝒙𝟐 d) 𝜃!𝑥! e) 𝑎𝑟𝑐 tan

!!!!


Solución:

Sea z = r1eiθ1( )

x2= r1

x2eiθ1x2 , entonces arg z( ) =θ1x2 . Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal c).

12) Sea ABC el triángulo mostrado en la figura adjunta. Si se conoce que: 𝐷𝐸 𝐴𝐶 , 𝐴𝐵 = 10𝑐𝑚,𝐴𝐶 = 5𝑐𝑚,𝐷𝐸 = 𝑥, 𝐴𝐷 = 𝑦, entonces es VERDAD que:

a) y = 2x b) y = 2x – 5 c) y = 2x + 10 d) y = 10 – x e) y = 10 – 2x

Solución: Por semejanza de los triángulos ABC y DBE :

ABAC

=DBDE

xyyx

xyxy

210102

102

10510

−=

−=

−=

−=


13) La longitud de la circunferencia mostrada, cuyo centro es O, mide 8π cm. Si el hexágono

inscrito es regular, el área del círculo sombreado en la figura adjunta, en cm2, es igual a:

a) π3

b) 2π3

c) 4π3

d) 2π e) 4π

A C

D E

B

O


Solución: Para la circunferencia con centro en O y longitud de radio R se tiene:

L = 8π cm ⇒ 2πR = 8π ⇒ R = 8π2π

⇒ R = 4 cm

Para un hexágono inscrito, el lado L es congruente con el radio R de la circunferencia. El triángulo que se observa es equilátero (su longitud de lado también mide L) y está circunscrito al círculo sombredo.

Cuando se tiene un triángulo equilátero circunscrito, la longitud r del radio es r =12 3

L .

r = R2 3

Acírculo = πr2 = π

R2

12!

"#

$

%&= π

1612!

"#

$

%&=4π3cm2


14) Si las longitudes de los lados de un triángulo miden: 2cm , 6cm y 3 +1( )cm , entonces es

VERDAD que:

a) Uno de sus ángulos interiores mide 𝟕𝟓𝟎. b) El triángulo es rectángulo. c) Uno de sus ángulos interiores mide 30!. d) El triángulo es obtusángulo. e) Uno de sus ángulos interiores mide 80!.

Solución:

Se dibuja un triángulo ABC especificando los datos: Se utiliza la ley del coseno:

cos C( ) = a2 + b2 − c2

2ab=

3 +1( )2+ 22 − 6( )

2

2 3 +1( ) 2( )=3+ 2 3 +1+ 4− 6

4 3 +1( )=2+ 2 34 3 +1( )

=24=12

C = 60o

A C

B


Luego se utiliza la ley del seno:

sen B( )2

=sen C( )6

⇒ sen B( ) =2sen 60o( )

6=

2 32

"

#$

%

&'

6=12

B = 45o

Se aplica el teorema de la suma de los ángulos internos de un triángulo:

A =180o − 60o + 45o( ) = 75o Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal a).

15) La medida del ángulo α, si se conoce que:

Ø m !ABC( ) = π3

Ø m !ABC( )−m !HBC( ) = π10

Ø BF || AC es: a) 42o b) 48o c) 55o d) 60o e) 77o

Solución: A partir de los datos proporcionados:

m !ABC( ) = 60o ∧m !ABC( )−m !HBC( ) =18o ∧m !HBF( ) = 90o

m !HBC( ) =m !ABC( )−18o = 60o −18o = 42o

m !HBC( )+m !CBF( ) = 90o

m !CBF( ) = 90o −m !HBC( ) = 90o − 42o = 48o

En el triángulo que contiene los vértices B y F se cumple:

α + 90o + 48o =180o

α =180o −138o = 42o


α

A

B

C H

F


16) Si ABCD es un rectángulo, P y R son los puntos medios de sus respectivos lados, entonces el área de la superficie del triángulo DPR, en cm2, es igual a:

a) 54 b) 68 c) 72 d) 78 e) 96

Solución: El área de la región sombreada es:

Asombreada = AABCD − ARBP − APCD − AARD = 24( ) 8( )−12( ) 4( )2

−4( ) 24( )2

−12( ) 8( )2

Asombreada =192− 24− 48− 48 = 72 cm2


17) Para un prisma recto pentagonal regular cuya altura mide 15cm, y cuya base tiene 8cm de

arista y apotema de 5.5cm, el área de su superficie total, en cm2, es igual a:

a) 410 b) 600 c) 820 d) 1000 e) 1640

Solución: Un prisma recto pentagonal tienes dos pentágonos como bases y cinco rectángulos como caras laterales.

ATotal = 2ABase + 5ALateral = 2Perímetro× Apotema

2"

#$

%

&'+ 5ARectángulo

ATotal = 5 8( )×5.5( )+ 5 8×15( ) = 220+ 600 = 820 cm2


18) Al rotar la región del plano cartesiano limitada por

y = −2xy = −2x = −1

"

#$

%$

, alrededor del eje x = −1 , se

genera un sólido de revolución cuyo volumen, en u3, es igual a:

a) 4π3

b) 8π3

c) 16π3

d) 32π3

e) 8π

A B

C D

P

R

24cm

8cm


Solución: La región que se forma es un triángulo. Al rotarlo alrededor del eje especificado se forma un cono. r = 2 ∧ h = 4

Vc =πr2h3

=π 2( )2 4( )

3=16π3

u3


19) Sean los vectores en !3 : v1!"= 1,2,3( ) y v2

!"!= −1,0, 2( ) , entonces los valores de a para que los

vectores v1!"+ av2!"!

( ) y v1!"− av2!"!

( ) sean ortogonales son:

a) ±145

b) ±53 c) ±

145

d) ±35 e) ±

53

Solución: Para que sean ortogonales, su producto punto es cero:

v1!"+ av2!"!

( )• v1!"− av2!"!

( ) = 0v1!"•v1!"− a2 v2

!"!•v2!"!

( ) = 0v1!" 2

− a2 v2!"! 2

= 0

1+ 4+ 9( )− a2 1+ 0+ 4( ) = 014− a2 5( ) = 014 = a2 5( )

a2 = 145

a = ± 145


20) Para el triángulo sustentado por los vectores en !3 : v1!"= 1,2,−1( ) y v2

!"!= 2,−1,0( ) , el área de

su superficie, en u2, es igual a:

a) 302

b) 30 c) 52

d) 6 52

e) 6 5

x

y

-3 -2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

3

4

5


Solución: El área de la superficie del triángulo, sustentado por vectores en el espacio, viene dada por la siguiente expresión matemática:

Atriángulo =V1!"×V2!"!

2

V1!"×V2!"!=

i j k1 2 −12 −1 0

= −i− 2 j − 5k

Atriangulo =V1!"×V2!"!

2=1+ 4+ 252

=302

u2


21) Se tienen dos rectas paralelas L1 : 2x −3y+ 4 = 0 y L2 , el vector normal de la segunda recta

es n2!"!= a,b( ) y el punto P 2, 4( ) pertenece a ella. La distancia entre las dos rectas, en

unidades, es igual a:

a) 2 a+ b( ) b) a2 + b2

c) 4 1313

d) 4 2

e) 13 Solución: Si P pertenece a la segunda recta, solamente se debe calcular la distancia de ese punto a la primera recta.

d P,L1( ) =2x0 −3y0 + 4

2( )2 + −3( )2⇒ d P,L1( ) =

2 2( )−3 4( )+ 413

=413

=4 1313

u



22) La ecuación de la hipérbola cuyos VÉRTICES y FOCOS son respectivamente los FOCOS y VÉRTICES de la elipse: 16x2 + 25y2 + 96x − 200y+144 = 0 es:

a) x +3( )2

16−y− 4( )2

25=1

b) x +3( )2

9−y− 4( )2

25=1

c) x +3( )2

9−y− 4( )2

16=1

d) x +3( )2

16−y− 4( )2

9=1

e) x +3( )2

25−y− 4( )2

16=1

Solución: Para la elipse: 16 x2 + 6x + 9( )+ 25 y2 −8y+16( ) = −144+144+ 40016 x +3( )2 + 25 y− 4( )2 = 400

x +3( )2

25+y− 4( )2

16=1

a2 = 25,b2 =16 ⇒ c2 = 9

Para la hipérbola:

a2 = 9,c2 = 25 ⇒ b2 =16

x +3( )2

9−y− 4( )2

16=1

Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal b).

23) Sean los conjuntos referenciales Rex = Rey =! y el predicado p x, y( ) :y2 = 4x4x −3y = 4

"#$

, la

suma de las abscisas y de las ordenadas de todos los elementos del conjunto de verdad Ap x, y( ) es igual a:


a) −25

b) −294

c) −52

d) 52

e) 294

Solución: Se despeja la variable x de la primera ecuación:

x = y2

4

Se reemplaza en la segunda ecuación: 4x −3y = 4

4 y2

4"

#$

%

&'−3y = 4

y2 −3y− 4 = 0y− 4( ) y+1( ) = 0y− 4 = 0( )∨ y+1= 0( )y = 4( )∨ y = −1( )

Si y = 4 , entonces x = 42

4= 4 .

Si y = −1 , entonces x =−1( )2

4=14.

Se verifican los valores:

p 4, 4( ) :42 = 4 4( )4 4( )−3 4( ) = 4

"#$

%$⇒ p 4, 4( ) ≡1

p 14,−1

"

#$

%

&' :

−1( )2 = 4 14"

#$%

&'

4 14"

#$%

&'−3 −1( ) = 4

(

)**

+**

⇒ p 14,−1

"

#$

%

&' ≡1


Entonces, Ap x, y( ) = 4, 4( ), 14,−1

"

#$

%

&'

()*

+,-.

La suma de las abscisas y las ordenadas es: 4+ 4+ 14−1

"

#$

%

&'=294

También se lo puede hacer en forma gráfica: Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal e).

24) Para el siguiente conjunto de datos:

5 3 4 6 5 5 2 8 6 5 4 8 3 4 5 4 8 2 5 4

La media aritmética, la mediana y la moda son respectivamente:

a) 𝑥 = 4.7, 𝑥 = 5, 𝑀𝑜 = 4 b) 𝑥 = 4.8, 𝑥 = 5, 𝑀𝑜 = 4 c) 𝑥 = 4.7, 𝑥 = 5, 𝑀𝑜 = 5 d) 𝒙 = 𝟒.𝟖, 𝒙 = 𝟓, 𝑴𝒐 = 𝟓 e) 𝑥 = 4.4, 𝑥 = 4, 𝑀𝑜 = 5

Solución: Se ordenan los 20 datos:

2 2 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 8 8 8 La media aritmética es:

x = 2+ 2+3+3+ 4+ 4+ 4+ 4+ 4+ 5+ 5+ 5+ 5+ 5+ 5+ 6+ 6+8+8+8

20=9620

= 4.8

x

y

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-4

-2

0

2

4


La mediana es la semisuma de los elementos centrales que están ordenados:

𝑥 = 5 La moda es el dato que más se repite, en este caso es el 5 Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal d).

25) Si se lanzan dos dados, la probabilidad de obtener 2 números primos consecutivos, en sus caras

superiores, es igual a:

a) 118

b) 19 c)

112

d) 29

e) 16

Solución: Los números primos en un dado son 2, 3 y 5. Si son primos consecutivos, entonces se tienen los siguiente pares ordenados: (2, 3), (3, 2), (3, 5) y (5, 3). El espacio muestral para este evento tiene 36 pares ordenados posibles.

P A( ) = Número'de'casos''favorables'Número'de'casos'totales'

P A( ) = 436

=19

Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal b).

20141 s matsegundaevaluacion11h30version0solucion

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