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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE NIVELACIÓN 2014 (1S)
LECCIÓN 3 – FRANJA 1 GUAYAQUIL, MAYO 19 DE 2014
S O L U C I Ó N y R Ú B R I C A
TEMA 1 (40 puntos) Sobre EXPRESIONES ALGEBRAICAS: a) (30 puntos) Determine el dominio de la variable y simplifique al máximo.
i) x xy3z−33
y z( )3
ii) 1
a2 +3a+ 2+
1a2 + 5a+ 6
−1
a2 + 4a+3"
#$
%
&'÷
1a+3"
#$
%
&'
b) (10 puntos) Racionalice: 2
2 + 23
Solución: a)
i) x xy3z−33
y z( )3 =
x x12 y3 z−3( )
y12 z
12( )3
13
31
23
21
33211
zy
zyx ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
−+31
23
21
3323
zy
zyx ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
=
−
23
21
121
zy
zyx −
=
= x12 y
1 − 12 z
−1−32 = x
12 y
12 z
−52 = x y z−5( )
12
21
5 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=zyx
Las variables x, y, z están contenidas en raíces cuadradas. Por lo tanto, debe cumplirse que:
x ∈ !+ , y ∈ !+ , z ∈ !+ .
ii) 1
a2 +3a+ 2+
1a2 + 5a+ 6
−1
a2 + 4a+3"
#$
%
&'÷
1a+3"
#$
%
&'
( )( ) ( )( ) ( )( )( )3
311
321
211
+⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++−
+++
++= a
aaaaaa
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=a+3( )+ a+1( )− a+ 2( )a+1( ) a+ 2( ) a+3( )
⋅ a+3( ) = a+3+ a+1− a− 2a+1( ) a+ 2( ) ( )( )21
2++
+=
aaa
11+
=a
Se puede observer que existen factores lineales en los denominadores. Para que estos no sean ceros, debe cumplirse que: a ∈ !− −3,−2,−1{ } .
b) 2
2 + 23
=2
2 + 23⋅
2( )5− 2( )
423( )+ 2( )
323( )
2− 2( )
223( )
3+ 2( ) 23( )
4− 23( )
5
2( )5− 2( )
423( )+ 2( )
323( )
2− 2( )
223( )
3+ 2( ) 23( )
4− 23( )
5
=2 4 2 − 4 23 + 2 2 23( )
2− 2( ) 2( )+ 2 2 23 − 2 23( )
2"#$
%&'
2( )6+ 23( )
6
=2 4 2 − 4 23 + 2 2 23( )
2− 4+ 2 2 23 − 2 23( )
2"#$
%&'
23 + 22
=2( ) 2( ) 2 2 − 2 23 + 2 23( )
2− 2+ 2 23 − 23( )
2"#$
%&'
12
=132 2 − 2 23 + 2 23( )
2− 2+ 2 23 − 23( )
2"#$
%&'
Rúbrica: a) i) Transforma los radicales en exponentes fraccionarios.
Aplica la propiedad del producto de potencias de la misma base y la propiedad del cociente de potencias de la misma base. Aplica la propiedad de potencia elevada a otra potencia. Simplifica al máximo la expresión algebraica. Determina el dominio de las variables.
2 puntos 2 puntos
2 puntos 2 puntos 2 puntos
ii) Factoriza cada denominador de la forma x2 + bx + c. Obtiene el denominador común y realiza la suma algebraica de las expresiones planteadas. Simplifica al máximo la expresión algebraica. Determina el dominio de la variable.
3 puntos 3 puntos
2 puntos 2 puntos
b) Identifica que debe obtener el mínimo común múltiplo entre 2 y 3 para poder aplicar el producto notable y multiplica por el factor apropiado para poder racionalizar. Simplifica al máximo la expresión.
5 puntos
5 puntos
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TEMA 2 (15 puntos) 50 hombres tienen provisiones para 20 días consumiendo 3 raciones diarias. Si las raciones se disminuyen en 1/3 y se aumentan 10 hombres, ¿cuántos días durarán los víveres? Solución: Como se indica que las raciones se disminuyen en 1/3, quiere decir que ahora se tendrán 2/3 de las raciones originales, esto es, 2 raciones diarias. Se trata de una regla de tres compuesta: • Si el tiempo (en días) de duración de las provisiones aumenta, quiere decir que el número de hombres
debería disminuir. O, cuando el número de hombres aumenta, la duración de las provisiones disminuye. Se tiene una relación inversa entre estas 2 cantidades.
• Si el tiempo (en días) de duración de las provisiones aumenta, las raciones diarias deberían disminuir. O, habrán más raciones, si se tuvieran menos días de consumo. Se tiene una relación inversa entres estas 2 cantidades.
HOMBRES DURACIÓN (días) RACIONES 50 20 3 60 x 2 x20
=5060
⋅32
x = 56⋅32⋅ 20
x = 25 Considerando las nuevas condiciones (disminución de raciones y aumento de hombres), los víveres durarán 25 días. Rúbrica: Identifica que la reducción en 1/3 de las raciones generará 2 raciones diarias. Deduce que la relación entre duración y hombres es inversa. Deduce que la relación entre duración y raciones es inversa. Relaciona las cantidades del problema y despeja la variable. Interpreta el resultado obtenido.
2 puntos 3 puntos 3 puntos 6 puntos 1 punto
TEMA 3 (20 puntos) Justificando su respuesta en cada caso, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) ∀a,b∈ !, a > b( )→ a2 > b2( )$%
&'
b) ∀a,b∈ !, a −b = a − b$%
&'
c) ∀a,b∈ !, a+b ≥ a + b$%
&'
d) ∃x ∈ !, x2 +1 < 0#$
%&
Relación Inversa Relación Inversa
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Solución: a)
a > b
a2 > b2 22 ba >
∴ La proposición es VERDADERA.
b) Se proporciona uno de los posibles contraejemplos, con a = 1 y b = –1.
( ) 1111 −−≠−−
1+1 ≠ 1−1
02 ≠
02 ≠ ∴ La proposición es FALSA.
c) Se proporciona uno de los posibles contraejemplos, con a =1 y b = –1.
1+ −1( ) < 1 + −1
1−1 < 1+1
0 < 2
20 < ∴ La proposición es FALSA.
d) Por definición, el valor absoluto aplicado a un número real da por resultado un valor no negativo.
∴ La proposición es FALSA.
Rúbrica: a) Realiza las operaciones adecuadas para demostrar la propiedad.
Concluye que la proposición es verdadera. 4 puntos 1 punto
b) Identifica un posible contraejemplo. Concluye que la proposición es falsa.
4 puntos 1 punto
c) Identifica un posible contraejemplo. Concluye que la proposición es falsa.
4 puntos 1 punto
d) Aplica la definición del valor absoluto. Concluye que la proposición es falsa.
4 puntos 1 punto
TEMA 4 (25 puntos) Sobre ECUACIONES:
a) (10 puntos) Obtenga los valores de 𝒌 para los cuales la ecuación 2x2 − kx+ x+8 = 0 tiene raíces reales e iguales.
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b) (15 puntos) La suma de las edades de Eduardo, Pedro y Antonio es igual a 100 años. Determine la edad de cada uno de ellos, si se conoce que Eduardo tiene 10 años menos que la edad de Pedro, y Antonio tiene tantos años como Eduardo y Pedro.
Solución:
a) En la ecuación cuadrática ( ) 0812 2 =+−+ xkx los valores de los coeficientes son: a = 2 ∧ b =1− k ∧ c = 8 El valor del discriminante ∇ es:
∇ = b2 − 4ac
= 1− k( )2 − 4 2( ) 8( )
=1− 2k + k2 − 64
∇ =k2 − 2k − 63
Para que la ecuación cuadrática tenga raíces reales e iguales, el valor de su discriminante debe ser igual a
cero. Por lo tanto, debe resolverse esta ecuación cuadrática: k2 − 2k − 63= 0
k2 − 2k − 63= 0k − 9( ) k + 7( ) = 0k − 9 = 0( )∨ k + 7 = 0( )k = 9( )∨ k = −7( )
Se comprueba para el primer valor obtenido:
2x2 −9x+ x+8 = 0
2x2 −8x+8 = 0
x2 − 4x+ 4 = 0
x − 4( )2= 0 ⇒ Ecuación que tiene una raíz real repetida.
Se comprueba para el segundo valor obtenido:
2x2 − −7( ) x+ x+8 = 0
2x2 +8x+8 = 0
x2 + 4x+ 4 = 0
x+ 4( )2= 0 ⇒ Ecuación que tiene una raíz real repetida.
Los 2 valores de k que satisfacen la condición del problema son k1 = −7 y k2 = 9 .
b) Según el enunciado del problema, se deben determinar las edades de las 3 personas. Se dejará como incógnita a una sola y las otras dos se expresarán en función de la primera. Sea x: la edad de Pedro Entonces se cumple que: x – 10: es la edad de Eduardo
x + (x – 10): es la edad de Antonio
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Pero la suma de las 3 edades da por resultado 100 años. Se expresará la ecuación en función de esta condición del problema.
xedad$de$Pedro!
+ x −10( )edad$de$Eduardo!"# $#
+ x + x −10( )!" #$
edad$de$Antonio! "## $##= 100
suma%de%las%edades!
x + x −10+ x + x −10 =1004x − 20 =100
4x =120
4120
=x
30=x El valor de la incógnita x es la edad de Pedro. Él tiene 30 años. Eduardo tiene x – 10 años. Entonces él tiene 20 años. Antonio tiene tantos años como Pedro y Eduardo. Por lo tanto, él tiene 50 años. Se cumple que la suma de las edades de las 3 personas es el valor de 100 años, el cual está especificado en el problema.
Rúbrica: a) Obtiene el valor del discriminante, a partir de los coeficientes de la ecuación
cuadrática, en función de la condición del problema. Plantea la nueva ecuación cuadrática y la resuelve.
5 puntos
5 puntos b) Define la incógnita y plantea las 3 edades en función de esta variable.
Plantea la ecuación lineal y la resuelve. Interpreta los valores encontrados para las edades. OBSERVACIÓN.-‐ Se puede plantear el problema de una forma similar, pero se deben considerar los mismos conceptos de esta rúbrica.
3 puntos 10 puntos 2 puntos