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2. lgebra de vectoresFsica General

Ing. Civil InformticaEduardo Chanda A.

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Sistemas de coordenadas Es utilizado para describir la posicin de un

punto en el espacio.

Un sistema de coordenadas se compone de:

Un punto de referencia O, denominado origen.

Un conjunto de ejes especificados con escalas y

leyendas sobre los ejes. Instrucciones sobre cmo marcar un punto en el

espacio en relacin con el origen y los ejes.

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Sistemas de coordenadas El sistema de coordenadas que

se emplear con frecuencia esel sistema de coordenadascartesiano.

Un punto se designa con lascoordenadas (x,y).

La direccin x positiva sedefine a la derecha del origen.

La direccin y positiva sedefine hacia arriba del origen.

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Propiedades trigonomtricas

A

B

c

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Ejercicio Se tiene un rectngulo de

lados:

C=5 m A=4 m

B=3 m

Obtener el seno, coseno y

tangente del ngulo , juntocon el valor del ngulo.

A

B

c

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Sistemas de coordenadas El sistema de coordenadas

polareses otro sistema decoordenadas.

Un punto en el plano sedesigna con las coordenadas(r,).

r es la distancia desde elorigen hasta el punto de

coordenadas (x,y). es el ngulo entre r y un eje

fijo.

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Sistemas de coordenadas Ambos sistemas de

coordenadas se relacionan dela siguiente forma:

22

tan

cos

yxr

xy

rseny

rx

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Vector Ente matemtico cuya

determinacin exige elconocimiento de un mdulouna direccin y un sentido.

Grficamente a un vector serepresenta por un segmento derecta orientado

Analticamente se representapor una letra con una flechaencima.

PO

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Elementos Vector Direccin:

Grficamente viene representada por la recta soporte. En el

plano por un ngulo y en el espacio mediante tres ngulos.

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Elementos Vector Sentido:

Es el elemento que indica la

orientacin del vector.Grficamente vienerepresentada por la cabezade flecha.

Magnitud:

Representa el valor de la

magnitud fsica a la cual seasocia. Grficamente vienerepresentado por la longituddel segmento de recta.

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Magnitudes fsicas Magnitud Escalar:

Solo tiene magnitud y no direccin.

Queda especificada con un nmero y su unidad.

Ejemplo: Longitud, rea, temperatura, masa, etc.

Magnitud Vectorial: Tiene magnitud, direccin y sentido.

Ejemplos: Fuerza a un objeto, posicin de unapartcula, velocidad de un auto, etc.

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Propiedades de Vectores Igualdad de Vectores:

Se define que 2 vectores A y Bson iguales si tienen la mismamagnitud y apuntan en lamisma direccin.

No es necesario que ambosvectores tengan el mismoinicio.

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Propiedades de Vectores Adicin de Vectores:

Se suman los vectores mediante la regla del triangulo o

paralelogramo.

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Propiedades de Vectores Conmutatividad: Asociatividad:

ABBA

CBACBA

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Propiedades de Vectores Negativo de un vector: Sustraccin:

0 VV

VUVU

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Propiedades de Vectores Multiplicacin de un vector por un escalar:

Si el vector A se multiplica por un escalar c, el producto cA es unvector que tiene la misma direccin que A y magnitud cA.

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Ejercicio Un automvil viaja 20 km al norte y luego a 35

km en una direccin 60 al noroeste, como se

muestra en la figura. Encuentre la magnitud ydireccin del desplazamiento resultante delautomvil.

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Ejercicio Un automvil viaja 20 km al norte y luego a 35

km en una direccin 60 al noroeste, como se

muestra en la figura. Encuentre la magnitud ydireccin del desplazamiento resultante delautomvil.

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Componentes de un vector Cualquier vector puede expresarse en trminos de sus proyecciones:

Un vector A localizado en el plano xy puede expresarse como la suma deotros 2 vectores.

Axrepresenta la proyeccin de A en el eje x, y Ayrepresenta la proyeccinde A en el eje y.

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Componentes de un vector Cualquier vector puede expresarse en trminos de sus proyecciones:

yx

y

x

AAA

AsenA

AA

cos

22

1

yx

x

y

AAA

A

A

tg

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Vectores Unitarios A cada uno de los ejes se les asigna vectores

unitarios:

Cada uno de estos vectores unitario a tienemdulos iguales a la unidad y direcciones

perpendiculares entre s.

, ,i j k

i j k

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Vectores Unitarios

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Componentes de un vector Suma de vectores por sus componentes:

jAiAA yx

yjxir

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jRiRR

jBAR

iBAR

jBAiBARBAR

yx

yyy

xxx

yyxx

)(

)(

)()(

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xx

yy

x

y

yyxx

yx

BA

BA

R

R

BABAR

RRR

tan

22

22

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Componentes de un vector Representacin y suma de vectores en el plano x, y, z

kBAjBAiBABAR

kBjBiBB

kAjAiAA

zzyyxx

zyx

zyx

)()()(

)(

)(

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Ejercicio 1 Determine la suma de A y B en el plano xy, junto con la

magnitud del vector resultante y el ngulo que forma con eleje x positivo.

?

?

?

42

22

R

BAR

jiB

jiA

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Ejercicio 1 Determine la suma de A y B en el plano xy, junto con la

magnitud del vector resultante y el ngulo que forma con eleje x positivo.

44,33356,2636056,26)5,0(tan

5,04

2tan

47,42024

2

4

24)42()22(

1

2222

x

y

yx

y

x

R

R

RRRR

R

R

jijiBAR

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Ejercicio 2 Una partcula experimenta tres desplazamientos

consecutivos. Encuentre las componentes del desplazamientoresultante y su magnitud.

jid

kjid

kjid

5,13,1

6,34,13,2

2,135,1

3

2

1

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Ejercicio 2 Una partcula experimenta tres desplazamientos

consecutivos. Encuentre las componentes del desplazamientoresultante y su magnitud.

2,6

8,4

1,3

5,2

321

R

R

R

R

dddR

z

y

x

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Ejercicio 3 Una excursionista inicia una excursin caminando primero 25 km hacia el

sureste desde su campamento base. En el segundo da camina 40 km en unadireccin 60 al norte del este, punto en el cual descubre la torre de un

guardabosque.

a) Determine la componente del desplazamiento diario del excursionista.

b) Determine las componentes del desplazamiento resultante R de laexcursionista en el viaje. Encuentre una expresin de R en trminos devectores unitarios.

c) Determine la magnitud y la direccin del desplazamiento total.

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Ejercicio 3a)Determine la componente del desplazamiento diario del

excursionista.

kmxBsenBkmxBB

kmxAsenA

kmxAA

y

x

y

x

6,34866,0)40()60(205,040)60cos(

7,17707,0)25()45(

7,17707,025)45cos(

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Ejercicio 3b) Determine las componentes del desplazamiento resultante R

de la excursionista en el viaje. Encuentre una expresin de Ren trminos de vectores unitarios.

jiR

kmBAR

kmBAR

BAR

yyy

xxx

9,167,37

9,166,347,17

7,37207,17

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Ejercicio 3c) Determine la magnitud y la direccin del

desplazamiento total.

14,24)448,0(tan

448,0

7,37

9,16tan

31,419,17069,167,37

1

2222

x

y

yx

R

R

kmRRRR

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Producto Interno Tambin conocido como producto interior o producto punto,

es una operacin entre dos vectores de un mismo espacioeucldeo.

El resultado de esta operacin es un nmero o escalar queresulta de sumar las multiplicaciones de las dimensiones deestos dos vectores en cada uno de los ejes coordenados.

zzyyxx BABABABA

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Producto Interno Ejemplo:Encontrar el valor del producto interno para los vectores

532413)4(2

141

)1,4,4(

)3,2

1,1(

21

2

1

VV

V

V

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Producto Interno Propiedades:

Conmutativa:

Asociativa:

Distributiva: CABACBA

BABABA

ABBA

)(

)()()(

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Producto Interno Definicin geomtrica:

El producto interno entre2 vectores se define como

el producto de ambosmdulos por el coseno delngulo que forman:

cosBABA

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Producto Punto de 2 vectores unitarios:

Si los vectores unitarios son iguales su producto es 1; si nosu producto es 0.

1

1

1

kk

jj

ii

0

0

0

ik

kj

ji

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Producto Punto de 2 vectores perpendiculares:

Si ambos vectores son distintos de 0 y su producto es 0implica que ambos son perpendiculares.

BABA

BABA

0,0

0cos

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Ejercicio 1 Sean los vectores u=(2,k) y v=(3,-2), encuentre el valor de k

para que:

a) Los vectores sean perpendiculares

b) Los vectores sean paralelos

c) Ambos vectores formen un ngulo de 60

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Ejercicio 2 Suponiendo de la base ortonormal del plano los vectores

a, b tienen expresiones:

encuentre el valor de k sabiendo que

vu

,

vub

vkua

35

2

6ba

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Ejercicio 3 Calcule la proyeccin del vector

sobre el vectorjiu 52

jiv 5

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Producto Vectorial El producto vectorial o cruz

producto es una operacin

binaria entredos vectores enun espacio tridimensional

El resultado es unvector perpendicular a losvectores que se multiplican,y por lo tanto normal alplano que los contiene.

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Producto Vectorial Dado 2 vectores A y B,

definimos el producto

vectorial como un nuevovector C.

BAC

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Producto Vectorial El mdulo de C es el mdulo

de A por el mdulo de B por elseno del ngulo que forman.

El mdulo del vector productovectorial coincide con el readel paralelogramo definidopor ambos vectores.

senBAC

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Producto Vectorial La direccin del vector

producto vectorial esperpendicular a los vectores A

y B.

0

0

BC

AC

BAC

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Producto Vectorial La direccin del vector viene

dada por la regla de la manoderecha.

Curve los dedos de la manoderecha tendiendo a hacergirar al primer vector hacia elsegundo; el dedo pulgarextendido nos da el vectorproducto.

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Producto Vectorial Propiedades:

Anticonmutativo

Distributivo

Escalar porproducto vectorial

ABBA

CABACBA

)(

)()()( BmABAmBAm

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Multiplicacin vectorial de vectores unitarios.

jik

ikj

kji

0

0

0

kk

jj

ii

jki

ijk

kij

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El producto vectorial de 2 vectores en componentes esta dadopor:

zBABAjBABAiBABABA

zBB

AAj

BB

AAi

BB

AABA

BBB

AAA

kji

BA

xyyxxzzxyzzy

yx

yx

zx

zx

zy

zy

zyx

zyx

)()()(

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Ejercicio 1 Calcular el producto vectorial de y)3,2,1(u

)2,1,1(v

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Ejercicio 2 Calcular el producto vectorial de y

y comprobar que el vector encontrado es

perpendicular a y

kjiu 3

kjiv

v

u

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Ejercicio 3 Hallar el rea de paralelogramo que est dado por los vectores

y)1,1,3( u

)4,3,2(v

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Ejercicio 4 Determinar el rea del triangulo cuyos vrtices son los puntos

, y)3,1,1(A )5,1,2( B )1,3,3(C

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