capítulo 2 vectores

Capítulo 2 Vectores

27

2 VECTORES 2.1. Introducción

Este capítulo sirve como una introducción de las ideas esenciales

asociadas con una rama de las matemáticas muy importante para

científicos e ingenieros.

El álgebra vectorial es importante porque permite expresar en forma conveniente y abreviada algunas expresiones muy complicadas en

algebra ordinaria. El álgebra vectorial es fácilmente comprensible,

una vez que su notación ha sido entendida.

2.2. Magnitudes escalares y vectoriales

Una cantidad física que pueda ser completamente descrita por un

número real, en términos de alguna unidad de medida de ella, se

denomina una cantidad física escalar. Por ejemplo, la masa, la edad

y la altura de una persona es una magnitud escalar.

Se denomina magnitud vectorial a aquella medida para la cual se

necesita conocer algo más que un sólo número y su unidad. Por

ejemplo, para saber la velocidad del viento además de su

intensidad, es decir, tantos kilómetros por hora, se requiere conocer su dirección y sentido, y así saber si viene del norte hacia el sur,

etc. Este tipo de magnitudes se representan por flechas.

Suponiendo que una persona se halle parada en algún punto de una línea recta,

si la persona quiere caminar sobre la recta tendrá dos opciones, a una de ellas

se le asigna un valor positivo y negativo a la otra. Una vez que el sentido está determinado se dice que la línea recta está orientada y se la denomina “eje”.

Los ejes coordenados X e Y son líneas orientadas en las cuales los sentidos

positivos se indican mediante una flecha como se observa en la figura 2.1.

La dirección de un eje “A” en el plano se determina mediante un ángulo, que se mide entre un eje de referencia (el eje X) y la línea recta mencionada, donde el ángulo se mide en sentido contrario a las

manecillas del reloj y se lo considera positivo (figuras 2.2 a y 2.2 b).

X

A

O

q

X

A

O

j

20 kg

¿Hacia

donde?

Yo debo ser

un escalar

Aplícale una

fuerza

eje X

eje Y

O

2.1. Introducción

2.2. Magnitudes escalares y vectoriales 2.3. Sistemas de referencia

2.4 Representación de una magnitud vectorial

2.5. Producto de un escalar por un vector

2.6. Suma y diferencia gráfica de

vectores 2.7. Propiedades de la adición de

vectores 2.8. Componentes de un vector

2.9. Suma y diferencia analítica de vectores

2.10. Producto escalar o producto punto 2.11. Producto vectorial o producto cruz

Objetivos

Entender y reconocer las características de magnitudes

escalares y vectoriales. Definir un sistema de ejes

coordenados. Reconocer los tipos de vectores.

Realizar las diferentes operaciones

con vectores gráfica y analíticamente.

Comprender y aplicar la composición y descomposición de

vectores. Resolver problemas aplicando las

operaciones con vectores

Figura 2.1

Figura 2.2 a

Figura 2.2 b


28

2.3. Sistemas de referencia

Para especificar la ubicación de un punto en el plano y en el espacio,

se utilizan sistemas de referencia. Esta ubicación se define en forma relativa a algún determinado sistema de referencia, como un:

Sistema cartesiano

Sistema polar de coordenadas

Sistema cilíndrico de coordenadas Sistema esférico de coordenadas

2.3.1. Sistema cartesiano

En un sistema de referencia cartesiano, existen tres ejes

denominados ejes cartesianos “X”, “Y”, “Z” perpendiculares entre sí, que se intersectan en un punto “O” llamado origen del sistema

cartesiano. La ubicación (también denominada posición), de un

punto respecto a ese sistema de referencia se define por el conjunto

de sus coordenadas cartesianas (x, y, z), dados por tres números

reales, (figuras 2.3 y 2.4)

2.4 Representación de una magnitud vectorial

Cualquier magnitud vectorial se puede representar

geométricamente mediante un segmento dirigido (eje) desde un

punto llamado punto inicial (o punto de aplicación) a otro llamado punto final, siendo definida su dirección por el ángulo “θ”, que dicho

segmento forma con el eje “X” (o en su defecto con los respectivos

ejes “Y” y “Z”), su sentido por el lugar que señala la flecha, y su

módulo por la longitud del segmento respecto de la unidad y escala de medida elegida (figura 2.5).

Simbólicamente, las magnitudes vectoriales se representan por

letras del alfabeto, mayúsculas o minúsculas, en negrilla a, b, .....,

o con una barra ��, ��, ....., o una flecha encima de la letra ��, 𝑏, .....,también se pueden utilizar dos letras en la forma PQ (figura

2.6). El módulo de un vector �� ó PQ, se representa por 𝑎, |��|.

Un vector perpendicular al plano de la hoja y de sentido entrante se

representa mediante un aspa . Un vector perpendicular a la hoja,

pero en sentido saliente, se representa mediante un punto dentro

de un círculo (figura 2.7).

eje Y

eje Z

O

eje X

+

+

+

-

-

-

A

B

Línea de acció

n

eje X

sentido

q dirección

punto final

punto inicial

Y

Z

o

X

8

14

12

(8,14,12)

Figura 2.3

Figura 2.4

Figura 2.5

Figura 2.6

Figura 2.7

a

P

Q

bc

Vector entrante

Vector saliente


29

2.4.1. Tipos de vectores

Vectores colineales

Son aquellos vectores que están contenidos en una línea recta, la figura 2.8 muestra un ejemplo de vectores colineales.

Vectores coplanares

Son vectores que están contenidos en un plano, un ejemplo se

puede observar en la figura 2.9.

Vectores concurrentes

Son aquellos vectores cuyas líneas de acción coinciden en un solo

punto “p”, como se muestra en la figura 2.10.

Vectores ligados

Dos o más vectores se denominan ligados si sus puntos iníciales coinciden en un solo punto como en la figura 2.11.

Vectores paralelos

Dos o más vectores, son paralelos cuando sus líneas de acción

paralelas (figura 2.12).

Entre los vectores paralelos se pueden distinguir los siguientes:

Vectores equipolentes: tienen el mismo módulo, dirección

y sentido (vectores �� y 𝑑 figura 2.12).

Vectores opuestos: tienen el mismo módulo y misma

dirección pero sentido opuesto (vectores �� y 𝑐 figura 2.12).

La suma de dos vectores opuestos da por resultado el vector

cero.

c

a

b

a

b

c

Plano de la hoja

ab c

p

a b

c

a

b

cd

Figura 2.8

Figura 2.9

Figura 2.12

Figura 2.10

Figura 2.11


30

Vectores perpendiculares

Dos vectores son perpendiculares cuando el ángulo entre ellos o sus

líneas de acción forman un ángulo de 90° o 270° (figura 2.13).

Vector unitario o versor

Un vector se denomina unitario o versor, cuando su módulo es igual

a la unidad (figura 2.14) y se simboliza como �� y su módulo se

representa por |��|.

Vector cero

Un vector se denomina cero (o nulo), si su módulo es igual a cero y se simboliza por 0.

Vectores libres

Los vectores se denominan libres, porque pueden trasladarse de un lugar a otro del espacio manteniendo el módulo, sentido y dirección invariables.

2.5. Producto de un escalar por un vector

Si �� es un vector y “k” un escalar positivo, entonces 𝑘 ∗ �� es un vector de

igual dirección y sentido que �� cuyo módulo es “k” veces el de ��; si “k” es

negativo, se trata de un vector de igual dirección que ��, de sentido

opuesto al de �� y con un módulo igual a “k” k veces el de ��. Además, para

ambos casos se cumple que 𝑘 ∗ �� es paralelo a �� (condición de

paralelismo). Si “k” es igual a cero entonces, 𝑘 ∗ �� es igual al vector cero.

En la figura 2.15 se muestran ejemplos de este producto.

2.6. Suma y diferencia gráfica de vectores

Sean �� y �� los vectores de la figura 2.16; la resultante o suma, se define

como: 𝑠 = �� + �� y gráficamente (también definición), se obtiene por

uno de los siguientes métodos:

(i) Método del paralelogramo.- Trazar los vectores �� y ��

de modo que sus puntos iniciales coincidan, luego

completar el paralelogramo PAQB adicionando dos

nuevos vectores �� y �� como se indica en la figura 2.17.

El vector suma está dado por PQ.

ab 90°

Una unidad

u

Figura 2.13

Figura 2.14

a

b

a

b

P

Q

sA

B b

a

Figura 2.15

Figura 2.16

Figura 2.17

2

ab

a

ac

5,1

ad

2


31

(ii) Método del triángulo.- Se traza el vector �� a

continuación del vector ��, como se indica en la figura

2.18 y se completa el triángulo. En este caso el vector

suma está dado por PQ.

(iii) Método del polígono.- Este método es utilizado cuando

se suman más de dos vectores.

En base al método del triángulo, se van trazando los

vectores uno a continuación del siguiente como se indica

en la figura 2.19. En este caso el vector suma está dado

por el punto inicial del primer vector y el punto final del último. En la figura 2.19, se tiene:

𝑠 = �� + �� + 𝑐 + 𝑑

Para hallar la diferencia de los vectores, 𝑑 = �� − ��, se procede del

siguiente modo:

𝑑 = �� − �� → 𝑑 + �� = ��

Trazando los vectores como en la figura 2.20 y completando el

triángulo. En dicha figura el vector diferencia es 𝑃𝐴 = �� − ��.

Combinando en un mismo gráfico la suma y diferencia de dos vectores por el método del paralelogramo se obtiene que la suma y

la diferencia forman las dos diagonales del paralelogramo, como se

muestra en la figura 2.21.

2.7. Propiedades de la adición de vectores

La adición de vectores cumple con las siguientes propiedades:

a) �� + �� = �� + �� Conmutativa

b) (�� + ��) + 𝑐 = �� + ( �� + 𝑐 ) Asociativa

c) �� + 0 = 0 + �� = �� Elemento neutro en la suma

d) 1 ∗ �� = �� ∗ 1 = �� Escalar neutro en el producto de escalar por vector

a

b

P

Q

sA

a

b

c

d

s

a

b

P

A

B d

aP

Q

sb

d

a

b

Figura 2.18

Figura 2.19

Figura 2.21

Figura 2.20


32

Ejemplo 2.1.

Utilizando los vectores mostrados en la figura 2.22:

i. Por el método del paralelogramo, realizar gráficamente las siguientes operaciones:

a) ℎ = �� + 𝑐

b) 𝑙 = 𝑑 − 𝑓

ii. Por el método del triángulo, hallar las siguientes operaciones:

a) 𝑚 = �� + ��

b) �� = 𝑒 − ��

iii. Por el método del polígono, realizar gráficamente la siguiente operación:

a) 𝑝 = 𝑒 − �� + �� − 𝑑 − 𝑐

Solución

i. ℎ = �� + 𝑐 𝑙 = 𝑑 − 𝑓

ii. 𝑚 = �� + �� = 𝑒 − ��

iii. 𝑝 = 𝑒 − �� + �� − 𝑑 − 𝑐

Cuando se tiene un vector �� , con punto inicial P (𝑝𝑥 𝑖 + 𝑝𝑦 𝑗 + 𝑝𝑧 ��) y punto final Q (𝑞𝑥 𝑖 + 𝑞𝑦 𝑗 + 𝑞𝑧 ��),

dicho vector se puede trasladar al origen del eje de coordenadas cartesianas, dando como resultado un vector en el origen:

�� = (𝑞𝑥 − 𝑝𝑥) 𝑖 + (𝑞𝑦 − 𝑝𝑦) 𝑗 + (𝑞𝑧 − 𝑝𝑧) �� (2.1)

a

bc

d

e

f g

a

c

a

c

d

fh l

d

f

mg

be

b

n

g

e

ad

c

p

Figura 2.22

Figura 2.23

Figura 2.24

Figura 2.25


33

Ejemplo 2.2.

En el cubo de lado 8 [cm] de la figura 2.26, trasladar los vectores

��, 𝑏, y 𝑐, al origen de coordenadas.

Solución

Para el vector ��: P (0 [cm], 8 [cm], 0); Q (0[cm], 0 [cm], 8 [cm])

�� = (0 [cm], −8 [cm], 8 [cm])

Para el vector b : P (8 [cm], 0 [cm], 0 [cm]); Q (0 [cm], 8 [cm], 8 [cm])

�� = (−8 [cm], 8 [cm], 8 [cm])

Para el vector c: P (8 [cm], 8 [cm], 8 [cm]); Q (8 [cm], 8 [cm], 0 [cm])

𝑐 = (0 [cm], 0[cm], −8 [cm])

2.8. Componentes de un vector

Todo vector se puede descomponer según sus:

Componentes rectangulares Componentes polares

2.8.1. Componentes rectangulares de un vector

Si un vector 𝑟 es el resultado de sumar los vectores �� y �� , y además

estos son perpendiculares, entonces �� y �� se denominan

componentes rectangulares de 𝑟 (figura 2.27).

Además, de la figura 2.27 se tiene:

𝑟 = �� + �� (2.2)

Tomando en cuenta un sistema de ejes coordenados se tienen los

componentes mostrados en la figura 2.27.

De la figura (2.27), se deduce que:

�� = 𝑎 𝑖 (2.3)

�� = 𝑏 𝑗 (2.4)

Reemplazando (2.5) Y (2.6) en la ecuación (2.4):

𝑟 = 𝑎 𝑖 + 𝑏 𝑗 (2.5)

Considerando el mismo análisis en tres dimensiones se tiene la

figura 2.28:

Figura 2.27

Figura 2.28

a

b r

Y

Xi

j

a

b

c

(8,8,8)

(0,8,8)

(8,0,8)

(0,0,8)

(0,0,0)

(8,0,0)

(0,8,0)

(8,8,0)

Figura 2.26

Y

Z

o

X

k

ij

r

a

b

c


34

𝑎 = 𝑎 𝑖

�� = 𝑏 𝑗

𝑐 = 𝑐 ��

} 𝑟 = 𝑎 𝑖 + 𝑏 𝑗 + 𝑐 �� (2.6)

Luego, cualquier vector se representará en la forma que indican las

ecuaciones (2.5) ó (2.6).

Ejemplo 2.3.

Graficar el vector �� = 4 𝑖 − 6 𝑗 + 5 ��.

Solución

En la figura 2.29 se muestra el vector solicitado.

2.8.2. Calculo del módulo de un vector

Dado un vector 𝑟, en coordenadas rectangulares, el módulo del vector se calcula mediante:

a) En dos dimensiones:

𝑟 = 𝑎 𝑖 + 𝑏 𝑗 → |𝑟| = √𝑎2 + 𝑏2 (2.7)

b) En tres dimensiones:

𝑟 = 𝑎 𝑖 + 𝑏 𝑗 + 𝑐 �� → |𝑟| = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 (2.8)

Ejemplo 2.4.

Hallar el vector unitario o versor del vector �� = (2, −5,4).

Solución

El módulo del vector a es: |��| = √22 + (−5)2 + 42 = √45

��𝑎 = (2,−5,4)

√45 → ��𝑎 = (

2

√45,

−5

√45,

4

√45)

Todo vector puede ser expresado mediante su módulo y su vector

unitario. Si:

��𝑣 = ��

|��| (2.9)

Entonces el vector 𝑣 se puede escribir como:

�� = 𝑣 ��𝑣. (2.10)

En un sistema de coordenadas rectangulares se utilizan tres

vectores unitarios o versores 𝑖, 𝑗 𝑦 �� , los cuales están dirigidos en

los sentidos positivos de la direcciones correspondientes a los ejes X, Y y Z (figura 2.30).

R

Y

Z

o

X

2

(4,-6,5)

4

-2-4-6 2 4 6

-2

2

4

-2

-4

6

Figura 2.29

Y

Z

o

X1

1

1

k

i

j

Figura 2.30


35

2.8.3. Componentes polares

En el sistema polar de coordenadas en dos dimensiones, la posición

de un vector sobre un plano está definida por sus dos coordenadas denominadas polares, “r” y “θ” (figura 2.31), un vector en

coordenadas polares se representa mediante las siguientes formas:

𝑟 = (𝑟, 𝜃) (2.11)

𝑟 = 𝑟 ∠ 𝜃 (2.12)

Ejemplo 2.5.

Graficar el vector �� = (6 , 135°)

Solución

En la figura 2.32 se muestra el vector solicitado.

Un vector en un sistema de puntos cardinales se representa mediante coordenadas polares según los

siguientes formatos en base al ángulo “q” (normalmente este ángulo se indica en grados

sexagesimales).

En base al norte (el ángulo se mide del norte)

En base al sur (el ángulo se mide del sur)

En base al este (el ángulo se mide del este)

En base al oeste (el ángulo se mide del oeste)

N q E S q E E q N O q N

q del norte al este q del sur al este q del este al norte q del oeste al norte

q al este del norte S q al este del sur q al norte del este q al norte del oeste

N q O S q O E q S O q S

q del norte al oeste q del sur al oeste q del este al sur q del oeste al sur

q al oeste del norte q al oeste del sur q al sur del este q al sur del oeste

N

S

EO

qv

N

S

EO

qv

N

S

EOq

v

N

S

EOq

v

q

N

S

EO

v

N

S

EO

q

v

N

S

EOq

v

N

S

EOq

v

r

q

X

Y

o

r

R

Y

o X-2-4-6 2 4

2

4

-2

6

135°

Figura 2.32

Figura 2.31

Tabla 2.1


36

2.8.4. Transformaciones entre componentes

Cuando se trabaja en dos dimensiones se hace necesario realizar las

transformaciones entre coordenadas rectangulares y polares.

En base a trigonometría se tiene las siguientes relaciones (validas

en el primer cuadrante figura 2.33).

De rectangulares a polares

Datos: Componentes rectangulares

Componentes polares

𝑟𝑥

𝑟𝑦

𝑟 = √𝑟𝑥2 + 𝑟𝑦

2

𝜃 = 𝑡𝑔−1 (𝑟𝑦

𝑟𝑥)

De polares a rectangulares

Datos: Componentes polares

Componentes rectangulares

𝑟

𝜃

𝑟𝑥 = 𝑟 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜃

𝑟𝑦 = 𝑟 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝜃

Debido a que en los cálculos del ángulo “q” (dirección del vector), utilizando la función arco tangente,

se obtienen resultados del ángulo “q” en el primer y cuarto cuadrante, por lo que se deben realizar las

correcciones indicadas en la tabla 2.4 para encontrar dicho ángulo resultante con respecto al eje de

abscisas positiva (eje “x” positivo).

Cuadrante q Corregido

I 𝜃

II 𝜃 = 𝑡𝑔−1 (𝑟𝑦

𝑟𝑥) + 180°

III 𝜃 = 𝑡𝑔−1 (𝑟𝑦

𝑟𝑥) + 180°

IV 𝜃 = 𝑡𝑔−1 (𝑟𝑦

𝑟𝑥) + 360°

Nota.- Las componentes rX y rY se deben usar con el signo correspondiente a su sentido.

Ejemplo 2.6.

El vector 𝐴, tiene como componentes Ax = 10 unidades y Ay = -7 unidades. Encontrar el módulo y la dirección del vector.

Solución

El vector A, está situado en el cuarto cuadrante (figura 2.34), y su

módulo y ángulo respectivos son:

𝐴 = √102 + (−7)2 → 𝑎 = 12,2 [𝑢]

𝜃 = 𝑡𝑔−1 (− 7

10) + 360° → 𝜃 = 325°

xr

yrr

q

A

Y

o X-2 2 4

2

4

-2

-6

325°

6 8 10

-4

Tabla 2.2

Tabla 2.3

Figura 2.33

Figura 2.34

Tabla 2.4


37

q q 180° q

qa

s

b

b

b

d

Ejemplo 2.7.

El vector ��, tiene como modulo B = 6 unidades y el ángulo β = 53,1°

en la posición mostrada en la figura 2.35. Encontrar las componentes

rectangulares del vector ��.

Solución

Como el vector está situado en el tercer cuadrante, ambas componentes son negativas.

𝐵𝑥 = − 6 ∗ 𝑐𝑜𝑠 53,1° = − 3,6 [u]

𝐵𝑦 = − 6 ∗ 𝑠𝑒𝑛 53,1° = − 4,8 [u]

�� = −3,6 [𝑢] 𝑖 − 4,8 [𝑢] 𝑗

2.9. Suma y diferencia analítica de vectores

2.9.1. Por resolución de triángulos

Utilizando el teorema de cosenos en la suma y diferencia de vectores

representados en la figura 2.36, se obtiene:

𝑠2 = 𝑎2 + 𝑏2 – 2 𝑎 𝑏 𝑐𝑜𝑠 (180° − 𝜃)

𝑐𝑜𝑠 𝜃 = − 𝑐𝑜𝑠 (180° − 𝜃)}

𝑠 = √𝑎2 + 𝑏2 + 2 𝑎 𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (2.13)

𝑑 = √𝑎2 + 𝑏2 – 2 𝑎 𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (2.14)

Este método se utiliza cuando se suman o restan solo dos vectores

por vez.

Ejemplo 2.8.

Se sabe que los vectores 𝐴 y ��, son perpendiculares. Si el módulo de 𝐴 es 5 [u] y si el ángulo entre

2 𝐴 y 2 𝐴 − �� es 20°, ¿cuál es el módulo de ��?

Solución

𝑡𝑔 20° = − 𝑏

10 → 𝑏 = − 10 [𝑢] 𝑡𝑔 20° → 𝑏 = 3,6 [𝑢]

a

b

a2

b

ba

2

º20

Figura 2.35

Figura 2.36

Figura 2.37

B

Y

o X

-2

2

-42

4

-2

-6

53,1°

-6

-4


38

Ejemplo 2.9.

El módulo de la diferencia de dos vectores �� y ��, es igual a 4 unidades y el modulo de su suma 10

unidades. Si el ángulo que forman los vectores suma y diferencia es 60°, determine los módulos de ��

y ��.

Solución

Por el teorema de cosenos:

𝑎 = √(𝑠

2)

2

+ (𝑑

2)

2

− 2 ∗𝑠

2∗

𝑑

2∗ 𝑐𝑜𝑠 120°

𝑎 = √(10

2)

2 + (

4

2)

2 − 2 ∗

10

2∗

4

2∗ 𝑐𝑜𝑠 120° = 6,2 [𝑢]

𝑏 = √(𝑠

2)

2

+ (𝑑

2)

2

− 2 ∗ 𝑠

2∗

𝑑

2∗ 𝑐𝑜𝑠 60°

𝑏 = √(10

2)

2

+ (4

2)

2

− 2 ∗10

2∗

4

2∗ 𝑐𝑜𝑠 60° = 4,4 [𝑢]

Ejemplo 2.10.

Hallar el módulo de la suma o resultante de los vectores inscritos en

el circulo de radio 5 [cm] y que forman pate de un exagono perfecto

mostrados en la figura 2.39

Solución

De la figura se tiene:

𝐴 + �� + 𝐶 – �� + �� = 0 (1)

Sumando a (1) los vectores 2 �� + ��, se obtiene la resultante

requerida.

𝐴 + �� + 𝐶 – �� + �� + 2 �� + �� = 0 + 2 �� + ��

𝑆 = 𝐴 + �� + 𝐶 + �� + �� + �� = 2 �� + ��

Los vectores �� y ��, forman un ángulo θ = 60°, por consiguiente:

|𝑆| = √(2 𝐸)2 + 𝐷2 + 2 𝐸 𝐷 𝑐𝑜𝑠 60°

|𝑆| = √102 + 102 + 2 ∗ 10 ∗ 10 𝑐𝑜𝑠 60° = 17,32 [𝑐𝑚]

2.9.2. Por descomposición y composición de vectores

En función a las componentes rectangulares de los vectores, si se tienen: 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛 vectores con

ángulos 𝜃1, 𝜃2, ⋯ , 𝜃𝑛 medidos desde la abscisa positiva de un sistema de coordenadas rectangulares, se

obtiene los componentes de la suma mediante:

𝑠𝑥 = 𝑎1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 + 𝑎2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + ⋯ + 𝑎𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑛 (2.15)

𝑠𝑦 = 𝑎1 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃1 + 𝑎2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃2 + ⋯ + 𝑎𝑛 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑛 (2.16)

El módulo de la suma:

a

b

b

a

sd

60°

120°

Figura 2.38

Figura 2.39

A

E F

D

C

B


39

a

b

c

d

e

60°45°

40°

𝑆 = √𝑠𝑥2 + 𝑠𝑦

2 (2.17)

Y el ángulo que del vector suma o resultante con respecto a la

abscisa positiva:

𝜃 = 𝑡𝑔−1 (𝑠𝑦

𝑠𝑥) (2.18)

Ejemplo 2.11.

La figura 2.40 muestra vectores fuerza ��, ��, 𝑐, 𝑑 y e, cuyos módulos

son: 𝑎 = 10 [N], b = 9 [N], c = 6 [N], d = 5 [N] y e = 8 [N].

Determinar el módulo y el ángulo que forma la resultante de los

vectores con el eje y.

Solución:

𝑟𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 60° − 𝑑 𝑠𝑒𝑛 45° − 𝑐 − 𝑒 𝑐𝑜𝑠 40°

𝑟𝑥 = 10 𝑠𝑒𝑛 60° − 5 𝑠𝑒𝑛 45° − 6 − 8 𝑐𝑜𝑠 40°

𝑟𝑥 = − 7 [𝑁]

𝑟𝑦 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠 60° + 𝑑 𝑐𝑜𝑠 45° + 𝑏 − 𝑒 𝑠𝑒𝑛 40°

𝑟𝑦 = 10 𝑐𝑜𝑠 60° + 5 𝑐𝑜𝑠 45° + 9 − 8 𝑠𝑒𝑛 40°

𝑟𝑦 = 12,4 𝑁

𝑟 = √ 𝑟𝑥 + 𝑟𝑦 = √(−7 [𝑁])2 + (12,4 [𝑁])2

r = 14,2 [N]

Como el ángulo solicitado es con respecto al eje “y”:

𝑡𝑔 𝜃 = 𝑟𝑥

𝑟𝑦 → 𝜃 = 𝑡𝑔−1 (

𝑟𝑥

𝑟𝑦)

𝜃 = 𝑡𝑔−1 (7

12,4) → 𝜃 = 29,4°

Ejemplo 2.12.

Si los vectores �� y �� forman un ángulo de 60° y tienen el mismo

módulo, ¿qué ángulo forman ��

2 − �� y ��? (figura 2.42).

Solución:

𝑑 = ��

2 − �� → �� + 𝑑 =

��

2

De la figura 2.42: 𝜑 = 150°

P

R

60°

RP

2

j

a

b

c

d

e

60°45°

40°xr

yrr

q

Figura 2.42

Figura 2.40

Figura 2.41


40

Ejemplo 2.13.

Si los módulos de los vectores mostrados en la figura 2.41 son: a = 8 [u],

b = 5 [u] y c = 6,4 [u] y además, β = 36,9° y γ = 38,7°, hallar el módulo y la dirección del vector resultante.

Solución

𝑅𝑥 = 𝑎 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝛽 − 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝛾

𝑅𝑥 = 8 + 5 𝑠𝑒𝑛 36,9° − 6,4 𝑠𝑒𝑛 38,7°

𝑅𝑥 = 7 [𝑢]

𝑅𝑦 = 𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝛾

𝑅𝑦 = 5 𝑐𝑜𝑠 36,9° + 6,4 𝑐𝑜𝑠 38,7°

𝑅𝑦 = 9 [𝑢]

𝑅 = √ 𝑅𝑥 + 𝑅𝑦 = √(7 )2 + (9)2 = 11,4 [𝑢]

Y como el vector resultante está en el primer cuadrante:

𝑡𝑔 𝜃 = 𝑅𝑦

𝑅𝑥 → 𝜃 = 𝑡𝑔−1 (

𝑅𝑦

𝑅𝑥)

𝜃 = 𝑡𝑔−1 (9

7) → 𝜃 = 52,1°

Ejemplo 2.14.

Hallar el ángulo “ ” y el módulo de la resultante de los vectores

mostrados en la figura 2.44, si la resultante se encuentra sobre la

línea de acción del vector de módulo 90 [u].

Solución

De la figura 2.44, se observa que el vector de 90 [u] y el de 80 [u]

forman 90º. El módulo de la resultante es igual a:

𝑅 = 90 [𝑢] – 𝑥 (1)

De la figura 2.45 se observa que:

1002 = 80 2 + 𝑥2 (2)

Despejando “X” de la ecuación (2)

u90

Y

X

u80u100

20°

20°

Figura 2.43

Figura 2.44

c bbg

a


41

𝑥 = √1002 − 80 2 → 𝑥 = 60 [𝑢]

Reemplazando valores en la ecuación (1) se tiene:

𝑅 = 90 [𝑢]– 60 [𝑢] → 𝑅 = 30 [𝑢]

Del gráfico se observa que:

𝜙 + 𝛽 = 90° + 12° (3)

𝜙 = 102° − 𝛽

Cálculo de β:

𝑡𝑔 𝛽 = 80

60 → 𝛽 = 𝑡𝑔−1 (

80

60)

𝛽 = 53,13°

(4)

Reemplazando en la ecuación (3) se tiene:

𝜙 = 102° − 53,13° → 𝜙 = 48,87°

Ejemplo 2.15.

Hallar el ángulo que deben formar dos vectores de igual módulo, para que la resultante de su suma

tenga un módulo igual a la mitad del módulo de uno de los vectores.

Solución

|𝐴| = |��| = 𝐴

|𝑆| = 𝑆 = |��|

2=

𝐴

2 } → 𝑆2 = 𝐴2 + 𝐵2 + 2 𝐴 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝜃 →

𝐴2

4 = 𝐴2 + 𝐴2 + 2 𝐴2 𝑐𝑜𝑠 𝜃

1

4 = 2 + 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 → 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = −

7

8 → 𝜃 = 151°

2.10. Producto escalar o producto punto

El producto escalar de los vectores �� y ��, representado

simbólicamente mediante �� ∘ �� (que se indica por “�� multiplicado

escalarmente por �� “), se define como la cantidad escalar obtenida

hallando el producto de los módulos de �� y �� con el coseno del

ángulo θ entre los dos vectores. En la figura 2.46 se observa dichos vectores.

�� ∘ �� = |𝑎| ∗ |𝑏| ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (2.19)

Obviamente �� ∘ �� = 𝑎2, ya que el ángulo en este caso es cero. Además, como la función coseno

varía entre -1 y 1, entonces el producto escalar puede ser positivo, negativo o cero.

a) �� ∘ �� < 0 (−) si 90° < 𝜃 ≤ 180°

b) �� ∘ �� = 0 si 𝜃 = 90° (condición de perpendicularidad, entonces �� y ��, son

perpendiculares)

c) �� ∘ �� > 0 (+) si 0° < 𝜃 < 90°

u90

u100

u80

x

R

β

20°

a

b

q

Figura 2.45

Figura 2.46


42

2.10.1 Propiedades del producto escalar

a) �� ∘ �� = �� ∘ �� Conmutativo

b) 𝑐 ∘ (�� + ��) = 𝑐 ∘ �� + 𝑐 ∘ �� Distributivo con respecto de la suma

2.10.2. Producto escalar de vectores unitarios

𝑖 ∘ 𝑖 = |𝑖| ∗ |𝑖| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 0° = 1

𝑗 ∘ 𝑗 = |𝑗| ∗ |𝑗| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 0° = 1

𝑖 ∘ 𝑗 = |𝑖| ∗ |𝑗| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 90° = 0

𝑗 ∘ 𝑖 = |𝑗| ∗ |𝑖| ⋅ 𝑐𝑜𝑠 90° = 0

Escribiendo �� y ��, en función de sus componentes rectangulares y aplicando la ley distributiva, se

tiene:

�� ∘ �� = (𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧�� ) ∘ (𝑏𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑗 + 𝑏𝑧�� )

�� ∘ �� = 𝑎𝑥𝑏𝑥 + 𝑎𝑦𝑏𝑦 + 𝑎𝑧𝑏𝑧 (2.20)

Además:

�� ∘ �� = 𝑎𝑥𝑎𝑥 + 𝑎𝑦𝑎𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦

2 (2.21)

A partir del producto escalar se puede hallar el ángulo entre dos vectores, utilizando:

�� ∘ �� = 𝑎𝑥𝑏𝑥 + 𝑎𝑦𝑏𝑦

�� ∘ �� = |𝑎| ∗ |𝑏| ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 } |𝑎| ∗ |𝑏| ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑎𝑥𝑏𝑥 + 𝑎𝑦𝑏𝑦 (2.22)

𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 (𝑎𝑥𝑏𝑥+𝑎𝑦𝑏𝑦

|𝑎|∙|𝑏|) (2.23)

Ejemplo 2.16.

Dados los vectores 𝐴 = −3 𝑖 + 𝑗 , �� = −4 𝑖 – 3 𝑗 , y 𝐶 = −2 𝑖 + 2 𝑗 . Determinar el ángulo entre

(𝐴 ∘ ��) �� y 2 𝐶 .

Solución

El ángulo formado por los vectores (𝐴 ∘ ��) �� y 2 𝐶 es igual al ángulo que forman �� y 𝐶.

|��| = √(−4)2 + (−3) 2 = 5

|𝐶| = √(−2)2 + 2 2 = 2 √2

�� ∘ 𝐶 = (−4 𝑖 − 3 𝑗) ∘ (−2 𝑖 + 2 𝑗) = 8 − 6 = 2

�� ∘ 𝐶 = |��| |𝐶| 𝑐𝑜𝑠 𝛼 → 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = �� ∘ 𝐶

|��| |𝐶| =

2

5 × 2 √2


43

𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1 (1

5 √2) → 𝛼 = 81,9°

Ejemplo 2.17.

Dados los vectores: 𝐴 = 2 𝑖 + 2 𝑗 − 2 ��, �� = −3 𝑖 – 3 𝑗 − 3 �� y

con módulos dados en metros. Determine el área que generan

ambos vectores (figura 2.47).

Solución

𝐴 ∘ �� = |𝐴| |��|𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3

𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1 (𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3

√𝑎12 + 𝑎2

2 + 𝑎32√𝑏1

2 + 𝑏22 + 𝑏3

2)

𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1 (2 ∗ (−3) + 2 ∗ (−3) + (−2) ∗ (−3)

√22 + 22 + (−2)2√(−3)2 + (−3)2 + (−3)2)

𝛼 = 109,47°

Á𝑟𝑒𝑎 = |��||��| 𝑠𝑒𝑛 𝛼

Á𝑟𝑒𝑎 = √12 ∗ √27 𝑠𝑒𝑛 109,47° = 16,97 [𝑚2]

Utilizando el producto vectorial se logra el mismo resultado.

Ejemplo 2.18.

Halla el valor de “k” para que los vectores 𝐴 = (1, 𝑘, −3) y �� = (2, −5, 4) sean vectores

perpendiculares (ortogonales).

Solución

𝐴 ∘ �� = 1 ∗ 2 + 𝑘 ∗ (−5) + (−3) ∗ 4 = 0 → −5 𝑘 = 10 → 𝑘 = −2

Ejemplo 2.19.

Calcular el producto escalar de los vectores que se muestran en la

figura 2.48.

Solución

El ángulo entre los vectores es de 45°, por consiguiente:

𝐴 ∘ �� = 20 ∗ 25 𝑐𝑜𝑠 45° = 250 √2

Ejemplo 2.20.

Sean los puntos A (1, 2, -1), B (-1, 0, -1) y C (2, 1, 2), demostrar que el triángulo ABC es

rectángulo.

Solución

Si el triángulo es rectángulo uno de los ángulos es de 90°, es decir que tomando los puntos como

vectores con origen en “O”, uno de los respectivos productos escalares es cero.

𝐴 ∘ �� = 1 ∗ (−1) + 2 ∗ 0 + (−1) ∗ (−1) = 0

baa

asenb

a

)60,20( °A

x

y

)15,25( °B

Figura 2.47

Figura 2.48


44

Con lo que queda demostrado.

2.11. Producto vectorial o producto cruz

El producto vectorial de los vectores a y b, representado por el

símbolo �� × �� (que se indica por “�� multiplicado vectorialmente

por ��“), se define como el vector perpendicular al plano

determinado por �� y �� en la dirección de avance de un tornillo

de rosca derecha (ver figura 2.49) que ha sido rotado de ��

hacia �� (para ello se puede utilizar la regla de la mano

derecha). En símbolos se tiene 𝑐 = �� × ��

El módulo del producto vectorial �� × �� está dado por:

|�� × ��| = |��| |��| 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (2.24)

Si el ángulo entre a y b es 0° entonces los vectores son paralelos y se cumple que:

|�� × ��| = 0 (2.25)

�� × �� = 0 (2.26)

Escribiendo a y b en función de sus componentes rectangulares y aplicando la ley distributiva, se

tiene:

�� × �� = (𝑎𝑥 �� + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧��) × (𝑏𝑥 �� + 𝑏𝑦𝑗 + 𝑏𝑧��)

�� × �� = 𝑎𝑥𝑏𝑥(�� × ��) + 𝑎𝑥𝑏𝑦(�� × ��) + 𝑎𝑥𝑏𝑧(�� × ��) + 𝑎𝑦𝑏𝑥(�� × ��) + 𝑎𝑦𝑏𝑦(�� × ��) + 𝑎𝑦𝑏𝑧(�� × ��) + 𝑎𝑧𝑏𝑥(�� × ��) + 𝑎𝑧𝑏𝑦(�� × ��) + 𝑎𝑧𝑏𝑧(�� × ��)

�� × �� = (𝑎𝑦𝑏𝑧 − 𝑎𝑧𝑏𝑦)𝑖 + (𝑎𝑥𝑏𝑧 − 𝑎𝑧𝑏𝑥)𝑗 + (𝑎𝑥𝑏𝑦 − 𝑎𝑦𝑏𝑥)𝑘 (2.27)

El producto vectorial también se puede obtener utilizando el siguiente determinante:

�� × �� = |�� 𝑗 ��

𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧

𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧

| = |𝑎𝑦 𝑎𝑧

𝑏𝑦 𝑏𝑧| 𝑖 − |

𝑎𝑥 𝑎𝑧

𝑏𝑥 𝑏𝑧| 𝑗 + |

𝑎𝑥 𝑎𝑦

𝑏𝑥 𝑏𝑦| �� (2.28)

Ejemplo 2.21.

Hallar un vector de módulo 3 que sea paralelo al producto vectorial �� × ��, donde �� y �� son:

�� = 2𝑖 − 3𝑗 + �� y �� = 2𝑗 − 3��.

Solución

�� × �� = |𝑖 𝑗 ��2 −3 10 2 −3

| = (9 − 2) 𝑖 − (−6) 𝑗 + 4 𝑘

�� × �� = 7 𝑖 + 6 𝑗 + 4 𝑘 → |�� × ��| = √72 + 62 + 42 = √101

El vector unitario de �� × �� es: �� × ��𝑈 =7

√101 𝑖 +

6

√101 𝑗 +

4

√101 𝑘

Por consiguiente el vector solicitado es:

a

b

q

o

ba

Figura 2.49


45

𝑐 =21

√101 𝑖 +

18

√101 𝑗 +

12

√101 𝑘

Ejemplo 2.22.

Si el producto vectorial de dos vectores es �� × �� = 3𝑖 − 6𝑗 + 2��, siendo |��| = 4 y |��| = √7, calcula su

producto escalar �� ∘ ��.

Solución

|�� × ��| = √32 + 62 + 22 = 7 (1)

|�� × ��| = |��| |��| 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 4 √7 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (2)

(1) igual a (2)

4 √7 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 7 → 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 7

4 √7 → 𝜃 = 41,41°

�� ∘ �� = |��| |��| 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 4 √7 𝑐𝑜𝑠 41,41° = 7,94

2.11.1 Propiedades del producto vectorial

a) �� × �� = − �� × �� Anti conmutativa.

b) 𝑐 × (�� + ��) = 𝑐 × �� + 𝑐 × �� Distributiva con respecto de la suma.

2.11.2 Producto vectorial de vectores unitarios

𝑖 × 𝑖 = 0 𝑖 × 𝑗 = �� 𝑖 × 𝑘 = − 𝑗

𝑗 × 𝑖 = − �� 𝑗 × 𝑗 = 0 𝑗 × 𝑘 = 𝑖

�� × 𝑖 = 𝑗 �� × 𝑗 = − 𝑖 �� × �� = 0


46

VECTORES

2.1. El módulo máximo de la diferencia de dos vectores, cuyos módulos son 6 [u] y 8 [u]

respectivamente es:

a) 5 [u] b) 8 [u] c) 10 [u] d) 14 [u] e) 48 [u]

2.2. Una flecha tiene una longitud de 12 [cm] en una escala de 24 [cm]/100 [N]. Esta flecha representa una fuerza de:

a) 200 [N] b) 50 [N] c) 100 [N] d) 288 [N] e) Faltan datos

2.3. En el método gráfico para sumar vectores:

a) No se necesitan dibujar a los vectores b) Se deben representar a los vectores con flechas cuya longitud sea proporcional a su

módulo.

c) No es necesario definir una escala.

d) La precisión de los resultados es máxima.

2.4. La figura 2.50 muestra dos vectores perpendiculares u y v. Si |u| = 8 y

|v| = 15, entonces el módulo del vector resultante de la resta entre ellos

es:

a) 23 b) 17 c) 15 d) 8 e) 7

2.5. Dados los vectores A y B, de igual módulo, entonces el vector A − �� es:

2.6. En la figura 2.52, son resultantes de una adición de vectores:

a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) II y III e) I, II y III

2.7. De las siguientes afirmaciones sobre el vector PQ :

I) El punto “P” es el origen de PQ .

II) El vector PQ se puede abreviar QP .

III) El punto “Q” es el punto final de PQ .

De estas afirmaciones es (son) verdadera(s)

a) Sólo I b) Sólo III c) I y II d) I y III e) I, II, y III

2.8. Para que la diferencia entre dos vectores unitarios necesariamente sea cero, deben:

a) Ser perpendiculares. b) Ser coplanares

c) Ser colineales

)a )b )c )d )e

AB

C D

E

F

)III)II)I AB CD EF

u

v

a

b

Figura 2.50

Figura 2.51

Figura 2.52


47

d) Tener sentido opuesto

2.9. Si para los vectores A y B, no nulos se cumple a la vez que, A + B = C y μ A + μ B = D se

puede afirmar que:

a) �� debe ser un vector unitario.

b) Los vectores �� y �� tienen necesariamente la misma dirección.

c) Los vectores �� y �� son componentes vectoriales del vector ��.

d) Ninguna respuesta anterior es correcta.

2.10. Si |𝐴 − ��| = |𝐴 + ��| y ambos vectores tienen un módulo no nulo, entonces:

a) 𝐴 y �� son paralelos y de igual dirección.

b) 𝐴 y �� son paralelos y de distinta dirección.

c) El ángulo entre 𝐴 y �� es de 45º.

d) El ángulo entre 𝐴 y �� es de 60º.

e) 𝐴 y �� son vectores perpendiculares

2.11. ¿Puede ser negativo el módulo de un vector? ¿Puede ser negativa la componente de un vector?

2.12. Se suman dos vectores de igual módulo. Dependiendo de las direcciones de ambos ¿cuál es

el máximo módulo del vector resultante? ¿Cuál es el mínimo?

2.13. Citar cinco magnitudes físicas que deben ser representadas por vectores.

2.14. ¿Pueden combinarse dos vectores de diferente módulo para dar un vector resultante cero?,

¿Pueden combinarse tres vectores?

2.15. ¿Puede ser cero el módulo de un vector si alguna de sus componentes es diferente de cero?

2.16. ¿En qué condiciones el módulo de un vector resultante de la suma de otros dos no nulos es

máximo?

2.17. Indicar de las siguientes magnitudes cuáles son escalares y cuáles vectoriales: peso, masa,

fuerza, presión, velocidad angular, potencia, trabajo, aceleración.

2.18. Si dos vectores tiene la misma longitud, ¿se puede asegurar que son iguales?

2.19. ¿Cuándo se considera que son iguales dos vectores?

2.20. ¿Es posible que �� + �� + 𝑐 sea cero si los tres vectores ��, �� 𝑦 𝑐 y tienen (a) módulos distintos,

(b) módulos iguales? Razonar las respuestas.

2.21. En la figura 2.53, se muestran dos vectores, �� y ��, cada uno de módulo igual a 6 [u]. Cada

vector forma un ángulo “a” con la horizontal.

a) Si �� = �� + ��, entonces el módulo del vector �� es mayor que, menor que o igual a 6

[u]? Explicar el razonamiento. Mostrar la dirección de ��.

b) Si �� = �� − ��, entonces el módulo del vector �� es mayor, menor o igual a 6 [u]?

Mostrar la dirección de ��

2.22. ¿Puede una de las componente de un vector ser mayor que el módulo del vector?

2.23. ¿Puede un vector ser nulo y tener una o más componentes con valor distinto de cero?

a a

A

B

Figura 2.53


48

2.24. ¿Las componentes del vector 𝑐 = �� + ��, necesariamente deben ser mayores que las

correspondientes componentes de �� o de ��?

2.25. ¿En qué casos el módulo de la suma de dos vectores coincide con la suma de los módulos de los vectores que se suman?

2.26. ¿Qué condición deben cumplir dos vectores para que su producto escalar sea negativo?

2.27. ¿Cuál es el valor del producto escalar de dos vectores perpendiculares? ¿Y el de dos

paralelos?

2.28. ¿Qué condición deben cumplir dos vectores para que su producto escalar sea máximo?

2.29. Indicar en cada uno de los casos siguientes, si se está haciendo referencia a una magnitud

escalar (indicar el módulo) o a una magnitud vectorial (indicar el módulo, la dirección y el

sentido.

a) Un estanque contiene 500 litros de agua.

b) Se pagaron $ 30,00 por un lápiz.

c) Un avión que vuela a 500 [km/h] de este a oeste.

d) Un muchacho, va de su casa a la casa de un compañero, siguiendo la numeración creciente de las casas de la calle donde vive.

2.30. Cuatro vectores se suman conjuntamente dando una resultante nula. ¿Es posible que tres

de estos vectores estén en el mismo plano y el cuarto pertenezca a un plano distinto?

2.31. Indicar cuales de las siguientes operaciones son imposibles de realizar.

a) �� ∘ (�� ∘ ��) b) �� ∘ �� + 2 c) (�� ∘ ��) �� d) �� ∘ (3��) e) (�� ∘ ��)3 f) �� ∘ (3 + w ) g) (�� ∘ ��) (�� ∘ ��)

2.32. Verdadero o falso:

( ) El módulo de un vector es un escalar.

( ) El módulo de un escalar es un vector.

( ) Dos vectores de igual sentido tienen igual dirección.

( ) Dos vectores de igual dirección siempre tienen igual sentido.

( ) Al sumar dos vectores, el módulo del vector resultante es siempre es mayor que el módulo de cualquiera de los vectores sumados.

( ) Dos vectores de módulos distintos pueden sumarse para dar un vector nulo.

( ) Un vector de módulo cero tiene dirección y sentido.

( ) Los vectores equipolentes siempre tienen el mismo punto de aplicación.

Componentes de un vector

2.33. Sea �� un vector cuyas componentes cartesianas son BX = 10 [u] y BY = 5 [u] situado en el

plano X - Y. Encontrar su módulo y dirección.

2.34. Si el módulo de un vector �� es 60 [cm] y forma un ángulo de 30° con la dirección positiva

del eje “X”, determine sus componentes cartesianas.

2.35. Sea A un vector de módulo 5 y dirección 237º respecto del eje de abscisas en el plano X -

Y. Encontrar sus componentes cartesianas.

2.36. Determinar gráfica y analíticamente las componentes en “x” y “y” de una fuerza de 150 [N],

actuando en una dirección de 130° respecto de la horizontal.


49

2.37. Un poste de teléfonos está soportando por un cable que ejerce una fuerza 250 [N] sobre el

extremo superior del mismo, sabiendo que el cable forma con el poste un ángulo de 42°

calcula las componentes horizontal y vertical del vector fuerza.

2.38. Un joven camina 3 [m] hacia el Este y luego 7 [m] hacia el Norte. Determinar gráficamente

el módulo y dirección del desplazamiento de la persona.

2.39. Un perro anda en busca de un hueso, camina 4,00 [m] hacia el sur, después gira y camina

9,00 [m] al noreste, y finalmente 15,00 [m] al oeste. Graficar y determinar el vector que une el punto de partida del perro con el punto de llegada.

2.40. Una espeleóloga está explorando una cueva; sigue un pasadizo 180 [m] al oeste, luego 210

[m] 45º al este del sur, después 280 [m] 30º al este del norte. Tras un cuarto

desplazamiento no medido, vuelve al punto inicial. Determinar con un diagrama a escala el cuarto desplazamiento (módulo y dirección).

2.41. Calcular gráfica y analíticamente la fuerza resultante del siguiente sistema de fuerzas

Datos: F1 = (6 [N]; 25°), F2 = (3 [N]; 90°), F3 = (7 [N]; 125°), F4 = (5 [N]; 230°).

2.42. Expresar los vectores �� y �� (mostrados en la figura) de forma

cartesiana y polar. La cuadrícula está dividida por pequeños

cuadrados de 4 [m2] cada uno.

2.43. Expresar los siguientes vectores en función de vectores unitarios:

a) �� = (12,8 ; 150°) b) �� = (3,3 ; 60°) c) 𝑐 = (22 ; 215°)

2.44. Calcular el valor de “k” sabiendo que el módulo del vector �� = 𝑘 𝑖 + 3 𝑗 es 5

2.45. Para los siguientes vectores: ��1 = 2 𝑖 + 3 𝑗, ��2 = −3 𝑖 + 1,5 𝑗, ��3 = 2,5 𝑖 − 7 𝑗 calcular el

módulo y dirección de cada vector.

2.46. Dos puntos en un plano tienen coordenadas polares (2,5 [m], 30°) y (3,8 [m], 120°).

Determinar el vector que une las coordenadas indicadas.

2.47. Un vector 𝐴 tiene componentes Ax = Ay = 5 [u]. Determinar el módulo y dirección del vector.

2.48. Verificar si los siguientes vectores son unitarios:

�� = 𝑖 + 2 𝑗 y �� =1

√2 𝑖 −

1

√2 𝑗

2.49. Los módulos de �� y de − �� ¿son iguales o tienen signos opuestos?

2.50. Dado el vector �� = (3, −1), calcular las coordenadas de los vectores unitarios ��𝑉 que tengan

la misma dirección.

2.51. Calcular “x” para que el vector �� = (1

3, 𝑥), sea unitario.

2.52. Obtener un vector unitario de la misma dirección y distinto sentido al vector �� = (4, −3).

2.53. Demostrar que: 3 i

√38 −

5 j

√38 +

2 k

√38 es un vector unitario.

2.54. Utilizando vectores, encontrar la distancia entre los puntos P1 (4, 5, - 7) y P2 (-3, 6, 12).

a

b

x

y

Figura 2.54


50

2.55. Dados los vectores: 𝐴 = 2 𝑖 + 5 𝑗, �� = −3 𝑖 − 2 𝑗 . Determinar:

a) 𝐴 +��

2

b) El módulo y el ángulo que forma el vector �� con el sentido positivo del eje x.

2.56. Determinar un vector de módulo 10 y paralelo a �� = −4 𝑖 + 3 𝑗.

2.57. Hallar gráfica y analíticamente el vector resultante de los vectores A y B de 3 y 4 unidades

de módulo respectivamente, que forman un ángulo de 60º entre ellos.

2.58. Un automóvil viaja 20 [m] hacia el Norte y después 35 [m] en dirección

60° al Noroeste, como se muestra en la figura. Encontrar gráfica y analíticamente el módulo y dirección del desplazamiento resultante.

2.59. Hallar gráfica y analíticamente, la resultante del siguiente sistema de

fuerzas.

2.60. Cada uno de los cuatro vectores de la figura 2.57 tiene un metro de longitud,

determinar gráfica y analíticamente:

a) La dirección y sentido del vector resultante.

b) El módulo del vector resultante.

2.61. Dos vectores A y B forman un ángulo de 110° entre ellos. Sea C = A + B . Si el ángulo entre

A y C es de 40° y |A| = 20,0 [cm], determinar gráfica y analíticamente |B| y |C|.

2.62. Se consideran dos vectores A y B , que forman un ángulo recto entre ellos, además |A| = 5

[mm] y |B|= 12 [mm]. Si C = A + B, calcular gráfica y analíticamente |C| y el ángulo entre

A y C .

2.63. La máxima resultante de dos vectores es 21,0 [u] y su mínima resultante es 3,00 [u], ¿Cuál será el módulo de la resultante cuando estos vectores forman un ángulo de 135°? Graficar.

2.64. Dado los vectores �� y �� y su respectiva resultante. Indique en cada caso cuál fue la operación

vectorial realizada según la figura 2.58.

aa b

a

)a )b )cb

][mx

][my°60

b

][40 N

][60 N

°60

][80 N

Figura 2.55

Figura 2.56

Figura 2.57

Figura 2.58


51

2.65. Dos vectores poseen módulos |A| = 6 [u] y |B| = 10 [u], formando entre sí un ángulo q.

Determinar la medida del ángulo q, si su resultante es R = 14 [u].

2.66. Dados los vectores: A = (18 [u]; 20°), y B = (24 [u]; 10°), determinar el módulo de la

resultante y su correspondiente dirección.

2.67. Dos vectores A y B originan una resultante mínima de valor 3 [u]. Hallar sus módulos, si

ellos forman un ángulo de 60°, y la resultante es de 39 [u].

2.68. Dos vectores coplanares y concurrentes forman entre sí un ángulo de 60°, y poseen una

resultante que mide 35 [u]. Sabiendo además que uno de ellos es los 3/5 del otro, ¿Cuál es

el módulo de dichos vectores?

2.69. La resultante de dos vectores mide 21 [u], y es perpendicular a uno de ellos. Si el otro mide 35 [u], ¿Qué ángulo forman entre sí los vectores componentes?

2.70. Encontrar el ángulo entre dos vectores de 10 y 15 unidades de longitud, cuando su

resultante tiene (a) 20 unidades de longitud y (b) 12 unidades de longitud. Dibujar la figura

correspondiente.

2.71. El modulo de la diferencia de dos vectores A y B es igual a 4 unidades y el modulo de su

suma 10 unidades. Si el ángulo que forman los vectores suma y diferencia es 60 °,

determinar los módulos de A y B y el ángulo entre dichos vectores.

2.72. Determinar el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrado en la figura 2.59.

2.73. Determinar el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrado mostrado en la

figura 2.60, si el lado del hexágono regular mide 5 [u]

2.74. Hallar el valor del módulo de la resultante del sistema de vectores mostrado en la figura

2.61, situados en un hexágono regular de lado 5 [u]. El vector 𝑒 esta situado en un lado del

hexágono y el vector �� esta situado sobre el diámetro del círculo.

2.75. Sean dos vectores A y B de igual módulo. Si el módulo de la suma vectorial es 4 veces el

módulo de la diferencia vectorial, ¿Cuál es el ángulo entre los vectores A y B?

2.76. Considerando la figura 2.62, hallar el valor del vector 𝑐 en función de

los vectores �� y ��.

a

b

c

d

k

2 k

ka

b

c

de

bac

Figura 2.59

Figura 2.60

Figura 2.61

Figura 2.62


52

2.77. Para la figura 2.63, “N” es el punto medio del lado “TR”, encontrar el

vector 𝑐 en función de los vectores �� y ��.

2.78. Hallar el vector suma de los siguientes vectores: A = 2,00 [N] a 35°; B = 4,00 [N] a 45°; C = 6,00 [N] a 20°; D = 5,00 [N] a 120°

2.79. Determinar la resultante de las siguientes fuerzas concurrentes; F1 = 90 [N] 50°, F2 = 60

[N] 90°; F3 = 25 [N] 180°, F4 = 40 [N] 270°.

2.80. Considerando los vectores de la figura 2.64, �� es el vector resultante de:

A) �� + �� B) �� + 𝐶 + �� C) �� − �� D) �� − 𝐶 + �� E) 𝐴 + �� + 𝐶 + ��

2.81. Considerando los vectores de la figura 2.64, 𝐴 es el vector resultante de:

A) �� + �� + 𝐶 + �� B) �� − �� C) 𝐴 + �� + 𝐶 + �� D) �� − �� E) �� + �� + ��

2.82. Para el sistema de vectores de la figura 2.65, se pueden establecer varias relaciones,

excepto:

a) RQ = SQ − SR

b) SQ = SR + RT − QT c) RT = ST − SR

d) ST = QT + SQ

e) SR = SQ + RQ

2.83. Con respecto a los vectores representados en la figura 2.66 es correcto afirmar que:

a) A + B + C = D

b) A + D = B + C

c) A + B + D = C

d) A + B = − D − C

e) A + B = C + D

2.84. En base a la figura 2.67, encontrar:

a) BA

b) AC c) DB d) AD

S R

T

a

b

c N

S R

TQ

A

B

CD

bB

CD

A

a

2

a

Figura 2.63

Figura 2.64

Figura 2.65

Figura 2.66

Figura 2.67


53

2.85. En base a la figura 2.68, encontrar:

a) ZX

b) YW

c) XY

d) XZ

2.86. Determine con base en la figura 2.69, cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

a) �� + �� − 𝑐 + 𝑑 = 0

b) �� + �� + 𝑐 + 𝑑 = 2 𝑑

c) �� + �� − 𝑒 = 0

d) �� + 𝑓 = 𝑑

e) �� + �� = 𝑐 − 𝑑

f) 𝑓 − �� = −(𝑐 + 𝑑)

g) 𝑑 + 𝑓 + �� + 𝑒 = 0

h) �� + �� + 𝑐 + 𝑓 = ��

2.87. Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados en la figura 2.70, si el módulo

de cada uno de ellos es de 10 [u].

2.88. Hallar el valor resultante del conjunto de vectores mostrado en la figura 2.71.

2.89. Hallar el módulo del vector suma del conjunto de vectores mostrados en la figura2.72, el módulo de C = 3 [cm], módulo de F = 4 [cm].

2.90. Un vector de 5 [u] se orienta en dirección positiva del eje x, y otro de 3 [u] se orienta a 230º. Determinar gráfica y analíticamente la diferencia de estos vectores.

a3

a2a

aa

a

F

C 90o

b

W

Y

Z

X

a

b

2

a

b

c

d

e f

Figura 2.68

Figura 2.69

Figura 2.70

Figura 2.71

Figura 2.72


54

2.91. Determinar analíticamente la fuerza resultante del conjunto de vectores mostrados en la

figura 2.73, cuyos módulos son: F1 = 20 [N], F2 = 14 [N], F3 = 17 [N], F4 = 12 [N], F5 = 15

[N].

2.92. Calcular la resultante de los vectores mostrados en la figura 2.74. Indicar en el plano

cartesiano la ubicación y módulo de la resultante, cuyos módulos son: A = 95 [N], B = 110

[N]; C = 80 [N].

2.93. Tres cuerdas horizontales tiran de una piedra grande medio enterrada en el suelo

produciendo los vectores de fuerza |𝐴| = 40 [𝑁], |��| = 100 [𝑁] y |𝐶| = 80 [𝑁] que se muestra

en la figura 2.75. Obtenga el módulo y dirección de una cuarta fuerza aplicada a la piedra

que haga que el vector sumatoria de las cuatro sea cero.

2.94. La figura 2.76, muestra los vectores fuerza ��, ��, 𝑐, 𝑑, y e, cuyos módulos son: |��| = 10 [𝑁],

|��| = 9 [𝑁], |𝑐| = 6 [𝑁], |𝑑| = 5 [𝑁] y |𝑒| = 8 [𝑁].

Determine el ángulo que forma la resultante de los vectores con el eje y.

2.95. Dados los vectores �� = 2 𝑚 𝑖 − 9 𝑗; �� = −8 𝑖 − 𝑝 𝑗 y sabiendo que el módulo de U es tres

veces el módulo de V, hallar los valores de “m” y “p” si U y V son paralelos.

2.96. Sabiendo que 𝐴 = (𝑚 − 1) 𝑖 + (2 𝑚 + 3) 𝑗 y �� = (𝑚 − 2) 𝑖 + (2 𝑚 − 19) 𝑗. Calcular el número

“m” para que se cumpla: 3 𝐴 + �� = 0 .

2.97. Para los siguientes vectores, ��1 = 2 𝑖 + 3 𝑗, ��2 = −3 𝑖 + 1,5 𝑗 + 2 ��, ��3 = 2,5 �� − 7 𝑗 − 5 �� , calcular:

a) Su suma b) 3 ��2 − ��1 c) 5 ��3 + ��2 d) 2 ��1 + 3 ��2 − 0,5 ��3

2.98. Determinar los valores de los siguientes productos escalares:

a) 𝑖 ∘ (3 𝑖 − 2 𝑗 + ��)

b) (2 𝑖 − 3 𝑗 ) ∘ (3 𝑖 − 2 ��)

c) (𝑖 − 𝑗) ∘ (𝑖 + 𝑗)

°60

°45

1F

3F

4F

2F

°60

5F

A

B

°72

C

°40

A

B

°30

°53

C

°30A

B

°60°45

°40

C

D

E

Figura 2.73

Figura 2.74

Figura 2.75

Figura 2.76


55

d) (3 𝑖 + 4 𝑗 + 2 ��) ∘ (𝑖 + 3 𝑗 − 5 ��)

2.99. Sean los vectores: 𝐴 = 3 𝑖 + 4 𝑗 + 2 �� y �� = 𝑖 + 3 𝑗 − 5 ��. Encontrar su producto

escalar.

2.100. Obtenga el producto escalar de los dos vectores de la figura 2.77.

Los módulos de los vectores son A = 4,00 [u] y B = 5,00 [u].

2.101. Calcular el producto escalar de los vectores �� y �� sabiendo que |��| = 2 y |��| = 3 𝜃 = 30°.

2.102. Hallar el ángulo formado por los vectores �� = 2 𝑖 − 𝑗 + �� y �� = 6 𝑖 + 𝑗 − ��.

2.103. Calcular el valor que debe tomar “x” para que los vectores 𝐴 = 4 𝑖 + 𝑥 𝑗 y �� = 2 𝑖 − 2 𝑗, sean

perpendiculares.

2.104. Calcular el ángulo entre los siguientes vectores:

a) A = −2 i + 6 j y B = 2 i − 3 j

b) A = 3 i + 5 j y B = 10 i + 6 j

c) A = −4 i + 2 j y B = 7 i + 14 j

2.105. ¿Para qué valores de “m” los siguientes vectores �� = 𝑚 𝑖 − 2 𝑗 y �� = 2 𝑚 𝑖 + 𝑚 𝑗 son

perpendiculares?

2.106. Sean los vectores 𝐴 = 2 𝑖 − 𝑗 + 4 �� y �� = 𝑥 𝑖 + 𝑗 − 5 ��. Calcular el valor de “x” para que sean

perpendiculares.

2.107. ¿Cuál debe ser el valor de “m” para que el vector 𝐴 = 𝑖 + 𝑚 𝑗, forme un ángulo de 60º con

el eje “Y”?

2.108. Se sabe que |��| = 3 y �� = −2 ��. Calcular �� ∘ ��.

2.109. Se consideran los vectores �� = 𝑖 + 𝑛 𝑗 y 𝑣 = 3 �� − 2 ��. Calcular el valor de “n” para que:

a) Los vectores �� y �� formen un ángulo de 90°.

b) Los vectores �� y �� tengan el mismo módulo.

2.110. Encontrar en cordenadas polares, los vectores perpendiculares al vector �� = 5 𝑖 − 12 𝑗 y que

sean unitarios.

2.111. Para los siguientes vectores: ��1 = 4𝑖 + 6𝑗, ��2 = −6 𝑖 + 3 𝑗 + 4 ��, ��3 = 5 𝑖 − 14 𝑗 − 10 �� calcular el producto vectorial entre cada par de vectores.

2.112. El vector ��1 tiene un módulo de 5 unidades y el vector ��2 tiene un módulo de 10 unidades.

Ambos vectores forman un ángulo de 120º entre sí. Calcular los módulos de su producto

escalar y su producto vectorial.

2.113. Hallar el ángulo que han de formar dos vectores cualesquiera para que el producto escalar

y el módulo del producto vectorial sean iguales (en el plano).

2.114. El vector 𝐴 se extiende desde el origen hasta un punto que tiene coordenadas polares

(8 [u], 60º) y el vector �� se extiende desde el origen hasta un punto que tiene coordenadas

AB

°53

°130

Figura 2.77


56

polares (3 [u], 340º). Calcular su producto escalar, vectorial y el ángulo que forman los

vectores.

2.115. Determinar el módulo del vector resultante de �� y �� mostrado en la figura 2.78.

2.116. Siendo |𝐴| = 4 [𝑢], calcular el módulo del vector resultante en el sistema mostrado en la

figura 2.79.

2.117. Determinar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrado en la figura 2.80, si |��| = 10 [𝑢], |𝑒| = 6 [𝑢].

2.118. Los vectores que se muestran en la figura 2.81, tienen resultante nula; si |𝐶| = 2 |𝐴| =

20 √3 [𝑐𝑚] . ¿Cuál es el módulo de ��?

BA

°30

°60

][72 cm

A

xxxx

a

b

cd

e

x2

x2

xx

°60

q

q

C

B

A

q

Figura 2.78

Figura 2.79

Figura 2.80

Figura 2.81


57

2.119. La figura 2.82 muestra tres vectores de módulos iguales. Hallar el valor del ángulo “q”, tal

que la resultante de los vectores sea mínima.

2.120. Se tienen dos vectores compuestos: (2 �� + ��) y (3 �� − ��), que forman entre sí un ángulo

de 37°, siendo sus módulos respectivos iguales a 15 y 7 unidades. ¿Cuál es el módulo del

vector P?

2.121. Sabiendo que |2 �� − 5 ��| = 4 [𝑢], y |− 3 �� + 6 ��| = 5 [𝑢], y el ángulo entre ambos es de 120°,

calcular |− �� + ��|.

2.122. Encontrar en cordenadas rectangulares, los vectores perpendiculares a 𝐴 = 4 𝑖 + 3 𝑗 y de

módulo 5?

2.123. Dados los vectores 𝐴 = − 3 𝑖 + 𝑗, �� = −4 𝑖 − 3 𝑗, y 𝐶 = − 2 𝑖 + 2 𝑗. Determinar el ángulo

entre (𝐴 ∘ ��) �� y 2 𝐶.

2.124. Dado los vectores 𝑎, 𝑐, con módulos |𝑎 | = 4 [𝑢] y |𝑐 | = 5 [𝑢]. Si 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 . Calcular

el módulo del vector 𝑃 si �� = 𝑎 + 𝑐 + 4 𝑏

q

q2

c

a bq

q

b

abq

x

y

Figura 2.82

Figura 2.83


58

2.125. Los vectores 𝐴 y �� de la figura 2.84, tienen de módulos de 2 [u] y 3 [u] respectivamente.

¿Cuál deberá ser el ángulo “b” para que el módulo del vector diferencia entre 𝐴 y �� sea el

triple del módulo del vector suma?

2.126. Se descompone un vector �� en dos vectores paralelos a las rectas X1 e Y1. Se sabe que |��| =

8 [𝑢], y su componente paralela a Y1 tiene un módulo igual a 6 [u]. Determinar el módulo

de la otra componente.

a

b

x

yb

b

F1y1x

°124

Figura 2.84

Figura 2.85

capítulo 2 vectores

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