capítulo 8: vectores
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Capítulo 8: Vectores
1. Lección 30. Operaciones con vectores
1.1. VectoresEl concepto de vector aparece en Física para describir magnitudes, tales
como la fuerza que actúa sobre un punto, en las que no importa solamente lamagnitud, sino también la dirección, el sentido y el punto de aplicación.
Trabajaremos casi exclusivamente con vectores en el plano real o en el espaciotridimensional, en los que supondremos fijados unos ejes cartesianos. Por tanto,los puntos del plano o el espacio quedan determinados por 2 o 3 coordenadas,respectivamente.
Para nosotros, un vector del plano es un elemento de R2; es decir, un parordenado (a, b) de números reales. Un vector del espacio es un elemento de R3,esto es, una terna ordenada (a, b, c) de números reales.
La mayoría de los conceptos que usaremos tendrán sentido en R2 y en R3.Cuando el salto de una situación a otra sea evidente, no haremos más comen-tarios. En muchas ocasiones, daremos la definición para R3 y haremos el gráficoen R2.
Para distinguir entre números reales y vectores, llamaremos a los primerosescalares.
1.2. La interpretación de los vectores
Si fijamos unos ejes cartesianos, podemos representar los puntos del plano odel espacio como elementos de R2 o R3, respectivamente. Por otra parte, dichoselementos son también vectores. Esto permite dar una interpretación geométricade los vectores.
Según esta interpretación, el vector (a, b, c) de R3 se considera como unsegmento orientado (una flecha) que une el origen con el punto de coordenadas(a, b, c). Recíprocamente, el punto P de coordenadas (x, y, z) tiene su vector deposición: este es precisamente el vector (x, y, z).
Cualquier par de puntos A,B determina un segmento orientado, la flechaque tiene origen A y extremo B; consideramos dicho segmento orientado ABcomo el vector −→v que tiene la misma longitud, dirección y sentido que AB. Paraindicar que consideramos ese segmento orientado como un vector, lo escribimoscomo
−−→AB = −→v .
1
-OX
6OY
x
y
�−→v
�−→vr
A
rB
Si el vector −→v = (v1, v2, v3) se aplica al punto A(a1, a2, a3), da lugar al vector−−→AB = −→v , como se ha indicado más arriba. En tal caso, si las coordenadas de Bson (b1, b2, b3), se tiene
(v1, v2, v3) = (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3)
Es decir,
v1 = b1 − a1, v2 = b2 − a2, v3 = b3 − a3
-OX
6OY
�−→v
�rA
r B
Dados cuatro puntos P,Q, P ′, Q′ con la condición de que no hay tres de ellosalineados, se verifica que
−−→PQ =
−−−→P ′Q′ si y solo si los segmentos PQ y P ′Q′ son
los lados opuestos de un paralelogramo.
�−−→
PQ �−−−→
P ′Q′
qP
qQ qP ′
q Q′
1.3. Operaciones con vectoresLos vectores se pueden sumar entre sí o multiplicar por un escalar para
obtener nuevos vectores; ambas operaciones se hacen coordenada a coordenada:
(x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x + x′, y + y′, z + z′), r(x, y, z) = (rx, ry, rz)
La suma de vectores es asociativa y conmutativa. En el producto de escalarespor vectores, destacamos las propiedades:
r(−→u ±−→v ) = r−→u ± r−→v , (r ± r′)−→u = r−→u ± r′−→u
En la interpretación geométrica, la suma es el vector que se obtiene al aplicarel segundo sumando al extremo del primero; el producto es el vector que seobtiene al escalar el vector dado por el factor r (y cambiar el sentido si r < 0).
�−→v
����1−→w
�����3
−→v +−→w
PPq−→uPPPPPPq
3−→u
2
Una combinación lineal de los vectores −→v1 ,−→v2 , . . . ,
−→vn es cualquier vector dela forma
r1−→v1 + r2
−→v2 + · · ·+ rn−→vn =
n∑i=1
ri−→vi
donde los ri pueden ser escalares cualesquiera; estos se llaman los coeficientesde la combinación lineal.
Por ejemplo, si −→v1 ,−→v2 son dos vectores del espacio que no tienen la misma
dirección, entonces todos los vectores cuyo extremo está en el plano determinadopor −→v1 ,
−→v2 son combinación lineal de −→v1 ,−→v2 . Por otro lado, las combinaciones
lineales de un solo vector −→v 6= −→0 son todos los vectores que tienen la misma
dirección que −→v .
Se llama base canónica de R3 al conjunto formado por los tres vectores
−→i = (1, 0, 0),
−→j = (0, 1, 0),
−→k = (0, 0, 1)
Cada vector −→v = (a, b, c) de R3 es combinación lineal de estos vectores:
−→v = (a, 0, 0) + (0, b, 0) + (0, 0, c) =
a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = a−→i + b
−→j + c
−→k
y esta combinación es única, en el sentido de que no se pueden elegir otroscoeficientes para poner −→v como combinación lineal de
−→i ,−→j ,−→k .
1.4. Módulo y vectores unitariosEl módulo o norma de un vector −→v = (a, b, c) es
|−→v | =√
a2 + b2 + c2
Es decir, |−→v | es la longitud del segmento que es la representación geométrica de−→v .
Los vectores de módulo 1 se llaman unitarios y son importantes porqueconstituyen un buen modo de describir un sentido en el plano o en el espacio(hay infinitos vectores con una dirección y un sentido dado, pero solo uno deellos es unitario). Para asignar a cada vector no nulo −→v un vector unitario consu misma dirección y sentido, basta multiplicar el vector por el inverso de sumódulo.
v̂ =1|−→v |
−→v , −→v = |−→v |v̂
y v̂ es unitario.
Dados dos puntos P,Q, su distancia es igual a |−−→PQ|.
Una propiedad notable sobre el módulo de un vector es: |r−→v | = |r| · |−→v |.
En el plano, sea −→v un vector no nulo, y sea α el ángulo que forma el eje OXcon −→v (medido desde OX hacia −→v ).
3
-OX
6OY
x
y
�����3
−→v
α
Se tiene entonces x = |−→v |cosα, y = |−→v |senα. De este modo,
−→v = |−→v |(cosα, senα), v̂ = (cosα, senα)
1.5. Producto escalarEl producto escalar de dos vectores −→v = (a, b, c) y −→w = (a′, b′, c′) es el
número real−→v · −→w = (a, b, c) · (a′, b′, c′) = aa′ + bb′ + cc′
Hay algunas propiedades aritméticas elementales, como
−→v · −→w = −→w · −→v , −→v · −→v = |−→v |2, −→v · (−→w +−→w′) = −→v · −→w +−→v ·
−→w′
La propiedad que más nos interesa es de naturaleza geométrica. Si −→v y −→wson no nulos y forman un ángulo α, entonces
−→v · −→w = |−→v | |−→w |cosα
Esto permite calcular cosα (y determinar el ángulo α de los vectores) apartir del producto escalar. En particular, −→v y −→w son perpendiculares si y solosi cosα = 0. Por tanto,
−→v ⊥−→w ⇔ −→v · −→w = 0
El símbolo −→v ⊥−→w significa que ambos vectores son perpendiculares (o, comose dice también, ortogonales).
Observemos que, dado un vector, es muy fácil construir otros perpendicularesa él. Por ejemplo,
(a, b) · (−b, a) = 0, (a, b, c) · (−b, a, 0) = 0 = (a, b, c) · (0,−c, b)
1.6. Producto vectorialEl producto vectorial de dos vectores solo tiene sentido para vectores en tres
dimensiones −→v = (a, b, c) y −→w = (a′, b′, c′), y es un nuevo vector que se definecomo
−→v ×−→w = (a, b, c)× (a′, b′, c′) = (bc′ − b′c, a′c− ac′, ab′ − a′b)
La manera más sencilla de ver y recordar este producto es escribir las coor-denadas de los factores en una matriz. El producto vectorial se obtiene entoncescalculando de la misma manera que para un determinante
(a, b, c)× (a′, b′, c′) =
∣∣∣∣∣∣−→i
−→j
−→k
a b ca′ b′ c′
∣∣∣∣∣∣ =−→i (bc′− b′c)+
−→j (ca′− ac′)+
−→k (ab′− ba′)
4
Por ejemplo:
(2, 3, 0)× (4, 2, 1) =
∣∣∣∣∣∣−→i
−→j
−→k
2 3 04 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 3−→i + 4
−→k − 2
−→j − 12
−→k = (3,−2,−8)
Aparte de algunas propiedades aritméticas elementales como
−→w ×−→v = −(−→v ×−→w ), −→v × (−→w +−→w′) = −→v ×−→w +−→v ×
−→w′
lo más importante del producto vectorial es su interpretación geométrica. De laexpresión como determinante se deduce que si −→v y −→w tienen la misma direc-ción, entonces su producto vectorial es
−→0 . En otro caso, −→v × −→w es el vector
determinado del siguiente modo:
1. Su módulo es igual a
|−→v ×−→w | = |−→v | |−→w | |senϕ|
siendo ϕ el ángulo formado por −→v y −→w .
2. Su dirección es perpendicular al plano determinado por −→v y −→w .
3. Su sentido está dado por la regla del sacacorchos: coincide con el sentidode avance de un sacacorchos que girase desde −→v hacia −→w siguiendo elmenor ángulo.
De acuerdo con la figura
-−→v
�����−→w
d
����
base |−→v |
altura d=|−→w |senϕϕ
el módulo |−→v ×−→w | coincide con el área del paralelogramo formado con −→v y −→wcomo lados.
1.7. Producto mixtoEl producto mixto de los tres vectores −→u = (a, b, c),−→v = (d, f, g),−→w =
(m,n, s) está dado por
−→u · (−→v ×−→w ) =
∣∣∣∣∣∣a b cd f gm n s
∣∣∣∣∣∣El producto mixto, siendo un producto escalar, es un número real. La ex-
presión como determinante muestra también que−→u · (−→v ×−→w ) = −→v · (−→w ×−→u ) = −→w · (−→u ×−→v )
El valor absoluto del producto mixto es igual al volumen de un paralelepípedocuyas aristas sean los vectores −→u ,−→v ,−→w .
En particular, −→u · (−→v × −→w ) = 0 si y solo si los tres vectores −→u ,−→v ,−→w soncoplanarios (e.d., un plano los contiene a los tres).
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2. Lección 31. Ecuaciones de rectas y planosUsaremos ahora la interpretación geométrica de los vectores para estudiar
las ecuaciones de rectas en el plano R2 y de rectas y planos en el espacio R3.
Las ecuaciones determinan en todo caso los puntos que forman la recta oel plano de que se trate. Hay principalmente dos formas de identificar rectas yplanos mediante ecuaciones:
Ecuaciones paramétricas. Los puntos se identifican mediante funcionesx = f1(t), y = f2(t), z = f3(t) que dependen de un parámetro t. Paracada valor t0 del parámetro t, se obtiene un punto (x, y, z) calculando losvalores de dichas funciones para el valor t0.
Ecuaciones implícitas o generales. Se trata de ecuaciones F (x, y, z) = 0que identifican los puntos como aquellos cuyas coordenadas (x, y, z) satis-facen la ecuación.
2.1. Rectas en el plano y en el espacioLlamamos vector director (o vector de dirección) de una recta r (en el plano o
en el espacio) a cualquier vector −→v =−−→PQ tal que P,Q sean dos puntos distintos
de la recta r.
Notemos que si −→v es un vector director de la recta r, entonces todos losvectores de dirección de dicha recta r son los de la forma λ−→v , donde λ escualquier número real no nulo.
Una recta r está identificada cuando conocemos:
Un punto de la recta.
Uno de los vectores de dirección de r.
Naturalmente, una recta está también determinada si conocemos dos de suspuntos, A,B. Pero esto equivale a lo anterior; pues conocidos A,B, conocemosun punto (por ejemplo, A) y un vector director
−−→AB.
2.2. Ecuaciones paramétricas de la rectaSea r la recta del plano que pasa por el punto P (a, b) y que tiene al vector
−→v = (v1, v2) como uno de sus vectores de dirección. Sea X(x, y) un puntoarbitrario del plano. Vamos a escribir una condición necesaria y suficiente paraque X esté en la recta r. Esta condición identificará a los puntos de dicha recta.
X está en la recta si y solo si existe λ tal que−−→PX = λ−→v . Esto es claro, pues−−→
PX ha de ser un vector director de r, o ser nulo para que X esté en la recta.
La condición−−→PX = λ−→v significa
(x− a, y − b) = λ(v1, v2) = (λv1, λv2)
Por tanto, X(x, y) está en la recta si y solo si existe λ tal que se verifica:
x = a + λv1, y = b + λv2
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Esta condición es la que expresan las ecuaciones paramétricas de la recta devector director (v1, v2) que pasa por (a, b):
x = a + v1t, y = b + v2t
Ejercicio 1. Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta del plano quepasa por los puntos A(2,−1) y B(0, 2).
El vector−−→AB será un vector director de la recta.
−−→AB = (0− 2, 2− (−1)) = (−2, 3)
Las ecuaciones paramétricas de esta recta son:
x = 2− 2t, y = −1 + 3t
Hemos visto cómo escribir las ecuaciones paramétricas a partir de los datosque identifican la recta.
Recíprocamente, a partir de las ecuaciones paramétricas, podemos identificarfácilmente un vector director y un punto de la recta.
Ejercicio 2. Dadas las ecuaciones paramétricas de la recta s:
x =−1 + 2t
3, y =
2− 2t
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hallar un punto de la recta s y un vector director.
Podemos leer directamente en las ecuaciones un punto y un vector director.Pero, simplemente, podemos hallar dos puntos distintos de la recta dándolevalores al parámetro. Por ejemplo, t = 1 da el punto A( 1
3 , 0), y t = 0 da elpunto B(− 1
3 , 25 ). Un vector director es
−−→AB = (− 2
3 , 25 ). Otro vector director es
(−10, 6).
2.3. Rectas en el plano: ecuación implícita o generalComo hemos visto, la recta r del plano con vector director −→v que pasa por
el punto (a, b) está formada por los puntos X(x, y) que cumplen
−−→PX = (x− a, y − b) = λ−→v = (λv1, λv2)
para algún valor λ.
Notemos que esto ocurre si y solo si el determinante∣∣∣∣x− a y − bv1 v2
∣∣∣∣se anula. Es decir, si y solo si
(x− a)v2 = (y − b)v1
Esta es una forma de la ecuación general de la recta.
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La ecuación anterior se suele escribir en la forma siguiente, más fácil derecordar probablemente:
x− a
v1=
y − b
v2
Desarrollando la ecuación general tal como la hemos dado arriba, obtenemosla ecuación en esta forma:
v2x− v2a = v1y − v1b, v2x− v1y + (v1b− v2a) = 0
Como vemos, toda ecuación general de una recta se puede escribir comoAx+By +C = 0, para ciertos coeficientes A,B,C con la condición de que A,Bno son simultáneamente nulos.
Ejercicio 3. Escribir la forma general de la ecuación de la recta que pasapor el punto P (3, 1/2) y que tiene (0, 4) como vector director.
Con esos datos, escribimos la forma sencilla de la ecuación
x− 30
=y − (1/2)
4
Tal como está, la igualdad no tiene una significación clara; pero recordamosla ecuación de la que procede:
4(x− 3) = 0(y − 1/2), x− 3 = 0
lo que da la ecuación general en la forma Ax + By + C = 0 (aquí, B = 0).
Recíprocamente: conocida la ecuación general de la recta, podemos deter-minar un punto y un vector director. Para ello basta calcular directamente dospuntos A,B, y tomar el vector
−−→AB como vector director.
Notemos que la forma explícita de la ecuación de la recta y = mx + b, essolamente una manera de reescribir la ecuación general. Sin embargo, no todaslas rectas se pueden escribir en la forma explícita: la recta anterior x− 3 = 0 noadmite forma explícita.
Hay una manera muy simple de obtener un vector director de la recta r apartir de su ecuación general Ax+By+C = 0. En efecto: el vector −→w = (w1, w2)es vector director de la recta anterior si y solo si −→w es ortogonal al vector (A,B);es decir, si y solo si se cumple Aw1 + Bw2 = 0.
Esto se debe al hecho de que −→w es un vector director si y solo si al aplicarloen un punto P (x0, y0) de la recta (es decir, tomando −→w =
−−→PQ), su extremo
Q(x1, y1) está en la recta.
Ahora bien: Q está en la recta si y solo si se cumple Ax1 + By1 + C = 0.Como sabemos que Ax0 + By0 + C = 0 (porque P está en la recta), se deduceque Q está en la recta si y solo si A(x1 − x0) + B(y1 − y0) = 0. Pero −→w =(w1, w2) =
−−→PQ = (x1 − x0, y1 − y0). Luego Q está en la recta (y −→w es vector
director de la misma) si y solo si Aw1 + Bw2 = 0.
Ejercicio 4. Indicar un vector director de la recta 3x−2y+5 = 0, sin hallarningún punto de la misma.
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El vector director ha de ser (r, s) cumpliendo que 3r − 2s = 0. Por ejemplo,el vector (2, 3) es un vector director de la recta.
La propiedad sobre la ecuación general de la recta que acabamos de verpuede ser aplicada con provecho en algunos problemas.
Ejercicio 5. Hallar la ecuación general de la recta de vector director (1, 2)que pasa por el punto (1,−1).
Sabemos que la ecuación 2x − y + k = 0 es la de una recta con el vectordirector dado; por tanto, paralela a la que buscamos. Si ponemos la condiciónde que pase por el punto (1,−1) obtendremos el valor de k y la recta pedida.
2 · 1− (−1) + k = 0, 3 + k = 0, k = −3
Luego la ecuación de la recta es 2x− y − 3 = 0.
Ejercicio 6. Escribir la ecuación de la recta s que pasa por (0,−3) y esperpendicular a la recta r de ecuación 3x− 2y + 1 = 0.
Por la hipótesis, todo vector director de la recta s es ortogonal al vectordirector de la recta r; pero, por la propiedad vista, (3,−2) es ortogonal al vectordirector de r, luego ese es un vector director de s. Por tanto, la ecuación de s es
2x + 3y + k = 0
La condición de que pase por el punto (0,−3) implica −9 + k = 0 y k = 9.Luego la ecuación de la recta s es 2x + 3y + 9 = 0.
2.4. Distancia de un punto a una rectaDada la recta r de ecuación Ax + By + C = 0 y el punto P (x0, y0), la
distancia de P a la recta es la longitud PQ, siendo Q el pie de la perpendiculartrazada por P a la recta r.
Para calcularlo, supongamos que Q(x1, y1) es el punto donde dicha perpen-dicular corta a la recta r. Como un vector director de la perpendicular es (A,B),tendremos
−−→PQ = λ(A,B) = (x1 − x0, y1 − y0)
para algún valor λ. La distancia buscada es el módulo del vector−−→PQ = |λ| ·
|(A,B)|.
Resulta de aquí x1 = x0 + λA, y1 = y0 + λB.
Pero sabemos que Q está en la recta r, así que sus coordenadas deben cumplirla ecuación de r:
Ax1 + By1 + C = 0, A(x0 + λA) + B(y0 + λB) + C = 0
Esto nos dará
(Ax0 + By0 + C) + λ(A2 + B2) = 0
Así, Ax0 + By0 + C = −λ(A2 + B2) y |Ax0 + By0 + C| = |λ| · |(A,B)|2.
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Como |λ| · |(A,B)| es la distancia d buscada, obtenemos
|Ax0 + By0 + C||(A,B)|
= d =|Ax0 + By0 + C|√
A2 + B2
2.5. Ecuaciones de planosDado un plano π del espacio tridimensional, un vector director del plano es
cualquier vector −→v =−−→PQ para dos puntos distintos P,Q del plano.
Si −→v1 ,−→v2 son dos vectores directores no alineados (por tanto, de coordenadas
no proporcionales) del plano π, entonces todo vector director del plano es com-binación lineal de −→v1 ,
−→v2 .
Un vector −→u no nulo es normal al plano π si es perpendicular a todos losvectores directores del plano π. Para ello es suficiente con que sea perpendiculara dos vectores directores no alineados.
Si −→u es un vector normal al plano π, entonces todo vector normal al planoπ es igual a λ−→u para algún escalar λ.
La manera principal de determinar un plano es dando un punto y un vectornormal al plano. Otra manera relacionada es mediante un punto y dos vectoresdirectores que no estén alineados: a partir de dichos vectores −→u ,−→v , podemosencontrar un vector −→w normal al plano, imponiendo la condición de que sea−→u ·−→w = −→v ·−→w = 0. Recíprocamente, si conocemos el vector normal −→u , podemosobtener vectores −→x de la dirección del plano imponiendo la condición −→u ·−→x = 0.Bastará encontrar dos de tales vectores −→x que no estén alineados.
2.6. Ecuaciones paramétricas del planoSi P (a, b, c) es un punto del plano π; y −→v = (v1, v2, v3) y −→u = (u1, u2, u3) son
dos vectores directores no alineados de dicho plano, entonces un punto arbitrarioX(x, y, z) está en el plano si y solo si el vector
−−→PX es un vector director del
plano π; por tanto, si y solo si−−→PX es combinación lineal de −→v ,−→u .
Podemos poner esta condición de modo más desarrollado y obtener así lasecuaciones paramétricas del plano. Se tiene que
−−→PX es combinación lineal de
−→v ,−→u si y solo si existen escalares λ, µ de modo que−−→PX = (x− a, y − b, z − c) = λ(v1, v2, v3) + µ(u1, u2, u3)
Esta ecuación vectorial equivale a las ecuaciones
x = a + λv1 + µu1, y = b + λv2 + µu2, z = c + λv3 + µu3
Estas son las ecuaciones paramétricas del plano. Cada par de valores de losparámetros λ, µ determinan un punto del plano.
Ejercicio 7. Escribir las ecuaciones paramétricas del plano que pasa por lospuntos A(1, 0,−1), B(2,−1, 1) y C(0,−2, 1).
Los vectores−−→AB = (1,−1, 2) y
−→AC = (−1,−2, 2) son vectores directores del
plano no alineados. Luego las ecuaciones paramétricas pueden darse como:
x = 1 + λ− µ, y = −λ− 2µ, z = −1 + 2λ + 2µ
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2.7. Ecuación general del planoSea de nuevo el plano π el determinado por el punto P (a, b, c) y con vectores
directores −→v = (v1, v2, v3) y −→u = (u1, u2, u3). Un punto arbitrario X(x, y, z)está en el plano si y solo si los vectores
−−→PX,−→v ,−→u son coplanarios.
Sabemos que esto equivale a que su producto mixto−−→PX · (−→v × −→u ) = 0.
Recordando la forma del producto mixto, esta condición significa que∣∣∣∣∣∣x− a y − b z − c
v1 v2 v3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣ = 0
Si se desarrolla ese determinante, se obtiene una ecuación lineal de la forma
Ax + By + Cz + D = 0
que es la forma general de la ecuación de un plano.
Ejercicio 8. Hallar la ecuación del plano que pasa por (1, 1, 1) y tiene vec-tores directores (1, 0, 1) y (0,−1, 1).
La ecuación es
∣∣∣∣∣∣x− 1 y − 1 z − 1
1 0 10 −1 1
∣∣∣∣∣∣ = 0. Desarrollando,
−(z − 1) + (x− 1)− (y − 1) = 0, x− y − z + 1 = 0
Sea Ax + By + Cz + D = 0 la ecuación de un plano. Si P (x1, y1, z1) yQ(x2, y2, z2) son dos puntos cualesquiera del plano, entonces
0 = (Ax2 + By2 + Cz2 + D)− (Ax1 + By1 + Cz1 + D) =
A(x2 − x1) + B(y2 − y1) + C(z2 − z1) = 0
Esto indica que el producto escalar del vector (A,B,C) por el vector−−→PQ =
(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) es cero; y, por tanto, que estos dos vectores son per-pendiculares. En consecuencia, el vector (A,B,C) es un vector normal al plano.
Como en el caso de las rectas, podemos aprovechar esta propiedad.
Ejercicio 9. Hallar la ecuación del plano π, que es paralelo al plano deecuación 3x + 2y − z = 0, y que pasa por el punto (0, 0, 1).
El vector (3, 2,−1) es normal al plano indicado; por tanto, también es normalal plano π. Así, la ecuación de π será
3x + 2y − z + k = 0
Como pasa por (0, 0, 1), tenemos −1 + k = 0 y k = 1. Esto da la ecuación3x + 2y − z + 1 = 0.
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2.8. Distancia de un punto a un planoDado el plano π de ecuación Ax+By +Cz +D = 0 y el punto P (x0, y0, z0),
la distancia de P al plano es la longitud PQ, siendo Q el pie de la perpendiculartrazada por el punto P al plano π.
Para calcularlo, supongamos que Q(x1, y1, z1) es el punto donde dicha per-pendicular corta al plano. Como un vector director de la perpendicular es(A,B, C), tendremos
−−→PQ = λ(A,B,C) = (x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0)
para algún valor λ. La distancia buscada es el módulo del vector−−→PQ = |λ| ·
|(A,B,C)|.
Resulta de aquí x1 = x0 + λA, y1 = y0 + λB, z1 = z0 + λC.
Pero sabemos que Q está en el plano π, así que sus coordenadas debencumplir la ecuación de π:
Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0, A(x0 + λA) + B(y0 + λB) + C(z0 + λC) + D = 0
Esto nos dará
(Ax0 + By0 + Cz0 + D) + λ(A2 + B2 + C2) = 0
Así, Ax0 + By0 + Cz0 + D = −λ(A2 + B2 + C2) y |Ax0 + By0 + Cz0 + D| =|λ| · |(A,B, C)|2.
Como |λ| · |(A,B,C)| es la distancia d buscada, obtenemos
|Ax0 + By0 + Cz0 + D||(A,B,C)|
= d =|Ax0 + By0 + Cz0 + D|√
A2 + B2 + C2
2.9. Rectas en el espacioSea r la recta del espacio que pasa por el punto P (a, b, c) y que tiene al
vector −→v = (v1, v2, v3) como vector director.
Igual que en el plano, un punto arbitrario X(x, y, z) pertenece a la recta siy solo si
−−→PX es igual a λ−→v para algún número real λ.
Esto nos conduce, por el mismo argumento usado en el caso de las rectas delplano, a las ecuaciones paramétricas de la recta del espacio que pasa por (a, b, c)y tiene al vector (v1, v2, v3) como vector director:
x = a + v1t, y = b + v2t, z = c + v3t
2.10. Ecuaciones implícitas de la rectaSean π1, π2 dos planos no paralelos. Supongamos que sus ecuaciones respec-
tivas son
Ax + By + Cz + D = 0, A′x + B′y + C ′z + D′ = 0
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Puesto que no son paralelos, su intersección es una recta. De este modo, elsistema de dos ecuaciones anterior determina una recta: precisamente la rectacuyos puntos son todas las soluciones del sistema.
Esta es la forma general de las ecuaciones de una recta en el espacio. Todarecta tiene unas ecuaciones generales, pues siempre se puede ver como intersec-ción de dos planos.
Una forma sencilla de pasar de las ecuaciones generales de una recta a lasparamétricas es resolver el sistema formado por las dos ecuaciones: el conjuntode soluciones depende de un parámetro.
Ejercicio 10. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta dada por lasecuaciones
x− 2y + 3z = 1, −x + 2y = −1
Para resolver el sistema, ponemos la matriz de los coeficientes en formaescalonada simple mediante transformaciones elementales.(
1 −2 3 1−1 2 0 −1
),
(1 −2 3 10 0 3 0
)(
1 3 −2 10 3 0 0
),
(1 3 −2 10 1 0 0
)La forma escalonada simple para la matriz de los coeficientes da lugar al
sistema de ecuacionesx + 3z = 1 + 2y, z = 0
La incógnita y puede tomar cualquier valor. La tomamos como parámetroy = t, y obtenemos las ecuaciones paramétricas
x = 1 + 2t, y = t, z = 0
Así vemos que la recta pasa por el punto (1, 0, 0) y tiene vector director(2, 1, 0).
Consideramos ahora el problema de escribir las ecuaciones generales de unarecta que tenemos identificada por un vector director −→v = (v1, v2, v3) y unpunto P (a, b, c).
Sabemos que la recta está formada por los puntos X(x, y, z) que cumplen
(x− a, y − b, z − c) = λ(v1, v2, v3) = (λv1, λv2, λv3)
para algún valor λ.
Esto quiere decir que en la matriz(x− a y − b z − c
v1 v2 v3
)la primera fila se iguala a una constante λ por la segunda.
Esta condición implica (y, de hecho, es equivalente a) la de que los tresmenores de orden 2 que se pueden obtener de esa matriz son nulos.
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Por tanto, las ecuaciones se pueden escribir como∣∣∣∣x− a y − bv1 v2
∣∣∣∣ = 0,
∣∣∣∣x− a z − cv1 v3
∣∣∣∣ = 0,
∣∣∣∣y − b z − cv2 v3
∣∣∣∣ = 0
Esto nos da las ecuaciones (generales) de la recta que pasa por (a, b, c) ytiene vector director (v1, v2, v3):
(x− a)v2 = (y − b)v1, (x− a)v3 = (z − c)v1, (y − b)v3 = (z − c)v2
Como en el caso del plano, escribimos estas ecuaciones de forma más simétri-ca
x− a
v1=
y − b
v2=
z − c
v3
Aunque se obtienen de ese modo tres ecuaciones, bastan dos de ellas (si bienesas dos no las podemos escoger arbitrariamente) para determinar la recta.
Ejercicio 11. Escribir las ecuaciones generales de la recta que pasa por lospuntos (1, 1, 1) y (0, 3, 1).
Un vector director se obtiene como (1,−2, 0). Entonces las ecuaciones son
x− 11
=y − 1−2
=z − 1
0
Necesitamos dos de esas ecuaciones para determinar la recta. Serán
−2(x− 1) = y − 1, 0 = z − 1
que podemos escribir como
2x + y − 3 = 0, z − 1 = 0
Ejercicio 12. Hallar un vector director de la recta cuyas ecuaciones son:
x− 2y + 3z = 3, 2x + y − 2z = −1
Sabemos que el vector normal a un plano es perpendicular a todos los vec-tores directores de dicho plano. Un vector director −→v = (v1, v2, v3) de la rectaha de ser vector director de cada uno de los dos planos. Luego debe tenerse
(1,−2, 3) · (v1, v2, v3) = (2, 1,−2) · (v1, v2, v3) = 0
Es decir,v1 − 2v2 + 3v3 = 2v1 + v2 − 2v3 = 0
Cualquier solución no nula de este sistema de ecuaciones da un vector direc-tor de la recta. El sistema se puede escribir como
v1 − 2v2 = −3v3, 2v1 + v2 = 2v3
que es un sistema de Cramer para cualquier valor que le demos a v3. Por ejemplo,para v3 = 5, obtenemos la solución (1, 8, 5) que será un vector director de larecta.
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2.11. Distancia de un punto a una rectaSea Q un punto del espacio y r una recta que no pasa por el punto Q. Existe
un único plano π que contiene a la recta r y al punto Q. La distancia en eseplano π del punto Q a la recta r es la menor distancia posible entre el punto Qy puntos de la recta r. Se dice entonces que esa es la distancia (en el espacio)del punto Q a la recta r.
Para calcular esa distancia d, consideramos la siguiente figura en el plano π:
qP
d
������3−−→
PQ
-−→v
α
Se tiene
d = |−−→PQ|senα =
|−−→PQ| · |−→v | · |sen(α)|
|−→v |=|−−→PQ×−→v ||−→v |
Ejercicio 13. Calcular la distancia del punto (1, 1, 1) a la recta cuyas ecua-ciones son
x + y − z = −1, 2x + 2y + z = 1
Debemos escoger un punto cualquiera P de la recta y un vector director −→v .Para ello pasamos las ecuaciones a la forma paramétrica, resolviendo el sistema.Escribimos la matriz del sistema y le aplicamos transformaciones elementales.
(1 1 −1 −12 2 1 1
),
(1 1 −1 −10 0 3 3
),
(1 −1 1 −10 3 0 3
)donde debe notarse que el último cambio implica el de orden de las incógnitas:ahora es x, z, y. (
1 −1 1 −10 1 0 1
),
(1 0 1 00 1 0 1
)De este modo, el sistema de ecuaciones se convierte en x = −y, z = 1. O
bien, en forma paramétrica:
x = −t, y = t, z = 1
Vemos que P (0, 0, 1) es un punto de la recta, y −→v = (−1, 1, 0) es un vectordirector.
Así el vector−−→PQ es (1, 1, 0). El producto vectorial
−−→PQ×−→v vendrá dado por∣∣∣∣∣∣
−→i
−→j
−→k
1 1 0−1 1 0
∣∣∣∣∣∣ = 2−→k = (0, 0, 2)
Su módulo es 2. La distancia es
d =|−−→PQ×−→v ||−→v |
=2√2
=2√
22
=√
2
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3. Lección 32. Bases y coordenadas
3.1. Vectores en Rn
Del mismo modo que en ocasiones es necesario usar magnitudes variablesvectoriales (cuyos valores se identifican con elementos de R3), también es nece-sario a veces emplear variables cuyos valores han de expresarse con más de trescoordenadas: por ejemplo, los puntos en el espacio-tiempo tienen cuatro coorde-nadas. Como otro ejemplo, cuando queremos especificar no solamente la posiciónde una partícula, sino también su momento (como en la mecánica hamiltoniana),necesitamos seis coordenadas.
Ocurre que muchas de las propiedades que conocemos de los vectores, oelementos de R3, se mantienen cuando estudiamos elementos de R4, R5 o, en ge-neral, Rn. Los elementos de Rn se llaman también vectores (en sentido amplio).
Por ejemplo, la suma de vectores y el producto de escalares por vectoresse puede hacer exactamente igual en Rn. También se puede extender a estasituación el concepto de combinación lineal:
Para vectores v1, v2, . . . , vk, u en Rn, se dice que u es combinación lineal dev1, v2, . . . , vk cuando
u = λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk
para ciertos escalares λ1, . . . , λk.
El módulo del vector v = (c1, c2, . . . , cn) es igual a√
c21 + c2
2 + · · ·+ c2n. Los
vectores de módulo 1 se llaman unitarios.
Se puede también definir el producto escalar de dos vectores de Rn:
(c1, . . . , cn) · (d1, . . . , dn) = c1d1 + · · ·+ cndn =n∑
i=1
cidi
y se dice que dos vectores u, v son ortogonales cuando u · v = 0.También existen las llamadas bases canónicas: los vectores e1 = (1, 0, . . . , 0),
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1) forman la base canónica de Rn.Entonces el vector v = (c1, c2, . . . , cn) es combinación lineal de los vectores dela base canónica. En efecto:
v = c1e1 + c2e2 + · · ·+ cnen
En cambio, los vectores de Rn no tienen una interpretación geométrica comolos de R3. Nuestra intuición visual está limitada a tres dimensiones.
El problema de saber si un vector dado es o no combinación lineal de otrosvectores dados es equivalente a resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Ejercicio 1. Dados los vectores u1 = (3, 2, 1), u2 = (1, 0,−1) y u3 = (1, 2, 3),decir si el vector v = (1,−1,−1) es combinación lineal de ellos.
La pregunta equivale a la de si existen escalares x, y, z que satisfagan laecuación vectorial
xu1 + yu2 + zu3 = v
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Esta ecuación desarrollada dará
(3x, 2x, x) + (y, 0,−y) + (z, 2z, 3z) = (1,−1,−1)
lo que equivale al sistema
3x + y + z = 12x + 2z = −1x − y + 3z = −1
En forma matricial, el sistema es AX = B, donde la matriz (A|B) es lamatriz 3 1 1 1
2 0 2 −11 −1 3 −1
Como puede verse, la matriz del sistema tiene las coordenadas de los vectores
u1, u2, u3 en las columnas. En general, diremos que la matriz de una sucesiónde vectores u1, . . . , uk es la matriz que tiene las coordenadas de esos vectorescomo columnas, en el orden especificado.
La última columna de la matriz anterior está formada por las coordenadas dev. Resolver el sistema es lo que responderá a la pregunta de si v es combinaciónlineal de u1, u2, u3.
Como de costumbre, resolvemos el sistema a partir de la matriz 1 −1 3 −12 0 2 −13 1 1 1
,
1 −1 3 −10 2 −4 10 4 −8 4
,
1 −1 3 −10 2 −4 10 0 0 2
Llegados a este punto, podemos decir ya que el sistema es incompatible.
Como no hay solución, el vector v no se puede poner como combinación linealde u1, u2, u3.
Obsérvese que, por el contrario, si hubiésemos tomado v = (−1,−1,−1), elmismo proceso anterior habría conducido a la matriz 1 −1 3 −1
0 2 −4 10 0 0 0
y el sistema habría sido compatible con infinitas soluciones. En ese caso, v seríacombinación lineal de u1, u2, u3.
3.2. Independencia lineal y rangoUna sucesión u1, u2, . . . , uk (con k ≥ 2) de vectores de Rn se dice que es
linealmente independiente cuando ninguno de esos vectores es combinación linealde los demás.
Una propiedad importante es la siguiente:La sucesión u1, u2, . . . , uk (con k ≥ 2) de vectores de Rn es linealmente
independiente cuando la matriz n× k de esa sucesión de vectores tiene rango k.
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Una sucesión de n vectores u1, u2, . . . , un de Rn es una base de Rn cuandoes linealmente independiente.
Por el resultado anterior, la sucesión de vectores u1, u2, . . . , un de Rn es unabase si y solo si la matriz de dichos vectores tiene rango n.
De acuerdo con un resultado del capítulo 7, la sucesión de vectores u1, u2, . . . , un
de Rn es una base si y solo si el determinante de la matriz de esos vectores esno nulo.
3.3. Coordenadas respecto a una baseLa propiedad que hace especialmente importantes a las bases de un espacio
Rn es la siguiente:Supongamos que u1, u2, . . . , un es una base de Rn. Sea v cualquier vector de
Rn. Si nos planteamos, como antes, el problema de ver si se puede expresar vcomo combinación lineal de esa base, llegamos a un sistema de ecuaciones que,en forma matricial, es
A ·X = B
siendo A la matriz de los vectores de la base dada, y B la columna de lascoordenadas de v. Pero A será una matriz cuadrada con determinante no nulo.Por tanto, el sistema es un sistema de Cramer, y admite una solución única.
Eso significa que todo vector v de Rn se puede poner como combinación linealde una base dada; y que los coeficientes en esa combinación están determinadosunívocamente por v y la base.
Los coeficientes de la combinación lineal que da el vector v se llaman lascoordenadas de v con respecto a la base dada.
Ejercicio 2. Comprobar que los vectores u1 = (1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0) yu3 = (1, 1, 1) forman una base de R3; y hallar las coordenadas con respecto aesa base del vector (1,−1,−2).
La primera parte consiste en comprobar que el determinante de la matriz deesos vectores es no nulo. Lo calculamos∣∣∣∣∣∣
1 1 10 1 10 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 1 6= 0
Para encontrar las coordenadas de v = (1,−1,−2), debemos hallar x, y, zcon la propiedad v = xu1 + yu2 + zu3. Sabemos que esto lleva al sistema deecuaciones cuya matriz ampliada es 1 1 1 1
0 1 1 −10 0 1 −2
La solución del sistema es única. Obtenemos
z = −2, y + z = −1, x + y + z = 1
de dondez = −2, y = 1, x = 2
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Luego las coordenadas del vector v con respecto a esa base son (2, 1,−2).
Podemos considerar también el problema inverso.
Ejercicio 3. Se sabe que los vectores u1 = (1, 2, 1, 0), u2 = (0, 1,−1, 0),u3 = (−1, 1, 0, 1) y u4 = (0, 0, 2,−1) forman una base de R4. Determinar cuáles el vector v cuyas coordenadas en dicha base son (1,−1, 1,−1).
Sea A la matriz de la base indicada. Sea v = (a, b, c, d). El dato que tenemoses que (1,−1, 1,−1) es la solución X del sistema de ecuaciones
A ·X = (a b c d)t
Por tanto, si ponemos X =(
1 −1 1 −1)t y calculamos la matriz
columna AX, el resultado dará las coordenadas (a, b, c, d).
1 0 −1 02 1 1 01 −1 0 20 0 1 −1
·
1
−11
−1
=
0202
4. Ejercicios
1. El centro de masas de un sistema de n puntos con masas m1, . . . ,mn ycon vectores de posición −→r 1, . . . ,
−→r n se define como el punto con vectorde posición
−→r =1M
n∑i=1
mi−→r i (donde M =
n∑i=1
mi es la masa total)
Calcular el centro de masas de tres puntos de masas m1 = 2, m2 = 3y m3 = 1 con vectores de posición −→r 1 = (3,−2, 2), −→r 2 = (2,−1, 0) y−→r 3 = (0, 1, 2).
2. Comprobar que los puntos P = (2,−1, 3), Q = (3, 1, 4), R = (5, 5, 8) yS = (4, 3, 7) son los vértices de un paralelogramo y determinar su área.
3. Dados los siguientes vectores, calcular el ángulo que forma −→v con cadauno de los otros:
−→v = (3, 1) −→w 1 = (1, 2) −→w 2 = (−2, 1) −→w 3 = (−3,−6) −→w 4 = (4,−2)
4. Calcular el área del triángulo con vértices P = (2, 2, 3), Q = (−1, 4, 0) yR = (5, 1,−1).
5. Dados los vectores−→u = (2′5,−1, 3′2),−→v = (0, 2′1,−2′1) y−→w = (0, 0,−1′7),calcular:
a) Un vector perpendicular a −→v y −→w .
b) Un vector perpendicular a −→w y a −→x = 2−→u +−→v + 4−→w .
c) El volumen del paralelepípedo de aristas −→u ,−→v ,−→w .
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6. Calcular la ecuación general de la recta de R2 que pasa por los puntos(5, 1) y (4,−2).
7. Hallar la ecuación general del plano de R3 que pasa por los puntos (2, 1, 2),(1,−1, 3) y (3, 3,−2).
8. Encontrar dos vectores de la dirección del plano 3x−2y−4z = 12 que seanperpendiculares. Calcular también la distancia del punto P = (1, 1, 1) aese plano.
9. Hallar el plano que pasa por el punto (0, 1, 2) y es perpendicular a la rectacuyas ecuaciones paramétricas son:
x = 4 + t, y = t, z = −t
Calcular también la distancia del punto P = (1, 1, 1) a ese plano.
10. Hallar la recta que pasa por el punto (3, 3, 4) y es perpendicular al plano2x + y − 3z = 5. Calcular también la distancia del punto P = (1, 1, 1) aesa recta.
11. Calcular las ecuaciones generales de la recta de R3 que pasa por los puntos(0, 2,−1) y (4, 1, 1).
12. Hallar las ecuaciones generales de la recta de R3 que pasa por los puntos(0, 2,−1) y (4, 1, 1).
13. Hallar la recta que pasa por el punto (3, 3, 4) y es perpendicular al plano2x + y − 3z = 5. Calcular también la distancia del punto P = (1, 1, 1) aesa recta.
14. Hallar la ecuación del plano que es paralelo a la recta de ecuaciones
1′2x + 3y − 0′8z + 1 = 0, x− 2y + 3′3z + 1′5 = 0
y que contiene a la recta
x + y + z + 1 = 0, 0′5x + 0′5y + 2z + 3′2 = 0
15. Dada la recta r de ecuaciones paramétricas
x = 1 + 2t, y = −t, z = 2− t
hallar el punto de dicha recta cuya distancia a la recta
x = −2 + t, y = −1 + 3t, z = −2t
es mínima.
16. Demostrar que B = {(1,−1, 2), (2, 2, 1), (0, 1,−1)} es una base de R3, ycalcular las coordenadas en B de los vectores
−→a = (1, 0, 0),−→b = (0, 1, 0), −→c = (0, 0, 1)
−→d = (2, 3, 4), −→e = (5, 6, 7)
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17. Demostrar que las siguientes son bases de R3:
B = {(1, 0, 0), (2, 1, 0), (3, 2, 1)} y D = {(4, 1,−3), (3, 6, 1), (6, 5, 1)}
Si el vector −→v tiene coordenadas (4, 1,−2) en B, ¿cuáles son sus coorde-nadas en D?
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