al 12 2 vectores

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

1/114

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2/114

Magnitud escalar: Cualquier magnitud matemticao fsica que se pueda representar solamente por unnmero real. Ejemplos: longitud, rea, volumen,temperatura, etc.

Magnitud vectorial: Son aquellas entidades en lasque adems del nmero que las determina, serequiere conocer la direccin. Ejemplos:desplazamiento, fuerza, aceleracin, etc. El entematemtico que representa a estas magnitudes sellama vector .

INTRODUCCION 9

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

3/114

Ejemplo 1

Poste sostenido portres anclajes

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4/114

Ejemplo 2

Polea sosteniendoun peso

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5/114

Ejemplo 3

Plano inclinado

Es aquella entidad matemtica que necesitatanto de una magnitud como de una direccinpara definirla.

Vector

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

6/114

Ejemplo 4

Determinar la

tensin en cada unode los cables A, B y Csabiendo que el

empuje neto delglobo es de 3500 N.

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

7/114

Plano Euclidiano

A

B

Sean los punto A(x1,y1), B(x2,y2)

212212 )()(),( yyxxBAd Distancia del punto Aal punto B =

1x 2x

1y

2y

12 xx 12 yy

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8/114

Vector bidimensional

A

B

Geomtricamente los vectores bidimensionales formamosal orientar el segmento que unen dos puntos del plano porejemplo del punto A(x1,y1) al punto B(x2,y2)

1x 2x

1y

2y

12 xx 12 yy ),( ),( 21

1212

aayyxxa

componente2da

componente1ra

aAB

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9/114


A

B

Al unir dos puntos cualesquiera se define el vector llamadovector libre

Al unir un punto con el origen de coordenadas formamosel vector llamado vector posicin de all que un puntopodemos interpretarlo como un vector

1x 2x

1y

2y

),( yxP

),( yxOP

a

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10/114


A

B

Tambin al orientar estamos definiendo un ngulo deinclinacin y su magnitud (norma)

1x 2x

1y

2y

),( yxP

),( yxOP

a

1

2)tan( a

a

2221 aaa

20

01 a

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11/114

Vector bidimensional Operaciones bsicas

a

b

ba

a

at

),( 21 tataat

),( 2211 bababa

Producto de un escalarcon un vector

Suma de dos vectores

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

12/114

Propiedades:

atat

aaaa

asatast

btatbat

cbacba

abba

.6

),(1.5

)(.4)(.3

)()(.2

.1

21

Dos vectores son iguales si tienen el mismomdulo, direccin y sentido

2211 , babasiiba

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

13/114

13

)1,0(y)0,1( ji

Vectores unitarios:

Son aquellos cuya norma es igual a la unidad.

Nota: En R2 existen dos vectores que nos permitenrepresentar cualquier otro vector como unacombinacin lineal de ellos. Se les llaman vectorescannicos y se representan por

),(a1

aau 21a aa

1u

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14/114

14

VECTORES UNITARIOS i, j

Los vectores i, j son unitarios y estn dirigidos enla direccin de los ejes X, Y respectivamente.

X

Y

i

j

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

15/114

15

Descomposicin de un vector en

trminos de los vectores unitarios i,jTodo vector a = (a1,a2) se puede escribir en laforma:

Es decir todo vector se puede expresar comola suma de vectores paralelos a i , j.

Tambin se dice que el vector a est expresadocomo una combinacin lineal de los vectoresunitarios i ,j

jaiaaaa

2121 ),(

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16/114

EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R3

El conjunto de todas las ternas ordenadas de nmeros realesrecibe el nombre de espacio numrico tridimensional, y sedenota por R3. Cada terna ordenada (x; y; z) se denomina

punto del espacio numrico tridimensional.

xy

z

plano xz

plano yz

plano xy orgen

SISTEMA DECOORDENADASCARTESIANAS

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17/114

Espacio Euclidiano R3

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B

Distancia entre dos puntos de R3

x

y

z

A

A(x1, y1, z1)

B (x2, y2, z2)

212

212

212 )()()(),( zzyyxxBAd

x1x2

y2y1

z2

z1

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19/114

B

x

y

z

A

A(x1, y1, z1)

B (x2, y2, z2)

x1x2

y2y1

z2

z1

),,( 121212 zzyyxxa

Vector Tridimensional

23

22

21 aaaa

Magnitud

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20/114

20

Vector Tridimensional Operaciones bsicas

a

b

ba

a

at

),,( 321 tatataat

),,( 332211 babababa

Producto de un escalar con un vector

Suma de dos vectores

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

21/114

21

Propiedades:

atat

aaaa

asatast

btatbat

cbacba

abba

.6

),(1.5

)(.4)(.3

)()(.2

.1

21

Dos vectores son iguales si tienen el mismomdulo, direccin y sentido

332211 ,, bababasiiba

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

22/114

)1,0,0()0,1,0(,)0,0,1( kji

y

Vectores unitarios:

Son aquellos cuya norma es igual a la unidad.

Nota: En R3 existen tres vectores que nos permitenrepresentar cualquier otro vector como unacombinacin lineal de ellos. Se les llaman vectorescannicos y se representan por

),,(a1

aau 321a aaa

1u

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23/114

VECTORES UNITARIOS i, j , k

x

z

yi

jk

Los vectores i, j y kson unitarios y estn dirigidosen la direccin de los ejes x, y y z respectivamente.

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

24/114

24

Descomposicin de un vector en

trminos de los vectores unitarios i,j,kTodo vector a = (a1,a2,a3) se puede escribir en laforma:

Es decir todo vector se puede expresar comola suma de vectores paralelos a i , j , k.

Tambin se dice que el vector a est expresadocomo una combinacin lineal de los vectoresunitarios i , j, k

kajaiaaaaa

321321 ),,(

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

25/114

DIRECCIN EN R3

P(x,y,z)

z

x

y

V

Vector unitario :

vxcos

v

ycos

v

zcos

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

26/114

26

Paralelismo de vectores

Dos vectores son paralelos entre s, si todas sus

componentes son proporcionales. Ejemplo:

Definicin

)a,a,a(u 321 )b,b,b(v 321

Dado:

v//u

kba

ba

ba

3

3

2

2

1

1

vku

O tambin Con bi 0

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

27/114

27

Vectores Perpendiculares

Los vectores a y b son perpendiculares entre s

tenemos que ||a+b||=||a-b||

Definicin

)3,2,1( a )2,5,4(b

)5,3,5( ba )1,7,3( ba

59|||| ba 59|||| ba

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

28/114

28

ngulo entre vectores

Donde: 1800

vyuSean dos vectores no nulos.El ngulo se define como el ngulo no

negativo mas pequeo formado entre vyuu

v u

v

rad0o

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29/114

29

PRODUCTO ESCALAR

cosvuvu

u

v

vuvucos

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30/114

30

Observaciones:

2

aaa

El producto escalar de dos vectores es un nmero real,ser positivo si

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

31/114

31

Producto escalar en trminos de

componentes.

2211 bababa

332211babababa

En R2

En R3

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32/114

32

Se tendr:

En R2:

En R3:

0ijji,1jjii

0jkkjikkiijji1kkjjii

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33/114

33

Propiedades del producto escalar

uvvu.1

wuvu)wv(u.2

)vu(av)ua()va(u.3

0usi0uu.4

0usi0uu.5

2uuu.6

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

34/114

34

Proyeccin ortogonal de un vector

sobre otro

tv v

u

Proyvu

t

v

v

vuuoyPr

2

v

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35/114

35

La componente de a sobre b se denotapor Compba y se define como

b

ba

b

aComp

.

Componente de un vector sobre otro

Se debe tener en cuenta que compb

a esun nmero real mientras que Proy ba esun vector

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

36/114

36

Proyba

Compba 0

ba

Compba 0

Proyba

a

b

A

Bub

ub

bbb

uaCompaProy

)(

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

37/114

37

Sean u y v dos vectores cualesquiera queforman un ngulo . El producto vectorial uv

se define como un vector que tiene:

Magnitud: ||u|| ||v||sen()

Direccin: Perpendicular al plano que forman

por u y v

PRODUCTO VECTORIAL

NOTA: Este producto slo se da para vectores en R3

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

38/114

38

Regla de la mano derecha

u

vu

uv

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39/114

39

u

v

h

rea del Paralelogramo

Aphusenvuvu

INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA

NORMA DEL PRODUCTO VECTORIAL

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

40/114

40

Producto Vectorial en trminos de

las componentes.

)baba,caca,cbcb(vu 122121121221

)c;b;a(vy)c;b;a(uSean 222111

Se define al Producto Vectorial uvcomo:

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

41/114

41

Si , calcule)4;1;3(vy)3;1;2(u vu

Solucin:Aplicando la definicin:

kji 5175;17;1

32;89;34)3)(1()1)(2();4)(2()3)(3();1)(3()4)(1(

)4;1;3()3;1;2(vu

Ejemplo:

E i t t i d

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42/114

42

OJO

Existe un recurso nemotcnico para recordar

la frmula del producto vectorial, el cualemplea la notacin de determinante:

kji 22

11

22

11

22

11

ba

ba

ca

ca

cb

cbvu

222

111

cba

cbakji Es decir puededesarrollarse

como un

determinante

Observe que la primera fila contiene vectores y no

nmeros reales

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

43/114

43

2222 )vu(vuvu.4

wuvu)wv(u.3)vc(uv)uc(.2

)uv(vu.1

Propiedades del Producto Vectorial

TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

44/114

44

TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

w)vu(

DEFINICIN : El producto mixto sedefine como:

Sean u , v y w tres vectores que no estn

en un mismo plano. Entonces forman loslados de un paraleleppedo en el espacio.

I t t i G t i

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45/114

45

h vuw

vu

Interpretacin Geomtrica

w)vu(Vp u

v

Producto Mixto

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46/114

46

321

321

321

ccc

bbbaaa

w)vu(

Producto Mixto

)a,a,a(u 321 )b,b,b(v 321

Sean ,

)c,c,c(w 321

ySe define al producto mixto como:

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

47/114

47

LA RECTA es un lugar geomtricoque se caracteriza (determina):

1: Conociendo un punto por dondepasa y un vector paralelo

2: Conociendo dos puntos por dondepasa

3: Mediante la interseccin de dosplanos conocidos.

RECTA i d t

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

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48

0P

X

Y

Z

a at

atPP 0

RECTA conociendo un punto y un

vector paralelo

pasodepunto0P

(paralelo)generadorvectora

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

49/114

49

Ej. 1: Caracterizar la recta quepasa por el punto (1,2,3) y esparalela al vector a=(2,-1,1)

t)3,2,21(

1,1,2()3,2,1(t0

ttt

tatPP

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50/114

50

0P

X

Y

Z

at

atPP

01

a

01 PPa

Recta que pasa por dos puntos

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

51/114

51

Ej. 2: Halle la recta que pasa por lospuntos (-1,2,2) y (1,-1,3)

)1,3,2()2,2,1()3,1,1( a

)3,31,21(

)1,3,2()3,1,1(

ttt

tP

R t i t i d d l

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52/114

52

X

Y

Z

Recta como interseccin de dos planos

Ecuaciones

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

53/114

53

Ecuaciones

R0 tatPP

30

20

10

tazz

tayytaxx

Vectorial

Paramtrica

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

54/114

54

Cuando las componentes del vectorparalelo son todos diferentes de cero

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx

Simtrica

P i i l ti d d t

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

55/114

55

Posicin relativa de dos rectas

X

Y

Z

Paralelas

Se intersectan

Ajenas

PLANO l t i

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

56/114

56

PLANO lugar geomtrico que sedetermina con:

1: Un punto de paso y un vectorperpendicular al plano

2: Tres puntos no colineales

3: Una recta y un punto fuera de ella

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

57/114

57

X

Y

0PP

n0)( 0 nPP

planoalnormalvectorn

pasodepunto0P

Z

1

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

58/114

58

Ej. 3: Halle el plano que pasa por elpunto (1,2,1) cuya normal es el vector

n=(1,1,1)

04

0)1,1,1()1,2,1( 0)(0

zyx

zyxnPP

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

59/114

59

X

Y

1P

n0)( 0 nPP

ban

tomarpodemospuntoslosdeuno0P

Z

2

2

P3P

ab

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

60/114

60

Ej. 4: Halle el plano que pasa porlos puntos (1,1,2) (2,-1,1) y (1,2,3)

)1,1,1()1,1,0()2,1,1()3,2,1(

)1,2,1()2,1,1()1,1,2(

banb

a

0 zyx

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

61/114

61

X

Y

0P

n0)( 0 nPP

ban

tomarpodemosLdepuntounyL// 1Pa

Z

3

a

b

1P

L

Ej. 5: Halle el plano que pasa por el punto

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

62/114

62

Ej. 5: Halle el plano que pasa por el punto

(1,1,2) y contiene a la recta de ecuacin:

2

3

1

2

1

z

yx

032 )4,0,2(

)0,2,0()2,1,1()2,1,1(

)1,3,2()2,1,1(1

zxban

b

aP

ECUACIONES

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

63/114

63

ECUACIONES

0)( 0 nPPVectorial

0)()()( 030201 zznyynxxn

Escalar ordinaria

Lineal cznynxn 321

Angulo entre dos planos es el ngulo

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

64/114

64

XY

Z nm

Angulo entre dos planos es el ngulo

agudo entre sus normales

TRAZA: Interseccin del plano con

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

65/114

65

TRAZA: Interseccin del plano concada plano coordenado (fundamental)

X

Y

Z

Traza en XZ

Traza en YZ

Traza en XY

PLANO PROYECTANTE

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

66/114

66

PLANO PROYECTANTE

Dada una recta L llamamos planoproyectante, aquel plano que contienea L y es perpendicular a uno de losplanos coordenados; es decir existentres planos proyectantes.

000 zzyyxx

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

67/114

67

3

0

2

0

1

0

:LSi a

zz

a

yy

a

xx

Plano proyectantesobre XY

2

0

1

0a

yya

xx

Plano proyectantesobre YZ

Plano proyectante

sobre XZ

3

0

2

0a

zza

yy

3

0

1

0a

zz

a

xx

PROYECCION DE UNA RECTA

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

68/114

68

PROYECCION DE UNA RECTA

Dada una recta L su proyeccin sobrelos planos coordenados se lograintersectando cada plano proyectantecon el plano coordenado respectivo.(traza de cada plano proyectante)

Dada una sucesin A-B-C-D

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

69/114

69

de cuatro tomos enlazados,el ngulo entre el planoformado por A, B y C, y el

formado por B, C y D, sellama ngulo de torsin (seusa para explicar la estabilidad de

estructura moleculares). Si elsegmento BC se coloca a lolargo del eje Z. Halle entrminos de los vectores

CDBA y

A

B

C

D

Esttica: Equilibrio de una partcula.

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

70/114

70

q p

La esttica es la rama de la mecnica que estudiael equilibrio de los cuerpos.

0iiF

Una partcula se encuentra en equilibriosi:

la suma de todas las fuerzas que actansobre ella es cero

Ejemplo 1: la partcula O, situada en un plano inclinado,

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

71/114

71

se encuentra en equilibrio, como se muestra en lafigura.

W

X

Y

O

F

N

A

B

a) Realice el DCL de las fuerzas en la partcula O.b) Formule la ecuacin vectorial que garantice el equilibrio de

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

72/114

72

Solucin:a) Realicemos el DCL de las

fuerzas en la partcula O:

O

F

W

N

) q g q

la partcula.c) Halle los vectores unitarios que determinan la direccin de

cada fuerza.

b) Hallemos la ecuacin vectorial que garantiza el

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

73/114

73


equilibrio de la partcula. Del DCL anterior:

0WNFc) Encontremos los vectores unitarios que determinan la

direccin de cada fuerza. De la figura:

X

Y

W

O

F

N

ju N

iuF

jisenuW

cos

Fsica: Momento de una fuerza

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

74/114

74

constante.

Consideremos una fuerza que acta en un cuerpo

C que puede rotar alrededor del punto O. Si la lneade accin de la fuerza no pasa por O, el efecto totalser la rotacin del cuerpo alrededor de O.

O

A

r

F

C

F

Nuestra experiencia diaria sugiere que la

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

75/114

75

p g q

efectividad en la rotacin de C aumenta con ladistancia perpendicular b desde O a la lnea deaccin de la fuerza, por lo que es conveniente

definir una cantidad fsica M que llamaremosmomento de una fuerza:

FbM

O

A

r

F

Cb

Notando de la figura que: rsenb

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

76/114

76

Fr

FrsenM podemos escribir tambin:

Llegamos a la conclusin que el momento de unafuerza puede considerarse como una cantidadvectorial dada por el producto vectorial:

As, el momento de una fuerza est representado

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

77/114

77

por un vector perpendicular al plano que forman y

, y dirigido en el sentido indicado por el pulgarcuando se utiliza la regla de la mano derecha:

rF

O

A

r

F

C

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

78/114

Aplicacin: Equilibrio en el espacio.

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

79/114

79

Ejemplo 2: un bloque de 100 Nest sujeto, mediante uncable, al punto C del extremo de la barra AC, la cual a

su vez, est sujeta por los cablesCD

yCE

como semuestra en la figura:

m2C

E

DN100

A

m2

m2

N

Hm1

FF

G

45

Si la barra tiene peso despreciable:

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

80/114

80

a) Realice el DCL de las fuerzas en la barra AC.

b) Formule la ecuacin vectorial que garantice el

equilibrio del bloque.

c) Halle los vectores unitarios que determinan ladireccin de cada fuerza.

d) Determine el ngulo DCE.

Solucin:

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

81/114

81

a) Realicemos el DCL de las fuerzas en la barra AC:


equilibrio del bloque. Del DCL anterior:

0100 kHNFF

k100

N

H

F

F

A

C

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

82/114

,

ku ,

iu

ku

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

83/114

83

N H k100d) Hallemos el ngulo DCE. Utilicemos los vectores

unitarios y :

91)

31

32

32()

31

32

32(

)cos(

kjikji

uu

uu

uuDCE

FF

FF

FF

radDCE 46,162,83

F

u

F

u

Fsica: Trabajo de una fuerza constante.

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

84/114

84

Consideremos una partcula A que se mueve a lo

largo de una lnea recta L bajo la accin de una

fuerza constante . En un tiempo determinado, lapartcula se mueve de A a A, siendo el

desplazamiento = .

F

r

A

A

L

F

A A

r

El trabajo efectuado por la fuerza durante tal

F

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

85/114

85

desplazamiento es igual al producto de la magnituddel desplazamiento d por la componente de lafuerza a lo largo del desplazamiento FT:

dFW T

r

A

A

L

TF

d

F

Notando de la figura que: cosFFT

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

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86

rFW

dFW cospodemos escribir tambin:

Llegamos a la conclusin que, el trabajo de unafuerza, est dada por el producto escalar:

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

87/114

La cual se simplifica como:

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

88/114

88

nn

i

ii

n

i

ii AAFAAFAAF 1

1

1

1

1

1

1

Por lo tanto, el trabajo efectuado es:

nAAA AAFW n 121

Ejemplo 3: dada la partcula A, que se mueve a lo largo

d l t t i ABCD t d l fi b j l

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

89/114

89

de la trayectoria ABCD mostrada en la figura, bajo laaccin de la fuerza constante ,

determinar el trabajo efectuado por dicha fuerza durante

tal desplazamiento.

X

F

O

C

Z

Y

m12

m6

m2

A

B

D

2 3 5F i j k N

Solucin: el trabajo realizado por la fuerza es:

F

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90/114

90

Jkikji

ADFWABCD

26)62()532(

ESPACIO VECTORIAL Rn

10

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91/114

91

INTRODUCCINSe d este nombre porque el conjunto de

vectores de Rn ( en particular, R2 o R3 ) junto conlas operaciones de adicin y multiplicacin por

un escalar, satisfacen una serie de axiomas. As

todo conjunto de entes matemticos que

cumplan estos axiomas es un espacio vectorial.

Esto permite extender muchas propiedades auna gran variedad de elementos matemticos.

D fi i i

VECTOR n - DIMENSIONAL

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

92/114

92

Definicin:A la combinacin ordenada de n

nmeros reales:

la llamaremos vector n-dimensional.),...,,( 21 naaa

IGUALDAD

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

93/114

93

nn ba

ba

ba

vu

22

11

nuuuu ,,, 21 nvvvv ,,, 21

SUMA

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94/114

94

+

PRODUCTO POR UN ESCALAR

nn

nn

vuvuvu

vvvuuuvu

,,,

,,,,,,

2211

2121

nucucucuc ,,, 21

,n na R b R

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

95/114

95

Producto Escalar1

n

k kk

a b a b

Mdulo 1/22 2

1|| || ... na a a

Propiedades del producto escalar

uvvu1

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96/114

96

uvvu.1

wuvu)wv(u.2

)vu(av)ua()va(u.3

0usi0uu.4

0usi0uu.5

2uuu.6

COMBINACION LINEAL

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

97/114

Dados los vectores V , V , ... , V de R

y sean a , a , ... , a escalares .La expresin:

Se llama combinacin lineal de V , V , ...... , V

1 2 k

2

k

1

1 k2n

a V + a V +... + a V2 k11 2 k

y3 a

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98

x

ba

u

-2 b

u = 3 a - 2 b

NOTA: La combinacin lineal de dos vectores

a y b siempre va a estar en el plano formadopor ellos

Sean dos vectores no paralelos de R3 ba

,

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

99/114

99

El espacio que generan estos vectores, est formado por todaslas combinaciones lineales de a y b, su grfica corresponde alplano que pasa por el origen y contiene a los vectores a y b

Ejemplo: a=(1 , -2 , 1) b=(1 , 2 , -3)

RsRtbsatvbaGen ,,,

Si hacemos ban

bsatv

0),,( nzyx Ecuacin

vectorial

INDEPENDENCIA LINEAL

Antes de dar la definicin veamos los

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

100/114

100

Antes de dar la definicin, veamos lossiguientes ejemplos geomtricos.

1. Sean los vectores paralelos a y bEntonces tenemos que a=t b para cierto

real t, luego podemos escribir: a-t b=0 , esdecir hay una combinacin lineal que dacomo resultado el vector cero sin que los

coeficientes sean ceros.

LINEALMENTE INDEPENDIENTES (L.I.)

Un conjunto de vectores se dice que son L.I. Si laecuacin: }{ 21

kvvv

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101/114

101

ecuacin: },..,,{ vvv

0..2211 kk

vcvcvc

Tiene por nica solucin 0...21 kccc

En caso contrario se dice LINEALMENTE DEPENDIENTES

(L.D.) es decir no todos los coeficientes son nulos

PROPIEDAD DE LOS CONJUNTOSLINEALMENTE INDEPENDIENTES

1 Si l j d V { }

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

102/114

102

1. Si el conjunto de vectores V ={v1,v2,..,vk}

de Rn es L.I. entonces todo vector u generado

por la combinacin lineal de los vectores de V

se obtiene de forma nica. Es decir loscoeficiente ai de:

son nicos.a v + a v +...+ a v1 2 2 k k 1u =

2. Sea V = {v1 , v2 ,..., vk } un conjunto

de vectores en Rn donde k > n

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

103/114

103

de vectores en R , donde k > n.Entonces V es linealmente dependiente.

Nota :Un conjunto S de vectores linealmenteindependientes de Rn contine a lo mas n

vectores.3. Si k = n y det [v1 v2 ... vn] = 0

{ v1, v2, ..., vn } es L. I.4. 0 V Rn V es L. D.

4. Dado el conjunto de vectores {a, b, c}contenido en el plano P

z

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

104/114

104

Es LI o LD el conjunto de vectores {a, b, c} ?

a

b

c

x

z

y

P

5.

Se podra expresar elvector b en terminos

de a y c ?

z

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105/114

105

Es LI o LD el conjunto de vectores {a, b, c}?

de a y c ?

a

b

c

x

y

P

ESPACIO GENERADO

S d

11

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

106/114

106

v , v ,..., v1 2 kSean : vectores de Rn

El conjunto de todas las combinacioneslineales que se pueden formar con los

vectores se denominaESPACIO GENERADO PORy lo denotaremos por:

Gen ( )

v , v ,..., v1 2 k v , v ,..., v1 2 k

v , v ,..., v1 2 k

PROPIEDAD DEL ESPACIO GENERADO

1. Cuando es L.I. de R 3 entonces:{ v , v , v }1 2 3

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

107/114

107

Gen ( ) representa una lnea recta quepasa por el origen de coordenadas, .

vi31 i

x

z

yO

v1

v2

v3 Gen ( )v1

Gen ( )v2

Gen ( )v3

Gen ( ) representa un plano que pasapor el origen de coordenadas, .

v , vi j

3,1 ji

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

108/114

108

por el origen de coordenadas, .3,1 j

x

z

yO

v1

v2

v3

Gen ( )v , v1 3

Gen ( )v , v1 2

Gen ( )v , v2 3

Gen ( ) es todo el espacio R3 .1 2 3v , v , v

z

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

109/114

109

x

yO

v1

v2

v3Gen ( )1 2 3v , v , v

2. Cuando es L.I. entonces:

G ( ) Rn

{ v , v ,..., v }1 2 n

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110/114

110

Gen ( ) = Rnv , v ,..., v1 2 n

CONJUNTO GENERADOR

Se dice que un conjunto de}{ 21

kvvv

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111/114

111

Se dice que un conjunto devectores de es un conjunto generador

de si todo vector de se puedeexpresar como combinacin lineal de

.

Ejemplo: Los vectores (1,-1), (1,1), (0,-1)generan a .

},...,,{ vvv

},...,,{ 21

kvvv

nR

nR nR

2R

SUB ESPACIO DE Rn

},...,,{ 21

kvvv

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

112/114

112

}{La combinacin lineal de este conjunto finito devectores l.i. de Rn generan un sub espacio de Rn dedimensin k.

A este conjunto se le llama base de este sub espacio

Para que dicho conjunto sea base de Rn esnecesario que k=n.

Es decir si formamos la matriz A=[v1,v2, ,vn ] conlos n vectores tenemos que det(A)0

BASE CANNICA DEL ESPACIO Rn

Se llama as a la base formada por los

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

113/114

113

Se llama as a la base formada por losvectores cannicos. En Rn los vectores

cannicos son:e1 = (1;0;0;...;0;0;0)e

2= (0;1;0;...;0;0;0)

e3 = (0;0;1;...;0;0;0). . . . . .

en-1= (0;0;0;...;0;1;0)en = (0;0;0;...;0;0;1)

Definicin: La dimensin de un sub

espacio de Rn, es el mximo nmero

7/30/2019 Al 12 2 Vectores

114/114

114

espacio de R, es el mximo nmerode vectores l.i. que generan dicho

sub espacio.

La dimensin de Rn es n.

Todo sub espacio de Rn , es a su vezun espacio vectorial

al 12 2 vectores

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