Metodos NumericosCIV-317

Metodo de Newmark

Joaquın Mura

1Ingenierıa Civil, Pontificia Universidad Catolica de Valparaıso.

Semestre Primavera 2013

Ecuaciones diferenciales ordinariasProblema de valores iniciales: Metodo de Newmark

Este metodo fue concebido para resolver problemas de evolucion desegundo orden del tipo

Mu+ Cu+Ku = f

u(0) = u0

u(0) = v0

(1)

J. Mura (Ing. Civil PUCV) CIV317 ’02/2013 2 / 1

Ecuaciones diferenciales ordinariasProblema de valores iniciales: Metodo de Newmark

Si an,vn y un son las aproximaciones de u(tn), u(tn) y u(tn),respectivamente, con tn = n∆t y fn = f(tn), entonces el metodo deNewmark se define a traves de las siguientes relaciones:

Man + Cvn +Kun = fn

un+1 = un + ∆tvn +1

2∆t2an + β∆t2(an+1 − an)

vn+1 = vn + ∆tan + γ∆t(an+1 − an)

(2)

Nota: A menudo se selecciona γ = 1/2 y β = {1/4, 1/6, 1/8}

J. Mura (Ing. Civil PUCV) CIV317 ’02/2013 3 / 1

Ecuaciones diferenciales ordinariasProblema de valores iniciales: Metodo de Newmark

Basandose en las formulas (2), el metodo de Newmark genera unasucesion {un}n≥0 meditante el siguiente esquema iterativo:

Algoritmo: Newmark

Para n = 0, calcule a0 a partir de los datos iniciales u0 y v0:

a0 = M−1 (f0 − Cv0 −Ku0)

Para n = 1, 2, ..., calcule an+1 usando fn+1,un, vn y an resolviendo elsistema lineal(M + γ∆tC + β∆t2K

)an+1 = fn+1 −Kun − (C + ∆tK)vn

+

((γ − 1)∆tC + (β − 1

2)∆t2K

)an

J. Mura (Ing. Civil PUCV) CIV317 ’02/2013 4 / 1

Ecuaciones diferenciales ordinariasProblema de valores iniciales: Metodo de Newmark

Algoritmo: Newmark

Calcule un+1 a partir de un, vn, an y an+1:

un+1 = un + ∆tvn +1

2∆t2an + β∆t2(an+1 − an)

Calcule vn+1 usando vn, an y an+1:

vn+1 = vn + ∆tan + γ∆t(an+1 − an)

J. Mura (Ing. Civil PUCV) CIV317 ’02/2013 5 / 1