1.2 CARACTERIZACION, IMPORTANCIA, CONDICIONES DE ENTORNO, SOLUCION DE EDP Y APLICACIONES. EDP ELIPTICAS, PARABOLICAS E HIPERBOLICAS.

DEFINICION: Una ecuación en derivadas parciales (EDP) de orden n € IN es una ecuación en la que aparece una función desconocida que depende (al menos) de dos variables reales, junto a algunas de sus derivadas parciales hasta orden n. Cuando la función incógnita solo depende de una variable real, se trata de una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden n. Se dice que una EDP es lineal si es lineal respecto de la función desconocida y de todas sus derivadas Parciales. En otro caso, se dice que es no lineal.

Las derivadas parciales

Considérese la función

F(x, y, z) = x2 + y2 + z2.

Si x, y, z varían entonces f(x, y, z) varía, y tiene sentido preguntarse, por ejemplo, por las razones de cambio y por las derivadas. Esto se hace de la siguiente forma: se considera que 2 de las variables son fijas, como constantes, y se calcula la derivada para la otra variable.

Por ejemplo: la derivada de

F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 si asumimos y y z

Constantes y x variable, es solamente 2x (pues la derivada de (y2) y (z2) es cero).

Cuando esto sucede se dice que se obtiene la derivada parcial de f(x, y, z) con respecto a x, y se denota

(Símbolos un poco diferentes a los , Dx f, o D1 f)

ENTONCES;

= Dx f (x, y, z) = 2x.

Si se hace variar y (x y z se asumen constantes), entonces

Esta se denota

, Dy f, o D2 f.

También

 = 2z,

Se denota. , Dz f, o D3 f.

Solución general y solución completa

Toda ecuación en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas, que frecuentemente pueden obtenerse por el método de separación de variables.

Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en la ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico.

Clasificación de las EDP de segundo orden:

Las EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cuatro tipos de EDP que son de interés fundamental, a continuación se dan ejemplos de estos cuatro tipos:

Ecuación Nombre Tipo

Laplace Elíptica

Onda Hiperbólica

Difusión Parabólicas

Helmholtz

Elíptica

Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo:

se dice que es elíptica si la matriz   tiene un determinante mayor a 0.

se dice que es parabólica si la matriz   tiene un determinante igual a 0.

se dice que es hiperbólica si la matriz   tiene un determinante menor a 0.

Nombres de objetos de la geometría analítica y se llaman cónicas.

EDP de orden superior:

Si bien las EDP de segundo orden se aplican a una inmensa cantidad de fenómenos físicos; otra cantidad menor de procesos físicos hallan solución en EDP de órdenes superiores, como ejemplos podemos citar:

Flexión mecánica de una placa elástica:

Vibración flexional de una viga:

Ecuación de Korteweg-de Vries, que tiene soluciones de tipo solitón,

Importancia:

La comprensión de la naturaleza y sus fenómenos necesita del auxilio de las matemáticas, y las Ecuaciones Diferenciales y en Diferencia constituye una herramienta esencial para matemáticos, físicos, ingenieros y demás técnicos y científicos, pues, sucede con frecuencia que las leyes físicas que gobiernan los fenómenos de la naturaleza se expresan habitualmente en forma de ecuaciones diferenciales, por lo que éstas, en sí, constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes: por ejemplo las leyes de conservación de la masa y de la energía térmica, las leyes de la mecánica, etc., se expresan en forma de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones del movimiento de los cuerpos (la segunda ley de Newton) es una ecuación diferencial de segundo orden, como lo es la ecuación que describe los sistemas oscilantes, la propagación de las ondas, la transmisión del calor, la difusión, el movimiento de partículas subatómicas, etc. Pocas ecuaciones diferenciales tienen una solución analítica sencilla, la mayor parte de las veces es necesario realizar aproximaciones, estudiar el comportamiento del sistema bajo ciertas condiciones. Así, en un sistema tan simple como un péndulo, la amplitud de la oscilación ha de ser pequeña y el rozamiento ha de ser despreciable, para obtener una solución sencilla que describa aproximadamente su movimiento periódico, lo cual posible que se estudien ecuaciones diferenciales en diferencias con la teoría de problemas de valor inicial. La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales y en diferencias para los Ingenieros, y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho

de que la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de tales ecuaciones. Los cálculos que requiere la construcción de maquinaria eléctrica o de dispositivos radiotécnicos, el cálculo de trayectorias de proyectiles, la investigación de la estabilidad de aeronaves en vuelo o del curso de una reacción química, todo ello depende de la solución de ecuaciones diferenciales que requieren de técnicas de gran desarrollo en la actualidad como la modelación y la simulación. 

Por tales razones el programa de Ecuaciones Diferenciales y en diferencias desarrolla los siguientes ejes temáticos: 

Una breve Introducción a las Ecuaciones Diferenciales, en esta parte, se clasifican las ecuaciones diferenciales y se llegan a las ecuaciones diferenciales de primer orden y a los problemas de valor inicial, en esta parte se estudian los métodos clásicos de solución tales como variables separables, ecuaciones lineales, homogéneas, exactas, cuasi-exactas  y por sustituciones. Se estudian las ecuaciones de Bernoulli, Riccati, Clairaut y se estudian algunos problemas de modelado como crecimiento y decrecimiento exponencial de poblaciones, ley de enfriamiento, mezclas y circuitos en serie, modelos demográficos y logísticos, reacciones química, y modelos que involucran sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.Se estudian las ecuaciones diferenciales de orden superior y los diferentes métodos de solución ya sean por superposición, reducción de orden, coeficientes indeterminados, anulador y variación de parámetros y las ecuaciones de Cauchy-Euler. Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales por eliminación; y, los problemas de modelado como los sistemas masa-resorte libre amortiguados y libre forzados y los circuitos en series LRC.Se estudia la Transformada de Laplace y sus múltiples aplicaciones en la solución de problemas de valor inicial, se estudian con detenimiento la convolución de funciones y las transformadas de funciones periódicas.Por último se hace una introducción a las ecuaciones diferenciales en diferencias de primer orden con coeficientes constantes y problemas de modelado, a las ecuaciones en diferencias de segundo orden homogéneas con coeficientes constantes y problemas de modelado.