1.- sistemas financieros de capitalizaciÓn y ...departamento.us.es/deconapli1/pdf/bolexamft1.pdf1.-...
TRANSCRIPT
1.- SISTEMAS FINANCIEROS DE CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO.
1.1.- Poseemos tres letras de nominal 10.000 € cada una, con vencimientos sucesivos
de 30 en 30 días (contados a partir del vencimiento de la primera letra). Calcular el
vencimiento de la primera sabiendo que en este momento, estas tres letras pueden ser
sustituidas por otras dos letras de nominal 15.000 € con vencimientos a 2 y 3 meses
pactando un tanto de descuento anual simple del 6%. Al mes siguiente las tres letras son
vendidas a un inversor, calcular la cantidad pagada por éste si se le aplica un tanto de
interés anual simple del 5% y le cobran una comisión del 0,1% sobre el nominal
de cada letra. (Sol: 45 días; 29.844,01€).
N n n+30 n+60 d E
10000 45 75 105 0,06 29625
N' n' n'' d E
15000 2 3 0,06 29625
n + 600 n n + 30
E 10.000 10.000 10.000
d = 0,06
30 2
E 15.000 15.000
díasn
nnn
45)06,012
31()06,0
12
21(000.15
)06,0360
601()06,0
360
301()06,0
3601(000.10
N n1 n2 n3 i Comisión E'
10000 15 45 75 0,05 0,001 29844,0054
1.2.- Un industrial tiene pendientes letras de nominales 5.000, 6.000 y 8.000 €,
con vencimientos a los 30, 60 y 90 días.
a) Calcular el vencimiento de una letra de nominal 19.300 € que sustituya a las tres, si en la
operación se utiliza el descuento comercial aplicando un tanto del 6%.
b) Calcular el nominal de una letra con vencimiento a los 100 días que sustituya a las tres
letras si en la operación se utiliza el descuento racional aplicándoles un tanto del 6%.
c) Transcurridos 45 días y suponiendo que no se efectuó ninguna de las sustituciones
anteriores, el industrial decide sustituir las letras no vencidas por una con vencimiento
igual al de la última; calcular su nominal si el tanto de interés mensual aplicado a la
operación es del 0,5% y la comisión sobre el nominal de las letras sustituidas es del 0,5%.
(Sol: 157 días; 19.110,78€; 14.100,45€).
1050 30 75
E' 10.000 10.000 10.000
i = 0,05 comisión = 0,001
900 30 60
E 5.000 6.000 8.000
n0
E 19.300
054,844.29000.103001,0
05,0360
751
000.10
05,0360
451
000.10
05,0360
151
000.10'E
N1 N2 N3 n1 n2 n3 N'
5000 6000 8000 30 60 90 19300
n d E E
156,994819 0,06 18795 18795
N' n' i E E
19110,7833 100 0,06 18797,4918 18797,4918
900 30 60
E 5.000 6.000 8.000
i = 0,06
1000
E N'
900 45 60
6.000 8.000
i(12) = 0,005 comisión = 0,005
5.000(ya pagada)
450
X
díasn
n
157
)06,0360
1(300.19)06,0360
901(000.8)06,0
360
601(000.6)06,0
360
301(000.5
78,110.19'
06,0360
1001
'
06,0360
901
000.8
06,0360
601
000.6
06,0360
301
000.5
N
N
N2 N3 n2 n3 i(12) Comisión E
6000 8000 15 45 0,005 0,005 13995,4841
X n'' E
14100,4502 45 13995,4841
1.3.- El Sr. López compra al Sr. Pérez un televisor, para lo cual entrega 300 € en efectivo y
firma 3 letras de igual nominal y vencimientos a los 4, 7 y 10 meses, valoradas al 6%
de interés simple anual. Un mes más tarde el Sr. Pérez presenta al descuento estas letras
en un banco que le aplica un 5% de descuento anual simple y cobra una comisión del 1%
sobre el nominal de cada letra, obteniendo por esta operación 2.895 €.
Cuando llega el vencimiento de la primera letra, y una vez pagada ésta, el Sr. López le
propone al banco sustituir las letras que le restan por una sola de nominal 2.223 €
aplicando un tanto de descuento anual simple del 5% y una penalización del 2% sobre el
nominal de cada letra que interviene en la operación. Calcular el nominal de las tres letras,
el precio al contado del televisor y el vencimiento de la nueva letra.
(Sol: 1.000€; 3.198,96€; 19 meses).
N n1 n2 n3 d Comisión E
1000 3 6 9 0,05 0,01 2895
100 1 7
2.895 N N N
d = 0,05 comisión = 0,01
100 4 7
PVC300 1.000 1.000 1.000
45,100.14
005,030
451
)000.8000.6(005,0
005,030
451
000.8
005,030
151
000.6
X
X
000.1
895.2301,0)05,012
91()05,0
12
61()05,0
12
31(
N
NNNN
N n1 n2 n3 i PVC
1000 4 7 10 0,06 3198,95668
N n1 n2 N' d Comisión E
1000 3 6 2223 0,05 0,02 2046,96
n E
19,005668 2046,96
1.4.-Dos amigos deciden montar una empresa de cableado y necesitan 80.000 €. El primero
dispone de 10.000 € en efectivo y un pagaré de nominal 8.160 € y vencimiento dentro de
120 días que lo descuenta en el banco A al 6% de interés anual simple y comisión del 1%.
El segundo dispone de 20.000 € en efectivo y un pagaré de nominal 5.000 € y vencimiento
dentro de 8 meses que lo descuenta en el banco B al 7% de descuento anual simple y
comisión del 1%. Por el importe que falta firman tres letras con el banco C de igual
nominal y vencimientos a los 90, 120 y 150 días respectivamente y valoradas al 9% de
descuento anual simple. Al cabo de 130 días y sin poder afrontar la letra pendiente acuden
al banco para cambiarla por otra con vencimiento a los 45 días. El banco C acepta cobrando
una comisión del 0,5% sobre el nominal de la nueva letra. Calcular la cantidad de la que
disponen los dos amigos, el nominal de las tres letras que firman en la operación inicial
con el banco C y el nominal de la letra sustituta.
(Sol: 42.635,07€; 12.840,18€; 12.987,02€).
N n i Comisión E1
10000 8160 120 0,06 0,01 17918,40
N' n' d Comisión E2 E1+E2
20000 5000 8 0,07 0,01 24716,6667 42635,0667
80000 resto = 37364,9333
100 7
E 1.000 1.000
n0
E2.223
d = 0,05 comisión = 0,02
95668,198.3
06,012
101
000.1
06,012
71
000.1
06,012
41
000.1300
mesesn
n
19
)05,012
1(223.2)223.2000.12(02,0)05,012
61(000.1)05,0
12
31(000.1
N n1 n2 n3 d E
12840,1833 90 120 150 0,09 37364,9333
1200
10.0008.160
i = 0,06 comisión = 0,01
80
20.0005.000
d = 0,07 comisión = 0,01
1500 90 130
37.364,93 N N N
d= 0,09
450
N'
d = 0,09 comisión = 0,005 N'
4,918.17160.801,0
06,0360
1201
160.8000.101E
9333,364.370667,635.42000.80
0667,635.426667,716.244,918.17
6667,716.24000.501,0)07,012
81(000.5000.20
21
2
resto
EE
E
18,840.12
93,364.37)09,0360
1501()09,0
360
1201()09,0
360
901(
N
NNN
N n N' n' d Comisión E
12840,1833 20 12987,0214 45 0,09 0,005 12775,9823
12775,9823
1.5.- El Sr. Pérez desea descontar una letra de nominal N con vencimiento dentro de 6
meses. En la entidad Financiera A le aplican un tanto de descuento simple trimestral del
1,5% y una comisión del 0,3% sobre el nominal. En la Entidad Financiera B le aplican un
tanto de interés semestral del 2,5% y una comisión del 0,5% sobre el nominal.
a) ¿A qué Entidad debería acudir el Sr. Pérez para descontar la letra?. Razonar la respuesta.
b) ¿Qué tanto de interés simple anual debería aplicar la Entidad Financiera B para que al
Sr. Pérez le fuera indiferente la elección de Entidad en el supuesto de que la Entidad B
mantuviese la comisión y la Entidad A no modificara las condiciones anteriores?.
(Sol: entidad B; 5,76%).
d(4) Comisión A i(2) Comisión B EA EB
0,015 0,003 0,025 0,005 0,967 0,97060976
Interesa el Banco B que dá un efectivo mayor.
i'(2) E'B i'
0,02880661 0,96699997 0,05761322
60
EA
N
d(4) = 0,015 comisión = 0,003
60
EB
N
i(2) = 0,025 comisión = 0,005
02,987.12'
'005,0)09,0360
451(')09,0
360
201(18,840.12
N
NN
BA
B
A
EE
NNN
Ni
NE
NNNNdNE
97060976,0005,0025,1
005,0)2(1
967,0003,0)015,021(003,0))4(21(
0576,0'288,0)2('
005,0)2('1
967,0'
005,0)2('1
'
967,0
ii
Ni
NNEE
Ni
NE
NE
BA
B
A
1.6.- Con objeto de aumentar las ventas por motivos navideños, unos grandes almacenes
proponen a sus clientes, para todas las compras que sobrepasen un cierta cantidad de
dinero, la siguiente forma de pago: una entrada en metálico del 20% del precio de venta
al contado y la firma de 4 letras de igual nominal con vencimiento a los 30, 60, 90 y 120 días.
Para el cálculo de las letras aplican un descuento del 6% simple anual y cobran
respectivamente comisiones del 0.1%, 0.2%, 0.3% y 0.4% sobre el nominal.
a) Calcular el nominal de las letras sabiendo que un cliente ha hecho compras por valor de
2.462,5 € .
b) A los 45 días de la compra, el gerente de los grandes almacenes acude a un banco para
liquidar las letras pendientes. Si el banco trabaja con un interés mensual del 0.5%
y cobra una comisión del 0.5% sobre el nominal, ¿Qué dinero neto obtiene el gerente en
esta segunda operación?
( Sol: 500€; 1.481,36€).
PVC 0,2 PVC N n1 n2 n3 n4
2462,5 492,5 500 30 60 90 120
d E Comisiones
0,06 2462,5 0,001 0,002 0,003 0,004
i(12) Comisión n1 n2 n3 E45
0,005 0,005 15 45 75 1481,35819
1.7.- Se tienen tres letras con vencimiento a los 30, 60 y 90 días. Los nominales de dichas
letras son de 600€, 900€ y 1.000€ respectivamente.
a) ¿Qué dinero se obtendría en un banco que descuenta al 6% de interés anual, teniendo
en cuenta que el banco cobra una comisión del 10% sobre el descuento?.
b) Llegado el momento del vencimiento de la primera letra y tras haberla pagado, el
deudor propone al banco sustituir las deudas pendientes por una sola letra que vence
dentro de 100 días aplicando un tanto de descuento del 6% y una comisión del 0,15% sobre
el nominal de las letras sustituidas. ¿Cuál es el nominal de la nueva letra?.
(Sol: 2.470,66€; 1.920,36€).
450 9030
0,2 PVC N N N
d= 0,06
500)004,0003,0002,0001,0(
))06,0360
1201()06,0
360
901()06,0
360
601()06,0
360
301((5,462.22,05,462.2
NN
N
36,481.1
005,05003
005,030
751
500
005,030
451
500
005,030
151
50045E
N1 N2 N3 n1 n2 n3
600 900 1000 30 60 90
i Comisión E
0,06 0,1 2470,65828
N1 N2 n1 n2 d Comisión E
900 1000 30 60 0,06 0,0015 1888,35
N' n' E
1920,35593 100 1888,35
1.8.- Se adquiere un artículo valorado en 3.159 € firmando tres letras, siendo la primera de
nominal 650 € y las restantes de nominal 1.300 €, con vencimientos respectivos a los 2,
5 y 8 meses, a un determinado tanto de descuento simple anual d.
a) Calcular el tanto d.
b) Un mes después de la firma de dichas letras, el poseedor de éstas las descuenta en un
banco que le aplica un tanto de interés del 5% y le cobra una comisión del 1%
sobre el nominal de cada letra. Calcular la cantidad que obtendrá.
c) Al llegar el vencimientos de la primera letra y una vez pagada ésta, el deudor propone
al banco sustituir las letras pendientes por dos letras de igual nominal con vencimiento
dentro de 6 y 9 meses. Por este cambio el banco le aplica un tanto de descuento del 6% y
le cobra una comisión del 1% sobre el nominal de las letras sustituidas.
Calcular el nominal de las nuevas letras.
(Sol: 6%; 3.156,65€; 1.333,77€).
900 30 60
E 600 900 1.000
i = 0,06 comisión = 0,1 descuento
1000
N'd = 0,06 comisión = 0,0015
66,470.2
)
005,0360
901
000.1
005,0360
601
900
005,0360
301
600000.1900600(1,0
005,0360
901
000.1
005,0360
601
900
005,0360
301
600E
36,920.1'
)000.1900(0015,0)06,0360
601(000.1)06,0
360
301(900)06,0
360
1001('
N
N
E N1 N2 N3 n1 n2 n3
3159 650 1300 1300 2 5 8
d E
0,06 3159
i Comisión E
0,05 0,01 3156,64932
N n1 n2 d Comisión E
1300 3 6 0,06 0,01 2567,5
N' n'1 n'2 E
1333,76623 6 9 2567,5
1.9.- Para pagar un artículo valorado en 2.885,33 € se firman tres letras de igual nominal
con vencimientos respectivos a los 3, 6 y 9 meses a un tanto de interés simple del 8%.
a) Calcular el nominal de dichas letras.
b) Un mes después de la firma de dichas letras, el poseedor de éstas las descuenta en un
banco que le aplica un tanto de descuento del 5% y le cobra una comisión del 0,5%
sobre el nominal de cada letra sustituida. Calcular la cantidad que obtendrá.
c) Al llegar el vencimiento de la primera letra y una vez pagada ésta, el deudor propone
80 2 5
3.159 650 1.300 1.300
d
60
N'd = 0,06 comisión = 0,01
06,0
)12
81(300.1)
12
51(300.1)
12
21(650159.3
d
ddd
65,156.3)300.1300.1650(01,0
05,012
71
300.1
05,012
41
300.1
05,012
11
650E
77,333.1'
))06,012
91()06,0
12
61((')300.12(01,0))06,0
12
61()06,0
12
31((300.1
N
N
al banco sustituir las letras pendientes por dos letras de igual nominal con vencimientos
dentro de 6 y 9 meses. Por este cambio el banco le aplica un tanto de descuento del 6% y
le cobra una comisión del 1% sobre el nominal de las letras sustituidas.
Calcular el nominal de las nuevas letras.
(Sol: 1.000€; 2.922,5€; 1.025,97€)
E N n1 n2 n3 i E
2885,33 1000,00109 3 6 9 0,08 2885,33
d Comisión E1
0,05 0,005 2922,5032
d Comisión E' N' n'1 n'2 E'
0,06 0,01 1975 1025,97403 6 9 1975
1.10.- El Señor López compra al Señor Pérez un DVD, para lo cual entrega 200 € en efectivo
y firma 3 letras de 200 € de nominal cada una y vencimientos a 30, 60, y 90 días.
Ese mismo día, el Señor Pérez presenta al descuento estas letras en un banco que le aplica
un 6% de descuento anual simple y le cobra una comisión del 1% sobre el nominal
de cada letra. A su vez, el banco vende estas letras a un inversor, para lo que aplica un 6%
de descuento anual simple y cobra una comisión del 1% sobre el nominal de cada letra.
Transcurridos 45 días, el Señor López propone al inversor sustituir las letras no vencidas
90 3 6
2.885,33 N N N
i = 0,08
60
N'd = 0,06 comisión = 0,01
000.1
08,012
7108,0
12
6108,0
12
31
33,885.2 NNNN
5,922.2)000.13(005,0
))05,012
51())05,0
12
51()05,0
12
21((000.1
97,025.1'
))06,012
91()06,0
12
61((')000.12(01,0))06,0
12
61()06,0
12
31((000.1
N
N
por una sola con vencimiento a los dos meses, aplicando un tanto de descuento anual
simple del 6% y una penalización del 2% sobre el nominal de cada letra que interviene
en la operación.
a) Calcular el precio al contado del DVD, sabiendo que el Señor Pérez cuando vende a
plazos recarga el precio del artículo en un 2% y divide esta cantidad en los plazos
acordados.
b) Calcular el beneficio de la operación realizada por el banco.
c) Calcular el nominal de la letra que sustituye a las letras no vencidas.
d) Plantear la ecuación que permite calcular la rentabilidad obtenida por el inversor.
¿Cuál sería esta ecuación si no se hubiera realizado la sustitución de las letras?.
(Sol: 784,31€; 12€; 418,56€).
PVC Beneficio N n1 n2 n3
784,313725 12 200 30 60 90
E' d Comisión N' n' E'
406 0,06 0,02 418,556701 2 406
900 30 60
200 200 200 200
d = 0,06 comisión = 0,01
20
N'd= 0,06 comisión = 0,02
31,78402,1
800800200402,1 PVCPVC
1260002,0)2003(01,0))06,0360
901())06,0
360
601()06,0
360
301((200
)2003(01,0))06,0360
901())06,0
360
601()06,0
360
301((200
56,418'
'02,0)06,012
21(')2002(02,0))06,0
360
451()06,0
360
151((200
N
NN
ii360
1051
56,418
360
301
20020031,784
1.11.- Un señor compra una máquina cosechadora, para lo cual entrega 2000 € en efectivo y
firma tres letras de 2000 € de nominal con vencimientos a 30, 60 y 90 días. El dueño de la
tienda, el mismo día en que se las entregan, las presenta al descuento en un banco que
le aplica un 6% de descuento anual simple y una comisión del 1% sobre el nominal de cada
letra. A los 15 días el banco vende estas letras a un inversor para lo que le aplica un 6%
de interés anual simple y una comisión del 0.2% sobre el nominal de cada letra.
a) Calcular el precio al contado de la máquina cosechadora, sabiendo que el vendedor
cuando vende a plazos recarga el precio del artículo en un 2% y divide esta cantidad
en los plazos acordados.
b) Calcular la cantidad recibida por el dueño de la tienda en la operación de descuento,
así como su beneficio por la operación realizada.
c) Calcular la cantidad pagada por el inversor al comprar las letras.
d) Calcular la rentabilidad de la operación realizada por el banco.
(Sol: a) 7.843,14€; b)5.880€; 36,86€; c)5.967,43€; d)35,69%).
PVC N n1 n2 n3 d Comisión
7843,13725 2000 30 60 90 0,06 0,01
E Beneficio i Comisión E'
5880 36,8627451 0,06 0,002 5967,43277
i
0,35685714 5967,43
1.12.- El señor Pérez compra un artículo firmando tres letras de nominal 1.000 € cada una al
5% de interés simple con vencimientos respectivos a los 7, 10 y 16 meses. Transcurrido un
900 30 60
2.000 2.000 2.000 2.000
d = 0,06 comisión = 0,01
'360
901
200
'360
601
200
'360
301
20020031,784
iii
86,3614,843.7880.5000.2880.5)000.23(01,0
))06,0360
901()06,0
360
601()06,0
360
301((000.2
Beneficio
43,967.5000.23002,0
06,0360
751
000.2
06,0360
451
000.2
06,0360
151
000.2
3569,0)360
151(880.543,967.5 ii
mes propone sustituir las tres letras por una sola de nominal 3.000 € para lo que le aplican
una ley de descuento comercial simple. Cuatro meses más tarde propone de nuevo
cambiar esta letra por dos de igual nominal con vencimiento dentro de 3 y 6 meses
respectivamente.
a) Calcular el vencimiento de la letra de 3.000 €.
b) Calcular el nominal de las dos últimas letras sabiendo que le aplican un tanto de interés
simple del 6% y le cobran una comisión del 3% sobre la letra sustituida.
c) Plantear la ecuación que nos da el tanto efectivo de la operación finalmente realizada
por el señor Pérez.
(Sol: 10 meses; 1.535,01€).
Se trata de calcular el vencimiento medio con la ley de descuento simple comercial,
que no depende del tanto de descuento utilizado:
n N n1 n2 n3 N'
10 1000 7 10 16 3000
También puede obtenerse planteando la ecuación de equivalencia y despejando:
N' i Comisión N'' E'' E''
3000 0,06 0,03 1535,00758 3002,62136 3002,62136
160 7 10
1.000 1.000 1.000
d = 0,06 comisión = 0,01
n0
E3.000
30
N''
i = 0,06 comisión = 0,03
mesesn 10000.3
)1596(000.1
mesesn
dn
ddd
10
)12
1(000.3))12
151()
12
91()
12
61((000.1
i PVC
0,05 2869,15992
1.13.- El señor X tiene pendientes tres letras de igual nominal con vencimientos a los 30,
60 y 90 días y propone cambiarlas por otras dos, una de 500 € con vencimiento dentro de
75 días y otra de 1.000 € con vencimiento dentro de 100 días. El cambio se acepta siendo
el tanto de descuento de la negociación del 8% anual simple. Cuando llega el vencimiento
de la letra de 1.000 € el señor X no tiene dinero suficiente para pagarla y firma un pagaré
con vencimiento dentro de 100 días aplicándose a la operación un tanto de interés del 10%
anual simple y cobrándose una comisión del 0,1% sobre el nominal de la letra sustituida.
Se pide:
a) Nominal de las tres letras iniciales.
b) Nominal del pagaré.
(Sol: 496,43€; 1.028,81€).
N n1 n2 n3 500 1000 d
496,433934 30 60 90 75 100 0,08
E E N' n' i Comisión E'
1469,44444 1469,44444 1028,80556 100 0,1 0,001 1000
900 30 60
N N N
d = 0,08
750
1.000
01,535.1''000.303,0
06,012
61
000.3
06,012
61
''
06,012
31
''N
NN
ee ii12
111
01,535.1
12
81
01,535.116,869.2
16,869.2
05,012
161
000.1
05,012
101
000.1
05,012
71
000.1PVC
43,496)08,0360
1001(000.1)08,0
360
751(500
))08,0360
901()08,0
360
601()08,0
360
301((
N
N
1.14.- El señor López compra tres letras de igual nominal y vencimientos respectivamente
a los 30, 60 y 90 días pagando un 5% de descuento simple comercial y una comisión
del 0,3% sobre el nominal. Calcular la cantidad pagada por éste sabiendo que estas tres
letras habían sido obtenidas 15 días antes por otro comerciante al vender una lavadora
valorada en 740,88 € aplicando en la operación un tanto de interés anual del 6%.
El señor López, 45 días después de la compra, acepta cambiar las letras no vencidas
por una de 550 € aplicando a la operación un tanto de interés simple anual del 7%
y una comisión de un 2% sobre el nominal de cada letra. Calcular el vencimiento
de dicha letra. (Sol: 746,13€; 316 días).
N i d Comisión i' Comisión
250,042935 0,06 0,05 0,003 0,07 0,02
740,88 E E' X n'
746,128117 497,189801 550 497,189808 315,687221
1.15.- El señor López posee un pagaré con vencimiento dentro de 120 días que descuenta
al 6% de interés y comisión del 1% obteniendo 7.918,4 €. También tiene una letra de
nominal 6.000 € y vencimiento dentro de 7 meses que descuenta al 7% de descuento
y comisión del 1%. Con el dinero obtenido por las dos operaciones compra una máquina
necesaria para su empresa valorada en 15.000 €, pagando en dicho momento la cantidad
90-15 30 45
N N N
i = 0,06
0
81,028.1'000.1001,0
1,0360
1001
'000.1 N
N
042935,250
06,0360
105106,0
360
75106,0
360
451
88,740 NNNN
128,746042935,2503003,0
)05,0360
901()05,0
360
601()05,0
360
301(042935,250E
69,315'
07,0360
'1
550)550042935,2502(02,0
07,0360
451
042935,250
07,0360
151
042935,250n
n
de dinero que tiene y firmando dos letras de igual nominal y vencimientos a los 30
y 60 días respectivamente, valoradas al 8% de descuento anual simple. A los 45 días de la
compra y sin poder hacer frente al pago de la letra pendiente plantea cambiarla por otra
de vencimiento a los 30 días. Le aceptan la proposición valorando al mismo tanto de
descuento y comisión del 0,5% sobre el nominal de las letras que intervienen en la
operación. Calcular:
a) El nominal de las dos letras que firma el señor López para pagar la máquina.
b) El nominal de la última letra firmada por el señor López.
c) El nominal del pagaré.
(Sol: a)700,3€; b)709,75€; c) 8160€).
N n i Comisión E
8160 120 0,06 0,01 7918,4 7918,4
E' n' d Comisión N' E+E' 15000-E-E'
5695 7 0,07 0,01 6000 13613,4 1386,6
1200
7.918,4 N
70
E 6.000
d = 0,07 Comisión 0,01
i = 0,06 Comisión 0,01
750 45 60
15.000-13.613,4 N'' N'' X
d = 0,08 Comisión 0,005
4,613.13695.54,918.7'
695.5000.601,007,012
71000.6'
160.801,0
06,0360
1201
4,918.7
EE
E
NNN
N'' d Comisión E''
700,30303 0,08 0,005 1386,6 1386,6
E''' X
697,968687 697,968687 709,750626
1.16.-Tres letras de la misma cuantía con vencimientos a los 90, 120 y 150 días fueron
sustituidas por dos letras de nominal 10.000 € con vencimientos a 4 y 10 meses,
pactándose un interés del 6%. Al mes siguiente estas letras son vendidas libres de
comisiones a un inversor que aplicó un tanto de descuento del 6% y tuvo unos gastos
de 30 €. Transcurridos otros tres meses dicho inversor hace efectiva la primera letra
y vende la segunda cobrando una comisión del 0,1% sobre su nominal, obteniendo un
rendimiento bruto del 2% sobre su inversión. Calcular el nominal de las tres letras, la
cantidad pagada por el inversor, el tanto de descuento aplicado en la venta de la segunda
letra y la rentabilidad que obtendrá el comprador de ésta si espera al vencimiento.
(Sol: 6.571,32€; 19.430€; 3,828%; 3,695%).
E i
19327,7311 10000 4 10 0,06
N n1 n2 n3
6571,3233 90 120 150 19327,7311
1500 120
E N N N
100 1
E 10.000 10.000
i = 0,06 d = 0,06 Gastos: 30
3,700''
)08,0360
601()08,0
360
301(''6,386.14,613.13000.15
N
N
75,709
08,0360
3013,700005,008,0
360
1513,700
X
XX
32,571.6
06,012
101
000.10
06,012
41
000.10
06,0360
150106,0
360
120106,0
360
901
NNNN
E' Gastos d' r E'' d'' Comisión
19430 30 0,06 0,02 19818,6 0,03828 0,001
r' PC
19818,6 0,03695028 9818,6 10000
1.17.- Para comprar un artículo un señor firmó 4 letras con vencimientos respectivos a 90,
120, 150 y 210 días, de nominales 1000, N, 1000 y N unidades monetarias respectivamente.
Un mes más tarde propone al vendedor sustituirlas por dos letras una de nominal 2000
unidades monetarias y vencimiento a 90 días y otra de nominal 2N con vencimiento
desconocido. Calcular dicho vencimiento si en la operación de sustitución se usa la
ley de descuento comercial simple.(Sol: 135 días)
N n1 n2 n3 n4 Sustitución
1.000 90 120 150 210 30
2 N n1 - 30 n2 - 30 n3 - 30 n4 - 30 n
2000 0 60 90 120 180 135
n0
E 2 N2.000
2100 30 150
E 1.000 N N
Descuento Comercial Simple
03695,0'000.10'12
616,818.9
)(6,818.9000.106,818.19
03828,0''000.10001,0''12
61000.10000.106,818.19
6,818.19430.1902,1'02,1''
430.193006,012
9106,0
12
31000.10'
rr
compradeprecio
dd
EE
E
díasndn
Nd
dNddNd
135360
12360
901000.2
360
1801
360
1201000.1
360
901
360
601000.1
1.18.-El señor Pérez compra un artículo de precio 4.500 € firmando cuatro letras de igual
nominal y con vencimientos sucesivos de 30 en 30 días, siendo el vencimiento de la
primera a los 60 días de la compra y el tanto de interés anual simple del 4%.
Transcurridos quince días el vendedor acude al banco a descontar las letras y el banco le
ofrece hacer la operación a tanto de descuento anual del 5% para las letras con
vencimiento hasta 90 días y a partir de los 90 días cobra un tanto de descuento mensual del
0,42%, además de una comisión en ambos casos del 1% sobre el nominal de cada letra.
El comprador llegado el vencimiento de la primera letra y una vez pagada esta propone
sustituir las tres letras restantes por una sola con vencimiento dentro de 100 días, para
lo que le aplican un tanto de descuento comercial simple del 5% y una comisión del 4%
sobre el descuento de cada letra sustituida. Se pide: a) Nominal de las letras firmadas por
el comprador; b) Efectivo recibido en la operación de descuento por el vendedor;
c) Nominal de la última letra que sustituye a las otras tres.
(Sol: 1.138,11€; 4.449,7€; 3.434,72€).
N i E E' d d'12 Comisión
1138,10956 0,04 4500 4449,70486 0,05 0,0042 0,01
E'' d'' Comisión X n''
3387,01404 0,05 0,04 3434,71846 100 3387,01404
1.19.- El señor López negocia un pagaré por el que pagó hace 9 meses 4.500 € y que le ha
rendido un 8% de interés. El dinero obtenido por el pagaré lo destina a la compra de un
vehículo que le cuesta 20.574 € , financiando el resto hasta el total mediante la firma de
dos letras de igual nominal con vencimiento a los 30 y 60 días respectivamente, y una
tercera de doble nominal con vencimiento a los 90 días, para las que se aplica un tanto
4.500 N
1500 90 120
N N
i = 0,04
15
10956,138.1
04,0360
150104,0
360
120104,0
360
90104,0
360
601
500.4 NNNNN
70486,449.410956,138.1401,0
0042,030
13510042,0
30
105110956,138.105,0
360
75105,0
360
45110956,138.1'E
71846,434.305,0360
1001
05,0360
90105,0
360
60105,0
360
30110956,138.110956,138.1304,0
05,0360
90105,0
360
60105,0
360
30110956,138.1
XX
de descuento del 6% junto con una comisión sobre el nominal del 0,1%. Cuando llega el
momento de abonar la primera letra y antes de hacerlo decide sustituirlas por una sola
con vencimiento a los 75 días, el tanto de interés aplicado a la operación es del 6%
y la comisión del 0,1% sobre el nominal de las letras sustituidas. Calcular: a) Nominal del
pagaré; b) Nominal de las tres letras que firma en el momento de la compra;
c) Nominal de la letra que las sustituye; d) Interés efectivo del comprador.
(Sol: a) 4.770€; b) 4000€, 8000€; c) 16.115,85€; d) 6,77% ).
Co i C9 PVC financiado
4500 0,08 4770 20574 15804 15804
N n1 n2 2 N n3 d Comisión
4000 30 60 8000 90 0,06 0,001
N' n' i' Comisión E'
16115,8527 75 0,06 0,001 15916,8916 15916,8916
i''
0,06765435 20574
C0
9
C9
1050 30 60
20.574 - 4.770 N N'2N
i'= 0,06 comisión: 0,001
90
770.4)08,012
91(500.4)
12
91(09 iCC
000.4001,0406,0360
9012
)06,0360
601()06,0
360
301(804.15770.4574.20
NNN
N
8527,115.16'
06,0360
751
'
)000.8000.42(001,0
06,0360
601
000.8
06,0360
301
000.4000.4
NN
1.20.-Para el pago de una deuda, cierta persona hace entrega de dos pagarés de 6.000 y
9.000 € con vencimientos respectivos a los 4 y 6 meses. Transcurrido un mes, acuerda
recoger los dos pagarés y sustituirlos por tres letras valoradas al tanto de interés simple
anual del 6%.
a) Suponiendo que los vencimientos de las letras son a los 2, 5 y 8 meses de recoger los
pagarés, y los nominales de las dos primeras letras son 4.000 y 6.000 €, calcular el nominal
de la última letra, sabiendo que le cobran de comisión un 2% sobre el nominal de cada
letra que interviene en la operación.
b) Calcular el tanto de descuento simple anual equivalente de la operación anterior.
c) Suponiendo que las letras son de cuantía 5.000, 6.000 y 4.000 € y los vencimientos de las
dos primeras son a los 2 y 4 meses de recoger los pagarés, calcular el vencimiento de la
última letra, si en este caso no cobran la comisión y el tanto de descuento anual simple
es del 5 %. (Sol: 5.393,05 €; 5,63%; 7 meses y 7 días).
N1 N2 n1 n2 i E
6000 9000 4 6 0,06 14691,8179 14691,8179
N'1 N'2 N'3 n'1 n'2 n'3 Comisión
4000 6000 5393,04928 2 5 8 0,02
d N'1 N'2 N'3 n'1 n'2
0,05634024 0 5000 6000 4000 2 4
n'3 d'
7,25 0,05 14737,5 14737,5
60
E 9.000
i = 0,06
80 2 5
4.000 6.000 N'3
i = 0,06 Comisión: 0,02
n'30 2 4
5.000 6.000 4.000
d= 0,05
06765,0''
''360
1051
8527,115.16770.4574.20 i
i
1.21.- El señor López, que anuncia en su publicidad que vende a crédito sin intereses,
vende al señor Sánchez un ordenador que éste ofrecerá a su hijo como regalo de fin de
carrera. Para la compra el señor Sánchez entrega en ese momento 100 euros y conviene en
pagar el resto mediante 9 letras mensuales de 100 euros, siendo el vencimiento de la
primera un mes después de la compra. A los seis meses y una vez pagada la letra
correspondiente, el señor Sánchez propone al señor López sustituir las letras restantes por
dos letras de igual nominal con vencimientos a 6 y 9 meses, aplicando para ello un tanto
de descuento del 4% y una comisión del 1% sobre el nominal de las letras sustituidas.
Una vez realizada la sustitución, el señor López descuenta estas letras en un banco que
aplica para ello un tanto de interés del 4% y una comisión del 1% sobre las letras
sustituidas, obteniendo la cuantía necesaria para comprar un pagaré que vence dentro de
3 meses y rinde un 5% de interés anticipado.
Calcular el precio de venta del ordenador, el nominal de las letras que sustituyen a las
firmadas originalmente por el señor Sánchez, la cuantía obtenida por el señor López
al descontar las letras y el nominal del pagaré comprado por éste. E'
(Sol: 1.000 €; 154,36 €; 298,11 €; 301,88 €). 301 298,10823
Contado N PVC N' n'1 n'2 d
100 100 1000 154,358974 6 9 0,04
Comisión E i Comisión n'' i* N''
0,01 301 0,04 0,01 3 0,05 301,881752
2/120 1/12
100
9/12
... ...
049,393.5')'000.6000.4(02,0
06,012
81
'
06,012
51
000.6
06,012
21
000.4
06,012
51
000.9
06,012
31
000.6
33
3
NN
N
05634,0
)12
81(049,393.5)
12
51(000.6)
12
21(000.4
)049,393.5000.6000.4(02,0)12
51(000.9)
12
31(000.6
d
ddd
dd
mesesn
n
25,7'
)05,012
'1(000.4)05,0
12
41(000.6)05,0
12
21(000.5
)05,012
51(000.9)05,0
12
31(000.6
3
3
000.11009100PVC
1.22.- El señor López compra un artículo firmando tres letras de nominal 3.000 € cada una al
5% de interés con vencimientos respectivos a los 8, 11 y 17 meses.Transcurridos dos meses
propone sustituir las tres letras por una sola de nominal 9.000 € para lo que le aplican una
ley de descuento comercial simple. Cuatro meses más tarde propone de nuevo cambiar
esta letra por dos de igual nominal con vencimientos dentro de 4 y 7 meses
respectivamente.
a) Calcular el vencimiento de la letra de 9.000 €.
b) Calcular el nominal de las dos últimas letras sabiendo que le aplican un tanto de interés
simple del 6% y le cobran una comisión del 4% sobre las letras que intervienen en la
operación.
c) Plantear la ecuación que nos da el tanto efectivo de la operación finalmente realizada
por el señor López. (Sol: 10 meses;4.874,09 €; 8.573,31 €).
N n1 n2 n3 i N' n'
3000 8 11 17 0,05 9000 10
N'' n''1 n''2 Comisión i' E'
4874,0932 4 7 0,04 0,06 8737,86408 8737,86408
PVC ie
8573,30812 0,14329165 8573,30812
90
N'
i = 0,04 Comisión: 0,01
N'
d = 0,04 Comisión: 0,01
170 8 11
PVC 3.000 3.000 3.000d
n'4
E' 9.000d
36,154')04,012
91()04,0
12
61('
100301,0)04,012
31()04,0
12
21()04,0
12
11(100
NN
88,301
)05,012
31(
10823,298
*)12
31(
'''
10823,29836,154201,0
)04,012
91(
36,154
)04,012
61(
36,154'
i
EN
E
1.23.- Para comprar un artículo valorado en 6.500 euros, entregamos 575 euros en efectivo
y firmamos 3 letras de igual nominal y vencimientos a los 60, 90 y 120 días
respectivamente, para lo cual nos aplican un tanto de descuento del 5 %. Transcurridos
45 días, dichas letras son vendidas a un inversor, aplicándole un tanto de interés del 6 %
y una comisión del 0,3 % sobre el nominal de cada letra. Cuando llega el vencimiento de
la primera letra, y no disponiendo de dinero, proponemos al inversor cambiar las letras
por una sola con vencimiento dentro de 4 meses, el inversor acepta y nos aplica un tanto
de descuento del 4 % y una comisión del 2 % sobre el nominal de las letras sustituidas.
Se pide:
a) Calcular el nominal de las tres primeras letras.
b) Cantidad pagada por el inversor.
c) Nominal de la letra que sustituye a las anteriores.
(Sol,: 2.000 euros, 5.937,43 euros, 6.182,43 euros)
i = 0,06 Comisión: 0,04
7
N''E'
1200 45 90
E' N N N
i = 0,06 Comisión: 0,003
mesesn
dn
d
dn
ddd
103
1596'
12
'000.9000.9
12
1596000.3000.9
)12
'1(000.9)
12
151()
12
91()
12
61(000.3
09,874.4''
)06,012
71(
''
)06,012
41(
'')''2000.9(04,0
)06,012
61(
000.9N
NNN
)12
131(
09,874.4
)12
101(
09,874.430812,573.8
30812,573.8
)05,012
171(
000.3
)05,012
111(
000.3
)05,012
81(
000.3
ee ii
PVC
PVC Entrega Resto N n1 n2 n3
6500 575 5925 2000 60 90 120
d i Comisión E' d' Comisión
0,05 5925 0,06 0,003 5973,43277 0,04 0,02
N' n' E''
6182,43243 4 6100 6100
1.24.- El señor A negocia un pagaré por el que pagó hace seis meses 3.000 euros y que le
ha rendido un 7 % de interés. La cantidad obtenida por el pagaré la destina a la compra de
un artículo que le cuesta 25.245 euros, financiando el resto hasta el total mediante la
firma de 3 letras de igual nominal con vencimiento a los 30, 60 y 90 días respectivamente,
y una cuarta letra de doble nominal con vencimiento a los 120 días, para las que se aplica
un tanto de descuento del 6 % y una comisión sobre los nominales del 0,2 %.
Cuando llega el momento de pagar la primera letra y antes de hacerlo decide sustituirlas
por una sola con vencimiento a los 75 días, el tanto de interés aplicado a la operación es
del 5 % y la comisión del 0,1 % sobre el nominal de las letras sustituidas. Calcular:
a) Nominal del pagaré y nominal de las cuatro letras que firma en el momento de la
compra; b) Nominal de la letra que las sustituye.
c) Tanto de interés efectivo del comprador.
(Sol.: 4.500 y 9.000 euros, 22.588,40 euros, 6,94 %)
Co i C6 PVC Financiado N 2 N
3000 0,07 3105 25245 22140 4500 9000
60
3.000 C6
1050 60 90
25.245-3.105 N N 2 N
d = 0,06 Comisión: 0,002
000.2)05,0360
1201()05,0
360
901()05,0
360
601(925.5575500.6 NN
43,182.6')04,012
41('
000.2302,0)04,0360
601(000.2)04,0
360
301(000.2000.2
43,5973000.23003,0
)06,0360
751(
000.2
)06,0360
451(
000.2
)06,0360
151(
000.2'
NN
E
d Comisión n1 n2 n3 n4 E
0,06 0,002 30 60 90 120 22140
X i Comisión E' ie
22588,3967 0,05 0,001 22355,5266 22355,5266 0,06943812 22140
1.25.- El señor A compra un artículo valorado en 10.000 euros, para lo cual, entrega en
efectivo 200 euros y firma 3 letras de igual nominal y vencimientos sucesivos de 30 en 30
días siendo el vencimiento de la primera letra un mes después de la compra y el tanto de
interés de la operación del 4 %. Transcurridos 15 días el vendedor, necesitando efectivo,
acude a descontar las letras a un banco que le ofrece un tanto de descuento del 5 %,
cobrándole una comisión del 0,5 % sobre el nominal de cada letra. El señor A llegado el
vencimiento de la primera letra y una vez pagada ésta, propone al banco sustituir las
letras impagadas por una única que venza dentro de cuatro meses, para lo cual le aplican
un descuento del 4 % y un comisión del 0,1 % sobre el nominal de las letras sustituidas.
Se pide:
a) Nominal de las 3 primeras letras firmadas por el señor A.
b) Líquido obtenido por el vendedor.
c) Nominal de la letra que sustituye a las impagadas.
(Sol.: 3.288,42 euros, 9.754,28 euros, 6.639,05 euros)
900 15 60
10.000 - 200 N N N
d= 0,04 Comisión: 0,001
40
E' N'
105.3)07,012
61(000.36C
500.4002,05)06,0360
1201(2
)06,0360
901()06,0
360
601()06,0
360
301(140.22105.3245.25
NNN
N
0694,0
360
1051
3967,588.22140.22
3967,588.22
05,0360
751
001,0500.45
05,0360
901
000.9
05,0360
601
500.4
05,0360
301
500.4500.4
e
e
i
i
XX
PVC Entrega Financiado N n1 n2 n3
10000 200 9800 3288,42041 30 60 90
i d Comisión E d' Comisión
0,04 9800 0,05 0,005 9754,27703 0,04 0,001
E' N' n'
6550,53345 6639,05417 4 6550,53345
42,288.3
04,0360
90104,0
360
60104,0
360
301
800.9200000.10 NNNN
277,754.942,288.33005,0
)05,0360
751()05,0
360
451()05,0
360
151(42,288.3E
05,639.6')04,012
41('
42,288.32001,0)04,0360
601()04,0
360
301(42,288.3
NN