FÍSICA TEÓRICA 1 − 2do. Cuatrimestre 2010

Notas de la práctica sobre la Guía 5: aproximación cuasiestacionaria

1 Repaso 1

2 Solenoide con una corriente variable (problema 7) 9

3 Otra versión del solenoide con corriente variable (problema 8) 14

4 Problema 12 16

5 Problema 16 19

6 Espira en un campo magnético externo (problema 6) 22

7 Problema 17 24

Aquí figuran resueltos varios de los problemas de la guía 5. Los que no están incluidos en estas notas son ensu mayoría los que en la guía van acompañados de una referencia bibliográfica. También pueden consultarlos papers que hay para bajar en la página, que incluyen un par acerca de cuasiestacionario.

1 Repaso

Primero vamos a definir un esquema para resolver de manera aproximada problemas dependientes del tiempo.En los problemas que trataremos las fuentes ρ y j serán dato. Esto excluye problemas que involucren con-ductores reales, ya que en ese caso las fuentes son también parte de las incógnitas.

Para no complicar la explicación con detalles innecesarios, tomaremos como punto de partida las ecua-ciones de Maxwell con ε = µ = 1 en todo el espacio,

∇ · E = 4πρ, ∇× E = −1

c

∂B

∂t,

∇ ·B = 0, ∇×B =4π

cJ +

1

c

∂E

∂t. (1)

Escribiremos la solución en la siguiente forma

E(r, t) = E0(r, t) + E1(r, t) + E2(r, t) + . . . ,

B(r, t) = B0(r, t) + B1(r, t) + B2(r, t) + . . . (2)

1

En algún sentido que habrá que precisar, el índice n representa el orden de cada término en la expansión. Demanera informal uno diría que

En+1 En, Bn+1 Bn. (3)

Vamos a asumir que al derivar los campos de orden n respecto del tiempo se obtienen magnitudes de ordenn+ 1; más abajo veremos cómo justificar esto mejor. Bajo este supuesto podemos escribir las ecuaciones deMaxwell orden por orden en n, igualando a derecha e izquierda cantidades del mismo orden. Supondremos,para simplificar un poco el argumento, que J y ρ son magnitudes de orden cero en n, aunque lo habitual esque una sola de ellas sea de orden cero y la otra de orden superior. De todas formas veremos que es necesariointroducir una modificación posterior en este esquema. Por ahora sigamos así. A orden cero quedan lasecuaciones

∇ · E0(r, t) = 4πρ(r, t), ∇× E0(r, t) = 0,

∇ ·B0(r, t) = 0, ∇×B0(r, t) =4π

cJ(r, t), (4)

y a orden n > 0

∇ · En(r, t) = 0, ∇× En(r, t) = −1

c

∂

∂tBn−1(r, t),

∇ ·Bn(r, t) = 0, ∇×Bn(r, t) =1

c

∂

∂tEn−1(r, t). (5)

Este sería el esquema de resolución de un problema dinámico por medio de aproximaciones sucesivas. Loscampos de orden n+ 1 pueden resolverse en términos de los campos de orden n. El orden cero correspondea un problema estático.

Para ver cuál es el significado de lo que estamos llamando orden n, vamos a tomar un camino un pocomás largo, pero llegaremos a las mismas ecuaciones de antes. Lo que sigue es sólo a manera de justificación;con lo anterior alcanza. Empecemos por escribir la solución del problema (1) en la forma

E(r, t) = E0(r, t) + δE(r, t), B(r, t) = B0(r, t) + δE(r, t), (6)

donde E0 y B0 son las soluciones que se obtienen al hacer ∂E/∂t = ∂B/∂t = 0 en las ecuaciones deMaxwell, es decir, son las soluciones de (4). Hasta aquí no hay ningún contenido, porque sea lo que sea lasolución exacta, siempre la podremos escribir de esa forma eligiendo δE y δB adecuadamente. No hemoshecho más que definir esas cantidades. Las ecuaciones que satisfacen son

∇ · δE = 0, ∇× δE = −1

c

∂B0

∂t− 1

c

∂δB

∂t.

∇ · δB = 0, ∇× δB =1

c

∂E0

∂t+

1

c

∂δE

∂t. (7)

2

Para escribir a su vez δE y δB como un desarrollo de la forma (2), de alguna manera hay que identificar enel problema algo a lo que podamos atribuir el significado de un orden. Una manera habitual para llegar aeso es adimensionalizar. Podemos adimensionalizar las variables r y t escribiéndolas en términos de algunadistancia y de algún tiempo característicos del sistema. Sean L y T esas magnitudes características delsistema, entonces escribamos

r = L r′, t = Tt′. (8)

Aquí r′ y t′ son variables adimensionales. Típicamente interesarán distancias y tiempos, r′ y t′, del ordende unas pocas unidades. Si están haciendo física del sistema solar, L puede ser una unidad astronómica yT un año terrestre. En física atómica, L podrá ser el radio de Bohr y T el período del electrón en el nivelfundamental del átomo de Bohr, por decir algo. Uno adapta las unidades de medida al problema particular.Con las variables adimensionalizadas, los operadores diferenciales se escriben como

∇ =1

L∇′, ∂

∂t=

1

T

∂

∂t′. (9)

Las ecuaciones para δE y δB en términos de las nuevas variables pasan a ser

∇′ · δE = 0, ∇′ × δE = − L

cT

(∂B0

∂t′+∂δB

∂t′

).

∇′ · δB = 0, ∇′ × δB =L

cT

(∂E0

∂t′+∂δE

∂t′

). (10)

Es aquí donde uno identifica el parámetro pequeño que servirá para definir lo que se entenderá por el orden

de cada término de la expansión. Ese parámetro es

ε =L

cT. (11)

Puesto que algo sabemos de electromagnetismo, no es aventurado asociar la distancia cT a la longitud de ondacaracterística de la radiación emitida por el sistema. De manera que lo que ε está midiendo es la relación entrelas escalas de distancia típicas del problema y la longitud de onda de la radiación que uno espera que emita.Si L es mucho menor que la longitud de onda, entonces ε será mucho menor 1. En el límite en que T −→∞,es ε = 0, y las ecuaciones para δE y δB son todas homogéneas. Con ε finito, la forma de las ecuaciones(10) permite de manera natural definir una expansión en órdenes de ε. El parámetro pequeño está a la vista,a diferencia de las ecuaciones (1) y (5). Ahora rescribimos las ecuaciones (10) como

∇′ · δE = 0, ∇′ × δE = −ε(∂B0

∂t′+∂δB

∂t′

).

∇′ · δB = 0, ∇′ × δB = ε

(∂E0

∂t′+∂δE

∂t′

), (12)

3

e introducimos la expansión de los campos en potencias de ε,

δE = ε δE1 + ε2 δE2 + . . . , δB = ε δB1 + ε2 δB2 + . . . . (13)

Con ε escrito explícitamente por todos lados, es relativamente sencillo ir apartando las ecuaciones que resultanorden por orden en ε para n ≥ 1,

∇′ · δEn = 0, ∇′ × δEn = −∂δBn−1

∂t′.

∇′ · δBn = 0, ∇′ × δBn =∂δEn−1

∂t′, (14)

donde debe entenderse que δE0 = E0, y del mismo modo para δB0. Haciendo la identificación

En = εn δEn, Bn = εn δBn, (15)

y volviendo a las variables r y t originales se obtienen para En y Bn las ecuaciones (5).Debe quedar claro que este camino que hemos tomado, de adimensionalizar y escribir las ecuaciones

haciendo evidente las potencias de ε, está contenido de manera implícita en las ecuaciones (5) y en el hechode haber asumido que la derivada temporal de un campo de orden n es de orden n+1. No hace falta que cadavez que vayan a resolver un problema de cuasiestacionario repitan todo ese proceso. Basta saber que en lasecuaciones para los campos de orden n, a la derecha de las ecuaciones aparecen los campos de orden n− 1.Además no todos los problemas poseen escalas definidas L y T . Por ejemplo, el problema de una carga q enmovimiento uniforme puede ser analizado en términos de campos cuasiestáticos, pero ahí no hay una escalaevidente de distancias ni de tiempos. Lo que hace las veces de parámetro pequeño es el cociente v/c, dondev es la velocidad de la carga.

Fíjense que hasta aquí tampoco hemos asumido ninguna forma particular para la variación temporal de lasfuentes y los campos. No hemos dicho en ningún momento que los campos eran armónicos. Muchas vecesuno se ata a la definición de cuasiestacionario en términos de campos que tienen dependencias del tipo e−iωt.No hay por qué obligarse a eso, aunque no puede negarse que al tratar con campos que dependen del tiempocomo e−iωt es muy sencillo llevar la cuenta del orden de la aproximación, pues queda dado en términos de laspotencias de ω. Ahí uno escribe las ecuaciones orden por orden en ω. Pero fuera de eso, no hay una verdaderanecesidad en usar campos armónicos. A favor de los campos armónicos podemos decir que cualquier funcióndel tiempo puede escribirse como una transformada de Fourier, de modo que resolver los campos asumiendouna dependencia armónica resuelve todos los problemas, porque cualquier problema puede escribirse comouna superposición de campos armónicos. Supongan que les dan fuentes ρ(r, t) y J(r, t). Esas fuentes puedenescribirse en términos de sus transformadas de Fourier,

ρ(r, t) =

∫ ∞−∞

dω e−iωt ρω(r), J(r, t) =

∫ ∞−∞

dω e−iωt Jω(r). (16)

De igual forma pueden escribirse los campos,

E(r, t) =

∫ ∞−∞

dω e−iωt Eω(r), B(r, t) =

∫ ∞−∞

dω e−iωt Bω(r). (17)

4

Al reemplazar en las ecuaciones de Maxwell y al hacer explícitamente las derivadas temporales resulta∫ ∞−∞

dω e−iωt ∇ · Eω(r) = 4π

∫ ∞−∞

dω e−iωt ρω(r),

∫ ∞−∞

dω e−iωt ∇× Eω(r) =

∫ ∞−∞

dω e−iωtiω

cBω(r),

∫ ∞−∞

dω e−iωt ∇ ·Bω(r) = 0,

∫ ∞−∞

dω e−iωt ∇×Bω(r) =

∫ ∞−∞

dω e−iωt[

4π

cJω(r)− iω

cEω(r)

]. (18)

Puesto que se están comparando desarrollos de Fourier, la igualdad de las integrales implica la igualdad delos integrandos,

∇ · Eω = 4πρω, ∇× Eω =iω

cBω,

∇ ·Bω = 0, ∇×Bω =4π

cJω −

iω

cEω. (19)

A partir de aquí pueden resolverse las ecuaciones orden por orden en ω, proponiendo para los campos lassiguientes expansiones

Eω = E(0)ω + ωE(1)

ω + ω2E(2)ω + . . . ,

Bω = B(0)ω + ωB(1)

ω + ω2B(2)ω + . . . (20)

Las ecuaciones de orden cero son

∇ · E(0)ω = 4πρω, ∇× E(0)

ω = 0,

∇ ·B(0)ω = 0, ∇×B(0)

ω =4π

cJω, (21)

mientras que para n > 0

∇ · E(n)ω = 0, ∇× E(n)

ω =i

cB(n−1)ω ,

∇ ·B(n)ω = 0, ∇×B(n)

ω = − icE(n−1)ω . (22)

Si las fuentes ya están dadas en términos de funciones armónicas, no vale la pena usar transformadas deFourier, ni tampoco usar las ecuaciones (5) en su forma general. Lo más práctico es trabajar con campos

5

complejos. Por ejemplo, si el dato es que ρ = 0 y J(r, t) = J(r) cosωt, en lugar de resolver las ecuacionescon esas fuentes, uno las resuelve con J(r) e−iωt, proponiendo para los campos esa misma dependenciatemporal,

E(r) e−iωt, B(r) e−iωt. (23)

Puesto que la corriente física real del problema es la parte real de J(r) e−iωt, la solución del problema originalse consigue tomando la parte real de los campos que resultan con las fuentes complejas,

E(r, t) = Re[E(r)e−iωt

], B(r, t) = Re

[B(r)e−iωt

]. (24)

Y, por el mismo precio, tomando menos la parte imaginaria tienen la solución del problema en que la corrientees J(r, t) = J(r) sinωt.

La justificación de este método debe buscarse en la linealidad de las ecuaciones de Maxwell. Si ρ =

ρR + iρI, y análogamente para J, los campos podrán escribirse a su vez como

E = ER + iEI, B = BR + iBI. (25)

Aquí ρR, ρI,ER, etc. son todas funciones reales. Tomemos por ejemplo la ecuación para el rotor de B, quese lee como

∇× [BR + iBI] =4π

c[JR + iJI] +

1

c

∂

∂t[ER + iEI] . (26)

Como todas las operaciones son lineales en los campos, podemos igualar inmediatamente partes reales eimaginarias a cada lado de la ecuación,

∇×BR =4π

cJR +

1

c

∂

∂tER,

∇×BI =4π

cJI +

1

c

∂

∂tEI. (27)

Todas las ecuaciones de Maxwell admiten una separación similar. Esto significa que una vez hallados E yB, sus partes reales e imaginarias son las soluciones de los problemas que tienen como fuentes a las partesreales e imaginarias de las fuentes complejas, respectivamente. Resolver el problema con fuentes complejasresuelve simultáneamente dos problemas.

Usar campos y fuentes complejas evita maniobrar con senos y cosenos. Pero debe tenerse cuidado alcalcular magnitudes que no sean funciones lineales de los campos. Por ejemplo,

S(r, t) =c

4πE(r, t)×B(r, t). (28)

Si lo que se quiere es S(r, t), los campos que deben usarse son los campos físicos reales. Si las fuentes físicasson la parte real de ρ(r)e−iωt y de J(r)e−iωt, entonces

S(r, t) =c

4πRe[E(r) e−iωt

]× Re

[B(r) e−iωt

]. (29)

6

Es incorrecto construir S con los campos complejos y luego tomar la parte real del resultado,

S(r, t) 6= c

4πRe[E(r) e−iωt ×B(r) e−iωt

]. (30)

Sin embargo, si lo que se quiere es calcular el promedio temporal de cantidades cuadráticas en los campos,puede usarse el siguiente resultado: si A(t) = Re[Ae−iωt] y B(t) = Re[Be−iωt], entonces

〈AB〉 =1

2Re [AB∗] , (31)

donde 〈. . .〉 significa el promedio temporal. La demostración de esta propiedad es como sigue:

〈AB〉 =⟨Re[Ae−iωt]Re[Be−iωt]

⟩=

1

4

⟨(Ae−iωt + A∗eiωt

) (Be−iωt +B∗eiωt

)⟩

=1

4

⟨ABe−2iωt + (AB)∗ e2iωt + 2Re [AB∗]

⟩. (32)

Ahora bien, el promedio temporal de los factores exponenciales es cero, así que sólo sobrevive el últimotérmino, y resulta la relación que quería demostrarse. Aquí no tiene ninguna importancia si A y B sonescalares o vectores, o el modo en que se realiza su producto, siempre que sea una forma bilineal. Puedendemostrar ustedes que el resultado sigue valiendo aun cuando los campos físicos se obtengan de tomar laparte imaginaria de los campos complejos.

En el caso del vector de Poynting deberíamos escribir

〈S(r)〉 =c

8πRe [E(r)×B∗(r)] . (33)

La densidad de energía puede servir como otro ejemplo,

〈uEM〉 =1

16πRe[E · E∗ + B ·B∗

]=

1

16π

(|E|2 + |B|2

). (34)

Nota sobre la ecuación de continuidad

Antes de pasar a los problemas de la guía, tenemos que decir algo acerca de las fuentes ρ(r, t) y J(r, t) yde la forma en que son tratadas en el esquema de aproximaciones sucesivas. En lo que hicimos antes puedehaber una inconsistencia. Hemos dicho que los campos de orden cero satisfacen las ecuaciones de Maxwellluego de anular las derivadas temporales,

∇ · E0(r, t) = ρ(r, t), ∇× E0(r, t) = 0,

∇ ·B0(r, t) = 0, ∇×B0(r, t) =4π

cJ(r, t). (35)

7

Se supone que las fuentes ρ y J son datos. Ahora bien, estas cantidades están vinculadas por la ecuación decontinuidad,

∂

∂tρ(r, t) +∇ · J(r, t) = 0, (36)

de manera que si ρ varía en el tiempo la divergencia de J no puede ser cero. Pero la ecuación∇×B0(r, t) =4π

cJ(r, t) necesita por consistencia que∇ · J = 0, ya que la divergencia de un rotor es cero,

∇ · (∇×B0) = 0. (37)

La cuestión es tener un conjunto de ecuaciones consistentes aún cuando ρ varíe en el tiempo. Lo que puedehacerse es escribir la corriente descomponiéndola como suma de una parte longitudinal y otra transversal,

J = Jl + Jt, (38)

donde ∇ × Jl = 0 y ∇ · Jt = 0. En la ecuación de continuidad sólo aparecerá la parte longitudinal de lacorriente,

∂

∂tρ(r, t) +∇ · Jl(r, t) = 0. (39)

En el caso estático, es decir, cuando ∂ρ/∂t = 0, debe ser no solo ∇ · Jl = 0 sino Jl = 0, puesto quepor construcción su rotor también es cero. Por lo tanto, es natural que en las ecuaciones de orden cerosólo aparezca la parte transversal de la corriente, que es la que sobrevive en el límite estático. La corrientelongitudinal debe aparecer recién en la ecuación de B1. La ecuación para el rotor de B a orden cero debeentonces ser sustituida por

∇×B0 =4π

cJt, (40)

y la de orden 1, por esta otra

∇×B1 =4π

cJl +

1

c

∂E0

∂t. (41)

Al tomar la divergencia de esta ecuación, en el segundo miembro queda

4π

c∇ · Jl +

1

c∇ · ∂E0

∂t. (42)

Pero como∇ · E0 = 4πρ, lo que resulta es la ecuación de continuidad escrita en la forma (39),

∇ · (∇×B1) =4π

c∇ · Jl +

1

c∇ · ∂E0

∂t=

4π

c

(∇ · Jl +

∂ρ

∂t

)= 0. (43)

Ya no tenemos el problema del principio, donde un rotor estaba igualado a una cantidad cuya divergencia noera necesariamente igual a cero.

En los problemas de la guía no es necesario hacer explícitamente la descomposición (38). Habrá dosclases de situaciones. Primero, aquellas donde se fija una corriente J que satisface ∇ · J = 0, lo que escompatible con ρ(r, t) = 0. Y luego aquellas donde se fija ρ(r, t) y se da alguna otra condición que permiteobtener la corriente en todo el espacio. Un ejemplo del primer tipo es un solenoide con una corriente uniformeque depende del tiempo. Ejemplo del segundo tipo es un capacitor con una dada densidad de carga σ(t) ensus placas, que están conectadas a dos cables semiinfinitos.

8

2 Solenoide con una corriente variable (problema 7)

Hay que encontrar los campos E y B en la aproximación cuasiestacionaria para un solenoide por el quecircula una corriente de la forma I(t) = I0 sinωt. El solenoide tiene radio a y n vueltas por unidad delongitud. Vamos a seguir dos métodos. Primero usando fuentes reales y luego fuentes complejas.

Este problema pertenece a la clase de problemas donde la densidad de corriente es un dato que se fija ex-ternamente. Si la frecuencia es muy baja, el tiempo que deberá esperarse para notar una variación apreciablede la corriente será muy largo, del orden de 1/ω. Cuando ω−→ 0, el problema se vuelve efectivamente unproblema de magnetostática. Aunque la densidad de corriente sea

J(r, t) =I0aδ(ρ− a) sinωt ϕ, (44)

no debe entenderse aquí que el límite ω−→ 0 corresponda a una corriente nula, puesto que si uno espera losuficiente, el valor de ωt puede ser arbitrario. Lo que sí ocurre en el límite ω−→ 0 es que dI/dt−→ 0, paracualquier valor de t, por arbitrario que sea. Una corriente como la anterior, de la forma J(r, t) = f(ρ, t) ϕ,tiene divergencia cero. Por lo tanto, la ecuación de continuidad implica

∂

∂tρ(r, t) = 0. (45)

Si la densidad de carga es cero en algún momento, es cero para todo t. Podemos tomar eso como dato,

ρ(r, t) = 0. (46)

En general podríamos elegir ρ(r, t) = ρ(r), pero eso sólo agrega al problema un campo electrostático.Ahora vamos a escribir las ecuaciones de Maxwell orden por orden. A orden cero,

∇ · E0(r, t) = 0, ∇× E0(r, t) = 0,

∇ ·B0(r, t) = 0, ∇×B0(r, t) =4π

cJ(r, t). (47)

Como∇ · J = 0, no hay riesgo de una inconsistencia en la última ecuación. Para n > 0 tendremos

∇ · En(r, t) = 0, ∇× En(r, t) = −1

c

∂

∂tBn−1(r, t),

∇ ·Bn(r, t) = 0, ∇×Bn(r, t) =1

c

∂

∂tEn−1(r, t). (48)

Hay que notar que para n ≥ 1 los dos conjuntos de ecuaciones, tanto para Bn como para En, tienen ambosla forma de las ecuaciones de un campo magnético estático con corrientes dadas. El tiempo aparece enesas ecuaciones sólo como un parámetro, nunca aparecen derivadas de En o Bn respecto del tiempo en suspropias ecuaciones. Para cada campo y cada valor de n es como si resolvieran una familia de problemas

9

magnetostáticos, uno a cada instante t. El tiempo pasa a ser un parámetro en las ecuaciones, como la carga ola masa.

El primer paso es calcular los campos de orden cero, ecs. (47). El campo eléctrico es cero en todo elespacio

E0(r, t) = 0. (49)

El campo magnético a tiempo t es el mismo que produciría una corriente estática de valor I(t) = I0 sinωt,

B0(r, t) =

B0 sinωt z, si ρ < a

0, si ρ > a,(50)

donde

B0 =4πnI0c

. (51)

A orden 1, las ecuaciones para el campo magnético son

∇ ·B1(r, t) = 0, ∇×B1(r, t) =1

c

∂

∂tE0(r, t) = 0. (52)

Por lo tanto B1(r, t) = 0. Para el campo eléctrico,

∇ · E1(r, t) = 0, ∇× E1(r, t) = −1

c

∂

∂tB0(r, t). (53)

De acuerdo a la forma que tiene B0, para cada tiempo t, el problema magnético que satisface E1 es el quetiene por fuentes un cable de radio a con corriente uniforme en volumen en la dirección z,

∇× E1(r, t) = −ωc

B0 cosωt z, si ρ < a

0, si ρ > a,(54)

Por lo tanto podemos anticipar que

E1(r, t) = E1(ρ, t) ϕ. (55)

Aplicando Ampère se obtiene

2πρE1(ρ, t) = −ωcB0 cosωt ×

πρ2, si ρ < a

πa2, si ρ > a.(56)

Luego,

E1(ρ, t) = − ω2cB0 cosωt

ρ, si ρ < a

a2

ρ, si ρ > a.

(57)

10

No debe esperarse que esto resulte una buena aproximación a menos que ρ y a sean mucho menores quela longitud de onda λ = 2πc/ω. Escrito en términos de la variable adimensional ρ/a, puede ponerse demanifiesto el parámetro pequeño que mide el orden de la aproximación,

E1(ρ, t) = −(ωac

) 1

2B0 cosωt

ρ

a, si ρ < a

a

ρ, si ρ > a.

(58)

En la notación usada anteriormente, sería ε = ωa/c.Puesto que B1 = 0, las ecuaciones para el campo E a segundo orden en ω son triviales,

∇ · E2(r, t) = 0, ∇× E2(r, t) = 0. (59)

En cambio, para el campo magnético resulta

∇ ·B2(r, t) = 0,

∇×B2(r, t) =1

c

∂

∂tE1(r, t) =

ω2

c2B0ρ

2<

2ρsinωt ϕ. (60)

Aquí ρ< es el menor entre ρ y a. Entonces, para cada valor de t, lo que tenemos es un problema de magne-tostática donde la corriente está en ϕ y tiene simetría de rotación en ϕ y de traslación en z,

∇×B2(r, t) =4π

cjeq(ρ, t) ϕ, (61)

con

4π

cjeq(ρ, t) =

ω2

c2B0ρ

2<

2ρsinωt. (62)

Podemos dividir el espacio en cilindros concéntricos de espesor dρ.

11

La contribución al campo magnético total de las corrientes dentro de cada cilindro (es decir, las corrientes quese hallan entre ρ y ρ+ dρ) será la misma que la de un solenoide con cierto valor del producto κ = nI . ComonI mide la corriente que pasa por unidad de longitud, lo que debemos analizar para establecer formalmente laequivalencia es qué corriente por unidad de longitud pasa a través de cada cilindro infinitesimal. Esa corrientees

Jeq · ϕ dρ = jeqdρ, (63)

lo que implica que

dκ(ρ) = jeq(ρ, t)dρ. (64)

Sabemos que el campo generado por un solenoide con densidad superficial κ es cero en su exterior y en suinterior toma un valor uniforme dado por

B =4πκ

cz (65)

Análogamente, en el problema de una corriente extendida en todo el espacio, cada cilindro infinitesimal entreρ′ y ρ′ + dρ′ generará en la zona ρ < ρ′ un campo

dB =4πdκ(ρ′)

cz =

4π

cjeq(ρ

′, t) z dρ′, (66)

y un campo cero en su exterior. Si queremos obtener el campo a una distancia ρ del eje z, debemos integrarlas contribuciones de todos los cilindros infinitesimales de radio mayor que ρ, pues los que tienen radiosmenores generan un campo nulo en ρ. Así,

B(ρ) =

∫ ∞ρ

dρ′4πjeq(ρ

′, t)

cz =

∫ ∞ρ

dρ′ω2

c2B0ρ

2<

2ρ′sinωt z. (67)

Si ρ < a

B2(ρ) =ω2

c2B0

2

(∫ a

ρ

dρ′ ρ′ +

∫ ∞a

dρ′a2

ρ′

)sinωt z, (68)

y si ρ > a

B2(ρ) =ω2

c2B0

2

(∫ ∞ρ

dρ′a2

ρ′

)sinωt z. (69)

En los dos casos aparece el problema de una integral que diverge de manera logarítima,∫ R

ρ>

dρ′a2

ρ′= a2 log

(R

ρ>

)R−→∞−→ ∞. (70)

No es extraño que la aproximación falle. El campo magnético a orden 2 se calcula con el campo eléctricode orden 1, pero esta campo oscila con la misma fase en todo el espacio, cuando lo natural es que la fase

12

viaje a través del espacio con velocidad c, habiendo regiones que contribuirán con un signo y regiones quecontribuirán con el signo contrario, destruyendo la superposición coherente que da origen a la divergencia.

Este problema del solenoide con una corriente que oscila de manera armónica no es difícil de resolverexactamente. A partir de la solución exacta, el campo hasta segundo orden en ω, en la región cercana alsolenoide, es

Bz(ρ, t) =

B0 sinωt− ω2

c2πB0a

2

4cosωt, si ρ < a

−ω2

c2B0a

2

2

[π

2cosωt− log

(ωρc

)sinωt

], si ρ > a.

(71)

Estos resultados están adaptados del paper de J. D. Templin, “Exact solution to the field equations in thecase of an ideal, infinite solenoid”, Am. J. Phys. 63, 916 (1995) [http://dx.doi.org/10.1119/1.18033].

Ahora repetiremos el cálculo usando campos y corrientes complejas. Debemos escribir

J(r, t) = −Im[J(r)e−iωt

], E(r, t) = −Im

[E(r)e−iωt

], B(r, t) = −Im

[B(r)e−iωt

]. (72)

Se toma menos la parte imaginaria pues la corriente física va como sinωt,

I(t) = I0 sinωt = −Im[I0e−iωt] . (73)

Las ecuaciones de orden cero son

∇ · E0(r) = 0, ∇× E0(r) = 0,

∇ ·B0(r) = 0, ∇×B0(r) =4πJ(r)

c. (74)

Las soluciones son E0 = 0 en todo el espacio, y B0(r) = B0 z dentro del solenoide y cero fuera, dondeB0 = 4πnI0/c. A orden 1,

∇ · E1(r) = 0, ∇× E1(r) =iω

cB0(r),

∇ ·B1(r) = 0, ∇×B1(r) = 0. (75)

Ahora B1 = 0 en todo el espacio. Aplicando Ampère para E1, tal como hicimos antes, resulta

E1(r) = E1(ρ) ϕ, (76)

con

E1(ρ) =iω

2c

B0aρ<ρ>

. (77)

13

Los campos reales resultan de tomar menos la parte imaginaria de los campos complejos. Hasta orden 1 es

B0(r, t) = −Im[θ(a− ρ) B0 e

−iωt z]

= θ(a− ρ) B0 sinωt z,

E1(r, t) = −Im

[iω

2c

B0aρ<ρ>

e−iωt ϕ

]= − ω

2c

B0aρ<ρ>

cosωt ϕ. (78)

Son los mismos resultados de antes, ecs. (50) y (57).

3 Otra versión del solenoide con corriente variable (problema 8)

Este problema intenta ser un modelo más realista de un solenoide. El arrollamiento no está formado porespiras circulares independientes, perpendiculares al eje del solenoide, sino por una hélice muy compacta. Lacorriente sigue siendo uniforme, pero ahora tiene una componente paralela al eje. En la figura el arrollamientoestá formado por una cinta plana que cubre toda la superficie del solenoide, sin dejar espacios libres.

El ángulo α está dado por

tanα =1/n

2πa. (79)

Si la corriente que transporta la cinta es I , el módulo de la densidad superficial de corriente es I dividido elancho de la cinta, que, según la figura anterior, es (1/n) cosα,

κ =I

(1/n) cosα. (80)

El ángulo α determina la dirección de κ,

κ = κ (cosα ϕ+ sinα z) = nI (ϕ+ tanα z), (81)

κϕ = nI, κz =I

2πa. (82)

14

La componente en ϕ es la misma que la de un solenoide de espiras planas apiladas. La componente en z esla misma que la de un cable hueco por el que circula una corriente total

Iz = 2πaκz = I. (83)

Una cosa que no tiene nada que ver con cuasiestacionario es el curioso hecho de que por insignificanteque sea α, siempre circula en la dirección z una corriente I (Jackson, 3ra. ed, problema 5.2). El solenoidedel problema 7 no se consigue tomando α = 0. La parametrización de la corriente en el problema 7 nopuede hacerse mediante una hélice, pues si α = 0 el paso de la hélice es cero. Sería imposible hacer elarrollamiento. También es cierto que aunque la corriente en z no se haga cero en el límite α−→ 0, κz en lossolenoide reales siempre es mucho menor que κϕ, ya que n es mucho más grande que 1/a,

1

an 1. (84)

Es decir, en la práctica, entran muchas vueltas de cable en una longitud del orden de a. Esto implica queel campo magnético atribuido a la corriente en z es alrededor de 1/(an) veces más chico (evaluado en lasituación más favorable) que el campo producido por la corriente que circula en la dirección de ϕ(

2Izca

)/(4πnI

c

)∼ 1

na 1 . (85)

Volviendo al problema original, la descomposición de la corriente en una componente en ϕ y otra en zpermite escribir el problema como una superposición.

El primer problema corresponde al solenoide del problema 7, con la diferencia de que la corriente dependedel tiempo como cosωt, cuando antes lo hacía como sinωt. Si se sigue el método de las fuentes complejas,será cuestión de tomar la parte real de las soluciones complejas. En lugar de (78) resulta

B0(r, t) = Re[θ(a− ρ) B0 e

−iωt z]

= θ(a− ρ) B0 cosωt z,

E(r, t) = Re

[iω

2c

B0aρ<ρ>

e−iωt ϕ

]=ω

2c

B0aρ<ρ>

sinωt ϕ, (86)

15

donde B0 = 4πnI0/c.

El segundo problema es el de un cable hueco de radio a con una corriente uniforme en z. El problema deorden cero para E es igual que antes ∇ · E0 = 0 y ∇× E0 = 0, con lo que resulta E0 = 0. A orden cero elproblema es magnetostático,

∇ ·B0 = 0, ∇×B0 =4πJ(r, t)

c, (87)

donde J es la densidad de corriente asociada a la corriente Iz = I cosωt. Aplicando Ampère, el campodentro del solenoide es cero y afuera

B0(r, t) =2Izcρ

ϕ =2I

cρcosωt ϕ. (88)

A orden 1, el campo magnético es cero,

∇ ·B1 = 0, ∇×B1 = 0, (89)

pero el campo eléctrico está determinado por

∇ · E1 = 0, ∇× E1 = −1

c

∂

∂tB0. (90)

Resolver este problema nos enfrenta de nuevo con integrales que divergen logarítmicamente. El campo B0

no decae lo suficientemente rápido con ρ como para ocultar el hecho no físico de tener un campo oscilandocon la misma fase en todo el espacio.

4 Problema 12

Una conductor ocupa una cáscara esférica entre los radios a y b. En t = 0 hay una densidad superficial Σ

sobre la superficie r = a. Se pide encontrar los campos, las cargas y las corrientes para t > 0.La primera observación que hay que hacer se refiere a la simetría. Es un problema con simetría esférica.

Todos los campos vectoriales asociados al sistema, J, E y B deben tener simetría esférica. Pero la única clasede campos con esa simetría son los campos radiales,

J(r, t) = J(r, t) r, E(r, t) = E(r, t) r, B(r, t) = B(r, t) r. (91)

Ahora bien, dado un punto r, si se hace una reflexión por el plano que pasa por ese punto y el origen, elsistema no se modifica, el campo eléctrico queda como está, pero el campo magnético cambia de signo. Porlo tanto B = 0. Esto es una gran simplificación en las ecuaciones de Maxwell. Basta con escribir las tresecuaciones en donde aparece el campo E. Dentro del conductor,

∇ · E =4πρ

ε, ∇× E = 0,

4πJ

c+ε

c

∂

∂tE = 0. (92)

La corriente está relacionada con el campo a través de la ley de Ohm, así que la última ecuación es

4πσE

c+ε

c

∂

∂tE = 0. (93)

16

Fuera del conductor las ecuaciones son

∇ · E = 0, ∇× E = 0,1

c

∂

∂tE = 0. (94)

El valor inicial del campo en todo el espacio lo conocemos, porque la densidad de carga inicial es dato,

E(r, 0) =

0, si r < a,

Q

εr2r, si a < r < b,

Q

r2r, si b < r,

(95)

donde Q = 4πa2Σ. Fuera del conductor el campo es constante, ya que ∂E∂t = 0. Es decir, dentro de lacavidad de radio a el campo eléctrico es siempre nulo, y para r > b es siempre Qr/r2. Dentro del conductor,la ec. (93) implica

E(r, t) = E(r, 0)e−4πσt/ε =Q

εr2e−4πσt/ε r. (96)

Para cada t, éste es el campo de una carga puntual de valor Qe−4πσt situada en el origen. Por lo tanto, sudivergencia dentro del conductor es cero,

∇ · E(r, t) = 0, a < r < b. (97)

Eso implica que para todo t, en el interior del conductor ρ(r, t) = 0. El salto de D en las superficies r = a yr = b determina las densidades superficiales de carga libre en esas superficies,

Σa(t) =1

4πεE(r, t) · r

∣∣∣r=a+

= Σ e−4πσt,

Σb(t) =1

4π

[E(r, t)

∣∣∣r=b+− εE(r, t)

∣∣∣r=b−

]· r =

Q

4πb2(1− e−4πσt/ε

). (98)

La corriente libre dentro del conductor es

J(r, t) = σE(r, t) =σQ

εr2e−4πσt/ε r. (99)

En el estado final, todas cargas libres están en la superficie de radio b. Entre un estado y otro la energíadel sistema habrá cambiado. La relación que expresa el balance entre la potencia entregada a las cargas, laenergía contenida en el campo y el flujo de energía a través de las fronteras es

d

dt

(∫V

d3r u

)+

∫V

d3r J · E = −∮S

d2r S · n, (100)

donde

u =1

8π(E ·D + H ·B) , S =

c

4πE×H. (101)

17

En este problema H = 0, no hay radiación y el vector de Poynting es nulo. La integral

U(t) =

∫V

d3r u(r, t) (102)

es la energía del campo. Como el S = 0, la ecuación anterior, integrada entre dos instantes de tiempo,relaciona la variación de energía del campo con el trabajo realizado sobre las cargas,

U(ti)− U(tf ) =

∫ tf

ti

dt

[∫V

d3r J(r, t) · E(r, t)

]. (103)

Se pide verificar esta igualdad entre t = 0 y t−→ ∞. En el instante inicial el campo eléctrico está dado por(95). Dentro del conductor D = εE y fuera D = E. El producto D · E resulta luego

D(r, 0) · E(r, 0) =

0, si r < a,

1

ε

(Q

r2

)2

, si a < r < b,

(Q

r2

)2

, si b < r.

(104)

En t = 0 la energía del campo es la integral de esta cantidad

U(0) =1

8π

∫dΩ

[∫ b

a

dr r21

ε

(Q

r2

)2

+

∫ ∞b

dr r2(Q

r2

)2]

=Q2

2ε

(1

a− 1

b

)+Q2

2b. (105)

Para t > 0 deberían poder escribir

D(r, t) · E(r, t) =

0, si r < a,

1

ε

(Q

r2

)2

e−8πσt/ε, si a < r < b,

(Q

r2

)2

, si b < r.

(106)

La energía en el exterior del conductor siempre es la misma, pero la energía entre a y b disminuye exponen-cialmente con el tiempo,

U(t) =1

8π

∫dΩ

[∫ b

a

dr r21

ε

(Q

r2

)2

e−8πσt/ε +

∫ ∞b

dr r2(Q

r2

)2]

=Q2

2ε

(1

a− 1

b

)e−8πσt/ε +

Q2

2b. (107)

La diferencia entre la energía inicial y la energía a tiempo t es

U(0)− U(t) =Q2

2ε

(1

a− 1

b

) (1− e−8πσt/ε

). (108)

18

Por otro lado,∫ t

0

dt′[∫

V

d3r J(r, t′) · E(r, t′)

]=

∫ t

0

dt′[∫

dΩ

∫ b

a

dr r2 σE2(r, t′)

]

=

∫ t

0

dt′

[∫dΩ

∫ b

a

dr r2 σ

(Q

εr2

)2

e−8πσt′/ε

]

=Q2

2ε

(1

a− 1

b

) (1− e−8πσt/ε

). (109)

Queda así demostrada la igualdad (103) para todo tiempo. En particular, cuando t−→∞,

U(0)− U(t)−→ Q2

2ε

(1

a− 1

b

). (110)

5 Problema 16

Se pide verificar el balance de potencia para el problema del solenoide con corriente variable. Es decir,verificar que

d

dt

(Umec + UEM

)= −

∮S

d2r n · S, (111)

donde

dUmec

dt=

∫V

d3r J · E, UEM =1

8π

∫V

d3r (E2 +B2), S =c

4πE×B. (112)

Se proponen dos casos. En uno, el volumen V es un cilindro de altura l, coaxial con el solenoide y de radioapenas menor que el radio del solenoide. En el otro caso, el radio es apenas mayor.

19

Como la verificación debe ser hecha a primer orden en la aproximación cuasiestacionaria, empezaremosviendo cómo se construyen dUEM/dt y S a primer orden. En la aproximación cuasiestacionaria, los camposse escriben como una suma, donde cada término es de un orden mayor que el precedente,

E = E0 + E1 + E2 + . . . , B = B0 + B1 + B2 + . . . (113)

Puesto que UEM y S son cantidades cuadráticas en los campos, a primer orden necesitaremos a lo sumo loscampos de orden cero y 1. Cualquier cosa de orden mayor sólo contribuirá a la energía y a S a orden mayorque el primero. En principio, para la energía del campo tendríamos

UEM =

∫V

d3r uEM, (114)

donde

uEM =1

8π

[(E0 + E1 + . . . )2 + (B0 + B1 + . . . )2

]=

1

8π

[E2

0 + 2E0 · E1 + · · ·+B20 + 2B0 ·B1 + . . .

].

(115)

Los términos mostrados son los únicos de orden menor o igual a 1. Los campos del solenoide en la aproxi-mación cuasiestacionaria fueron calculados en el problema 7. Sabemos que E0 = B1 = 0. Por lo tanto, hastaprimer orden

uEM =B2

0

8π. (116)

Esto en realidad termina siendo de orden cero. El término siguiente es de orden 2. Cuando calculemos laderivada de uEM quedará algo de orden 1, pues la derivada temporal de los campos de orden n es de ordenn+ 1,

∂uEM∂t

=1

4πB0B0. (117)

Para calcular el vector de Poynting hasta el mismo orden escribimos

S =c

4π

[E0 + E1 + . . .

]×[B0 + B1 + . . .

]=

c

4π

[E0 ×B0 + E1 ×B0 + E0 ×B1 + . . .

]. (118)

Teniendo en cuenta que E0 = B1 = 0, hasta primer orden resulta

S =c

4πE1 ×B0. (119)

Los campos hasta orden 1 quedaron escritos en la ec. (78); eran

B0(r, t) = −Im[θ(a− ρ) B0 e

−iωt z]

= θ(a− ρ) B0 sinωt z,

E1(r, t) = −Im

[iω

2c

B0aρ<ρ>

e−iωt ϕ

]= − ω

2c

B0aρ<ρ>

cosωt ϕ, (120)

donde B0 = 4πnI0/c.

20

El primer volumen de la figura anterior está dentro del solenoide, no incluye ninguna corriente, de maneraque habría que verificar que se cumpla que

dUEM

dt= −

∮S

d2r n · S. (121)

El primer término es

1

4π

∫ l

0

dz

∫ 2π

0

dϕ

∫ a

0

dρ ρB0(r, t)B0(r, t) =a2lB2

0ω

4cosωt sinωt, (122)

y el segundo (resistiendo la tentación de hacer un copyaste),

c

4π

∫ l

0

dz

∫ 2π

0

dϕ aω

2cB0a cosωt B0 sinωt =

a2lB20ω

4cosωt sinωt. (123)

Se verifica la igualdad (121).

Para el segundo volumen de los propuestos, el vector de Poynting debe tomarse en el exterior del solenoide.Pero a primer orden en la aproximación, fuera del solenoide S = 0, puesto que B0 = 0 en esa región. Lo quehay que verificar es entonces

−dUmec

dt=dUEM

dt. (124)

El segundo miembro no necesita recalcularse. Para calcular el primero debemos escribir

dUmec

dt=

∫V

d3r J(r, t) · E(r, t). (125)

Como la corriente es superficial, esto se reduce a

dUmec

dt=

∫S

d2r κ(r) · E(r) =

∫ l

0

dz

∫ 2π

0

dϕ aκ(r, t) · E(r, t), (126)

donde

κ(r, t) = nI0 sinωt ϕ. (127)

A primer orden en la aproximación, el campo eléctrico que debe usarse es E1, con lo que resulta

−dUmec

dt=

∫ l

0

dz

∫ 2π

0

dϕ anI sinωtωB0a

2ccosωt = l

ωB20a

2

4cosωt sinωt. (128)

Aquí se ha usado que 4πnI0/c = B0. Finalmente, comparando con (122), queda mostrado que UEM =

−Umec.

21

6 Espira en un campo magnético externo (problema 6)

Se trata de una espira circular en un campo magnético externo que varía en el tiempo.

Hasta el instante t = 0 el campo vale B0 y que a partir de ese momento se apaga exponencialmente

B(t) = B0, si t < 0, B(t) = B0 e−t/τ , si t ≥ 0. (129)

La corriente inicial en la espira es cero, pero al variar el campo magnético se inducirá un campo eléctrico yla corriente comenzará a circular. La espira tiene resistencia R y autoinducción L. La resistencia vincula laf.e.m. con la corriente, ∮

d` · E = IR, (130)

y la autoinducción relaciona la corriente con el flujo del campo magnético a través de la espira,

Ψauto = LI. (131)

Aquí Ψauto es el flujo debido únicamente a la corriente I . Estrictamente hablando, estas dos relaciones valensólo en situaciones estacionarias. Nosotros asumiremos que siguen siendo válidas aún cuando I y E varíenen el tiempo. Cuanto más lenta sea la variación, mejor será la aproximación.

La otra ecuación necesaria es la forma integral de la ley de Faraday,∮d` · E = −1

cΨ. (132)

Aquí Ψ es el flujo total, que será la suma de Ψauto y del flujo asociado al campo magnético externo,

Ψ = Ψauto + Ψext. (133)

Si el campo externo es uniforme sobre la espira, entonces

Ψext = πa2B. (134)

Combinando (130) y (132) podemos escribir la siguiente ecuación

IR = −1

c

(Ψauto + Ψext

)= −1

c

(LI + πa2B

). (135)

22

Esto da una ecuación diferencial para I ,

I +I

τ0= −πa

2

LB, (136)

donde τ0 = L/cR. La condición inicial es I(0) = 0. La solución puede obtenerse como suma de unasolución de la ecuación homogénea y una solución particular de la ecuación inhomogénea. La solución de lahomogénea es

IH(t) = IH(0) e−t/τ0 . (137)

En verdad I(0) = 0, así que si encontramos una solución de la inhomogénea que satisfaga la mismacondición, eligiendo IH(0) = 0 estaremos hechos. Una forma de encontrar esta solución es proponerINH(t) = A(t) e−t/τ0 . Entonces

A = −πa2

Let/τ0B ⇒ A(t) = −πa

2

L

∫ t

0

dt′ et′/τ0B(t′). (138)

Para el campo externo que se apaga de manera exponencial, B(t) = B0 e−t/τ , resulta finalmente

I(t) = INH(t) = A(t) et/τ0 =πa2B0

L

τ0τ − τ0

(e−t/τ − e−t/τ0

). (139)

Cuando τ = τ0, puede integrarse de nuevo la ec. (138) o tomarse el límite de la expresión anterior,

I(t) =πa2B0

L

t

τe−t/τ . (140)

En general la corriente sigue una evolución como la mostrada en la figura para el caso particular τ0 = 2τ .

0

La escala vertical está elegida arbitrariamente para hacer comparables los valores graficados de I(t) y B(t).El problema tiene dos escalas de tiempo. La escala τ asociada al campo externo y la escala τ0 asociada a lavelocidad de respuesta de la espira. Cuando τ0 es mucho menor que τ , se da un fenómeno de subordinaciónde la espira al campo externo. La espira reacciona tan rápidamente frente a los cambios del campo externoque la evolución de I(t) es la misma que la de B(t). Eso puede verse en la ecuación (139). Salvo paratiempos muy cercanos a cero, si τ0 τ

I(t) ≈ πa2B0

L

τ0τe−t/τ , (141)

23

que es el mismo tipo de evolución de B(t). Gráficamente,

0

Esto puede mostrarse más formalmente reescribiendo la ec. (136) como

τ0I + I = −πa2

cRB. (142)

Cuando τ0 es muy pequeño, el término proporcional a I puede despreciarse, y queda

I(t) = −πa2

cRB(t), (143)

que será válida siempre que t τ0. Ustedes pueden resolver como ejercicio el problema de la espira en uncampo que, en lugar de apagarse exponencialmente, valga B0 para t < 0 y a partir de t = 0 se comportecomo B0 cosωt. Cuando τ0 1/ω verán que I(t) ∝ sinωt.

7 Problema 17

Se pide calcular el momento angular del campo electromagnético asociado al siguiente sistema.

Se trata de un dipolo magnético que está en el centro común de dos esferas. Las esferas están cargadasuniformemente, con cargas q y −q, respectivamente.

24

No hace falta saber más para anticipar que el momento angular del campo debe estar en la misma direcciónque el dipolo magnético, pues esa es la única dirección privilegiada del sistema. La densidad de momentoangular del campo es

L = r× g =1

4πcr× (E×B). (144)

Aquí g es la densidad de impulso lineal. Las cargas en las esferas están elegidas de tal modo que E es distintode cero únicamente en el espacio entre las esferas,

E(r) =q

r2r, a < r < b. (145)

Supondremos que m = m z. Así, el campo magnético entre las esferas es

B(r) =m

r3[3(z · r)r − z

]. (146)

Las densidades g y L serán distintas de cero sólo entre a y b,

g(r) =1

4πc

qm

r5sin θ ϕ,

L(r) = − 1

4πc

qm

r4sin θ θ, a < r < b. (147)

La densidad de momento angular en la dirección z se muestra en la figura.

25

Al hacer la integral de L en todo el espacio, por simetría sólo sobrevive la componente z,

L =

∫dΩ

∫ b

a

dr r2 L(r)

=

∫dΩ

∫ b

a

dr r21

4πc

qm

r4sin θ

(− cosϕ cos θ x− sinϕ cos θ y + sin θ z

)

=qm z

4πc

(2π

∫ 1

−1d(cos θ) sin2 θ

)(∫ b

a

dr1

r2

)

=2qm z

3c

(1

a− 1

b

). (148)

26