FuncionesFunciones

1. Coordenadas en el plano2. Ejes de coordenadas. Cuadrantes3. Relación dada por tablas4. Relación dada por gráficas5. Relaciones dada por fórmulas6. Idea de función7. Representación gráfica de funciones8. La función lineal o de proporcionalidad directa9. Funciones afines10. Funciones cuadráticas

CONTENIDOS DEL TEMA

11. Funciones de proporcionalidad inversa12. Resolución de problemas

FuncionesFunciones1. Coordenadas en el plano

Observa:

– La catedral está en el punto (1, 3).

– El ayuntamiento en el punto (4, 1).

Para situar un punto en el plano se necesitan dos rectas perpendiculares que se llaman ejes de coordenadas.El punto de corte de los ejes se llama origen.

• La primera se mide sobre el eje horizontal o de abscisas; se llama abscisa del punto.• La segunda se mide sobre el eje vertical o de ordenadas; se llama ordenada del punto.

Eje de ordenadas

Eje de abscisasOrigen

– El jardín botánico en el punto (7, 2).

Este plano es el de una ciudad.

Cualquier punto tiene dos coordenadas.

O

FuncionesFunciones

Eje de abscisas

Eje de ordenadas

I cuadrante

IV cuadranteIII cuadrante

II cuadrante

O

Origen

Tomamos una cuadrícula y trazamos los ejes de coordenadas. Se tendrá:

2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (I)

FuncionesFunciones 2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (II)

Primer cuadrante

Cuarto cuadrante

Tercer cuadrante

Segundo cuadrante

O

Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro cuadrantes.

(+, +)(– , +)

(– , – ) (+, – )

• Los puntos del primer cuadrante tienen abscisa y ordenada positivas.

• Los del segundo cuadrante tienen abscisa negativa y ordenada positiva.

• Los del tercer cuadrante tienen abscisa y ordenada negativas.

• Los del cuarto cuadrante tienen abscisa positiva y ordenada negativa.

X

Y

FuncionesFunciones

Cada punto del plano se designa por un par ordenado de números que se llaman coordenadas del punto.

Así: A (4, 1); B (-2, 1); C (0, 5);

D (-3, -4); E (5, -5)

El primer número se llama abscisa; el segundo, ordenada.

Las abscisas positivas estána la derecha del origen.

Las negativas, a la izquierda.

Las ordenadas positivas estánpor encima del origen. Las negativas, por debajo.

A(4, 1)B(-2, 1)

C(0, 5)

D(-3, -4)E(5, -5)

O

2. Los ejes de coordenadas: cuadrantes (III)

FuncionesFunciones

Una función puede darse mediante una tabla.

Ejemplo: en la tabla siguiente se da la medida de un feto (en cm) dependiendo del tiempo de gestación (en meses).

Edad(meses)

Longitud(cm)

2 43 84 156 297 348 389 42

A cada mes de gestación le corresponde una longitud determinada.(2, 4) significa que cuando el feto tiene 2 meses, mide 4 cm.(6, 29) indica que a los 6 meses el feto mide 29 cm.

La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.

3. Relaciones dadas por tablas (I)

FuncionesFunciones3. Relaciones dadas por tablas (II)

El nivel de agua que se alcanza en un recipiente depende del tiempo que el grifo esté goteando.

Esta dependencia o relación se expresa en la siguiente tabla:

Tiempo(minutos)

Nivel deagua (cm)

0 015 1030 1445 1760 19

A la variable tiempo se le llama variable independiente, y a la variablenivel de agua, variable dependiente.

La dependencia entre dos variables puede expresarse mediante una tabla.

FuncionesFunciones4. Relaciones dadas por gráficas (I)

En una etapa de la vuelta ciclista, a cada distancia del punto de salida le corresponde una determinada altitud.

Esta dependencia o relación se expresa por la siguiente gráfica:

A la variable kilómetros recorridos se le llama variable independiente,y a la variable altura en metros, variable dependiente.

La dependencia entre dos variables puede expresarse mediante una gráfica.

Cuando llevan 100 km recorridos es cuando están a mayor altitud.

FuncionesFunciones

Una función puede darse mediante una gráfica.

Ejemplo: En la gráfica siguiente se da el consumo de gasolina de un coche según la velocidad a la que circula.

Si el coche va a 130 km/h, consume, aproximadamente, 8 litros cada 100 km

El consumo mínimo se consigue a 60 km/h:

punto (60, 4)

El consumo de gasolina depende (o está en función) de la velocidad del coche.

4. Relaciones dadas por gráficas (II)

FuncionesFunciones

Si conoces el lado de un cuadrado puedes hallar su área.

1 cm 2 cm3 cm

l cm

1 cm2

4 cm2 9 cm2 l 2 cm2

A cada valor del lado le corresponde un área.El área es función del lado: S = l 2

Lado

Área

S = l 2

A la variable lado l se le llama variable independiente, y a la variable área, variable dependiente.

5. Relaciones dadas por fórmulas

FuncionesFunciones

Consideremos otra relación dada por una fórmula: y = 2x +1

Si x vale -2, y = 2·(-2) +1 = -3. Par (-2, -3)Si x vale -1, y = 2·(-1) +1 = -1. Par (-1, -1)

Si x vale 2, y = 2·2 +1 = 5. Par (2, 5)

Observa que a cada número x le correspondeun único número y.El número y depende del valor dado a x.O también: y está en función de x.

A x se le llama variable independiente.

En este caso puede tomar cualquier valor

A y se le llama variable dependiente.

Toma valores que dependen de la x: y = 2x +1

Las relaciones deeste tipo se llaman

funciones.

En una función,la correspondencia entre las variables

debe ser única

6. Idea de función (I)

FuncionesFunciones 6. Idea de función (II)

• Función: es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda, que llamamos imagen o transformado. • Variable independiente: la que se fija previamente. • Variable dependiente: la que se deduce de la variable independiente.

La fórmula f(x) = 3x2 + 1 define una función.

f(x) = 3x2 + 1

x es la variable independientef(x) es la variable dependiente

Fijada la variable independiente, por ejemplo x = 5, el valor que toma la

variable dependiente es f(5) = 3 · 52 + 1 = 76. (La imagen de 5 es 76; y es única, pues la operación 3 · 52 + 1 es única.)Si x = 0, f(0) = 1. Si x = 1, f(1) = 4. Si x = –2, f(–2) = 13.

En toda función a cada valor de la variable independiente le corresponde un solo valor de la variable dependiente.

FuncionesFunciones

La fórmula que expresa el área de un cuadrado en función de su lado es S = l 2

Para representarla

gráficamente:Primero: formamos la tabla de valores

Lado: l Área: l 2

0 0 1 1

1,5 2,25 2 4

2,5 6,25 3 9 4 16

02468

1012141618

0 1 2 3 4

Segundo: representamos los pares asociados, uniendo los puntos.

Ejemplo:

(2, 4)

(3, 9)

(4, 16)

7. Representación gráfica de funciones (I)

FuncionesFunciones

El precio del revelado de un carrete de 36 fotos es de 1,50 euros y por cada foto cobran 0,35 euros. Representa la gráfica de esta función.

Primero: formamos la tabla de valores

Número de fotos l

Importe en euros

0 1,50 1 1,85 2 2,20 3 2,55 4 2,90 5 3,25 6 3,60

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6

fotos

euro

s

Segundo: representamos los pares asociados.

Ejempl

o:

(En este caso no tiene sentido unir los puntos: no se revelan fracciones de

fotos.)

Variabledependiente

Variable independiente

7. Representación gráfica de funciones (II)

FuncionesFunciones7. Representación gráfica de funciones (III)

La planta de Macinto ha ido creciendo con el tiempo según se indica en la tabla:

Para representarla gráficamente: representamos los pares de valores sobre unos ejes de coordenadas y obtenemos distintos puntos de la gráfica.

Tiempo(meses)

Longitud(cm)

0 21 62 113 174 215 246 267 278 28 0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tiempo (meses)

Lon

gitu

d (c

m)

(2, 11)

(6, 26)

Uniendo los puntos se obtiene la gráfica de la función.

FuncionesFunciones7. Representación gráfica de funciones (IV)

Consideremos la función f que asigna a cada número entero el doble más 1.

Para representarla gráficamente:

x y = f(x)

–3 –5 –2 –3 –1 –1 0 1 1 3 2 5

En este caso no se pueden unir los puntos ya que la función está definida únicamente para los números enteros.

Es decir, f(x) = 2x + 1.

1. Formamos la tabla de valores. 2. Representamos los pares de valores sobre unos ejes de coordenadas

(2, 5)

O

(–3, –5)

FuncionesFunciones

Ejemplo: Si el precio de un kilo de naranjas es de 1,2 euros:(a) forma una tabla que relacione peso con precio.

01,22,43,64,8

67,28,49,6

0 1 2 3 4 5 6 7

Peso en kiloseu

ros

(b) representa la gráfica de la función asociada.

Peso (kilos)

Coste (euros)

1 1,2 2 2,4 3 3,6 4 4,8 8 9,6

10 12 35 42

Multiplicando por 1,2 el número de kilos, se tiene:

Trazando los pares (1, 1,2), (2, 2,4), … (7, 8,4), se tiene:

La fórmula de

esta función es:y = 1,2x

Las funciones cuyas gráficas son rectas que pasan

por el origen se llaman funciones lineales o de

proporcionalidad directa

8. Función lineal o de proporcionalidad directa (I)

FuncionesFunciones

Vamos a representar gráficamente otras funciones lineales.

51

y = 5x

–5–1

21

y = 2x

42

– 44

y = – x

3–3

00

y = 0,2x

15

x y

x y x y

x y

8. Función lineal o de proporcionalidad directa (II)

Representa las siguientes funciones: a) y = x; b) y = –5x; c) y = 2x ; d) y = –x

FuncionesFunciones 8. Función lineal o de proporcionalidad directa

(III)

Al comprar en el supermercado un trozo de queso nos hemos fijado en la etiqueta del paquete que reproducimos:

Peso en kg Precio por kg en € Total en €

0,820 5,12 4,20

Las magnitudes precio y peso son directamente proporcionales.Si x es el peso en kg, e y el precio, la expresión que da el precio en euros es y = 5,12x.

0,5 1 1,5

7

6

5

4

3

2

1

Calculamos valores, representamos y unimos los puntos.

Las funciones se la formay = mx se llaman funciones lineales.Son rectas que pasan por el origen.

· m es la pendiente o inclinación de la recta.

y = 5,12x

Peso (kg)

Eur

os

FuncionesFunciones 9. Funciones afines (I).

Representa las siguientes funciones: a) y = x +1 ; b) y = x – 3; c) y = 2x +3; d) y = 2x – 4

–30

y = x – 3

14

–40

y = 2x – 4

23

10

y = x + 1

43

30

y = 2x + 3

–3–3

x y

x y x y

x y

FuncionesFunciones 9. Funciones afines (II)

Cuando un espeleólogo se adentra hacia el interior de la tierra, la temperatura aumenta con arreglo a la siguiente fórmula:

Formamos la tabla de valores: Representamos gráficamente la función:

t = 0,01 d + 15, (t es la temperatura en ºC; d, la profundidad en m)

d t0 15

150 16,5600 21

1050 25,5… …

400 800 1200

18

12

6

O

24

Tem

pera

tura

(ºC

)Profundidad (m)

t = 0,01d + 15

Las funciones de la forma y = mx + b (b 0) se llaman funciones afines.Son rectas que no pasan por el origen.· m es la pendiente o inclinación de la recta.· b es la ordenada para x = 0, y se llama ordenada en el origen.

FuncionesFunciones10. Funciones cuadráticas (I)

0

20

40

60

80

100

0 190 5 10 15 20

Con una cuerda de 40 cm se pueden formar distintos rectángulos. ¿Cuánto valdrá su área?

Representamos los pares obtenidos:Formamos la tabla de valores: (al área le llamamos y)

x y1 193 518 96

10 10012 9614 8417 5119 19

2x + 2h = 40

x

hx + h = 20

A = xh = x(20 – x)

A = 20x – x2

Perímetro:

Área:

h = 20 – x

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20

Unimos los puntos y se obtiene la gráfica.

FuncionesFunciones 10. Funciones cuadráticas (II)

La gráfica de las funciones cuadráticas se llama parábola.

Las funciones y = 20x – x2, vista anteriormente, se llama función cuadrática.

Las funciones cuadráticas son de la forma y = ax2 + bx + c con a 0.

Si a > 0 la parábola está abierta hacia arriba.Si a < 0 la parábola está abierta hacia abajo.

y = x2

y = x2 – 4x

y = –x2 + 2

y = –x2

y = –x2 – 3

a > 0 a < 0

FuncionesFunciones11. Función de proporcionalidad inversa (I)

Si el producto de dos números es 24, ¿qué valores pueden tomar esos números?

Representamos los pares obtenidos y unimos los puntos:

Formamos la tabla de valores:

x

2 124 66 4

12 2–12 –2–6 4–4 –6–2 –12

xy

24

x

24y x · y = 24

FuncionesFunciones 11. Función de proporcionalidad inversa (II)

xy

2

xy

10

xy

12

Si el producto de los valores correspondientes de dos magnitudes x e y es constante, se dice que las magnitudes son inversamente proporcionales.

La gráfica de las funciones de proporcionalidad inversa se llama hipérbola.

x

ky x · y = k o bien

Las funciones de la forma se llaman

funciones de proporcionalidad inversa.x

ky

FuncionesFunciones

Problema: Un caracol se desliza por el borde de una piscina a razón de 5 cm por minuto.(a) Encuentra la ecuación asociada a las magnitudes espacio recorrido y tiempo.

(b) representa esta función.

3º. La fórmula de esta función es: y = 5x

(c) ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 23 cm?

Tiempo (min): 1 2 3 4 5 6 …Espacio (cm): 5 10 15 20 25 30 …

1º. Hacemos la tabla

2º. Observamos que las magnitudesson directamente proporcionales:

51

102

5xx

1 por 5

2 por 5

x por 5

y = 5x es una función de

proporcionalidad directa.

12. Resolución de problemas (I)

FuncionesFunciones

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5

tiempo

espa

cio

(2, 10)

(1, 5)

23

4,6

4ª Representamos los puntos: (1, 5), (2, 10)...

5º. En recorrer 23 cm tardará 23 : 5 = 4,6 min

Si y = 23, entonces 23 = 5x, luego x = 23 : 5

Observa que las escalas de los ejes son distintas

Problema: Un caracol se desliza por el borde de una piscina a razón de 5 cm por minuto.(a) Encuentra la ecuación asociada a las magnitudes espacio recorrido y tiempo.

(b) representa esta función. (c) ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 23 cm?

Ya hemos visto que la función asociada es y = 5x

12. Resolución de problemas (II)