1 Ecuación del plano

Conociendo�!N (nx; ny; nz) ? � y la distancia n a la que se encuentra el

plano del origen de coordenadas ( medidaen la dirección del vector�!N ), deber-

emos encontrar la expresión del punto P (x; y; z) el cual es un punto cualquieradel plano, o sea P (x; y; z) 2 �

El vector��!OP por partir del origen tendrá como componentes

��!OP (x; y; z)

las cuales coincidirán con las coordendas de P:Además, su proyección respectode la dirección de

�!N (nx; ny; nz) nos da como resultado n:

�����!OP ��� cos � = nconsideremos ahora el siguiente producto escalar

�!N :

��!OP�����

�!N :

��!OP =

��� �!N ��� : ��� ��!OP ��� : cos ��!N :

��!OP = nxx+ nyy + nzz

)=) nxx+nyy+nzz =

��� �!N ��� : ��� ��!OP ��� : cos �1

nxx+ nyy + nzz =��� �!N ��� :n (1)

A partir de esta expresión encontramos dos caminos distintos de desarrollo,primero

nxx+ nyy + nzz ���� �!N ��� :n = 0

quedando la expresión de la forma General de la ecuación del plano

ax+by+cz+d=0

"los coe�cientes a,b y c de la forma General son las componentes del vectornormal al plano. A este vector se lo conoce como vector asociado al plano"

(nótese la diferencia con el vector asociado a la recta el cual era paralelo ala misma)

si continuamos operando

ax+ by + cz = �da

�dx+b

�dy +c

�dz = 1 �nalmentex

�da

+y

�db

+z

�dc

=1

conocida como "Ecuación segmentaria del plano" en la cual los denomi-

nadores�da;�dby�dcrepresentan los puntos en donde el plano corta los ejes

X;Y y Z respectivamente.

ejemplo determinar la ecuación del plano perpendicular al vector�!S (3; 4; 2)

que pasa por el punto Q(1� 1; 3):

los coe�cientes de la ecuación del plano coincidirán con el del vector�!S :

3x+ 4y + 2z +D = 0

para obtener d reemplazamos las coordenadas del punto Q

2

3(1) + 4(�1) + 2(3) + d = 0) d = �5�nalmente el plano queda determinado por

�! 3x+ 4y + 2z � 5 = 0

3

2

0 00

­2

xy

z­2

­2

­4 ­4

­4 22

4

4 4

l

Ahora desde (1) procederemos a dividir ambos miembros por��� �!N ��� para luego

igualar a 0.nx��� �!N ���x+ ny��� �!N ���y + nz��� �!N ���z � n = 0

cos� � x+ cos� � y + cos � z � n = 0

esta última expresión es conocida como Ecuación normal del plano, en lacual cos�; cos� y cos , son los cosenos directores del vector normal al mismo.

Del mismo modo que la ecuación normal de la recta en el plano a partir deesta expresión podemos de�nir

1.0.1 Distancia de punto a plano

Cuando reemplacemos las coordenadas de un punto P0(x0;y0; z0) cualquiera enla ecuación normal de un plano pueden darse dos casos

-) cos� � x0 + cos� � y0 + cos � z0 � n = 0 el punto veri�ca laecuación, luego pertenece al plano.

4

-) cos� � x0 + cos� � y0 + cos � z0 � n = d el punto NO veri�cala ecuación. El valor d obtenido corresponde a la distancia del punto alplano.

Veremos ahora cómo pasar de la forma General a la Normal .

dado el plano ax+ by+ cz+ d = 0 dado en forma general , para pasarlo a lafoma normal bastará con dividir la expresión por -

pa2 + b2 + c2;donde el signo

(�) responde al signo opuesto al del término independiente.

ecuación general ax+ by + cz + d = 0

ecuación Normalax+ by + cz + d

�pa2 + b2 + c2

= 0

ejemplo Calcular la distancia del punto R(5; 4; 4) al plano 4x+4y+2z�2 = 0

Primero pasaremos a la forma normal la ecuación del plano

4x+ 4y + 2z � 2+p42 + 42 + 22

= 0

4x+ 4y + 2z � 26

= 0

luego reempazamos el punto R(5; 4; 4) en la ecuación obtenida.

4(5) + 4(4) + 2(4)� 26

= 7

�nalmente el punto R se encuentra a 7 unidades del plano

1.1 Distintos casos de obtención de la ecuación de unplano

A partir de dos vectores coplanares al plano y un punto que lepertenezca �!a (ax; ay; az) ,

�!b (bx; by; bz) y P0(x0;y0; z0)

Nuestro problema se reduce a encontrara ,a partir de los vectores , la di-rección perpendicular al plano buscado. Para ello procedemos a plantear elproducto vectorial de los vectores dados ya que del mismo resultará un vectorcuya dirección será perpendicular a ambos y �nalmente al plano.

�!a � �!b =

������i j kax ay azbx by bz

������ = i���� ay azby bz

����� j ���� ax azbx bz

����+ k ���� ax aybx by

����5

�!a � �!b =

�!N (nx; ny; nz)

�nalmente con este vector y el punto P0 obtendremos la ecuación del planobuscado.

ejemplo Obtener la ecuación del plano paralelo a los vectores �!a (3; 4; 2) y�!b (5; 1; 2) y que pasa por el punto P0(2; 2; 2)

�!N = �!a � �!b

�!N =

������i j k3 4 25 1 1

������ = 7j � 17k + 2iel plano tendrá la forma �! 2x+ 7y � 17k +D = 0reemplazando las coordenadas de P0�! 2(2) + 7(2)� 17(2) + d = 0! d = 16

�nalmente�! 2x+ 7y � 17k + 16 = 0

­4 42­2 00

­2

­4

x

z

y0­2 2­4 4

4

2

6

A partir de tres puntos que pertenezcan al plano Dados A(xa; ya; za),

B(xb; yb; zb), y C(xc; yc; zc) puntos pertenecientes al plano buscado considere-mos un cuarto punto P (x; y; z) cualquiera representativo del plano. Podemosahora conformar los siguientes vectores :

�!PA ;

��!PB ; y

���!PC

y sus componentes serán :

�!PA(xa � x; ya � y; za � z)

��!PB(xb � x; yb � y; zb � z)

��!PC(xc � x; yc � y; zc � z)

Ahora bien , por ser coplanares su producto mixto deberá ser igual a 0 ,luego

(�!PA � ��!PB � ��!PC) = 0

(�!PA � ��!PB � ��!PC) =

������xa � x ya � y za � zxb � x yb � y zb � zxc� x yc � y zc � z

������ = 0al último determinante le agregaremos convenientemente una �la y una

columna

7

��������x y z 1

xa � x ya � y za � z 0xb � x yb � y zb � z 0xc� x yc � y zc � z 0

�������� = 0�nalmente sumamos a la 2�; 3� 4� �la la primera .Finalmente

��������x y z 1xa ya za 1xb yb zb 1xc yc zc 1

�������� = 0

Este último determinante representa la ecuación del plano que pasa por trespuntos.

1.1.1 ejemplo

Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(3;�1; 2), B(4;�1;�1),y C(2; 0; 2)

la ecuación del plano � se obtendrá de

� =

��������x y z 13 �1 2 14 �1 �1 12 0 2 1

�������� = 0 = 3x+ 3y + z � 8 = 0

1.1.2 Ángulo entre dos planos.

Si consideramos los coe�cientes de la ecuación General del plano sabemos quelos mismos son las componentes de un vector (

�!N ) normal al mismo . Ahora

bien, podemos tomar dicho vector como representativo de la "orientación " delplano.

"el ángulo que determinan dos planos coincide con el que determinan losvectores normales representativos de cada uno de ellos "

Si consideramos dos planos distintos � ! a�x + b� + c� + d = 0 y� ! a �x+ b � + c � + d = 0

sus vectores normales serán : N� ! (a�; b�; c�) y N� ! (a� ; b� ; c�)respectivamente.

su producto escalar estará dado por las siguientes expresiones

8

­4 2

­4

­4

­2z

yx ­2

200 0

2

­2

4

4

4

N�:N� = a�:a� + b�:b� + c�:c� o bien N�:N� = jN�j jN� j : cos �(donde � representa el ángulo determinado por ellos)igualando

jN�j jN� j : cos � = a�:a� + b�:b� + c�:c��nalmente despejando cos � y reemplazando los módulos

cos � =a�:a� + b�:b� + c�:c�p

a2� + b2� + c

2�:pa2� + b

2� + c

2�

consideraciones Si los planos son paralelos (�==�) sus componentes serán

proporcionales ;N�N�

= k

a�b�=b�b�=c�c�= k

Si los planos son perpendiculares (� ? � )el producto escalar de sus vectoresnormales será nulo

a�:a� + b�:b� + c�:c� = 0

9

1.1.3 ejemplo

Hallar el ángulo que forman los planos � ! 2x � y + z = 7 y � !x+ y + 2z � 11 = 0

N� = (2;�1; 1)N� = (1; 1; 2)

cos � =(2 � 1) + (�1 � 1) + (1 � 2)p22 + (�1)2 + 12:

p12 + 12 + 22

cos � =�12luego

� = 120�

10

1.1.4 Ejercitación

1. Hallar y gra�car la ecuación del plano :

(a) Paralelo al plano XY y situado a 3 unidades debajo de él. (rta:z =�3)

(b) paralelo al plano Y Z y que corta al eje X en el punto de abscisa 4(rta:x = 4)

2. Hallar y gra�car la ecuación del plano paralelo al eje Z y cuya traza conel plano XY es la recta x+ y � 2 = 0 (rta: x+ y � 2 = 0)

3. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P (�1; 2; 4) y esparalelo al plano 2x� 3y � 5z + 6 = 0: ( rta. 2x� 3y � 5z + 28)

4. Hallar la ecuación del plano paralelo al plano 6x� 6y+7z� 44 = 0 y quese encuentra a dos unidades del origen ( rta. 6x� 6y + 7z � 66 = 0)

5. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P (3;�2; 4) y es peren-dicular a los planos 7x � 3y + z � 5 = 0 y 4x � y � z + 9 = 0:(rta.4x+ 11y + 5z � 10 = 0)

6. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos P (1; 3;�2) yQ(3; 4; 3) y es perpendicular al plano 7x � 3y + 5z � 4 = 0 (rta. 20x +25y � 13z � 121 = 0)

7. Hallar la distancia del punto P (7; 3; 4) al plano 6x � 3y + 2z � 13 = 0:(rta. d=4)

8. Hallar el ángulo que forman los planos x+2y�z = 12 y x�2y�2z�7 =0: (rta. 82�10; 70)

9. Hallar la distancia entre los planos paralelos 2x � 3y � 6z � 14 = 0 y2x� 3y � 6z + 7 = 0 (rta:3)

10. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos P (3; 4; 1),Q(�1;�2; 5)yR(1; 7; 1):(rta. 3x+ 2y + 6z � 23 = 0)

11

2 Ecuación de la recta en R3

2.1 Partiendo de un punto y un vector paralelo

Sabemos que P0(x0; y0;z0) 2 r y que�!A (ax; ay; az)==r y tomamos

P (x; y; z) como punto genérico de la recta.

��!OP =

��!OP0 +

��!P0P

no podemos obtener��!OP debido a que P puede estar en cualquier lugar a lo

largo de la recta , de todos modos sabemos que�!A (ax; ay; az) es paralelo a ella. Luego

��!P0P = �

�!A

12

�nalmente ��!OP =

��!OP0 + �

�!A

esa expresión es conocida como forma vectorial de la recta

del mismo modo que en el plano , apartir de quí podemos obtener distintasformas.

(x; y; z) = (x0; y0;z0) + �(ax; ay; az)8<: x = x0 + �axy = y0 + �ayz = z0 + �az

9=;forma paramétrica

despejando � e igualando llegamos a la forma simetrica

x� x0ax

=y � y0ay

=z � z0az

En este punto debemos destacar el hecho que no siempre será posible ex-presar la recta de esta forma debido a la la existencia de componentes nulasrespecto de alguna/s de las direcciones.Es decir que ax , ay o az pueden ser 0.

en ese caso deberemos expresar dos variables en función de la tercera.

8><>:x� x0ax

=y � y0ay

z � z0az

=y � y0ay

9>=>;operando adecuadamente

8><>:x =

axay(y � y0) + x0

z =azay(y � y0) + z0

9>=>;forma reducida de la recta

es evidente que , en este caso , puede consderarse nula la componente en X( ax = 0) o la correspondiente a Z ( az = 0) ya que �nalmente quedaría:

(x = x0

z =azay(y � y0) + z0

)o bien

(x =

axay(y � y0) + x0z = z0

)

13

veamos un ejemploSea el punto Q(3; 2; 5) y el vector �!v (3; 0; 2):Hallaremos la recta que pasando

por el punto Q es paralela al vector �!v :

es evidente que no podemos expresarla en forma simétrica dado que en eltérmino correspondiente a la variable Y quedaría una división por 0 lo cual noes correcto.Utilizaremos la forma reducida

(x =

axaz(z � z0) + x0y = y0

)(x� 33

=z � 52

y = 2

)

14

2.2 Partiendo de dos puntos

Sabemos que P0(x0; y0; z0) 2 r y P1(x1; y1; z1) 2 r: y tomamos P (x; y; z)como punto genérico de la recta.

��!OP =

��!OP0 +

��!P0P

y no podemos obtener��!OP debido a que P puede estar en cualquier lugar a

lo largo de la recta , asimismo sabemos que��!P0P = �

���!P0P1

�nalmente ��!OP =

��!OP0 +

���!P0P1

como anteriormente hicimos(x; y; z) = (x0; y0;z0) + � [(x1 � x0); (y1 � y0); (z1 � z0)])8<: x = x0 + �(x1 � x0)

y = y0 + �(y1 � y0)z = z0 + �(z1 � z0)

9=;forma paramétrica

15

despejando � e igualando llegamos a la forma simetrica

x� x0(x1 � x0)

=y � y0(y1 � y0)

=z � z0(z1 � z0)

Veamos un ejemplo

Hallar la recta que pasa por los puntos P (2; 3; 4) y S(4; 5; 1)

aplicando la forma simétrica

x� 2(4� 2) =

y � 3(5� 3) =

z � 4(1� 4)

x� 2(4� 2) =

y � 3(5� 3) =

z � 4(1� 4)

x� 22

=y � 32

=z � 4�3

2.3

2.4 Recta intersección de dos planos

Dadas las ecuaciones de los planos � ! a�x + b� + c� + d = 0 y � !a �x+ b � + c � + d = 0 los puntos que perenezcan ala recta intersección de losmismos deberán satisfacer ambas expresiones .Luego la expresión que representael haz de planos que pasa por la recta interseción buscada será:

a�x+ b� + c� + d = k(a �x+ b � + c � + d)

siendo K un parámetro del cual dependerá la ecuación de cada plano.

16

ejemplo Hallar la ecuación de la recta intersección de los planos 2x� 3y +3z � 4 = 0 y x+ 2y � z + 3 = 0:

para obtenerla eliminaremos 2 de las variables en ambas ecuaciones

-) eliminamos Z ( k = �3)

2x� 3y + 3z � 4 = (�3) (x+ 2y � z + 3)

5x+ 3y + 5 = 0 (1)

-) eliminanos Y (k =�32)

(2)(2x� 3y + 3z � 4 = (�32)((x+ 2y � z + 3)

7x+ 3z + 1 = 0 (2)

-) Finalmente despejamos X en (1) y (2) y luego igualamos obteniendola ecuación de la recta buscada

x =3y + 5

�5 =3z + 1

�7

x =y +

5

3�53

=z +

1

3�73

x

3=y +

5

3�5 =

z +1

3�7

Luego es la ecuación de una recta que pasa por el punto P (0;�53;�13) y es

paralela al vector de componentes (3;�5;�7)2x� 3y + 3z � 4 = 0

2.5 Ángulo entre rectas

Del mismo modo que en el plano tomaremos los vectores ascociados a las rectascomo representativos y obtendremos el ángulo que ellos determinan.

"el ángulo que determinan dos rectas coincide con el que determinan losvectores paralelos representativos de cada una de ellas "

17

­4­2

­4­2

0 00

xy 22

4

4­4

z­22

4

sean a! x� x0ax

=y � y0ay

=z � z0az

y b! x� x0bx

=y � y0by

=z � z0bz

cos � =ax:bx + ay:by + az:bzq

a2x + a2y + a

2z:qb2x + b

2y + b

2z

18

2.6 Ejercitación de recta y plano

1. Hallar la forma Simétrica, paramétrica o reducida ( de ser necesario) dela recta en los siguientes casos y gra�car

(a) Pasa por los puntos A(2; 3; 5) y B(1; 6;�2)(b) Pasa por el punto P (2; 3;�5) y es paralela al vector �!v (5; 2;�3)(c) Pasa por los puntos A(3; 3; 4) y B(1; 2; 4)

(d) Pasa por el punto P (�3; 2;�5) y es paralela a la recta de ecuaciónx� 82

=y + 2

3=z � 43

2. Determinar y gra�car las formas simétrica o reducida de la recta determi-nada por los puntos P y Q en los siguientes casos

(a) P (3; 4; 6); Q(1; 3; 6)

(b) P (3; 2; 2); Q(3; 2; 1)

(c) P (2; 1; 1); Q(�2;�1; 0)

3. El pié de la perpendicular trazada desde el origen a un plano es el puntoP (1;�2; 1).Hallar la ecuación del plano.(rta.x� 2y + z � 6 = 0)

4. Desde el punto P (5; 4;�7) se ha trazado una recta perpendicular a unplano. Si el pié de la perpendicular es el punto R(2; 2;�1).Hallar laecuación del plano.(rta.3x+ 2y � 6z � 16 = 0)

5. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P (6; 4;�2) y es perpen-dicular a la recta que pasa por los puntosM(7;�2; 3) yR(1; 4;�5).(rta.�6x+6y � 8z � 4 = 0)

6. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P (5; 2;�3) y es per-pendicular a cada uno de los planos � ! 2x � y + 2z � 9 = 0 y � !x+ 3y � 5z + 3 = 0:(rta:� x+ 12y + 7z + 2 = 0)

7. Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano XY y que pasa porlos puntos P (1; 5:� 3)y � 5;�4; 11):(rta:3x� 2y + 7 = 0)

8. Dados A(3;�2; 1) y r ! x� 14

=y + 2

�1 = z.hallar la ecuación del plano

determinado por ambos.(rta.x+ 2y � 2z + 3 = 0)

9. Obtener y gra�car la ecuación segmentaria del plano perpendicular alsegmento de extremos P (6; 1;�1) y Q(8;�1; 1) en su punto medio.(rta.2x� 2y + 2z � 14 = 0)

19

10. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta r !

8<: x = 2t+ 1y = �3t+ 2z = 2t� 3

9=;y por el punto M(21� 2� 1)(rta. 4x+ 6y + 5z + 1 = 0)

11. Hallar las ecuaciones de los planos paralelos al plano 2x� 2y � z � 3 = 0que se encuentrana una distancia 5 de él.

(rta.�! 2x� 2y � z + 18 = 0 y � ! 2x� 2y � z � 12 = 0)

12. Hallar la ecuación del plano que pasa por la rectax� 12

=y + 2

�3 =z � 22

y es perpendicular al plano �! 3x+2y�z�5 = 0: (rta. �x+8y+13z�9 =0)

13. Dadas las rectas r !�5x+ 5 = 10z5y � 10 = 20z

�y s! x�1

2 = y+3�5 =

z�14 . Hallar

la ecuación del plano � tal que �==s y r � �.

(rta.x+ 1

2=y � 24

= z)

14. Ecuación del plano que pasa por los siguientes puntos.

(a) P (1; 4;�4); Q(2; 5; 3); R(3; 0;�2)(b) P (�3; 2; 4); Q(1; 5; 7); R(2; 2;�1)

15. Hallar la ecuación normal de los planos

(a) � ! 8x� 4y � z + 18 = 0(b) � ! 6x+ 6y + 7z � 22 = 0

16. Hallar la distancia entre los planos � ! 3x + 6y + 2z = 22 y � ! 3x +

6y + 2z = 27.(rta. d =5

7)

17. Hallar la ecuación del plano perpendicular a los planos � y � cuya distanciaal punto P (0; 0; 0) sea igual a 2

�! �2x� 3y� z+8 = 0 � ! 2x� 2y+2z+7 = 0 (rta.�8x+2y+10z � 2

p168 = 0)

18. Hallar en el eje OX un punto equidistante a los planos �! 12x� 16y +15z + 1 = 0 y � ! 2x+ 2y � 1� z = 0(rta. P (11

43; 0; 0))

19. Hallar la ecuación en sus forma simétrica y paramétrica de la recta inter-sección de los planos 3x+ 3y� 4z + 7 = 0 y x+ 6y+ 2z � 6 = 0: (rta.

x

6=y � 1

3�2 =

z � 23

, x = 6t; y =1

3� 2t; z = 2 + 3t)

20

20. Hallar la ecuación del plano formado por las rectasx� 14

=y + 1

2=z � 23

yx� 15

=y + 1

4=z � 23

21. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1; 4: � 2) y esparalela a los planos 6x + 2y + 2z + 3 = 0 y 3x � 5y � 2z � 1 = 0

(rta.x� 11

=y � 43

=z + 2

�6 )

21