Ecuacin del PlanoEcuacin Rectangular del Plano

Ecuacin Lineal del Plano

EjemplosAqui hay unos ejemplos de como trabajar con los planos y sus respectivas ecuaciones:

Ejemplo #1Encuentre la ecuacin del plano que pasa por el punto con vector normal

Para resolver este ejercicio utilizamos la ecuacin rectangular del plano.

luego operamos y este es la ecuacin que resuelve el ejercicio:

Ejemplo #2Encuentre la ecuacin del plano que pasa por los puntos

Con los puntos que nos dan formamos las siguientes rectas:

Hacemos producto cruz de los vectores y obtenemos el vector normal:

Con este vector normal y el punto P usamos la ecuacin rectangular del plano:

luego de operar nos queda la ecuacin del plano:

Ejemplo #3Encuentre la ecuacin del plano que pasa por el punto P(2,4,-1) y vector normal (2,3,4), determine las intersecciones y grafique Usamos la ecuacin rectangular para resolver este problema:

utilizando la ecuacin anterior obtenemos: despus de Operar nos queda:

Ejemplo #4Encuentre el punto P, del plano con rectas paramtricas:

Y ecuacin

Usamos la ecuacin rectangular del plano:

y al operar nos queda que sustituimos t en las rectas paramtricas y nos queda el valor para x,y,z del punto:

Y el punto

Ejemplo #5Averigue si los planos son paralelos o perpendiculares, si son perpendiculares averigue el angulo entre ellos.

Primero identificamos el vector normal de ambos planos:

Ahora para averiguar si son perpendiculares o paralelos realizamos el producto punto y producto cruz:

Los planos son perpendiculares y

Ejemplo #6Encuentre la ecuacin del plano que pasa por y vector ortogonal al plano. . . Recordemos que: . La ec. seria Entonces encontramos la ecuacin del plano . . .

. . .

Ejemplo #7Encuentre la ecuacin del plano que pasa por y vector ortogonal al plano. . . Recordemos que: . .

La ec. seria Entonces encontramos la ecuacin del plano . . . . --Dieguito 23:05 30 abr 2010 (CST)

.

Ejemplo #8Encuentre la ecuacin del plano que pasa por y vector ortogonal al plano. . . Recordemos que: . La ec. seria Entonces encontramos la ecuacin del plano . . . . . .

--Dieguito 23:05 30 abr 2010 (CST)

Ejemplo #9Encuentre la ecuacin del plano que pasa por y vector ortogonal al plano. . . Recordemos que: . La ec. seria Entonces encontramos la ecuacin del plano . . . .

. .

--Dieguito 23:05 30 abr 2010 (CST)

Ejemplo 10Calcule una ecuacion vectorial y ecuaciones parametricas para la recta que pasa por P(5,1,3) y es paralela a V i+4j-2k

Ecuacion vectorial: Ecuacion Parametrica:

--Antonio Moran 09:56 15 may 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo 11Interseccion en el plano

Ecuaciones parametricas:

--Antonio Moran 09:56 15 may 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo 12Determine si las rectas son paralelas oblicuas o se cruzan si se cruzan encontrar el punto de interseccion

No son Paralelos Oblicuo:

L1:

L2:

No se cruzan por lo tanto son Oblicuas

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MONOGRAFIA BSICA. ECUACIONES DE PLANOS Y RECTAS Para determinar un plano se necesitan un punto Po(xo ,yo ,zo) y un vector normal al plano. La ecuacin del plano viene entonces dada por la relacin: A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = 0 Donde D = -A.xo - B.yo - C.zo Se pueden considerar varios casos particulares segn que uno o dos de los coeficientes de la ecuacin (1) sean nulos. a) Plano paralelo al eje OX. Se tiene A = 0 y la ecuacin toma la forma: B.y + C.z + D = 0 Siendo el vector director normal al plano de la forma: A.x + B.y + C.z + D = 0 (1)

b) Plano paralelo al eje OY. Se tiene B = 0 y la ecuacin general toma la forma:

A.x + C.z + D = 0 Siendo el vector director normal al plano de la forma:

c) Plano paralelo al eje OZ. Se tiene C = 0 y la ecuacin general toma la forma: A.x + B.y + D = 0 Siendo el vector director normal al plano de la forma:

d) Plano que pasa por el origen. Se tiene D = 0 y la ecuacin general toma la forma: A.x + B.y + C.z = 0 e) Plano perpendicular al eje OZ. Se tiene en este caso A = 0, B = 0 y la ecuacin general toma la forma: C.z + D = 0 ; z = Cte. Esta ecuacin puede considerarse tambin como la correspondiente a un plano paralelo al plano XOY.

f) Plano perpendicular al eje OY o, lo que es igual, paralelo al plano XOZ. Se tiene en este caso A = 0, C = 0 y la ecuacin general toma la forma: B.y + D = 0 ; y = Cte. g) Plano perpendicular al eje OX o, lo que es igual, paralelo al plano YOZ. Se tiene en este caso B = 0, C = 0 y la ecuacin general toma la forma: A.x + D = 0 ; x = Cte. Plano que pasa por dos puntos.- Siendo Po , P1 y P2 tres puntos no consecutivos pertenecientes a un plano, podemos considerar un punto genrico P de dicho plano y determinar entonces tres vectores dados por las siguientes coordenadas:

Como sabemos que la condicin necesaria y suficiente para que tres vectores sean coplanarios, es que su producto mixto sea nulo, podemos hacer:

Como caso particular de esta ecuacin se puede calcular la ecuacin segmentaria del plano. Se trata de saber la ecuacin del plano que corta a los ejes de coordenadas en los puntos x = a ; y = b ; z = c. Segn lo anterior se tiene: Po = (a,0,0) ; P1 = (0,b,0) ; P2 = (0,0,c) ; P = (x,y,z) Y la ecuacin segmentaria del plano quedar en la forma:

y desarrollando el determinante: b.c.x + a.c.y + a.b.z = a.b.c o, lo que es igual :

Ecuacin normal del plano.- Conocidos los cosenos directores de un vector perpendicular al plano y siendo d la distancia del plano al origen de coordenadas, la ecuacin del plano toma la forma:

Posiciones relativas de dos planos.- Siendo los planos

de ecuaciones:

El ngulo que en general forman dichos planos viene dado por la ecuacin:

Cuando los planos son paralelos, los vectores directores son linealmente dependientes y, por lo tanto, uno de ellos se puede poner como combinacin lineal del otro. Esto se expresa en la forma:

Cuando los planos son perpendiculares, se tiene la forma:

y la ecuacin (2) toma

o lo que es igual: A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 = 0 Ecuacin general de la recta.- Conociendo un punto de una recta y su vector director, la ecuacin que la determina toma la forma:

Si consideramos la recta en el espacio, la ecuacin que la determina es:

Cuando se conocen dos puntos de la recta, la ecuacin viene dada en la forma:

A partir de la ecuacin (3) podemos obtener la ecuacin de la recta en forma paramtrica. Haciendo la relacin de proporcionalidad igual a t, nos queda :

Una recta puede venir determinada por la interseccin de dos planos:

Condicin de paralelismo y perpendicularidad entre rectas.- El ngulo formado por dos rectas es el mismo que el formado por sus vectores directores y viene dado, como en el caso de los planos, por la ecuacin:

Cuando dos rectas son paralelas sus vectores directores son linealmente dependientes y, por tanto, son proporcionales. La condicin de paralelismo entre rectas ser, por tanto:

Cuando dos rectas son perpendiculares, sus cosenos directores tienen producto escalar nulo, lo que se traduce por la ecuacin: a1.a2 + b1.b2 + c1.c2 = 0 Condicin de paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos.- Siendo, respectivamente:

Los vectores directores de una recta y un plano, sabemos que el vector director de la recta lleva la misma direccin que esta y que el vector director del plano es perpendicular al plano. Las condiciones de perpendicularidad o paralelismo entre ellos ser, por tanto: Paralelismo : A.a + B.b + C.c = 0

Perpendicularidad :